包络

物理学和工程学中，震荡信号的包络是一条勾勒出极值的光滑曲线。因此，包络将恒定振幅的概念推广为瞬时振幅。下图展示了在上包络与下包络之间振荡的调制正弦曲线。包络函数可以是时间、空间、角度或任何变量的函数。

拍频波

在空间x和时间t中产生包络函数的常见情况是波长和频率几乎相同的两个波的叠加：

其中使用了两个正弦波相加的三角函数，以及近似值Δλ ≪ λ：

此处调制波长λmod来自下式：

调制波长是包络波长的两倍，因为余弦波的每半个波长都控制着正弦波的正负值。同样，拍频是包络波的频率，是调制波频率的两倍，即2Δf。

如果这种波是声波，耳朵听到的是与f有关的频率，振幅随拍频的变化而变化。

相速度与群速度

除2之外，上述正弦波的参数是：

下标C、E分别指载波和包络。同样的振幅F来自相同的ξC、ξE值，在适当相关的x、t选择下，每个本身都可能返回到相同的值。这种不变性意味着可以在空间中追踪波形，并找到固定振幅的位置在时间中传播时的速度；要使载波参数保持不变，条件为：

这表明，要保持恒定振幅，距离Δx与时间间隔Δt的关系是相速度 vp

另一方面，同样的考虑表明包络线是群速度 vg:

引入波向量k，可得更常见的群速度表达式：

注意到，对于微小变化Δλ而言，相应的波向量小变化Δk为：

于是群速度可重写为：

其中ω是以弧度/秒为单位的频率：ω = 2f。在所有介质中，频率和波向量都与色散关系ω = ω(k)有关，群速度可以写成：

在经典真空等介质中，电磁波的色散关系为：

其中c0是经典真空中的光速。这种情况下，相速度和群速度都是c0。

在所谓色散介质中，色散关系可能是波向量的复杂函数，相速度和群速度也不尽相同。例如，对于GaAs中原子振动（声子）表现出的几种波，不同波向量k方向的色散关系如图所示。一般而言，相速度和群速度的方向可能不同。

函数近似

凝聚态物理学中，晶体中移动电荷载流子的能量本征函数可表为布洛赫波：

其中n是带的编号（如导带或价带），r是空间位置，k是波矢。指数是正弦变化函数，对应一个缓慢变化的包络，调制波函数un, k的快速变化部分，描述波函数在晶格原子核心附近的行为。包络只限于晶体布里渊区限定范围内的k值，这就限制了它随位置r变化的速度。

用量子力学确定载流子行为时，通常使用包络近似法。其中薛定谔方程被简化到仅指包络的行为，边界条件直接应用于包络函数，而非完整的波函数。例如，被困在杂质附近的载流子波函数受包络函数F支配，函数是布洛赫函数的叠加：

其中包括F(k)的傅立叶分量由近似薛定谔方程求得。在某些应用中，周期部分uk被带缘附近的值取代，如k=k0，接着：

衍射图样

多缝衍射图样的包络由单缝衍射图样决定，后者的包络线如下：

其中α是衍射角，d是狭缝宽度，λ是波长。对多个狭缝，图样为

其中q为狭缝数量，g是光栅常数。第一个因子即单缝结果I1，调制着第二个变化更快的因子，取决于狭缝数量与间距。

估计
包络检波器是从信号中提取包络的电子电路。

在数字信号处理中，可用希尔伯特变换或滑动平均RMS振幅估计包络。

另见

解析信号#复包络/基带

包络线
包络追踪
瞬时频率
调变
振动 (数学)

参考文献

干涉
干涉测量学
振动和波
无线电调制模式
无线电电子学