متعدد وجوه كبلر وبوانسو

في الهندسة الرياضية، متعدد وجوه كِبْلر وبوانسو  واحد من أربع  منتظمة.

يمكن إنشاء هذه المتعددات باستنجام متعدِّدَي الوجوه المنتظَمين المُحدَّبين: اثنا عشري الوجوه وعشروني الوجوه، وتختلف متعددات كِبْلر وبوانسو عن المتعدِدَين المحدَّبين بأن لوجوهها تشكيلة رؤوسها على هيئة نجمات خماسية منتظمة.

يُنظر إلى متعدد وجوه كبلر وبوانسو على أنه تمثيل ثلاثي الأبعاد لنجمة خماسية.

 الخواص 
تصغير|450بك|إنشاء اثنا عشري الوجوه المستنجَم العظيم من اثنا عشري وجوه منتظم بعمليتي الاستنجام والتعظيم.

متعددات وجوه كبلر وبوانسو هي متعددات وجوه  منتظمة تُنشأ انطلاقًا من اثنا عشري وجوه منتظم وعشروني وجوه منتظم بعملية تُسمَّى الاستنجام، ينتج عنها 4 مُتعددات وجوه:

 اثنا عشري الوجوه المُستنجَم الصغير: يُنشأ من اثنا عشري وجوه منتظم، بلصق هرم مُخمَّس مُنتظَم على كل وجوه من وجوه الاثنا عشري. لهذا المُتعدِّد سطحُ  نفسه طوبولوجيًا.
 اثنا عشري الوجوه العظيم: يُنشأ اثنا عشري وجوه مستنجم صغير بإضافة 30 إسفينًا بين الأهرام. يُمكن أيضًا إنشاء هذا المتعدد بالويجهة عشروني وجوه منتظم من غير تبديل الرؤوس أو إنشاء رؤوسٍ جديدة.
 : يُنشَأ من اثنا عشري وجوه عظيم بلصق 20 ثنائي هرم مثلث غير متناظر في التجاويف بين الأسافين.
 .

عرَّف جون كونوي العمليات المستعملة لإنشاء متعددات وجوه كبلر وبوانسو كما يأتي:

 التعظيم، رمزه g، وفيه يُحافظ على نوع الوجوه، ولكنها تُزاح إلى مستويات موازية لمستواها الابتدائي مع تغيير مقاساتها.
 الاستنجام، رمزه s، وفيه تُغيَّر بالوجوه المُخمَّسية نجومٌ مُخمَّسة مُحدَّبة.

ترتبط علاقة ثِنوية بين متعدد وجوه كبلر وبوانسو كما يأتي:
 ثنوي اثنا عشري الوجوه العظيم هو اثنا عشري الوجوه المستنجَم الصغير.
 ثنوي عشروني الوجوه العظيم هو اثنا عشري الوجوه المُستنجَم العظيم.

إما أن تكون وجوه هذه المتعددات نجمات خماسية أو أن تكون تشكيلة رؤوسها كذلك.

لمتعددات وجوه كبلر وبوانسو كلها ، حالها حال اثنا عشري الوجوه المنتظم وعشروني الوجوه المنتظم.

 مميزة أويلر 
تصغير|upright=1.5|نظام كونوي للعلاقات بين 6 متعددات وجوه (مرتبة شاقوليًا حسب ). يُمثِّل السهم الأخضر علاقة الثنوية، وهي علاقة تبادلية، أما السهم البرتقالي فيمثل الاستنجام، ويمثل الأزرق التعظيم.
يُغطي متعدد وجوه كبلر وبوانسو محطيه الكروي أكثر من مرة، وتؤدي مراكز الوجوه النجمية المُخمَّسة دور نقاط اللف، في حين تكون الرؤوس هي نقاط اللف في سائر الوجوه الأخرى. لذلك ليس بالضرورة أن تكون هذه المتعددات متكافئة طوبولوجيًا مع المجسمَّات الأفلاطونية، ولا تُستوفى مميزة أويلر دائمًا:

شدد  على أن χ يلزم أن تكون مساوية لـ 2 من أجل كل مُتعددات الوجوه، ولذلك لم يَعدَّ اثنا عشري الوجوه المُستنجَم الصغير واثنا عشري الوجوه العظيم ضمن متعددات الوجوه، ولكن هذا الرأي لم يكن مقبولًا على نطاقٍ واسع أبدًا.

اقترح آرثر كيلي صيغة مُعدَّلة لمميزة أويلر باستعمال  () تشكيلات الرؤوس () والوجوه ()، وتصح هذه الصيغة لمتعددات الوجوه المُحدَّبة (وفيها تكون عوامل التصحيح مساوية للواحد) ولمتعددات وجوه كبلر وبوانسو:

وفقًا لهذا الحساب، فإن كثافة  و هي 7، وكثافة اثنا عشري الوجوه العظيم واثنا عشري الوجوه المُستنجَم الصغير هي 3.

 الثنوية ومضلعات بتري 

متعددات وجوه كبلر وبوانسو زوجان من الثنويات. كل زوجان لهما  نفسه، أو بدقة أكبر، مضلعا بتري لهما الإسقاط ثنائي البعد نفسه.

تُظهر الصور التالية المركبان الثنويان اللذان يكون قطر حرف كرتهم المتوسطة نفسه، وتظهر هذه الصور أيضًا أن مضلعات بِتري متجانفة.

 حرف أفقي في المُقدِّمة  حرف شاقولي في المُقدِّمة   مُضلَّع بِتري اثنا عشري الوجوه المُستنجَم الصغير  اثنا عشري وجوه عظيم  مُسدَّس       

 مُلخَّص 

الاسم(اختصار كونوي)الصورةتبليط كروي مخططاستنجامشليفلي{p, q}  وكوكستر ودنكينالوجوه{p}الحروفالرؤوس{q}شكلالرأس(التشكيلة) χالتناظرالثنوياثنا عشري الوجوه العظيم(gD)80بك80بك80بك{5, 5/2}12{5}3012{5/2}80px(55)/280px{6} −63Ihاثنا عشري الوجوه المُستنجَم الصغير اثنا عشري الوجوه المُستنجَم الصغير(sD)80px80px80px{5/2, 5}12{5/2}3012{5}80px(5/2)580px{6} −63Ihاثنا عشري الوجوه العظيم (gI)80بك80بك80بك{3, 5/2}20{3}3012{5/2}80px(35)/280px{10/3}27Ihاثنا عشري الوجوه المُستنجَم العظيم(sgD = gsD)80px80px80px{5/2, 3}12{5/2}3020{3}80بك(5/2)380px{10/3}27Ihعشروني الوجوه العظيم

 نبذة تاريخية 

كانت معظم متعددات وجوه كبلر وبوانسو، إن لم يكن كلها، معروفة قبل كِبْلر. يظهر اثنا عشري الوجوه المُستنجَم الصغير في لوحة مرصعَّة على أرضية كنيسة القديس مرقس في البندقية بإيطاليا، يُؤرَّخ هذا العمل بالقرن الخامس عشر الميلادي، ويُنسَب أحيانًا إلى باولو أُتشيلو.

رسم  اثنا عشري وجوه عظيم و في كتابه  المنشور سنة 1568م. ويبدو من سياق الكتاب أن يامنتزر عدَّ وجود خمسة مُجسَّمات منتظمة فقط هي المُجسَّمات الأفلاطونية.

يُوصَف اثنا عشري الوجوه المستنجَم الصغير واثنا عشري الوجوه المستنجم العظيم في بعض الأحيان بمتعددَي وجوه كِبْلر، لأن كِبْلر أول من لَحظ انتظامها قرابة سنة 1619م. وقد أنشأها باستنجام اثنا عشري وجوه منتظم، معامِلًا إياه على أنه سطح وليس مُجسَّمًا. لاحظ كِبْلر أيضًا أنه بالإمكام الحصوص على مخمسات نجمية بتمديد حواف اثناعشري وجوه مُحدَّب أو وجوهه حتى تلتقي مجددًا، وهي هي الطريقة التي أنشأ بها متعددي الوجوه سالفي الذكر. وأخيرًا لحظ كِبْلر أيضًا أن هذه المتعدِّدات تستوفي تعريف الانتظام مع أنها ليست مُحدَّبة كما هو حال المُجسَّمات الأفلاطونية.

أعاد لوي بوانسو اكتشاف متعددات وجوه كِبلر سنة 1809م، جمَّع لوي متعددات وجوه مُحدَّبة حول حروف متعدد وجوه نجمي مخمس واكتشف متعددي وجوه نجميين منتظمتين أيضًا هما اثنا عشري الوجوه العظيم وعشروني الوجوه العظيم، لذلك تدعى المتعددات في بعض الأحيان بمتعدِدي وجوه بوانسو، لم يكن بوانسو متأكدًا من أنه اكتشف كل متعددات الوجوه النجمية المنتظمة أم لا، وهو ما عمله أوغستان كوشي بعد 3 سنوات بإثباته أن هذه القائمة مكتملة باستنجامه للمجسمات الأفلاطونية. ثم أثبت جوزيف بيرتران ذلك بطريقة أخرى سنة 1858م بوَيْجَهة المُجسَّمات الأفلاطونية. أطلق آرثر كيلي في السنة التالية اسم متعددات وجوه كبلر وبوانسو على هذه المتعددات، وهو الاسم الذي تُعرف به اليوم.

 معرض صور 
نماذج ثلاثية الأبعاد

صور متحركة

أخرى

 انظر أيضًا 


 متعدِّد وجوه مُنتظَم
 متعدِّد وجوه مُحتَتن


 ملاحظات 

 المراجع 
 فهرس الإحالات 
بالإنجليزية

بالفرنسية

 ثبت المراجع 

مقالات مُحكَّمة
بالإنجليزية








بالفرنسية





كتب









 وصلات خارجية 
 متعددات وجوه كبلر وبوانسو في موسوعة عالم الرياضيات.
 استعراض ثلاثي الأبعاد لمتعددات وجوه كبلر وبوانسو.
 الاستنجام والوَيْجهة، تاريخ مُختصَر مقالة عن العمليات المستعملة في إنشاء متعددات وجوه كبلر وبوانسو.

تصنيف:متعددات وجوه كبلر وبوانسو
تصنيف:يوهانس كبلر
تصنيف:متعددات الوجوه غير المحدبة