موشور

في الهندسة الرياضية، الموشور  ويُسمَّى أيضًا المنشور، متعدد وجوه من الموشوريات، أي أن رؤوسه كلها تقطع في مستويين متوازيين، عدد رؤوسه في المستويين متساوٍ، ويشكل كل منها مضلعًا، يُسمَّى قاعدة الموشور. قاعدتا الموشور متطابقتان، وتصل بين رؤوسهما المتقابلة قطع مستقية متوازية تُشكِّل وجوهه الجانبية، وكلها متوازيات أضلاع رباعية. يُنشئ الموشور بسحب (تحريك من غير تدوير) إحدى قاعدتيه المُضلَّعتين لإنشاء القاعدة القاعدة الثانية، ثم وصل الرؤوس المتقابلة لتتشكل الوجوه الجانبية.

يُصنَّف الموشور قائمًا إذا كانت وجوهه الجانبية تعامد قاعدتيه، وبخلاف ذلك فهو مائل، ويُسمَّى الموشور وفقًا لعدد أضلاع قاعدته، فالموشور النوني قاعدتاه مضلعان متطابقان نونيان، ويمكن قياسًا على ذلك تعريف الموشور المثلث (قاعدته مثلث)، والموشور المُربَّع (قاعدته رباعي أضلاع، وهو المُكعَّب، إذا كان الموشور قائمًا ومحتتنًا) والموشور المخمَّس (قاعدته مخمَّس) والموشور المُسدَّس (قاعدته مسدَّس) ...

 التسمية 

يُسمَّى الموشور  وهذه الكلمة مأخوذة من ، رومنة: prisma، ومعناها شيء منشور (ناتج عن النشر)، وقد استخدم إقليدس في المقالة 11 من كتابه الأصول هذا المصطلح، وذكر تعريفًا له بأنه: كل شكل مجسم يحيط به ثلاث سطوح متوازية الأضلاع كل واحد منها ملاقٍ للآخرين ومثلثان متشابهان سطحهما متوازيان يُسمة بالمنشور. وقد نُقِد هذا التعريف مرارًا لعدم ذكره تخصيصًا دقيقًا للقاعدتين.

أما في التراث العربي، فاللفظ المستعمل لتسمية متعدد الوجوه هذا هو (المنشور) وكان يقتصر استعماله على الموشور المُثلَّث حصرًا، أما سائر المواشير الأخرى فكانت تُسمَّى أسطوانات. يذكر غياث الدين الكاشي في كتابه مفتاح الحساب تعريفًا له: (المنشور أسطوانة قاعدتها مثلثان متساويان، أضلاع أحدهما توازي أضلاع الآخر)، ويسبق ذلك كله بعبارة: (واعلم أن الأسطوانة والمخروط قد يكونان مضلعين، فقاعدتهما ذات أضلاع، والسطح المحيط بالأسطوانة مستطيات وبالمخروط مثلثات)، ويُفهم من هذه العبارة الأخيرة إشارة إلى المواشير والأهرام على الترتيب.

هناك ثلاثة جذور عربية تدل على معنى القطع هي: (أ ش ر) و(ن ش ر) و(و ش ر)، وتختلف في الحرف الأول وتتفق في دلالة الجذر الثنائي في الحرفين (ش ر)، مما يدل على إبدالٍ في الحرف الأول. ويشتق من هذه الجذور الثلاثة اسم مفعول يدل على المعنى نفسه: الموشور والمنشور، معتمدان في الأدبيات المعاصرة، وأما مأشور فهو قياس غير معتمد.

 الوصف 
الموشور متعدِّد وجوه له وجهان متطابقان متوازيان هما قاعدتاه، ووجوه الجانبية كلها متوازيات أضلاعٍ رباعية. وهو من الموشوريات، لأن رؤوسه كلها تقع في مستويين متوازيين. يُوصف الموشور بأنه بأنه قائم إذا كانت الحروف التي تصل بين القاعدتين تعامدهما، فإن الوجوه الجانبية تؤول إلى مستطيلات. ويُوصَف الموشور بأنه مائل، إذا كانت الحروف التي تصل بين القاعدتين غير عمودية عليهما.

يُسمَّى الموشور وفقًا لنوع المُضلَّع الذي يُشكل قاعدتيه المتوازتين. إذا كانت القاعدة مُثلَّثًا فالموشور مُثلَّث القاعدة، اختصارًا: موشور مثلث، وإذا كانت مُخمَّس، فالموشور مُخمَّس القاعدة، اختصارًا: موشور مخمَّس، ومثله المُسدَّس والمسبَّع وتعميمًا الموشور النوني.  ينتهي هذا الموشور إلى أسطوانة لو سعت   إلى اللانهاية. رمز شليفلي للموشور القائم ذي القاعدة النونية المنتظَمة . يوصَف الموشور بأنه منتظَم إذا كانت كل من قاعدتيه مضلع منتظَم.

يُسمَّى الموشور الذي تكون قاعدته رباعي أضلاع  بالمكعباني، وهو من سداسيات الوجوه، ويشمل:
 إذا كانت القاعدة متوازي أضلاع، يُسمَّى الموشور متوازي الوجوه السداسي، وهو يتكون من 6 أزواج مثنى مثنى من متوازيات الأضلاع.
 إذا كانت القاعدة مُعيَّنًا ويُسمَّى الموشور معين القاعدة، وهو يتكون من 6 أزواج مثنى مثنى من المُعينات.
إذا كانت القاعدة شبه منحرفٍ متساوي الساقين، يُسمَّى الموشور ذا القاعدة شبه المنحرفة المتساوية الساقين.
 إذا كانت القاعدة مستطيلًا، يُسمَّى الموشور القائم مستطيل القاعدة وهو متوازي مستطيلات، ومن أسمائه أيضًا الصندوق المستطيل رمز شليفلي له هو 
 إذا كانت قاعدته مربعًا سُمِّي الموشور مُربَّع القاعدة  والمُكعَّب حالة خاصة منه إذا تساوت أطوال حروفه كلها، ومن أسمائه أيضًا المكعباني المُربَّع  والصندوق المُربَّع.

الموشور المُحتتِن موشورٌ قائم كل من قاعدتيه مضلعٌ منتظم ولحروفه كلها الطول نفسه، لهذا فإن الوجوه الجانبية للموشور المُحتَتن مُربَّعات، وهذا يعني أن وجوهه كلها مضلعات منتظَمة، وهو أيضًا شكل متآسي الرؤوس. رمز شليفلي له . عائلة المواشير المُحتَتنة لانهائية العدد، ويبينها القالب التالي:

 الخواص 
 الحجم 

يساوي حجم الموشور  جُداء مساحة القاعدة  بارتفاعه ، وارتفاع الموشور هو طول القطعة المستقيمة الواصلة بين القاعدتين والعمودية على كل منهما. ويُعبَّر عن ذلك رياضيًا بالعلاقة:

إذا كانت قاعدة الموشور مَضلعًا منتظَمًا عدد أضلاعه ، وكان طول حرفه الجانبي ، يُمكن حساب الحجم بالعلاقة:

 مساحة السطح 
تُحسَب مساحة سطح الموشور  بالعلاقة التالية:

وفيها  مساحة قاعدة الموشور و محطيها و ارتفاعه.

إذا كانت قاعدة الموشور القائم مُضلَّعًا منتظَمًا عدد أضلاعه ، وكان طول حرفه الجانبي ، يُمكن حساب مساحة سطحه بالعلاقة:

 التناظر 
زمرة تناظر الموشور القائم النوني منتظَم القاعدة زمرة ثنائية الوجه Dnh من الرتبة ، ما خلا المُكعَّب الذي له زمرة تناظر أعلى  Oh من الرتبة 48. إذا كان عدد أضلاع قاعدة الموشور زوجيًا، كان للموشور تناظر مركزي.

للموشور النوني زمرة دوران  من الرتبة ، ما خلا المُكعَّب، فزمرة تناظره أعلى، وهي  من الرتبة 24.

 الثنوية 
ثنوي الموشور القائم النوني هو ثنائي الهرم النوني القائم.

 متعددات أكناف شبيهة 

 الموشور المبتور 
تصغير|يسار|150px|موشور مبتور: المستوي القاطع (بالأزرق)، والوجوه الجانبية (بالأحمر) تكون أشباه منحرف.

ينتج الموشور المبتور عندما يقطع مستوٍ لا يوازي القاعدتين الوجوه الجانبية لموشور. قاعدتا الموشور المبتور ليستا متطابقتين ووجوهه ليست متوزايات أضلاع رباعية.

 الموشور المفتول 
الموشور المفتول متعدد وجوه مُقعَّر (غير مُحدَّب) يُنشأ انطلاقًا من موشورٍ نوني مُحتتِن يُنصَّف كل من وجوهه الجانبية، وهي مربَّعات، بقطرٍ واحد، ثُمَّ تُفتل إحدى قاعدتيه بزاورية  راديان أو  درجة. إذا مالت الأقطار إلى اليسار، فيلزم فتل القاعدة يُسرةً، بالجهة نفسها  لإنتاج المُجسَّم المُقعَّر، ولو فُتِلت القاعدة بجهة معاكسة لجهة ميل الأقطار، ينتج الموشور التخالفي، وهو متعدد وجوه مُحدَّب.

الموشور المفتول النوني متطابق طبولوجيًا مع الموشور التخالفي المُحتتن النوني، ولكن له نصف زمرة تناظره: ، من الرتبة .

قاعدة مثلثةقاعدة رباعية الأضلاعقاعدة اثنا عشرية الأضلاع120px120px120px180pxموشور مُربَّع مَفتولموشور اثنا عشري مَفتول (الأقطار بالأحمر تميل لليمين، والقاعدة مفتولة لليمين أيضًا (الحروف الزرقاء))

 الجذع 
تصغير|120px|جذع مخمَّس القاعدة

الجذع متعدد وجوه من الموشوريات مشابهٌ للموشور، يختلف عنه بأن أبعاد قاعدتيه غير متطابقة وبأن وجوهه الجانبية أشباه منحرف.

 الموشور النجمي 

الموشور النجمي متعدد وجوه مُقعَّر قاعدتاه مضلعان نجميان متطابقان إحداهما مُنسحِبة عن الأخرى، تصل بين الرؤوس المتقابلة في النجمتين حروف تُشكِّل وجوهًا هي متوازيات أضلاع رباعية (مستطيل لو كان الموشور قائمًا). رمز شليفلي للموشور النجمي المُحتتِن هو ، فيه  مستطيلًا و وجهًا.

الموشور النجمي النوني مطابق طبولوجيًا مع الموشور النوني.

+ أمثلة رمز شليفلي زمرة التناظر ، من الرتبة 8، من الرتبة 12، من الرتبة 20، من الرتبة 28، من الرتبة 32 الصورة100px100px100px100px100px100px100px

 الموشور التقاطعي 
الموشور التقاطعي مُتعدِّد وجوه مُقعَّر يُنشأ انطلاقًا من موشوري من عائلة الأهرام بإيحاد نظير القاعدة بالنسبة للقمة، وتكون النتيجة هرمًا آخر يشترك بالقمة مع الأول، وقاعدته مُدوَّرة 180 درجة بالنسبة للهرم الأول. وجوه الموشور التقاطعي المغايرة للقاعدتين هي مستطيلات متقاطعة، وهذا يعني أن نقطة التناظر ليست رأسًا في مُتعدِّد الوجوه الناتج.

الموشور التقاطعي النوني متطابق طبولوجيًا مع الموشور النوني.

+ أمثلةرمز شليفليزمرة التناظر، من الرتبة 8، من الرتبة 12، من الرتبة 16، من الرتبة 20، من الرتبة 24الصورة100px100px100px100px100px100px100px100px

 الموشور الطاري 
الموشور الطاري متعدد وجوه مُقعَّر يُنشأ انطلاقًا من موشوري من عائلة الأهرام بإيحاد نظير القاعدة بالنسبة للقمة، وتكون النتيجة هرمًا آخر يشترك بالقمة مع الأول، وقاعدته مُدوَّرة 180 درجة بالنسبة للهرم الأول. ثُمَّ تنشأ الوجوه الجانبية بالوصل بين الرؤوس المتقابلة في القاعدتين، ويُزال وجه القاعدتين. لا يُمكن إنشاء الموشور الطاري إلا إذا كان عدد أضلاع قاعدة الهرم الأصل زوجيًا. وجوه الموشور الطاري المغايرة للوجوه الجانبية هي مستطيلات متقاطعة، وهذا يعني أن نقطة التناظر ليست رأسًا في مُتعدِّد الوجوه الناتج.

الموشور الطاري النوني ثنوي لذاته، عدد رؤوسه  رأسًا، ووجوهه  وجهًا:  مربعًا و مستطيلًا متقاطعًا، وحروفه  حرفًا.

+ أمثلةزمرة التناظرة، من الرتبة 16، من الرتبة 24عدد الوجوه (F) والحروف (E) والرؤوس (V) , , , , الصورة100بك|مركز100بك|مركز

 الموشور المُقوَّم 
تصغير|250بك|مراحل تقويم مكعب (موشور مربع قائم محتَتن) بالبتر.
الموشور المُقوَّم ويُسمَّى أيضًا ثنائي الهرم المُقوَّم، واحدٌ من عائلة غير محدودة العدد من متعددات الوجوه، يُنشَأ الموشور النوني المُقوَّم بتقويم موشور نوني بقطع رؤوسه وصولًا إلى منتصف حروف الأصل. الوجوه الجانبية للموشور المُقوَّم مربعات أو معينات باقية من الموشور الأصل، ومثلثات متساوية الساقين ناتجة عن البتر.

+الوجوه الزرق: قاعدة الموشور الأصل، الوجوه الصفر: بقايا الوجوه الجانبية الأصل بعد البتر، الوجوه الحمر: مثلثات متساوية الساقين ناتجة عن البتر.n34567الصورة100px100px100px100px100px

 متعدد الأكناف الموشوري 

متعدد الأكناف الموشوري تعميمٌ للموشور في الأبعاد العليا. يُنشَأ متعدد أكناف موشوري نوني البعد انطلاقًا من متعدد أكناف في البعد (n-1)، هو إحدى القاعدتين، يُسحب في  البعد (n) ليُشمل القاعدة الثانية المطابقة للأولى، ثم يُوصل بين رؤوس القاعدتين.

 معرض الصور 

 انظر أيضًا 



 موشور تخالفي

 مصطلحات 

 المراجع 
 فهرس المنشورات 
بالعربية

بالإنجليزية

 معلومات المراجع كاملة 
بالعربية
الكتب
















بالإنجليزية
المقالات المُحكَّمة



الكتب







 وصلات خارجية 
 صفحة الموشور في موسوعة عالم الرياضيات.
 صور لنماذج ورقية لـــ : المواشير، المواشير المفتولة.

تصنيف:موشوريات
تصنيف:متعددات الوجوه المحتتنة