قائمة المتطابقات المثلثية

في الرياضيات، المتطابقات المثلثية أو المطابقات المثلثية أو المعادلات المثلثية هي مجموعة من المساواة تتألف من دوال مثلثية. وتعتبر المتطابقات مفيدة جدًا في تبسيط أو التحويل بين الدوال الرياضية. كما أن لها دورا كبيرا في حل المعادلات الرياضية خاصة في معكوس الدالة (كصيغة كاردان) والتكامل (كتكامل مربع جيب تمام الزاوية).

هي نوع من المعادلات التي تحتوي على قيم الدوال المثلثية (جا، جتا، ظا) أو مقلوباتها بحيث تكون إحدى زوايا المعادلة مجهولة ويحل هذا النوع من المعادلات كباقي المعادلات الجبرية العادية وبطرق التحليل المعروفة.ملخصات ايزي شوم

 ملاحظات 
 لتجنب الالتباس حول (sin−1(x ومثيلاتها هل هي مقاليب أم معاكيس، سيتم استخدام (csc(x ومثيلاتها للمقاليب و(arcsin(x ومثيلاتها للمعكوسات وهكذا.

 الدالة الدالة العكسية المقلوب معكوس المقلوبجيب الزاوية sin قوس جيب الزاوية arcsin قاطع تمام الزاوية csc قوس قاطع تمام الزاوية arccscجيب تمام الزاوية cos قوس جيب تمام الزاوية arccos قاطع الزاوية  sec قوس قاطع الزاوية  arcsecظل الزاوية tan قوس ظل الزاوية arctan ظل تمام الزاوية cot قوس ظل تمام الزاوية arccot

الجدول التالي يبين بعض وحدات الزوايا والتحويل بينها

 الدرجات 30 45 60 90 120 180 270 360 الراديان         غراد 33 ⅓ 50 66 ⅔ 100 133 ⅓ 200 300 400

 علاقات أساسية 
متطابقة فيثاغورس المثلثية متطابقة النسبة

<div style="text-align: center;">
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;text-align:center"
|+ كل دالة مثلثية بدلالة مثيلاتها الخمس الأخرى. 
! الدالة
! 
! 
! 
! 
! 
! 
|-
! 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|-
! 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|-
! 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|-
! 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|-
! 
| | 
| 
| 
| 
| 
|-
! 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|}

 التطابق، والإزاحة والدورية 
من دائرة الوحدة يمكن الحصول على المتطابقات التالية..

 التطابق 
تنجم عن عملية عكس الزوايا انعكاسات في المتطابقات المثلثية كما في الجدول التالي.

 انعكاس في  انعكاس في (متطابقة مساعدة) انعكاس في 

 الإزاحة والدورية 

 مزاحة بمقدار π/2 مزاحة بمقدار π مزاحة بمقدار 2π 

 متطابقات مجموع وفرق الزوايا 

 الجيب  جيب التمام  الظل  قوس الجيب  قوس جيب التمام  قوس الظل 

 شكل المصفوفة 



 جيوب وجيوب التمام لمجاميع حدود لانهائية 





 ظلال مجاميع حدود محدودة 



مثال:

وهكذا

 قواطع مجاميع حدود محدودة 



مثلا,



 صيغ الزوايا المتعددة 
Tn هو متعدد الحدود لشيبيشيف من الدرجة n  صيغة دي موافر،  هي وحدة تخيلية    



 صيغ أضعاف وثلاثيات وأنصاف الزوايا 

أنظر أيضا: 

 صيغ ضعف زاوية 












 صيغ ثلاثة أضعاف زاوية 












 صيغ نصف زاوية 

حيث  و  هي دالة الجزء الصحيح.










Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.20–22

أيضا: 





 جيوب، جيوب التمام، وظلال زوايا متعددة 

 ظل المتوسط 

 جداء Viète اللانهائي 



حيث تشير sinc إلى دالة الجيب الجوهري
وهي تكافئ

 صيغ اختصار الأس 

جيبجيب التمامأخرى

 جيب التمامجيب إذا كان n فرديإذا كان n زوجي

 متطابقات تحويل المجموع إلى الجداء والعكس 

من الجداء إلى المجموع    من المجموع/الفرق إلى الجداء
 متطابقات أخرى ذات صلة 

إذا كانت  تساوي نصف دائرة، فإن:

و 

 مبرهنة بطليموس 

إذا كانت  تساوي نصف دائرة، فإن:

 مركبات خطية 

حيث:

أو:

حيث:

و:

 مجاميع أخرى للدوال المثلثية 



 تحويلات كسرية خطية معينة 



وبالمثل: 

وعليه: 



 الدوال المثلثية العكسية 

 مركبات الدوال المثلثية ومعكوساتها 


 علاقة بالأس المركب 

 (صيغة أويلر),







حيث .

 صيغ الجداء اللانهائي 











 المتطابقات الخالية من المتغيرات 

 حساب π 

 بعض قيم الجيب وجيب التمام مفيدة لتقوية الذاكرة 

 قيم أخرى شيقة 

بـالنسبة الذهبية φ:

 التفاضل والتكامل 
في حساب التفاضل والتكامل، تتطلب العلاقات المذكورة أدناه قياس الزوايا بالتقدير الدائري (راديان)؛ ستصبح العلاقات أكثر تعقيدًا إذا تم قياس الزوايا
بوحدة أخرى مثل الدرجات. إذا كانت الدوال المثلثية معرفة بدلالة الهندسة، إلى جانب تعريفات طول القوس والمساحة ، يمكن إيجاد مشتقاتها من خلال التحقق من نهايتين. الأولى هي:

محققة باستخدام دائرة الوحدة ومبرهنة الساندويتش. النهاية الثانية هي:

محققة باستخدام هذه المتطابقة . بعد تحديد هتين النهايتين، يمكن للمرء استخدام تعريف النهاية للمشتقات ومبرهنات الجمع لإظهار أن  و . إذا كانت دالتي الجيب وجيب التمام معرفة بمتسلسلة تايلور الخاصة بهم، فيمكن إيجاد المشتقات عن طريق اشتقاق متسلسلة القوى حدًا بحد.

يمكن اشتقاق باقي الدوال المثلثية باستخدام المتطابقات أعلاه وقواعد التفاضل:

يمكن إيجاد المتطابقات التكاملية في قائمة تكاملات الدوال المثلثية. بعض الأشكال العامة مسرودة أدناه:

 تعاريف أسية 
الدالةالدالة المعكوسة

 متفرقات 
 نواة ديراك 

 تعويض ظل نصف الزاوية 

إذا وضعنا  :

  و  و  .

 انظر أيضًا 

 إثبات المتطابقات المثلثية

 مراجع 

تصنيف:تحليل حقيقي
تصنيف:دوال مثلثية
تصنيف:حساب المثلثات
تصنيف:قوائم متعلقة بالرياضيات
تصنيف:متطابقات رياضية