دالة أوميغا الأولية

في نظرية الأعداد، دوال أوميغا الأولية  و   تقومان بحساب عدد العوامل الأولية لعدد طبيعي  تقوم  (أوميغا الصغيرة) بحساب كل عامل أولي مميز ، في حين أن الدالة  (أوميغا كبيرة) تحسب العدد الإجمالي للعوامل الأولية لـ .

يمكن للمرئ أن يلاحظ أن هاتان الدالتان هما دالتان ضربيتان (انظر دالة الحسابية). على سبيل المثال، إذا كان لدينا تعميل أولي لـ  على النحو التالي  بحيث هو عدد أولي ()، فيتم إعطاء دوال أوميغا الأولية بواسطة  و  . تملك دوال عدّ العوامل الأولية هذه أهمية كبيرة في مبرهنات وعلاقات نظرية الأعداد

 خصائص وعلاقات 
 هي دالة جمعية و  هي جمعية بالكامل، نُعرف  كالآتي:إذا كان  يقسم  مرة واحدة على الأقل نحسبه مرة واحدة فقط، على سبيل المثال . أما بالنسبة ل  فتُعرّف كالآتي:إذا كان  يقسم  عدد  من مرات فنحسب القوى، على سبيل المثال . لاحظ أنه .

إذا كان  فإن  هو مربع حر ويعبر عنه باستعمال دالة موبيوس كالآتي: 

إذا كان  فإن  عدد أولي.

من المعروف أن متوسط ترتيب دالة القواسم يستوفي المتفاوتة  .This inequality is given in Section 22.13 of Hardy and Wright.

مثل العديد من الدوال الحسابية ، لا توجد صيغة دقيقة ل  أو  لكن هناك تقديرات تقريبية.

يمكن التعبير عن متوسط ترتيب  بالمتسلسة الآتية S. R. Finch, Two asymptotic series, Mathematical Constants II, Cambridge Univ. Press, pp. 21-32,

بحيث  هو ثابت ميرتنز و  هي ثوابت ستيلتجيس.

الدالة  لها علاقة وثيقة مع دالة موبيوس ودالة القواسم، نذكر من هذه العلاقات Each of these started from the second identity in the list are cited individually on the pages دالة حسابية، دالة حسابية, and مؤشر أويلر. The first identity is a combination of two known divisor sums cited in Section 27.6 of the NIST Handbook of Mathematical Functions. 

 الإمتداد للمستوى العقدي 
تم العثور على استمرار ل  ، على الرغم من أنها ليست تحليلية في كل مكان.

 انظر أيضا 

 دالة جمعية
 دالة حسابية

 مراجع 

تصنيف:أعداد أولية
تصنيف:سلاسل عددية
تصنيف:نظرية الأعداد