فراشة (هندسة رياضية)

في الهندسة الرياضية،  الفراشة  رباعي أضلاع مستوٍ مُعقَّد ذاتي التقاطع، تُصنَّف أضلاعها الأربعة في مجموعتين: زوجان متقابلان متساويا الطول، وزوجان متقاطعان متساويا الطول. ولا يُشترط توازي زوجي الأضلاع المتقابلين في الفراشة، مع أن هذا ممكن، ويُنتج حينها حالة خاصة منها هي المستطيل التقاطعي أو المربع التقاطعي.

تُسمَّى الفراشة أيضًا  أو  ومعناها الحرفي مخالف متوازي الأضلاع، ويُمكن تسميتها أيضًا (ذو الضلعين متخالفا التوازي)، تُوصَف الفراشة خطأ بأنها متوازي أضلاع تقاطعي . وقد يُشار إليها أحيانًا بالأُربة الفراشية .

للفراشة تناظر محوري، ويمر محور التناظر من نقطة تقاطعها الذاتي، كما أنها رباعي دائري، أي تقع روؤسها الأربعة على دائرة واحدة. يُمكن إنشاء فراشة انطلاقًا من شبه منحرف متساوي الساقين برسم قطريه ثم حذف قاعدتيه.

 التصنيف 
تصغير|upright=1.0|تصنيف رباعيات الأضلاع بمخطط هاسه، تقع الفراشة في أقصى يمين منتصف المخطط.

الفراشة رباعي أضلاع مستوٍ مُعقَّد، أي أن له 4 رؤوس وأربعة أضلاع تقع كلها في مستوٍ واحد، وللفراشة ضلعان متقاطعان، أي أنها رباعي مُقعَّر ذاتي التقاطع.

تتميز الفراشة عن سائر الرباعيات المُقعَّرة ذاتية التقاطع بأن فيه ضلعين متقابلين متساويا الطول، وضلعين آخرين متقاطعين متساويا الطول كذلك. المستطيل التقاطعي والمربع التقاطعي حالتان خاصتان من الفراشة يكون فيهما الضلعان غير المتقاطعان متوازيان ومتساويا الطول، في المستطيل التقاطعي تتساوى زوايا الرؤوس الأربعة، وفي المربع التقاطعي تتساوى زوايا الرؤوس الأربعة ويتعامد القطرين. يمكن إنشاء كلا الشكلين بإنشاء مستطيل ومربع على الترتيب، ثم إنشاء قطريهما وحذف زوجين من الأضلاع المتوازية.

 الخواص 
تصغير|الفراشة (بالأزرق)، مع ثلاث دوائر: الدائرة المحطية (بالأحمر) والدائرتان الماستان خارجًا لضلعين منه  ولامتداداي الضعلين الآخرين (بالأصفر).
تصغير|مكوِّنات الفراشة: القطران  و والعامد .

الفراشة رباعي أضلاع مستوٍ مُعقَّد ذاتي التقاطع فيه زوجان من الأضلاع المتقابلة متساوية الطول، وزوجان من الأضلاع المتقاطعة متساوية الطول أيضًا.  تظهر الفراشة وكأنها مثلثان يشتركان برأس واحد، ولكن يلزم الانتباه إلى أن نقطة التقاطع لا تُعد رأسًا فيها. 

الفراشات رباعيات دائرية، أي أن رؤوسها كلها تقع على دائرة واحدة. بالإضافة لذلك، فإن امتدادات أضلاع الفراشة  لدائرتين، ما يجعلها وثيق الصلة برباعيات الأضلاع المماسية وبالحدآت، التي تتميز بأن لها دائرة ماسة داخلاً لأضلاعها ودائرة ماسة خارجًا لامتدادات أضلاعها.

للفراشة تناظر محوري، ويمر محور تناظرها من نقطة تقاطعها الذاتية، ولهذا فإن زوجا الأضلاع المتقابلة وزوجا الأضلاع المتقاطعة متساويا الطول مثنى مثنى، وزواياه المتناظرة متساوية المقاس أيضًا. منتصفات الأضلاع تقع خط مستقيم واحد يُعامد محور التناظر، ولهذا فإن  يتردَّى إلى رباعي أضلاع صفري المساحة تقع رؤوسه كلها على لذلك الخط المستقيم. الغلاف المُحدَّب للفراشة شبه منحرف متساوي الساقين، ويُمكن إنشاء الفراشة انطلاقًا من شبه المنحرِف برسم قطريه ثم حذف قاعدتيه، وهذا صحيح لو طُبِّق على حالات شبه المنحرف متساوي الساقين الخاصة: المستطيل والمُربَّع، ويَنتُج مستطيل تقاطعي ومُربَّع تقاطعي على الترتيب، وهما حالتان خاصتان من الفراشة.

تُشكِّل الفراشة مثلثين متطابقين يقعان في المستوي نفسه، وهما متناظران بالنسبة لنقطة تقاطع ضلعي الفراشة، ولذلك تكون  صفرية. أما مساحة الفراشة غير ذات الإشارة  فتحسب بالعلاقة:

وفيها  و قطراه و عامده.

يُمكِن بتطبيق متباينة المثلث تبيان بأن أي ضلعٍ من ضلعي الفراشة المتقاطعين أطول دائمًا من أي ضلع من الضلعين غير المتقاطعين.

التطبيقات 
متعددات الوجوه 

الفراشة شكل رأسٍ للعديد من ، مثل  و و  و و. تتقاطع متعددات الوجوه هذه بسبب مستويات تمر قرب كل رأس من رؤوسها وتعامد المحور الواصل بين ذلك الرأس ومركز المتعدِّد.

يُمكن إنشاء  بلصق هرمين قاعدتهما فراشة،  قاعدة إلى قاعدة، وهو أيضًأ  وثنائي هرم.

آلية القضبان الأربعة

تصغير|200بك|إلى اليمين وفي الوسط: فراشة ثُبت أحد ضلعيها الطويلين (المتقاطعين)، يتحرَّك المفصلان الحران على دوائر متطابقة باتجاهين متعاكسين وبسرعتين مختلفتين. إلى اليسار: متوازي أضلاع ثُبِّت أحد ضلعيه الطويلين، يتحرك المفصلان الحران على دوائر متطابقة بالسرعة وبالاتجاه نفسهما.
تصغير|200بك|إلى اليمين: فراشة مثبتة من منتصف أحد أضلاعها المتقاطعين، منتصف الضلع المتقاطع الآخر (بالأصفر) يتحرك على .

استعملت الفراشة لإنشاء آلية القضبان الأربعة، وفيها توصل 4 عوارض صلبة ثابتة الطول، هي أضلاع الفراشة، بمفاصل تتيح لها الدوران حول رؤوس الفراشة. لهذه الوصلة نقطة عدم توازن يمكن عندها تبديل هيئتها إلى متوازي الأضلاع والعكس بالعكس، ولكن لا يدوم استقرار هذه الوصلة على أي من الحالتين.

إذا ثُبِّت أحد ضلعي الفراشة الطويلين (المتقاطعين) أو أحد ضلعي متوازي الأضلاع الطويلين وتركت الأضلاع الأخرى حُرَّة فإن المفصلين سيتحركان على دوائر متطابقة كما يأتي:
 في متوازي الإضلاع: حركة المفاصل بالسرعة وبالاتجاه نفسهما.
 في الفراشة: باتجاهين متعاكسين وبسرعتين مختلفتين.

لحظ جيمس واط بأن تثبيت الفراشة من منتصف أحد ضلعيها المتقاطعين يُسبب حركة نقطة منتصف ضلعها المتقاطع الآخر وفق منحنى العروتين، وإذا كانت كانت الفراشة مربعًا تقاطعيًا، فإن المنحنى الناتج 	هو .

وصلة الفراشة التي ثُبت أحد ضلعيها المتقاطعين تنويعة لوصلة واط. الفراشة ميزة رئيسة أيضًا في تصميم  التي تستعمل لتحويل الحركة الدائرة إلى حركة خطية. يمكن أن تستخدم وصلة لها شكل الفراشة للربط بين جزعي مركبة رباعية العجلات لتقليل  تقليلاً متناسبًا مع نظام التعليق الذي يُتيح دوران جذع واحد فقط.

استعمل  زوجين من الفراشات المتداخلة لعمل وصلة وفقًا  التي تنص على أن إمكانية تتبع أي منحني جبري بتحريك مفاصل وصلة مُعرَّفة تعريقًا جيدًا. أطلق كمبي على وصلة الفراشة المتداخلة اسم المُضاعِف لأن بالإمكان استعمالها لحساب جُداء زاوية بعدد صحيح. يُمكن استخدام هذه الوصلة استخدامًا معاكسًا لما سبق، وعندها تستعمَل في تقسيم الزوايا إلى عددٍ من الأقسام المتساوية، مثلًا: تثليث زواية، أي تقسيمها إلى 3 أقسام متساوية. لم يفطن كمبي في إنشائه الأصيل إلى عدم استقرار وصلة (الفراشة/متوازي الأضلاع)، ولكن مبرهنته تبقى صحيحة إذا ثُبِّتت الوصلات.

تصميم التروس 

يمكن تثبيت أحد ضلعي الفراشة غير المتقاطعين وترك سائر الأضلاع الأخرى تتحرك بحرية. تُنشئ حركة الوصلة فراشات متنوعة، في كل منها مثلثين متطابقين يلتقيان في نقطة التقاطع. يكون مجموع طولي الضلعين المتحركين في المثلث الذي ثُبِّت أحد أضلاعه مساويًا لقيمة ثابتة هي طول أحد ضلعي الفراشة المتقاطعين في أي لحظة، وهذا يعني أن حركة نقطة التقاطع ترسم قطعًا ناقصًا بؤرتاه هما رأسا الضلع المُثبَّت. يُشكل رأسا ضلع الفراشة غير المتقاطع الآخر المتحرك بؤرتا قطع ناقص آخر مناظر للقطع الأول بالنسبة لمحور تناظر هو مُماس القطع الأول في تقطة التقاطع. 

حركة القطع الثاني تدحرج على القطع الأول، أي أن هذه الجملة تصلح لتشكيل  تُبدِّل الدوران المنتظَم إلى دوران غير منتظم والعكس وبالعكس.

 انظر أيضًا 

 رباعي أضلاع
 متوازي أضلاع

 ملاحظات  

المراجع
 فهرس الإحالات 
المنشورات

 ثبت المراجع 
الدوريات المُحكَّمة










الكتب








أطاريح



تصنيف:أنواع رباعيات الأضلاع