مربع

المربع في الهندسة الرياضية هو رباعي أضلاع منتظم جميع أضلاعه متساوية في الطول ومتعامدة مشكلةً أربع زوايا متساوية قائمة (أي قياسها °90 أو π/2 راديان). يعد المربع حالة خاصَّة من كل من المستطيل الذي يحوي أربع زوايا قائمة متساوية والمعين ذو الأربع أضلاع متساوية. يتشابه المربع مع المستطيل في الزوايا القائمة الأربع أي تعامد الأضلاع المتجاورة، كما يمكن تشكيل المربع عن طريق جمع مثلثين قائمي الزاوية ومتساويا الساقين عند الوتر.
تحسب مساحة المربع عبر ضرب طول الضلع بنفسه، ولذلك فيكون مربع العدد في علم الجبر هو حاصل ضرب العدد بذاته.

يمكن استخدام المربّعات المتجاورة متساوية الأضلاع في تبليط المستوى تبليطًا منتظمًا دون ترك فراغات، عبر ترتيب المربعات لتتلاقى أضلاعها المتقابلة من الحافة إلى الحافة. ويُعرف هذا النمط باسم تبليط المربّع، وهو من أبسط أنواع التبليط المنتظم في الهندسة الإقليدية. تنتشر المربّعات في العديد من التطبيقات اليومية والهندسية، إذ تظهر عنصرًا رئيسًا في رصف الأرضيات والجدران، وتُستخدم على نطاق واسع في ورق الرسم البياني، وبكسلات الصور الرقمية، ولوحات الألعاب مثل رقعة الشطرنج.

كما تظهر الأشكال المربّعة في مخططات طوابق المباني، والأوريغامي (فن طي الورق)، وأطباق الطعام التي تتخذ هذا الشكل لأسباب جمالية ووظيفية. ويشيع استخدام المربّع أيضًا في تصميم الرسوميات وعلم الشارات والصور الفورية وكذلك في الفنون الجميلة.

تُعدّ صيغة مساحة المربّع، والتي تُحسب بضرب طول الضلع في نفسه، من الأسس البسيطة والجوهرية في حساب المساحات. وقد شكّلت هذه القاعدة نقطة انطلاق للعديد من المسائل الرياضية، بما في ذلك مسألة تربيع الدائرة، أي إنشاء مربع مساوٍ في المساحة لدائرة معينة باستخدام مسطرة وفرجار فقط. وقد أثبتت الرياضيات الحديثة أن هذا الهدف مستحيل تحقيقه، نظرًا للطبيعة المتسامية لعدد π. يمكن أيضًا نقش مربع داخل أي منحنى أملس أو محدب، مثل الدائرة أو المثلث، غير أن مسألة ما إذا كان بالإمكان نقش مربع داخل كل منحنى بسيط مغلق — وهي معروفة باسم "مسألة المربع المنقوش" — لا تزال غير محلولة في الرياضيات.

تظهر المربّعات كذلك في مسائل أكثر تعقيدًا، مثل تقسيم المربّع إلى مربّعات أصغر غير متساوية في الحجم، وهو موضوع يشكّل جزءًا من فرع يُعرف بـتربيع المربّع. واهتم الرياضيون أيضًا بمشاكل تتعلّق بـتعبئة أكبر عدد ممكن من المربّعات داخل أشكال هندسية أخرى، ما يستلزم البحث في الكفاءة المثلى لاستغلال المساحة.
يمكن إنشاء المربّعات بوسائل مختلفة، منها المسطرة والفرجار في نظام الإحداثيات الديكارتية. كما يمكن تمثيلها في المستوي المركب (العقدي) عبر الضرب المتكرر بالعدد التخيّلي 𝑖 . في الهندسة غير الإقليدية، تظهر أشكال مربّعة أيضًا ولكن بصيغ مختلفة. ففي هندسة سيارة الأجرة ومسافة شبشفية تكون المربّعات هي الكرات المترية، أي الأشكال التي تمثل نقاطًا على مسافة ثابتة من نقطة مركزية بحسب تعريف كل من هاتين الهندستين.

أما في الهندسة الكروية والهندسة الزائدية، وهما فرعان آخران من الهندسة غير الإقليدية، التي تفتقر للمضلعات، لذلك من غير الممكن رسم مربعات لها أضلاع متساوية وزوايا قائمة كما في الهندسة الإقليدية، لكن يمكن بناء مضلعات منتظمة تمتلك خصائص مشابهة للمربع. فقد تكون رباعية الأضلاع بأطوال متساوية ولكن بزوايا غير قائمة، أو رباعيات الزوايا قائمة الزوايا ولكن بعدد مختلف من الأضلاع أو بتوزيع مختلف للزوايا.

 تعريفات وميزات 
تصغير|upleft=1.25|يظهر المربع باللون الأزرق بين المستطيلات الملونة في المنتصف عندما يتساوى طول المستطيل وعرضه، وبين المعينات في السطر الأدنى فيظهر أيضًا في المنتصف بزاوية قائمة وبلون أزرق أيضًا.
يمكن تعريف المربعات أو توصيفها بعدة طرق متكافئة. إذا استوفى المضلع في المستوى الإقليدي أيًا من المعايير الآتية، فإنه يستوفيها جميعًا:
 مضلع له أربعة أضلاع متساوية في الطول وأربع زوايا قائمة (كل منها 90 درجة أو π/2 راديان).
 مستطيل أضلاعه الأربعة متساوية الطول.
 معيّن يحتوي على زاوية قائمة بين ضلعين متجاورين.
 معيّن جميع زواياه متساوية (أي أن كل زاوية قائمة).
 متوازي أضلاع له زاوية قائمة واحدة وضلعان متجاوران متساويان.
 شكل رباعي الأضلاع تكون أقطاره متساوية في الطول، ومتعامدة، وتنصف بعضها البعض، أي أنه معيّن بأقطار متساوية.
المربّعات هي المضلّعات المنتظمة الوحيدة التي تتساوى فيها الزاوية الداخلية والزّاوية الخارجيّة، والزّاوية المركزيّة، وجميعها تساوي زاوية قائمة (90 درجة).

 خواص المربع 

يعد المربع حالة خاصَّة من المعين (أضلاع متساوية وزوايا متقابلة متساوية)، والحدأة (زوجان من الأضلاع المتجاورة المتساوية)، وشبه المنحرف (أحد الزوجين المتقابلين متوازيان)، ومتوازي الأضلاع (جميع الأضلاع المتقابلة متوازية)، والرباعي أو رباعي الأضلاع (مضلع رباعي الأضلاع)، والمستطيل (أضلاعه المتقابلة متساوية وزواياه قائمة)، وبالتالي فهو يمتلك جميع خصائص جميع هذه الأشكال، وهي:
 جميع الزوايا الأربع الداخلية للمربع متساوية (زاوية قائمة أي 90 درجة).
 الزاوية المركزية للمربع تساوي 90 درجة.
 الزاوية الخارجية للمربع تساوي 90 درجة.
 أقطار المربع متساوية وتنصف بعضها بعضاً، وتلتقي بزاوية 90 درجة.
 أقطار المربع تنصف زواياه الداخلية، وتشكل زوايا متجاورة بزاوية 45 درجة.
 جميع الأضلاع الأربعة للمربع متساوية.
 الأضلاع المتقابلة للمربع متوازية.

تتشابه جميع المربعات مع بعضها، أي أنها تملك ذات الشكل جميعًا، Workbook accompanying Project Mathematics! Ep. 1: "Similarity" (Video). لذلك، فإن معرفة بارامتر واحد (عادة ما تكون طول الضلع او قطر المربع) يكفي لمعرفة حجم المربع. وتتطابق المربعات عندما يكون لها الحجم نفسه.

 القياس 
تصغير|حسابات رياضية بابلية لقطر المربع مُقدرة بين العامين 1800 و 1600 قبل الميلاد
يُحسب محيط المربع الذي طول ضلعه  وفق العلاقة:  أما قطره فيُعطى بالعلاقة:  ويُعد الجذر التربيعي للعدد 2 عددًا غير نسبي، أي لا يمكن التعبير عنه على شكل كسر عشري منتهٍ، وتُقدَّر قيمته تقريبًا بـ 1.414. وتعود معرفة هذا العدد إلى الحضارة البابلية، حيث توصّل علماء البابليين إلى تقدير دقيق له آنذاك.
150بك|تصغير|مساحة المربع هي حاصل ضرب طولي ضلعيه.

تُحسب مساحة المربع وفقًا للعلاقة: 

وقد أدى استخدام طول الضلع مرفوعًا للقوة 2 لحساب المساحة إلى اعتماد مصطلح "مربع" في علم الجبر للإشارة إلى رفع أي عدد إلى القوة الثانية.وبالعكس، إذا كانت المساحة معروفة، فإن طول الضلع يُستخرج عن طريق الجذر التربيعي لتلك المساحة.

عند تربيع عدد صحيح (أي حساب مساحة مربع طول ضلعه عدد صحيح)، نحصل على ما يُعرف بـ "عدد مربع"، وهو عدد يُمثّل عدد النقاط التي يمكن ترتيبها على شكل شبكة مربعة منتظمة.

بما أن  فإن مساحة مربع ضلعه 4 تساوي محيطه، أي أن  و ، مما يجعل هذا المربع شكلًا مثاليًا من حيث التساوي بين المساحة والمحيط. والمثال الوحيد الآخر المعروف من المستطيلات ذات الأبعاد الصحيحة التي تتساوى فيها المساحة مع المحيط هو المستطيل ذو الأبعاد 6 و3 .

نظرًا لكون المربع مضلعًا منتظمًا، فإنه يُعد الشكل الرباعي الأقل محيطًا من بين جميع الأشكال الرباعية التي تحيط بمساحة معينة.Page 147 of 
وعلى العكس، يُعد المربع أيضًا الشكل الرباعي الأكبر مساحة من بين جميع الأشكال الرباعية التي لها نفس المحيط. وبالفعل، إذا كانت A هي المساحة و P هو المحيط لشكل رباعي ما، فإن متباينة المتساوي المحيط التالية تكون صحيحة: 
وتتحقق المساواة إذا وفقط إذا كان الشكل رباعيًا منتظمًا، أي مربعًا.

 التناظر 

يُعد المربع الشكل الرباعي الأكثر تناظرًا بين جميع الأشكال الرباعية، إذ توجد ثماني تحويلات جاسئة تُعيد المربع إلى نفسه دون تغيير في الشكل أو القياس.

تصغير|محاور التماثل الانعكاسي ومراكز التماثل الدوراني للمربع (أعلى)، والمستطيل والمعين (وسط)، شبه منحرف متساوي الساقين، وحدأة، ومتوازي الأضلاع (أسفل)
عند تموضع المربع بحيث تكون أضلاعه موازية للمحورين (محاور الإحداثيات)، ومركزه في نقطة الأصل، فإن كل تناظر يمكن تمثيله بعملية تبديل أو تغيير إشارة إحداثيات النقاط (الإحداثي السيني أو الصادي أو كليهما).
تُبدِّل التناظرات المثلثات الثمانية المتساوية الساقين بين أنصاف الأضلاع ومركز المربع (الذي يبقى مكانه)، يمكن عندئذٍ اعتبار أي من هذه المثلثات المنطقة الأساسية للتحويلات.
كل زوج من الرؤوس، وكل زوج من الأضلاع، وكل زوج من أنصاف الأضلاع (المسافات من المركز إلى منتصف كل ضلع)، يمكن ربطه بعملية تناظر واحدة على الأقل، بينما يُربط كل زوج من أنصاف الأضلاع بواسطة تناظر واحد فقط.
وهذه الخصائص لا تقتصر على المربع وحده، بل تنطبق أيضًا على جميع المضلعات المنتظمة. ويُعبر عن ذلك بالقول إن تناظرات المربع — أو بوجه أعم، تناظرات أي مضلع منتظم — تعمل بشكل انتقالي على الرؤوس والأضلاع، وبشكل انتقالي بسيط على أنصاف الأضلاع.

إن تركيب أي اثنين من هذه التحويلات عن طريق تنفيذ أحدهما بعد الآخر يستمر في نقل المربع إلى نفسه، وبالتالي ينتج عنه تناظر آخر. يؤدي الدوران المتكرر إلى دوران آخر بزاوية دوران مجمعة. يؤدي تنفيذ انعكاسين على المحور ذاته إلى تحويل هوية، بينما يؤدي انعكاسان بمحورين مختلفين إلى دوران المربع. يؤدي الدوران المتبوع بانعكاس، أو العكس، إلى إنتاج انعكاس مختلف. تمنح عملية تركيب الدوال هذه التماثلات الثمانية للمربع البنية الرياضية للمجموعة، تسمى (مجموعة المربع) أو المجموعة الثنائية الزاوية من الرتبة الثامنة "D8". أما الأشكال الرباعية الأخرى، مثل المستطيل والمعين، فليس لها سوى مجموعة فرعية من هذه التماثلات.

تصغير|upright=0.6|منظور ثلاثي النقاط لمكعب، يظهر تحولات منظورية لوجوهه الستة المربعة إلى ستة أشكال رباعية مختلفة
يحافظ التماثل في المستوي على شكل المربع، ولكن ليس حجمه.، ويمكن أن تؤدي أنواع أخرى من التحويلات في المستوى إلى تحويل المربعات إلى أنواع أخرى من الأشكال الرباعية، مثل التحويل التآلفي الذي يؤدي إلى تحويل المربع إلى متوازي أضلاع أو العكس. و التحويل الإسقاطي الذي يحول المربع إلى شكل رباعي محدب أو العكس، Reprinted, Dover Books, 2008,  وهذا يعني أنه عند النظر إليه بالرسم منظوري، يمكن أن يبدو المربع كأي شكل رباعي محدب، أو العكس. ويمكن لتحويل موبيوس أن يحول رؤوس المربع (ولكن ليس حوافه) إلى رؤوس شكل رباعي توافقي.

مجموعات الجداريات هي مجموعات متماثلة من الأنماط المتكررة ثنائية الأبعاد. بالنسبة للعديد من هذه المجموعات، يمكن أن تكون الوحدة الأساسية للتكرار (الخلية الوحدية لشبكتها الدورية) مربعة، وبالنسبة لثلاث من هذه المجموعات، p4 و p4m و p4g، يجب أن تكون مربعة.

 الدوائر الداخلية والخارجية 
تصغير|الدائرة الداخلية (الأرجواني) و الدائرة المحيطية (أحمر) لمربع (أسود)
الدائرة المرسومة داخل مربع هي أكبر دائرة يمكن أن تتسع داخل ذلك المربع. مركزها هو نقطة مركز المربع، ونصف قطرها (نصف قطر المربع) هو . لأن هذه الدائرة تلامس جميع حواف المربع الأربعة (عند نقاط منتصفها)، فإن المربع هو شبه منحرف تماسي. فيما تمر الدائرة المحيطة للمربع عبر جميع رؤوس المربع الأربعة، مما يجعل المربع رباعي دوري. ويكون نصف قطر الدائرة المحيطية هو . 
إذا كان الدائرة المرسومة داخل المربع  لها نقاط تماس  على ، و على ، و على ، و على ، فإنه لأي نقطة  على الدائرة المرسومة يكون: 
إذا كان  هو المسافة من نقطة عشوائية في المستوى إلى الرأس  للمربع و هو نصف قطر المحيط للمربع، فإن:

إذا كان   و  هما المسافتان من نقطة عشوائية في المستوى إلى مركز المربع وأربعة أركانه  على التوالي، فإن  وَ  عندما  هو نصف قطر الدائرة المحيطية بالمربع.

 التطبيقات 
تصغير|صورة الفتاة ذات القرط اللؤلؤي مبكسلة
تُستَخدم المربعات في وحدات البكسل ضمن الرسوميات النقطية، التي تُلتقط عبر ماسحات الصور وآلات التصوير الرقمية وتُعرض على شاشات العرض الإلكترونية. وغالبًا ما تتشكل هذه البكسلات عند تقاطعات شبكة مربعة، فتُعد بمنزلة مربعات صغيرة مصطفّة على هيئة وحدات متجاورة. وتعتمد تقنيات الضغط القياسية للصور والفيديو، مثل تنسيق JPEG، على تقسيم الصور إلى كتل مربعة أكبر من البكسلات. كما تقوم بنية بيانات الشجرة الرباعية المستخدمة في ضغط البيانات والهندسة الحسابية على مبدأ التقسيم التكراري للمربعات إلى مربعات أصغر.
تصغير|موقع معبد يونغ نينغ

تبرز العمارة في الحضارات القديمة والحديثة حضور المخطط الأرضي المربع والقاعدة المربعة والمساحة ذات الشكل المربع بوصفها عناصر جوهرية في التصميم. فقد اتخذت الأهرامات المصرية وأهرامات أمريكا الوسطى، ولا سيما في تيوتيهواكان، هيئة مربعة واضحة، كما يظهر ذلك أيضًا في زقورة جغا زنبيل وهو معبد عيلامي بإيران. ويُعد التصميم الرباعي للحدائق الفارسية المسوّرة مثالًا بارزًا على توظيف المربع في الرمزية الدينية، إذ يُقال إنه يحاكي الأنهار الأربعة في الجنة، وقد ألهم لاحقًا هياكل معمارية بارزة مثل تاج محل في الهند. كذلك شُيّدت الأبراج البوذية والمعابد شرق الآسيوية على قواعد مربعة، ووجّهت غالبًا لتواكب الجهات الأربع للبوصلة، مع إبراز البعد الرمزي في اتصالها بالسماء.


وفي أوروبا العصور الوسطى، شاعت القواعد المربعة في العمارة الدفاعية، كما في الحصون النورماندية، ومن أمثلتها برج لندن الذي بُني على شكل برج مربع منخفض. See p. 213. أما في العمارة الحديثة، فتغلب النزعة العملية على الاعتبارات الرمزية والجمالية، إذ يُعتمد الشكل المربع أساسًا في تصميم غالبية ناطحات السحاب لما يوفّره من استقرار إنشائي وكفاءة وظيفية. See in particular pp. 88–90

تُمثّل المربعات المتداخلة في المندالة التبتية، ولا سيما في تصميم الستوبا، نموذجًا مصغّرًا للكون وفق التصوّر الرمزي في الفلسفات البوذية. وفي مجال التصوير الفوتوغرافي، اعتمدت بعض تقنيات الفيلم نسبة عرض إلى ارتفاع مربعة، كما هو الحال في كاميرات بولارويد، و، وآلات التصوير الفورية. أما في الفنون التشكيلية الحديثة، فقد ارتبط الاستخدام المتكرّر والبارز للأشكال والإطارات المربعة بأعمال رسامين بارزين مثل جوزيف ألبرز  وكازيمير ماليفيتش وبيت موندريان وتيو فان دوسبورخ، حيث شكّل المربع عنصرًا محوريًا في مقارباتهم الجمالية والتجريدية.

يظهر المربع كذلك في مجالات الرياضة والفنون الأدائية. ففي حين تُعرف بعض الميادين أو الساحات بأسماء توحي بأشكال أخرى، فإنها في الأصل مربعة الشكل؛ ومن أبرز الأمثلة على ذلك ملعب البيسبول See p. 339. وحلقة ملاكمة.  وفي الفنون الاستعراضية، تتجسّد هيئة المربع في رقصة الكادريل والرقص الرباعي، حيث تتوزّع أربعة أزواج لتشكيل جوانب مربع. كما استُخدم المربع عنصرًا بنيويًا في المسرحية التلفزيونية التجريبية  لــصمويل بيكيت، إذ يؤدي أربعة ممثلين حركاتهم على أضلاع المربع وقطره.

يُنسَب إلى لوحة اللعب المربّعة غو أيضًا تمثيل الأرض، حيث يُقال إن تقاطعات خطوطها البالغة 361 تماثل عدد أيام السنة. See page 472. وقد ورثت هذه اللوحة شكلها المربّع من لعبة سباق هندية تُشبه الباتشيسي، والتي بدورها نقلت هذا الشكل إلى لعبة الداما. أما في الألعاب القديمة لبلاد الرافدين ومصر، مثل لعبة أور الملكية ولعبة سينيت، فقد كانت اللوحات مستطيلة الشكل مقسّمة إلى شبكة من المربعات، وليست مربعة تمامًا.

وتبرز صورة المربع أيضًا في مجال الألغاز والأحاجي، إذ يقوم أوستوماكيون اليوناني القديم – وفق بعض التفسيرات – على إعادة ترتيب مربعات مقطّعة إلى مضلعات أصغر، على نحوٍ يُشبه لعبة التنغرام الصينية. كما طُوِّرت مجموعة أخرى من الألغاز تُعرف بـالبوليمينو، وهي أشكال تتألف من مربعات متلاصقة من الحافة إلى الحافة.

وفي السياق التاريخي، اتخذت الأبراج الفلكية في العصور الوسطى وعصر النهضة تخطيطًا مربعًا في أوروبا والشرق الأوسط والصين على السواء. وتشمل الاستخدامات الترفيهية الأخرى للمربع فن الأوريغامي، الذي يعتمد على الورق المربّع الشكل، إضافةً إلى تقاليد في تضريب الألحفة حيث تُخاط قطع مربعة من القماش لتشكيل أنماط زخرفية متكررة.

تعَدّ المربعات عنصرًا شائعًا في تصميم الرسوميات، حيث تُستخدم لإضفاء إحساس بالاستقرار والتناسق والنظام. وفي الدرعيات، يكون  – وهو عنصر تصميمي يقع في الجزء العلوي الأيسر من الدرع – عادةً ذا شكل مربع، كما يُطلق على العلم ذي الشكل المربع اسم "راية". ويُعَدّ علم سويسرا مثالًا بارزًا على الأعلام المربعة، شأنه شأن أعلام الكانتونات السويسرية.

كما أن رموز الاستجابة السريعة (QR) تكون عادة مربعة الشكل، وتتميّز بعلامات محاذاة بارزة على هيئة مربعات في ثلاث زوايا. ويظهر المربع أيضًا في الاستخدامات العملية اليومية، مثل  التي تمتلك رأسًا مربع الشكل.

وفي مجال الأطعمة، غالبًا ما تتخذ البسكويت وقطع الجبن هيئة مربعة، وكذلك بعض أنواع الفطائر. وتشمل الأطعمة التي حملت اسمها من شكلها المربع أصنافًا متعدّدة مثل كعك الكراميل المربّع، وكعك التمر المربّع، وكعك الليمون المربّع، إضافةً إلى النقانق المربّعة والجبن المربّع الشرقي.

 الإنشاء 
 الإحداثيات والمعادلات 
تصغير|يسار| رسم على نظام إحداثي ديكارتي.
مربع الوحدة هو مربع طول ضلعه يساوي الواحد، وغالبًا ما يمثل في الإحداثيات الديكارتية مربعًا يضم جميع النقاط (x، y) التي تحقق الشرطين  و   .أما رؤوسه فهي النقاط الأربع التي تكون إحداثياتها إمَّا 0 أو 1.

أما المربع الموازي المحاور الذي مركزه النقطة  وطول ضلعه  (حيث   هو نصف الضلع، أي نصف قطر الدائرة المحيطة به)، فإن رؤوسه تقع عند النقاط  ويضم الجزء الداخلي  من المربع جميع النقاط التي تحقق الشرط ، بينما تكون حدوده من النقاط التي تحقق الشرط .

المربع القطري الذي مركزه عند النقطة  وقطره بطول  (حيث  هو نصف قطر الدائرة المحيطة) له رؤوس عند النقاط الأربع  و . يتكون الجزء الداخلي منه من النقاط  مع ، ويتكون حده من النقاط مع .

يوضح الرسم التوضيحي مثالًا لمربع قطري مركزه عند نقطة مبدأ الإحداثيات  ونصف قطر محيطه 2، معطى بالمعادلة .

تصغير|مربع يتكون من ضرب العدد المركب  في قوى ، وانتقاله الذي يمكن الحصول عليه بإضافة عدد مركب آخر . تظهر الشبكة الخلفية الأعداد الصحيحة الغاوسية

في مستوى الأعداد المركبة، يؤدي الضرب في الوحدة التخيلية  إلى تدوير الحد الآخر في الناتج بمقدار 90° حول نقطة الأصل (المبدأ صفر). لذلك، إذا ضُرب أي عدد مركب غير صفر  مرارًا ب، مما يعطي الأرقام الأربعة  و و و، فإن هذه الأرقام ستشكل رؤوس مربع مركزه نقطة الأصل . إذا فسرنا الجزء الحقيقي والجزء التخيلي من هذه الأعداد المركبة الأربعة على أنها إحداثيات ديكارتية، مع ، فإن هذه الأعداد الأربعة لها الإحداثيات  ، ،، و.
يمكن ترجمة هذا المربع ليكون أي عدد مركب آخر مركزه النقطة ، باستخدام تقنية الانسحاب من الأصل إلى  يتم تمثيلها في حساب الأعداد المركبة كإضافة مع . تشكل الأعداد الصحيحة الغاوسية، وهي أعداد مركبة ذات أجزاء حقيقية وتخيلية صحيحة، تشكل  في المستوى المركب.

تصغير|يسار|إنشاء مربع باستعمال المسطرة والفرجار

 المسطرة والفرجار 
يوضح كتاب الأصول لإقليدس في جزئه الأول، الصفحة 46 كيفية رسم مربع ذي ضلع معين باستخدام المسطرة والفرجار.
وجود هذا التركيب يعني أن المربعات هي مضلعات قابلة للإنشاء. يمكن إنشاء  منتظم عندما تكون العوامل الأولية الفردية لـ  هي أعداد فيرما الأولية متمايزة. كما يُقدم كتاب الأصول في جزئه الرابع، الصفحات 6-7 تركيبات لمربع مرسوم داخل دائرة ومحاط بدائرة على التوالي.

 مواضيع مرتبطة 
رمز شليفلي للمربع هو . ويؤدي بتر زوايا المربع، القطع المنتظم لها، إلى إنتاج مثمن. وينتمي المربع إلى عائلة من متعددات الوجوه المنتظمة تضم المكعب في المستوي ثلاثي الأبعاد والمكعبات الفائقة في الأبعاد الأعلى (n>3)، كما ينتمي أيضًا إلى عائلة أخرى تضم ثماني الوجوه المنتظم في ثلاثة أبعاد ومتعدد الأكناف التصالبي في الأبعاد الأعلى. ويمكن تمثيل إحداثيات رؤوس المكعب والمكعبات الفائقة بقيم جميعها ±1، مما يعطي مربعًا محاذيًا للمحاور في بعدين، في حين أن ثماني الوجوه والمتعددات المتصالبة يكون لها إحداثي واحد يساوي 1 وبقية الإحداثيات تساوي صفرًا، مما ينتج مربعًا قطريًا في بعدين. وكما هو الحال في المربعات، يمكن الحصول على تماثلات هذه الأشكال من خلال تطبيق تبديل موقَّع (Signed permutation) على إحداثياتها.

سجادة سيربينسكي هي كسوريات مربعة تحتوي على فراغات مربعة. وتُعد المنحنيات المالئة للحيز، بما في ذلك منحنى هيلبرت، ومنحنى بيانو، ومنحنى سيربينسكي، أمثلة على منحنيات تغطي مربعًا بوصفه الصورة المستمرة لقطعة مستقيمة. أما منحنى بالترتيب Z (منحنى Z-order) فهو مشابه لذلك، لكنه غير مستمر. وتشمل الدوال الرياضية الأخرى المرتبطة بالمربعات خريطة قط أرنولد وخريطة الخباز، وهما يولدان أنظمة ديناميكية فوضوية على مربع، إضافة إلى الدوال الإهليلجية للمنحنى الليمينسكاتي، وهي دوال مركبة دورية على شبكة مربعة.

 تربيع الدائرة 
تربيع الدائرة هي معضلة قديمة وضعها علماء الهندسة القدامى يتمثل في إنشاء مربع له نفس مساحة دائرة معلومة ما، باستعمال عدد منته فقط من الخطوات بالفرجار والمسطرة.

في عام 1882، أُثبتت استحالة هذه المهمة نتيجةً لمبرهنة ليندمان-ويرستراس، التي تبرهن على أن π عدد متسام بدلا من أن يكون عددا جبريا (أي أنه لا يمكن أن يكون جذرا لمتعددة حدود جميع معاملاتها أعداد جذرية).

 حقائق أخرى 
 بما أن المربع هو مستطيل، فإنه يحقق مبرهنة العلم البريطاني.
 قطرا المربع متعامدان ومتساويان وينصف كلٌّ منهما الآخر وطولهما يساوي  مرةً طول ضلع من أضلاع المربع (حوالي 1.414). هذه القيمة المعروفة باسم الجذر التربيعي لاثنين أو بثابتة فيثاغورس، كانت أول عدد يبرهن عليه بأنه ليس بعدد جذري.
 إذا كان شكل هندسي ما مستطيلا ومعينا في آن واحد، فإنه مربع.

 الهندسة غير الإقليدية 
انظر هندسة كروية.

 أمثلة 
200pxست مربعات يمكن أن تقسم كرة إلى ست أقسام بثلاث مربعات حول كل رأس وزاوية بقياس 120 درجة 3 . رمز شليفلي هو l  {4,3}.200px the فضاء ثنائي الأبعاد with 4 around each vertex, with each square having an internal angle of 90°. رمز شليفلي هو l {4,4}.200px the  with 5 around each vertex, with each square having 72-degree internal angles. The رمز شليفلي هو  {4,5}.

 انظر أيضًا 

 مكعب
 نجمة رباعية
 مبرهنة فيثاغورس

 مراجع 

 وصلات خارجية 


تصنيف:مضلعات قابلة للإنشاء
تصنيف:أشكال ابتدائية
تصنيف:4 (عدد)
تصنيف:أشكال ثنائية الأبعاد
تصنيف:أنواع رباعيات الأضلاع
تصنيف:رباعيات أضلاع