電荷泵鎖相迴路

電荷泵鎖相迴路（Charge-pump phase-locked loop）簡稱CP-PLL，是一種鉴相器適用於方波輸入信號的鎖相迴路。CP-PLL可以快速的鎖定到輸入信號的相位，可以達到很低的穩態相位誤差。

鉴相器（PFD）

鉴相器（PFD）是由參考信號（Ref）以及受控輸出（VCO）信號的下緣所觸發。PFD 的輸出信號只有三個狀態：0, ,和。
參考信號的下緣會使PFD切換到較高的狀態，若PFD已經在就不會變動。
VCO信號的下緣會使PFD切換到較低的狀態，若PFD已經在就不會變動。
若二個信號的下緣同時出現，PFD會切換到0。

CP-PLL的數學模型
第一個二階CP-PLL的數學模型是由在1980年提出的。M. van Paemel在1994年提出了不考慮VCO過載（overload）的非線性模型，N. Kuznetsov等人在2019年優化該模型。也有學者在推導考慮VCO過載的CP-PLL解析解數學模型。

CP-PLL的數學模型可以針對一些參數進行解析的預估，例如hold-in範圍（在VCO沒有過載的情形下，可能進行鎖相的輸入信號頻率範圍），及捕獲範圍（pull-in range，在CP-PLL任意初始狀態下，CP-PLL最終可以鎖相的輸入信號頻率範圍）。

二階CP-PLL的連續時間線性模型以及加德納的猜想
加德納的分析是以以下的近似為基礎：每個參考信號的周期內，PFD非零的時間區間為

CP-PLL的PDF平均輸出為 

對應的傳遞函數為

若用濾波器傳遞函數以及VCO傳遞函數，可以得到加德納的二階CP-PLL線性近似平均模型:

在1980年以上述的理解，提出了猜想：「實際電荷泵鎖相迴路的暫態響應，預期會和等效傳統PLL的暫態響應幾乎相同。」（加德納對CP-PLL的猜想）。
依照加德納的結果，也類似Egan在type 2 APLL捕獲範圍的猜想，Amr M. Fahim在其書中猜想：為了要達到無限大的捕獲範圍，CP-PLL的迴路濾波器需要使用主動濾波器（Fahim-Egan在type II CP-PLL捕獲範圍的猜想）。

二階CP-PLL的連續時間非線性模型
為了簡化推導，但不失去通用性，假設VCO和參考信號在其相位為整數時為其下降緣。
令參考信號第一個下降緣的時間為。 
PFD狀態會依PFD的初始狀態，VCO的初始相位移，以及參考信號的值而不同。

若利用電阻和電容製作純PI（比例積分）的濾波器，其輸入電流和輸出電壓的關係為

其中是電阻，是電感。
是電容器的電壓。
控制信號會調整VCO頻率：

其中是VCO的自由運行頻率
（也就是)，是VCO增益（靈敏度）、是VCO相位。
最後，CP-PLL連續時間非線性數學模型如下

其中有以下的不連續分段常數非線性

初始條件為.
此模型是非線性、非自主式、不連續的開關系統。

二階CP-PLL的離散時間非線性模型

假設參考信號頻率為常數:

其中、和是參考資料的週期、頻率和相位。

令，
這表示是第一個PFD輸出為0的時間
（若，則）
且是VCO或參考信號的第一個下降緣。
其且，可以定義對應的遞減數列、，其中。

令.
則在時，是非零的常數（）。
令為PFD脈波寬度（PFD輸出為非零長度的時間區間）乘以PFD輸出的正負號： 
 for 
 for 

若VCO的下降緣在參考信號的下降緣之前，則，反之，可得。可以看出二個信號下降緣的先後順序。在區間內，PFD輸出為零，PFD ：
 for .
將變成下式的變數變換 

可以讓參數減至二個：

此處是正規化的相位偏移，是VCO頻率 相對於參考頻率的比例。

最後，不考慮VCO過載的二階CP-PLL離散時間模型如下

其中

此離散時間模型只在有一個穩態，可以估計hold-in範圍和捕獲範圍。

若VCO過載，也就是為零， 
或者是以下的式子  
或
, 
則需要考慮額外的CP-PLL動態特性。
針對任何參數，只要VCO和參考信號的頻率差夠大，就會使VCO過載。
在實務上，需避免VCO的過載。

高階CP-PLL的非線性模型
高階CP-PLL非線性模型推導和超越方程有關，無法求得解析解，需要用近似的方式計算

參考資料 

电路