正交变换

在線性代數中，正交轉換是線性轉換的一種。如果对于任意向量和其內積等於正交轉換後之向量和之內積，则称之为正交变换。

按照长度的定义，可知正交轉換後的向量長度與轉換前的長度相同。

其中在空間內，表示維度。

其中為向量長度，和分別為和之元素，正交變換不會影響轉換前後向量間的夾角和內積長度。

在矩陣表示形式上，如果為正交變換，則為正交矩陣，對於正交變換之正交矩陣，其每個列互為正交，令為之矩陣，取兩個不相同的列和 ()遵守下列關係。

性質 
1. 正交變換不會改變向量間的正交性，如果和正交，則和亦為正交。

根據畢氏定理，正交變換後的向量會符合下式：

因為正交變換屬於線性轉換：

正交變換前後向量的長度相同：

再根據畢氏定理，且和正交：

再根據正交變換的性質，正交變換前後向量的長度相同：

2. 如果和皆為正交矩陣，則亦為正交矩陣。

令一正交變換為：

正交變換後長度不變：

3. 如果為正交矩陣，的反矩陣亦為正交矩陣。

令一正交變換為：

單位矩陣和相乘為自己，且矩陣和反矩陣相乘為單位矩陣：

正交變換後長度不變：

4. 正交變換容易做反運算

令ㄧ正交矩陣，和相乘為一對角矩陣，其中上標表示Hermitain運算。

將乘上自己的反矩陣可得一單為矩陣。

又可分解為和

根據上式，將兩側乘上的反矩陣即可得知的反矩陣知公式。

計算的反矩陣比直接求反矩陣容易，只要相對角線之值做倒數即可。如果的每一行皆為單位向量，則：

5. 對於正交變換，如果和可以做內積，和做內積之值等於和做內積之值。

根據極化恆等式：

將上式代入和：

因為為線性轉換，轉換前做加減法和轉換後做加減法之值應相同：

正交變換前後向量的長度相同：

再根代入和之據極化恆等式：

範例和應用 
正交變換的種類非常的廣，像是discrete Fourier transform、discrete cosine, sine, Hartley transforms、Walsh Transform, Haar Transform等都屬於正交變換。對矩陣做旋轉或是鏡射也屬於正交變換。這裡會舉出一些簡單的正交變換例子。

1. 對於以subspace 為基準做鏡射( in )，令為平行之向量，為正交之向量：

因為和互為正交，可以根據畢氏定理做分解：

2. 這裡以DFT為例證明DFT矩陣為正交矩陣，對於點DFT，可得一個矩陣，且：

為symmetric矩陣，令的每個列為：

令任意二列做內積：

上式可以化成pulse function，只有列和自己做內積才為，即：

3. 正交變換可以參數計算變得容易，令為正交矩陣的列，列彼此互相正交，而為對應之參數，即給定下式中的和，參數之值可以很容易的計算出來。

如果要求出，則將上式與做內積：

因為在時，和做內積為0，可得下式：

最後同除即可得到對應之參數：

4. 在訊號壓縮上，對於原始訊號：

假設進行壓縮，要壓縮成：

當時，越大，越小

5. 在通訊應用上，會利用正交基來和訊號做調變，正交的特性會使通道間不會互相干擾。

参见 
 瑕旋转
 内积空间
 线性变换
 正交矩阵
 酉变换

参考文献 
3.  Ding, J. J. (2017). Advanced Digital Signal Processing [Powerpoint slides] http://djj.ee.ntu.edu.tw/ADSP15.pdf  

4.  Chang, C.H. (2004). Linear Algebra [PDF slides]  http://staff.csie.ncu.edu.tw/chia/Course/LinearAlgebra/sec5-3.pdf 

5.  (2007). [PDF slides] http://isites.harvard.edu/fs/docs/icb.topic138287.files/Lesson15_-_Orthogonal_Transformations_and_Orthogonal_Matrices_slides.pdf
線性代數