لغارتم

في الرياضيات، لُغَارِتْم عدد ما هو الأس الذي يجب رفع قيمة ثابتة أخرى، الأساس، به لإنتاج ذلك العدد. على سبيل المثال، لغارتم  للأساس  هو ، لأن  هو  مرفوع للأس : . بشكل أعم، إذا كان ، فإن  هو لغارتم  للأساس ، ويُكتب ، لذا فإن . اللغارتم دالة وحيدة المتغير، وهذا يعني أن لغارتمَ متغيرٍ ذا الأساس  هو معكوس رفع المُتغير أسًا لذلك الأساس.

اللغارتم ذو الأساس 10 يُسمى اللغارتم العشري أو اللغارتم الشائع، ويُستخدم استخدامًا شائعًا في العلوم والهندسة. أما اللغارتم الطبيعي فيستخدم العدد  أساسًا له؛ ويستخدم استخدامًا واسعًا في الرياضيات والفيزياء بسبب مشتقته البسيطة للغاية. أما اللغارتم الاثناني فيستخدم الأساس 2 ويستخدم استخدامًا واسعًا في علوم الحاسوب ونظرية المعلومات ونظرية الموسيقى والتصوير الضوئي، وعندما يكون الأساس واضحًا من السياق أو غير ذي صلة، غالبًا ما يُحذَف، ويُكتب اللغارتم على نحو .

عرَّف جون نابير اللغارتمات في عام 1614 وسيلةً لتبسيط العمليات الحسابية. وسرعان ما تبنّاها الملاحون والعلماء والمهندسون والمساحون وغيرهم لإجراء تحسيبات عالية الدقة بسهولة أكبر. باستخدام جداول اللغارتمات، يمكن استبدال البحث في الجداول والجمع الأبسط بخطوات الضرب المملة المتعددة الأرقام. وهذا ممكن لأن لغارتم الجداء هو مجموع لغارتمات العوامل:

بشرط أن تكون  و  و  كلها موجبة و . تسمح المسطرة الانزلاقية، التي تعتمد أيضًا على اللغارتمات، بإجراء حسابات سريعة دون جداول، ولكن بدقة أقل. يأتي المفهوم الحالي للغارتمات من ليونهارت أويلر، الذي ربطها بالدالة الأسية في القرن الثامن عشر، والذي أدخل أيضًا الحرف  أساسًا للغارتمات الطبيعية.

تَختزِل السلالم اللغارتمية الكميات واسعة النطاق إلى نطاقات أصغر. على سبيل المثال، الدِّسِيبِل (dB) هو وحدة تستخدم للتعبير عن ، غالبًا لقدرة الإشارة والسعة (والتي يعد ضغط الصوت مثالًا شائعًا عليها). في الكيمياء، الأس الهيدروجيني (pH) هو قَيْس لغارتمي لحموضة محلول مائي. اللغارتمات شائعة في الصيغ العلمية، وفي قياسات تعقيد الخوارزميات والكائنات الهندسية التي تسمى الكُسوريات. تساعد في وصف نسب ترددات المسافات الموسيقية، وتظهر في الصيغ التي تحسب الأعداد الأولية أو تقريب العَامِليّات، وتوفر معلومات لبعض النماذج في علم الطبيعة النفسية، ويمكن أن تساعد في المحاسبة الجنائية.

يمتد مفهوم اللغارتم باعتباره معكوس الرفع الأسي إلى بنًى رياضيةٍ أخرى أيضًا. ومع ذلك، في الحالات العامة، يميل اللغارتم إلى أن يكون دالة متعددة القيم. على سبيل المثال، اللغارتم العقدي هو معكوس متعدد القيم للدالة الأسية العقدية. وبالمثل،  هو معكوس متعدد القيم للدالة الأسية في الزمر المنتهية؛ وله استخدامات في التعمية بالمفتاح العام.

 دوافع 
يسار|تصغير|يتقاطع بيان اللغارتم ذي الأساس 2 مع محور إحداثيات  عند  ويمر عبر النقاط  و و، مما يمثل، على سبيل المثال،  و. يقترب البيان كيفيًا من محور إحداثيات ، لكنه لا يلتقي به.
الجمع والضرب والرفع الأسي ثلاث من العمليات الحسابية الرئيسة. معكوس الجمع هو الطرح، ومعكوس الضرب هو القسمة. وبالمثل، فإن اللغارتم هو العملية العكسية للرفع الأسي. يُنجز الرفع الأسي برفع عدد ، وهو الأساس، إلى قوة ما ، تُسمَّى الأس، فتنتج قيمة ؛ ويُشار إلى ذلك بالعلاقة:

يعطي رفع 2 إلى قوة 3 القيمة  على سبيل المثال، ويُعبَّر عنه رياضيًا: .

لغارتم الأساس  هو العملية العكسية التي تعطي الخرج  من الدخل ، أي  تعادل  إذا كان  عددًا حقيقيًا موجبًا.فيمكن تعريف كل من الرفع الأسي واللغارتم إذا لم يكن b عددًا حقيقيًا موجبًا، ولكنهما قد يأخذان عدة قيم، مما يجعل التعريفات أكثر تعقيدًا

أحد الدوافع التاريخية الرئيسة لإدخال اللغارتمات هو الصيغة:

التي تعتمد جداول اللغارتمات عليها لاختزال عمليات الضرب والقسمة بعمليات الجمع والطرح، وساعد هذا في إنجاز الحسابات المُعقَّدة بسهولة قبل اختراع الحواسيب.

 التعريف 
إذا كان  عددًا حقيقيًا موجبًا مغايرًا للواحد، فإن لغارتم أي عدد حقيقي موجب  بالنسبة إلى الأساس  هو الأس الذي يجب رفع  به للحصول على . بعبارة أخرى، لغارتم  بالنسبة للأساس  هو العدد الحقيقي الوحيد  حيث .

يُشار إلى اللغارتم بالتعبير: ، ويُلفظ: لغارتم  للأساس ، أو: لغارتم الأساس  لـ .

ثمة تعريف مكافئ وأكثر إيجازًا وهو أن الدالة  هي الدالة العكسية للدالة .

 أمثلة 
 ، لأن .
 قد تكون اللغارتمات سالبة:  لأن .
  تساوي بالتقريب 2.176، وهو عدد يقع بين 2 و3، متناسبًا مع موقع 150 بين  و.
 من أجل أي ،  و، لأن  و، على الترتيب.

 مطابقات لغارتمية 

توجد عدة صيغ مهمة، تسمى أحيانًا المتطابقات اللغارتمية أو القوانين اللغارتمية، تربط اللغارتمات ببعضها.

 الجداء، وخارج القسمة، والقوة والجذر 
لغارتم جداء هو مجموع لغارتمات الأعداد المضروبة؛ ولغارتم النسبة بين عددين هو فرق اللغارتمين. لغارتم القوة رقم  لعدد ما هو  مضروبًا في لغارتم العدد نفسه؛ ولغارتم الجذر من المرتبة  هو لغارتم العدد مقسومًا على . يوضح الجدول التالي هذه المتطابقات مع أمثلة. يمكن اشتقاق كل متطابقة بعد تعويض تعريفات اللغارتم  أو  في الطرف الأيسر. في الصيغ التالية، 𝑥 و𝑦 عددان حقيقيان موجبان و عدد صحيح أكبر من 1.

+ متطابقات الجداء وخارج القسمة والقوة والجذر للغارتمات متطابقة صيغة مثال جداء   خارج قسمة   قوة   جذر  

تغيير الأساس
يمكن حساب اللغارتم  من لغارتمات  و  بالنسبة إلى أساس  كيفي باستخدام الصيغة التالية:

تحسب الآلات الحاسبة العلمية النموذجية اللغارتمات للأساسين 10 و . يمكن تحديد اللغارتمات بالنسبة لأي أساس  باستخدام أي من هذين اللغارتمين بالصيغة السابقة:

يُعطى العدد  ولغارتمه  لأساس مجهول ، فإن الأساس يُعطى بـ:

ويمكن ملاحظة ذلك من خلال رفع المعادلة المُعرِّفَة  إلى القوة .

 أُسُس خاصة 
تصغير|upright=1.2|بيانات متراكبة لِلُغارتم الأسس  و 2 و 

من بين جميع الخيارات المتاحة للأساس، توجد ثلاثة خيارات شائعة بشكل خاص. وهي ، و  (الثابت الرياضي غير المُنطَق )، و  (اللغارتم الاثناني). في التحليل الرياضي، ينتشر استخدام اللغارتم ذي الأساس  بسبب الخواص التحليلية الموضحة أدناه. من ناحية أخرى، من السهل استخدام اللغارتمات ذات الأساس 10 (اللغارتم الشائع) في الحسابات اليدوية في نظام الأعداد العشرية:

ومن ثمّ، فإن  يرتبط بعدد الأرقام العشرية لعدد صحيح موجب : عدد الأرقام هو أصغر عدد صحيح أكبر تمامًا من . على سبيل المثال،  يساوي تقريبًا 3.78. العدد الصحيح الأقرب إليه هو 4، وهو عدد أرقام 5986. يستخدم كل من اللغارتم الطبيعي واللغارتم الاثناني في نظرية المعلومات، بما يتوافق مع استخدام النات أو البت وحداتٍ أساسية للمعلومات، على الترتيب. يُستخدَم اللغارتم الاثناني أيضًا في علم الحاسوب، وفيه النظام الاثناني موجود في كل مكان؛ وفي نظرية الموسيقى، حيث تنتشر نسبة حدة الصوت 2 (الجواب) بشكل واسع، ويكون عدد السنتات بين أي حدتين نسخة مُدرَّجة من اللغارتم الاثناني، أو log 2 مضروب في 1200، من نسبة الحدة (أي 100 سنت لكل  في )، أو ما يعادل لغارتم الأساس 21/1200؛ وفي التصوير الضوئي، تُستخدم لغارتمات الأساس 2 المعاد ضبط سُلَّمها لقياس  للضوء ومستويات الضوء وأوقات التعريض وفتحات العدسات وسرعات الأفلام بـ"وقفات".

يُستخدم الاختصار  غالبًا عندما يمكن استنتاج الأساس المقصود بناءً على السياق أو التخصص، أو عندما يكون الأساس غير محدد أو غير مهم. تعد اللغارتمات العادية (للأساس 10)، التي استخدمت تاريخيًا في جداول اللغارتمات والمساطر الانزلاقية، أداة أساسية للقياس والحساب في العديد من مجالات العلوم والهندسة؛ وفي هذه السياقات، لا يزال  يعني في كثير من الأحيان لغارتم الأساس عشرة. في الرياضيات، يشير  عادةً إلى اللغارتم الطبيعي (الأساس ). في علوم الحاسوب ونظرية المعلومات، يشير  غالبًا إلى اللغارتمات الاثنانية (للأساس 2). يسرد الجدول التالي التدوينات الشائعة للغارتمات هذه الاُسُس. يسرد عمود "التدوين وفق ISO" التسميات التي اقترحتها المنظمة الدولية للمَعْيَرَة.

 الأساس  الاسم لـ logb x التدوين وفق ISO تدوينات أخرى 2 لغارتم اثناني   , , ,  لغارتم طبيعي   ,  10 لغارتم عشري  ,   لغارتم الأساس   

 التسمية 
لُغَارِتْم اسم مُعرَّب من إحدى اللغات الأوروبية وعلى الأرجح من الفرنسية logarithme التي استعيرت نهائيًا من اللاتينية الوسطى logarithmus التي تعني حرفيًا "عدد نسبي"، هذه الأخيرة مشتقة من الكلمتين اليونانيتين logos "نسبة، كلمة" وarithmos "عدد"، وهي من صياغة جون نابير سنة 1614؛ أورد مجمع اللغة العربية بدمشق هذه التهجئة العربية، وهي تتفق مع الكتابة العربية للأسماء، ورد هذا المصطلح أيضًا بتهجئات أخرى في مختلف المراجع والمعجمات مثل لوغاريتم ولُوغَارِتْم ولُوغَارِثْم ولُوغَارِتْمَة. من المقابلات العربية المُقتَرَحة للمصطلح النَّسَب  وهو يعني في الأصل القَرَابة، واستخدمت هنا بمعنى القرابة بين الأعداد وتحديدًا الصلة بين الأساس وقوته، لكنها لم تحظَ بالقبول لذلك أوصى مجمع اللغة العربية بالقاهرة بتجنب استعمالها، كما اقتُرح مصطلح الأَسِيس المشتق من الجذر «أ س س» الذي من معانيه أصل الشيء ومبتدؤه، ومن هذا الجذر اشتُق أيضًا مصطلحَا الأُسّ والأَسَاس.

 نبذة تاريخية 

وضع عالم الرياضيات ابن حمزة المغربي في أواخر القرن 16 حجر الأساس للغارتمات عن طريق ربط إساس أساس حدود المتوالية الهندسية بحدود تلك الحسابية من خلال نص من كتاب «تحفة الأعداد لذوي الرشد والسداد» المنشور بالتركية العثمانية:

أي بلغة الرياضيات الحالية ، وفيه  هو حد المتوالية الهندسية.

وقد شُرِح هذا بأن ابن حمزة أورد المتواليتين «1، 2، 4، 8، 16، 32 ...» و «1، 2، 3، 4، 5، 6 ...» واعتبر حدود المتوالية الثانية هي إسَاس للأساس المساوي لـ 2 في حدود الأولى، إلا أن تلك الإساس غير متوافقة مع الأولى وعلى الأرجح هي أرقام ترتيب حدود المتوالية الهندسية، وأيضًا لم يستخدم الصفر في المتوالية الثانية، وقد أشار المؤرخ التركي عدنان أديوار أنه لو بدأ ابن حمزة المتوالية العددية بالصفر لتمكن من وصف اللغارتمات 25 عامًا قبل جون نابير.

شهد تاريخ اللغارتمات في أوروبا في القرن السابع عشر اكتشاف دالة جديدة وسعت نطاق التحليل إلى ما وراء نطاق الأساليب الجبرية. وقد كشف جون نابير طريقة اللغارتمات للعموم في عام 1614، في كتاب بعنوان  (Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio). استعملت تقنيات أخرى ذات نطاقات مماثلة قبل نشر نابير لعمله، مثل  أو جداول المتواليات، التي طورها يوست بورغي، والتي انتشرت انتشارًا واسعًا قرابة عام 1600.

اللغارتم الشائع لعدد ما هو دليل قوة العشرة التي تساوي هذا العدد. عندما نقول إن عددًا ما يتطلب عددًا كبيرًا من الأرقام، فإننا نشير تقريبيًا إلى اللغارتم الشائع، والذي أشار إليه أرخميدس بـ"ترتيب العدد". كانت اللغارتمات الحقيقية الأولى طرائق تجريبيةً لتحويل الضرب إلى جمع، مما يسهل التحسيب السريع. استخدمت بعض هذه الطرق جداول مستمدة من المتطابقات المثلثية. تسمى هذه الطرق .

بدأ اختراع الدالة المعروفة الآن باسم اللغارتم الطبيعي محاولةً لإجراء تربيع قطع زائد قائم الذي أجراه غريغوار دو سان فنسان، وهو راهب يسوعي بلجيكي مقيم في براغ. كان أرخميدس قد كتب كتاب "تربيع القطع المكافئ" في القرن الثالث قبل الميلاد، ولكن تربيع القطع الزائد ظل بعيدًا عن متناول جميع الجهود حتى نشر سان فنسان نتائجه في عام 1647. دفعت العلاقة التي يوفرها اللغارتم بين المتوالية الهندسية في عُمدته والمتوالية الحسابية من القيم،  إلى الربط بين تربيع سان فنسان وتقليد اللغارتمات في ، مما أدى إلى وضع مصطلح "اللغارتم الزائدي"، وهو مرادف للغارتم الطبيعي. وسرعان ما حظيت الدالة الجديدة بتقدير كريستيان هويغنس وجيمس غريغوري. اعتمد غوتفريد فِلْهِلْم لايبنتس التدوين  في عام 1675، وفي العام التالي ربطه بالتكامل .

قبل أن يطور أويلر مفهومه الحديث للغارتمات الطبيعية العقدية، توصل روجر كوتس إلى نتيجة مماثلة تقريبًا عندما أظهر في عام 1714 أن:

 جداول اللغارتمات، والمساطر الانزلاقية والتطبيقات التاريخية 
تصغير|مادة «Logarithms» في طبعة 1797 من الموسوعة البريطانية.

ساهمت اللغارتمات في تقدم العلوم بتبسيط الحسابات الصعبة قبل ظهور الآلات الانزلاقية والحاسوب، وخاصة علم الفلك. كانت اللغارتمات ضرورية للتقدم في مجالات المساحة والملاحة الفلكية وغيرها من المجالات. وصف بيير سيمون لابلاس اللغارتمات بأنها:

... حيلة رائعة، تقلل من عمل عدة أشهر إلى بضعة أيام، وتُضاعِف عمر الفلكي، وتجنبه الأخطاء والإحباط اللذين لا ينفصلان عن الحسابات الطويلة.

نظرًا لأن الدالة  هي الدالة العكسية لـ ، فقد أُطلق عليها اسم مقابل اللغارتم. في الوقت الحاضر، يُطلق على هذه الدالة اسم الدالة الأسية.

 جداول اللغارتمات 
جدول اللغارتمات أداة أساسية مكَّنت من الاستخدام العملي للغارتمات قبل اختراع الآلة الحاسبة. أعدّ هنري بريغز أول جدول من هذا النوع في عام 1617، مباشرة بعد اختراع نابير، ولكنه اعتمد العدد 10 أساسًا لها بدلًا من . احتوى جدول بريغز الأول على اللغارتمات الشائعة للأعداد الصحيحة بين 1 و1000، بدقة 14 رقمًا. بعد ذلك، وُضِعت جداول تشمل قيمًا أعلى. أدرجت هذه الجداول قيم  لأي عدد  في نطاق معين، بدقة معينة. استخدمت اللغارتمات ذات الأساس 10 عمومًا في الحساب فشاعت، ولهذا سُمِّيت باللغارتمات الشائعة، يمكن فصل اللغارتم الشائع لـ  إلى جزء صحيح  اعتمادًا على حقيقة أن الأعداد التي تتباعد قيمها بمضاعفات العدد 10 لها لغارتمات تتباعد قيمها بأعداد صحيحة، يُعرفان بالمميزة والجزء العشري. لا تحتاج جداول اللغارتمات إلا إلى تضمين الجزء العشري، ويمكن تحديد المميزة بسهولة عن طريق عد الأرقام بعد الفاصلة. مميزة  هي واحد زائد مميزة x، وجزئيهما العشريان متماثلان. ومن ثم، باستخدام جدول لغارتمي ثلاثي الأرقام، يمكن تقريب لغارتم 3542 وفق ما يأتي:

يمكن الحصول على دقة أكبر عن طريق الاستكمال الداخلي:

يمكن تحديد قيمة  عن طريق البحث العكسي في الجدول نفسه، لأن اللغارتم دالة رتيبة.

 تحسيبات 
حُسِب جُداء عددين موجبين  و وخارج قسمتهما عادةً على صورة المجموع والفرق بين لغارتماتهما. وجاء الجداء  أو خارج القسمة  من البحث عن مقابل اللغارتم للمجموع أو الفرق، عبر الجدول نفسه:

و

إجراء عمليات البحث عن لغارتمين لحساب العمليات الحسابية اليدوية التي تتطلب دقة ملحوظة، مثل: حساب مجموع لغارتمين، أو الفرق بينهما، والبحث عن مقابل اللغارتم، أسرع بكثير من إجراء الضرب بالطرق السابقة مثل  التي تعتمد على المتطابقات المثلثية.

تُختزل عمليات حساب القوى والجذور إلى عمليات ضرب أو قسمة وعمليات بحث عن طريق هذه المعادلة:

و

سُهِّلَت العمليات الحسابية المثلثية من خلال الجداول التي تحتوي على اللغارتمات العادية للدوال المثلثية.

 المساطر الانزلاقية 

المسطرة الانزلاقية تطبيق آخر بالغ الأهمية للغارتم وتسمى أيضا المسطرة الحاسبة، تتألف من زوجين من السلالم المقسمة لغارتميًا. اختُرع السُّلَّم اللغارتمي غير الانزلاقي، المُسمَّى سلم غونتر ، بعد فترة وجيزة من وصف نابير للغارتم، ثم طورها وليم أوتريد لاختراع المسطرة الحاسبة، وهي زوجان من السلالم اللغارتمية المتحركة نسبيًا زوجٌ بالنسبة لآخر. توضع الأعداد على مسافات تتناسب مع الفروق بين لغارتماتها على سلمين منزلقين: أسفل وأعلى. يرقى تحريك السلم الأعلى تحريكًا مناسبًا إلى جمع اللغارتمات، كما هو موضح الرسم:

مركز|تصغير|500بك|رسم تخطيطي لمسطرة انزلاقية. بدءًا من 2 على السلم الأسفل، أضيفت المسافة إلى 3 على السلم الأعلى للوصول إلى الجداء 6. تعمل المسطرة الانزلاقية لأنها مُعَلَّمَة لتتناسب المسافة 1 إلى  مع لغارتم .

ينتج، على سبيل المثال، عن إضافة المسافة من 1 إلى 2 على السلم الأسفل إلى المسافة من 1 إلى 3 على السلم الأعلى الجداء 6، والذي يُقرأ في الجزء الأسفل. كانت المسطرة الانزلاقية أداة حسابية أساسية للمهندسين والعلماء حتى سبعينيات القرن العشرين، لأنها تسمح، على حساب الدقة، بتحسيب أسرع بكثير من التقنيات المعتمدة على الجداول.

 خواص تحليلية 
تعتمد دراسة اللغارتمات على الدوال، والدالة علاقة رياضية تربط بين عناصر مجموعتين، تُسمَّى أولهما منطلق الدالة، وتكون عناصرها عمدتها، وتُسمَّى الثانية مُستقرُّها وعناصرها خرج الدالة. مثال ذلك الدالة الأسية ذات الأساس الثابت الصحيح الموجب المغاير للواحد ، والذي يكون أسها مُتغيِّراً من مجموعة الأعداد الحقيقية، صورتها  وخرجها قيمة من مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة.

 الوجود 
ليكن  عددًا حقيقيًا موجبًا مغايرًا للـ 1، تُعرَّف الدالة  منطلقها ، ومستقرها . لذلك، فإن  تقابل قيمًا من  مع قيمٍ من . بعبارة أخرى، من أجل كل عدد حقيقي موجب ، يوجد عدد حقيقي واحد فقط  يُحقِّق . الدالة  مستمرة، تتزايد تمامًا (من أجل )، أو تتناقص تمامًا (من أجل )،

من النتائج المعيارية في التحليل الحقيقي أن أي دالة مستمرة ورتيبة تمامًا تكون تقابلية بين منطلقها ومستقرها، أي لكل عنصر في المستقر عنصر واحد يرتبط معه على الأكثر في المنطلق. هذه الحقيقة تنبع من مبرهنة القيمة المتوسطة.

يُشتر إلى معكوس الدالة  بجعل . أي أن  هو العدد الحقيقي الوحيد  بحيث . تسمى هذه الدالة "دالة اللغارتم للأساس b" أو "الدالة اللغارتمية" (أو "اللغارتم" فقط).

 تمييز بصيغة الجداء 
يمكن أيضًا تمييز الدالة  أساسًا من خلال صيغة الجداء:

بتعبير أدق، اللغارتم لأي أساس  هو الدالة المتزايدة الوحيدة f المعرفة من الأعداد الحقيقية الموجبة إلى الأعداد الحقيقية التي تحقق  و:

 بيان دالة اللغارتم 
تصغير|يُحصَل على بيان دالة اللغارتم  (الأزرق) عن طريق عكس بيان الدالة  (الأحمر) على القطر ().|alt=The graphs of two functions.
كما نوقش أعلاه، فإن الدالة  هي معكوس الدالة الأسية . لذلك، فإن بياناتهما تتطابق عند مبادلة الفواصل والتراتيب -إحداثيات  و - (أو عند الانعكاس على القطر )، كما هو موضح على اليمين: النقطة  على بيان  تعطي النقطة  على بيان اللغارتم والعكس بالعكس. ونتيجة لذلك، فإن  تتباعد إلى ما لا نهاية (تصبح أكبر من أي عدد معين) إذا زاد  إلى ما لا نهاية، بشرط أن يكون  أكبر من واحد. في هذه الحالة، تكون  دالة متزايدة. من أجل ، تؤول  إلى سالب ما لا نهاية بدلاً من ذلك. عندما يقترب  من الصفر، تؤول  إلى سالب ما لا نهاية من أجل  (إلى موجب ما لا نهاية من أجل ، على الترتيب).

 المشتق ومعاكسه 
تصغير|بيان اللغارتم الطبيعي (بالأخضر) ومماسه عند  (بالأسود)|alt=A graph of the logarithm function and a line touching it in one point.
تنتقل الخواص التحليلية للدوال إلى معكوساتها. ومن ثم، بما أنّ  دالة مستمرة وقابلة للاشتقاق، فإن  هي كذلك أيضًا. عمومًا، تكون الدالة المستمرة قابلة للاشتقاق إذا كان بيانها لا يحتوي على "زوايا" مدببة. علاوةً على ذلك، بما أنّ مشتق  يساوي  وفقًا لخواص الدالة الأسية، فإنّ قاعدة السلسلة تنص على أنّ مشتقة  تُعطى بـ:

أي أن ميل المماس الذي يمس منحنى لغارتم الأساس  عند النقطة  يساوي .

مشتقة  هي ؛ وهذا يعني أن  هي معاكس المشتق الوحيد لـ  التي لها القيمة 0 من أجل . هذه الصيغة البسيطة للغاية هي التي دفعت إلى وصف اللغارتم الطبيعي بـ "الطبيعي"؛ وهذا أيضًا أحد الأسباب الرئيسة لأهمية الثابت .

المشتقة ذات العُمْدة الداليّة المُعمَّمة  هي:

يُسمى خارج القسمة في الطرف الأيمن مشتقًا لغارتميًا لـ . يُعرف حساب  بواسطة مشتق  باسم . معاكس مشتق اللغارتم الطبيعي  هو:<ref group="وب-إنج">{{استشهاد بويب
|مسار=http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate(ln(x))
|عنوان=Calculation of Integrate(ln(x))
|لغة=en
|ناشر=Wolfram
|مسار أرشيف=http://web.archive.org/web/20250815080843/https://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate%28ln%28x%29%29
|تاريخ أرشيف=15-08-2025
|تاريخ الوصول=01-11-2025
}}</ref>

يمكن اشتقاق الصيغ ذات الصلة، مثل معاكسات مشتقات اللغارتمات لأسس أخرى، من هذه المعادلة باستخدام تغيير الأساس.

 التمثيل التكاملي للغارتم الطبيعي 
تصغير|اللغارتم الطبيعي لـ  هو المساحة المظللة أسفل بيان الدالة .|alt=A hyperbola with part of the area underneath shaded in grey.
يُعرَّف اللغارتم الطبيعي لمتغير  على أنه التكامل المحدود التالي:

ميزة هذا التعريف أنه لا يعتمد على الدالة الأسية أو أي دالة مثلثية؛ فالتعريف هذا هو بدلالة تكامل مقلوب بسيط. بصفته تكاملًا،  يساوي المساحة بين محور  وبيان الدالة ، التي تُراوح من  إلى . وهذا نتيجة للمبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل وحقيقة أن مشتقة  تساوي . يمكن اشتقاق صيغ لغارتم الجداء والقوة من هذا التعريف. على سبيل المثال، يُستنتج صيغة الجداء  على النحو التالي:

المساواة (1) تجزئ التكامل إلى جزأين، في حين أن المساواة (2) هي تغيير المتغير (). في الرسم التوضيحي أدناه، يقابل التجزئة تقسيم المساحة إلى الجزأين الأصفر والأزرق. إعادة ضبط قد المساحة الزرقاء اليسرى عموديًا بمعامل  وتقليصها بالمعامل نفسه أفقيًا لا يغير مقاسها. وبتحريكها تحريكًا مناسبًا، تتوافق المساحة مع منحني الدالة  مرة أخرى. لذلك، فإن المساحة الزرقاء اليسرى، وهي تكامل  من  إلى ، هي تكامل من 1 إلى  نفسه. وهذا يبرر المساواة (2) بإثبات هندسي أكثر.

تصغير|مركز|إثبات مرئي لصيغة الجداء للغارتم الطبيعي|alt=The hyperbola depicted twice. The area underneath is split into different parts.

يمكن اشتقاق صيغة القوة  بطريقة مماثلة:

تَستخدم المساواة الثانية تغيير المتغيرات (التكامل بالتعويض)، .

يسمى مجموع مقاليب الأعداد الطبيعية،

بالمتسلسلة التوافقية. وهو مرتبط ارتباطًا وثيقًا باللغارتم الطبيعي: عندما يقترب  من اللانهاية، فإن الفرق

يتقارب (أي يقترب كيفيًا) إلى عدد يعرف باسم ثابت أويلر وماسكيروني . تساعد هذه العلاقة في تحليل أداء الخوارزميات مثل خوارزمية الفرز السريع.

 تسامي اللغارتم 
تُسمَّى الأعداد الحقيقية غير الجبرية بالأعداد المتسامية؛  و e، على سبيل المثال، عددان متساميان، ولكن  ليس متساميًا. الأعداد الحقيقية أعداد متسامية ، واللغارتم مثال عن الدالة المتسامية. تنص مبرهنة غيلفوند وشنايدر على أن قيم اللغارتمات متسامية، أو "صعبة"  حسب تعبير النظرية.

 حساب 
تصغير|مفاتيح اللغارتم (LOG للأساس 10 و LN للأساس e) على آلة حاسبة بيانية 
حساب اللغارتمات سهل في بعض الحالات، مثل . عمومًا، يمكن حساب اللغارتمات باستخدام متسلسلات القوى أو الوسط الحسابي الهندسي، أو استحضارها من جدول لغارتمات محسوب مسبقًا يوفر دقة ثابتة. يمكن أيضًا استخدام طريقة نيوتن، وهي طريقة تكرارية لحل المعادلات بالتقريب، لحساب اللغارتم، لأن دالته العكسية، الدالة الأسية، يمكن حسابها بكفاءة., باستخدام جداول البحث، يمكن استخدام طرق شبيهة بطريقة «كوردك»  لحساب اللغارتمات باستخدام عمليات الجمع  فقط. علاوة على ذلك، تَحسُب خوارزمية اللغارتم الاثناني دالة  عَوْدِيًّا، بناءً على التربيعات المتكررة لـ ، مستفيدة من العلاقة:

 متسلسلات القوى 

 متسلسلات تَيْلور 
من أجل أي عدد حقيقي  يحقق ، تنطبق الصيغة التالية:تصغير|متسلسلة تيلور لـ  المتمركزة عند . تُظهر الصورة المتحركة أولى 10 تقريبات إلى جانب التقريبين 99 و 100. لا تتقارب التقريبات بعد مسافة 1 من المركز.|alt=An animation showing increasingly good approximations of the logarithm graph.

إن إجراء مساواة الدالة  بهذا المجموع (المتسلسلة) اللانهائي هي طريقة مختصرة للقول بأن الدالة يمكن تقريبها إلى قيمة أكثر دقة من خلال العبارات التالية (المعروفة باسم المجاميع الجزئية):

على سبيل المثال، مع ، ينتج عن التقريب الثالث ، وهو أكبر بنحو  مرة من ، وينتج عن التقريب التاسع ، وهو أكبر بنحو  مرة فقط. يمكن للمجموع الجزئي النوني () تقريب  بدقة كيفية، بشرط أن يكون عدد الحدود المضافة  كبيرًا بما يكفي.

في حساب التفاضل والتكامل الابتدائي، يُقال إن المتسلسلة تتقارب إلى الدالة ، والدالة هي نهاية المتسلسلة. وهي متسلسلة تيلور للغارتم الطبيعي عند . توفر متسلسلة تيلور لـ  تقريبًا مفيدًا بشكل خاص لـ  عندما يكون  صغيرًا، أي ، لأنه عندئذٍ:

على سبيل المثال، مع ، يعطي التقريب من المرتبة الأولى ، والذي يقع ضمن هامش خطأ أقل من  عن القيمة الصحيحة .

 معكوس الظل الزائدي 
متسلسلة أخرى تستند إلى دالة معكوس الظل الزائدي:

من أجل أي عدد حقيقي .  باستخدام تدوين سيغما، يُكتب هذا أيضًا على النحو التالي:

يمكن اشتقاق هذه المتسلسلة من متسلسلة تيلور أعلاه. وهي تتقارب تقاربًا أسرع من متسلسلة تيلور، خاصة إذا كان  قريبًا من 1. على سبيل المثال، من أجل ، فإن الحدود الثلاثة الأولى من المتسلسلة الثانية تُقارب  بخطأ يبلغ نحو . يمكن الاستفادة من التقارب السريع لـ  القريب من 1 بالطريقة التالية: يُعطى تقريب منخفض الدقة  ونضع:

لغارتم  هو:

كلما كان التقريب الابتدائي  أفضل، اقترب  من 1، ومن ثم يمكن حساب لغارتمه بكفاءة. يمكن حساب  باستخدام المتسلسلة الأسية، التي تتقارب بسرعة شريطة ألا يكون  كبيرًا جدًا. يمكن تقليص حساب لغارتم  ذات القيمة الأكبر إلى قيم أصغر لـ  بكتابة ، بحيث يكون .

يمكن استخدام طريقة وثيقة الصلة لتحسيب لغارتم الأعداد الصحيحة. بوضع  في المتسلسلة أعلاه، يترتب على ذلك ما يلي:

إذا كان لغارتم عدد صحيح كبير  معلومًا، فإن هذه المتسلسلة تعطي متسلسلة سريعة التقارب لـ ، بمعدل تقارب .

 تقريب بالوسط الحسابي الهندسي 
يوفر الوسط الحسابي الهندسي تقريبات عالية الدقة للغارتم الطبيعي. أظهر ساساكي وكانادا في عام 1982 أن تقريب بالوسط الحسابي الهندسي سريع بشكل خاص للدقة بين 400 و1000 منزلة عشرية، في حين أن طرق التي تعتمد على متسلسلة تيلور كانت عادةً أسرع عندما كانت الدقة المطلوبة أقل. في عملهما، تُقرَّب  بدقة  (أو  بتات دقيقة) بالصيغة التالية (بفضل كارل فريدريش غاوس):

وفيها يشير  إلى الوسط الحسابي الهندسي لـ  و . ويُحصَل عليه عن طريق حساب المتوسط  (الوسط الحسابي) و  (الوسط الهندسي) لـ  و  بشكل متكرر، ثم جعل هذين العددين يصبحان  و  التاليين. يتقارب العددان بسرعة إلى نهاية مشتركة وهو قيمة . يُختار  بحيث:

لضمان الدقة المطلوبة. كلما زاد كِبَر ، زاد عدد الخطوات اللازمة لحساب  (حيث يكون  و  الأوليان أبعد عن بعضهما، مما يتطلب عددًا أكبر من الخطوات للتقارب)، ولكن ذلك يوفر دقة أكبر. يمكن حساب الثوابت  و  باستخدام متسلسلات سريعة التقارب.

 خوارزمية فاينمان 
طور ريتشارد فاينمان، في أثناء عمله في مختبر لوس ألاموس الوطني على مشروع مانهاتن، خوارزمية معالجة بتات لتحسيب اللغارتم تشبه القسمة الطويلة، واستُخدمت لاحقًا في آلة التواصل. تعتمد الخوارزمية على حقيقة أن كل عدد حقيقي  مع  يمكن تمثيله على شكل جداء  لعوامل متمايزة بالصيغة . تبني الخوارزمية هذا الجداء  تسلسليًا، بدءًا من  و : إذا كان ، فإنها تغير  إلى . ثم تزيد  بمقدار واحد بغض النظر عن النتيجة. تتوقف الخوارزمية عندما يكون  كبيرًا بما يكفي لإعطاء الضَبَاطة المطلوبة. نظرًا لأن  هو مجموع الحدود من الشكل  المقابل لتلك الأعداد  التي فيها ضُمِّنَّ العامل  في الجداء ، يمكن تحسيب  بعملية جمع بسيطة، باستخدام جدول  من أجل قيم  كلها. يمكن استخدام أي أساس لجدول اللغارتم.

 تطبيقات 
تصغير|صدفة النوتي تظهر حلزونًا لغارتميًا|alt=A photograph of a nautilus' shell.
للّغارتمات العديد من التطبيقات داخل الرياضيات وخارجها. بعض هذه التطبيقات مرتبطة بمفهوم . على سبيل المثال، كل حُجْرَة من حُجُرات صدفة النوتي هي نسخة تقريبية من الحجرة التالية، مُدرَّجة بعامل ثابت. وهذا يؤدي إلى ظهور حلزون لغارتمي. يمكن أيضًا تفسير قانون بنفورد بشأن توزيع الأرقام الأولى بلا تغير السلم. ترتبط اللغارتمات أيضًا بالتشابه الذاتي. على سبيل المثال، تظهر اللغارتمات في تحليل الخوارزميات التي تحل مسألة ما عن طريق تقسيمها إلى مسألتين أصغر متشابهتين وربط حلولهما. كما تستند أبعاد الأشكال الهندسية المتشابهة ذاتيًا، أي الأشكال التي تشبه أجزاؤها الصورة الكلية، إلى اللغارتمات. وتُعد السلالم اللغارتمية مفيدة في قياس التغير النسبي لقيمة ما مقابل الفرق المطلق لها. علاوة على ذلك، نظرًا لأن الدالة اللغارتمية  تنمو ببطء شديد بالنسبة لقيم  الكبيرة، تُستخدم السلالم اللغارتمية لضغط المعطيات العلمية واسعة النطاق. تظهر اللغارتمات أيضًا في العديد من الصيغ العلمية، مثل معادلة الصاروخ لتسالكوفسكي، ومعادلة فِنْسك، أو معادلة نرنست.

 السلم اللغارتمي 

مخطط لغارتمي يوضح قيمة المارك الذهبي الواحد بالمارك الورقي خلال فترة التضخم الجامح في ألمانيا في عشرينيات القرن 20.|تصغير
غالبًا ما تُعبَّر عن الكميات العلمية على شكل لغارتمات لكميات أخرى، باستخدام سلم لغارتمي. على سبيل المثال، الديسيبل هو وحدة قياس مرتبطة بكميات السلم اللغارتمي. وهو يعتمد على اللغارتم الشائع للنسب — 10 مرات اللغارتم الشائع لنسبة القدرة أو 20 مرة اللغارتم الشائع لنسبة الجهد. يستخدم لقياس توهين الإشارات الكهربائية أو تضخيمها، ولوصف مستويات قدرة الأصوات في الصوتيات، وامتصاصية الضوء في مجالات المطيافية والبصريات. تُقَاس نسبة الإشارة إلى الضجيج التي تصف مقدار الضجيج غير المرغوب فيه بالنسبة إلى إشارة (ذات معنى) بالديسيبل أيضًا. وعلى المنوال نفسه، تُستخدم  عادةً لتقييم جودة طرق ضغط الصوت والصورة باستخدام اللغارتم.

تُقاس قوة الزلزال بحساب اللغارتم الشائع للطاقة المنبعثة عند الزلزال. ويُستخدم هذا في سلم مقدار العزم أو سلم رِخْتَر. على سبيل المثال، يطلق زلزال بشدة 5.0 32 مرةً  من الطاقة التي يطلقها زلزال بشدة 4.0، في حين يطلق زلزال ذو شدة 6.0 1000 مرة  من الطاقة التي يطلقها زلزال ذو شدة 4.0. يقيس القدر الظاهري لمعان النجوم لغارتميًا. يُشار إلى مرافق اللغارتم العشري، أي سالب اللغارتم العشري، في الكيمياء بالحرف p. الأس الهيدروجيني (pH) على سبيل المثال هو سالب اللغارتم العشري لنشاط أيونات الهيدرونيوم (الشكل الذي تتخذه أيونات الهيدروجين  في الماء). نشاط أيونات الهيدرونيوم في الماء المعتدل هو ، ومن ثم فإن الأس الهيدروجيني هو 7. عادةً ما يكون الأس الهيدروجيني للخل نحو 3. الفرق 4 يتوافق مع نسبة 104 من النشاط، أي أن نشاط أيون الهيدرونيوم في الخل يبلغ نحو .

تَستخدم البيانات نصف اللغارتمية (اللغارتمية الخطية) مفهوم السلم اللغارتمي للإظهار: تُدرَّج أحد المحاور، عادةً المحور الشاقولي، لغارتميًا. على سبيل المثال، يضغط المخطط الموجود على اليمين الزيادة الحادة من مليون إلى تريليون إلى نفس المساحة (على المحور الشاقولي) مثل الزيادة من 1 إلى مليون. في مثل هذه البيانات، تظهر الدوال الأسية من الصيغة  على شكل مستقيمات ذات ميل يساوي لغارتم . تُدرِّج  كلا المحورين لغارتميًا، مما يؤدي إلى تصوير الدوال من الصيغة  على شكل مستقيمات ذات ميل يساوي الأس . ويُطبَّق ذلك في إظهار قوانين القوة وتحليلها.

 علم النفس 
تظهر اللغارتمات في العديد من القوانين التي تصف الإدراك الحسي البشري: يقترح قانون هيك وجود علاقة لغارتمية بين الوقت الذي يستغرقه الأفراد لاختيار بديل وعدد الخيارات المتاحة لهم. يتنبأ قانون فيتس بأن الوقت اللازم للتحرك بسرعة إلى منطقة مستهدفة هو دالة لغارتمية لنسبة المسافة إلى الهدف وحجمه. في علم الطبيعة النفسية، يقترح قانون فِيبَر وفِشْنَر وجود علاقة لغارتمية بين المُنبِّه والإحساس، مثل الوزن الفعلي مقابل الوزن المتصور لشيء يحمله الشخص. (ومع ذلك، فإن هذا "القانون" أقل واقعية من النماذج الأحدث، مثل .)

أظهرت الدراسات النفسية أن الأفراد الذين لم يتلقوا تعليمًا رياضياتيًا كافيًا يميلون إلى تقدير الكميات بطريقة لغارتمية، أي أنهم يضعون العدد على خط لم توضَع علامات عليه وفقًا للغارتم الخاص به، فيكون الرقم 10 قريبًا من 100 بقدر قرب 100 من 1000. يؤدي زيادة التعليم إلى تحويل هذا إلى تقدير خطي (بوضع 1000 عشر مرات أبعد) في بعض الظروف، في حين تُستخدَم اللغارتمات عندما يكون من الصعب تحديد الأعداد المراد تحديدها خطيًا.

 نظرية الاحتمالات والإحصاء 
تصغير|alt=Three asymmetric PDF curves|ثلاث دوال كثافة احتمالية (PDF) لمتغيرات عشوائية ذات توزيعات طبيعية لغارتمية. الوسيط المكاني μ، التي تساوي صفرًا لجميع دوال الكثافة الاحتمالية الثلاث الموضحة، هي وسط لغارتم المتغير العشوائي، وليس وسط المتغير نفسه.

تظهر اللغارتمات في نظرية الاحتمالات: ينص قانون الأعداد الكبيرة على أنه كلما زاد عدد مرات رمي  وصولاً إلى ما لا نهاية، اقترب احتمال الحصول على أحد الوجه من النصف. يُوصف تباين هذه النسبة عن قيمة النصف .

تظهر اللغارتمات أيضًا في . عندما يكون لغارتم متغير عشوائي ذو توزيع طبيعي، يُقال إن المتغير له توزيع طبيعي لغارتمي. توجد التوزيعات الطبيعية اللغارتمية في العديد من المجالات، خاصةً عندما يتكون متغير ما من جداء عدد من المتغيرات العشوائية الموجبة المستقلة، على سبيل المثال في دراسة اضطراب الموائع.توزيع الأرقام الأولى (بالنسبة المئوية، الأعمدة الحمراء) في أعداد سكان 237 دولة حول العالم. تشير النقاط السوداء إلى التوزيع المتوقع وفقًا لقانون بنفورد.|تصغير|alt=A bar chart and a superimposed second chart. The two differ slightly, but both decrease in a similar fashion.

تُستخدم اللغارتمات لتقدير الأرجحية العظمى للنماذج الإحصائية الوسيطية. بالنسبة لمثل هذا النموذج، تعتمد دالة الأرجحية على  واحد على الأقل يجب تقديرها. يحدث القيمة العظمى لدالة الأرجحية عند نفس قيمة الوسيط مثل القيمة العظمى لِلُغارتم الأرجحية (الأرجحية اللغارتمية)، لأن اللغارتم دالة متزايدة. من الأسهل تعظيم الأرجحية اللغارتمية، خاصة بالنسبة لأرجحيات مضروبة لمتغيرات عشوائية مستقلة.

يصف قانون بنفورد تكرار الأرقام في العديد من مجموعات المعطيات، مثل ارتفاعات المباني. احتمال أن يكون الرقم العشري الأول لعنصر ما في عينة المعطيات هو  (من 1 إلى 9) يساوي ، بغض النظر عن وحدة القياس وفقًا لقانون بنفورد. ومن ثم، يمكن توقع أن يكون الرقم الأول في حوالي 30٪ من البيانات هو 1، و 18٪ يبدأ بـ 2، وهكذا. يفحص المدققون الانحرافات عن قانون بنفورد للكشف عن الاحتيال المحاسبي.

التحويل اللغارتمي هو نوع من أنواع  يُستخدم لتقريب التوزيع التجريبي من التوزيع المفترض.

 التعقيد الحوسبي 
تحليل الخوارزميات فرع من فروع علم الحاسوب يدرس أداء الخوارزميات (برامج الحاسوب التي تحل مسألة معينة). تفيد اللغارتمات في وصف الخوارزميات التي تقسم المسألة إلى مسائل أصغر، خاصة العودية منها، التي تُرد المسائل المُعقدة فيها إلى مسائل أبسط لها حلول معروفة.

تُستعمَل خوارزمية البحث الاثناني، على سبيل المثال، لإيجاد عدد في قائمة مُرتَّبة عدد عناصرها ، تَحسُب الخوارزمية أولًا فهرس العنصر الأوسط وتفحصه، فإن لم يساوي القيمة المستهدفة، تقارنه معها، وتنتقل إلى النصف الذي يسبقه أو يليه وفقًا لنتيحة المقارنة. تتطلب هذه الخوارزمية في المتوسط إنجاز  مقارنة. وبالمثل، تَفْرِز خوارزمية الفرز بالمرج قائمة غير مفروزة عن طريق تقسيم القائمة إلى نصفين وفرزهما أولًا قبل مرج النتائج. تتطلب خوارزميات الفرز بالمرج عادةً وقتًا يتناسب تقريبًا مع . لم يُحدَّد أساس اللغارتم هنا، لأن النتيجة تتغير فقط بعامل ثابت عند استخدام أساس آخر. عادةً ما يُتَجاهَل العامل الثابت في تحليل الخوارزميات بموجب نموذج التكلفة الموحدة المعياري.

يقال إن الدالة  تتزايد لغارتميًا إذا كانت (بالضبط أو تقريبًا) متناسبة مع لغارتم . لكن أدبيات علم الأحياء تستخدم هذا المصطلح  للدالة الأسية التي تصف تكاثر الكائنات الحية. يُمكِن، على سبيل المثال، تمثيل أي عدد طبيعي  في شكل اثناني بما لا يزيد عن  بت. بمعنى آخر، تزداد كمية الذاكرة اللازمة لتخزين  لغارتميًا مع .

 الإنتروبيا والشواش 

تصغير|البلياردو على طاولة بلياردو بيضاوية. جسيمان، يبدآن من المركز بزاوية تختلف بمقدار درجة واحدة، يسلكان مسارين يتباعدان بِشواش بسبب الانعكاسات عند الحدود.|alt=An oval shape with the trajectories of two particles.

الإنتروبيا قَيْس عام لاضطراب بعض الأنظمة. في الديناميكا الحرارية الإحصائية، تُعرَّف إنتروبيا بعض الأنظمة الفيزيائية  على أنها:

أي أنها مجموعٌ لحالات النظام المعني الممكنة كلها وعددها ، مثل مواقع جسيمات الغاز في حاوية. علاوة على ذلك،  هي احتمالية الوصول إلى الحالة  و  هو ثابت بولتزمان. وبالمثل، تقيس الانتروبيا في نظرية المعلومات كمية المعلومات. إذا كان مستلم الرسالة يتوقع أي رسالة من  رسائل ممكنة بأرجحية متساوية، فإن كمية المعلومات التي تنقلها أي رسالة من هذا النوع تُقاس بـ  بت.

تُستخدَم  اللغارتمات لقياس درجة الشواش في نظام ديناميكي. على سبيل المثال، بالنسبة لجسيم يتحرك على طاولة بلياردو بيضاوية، فإن التغيرات الطفيفة في الظروف الابتدائية تؤدي إلى مسارات مختلفة جدًا للجسيم. هذه الأنظمة شَوِشَة بطريقة حتمية، لأن الأخطاء الصغيرة في قياس الحالة الابتدائية تؤدي بشكل متوقع إلى حالات نهائية مختلفة إلى حد كبير. يكون أس ليابونوف واحد على الأقل لنظام شوش حتمي موجبًا.

 الكسوريات 
يُنشَأ مثلث سِيِرْبِنْسكي (على اليمين) عن طريق استبدال ثلاثة مثلثات أصغر حجمًا بالمثلثات المتساوية الأضلاع بشكل متكرر.|تصغير|alt=Parts of a triangle are removed in an iterated way.

تظهر اللغارتمات في تعريفات أبعاد الكسوريات. الكسوريات هي كائنات هندسية متشابهة ذاتيًا بمعنى أن الأجزاء الصغيرة منها تعيد إنتاج، على الأقل تقريبيًا، البنية الكلية بأكملها. يمكن تغطية مثلث سِيِرْبِنْسكي (في الصورة) بثلاث نسخ منه، كل منها لها أضلاع بطول نصف الطول الأصلي. وهذا يجعل بُعد هاوسدورف لهذه البنية . ويُحْصَل على مفهوم آخر للبعد القائم على اللغارتمات عن طريق  اللازمة لتغطية الكسوري المعني.

 الموسيقى 

ترتبط اللغارتمات بالنغمات والمسافات الموسيقية. في دَوْزَنَات ، تعتمد نسبة التردد فقط على المسافة بين نغمتين، وليس على التردد أو الحِدَّة المحددين لكل نغمة. في دوزنة  الشائع في الموسيقى الغربية الحديثة، يُقسَّم كل جواب (مُضاعَفة التردد) إلى اثني عشر مسافة متساوية الفراغ تسمى . على سبيل المثال، إذا كان تردد المُجَسِّدَة لا هو 440 هرتز، فإن تردد مجسدة  هو 466 هرتز. المسافة بين لا و سي مع الخفض هي نصف نغمة، وكذلك المسافة بين سي مع الخفض و سي (تردد 493 هرتز). وبناءً على ذلك، تتطابق نسب الترددات:

يمكن قياس المسافات بين الحِدَّات الكيفية بالأجوبة عن طريق أخذ لغارتم الأساس 2 لنسبة التردد، أو يمكن قياسها بنصف نغمات مُعدَّلَة بالتساوي عن طريق أخذ لغارتم الأساس  (12 مرات لغارتم الأساس 2)، أو يمكن قياسها بالسنتات، أي أجزاء من مئة جزء من نصف نغمة، عن طريق أخذ لغارتم الأساس  (1200 مرات لغارتم الأساس 2). يُستخدم الأخير لترميز أدق، حيث إنه ضروري للقياسات الدقيقة أو السلالم المعدلة بالتساوي.

 المسافة (تُعْزَف النغمتين في نفس الوقت)           الجواب  نسبة التردد        عدد أنصاف النغمات       عدد السنتات      

 نظرية الأعداد 
ترتبط اللغارتمات الطبيعية ارتباطًا وثيقًا بعد الأعداد الأولية (2، 3، 5، 7، 11، ...)، وهو موضوع مهم في نظرية الأعداد. بالنسبة لأي عدد صحيح ، يُشار إلى كمية الأعداد الأولية الأقل من أو يساوي  بـ . تنص مبرهنة الأعداد الأولية على أن  تُعطى تقريبًا بـ:

بمعنى أن نسبة  إلى هذا الكسر تقترب من 1 عندما يقترب  من اللانهاية. ونتيجة لذلك، فإن احتمال أن يكون الرقم المختار عشوائيًا بين 1 و  عددًا أوليًا يتناسب عكسيًا مع عدد الأرقام العشرية لـ . ويُحصَل على تقدير أفضل بكثير لـ  من خلال دالة التكامل اللغارتمي الحائدة ، المعرفة بـ:

يمكن صياغة فرضية ريمان، وهي واحدة من أقدم الحدسيات الرياضية المفتوحة، بدلالة مقارنة  و . كما أن مبرهنة إردوس وَكاك التي تصف عدد العوامل الأولية المتمايزة تتضمن أيضًا اللغارتم الطبيعي.

لغارتم عاملي n، أي ، يُعطى بـ:

يمكن استخدام هذا للحصول على صيغة سترلنغ، وهي تقريب لـ  لقيم  الكبيرة.

 تعميمات 

 اللغارتمات العقدية 

تصغير|الشكل القطبي لـ . كل من  و  هما عُمَدتَا .|alt=An illustration of the polar form: a point is described by an arrow or equivalently by its length and angle to the x-axis.

جميع الأعداد العقدية  التي تحل المعادلة:

تسمى لغارتمات عقدية لـ ، عندما يكون (يعتبر)  عددًا عقديًا. عادةً ما يُمثَّل العدد العقدي على شكل ، وفيه  و  أعداد حقيقية و  وحدة تخيلية، ومربعها هو . يمكن تمثيل هذا العدد بنقطة في المستوي العقدي، كما هو موضح على اليمين. يُرَمِّز الشكل القطبي العدد العقدي غير المعدوم  بقيمته المطلقة، أي المسافة (الموجبة، الحقيقية)  إلى الأصل، والزاوية بين المحور الحقيقي (محور )  والخط الذي يمر عبر كل من الأصل و . تسمى هذه الزاوية عًُمْدَة .

القيمة المطلقة  لـ  تُعطى بـ:

يمكن التعبي عن أي عدد عقدي  اعتمادًا على التفسير الهندسي للجيب وجيب التمام ودورهما ، على النحو التالي:

من أجل أي عدد صحيح . من الواضح أن عمدة  ليست محددة تحديدًا فريدًا: كل من  و {{تعبير رياضي|1=φ' = φ + 2k}} عُمَد صالحة لـ  من أجل جميع الأعداد الصحيحة ، لأن إضافة  راديان أو k⋅360° إلى  يقابله "الالتفاف" حول نقطة الأصل عكس اتجاه عقارب الساعة بمقدار  دورة. العدد العقدي الناتج هو دائمًا ، كما هو موضح على اليمين من أجل . يمكن انتقاء واحد فقط من العُمَد الممكنة لـ  باعتبارها العمدة الرئيسة، المشار إليها بـ ، بحرف  كبير، من خلال اشتراط أن ينتمي  إلى دورة واحدة منتقاة انتقاءً ملائمًا، على سبيل المثال  أو . تسمى هذه المناطق التي فيها تُحدَّد عمدة  تحديدًا فريدًا  دالة العمدة.

تصغير|الفرع الرئيس () من اللغارتم العقدي، . النقطة السوداء عند  تقابل قيمة مطلقة تساوي الصفر، والألوان الأكثر سطوعًا تشير إلى قيم مطلقة أكبر. تُرمِّز النُقْبَة عمدة .|alt=A density plot. In the middle there is a black point, at the negative axis the hue jumps sharply and evolves smoothly otherwise.

تربط صيغة أويلر الدالتين المثلثيتين جيب وجيب تمام بالدالة الأسية العقدية:

باستخدام هذه الصيغة، ومرة أخرى خاصية الدورية، تنطبق المتطابقات التالية:

وفيها  هو اللغارتم الطبيعي الحقيقي الفريد، و  يشير إلى اللغارتمات العقدية لـ ، و  هو عدد صحيح كيفي. لذلك، فإن اللغارتمات العقدية لـ ، وهي جميع القيم العقدية  التي تكون فيها القوة من المرتبة  لـ  تساوي ، هي القيم العديدة اللامنتهية:

من أجل الأعداد الصحيحة الكيفية .

بأخذ  بحيث يكون  ضمن المجال المحدد للعمد الرئيسة، فإن  يُسمى القيمة الرئيسة للغارتم، ويُدوَّن بـ ، أيضًا بحرف  كبير. العمدة الرئيسة لأي عدد حقيقي موجب  هي 0؛ ومن ثم فإن  هو عدد حقيقي ويساوي اللغارتم الحقيقي (الطبيعي). ومع ذلك، فإن الصيغ أعلاه للغارتمات الجداءات والقوى لا تنطبق على القيمة الرئيسة للغارتم العقدي.

يوضح الرسم التوضيحي على اليمين ، ويقصر عمد  على المجال . وبهذه الطريقة، يكون للفرع المقابل من اللغارتم العقدي انقطاعات على طول محور  الحقيقي السالب، والتي يمكن رؤيتها في القفزة في النقبة هناك. ينشأ هذا الانقطاع من القفز إلى الحد الآخر في نفس الفرع، عند عبور الحد، أي عدم التغيير إلى قيمة  المقابلة للفرع المجاور المستمر. يسمى هذا المحل الهندسي . يؤدي إسقاط اقتصارات المدى على العمدة إلى جعل علاقات "عمدة "، ومن ثم "لغارتم "، دوالًا متعددة القيم.

 معكوسات الدوال الأسية الأخرى 
يُستخدم الرفع الأسي في العديد من مجالات الرياضيات وغالبًا ما يشار إلى دالة عكسية لها باسم اللغارتم. على سبيل المثال،  هو الدالة العكسية (متعددة القيم) .  اللغارتم الأوّليّانيّ مثال آخر، وهو الدالة العكسية . كلاهما يُعرّفان بمتسلسلة تيلور مماثلة للحالة الحقيقية. في سياق الهندسة التفاضلية، يُحوِّل  الفضاء المُماس عند نقطة من المتنوعة إلى جوار تلك النقطة. ويُطلق على معكوسها أيضًا اسم التطبيق اللغارتمي.

يُجرى الرفع الأسي في سياق الزمر المنتهية عن طريق ضرب عنصر الزمرة  بنفسه ضربًا متكررًا.  هو العدد الصحيح '' الذي يحل المعادلة:

وفيها  عنصر من عناصر الزمرة. يمكن إجراء الرفع الأسي بكفاءة، ولكن يُعتقد أن اللغارتم المتقطع صعب الحساب في بعض الزمر. لهذا اللاتناظر تطبيقات مهمة في التعمية بالمفتاح العام، مثل طريقة ديفي وهيلمان لتبادل المفاتيح، وهي إجرائية تسمح بتبادل مفاتيح التعمية تبادلًا آمنًا عبر قنوات اتصال غير آمنة. يرتبط  باللغارتم المتقطع في الزمرة الضربية لعناصر غير صفرية في حقل منتهٍ.

 تشمل الدوال العكسية الشبيهة باللغارتمات اللغارتم المزدوج ، واللغارتم الفائق (وهو اختلاف طفيف عنه يسمى  في علم الحاسوب)، ودالة W لِلامبرت، . وهي الدوال العكسية للدالة الأسية المزدوجة، ، و ، والدالة المنطقية الرمزية، على الترتيب.

 المفاهيم المتعلقة 
تعد المتطابقة  من منظور نظرية الزمر  بين الأعداد الحقيقية الموجبة الخاضعة لعملية الضرب والأعداد الحقيقية الخاضعة لعملية الجمع. الدوال اللغارتمية هي التماكلات المستمرة الوحيدة بين هذه الزمر. وبواسطة هذا التماكل، فإن  (قيس لوبيغ)  على الأعداد الحقيقية يتوافق مع قَيْس هار  على الأعداد الحقيقية الموجبة. الأعداد الحقيقية غير السالبة لا تحتوي على الضرب فحسب، بل تحتوي أيضًا على الجمع، وتشكل ، تسمى نصف حلقة الاحتمال؛ وهي في الواقع . ثم يأخذ اللغارتم الضرب إلى الجمع (الضرب اللغارتمي)، ويأخذ الجمع إلى الجمع اللغارتمي ()، مما يعطي تماكل أنصاف الحلقات بين نصف حلقة الاحتمال .

تظهر   في التحليل العقدي والهندسة الجبرية في صورة أشكال تفاضلية ذات أقطاب لغارتمية.

اللغارتم المتعدد دالة معرفة بالعلاقة التالية:

وهي مرتبطة باللغارتم الطبيعي بواسطة . علاوة على ذلك، فإن  تساوي دالة زيتا لريمان .

 انظر أيضًا 

 دالة أسية
 لغارتم اثناني


 ملاحظات وهوامش 

 المراجع 
 فهرس المراجع 
المنشورات
بالعربية

بالإنجليزية

بالفرنسية

باللاتينية

الوب
بالعربية

بالإنجليزية

 معطيات المراجع الكاملة 
المقالات المُحكَمة
بالعربية



بالإنجليزية





















الكتب
بالعربية















بالإنكليزية







































































بالفرنسية



باللاتينية




المعايير
بالإنكليزية





 للاستزادة 

 روابط خارجية 
 ويستاين، إريك و. "لغارتم". ماثوورلد. 
 الدوال الأسية واللغارتمية | الجبر (كل المحتوى) | أكاديمية خان. نسخة مؤرشفة من الأصل في 8 ديسمبر 2023. 

*
تصنيف:دوال خاصة ابتدائية
تصنيف:عمليات ثنائية
تصنيف:اختراعات إسكتلندية