希尔伯特-施密特算子

在数学中，一个希尔伯特-施密特算子()（得名于大卫·希尔伯特和埃哈德·施密特）, 是希尔伯特空间H上的有界算子A，有有限的希尔伯特-施密特范数
 ，
其中是H上的范数，是H上的一组标准正交基，Tr是非负自伴算子的迹。这里指标集不一定可数。这个定义不依赖于基底的选择，所以有
 ，
其中，为在p = 2时的。在欧几里得空间中，也被称为弗罗贝尼乌斯范数，得名于费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯。

两个希尔伯特-施密特算子的乘积有有限的迹类范数；因此，如果A和B是两个希尔伯特-施密特算子，希尔伯特-施密特内积可以如下定义
 。
希尔伯特-施密特算子构成一个H上的有界算子的的双边*理想。它们构成一个希尔伯特空间，可以证明自然等距同构到
 ，
其中H∗是H的对偶空间。

希尔伯特-施密特算子的集合在范数拓扑下是闭集，当且仅当H是有限维空间。

一类重要的例子是。

希尔伯特-施密特算子是二阶，因此是紧的。

另请参阅

参考文献 

算子理论