腎形線

腎形線（nephroid）是外形類似腎臟的平面曲线，其英文nephroid源自希腊语的 ὁ νεφρός （ho nephros），和腎臟科的英文nephrology有相同的字根。腎形線主要是指Proctor在1878年提出的曲線，不過有時也會用來描述其他曲線。

腎形線是六度的代數曲線，可以用一個半徑為 的圓在半徑為的固定圓上滾動而得，因此腎形線也屬於外摆线。

方程式  

考慮一小圓在一固定圓的外面滾動，若小圓的半徑為，固定圓的圓心在，半徑為，小圓的滾動角為，啟始點為（如圖所示），則可以得到腎形線的
 參數式

將  和  代入以下方程

可知上述方程即為腎形線的。

若尖點是在Y軸上，則參數式為 

隱函數表示式為

性質 
上述的腎形線，有以下的性質
弧长為
面积為
曲率半徑為

參考資料 

Arganbright, D., Practical Handbook of Spreadsheet Curves and Geometric Constructions, CRC Press, 1939, ,  p. 54.
 Borceux, F., A Differential Approach to Geometry: Geometric Trilogy III, Springer, 2014, , p. 148.
Lockwood, E. H., A Book of Curves, Cambridge University Press, 1961, , p. 7.

外部連結 

 Mathworld: nephroid 
 Xahlee: nephroid 

代數曲線