線性化

数学上的線性化（linearization）是找函数在特定點的线性近似，也就是函數在該點的一階泰勒级数。在动力系统研究中，線性化是分析非線性微分方程系統或是非線性離散系統，在特定平衡点局部穩定性的一種方法。 此方法常應用在工程学、物理学、经济学及生态学的應用中。

函數的線性化
函数的線性化為線性函數。針對函數，若要用在任意點下的值及其圖形斜率來進行近似時，假設在（或）區間內可微，且b鄰近a，線性化是可以有效近似的方法。簡單來說，線性化就是在點附近，以直線來近似函數的值。例如，那麼針對，利用線性化就可能可以找到理想的近似公式。 

針對任意函數，在已知可微分點附近的位置，都可以被近似。最基本的要求是，其中是在的線性化。一次方程的圖形會形成直線，例如通過點
，斜率為為直線。方程式的一般形為。

若是配合點，即變成。因為可微分函數是局部線性，該點的斜率可以用在點切線的斜率來代替。

函數局部線性的意思也表示函數圖形上的點可以任意接近點，相對來說比較接近的點，其線性近似的效果也會比較好。斜率最準確的值會是在點的切線斜率。

旁邊的圖可以說明在點的切線。在位置，其中是小的正值或是負值，非常接近點的切線。

函數在點線性化的最終方程為：

針對，。函數的導數為，而函數在點的斜率為。

例子
若要找，可以用的資訊。函數在點的線性化為，因為函數定義了函數在點的斜率。

代入，其線性化結果為。

針對的例子，可得近似。其實際值為2.00024998，非常接近，此線性化的誤差小於1%的百萬分之一。

多變數函數的線性化
函數在點線性化的方程式為：

多變數函數在點線性化的通式為

其中是變數向量，而是要線性化的點。

線性化的應用
配合線性化的技術，可以用研究線性系統的工具來分析非線性系統在特定點附近的行為。函數在特定點附近的線性化是在該點附近泰勒级数的一階展開。針對以下的系統

,

其線性化系統為

其中是要觀測的特定點，而是在點所計算的雅可比矩阵。

穩定性分析
在自治系统的穩定性分析中，可以用在計算雅可比矩阵的特征值來判斷平衡點的特徵。這就是的內容。若是時變系統，其線性化需要考量其他的因素。

微观经济学
在微观经济学中，可以用狀態空間下線性化的作法來近似。若以此方式分析，效用最大化的欧拉方程可以在平穩穩態附近進行線性化。所得動態方程的系統的唯一解即為其解。

最佳化
在最优化中，成本函數以及非線性成份都可以線性化，以使用一些線性的求解方式（例如单纯形法）。最佳化的結果可以更有效率的產生，而且是決定性的全域极值。

多物理場
在多物理场系統（系統中有多個不同物理領域的模型，彼此互相影響）中，可以針對每一個物理領域進行線性化。針對每一個物理領域的線性化可以產生線性的monolithic方程系統，可以用monolithic的迭代來求解（例如牛顿法）。這類的例子包括系統，包括了電磁系統、力學系統及聲學系統

相關條目
 
 
 
 泰勒公式

參考資料

外部連結
 Linearization for Model Analysis and Control Design 

微分学
動力系統
近似