柯尼希-费舍尔展开

柯尼希-费舍尔展开(Cornish-Fisher expansion)是一种渐近展开式，用于逼近一个概率分布的分位数 。这个展开成立时，它可以比中心极限定理提供更精确的分位数逼近。

每一个Cornish-Fisher展开的成立与否，依赖于其相应的Edgeworth展开的正确性。Cornish-Fisher展开是其对应的Edgeworth展开的逆。

这个展开以E. A. Cornish和著名统计学家R. A. 费舍尔命名，他们于1937年发明该方法。

表达式和系数的计算方法 

最简单的定义Cornish-Fisher展开表达式的方式是待定系数法。假设我们有来自某分布  的独立同分布随机变量  ，现在要估计总体的某个泛函  ，假设  是基于样本的一个估计，并且对该估计，成立以下的  阶Edgeworth展开

 
其中  和  分别是标准正态分布的CDF和PDF，  是  的多项式，余项表示的是一致误差界，即它是精确分布和逼近分布的  距离。

那么对任何给定的  ，枢轴变量  的下  分位数  可以由下列Cornish-Fisher展开逼近：
 

其中  是标准正态分布的下  分位数，系数  从以下的式子以待定系数法逐个解出
 
例如，解第一个方程时，将  代回到Edgeworth展开里，  的解是（唯一的）能消去  阶项的表达式。

性质 
一般来说，Cornish-Fisher展开与它所来自的Edgeworth展开拥有相同的逼近阶数和一致误差项，除非该Edgeworth展开带有跳跃点。

参考文献 

逻辑表达式
统计偏差和离散度