史密斯标准形

数学中，史密斯标准形（SNF）是适用于所有元素都位于主理想域（PID）的矩阵的标准形（不必是方阵）。史密斯标准形是对角矩阵，可以从原始矩阵左右乘可逆方阵得到。特别地，整数构成一个PID，所以总可以计算出任何整数矩阵的史密斯标准形。史密斯标准形对于处理PID上的有限生成模，尤其是推导自由模之商的结构时非常有用。史密斯标准形得名于爱尔兰数学家Henry John Stephen Smith。

定义
令A为主理想域R上的非零m×n矩阵。存在可逆、方阵S, T（系数在R中），使得它们的积S A T为

对角元素满足。这就是矩阵A的史密斯标准形。元素在乘法意义上是唯一的，是可逆元，称为基本除子、不变量或不变因子。它们的计算公式为
 
其中（即第i个行列式因子）等于矩阵A 所有子式的行列式的最大公因数，且。

算法 
第一个目标是找到可逆方阵、使得为对角阵。这是算法中最难的部分。一旦实现了对角化，将矩阵转化为史密斯标准形就相对简单了。更抽象地说，我们的目标是证明可以视为从（秩为的自由-模）到（秩为的自由-模）的映射，且有同构、，使得具有对角矩阵的简单形式。、可用以下方法得到：从适当大小的单位阵开始，每次在算法中对进行行运算时，都将相应的列运算施于（例如，若的行加在行上，则的列应减去 ，以保持乘积不变），同理，每次列运算都相应地修改、由于行运算是左乘，列运算是右乘，这也就保持了不变，其中表示当前值，表示原矩阵；最终，不变式中的矩阵变为对角阵。

对于，记为的素因子数（素因子存在且唯一，因为PID都是唯一分解整环） 。特别地，也是贝祖环，因此是GCD环，任意两元素的gcd满足贝祖等式。

要将矩阵转为史密斯标准形，可以重复应用下面的公式，其中从1到循环。

第一步：选择主元
择为中非零元所在的最小列数，若则从第列开始搜索。

我们希望；若是这种情况，这步就完成了。否则，根据假设，存在某个，使，且我们可以交换行与行，得到。

现在我们选择的主元位于。

第二步：改进主元
若(k,jt)上有元素使，则令，根据贝祖性质我们知道R中存在σ、τ使

与适当的可逆阵L左乘，矩阵乘积的第t行是原矩阵第t行的σ倍与第k行的τ倍的和，乘积的第k行则是这些行的另一个线性组合，其他行则保持不变。若σ、τ满足上市，则对于和（根据β的定义，这样作商是可能的），可以得到

那么矩阵

可逆，其逆为

现在L可以通过将放入单位阵的t~k行列来得到。根据构造，L左乘后得到的矩阵在(t,jt)的位置上有元素β（由于我们选择了α、γ，(k,jt)上也有元素0，虽然这对算法并不重要，但很有用）。这个新元素β除了原元素，因此；因此重复这些步骤最后必须终止。最终得到的矩阵的(t,jt)元素除以了jt列的所有元素。

第三步：消除元素
最后，加上第t行的适当倍数，可以使jt列中除(t,jt)外的所有元素都变为零。这也可以通过左乘适当的矩阵来实现。不过，为使矩阵完全对角，还需消除(t,jt)所在行上的非零元素，这可以通过对列重复第二步中的算法来实现，并与得到的矩阵L的转置右乘。一般来说，这会导致之前应用第三步时消除的元素再次变为非零。

注意，对行列每次应用第二步的算法都必须减少的值，因此这一过程须在一定迭代次数后终止，使矩阵中(t,jt)元素是所在行列中的唯一非零元。

这时，只需对(t,jt)右下方的A块进行对角化，从概念上讲这个算法可以递归应用，将块视为单独的矩阵。换句话说，可以将t增加1，然后回到第一步。

最后一步
将上述步骤用于结果矩阵的剩余非零列（如果有的话），最后得到矩阵，列为，其中。矩阵非零元只有。

现在可以把空列向右移动，这样非零元就到了位置。简而言之，设为上的元素。

对角元的可除性条件可能不能满足。使，可以只对、行列进行操作来弥补这一缺陷：首先将第列加到列，以在第i列得到元素而不影响位置上的元素，然后应用行运算使元素等于，如第二步所述；最后按第三步方法，使矩阵再次对角化。由于的新条目是原的线性组合，所以可以被β除。

的值不会因为上述操作而改变（它是上子阵的行列式的δ），因此操作确实（通过向右移动因子）减小了

所以，这算法只能应用有限次，意味着我们已经如愿得到了。

由于所有行列运算都可逆，这就表明存在可逆方阵、S, T使乘积S A T满足史密斯标准形的定义。特别地，这表明史密斯标准形一定存在，无需证明。

应用 
链复形的链模为有限生成模时，史密斯标准形对计算链复形的同调将十分有用。例如，拓扑学中，可用于计算整数上有限单纯复形或CW复形的同调，因为这种复形的边界映射的整数矩阵；还可用于确定主理想域上有限生成模结构定理中出现的不变因子，其中包括了有限生成阿贝尔群基本定理。

控制论中，史密斯标准形还用于计算传递函数矩阵的零点。

例子 
求下列整数矩阵的史密斯标准形：

下面的矩阵是算法应用于上述矩阵的中间步骤。

所求史密斯标准形为

不变因子为2、2、156。

矩阵相似 
史密斯标准形可用于判定元素属于同一域的两个矩阵是否相似。具体来说，当且仅当特征矩阵、有相同的史密斯标准形时，A、B相似。

例如

A、B相似是因为它们特征矩阵的史密斯标准形相同，而与C不相似，因为它们特征矩阵的史密斯标准形不同。

另见 
 规范形
 丢番图方程
 弗罗贝尼乌斯标准形（也称为有理规范形）
 埃尔米特标准形
 奇异值分解

注释

参考文献 
  Reprinted (pp. 367–409) in The Collected Mathematical Papers of Henry John Stephen Smith, Vol. I, edited by J. W. L. Glaisher. Oxford: Clarendon Press (1894), xcv+603 pp.
 
 
 K. R. Matthews, Smith normal form . MP274: Linear Algebra, Lecture Notes, University of Queensland, 1991.

外部链接 
 An animated example of computation of Smith normal form .

矩阵论