橢圓曲線的純量乘法

橢圓曲線點的乘法也稱為橢圓曲線的純量乘法，是將椭圆曲线上的一點反覆和自身相加的運算。此運算在椭圆曲线密码学（ECC）中可以用來產生單向函數。
此條目中將這種乘法用标量乘法來表示，再配合。此運算也稱為橢圓曲線點的乘法（elliptic curve point multiplication），不過此名稱有時會誤解為二個點之間的乘法（其實是整數純量和點的乘法）。

基礎
假定在有限域上定義的曲線E（例如E: ），其點乘定義為重覆的進行在曲線上點的加法，表示為，其中n是係數（整數）以及在曲線E上的一點，這類的曲線稱為魏尔施特拉斯曲線（Weierstrass curve）。

現代橢圓曲線密碼學安全性的基礎是在給定Q和P，以及的情形下，若n很大，無法求得n的特性而來（類似其他的迪菲-赫爾曼密鑰交換問題，此問題稱為橢圓曲線離散對數問題）。此原因是因為橢圓曲線上兩點的相加（或是某一個點加上自身）會得到第三點，而這個點的位置和前一點或前二點沒有明確的關係，重覆很多次之後，nP可能會在曲線上的任何位置。在直覺上，橢圓曲線的純量乘法和以下例子類似：假設在圓上選一個點P，再將其角度加上42.57度，所得的點離P會有一些距離，不過不會太遠，不過若加上1000次或1001次的42.57度，需要需比較複雜的運算才能求出所得的點的位置。回到橢圓曲線的純量乘法，若要進行逆運算，給定Q=nP，已知P和Q，要求n，只能一個一個的針對可能的n來檢查，若n的可能範圍很大的話，這在計算上就是不可行的。

點運算

橢圓曲線上的點，一般會定義三種運算：相加、加倍和反相。

無窮遠點
無窮遠點是橢圓曲線算術中的單位元。任意點和此點相加，相加前和相加後的結果不變。若無窮遠點加上無窮遠點，結果仍為無窮遠點。

也就是：

無窮遠點也會寫成.

反相
點的反相是指針對某一個點，可以找到另一個點，與其相加後為無窮遠點（）。

在橢圓曲線上，一點反相點的x座標會和該點相同，而y座標會為該點座標的負值：

點的相加

針對二個相異點P和Q，其加法定義為P和Q所形成的直線，和曲線E交點的反相點R.

假設橢圓曲線的方程式是，可以計算得到：

若其中沒有任何一點是無窮遠點，且這些點的x座標都不同，則上式正確。這在椭圆曲线数字签名算法（ECDSA）上非常重要，因為散列值（hash）有可能為0。

點的加倍
假設點P和Q重合（座標相同），其加法類似，但無法依上述方式定義直線，因此使用極限的作法，取曲線E在P點的切線。

計算同上，取導數(dE/dx)/(dE/dy)可得：

其中a是方程式E裡的係數。

點乘法
最直接計算點乘法的方式就是反覆的執行加法。不過也有其他更有效率的算法。

Double-and-add
最簡單的方式就是double-and-add法，其作法類似模乘幂中的平方求幂。其演算法如下：

要計算sP，要先將s以二進制表示，其中：

以下是迭代演算法，其迴圈變數i遞減：

    let bits = bit_representation #為s的二進制表示（從MSB到LSB）
    let res =  #無窮遠點
    for bit in bits:
        res = res + res # double
        if bit == 1:            
            res = res + P # add
        i = i - 1
    return res

因Double和add的執行時間不同，根據執行時間就可以知道是執行Double或add，間接可以推算d，在資訊安全上，此方法會有的風險。以下的蒙哥馬利階梯（Montgomery Ladder）是可以避免計時攻擊的作法。

以下則是使用遞迴函數的作法：

   f(P, d) is
      if d = 0 then
          return 0                         # 已計算完成
      else if d = 1 then
          return P
      else if d mod 2 = 1 then
          return point_add(P, f(P, d - 1)) # 若d為奇數，進行addition
      else
          return f(point_double(P), d/2)   # d為偶數，進行doubling

其中f是乘法的函數，P是要乘的座標，d是要加的次數。例如100P可以寫成 ，需要六個點乘二和二個點加運算，100P等於f(P, 100)。

此一演算法需要執行log2(d)個運算（點乘二或點加）。有許多演算法是以此為基礎來進行的修改，例如窗口法、滑動窗口法、NAF、NAF-w、vector chains和蒙哥馬利階梯法。

窗口法
此演算法的窗口法（windowed version）版本可以選擇窗口大小w，再計算所有的，。演算法會使用的表示法為 ，其程式是

   Q ← 0
   for i from m to 0 do
       Q ← point_double_repeat(Q, w)
       if di > 0 then
           Q ← point_add(Q, diP) # using pre-computed value of diP
   return Q

演算法的複雜度和Double-and-add相同，但其點相加使用的較少（實務上，點相加比點加倍要花時間）。一般來說，會選擇 w 為夠小的值，簡化預運算的步驟。若針對NIST建議的曲線，一般來說會是最好的選擇。n位元整數的複雜度會是個點加倍，個點相加。

滑動窗口法
滑動窗口法（Sliding-window method）會在點相加和點加倍之間取捨，計算的表格類似窗口法，不過只計算， 。此方式比較有效率，只計算有設定MSB的那些值。而其演算法使用原始double-and-add的表示法。

   Q ← 0
   for i from m downto 0 do
       if di = 0 then
           Q ← point_double(Q)
       else 
           t ← extract j (up to w − 1) additional bits from d (including di)
           i ← i − j
           if j < w then
               Perform double-and-add using t 
               return Q
           else 
               Q ← point_double_repeat(Q, w)
               Q ← point_add(Q, tP)
   return Q

此演算法的好處是預運算階段的複雜程度是一般窗口法的一半，也將較慢的點相加改為點加倍。實務上，使用窗口法而不使用滑動窗口法的情形不太多。此演算法會使用次點加倍，最多只用次點加法。

-ary非相鄰形式（NAF）方法
（NAF）的目的是利用點相減的方式和點相加的方式相同的原理，設法使運算量少於滑動窗口法（頂多也只會和滑動窗口法相同）。被乘數的NAF方式需要先用以下演算法進行計算

    i ← 0
    while (d > 0) do
        if (d mod 2) = 1 then 
            di ← d mods 2w
            d ← d − di
        else
            di = 0
        d ← d/2
        i ← i + 1
    return (di−1, di-2, …, d0)

其中有號餘數函數mods定義如下
  
    if (d mod 2w) >= 2w−1
        return (d mod 2w) − 2w
    else
        return d mod 2w

因此會需要用NAF來進行乘法。此演算法會需要先計算（其中是要乘的數）這些點，以及這些點的負值。若是標準的Weierstrass曲線，若，可得。因此負值很容易計算。接下來要計算的乘法：

    Q ← 0
    for j ← i − 1 downto 0 do
        Q ← point_double(Q)
        if (dj != 0)
            Q ← point_add(Q, djP)
    return Q

wNAF方式可以保證平均來說點相加法的密度會是（比無號的窗口法好一點），其中的預計算會需要一個點加倍及個點加法。而演算法剩下的部份需要個點加倍，以及個點加法。

NAF的一個特性是可以保證每一個非零元素之後，至少有個零。其原因是因為演算法在每次計算mods函數後，會清除數字中，較低的個位元。在每一個非零元素後面，就會有一定數量的零位元，這些零位元可以不用儲存。

已有人發現，若針對OpenSSL進行FLUSH+RELOAD的旁路攻击，約在進行200次簽章後，即可以利用cache-timing找到完整私鑰。

蒙哥馬利階梯法
蒙哥馬利階梯法（Montgomery ladder）會用固定的運算時間來進行點乘法，運算時間只會隨d的長度而變化，不會因為d的各位元內容而變化。這可以抵抗旁路攻击中的功率攻擊或是計時攻擊。此演算法的實現方式和double-and-add相同。

   R0 ← 0
   R1 ← P
   for i from m downto 0 do
       if di = 0 then
           R1 ← point_add(R0, R1)
           R0 ← point_double(R0)
       else
           R0 ← point_add(R0, R1)
           R1 ← point_double(R1)
   return R0

此演算法的速度類似double-and-add，但是在處理d的每一位元時，都會進行點相加以及點加倍。因此演算法本身不會因為時間或是功率而洩漏d的資料。
不過若利用旁路攻击中的FLUSH+RELOAD對OpenSSL進行攻擊，已證實只需要經由一次簽名，用cache計時攻擊，以很低的成本得到完整的私鑰。

參考資料

椭圆曲线