平滑最大值

平滑最大值是最大值函数的光滑函数。其是一个参数族，在 中，对于每个参数，函数  都是平滑的。参数族内包含最大值函数，并且 当 。 平滑最小值的概念也是类似的。 在大多数情况下，一个族满足两个条件：当参数趋向于正无穷大时为函数变为最大值函数，当参数变为负无穷大时函数变为最小值函数；符号表示为：   当  ， 当 。平滑最大值也可以用于描述行为类似于最大值函数的其他平滑函数，而不一定必须在此参数族中。

例子 

当正值参数较大时，且 ，下列公式是最大函数的平滑函数，可微、近似于最大值函数。 对于绝对值较大的负值参数，其近似最小值函数。 

 

具有以下属性： 

 当 
 是其输入的算术平均值 
 当   

的梯度近似于softmax函数，由以下公式可得：

 

这使softmax函数使用梯度下降的优化时很有用。

LogSumExp 

另一个平滑最大值函数例子是LogSumExp ： 

 

如果都是非负的，可产生定义域是和值域是的函数 ： 

 

项通过消除除零以外的所有零指数使得，以及当为零。

p范数函数 
另一个平滑最大值函数是p范数 ： 

 

当 ，收敛到。 

p范数的一个优点是它是一个范数 。 因此，它是“尺度不变”的（同质的）：  ，它满足三角不等式。

数值方法

平滑函数的其他例子

参见 

 LogSumExp 
 Softmax函数 
 广义均值

参考文献 
 
M. Lange, D. Zühlke, O. Holz, and T. Villmann, "Applications of lp-norms and their smooth approximations for gradient based learning vector quantization," in Proc. ESANN, Apr. 2014, pp. 271-276. (https://www.elen.ucl.ac.be/Proceedings/esann/esannpdf/es2014-153.pdf )
 
集合論基本概念 數學表示法