高斯-卢卡斯定理

高斯-卢卡斯定理，又称卢卡斯定理，该定理描述了複系数多项式的一个性质：多项式导数的根一定在原多项式的根所构成的凸包内。

这一结论曾在1836年被高斯直接使用，1874年由证明。

动机 
二次多项式 的导数的根为原多项式的两个根的平均数。

同样地，如果一个 次多项式有  个两两不同的实值零点，根据罗尔定理，其导数的每个零点都位于区间 之中。

高斯-卢卡斯定理可以看成这一性质在复系数多项式上的推广。

表述 
设  是一个非常数的複系数多项式，那么的所有根都属于由的根构成的凸包。

证明 
将多项式函数P写成复数下的不可约形式： ，其中复数 是多项式的主系数、 是多项式的根、 为各个根的重数。

首先注意到：  假设复数满足：
因此：
 乘以共轭取模写成如下形式：

此时，可以将看成是个位于 的质点的重心，因此在其构成的凸包内。

另一种情况下的证明是显然的。

参考

相关定理 
 Théorème de Marden
 施图姆定理
 Conjecture d'Iliev-Sendov

凸分析
包含证明的条目
复分析定理
多项式定理