糾纏譜

糾纏譜 (entanglement spectrum) 是一个由 Li 和 Haldane 在2008年提出的量子力学概念，可作為糾纏熵的推廣，用來分析量子多體系統的波函數。糾纏譜的數學定義是

其中是約化密度矩陣的第個本徵值。

簡介
討論量子糾纏的時候，經常把一個量子系統區分成 A 和 B 兩個子系統，量子糾纏則是探討 A 和 B 之間的量子關聯性。假設總系統的歸一化波函數可以寫成

雖然總系統的密度矩陣  是一個純態，但是經過部分跡子系統 B 的自由度之後，得到的約化密度矩陣  可能是一個混合態，即 。
這個部分跡「」是指只跡子系統 B 的自由度的操作，其結果仍是一個矩陣，矩陣大小變為子系統 A 的自由度的大小。約化密度矩陣的矩陣元是

可以看出約化密度矩陣是一個厄米矩陣，，所以  的本徵值必為實數。由於  可能是一個混合態，這表示當總系統是這個狀態時，如果測量只發生在子系統 A，則會得到許多不同可能的結果，這些不同的結果相對應的機率就是  的本徵值 ，滿足本徵值方程式 。由於總系統波函數是歸一化的，，可推得所有的本徵值的總和也是歸一化的。

 也有機率的意義。一個只作用在 A 的測量量  的期望值就是把子系統在各個本徵態的期望值 ，和子系統對應在那個本徵態的機率 ，相乘之後的總和，

A 和 B 之間的糾纏的程度大小，可以從  的分布觀察得到，例如：若所有的本徵態的機率皆相等，，則 A 和 B 是最大可能的糾纏狀態。另一個極限是，若只有其中一個本徵值為 1，，其餘本徵值皆為 0，，那麼測量子系統 A 也只會得到一種可能，這表示 A 和 B 沒有任何糾纏。「糾纏熵」正是可以很好的刻畫這樣的性質，不過糾纏熵把本徵值的分佈濃縮成一個數值，糾纏譜則是直接觀察  的本徵值的分佈，然而糾纏譜的定義讓單純的機率分佈和能譜有更巧妙的關聯和意義。

在中，考慮一個正則系綜的混合態密度矩陣 ，其中  是溫度的倒數， 是波茲曼常數，是配分函數， 是系統的哈密顿算符。既然約化密度矩陣  是一個混合態，那麼將它類比成一個熱力學平衡時，溫度為  的熱態 ，可以定義出一個假想的哈密顿算符 ，這個  是只作用在子系統 A 上的算符，稱為糾纏哈密顿算符(Entanglement Hamiltonian)，而  的本徵值  就稱為糾纏譜，滿足 ，所以糾纏譜和  的關係是  或

須注意糾纏譜的定義可以不討論系統的哈密顿算符，而且即使系統的哈密顿算符  可寫成子系統的相加以及子系統之間的相互作用，，一般來說糾纏哈密顿算符  也不會正比於子系統 A 的哈密顿算符 ，。

Li-Haldane猜想

參考文獻

量子信息
量子力学