مبرهنة ستوكس المعممة

في حساب المتجهات وعلم الهندسة التفاضلية، مبرهنة ستوكس المعممة  أو مبرهنة ستوكس وكارتان ، هي نص حول تكامل الصور التفاضلية على المتنوعات، والذي يبسط ويعمم العديد من المبرهنات من حساب المتجهات. تنص مبرهنة ستوكس المعممة على أن تكامل الصورة التفاضلية ω على حدود متنوعة موجهة يساوي تكامل مشتقها الخارجي dω على كامل i، أي:



مبرهنة ستوكس المعممة في شكلها الحديث صاغها إيلي كارتن في عام 1945، بعد العمل السابق على تعميم مبرهنات حساب المتجهات من قبل فيتو فولتيرا، وإدوار غورسا، وهنري بوانكاريه.

هذا الشكل الحديث لمبرهنة ستوكس المعممة هو تعميم واسع للنتيجة الكلاسيكية التي أبلغها لورد كلفن إلى جورج ستوكس في رسالة بتاريخ 2 يوليو 2 يوليو 1850.See:


 The letter from Thomson to Stokes appears in: 
 Neither Thomson nor Stokes published a proof of the theorem. The first published proof appeared in 1861 in:  Hankel doesn't mention the author of the theorem.
 In a footnote, Larmor mentions earlier researchers who had integrated, over a surface, the curl of a vector field. See: Spivak (1965), p. vii, Preface. وضع ستوكس المبرهنة كسؤال في امتحان  1854، مما أدى إلى النتيجة التي تحمل اسمه. تم نشره لأول مرة من قبل هيرمان هانكل في 1861.See:

 The 1854 Smith's Prize Examination is available online at: Clerk Maxwell Foundation. Maxwell took this examination and tied for first place with إدوارد روث. See:  See also Smith's prize or the Clerk Maxwell Foundation.
  In a footnote on page 27, Maxwell mentions that Stokes used the theorem as question 8 in the Smith's Prize Examination of 1854. This footnote appears to have been the cause of the theorem's being known as "Stokes' theorem". ترتبط مبرهنة ستوكس الكلاسيكية هذه بالتكامل السطحي لدوران حقل متجهي  على سطح (أي، تدفق دوران ) في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد إلى تكامل خطي للحقل المتجهي على حدوده (المعروف أيضًا باسم «التكامل العروي»)

التفسير الرياضياتي:

ليكن  منحن مستو جورداني ناعم متعدد التعريف. تستلزم مبرهنة منحنى جوردان بأن  يقسم  إلى مركبتين، أحدهما متراص والآخر غير متراص. ليكن يشير إلى الجزء المتراص المحدود من قبل  ونفترض أن  ناعم، مع . إذا كانت  المنحنى الفضائي المعرف بـ γ و Γ كلاهما عُرْوات (loops)، ومع ذلك، Γ ليس بالضرورة منحنى جوردان و  حقل متجهي ناعم على ، إذن:This proof is based on the Lecture Notes given by Prof. Robert Scheichl (جامعة باث, U.K) , please refer the  This proof is also same to the proof shown in



حيث يشير  إلى المؤثر التفاضلي «دوران».

هذا البيان الكلاسيكي، إلى جانب مبرهنة التباعد الكلاسيكية، والمبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل، ومبرهنة غرين هي ببساطة حالات خاصة من الصيغة العامة المذكورة أعلاه.

 هوامش 

 المصادر 

تصنيف:نظريات الثنوية
تصنيف:أشكال تفاضلية
تصنيف:حساب المتجهات
تصنيف:طوبولوجيا تفاضلية
تصنيف:مبرهنات في الهندسة التفاضلية
تصنيف:مبرهنات في حساب التفاضل والتكامل