最佳投影方程

最佳投影方程（optimal projection equations）是控制理论中，建構局部最佳降階LQG控制器的充分必要条件。

LQG控制（線性二次高斯控制）問題是最优控制領域中最基礎的問題之一，這問題包括了存在不確定性的線性系統，受到加性高斯白噪声的影響，沒有完整的狀態資訊（無法量測到所有的狀態變數，也無法透過回授得知），對應二次的成本泛函。不過存在唯一解，而且可以建構線性動態回授的控制律，易於計算以及實現。而LQG控制器也是非線性系統中最佳擾動控制的基礎。

LQG控制器的架構會類似要控制的系統，兩者會有相同的維度。因此若系統本身就是高維度，要實現（全階）LQG控制器會很困難。降階LQG問題（固定階LQG問題）事先固定LQG控制器的階數，因此克服了這個困難。不過在全階LQG控制器中適用的分離原理，在降階LQG問題中已無法適用，因此這方面會更困難，而且其解也不唯一。不過可以找到數值分析的演算法來求解對應的最佳投影方程。

問題的數學表示以及其解

連續時間
降階的LQG控制問題幾乎和全階的LQG控制問題相同。令表示降階LQG控制器的狀態，唯一的差異是LQG控制器的狀態維度是事先定義好的值，比受控系統的狀態維度要少。

降階LQG控制器可以表示為下式：

 

 

上述公式刻意寫的類似傳統全階LQG控制器的形式，降階的LQG控制問題也可以改寫為下式：

 

 

其中

 

降階LQG控制器的矩陣和是由所謂的最佳投影方程（optimal projection equations、OPE）來決定。

維的最佳投影方陣是OPE的核心。此矩陣的秩在所有狀態下幾乎都等於。相關投影為斜投影（oblique projection）：。最佳投影方程包括四個矩陣微分方程。前二個是LQG控制器對應的矩陣Riccati微分方程的擴展。在方程式中表示，而為維的單位矩陣

 

 

若LQG的維度沒有減少，也就是，則，上述二個方程就是二個沒有耦合的矩陣Riccati微分方程，對應全階的LQG控制器。若，則兩個方程會有斜投影項。這也是為何降階的LQG控制器無法分離的原因，斜投影是由另外二個矩陣微分方程所決定，其中也和秩的條件（rank conditions）有關。這四個矩陣微分方程組成了最佳投影方程。為了要列出另外二個矩陣微分方程，先定義以下二個矩陣：

 
 

 
 

則最後二個矩陣微分方程如下：

   almost everywhere,

  almost everywhere,

其中

 

此處的 * 表示群廣義逆矩陣（group generalized inverse）或，是唯一的，定義如下

 

其中 + 是摩尔－彭若斯广义逆.

矩陣都需要是非負對稱矩陣。可以建構最佳投影方程的解，而此解可以決定降階LQG控制器矩陣和：

 

 

 

 

上式中的矩陣是符合以下性質的矩陣：

 幾乎在所有狀態下。

可以由的投影分解中得到：

若降階LQG問題中的所有矩陣都是非時變的，且最終時間（horizon）趨近無限大，則最佳降階LQG控制器和最佳投影方程也都會是非時變的。此情形下，最佳投影方程左側的微分項會為零。

離散時間
離散時間的情形類似連續時間的例子，要處理的是將階傳統離散時間全階LQG問題轉換為事先已知固定階數的階降階LQG控制器。為了要表示離散時間的OPE，先引入以下二個矩陣：

 
 

 
 

則離散時間OPE為

 .
 .
  almost everywhere,
 almost everywhere.

斜投影（oblique projection）矩陣為
 

非負對稱矩陣是離散時間OPE的解，也決定了降階LQG控制器的矩陣 and ：

 

 

 

 

在上述的方程中，矩陣是有以下性質的矩陣：

 幾乎在所有狀態下。

這些矩陣可以從的投影因式分解中求得。

如同在連續時間中的例子一樣，若問題中所有的矩陣都是非時變，且且最終時間（horizon）趨近無限大，降階LQG控制器就會是非時變的。因此離散時間OPE會收斂到穩態解，決定非時變的降階LOG控制器。

離散時間OPE也可以應用在狀態維度，輸入維度或是輸出維度可變的離散時間系統（具有時變維度的離散時間系統）。若在數位控制器中的取樣是不同步的，就可能會出現這類的系統。

參考資料

最佳控制
控制理论
隨機控制