三維點群

幾何學中，三維點群是三維空間中，任何一個固定原點的對稱群。等價的說法是，其為球面的對稱群。此類群皆為正交群的子群，即固定原點的全體等距同構組成的群，亦可視為全體正交矩陣的乘法群。本身則是全體等距同構的歐氏群的子群。

立體的對稱群必由等距同構組成，反之，要分析等距對稱構成的群，就是分析所有可能的對稱。有界三維立體的全體等距同構，必存在共同的不動點，不妨設其中之一為原點。

立體的對稱群，有時稱為全體對稱群作強調，用以突顯與旋轉群（或真對稱群）的分別。立體的旋轉群是其全體對稱群與三維空間本身的旋轉群之交。立體的旋轉群等於全體對稱群，當且僅當立體具。

三維點群在化學廣泛用於描述分子的對稱，及組成共價鍵的分子軌域的對稱。此背景下，也稱分子對稱群。

有限考克斯特群是一族特殊的點群，僅由過原點的若干個鏡射生成。階考克斯特群是由個鏡射生成，可以表示。則改為用方括號和數字描述，並設有其他標記，用以表示旋轉群或其他子群。

群結構
是直接歐氏群的子群，其元素皆是直接等距同構，即保持定向的等距變換。僅含保持原點不變的直接等距同構。

則是與點反演生成的群的直積：（此處點反演以其矩陣表示，即單位矩陣乘上。）

所以，三維空間中，藉點反演，可以得到直接與間接等距變換之間的一一對應，此外，中僅由直接等距變換組成的子群（必包含在中，亦與中含有點反演的子群一一對應。對應關係如下：

例如，若為，則為；若為，則為。（定義載於下文。）

若直接等距同構群有為的子群，則除以上含點反演的子群外，還有另一個對應的子群

含有間接等距變換，但不含點反演。式中與視為等同。舉例為，而為。

換言之，是將中的變換，乘上得到。此群作為抽象群與同構。反之，任意對稱群，若有間接等距變換，但無點反演，則可以將所有間接變換反演，而變成旋轉群。等距群的分類（見下文）中，可以用此性質化簡問題。

二維情況下，重旋轉的循環群皆是和的正規子群。在三維中，固定旋轉軸，則相應有繞該軸的重循環群，是繞該軸的全體旋轉群的正規子群。此外，由於指數為的子群必正規，在中正規，也在中正規。此處是向添加過旋轉軸的反射面生成，而則是向添加與軸垂直的反射面生成。

固定原點的三維等距變換
的等距變換中，固定原點的變換，組成正交群，簡記為。其元素分類如下：
子群中：
單位（恆等變換）；
繞過原點某軸的旋轉，且角度不為；
繞過原點某軸的旋轉，且角度為；
及以上變換但額外乘上點反演（將向量映去），即：
點反演；
繞過原點的某軸，作角度不為的旋轉，後再作一次鏡射，鏡射面過原點，且與旋轉軸垂直；
關於過原點某平面的鏡射。

後三種元素又稱瑕旋轉。（視乎定義，末一種未必算。）

連同平移變換的簡介，見歐幾里得群。

共軛
比較兩件立體的對稱類時，原點可以分別選取，即兩件立體的中心不必相同。更甚者，兩件立體具有相同對稱類，意思是其對稱群在中為共軛子群，即存在，使。

舉例：
兩件立體各僅有鏡射對稱，即使並非關於同一鏡面，仍屬同樣的對稱類；
同樣，若各僅有三重旋轉對稱，即使軸向不同，仍屬同樣的對稱類。

若立體的對稱群有多條旋轉軸或多個鏡面，或兩者皆有，則兩個對稱群同屬一類，當且僅當有另一個旋轉，將前一個對稱群的整個結構，變換成後一個對稱群。（此種旋轉會多於一個，但不會是無窮多個。僅有一條旋轉軸或一個鏡面時，此種旋轉方會有無窮多個。）按定義，上文的不必為旋轉，也可以為鏡射，然而，由於對稱群的結構不具手性，祇需取為旋轉。（但空間群則不然，有對空間群具有手性，因為有螺旋變換。）

無窮等距變換群

有許多無窮等距變換群，如繞任意軸轉任意無理角度（即圈數或度數為無理數，或弧度數為的無理數倍）的旋轉，所生成的無窮循環群；若加入繞同一軸的其他旋轉，還可以組成許多非循環的交換群。取不共軸的旋轉，則生成非交換群。，此等非交換群皆為自由群。僅有特別選取的旋轉，方能得到有限群，否則一般皆是無窮群。

作為拓撲群的子群，上述無窮子群皆非閉子群。以下討論的拓撲閉子群：

整個是球對稱群、
相應的旋轉群是、
其他無窮等距變換群有五個，皆含有過原點的某軸，繞該軸的所有旋轉，另外可以：
添加或不添加過軸的各鏡面反射，
另添加或不添加過原點與軸垂直的鏡面反射。（共四個）
最後，若以上兩種反射都無添加，則可以只添加兩者的複合，相當於添加與原旋轉軸垂直的軸上的旋轉。（一個）

添加過軸的各鏡面反射的群，不論有否添加過原點與軸垂射的鏡面反射，稱為兩種圓柱對稱性。注意若物理實體有無窮旋轉對稱，則亦必關於過軸的鏡面對稱。

此七個連續群，稱為極限點群或居里極限群，得名自最早研究此種群的皮埃尔·居里。軸向群可以分成七列無窮序列，其極限給出五個軸向極限群（有兩個重複），而、則不是軸向群的極限。國際記號中，此七個群記為，次序在下文明確給出。

有限等距變換群
三維空間的對稱中，保持原點不動，等價於保持以原點為球心的球面。關於有限的三維點群，亦可參見。

不別共軛之異，三維有限點群只有：
個無窮列，此七類群中，每個群至多一條旋轉軸有多於兩重旋轉。該些群皆是圓柱面的對稱群（的有限子群），其中圓柱面有限長或無限長是等價的，有時稱為軸向點群（）或棱柱點群（）。
個其他點群，每個有至少兩條至少三重的旋轉軸；也可以等價寫成有至少兩條三重旋轉軸，因為全部七個都有多條三重旋轉軸。若數出其三重以上的旋轉軸，所有可能組合有：
條三重軸、
條三重軸及條四重軸、
條三重軸及條五重軸。

根據晶體學限制定理，僅得很少點群與離散相容：七列軸向點群中，有個；七個其他點群中，有個，合共個，稱為晶體學點群。

七類軸向點群 
有七列軸向點群。每列有無窮多個群，各可用正整數標示。每列第個群，含繞某軸的重旋轉，即旋轉，故對應轉一整圈，即不旋轉。七列軸向點群中，四列無其他旋轉軸（稱），另三列有其他二重旋轉軸（稱）。該些群可以視為添加軸向坐標和關於軸的反射而成，也與相關。 可以將軸向點群理解為帶群的圖案在繞柱面恰好重複次。

下表列出點群的幾種記號：晶體學的赫爾曼–莫甘記號、分子對稱性的、、。後三者不僅方便讀出群的性質，還與群的階數密切相關。軌形記號同時通用於與。晶體群的僅能取（晶體學限制定理），而若移除該限制，則可取任意正整數。七列軸向點群為：

對奇數，有抽象群同構及。

群（包括平凡群）及有手性，其他則無手性。

術語水平（）與豎直（）描述反射面的方向，以旋轉軸為豎直，故反射面水平即垂直於與旋轉軸，反射面豎直即包含為旋轉軸。相應下標用字母h和v。

最簡單的非平凡軸向群皆同構於抽象群，但是的不同子群（即不共軛）：
（等同）——點反演對稱
——二重旋轉對稱
（等同和）——反射對稱，又稱兩側對稱（）。

第一組單軸循環群中，的階為（二維情況同樣適用），是由單一個角度為的旋轉生成。若向此群加入一個與軸垂直的鏡面（的反射），則生成，階為。若不加入與軸垂直的鏡面，但加入塊通過軸的鏡面，則得到，階亦為。後者是正稜錐的對稱群。具或的典型物體是螺旋槳。

若上述兩種鏡面皆加入，則水平鏡面與豎直鏡面相交得到條軸，而鏡射的複合生成繞該些軸的旋轉，故群不再單軸。新群的階為，記為。其旋轉子群為個元素的二面體群，仍有與主（重）旋轉軸垂直的二重旋轉軸，但不再有鏡面。

注意，在二維，包括鏡射，但鏡射也可以視為將不辨前後之別的扁平物體翻轉得到。但在三維，鏡射與翻轉不再相同：群有翻轉但無鏡射。

餘下一類是（或），其有包含主旋轉軸的豎直鏡面，但沒有水平鏡面，取而代之的操作是先水平鏡射，再旋轉。是正棱柱和雙稜錐的對稱群。則是正角反棱柱的對稱群，亦是正方偏方面體的對稱群。最後，是稍稍扭過的正棱柱的對稱群。

及較特殊，因為並無特別的主旋轉軸：三條互相垂直的旋轉軸皆為二重軸。是下節所有多面體對稱群的子群，而則是多面體群與的子群。可以作為下列化學品的對稱群：
刀豆蛋白A等、
四個相同的四面體形配合物、
四個同手性氟氯甲基的四(氟氯甲基)甲烷。
的元素，與的可逆元表示的旋轉，有一對二的關係。

群由「先關於水平面作鏡射，再旋轉」生成。對於奇數，是等於前述兩個操作分開執行，生成的群，階為，故不必用到記號。然而，對偶數，兩個群有差異，且僅有個元素。與類似，其包含若干瑕旋轉，但不包含對應的旋轉。

七列軸向群的元素僅有下列四對重複：
及：階數為，由獨一個鏡射生成。又稱。
與：階數為，由獨一個旋轉生成。
與：階數為，由一個鏡射與鏡面上一條軸的旋轉生成。
與：階數為，由一個鏡射與一條垂直於鏡面的軸的旋轉生成。

是由獨一個點反演生成的階群，又記為。

此處「重複」是指作為的子群共軛，是強於作為抽象群代數同構的條件。例如，前一種意義下，有三個不同的階群，但祇有一個階抽象群。類似，也有與抽象同構。

群的構造亦可描述如下：
 是由獨一個元素生成，生成元亦稱為，是繞軸轉。群的元素是：（單位元），，對應旋轉角。該軸視為豎直軸。
 由獨一個元素生成，其中是水平面的鏡射。群的元素是的元素，另加。
 由與反射生成。群的元素是的元素，另加。
 由與豎直鏡面的反射生成。群的元素是的元素，另加。
 是由與繞水平面上某軸的旋轉，其元素是的元素，另加。
 由元素與生成。元素是的元素，加上與的額外元素，再加上。
 由元素生成。其元素為的元素，再加上的所有額外元素。

取趨向的極限，則得到連續軸向群（或無窮階軸向群）：

七個其他點群 
餘下七個點群又稱為高度對稱或多面體對稱，因為有多於一條旋轉軸的重數大於二。下表中，表示一條重軸，即旋轉角為，則表示同樣旋轉角的瑕旋轉軸。所用記號，首先是字母表示的，然後括號內為，然後為及圖，最後是赫爾曼–莫甘記號及倘有的簡寫。

相關的連續群有：
 旋轉群，即所有旋轉的群，亦記作或。
 正交群，所有旋轉和鏡射生成的群，亦記作或。
如無窮等距變換群一節所言，任何物理實體，若有對稱性，則必有對稱性。

軌形記號與階 
若已知群的軌形記號，則可計算其階數，等於除以的歐拉示性數。軌形的歐拉示性數是將減去軌形記號中，各符號特徵數的總和：

無或在之前的，值為；
在之後的，值為；
與計為。
此公式同樣適用於與：對該等群，特徵數之和為，所以階數是無窮大。亦見條目。

反射考克斯特群 

三維反射點群又稱為考克斯特群，能以表示，是交於同一個中心點的若干鏡面反射生成的群。該些鏡面將球面分割成球面三角形區域。若考克斯特群能以少於三個鏡射生成，則該球面三角形退化，變成或半球面。在，該些群是、、、。不可約群的鏡面數是，其中是群的，而是反射方向的秩（維數），等於符號的下標。

旋轉群
有限旋轉群，即的有限子群，僅有：循環群（正稜錐的旋轉群）、二面體群（正稜柱或雙錐體的旋轉群）、（正四面體的旋轉群）、（正八面體或正六面體的旋轉群）、（正二十面體或正十二面體的旋轉群）。

特別地，二面體群、等，是平面正多邊形嵌入到三維空間後的旋轉群。此種薄片也可以視為退化的正稜柱，或稱為二面體，二面體群因而得名。

若物體的對稱類為，則旋轉群為。
若物體的對稱類為，則旋轉群為。
若物體的對稱類屬其他七種多面體對稱，則旋轉群是相應無下標的群，即之一。

當且僅當物體有時，其旋轉群等於整個對稱群。換言之，手性物體就是對稱群在旋轉群列表中的物體。

用、，及括號內的表示，旋轉群是：

旋轉群與其他群的對應 
下列群有點反演：
為偶數時，及、
為奇數時，及（特別地，是僅由點反演生成的群，另有屬於前項）、
。

如上文所述，此種群與所有旋轉群之間，有一一對應：
（為偶）及（為奇）對應。
（為偶）及（為奇）對應。
分別對應。

下列群具有間接（不保定向）的等距變換，但無點反演：
、
為奇數時，及、
為偶數時，及、
。

上述各群分別對應一個旋轉群及其指標的子群，使得該群是由的元素，加上經點反演後的元素得到，如上文所述：
是的指標子群，對應。
是的指標子群，為奇時對應，為偶時則對應。
是的指標子群，為奇時對應，為偶時對應。
是的指標子群，對應。

極大對稱群 
離散點群中，和並非任何其他離散點群的真子群，故謂極大。其公共子群中，最大的是。由此，可以將二重旋轉對稱改成四重而得，亦可加入五重旋轉對稱而得。

類似地，有兩個晶體學點群並非任何其他晶體學點體的真子群：與。視乎方向，其極大公共子群為或。

按抽象群同構分類 
下列若干個表，將前述諸群，按抽象群同構分類。

最小幾個不能表示成三維對稱群的抽象群為：階的四元群、階的、階的，以及十四個階群的其中十個。

下表中，「階元素數」一列，數算三類等距變換子群的總數，是有助分辨抽象群類型的特徵數，而該總數之內，各類等距變換子群的數目，則有助辨別屬同一類抽象群的不同等距變換群。

循環群 
重旋轉對稱的對稱群為。其抽象同構類是循環群，亦可記作。然而，另有兩列對稱群同構於循環群：
對於偶階數，瑕旋轉群（熊夫利記號），生成元為繞某軸的旋轉後關於與軸垂直的鏡面反射。也記為，由點反演生成。
對於奇數，有階數的群。該群有一條重旋轉軸，另有與該軸垂直的鏡射。換言之，群由兩種變換生成，即繞軸的旋轉，及該鏡射。又可記作，僅由一個鏡射生成。

故可總結出下表：（十個循環晶體學點群以粗體標出，其滿足晶體學限制。）

二面群 
二維二面體群有旋轉和反射，但二維反射亦可視為在三維空間中，將不區分正反面的薄片翻轉。

然而在三維，反射與翻轉須作區分。以表示的對稱群，有條二重軸，與重的主旋轉軸垂直，但無反射。是正棱柱、正雙角錐、正角反棱柱、方偏方面體的旋轉群。若略作改動，如在每面加上相同的標記，或稍為改變形狀，則可以使物體具有手性，從而令為其全對稱群。

相應的抽象群類型是二面體群，亦可照樣記為。但除外，還有三個無窮序列的對稱群，同構於二面體群：

，階為，是正稜錐的對稱群；
，階為，是正角反稜柱的對稱群；
對應奇數的群，其階為。當時，等同，已於上文討論，故此處可取。

注意有以下同構：

於是可以整理出下表：（有個晶體學點群用粗體標示，另寫成等價的）

其他 
的階數為，同構於抽象群。在時，等同，已於上小節討論，故本小節僅考慮的情況。

此系列的群可以整理成下表：（其中兩個晶體學點群以粗體強調）

的階數為，同構於抽象群。對於奇數，已於上小節討論，故此處僅考慮階數為的群，其抽象群類別為。（）

此系列的群可以整理成下表：（其中三個晶體學點群以粗體強調）

餘下七個多面體群是：（其中五個晶體學點群以粗體強調）

基本域 

點群的基本域是錐體。若物體有給定的對稱群，則指明物體的某一個基本域變換至哪個基本域，就足以確定該變換。另外，僅從該件物體在一個基本域內的形狀，就足以確定整件物體的形狀。若物體是曲面，則可由其被一個基本域截得的部分確定，該部分亦是（有邊界的）曲面，下稱「基本面」，延伸至基本域的徑向邊界面（即錐體的側面）。但是，若基本面與其他基本面（即基本面在其他基本域的複製），兩者的邊界未能貼合，則需要添加徑向的面或其他曲面，以使各基本面連接成一個整體。若基本面以反射面為界，則必然貼合。

基本面可以取為任意平面被基本域所截的部分，如此得到一個多面體，具有給定的對稱群，如四角化菱形三十面體的每一個面，即為全的一個基本面。若調整該面的方向，則有時可以使相鄰的若干個基本面共面，而合併成同一個面，得到具同樣對稱群的其他多面體，如正十二面體和正二十面體。若基本面的邊界能夠貼合，且基本面的法向量是在基本域內，則所得的多面體為凸多面體。

基本面也可以取為其他形狀，不必在同一平面內，例如可取為若干個不同平面的區域連接而成的曲面。

二元多面體群 

考慮三維旋量群到旋轉群的二重覆疊投映。由於已是單連通，故為僅有的非平凡連通覆疊。

由，與的子群（即旋轉點群）之間有伽罗瓦连接：子群投映到，必為旋轉子群，而反之，旋轉子群的原像亦必為是的子群。注意可以等價描述成特殊酉群，或是單位四元數群，亦屬李群，拓撲上同胚於三維球面。

有限點群的原像稱為二元多面體群，記作，與對應，而名稱則是相應點群的名稱加上「二元」前綴，階數為點群階數的兩倍。例如，的原像，便是。

二元多面體群為：
 : 正邊形的，階數。
 : 正邊形的，階數。
 : ，階數。
 : ，階數。
 : ，階數。
該些群能按，而在二元多面體群作用下的商空間，是。

對於不保定向的點群，情況較複雜，因為有兩個Pin群，所以對應給定的點群，有兩個可能的二元群。

注意前述「覆疊」僅是群的覆疊，而不是多面體空間的覆疊：球面本身單連通，並無非平凡覆疊。所以，並無所謂「二元多面體」覆疊原有的多面體。二元多面體群是旋量群的離散子群，所以若選定旋量群的表示，作用於一個向量空間，則該二元多面體群在該表示下，可能將某個多面體映到自身，例如在映射下，二元多面體群作用為旋轉，與底下的（非二元）群是同一個多面體的等距變換，然而，在或其他表示下，二元多面體群可以作用在不同的多面體上。

二元多面體群不是的對稱群。球面確實覆疊射影空间（以及），故可以考慮射影空間的密鋪，視之為另一種「多面體」，即射影多面體，但是，考慮二元多面體群時，並非取多面體所覆疊的空間，而是取覆疊對稱群的群，所以兩件事不相同。

參見

（空间群列表）
小群列表

參考文獻

外部鏈結
——顯示七個無窮序列的前幾項（跳過），以及其餘七個多面體群之五。

群论
欧几里得对称