小角度近似

小角度近似（small-angle approximations）可以在角度以弧度表示，且角度很小的情形下，近似部份三角函数的值：

上述的近似常用在物理学和工程学的各分支學科中，包括力学、电磁学、光学、地图学、天文學和计算机科学。近似的一個理由是可以大幅簡化微分方程的計算，可以用在不需要精確解的情形下。

小角度近似可以用許多的方式說明，最直接的是用三角函數的馬克勞林級數，依照不同，可以近似為或.。

理由

繪圖 
圖1和圖2可以看出此近似的精度。在角度趨近零時，原始函數和近似函數的差也趨近零。

幾何學 

右圖中紅色部份，是斜邊長度和鄰邊長度的差。如圖所示，和幾乎一樣長，意思是接近1，利用可以減去紅色的部份
。

其對邊長度近似於藍色圓弧的長度。根據幾何學，，根據三角函數，和，根據圖上且可得：

簡化後可得

微積分 
利用夾擠定理，可以證明
這是在小角度θ時，近似式的正式敘述。

比較小心的應用夾擠定理可得 ，因此可以得到在小角度θ時，。

最後，利用洛必达法则可得可以整理為，在小角度θ時成立。也可以用倍角公式。令，可得。

代數 

將正弦函數進行馬克勞林展開（在零附近的泰勒展開）可得 

其中是以弧度表示的角度，上式也可以改寫如下：

可以看出在很小時，第二項（三次方項）會非常小。用為0.01為例，第二項的數量級為第一項的 或。因此可以單純的近似為：

另外，因為小角度的餘弦函數接近1，因此正切函數（正弦函數除以餘弦函數）可以表示如下

,

近似的誤差

圖3是小角度近似的誤差，若以誤差在1%為準，以下是各近似函數誤差超過1%的角度：

 ，約為 0.1408 弧度 (8.07°)
 ，約為 0.1730 弧度 (9.91°)
 ，約為 0.2441 弧度 (13.99°)
 ，約為 0.6620 弧度 (37.93°)

和角和差角 
三角恒等式中的和角公式和差角公式，當其中一個角度很小時（β ≈ 0），可以簡化為下式：
{|
|style="text-align:right;"| cos(α + β) ||≈ cos(α) − β sin(α),
|-
|style="text-align:right;"| cos(α − β) ||≈ cos(α) + β sin(α),
|-
|style="text-align:right;"| sin(α + β) ||≈ sin(α) + β cos(α),
|-
|style="text-align:right;"| sin(α − β) ||≈ sin(α) − β cos(α).
|}

應用

天文學 
在天文學上，天體的角直徑多半只有幾個角秒，其角度很小，因此可以用小角度近似。線性大小（）和角直徑（）以及與觀察者距離（）之間有以下的公式：

其中是用角秒表示。

數字是圓用角秒表示的值（），除以。

精確的公式是

若改為，上式也適用。

擺的運動 
在計算擺的势能时，二次餘弦近似非常的好用，可以應用在拉格朗日力学上，找到運動的間接方程（能量方程）。

在計算擺的頻率時，可以用正弦函數的小角度近近，將擺的微分方程轉換為簡諧運動的微分方程。

光學
在光學上，小角度近似是近軸近似的基礎。

波干涉 
正弦和正切的小角度近似可以用在雙縫實驗或衍射光栅中，以簡化計算。

結構力學 
小角度近似常用在結構力學上，特別是和穩定性和分岔分析上（主要是軸向受壓力的柱，是否會產生挫曲的分析）。這部份簡化的程度很大。不過不過用在精確的分析上。

導航 
中的就是以小角度近似為基礎，加上一個弧度近似於60度的事實。

內插 
小角度的和角和差角公式可以在的插值：

例如：sin(0.755)
{|
|sin(0.755) ||= sin(0.75 + 0.005)
|-
| ||≈  sin(0.75) + (0.005) cos(0.75)
|-
| ||≈  (0.6816) + (0.005)(0.7317)
| [sin(0.75)和cos(0.75)的值是由三角函數表求得]
|-
| ||≈  0.6853.
|}

相關條目 
 
 正矢
 外正割

參考資料 

三角学