反推控制

反推控制（backstepping）也稱為反演控制或反步法，是一種控制理论的技術，在約1990年時由等人提出，針對特殊形式的非線性动力系统設計可以稳定系統的控制器。此一系統是由許多子系統一層一層組成，最內層的子系統不可再簡化，可以由其他方式穩定最內層的系統。由於此系統的递归結構，設計者可以以最內層可穩定的系統為啟始點，反推新的控制器來穩定較外層的子系統，此程序會一直進行到處理到最外層的外部控制命令為止。因此此方式稱為是「反推控制」''。

反推控制的設計方式 
反推控制的設計方式可以針對的系統，提供一種递归方式使其在原點可以稳定。考慮以下型式的动力系统

其中
 ，其中。
 是純量。
 是系統的純量輸入
 在原點處數值為零（也就是說）
 是在關注區域內不為零（也就是，在的情形下）

另外假設系統

在原點處有李雅普诺夫稳定性，可以用某種已知的控制方式使得。並且假設針對此穩定子系統，可以其李亞普諾夫函數 。因此子系統可以由其他方式穩定，利用反推控制可以將其穩定性延展到在外圍的。

在的穩定子系統外圍的嚴格回授型式系統
 反推控制的控制輸入對狀態有最直接的穩定性效果。
 狀態的作用是在狀態之前的穩定性控制。
 此程序會繼續，使每一個狀態會都會被虛擬的控制信號所穩定。

反推控制會確認用要穩定子系統的方式，接著再由下一個狀態來驅動狀態，使其產生可以穩定的信號。因此此程序是從的嚴格回授型式反推往外，一直到設計到最終的控制信號。

递归控制设计概述 
递归控制的作法如下

 假設較小（低階）的子系統

已經可以用一些控制方式穩定，此控制方式會符合的條件。意思是說，穩定此系統的，是用其他控制方式達成的。也假設已知此一穩定系統的李亞普諾夫函數 。反推控制可以將這個子系統的穩定性拓展到較大的系統。
 會設計控制信號，使得系統

穩定，讓依照想要的控制方式進行。此控制器是依照擴充李亞普諾夫候選函數（augmented Lyapunov function candidate）來設計

此控制信號可以適當選擇，使可以遠離0
 會設計控制信號，使得系統

穩定，讓依照想要的控制方式進行。此控制器是依照擴充李亞普諾夫候選函數來設計

此控制信號 可以適當選擇，使可以遠離0
 會反覆此一程序，一直到其實際已知為止，而且
 真實控制信號會使接近虛擬控制信號的控制得以穩定。
 虛擬控制信號會使接近虛擬控制信號的控制得以穩定。
 虛擬控制信號會使接近虛擬控制信號的控制得以穩定。
 ...
 虛擬控制信號會使接近虛擬控制信號的控制得以穩定。
 虛擬控制信號會使接近虛擬控制信號的控制得以穩定。
 虛擬控制信號會使穩定在原點。

此程序稱為反推（backstepping），因為是從內部穩定的子系統開始，漸漸反推到較外圍的系統，同時維持每一步的穩定性。因
 在時為0
 在不為0
 給定控制信號會滿足,
因此所得的系統在原點（, , , ..., 及）處穩定，是全域漸進穩定。

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參考資料

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