Integraalrekening

Die Integraalrekening is 'n onderdeel van wiskunde en dan spesifiek van analise. Integrasie verwys na die berekening van integrale, wat in die eenvoudigste geval as die area onder 'n grafiek beskou kan word. Indien dit 'n grafiek van die spoed van 'n voorwerp teenoor die tydsverloop is, sal die integraal die totale afstand wees wat die voorwerp afgelê het. In so geval praat mens van 'n tydsintegraal. As 'n funksie die massadigtheid van 'n voorwerp gee, dan sal die integraal van die funksie oor die volume die totale massa gee. In so geval praat mens van 'n volume-integraal.

Integrasie is nou verwant aan differensiaalrekening, aangesien hierdie twee as teenoorgestelde of inverse prosesse beskou kan word. Dit word deur die fundamentele stelling van die kalkulus beskryf. Die nuttigheid hiervan spruit uit die feit dat dit 'n manier gee om integrale deur middel van differensiasie te bereken: as 'n funksie gelyk is aan die afgeleide van 'n tweede funksie, dan is die integraal (of anti-differensiaal) van die eerste funksie gelyk aan die oorspronklike tweede funksie. Dit is nuttig omdat dit gewoonlik baie moeilik is om 'n funksie se integraal direk te bereken, terwyl dit baie makliker is om afgeleides te bepaal.

 Wiskundige voorstelling 

Die integraal van die kromme f(x) word aangedui deur óf
 (waar geen interval gedefinieer is en   is die integrasiekonstante). 
óf
 (waar die inerval is . Sien beeld regs bo.)
Die omgekeerde bewerking van integrasie is differensiasie, dus

Wanneer die limiete omgeruil is, verander die teken van die integraal, dus
.

 Standaard formules 

 (waar )

Integrasietegnieke
'n Aantal tegnieke is beskikbaar vir gebruik wanneer die integraal van 'n funksie nie met behulp van bogenoemde reëls bepaal kan word nie. Hierdie tegnieke word dikwels gebruik om die formules wat hierbo getoon word, af te lei.

Integrasie deur dele
Waneer dit moontlik is om  uit te druk as , kan  die intgraal van  bepaal word deur die formule:

Voorbeeld: Bepaal 
Oplossing
Laat

Dit volg dat 

Waneer  die vorm  het, dan moet hierdie tegniek  mal uitgevoer word. By elke iterasie sal die eksponent van  met een verminder word.

Integrasie deur substitusie
Wanneer integrasie deur substitusie plaasvind, word die veranderlike  deur  vervang. Dus

Voorbeeld: Bepaal  (Die oppervlak van 'n halfsirkel)
Oplossing
Laat

Dit volg dat

met die gevolg dat

Omgekeerde kettingreël
Waneer dit moontlik is om  uit te druk as , kan  die intgraal van  bepaal word deur die formule:

Voorbeeld: Bepaal 
Oplossing
Laat

met die gevolg dat

 Verwysings 

 Kyk ook 

 Kettingreël
 Differensiaalrekening
 Algebra

Kategorie:Wiskundige analise
Kategorie:Algebra