莫兰指数

统计学中，莫兰指数（）是Patrick Alfred Pierce Moran提出的一种空间自相关度量。空间自相关即空间中邻近的位置之间存在相关性。空间自相关比一维自相关更复杂，因为空间相关性是多维的（即空间的二维或三维）和多方向的。

全局莫兰指数 
全局莫兰指数（）是对空间数据的整体聚集的度量，其定义如下：

 

其中：
 是空间单元的个数；
 和是两个空间单元的索引编号；
 是相关变量；是的平均值；
 是空间单元和之间关系的空间权重，主对角线上取值为0（即）；
 是所有的总和。

定义空间权重矩阵 
的值可能很大程度上依赖空间权重矩阵中的假设。之所以需要该矩阵，是因为在处理空间自相关和建立空间相互作用模型时，需要约束予以考虑的邻居的数量。这与托布勒的地理学第一定律有关，该定律指出，所有事物都是相关的，但更接近的事物更相关——换句话说，该定律表明空间中存在距离衰减，尽管所有观测值都对其他观测值有影响，但在某个距离阈值后，其影响已经微弱得可以忽略不计。

其思路是构建一个矩阵，以准确地反映对讨论的特定空间现象的假设。一种常见的做法是，如果两个空间单元是邻居，则权重为1，否则为0（但“邻居”的定义可能会有所不同）。另一种常见的方法可能是给个最近的邻居赋予1的权重，其他为0。还有一种方法是使用距离衰减函数来分配权重。有时，共边的长度用于为邻居分配不同的权重。空间权重矩阵的选择应以研究的相关现象的理论为指导。的值对权重非常敏感，并且会影响对现象的结论，尤其是在使用距离时。

期望值 
在不存在空间自相关的虛無假說下，莫兰指数的期望值为：

 

对应该期望值的零分布是输入遵循随机均匀地选取的排列。

在大样本量下（即趋于无穷大时），期望值接近于零。

其方差等于

 

其中

 

 

 

 

 

的值通常在−1到+1之间。显着低于的值表示空间负相关（分散），显着高于的值表示空间正相关（集聚）。对于统计假說檢定，莫兰指数的值可以转换为Z-分数。

莫兰指数与成负相关，但并不完全等同。莫兰指数是全局空间自相关的度量，而吉尔里C数对局部空间自相关更敏感。

局部莫兰指数 
全局空间自相关分析只能得到一个概括整个研究区域的一个统计量。换句话说，全局分析假设空间是相对均质的。若该假设不成立，那么只有一个统计数据是意义不大，因为统计数据在空间上应该是不同的。

而且，即使不存在全局自相关或聚类，我们仍然可能通过局部空间自相关分析，在局部层面上找到聚类。“空间关联的局部指标”（local indicators of spatial association，LISA）利用莫兰指数是叉积总和这一事实，通过计算每个空间单元的局部莫兰指数并评估每个的统计显著性来评估这些个体单元的聚类。局部莫兰指数最早由于1995年提出。由全局莫兰指数的等式可导出：

其中：

因此，

为衡量全局空间自相关性的全局莫兰指数，为局部莫兰指数，为地图中分析单元的总数。

空间关联的局部指标可以用GeoDa软件来计算，其中就包含了局部莫兰指数的计算功能。

应用 
莫兰指数广泛应用于地理学和地理信息科学领域。例子有：

 健康变量的地理差异分析；
 表征公共水中锂浓度对心理健康的影响；
 方言学中，用来衡量区域语言变异的显著性；
 地貌学研究中，用来定义有意义的地形分割的目标函数。

参见 
 地理学第一定律
 距离衰减

参考文献 

协方差与相关性
空间数据分析