几何积分

在常微分方程的数值计算中，几何积分是一种保留微分方程的流的精确几何特性的数值方法。

以摆为例
可考虑单摆运动以引出几何积分的研究。

设摆锤质量为，摆杆长度为。设重力加速度为。用表示杆偏移垂直方向的角位移，并用表示摆的动量，则系统的哈密顿量（动能与势能之和）为

其给出哈密顿方程

很自然，可将所有的位形空间看做单位圆，这样就位于圆柱体上。取只是因为空间会更方便绘制。定义、。让我们用一些简单的数值方法对这个系统进行积分。像往常一样，选择常数步长，对任意非负整数记。
我们用以下方法：

 （显式欧拉）；

 （隐式欧拉）；

 （辛欧拉）；

 （隐式中点法则）。

（注意，辛欧拉法用显示欧拉法处理q，用隐式欧拉法处理。）

观察到在哈密顿方程的解曲线上是常数，于是可以描述系统的精确轨迹，是的水平曲线。在中绘制了系统的精确轨迹和数值解。对显式、隐式欧拉法，分别取；z0 = (0.5, 0)及(1.5, 0)；对其他两种方法，分别取、z0 = (0, 0.7)；(0, 1.4)及(0, 2.1)。

显式（或隐式）欧拉法是从原点向外（或向内）的螺旋运动。另两种方法显示了正确的定性行为，隐式中点法则与精确解的吻合程度高于辛欧拉法。

回顾一下，具有1自由度的哈密顿系统的精确流是保面积的，即
 for all .
此式很容易手动验证。对我们的单摆例子，可以发现，显示欧拉法的数值流不保面积；即

隐式欧拉法也可进行类似计算，行列式为

辛欧拉法是保面积的：

于是。隐式中点法则具有类似的几何特性。

总结：单摆例表明，除显式、隐式欧拉法不是解决问题的好方法外，辛欧拉法和隐式中点法则与系统的精确流非常吻合，后者更精确。而且后两种方案与精确流都保面积，是几何积分（实际上是辛积分）的两个例子。

活动标架法
活动标架法可用于构建保持ODE李对称性的数值方法。龙格-库塔法等现有方法可用活动标架法进行修改，以产生不变版本。

另见
 能量漂移

参考文献

阅读更多
  
 
  
 

数值微分方程