二次互反律的证明

这个条目给出了二次互反律的证明。

二次互反律的叙述 
对于两个奇素数，。其中，是勒让德符号。

证明一 
设是一个奇素数并且。对于每个，这样定义和：

，其中，。通过分别考虑和的情况，易证每个都两两不等。

现在考虑。因为每个都两两不等，所以就是的一个重排列。所以我们得到，因此。

现在考虑的正负情况。等价于。若，则有。注意到，将等式两边同时乘2得到，其中，可以发现是偶数，而也是偶数。同理可证若，，而是奇数。据此，可以知道，其中是的符号，也就是还是。

所以。又由欧拉准则知，所以。

如果是奇数，同时考虑勒让德符号的性质，可知，其中最后一步利用了等差数列的求和公式。

但是，当时，由上式可得，所以。

现在令和为奇素数，可得以及，

所以。

现在考虑右边这幅图：设，则代表了三角形A中的格点个数，代表了三角形B中的格点个数。它们加在一起等于整个长方形的格点个数的四分之一。需要注意的是由于互素，所以对角线上不可能有格点。

由于整个长方形的格点个数是，所以，即得。

参考文献