垂足三角形

在幾何學上，垂足三角形（）是將一個點投影至三角形的邊上所得到的三角形。

具體地說，考慮一個三角形，選定一個異於頂點的點。通過對三角形的三邊做垂直線，將這些垂直線與的交點分別命名為，則三角形是一個垂足三角形。

性質 

如果不是鈍角三角形，則其垂足三角形的內角角度分別為、、。
若點位於三角形的特殊中心上，則有一些特殊情況：

若是的垂心，則是垂心三角形（）。
若是的內心，則是之內切圓的三個切點。
若是的外心，則是中點三角形。

若點以三角形為基準的三線坐標是，則其垂足三角形的頂點坐標為：

相關定理

西姆松定理 

若點位於的外接圓上，則共線，反之亦然。這條線被稱為垂足線（），又稱為西姆松線（）。

卡諾定理 

六點滿足以下等式：

反垂足三角形 

過作一條垂直於的直線，過作一條垂直於的直線，過作一條垂直於的直線，則這三條直線構成的三角形稱為反垂足三角形（）。在這個反垂足三角形中，設與相對的頂點為，與相對的頂點為，與相對的頂點為。

是在點上的垂足三角形，這也是其名稱的由來。

若點以三角形為基準的三線坐標是，則反垂足三角形的頂點坐標為：

一個特殊的例子是，如果點位於內心，則該反垂足三角形以的三個旁心為頂點。

參考資料 

三角形几何
幾何術語