塞邁雷迪-特羅特定理

塞邁雷迪－特羅特定理為組合幾何的定理，其斷言給定歐氏平面上任意個點和條直線，至多發生

次重合（incidence，即二元組，其中為一點，為直線，且在上）。

此上界已經是最優的上界了，唯一的改進只可能出現在大O符號中隱藏的常數倍數。

考慮隱藏常數的話，、拉多什·拉多伊契奇（Radoš Radoičić）、、四人給出上界。此後，由於交叉數不等式的常數得到改進，塞邁雷迪－特羅特定理的常數也相應得到改進。截至2019年末，最優的常數是。 另一方面，保奇和托特證明，若將上式的常數換成，則不再為重合數的上界。

定理也有以下等價形式：若給定個點和整數，則經過至少個點的直線數至多為

定理得名自塞邁雷迪·安德烈和，其最先的證明較複雜，用到稱為「胞分解」（cell decomposition）的組合技巧。其後，塞凱利·拉茲洛（Székely László）利用圖的交叉數不等式，給出更簡單的證明， 詳見下文。

塞邁雷迪－特羅特定理可推導出若干其他定理，例如重合幾何的和的。

第一形式的證明 
先考慮僅經過至多兩點的直線。該些直線產生的重合數至多為。於是現在僅需考慮餘下的直線，而該些直線每條經過至少三點。

若一條直線上恰有個點，則該些點將直線截斷成條線段（不計首尾僅得一端點的射線）。由於假設（已無須考慮僅經過至多兩點的直線），有，即每條直線截成的線段數至少為其上點數之半。對所有直線求和，可知該些線段的總數亦至少為總重合數之半，從而只需證明

以該點為頂點，並以該條線段為邊建圖。每條線段皆為條直線中某一條的部分，且每兩條直線交於至多一點，故圖的交叉數至多為。再由交叉數不等式知，或者有，或者有。兩者皆推出，從而得到上界

第二形式的證明 
因為過兩點至多只有一條直線，且，所以經過至少個點的直線至多只有條。若很小（小於某個絕對常數），則此上界已足以證明定理的第二形式。於是，以下僅需考慮較大的情況（）。

設經過至少個點的直線恰有條直線，則其上至少有次重合，故由定理的第一形式，得

所以、、三式至少有一式成立。第三式不可能，因為已設為大，所以必有前兩者之一。但經初等運算可知，前兩者皆推出。

取到上界的例子 
若不考慮上界隱含的常數，則塞邁雷迪－特羅特定理的上界已是最優。使重合數達到上界的例子如下：對任意正整數，考慮整數格點集

和一族直線

於是，有個點和條直線。由於每條直線都通過點（每個)對應一點），總重合數為，已達上界。

高維推廣 
及發現定理的高維推廣：給定維空間的點（記其集合為）和個（維）超平面（記其集合為），則和之間的重合數有上界

也可以等價寫成：中通過至少個點的超平面數目至多為

給出了漸近最優的構造，從而上述上界亦不能再改進。

和陶哲軒考慮點和高維代數簇的情況，並在其滿足「某些擬直線（pseudo-line）類公設」的情況下，得到近乎最優的重合數上界。其證明運用到。

複二維平面 
實域上的塞邁雷迪－特羅特定理有若干證明依賴歐幾里得空間的拓撲，所以不能直接推廣到其他域上，塞邁雷迪和特羅特的原證明、多項式分割法、交叉數法皆屬此類，其不能適用於複域上的平面。

托特·喬鮑（Tóth Csaba）將塞邁雷迪和特羅特的原證明推廣到。喬書亞·扎爾（Joshua Zahl）利用另一個方法，也獨立地證明此結論。然而，其所得的上界的隱含常數與實域的情況有異：托特證明了該常數可取為，而扎爾的證明並無給出具體的常數。

若限定點集為笛卡兒積，則和更簡單地證明了塞邁雷迪－特羅特上界仍成立。

有限域上 
在一般域上，塞邁雷迪－特羅特上界不一定成立。例如：取有限域的二維平面上全部個點的集合，又取全部條直線的集合，則每條直線經過個點，故有次重合。另一方面，塞邁雷迪－特羅特上界僅為。此例子說明平凡上界已為最優。

讓·布爾甘、、陶哲軒三人證明，除此例子外，平凡上界可以改進。

有限域上的重合數大致分為兩類：
點數與直線數有一者「遠大於」域的特徵；
兩者與域的特徵相比皆「不太大」。

點集或直線集大的情況 
設為奇質數冪。黎英榮（Lê Anh Vinh）證明，上點與條直線的重合數至多為

且上式並無隱含常數。

點集及直線集皆不大的情況 
設為域，且其特徵為。蘇菲·史蒂文斯（Sophie Stevens）和弗蘭克·德齊烏（Frank de Zeeuw）證明，若（時無需此條件），則上點和條直線的重合數至多為

時，此上界比塞邁雷迪－特羅特上界更優。

若限定點集為笛卡兒積，則其證明以下更佳的上界：證為有限點集，其中，又設為平面上有限條直線的集合。假設，而若特徵為正就再加上條件，則和組成的重合數至多為

此上界為最優。由於平面有，也可以將上述定理中，點和線的角色互換，得到對偶版本，適用於直線集為笛卡兒積、點集任意的情況。

米沙·魯德涅夫（Misha Rudnev）和伊利亞·什克列多夫（Ilya D. Shkredov）研究了點集和直線集皆為笛卡兒積的情況（不論在實域或任意域），給出該情況下重合數的上界。此上界有時優於上列其他上界。

參考資料 

平面幾何
离散数学定理
组合数学
重合幾何