双体模型

在统计力学和图论中，双体模型（dimer model）是二维空间密鋪的模型，也称为骨牌密鋪（Domino tiling，多米诺密鋪）或随机密铺模型（random tiling model）。这也是平方格子的完美匹配。

介绍 
若有  平方格子G、以及 把骨牌，覆盖数量或密铺数量是

K是G的邻接矩阵。 Z也是统计力学的配分函数。

例如：

 格子：是斐波那契数列 
，可以使用普法夫值计算Z 

若G是环面，则

。

其中Z依赖同调、C是卡塔兰常数。

阿兹特克钻石与北极圈现象 
Z也依赖格子的边界（参看）。阿兹特克钻石表示所谓的「北极圈的现象」（Arctic circle phenomena），即边界看起来很同质（冰冻地区），但是中间的“北极圈”不同质（非冰冻地区）。可以使用高度函数解释这个现象。

这些文章有更多阿兹特克图：

http://faculty.uml.edu/jpropp/tiling/www/intro.html

高度函数 
一个密铺定义一个0微分形式（函数）：

s是自旋（参看易辛模型）、v是顶点。那么可以定义一个1-形式：

这个形式是闭形式。注意上面的形式不等于0因为G是二分图。也定义密铺函数

若双体e存在，，不然等于0。高度差函数是

这个函数定义一个的随机函数。这也是闭形式。的确威廉·瑟斯顿表示了若真的是密铺函数，这是一个必要条件。h是高度函数。

NxN平方格子的高度函数在中间逼近O(N)。但是阿兹特克钻石的高度函数逼近h的平均值。的确，CKP定理说h最小化一个熵（或热力学自由能）的泛函（变分法）：

共形场论

高斯自由场 
双体模型的缩放极限（即高度函数的缩放极限是高斯自由场），高斯自由场是一种二维布朗运动。所以成为二维纯量场。

若G是一定的加权图，K的缩放极限是反全纯导数 。 若

f是“反全纯函数”。再说 f 是调和函数（和谐函数）。这是因为是调和矩阵（harmonic matrix）。

非冰冻地区描述一个极限形（limit shape），比如这张文章描述一个心脏线：（跟代数几何有关）。高斯自由场也许描述这些极限形。2020年这还是未解决的问题。

数学家知道极限形满足一个类似伯格斯方程（）的椭圆型偏微分方程。这些极限形可以相似极小曲面的魏尔斯特拉斯-恩内佩尔参数化。

传播子 
邻接矩阵的反函数是一种格林函数。

是传播子（量子场论）。 可以表示这等于狄利克雷问题的核子

由于维克定理，

相关条目 
其他骨牌模型

双体，双体模型描述有些很简单的化学和物理学的系统
疊蓆，日本式的骨牌密铺
肢解國際象棋盤問題
王氏砖

平面图

量子场论

高斯自由场
玻茨模型
渗流理论
相变、临界现象
 Fisher格子：参看韩文版图（https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9D%B4%ED%95%A9%EC%B2%B4_%EB%AA%A8%ED%98%95）

参考文献

阅读 

 R. Baxter, Exactly solved models in statistical mechanics. Academic Press.
Olivier Bodini, Matthieu Latapy. Generalized Tilings with Height Functions // Morfismos. — 2003. — Т. 7, вып. 1. — С. 47–68. — ISSN 1870-6525.
 F. Faase. On the number of specific spanning subgraphs of the graphs G X P_n // Ars Combin.. — 1998. — Т. 49. — С. 129–154.
 J. L. Hock, R. B. McQuistan. A note on the occupational degeneracy for dimers on a saturated two-dimenisonal lattice space // Discrete Appl. Math.. — 1984. — Т. 8. — С. 101–104. — DOI:10.1016/0166-218X(84)90083-0.
 P. W. Kasteleyn. The statistics of dimers on a lattice. I. The number of dimer arrangements on a quadratic lattice // Physica. — 1961. — Т. 27, вып. 12. — С. 1209–1225. — DOI:10.1016/0031-8914(61)90063-5. —Bibcode: 1961Phy....27.1209K..
 Richard Kenyon. Directions in mathematical quasicrystals / Michael Baake, Robert V. Moody. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2000. — Т. 13. — С. 307–328. — ISBN 0-8218-2629-8.
 Richard Kenyon, Andrei Okounkov. What is … a dimer? // Notices of the American Mathematical Society. — 2005. — Т. 52, вып. 3. — P. 342–343. — ISSN 0002-9920..
 David Klarner, Jordan Pollack. Domino tilings of rectangles with fixed width // Discrete Mathematics. — 1980. — Т. 32, вып. 1. — DOI:10.1016/0012-365X(80)90098-9..
 Richard J. Paving rectangular regions with rectangular tiles: tatami and non-tatami tilings. — 2013.
 Lambda-determinants and domino-tilings // Advances in Applied Mathematics. — 2005. — Т. 34, вып. 4. — С. 871–879. — DOI:10.1016/j.aam.2004.06.005. — arXiv:math.CO/0406301..
 Frank Ruskey, Jennifer Woodcock. Counting fixed-height Tatami tilings. — 2009. — Т. 16, вып. 1. — С. R126.
 James A. Sellers. Domino tilings and products of Fibonacci and Pell numbers // Journal of Integer Sequences. — 2002. — Т. 5, вып. Article 02.1.2..
 Richard P. Stanley. On dimer coverings of rectangles of fixed width // Discrete Appl. Math. — 1985. — Т. 12. — С. 81–87. — DOI:10.1016/0166-218x(85)90042-3.
 W. P. Thurston.（威廉·瑟斯顿）Conway's tiling groups. — American Mathematical Monthly. — Mathematical Association of America, 1990. — Т. 97. — С. 757–773. — DOI:10.2307/2324578..
 David Wells. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. — London: Penguin, 1997. — С. 182. — ISBN 0-14-026149-4..
 H. N. V. Temperley, Michael E. Fisher. Dimer problem in statistical mechanics-an exact result // Philosophical Magazine. — 1961. — Т. 6, вып. 68. — С. 1061–1063. — DOI:10.1080/14786436108243366.
 Erickson, Alejandro; Ruskey, Frank (2013), "Domino tatami covering is NP-complete", Combinatorial algorithms, Lecture Notes in Comput. Sci., 8288, Springer, Heidelberg, pp. 140–149, arXiv:1305.6669, doi:10.1007/978-3-642-45278-9_13, MR 3162068

统计力学
图论