無窮元組合學

數學分支無窮元組合學（infinitary combinatorics），又稱組合集合論（combinatorial set theory），是將組合學的想法推廣到無窮集。研究對象有連續圖、集合論的樹、拉姆齊定理在無窮集的推廣、馬丁公理。在2010年，本分支的開展的研究還有：連續統上的組合學、後繼上的組合學。

無窮集的拉姆齊理論
設為序數，為基數，為正整數。引入記號

作為下列命題的速記：

若將所有元子集的集合，分劃為份，則有一份包含序型為的同質集。
所謂同質集，意思是的子集，且其所有元子集皆在同一個分塊中。也可以用染色的說法：
若有種色，並將的每個元子集，各染一種色，則必有序型為的同色集，即其所有元子集皆同色。
當為時，可省略不寫。

假設選擇公理（AC），則不存在序數使得。此即上段取有限的原因。雖然不允許為無窮大，但仍可以同時考慮任意大的。符號

表示命題「若將的所有有限子集染成種色，則有序型為的子集，使得其對每個，的所有元子集皆同色。」（但不同的之間，無需同色。）同樣，當為時，可省略不寫。

還有變式：

表示「若將的所有元子集染成紅、藍兩色，則或有序型為的子集，其所有元子集皆為紅，或有序型為的子集，其所有元子集皆為藍。」

可以此記號表示的命題有：（下設為基數）
對所有有限的成立（拉姆齊定理）。
（）。
（謝爾賓斯基定理）

 (）。

在無選擇（choiceless，即選擇公理不成立）的宇集中，上標為無窮的分劃性質有可能成立。有部分是決定公理（AD）的推論，例如，證明，AD推出

大基數

一些大基數性質是用拉姆齊性質定義，如：
滿足；
是滿足的最小基數；
滿足。

參考文獻

 
 

集合论
组合数学