扩展图

在组合数学中，扩展图（）是一种具有强连通性质的稀疏图，可用边扩展性、顶点扩展性或图谱扩展性三种方式来量化。扩展图的构造问题引导了多个数学分支上的研究，并且在计算复杂性理论、计算机网络设计和编码理论上有诸多应用。

定义 
对于有限、无向、连通的多重图，扩展性是一种能够衡量其连通强弱的指标。直观而言，扩展性较强意味着图中任何「不太大」的顶点集均有较大的边界，也就是说集合内外的交互很强。

连通图的扩展性有的弱，有的强。例如道路的扩展性很弱，而完全图的扩展性最强。可以看出，稠密图比稀疏图更“容易”具备强扩展性。但人们希望构造一类鱼与熊掌兼得的图：既能保持稀疏性，又具备很强的扩展性。具备这样“矛盾”属性的图就是一张扩展图；矛盾对立越深，扩展图越优良。

用数学语言表达如下：若一张图图有  个顶点、最大度为 、扩展性为 ，那么就称它为-扩展图。 越小（即图越稀疏）且  越大（即扩展性越强），则扩展图的性质越优异。

作为扩展图定义中的关键参数之一，“扩展性”的精确概念可用不同方式来量化。下文将讨论边扩展性、顶点扩展性和谱扩展性三种量化方式。

边扩展性 
包含  个顶点的图  的边扩展性  定义为

 

其中  为子集  的边界。注意在此定义中，最小值取于所有非空且大小不超过  的顶点集。

顶点扩展性 
图  的顶点扩展性  定义为

 

此处  是集合  的外边缘。顶点扩展性有一种变体，称作「唯一邻点扩展性」（），在这里 。

谱扩展性 
当  是d-正则图时，可以借助线性代数中的特征值理论来定义扩展性，称作谱扩展性。具体而言，设  是图  的邻接矩阵，其中  记录了顶点  之间的边数。因为  是实对称矩阵，根据谱定理知道它有  个实特征值 。可以证明它们都落在区间 内。

由于  是正则图，所以  上的均匀分布  是矩阵  的特征向量，对应特征值 ，即 。图  的谱间距（spectral gap）定义为 ，它可以用作扩展性的量度。

三种扩展性度量之间的关系 
上面定义的三种量化方式虽然形式上有差别，但在本质上相互联系。对于d-正则图，我们有

 

因此，当度是常数时，前两种量化方式并无实质区别。

Cheeger不等式 
对于d-正则图，Dodziuk和Alon、Milman 证明了

 

这一不等式与马尔可夫链的Cheeger不等式有本质联系。

注解

参考来源

 教科书和文献综述 
 
 
 
 
 
 研究论文
 
 
 
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外部链接 

 Brief introduction in Notices of the American Mathematical Society 
 Introductory paper by Michael Nielsen 
 Lecture notes from a course on expanders (by Nati Linial and Avi Wigderson)
 Lecture notes from a course on expanders (by Prahladh Harsha) 
 Definition and application of spectral gap

图论