صيغة لايبنتس ل π

انظر إلى قائمة المواضيع المنسوبة إلى غوتفريد لايبنتس.

في الرياضيات، صيغة لايبنتس ل π 

سميت هذه الصيغة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الألماني غوتفريد لايبنتس. يقال عن هذه المتسلسة أنها متسلسلة متناوبة. تسمى أيضا متسلسلة مادهافا-لايبنتس بما أنها حالة خاصة من متسلسلات من صنف عام من المتسلسلات لدالة الظل العكسية، مكتشَفة لأول مرة من طرف عالم الرياضيات الهندي مادهافا من سانغماغراما خلال القرن الرابع عشر. نشر لايبنتس حالته الخاصة في حوالي عام 1676 م. أما المتسلسلة التي تؤول إلى دالة الظل العكسية، والتي قد تسمى أيضا متسلسلة غريغوري، فهي كما يلي:

التعويض  يعطي صيغة لايبنتس.

 التسمية 
 البرهان 
 البرهان الأول 

بالنظر فقط إلى التكامل في الحد الأخير، يصير لدينا:

إذن، باستعمال مبرهنة الساندويتش, حيث ، تتبقى لدينا متسلسلة لايبنتس:

 البرهان الثاني 

لتكن . عندما يتوفر ، المتسلسلة  تتقارب بشكل منتظم, إذن

إذن, إذا  اقتربت من  so that it is continuous and converges uniformly, the proof is complete, where, the series  to be converges by the اختبار لايبنتس, and also,  تقترب من  from within the Stolz angle, so from مبرهنة آبل this is correct.

 البطئ 
صيغة لايبنتس من أجل حساب π شديدة البطئ. تمثل هذه المتسلسلة تقاربا دون خطي. حساب عشرة أرقام بعد الفاصلة يتطلب حساب خمسة ملايير حد من متسلسلة لايبنتس لأن  يعني .

ولكن صيغة لايبنتس قد تستعمل من أجل حساب π إلى حدود عالية (مئات الأرقام بعد الفاصلة وحتى أكثر من ذلك)، باستعمال تقنيات مختلفة لتسريع التقارب.

انظر إلى تحويل أويلر.

 جداء أويلر 
انظر إلى متسلسلة دركليه وإلى حرف دركليه وإلى جداء غير منته وإلى عدد أولي وإلى جداء أويلر.

 انظر أيضا 
 قائمة الصيغ المحتوية ط
 متسلسلات مادهافا

 مراجع 

تصنيف:خوارزميات π
تصنيف:غوتفريد لايبنتس
تصنيف:متسلسلات
تصنيف:مقالات تحوي براهين