ارتفاع (مثلث)

في الهندسة الرياضية، ارتفاع المثلث هو القطعة المستقيمة من رأس المثلث وعمودية على (أي تشكل زاوية قائمة مع) خط يحتوي على القاعدة (الضلع المقابل لهذا الرأس). يسمى الخط الذي يحتوي على الضلع المقابل للرأس بالقاعدة الممتدة لهذا الارتفاع. يُطلق على تقاطع القاعدة الممتدة والارتفاع اسم  قدم الارتفاع. طول الارتفاع، الذي يُطلق عليه- غالبًا ببساطة- «الارتفاع»، هو المسافة بين القاعدة الممتدة والرأس. تُعرف عملية رسم الارتفاع من الرأس إلى القدم بإسقاط الارتفاع. إنها حالة خاصة من الإسقاط العمودي.

يمكن استخدام الارتفاعات في حساب مساحة المثلث: نصف جداء الارتفاع وطول قاعدته يساوي مساحة المثلث. وبالتالي، فإن أطول ارتفاع يكون عموديًا على أقصر ضلع للمثلث. ترتبط الارتفاعات أيضًا بأضلاع المثلث بواسطة الدوال المثلثية.

في المثلث المتساوي الساقين (مثلث له ضلعان متطابقان)، الارتفاع على الضلع غير المتطابق قدمه في نقطة منتصف القاعدة. ثم إن هذا الارتفاع ينصف زاوية الرأس.
تصغير|ارتفاع المثلث القائم من الزاوية القائمة إلى الوتر هو المتوسط الهندسي لطول جزئي الوتر. باستخدام مبرهنة فيثاغورس على المثلثات الثلاثة التي لها الأضلاع و  و, 
من الشائع إعطاء الارتفاع الرمز h (نسبةً إلى height)، وغالبًا ما يُلحق باسم الضلع العمودي عليه. في المثلث القائم الزاوية، الارتفاع المرسوم على الوتر c يقسم الوتر إلى جزأين p و q . إذا أشرنا إلى طول الارتفاع بـ h c، فسنحصل على العلاقة

  (  )

يسار|تصغير|في المثلث القائم، يتطابق الارتفاع من كل زاوية حادة مع ساق ويتقاطع مع الضلع المقابل عند (تكون قدمه عند) الرأس القائم، وهي المركز العمودي.
تصغير|تقع الارتفاعات من كل زاوية من الزوايا الحادة لمثلث منفرج خارج المثلث تمامًا، والمركز العمودي أيضًا H.
في المثلثات الحادة، تقع أقدام الارتفاعات كلها على أضلاع المثلث (غير الممتدة). في المثلث المنفرج (الذي فيه زاوية منفرجة)، تقع قدم الارتفاع من الرأس المنفرجة الزاوية في الجزء الداخلي من الضلع المقابل، لكن قدمي الارتفاعين من الرأسين الحادين الزاوية تقعان على الضلعين الممتدين المقابلين؛ خارج المثلث. هذا موضح في الرسم البياني المجاور: في هذا المثلث المنفرج، يسقط ارتفاع من الرأس العلوي، ذي الزاوية الحادة، ويتقاطع مع الضلع الأفقي الممتد خارج المثلث.

  (نقطة تلاقي الارتفاعات) 
تتقاطع الارتفاعات الثلاثة في نقطة، تسمى المركز العمودي للمثلث، وعادةً ما يتم الإشارة إليها بـ . يقع المركز العمودي داخل المثلث فقط إذا كان المثلث حادًا (أي ليس له زاوية أكبر من الزاوية القائمة أو مساوية لها). إذا كانت إحدى الزوايا قائمة، فإن المركز العمودي يتطابق مع الرأس القائم.

لنفترض أن  تشير إلى رؤوس وكذلك زوايا المثلث، وافترض أن أطوال الأضلاعفإن المركز العمودي له الإحداثيات الخطية الثلاثية Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangle Centers 

يسار|تصغير|ثلاثة ارتفاعات تتقاطع عند المركز العمودي
و الإحداثيات الكتلية



نظرًا لأن جميع الإحداثيات الكتلية موجبة لنقطة في داخل مثلث، لكن إحداها، على الأقل، سالبة لنقطة خارجه، واثنان من الإحداثيات الكتلية يساويان صفر لنقطة الرأس، فإن الإحداثيات الكتلية المعطاة للمركز العمودي توضح أن المركز العمودي يقع داخل المثلث الحاد، وعلى الرأس القائم الزاوية لمثلث قائم الزاوية، وخارج المثلث المنفرج.

في المستوى المركب، افترض أن النقاط A و B و  تمثل الأرقام  و  و ، على التوالي، وافترض أن المركز المحيطي من المثلث  يقع عند أصل المستوى. عندئذ، العدد المركب



تمثله النقطة ، أي المركز العمودي للمثلث . من هذا، يمكن تحديد الخصائص التالية للمركز العمودي  عن طريق المتجهات الحرة مباشرةً:



تُعرف أولى المتطابقات المتجهة السابقة، أيضًا، بمسألة سيلفستر، التي اقترحها جيمس جوزيف سيلفستر .Dörrie, Heinrich, "100 Great Problems of Elementary Mathematics. Their History and Solution". Dover Publications, Inc., New York, 1965, , page 142

 الخصائص 
لنفترض أن D وE و تشير إلى أقدام الارتفاعات للرؤوس A وB و على التوالي. عندئذ:

 المركز العمودي يقسم الارتفاع لقطعتين جداؤهما ثابت لجميع الارتفاعات الثلاثة:


 الدائرة المتمركزة عند  و نصف قطرها الجذر التربيعي لهذا الثابت هي الدائرة القطبية للمثلث.

 مجموع النسب لبعد المركز العمودي عن القاعدة إلى طول الارتفاع للارتفاعات الثلاثة هو 1:Panapoi,Ronnachai, "Some properties of the orthocenter of a triangle", جامعة جورجيا.  (هذه الخاصية والتالية لها، تطبيقان لخاصية أعم لأي نقطة داخلية وثلاثة خطوط شيفيّة خلالها.)



 مجموع النسب لبعد المركز العمودي عن الرأس إلى طول الارتفاع للارتفاعات الثلاثة هو 2:



 و المترافق متساوي الزوايا لـلمركز العمودي هو المركز المحيطي للمثلث.
 و المترافق الأيزوماتيكي للمركز العمودي هو نقطة المستوسط للمثلث المضاد-التتمة .Weisstein, Eric W. "Isotomic conjugate" From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/IsotomicConjugate.html 
 إذا كانت أربع نقاط في مستوى، بحيث تكون إحداهم المركز العمودي للمثلث الذي تشكله الثلاثة الأخرى ات، تسمى (الأربع نقاط) نظام مركزي عمودي أو رباعي الزوايا المركزي العمودي.

 العلاقة مع الدوائر والمخروطات 
إذا أشرنا إلى محيط المثلث بـ. عندئذ Weisstein, Eric W. "Orthocenter." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. 



وبالإضافة إلى ذلك، ترمز r لنصف قطر الدائرة الداخلية للمثلث، و يرمزون إلى أنصاف أقطار الدوائر الخارجية للمثلث، 
 هي نصف قطر الدائرة المحيطة، والعلاقات التالية تظل صحيحة بالنسبة لبعد المركز العمودي عن الرؤوس:Bell, Amy, "Hansen's right triangle theorem, its converse and a generalization", Forum Geometricorum 6, 2006, 335–342. 




إذا مد أي ارتفاع، على سبيل المثال، AD، ليتقاطع مع الدائرة المحيطة عند ، بحيث تكون وتر للدائرة المحيطة، فإن القدم تشطر الجزء :



تمر أدلاء جميع القطوع المكافئة الماسة خارجيًا لضلع للمثلث والماسة لامتدادي الضلعين الآخرين، عبر المركز العمودي.Weisstein, Eric W. "Kiepert Parabola." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/KiepertParabola.html 

المخروطي المحيطي الذي يمر عبر المركز العمودي لمثلث هو قطعًا زائدًا مستطيلًا .Weisstein, Eric W. "Jerabek Hyperbola." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/JerabekHyperbola.html 

 العلاقة بالمراكز الأخرى، دائرة النقاط التسع 
المركز العمودي H، ومركز الكتلة ، والمركز المحيطي ، والمركز 
 لدائرة النقاط التسع يقعون على خط واحد، يُعرف بخط أويلر . يقع مركز دائرة النقاط التسع في منتصف خط أويلر، بين المركز العمودي والمركز المحيطي، والمسافة بين مركز الكتلة والمركز المحيطي هي نصف المسافة بين مركز الكتلة والمركز العمودي 





بعد المركز العمودي عن المركز الداخلي أقل من بعد مركز الكتلة عن المركز العمودي، والبعد بين المركز العمودي ومركز الكتلة أكبر من البعد بين المركز الداخلي ومركز الكتلة.




من حيث الأضلاع 
 نصف القطر الداخلي و نصف القطر المحيطي Marie-Nicole Gras, "Distances between the circumcenter of the extouch triangle and the classical centers", Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html 

 Smith, Geoff, and Leversha, Gerry, "Euler and triangle geometry", Mathematical Gazette 91, November 2007, 436–452.



 المثلث العمودي (مثلث الارتفاعات) 
تصغير|279x279بك|المثلث  (على التوالي ،  في النص) هو المثلث العمودي للمثلث 
إذا كان المثلث ABC مائلًا (لا يحتوي على زاوية قائمة) ، فإن مثلث المساقط الخاص بالمركز العمودي للمثلث الأصلي يسمى المثلث العمودي أو مثلث الارتفاعات. أي إن أقدام ارتفاعات المثلث المائل تشكل المثلث العمودي،  . وأيضًا، فإن المركز الداخلي (مركز الدائرة المحاطة بالمثلث) للمثلث العمودي هو المركز العمودي للمثلث  . See also: Corollary 5.5, p. 318.

تعطى الإحداثيات الخطية الثلاثية لرؤوس المثلث العمودي بـ* * * 

 الأضلاع الممتدة من المثلث العمودي تتقابل مع نظيرتها من المثلث المرجعي في ثلاث نقاط تقع على خط واحد .
 في أي مثلث حاد، المثلث المدرج بداخله ذو المحيط الأصغر هو المثلث العمودي. هذا هو الحل ل  التي طُرِحَت عام 1775.
 أضلاع المثلث العمودي متوازية مع مماسات الدائرة المحيطة عند رؤوس المثلث الأصلي.
 يعطي المثلث العمودي لمثلث حاد مثلث المرور الضوئي.Bryant, V., and Bradley, H., "Triangular Light Routes," Mathematical Gazette 82, July 1998, 298-299.
 الخطوط المماسية لدائرة النقاط التسع عند نقاط المنتصف لأضلاع المثلث ، توازي أضلاع المثلث العمودي، وتشكل مثلثًا مشابهًا للمثلث العمودي.

يرتبط المثلث العمودي ارتباطًا وثيقًا بالمثلث المماسي، المنشئ على النحو التالي: افترض أن مماس للدائرة المحيطة بالمثلث عند الرأس ، وبالمثل و . افترض أن ، ، . المثلث المماسي الذي أضلاعه مماسات للدائرة المحيطة بالمثلث " عند رؤوسه، هو محاكي للمثلث العمودي. يقع المركز المحيطي للمثلث المماسي ومركز التشابه للمثلثين العمودي والمماسي على خط أويلر . 

تعطى الإحداثيات الخطية الثلاثية لرؤوس المثلث المماسي بواسطة* * * .

 بعض مبرهنات الارتفاع الإضافية 

 الارتفاع من حيث الأضلاع 
لأي مثلث أضلاعه  ونصف محيطه  ،يعطى ارتفاع 


هذا يتأتى من دمج صيغة هيرون لمساحة المثلث من حيث الأضلاع مع صيغة المساحة (1/2) × القاعدة × الارتفاع، حيث نعتبر القاعدة الضلع 
 والارتفاع هو الارتفاع من .

 مبرهنات نصف القطر الداخلي 
بالنسبة لأي مثلث له الأضلاع و الارتفاعات المقابلة و . ترتبط الارتفاعات ونصف القطر الداخلي بـالعلاقة Dorin Andrica and Dan S ̧tefan Marinescu. "New Interpolation Inequalities to Euler’s R ≥ 2r". Forum Geometricorum, Volume 17 (2017), pp. 149–156. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201719.pdf  



 مبرهنة نصف القطر المحيطي 
إذا أشرنا إلى الارتفاع لأحد أضلاع المثلث بـ ، والجانبان الآخران و ، ونصف القطر المحيطي للمثلث (نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث) ، يعطى الارتفاع بالعلاقة



 نقطة داخلية 
إذا كانت و هي المسافات العمودية من أي نقطة إلى الأضلاع، و و هي الارتفاعات على الأضلاع، إذًا 



 مبرهنة المساحة 
إذا أشرنا إلى ارتفاعات أي مثلث له الأضلاع 

على التوالي  و  ، و  ، وإذا أشرنا إلى نصف مجموع مقلوبات الارتفاعات بـ ، إذا Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle," Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.



 نقطة عامة على ارتفاع 
إذا كانت أي نقطة على الارتفاع لأي مثلث ، إذًا Alfred S. Posamentier and Charles T. Salkind, Challenging Problems in Geometry, Dover Publishing Co., second revised edition, 1996. 



 مثلثات خاصة 

 المثلث المتساوي الأضلاع 
لأي نقطة  داخل مثلث متساوي الأضلاع، فإن مجموع الأعمدة على الأضلاع الثلاثة يساوي ارتفاع المثلث. هذه هي مبرهنة فيفياني .

 المثلث القائم 
في المثلث القائم الزاوية الذي ارتفاعاته الثلاثة ha و hb و hc
تصغير|مقارنة بين مبرهنة فيثاغورس المعكوسة ومبرهنة فيثاغورس
(أول ارتفاعين منهم يساويان الضلعين 

و على التوالي) يرتبطون وفقًا لـلعلاقة Voles, Roger, "Integer solutions of ," Mathematical Gazette 83, July 1999, 269–271.Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," Mathematical Gazette 92, July 2008, 313–317.



يُعرف هذا أيضًا باسم مبرهنة فيثاغورس المعكوسة.

 تاريخ 
تم إثبات المبرهنة القائلة بأن الارتفاعات الثلاثة للمثلث تلتقي في نقطة واحدة، المركز العمودي، أول مرة في ما نشر عام 1749 بواسطة .

 انظر أيضًا 

 مثلث
 مركز المثلث
 المتوسط (هندسة)
 متوسط المثلث
 مبرهنة فيثاغورس
 نقاط هامة للمثلث
 قوانين مساحة المثلث

 مراجع 

تصنيف:مثلثات
تصنيف:هندسة المثلث