有限秩算子

泛函分析中，有限秩算子（）是巴拿赫空间之间，像的维数有限的有界线性算子。

希爾伯特空間中

典範型 

有限秩算子類似有限大小的矩陣，但是放在無窮維空間中。於是，可藉線性代數技巧刻畫其性質。

由線性代數知，複矩陣之秩為1，當且僅當可以寫成：
 其中  且 

同樣可證希氏空間上，算子之秩為1，當且僅當

其中與有限維情況滿足同等條件。由此，用數學歸納法，可證秩的算子必可寫成

其中和皆為标准正交基。前述表示法實質等同於奇异值分解，可以稱為有限秩算子的「典範型」（）。

略加推廣，若改為可數無窮，而正實數列僅會聚於0，則為，相應的和式稱為緊算子的典範型。

若級數（跡）收斂，則是迹类算子。

代數性質
希氏空間上，全體有限秩算子之族是有界算子代數的雙邊*理想。此外，其為此類（非零）理想中最小者，即的任何雙邊*理想必包含全體有限秩算子。簡證如下：取非零算子，則有非零的使。衹需證對任意，將映至的秩1算子屬於。同樣定義和，則有

從而在中，證畢。

的雙邊*理想舉例有跡類、希尔伯特-施密特算子類、紧算子類。三類各自配備範數，而在此三個賦範空間中稠密。

由於的每個雙邊理想都包含，為單代數當且僅當有限維。

巴拿赫空間中 
巴拿赫空间之間的有限秩算子是值域僅得有限維的有界算子。與希氏空間的情況一樣，可以寫成

其中，但由於中沒有定義內積，換成上的有界線性泛函。

有界線性泛函是有限秩算子的特例，其秩為1。

參考文獻 

算子理论