施拉姆-勒夫纳演进

在概率论中，施拉姆-勒夫纳演变（Schramm–Loewner evolution，SLE）是一个平面曲线的家族以及统计力学模型的缩放极限。

应用 

 Uniform spanning tree, 
自避行走
普遍性 (物理学)
 施拉姆-勒夫纳进化描述临界渗流，临界易辛模型，自避行走的缩放极限
 统计力学模型
 因为SLE有马尔可夫性质，所以可以用伊藤微积分来分析一下
 共形场论

勒夫纳演变 

 D 是单连通的开集。D是复杂域，但是不等于C。
 γ 是D中的一条曲线。γ 在D 的边界开始。
 
 因为是单连通的，它通过共形映射等于D（黎曼映射理论）。
 是同构。
 是反函數。
 在t = 0，f0(z) = z 和 g0(z) = z。
 ζ(t)是驱动函数（driving function），接受D边界上的值。

根据，是

的关系是

施拉姆-勒夫纳演变 
SL演变是一个勒夫纳方程，有下面的驱动函数

其中 B(t) 是D边界上的布朗运动。

例如 

 若0 ≤ κ ≤ 4，曲线γ(t)几乎必然是简单曲线
 若4 < κ < 8，γ(t) 与自身相交。
 若 κ ≥ 8，γ(t)是space-filling的。
 若κ = 2，曲线是Loop-erased random walk。
 κ = 8：皮亚诺曲线
 若 κ = 8/3，有人猜想这个SLE描述自避行走。
 κ = 3：易辛模型边界的极限
 κ = 4：高斯自由场，, 
 κ = 6：斯坦尼斯拉·斯米尔诺夫证明SLE6 是格子（正三角形鑲嵌）上的临界渗透的缩放极限，计算临界指数；证明渗流的共形不变性，Cardy方程
 κ = 8：path separating UST from dual tree

属性 
若SLE描述共形场论，central charge c等于

 

 表明了SLE的豪斯多夫维数是min(2, 1 + κ/8)。

 用SLE6 证明的猜想：平面布朗运动边界的分形维数是4/3。

Rohde和Schramm表明了曲线的分形维数是

模拟 
https://github.com/xsources/Matlab-simulation-of-Schramm-Loewner-Evolution

参考文献

阅读 

 https://terrytao.wordpress.com/tag/schramm-loewner-evolution/ （陶哲轩介绍SLE）
 http://users.ictp.it/~pub_off/lectures/lns017/Lawler/Lawler.pdf （Conformally invariant process in plane, by Lawler）
 http://pi.math.cornell.edu/~cpss/2011/lawler-notes.pdf（SCALING LIMITS AND THE SCHRAMM-LOEWNER EVOLUTION GREGORY F. LAWLER）

 

 (Chapter 6 treats the classical theory of Loewner's equation)
 Schramm's original paper, introducing SLE

复分析
随机过程
共形场论
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