双蛋问题

双蛋问题（）是一个经典的算法问题，它经常被描述为“给你两个相同的异常坚硬的鸡蛋，通过在一栋100层的楼的不同层扔下鸡蛋进行实验，试验出可以摔碎该鸡蛋的最高楼层（临界楼层）。已知未碎的鸡蛋可以重复使用。求最少的实验次数n,使得在n次实验后，一定能判断出该临界楼层。”

该问题可以扩展为这样一类问题： 在N个鸡蛋，k层楼的条件下，找到一个最小的m，使得存在一种方案，在m次实验以后，一定能找到鸡蛋的临界楼层。

问题假设
为了更加精确地思考问题，该问题中必须满足以下的条件：
如果鸡蛋在某一层没有碎,它不会在任何更低层的破碎。
如果鸡蛋在某一层碎了，它在更高层上一定会碎。
鸡蛋可能在一楼摔破，也可能在最高层还不摔破。

解决方案
此时，你有2个鸡蛋，楼高100层。我们可以先思考有1个鸡蛋和有无数个鸡蛋的情况。

1个鸡蛋
此时，由于只有一个鸡蛋，所以一旦破碎，那么就无法继续进行试验，我们只能从第1层开始，一层一层地实验。在这种情况下最多需要99次实验。

无数个鸡蛋
容易的解决方案是二分法，  ,所以如果我们有无数个鸡蛋，我们最多只需要7次就可以试验出。比如，先在64楼扔一次鸡蛋，如果碎了，那就到32层扔第二次，如果第二次扔鸡蛋又碎了，再到16层去扔第三次，如果这次没有碎，那你可以再到第24层去扔第四次，又没碎，那就去28层扔第五次，还是没有碎，再到30层扔第六次，这次又碎了，再到29层扔第七次，第七次碎了，那么临界楼层就是第28层，第七次没碎，临界楼层就是第29层。所以无数个鸡蛋最多只需要7次就可以实验。

两个鸡蛋
借助于二分法提供的分组思想，我们可以尝试将100平均分成10组，用第一个鸡蛋在每组最后一层进行实验，这样可以实验出临界楼层在哪一组。然后再用第二个鸡蛋从该组第一层依次实验。这种方案的最坏情况是19次。

我们发现，如果19层是临界楼层，只需要实验11次，而如果临界层是99层，就需要实验19次。因此我们是否可以将19次平均到11次-{zh:里;zh-hans:里;zh-hant:裡;}-一部分？为此，有以下方案，第一组人，第二组人,第三组人,……第x组1人，考虑到，解得，所以时，最多需要14次便可以找出临界楼层。

推广问题
下面是双蛋问题的几个推广问题。

2个鸡蛋，k层楼
类似于之前的方法，只需要即可，可以求出（参见取整函数、高斯符号）

n个鸡蛋，k层楼
让我们定义一个函数,表示有个鸡蛋，通过次实验就一定能够判断出临界楼层的最大楼层。 如果鸡蛋打破,我们将能够将临界楼层范围缩小到f(d−1,n−1)层；否则我们将能够把范围缩小到 f(d-1,n)层。 

因此，。这只是一个递归关系，而我们必须找到一个函数 f(d,n)。 

因此,我们将定义一个辅助函数

根据我们的第一个方程

函数可以写成（参见二项式系数）

但是我们有一个问题：根据之前的关系和，对于任何，以及都是。然而,在时会发生矛盾，因为，但对于每一个，应该是! 

我们可以通过重定义修复这个问题如下：

递归是仍然有效。

现在，展开f(d,n),我们可以把它写成

我们知道,因此

我们也知道

因此，

最后，

我们知道是所有最少实验次数为的总楼层数中最大的一个，我们只要找到一个满足以下条件即可：

使用我们最后的公式,

让我们来试验一下:

因此有

所以我们如果有三个鸡蛋，可以保证在9次实验之内找到临界楼层。

其他方法
除了解析法之外，最常见的方法是递归法。

想象以下情况：n个鸡蛋，k层楼，然后你把鸡蛋在连续的h层中的第i层进行试验。

如果鸡蛋打破：这个问题会减少为n-1鸡蛋和 i-1个剩余楼层的问题；如果不打破：这个问题会减少为n鸡蛋和h-i个剩余楼层的问题。
现在我们可以定义一个函数计算所需的最小实验次数：

我们可以编写上述结果为确定找到下面的递归:

以下代码由C++编写

#include <iostream>
#include <iostream>
#include <limits.h>

using namespace std;

//Compares 2 values and returns the bigger one
int max(int a,int b) {
    int ans=(a>b)?a:b;
    return ans;
}

//Compares 2 values and returns the smaller one
int min(int a,int b){
    int ans=(a<b)?a:b;
    return ans;
}

int egg(int n,int h){

    //Basis case
    if(n==1) return h;
    if(h==0) return 0;
    if(h==1) return 1;

    int minimum=INT_MAX;

    //Recursion to find egg(n,k). The loop iterates i: 1,2,3,...h
    for(int x=1;x<=h;x++) minimum=min(minimum,(1+max(egg(n,h-x),egg(n-1,x-1))));

    return minimum;
}

int main()
{
    int e;//Number of eggs
    int f;//Number of floors

    cout<<"Egg dropping puzzle\n\nNumber of eggs:";

    cin>>e;

    cout<<"\nNumber of floors:";

    cin>>f;

    cout<<"\nNumber of drops in the worst case:"<<egg(e,f);

    return 0;
}
}

参见
递归
二项式系数
取整函数、高斯符号

參考資料

外部連結 
双蛋问题的另一个递归程序
李永乐老师
相关动态规划问题

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