متباينة هدفيغر وفنسلر

في الرياضيات، متباينة هدفيغر وفنسلر  هي نتيجة في هندسة المثلثات في المستوى الإقليدي، تنص على أنه في مثلث في المستوى، أطوال أضلاعه b و a و c و مساحته A، تتحقق المتراجحة التالية:

متباينة فايتزينبوخ هي نتيجة بسيطة لمتباينة هادفايغر-فنسلر: إذا كانت b, a و c أطوال أضلاع مثلث في المستوى و A مساحته، فإن:

سميت متباينة هدفيغر وفنسلر هكذا نسبة إلى بول فنسلر وهوغو هادفايغر(1937).

 برهان متفاوتة هادفايغر-فنسلر 
من قانون جيب التمام نحصل على:

حيث  هي الزاوية بين  و . يمكن تحويل هذا إلى:

و لكون  فإنَّ:

الآن تذكر أن

و

باستخدام هذا نحصل على:

بفعل هذا لكل أضلاع المثلث وبجمع المتساويات نحصل على:

 و  هما الزاويتان الأخريتان للمثلث. بما أن أنصاف زوايا المثلث أصغر من  فإن دالة  محدبة فلدينا:

باستخدام هذا نحصل على:

هذه هي متباينة هادفايغر-فنسلر.

 مراجع 


 Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, , pp. 84-86

تصنيف:متباينات هندسية
تصنيف:هندسة إقليدية
تصنيف:هندسة المثلث