عدد مرسين الأولي

في الرياضيات، عدد مِرْسين  هو عدد صحيح موجب أصغر من قوة العدد اثنين بواحد:

سميت هذه الأعداد هكذا نسبة لمارين ميرسين وهو راهب فرنسي بدأ دراستها في بداية القرن السابع عشر. بعض التعريفات لأعداد ميرسين تشترط في الأس p أن يكون أوليا، بما أنه إذا كان p عددا مؤلفا فإن العدد  يكون مؤلفا أيضا.
يُتطرق إلى أعداد ميرسن الأولية نظرا لارتباطها بالأعداد المثالية.

من المعلوم أنه إذا كان  عددا أوليا فإن p هو عدد أولي أيضا. أصغر عدد لميرسن مؤلفٍ رغم كون الأس أوليا هو 

بحلول أبريل 2020، اكتشف واحد وخمسون عددا أوليا لميرسين. أكبر عدد أولي معروف (ويساوي ) هو عدد أولي لميرسين. كل أعداد ميرسين الأولية المكتشفة بعد 1997، اكتشفت بفضل مشروع البحث الكبير عن أعداد مرسين الأولية في الإنترنت.

 حول أعداد ميرسين الأولية 
يبقى عدد من المسائل المتعلقة بأعداد ميرسن الأولية غير محلحلا بعد. لا يُعلم هل عدد أعداد ميرسن الأولية منته أم غير منته. حدسية لينسترا-بوميرانس-فاغشتاف تنص على أن هناك عددا غير منته من أعداد ميرسن الأولية كما تتنبأ بوتيرة نُموهن. أيضا، لا يُعلم عدد الحالات حيث يكون الأس أوليا وعدد ميرسن ذاته غير أولي.انظر إلى عدد صوفي جيرمين الأولي.

ليس هناك اختبار بسيط يمكن من الجزم أن عددا ما لميرسين أولي أو غير أولي. هذا يجعل من البحث عن أعداد ميرسن الأولية أمرا صعبا وخصوصا أن أعداد ميرسن تنمو بشكل سريع جدا. اختبار لوكاس-ليهمر لأولية عدد ما هو طريقة فعالة تساعد على اختبار أولية أعداد ميرسن.

عندما يُراد القيام بحسابياتٍ بتردد عدد أولي، تصير أعداد ميرسن الأولية اختيارا رائعا وفعالا خصوصا عند استعمال الحاسوب وتمثيله الثنائي للأعداد. انظر على سبيل المثال إلى مولد ليهمر للأعداد العشوائية.

 التاريخ 

اعتقد عدد من الرياضيين السابقين أن العدد من الصورة  يكون أوليا كلما كان n عددا أوليا، و لكن في 1536 أثبت ريجيوس ( Regius ) أن العدد : 2047 = 23.89 =  ليس أوليا حيث أنه حاصل ضرب 23 و89، و في عام 1603 تحقق كاتالدي أن العددين  و  أوليان ، و استنتج كاتالدي و بشكل خاطئ أن العدد
 يكون أوليا لكل : n = 23,29,31,37 ، حيث أثبت فيرما في 1645 أن كاتالدي كان خاطئا بالنسبة للعددين n = 23,37 ، و أثبت أويلر في 1738 أن كاتالدي كان أيضا خاطئا بالنسبة للعدد n = 29 ، و في وقت لاحق أثبت أويلر أن كاتالدي كان مصيبا بالنسبة للعدد n = 31.

بمجيء الفرنسي مارين ميرسين (1588-1648)، حيث وضع في مقدمة أحد كتبه أن العدد  يكون أوليا عندما : n = 2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257 ، و أنه مركب لكل الأعداد n <257 الصحيحة، و رغم أن هذا التخمين من ميرسين كان خاطئا إلا أن اسمه ظل ملتصقا بهذه الأعداد حيث سميت باسمه.

كان واضحا أنه ليس بإمكان ميرسين التحقق من كل هذه الأعداد (n <257) لصعوبة ذلك في عصر ميرسين. كذلك لم يكن بمقدور معاصريه التحقق من موضوعته، فبقيت كذلك إلى مائة سنة و ذلك عندما تحقق أويلر في 1750 من أن العدد التالي في قائمة ميرسين هو  ، و بعد قرن آخر و في 1876 بين إدوارد لوكاس أن العدد  أولي، و بعد سبع سنوات أثبت عالم الرياضيات الروسي بيرفوشين أن العدد  أولي و هذا لم يذكره ميرسين ، كذلك أثبت باورس في بداية القرن العشرين أن ميرسين أغفل أيضا العددين الأوليين  و  و بنهاية عام 1947 كانت سلسلة ميرسين للأعداد (n<258 ) قد اكتملت بشكلها الصحيح و هي :

(n = 2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127 ) ، أما بالنسبة لبقية أعداد ميرسين فقد تم اكتشافها مع ظهور الحاسب الحالي.

 لائحة أعداد ميرسين الأولية المعروفة 

اللائحة أسفله تحتوي على أعداد ميرسن الأولية المعروفة وعددهن واحد وخمسون :

 #   عدد أرقام   تاريخ الاكتشاف المكتشِف الطريقة المستعملة 1 2 3 1 حوالي 430 قبل الميلاد  علماء الرياضيات اليونانThere is no mentioning among the  ians of prime numbers, and they did not have any concept for prime numbers known today. In the بردية ريند الرياضية (1650 BC) the Egyptian fraction expansions have fairly different forms for primes and composites, so it may be argued that they knew about prime numbers. "The Egyptians used ($) in the table above for the first primes  = 3, 5, 7, or 11 (also for  = 23). Here is another intriguing observation: That the Egyptians stopped the use of ($) at 11 suggests they understood (at least some parts of) Eratosthenes's Sieve 2000 years before Eratosthenes 'discovered' it." The Rhind 2/ Table [Retrieved 2012-11-11].

In the school of  (b. about 570 – d. about 495 BC) and the فيثاغورية, we find the first sure observations of prime numbers. Hence the first two Mersenne primes, 3 and 7, were known to and may even be said to have been discovered by them. There is no reference, though, to their special form 22 − 1 and 23 − 1 as such.

The sources to the knowledge of prime numbers among the Pythagoreans are late. The Neoplatonic philosopher , AD c. 245–c. 325, states that the Greek Platonic philosopher , c. 408 – 339/8 BC, wrote a book named On Pythagorean Numbers. According to Iamblichus this book was based on the works of the Pythagorean , c. 470–c. 385 BC, who lived a century after , 570 – c. 495 BC. In his Theology of Arithmetic in the chapter On the Decad, Iamblichus writes: "Speusippus, the son of Plato's sister Potone, and head of the Academy before Xenocrates, compiled a polished little book from the Pythagorean writings which were particularly valued at any time, and especially from the writings of Philolaus; he entitled the book On Pythagorean Numbers. In the first half of the book, he elegantly expounds linear numbers [that is, prime numbers], polygonal numbers and all sorts of plane numbers, solid numbers and the five figures which are assigned to the elements of the universe, discussing both their individual attributes and their shared features, and their proportionality and reciprocity." Iamblichus The Theology of Arithmetic translated by Robin Waterfiled, 1988, p. 112f. [Retrieved 2012-11-11].

 also gives us a direct quote from ' book where  among other things writes: "Secondly, it is necessary for a perfect number [the concept "perfect number" is not used here in a modern sense] to contain an equal amount of prime and incomposite numbers, and secondary and composite numbers." Iamblichus The Theology of Arithmetic translated by Robin Waterfiled, 1988, p. 113. [Retrieved 2012-11-11]. For the Greek original text, see Speusippus of Athens: A Critical Study with a Collection of the Related Texts and Commentary by Leonardo Tarán, 1981, p. 140 line 21–22 [Retrieved 2012-11-11]

In his comments to  نيقوماخس الجرشي ،  also mentions that ثيماريداس الباروسي, ca. 400 BC – ca. 350 BC, uses the term rectilinear for prime numbers, and that , fl. AD 100, uses euthymetric and linear as alternative terms. Nicomachus of Gerasa, Introduction to Arithmetic, 1926, p. 127 [Retrieved 2012-11-11] It is unclear though when this said Thymaridas lived. "In a highly suspect passage in Iamblichus, Thymaridas is listed as a pupil of Pythagoras himself."  Pythagoreanism [Retrieved 2012-11-11]

Before , c. 470–c. 385 BC, we have no proof of any knowledge of prime numbers.  2 3 7 1 حوالي 430 قبل الميلاد علماء الرياضيات اليونان 3 5 31 2 حوالي 300 قبل الميلاد علماء الرياضيات اليونان 4 7 127 3 حوالي 300 قبل الميلاد علماء الرياضيات اليونان 5 13 8191 4 1456 غير معروفThe Prime Pages, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists. We find the oldest (undisputed) note of the result in Codex nr. 14908, which origins from Bibliotheca monasterii ord. S. Benedicti ad S. Emmeramum Ratisbonensis now in the archive of the Bayerische Staatsbibliothek, see "Halm, Karl / Laubmann, Georg von / Meyer, Wilhelm: Catalogus codicum latinorum Bibliothecae Regiae Monacensis, Bd.: 2,2, Monachii, 1876, p. 250". [retrieved on 2012-09-17] The Codex nr. 14908 consists of 10 different medieval works on mathematics and related subjects. The authors of most of these writings are known. Some authors consider the monk Fridericus Gerhart (Amman), 1400–1465 (Frater Fridericus Gerhart monachus ordinis sancti Benedicti astrologus professus in monasterio sancti Emmerani diocesis Ratisponensis et in ciuitate eiusdem) to be the author of the part where the prime number 8191 is mentioned. Geschichte Der Mathematik [retrieved on 2012-09-17] The second manuscript of Codex nr. 14908 has the name "Regulae et exempla arithmetica, algebraica, geometrica" and the 5th perfect number and all is factors, including 8191, are mentioned on folio no. 34 a tergo (backside of p. 34). Parts of the manuscript have been published in Archiv der Mathematik und Physik, 13 (1895), pp. 388–406 [retrieved on 2012-09-23]  القسمة المتكررة 6 17 131071 6 1588"A i lettori. Nel trattato de' numeri perfetti, che giàfino dell anno 1588 composi, oltrache se era passato auáti à trouarne molti auertite molte cose, se era anco amplamente dilatatala Tauola de' numeri composti , di ciascuno de' quali si vedeano per ordine li componenti, onde preposto unnum." p. 1 in Trattato de' nvumeri perfetti Di Pietro Antonio Cataldo 1603. http://fermi.imss.fi.it/rd/bdv?/bdviewer@selid=1373775#  بييترو كاتالدي القسمة المتكررةpp. 13–18 in Trattato de' nvumeri perfetti Di Pietro Antonio Cataldo 1603. http://fermi.imss.fi.it/rd/bdv?/bdviewer@selid=1373775# 7 19 524287 6 1588 بييترو كاتالدي القسمة المتكررةpp. 18–22 in Trattato de' nvumeri perfetti Di Pietro Antonio Cataldo 1603. http://fermi.imss.fi.it/rd/bdv?/bdviewer@selid=1373775# 8 31 2147483647 10 1772 ليونهارت أويلرhttps://bibliothek.bbaw.de/bbaw/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/anzeige/index_html?band=03-nouv/1772&seite:int=36  Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres 1772, pp. 35–36 EULER, Leonhard: Extrait d'une lettre à M. Bernoulli, concernant le Mémoire imprimé parmi ceux de 1771. p. 318 [intitulé: Recherches sur les diviseurs de quelques nombres très grands compris dans la somme de la progression géométrique 1 + 101 + 102 + 103 + ... + 10T = S]. Retrieved 2011-10-02. http://primes.utm.edu/notes/by_year.html#31 The date and year of discovery is unsure. Dates between 1752 and 1772 are possible.  القسمة المتكررة with modular restrictions 9 61 2305843009213693951 19 1883 نوفمبر“En نوفمبر de l’année 1883, dans la correspondance de notre Académie se trouve une communication qui contient l’assertion que le nombre

est un nombre premier. /…/ Le tome XLVIII des Mémoires Russes de l’Académie /…/ contient le compte-rendu de la séance du 20 décembre 1883, dans lequel l’objet de la communication du père Pervouchine est indiqué avec précision.” Bulletin de l'Académie Impériale des Sciences de St.-Pétersbourg, s. 3, v. 31, 1887, cols. 532–533. https://www.biodiversitylibrary.org/item/107789#page/277/mode/1up [retrieved 2012-09-17]

See also Mélanges mathématiques et astronomiques tirés du Bulletin de l’Académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg v. 6 (1881–1888), pp. 553–554.

See also Mémoires de l'Académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg: Sciences mathématiques, physiques et naturelles, vol. 48
  ايفان ميخيفيتش بيرفوشين متتاليات لوكاس 10 89 618970019642...137449562111 27 1911 يونيو رالف ارنشت باورز متتاليات لوكاس 11 107 162259276829...578010288127 33 1914 يونيو 1"M. E. Fauquenbergue a trouvé ses résultats depuis Février, et j’en ai reçu communication le 7 Juin; M. Powers a envoyé le 1er Juin un cablógramme à  [secretary of London Mathematical Society] pour . Sur ma demande, ces deux auteurs m’ont adressé leurs remarquables résultats, et je m’empresse de les publier dans nos colonnes, avec nos felicitations." p. 103, André Gérardin, Nombres de Mersenne pp. 85, 103–108 in Sphinx-Œdipe. [Journal mensuel de la curiosité, de concours & de mathématiques.] v. 9, No. 1, 1914."Power's cable announcing this same result was sent to the London Math. So. on 1 يونيو 1914." Mersenne's Numbers, Scripta Mathematica, v. 3, 1935, pp. 112–119 http://primes.utm.edu/mersenne/LukeMirror/lit/lit_008s.htm [retrieved 2012-10-13] http://plms.oxfordjournals.org/content/s2-13/1/1.1.full.pdf Proceedings / London Mathematical Society (1914) s2–13 (1): 1. Result presented at a meeting with London Mathematical Society on يونيو 11, 1914. Retrieved 2011-10-02.  رالف ارنشت باورزThe Prime Pages, : Fauquembergue or Powers?.  متتاليات لوكاس 12 127 170141183460...715884105727 39 1876 يناير 10http://visualiseur.bnf.fr/CadresFenetre?O=NUMM-3039&I=166&M=chemindefer Presented at a meeting with Académie des sciences (France) on يناير 10, 1876. Retrieved 2011-10-02.  إدوارد لوكاس متتاليات لوكاس 13 521 686479766013...291115057151 157 1952 يناير 30"Using the standard Lucas test for Mersenne primes as programmed by R. M. Robinson, the SWAC has discovered the primes 2521 − 1 and 2607 − 1 on يناير 30, 1952." D. H. Lehmer, Recent Discoveries of Large Primes, Mathematics of Computation, vol. 6, No. 37 (1952), p. 61, http://www.ams.org/journals/mcom/1952-06-037/S0025-5718-52-99404-0/S0025-5718-52-99404-0.pdf [Retrieved 2012-09-18]  رافائيل إم. روبنسون LLT / SWAC 14 607 531137992816...219031728127 183 1952 يناير 30 رافائيل إم. روبنسون LLT / SWAC 15 1,279 104079321946...703168729087 386 1952 يونيو 25"The program described in Note 131 (c) has produced the 15th Mersenne prime 21279 − 1 on يونيو 25. The SWAC tests this number in 13 minutes and 25 seconds." D. H. Lehmer, A New Mersenne Prime, Mathematics of Computation, vol. 6, No. 39 (1952), p. 205, http://www.ams.org/journals/mcom/1952-06-039/S0025-5718-52-99387-3/S0025-5718-52-99387-3.pdf [Retrieved 2012-09-18]  رافائيل إم. روبنسون LLT / SWAC 16 2,203 147597991521...686697771007 664 1952 أكتوبر 7"Two more Mersenne primes, 22203 − 1 and 22281 − 1, were discovered by the SWAC on أكتوبر 7 and 9, 1952." D. H. Lehmer, Two New Mersenne Primes, Mathematics of Computation, vol. 7, No. 41 (1952), p. 72, http://www.ams.org/journals/mcom/1953-07-041/S0025-5718-53-99371-5/S0025-5718-53-99371-5.pdf [Retrieved 2012-09-18]  رافائيل إم. روبنسون LLT / SWAC 17 2,281 446087557183...418132836351 687 1952 أكتوبر 9 رافائيل إم. روبنسون LLT / SWAC 18 3,217 259117086013...362909315071 969 1957 September 8"On September 8, 1957, the Swedish electronic computer BESK established that the Mersenne number  is a prime." Hans Riesel, A New Mersenne Prime, Mathematics of Computation, vol. 12 (1958), p. 60, http://www.ams.org/journals/mcom/1958-12-061/S0025-5718-1958-0099752-6/S0025-5718-1958-0099752-6.pdf [Retrieved 2012-09-18]  Hans Riesel LLT / BESK 19 4,253 190797007524...815350484991 1,281 1961 نوفمبر 3A. Hurwitz and J. L. Selfridge, Fermat numbers and perfect numbers, Notices of the American Mathematical Society, v. 8, 1961, p. 601, abstract 587-104."If  is prime,  is called a Mersenne number. The primes  and  were discovered by coding the Lucas-Lehmer test for the IBM 7090." Alexander Hurwitz, New Mersenne Primes, Mathematics of Computation, vol. 16, No. 78 (1962), pp. 249–251, http://www.ams.org/journals/mcom/1962-16-078/S0025-5718-1962-0146162-X/S0025-5718-1962-0146162-X.pdf [Retrieved 2012-09-18]  Alexander Hurwitz LLT / IBM 7090 20 4,423 285542542228...902608580607 1,332 1961 نوفمبر 3 Alexander Hurwitz LLT / IBM 7090 21 9,689 478220278805...826225754111 2,917 1963 ماي 11"The primes , , and  which are now the largest known primes, were discovered by Illiac II at the Digital Computer Laboratory of the University of Illinois." Donald B. Gillies, Three New Mersenne Primes and a Statistical Theory, Mathematics of Computation, vol. 18, No. 85 (1964), pp. 93–97, http://www.ams.org/journals/mcom/1964-18-085/S0025-5718-1964-0159774-6/S0025-5718-1964-0159774-6.pdf [Retrieved 2012-09-18]  دونالد بي. غيليز LLT / ILLIAC II 22 9,941 346088282490...883789463551 2,993 1963 ماي 16 Donald B. Gillies LLT / ILLIAC II 23 11,213 281411201369...087696392191 3,376 1963 يونيو 2 Donald B. Gillies LLT / ILLIAC II 24 19,937 431542479738...030968041471 6,002 1971 March 4"On the evening of March 4, 1971, a zero Lucas-Lehmer residue for  was found. Hence,  is the 24th Mersenne prime." Bryant Tuckerman, The 24th Mersenne Prime, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, vol. 68:10 (1971), pp. 2319–2320, http://www.pnas.org/content/68/10/2319.full.pdf [Retrieved 2012-09-18]  Bryant Tuckerman LLT / IBM 360/91 25 21,701 448679166119...353511882751 6,533 1978 أكتوبر 30"On أكتوبر 30, 1978 at 9:40 pm, we found  to be prime. The CPU time required for this test was 7:40:20. Tuckerman and Lehmer later provided confirmation of this result." Curt Noll and Laura Nickel, The 25th and 26th Mersenne Primes, Mathematics of Computation, vol. 35, No. 152 (1980), pp. 1387–1390, http://www.ams.org/journals/mcom/1980-35-152/S0025-5718-1980-0583517-4/S0025-5718-1980-0583517-4.pdf [Retrieved 2012-09-18]  Landon Curt Noll & Laura Nickel LLT / CDC Cyber 174 26 23,209 402874115778...523779264511 6,987 1979 فبراير 9"Of the 125 remaining  only  was found to be prime. The test was completed on February 9, 1979 at 4:06 after 8:39:37 of CPU time. Lehmer and McGrogan later confirmed the result." Curt Noll and Laura Nickel, The 25th and 26th Mersenne Primes, Mathematics of Computation, vol. 35, No. 152 (1980), pp. 1387–1390, http://www.ams.org/journals/mcom/1980-35-152/S0025-5718-1980-0583517-4/S0025-5718-1980-0583517-4.pdf [Retrieved 2012-09-18]  Landon Curt Noll LLT / CDC Cyber 174 27 44,497 854509824303...961011228671 13,395 1979 April 8David Slowinski, "Searching for the 27th Mersenne Prime", Journal of Recreational Mathematics, v. 11(4), 1978–79, pp. 258–261, MR 80g #10013"The 27th Mersenne prime. It has 13395 digits and equals 244497 – 1. [...] Its primeness was determined on April 8, 1979 using the Lucas–Lehmer test. The test was programmed on a CRAY-1 computer by David Slowinski & Harry Nelson." (p. 15) "The result was that after applying the Lucas–Lehmer test to about a thousand numbers, the code determined, on Sunday, April 8th, that 244497 − 1 is, in fact, the 27th Mersenne prime." (p. 17), David Slowinski, "Searching for the 27th Mersenne Prime",  Cray Channels, vol. 4, no. 1, (1982), pp. 15–17. Harry L. Nelson & David Slowinski LLT / كراي-1 28 86,243 536927995502...709433438207 25,962 1982 September 25 David Slowinski LLT / Cray 1 29 110,503 521928313341...083465515007 33,265 1988 يناير 29"An FFT containing 8192 complex elements, which was the minimum size required to test M110503, ran approximately 11 minutes on the SX-2. The discovery of  (يناير 29, 1988) has been confirmed." W. N. Colquitt and L. Welsh, Jr., A New Mersenne Prime, Mathematics of Computation, vol. 56, No. 194 (April 1991), pp. 867–870, http://www.ams.org/journals/mcom/1991-56-194/S0025-5718-1991-1068823-9/S0025-5718-1991-1068823-9.pdf [Retrieved 2012-09-18] "This week, two computer experts found the 31st Mersenne prime. But to their surprise, the newly discovered prime number falls between two previously known Mersenne primes. It occurs when , making it the third-largest Mersenne prime known." I. Peterson, Priming for a lucky strike Science News; 2/6/88, Vol. 133 Issue 6, pp. 85–85. http://ehis.ebscohost.com/ehost/detail?vid=3&hid=23&sid=9a9d7493-ffed-410b-9b59-b86c63a93bc4%40sessionmgr10&bdata=JnNpdGU9ZWhvc3QtbGl2ZQ%3d%3d#db=afh&AN=8824187 [Retrieved 2012-09-18]  Walter Colquitt & Luke Welsh LLT /  30 132,049 512740276269...455730061311 39,751 1983 September 19"Slowinski, a software engineer for Cray Research Inc. in Chippewa Falls, discovered the number at 11:36 a.m. Monday. [that is, 1983 September 19]" Jim Higgins, "Elusive numeral's number is up" and "Scientist finds big number" in The Milwaukee Sentinel – Sep 24, 1983, p. 1,  p. 11 [retrieved 2012-10-23]   David Slowinski LLT / Cray X-MP 31 216,091 746093103064...103815528447 65,050 1985 September 1"The number is the 30th known example of a Mersenne prime, a number divisible only by 1 and itself and written in the form , where the exponent  is also a prime number. For instance, 127 is a Mersenne number for which the exponent is 7. The record prime number's exponent is 216,091." I. Peterson, Prime time for supercomputers Science News; 9/28/85, Vol. 128 Issue 13, p. 199. http://ehis.ebscohost.com/ehost/detail?vid=4&hid=22&sid=c11090a2-4670-469f-8f75-947b593a56a0%40sessionmgr10&bdata=JnNpdGU9ZWhvc3QtbGl2ZQ%3d%3d#db=afh&AN=8840537 [Retrieved 2012-09-18] "Slowinski's program also found the 28th in 1982, the 29th in 1983, and the 30th [known at that time] this past Labor Day weekend. [that is, August 31-September 1, 1985]" Rad Sallee, "`Supercomputer'/Chevron calculating device finds a bigger prime number" Houston Chronicle, Friday 09/20/1985, Section 1, Page 26, 4 Star Edition [retrieved 2012-10-23]   David Slowinski LLT / Cray X-MP/24 32 756,839 174135906820...328544677887 227,832 1992 February 17 David Slowinski & عدد ميرسين الأولي LLT / Harwell Lab's Cray-2The Prime Pages, The finding of the 32nd Mersenne.  33 859,433 129498125604...243500142591 258,716 1994 يناير 4Chris Caldwell, The Largest Known Primes. Crays press release  David Slowinski & Paul Gage LLT / Cray C90 34 1,257,787 412245773621...976089366527 378,632 1996 September 3Silicon Graphics' press release https://web.archive.org/web/19970606011821/http://www.sgi.com/Headlines/1996/September/prime.html [Retrieved 2012-09-20]  David Slowinski & Paul GageThe Prime Pages, A Prime of Record Size! 21257787 – 1.  LLT /  35 1,398,269 814717564412...868451315711 420,921 1996 نوفمبر 13 GIMPS / Joel ArmengaudGIMPS Discovers 35th Mersenne Prime.  LLT / Prime95 on 90 MHz بنتيوم 36 2,976,221 623340076248...743729201151 895,932 1997 August 24 GIMPS / Gordon SpenceGIMPS Discovers 36th Known Mersenne Prime.  LLT / Prime95 on 100 MHz Pentium 37 3,021,377 127411683030...973024694271 909,526 1998 يناير 27 GIMPS / Roland ClarksonGIMPS Discovers 37th Known Mersenne Prime.  LLT / Prime95 on 200 MHz Pentium 38 6,972,593 437075744127...142924193791 2,098,960 1999 يونيو 1 GIMPS / Nayan HajratwalaGIMPS Finds First Million-Digit Prime, Stakes Claim to $50,000 EFF Award.  LLT / Prime95 on 350 MHz بنتيوم II آي بي إم أبتيفيا 39 13,466,917 924947738006...470256259071 4,053,946 2001 نوفمبر 14 GIMPS / Michael CameronGIMPS, Researchers Discover Largest Multi-Million-Digit Prime Using Entropia Distributed Computing Grid.  LLT / Prime95 on 800 MHz  40 20,996,011 125976895450...762855682047 6,320,430 2003 نوفمبر 17 GIMPS / Michael ShaferGIMPS, Mersenne Project Discovers Largest Known Prime Number on World-Wide Volunteer Computer Grid.  LLT / Prime95 on 2 GHz Dell Dimension 41 24,036,583 299410429404...882733969407 7,235,733 2004 ماي 15 GIMPS / Josh FindleyGIMPS, Mersenne.org Project Discovers New Largest Known Prime Number, 224,036,583 – 1.  LLT / Prime95 on 2.4 GHz بنتيوم 4 42 25,964,951 122164630061...280577077247 7,816,230 2005 February 18 GIMPS / Martin NowakGIMPS, Mersenne.org Project Discovers New Largest Known Prime Number, 225,964,951 – 1.  LLT / Prime95 on 2.4 GHz Pentium 4 43 30,402,457 315416475618...411652943871 9,152,052 2005 دسمبر 15 GIMPS /  & Steven BooneGIMPS, Mersenne.org Project Discovers New Largest Known Prime Number, 230,402,457 – 1.  LLT / Prime95 on 2 GHz Pentium 4 44 32,582,657 124575026015...154053967871 9,808,358 2006 September 4 GIMPS / Curtis Cooper & Steven BooneGIMPS, Mersenne.org Project Discovers Largest Known Prime Number, 232,582,657 – 1.  LLT / Prime95 on 3 GHz Pentium 4 45 37,156,667 202254406890...022308220927 11,185,272 2008 September 6 GIMPS / Hans-Michael ElvenichTitanic Primes Raced to Win $100,000 Research Award. Retrieved on 2008-09-16.  LLT / Prime95 on 2.83 GHz نواة إنتل 46 42,643,801 169873516452...765562314751 12,837,064 2009 يونيو 4Although  was first reported by a machine on April 12, 2009, no human took notice of this fact until يونيو 4, 2009. GIMPS / Odd M. Strindmo"On April 12th [2009], the 47th known Mersenne prime, 242,643,801 – 1, a 12,837,064 digit number was found by Odd Magnar Strindmo from Melhus, Norway! This prime is the second largest known prime number, a "mere" 141,125 digits smaller than the Mersenne prime found last August.", The List of Largest Known Primes Home Page, http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=88847 [retrieved 2012-09-18] Strindmo also uses the alias Stig M. Valstad. LLT / Prime95 on 3 GHz Core 2 47 43,112,609 316470269330...166697152511 12,978,189 2008 August 23 GIMPS / Edson Smith LLT / Prime95 on Dell Optiplex 745 48It is not verified whether any undiscovered Mersenne primes exist between the 47th () and the 51st () on this chart; the ranking is therefore provisional. 57,885,161 581887266232...071724285951 17,425,170 2013 يناير 25 GIMPS / Curtis Cooper LLT / Prime95 on 3 GHz Intel Core2 Duo E8400 49 74,207,281 300376418084...391086436351 22,338,618 2016 يناير 7Although  was first reported by a machine on September 17, 2015, no human took notice of this fact until يناير 7, 2016. GIMPS / Curtis Cooper LLT / Prime95 on Intel Core i7-4790 50 77,232,917 467333183359...069762179071 23,249,425 2017 دسمبر 26 GIMPS / Jon Pace LLT / Prime95 on 3.3 GHz Intel Core i5-6600 51 82,589,933 148894445742...325217902591 24,862,048 2018 ديسمبر 7 GIMPS / Patrick Laroche LLT / Prime95 on Intel Core i5-4590T

All Mersenne numbers below the 51st Mersenne prime () have been tested at least once but some have not been double-checked. Primes are not always discovered in increasing order. For example, the 29th Mersenne prime was discovered after the 30th and the 31st. Similarly,  was followed by two smaller Mersenne primes, first 2 weeks later and then 9 months later.GIMPS Milestones Report. Retrieved 2019-05-17   was the first discovered prime number with more than 10 million decimal digits.

أكبر عدد أولي لميرسن معروفٍ  هو أيضا أكبر عدد أولي معروف.

منذ 1952، كانت أعداد ميرسن الأولية هن أكبر عدد أولي معروف، باستثناء بين عام 1989 و 1992.Caldwell, "The Largest Known Prime by Year: A Brief History" from the  website, . 

 الأعداد المثالية 
تكمن أهمية أعداد ميرسين الأولية في ارتباطها بالأعداد المثالية. في القرن الرابع قبل الميلاد، برهن اقليدس على أنه إذا كان Mp عددا أوليا لميرسن، فإن

هو عدد مثالي زوجي. في القرن العاشر، يبدو أن ابن الهيثم كان أول من حاول تصنيف الأعداد المثالية الزوجية على شكل ( حيث  هو عدد أولي.
في القرن الثامن عشر، برهن ليونهارد أويلر على عكس هذه المبرهنة والذي ينص على أن كل عدد مثالي زوجي له هذا الشكل.

 أعداد ميرسين في الطبيعة وغيرها 

في معضلة برج هانوي الرياضية: حلحلة المعضلة حيث عدد الأقراص هو p تتطلب على الأقل Mp خطوة.

 انظر أيضًا 
 قائمة أعداد مرسين
 عدد فيرما
 أكبر عدد أولي معروف
 حدسيات مرسين
 عدد مرسين المزدوج

 مراجع 

تصنيف:أعداد مرسين الأولية
تصنيف:أصناف الأعداد الأولية
تصنيف:البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت
تصنيف:سلاسل عددية
تصنيف:مسائل غير محلولة في الرياضيات
تصنيف:مقالات تحوي براهين