三乘积法则

三乘积法则（triple product rule）是关于偏导数的一个恒等关系式，其表达式为：

注释：每一个变量可视作另外两个变量的函数。偏导数的下标表示在此变量为常数的条件下求导。

三乘积法则用于热力学关系式的推导。例如温度、压力和体积之间的关系满足：

利用三乘积法则，可以将不易测量的关系用容易测得的物理量代替，如：
。

推导

下面给出一个非正式的推导。设有函数f(x, y, z) = 0。若将z表示为x和y的函数，则全微分dz等于

在dz = 0的轨迹上，x和y之间满足

于是将dz = 0带入上式，

重排得

将所有偏导数移到等式左边，

此证明假定了偏导数存在，以及全微分dz存在，偏导数不为零从而能取倒数。数学分析的正式证明能避免这些隐含假定。

参见 
 全微分
 变量和标量的三重积

参考资料
 Elliott, JR, and Lira, CT.  Introductory Chemical Engineering Thermodynamics, 1st Ed., Prentice Hall PTR, 1999.  p. 184.
 Carter, Ashley H. Classical and Statistical Thermodynamics, Prentice Hall, 2001, p. 392.

包含证明的条目
热力学定律
多变量微积分
分析定理
微積分定理