極大與極小元

数学分支序理论中，預序集子集的極大元（）不小於的任何元素。極小元（）可定義，其不大於的任何元素。

極大和極小的條件比最大和最小弱。預序集的子集的最大元需要「大於或等於」的全體元素（最小元同樣為其對偶），極大元則衹需「不小於」（例如）。若將預序集限縮至偏序集，則至多衹有一個最大元和一個最小元，但極大、極小元皆可有多於一個。但在全序集上，最大等價於極大，最小亦等價於極小。

以集族

為例，其上的偏序為包含關係。當中極小，因為不包含族中任何其他集合，反之極大，因為不被其他集合包含。則既非極小亦非極大，但同時為極小、極大。相比之下，無最大元和最小元。

定義 

設為预序集，又設，則中關於的極大元定義為滿足以下性質的元素：

若有使 則必有 

與之類似，中關於的是滿足以下性質的元素：

若有使 則必有 

等價地，亦可將關於的極小元定義為關於的極大元，其中對任意，當且僅當。

若無明示子集，則所謂極大元預設是的極大元。

若預序集實為偏序集，或者限縮到是偏序集，則為極大當且僅當無嚴格較大的元素。換言之，不存在使及 將本段的號一律換成就得到極小元的描述。

存在性 
極大/極小元不必存在。

例一：考慮實數系的區間。對任意元素，仍在中，但，因此沒有元素為極大。
例二：考慮有理數系的子集，因為根號2是無理數，對任何有理數皆可找到另一有理數使。

但在某些情況下，極大/極小元保證存在。
 若為有限非空子集，則必有極大元和極小元。（對無窮子集無此結論，如整數系就沒有極大元。）
 佐恩引理斷言：「若偏序集中，每個全序子集皆有上界，則至少有一個極大元。」此引理等價於良序定理和选择公理，在數學的多個分支有重要推論，例如可證任何向量空間皆有基（極大的代數無關子集），或是任何域皆有代數閉包（代數擴張偏序下的極大元）。

唯一性 

極大/極小元不必唯一。

各領域例子 
 帕累托效率中，「帕累托最優」的狀態即是帕累托改善偏序下的極大元，此類極大元的集合又稱為「帕累托前緣」（）。
 决策论中，是偏序下的極大元。
 现代投资组合理论中，風險（以低為優）與回報（以高為優）的下，極大元稱為效率投資組合（），組成的集合則為。
 集合论中，某集合為有限當且僅當其任意非空子集族（以包含關係為偏序）皆有極小元。
 抽象代数中，需要將最大公因數的概念推廣為，因為某些數系中，若干個元素的公因子集合可能有多於一個極大元（整除意義下）。
 计算几何中，是逐分量比較下的極大元。

註

參考文獻 

序理论