限制 (數學)

數學上提及的映射的限制（英：restriction），指對於一個映射，不改變其對應關係而重新取其原定義域的子集為定義域的操作。同種概念可更一般地針對二元關係或多元關係等進行定義。

由映射  到其定義域的子集  的限制所得的映射可記為  或  。

定義 
設  為從集合  到集合  的映射，即  的定義域為  。對於  的子集 ，映射  到  的限制（又稱  對  的限制函數）即為：

　　

通俗而言， 到  的限制可看作雖與原映射相同，但僅在  上被定義的映射。

若設映射  為在笛卡兒積  上的關係 ， 到  的限制可以其圖像表示：

例子 
　　1. 非單射函數  到  的限制即為單射 。

　　2. 階乘函數為伽瑪函數到自然數集  的限制。

性質 

 映射  到其定義域  的限制  。
 某限制函數到其定義域的子集的限制，與其原函數到該集合的限制相同。即若 ，則  成立。
 集合  上的恆等函數到子集  的限制為從  到  的包含映射。
 連續函數的限制函數也是連續的。

應用

反函數 

若某函數存在反函數，其映射必為單射。若映射  非單射，可以限制其定義域以定義其一部分的反函數。如：

　　

因為 ，故非單射。但若將定義域限制到  時該映射為單射，此時有反函數

　　

（若限制定義域至 ，輸出  的負平方根的函數為反函數。）另外，若允許反函數為多値函數，則無需限制原函數的定義域。

粘接引理 

點集拓撲學中的粘接引理聯繫了函數的連續性與限制函數的連續性。

粘接引理 
設拓撲空間  的子集  同時為開或閉，且滿足 ，設  為拓撲空間。若映射  到  及  的限制都連續，則  也是連續的。

基於此結論，粘接在拓撲空間中的開或閉集合上定義的兩個連續函數，可以得到一個新的連續函數。

層

層將函數的限制推廣到其他物件的限制。

層論中，拓撲空間的每個開集，有另一個範疇中的物件與之對應，其中要求滿足某些性質。最重要的性質是，若一個開集包含另一個開集，則對應的兩個物件之間有限制態射，即若，則有態射，且該些態射應仿照函數的限制，滿足下列條件：

 對的每個開集，限制態射為上的恆等態射。
 若有三個開集，則複合。
 （局部性）若為某個開集的開覆蓋，且滿足：對所有，，則。
 （黏合) 若為某個開集的開覆蓋，且對每個，給定截面，使得對任意兩個，都有在定義域重疊部分重合（即），則存在截面使得對所有，。

所謂拓撲空間上的層，就是該些物件和態射組成的整體。若僅滿足前兩項條件，則稱為預層。

出處

參考文獻 

 
 
 
 

層論