非厄米量子力学

PT 对称性最初是被当作非厄米量子力学中的一个特殊系统而进行研究的，  此時哈密顿量不是厄米的。 在1998 年，物理学家Carl Bender和他前研究生 Stefan Boettcher 在Physical Review Letters上发表了一篇量子力学论文“具有 PT 对称性的非厄米哈密顿量的实光谱”。 在本文中，作者发现具有 PT 对称性（需要宇称反转和时间反演对称算子同时作用的不变性）的非厄米哈密顿量也可能拥有实数谱(否则非厄米哈密顿量能谱一般是复数)。在正确定义的内积下，PT 对称哈密顿量的本征函数具有正范数并表现出酉时间演化，满足量子理论的要求。  Bender 因这个工作获得了 2017 年Dannie Heineman 数学物理奖。 

一个與非厄米量子力学密切关联的概念是赝厄米算子，物理学家 Dirac、  Pauli、 以及 Lee 和 Wick 曾考虑了这一概念。 赝厄米算子被数学家 Kerin 等人几乎同时发现（或可以说是重新发现）    ，當他們研究作为线性动力系统中的 G-Hamiltonian。這裡 pseudo-Hermiticity 和 G-Hamiltonian 之间的等价性很容易建立。 

在 2002 年，阿里·穆斯塔法扎德 ( Ali Mostafazadeh)表明，每个具有实谱的非厄米哈密顿算子都是赝厄米算子。他发现可对角化的 PT 对称非厄米哈密顿量都属于赝厄米哈密顿量。   然而，这个结果沒有太大的幫助，因为基本上有趣的物理现象都发生在独特点处，而在这點处的不可被对角化哈密頓量是缺失的，  也就是一个 n 阶哈密顿量缺失矩阵的独立特征态会少于 n 个。最近证明，在有限维数中，不管是否可以被对角化，PT 对称性需要赝厄米性。 这表明在独特点处 PT 对称性破缺的机制，也就是説在这个点处，两个具有相反符号的本征模态之间發生 Kerin 碰撞。

2005 年，Gonzalo Muga 的研究组将 PT 对称性的概念引入了光学领域，指出 PT 对称性对应于增益和损耗的平衡。  在 2007 年，物理学家 Demetrios Christodoulides 和他的合作者进一步研究了 PT 对称性在光学中的意义。  接下来的几年在被动和主动系统中， PT 对称性也被实验首次展现。   此外PT 对称性的概念也被应用于经典力学、超材料、电路和核磁共振。   在2017 年， Dorje Brody和 Markus Müller 提出了一个“形式上满足希尔伯特-波利亚猜想的条件”的具有PT 对称的非厄米哈密顿量。

参考 

量子光學
量子力學