U-统计量

U-统计量是统计学中一类特定的、具有对称性的统计量，它在估计理论中扮演重要角色。名称中的“ U”为无偏（unbiased）之意。在初等统计学中，U-统计量与最小方差无偏估计量 (UMVUE) 有密切联系。 

U-统计量的一个重要性是，对概率分布来说，其可估计参数的最小方差无偏估计量 是一个U-统计量。  因此通过研究U-统计量的一般性质，可以系统地了解这些估计量的统计学性质。

U-统计量在非参数统计中尤其重要，不少用于估计和统计检验的统计量，在形式上都是U-统计量。U-统计量通常具有良好的渐近正态性，这方便了基于它的统计推断。 近年来，U-统计量在研究复杂的随机过程和随机网络类型数据的随机性质方面，发挥了作用。 

目前，统计学家们对U-统计量性质的了解，几乎全都基于Hoeffding发表于1948年的经典论文。在这篇论文里，Hoeffding给出了U-统计量最重要的性质——它的ANOVA分解。

定义 
定义  为一个函数，其具有对称性，即交换任意  的位置， 的值保持不变。对随机变量  ，基于  的U-统计量定义如下： 

 

这里， 称为U-统计量的核函数（Kernel function），而核函数的维数  称为该U-统计量的度（degree）。

两样本U-统计量
定义  为一个函数，其对  和  分别具有对称性，即交换任意  的位置或交换任意  的位置， 的值保持不变（但不能随意交换  ）。对随机变量  ，基于  的两样本U-统计量定义如下：

目前在机器学习中，最常见的情形是 ，例如能量距离和最大平均差异（MMD）。

Hoeffding的ANOVA分解定理

定理表述 
Hoeffding的ANOVA分解定理是现代U-统计量理论的基础。为表述该定理，定义：。
对所有  ，定义投影函数：

然后定义正交化投影函数：

，，等等，每一个  都定义为相应的 减去之前定义过的所有 ，直至最后一个函数 ：

Hoeffding的ANOVA分解定理的内容是：

分解项的性质 
所有的正交化投影函数  都满足：

因此，所有的分解项之间是互不相关的，并且度为  的分解项之平均的阶为 .

在大多数应用中，一个U-统计量的ANOVA分解中最重要的是前一项或前两项。根据分解项的性质，可以得到如下的两项ANOVA分解式：

定理应用 
 U-统计量的渐近正态性是Hoeffding的ANOVA分解定理的简单推论。具体而言，有如下结论：记  ，则:

同时，分解定理也指出了应该如何正确地一阶逼近U-统计量的方差，和对其进行t-标准化。

 由该定理出发，在不同强度的假设条件下，可以用一项或两项的Edgeworth展开来高精度地逼近U-统计量的分布。

具体例子 
 度为1的例子：令  ，则U-统计量 是样本均值。 

 度为2的例子：令  ，则U-统计量 

  

称为“平均成对偏差”。 

 另一个度为2的例子：令  ，则U-统计量有如下变形： 

 

这正是人们熟知的样本方差 。 

 度为3的例子：样本偏度定义中的分子项： 

 

展开后可以写成一个U-统计量。

 在机器学习中，用核函数方法进行一样本或两样本非参数统计检验时，检验统计量是一个能量距离或最大平均差异（MMD），两者均为U-统计量或表达式包含两样本U-统计量。

参见
 V-统计量

参考文献 

统计学 
估计理论