鞅中心极限定理

鞅中心极限定理是概率论中的一个定理，对有界的随机变量而言，常见的经典中心极限定理是它的特殊情形。经典中心极限定理说，在一定条件下，独立同分布（i.i.d.）的随机变量之和，乘以适当的标准化因数后，会依分布收敛于标准正态分布 。而鞅中心极限定理将独立性假设放宽为：这些随机变量只需构成一个鞅中的随机增量（鞅是一种随机过程 ，其从时间  到时间  的增量，在给定时间 1 到  观测值的条件下，其条件数学期望为零）。

定理内容 
鞅中心极限定理的基本内容可陈述如下：令随机变量  构成一个鞅，即满足条件： 

   （鞅的定义）

进一步假设这个鞅是有限增量的，即：存在一个固定常数  ，有： 

 

对所有  成立。 另假设 也成立。 定义增量的条件方差为：

 

并假设所有条件方差之和发散，即下式以概率1成立：

 

据此，对任意给定的常数  ，可以定义：

 

在所有上述假设成立的条件下，鞅中心极限定理做出如下结论：标准化的鞅随机变量： 

 

随着  将会依分布收敛于标准正态分布。

随机增量的条件方差之和必须发散 

上述定理假设了所有随机增量的条件方差之和为无穷大，即以下条件以概率1成立： 

 

这样可以确保以概率1，下式成立： 

 

并不是所有鞅都满足这个条件，例如恒为零的平凡鞅。

定理的直观理解 

可以通过将  如下变形来更好地理解鞅中心极限定理： 

 

右边的第一项渐近收敛于零，可以忽略。第二项在形式上，与独立同分布随机增量的经典中心极限定理相似，虽然其中被求和项  互相之间未必独立，但由鞅的定义易知它们互不相关的，因为：

参考文献 

      
 有关定理5.4的讨论以及推论5.3（ii）的正确形式，请参见

中央極限定理
统计理论