閉無界集

數學中，尤其是數理邏輯和集合論中，閉無界集（）是极限序数的一類子集，其在該極限序數的序拓撲中為閉，且相對於該極限序數為無界（見嚴格定義）。

嚴格定義 
嚴格而言，若為極限序數，則集合為閉當且僅當對每個，若，則。因此，若中，某序列的極限小於，則該極限也在中。

若為極限序數，且，則稱為在中無界，意思是對任意，皆有使。

若集合既閉又無界，則為閉無界集。有時也考慮閉的真類（由序數組成的真類必然在所有序數組成的類中無界）。

例如，所有可數極限序數構成的集合就是首個不可數序數的閉無界子集；然而，其並非任何更大的極限序數的閉無界子集，因為其既不閉，也非無界。所有極限序數構成的集合是的閉無界子集。從另一個角度，閉無界集即是（即遞增且連續的函數）的值域。

更一般地可以定義何種為閉無界集。若非空，為基數，且中每個大小小於的子集都包含於的某個元素中，則稱為閉無界集。（參見）

閉無界濾子 
設為極限序數，且其共尾性不可數。對，設為的一列閉無界子集，則也是閉無界集。原因是，閉集的任意交必為閉，故只需證明該交集無界。固定任意，又對每個，從每個中，選取元素（可以如此選取，因為每個都無界）。由於此為少於個序數，且每個都小於，其上確界也必小於，稱其為。如此，得到可數序列，其極限同樣會是序列的極限，而由於每個皆為閉，且不可數，後者的極限必在中，所以的極限是上述交集的元素，且大於，但為任意，故交集無界，即為所求證。

由此可見，若為，則閉無界集生成上的非主完備濾子。該濾子可以符號表示成 且是中的閉無界集。

若為正則基數，則閉無界集關於亦是封閉的。

反之，若正則，而為上關於對角交運算封閉的濾子，且所有形如（其中）的集合皆為的元素，則所有閉無界集均屬於。

參見

參考資料 

 

 

序数
集合论