هرم (هندسة)

الهرم  مُتعدِّد وجوه موشوري، أي تقع رؤوسه في مستويين متوازيين، في الأول رأس واحد يُسمَّى القمة وفي الآخر سائر الرؤوس التي تُشكِّل قاعدةً مُضلَّعة.

للهرم أنواع عديدة حسب نوع قاعدته، فلو كانت مثلثًا وُصِف بالهرم المُثلَّث، ولو كانت مُربَّعًا وُصِف بالهرم المربع وهكذا، ولو كانت قاعدته مضلعًا منتظمًا وُصِف بالانتظام، كأن يقال هرمٌ مخمَّسٌ منتظَم، أي قاعدته مُخمَّس منتظم.

الأهرام كلها ذاتية الثنوية، أي أن ثنوي الهرم هو الهرم نفسه.

 التعريف 

الهرم مُتعدِّد وجوه يُنشَأ بوصل رؤوس مُضلَّع مستوٍ، يُسمَّى قاعدة الهرم، إلى نقطة خارج المستوي تُسمَّى قمته. للهرم وجوه الجانبية كلها مُثلَّثات، يَتحدَّد عددها بنوع قاعدته، لو كانت القاعدة مُثلَّثة فعدد الوجوه الجانبية 3، ولو كانت القاعدة مُربَّعة فعدد الوجوه الجانبية 4، وهكذا ... تتشكل الوجوه الجانبية باتصال قمة الهرم برأسين متجاورين متصلين من رؤوس القاعدة، تُسمَّى الحروف التي تصل القاعدة بالقمة بالحروف الجانبية.

عُرِف الهرم تاريخيًا، ووصفه عدد من الرياضياتيين في الأزمنة القديمة، أهمهم إقليدس الذي وصفه في كتابه
الأصول بأنه شكل مُجسَّم يُنشأ من مستوٍ ونقطة خارجه، وقد وضَّح هيرون الإسكندراني التعريف بإضافة أن الإنشاء يكون بوصل النقطة مع رؤوس قاعدة مُضلَّعة في المستوي.

الهرم من الموشوريات، لأن رؤوسه تقلع في مستويين متوازيين، يضم أحدها قمته، ويُضم الثاني سائر الرؤوس الأخرى التي تُشكِّل قاعدة مُضلَّعة.

 التصنيف والأنواع 

الهرم مُتعدِّد وجوه موشوري، لو كانت قاعدته مضلعًا مُحدَّبًا فإنه يكون متعدد وجوه مُحدَّب. يعني (التحدُّب) أن بالإمكان رسم خط مستقيم من أي نقطة داخل الهرم، أو على أحد وجوهه، إلى أي نقطة أخرى داخله، أو على أحد حروف، من غير أن يقطع الخط أحد وجوه الهرم، أما (موشوري) فتعني أن رؤوسه تقطع في مستويين متوازيين، يضم الأول قمة الهرم والثاني قاعدته. تُصنَّف الأهرام حسب نوع قاعدتها إلى: مُثلَّثة لو كان القاعدة مُثلَّثًا ومُربَّعة لو كانت مُربعًا، ومُخمَّسة لو كانت مُخمَّسًا ونونية لو كان عدد أضلاعها ، أما لو انتهى عدد أضلاع القاعدة إلى اللانهاية، فإن الهرم ينتهي إلى مخروط.

يُوصَف الهرم بأنه منتظَمٌ لو كانت قاعدته مُضلعًا منتظَمًا، ويوصف الهرم بأنه قائم إذا كان محوره، أي المستقيم المار من قمته ومن مركز قاعدته عموديًا على القاعدة. ويُوصف بأنه مائل كان مسقط القمة على مستوي القاعدة يقع خارج القاعدة المُضلَّعة، في حين تكتفي مصادر أخرى بوصف أي هرم غير قائم بأنه منحرف. لا يوجد اتفاق عام حول هذه تعريف هذه الخواص. فبعض المصادر تقول أن الهرم قائم حالة خاصة من الهرم المُنتظَم، فتستثني من ذلك حالات مثل الهرم المستطيل والهرم المُعيَّن، حتى لو كان محور القاعدة مارًا من القمة. في حين تقصر بعض التعاريف حالة الهرم القائم على "الهرم القائم" على الهرم الذي تكون قاعدته مرتسمة على دائرة على أن يلتقي عامد الهرم بالقاعدة في مركز تلك الدائرة.

لو كان لهرم ما قاعدة مُضلَّعة مُنتظَمة نونية عدد أضلاعها ، فإن عدد رؤوسه سيكون  رأسًا وعدد وجوهه  وجهًا وعدد حروفه  حرفًا. وجوه هذا الهرم الجانبية مُثلَّثات متساوية الساقين، زمرة تناظره  من الرتبة : أي أنه متناظر عند تدويره حول محوره بخطوات قيمتها  درجة، لهذا الهرم أيضًا تناظر مرآتي بالنسبة لأي مستوي منصف لقاعدته وعمود عليها. الهرم المُربَّع والهرم المُخمَّس مثالان على ذلك: 4 وجوه مُثلَّثة وقاعدة مربعة، وخمسة وجوه مثلثة وقاعدة مُخمَّسة على الترتيب، لو كانت الوجوه كلها مُنتظَّمة استوفى الهرمان عندها شروط مُجسَّمات جُنسون وشغلا الموقع الأول  والثاني  على الترتيب في القائمة، للأول زمرة تناظر  من الرتبة الثامنة وللثاني  من الرتبة العاشرة. أما الهرم المُثلَّث المنتظَم، وهو نفسه رباعي الوجوه فله 4 وجوهٍ هي مثلثات متساوية الأضلاع يُعدَّ واحدٌ منها قاعدة والثلاثة الأُخرى وجوهًا جانية، هذا المُجسَّم يستوفي شروط المُجسَّمات الأفلاطونية ودلتاويات الوجوه وله . للأهرام غير المنتظمة التي قاعدتها مُعيَّن أو شبه منحرف زمرة تناظر هي  من الرتبة 4.

150بك|يمين|تصغير|هرم نجمي
تصغير|Wheel graphs.svg|بيان عجلي يُمثِّل أهرامًا مرُبَّعة حتى متسَّعة.
الأهرام كلها ذاتية الثنوية، أي أن ثنوي الهرم هو الهرم نفسه. يُمثَّل  للهرم ، أي بيان له شكل مُضلَّع تتصل رؤوسه كلها مع عقدة في المركز تُسمَّى .

لو كانت قاعدة الهرم مضلعًا نجميًا، فإن الهرم يُسمَّى هرمًا نجميًا، ويختلف هذا الهرم عن سائر الأهرام السابقة بأنه متعدد وجوه مُحدَّب.

 القياسات 
مساحة سطح الهرم هي مجموع مساحة سطوح وجوهه، أي مجموعة مساحات المثلثات التي تُشكِّل وجوهه الجانبية مضافًا لها مساحة القاعدة المُضلَّعة.

حجم الهرم  هو ثلث جداء مساحة القاعدة  بطول العامد ، وهو القطعة المستقيمة الواصلة بين القمة ومسقطها القائم على القاعدة، أي:

 التعميم 
تصغير|205بك|هرم فائق رباعي الأبعاد قاعدته مُكعَّب

الهرم الفائق تعميم للهرم في فضاء نوني الأبعاد. في الفضاء ثلاثي الأبعاد يُنشَأ الهرم بوصل رؤوس قاعدته المُضلَّعة، التي تقع في مستو واحد، إلى رأسٍ يقع خارج ذلك المستوي هو قمته. ويكون طول عامد الهرم القطعة المستقية الواصلة بين القمة والقاعدة والعمودية على مستوي الأخيرة. يُعمَّم هذا الإنشاء على n بُعدًا: تُصبح القاعدة متعدد أكناف بُعده  في مستوٍ فائق أبعاده . تتموضع القمة، وهي نقطة، خارج المستوي الفائق وتتصل مع كل رؤوس متعدد الأكناف.

يُحسب الحجم البعدي النوني  لهرم فائق نوني الأبعاد كما يلي:

وفيه  هو الحجم في البعد  و هو العامد: المسافة الفاصلة بين القمة المستوي الفائق الذي توجد فيه القاعدة.

 العلاقة مع متعددات وجوه أخرى 

يرتبط الهرم بعلاقات مختلفة مع عدد من متعددات وجوه الأخرى:

 إذا بُتِرت قمة الهرم بمستوٍ موازٍ لقاعدته، فإن الناتج يُسمَّى جذع الهرم.
 إذا ألصق هرمان متطابقان القاعدة إلى القاعدة ينتج مُتعدد وجوه يُسمَّى ثنائي الهرم، وقد يكون مثلثًا أو مربعًا أو مُخمَّسًا أو غير ذلك حسب نوع الهرمين.
 يُمكن أن يُلصق الهرم على سطوح متعددات وجوه أخرى فتنتج متعددات وجوه جديدة:
 لو أُلصِق الهرم على إحدى قاعدتي موشور، يُسمَّى الناتج الهرم المطال.
 لو أُلصِق الهرم على إحدى قاعدتي موشور تخالفي، يُسمَّى الناتج هرم مطال بالبرم.

تُستعمل الأهرام في إنشاء عدد من مُجسَّمات جُنسون، ويكون ذلك بالتعزيز، وهو يعني إلصاق قبة أو هرم، إلى وجه واحد على الأقل لمتعدد وجوه آخر، مثل الموشور، ومن متعددات الوجوه التي تُنشأ بهذه العملية:  و و و

تصغير|450بك|يُنشأ اثنا عشري الوجوه المستنجَم الصغير بإلصاق 12 هرم مُخمَّس منتظَم، واحد على كل وجه من وجوه اثني عشري وجوه منتظَم.

يُستعمل الهرم في إنشاء اثني عشري الوجوه المُستنجَم الصغير بعملية تُسمَّى الاستنجام، واثنا عشري الوجوه هو من مُتعدِّدات وجوه كِبْلر وبوانسو، هي  منتظمة غير محدَّبة. يُنشأ اثنا عشري الوجوه المُستنجَم الصغير بلصق هرم مُخمَّس مُنتظَم على كل وجوه من وجوه اثني عشري وجوه منتظَم.

 مصطلحات 

 انظر أيضًا 

 ثنائي هرم
 هرم مُربَّع
 هرم مُخمَّس

 المراجع 
 فهرس المراجع 
بالعربية

بالإنجليزية

 معلومات المراجع الكاملة 
المقالات المُحكَّمة







الكتب
بالعربية



بالإنجليزية





















 وصلات خارجية 
 صفحة هرم في موسوعة عالم الرياضيات.

تصنيف:أشكال هندسية
تصنيف:أهرام (هندسة)
تصنيف:أهرامات
تصنيف:متعددات الوجوه
تصنيف:متعددات وجوه ذاتية الثنوية
تصنيف:موشوريات