نظرية الحجم

في علم الرياضيات، تدرس نظرية الحجم خصائص الفضاءات الطوبولوجية المدعمة بالدوال الرياضية ذات القيمة ، بالنظر إلى تغير هذه الدوال. وبشكل علمي أكثر، يعد موضوع نظرية الحجم دراسة للبعد الوهمي الطبيعي بين أزواج الحجم.
ويمكن العثور على دراسة مسحية لنظرية الحجم في هذا المرجع
.Silvia Biasotti, Leila De Floriani, Bianca Falcidieno, Patrizio Frosini, Daniela Giorgi, Claudia Landi, Laura Papaleo, Michela Spagnuolo,
Describing shapes by geometrical-topological properties of real functions,
ACM Computing Surveys, vol. 40 (2008), n. 4, 12:1&ndash;12:87.

 التاريخ والتطبيقات 

تتأصل بداية نظرية الحجم في مفهوم دالة الحجم الذي عرضه فروسيني.Patrizio Frosini, A distance for similarity classes of submanifolds of a Euclidean space, Bulletin of the Australian Mathematical Society, 42(3):407&ndash;416, 1990. وقد تم استخدام دوال الحجم في بادئ الأمر كأداة رياضية لمقارنة الشكل في مرئيات الحاسوب وتمييز الأنماط.Alessandro Verri, Claudio Uras, Patrizio Frosini and Massimo Ferri,
On the use of size functions for shape analysis,
Biological Cybernetics, 70:99&ndash;107, 1993.Patrizio Frosini and Claudia Landi,
Size functions and morphological transformations,
Acta Applicandae Mathematicae, 49(1):85&ndash;104, 1997.Alessandro Verri and Claudio Uras,
Metric-topological approach to shape
representation and recognition,
Image Vision Comput., 14:189&ndash;207, 1996.Alessandro Verri and Claudio Uras,
Computing size functions from edge maps,
Internat. J. Comput. Vision, 23(2):169&ndash;183, 1997.Françoise Dibos, Patrizio Frosini and Denis Pasquignon,
The use of size functions for comparison of shapes through differential invariants,
Journal of Mathematical Imaging and Vision, 21(2):107&ndash;118, 2004.Michele d'Amico, Patrizio Frosini and Claudia Landi, Using matching distance in Size Theory: a survey, International Journal of Imaging Systems and Technology, 16(5):154–161, 2006.Andrea Cerri, Massimo Ferri, Daniela Giorgi: Retrieval of trademark images by means of size functions Graphical Models 68:451&ndash;471, 2006.Silvia Biasotti, Daniela Giorgi, Michela Spagnuolo, Bianca Falcidieno: Size functions for comparing 3D models. Pattern Recognition 41:2855&ndash;2873, 2008.

وهناك امتداد لمفهوم دالة الحجم فيما يتعلق بالطبولوجيا الجبرية مشار إليه في هذا المرجع
,Patrizio Frosini and Michele Mulazzani, Size homotopy groups for computation of natural size distances, Bulletin of the Belgian Mathematical Society &ndash; Simon Stevin, 6:455&ndash;464 1999.
حيث تم تقديم مجموعات هوموتوبيا الحجم، التي ترتبط بالبعد الوهمي الطبيعي بالنسبة لدوال  ذات القيم.
وتم تقديم امتداد لنظرية الهوموتوبيا (مدلل الحجم) في
.Francesca Cagliari, Massimo Ferri and Paola Pozzi, Size functions from a categorical viewpoint, Acta Applicandae Mathematicae, 67(3):225&ndash;235, 2001.
ويرتبط كل من مجموعة هوموتوبيا الحجم ومدلل الحجم بشدة بمفهوم مجموعة التناظر الثابت
،Herbert Edelsbrunner, David Letscher and Afra Zomorodian, Topological Persistence and Simplification, Discrete and Computational Geometry, 28(4):511&ndash;533, 2002.
والتي تتم دراستها في التناظر الثابت. ومن الجدير أن نشير إلى أن دالة الحجم هي رتبة  - لمجموعة التناظر الثابت، في حين أن العلاقة بين مجموعة التناظر الثابت
وبين مجموعة هوموتوبيا الحجم مشابهة لما هو موجود بين مجموعات التناظر ومجموعات الهوموتوبيا.

في نظرية الحجم، ينظر إلى دوال الحجم ومجموعات هوموتوبيا الحجم باعتبارها أدوات لحساب الحدود الدنيا للبعد الوهمي الطبيعي.
في الواقع، توجد رابطة تالية بين القيم المأخوذة من خلال دوال الحجم,  والبعد الوهمي الطبيعي
 بين أزواج الحجم 
,Patrizio Frosini and Claudia Landi, Size Theory as a Topological Tool for Computer Vision, Pattern Recognition And Image Analysis, 9(4):596&ndash;603, 1999.
Pietro Donatini and Patrizio Frosini, Lower bounds for natural pseudodistances via size functions, Archives of Inequalities and Applications, 2(1):1&ndash;12, 2004.



وهناك نتيجة مشابهة لمجموعة هوموتوبيا الحجم.

أدت محاولة تعميم نظرية الحجم ومفهوم البعد الوهمي الطبيعي إلى وجود معايير مختلفة عن المعيار الجزئي الذي يؤدي إلى دراسة المعايير المختلفة الثابتة الأخرى لعملية إعادة وضع المعلمات.Patrizio Frosini, Claudia Landi: Reparametrization invariant norms. Transactions of the American Mathematical Society 361:407&ndash;452, 2009.

 المراجع 

تصنيف:طوبولوجيا
تصنيف:طوبولوجيا جبرية