矩阵微分方程

微分方程是变量的未知函数的数学方程，将函数值与不同阶导数联系起来。矩阵微分方程包含多个函数，以向量形式堆叠在一起，并由一个矩阵将它们与导数联系起来。

例如，一阶矩阵常微分方程为
 
其中是基变量的函数的向量，是函数的一阶导，是系数矩阵。

若为常数且有n个线性无关的特征向量，微分方程有如下一般解：
 
其中是A的特征值，是A相应的特征向量；为常数。

更一般地说，若等于其积分，则马格努斯展开降为前导阶，微分方程的一般解是
 
其中是常向量。

通过使用哈密尔顿–凯莱定理和类范德蒙矩阵，这种形式化的矩阵指数解可简化为一种简单的形式。下面，我们将用普策算法（Putzer's algorithm）来展示这一方法。

矩阵系统的稳定性与稳态

矩阵方程
 
当且仅当常数矩阵A的所有特征值的实部都为负，n×1参数常数向量b才稳定。

稳定时收敛到的稳态x*可置

找到，因此有

假设A可逆。

因此，原方程可用偏离稳态的齐次形式来写

一种等效的表达是，x*是非齐次方程的一个特解，而所有解的形式都是
 
其中是齐次方程（b=0）的解。

双状态变量情形的稳定性
n = 2（2个状态变量）时，稳定条件为：过渡矩阵A的两个特征值均有负实部，等价于A的迹为负、行列式为正。

矩阵形式的解
的形式解为矩阵指数形式
 
使用多种技术中的任何一种进行评估。

计算的普策算法
给定特征值为的矩阵A，

其中

的方程是简单的一阶非齐次常微分方程。

注意该算法并不要求矩阵A可对角化，并绕过了通常使用的若尔当标准形的计算。

矩阵常微分方程解构示例

一阶齐次矩阵常微分方程包含两个函数x(t)、y(t)，从矩阵形式解出后有如下形式：

 

其中、、、可为任意标量。
高阶矩阵ODE的形式可能复杂得多。

解分解后的矩阵常微分方程 

求解上述方程并找到这种特定阶次和形式的所需函数的过程大概分3步。每个步骤的简要说明如下：

找到特征值
找到特征向量
找到所需函数

第三部通常是把前两步的结果代入专门形式的一般方程中，下详。

矩阵ODE已解示例

要按上述3步解矩阵ODE，并在过程中使用简单矩阵，具体来说，现在下面的一阶齐次线性ODE中找到函数、函数，都用单一自变量表示：
 

要解这个常微分方程系统，在过程中的某时刻需要一组两个初始条件（对应起点的两个状态变量）。这时先取。

第一步
第一步即找到A的特征值
 
上面的导数记号x′等称为拉格朗日记法（由约瑟夫·拉格朗日提出，等同于前面方程里的dx/dt，这是莱布尼兹记法，得名于戈特弗里德·莱布尼茨）。

一旦两个变量的系数被写为上述矩阵形式A，就可估计特征值了。为此，可求矩阵行列式，即从上述系数矩阵中减去单位矩阵乘常数，再得到特征多项式
 
再解得其零点。

进一步简化、应用矩阵加法的基本规则，得出
 

应用求单一2×2矩阵行列式的规则，可得下列一元二次方程
 
 
可以进一步简化
 

应用因式分解得到给定一元二次方程的两个根、
 
 
 

 
上面算出的、即所求A的特征值。
矩阵ODE的特征值可能是复数，求解过程的下一步及最终形式和解法可能会有巨大变化。

第二步 
第二步即找到A的特征向量。

对算出的每个特征值，都有单独的特征向量。例如对第一个特征值即，有
 
应用矩阵乘法规则简化上式，得到
 
 

所有计算都是为了得到最后一个式子，本例中就是。现在任取一个无关紧要的小值（这样更容易处理），代入中的或（选哪个并不重要），这样就得到了一个简单的向量，就是这个特定特征值所需的特征向量。在本例中，我们取，得。用标准的向量符号来写，向量是这样的
 

对第二个特征值进行相同的计算，得到第二个特征向量，结果为

第三步
最后一步是找到“隐藏”在导数背后的所求函数。有两个函数，因为微分方程涉及两个变量。

方程包含之前得到的所有信息，形式如下：
 

代入特征值和特征向量，得到
 
简化
 
再简化，分别写出函数、的方程
 
 

上述方程就是所求的一般函数，但只是一般形式（、的值未指定），但我们想找到它们的精确形式和解。因此现在，考虑问题的给定初始条件（即所谓初值问题）。假设给定了，是ODE的起点；条件的应用指定了常数、。从条件可以看出，时，上述方程的左式等于1，由此可构造下列线性方程组
 
 

求解这些等式，发现常数、都等于1/3。因此将这些值代入这两个函数的一般形式，就可以得到它们的精确形式

所求的两个函数。

使用矩阵指数 
上述问题可以直接应用矩阵指数法解决。也就是说，可以说

给出了（可用MATLAB的expm工具包之类，或通过对角化，并利用对角矩阵的矩阵指数与元素的指数化相等这一特性来计算）

得到最终解

这与之前展示的特征向量方法相同。

另见 
 齐次微分方程
 矩阵差分方程
 冷却定律
 斐波那契数列
 差分方程
 波动方程
 自治系统 (数学)

参考文献

常微分方程