波尔文积分

波尔文积分（）是一种由波尔文父子发现的性质特殊的积分，常用于作为看似存在的数学规律最终失效的例子。2001年，和共同发表了这个涉及sinc函数的积分。

常见的例子为：
 

这种规律一直到 
 
都是成立的。

但是到了下一个数，这个规律就突然失效了：

公式 

对于给定的一系列非零实数，即，可以给出的封闭公式形式。为了计算这个公式，其中需要做的就是计算含有相关的量之和。特别的，设即由构成的元组，于是可以写成即有关的各种加减形式的总和，并且令（其结果为）。基于上述定义，可以得到该积分的值为：

 

其中：

 

在这里如果，那么有。

进一步地，如果存在一个对于每个总有成立，并且有，即为首次超过的前几项之和时的元素数量，即当时有，但在其他情况时：

在这里令，即当时，此时但是，又由于，于是该公式成立（并且移去其中任何因子也成立）：

 

但在另一方面，则有：

 

即与前面给出的公式的结果相同。

参考资料 

积分
数学反例