模算數

模算數或稱同餘運算（）是一個整数的算术系統，其中數字超過一定值後（稱為模或餘數）後會「捲回」到較小的數值，模算數最早是出現在卡爾·弗里德里希·高斯在1801年出版的《算术研究》一書中。

模算數常見的應用是在十二小時制，將一天分為二個以十二小時計算的單位。假設現在七點，八小時後會是三點。用一般的算術加法，會得到，但在十二小時制中，超過十二小時會歸零，不存在「十五點」。類似的情形，若時鐘目前是十二時，二十一小時後會是九點，而不是三十三點。小時數超過十二後會再回到一，為模12的模算數系統。依照上述的定義，12和12本身同餘，也和0同餘，因此12:00的時間也可以稱為是0:00，因為模12時，12和0同餘。

同餘關係

模算數可以在導入整數的同餘關係後，通过经典算数的运算法则来推导模运算的运算法则。若有两个正整数和，并且二數的差值為的整數倍數，我们就可以说和在模下同餘。数学式表达为：

例如

因為，是12的倍數。

上述的概念也對負數有效：

而同餘關係也可以用計算带余除法中的余数来理解。若正整数和在除以后的余数相同，。例如：

因為38和14除以12時，餘數都為2。這是因為是12的整數倍。

运算定律

如果，，为任何正整数，

那么我们有以下运算定律：

综上所述，我们在模算数里可以使用除除法以外的任何四则运算

應用
模算數在数论、群论、环论、紐結理論、抽象代数、計算機代數、密码学、计算机科学及化學中都有使用，也出現在視覺藝術及音乐。

模算數是数论的基礎之一，也提供了群论、环论及抽象代数中一些重要的範例。

模算數也常作為識別碼的校验码。例如国际银行账户号码（IBAN）就用模97的餘數來避免輸入編號時的錯誤。

在密碼學中，模算數是 RSA及迪菲-赫爾曼等公开密钥加密系統的基礎，也提到了和 椭圆曲线有關的有限域，用在許多的对称密钥算法中，包括高级加密标准（AES）、國際資料加密演算法（IDEA）、及RC4。RSA和迪菲-赫爾曼密鑰交換用到了模冪。

在電腦代數中，模算數常用來限制中間計算的整數係數大小，也限制計算中用到的資料。模算數用在中（其中所有已知有效率的演算法都用到了模算數），而針對整數及有理數的、线性代数及，最有效率解法都用到了模算數。

計算機科學中，模算數會以位操作的方式表示，也和其他定長度、循環式的数据结构有關。許多编程语言及计算器中都有模除，而XOR是二個位元在模2下的和。

化學中，表示化合物編號的CAS号，最後一碼是校验码，是將CAS号前二位數乘以1、下一位乘以2，再下一位乘以3……，最後對10取餘數而得。

音樂上，模12的模算數用在十二平均律的系統中，其中有純八度及異名同音的情形（例如升音符的C音和降音符的D音會視為是同一個音）。

去九法是徒手計算時快速的檢查工具，是以模9的模算數為基礎，而且其中最重要的性質是。

模7的模算數在許多計算特定日期是星期幾的演算法中出現，特別是蔡勒公式及中。

模算數也用在像法律（像分配 (政治)）、经济学（像博弈论），若一些社会科学的分析會強調資源的及分配，也會用到模算數。

參考資料

相關條目

 布尔环
 環形緩衝區
 同餘關係
 除法
 有限域
 勒让德符号
 模冪
 模反元素
 模除
 数论
 皮萨诺周期（模n下的斐波那契序列）
 原根
 二次互反律
 二次剩余

 两元素布尔代数
 和模算數有關的群論主題：
 循環群
 整数模n乘法群
 其他和模算數有關的重要定理：
 卡邁克爾函數
 中国剩余定理
 欧拉定理 (数论)
 费马小定理
 拉格朗日定理 (群論)

同余
環論
群论