عدد فيرما

في الرياضيات، عدد فيرما  هو عدد صحيح موجب يكتب على شكل:

حيث n هو عدد صحيح غير سالب. سمي كذلك نسبة إلى بيير دي فيرما لأنه هو أول من درس هذه الأعداد.

إذا كان العدد 2n + 1 عددا أوليا وكان n > 0 من الممكن برهان أن n هو من مضاعفات العدد 2.

لائحة أعداد فيرما الأولية المعروفة لا تحتوي على غير F0 وF1 وF2 وF3 وF4.

 الخصائص الأساسية 
تحقق أعداد فيرما العلاقات ذاتية الاستدعاء التالية:

كلما توفر n ≥ 1.

كلما توفر n ≥ 2. يُبرهن على هذه العلاقات باستعمال البرهان بالترجع.

 هل أعداد فيرما أولية ؟ 
درست أعداد فيرما وأعداد فيرما الأولية من طرف عالم الرياضيات بيير دي فيرما، الذي حدس (ولكنه أعلن عدم إمكانه البرهان على ذلك) أن جميع أعداد فيرما هي أعداد أولية. بالفعل، فالأعداد F4,...,F0 هي أعداد أولية. ولكن هاته الحدسية دحضت من طرف ليونهارد أويلر عندما أثبت عام 1732 أن :

أثبت أويلر أن جميع العوامل القاسمة لأعداد فيرما تكتبن على الشكل k2n+1 + 1 ليثبت بعده إدوارد لوكاس أنهن تكتبن على الشكل k2n+2 + 1. (أي أنه أثبت بأن k الذي جاء في صيغة أويلر زوجي).

 تعميل أعداد فيرما 
أعداد فيرما التسعة الأولى هن :

F0 = 21+1 =3F1 = 22+1 =5F2 = 24+1 =17F3 = 28+1 =257F4 = 216+1 =65537F5 = 232+1 =4,294,967,297      =641 × 6,700,417F6 = 264+1 =18,446,744,073,709,551,617     =274,177 × 67,280,421,310,721F7 = 2128+1 =340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457     =59,649,589,127,497,217 × 5,704,689,200,685,129,054,721F8 = 2256+1 =115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,937     =1,238,926,361,552,897 × 93,461,639,715,357,977,769,163,558,199,606,896,584,051,237,541,638,188,580,280,321

 العام المخترع عدد فيرما العامل 1732 أويلر   1732 أويلر  (معملة بشكل كامل)  1855 توماس كلوسين   1855 كلوسين  (معملة بشكل كامل)  1877 بيرفوشين   1878 بيرفوشين   1886 Seelhoff   1899 Cunningham   1899 Cunningham   1903 Western   1903 Western   1903 Western   1903 Western   1903 Cullen   1906 Morehead   1925 Kraitchik  

 الأعداد شبه الأولية وأعداد فيرما 

 مبرهنات أخرى حول أعداد فيرما 
لأي عدديين صحيحين موجبين m < n العلاقة التالية تتحقق

 علاقة أعداد فيرما بمتعددات الأضلع القابلة للإنشاء 
تصغير|300px|عدد أضلع متعددات القابلة للإنشاء عدد أضلاعها يذهب إلى حدود الألف (الغليظ) أو بعدد فردي من الأضلاع (الأحمر)

طور كارل فريدريش غاوس نظرية الدورات الغاوسية في كتابه استفسارات حسابية، فأعطى شرطا كافيا لقابلية متعددٍ للأضلاع للإنشاء بالمسطرة والبركار. ادعى غاوس أن شرطه ليس كافيا فحسب، وإنما هو ضروري أيضا، ولكنه لم ينشر برهانه على ذلك. جاء بالبرهان الكامل عام 1837 عالم الرياضيات الفرنسي بيير فانتزل، مما جعل هذه النتيجة تعرف باسم مبرهنة غاوس-فانتزل.

متعددٌ للأضلاع عدد أضلاعه يساوي n قابل للإنشاء بالمسطرة والبركار وحدهما إذا وفقط إذا كان n جداءا لقوةٍ لاثنين من جهة، ولائحة من أعداد أولية لفيرما يختلف الواحد منهن عن الآخر، من جهة أخرى. بتعير آخر، إذا وفقط إذا كان n يكتب على شكل n = 2kp1p2…ps حيث k عدد طبيعي موجب وحيث pi هن أعداد أولية لفيرما يختلف الواحد منهن عن الآخر.

انظر إلى مؤشر أويلر.

 تطبيقات أعداد فيرما 
 توليد الأعداد شبه العشوائية 
 حقائق مهمة أخرى 
 أعداد فيرما المعممة 
 أعداد فيرما الأولية المعممة 

 انظر أيضا 

 مضلع قابل للإنشاء
 مبرهنة لوكاس
 عدد ميرسين الأولي
 عدد شبه أولي

 مراجع 

تصنيف:مضلعات قابلة للإنشاء
تصنيف:أصناف الأعداد الأولية
تصنيف:أعداد صحيحة كبيرة
تصنيف:حسابيات نمطية
تصنيف:سلاسل عددية
تصنيف:مسائل غير محلولة في الرياضيات
تصنيف:مقالات تحوي براهين
تصنيف:نظرية الأعداد
تصنيف:هندسة إقليدية مستوية