三立方数和

三立方数和问题（）是指丢番图方程是否存在整数解的问题。由于立方数模9同余0、1或-1，三立方数和模9不可能同余4或5，因而这是整数解存在的一个必要条件。然而，对于该条件是否同时为充分条件目前仍未有定论。

小整数例 

时，若存在非平凡的三立方解，则费马大定理找到反例。此时三个立方数中必有两个同号，经移项，就会出现两正整数立方和等于另一正整数立方的情况。由于欧拉早已证明幂次为3的费马大定理，在时的三立方和只有如下平凡解：

时，存在如下解系，有无数解：

以及，

上述表示经缩放可得，任意立方数或立方数的二倍都有三立方和。除上述表示外，也有其他三立方和解系，有如下著名解：

然而，已经证明只在1和2处存在能被四次多项式参数化的解析表示。即便在处，也没有参数化解系。在1953年写道，除了其小整数解，“我对其一无所知”，即：

“我”也不知道为什么这三个数都满足模9同余。2019年9月前，上述两式曾經是長期以來仅有的2組已知解，但就在同一月，發現了第3組解：

计算结果 
1955年起，莫德尔（）等许多学者都尝试过使用计算机寻找该问题的解。对于1000以内的正整数，埃尔森汉斯（）与雅内尔（）于2009年使用诺姆·埃尔奇斯提出的基于格规约的方法找到了范围内的所有解。2016年，于斯曼（）使用同样的方法将搜索上界提升至。到此时为止，的正整数中，33与42以外所有模9不同余4或5的都找到了至少一组整数解。

2019年，采用一种新方法发现了的一组解：

此时，他在的范围里尚没有找到的解。

随后在2019年9月，布克和最终敲定了42的一个解，并在MIT数学系的网站上贴了出来：

这个解的获得在Charity Engine全球网络（）上耗费了130万机时。

至此1到100之間的所有整數都確認了是否有非零整數解。，未能求解最小整数是，如果有解的話，至少有一數大於100000000000。

在2021年1月初，又解決了579：

至此，仅剩的未解決的在1000以內的整数是114、390、627、633、732、921和975，一共有7個。

注释

参考文献 

丢番图方程
数学中未解决的问题