صيغة دي موافر

في الرياضيات، صيغة دي موافر ، والمسماة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات أبراهام دي موافر هي المتطابقة التالية:

الصالحة من أجل كل القيم الحقيقية لx و n عدد صحيح؛ و هي نتيجة مباشرة لصيغة أويلر

 البرهان باستخدام الاستقراء الرياضي 
يمكن دراسة ثلاث حالات للصيغة بحيث تحقق الحل.

من أجل n > 0, يمكن الاستعانة بالاستنتاج الاستقرائي. عند n = 1, تتحقق صحة الحل بشكل بديهي من صيغة أويلر. يفترض أن يظل الحل صحيحا لأي عدد طبيعي، k. أي:

وبدراسة الحالة n = k + 1:

العلاقة (1) تم استنباطها من فرضية الاستقراء بينما العلاقة (2) من المتطابقات المثلثية.
وبالتالي فإن الصيغة صحيحة عند n = k + 1 إذا كانت n = k صحيحة. ويمكن تعميم الصيغة لكل عدد صحيح موجب، n≥1.

إذا كانت n = 0 تظل الصيغة  صحيحة، ومن المعروف أن .

إذا كانت n < 0, يمكن تعديل الاختيار على m بحيث يصبح n = −m. وبالتالي:

أي أن العلاقة صحيحة في جميع الأحوال لكل قيم n الصحيحة.

استخدامات صيغة دي موافر
تستخدم هذه الصيغة للبحث عن القوى النونية للأعداد العقدية في الشكل المثلثي:

و كذلك للحصول على أشكال (cos(nx و (sin(nx بدلالة (sin(x و (cos(x.

على سبيل المثال، للحصول على (cos(2x و (sin(2x، ساوي:

.

لدينا:

.

ساوي الأجزاء الحقيقية والتخيلية للحصول على المعادلتين التاليتين:

.
حدوديات تشيبيشيف
تصغير|بافنوتي تشيبيشيف

صيغة دي موافر تعطي:

.

بأخذ الجزء الحقيقي و وضع p=2k ينتج أن:


حيث Tn حدودية من الدرجة n، تسمى حدودية تشيبيشيف.

.

 المراجع 

 قاموس رياضيات عربي-انجليزي-فرنسي-الجزء الثاني- إهداء الأستاذ إبراهيم الاحمدي (بتصرف).

تصنيف:مبرهنات في التحليل المركب
تصنيف:مبرهنات في الجبر
تصنيف:مقالات تحوي براهين