مجموعة ماندلبرو

تصغير|رسم متحرك لمجموعة ماندليبرو يرتكز على عدد إحصائي من التكرار لكل بكسل

مجموعة ماندلبرو  هي شكل كسيري مشهور بشكل واسع حتى خارج مجال الرياضيات لتداخلها مع ما يدعى الفن الكسيري حيث تقدم صورا فنية تتميز بالجمال والتجريدية. ما يميز مجموعة ماندلبرو هو البنية المعقدة التي تقدمها رغم بساطة تعريفها. ترتبط مجموعة ماندلبرو ارتباطا وثيقا  بمجموعات جوليا (اللائي يحتوين على أشكال شبيهة من حيث التعقد). سميت هذه المجموعة بهذا الإسم  نسبة إلى بونوا ماندلبرو الذي درسها وأشهرها .

 التاريخ 

322px|يسار|تصغير|أول رسم لمجموعة ماندلبرو, من طرف روبرت دبليو. بروكس وبيتر ماتلسكي "Peter Matelski" في عام 1978

لمجموعة ماندلبرو مكانها في ، وهو مجال بُحث فيه لأول مرة من طرف عالمي الرياضيات الفرنسيين بيير فاتو وغاستون جوليا في بداية القرن العشرين. أول صورة لهاته الكسيرية رُسمت من طرف روبرت دبليو. بروكس وبيتر ماتلسكي "Peter Matelski"، وكان ذلك في عام 1978, كجزء من دراسة للزمر الكلاينية.Robert Brooks and Peter Matelski, The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2,C), in "Riemann Surfaces and Related Topics", ed. Kra and Maskit, Ann. Math. Stud. 97, 65–71, ISBN 0-691-08264-2 في أول يوم من مارس عام 1980، رأى ماندلبرو رسما للمجموعة لأول مرة, وكان ذلك في مختبر ينتمى إلى آي بي إم يقع في نيويورك في الولايات المتحدة.

درس ماندلبرو فضاء البارمترات لمتعددات الحدود التربيعية في مقالة ظهرت عام 1980.Benoît Mandelbrot, Fractal aspects of the iteration of  for complex , Annals NY Acad. Sci. 357, 249/259

لكن الدراسة الرياضية الحقيقية لمجموعة ماندلبرو بدأت مع عمل كل من أدريان دوادي وجون إتش هابارد John H. HubbardAdrien Douady and John H. Hubbard, Étude dynamique des polynômes complexes, Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985)
اللذان قاما بتأسيس وإيضاح العديد من خواص ، وأسمياها مجموعة ماندلبرو تكريما لماندلبرو.

 التعريف الرسمي 

تُعرف مجموعة ماندلبرو بواسطة مجموعة متعددات الحدود التربيعية العقدية

حيث

و c وسيط عقدي. بالنسبة لقيمة معينة للوسيط c، يُنظر إلى تصرف المتتالية التالية

التي يُحصل عليها عندما تُحسب  بشكل متكرر ابتداء من النقطة الحرجة . لهاته المتتالية إمكانيتان أولاهما التباعد إلى ما لا نهاية له, ثانيتهما البقاء داخل قرص مركزه هو مركز المعلم وشعاعه هو عدد معين.

يسار|تصغير|322px|وصف عالم رياضيات لمجموعة ماندلبرو M. نقطة ما c تُلون باللون الأسود إذا كانت تنتمي إلى المجموعة, وبالأبيض إذا لم تنتمِ إليها. [Re[c و[Im[c يشيران إلى الجزئين الحقيقي والتخيلي للعدد c على التوالي.

 الخصائص الابتدائية 

مجموعة ماندلبرو هي مجموعة مضغوطة, محتوية داخل القرص ذي الشعاع المساوي لاثنين والمتمركز في أصل المَعلم. هكذا، نقطة ما  تنتمي إلى مجوعة ماندلبرو إذا وفقط إذا توفر ما يلي:
 مهما كان .
وبتعبير آخر، إذا وُجدت قيمة ما ل n حيث القيمة المطلقة ل  تكون أكبر من اثنين، فإن المتتالية تؤول إلى ما لا نهاية له.

تقاطع M مع محور الأعداد الحقيقية هو بالتحديد المجال [-2, 0.25].

انظر إلى متتالية لوجستية.

تُقدر مساحة مجموعة ماندلبرو ب  ± .Mrob.com 

 معرض صور 
170x170بك 170x170بك 170x170بك 170x170بك 170x170بك 170x170بك 

 انظر أيضًا 
 كسيرية الباخرة المحترقة
 كسيرية كولاتز
 كسيرية نيوتن

 مراجع 

تصنيف:كسيريات
تصنيف:مفاهيم علمية المسمى