梅森素数与完全数集合

梅森素数与完全数是数论里关系密切的自然数。梅森素数以数学家、神学家、修士马兰·梅森命名，是能以表示、且为正整数的质数，如梅森素数就能写成。梅森素数在上述表达式对应的数一定是质数，但是质数不代表得出的结果就是梅森素数，如。完全数是等于真因数之和的自然数，真因数即自然数除自身外的因数。如就是完全数，因数分别是且。

根据欧几里得部分证明、萊昂哈德·歐拉完全证明的歐幾里得－歐拉定理可知梅森素数与已知完全数一一对应：只有能换算成公式，且是梅森素数的偶数是完全数。以为例，为质数，为完全数。

梅森素数与完全数是否无穷尽目前还是未解决的数学问题，伦斯特拉－波默朗斯－瓦格斯塔夫猜想的主题便是梅森素数频率，推断比小的梅森素数期望个数為，其中是欧拉数，是欧拉常数，是自然對數。已经发现的完全数都是偶数，但尚未排除存在奇数完全数的可能。已證明奇完全数必滿足某些條件，如不小於。

下表列出所有已知梅森素数、完全数及对应指数。截至2021年10月共发现51个梅森素数（及對應完全数），最大17个均由互联网梅森素数大搜索分布式计算项目发现。新梅森素数是用卢卡斯－莱默检验法发现，这种梅森素数素性测试可用于二进制计算机。

数字按从小到大排列，如果新发现比现有结果小的梅森素数则插入中间。序号后面的问号说明尚待验证。截至2021年10月，互联网梅森素数大搜索已经计算至，即第48个梅森素数以前的所有自然数均已验证。发现时间和发现人均指梅森素数，完全数按歐幾里得－歐拉定理计算。发现人列为“互联网梅森素数大搜索：姓名”说明此人拥有的设备采用互联网梅森素数大搜索找到该数。除前八个不超过十位外，后面的结果都非常长，最长的已有数千万位；下表仅列出前后各六位，中间以省略号表示。

梅森素数与完全数集合 

下表列出了所有已知的梅森素数：

下表列出了所有已知的梅森素数指數：

注释

参考资料

外部链接 
 整數數列線上大全：完全数 
 整數數列線上大全：梅森素数 
 整數數列線上大全：对应指数 
 互联网梅森素数大搜索：梅森素数集合，列出完整数字 
 梅森素数史技术报告，盖伊·霍沃斯著 

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