K·p微扰论

K·p微扰论又名K·p微扰法，是固体物理中用来计算固体能带结构和光学性质的一种微扰方法，因微扰哈密顿算符中出现了正比于简约波矢（k）与动量算符（p）内积的项而得名。该方法可以近似估计半导体中的电子在导带底的有效质量。

背景
在晶体中，势场具有周期性，如果给其中电子的波函数加以周期性边界条件，则波函数将具有布洛赫波的形式：

其中是简约波矢，是周期函数，且周期与晶格的周期完全相同。

将该表达式代入定态薛定谔方程，可得满足的方程。该方程在形式上类似于定态薛定谔方程：

其“哈密顿算符”为：

微扰方法
K·p微扰论适用于简约波矢较小的情形下。此时可将“哈密顿算符”中不含有简约波矢的项视为无微扰的“哈密顿算符”，把含有简约波矢的项视为“微扰哈密顿算符”，即：

利用微扰方法可以用所有的线性组合表达某个能带的，进而给出能量与简约波矢的近似关系。如果是不简并的，考虑到一级修正后的表达式为：

考虑二级修正以后能量的表达式为：

电子的倒有效质量张量近似为：

应用 
在直接带隙半导体中，导带底部的电子对应的简约波矢为零，它的有效质量可运用K·p微扰论近似计算。微扰论中最近邻态的微扰贡献最大。导带底和价带顶的态互为最近邻态，仅考虑彼此的微扰贡献，K·p微扰论的结果可进一步简化为：

式中为导带底与价带顶的能量差，即带隙；脚标v和c分别指代价带顶与导带底的态。如果所考虑的导带底是旋转对称的，倒有效质量张量可以用一个标量代替：

表明半导体的带隙越小，导带底电子有效质量也越小。对通常的半导体来说，导带底电子的有效质量远小于电子的真实质量，且矩阵元与电子真实质量的比值近似为一个常量10eV。故：

该公式给出的导带底电子有效质量近似值与绝大多数IV族、III-V族、II-VI族直接带隙半导体实测值的误差在15%以内。

推广 
如果考虑自旋-轨道作用，仍然可以用类似方法处理。此时“哈密顿算符”应写为：

如果有简并，需要使用简并微扰理论。可以处理这类问题。

参见
布洛赫定理

参考文献

固体物理学
電子結構方法