五角十二面體

在幾何學中，五角十二面體（Pentagonal dodecahedron或Pyritohedron）是一種由12個不等邊五邊形組成的十二面體，具有四面體群對稱性。其與正十二面體類似，皆是由12個全等的五邊形組成，且每個頂點都是3個五邊形的公共頂點，但由於其面不是正多邊形，其頂點的排佈未能達到五摺對稱性，因此不屬於正多面體。部分的化學物質或礦石其晶體形狀是這種形狀，例如黄铁矿和部分的天然氣水合物。其英文名稱Pyritohedron是來自黄铁矿的英文pyrite以及多面體的字尾-hedron命名的。

性質 
五角十二面體是一種等面十二面體，共由12個面、30條邊和20個頂點所組成，其結構在拓樸上與正十二面體相同，但由於構成面不是正多邊形，因此不是正多面體。其30條邊可以分成2組等長的邊，其中一組為24條等長的短邊，另一組為6條等長的長邊。

頂點座標 
五角十二面體可以透過將立方體6個面的每個面分割成2個矩形，並且相鄰面方向互相垂直的結構變形而來，因此五角十二面體中會有8個頂點跟立方體相同，這些頂點的座標為：
(±1, ±1, ±1)
在將立方體每個面分割成2個矩形時產生的另外12個頂點可以表示為：
(0, ±(1 + h), ±(1 − h2))
(±(1 + h), ±(1 − h2), 0)
(±(1 − h2), 0, ±(1 + h))
其中h為過程中所產生之楔體的高，而五角十二面體的楔體高通常介於0到1之間。若高為1，則該形狀會變為菱形十二面體，若高為0，則五邊形會有一條邊共線成矩形、矩形會兩兩共面成正方形，而整體立體外觀為立方體。若其高為黄金分割率的乘法反元素，則會形成正十二面體；若是其相反數，則會形成大星形十二面體。

晶體學 
五角十二面體黃鐵礦中常見的晶體形狀，因此五角十二面體的英文名稱是由黃鐵礦的英文名稱來命名的。雖然晶體學中並不存在正十二面體，但是與之拓樸同構的五角十二面體可以出現在黄铁矿的晶體中，而且有可能是早期發現柏拉圖立體的來源之一。而真正的正十二面體只能以準晶體的形式出現於部分準晶體之中，如钬－鎂－鋅準晶體中。

相關多面體 
五角十二面體具有一種幾何自由度，該幾何自由度是在對應五角十二面體之面兩兩共面形成的立方體、和其中六條邊被縮短為0而退化形成的菱形十二面體的兩下的幾何自由度。而正十二面體則是所有邊等長的特殊中間體。

二複合五角十二面體 
透過交和五角十二面體的非零座標可以形成另一個五角十二面體。這個新形成的五角十二面體可以和原本的五角十二面體組成一個具有對稱性的複合幾何結構，稱為二複合五角十二面體。其在考克斯特記號中可以用表示。這個複合立體具有八面體群對稱性。

作為立方體分割面的變形結果 
五角十二面體可以透過將立方體6個面的每個面分割成2個矩形，並且相鄰面方向互相垂直的結構變形而來，而將立方體面分割成不同數量的矩形可以形成不同的結果，例如每個面皆分割成3個矩形可以形成立方五角十二面體，其對應的球面鑲嵌是排球的常見形狀之一。

參見 
 黄铁矿
 立方五角十二面體

註釋

參考文獻 

多面體