قائمة أعداد مرسين الأولية والأعداد التامة

أعداد مِرْسين الأولية  والأعداد التامة  هما نوعان من الأعداد الطبيعية مرتبطان أحدهما بالآخر، وهما موضوع دراسة في مجال نظريَّة الأعداد. أعداد مرسين الأولية، التي سُمِّيت باسم الراهب مارين مرسين، هي أعداد أولية يمكن كتابتها بالصيغة: ، وفيها  هو عدد صحيح موجب. العدد  على سبيل المثال، هو من أعداد مرسين الأولية، لأنَّهُ عدد أولي يمكن كتابته بصيغة: . أما الأعداد التامة، فهي أعداد صحيحة موجبة يساوي كل منها مجموع قواسمه الموجبة ما خلا العدد نفسه. العدد  على سبيل المثال، عددٌ تام لأنَّ قواسمه الموجبة هي  و و، ومجموعها: .

لكي يكون عدد مرسين أوليًا، يلزم أن يكون  في الصيغة:  أوليًا. لكن هذا لا يعني أن كل عدد أولي  سينتج عدد مرسين أولي. على سبيل المثال، من أجل  تساوي ، وهو عدد أولي، يكون ناتج ، وهو ليس عددًا أوليًا، ولا من أعداد مرسين لأنَّهُ حاصل ضرب . بعبارةٍ أخرى، كُل عدد مرسين أولي هو عدد أولي، ولكن ليس كُل عدد أولي هو عدد مرسين أولي.

تربط دالة تقابل أعداد مرسين الأولية بالأعداد التامة. تُكتَب الأعداد التامة بالصيغة:

وفيها  هو عدد أولي، و هو عدد مرسين أولي. لذا، يولِّد كلُّ عددٍ مكتشف من أعداد مرسين الأولية عددًا تامًا زوجيًا جديدًا مقابل له. مع ذلك، لا يزال من غير المعروف ما إذا كان يوجد أعداد تامة فرديَّة. ويعود ذلك التقابل إلى مبرهنة إقليدس وأويلر، التي وضع أساسها إقليدس وأكمل برهانها ليونهارت أويلر، وتنصُّ المبرهنة على أن العدد التام يكون زوجيًا، إذا وفقط إذا، أمكن التعبير عنه بالصيغة المذكورة سابقًا. بتعبيرٍ آخر، كلُّ عددٍ يمكن صياغته بهذه الطريقة هو عدد تام، وتتبع الأعداد التامة الزوجية كلها هذه الصيغة. على سبيل المثال، عندما تكون ، فإنَّ الناتج من الصيغة:  وهو عدد مرسين أولي، وعند ضربه في ، يكون الناتج  هو عدد تام.

مسألة وجود أعداد لا نهائيَّة من أعداد مرسين الأولية والأعداد التامة الزوجيَّة من التحدِّيات التي لم تُحل بعد في علم الرياضيَّات. ويمكن تقريبًا تقدير عدد مرَّات تكرار أعداد مرسين الأولية باستعمال بعض حدسيات مرسين، وهي فرضيات رياضيَّة تتعلَّق بتوزيع وخصائص أعداد ميرسين، وتنصُّ إحدى هذه الحدسيات على أن العدد المتوقع من أعداد مرسين تحت قيمة معينة  يمكن تقديره بالصيغة:


وفيها  هو عدد أويلر، و هو ثابت أويلر، و هو اللوغارتم الطبيعي. بالرغم من عدم إثبات وجود أعداد تامة فرديَّة، فقد أثبتت عدَّة شروطٍ لوجودها، منها أنَّهُ إذا وُجد عدد تام فردي، فيجب أن يكون أكبر من . هذه النتيجة تعني أن أي عدد تام فردي يجب أن يكون هائل الحجم، لكن حتَّى العام 2012، لم يُعثَر على أيِّ عددٍ تام فردي.

 قائمة الأعداد 
يذكر الجدول قائمة أعداد مرسين الأولية والأعداد التامة المعروفة حاليًا، مع توضيح الأسس  المقابلة لكل عدد. حتَّى عام 2026م، اكتشاف 52 عددًا أوليًا من أعداد مرسين (وبالتالي 52 عددًا تامًا)، واكتشاف أكبر 18 عددًا منها من خلال مشروع الحوسبة الموزعة المعروف باسم البحث الكبير عن أعداد مرسين على الإنترنت  اختصارًا (GIMPS). تُكتشف أعداد مرسين الأولية الجديدة باختبار لوكاس ليهمر لأولية عدد ما  اختصارًا (LLT)، وهو اختبار يستخدم لتحديد ما إذا كان عدد مرسين معيَّن أوليًا أم لا، ويتميَّز بالكفاءة عند استخدامه في الحواسيب التي تعتمد على نظام العد الثنائي.

احتمال اكتشاف أعداد أصغر من تلك المكتشفة حاليًا ضئيل، إلاَّ أنَّ حدوث ذلك قد يؤدِّي إلى تغيير ترتيب الأعداد المعروف. وفقًا لمشروع «البحث الكبير»، فحصت جميع أعداد ميرسين التي يقل الأس فيها عن  (وهو الأس المرتبط بالعدد 50 في الترتيب) حتى سبتمبر 2025، ممَّا يجعل من غير المحتمل اكتشاف عدد جديد بأس أصغر من ذلك.

يُذكَر بالجدول اسم مكتشف العدد وتاريخ الاكتشاف لكل عدد مرسين، نظرًا لأنَّ الأعداد التامة الزوجيَّة تُولَّد مباشرة من أعداد مرسين بعد اكتشافها وفقًا لمبرهنة إقليدس وأويلر، فلا تُذكر معلومات منفصلة لمكتشف العدد التام. عندما يشار إلى المكتشف بالاسم الرمزي: «GIMPS / الاسم»، فهذا يعني أنَّ الاكتشاف حدث عبر مشروع «البحث الكبير»، باستخدام عتاد حاسوب مملوكة له. بالنسبة للأرقام الكبيرة جدًّا، يعرض أوَّل أرقامٍ منها فقط وآخر ستَّة.
+ جدول يحتوي على جميع أعداد مرسين الأولية المعروفة حاليًا والأعداد التامة المقابلة لها وعددهم 52 الترتيب  عدد مرسين العدد التام تاريخ الاكتشاف المكتشف طريقة الاكتشاف المراجع القيمة  عدد الأرقام  القيمة  عدد الأرقام 1 2 3 1 6 1 عصور قديمة معروف لدى علماء الرياضيات اليونانيِّين القدماء غير مسجَّلة 2 3 7 1  28 2 3 5 31 2 496 3 4 7  127 3 8128 4 5 13 8191 4 33550336 8  القرن الثالث عشر الميلادي / قرابة 1456م ابن فلُّوس / شخص مجهول القسمة المتكررة 6 17 131071 6 8589869056 10 م بييترو كاتالدي 7 19 524287 6 137438691328 12 8 31 2147483647 10 952128...230584 19 م ليونهارت أويلر القسمة المتكررة مع قيود معيارية 9 61 693951...230584 19 842176...265845 37  إيفان ميخيفيتش بيرفوشين متتالية لوكاس 10 89 562111...618970 27 169216...191561 54  رالف إرنست باورز 11 107 288127...162259 33 728128...131640 65  12 127 105727...170141 39 152128...144740 77  إدوارد لوكا 13 521 057151...686479 157 646976...235627 314  رافائيل إم. روبنسون اختبار لوكاس ليهمر (LLT) على حاسوب (SWAC) 14 607 728127...531137 183 328128...141053 366 15 1,279 729087...104079 386 291328...541625 770  16 2,203 771007...147597 664 782528...108925 1,327  17 2,281 836351...446087 687 915776...994970 1,373  18 3,217 315071...259117 969 525056...335708 1,937  هانز ريزل اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (BESK) 19 4,253 484991...190797 1,281 377536...182017 2,561  ألكسندر هورويتز اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (IBM 7090) 20 4,423 580607...285542 1,332 534528...407672 2,663 21 9,689 754111...478220 2,917 577216...114347 5,834  دونالد بي. غيليز اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (ILLIAC II) 22 9,941 463551...346088 2,993 496576...598885 5,985  23 11,213 392191...281411 3,376 086336...395961 6,751  24 19,937 041471...431542 6,002 942656...931144 12,003  بريانت توكيرمان اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (IBM 360/91) 25 21,701 882751...448679 6,533 605376...100656 13,066  لاندون كيرت نول ولورا نيكل اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (CDC Cyber 174) 26 23,209 264511...402874 6,987 666816...811537 13,973  لاندون كيرت نول 27 44,497 228671...854509 13,395 827456...365093 26,790  هاري إل نيلسون وديفيد سلوينسكي اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (كراي-1) 28 86,243 438207...536927 25,962 406528...144145 51,924  ديفيد سلوينسكي 29 110,503 515007...521928 33,265 862528...136204 66,530  والتر كولكيت ولوك ويلش اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (NEC SX-2) 30 132,049 061311...512740 39,751 550016...131451 79,502  ديفيد سلوينسكي وآخرون. باستخدام أجهزة من شركة كراي اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (Cray X-MP) 31 216,091 528447...746093 65,050 880128...278327 130,100  اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (Cray X-MP/24) 32 756,839 677887...174135 227,832 731328...151616 455,663  اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (Cray-2) الخاص بمختبر هارويل 33 859,433 142591...129498 258,716 167936...838488 517,430  اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (Cray C90) 34 1,257,787 366527...412245 378,632 704128...849732 757,263  اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (Cray T94) 35 1,398,269 315711...814717 420,921 375616...331882 841,842  GIMPS / جويل ارمنغود اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بنتيوم 90 MHz 36 2,976,221 201151...623340 895,932 462976...194276 1,791,864  GIMPS / جوردون سبنس اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بنتيوم 100 MHz 37 3,021,377 694271...127411 909,526 457856...811686 1,819,050  GIMPS / رولاند كلاركسون اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بنتيوم 200 MHz 38 6,972,593 193791...437075 2,098,960 572736...955176 4,197,919  GIMPS / نيان هاجراتوالا اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب آي بي إم أبتيفيا بمعالج بنتيوم 2 350 MHz 39 13,466,917 259071...924947 4,053,946 021056...427764 8,107,892  GIMPS / مايكل كاميرون اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج Athlon T-Bird 800 MHz 40 20,996,011 682047...125976 6,320,430 896128...793508 12,640,858  GIMPS / مايكل شيفر اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب Dell Dimension بمعالج بنتيوم 4 2 GHz 41 24,036,583 969407...299410 7,235,733 950528...448233 14,471,465  GIMPS / جوش فيندلي اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج بنتيوم 4 2.4 GHz 42 25,964,951 077247...122164 7,816,230 088128...746209 15,632,458  GIMPS / مارتن نواك 43 30,402,457 943871...315416 9,152,052 704256...497437 18,304,103  GIMPS / كيرتس كوبر وستيفن بون اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب في جامعة ميزوري الوسطى  44 32,582,657 967871...124575 9,808,358 120256...775946 19,616,714  45 37,156,667 220927...202254 11,185,272 480128...204534 22,370,543  GIMPS / هانز مايكل إلفينيتش اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب  46 42,643,801 314751...169873 12,837,064 253376...144285 25,674,127  GIMPS / أود ماجنار ستريندمو اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج إنتل كور 2 3 GHz 47 43,112,609 152511...316470 12,978,189 378816...500767 25,956,377  GIMPS / إدسون سميث اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب Dell OptiPlex بمعالج إنتل كور 2 ديو E6600 48 57,885,161 285951...581887 17,425,170 130176...169296 34,850,340  GIMPS / كورتيس كوبر اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب في جامعة ميزوري الوسطى 49 74,207,281 436351...300376 22,338,618 315776...451129 44,677,235  GIMPS / كورتيس كوبر اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج إنتل كور i7-4790 50 77,232,917 179071...467333 23,249,425 301056...109200 46,498,850  GIMPS / جوناثان بيس اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج إنتل كور i5-6600 * 79,730,971 أدنى نقطة لم يتحقَّق منها 51 82,589,933 902591...148894 24,862,048 207936...110847 49,724,095  GIMPS / باتريك لاروش اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج إنتل كور i5-4590T 52 136,279,841 871551...881694 41,024,320 008576...388692 82,048,640  GIMPS / لوك ديورانت اختبار لوكاس ليهمر / برنامج PRPLL على حاسوب بمعالج رسومي Nvidia H100  * 139,011,709 أدنى نقطة لم تُختبَر

 أنظر أيضًا 
 جدول القواسم

 الملاحظات 

 المراجع 
 فهرس المراجع 
منشورات
بالعربية

بالإنجليزية

بالفرنسية

الوب
بالعربية

بالإنجليزية

بالفرنسية

 معلومات المراجع 
المقالات المحكمة
بالإنجليزية






















بالفرنسية




الكتب
بالعربية







بالإنجليزية





 وصلات خارجية 
 القائمة على موقع البحث الكبير عن أعداد مرسين الأولية في الإنترنت، بالقيم الكاملة للأعداد الكبيرة  
 تقرير فنِّي عن تاريخ أعداد مرسين، بقلم جاي هاوورث  
 البحث عن الأعداد الأولية.. من يبحث؟ ولماذا؟
 ما هو أكبر عدد أولي؟
 العدد الوحش: أكبر عدد أولي مكتشف حتى الآن!

تصنيف:جداول رياضيات
تصنيف:قوائم رياضية
تصنيف:قوائم متعلقة بالرياضيات
تصنيف:أعداد مرسين الأولية