قائمة زمر التناظر الكروي

تُعرف زمر التناظر الكروي المنتهية أيضًا باسم زمر التناظر النقطي في ثلاثة أبعاد. هناك خمس فئات تناظرية أساسية تملك مجالات مثلثية أساسية: تناظر ذي وجهين، تناظر دوري، ، ، و.

تُدرج هذه المقالة الزمر حسب ، وJohnson, 2015، و، والترتيب. يستخدم جون هورتون كونواي نسخة معدّلة من ترميز شونفلايس، تستند إلى البنية الجبرية المِرباع للزمر، يُرمز لها بحرف أو حرفين كبيرين، وتُرفق برموز سفلية عددية. يُعرّف ترتيب الزمرة كالقيمة السفلية، إلا إذا ضُوعف الترتيب للرموز التي تحتوي على بادئة موجب/سالب "±"، والتي تشير إلى وجود التناظر المركزي.

يُدرج أيضًا  (الترميز الدولي). زمر علم البلورات، وعددها 32، تشكّل مجموعة فرعية تحتوي على عناصر من الرتب 2 و3 و4 و6.Sands, "Introduction to Crystallography", 1993

 تناظر انعكاسي 
توجد أربع زمر ارتدادية: بدون تناظر (C1)، وتناظر انعكاسي (Cs)، وتناظر دوراني من رتبة 2 (C2)، وتناظر مركزي (Ci).

  Geo أوربيفولد شونفليز كونوايكوكستر الرتبة الاختصار المجالالأساسي 1  11 C1 C1 ][[ ]+ 1 Z1 100px 2  22 D1= C2 D2= C2 [2]+ 2 Z2 100px   × Ci= S2 CC2 [2+,2+] 2 Z2 100px = m 1 * Cs= C1v= C1h ±C1= CD2 [ ] 2 Z2 100px

 تناظر دوري 
توجد أربع عائلات لا نهائية من التناظر الدوري، حيث n ≥ 2. (وقد تكون n = 1 كحالة خاصة تمثل عدم وجود تناظر)

  Geo أوربيفولد شونفليز كونوايكوكستر الرتبة الاختصار المجالالأساسي   2× S4 CC4 [2+,4+] 4 Z4 100px 2/m 2 2* C2h= D1d ±C2= ±D2 [2,2+][2+,2] 4 Z4 100px

  Geo أوربيفولد شونفليز كونوايكوكستر الرتبة الاختصار المجالالأساسي 23456n  2233445566nn C2C3C4C5C6Cn C2C3C4C5C6Cn [2]+[3]+[4]+[5]+[6]+[n]+ 23456n Z2Z3Z4Z5Z6Zn 100px 2mm3m4mm5m6mmnm (n فردي)nmm (n زوجي) 23456n *22*33*44*55*66*nn C2vC3vC4vC5vC6vCnv CD4CD6CD8CD10CD12CD2n [2][3][4][5][6][n] 46810122n D4D6D8D10D12D2n 100px -  3×4×5×6×n× S6S8S10S12S2n ±C3CC8±C5CC12CC2n / ±Cn [2+,6+][2+,8+][2+,10+][2+,12+][2+,2n+] 6810122n Z6Z8Z10Z12Z2n100px 3/m=4/m5/m=6/mn/m 22222 3*4*5*6*n* C3hC4hC5hC6hCnh CC6±C4CC10±C6±Cn / CC2n [2,3+][2,4+][2,5+][2,6+][2,n+] 6810122n Z6Z2×Z4Z10Z2×Z6Z2×Zn≅Z2n (odd n)100px

 تناظر ثنائي الوجه 

هناك ثلاث عائلات لا نهائية من ، حيث n ≥ 2 (وقد تكون n = 1 كحالة خاصة).

  Geo أوربيفولد شونفليز كونواي كوكستر الرتبة الاختصار المجالالأساسي 222 . 222 D2 D4 [2,2]+ 4 D4100px 2m 4 2*2 D2d DD8 [2+,4] 8 D4 100px mmm 22 *222 D2h ±D4 [2,2] 8 Z2×D4 100px

  Geo أوربيفولد شونفليز كونوايكوكستر الرتبة الاختصار المجالالأساسي 3242252622 ..... 22322422522622n D3D4D5D6Dn D6D8D10D12D2n [2,3]+[2,4]+[2,5]+[2,6]+[2,n]+ 6810122n D6D8D10D12D2n100px m2mm.2m 6810.12.n 2*32*42*52*62*n D3dD4dD5dD6dDnd ±D6DD16±D10DD24DD4n / ±D2n [2+,6][2+,8][2+,10][2+,12][2+,2n] 121620244n D12D16D20D24D4n 100px m24/mmmm26/mmm 32425262n2 *223*224*225*226*22n D3hD4hD5hD6hDnh DD12±D8DD20±D12±D2n / DD4n [2,3][2,4][2,5][2,6][2,n] 121620244n D12Z2×D8D20Z2×D12Z2×D2n≅D4n (odd n) 100px

 تناظر متعدد الوجوه 
هناك ثلاثة أنواع من تناظر متعدد الوجوه: تناظر رباعي الوجوه، تناظر ثماني الوجوه، وتناظر عشريني الوجوه، وسُميت على اسم متعدد الوجوه المنتظم الذي يتكوّن من وجوه مثلثية ويملك هذه التناظرات.

+   Geo أوربيفولد شونفليز كونواي كوكستر الرتبة الاختصار المجالالأساسي 23 . 332 T T [3,3]+ 12 A4 100px m 4 3*2 Th ±T  [4,3+] 24 2×A4 100px 3m 33 *332 Td TO [3,3] 24 S4 100px

+   Geo أوربيفولد شونفليز كونواي كوكستر الرتبة الاختصار المجالالأساسي 432 . 432 O O [4,3]+ 24 S4 100px mm 43 *432 Oh ±O [4,3] 48 2×S4 100px

+   Geo أوربيفولد شونفليز كونواي كوكستر الرتبة الاختصار المجالالأساسي 532 . 532 I I [5,3]+ 60 A5 100px 2/m 53 *532 Ih ±I [5,3] 120 2×A5 100px

 التناظرات المستمرة 
جميع تناظرات النقاط المنفصلة هي زُمر جزئية من تناظرات مستمرة معينة. ويمكن تصنيف هذه التناظرات المستمرة على أنها حواصل ضرب لزمر متعامدة من الشكل O(n) أو SO(n). الزمرة O(1) تمثل انعكاسًا متعامدًا وحيدًا، وهي تعادل زمرة زوجية من الرتبة 2 وتُرمز بـ Dih1. أما الزمرة SO(1) فهي لا تحتوي إلا على العنصر المحايد. ولإكمال البنية التناظرية، يجب تضمين دورات نصفية (C2) ضمن هذه الزمر.

 زُمر المرتبة 3  أسماء أخرى هندسة مثالية  أمثلة لزُمر منتهيةO(3) التناظر الكامل لكرة 100px  [3,3] = , [4,3] = , [5,3] = [4,3+] = SO(3) التناظر الدوراني  [3,3]+ = , [4,3]+ = , [5,3]+ = O(2)×O(1)O(2)⋊C2Dih∞×Dih1Dih∞⋊C2 التناظر الكامل لكرواني، لطارة، لأسطوانة،  أو لسطح زائديتناظر دائري كامل مع دوران نصف دائري 100px100px45px48px100px  [p,2] = [p]×[ ] = [2p,2+] = , [2p+,2+] = SO(2)×O(1)C∞×Dih1 تناظر دوراني مع انعكاس  [p+,2] = [p]+×[ ] = SO(2)⋊C2C∞⋊C2 تناظر دوراني مع دوران نصف دائري  [p,2]+ = O(2)×SO(1)Dih∞تناظر دائري التناظر الكامل لنصف كرة، مخروط، سطح مكافئيأو أي سطح دوراني 130px85px70px100px  [p,1] = [p] = SO(2)×SO(1)C∞زمرة الدائرة تناظر دوراني  [p,1]+ = [p]+ = 

 المراجع 

 قراءة إضافية 

 Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), Appendix I

 On Quaternions and Octonions, 2003, John Horton Conway and Derek A. Smith 
 The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, 
 Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995,   
 (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
 (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
 (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
 N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018)  Chapter 11: Finite symmetry groups, Table 11.4 Finite Groups of Isometries in 3-space

تصنيف:متعددات الوجوه
تصنيف:تناظر
تصنيف:نظرية الزمر
تصنيف:قوائم متعلقة بالرياضيات