居里定律

居里定律是指在顺磁性材料中，材料的磁化强度大致与施加的磁场强度成正比。然而，若加热材料，则比值减小。对于固定场强的磁场，磁化率大致与温度成反比。

其中
是磁化强度
是磁感应强度
是温度，以开尔文为单位
是材料的居里常数

居里定律是在实验中由皮埃尔·居里得到的，它适用于相对高温及弱磁场的条件下。而从其物理本源上推导，则能得到在低温和强磁场条件下，磁化强度趋于饱和的结果，而非由定律预言的持续增加。

用量子力学推导 

顺磁体简单的数学模型可以看作由没有相互作用的粒子组成。每一个粒子都有磁矩。磁场中磁矩的能量由下式给出：

双态 (自旋-½)粒子 

为简化计算，我们将顺磁体内的粒子看作是双态粒子：其磁矩与磁场的方向要么平行要么相反。因此，磁矩的可能值只能是或者 。如果是这样，那么这样的粒子只有两种可能的能量

以及

顺磁体的磁化强度一般意味着粒子磁矩与磁场同向的可能性。换句话说，就是磁化强度的期望值：

其中，每一种情况的概率由其玻尔兹曼因子给出，配分函数为概率提供必要的归一化（即所有这些概率的总和是归一的）。
一个粒子的配分函数是

因此，在双态粒子简单的情形中，我们有

这是单个粒子的磁化强度，固体的总磁化强度由下式给出

其中n是磁矩的数密度。上式被称为朗之万顺磁方程。

皮埃尔·居里（Pierre Curie）在实验中发现：当顺磁体处于相对较高的温度和较低的磁场中，这个定律的近似成立。在值较大且值较小时，上式中双曲正切的自变量减少，即：

上式有时被称为 居里区间. 同时，我们知道如果，那么，因此

因此磁化强度也很小，有，可以得到 

 

更重要的一点是，磁化率由下式给出

 

即
 

其中 居里常数 , 单位 开尔文 (K).

在低温或高场的情况下，趋向于的最大值，对应于所有粒子与场完全对齐。 由于这个计算没有描述嵌入费米表面深处的电子，泡利不相容原理禁止其自旋翻转，所以它没有举例说明这个问题在低温下的量子统计。 根据费米-狄拉克分布，在低温下线性依赖于磁场，因此磁化率饱和到一个常数。

一般情况 

当粒子具有任意自旋（任意数量的自旋状态）时，公式有点复杂。
在低磁场或高温下，自旋遵循居里定律，居里常数

其中 是总角动量量子数， 是 自旋的因子 (例如  是磁量子数)。

对于这个更一般的公式及其推导（包括高场强，低温），请参阅文章：布里渊函数。 当自旋接近无穷大时，磁化公式接近下一节中推导的经典值。

用经典统计力学推导 
当顺磁子被想象为经典的、自由旋转的磁矩时，适用另一种处理方法。在这种情况下，它们的位置将由它们在球坐标中的角度确定，其中一个粒子的能量是

其中  是磁矩和磁场之间的角度（假设磁场指向轴）。对应的配分函数为

可以看出上式中被积函数对  角没有依赖性，令  以获得

现在，磁化强度的分量的预期值（另外两个被视为零，由于在上的积分），由下式给出

为简化计算, 可以将其写作微分：

（这种方法也可以用于上面的模型，但计算非常简单，所以没有那么有用。）

继续推导发现 

其中  是郎之万函数:

对于小 ，此函数似乎是奇异的，但事实并非如此，因为两个奇异项相互抵消。事实上，它对小参数的极限是，因此居里极限也适用，但在这种情况下，居里常数要小三倍。同样，对于其参数的较大值，函数在  处饱和，并且同样会恢复相反的极限。

参见
居里-韦斯定律

参考资料

磁学
皮埃尔·居里