滑動模式觀測器

滑動模式觀測器（Sliding mode observer）是應用滑動模式控制的狀態觀測器，應用滑動模式控制的技術，使觀測器的狀態可以接近受控體的狀態。

滑動模式控制屬於非線性控制，滑動模式觀測器會有非線性高增益觀測器的特性，可以在有限時間內將觀測器的誤差收斂到零。此外，切換模式的觀測器類似卡尔曼滤波，可以允許一些程度的量測雜訊。

線性滑動模式觀測器
以下將线性时不变系统的龍貝格觀測器（ Luenberger observer），修改為滑動模式觀測器。在滑動模式觀測器中，若進入滑動模式，觀測器動態的階數會減一。在以下例子中，單一估測狀態的狀態誤差可以在有限時間內收斂到零。Drakunov最早提出，非線性系統可以建立滑動模式觀測器，讓所有估測狀態的估測誤差都在有限時間（而且是任意短的時間內）收斂到零。

考慮以下的LTI系統

其中狀態向量, 是輸入向量，輸出utput 是純量，等於狀態向量的第一個狀態。令

其中
 是純量，對應第一個狀態對自己的影響
 是-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-向量，對應第一個狀態對其他狀態的影響
 是矩陣，對應其他各狀態彼此之間的影響
 是-{zh-cn:列; zh-tw:行;}-向量，對應其他狀態對第一個狀態的影響 

目的是要設計高增益的狀態觀測器，可以在只有量測資訊的情形下，估測狀態向量。因此，令向量是狀態的觀測值，觀測器的形式為

其中是估測狀態和輸出之間誤差的非線性函數，是估測器增益向量，其作用類似典型的線性狀態觀測器。同樣的，也令

其中是-{zh-cn:列; zh-tw:行;}-向量。另外，令是狀態估測誤差，也就是說。誤差的動態方程為

其中是第一個狀態估測值的估測誤差。可以設計非線性控制律控制滑動流形

使估測量在有限時間內（也就是）追到實際狀態。因此，滑動控制切換函數為

為了要保持在滑動流形上，和需永遠維持異號（在幾乎處處都要成立）。 不過

其中 是所有無法量測狀態估測誤差的集合。為了要確保，令

其中

也就是說，正的常數需大於系統最可能估計誤差的純量。若夠大，可以假設系統會達到（也就是）。因為在流形上是常數（零），也可以推得。因此不連續的控制律可以用等效的連續控制律取代，其中

因此

等效的控制律代表剩下的個狀態對輸出狀態軌跡的貢獻。-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-向量類似以下誤差子系統的輸出向量

為了確保未量測狀態的估測誤差可以收斂到零，需選擇向量使得矩陣是赫維茲矩陣（其特征值實部均為負數）。假設系統有可觀察性，可將視為輸出矩陣（），則系統可以用和一般線性觀測器相同的方式來穩定。也就是說，的等效控制可以提供未觀測狀態的量測資訊，可以連續地將其估測值漸近的趨近實際值。平均來說，不連續的控制律強制量測信號的估測量在有限時間內達到零。而且，平均值為零的對稱量測雜訊（正态分布）只會影響控制律的切換頻率，對等效滑動模式控制律的影響不大。因此，滑動模式觀測器有類似卡尔曼滤波的特性。

最終版本的觀測器為

其中
 
  
 
用切換函數來輔助控制向量，滑動模式觀測器可以用LTI系統來表示。不連續信號視為是雙輸入LTI的一個控制「輸入」。

為了簡化說明，這個例子假設滑動模式估測器可以量測單一狀態（例如，輸出）。用類似的方式也可以用各狀態的加權平均（例如，輸出使用一般的矩陣）來設計滑動模式估測器。此例子中，滑動模式就會是使估測輸出追隨量測輸出，沒有誤差的流形（使的流形）。

非線性滑動模式觀測器
Drakunov曾經提過，可以針對非線性系統設計滑動模式觀測器。此觀測器可以用原始變數的估測值表示，型式如下

 

其中：

 向量將符號函數延伸到維。也就是說
 
 針對向量.
 向量的分量是輸出函數以及其各階李導數。其中
 
 其中是沿著向量場（也就是沿著非線性系統的軌跡）的i階李导数。在此特例中，系統沒有輸入，也沒有相對次數（relative degree）n，是輸出以及其次導數的集合。因為Jacobian線性化的倒數存在（讓觀測器可以有良好定義），的轉換保證是局部的微分同胚。
 增益對角矩陣  會使下式成立
 
 其中，針對每一個，元素 　而且夠大，以保證會碰到滑動模式。
 觀測器向量會滿足下式
 
 其中的是正常對純量定義的符号函数，而是不連續函數在滑動模式下的「等效值運算子」。

概念可以說明如下：依照滑動模式的理論，為了要描述系統特性，只要開始進入滑動模式，函數就需要改為定效的值實務上，函數會高頻的切換，其慢速的成份會和等效值相等。應用適當的低通濾波器可以濾掉高頻成份，得到等效值，其中也會有較多有關估測系統狀態的資訊。以下的觀測器用了幾次上述的作法，在有限時間內會得到非線性系統的狀態。

修改後的估測器誤差以用轉換後的狀態表示。

 
而且

 
因此

 只要, 誤差動態的第一個-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-，會符合在有限時間進入滑動模式的充份條件。
 在表面上，對應的等效控制會等於，因此。只要，誤差動態的第二個-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-，會在有限時間內進入滑動模式。
 在表面上，對應的等效控會等於。只要，誤差動態的第個-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-，會在有限時間內進入滑動模式。

對於足夠大的增益，所有的觀測器估測狀態都會在有限時間內到實際的狀態。只要有確定的上下界，增加，可以在任意時間內讓估測狀態收斂。因此映射是微分同胚（也就是其Jacobian 線性化可逆）可以保證，若估測輸出的收斂，就意味著估測狀態的收斂。因此此要求是可觀察性的條件。

若針對有輸入系統的滑動模型觀測器，會需要額外的條件，其估測誤差和輸入無關。例如

 

和時間無關。則觀測器為

參考資料

控制理論