解析容度

在复分析中，复平面的紧子集K的解析容度（analytic capacity）是一个标志了上的有界解析函数可以有“多大”的数。粗略地说，解析容度测量了上的有界解析函数所组成的空间的单位球的大小。

这个概念最早由阿尔福斯在1940年代研究有界解析函数的奇点的可去性时引入。

定义 
紧集的解析容度定义为

其中，表示有界解析函数组成的集合。此外，

注意如果令，则有。但是，一般来说。

对任意集合，定义

其中K取遍所有包含于A的紧集。

可去集与潘勒韦问题 
设K是紧集，若对任意包含K的开集，集合上的有界全纯函数都可以解析延拓到整个上，则称K是可去集。根据黎曼可去奇点定理，单点集都是可去的。这启发保罗·潘勒韦于1880年提出了一个更一般的问题：“的哪些子集是可去的？”

容易看出，K是可去的当且仅当。然而，解析容度是纯复分析的概念，要得到更多的几何特性描述还有许多工作要做。

阿尔福斯函数 
对紧集，存在唯一的极值函数，即使得。这个函数称为K的阿尔福斯函数。

解析容度与豪斯多夫维数 
用表示豪斯多夫维数，表示1维豪斯多夫测度。则蕴含，而保证了。然而，

与的情况要复杂得多。

长度大于0而解析容度等于0的例子 
之前给出了紧集的1维豪斯多夫测度与解析容度的部分对应关系，据此可以猜想蕴含。然而，这个猜想是错的。A. G. Vitushkin首先给出了反例，J. Garnett又给出了简单得多的例子。后者给出的构造如下：

设是单位正方形。然后是4个边长1/4的正方形的并，这4个小正方形分别位于的四个角。以此类推，是个边长为的正方形（记做）的并，每个位于某个的一角。令K是所有的交，则，但是。

Vitushkin猜想 
设是紧集，Vitushkin猜想叙述为

其中表示在方向上的正交投影。根据上面的结果，当时，Vitushkin猜想为真。

Guy David于1998年证明了Vitushkin猜想在且的情况。2002年，Xavier Tolsa证明了解析容度是半可数可加的（countably semiadditive）。即，存在常数使得对紧集（其中是博雷尔集），

David与Tolsa的定理合起来能推导出，当K关于是σ有限的时，Vitushkin猜想为真。可是，对于不是σ有限的1维的K，这个猜想仍然有待解决。

参考资料 

 Mattila, Pertti (1995). Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Cambridge University Press. ISBN 0-521-65595-1.
 Pajot, Hervé (2002). Analytic Capacity, Rectifiability, Menger Curvature and the Cauchy Integral. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag.
 J. Garnett, Positive length but zero analytic capacity, Proc. Amer. Math. Soc. 21 (1970), 696–699
 G. David, Unrectifiable 1-sets have vanishing analytic capacity, Rev. Math. Iberoam. 14 (1998) 269–479
 Dudziak, James J. (2010). Vitushkin's Conjecture for Removable Sets. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 978-14419-6708-4.
 Tolsa, Xavier (2014). Analytic Capacity, the Cauchy Transform, and Non-homogeneous Calderón–Zygmund Theory. Progress in Mathematics. Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-319-00595-9.

解析函数