藏本模型

藏本模型（Kuramoto model）是一种用来描述同步的数学模型，由日本物理学家藏本由纪（Kuramoto Yoshiki）首先提出。具体说来，它描述了大量耦合振子的同步行为。这个模型原本是为了描述化学振子、生物振子而构建，后发现具有广泛的应用，例如神经振荡，以及振荡火焰的动力学。惊人的是，一些物理系统的行为也符合这个模型，比如耦合约瑟夫森结的阵列。

这个模型假设，所有振子都是完全相同的或几乎完全相同的，相互之间的耦合很弱、并且任意两个振子之间的相互作用强度取决于它们相位差的正弦。

定义 
在藏本模型最常见的版本中，每个振子都有一个固有的自然频率，并与所有其它振子以相同的强度耦合。惊人的是，在的极限下，通过巧妙的变换并使用平均场方法，这个完全非线性的模型是可以精确求解的。

这个模型最常见的形式由以下方程组给出：

系统由个极限环振子组成，是第个振子的相位，是耦合强度。

也可以在系统中加入噪声。这种情况下，方程变为

其中是涨落，并且是时间的函数。如果考虑白噪声的情况，则：

其中代表噪声强度。

变换 
使得这个模型（至少在的极限下）能够精确求解的变换如下所示：

定义“序”参量

表征了这群振子的相位相关性，是平均相位。方程两边乘以，只考虑虚部得到：

因此振子的方程组就不是显式耦合的；相反，序参量支配了系统的行为。通常还会做进一步的变换，变换到一个转动的坐标系，其中所有振子相位的统计平均为零（即）。最终，方程变为：

大N极限 
考虑的情况。自然频率的分布记为（假设已经归一化）。设在时刻，在所有自然频率为的振子中，相位为的振子所占比例为。归一化要求

振子密度的连续性方程为

其中是振子的漂移速度。

最终，在连续统极限下重新写出序参量。应该用系综平均来代替，求和替换为积分，得到

解 
所有振子随机漂移的不相关态对应均匀分布解。这种情况，振子之间没有关联。系统整体处于统计稳定态，尽管每个振子单独来看都在以自然频率不停运动。

当耦合足够强时，可能会出现完全同步的解。在完全同步态中，所有振子以相同频率运动，但相位可以不同。

部分同步是只有一些振子同步，而另一些振子自由漂移的状态。从数学上来说，对锁相的振子

对漂移的振子，

与哈密顿系统的联系 
耗散的藏本模型包含在某些保守的哈密顿系统中，哈密顿量具有形式：

用正则变换变成作用量-角度的形式，作用量为，角度（相位），在作用量为常数的不变流形上就是藏本动力学。变换后的哈密顿量

哈密顿运动方程为

因为，所以确定的流形是不变的，并且相位动力学就是藏本模型的动力学。这类哈密顿系统描述了某些量子-经典系统，包括玻色-爱因斯坦凝聚。

模型的变体 
模型有两种类型的变体，一种改变模型的拓扑结构，另一种改变耦合函数的形式。

改变拓扑 
除了具有全连拓扑的原始模型，足够稠密的复杂网络拓扑也可以用同样的平均场处理。而对于局域的行为，例如链形或环形网络上的情况，不能再使用经典的平均场方法，所以只能具体问题具体分析，尽可能利用对称性获取解的信息。

改变相位的相互作用 
藏本把两个振子之间的相位相互作用用第1个傅里叶分量来近似，即，其中。通过把高阶傅里叶分量包括进来，可以得到更好的近似

例如，对于弱耦合Hodgkin-Huxley神经元的网络，其同步行为可以用一些振子来表示，这些振子的相互作用函数保留前四阶傅里叶分量。高阶项的引入也能带来有趣的同步现象，例如异宿环、部分同步态、以及奇美拉态。

参考资料 

偏微分方程