反距离加权

反距离加权（，IDW）是一种在有已知的离散数据点的情形下进行的确定性算法。赋给未知点的值是用已知点的值的加權平均數计算得出的。该算法也可在空间自相关分析（例如莫兰指数）中用于构建空间权重矩阵。

该方法的名称来自其加权的方式：未知点到每个已知点的距离的倒数。

问题的定义 
对于给定的离散数据点，我们希望以一个函数对研究区域进行插值：

 

其中是研究区域。

个已知数据点可以视为元组列表：

 

该函数应当是“平滑的”（连续且一次可微），确定的（），并满足用户对研究的现象的直观预期。此外，该功能应能够以合理成本在电脑应用上实现（如今，基本实现方法中可能会用到并行计算）。

谢泼德法（Shepard's method）

历史参考 
自1965年起，在哈佛计算机图形和空间分析实验室，各专业的科学家汇聚一堂，重新思考现在称作“地理信息系统”的各种问题。

实验室工作的推动者霍华德·费舍尔（Howard Fisher）构思了一种改良的计算机绘图程序：SYMAP，其设计伊始，费舍尔就希望对插值进行改进。他向哈佛大学新生展示了SYMAP的进展，而后许多新生参与了实验室活动。一位大一新生唐纳德·谢泼德（Donald Shepard）决定对SYMAP中的插值法进行大改，随后发表了他1968年的著名论文。

谢泼德的算法也受到William Warntz和实验室其他从事空间分析工作的人的理论方法的影响。他用距离的指数进行了许多实验，决定更接近重力模型（-2的指数）。谢泼德不仅实现了基本的反距离加权，还允许障碍（包括可渗透的和绝对的）插值。

其他研究机构此时也在研究插值，特别是堪萨斯大学及其SURFACE II计划。但SYMAP的功能仍是最先进的，尽管是由本科生编写的。

基本形式 

给定一组样本点，反距离加权插值函数定义为：

 

其中

 

这是一个简单的反距离加权函数，其定义由谢泼德提出，x表示一个被插值点（未知点），xi表示一个节点（已知点），是从已知点xi到未知点x的给定距离（度规算符），N是插值中使用的已知点的总数，并且是一个正实数，称为幂参数。

其中，权重随着与已知点的距离的增加而减小。值越大，则最邻近已知点的对插值的影响越大，当足够大时，插值结果形似马赛克多边形（沃罗诺伊图），每一个多边形内的数值几乎为恒定值。对于二维面，幂参数时，插值由距离较远的点主导，因为密度为、邻近节点距离为至之间的数据点集，权重的加和约为

 

其在且时发散。对于M维，同样的结论适用于。对于值的选择，可以考虑插值中所需的平滑程度、被插值的样本密度和分布，以及允许单个样本影响周围样本的最大距离。

谢泼德法是最小化与插值点{x, u}的元组和插值点{xi, ui}的i元组之间的偏差度量相关的函数的结果，定义为：

 

从最小化条件导出：

 

该方法容易扩展到其他维数的空间，它实际上是将拉格朗日插值法推广到多维空间。为三元插值设计的修改版算法由Robert J. Renka提出，Netlib的toms库中的算法661提供该算法。

一维下的示例

调整谢泼德法 
谢泼德法的另一个修改版是仅使用半径R范围内的最近邻（而不是完整样本）来计算插值。在这种情况下，权重略有修改：

 

当与快速空间搜索结构（如k-d树）结合使用时，它即为适用于大尺度问题的高效N log N插值方法。

参见 
 距离衰减
 核密度估计

参考文献 

地理统计