GPY篩法

GPY篩法（Goldston-Pintz-Yıldırım sieve）是一種篩法，這種篩法是塞爾伯格篩法的一種帶有一般、多維篩選權重的變體。這種篩法已為解析數論的研究帶來多項突破。

這種篩法以、和這三位數學家為名。他們在2005年時以此篩法證明說根據質數定理，可推出存在有無限多的質數組，其間隔任意地小於質數的平均間隔。

張益唐後來修改此篩法，以證明說兩個相隔質數間出現無限多次的最小間隔的有限界限為何。之後詹姆斯·梅纳德（他把上述的界限降到）及陶哲軒都曾修改此篩法。

GPY篩法

表記 
首先固定，之後定義以下表記：
是質數集合，且是這集合的特徵方程。
是馮·曼戈爾特函數。
是用以計算的不同質因數個數的。
是一組相異的非負整數的集合。
是另一個關於質數的特徵函數，其定義如下：

 其中。
對於有以下定義：
，

是模的相異同餘類個數。像例如因為且之故，因此有以及。
假若對所有的而言，都有的話，則稱為「可及的」（admissible）。

構造 
設為「可及的」，並考慮以下篩函數（sifting function）：

那麼對任意的而言，這函數即是計算扣掉某個門檻之後，形如的質數的個數的函數，故在的情況下，有某數使得至少是中的質數。

由於的解析性質沒那麼好之故，因此可改用下列的篩函數：

由於且之故，我們僅在存在及這兩個質數的狀況下，有。我們接下來要做的，就是尋找權重函數以便能測得。

權重的派生 
一個權重函數的可能候選，是一般化的馮·曼戈爾特函數：

這函數有如次的性質：若，則。雖說這函數也會測得形式為質數冪的因子，但在應用中，這些因子可在僅造成可忽略誤差的狀況下移除。

因此在是質數k元組的狀況下，以下方程不會消失：

其中這因子僅僅是因方便計算而選取。

（古典）馮·曼戈爾特函數可以截形馮·曼戈爾特函數來估計：

其中不再表示的長度，但用以決定截取點。類似地我們可以下式估計：

因為技術理由，我們會希望估計在多個部分中帶有質數的數組，而非再引入另一個參數的狀況下僅僅估計質數組，因此我們可選取或較不相異的質因數。而這引出了下列的最終形式：

在不引入這額外參數的狀況下，對不同的有這樣的限制；但藉由引入此參數，我們可得到更寬鬆的限制。

故對於維的篩法問題，我們有維的篩法。

GPY篩法 
GPY篩法有下列形式：

其中
.

Goldston、Pintz及Yıldırım三氏對主定理的證明 
在考慮、以及並定義的情況下，Goldston、Pintz及Yıldırım三氏在他們的論文中，以兩個定理證明了在合適的條件下，以下兩個非病態的形式成立。這兩個形式分別為

以及

其中是兩個常數，及是兩個奇異級數（singular series），其描述在此省略。

最後我們可將此結果套用在之上，以得到Goldston、Pintz及Yıldırım三氏「存在有無限多的質數組，其間隔任意地小於質數的平均間隔」的結果。

註解 

篩法