垂线偏差

垂线偏差（）指地球表面上某一点处垂线方向和法线方向的差异，也即重力异常矢量的方向。垂线偏差可以表示为当地天文坐标与地理坐标之间的差异，其中前者在水准面上通过重力测量的方式确定，而后者是天文坐标投影到椭球面上的位置。对垂线偏差的数学描述通常以法线为基准。

数学表达 
设  为大地水准面上一点，其所处的垂线方向为 ，通过重力测量方式测得的天文坐标为  。将其沿参考椭球面的法线  投影至椭球面上的点 ，得到其地理坐标为  。在实际测量过程中，常以其在南北方向（即子午圈方向）上的投影  和其在东西方向（即卯酉圈方向）上的投影  描述：

与重力异常和重力扰动的关系 
设  点处测量得到的真实重力矢量为 ，而  点处计算得到的正常重力矢量为 ，则  点处的重力异常矢量为：

又设  点处测量得到的正常重力矢量为 ，则  点处的重力扰动矢量为：

重力异常矢量和重力扰动矢量的方向同为垂线偏差的方向，因为 、 两点的正常重力方向在同一条直线上。

与大地水准面高的关系 
大地水准面高即为两点间的距离  ，垂线偏差亦可表示为大地水准面高的泛函。以一过垂线的垂直面截取点 ，垂线偏差在此平面内的分量  与大地水准面高  和大地水准面上的弧微分  存在如下几何关系：

习惯上取沿法线向下的方向为正，因此上式中的  为负值。又因垂线偏差的分量  是微小量，即  ，因此上式也可写成：

再以地球平均半径  替代点  在各法截面上的曲率半径，得到大地水准面上弧微分的近似计算公式为

分别取垂直面分别与子午圈平行（即 ）和与卯酉圈平行（即 ），得到垂线偏差的两个分量与大地水准面高的关系为：

参见 

 法线
 铅垂线
 参考椭球面
 大地水准面
 重力异常
 重力扰动

参考文献 

大地测量学