二次变差

在数学中，二次变差（）用于分析随机过程，例如布朗运动和鞅。二次变差是变差的一种。

定义 
设是定义在概率空间上的实值随机过程，时间t取非负实数。其二次变差也是一个随机过程，记做，定义为

其中P取遍区间[0,t]所有的划分，范数等于P中最长的子区间的长度，极限使用依概率收敛来定义。

更一般地，两个过程X和Y的协变差（或称互变差）为

用极化恒等式可以把协变差用二次变差表示出来

有限变差过程 
随机过程X如果在任意有限区间上都是有界变差的（以概率1成立），则称X是有限变差的。这样的过程非常常见，尤其是包括所有的连续可微函数。对所有的连续有限变差过程，二次变差都存在且等于0。

这个结论可以推广到不连续的情况。对右连左极的有限变差过程，其二次变差等于间断点处跳跃值的平方和。具体来说，记X在t处的左极限为，X在t处的跳跃记为。则二次变差为

要证明连续的有限变差过程的二次变差为0，需使用以下不等式，其中P是区间[0,t]的划分，是X在[0,t]上的变差。

由X的连续性，这在趋于0时的极限也趋于0。

伊藤过程 
标准布朗运动的二次变差存在，为。这可以推广到伊藤过程。根据定义，伊藤过程可以用伊藤积分表示为

其中B是标准布朗运动。这样的过程，二次变差为

半鞅 
可以证明所有的半鞅都有二次变差和协变差。这是随机微积分理论的重要部分，出现在伊藤引理中。二次协变差也出现在分部积分公式中

这可用来计算[X,Y]。

上式也可写成随机微分方程的形式：

其中

鞅 
右连左极鞅和局部鞅的二次变差都有定义，因为它们都是半鞅。局部平方可积鞅M的二次变差[M]是从0开始的右连续的增过程，跳跃值，使得是局部鞅。Karandikar-Rao(2014)给出了[M]存在的一个证明（不使用随机微积分）。

平方可积鞅有一个有用的结论，可用来计算伊藤积分的变差

只要M是右连左极平方可积鞅且H是有界可预测过程，这个结论总是成立的，常用于构造伊藤积分。

还有一个重要结论是Burkholder-Davis-Gundy不等式，用二次变差给出了鞅的最大值的上下界。对从0开始的局部鞅，最大值记为，对任意实数

式中是依赖于p的常数，但不依赖于选取的鞅M和时间t。若M是连续局部鞅，则不等式对任何p>0都成立。

另一种变差，可预测二次变差有时用于局部平方可积鞅，记做，定义为从0开始的右连续且递增的可预测过程，使得是局部鞅。其存在性可由Doob-Meyer分解定理得到。对连续局部鞅，可预测二次变差就等于二次变差。

另见 

 总变差
 有界变差

参考资料 

 Protter, Philip E. (2004), Stochastic Integration and Differential Equations (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3-540-00313-7
 Karandikar, Rajeeva L.; Rao, B. V. (2014). "On quadratic variation of martingales". Proceedings - Mathematical Sciences. 124 (3): 457–469.

随机过程