弗罗比尼乌斯内积

在数学中，弗罗比尼乌斯内积是一种基于两个矩阵的二元运算，结果是一个数值。它常常被记为。这个运算是一個將矩陣視為向量的逐元素内积。参与运算的两个矩阵必须有相同的维度、行数和列数，但不局限于方阵。

定义

给定两个n×m维複矩阵 A和B：

弗罗比尼乌斯内积定义为如下的矩阵元素求和

其中上划线表示复数和複矩阵的共轭操作。若將定義詳細寫出，則有

此計算與點積十分相似，所以是一個內積的範例。

性质

弗罗比尼乌斯内积是半双线性形式。给定複矩阵A, B, C, D, 以及复数a和b，我们有

并且，交换複矩阵的次序所得到的是原来结果的共轭矩阵：

对于相同的矩阵，有

样例

实矩阵

给定实矩阵：

则：

复矩阵

给定复矩阵

那么它们的共轭 (非转置) 矩阵为

因此，

但注意

A、B与其本身的弗罗比尼乌斯内积分别为

弗罗比尼乌斯范数

从弗罗比尼乌斯内积我们可以诱导出弗罗比尼乌斯范数

參考資料

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