環索線

环索线（strophoid）是几何学中的一種曲線，由給定曲線C、點A（固定點）及點O（極點），依以下方式產生：令L是通過O，和曲線C的交點為K的變動直線。令P1和P2是直線L上的兩點，這兩點和K的距離和A到K的距離相同（因此A、P1、P2在圓心為O為圓上）。P1、P2的轨迹即為曲線C的环索线，相對於極點O及固定點A。
其中AP1和AP2會呈直角。

若C是直線，A在C上，而O不在C上，此曲線稱為斜環索線（oblique strophoid）。若OA和C垂直，此曲線則稱為正環索線（right strophoid），正環索線也稱為logocyclic curve或葉狀線（foliate）。

方程式

極坐標
令曲線C的極坐標方程為，其中原點為O，令A的直角坐標為(a, b)，若是曲線上的一點，K到A的距離為
.
在OK線上的點，其極座標角度為，線上和點K距離為d的點，和原點的距離為。因此，環索線的方程如下

另一種極座標公式
若C是極點為O和A的時，可以用以下的極座標公式。

令O為原點，A為點(a, 0)，令K為曲線上一點，線OK和X軸的夾角為，而 是線AK和和X軸的夾角。假設可以表示為的函數，假設。令是K的角度，則。可以用正弦定律，將r用l來表示。因為
。

令P1和P2是OK線上和K點的距離等於AK的點，調整編號使，且。是頂角為的等腰三角形，剩下的兩角和角度為。AP1線和x軸角度為 
。

同理可得AP2和x軸的角度為 
.

環索線的極座標式可以表示以下有l1及l2的式子：

若l是，曲線C是極點為O和A的麥克勞林分角線，此時，l1和l2會有相同的型式，因此環索線可以是另一個麥克勞林分角線，或是一對這類的曲線。若原點往右移a的位置，也會有較簡單的極座標方程。

特例

斜環索線
令C是通過A點的直線。依照上式的表示法，，其中為常數，則且。相對原點O點環索線的極座標（斜環索線）方程為

以及
.
可以確定上式二式描述的是同一條直線。

將原點移到A點，用−a代替a，可得
,
旋轉角度後可得
.

在直角坐標系，調整常數的參數，可得
.
是三次曲線，在極座標下是有理函數，其叉點在(0, 0)，漸近線為直線y=b。

正環索線

將代入下式

可得
.
此即為正環索線，對應直線C為y軸，A點為原點，O點為點(a,0)的情形。

笛卡尔坐标系方程為 
.

此曲線為笛卡儿叶形线，直線x = −a是二個分支的渐近线。此曲線還有二條漸近線，分別是複數平面上的
。

圓
令圓C是通過O和A的圓，其中O為原點，A的座標為(a, 0)。依以上的表示法，，其中是常數。則以及，所得相對於圓O環索線（oblique strophoid）的極座標方程為

及
.
這是二個通過O和A，在C點形成角度的圓。

相關條目
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參考資料

外部連結

曲線