نسبة تبادلية

في الهندسة الرياضية، النسبة التبادلية  هي نسبةٌ مُرتبطةٌ بأربعِ نقاطٍ مُتسامتة. إذا كانت النقاط  على استقامةٍ واحدةٍ، فإنَّ نسبتهم التبادلية تُعرّف كالآتي:

حيث أنَّ النّسب نسبٌ مُوجّهةٌ. إذا كانت واحدة من النقاط الأربع نقطةً في اللانهاية، فإنَّ المسافتين الواصلتين بهذه النقطة تُحذف من الصيغة. تُعرّفُ النقطة D على أنّها المرافق التوافقي للنقطة C بالنسبة لـA و B.

 دائرة أبولونيوس 
تُعمم النسبة التبادلية لتشمل الدائرة بتعريف المستوى العقدي بالصيغة الآتية: . إذا كانت النقاط  مُتسامتةً في المستوى العقدي كما الشكل، فإنَّ دائرة أبولونيوس لهذه الثلاث نقاط هي مجموعة النقاط  التي تحقق أن معيار النسبة التبادلية مساوية لواحد.. بمعنىً آخر:  هي نقطة على دائرة أبولونيوس للنقاط  إذا وفقط إذا كان معيار النسبة التبادلية  مساوياً للواحد.Courant and Robbins 1996, p. 172; Durell 1928, p. 73H. S. M. Coxeter and S. L. Greitzer.Geometry revisited, volume 19 ofNew MathematicalLibrary. Random House, Inc., New York, 1967.
تصغير|تعريف أبولونيوس للدائرة.

 النسب التوافقية 
تُعرّفُ النقطة  على أنّها المرافق التوافقي للنقطة  بالنسبة لـ و. إذا كانت النسبة التوافقية للنقاط الأربع تساوي . وتُسمَّى حينئذٍ نسبةً توافقية. ونتيجةً لذلك، فإنَّ النسبة التبادلية بالإمكان اعتبارها على أنها مدى بُعدِ الأربع نقاط عن النسبة التوافقية. النسبة التبادلية مُعرّفة منذ القِدَم، حيث يرجّح أن إقليدس هو أوّل من ذكرها، كما استعملها ببس الرومي الذي لاحظ خاصيّة ثباتها تحت التحويلات الخطية. فالنسبة التبادلية لأيِّ قطعةٍ مُستقيمةٍ تقطع 4 مستقيمات متلاقية هي ثابتة. بشكلٍ مُكافئ، يُعرّفُ ذلكَ في الهندسة الإسقاطية على أنَّ النسبة التبادلية ثابتةٌ تحت أي تحويلٍ خطيٍ كسريٍ. في تعريفِ أبولونيوس للدائرة، تُسمَّى الخطوط  «حُزمة توافقية» وهي كل مجموعة خطوط متلاقية نسبتها توافقية (أي: نسبتها التبادلية تساوي ). إنَّ تقاطعَ حُزمةٍ توافقيةٍ مع الدائرة يُنتجُ رباعياً توافقياً.The Associated Harmonic Quadrilateral, Paris Pamfilos, Forum Geometricorum, Volume 14 (2014) 15–29.

مبرهنة شتاينر والنسبة التبادلية على المخروطيات
في الهندسة الإسقاطية، تنص مبرهنة ياكوب شتاينر (1832) على أن النسبة المزدوجة لأربعة نقاط تقع على قطع مخروطي هي قيمة ثابتة، بغض النظر عن النقطة التي يتم منها رصد هذه النقاط على المنحنى. وتعتبر النقاط الأربعة (أ، ب، ج، د) في حالة "نسبة تبادلية (او توافقية)" إذا كانت نسبتها المزدوجة تساوي -1.
الطريقة التركيبية لتحديد النقطة الرابعة
لإيجاد النقطة الرابعة (د) التي تشكل رباعياً توافقياً مع ثلاث نقاط معلومة (أ، ب، ج) على قطع ناقص أو دائرة، يتم اتباع الخطوات التالية بناءً على نظرية القطب والقطبي:
 إيجاد القطب: نرسم الخطين المماسين للقطع المخروطي عند النقطتين (أ) و (ب). نقطة تقاطع هذين المماسين تسمى النقطة (س)، وهي تمثل "قطب" الخط الواصل بين (أ) و (ب).
 ايضال النقطة (س) بالنقطة الثالثة المعلومة (ج) بواسطة خط مستقيم.
 تحديد تقاطع الخط (س ج) مع المخروطية في نقطتين؛ النقطة الأولى هي (ج) والنقطة الثانية هي (د). هذه النقطة (د) هي النقطة التوافقية المطلوبة.
تصغير|إنشاء الرباعية التوافقية على قطع مخروطي (طريقة شتاينر)

الخصائص الهندسية
 النسبة المزدوجة للحزمة الشعاعية المنطلقة من أي نقطة (ن) على المنحنى باتجاه النقاط الأربعة تكون دائماً -1.
 في حالة الدائرة، لا يتم قياس النسبة عن طريق الأقواس المنحنية، بل عن طريق أطوال الأوتار المستقيمة. الرباعي يكون توافقياً إذا كان حاصل ضرب طول الوتر (أ ج) في طول الوتر (ب د) مقسوماً على حاصل ضرب طول الوتر (ب ج) في طول الوتر (أ د) يساوي واحد.
 المستقيم الواصل بين (ج) و (د) يمر دائماً بقطب المستقيم الواصل بين (أ) و (ب)، مما يجعل الوترين (أ ب) و (ج د) أوتاراً مترافقة توافقياً.

معرض صور

 مراجع 

 انظر أيضاً 

 مبرهنة منصف الزاوية.
 دوائر أبولونية.
 دائرة.
 رباعي تناغمي.

 وصلات خارجية 

تصنيف:نسبة
تصنيف:هندسة إسقاطية
تصنيف:هندسة إقليدية