规范形

数学和计算机科学中，数学对象的标准形、规范形是将该对象作为表达式呈现的标准方式。通常来说，它提供了对象的最简单的表示，并允许以独特的方式识别。“规范（canonical）”与“标准（normal）”的区别因领域而异，大多数时候规范形都规定了对象的唯一表示形式，而标准形则不要求唯一性。

用小数表示，自然数的规范形是不以0开头的有限数字序列。更一般地说，对于定义了等价关系的一类对象，规范形包括每类中的特定对象。例如

若尔当标准形是描述矩阵相似的规范形。
若将矩阵及其与可逆方阵的左乘视作等价，则阶梯型矩阵是规范形。

在计算机科学与计算机代数中，在计算机中有很多方法表示同一个数学对象。这时，规范形是对每个对象都有唯一表示的表示法（典型化是将某种表示转换为规范形的过程。因此，测试两个对象的规范形是否相等，便可轻松地验证它们是否等价。
规范形经常依赖于任意选择（如变量排序），给测试两个对象是否等价的独立计算带来困难。因此，在计算机代数中，标准形是很弱的概念：标准形中，0的表示是唯一的，因此可以通过对两个对象作差、置于标准形中，来检验它们是否相等。

规范形也可以指以自然（规范）方式定义的微分形式。

定义
给定对象集合S以及其上的等价关系R ，则指定S中的一些对象为“规范形”，这样所考虑的每个对象都等价于规范形的某个对象。换句话说S中的规范形代表一类等价类。要检验两个对象是否等价，只需检验其规范形是否等价。
因此，规范形提供了分类定理，还为类中的对象提供了代表形式。

形式上，集合S上等价关系R的规范化是一个映射c:S→S，对所有s、s1、s2 ∈ S：
c(s) = c(c(s))   （幂等性）；
s1 R s2，当且仅当c(s1) = c(s2)   （决定性）；
s R c(s)  （代表性）。

性质3是冗余的：将性质2应用于性质1即可得出。

在实际应用中，能识别规范形往往是有利的。还有一个实际的算法问题需要考虑：如何将S中的给定对象s转换为规范形式s*？规范形一般用于更有效地运算等价类。例如，模算术中，同余类的规范形通常是其中的最小非负整数。类运算可以组合这些代表形，并将结果还原为最小非负余数。
唯一性要求有时会被放宽，允许形式在更精细的等价关系下是唯一的。

规范形可能只是惯例，也可能来自定理。例如，多项式在书写时通常按幂次递减：如x2 + x + 30，而非x + 30 + x2。相对地，矩阵的若尔当标准形来自定理。

示例

大数记号
标准形用于书写极大的数字，其中最知名的是科学计数法。

数论
正整数的规范表示
连分数的标准形

线性代数

代数

几何
解析几何中：
直线方程：Ax + By = C，而 A2 + B2 = 1（C ≥ 0）
圆方程：

方程还有其他书写形式。例如，直线方程可以写作点斜式和斜截式的一次方程。

凸多胞形可以表示为标准形：
所有面都是平的；
所有边都与单位球面相切；
多面体的中心店位于原点。

可积系统
所有可微流形都有余切丛，总可以被赋予某种微分形式，称为重言1形式。这种形式使余切丛具有辛流形的结构，并允许流形上的向量场通过欧拉-拉格朗日方程或哈密顿力学进行积分，这种可积的微分方程系统称为可积系统。

动力系统

动力系统研究与可积系统有所重合；在动力系统研究中，我们也有标准形的概念。

三维几何
三维流形研究中，有第一基本形式、第二基本形式与第三基本形式。

函数分析

经典逻辑

否定范式
合取范式
析取范式
代数范式
前束范式
斯科伦范式
Blake范式，也称为素蕴涵的完全和、完全和或析取素形式

集合论
序数的康托尔范式

改写系统
改变公式的形式的符号操作称为公式的“改写”（rewriting）。可以研究可对公式进行有效操作的规则集合，以研究公式改写的抽象性质，也就是“改写规则”——抽象改写系统的一个部分。常见问题是，有没有可能将某些通用表达式变为一种单一的、通用的形式，即标准形。若不同的改写序列仍能得到相同的形式，则这种形式就可称为标准形，改写则称为汇合（confluent）。标准形不总可得。

λ演算
若不能进行beta还原，则lambda项就是Beta范式；λ演算是抽象改写系统的一种特殊情况。例如，在无类型的lambda演算中，项没有标准形。在有类型的lambda演算中，每个形式良好的项都可改写为标准形。

图论

图论中，图规范化是找到给定图G的规范形的过程。图的规范形是与G图同构的有标号图Canon(G)，这样，与G同构的图都具有与G相同的规范图，也就实现了图同构的判断。

计算 (计算机科学)
在计算中，将数据还原为任一种规范形通常称为“数据规范化”（data normalization）。

例如，数据库规范化是对关系数据库的字段和数据库表进行调整，以尽量减少数据冗余与依赖的过程。
在软件安全领域，常见的漏洞是未经检查的恶意输入（参见代码注入），解决方法是进行适当的数据确认。在进行输入验证之前，通常会通过消除编码（如HTML字符编码）和将其化为单一通用字符编码的方式进行正规化处理。
其他形式的数据（通常与信号处理，包括音频、图像，以及机器学习）也可以进行规范化处理，以将数值范围框定得有限。

在内容管理中适用单一信源（SSOT）的概念，与数据库规范化和软件开发相仿。功能强大的内容管理系统可以提供获取单一信源的合理方法，例如嵌入。

另见
典型化
规范基
标准丛
正则化
标准化

注释

参考文献
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代数
逻辑概念
数学术语
形式主义 (推理)