分数小波变换

分数小波变换（Fractional wavelet transform，缩写：FRWT）是传统小波变换（Wavelet transform）的推广。该变换的提出改进了了小波变换和分数傅里叶变换的局限性。分数小波变换继承了传统小波变换的多分辨率特性，同时，类似于分数傅里叶变换，可以表示分数阶域的信号特征。

定义 
分数傅里叶变换（FRFT）是傅里叶变换（FT）的推广，它在光学、通信、信号和图像处理方面是一个强有力的分析工具。然而，由于分数傅里叶变换使用全局核函数，它只强调了存在某些成分，而没有说明这些成分的时间定位。因此，对非平稳信号进行FRFT频谱分析时需要在时间-FRFT域进行联合分析。

对FRFT的一个修改时短时分数傅里叶变换（STFRFT）。STFRFT的思想时使用具有时间局域性的窗函数将信号分段，然后对每一段进行FRFT频谱分析。STFRFT可以在时间-FRFT域进行联合分析，然而，由于窗函数的长度是预先固定的，STFRFT并不能在时间域和FRFT域均提供良好的分辨率。换而言之，STFRFT的分辨率受到不确定性原理的约束，即窄窗具有较好的时间分辨率和较差的FRFT谱分辨率；宽窗具有较好的FRFT谱分辨率和较差的时间分辨率。然而多数实际信号高频成分持续时间较短，而低频成分持续时间较长。

Mendlovic和David推广了小波变换，提出了分数小波变换（FRWT）。

FRWT被定义为FRFT和小波变换（WT）的级联，即：

其中，变换的核函数为：

其中，表示的FRFT。然而，由于时间信号在变换中丢失，这并不是时间-FRFT联合分布。

此外，Prasad和Mahato将信号和母小波的FRFT来表达信号的WT，并称这种表达为FRWT。即：

其中和表示和的傅里叶变换（参数缩放了倍）。显然，这种所谓的FRWT与普通WT是相同的。

最近， Shi等人通过引入与FRFT有关的分数卷积提出了新的关于FRWT的定义。任意平方可积函数的FRFT定义为：

其中是对母小波的Chirp调制和连续仿射变换，即：

其中，是尺度参数；是位移参数。对应的逆FRWT变换为：

其中是与选用的小波相关的常数，该常数决定了重建能否进行，即容许性条件（Admissibility condition）：

其中表示的傅里叶变换。容许性条件表明，即。因此，连续分数小波必须表现出震荡的性质，并在分数傅里叶域中体现出带通滤波器的特性。从这点来看，的FRWT变换可以用FRFT域来表示，即：

其中表示对的FRFT，表示的傅里叶变换（参数缩放了倍）。当时，FRWT退化为传统的小波变换。文献对此类FRWT进行了深入的讨论。

分数小波变换的多分辨分析（MRA） 
该文概述了分数小波变换及其多分辨分析。

参考文献 

傅里叶分析
小波分析