Teorema de Bayes

O teorema de Bayes ye un d'os teoremas mas emplegaus en a teoría d'a probabilitat. Formulau por Thomas Bayes ye una traza particular de relacionar dos probabilidaz ta contrimostrar a relación entre a probabilidat d'un escaiximiento condicionada a o succeso d'un segundo escaiximiento y a probabilidat d'iste segundo escaiximiento condicionada a o succeso d'o primero, ye decir, entre  y .

Siga  una partición de l'espacio E y siga B un escaiximiento cualsiquiera. D'a expresión d'a probabilidat condicionada, si , se defineixe a probabilidat d'ocurrencia d'o succeso A condicionada a B como

y nos da a probabilidat de A en que ya se sabe que s'ha verificau o succeso B y, por tanto,

.

Ista traza de relacionar as probabilidaz condicionadas  y  d'o primer y zaguer termins d'a igualdat ye muit util y se clama formula de Bayes.

 Formas alternativas d'o teorema de Bayes 

 Teorema de Bayes ta funcions de densidat de probabilidat 

I ha una versión d'o teorema de Bayes que se puet aplicar a variables aleatorias continas. A expresión d'ixa versión d'o teorema ye:

u, de traza equivalent

A nomenclatura ye a siguient: f(x, y) ye a función de densidat conchunta de X y Y, f(x|y) ye a densidat de X condicionada a Y=y
(de vegadas tamién clamada distribución a posteriori de X),
f(y|x) = 
y f(x) i f(y) son as funcions de densidat marguinals de X y Y respectivament (de vegadas a f(x) se le diz distribución a priori de X).

En l'anterior nomenclatura anterior s'abusa liucherament d'a notación, ya que se fa servir f ta toz os termins, encara que cadaguno en realidat ye una función diferent. As funcions son de buen distinguir por o nombre d'os suyos argumentos.

 Teorema de Bayes emplegando derivadas de Radon-Nykodim 

I ha una versión cheneral d'o teorema de Bayes que ye valida ta variables aleatorias continas y discretas, igual como ta cualsiquier dos variables ta las cuals diposemos d'a derivada de Radon-Nykodim d'a suya distribución de probabilidat respecto a una mesura sigma-finita.

Siga  a mesura de probabilitat de X,
 una mesura sigma-finita que domina a ,
y clamemos
 a la derivada de Radon-Nykodim
de  respecto a .
Definamos de traza analoga ,  y
.
Consideremos a mesura de probabilitat conchunta ta (X,Y),
que ye dominada por a mesura producto ,
y clamemos .
Alavez a derivada de Radon-Nykodim d'a mesura de probabilitat
de X condicionada a la sigma-algebra orichinada por,
,
satisfá:

.

Si X y Y son variables aleatories discretas, ista formula ye equivalent a la versión orichinal d'o teorema de Bayes. Si tanto X como Y son variables aleatories continas, ista formula ye equivalent a la versión d'o teorema ta funcions de densitat de probabilitat presentada anteriorment.
Manimenos, ista versión ye mas cheneral y se puet aplicar, por eixemplo, mesmo cuan X ye contina y Y ye discreta.

Ista versión d'o teorema se puet cheneralizar ta o caso de tener mas de dos variables aleatorias.  De feito, a cheneralización ye directa: nomás cal considerar que X y Y son vectors aleatorios en cuenta de variables aleatorias.

Categoría:Probabilidat