زوج لاكس

في الرياضيات، وبالتحديد في نظرية المعادلات التفاضلية، زوج لاكس  هو زوج من المصفوفات المعتمدة على الزمن التي تقوم بوصف بعض حلول المعادلات التفاضلية.
أُنشأ هذا الزوج عالم الرياضيات بيتر لاكس لمناقشة الحلول في الأوساط المستمرة. إن تحويل التبعثر المعكوس inverse scattering transform تستخدم معادلات لاكس لحل مجموعة منوعة من ما يسمى بالنماذج القابلة للحل بشكل تام للفيزياء.

 التعريف 
زوج لاكس هو زوج من المصفوفات أو المؤشرات  تعتمد على الزمن وتقوم على فضاء هلبرت الثابت، عندما تكون

حيث أن 
غالباً, كما في المثال أدناه، تعتمد  على  بالطريقة الموصوفة مسبقاً, إذاً هذه المعادلة الغير-خطية للمتغير  تعتبر كدالة للمتغير .
عندئذ يمكن أن تكون كلاً من القيم الذاتية eigenvalue و الطيف المستمر continuous spectrum
للقيمة L مستقلة عن t. المصفوفات/المؤثرات L تُدعى الطيفية المتساوية isospectral كمتغير .

الملاحظة الأساسية هي أن المعادلة الموجودة أعلاه هي على شكل اللامتناهي في الصغر infinitesimal form من عائلة المصفوفات  التي لدى جميعها نفس الطيف، وذلك باستعمال المعطيات

هنا، يمكن أن تكون الحركة g معقد بشكل تعسفي.
لنفترض العكس  لعائلة قابلة للاختلاف لمرة واحدة بشكل تعسفي من المؤثرات القابلة للعكس .
ثم نرى التغاير

with .

 مثال 
تكون معادلة كورتوغ-ديفارس (معادلة كي دي في) KdV equation

يمكن الآن إعادة صياغتها كمعادلة لاكس

مع
 (مؤثر ستورم–ليوفيل Sturm-Liouville operator)

و هذا يفسر لعدد لانهائي من التكاملات الأولى لمعادلة كي دي في.

 معادلات مع زوج لاكس 
هنالك أمثلة أخرى لأنظمة من المعادلات التي يمكن أن تُصاغ كزوج لاكس ومنها:

 معادلة بنيامين-أونو Benjamin–Ono equation
 معادلة شرودينغر اللاخطية المكعبة أحادية البعد
 نظام دافي-ستيوارتسون Davey-Stewartson system
 معادلة كادومتسيف-بيتفياشفيلي Kadomtsev–Petviashvili equation
 معادلة كورتوغ-ديفارس Korteweg–de Vries equation
 هرم كي دي في KdV hierarchy
 معادلة كورتوغ-ديفارس المعدلة Modified Korteweg-de Vries equation
 معادلة ساين-غوردون Sine-Gordon equation

 المراجع 


 P. Lax and R.S. Phillips, Scattering Theory for Automorphic Functions, (1976) Princeton University Press.

تصنيف:النظرية الطيفية
تصنيف:معادلات تفاضلية