متعدد وجوه

في الهندسة، متعدد الوجوه هو هيئة ثلاثية الأبعاد ذات وجوه مضلعة مسطحة وحروف مستقيمة وزوايا أو رؤوس مدببة. قد يشير مصطلح "متعدد الوجوه" إما إلى هيئة مجسّمة أو إلى سطحه المحيط. يشيع استخدام مصطلحي متعدد الوجوه المجسّم وسطح متعدد الوجوه للتمييز بين المفهومين. أيضًا، غالبًا ما يُستخدم مصطلح "متعدد الوجوه" للإشارة ضمنًا إلى البنية الكاملة التي يتكوَّن منها متعدد الوجوه المجسّم، وسطحه، ووجوهه، وحروفه، ورؤوسه.

لمتعدد الوجوه تعريفاتٌ عديدة. ومع ذلك، يُفهم متعدد الوجوه عادةً على أنه تعميم لمضلع ثنائي الأبعاد وتخصيص ثلاثي الأبعاد لمتعدد الأكناف، وهو مفهوم أكثر عمومية في أي عدد من الأبعاد. لمتعدد الوجوه العديد من الخصائص العامة التي تشمل عدد الوجوه، والتصنيف الطبولوجي حسب مميزة أويلر، والثِّنْوِيَّة، وأشكال الرؤوس، ومساحة السطح، والحجم، والخطوط الداخلية، ولامتغير دين، والتناظر. ويعني تناظر متعدد الوجوه أن مظهر متعدد الوجوه لا يتغير بالتحويل مثل الدوران والانعكاس.

يُعرَّف متعدد الوجوه المحدب تعريفًا جيدًا بعدة تعريفات معيارية متكافئة، أحدها هو متعدد الوجوه الذي هو مجموعة محدبة، أو سطح متعدد الوجوه الذي يحده. كل متعدد الوجوه المحدب هو غلاف محدب لرؤوسه، والغلاف المحدب لمجموعة منتهية من النقاط هو متعدد الوجوه. يوجد العديد من عائلات متعددات الوجوه المحدبة، وأكثر الأمثلة شيوعًا هي المكعبات وعائلة الأهرام.

 التسمية 
يُسمى متعدد الوجوه أيضًا متعدد الأوجه أو كثير الوجوه أو متعدد السطوح أو كثير السطوح أو المجسم مع أن الأخيرة يقصد بها عمومًا منطقة من الفضاء ثلاثي الأبعاد محاطة بسطحٍ مغلقٍ ثنائي الأبعاد؛ وبخصوص مفهومَي الوجه والسطح، فالأول هو شكل مُسطَّح مُضلَّع يُشكِّل جزءًا من المحيط الخارجي لمتعدد الوجوه، في حين أن الثاني هو في الحقيقة كامل المحيط الخارجي، شاملًا جميع وجوه المتعدد.

أما عن الاسم الإنجليزي polyhedron، فقد أتى من اليونانية (πολύεδρον)، وفيها يعني المقطع πολύ (poly) «كثير» ويعني المقطع ἕδρον (hedron) «قاعدة» أو «جانب هيئة مُجسَّمة».

 التعريف 
يُميَّز عند تعريف متعددات الوجوه بين المحدَّبة منها وتلك التي لا يشترط أن تكون محدبة، فالأولى لها تعريف دقيق يمكن التعبير عنه بعدد من الصيغ المعيارية المكافئة. أما الأخرى، فما زال تعريفها المُعمَّم إشكاليًا، فقد اقترحت مجموعة من التعاريف الشكلية متفاوتة الدقة لوصفها، لكن لم يُعمَّم أي منها وبقيت مقصورة على سياقات مُحدَّدة. تستبعد بعض هذه التعاريف أشكالًا، غالبًا ما تُعدّ متعددات الوجوه، مثل ، أو تتضمن أشكالًا، لا تُعدّ غالبًا متعددات وجوه صحيحة، مثل المجسمات التي لا تكون حدودها متنوعاتٍ. كما لاحظ برانكو غرونباوم:

يوجد، مع ذلك، اتفاق عام على أن متعدد الوجوه مجسّمٌ أو سطح يمكن وصفه برؤوسه، وهي نقاط زاويّة، وحروفه، وهي قطع مستقيمة تربط بين أزواج معينة من الرؤوس، ووجوهه، وهي مضلعات ثنائية الأبعاد، ويُقبل في بعض الأحيان أن له حجمًا داخليًا معينًا ثلاثي الأبعاد. يمكن التمييز بين هذه التعريفات المختلفة وفقًا لطريقة وصفها لمتعدد الوجوه: مجسم، أو سطح، أو اعتمادًا على خصائصه المجرَّدة التي تحددها
.
 لمتعدد الوجوه تعريف شائع وبسيط: مجسَّم يمكن تغطية حدوده بعدد محدود من المُستوِيات،، ويمكن صياغة العبارة السابقة بأسلوب آخر: مجسَّم يتكوَّن من اتحاد عدد منتهٍ من متعددات الوجوه المحدَّبة. وتتطلب التحسينات الطبيعية لهذا التعريف أن يكون المجسَّم محدودًا، وأن يكون له جزء داخلي مترابط، وربما يكون له أيضًا حدود مترابطة. يمكن تعريف وجوه مثل متعدد الوجوه هذا على أنها المُرَكِّبات المترابطة لأجزاء الحدود داخل كل مستوٍ من المستويات التي تغطيه، والحروف والرؤوس على أنها القطع المستقيمة والنقاط التي تلتقي عندها الوجوه. لكن، لا تتضمَّن متعدِّدات الوجوه المُعرَّفة بهذه الطريقة متعدِّدات الوجوه النجمية ذاتية التقاطع، التي قد لا تُشكِّل وجوهها مضلعات بسيطة، وقد تنتمي بعض حروفها إلى أكثر من وجهين.
 التعريفات القائمة على فكرة السطح المحيط بدلًا من المجسم شائعة أيضًا. على سبيل المثال، يعرّف أورورك متعدد الوجوه بأنه مجموعة وجوه ناتجة عن اتحاد مضلعات محدبة مُرتّبة في الفضاء ترتيبًا يجعل تقاطع أي مضلعين من المجموعة: رأسًا مشتركًا أو حرفًا مشتركًا أو مجموعةً فارغةً مشتركةً، ويجعل اتحادهما متنوعةً. إذا كان الجزء المستوي من هذا السطح ليس مضلعًا محدبًا في حد ذاته، فإن أورورك يشترط إمكانية تقسيمها إلى مضلعات محدبة أصغر، مع زوايا ثنائية وجوه مسطحة بينها. يُعرِّف غرونباوم متعدد الوجوه غير ذاتي التقاطع، مُعمِّمًا ما سبق كما يأتي: جماعة من المضلعات البسيطة التي تُشكِّل متنوعةً مطمورةً، يقع كل رأس من رؤوسهاعلى ثلاثة أحرف على الأقل، ويتقاطع كل وجهين فقط في رؤوس وحروف مشتركة لكل منهما. يُعرِّف كرومويل متعددات الوجوه في  تعريفًا مشابهًا لكن دون قيد وجود ثلاثة أحرف على الأقل لكل رأس. ومرة أخرى، لا يشمل هذا النوع من التعريفات متعددات الوجوه ذاتية التقاطع. تشكِّل المفاهيم المماثلة أساس التعريفات الطبولوجية لمتعدِّدات الوجوه باعتبارها تقسيمات فرعية لمتنوعة طبولوجية إلى أقراص طبولوجية (الوجوه) التي يُشترط أن تكون تقاطعاتها الزوجية نقاطًا (رؤوسًا) أو أقواسًا طبولوجية (حروفًا) أو المجموعة الخالية. ومع ذلك، توجد متعددات الوجوه الطبولوجية (حتى مع جميع الوجوه مثلثة) التي لا يمكن تحقيقها على هيئة متعددات الوجوه غير ذاتية التقاطع..

تصغير|340x340بك|الهرم المربع ومتعدد الأكناف المجرد المرتبط به. هنا، يمكن تعريف عناصر الهرم المربع على أنها مجموعة مرتبة جزئيًّا.
 تعتمد إحدى المقاربات الحديثة على نظرية  التي تُعرِّف متعددات الوجوه بأنها مجموعات مرتبة جزئيًا عناصرها رؤوس المتعدد وحروفه ووجوهه. يكون عنصر الرأس ذا ترتيب جزئي أقل من عنصر الحرف عندما يكون الرأس جزءًا من الحرف، وهذا صحيح لوصف العلاقة بين عنصري الحرف والوجه أيضًا. بالإضافة إلى ذلك، يمكن تضمين عنصر سفلي خاص من هذا الترتيب الجزئي (يمثل المجموعة الفارغة) وعنصر علوي يمثل متعدد الوجوه بأكمله. إذا كانت مقاطع الترتيب الجزئي بين العناصر التي تفصل بينها ثلاثة مُستَوَيات (أي بين كل وجه والعنصر السفلي، وبين العنصر العلوي وكل رأس) لها نفس بنية التمثيل المجرد للمضلع، فإن هذه المجموعات المرتبة جزئيًا تحمل نفس المعلومات التي يحملها متعدد الوجوه الطبولوجي. ومع ذلك، غالبًا ما تُخفَّف هذه المتطلبات، بحيث لا يُشترط سوى أن تكون المقاطع بين العناصر التي تفصل بينها مُستَوَيان متماثلان في البنية مثل التمثيل المجرد لقطعة مستقيمة (وهذا يعني أن كل حرف يحتوي على رأسين وينتمي إلى وجهين، وأن كل رأس على وجه ينتمي إلى حرفين من ذلك الوجه). يمكن وصف متعددات الوجوه الهندسية المُعرَّفة بطرق أخرى وصفًا تجريديًّا بهذه الطريقة، ولكن من الممكن أيضًا استخدام متعدِّدات الوجوه المجرَّدة لأنها أساس لتعريف متعدِّدات الوجوه الهندسية. عادةً ما يُعتبَر "تحقيق" متعدِّد الوجوه المجرَّد بمثابة تطبيق من رؤوس متعدِّد الوجوه المجرَّد إلى نقاط هندسية، بحيث تكون نقاط كل وجه في نفس المستوي. يمكن عندئذٍ تعريف متعدد الوجوه الهندسي على أنه تحقيق لمتعدد الوجوه المجرَّد. كما أُخِذت بعين الاعتبار عمليات التحقيق التي تحذف شرط استواء الوجه، أو تفرض متطلبات إضافية للتناظر، أو التي تُقْرِن الرؤوس بأفضية ذات أبعاد أعلى. على عكس التعريفات القائمة على المجسّم والسطح، يعمل هذا جيدًا تمامًا مع متعددات الوجوه النجمية. لكن، من دون قيود إضافية، يسمح هذا التعريف بوجود متعددات وجوه منحلة أو غير أمينة (على سبيل المثال، عن طريق تطبيق جميع الرؤوس إلى نقطة واحدة)، ولم تُحْسَم مسألة كيفية تقييد التحقيقات لتجنب هذه الانحلالات.

يُفهم عادةً، من التعريفات السابقة، أن متعدد الوجوه مثال ثلاثي الأبعاد لمتعدد الأكناف. مثلًا، للمضلع جسم ثنائي الأبعاد وليس له أي وجه، في حين أن لمتعدد الأكناف رباعي الأبعاد جسم رباعي الأبعاد ومجموعة إضافية من "الخلايا" ثلاثية الأبعاد. بخلاف ذلك، يُستخدَم مصطلح "متعدد الوجوه" في بعض أدبيات الهندسة الرياضية ذات الأبعاد العليا لوصف شكل مختلف عن متعدد الأكناف ثلاثي الأبعاد، ومختلف عن متعدد الأكناف بطريقة ما. تُعرِّف بعض المصادر، على سبيل المثال، متعدد الوجوه المحدَّب بأنه تقاطع عدد محدود من ، ومتعدد الأكناف بأنه متعدد وجوه محدود. تقتصر هذه المقالة على تناول متعددات الوجوه ثلاثية الأبعاد.

 المميزات العامة 

 التصنيف الطبولوجي 

تصغير|، وهو متعدد وجوه ذاتي التقاطع غير قابل للتوجيه له أربعة أوجه مثلثة (أحمر) وثلاثة أوجه مربعة (أصفر). كما هو الحال مع شريط موبيوس أو قارورة كلاين، يمكن أن يصل مسار مستمر على طول سطح متعدد الوجوه هذا إلى نقطة على الجانب المقابل للسطح من نقطة البداية، مما يجعل من المستحيل فصل السطح إلى داخل وخارج. (من الناحية الطبولوجية، متعدد الوجوه هذا هو ).
بعض متعددات الوجوه لها جانبان مختلفان لسطحها. على سبيل المثال، يمكن إعطاء كلٍ من الجزء الداخلي والخارجي لنموذج ورقي لمتعدد الوجوه المحدب بلون مختلف (على الرغم من أن اللون الداخلي سيكون مخفيًا عن الأنظار). متعددات الوجوه هذه . وينطبق الأمر نفسه على متعددات الوجوه غير المحدبة التي لا تحتوي على تقاطعات ذاتية. يمكن تلوين بعض متعددات الوجوه غير المحدبة غير ذاتية التقاطع بالطريقة نفسها ولكن بها مناطق مقلوبة "من الداخل إلى الخارج" بحيث يظهر كلا اللونين من الخارج في أماكن مختلفة؛ وهذه لا تزال تعتبر قابلةً للتوجيه. ومع ذلك، بالنسبة لبعض متعددات الوجوه الأخرى ذاتية التقاطع ذات الوجوه المضلعة البسيطة مثل  لا يمكن تلوين جانبي كل وجه بلونين مختلفين بحيث يكون للوجهين المتجاورين ألوان متناسقة. في هذه الحالة يُقال إن متعدد الوجوه غير قابل للتوجيه. قد لا يكون من الواضح ما يعنيه أن تكون الوجوه المتجاورة ملونة تلوينًا متناسقًا بالنسبة إلى متعددات الوجوه ذات الوجوه المتقاطعة ذاتيًّا، لكن بالنسبة إلى هذه المتعددات يظل من الممكن تحديد ما إذا كانت قابلة للتوجيه أو غير قابلة للتوجيه لأن  طبولوجي له الوقوعات نفسها بين رؤوسها وحروفها ووجوهها.

يمكن اعتماد مميزة أويلر للتمييز بدقة بين سطوح متعددات الوجوه، تضم صيغتها أعداد رؤوس متعدد الوجوه  وحروفه  ووجوهه ، وهي ترتبط بعضها مع بعض لإنتاج العدد  كما يأتي:

تُستخدم صيغة مميزة أويلر نفسها أيضًا لأنواع أخرى من السطوح الطبولوجية. وهي من لامتغيرات السطح، ما يعني أنه عند تقسيم السطح الواحد إلى رؤوس وحروف ووجوه بأكثر من طريقة، تكون مميزة أويلر هي نفسها لهذه التقسيمات الجزئية. بالنسبة إلى متعدد الوجوه المحدب، أو بشكل أعم أي متعدد وجوه بسيط الارتباط له سطح كرة طبولوجية، فإن مميزته تساوي دائمًا 2. بالنسبة إلى الأشكال الأكثر تعقيدًا، ترتبط خاصية أويلر بعدد الثقوب أو المقابض أو القبعات المتصالبة شبه الطارية في السطح وتكون أقل من 2. جميع متعددات الوجوه ذات مميزات أويلر فردية العدد غير قابلة للتوجيه. قد يكون الهيئة المعطاة ذات مميزة أويلر زوجية قابلةً للتوجيه أو غير قابلة للتوجيه. على سبيل المثال، الطاراني وحيد الثقب وقارورة كلاين لهما ، حيث يكون الأول قابلًا للتوجيه والأخرى غير قابلة للتوجيه.

يلزم، في العديد من طرق تعريف متعدد الوجوه، أن يكون سطحه متنوعةً، ولكن هذا ليس شرطًا لازمًا في التعاريف كلها. يعني أن يكون سطح متعدد الوجوه متنوعةً أن كل حرف هو جزء من حدود وجهين بالضبط، ولا يُسمَح بأشكال مثل اتحاد مكعبين يلتقيان فقط على طول حرف مشترك، وأن كل رأس يتقاطع مع دورة واحدة متناوبة من الحروف والوجوه، أي لا يُسمَح بأشكال مثل اتحاد مكعبين يشتركان في رأس واحد فقط. إن  لمتعددات الوجوه المُعرَّفة بهذه الطرق، يعني أن النمط الطبولوجي للسطح يتحدد تمامًا من خلال الجمع بين خاصية أويلر وقابلية للتوجيه. على سبيل المثال، لو كان سطح أي متعدد وجوه متنوعةً قابلةً للتوجيه وكانت مميزة أويلر له مساوية 2، فيلزم أن يكون كرة طبولوجية.

 متعدد وجوه مميزة أويلر فيه أقل من 0 أو مساوية لها، أو ما يعادل  1 أو أكثر. من الناحية الطبولوجية، سطوح مثل متعددات الوجوه هذه هي سطوح طارية بها ثقب واحد أو أكثر في المنتصف. أحد الأمثلة البارزة على ذلك هو ، الذي ينجز  هندسيًا.

 الثِّنْوِيَّة 

تصغير|181x181بك|ثماني الوجوه ثنوي للمكعب
لكل متعددِ وجوهٍ مُحدَّب متعددُ وجوهٍ ثِنْوِيٌّ له:
 وجوه بدلًا من رؤوس الأصل.
 رؤوس بدلًا من وجوه الأصل.
 عدد حروف الأصل نفسها.

يمكن الحصول على ثنوي متعدد الوجوه المحدب عن طريق عملية التحويل المعاكس القطبي. توجد متعدِّدات الوجوه الثنوية في أزواج، وثنوي الثنوي هو متعدد الوجوه الأصل نفسه. بعض مُتعدِّدات الوجوه تكون ثنوية ذاتيًّا، ما يعني أن ثنوي مُتعدِّد الوجوه يكون مطابقًا لمتعدد الوجوه الأصلي.

متعددات الوجوه المجردة لها أيضًا ثنويات، يُحصَل عليها عن طريق عكس الترتيب الجزئي التي يُعرِّف متعدد الوجوه للحصول على . وهذه لها نفس مميزة أويلر وقابلية التوجيه مثل متعدد الوجوه الابتدائي. ومع ذلك، لا يصف شكل الثنوية هذا شكل متعدد الوجوه الثنوي، بل يصف فقط بنيته التوافيقية. بالنسبة لبعض تعريفات متعددات الوجوه الهندسية غير المحدبة، توجد متعددات وجوه لا يمكن تحقيق ثنوياتها المجردة على شكل متعددات وجوه هندسية بموجب التعريف نفسه.

 هيئات الرؤوس 

من أجل كل رأس، يمكن تعريف هيئة الرأس التي تصف البنية المحلية لمتعدد الوجوه حول الرأس. تختلف التعاريف الدقيقة، لكن يمكن اعتبار هيئة الرأس على أنها المضلع المكشوف الناتج عن قطع شريحة عبر متعدد الوجوه لأحد الرؤوس. بالنسبة للمجسمات الأفلاطونية ومتعددات الوجوه الأخرى عالية التناظر، يمكن اختيار هذه الشريحة لتمر عبر نقاط منتصف كل حرف واقع على الرأس، لكن قد لا يكون لمتعددات الوجوه الأخرى مستوٍ يمر عبر هذه النقاط. بالنسبة إلى متعددات الوجوه المحدبة، وبشكل أعم بالنسبة إلى متعددات الوجوه التي تكون رؤوسها في وضع مُحدَّب، يمكن اختيار هذه الشريحة باعتبارها مستويًا يفصل الرأس عن الرؤوس الأخرى. عندما يكون لمتعدد الوجوه مركز تناظر، فمن المعتاد اختيار هذا المستوي ليكون عموديًا على الخط المار بالرأس المعطى والمركز؛ وبهذا الاختيار، يتحدد شكل هيئة الرأس ويبقى محددًا حتى بضبط الأبعاد. عندما لا تكون رؤوس متعدد الوجوه في وضع محدب، لن يكون هناك دائمًا مستوٍ يفصل كل رأس عن بقية الرؤوس. في هذه الحالة، من الشائع بدلًا من ذلك تشريح متعدد الوجوه بِكُرَة صغيرة مركزها عند الرأس. مرة أخرى، يُنتِج هذا شكلًا لهيئة الرأس ثابتًا حتى بضبط الأبعاد. جميع هذه الخيارات تُؤدي إلى هيئات رأس ذات نفس البنية التوافيقية لمتعددات الوجوه التي يُمكن تطبيقها عليها، ولكنها قد تُعطيها أشكالًا هندسية مختلفة.

 مساحة السطح والخطوط داخل متعددات الوجوه 
مساحة سطح متعدِّد الوجوه هي مجموع مساحات وجوهه، وذلك من أجل تعريفات متعدِّدات الوجوه التي تكون مساحة الوجه فيها مُعرَّفة جيدًا. تقيس المسافة المتقاصرة بين أي نقطتين على سطح متعدد الوجوه طول أقصر منحنٍ يصل بين النقطتين، ويبقى داخل السطح. وفقًا ، يُحدَّد كل متعدد وجوه محدَّب بالفضاء المتري للمسافات المتقاصرة على سطحه تحديدًا فريدًا. ولكن هذا لا ينطبق على متعدِّدات الوجوه غير المحدَّبة، فقد تتساوى مسافات السطح لدى بعضها مع بعض آخر، وقد تتساوى مسافات سطح بعضها مع تلك الخاصة بمتعددات وجوه محدَّبة.

عندما تربط القطع المستقيمة بين رأسين لا يقعان في الوجه نفسه، فإنها تشكِّل أقطارًا. ومع ذلك، لا تحتوي جميع متعددات الوجوه على مستقيمات قطرية، كما هو الحال في عائلة الأهرام،  الذي يحتوي على ثلاثة مستقيمات قطرية تقع خارجها بالكامل،  لا تحوي مستقيمات قطرية (بل كل زوج من الرؤوس متصل بحرف).

 الحجم 
للمجسمات المتعددة الوجوه كمية مرتبطة بها تسمى الحجم تقيس مقدار الفضاء الذي تشغله. قد يكون لعائلات المجسمات البسيطة صيغ بسيطة لحجومها؛ على سبيل المثال، يمكن التعبير بسهولة عن أحجام الأهرام والمواشير ومتوازيات الوجوه بدلالة أطوال حروفها أو الإحداثيات الأخرى.

قد لا يكون لأحجام متعددات الوجوه الأكثر تعقيدًا صيغ بسيطة. يمكن حساب حجم مُتعدِّدات الوجوه منها عن طريق تقسيمه إلى أجزاء أصغر، بالتثليث الزاوي مثلًا. يُحسَب حجم المجسَّم الأفلاطوني، على سبيل المثال، بتقسيمه إلى أهرام متطابقة تكون قاعدة كل منها وجه من متعدد الوجوه وفي حين يكون مركز متعدد الوجوه قمة لها كلها.

يمكن انطلاقًا من مبرهنة التباعد استنتاج أن حجم المجسَّم متعدد الوجوه يُعطى بالعلاقة التالية: وفيها يُمثِّل  وجوه المُتعدِّد، و نقطة كيفية على الوجه ، و متجه الوحدة العمودي على الوجه  والذي يشير إلى خارج المجسَّم، ويشير مُؤثِّر النقطة إلى عملية الجداء السُلَّمي. قد يكون حساب الحجم صعبًا في الأبعاد الأعلى، ويرجع ذلك جزئيًّا إلى صعوبة سرد وجوه المتعدد المحدّب المحدّد برؤوسه فقط، وتوجد خوارزميات مخصصة لتحديد الحجم في هذه الحالات.

 لامتغير دين 

تؤكد مبرهنة بوياي وغيرفين على إمكانية تحويل أي مضلع إلى آخر له المساحة نفسها بتقطيعه إلى عدد غير منتهٍ من أجزاء المضلع ثم إعادة ترتيبها في فضاء ثنائي الأبعاد. كان السؤال المماثل لمتعددات الوجوه هو موضوع . حلّ ماكس دين هذه المسألة بإظهار أنه، على عكس حالة ثنائي الأبعاد، توجد متعددات الوجوه من نفس الحجم لا يمكن تقطيعها إلى متعددات وجوه أصغر وإعادة تجميعها مع بعضها البعض. ولإثبات ذلك اكتشف دين قيمة أخرى مرتبطة بمتعدد الوجوه، وهي لامتغير دين، بحيث لا يمكن تقطيع متعددَي الوجوه إلى بعضهما البعض إلا إذا كان لهما الحجم نفسه ولامتغير دين نفسه. وقد أثبت  لاحقًا أن هذه هي العقبة الوحيدة أمام التقطيع: يمكن تقطيع كل متعددَي الوجوه الإقليديين بنفس الأحجام ولامتغيرات دين وإعادة تجميعهما بعضهما في بعض. لامتغير دين ليس عددًا، بل متجه في فضاء متجهي لانهائي الأبعاد، يُحدَّد من أطوال وزوايا ثنائية الوجوه لحروف متعدد الوجوه.

تتناول ، فيما تتناوله، متعددات الوجوه المُبطلِّة الفضاء. يلزم أن تكون قيمة له لامتغير دين لأي متعدد الوجوه من هذا النوع مساوية للصفر. كما يُربَط لامتغير دين  بمبرهنة الكِّير القوي التي تنص على أن لامتغير دين لأي متعدد وجوه انثنائي يبقى غير متغير أثناء انثناءه.

 التناظرات 
تصغير|280x280بك|بعض متعددات الوجوه التي تدور حول محاور تناظرها (في مجموعة )
العديد من متعددات الوجوه الأكثر دراسةً عالية التناظر. لا يتغيّر مظهرها بفعل الانعكاسات على المستوي أو الدوران حول المحاور التي تمر عبر رأسين أو حرفين أو وجهين متقابلين في الفضاء. قد يغيّر كل تناظر موقع عنصر معين، لكن مجموعة كل الرؤوس (وكذلك الوجوه والحروف) لا تتغير. تُسمَّى جماعة تناظرات متعدد الوجوه زمرة التناظر الخاصة به.

 حسب عناصر متعدد وجوه 
يُقال إن عناصر متعدد الوجوه: الرأس والوجه والحرف، التي تتراكب بعضها على بعض بفعل التناظرات، تُشكِّل مدار تناظر. إذا كانت هذه العناصر تقع في المدار نفسه، فقد تكون الهيئة انتقاليةً على المدار. كلٌّ منها على حدة متآسي الوجوه (أو انتقالي الوجوه، ما يعني أن تحويلات التناظر تتضمن وجوه المتعددات في المدار)، ومتآسي الحروف (أو انتقالي الحروف، أي يتضمن حروف متعددات الوجوه)، ومتآسي الرؤوس (أو انتقالي الرؤوس، أي يتضمن رؤوس متعددات الوجوه). على سبيل المثال، المكعب الذي تكون فيه جميع الوجوه في مدار واحد ويتضمن الدوران والانعكاسات في المدار يبقى دون تغيير في مظهره؛ ومن ثم، يكون المكعب انتقالي الوجوه. يحتوي المكعب أيضًا على التناظرين الآخرين من هذا القبيل.

عندما تنتمي ثلاثة من هذه التناظرات إلى مُتعدِّد الوجوه، يُعرَف بمتعدد الوجوه المنتظم. توجد تسعة متُعدِّدات الوجوه المنتظمة: خمسة مجسمات أفلاطونية (مكعب، وثماني الوجوه، وعشروني الوجوه، ورباعي الوجوه، واثنعشري الوجوه، وجميعها ذات وجوه مضلعة منتظمة) وأربعة متعددات وجوه كبلر وبوانسو. ومع ذلك، قد لا تمتلك بعض مُتعدِّدات الوجوه واحدًا أو اثنين من هذه التناظرات:تصغير|المكعب متعدد وجوه منتظم، لأن وجوهه وحروفه ورؤوسه انتقالية إلى أخرى، ومظهره لم يتغير.|167x167بك
 يُقال عن متعدد الوجوه انتقالي الرؤوس والحروف أنه ، مع أن له وجوهًا منتظمة، وثنويه انتقالي الوجوه والحروف.
 يُقال عن متعدد الوجوه انتقالي الرؤوس وغير انتقالي الحروف ذو الوجوه المضلعة المنتظمة أنه ، ومثل متعددات الوجوه هذه هي الموشورات والموشورات التخالفية. وثنويها انتقالي الوجوه وليس انتقالي الرؤوس، وكل رأس منتظم.
 يُقال عن متعدد الوجوه انتقالي الرؤوس ذي الوجوه المضلعة المنتظمة أنه مُحتَتِن. قد ينقسم هذا الصنف إلى متعدد الوجوه المنتظم أو شبه المنتظم أو نصف المنتظم، وقد يكون محدبًا أو نجميًا. يكون الثنوي انتقالي الوجوه وله رؤوس منتظمة، لكنه ليس بالضرورة انتقالي الرؤوس. عادةً ما تُصنَّف مُتعدِّدات الوجوه المحتتنة وثنوياتها تقليديًا وفقًا لدرجة تناظرها، وما إذا كانت محدَّبة أم لا.
 يُقال عن متعدد الوجوه الانتقالي الوجوه والرؤوس (ولكن ليس بالضرورة انتقالي الحروف) أنه . متعددات الوجوه المنتظمة نبيلة أيضًا؛ فهي متعددات الوجوه المحتتنة النبيلة الوحيدة. ثنويات متعددات الوجوه النبيلة هي نفسها نبيلة.
قد لا يكون لبعض متعددات الوجوه تناظر انعكاسي بحيث يكون لها شكلان متخايلان، وهما انعكاسان لبعضهما البعض. ويُعرف هذا التناظر بامتلاكه لليدوانية. وتشمل الأمثلة على ذلك ذا الوجوه المكعبي الثماني الأفطس .

 حسب الزمرة النقطية في ثلاثي الأبعاد 

تصغير|يمتلك رباعي الوجوه المنتظم تناظر رباعي وجوه كامل: دوران ثلاثي حول المحور يمر عبر كل من الرأس والوجه المثلث، ودوران ثنائي حول المحور عبر حرفين، وكذلك مستوي الانعكاس عبر وجهين وحرف واحد تصغير|للهرم المربع تناظر هرمي . ويوضِّح أن مظهره ثابت بدوران كل ربع دورة كاملة حول محوره، ويمتلك تناظرًا انعكاسيًّا بالنسبة إلى أي مستوٍ عمودي يمر بمُنصِّف قاعدتهيُقصد  زمرة رياضية تتمتع  الخاصة بها بحيث يظل مظهر متعددات الوجوه محفوظًا أثناء التحويل في الفضاء الثلاثي الأبعاد. ويشمل التحويل المشار إليه هنا الدوران حول المحاور، والانعكاس على المستوي، والتعاكس عبر نقطة مركزية، وجمع بين هذه الثلاثة.

 هي زمرة التناظر المشتقة في الأصل من المجسَّمات الأفلاطونية الثلاثة: رباعي الوجوه وثمانيها وعشرونيها. ولهذه الزمر الثلاث زمر نقطية تُعرَف على الترتيب   . ويركز كل منها على زمرة دوران متعددات الوجوه التي تُعرَف باسم "زمرة متعدد الوجوه اليدوانية"، في حين أن مجموعة التناظر الانعكاسية الإضافية تُعرَف باسم زمرة متعدد الوجوه الكاملة. تتضمن إحدى الزمر النقطية، وهي ، دوران تناظر رباعي الوجوه، بالإضافة إلى ثلاثة مُستوِيات من التناظر الانعكاسي وبعض . وعمومًا، تتلخص زمر متعدد الوجوه المذكورة في النقاط التالية:
 تناظر رباعي الوجوه اليدواني ، وهو زمرة الدوران لرباعي الوجوه المنتظم، ومرتبتها اثنا عشر.
 تناظر رباعي الوجوه الكامل ، وهو زمرة التناظر لرباعي الوجوه المنتظم، ومرتبتها أربعة وعشرون.
 التناظر البيريتي ، وهو تناظر  وله مرتبة أربعة وعشرين.
 تناظر ثماني الوجوه اليدواني ، وهو زمرة الدوران لكلٍّ من المكعب وثماني الوجوه المنتظم، ومرتبته أربعة وعشرون.
 تناظر ثماني الوجوه الكامل ، وهو زمرة التناظر لكلٍّ من المكعب وثماني الوجوه المنتظم، ومرتبته ثمانية وأربعون.
 تناظر عشروني الوجوه اليدواني ، وهو زمرة الدوران لكلٍّ من عشروني الوجوه المنتظم واثنعشري الوجوه المنتظم، ومرتبته ستون.
 تناظر عشروني الوجوه الكامل ، وهي زمرة التناظر لكلٍّ من عشروني الوجوه المنتظم واثنعشري الوجوه المنتظم، ومرتبته مئة وعشرون.
قد تسمح الزمر النقطية في ثلاثة أبعاد أيضًا بالحفاظ على مظهر متعدد الوجوه من خلال الجريان حول محور ما. توجد ثلاث زمر نقطية مختلفة من هذه الزمر النقطية:
 التناظر الهرمي ، الذي يسمح بتدوير المحور المار عبر القمة وقاعدتها، وكذلك الانعكاس بالنسبة للمُستوِيات المتعامدة التي تمر بمُنصِّف القاعدة. يمكن إيجاد هذا تناظر الزمرة النقطية في الأهرامات، والقباب والطوارم.
 التناظر الموشوري ، على غرار التناظر الهرمي، ولكن مع تحويل إضافي عن طريق عكسه عبر مستوٍ أفقي. يمكن تحقيق ذلك من عائلة الموشورات وثنوياتها ثنائيات الأهرام.
 التناظر الموشوري التخالفي ، الذي يحافظ على التناظر من خلال تدوير نصفه السفلي وعكسه عبر المستوي الأفقي. يمكن إيجاد أمثلة في الموشورات التخالفية.
تتكوَّن الزمرة النقطية  من الدوران حول محور التناظر والانعكاس على المستوي الأفقي. في حالة ، فإن زمرة التناظر تحافظ على التناظر فقط من خلال الدوران الكامل فقط، وعادةً ما يُرمز لها بـ . قد يكون لمتعددات الوجوه دوران فقط للحفاظ على التناظر، ويمكن اعتبار زمرة التناظر هي الزمرة الدورية . متعددات الوجوه مع الانعكاس الدوراني والدوران بالزمرة الدورية هي الزمرة النقطية .

 متعددات الوجوه المحدبة 

كما ذُكر أعلاه، متعددات الوجوه المحدَّبة مُعرَّفة تعريفًا جيدًا، مع العديد من التعريفات المعيارية المكافئة. وغالبًا ما تُعرَّف على أنها تقاطعات محدودة لعدد منتهٍ من ، أو على أنها غلاف محدب لعدد منتهٍ من النقاط، مقتصرة في كلتا الحالتين على التقاطعات أو الأغلفة التي لا يساوي حجمها صفرًا.

تشمل الأصناف المهمة من متعددات الوجوه المحدبة عائلة الموشوريات، والمجسمات الأفلاطونية، والمجسمات الأرخميدية وثنوياتها التي تدعى مجسمات كاتالان، ومتعددات الوجوه المحدبة التي تكون جميع وجوهها مضلعاتٍ منتظمة. الموشوريات هي متعددات الوجوه التي تقع رؤوسها على مستويين متوازيين ووجوهها على الأرجح أشباه منحرف ومثلثات. ومن الأمثلة على الموشوريات، الأهرام والأسافين ومتوازيات الوجوه والموشورات والموشور التخالفي والقباب والجذوع. أما المجسمات الأفلاطونية فهي متعددات الوجوه الخمسة القديمة - رباعي الوجوه، وثماني الوجوه، وعشروني الوجوه، والمكعب، واثنعشري الوجوه - التي صنفها أفلاطون في حواره "طيماوس" والتي تربط بين العناصر التقليدية الأربعة للطبيعة. المجسّمات الأرخميدية هي صنف المجسّمات الثلاثة عشر التي تكون جميع وجوهها مضلعات منتظمة وتكون رؤوسها متناظرة مع بعضها البعض؛ ثنوياتها هي مجسمات كاتالان. مجسّمات جونسون هي صنف من متعددات الوجوه المحدبة التي تكون جميع وجوهها مضلعات منتظمة.. وتشمل هذه دلتاويات الوجوه المحدبة، وهي متعددات وجوه محدبة تمامًا تكون جميع وجوهها مثلثات متساوية الأضلاع.

يمكن تصنيف متعددات الوجوه المحدبة إلى فئة متعددات الوجوه الابتدائية أو فئة . هي متعددات الوجوه المحدبة المنتظمة الوجوه التي لا يمكن تحويلها إلى مُتعددَيْ وجوه أو أكثر عن طريق تشريحها بمستوٍ. على النقيض تمامًا من متعددات الوجوه المؤلفة، يمكن تعريفها بدلًا من ذلك بأنها متعددات الوجوه التي أُنشئت عن طريق ربط المزيد من متعددات الوجوه الابتدائية. على سبيل المثال، يعتبر  مؤلفًا لأنه يمكن إنشائه عن طريق ربط ثلاثة أهرام مربعة متساوية الحروف على الوجوه المربعة لموشور مثلث؛ وفيها الأهرام المربعة والموشور المثلث هي متعددات وجوه أولية.
تصغير|150x150بك|متعدد وجوه قانوني
بعض متعددات الوجوه المحدبة تمتلك كرةً وسيطةً، وهي كرة مُماسّة لكل حروفها، ويكون نصف قطرها وسيطًا بين الكرة المحاطة  لمتعدد الوجوه الذي توجد فيه هذه الكرات الثلاث جميعها. كل متعدد الوجوه المحدَّب يكافئ من الناحية التوافيقية "متعدد وجوه قانوني"، وهو متعدد وجوه له كرة وسيطة يتطابق مركزه مع مركزه. يُحدَّد شكل متعدد الوجوه القانوني (وليس أبعاده أو موضعه) بشكل فريد من خلال البنية التوافيقية لمتعدد الوجوه المُعطى.

ينتج عن أي متعدد الوجوه، أيًا كانت بنية الوجه، بيانٌ يُسمَّى ، برؤوس وحروف مقابلة له. لهذه الهيئات تاريخ طويل: فقد ابتكر ليوناردو دا فنشي نماذج إطارية للمجسمات المنتظمة، التي رسمها لكتاب بتشولي "النسبة الإلهية"، وتظهر أشكال متعددة الوجوه مماثلة ذات إطار سلكي في لوحة "" التي رسمها ماوريتس إيشر. ومن أبرز ما يميز هذه المقاربة ، التي تعطي توصيفًا نظريًا بيانيًا بحتًا لهيكل متعدد الوجوه المحدب: فهي تنص على أن هيكل كل متعدد وجوه محدب هو بيان مستوٍ ، وكل بيان من هذا القبيل هو هيكل لبعض متعددات الوجوه المحدبة.

بعض مُتعدِّدات الوجوه لا تتمتع بخاصية التحدُّب، وتُسمَّى مُتعدِّدات الوجوه غير المحدَّبة. وهي  ومتعددات وجوه كبلر وبوانسو التي تُنشأ إما عن طريق الاستنجام أو الوَيْجَهَة. الاستنجام هو عملية تمديد الوجوه (داخل مُستوِياتها) بحيث تلتقي. الويجهة هي عملية إزالة أجزاء من متعدد الوجوه لإنشاء وجوه جديدة (أو وُجَيهات) دون إنشاء أي رؤوس جديدة. وُجَيه متعدد وجوه هو أي مضلع تكون زواياه رؤوسًا لمتعدد الوجوه وليس وجهًا. الاستنجام والويجهة عمليتان عكسيتان: ثنويات بعض المُستنجَمات هي ويجهة الثنوي إلى متعدد الوجوه الأصلي.

 عائلات أخرى من متعددات الوجوه 

 متعددات الوجوه المالئة للفضاء 

يَرزُمُ متعدد الوجوه المالئ للفضاء بنسخ من نفسه لملء للفضاء. وغالبًا ما يُطلق على مثل هذا الرَّزْم المتقارب أو ملء الفضاء اسم "رَصْف الفضاء" أو "الشَّهْد". يجب أن يكون لمتعدد الوجوه المالئ للفضاء لامتغير دين يساوي صفرًا. تتضمن بعض الشِّهَاد أكثر من نوع واحد من متعددات الوجوه.

 متعددات الوجوه الانثنائية 

من الممكن لبعض متعددات الوجوه تغيير شكلها الكلي، مع الحفاظ على أشكال وجوهها كما هي، وذلك عن طريق تغيير زوايا حروفها. يُسمَّى متعدد الوجوه الذي يمكنه فعل ذلك بمتعدد الوجوه الانثنائي. وفقًا ، يجب أن يكون متعدد الوجوه الانثنائي غير محدب. يجب أن يظل حجم متعدد الوجوه الانثنائي ثابتًا أثناء انثناءه، وتُعرف هذه النتيجة بمبرهنة الكِير.

 متعددات الوجوه المثالية 

يمكن تعريف متعددات الوجوه المحدَّبة في  ثلاثي الأبعاد بالطريقة نفسها التي تُعرَّف بها في الفضاء الإقليدي، باعتبارها أغلفة محدَّبة لمجموعات منتهية من النقاط. لكن، في الفضاء الزائدي، من الممكن أيضًا التفكير في  والنقاط داخل الفضاء.  هو الغلاف المحدب لمجموعة منتهية من النقاط المثالية. وجوهه مضلعاتٍ مثالية، لكن حروفه محددة بخطوط زائدية كاملة بدلًا من قطع مستقيمة، ورؤوسه (النقاط المثالية التي يمثل غلافها المحدب) لا تقع داخل الفضاء الزائدي.

 متعددات الوجوه الشَّبِيكيّة 
يُطلَق على متعدِّدات الوجوه المحدَّبة التي تحتوي جميع رؤوسها على إحداثيات صحيحة  أو متعدِّدات الوجوه الصحيحة. يحسب  لمتعدد الوجوه الشبيكي عدد النقاط ذات الإحداثيات الصحيحة التي تقع داخل نسخة مضبوطة المقاس من متعدد الوجوه، باعتباره دالةً لعامل المقاس. تقع دراسة كثيرات الحدود هذه عند تقاطع التوافيقيات والجبر التبديلي. مثال على ذلك .

يوجد تكافؤ بعيد المدى بين متعددات الوجوه الشبيكية وبعض المُنوَّعات الجبرية التي تسمى . وقد استخدم ستانلي هذا لإثبات  .

 مُركَّب متعددات الوجوه 
تصغير|يمين|، النموذج 25 
يتكون  من اثنين أو أكثر من متعددات الوجوه التي تشترك في مركز مشترك. وغالبًا ما تشترك المُركَّبات المتناظرة في نفس الرؤوس التي تشترك فيها متعددات الوجوه الأخرى المعروفة، وقد تتشكل أيضًا في كثير من الأحيان عن طريق الاستنجام. وبعضها مدرج في .

 متعددات الوجوه النُّطُقيّة 
تصغير|بعض متعددات الوجوه  المصنوعة من قطع مكعبات سوما، وهي نفسها متعددات المكعبات
متعدد وجوه نطقي هو متعدد وجوه محدب يكون كل وجه فيه مضلعًا متناظرًا تحت الدوران حتى 180 درجة. يمكن أيضًا وصف متعددات الوجوه النطقية على أنها  للقطع المستقيمة، وتشمل العديد من متعددات الوجوه المهمة المالئة للفضاء.

 متعددات الوجوه المتعامدة 

يُقال إن متعددات الوجوه  لأن جميع حروفها موازية لمحاور نظام الإحداثيات الديكارتية. هذا يعني أن جميع الوجوه تلتقي عند زوايا قائمة، لكن هذا الشرط أضعف:  له وجوه تلتقي عند زوايا قائمة، لكن ليس له حروف مُوَازية للمحاور. وبصرف النظر عن متوازيات المستطيلات، فإن متعددات الوجوه المتعامدة غير محدَّبة. إنها المثائل الثلاثية الأبعاد للمضلعات المتعامدة الثنائية الأبعاد، والمعروفة أيضًا باسم . تُستخدم متعددات الوجوه المتعامدة في الهندسة الحوسبية، حيث مكنت بنيتها المقيدة من إحراز تقدم في المسائل التي لم تُحل في حالة متعددات الوجوه الكيفية، على سبيل المثال، بَسْط سطح متعدد وجوه إلى شبكة مضلعية. تعد متعددات المكعبات حالة خاصة من متعددات الوجوه المتعامدة التي يمكن تفكيكها إلى مكعبات متطابقة، وهي مثائل ثلاثية الأبعاد  المستوية.

 التعميمات 
لقد أصبح اسم "متعدد الوجوه" يُستخدم لمجموعة متنوعة من الكائنات التي لها خصائص بنيوية مشابهة لمتعددات السطوح التقليدية.

 لامنتهيات الوجوه 
تصغير|لامنتهي الوجوه المسمى مِيكِيب (Mucube)
يحتوي سطح متعدد الوجوه الكلاسيكي على عدد محدود من الوجوه، مرتبطة في أزواج على طول الحروف. تُشكِّل  صنفًا ذا صلة من الكائنات ذات الوجوه غير المنتهية. تتضمَّن أمثلة على لامنتهيات الوجوه ما يلي:
 تبليطات أو رُصُوف للمستوي،
 والبنى الشبيهة بالإسفنج التي تسمى .

 متعددات الوجوه العُقَدِيَّة 

توجد كائنات تُسمَّى متعددات الوجوه العقدية، والتي يكون الفضاء الأساسي لها هو فضاء هلبرت العُقدي وليس الفضاء الإقليدي الحقيقي. لا توجد تعريفات دقيقة إلا لمتعددات الوجوه العقدية المنتظمة، التي تكون زمر التناظر الخاصة بها . ترتبط متعددات الوجوه العقدية رياضيًّا  أكثر من ارتباطها بمتعددات الوجوه الحقيقية.

 متعددات الوجوه المنحنية 
تسمح بعض مجالات الدراسة بأن يكون لمتعدد الوجوه وجوه وحروف منحنية. يمكن أن تسمح الوجوه الثنائية الجوانب بوجود وجوه منحنية ذات مساحة موجبة.
 عندما يُقسَّم سطح الكرة على عدد منتهٍ من الأقواس العظمى (أيْ بمُستوِيات تمر عبر مركز الكرة)، تُسمَّى النتيجة متعدد الوجوه الكروي. يمكن إسقاط العديد من متعددات الأكناف المحدَّبة التي لها درجة ما من التناظر (على سبيل المثال، جميع المجسَّمات الأفلاطونية) على سطح كرة متحدة المركز لإنتاج متعدد الوجوه الكروي. ومع ذلك، فإن العملية العكسية ليست ممكنة دائمًا؛ فبعض متعددات الوجوه الكروية (مثل مستكثرات الوجوه) ليس لها مماثل مسطح الوجوه.
 إذا سُمح للوجوه أن تكون مقعرة ومحدبة أيضًا، فيمكن جعل الوجوه المتجاورة تلتقي معًا دون وجود فجوة. يمكن لبعض متعددات الوجوه المنحنية هذه أن تَرزُم معًا لملء الفضاء. يوجد نوعان مهمان هما الفقاعات في الزَّبَد والرغاوي مثل ، والأشكال المستخدمة في العمارة.

 متعددات وجوه ذات أبعاد أعلى 

منذ النصف الأخير من القرن العشرين، وُجد أن العديد من الإنشاءات الرياضياتية لها خصائص موجودة أيضًا في متعددات الوجوه التقليدية. وبدلًا من حصر مصطلح "متعدد الوجوه" في وصف متعدد الأكناف ثلاثي الأبعاد، اعتُمد لوصف أنواع مختلفة من البينات ذات الصلة ولكن متميزة.

عُرِّف متعدد الوجوه على أنه مجموعة من النقاط في فضاء حقيقي تآلفي (أو إقليدي) من أي بُعد n له جوانب مسطحة. ويمكن تعريفه بدلًا من ذلك على أنه تقاطع عدد منتهٍ من . وخلافًا لمتعدد السطوح الاصطلاحي، قد يكون متعدد الوجوه محدودًا أو غير محدود. وبهذا المعنى، فإن متعدد الأكناف هو متعدد وجوه محدود.

من الناحية التحليلية، يُعبَّر عن مثل متعدد الوجوه المحدَّب هذا تحليليًّا باعتباره مجموعة حلول لمنظومة من المتراجحات الخطية. يوفِّر تعريف متعدِّدات الوجوه بهذه الطريقة منظورًا هندسيًّا للمسائل في البرمجة الخطية.

 نبذة تاريخية 

 قبل الإغريق 
تصغير|المسألة رقم 14 من بردية موسكو الرياضية، حول حساب حجم الجذع
ظهرت متعددات الوجوه في أوائل الأشكال المعمارية مثل المكعبات ومتوازيات المستطيلات، ويعود تاريخ أقدم الأهرام المصرية رباعية الأضلاع إلى القرن السابع والعشرين قبل الميلاد. تتضمن بردية موسكو الرياضية التي تعود إلى قرابة 1800-1650 قبل الميلاد أحد أولى دراسات مكتوبة عن متعددات الوجوه وأحجامها (وتحديدًا حجم الجذع). كما تضمنت رياضيات الإمبراطورية البابلية القديمة، التي تعود إلى نفس الفترة الزمنية تقريبًا التي ظهرت فيها بردية موسكو، حسابات أحجام متوازيات المستطيلات (وأسطوانات غير متعددة الوجوه)، وحسابات ارتفاع هذا الشكل اللازم للوصول إلى حجم معين.

سبق الإتروريون الإغريق في إدراكهم لبعض متعددات الوجوه المنتظمة على الأقل، كما يتضح من اكتشاف اثنعشريات الوجوه الإترورية المصنوعة من الحجر الصابوني في . وقد وُسِمَت أوجهه بتصاميم مختلفة، مما يوحي لبعض العلماء أنه ربما استُخدِم زهرًا للنرد.

 الإغريق 

اكتشف علماء الرياضيات الإغريق ودرسوا متعددات الوجوه المحدبة المنتظمة، والتي عُرفت باسم المجسمات الأفلاطونية. ويرد أول وصف مكتوب لها في حوار لأفلاطون يحمل اسم طيماوس (قرابة 360 قبل الميلاد)، والذي يربط أربعة منها بالعناصر الأربعة والخامس بالشكل العام للكون. كُتبت معالجة رياضياتية أكثر لمتعددات الوجوه الخمسة هذه بعد فترة وجيزة في كتاب الأصول لإقليدس. كتب أحد الشارحين الأوائل عن إقليدس (ربما جيمينوس) أن نسبة هذه الأشكال إلى أفلاطون غير صحيحة: فقد عَرَف فيثاغورس رباعي الوجوه والمكعب وعشروني الوجوه، واكتشف ثياتيتوس (نحو 417 قبل الميلاد) الشكلين الآخرين، وهما ثماني الوجوه عشروني الوجوه. وسَّع أرخميدس دراسته في وقت لاحق لتشمل متعددات الوجوه المحتتنة المحدبة التي تحمل اسمه الآن، لكن عمله الأصيل ضاع، ولم يبقلى منه إلا مجسماته التي ذكرها ببس الرومي.

 الصين القديمة 
تصغير|زهر نرد ذو أربعة عشر وجهًا يعود إلى حقبة الممالك المتحاربة
يعود تاريخ كل من زهر النرد المكعب وزهر النرد ذي الأربعة عشر وجهًا على شكل  في الصين إلى حقبة الممالك المتحاربة.

وصف ليو هوي بحلول عام 236 الميلادية تقطيع المكعب إلى رباعي الوجوه المميز له () والمجسمات ذات الصلة، مستخدمًا تجميعات هذه المجسمات باعتبارها أساسًا لحساب أحجام التربة التي يجب نقلها أثناء الحفريات الهندسية التطبيقية.

 العصر الذهبي للإسلام 

ساهم علماء الحضارة الإسلامية في الحفاظ على المعرفة الإغريقية المرتبطة بمتعددات الوجوه ونقلها إلى الأجيال التالية بترجمتها إلى العربية. ثم أضافوا عليها من اكتشفاتهم، فأدرج ثابت بن قرة مثلًا في القرن التاسع الميلادي حساب الأحجام في دراساته، وكتب عملاً عن ذي الوجوه المكعبي الثماني. بعد ذلك وصف أبو الوفاء البوزجاني في القرن العاشر الميلادي متعددات الوجوه الكروية شبه المنتظمة ومتعددات الوجوه المنتظمة المحدبة.

 عصر النهضة 

كما هو الحال مع مجالات أخرى من الفكر اليوناني التي حافظ عليها العلماء المسلمون وعززوها، انتعش الاهتمام الغربي بمتعددات الوجوه خلال عصر النهضة الإيطالية. حيث أنشأ الفنانون متعددات وجوه هيكلية وصوروها من الحياة باعتبارها جزءًا من تحقيقاتهم في المنظور. أصبحت  المصنوعة من الخشب والمستخدمة لدعم العَمَرَات، تمرينًا شائعًا في الرسم المنظوري، وصُوِّرت في اللوحات الخشبية المُطَعَّمَة في تلك الفترة باعتبارها رمزًا للهندسة. كتب بييرو ديلا فرانشيسكا عن إنشاء مناظر منظورية لمتعددات الوجوه وأعاد اكتشاف العديد من المجسمات الأرخميدية. رسم ليوناردو دا فنشي نماذج هيكلية للعديد من متعددات الوجوه لتدوينها في كتاب للوكا بتشولي، مع نص مُنتَحَل إلى حد كبير من ديلا فرانشيسكا. ظهرت شبكات متعددات الوجوه في أعمال ألبرشت دورر.

تبحث العديد من الأعمال من تلك الفترة في متعددات الوجوه النجمية وغيرها بتفاصيل الأشكال الأفلاطونية الأساسية. توجد  رخامية في أرضية كنيسة القديس مرقس في البندقية، صممها باولو أوتشيلو، وهي تُصوِّر اثنعشري وجوه مستنجم. ومع انتشار عصر النهضة إلى خارج إيطاليا، صوّر فنانون لاحقون مثل  ودُورَر وغيرهما أيضًا متعددات وجوه متزايدة التعقيد، وكثير منها جديد، في تنميشات إبداعية. استخدم يوهانس كبلر (1571-1630) المضلعات النجمية، وهي عادةً نجوم مُخَمَّسِيَّة، لإنشاء متعددات وجوه نجمية. ربما اكتُشفت بعض هذه الهيئات قبل زمن كبلر، لكنه كان أول من أدرك أنه يمكن اعتبارها "منتظمة" إذا أزالنا القيد الذي ينص على أن متعددات الوجوه المنتظمة يجب أن تكون مُحدَّبة.

ذُكِرَت صيغة أويلر لمتعددات الوجوه في الفترة نفسها، وهي معادلة خطية تربط بين عدد رؤوس متعدد الوجوه وعدد حروفه ووجوهه، للمجسمات الأفلاطونية في عام 1537م في مخطوطة غير منشورة لفرانشيسكو موروليكو.

 بين القرنين 17 و19 
ألَّف رينيه ديكارت، قرابة عام 1630، كتابه "" الذي يدرس فيه متعددات الوجوه المحدبة باعتباره مفهومًا عامًا، لا يقتصر على المجسمات الأفلاطونية وتفاصيلها. وقد فُقد هذا العمل ولم يعاد اكتشافه حتى القرن التاسع عشر. كانت إحدى إسهاماته ، والتي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بصيغة أويلر لمتعددات الوجوه. قدم ليونهارت أويلر، الذي سُميت الصيغة باسمه، هذه الصيغة في عام 1758 لمتعددات الوجوه عمومًا، وإن كان ذلك مع برهان غير صحيح. أصبح عمل أويلر، مع الحل الذي سبق وقدمه لأحجية جسور كونيغسبرغ السبعة، أساس المجال الجديد للطبولوجيا. طوّر هنري بوانكاريه  وبرنهارت ريمان وآخرون في أواخر القرن التاسع عشر المفاهيم الأساسية لهذا المجال، بما في ذلك تعميمات صيغة متعددات الوجوه.

وسَّع لويس بوانسو نطاق عمل كبلر في أوائل القرن التاسع عشر، واكتشف متعددَيْ الوجوه النجميين المنتظمين المتبقيين. أثبت أغسطين لويس كوشي بعد فترة وجيزة اكتمال قائمة بوانسو، مع مراعاة افتراض غير مذكور بأن تسلسل رؤوس وحروف كل جانب مضلعي لا يمكن أن يقبل التكرار (وهو افتراض أُخذ بعين الاعتبار ولكن رُفِضَ في الأعمال الأولى ). أصبحت تعرف باسم متعددات وجوه كبلر وبوانسو، وأطلق آرثر كيلي عليها أسماءها المعتادة. وفي الوقت نفسه، قاد اكتشاف الأبعاد الأعلى في أوائل القرن التاسع عشر  بحلول عام 1853 إلى فكرة متعددات الأكناف عالية الأبعاد. بالإضافة إلى ذلك، في أواخر القرن التاسع عشر، أكمل عالم البلورات الروسي يفغراف فيودوروف تصنيف متوازيات الوجوه، وهي متعددات الوجوه المحدبة التي تبلّط الفضاء عن طريق الانسحابات.

 بين القرنين 20 و21 

طرح الرياضياتي الألماني ديفيد هلبرت مجموعة مسائل في المؤتمر الدولي للرياضيات في باريس عام 1900م، سميت مسائل هلبرت، وقال أنها ستحدد شكل الرياضيات في القرن المقبل، لأن لها صلات وجذور بفروع متعددة من الرياضيات. وكانت إحدى هذه المسائل، وهي ، تتعلق بمتعددات الوجوه وتقطيعها. وسرعان ما حُلَّت على يد تلميذ هلبرت ماكس دين، عندما قدم لامتغير دين لمتعددات الوجوه. وقد ميزت  التي نشرها  عام 1992، بيانات متعددات الوجوه المحدبة، حيث أدخلت الأفكار الحديثة من نظرية البيان والتوافيقيات في .

يمكن إنشاء متعددات الوجوه كبلر وبوانسو من المجسمات الأفلاطونية عن طريق عملية تُسمَّى الاستنجام. معظم الاستنجامات ليست منتظمة. أعطى هارولد كوكستر وآخرون دفعة كبيرة لدراسة استنجامات المجسمات الأفلاطونية في عام 1938، مع المقالة البحثية الشهيرة الآن "". أشار تحليل كوكستر إلى ولادة جديدة للاهتمام بالهندسة. مضى كوكستر نفسه في تعداد متعددات الوجوه المحتتنة النجمية أول مرة، ومعالجة تبليطات المستوي على أنها متعددات وجوه، واكتشاف ، وتطوير نظرية  التي اكتشفها شيبارد أول مرة في عام 1952، بالإضافة إلى تقديم مساهمات أساسية في العديد من مجالات الهندسة الأخرى.

أشار كل من برانكو غرونباوم وإمره لاكاتوش في الجزء الثاني من القرن العشرين إلى ميل علماء الرياضيات إلى تعريف ”متعدد الوجوه“ بطرق مختلفة وأحيانًا غير متوافقة لتناسب احتياجات اللحظة. في سلسلة من المقالات البحثية، وسّع غرونباوم التعريف المقبول لمتعدد الوجوه، واكتشف العديد من متعددات الوجوه المنتظمة الجديدة. اندمجت هذه الأفكار الأخيرة في نهاية القرن العشرين مع أعمال أخرى حول مُركَّبَات الوقوع لتكوين الفكرة الحديثة لمتعدد الوجوه المجرد (باعتباره متعدد الأكناف المجرد ثلاثي الأبعاد)، ولا سيما تلك التي قدمها ماكمولن وشولته.

اكتُشفت متعددات الوجوه في العديد من مجالات العلوم. فقد ظهرت المجسمات الأفلاطونية في الكائنات الحية، كما هو الحال في  التي تمتلك بنية عشريني الوجوه المنتظم. وصف إرنست هيكل عددًا من أنواع الشَّعُوعِيَّات، التي تتشكل بعض أصدافها على شكل متعددات وجوه منتظمة مختلفة. وتُشَكِّل الأصداف البروتينية الخارجية للعديد من الفيروسات متعددات الوجوه المنتظمة. على سبيل المثال، فيروس العوز المناعي البشري (HIV) محاط بعشروني وجوه منتظم، وكذلك رأس الفيروس العضلي النمطي. وقد ظهر عشروني الوجوه المنتظم أيضًا في تطبيقات الخرائطية عندما استخدم ر. بوكمينستر فولر شبكته في مشروعه المعروف باسم ، وأدرك بإحباط أن حجم غرينلاند أصغر من حجم أمريكا الجنوبية.

يتكرر ظهور متعددات الوجوه في الهندسة الحوسبية الحديثة والرسوميات الحاسوبية  خاصةً إعادة إنشاء السطوح المتعددة الوجوه أو شبكات السطح المضلعاتية من نقاط المعطيات المتبعثرة، والخطوط المتقاصرة على السطوح المتعددة الوجوه،  والإضاءة في مشاهد متعددات الوجوه، ومتعددات المكعبات ومتعددات الوجوه الأخرى غير المحدبة ذات الجوانب الموازية للمحاور، والأشكال الخوارزمية لمبرهنة شتاينتس، والمسألة التي لم تُحل بعد المتمثلة في وجود شبكات لمتعددات الوجوه المحدبة.

 معرض صور 

 انظر أيضًا 

 الملاحظات 

 مسرد 
#متعدد أكناف ثلاثي الأبعادمتعدد أكناف رباعي الأبعادAمتعدد وجوه مجردAbstract polyhedronمتعدد وجوه غير ذاتي التقاطعAcoptic polyhedronمبرهنة ألكسندروف للوحدانية Alexandrov's uniqueness theoremمنوعة جبريةAlgebraic varietyخوارزميةAlgorithmعيب زاويAngular defectحلقةAnnulusموشور تخالفيAntiprismتناظر ضد موشوريAntiprismatic symmetryلامنتهيات الوجوهApeirohedronقمة (لشكل هندسي)ApexقوسArcمجسم أرخميديArchimedean solidمحورAxisBقاعدة (لشكل هندسي)Baseمبرهنة الكيرBellows theoremثنائي هرمBipyramidمبرهنة بوياي وغيرفينBolyai–Gerwien theoremحدودBoundaryمتعدد وجوه محدودBounded polyhedronكرة بِغْلَو البُّرُورُوِيَّةBraarudosphaera bigelowiiمبرهنة الفراشةButterfly theoremCمتعدد وجوه قانونيCanonical polyhedronمجسم كاتالانCatalan solidمبرهنة كوشي للجَسَاءة Cauchy's rigidity theoremخليةCellمُجمَّع خلويCell complexمركز (لشكل هندسي)CentroidيدوانيةChiralityزمرة متعدد وجوه يدوانيةChiral polyhedral groupكرة محيطةCircumsphere, Circumscribed sphereتصنيف المتنوعات Classification of manifoldsتوافيقيCombinatorialتوافيقياتCombinatoricsجبر تبديليCommutative algebraمتعدد وجوه عُقديComplex polyhedronزمرة انعكاس عُقديةComplex reflection groupمُركَّب خمس رباعيات الوجوهCompound of five tetrahedraمتعدد وجوه مؤلفComposite polyhedronهندسة حوسبيةComputational geometryرسوميات الحاسوبComputer graphicsتشكيلةConfigurationمُركِّبة مترابطةConnected componentغلاف محدبConvex hullمضلع محدبConvex polygonمتعدد وجوه محدبConvex polyhedronوضع محدبConvex positionمجموعة محدبةConvex setقبعة متصالبةCross-capمتعدد وجوه تشاسارCsászár polyhedronمكعبCubeشهد مكعبيCubic honeycombذو الوجوه المكعبي الثمانيCuboctahedronقبةCupolaمتعدد وجوه منحنٍCurved polyhedraزمرة دوريةCyclic groupأسطوانةCylinderDمُنْحَلّDegenerateانحلالDegeneracyلامتغير دينDehn invariantمعادلات دين وسومرفيلDehn–Sommerville equationsدلتاوي وجوهDeltahedronذو 24 وجهًا حدئيًاDeltoidal icositetrahedronمبرهنة ديكارت عن العيب الزاوي الكليDescartes' theorem on total angular defectقُطْرDiagonalثنائي الجوانبDigonزاوية ثنائية الوجهDihedral angleبُعدDimensionتقطيع (شكل هندسي)Dissectionمبرهنة التباعدDivergence theoremاثنا عشري وجوهDodecahedronجداء سُلَّميDot productثِنْوِيّDualمتعدد وجوه ثِنْوِيّDual polyhedronترتيب جزئي Dual orderثِنْوِيَّةDualityEحرف، حافةEdgeانتقالي الحروفEdge-transitiveمتعدد وجوه ابتدائيElementary polyhedronطَمْرEmbeddingمجموعة خاليةEmpty setهرم مربع متساوي الحروف Equilateral square pyramidكثير حدود إرهارتEhrhart polynomialفضاء إقليديEuclidean spaceمميزة أويلرEuler characteristicصيغة أويلر لمتعددات الوجوهEuler's polyhedral formulaFوجهFaceانتقالي الوجوهFace-transitiveكَنَف (تعميم وجه على أي بعد)
وُجَيْه (مضلع تكون زواياه رؤوسًا لمتعدد وجوه وليس وجهًا)Facetوَيْجَهَة FacetingهيئةFigureمتعدد وجوه انثنائيFlexible polyhedronجذعFrustumزمرة متعدد وجوه كاملةFull polyhedral groupGجنسGenusخط متقاصرGeodesicتصميم هندسيGeometric designبيانGraphنظرية البيانGraph theoryقوس أعظمGreat arcمُوَازي وجوه مكعبي مكعبي ثماني عظيمGreat cubicuboctahedronزمرةGroupHنصف فضاء Half-spaceتطبيق هيوود Heawood mapهرم مسدس Hexagonal pyramidمسائل هلبرتHilbert's problemsمسألة هلبرت الثالثة Hilbert's third problemمسألة هلبرت الثامنة عشرHilbert's eighteenth problemفضاء هلبرتHilbert spaceشَهْدHoneycombمستكثر الوجوهHosohedraفضاء زائديHyperbolic spaceIعشروني وجوهIcosahedronتناظر عشروني الوجوهIcosahedral symmetryذو الوجوه الاثنا عشري العشروني  Icosidodecahedronنقطة مثاليةIdeal pointمتعدد وجوه مثاليIdeal polyhedronهندسة الوقوع Incidence geometryكرة محاطةInsphere, Inscribed sphereعدد صحيحIntegerمتعدد وجوه صحيحIntegral polyhedraمتآسي الرؤوس Isogonalمتآسي الوجوه (صفة)Isohedralمتآسي وجوهIsohedronمتآسي الحروف (أو الحافات)IsotoxalJعشروني وجوه ييسنJessen's icosahedronمجسم جونسونJohnson solidKمتعدد وجوه كبلر وبوانسوKepler–Poinsot polyhedronقارورة كلاينKlein bottleLشَبِيكةLatticeمتعدد وجوه شَبِيكيLattice polyhedronمعادلة خطيةLinear equationقطعة مستقيمةLine segmentMمُتنوِّعةManifoldتطبيقMap, mappingفضاء متريMetric spaceكرة وسيطةMidsphereمجموع منكوفسكيMinkowski sumشريط موبيوس Möbius stripبردية موسكو الرياضيةMoscow Mathematical PapyrusNمتعدد وجوه نوني الأبعادn-dimensional polyhedronمتعدد وجوه نبيلNoble polyhedronمتعدد وجوه غير محدبNon-convex polyhedronOثماني وجوهOctahedronتناظر ثماني الوجوهOctahedral symmetryترتيب معاكس Opposite orderقابل للتوجيه Orientableقابلية التوجيهOrientabilityمتعدد وجوه متعامدOrthogonal polyhedronمُبسَّط قائمOrthoschemePمتوازي وجوهParallelepipedمتوازي متعدد الوجوهParallelohedronمجموعة مرتبة جزئيًا Partially ordered setترتيب جزئيPartial orderعموديPerpendicularمخمس نجميPentagramمنظورPerspectiveبيان مستوٍPlanar graphمستوٍPlaneمجسم أفلاطونيPlatonic solidزمرة نقطيةPoint groupتحويل معاكس قطبيPolar reciprocationمتعدد مكعباتPolycubeمضلعPolygonشبكة مضلعيةPolygonal netسطح متعدد الوجوهPolyhedral surfaceمُركَّب متعددات وجوهPolyhedral compoundمتعدد وجوهPolyhedronزمرة متعدد وجوهPolyhedral groupدومينو متعددPolyominoمتعدد أكنافPolytopeموشورPrismتناظر موشوريPrismatic symmetryموشور متوازي الوجهينPrismatoid ذو الوجوه المكعبي الثماني المعيني الزائفPseudorhombicuboctahedronهرمPyramidتناظر هرميPyramidal symmetryبيريتي وجوه Pyritohedronتناظر بيريتي Pyritohedral symmetryQشبه منتظمQuasiregularRالشَّعُوعيّاتRadiolariansتحقيقRealizationمستو إسقاطي حقيقيReal projective planeمتوازي مستطيلاتRectangular cuboidمضلع مستقيمRectilinear polygonرباعي وجوه ريفReeve tetrahedronانعكاسReflectionتناظر انعكاسيReflection symmetryمضلع منتظم Regular polygonمتعدد وجوه منتظم Regular polyhedronشهد اثني عشريات الوجوه المعينيةRhombic dodecahedral honeycombاثنا عشري وجوه معينيةRhombic dodecahedronذو الوجوه المكعبي الثماني المعينيRhombicuboctahedronثلاثوني وجوه معينيةRhombic triacontahedronزاوية قائمةRight angleدورانRotationطارمةRotundaانعكاس دوراني RotoreflectionSمَقَاسScaleمتعدد وجوه شونهارتSchönhardt polyhedronمتعدد وجوه ذاتي التقاطعSelf-crossing polyhedronنصف منتظمSemiregularجسور كونيغسبرغ السبعةSeven Bridges of KönigsbergشكلShapeمضلع بسيط Simple polygonمُبسَّطSimplexمتعدد أكناف مبسطةSimplicial polytopeهيكلSkeletonمتعدد وجوه متخالفSkew polyhedronتشريحSlicingاثنا عشري وجوه مستنجم صغيرSmall stellated dodecahedronذو الوجوه المكعبي الثماني الأفطسSnub cuboctahedronذو الوجوه الاثنا عشري العشروني الأفطسSnub icosidodecahedronمجسمSolidهيئة مجسمةSolid figureمتعدد وجوه مجسمSolid polyhedronمتعدد وجوه مالئ للفضاءSpace-filling polyhedronمتعدد وجوه كرويSpherical polyhedronهرم مربعSquare pyramidمتعدد وجوه نجميStar polyhedronمبرهنة شتاينتسSteinitz's theoremاثنا عشري وجوه مستنجم Stellated dodecahedronاستنجامStellationمبرهنة الكير القويStrong bellows theoremبنيةStructureسطحSurfaceمساحة سطح Surface areaشبكة سطح Surface meshتناظرSymmetryزمرة تناظرSymmetry groupعملية تناظرSymmetry operationمدار تناظر Symmetry orbitمتعدد وجوه سيلاشي Szilassi polyhedronTمُماسTangentرَصْفTessellationرباعي وجوهTetrahedronتناظر ثلاثي الوجوهTetrahedral symmetryموازي وجوه رباعي نصف سداسيTetrahemihexahedronطيماوسTimaeusقرص طبولوجيTopological diskكرة طبولوجيةTopological sphereطبولوجياTopologyطارانيToroidطارانيToroidalمتعدد وجوه طارانيToroidal polyhedronمُنوَّعة طاريةToric varietyطارةTorusانسحابTranslationحدئي وجوهTrapezohedronشبه منحرفTrapezoidعشروني وجوه مثلوثةTriakis icosahedronموشور مثلثTriangularتثليث زاويTriangulationموشور مثلث ثلاثي الزيادةTriaugmented triangular prismعشروني وجوه مبتورTruncated icosahedronرباعي وجوه مبتورTruncated tetrahedronثماني وجوه مبتورTruncated octahedronشهد ثمانيات الوجوه المبتورةTruncated octahedral honeycombشهد رباعيات الوجوه وثمانياتهاTetrahedral-octahedral honeycombثنائي الأبعادTwo-dimensionalثلاثي الأبعادThree-dimensionalUمتعدد وجوه غير أمينUnfaithful polyhedronمتعدد وجوه مُحتَتِنUniform polyhedronمتعدد وجوه نجمي مُحتَتِنUniform star polyhedronمتجه الوحدةUnit vectorVمُنوَّعةVarietyمتجهVectorرأسVertexتشكيلة رأسVertex configurationانتقالي الرؤوسVertex-transitiveهيئة الرأسVertex figureحجمVolumeWفقاعات وير وَفيلان Weaire-Phelan bubblesإسفينWedgeإطار سلكيWire-frameZمتعدد وجوه نُطُقِيّZonohedron

 المراجع 
 فهرس الإحالات 
المنشورات
العربية

الألمانية

الإنجليزية

الفرنسية

الوب
بالإنجليزية

 معلومات المراجع كاملة 
الكتب
العربية
















الألمانية



الإنجليزية










































المقالات المحكَّمة
بالألمانية



بالإنجليزية


























































بالفرنسية



الأطاريح



 روابط خارجية 
 النظرية العامة 
 إريك و. ويستاين، "متعدد الوجوه"، ماثوورلد (بالإنجليزية)
 صفحات متعددات الوجوه (بالإنجليزية)
 حل مُحتَتِن لمتعددات الوجوه المحتتنة للدكتور تسفي هارئيل  (بالإنجليزية)
 التناظر، والبلورات ومتعددات الوجوه (بالإنجليزية)

 قوائم وقواعد معطيات متعددات الوجوه 
 متعددات الوجوه في الواقع الافتراضي – موسوعة متعددات الوجوه. (بالإنجليزية)
 نماذج الهندسة الإلكترونية – يحتوي على مجموعة مختارة من متعددات الوجوه ذات الخصائص غير العادية والتي راجعها من الأقران. (بالإنجليزية)
 نماذج متعددات الوجوه – متعددات الوجوه الافتراضية. (بالإنجليزية)
 نماذج ورقية لمتعددات الوجوه المحتتنة (وغيرها) (بالإنجليزية)

 البرمجيات المجانية 
 وفرة متعددات وجوه – مجموعة تفاعلية ومجانية من متعددات الوجوه في جافا (Java). تشمل الميزات شبكات، ومقاطع مستوية، وثنويات، وبُتُور، واستنجامات لأكثر من 300 متعدد وجوه. (بالإنجليزية)
 مُشَرِّح متعددات الأكناف النجمية في الفضاء الفوقي – بُريمِج جافا مستكشف، يتضمن مجموعة متنوعة من خيارات العرض ثلاثي الأبعاد (بالإنجليزية)
  (openSCAD) – برمجية مجانية متعددة المنصات للمبرمجين. تعد متعددات الوجوه واحدة من الأشياء التي يمكنك تصميمها. يتوفر أيضًا دليل المستخدم لبرمجية . (بالإنجليزية)
 أوبن فوليم ماش (OpenVolumeMesh) – مكتبة  مفتوحة المصدر ومتعددة المنصات لمناولة الشبكات من متعددات الوجوه. طورتها مجموعة رسوميات الحاسوب في آخن، جامعة آخن التقنية. (بالإنجليزية)
 بوليهيدرونيسم (Polyhedronisme)  – أداة قائمة على الويب لتوليد نماذج متعددات الوجوه باستخدام تدوين كونواي لمتعددات الوجوه. يمكن تصدير النماذج على شكل صور PNG ثنائية الأبعاد أو ملفات OBJ ثلاثية الأبعاد أو VRML2. (بالإنجليزية)

 موارد لصنع النماذج المادية 
 نماذج ورقية لمتعددات الوجوه شبكات مجانية لمتعددات الوجوه. (بالإنجليزية)
 تعليمات بسيطة لإنشاء أكثر من 30 متعدد وجوه من الورق (بالإنجليزية)
 متعددات وجوه مَجْدُولَة بشرائط ورقية – نماذج متعددات وجوه منشأة دون استخدام الغراء. (بالإنجليزية)

تصنيف:متعددات الوجوه