逆小波轉換

逆小波轉換(inverse wavelet transform)為小波轉換的反函數，小波轉換大致分為三類
 連續小波轉換
 離散變數連續小波轉換
 離散小波轉換
分別介紹此三種的反函數

連續小波轉換反函數
已知

則逆轉換為

其中

證明:

由於

假設

則

經過傅立葉轉換，原本的摺積性質變為相乘

如果母小波為實函數，則其傅立葉轉換有以下性質

(使用變數代換)

得證

離散變數連續小波轉換反函數

為的雙效函數(dual function)，滿足以下正交(orthogonal)特性

或是

通常會設計成

因此離散變數連續小波轉換能進行逆轉換的條件為:

離散小波轉換反函數
在這裡解釋的是如何重建(reconstruction)一個經過離散小波轉換的函數

以進行一階離散小波轉換，升降頻倍率為2為例，可以得到右圖的架構

需要滿足一些條件才能使

將此流程進行Z轉換及化簡可得到:

因此為了得到，須滿足以下二條件
 
 

可轉換為

化簡得到
其中

要滿足上式須滿足以下四個條件，此四條件及上式的關係為若且唯若

證明於參考條目中
因此只要符合上述條件就能將經過離散小波轉換的重建為x[n]

相關條目
數值分析
訊號處理

參考
 Jian-Jiun Ding (2014) Time-Frequency Analysis and Wavelet Transform 

小波分析