مسألة نهاية سعيدة

في الرياضيات، مسألة النهاية السعيدة، سميت بهذا الاسم من قبل بول إيردوس لأنها أدت إلى زواج جورج سيكيرس من إيستير كلاين، تنص على ما يلي:

أي مجموعة من خمس نقاط في المستوي في مواضع عامة تحوي على مجموعة جزئية من أربع نقاط تشكل رؤوس مضلع محدب.

كانت هذه واحدة من النتائج الأصلية التي أدت إلى تطوير نظرية رمزي.

بالإمكان إثبات مبرهنة النهاية السعيدة عن طريق تحليل حالة بسيطة: إذا كان أربع نقاط أو أكثر رؤوس لانغلاق محدب، يمكن اختيار أية أربع نقاط منهم. أما من ناحية أخرى لمجموعة النقط شكل مثلث مع نقتطين بداخله، يمكن اختيار النقتطين الداخليتين وواحد من جوانب المثلث. راجع  للشرح المصور للاثبات، و  للمزيد من الدراسة المفصلة للمسألة التي نقدمها هنا.

 مضلعات أكبر 
تصغير|مجموعة من ثمانية نقط في مواضع عامة بدون مثمن محدب.
برهن  التعميم التالي:

لأي عدد صحيح موجب N، أي مجموعة نقاط محدودة كبيرة بما فيه الكفاية في المستوي في مواضع عامة لها مجموعة جزئية من N نقط التي تشكل مضلع محدب.

يظهر البرهان في نفس المقال الذي يبرهن نظرية إيردوس-سيكيرس على مجموعات جزئية رتيبة في تسلسل أعداد.

نرمز بـ (f(N لأدنى قيمة لـ M بحيث لمجموعة من M نقط في مواضع عامة يجب أن تحتوي على محدب بـ N رؤوس، معروف أن:
 f(3) = 3, بديهيا.
 This was the original problem, proved by Esther Klein.f(4) = 5.
 According to , this was first proved by E. Makai; the first published proof appeared in .f(5) = 9.
 This has been proved by . They carried out a computer search which eliminated all possible configurations of 17 points without convex hexagons while examining only a tiny fraction of all configurations.f(6) = 17.
 قيمة (f(N غير معروفة لكل N > 6; كنتيجة من  معروفة أنها محدودة.

على أساس القيم (f(N المعروفة لكل N = 3, 4 و 5، حزر إيدرش وسكريش في مقالهما الأصلي أن

برهنوا لاحقا، عن طريق بناء أمثلة واضحة، أن:

ولكن الحد الأعلى الأفضل المعروف لـ N ≥ 7 هو:
. See معامل ثنائي and رمز O الكبير for notation used here and عدد كاتالانs or تقريب ستيرلينغ for the asymptotic expansion.

 مراجع 

 .
 .
 . Reprinted in: .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .

تصنيف:بول إيردوس
تصنيف:رباعيات أضلاع
تصنيف:مضلعات
تصنيف:مسائل رياضيات
تصنيف:نظرية رامزي
تصنيف:هندسة إقليدية مستوية
تصنيف:هندسة متقطعة