歐幾里得-歐拉定理

數學上，歐幾里得-歐拉定理（）是一條聯繫偶完全數與梅森質數的定理。這定理指出每個偶完全數都可以寫成2p − 1(2p − 1)，其中2p − 1是質數。形如2p − 1的質數稱為梅森質數，因此其中的p必須是質數。

定理敘述
一個偶數是完全數（即等於它的所有真因數的和），當且僅當它有形式2p−1Mp，其中Mp是梅森質數，即形為Mp = 2p − 1 的質數。

歷史
歐幾里得證明當2p − 1是質數時，2p − 1(2p − 1)是完全數（Prop. IX.36）。這是他的《幾何原本》中數論的最後一條結果。

過了超過一千年後，約在公元1000年，海什木猜想所有偶完全數都有形式2p − 1(2p − 1)，但他未能證明。

直至18世紀，數學家歐拉始證明所有偶完全數都有形式2p − 1(2p − 1)。因此確定偶完全數和梅森質數之間存在一一對應：每個偶完全數給出一個梅森質數，反之亦然。

證明
歐拉的證明簡短，用到因數總和函數 σ 是積性函數的性質：對任何兩個互質正整數a和b，都有σ(ab) = σ(a)σ(b)。要使這個公式成立，一個數的因數總和須包括該數本身，不只是真因數。一個數是完全數，當且僅當該數的因數總和是該數的兩倍。

定理中一個方向（歐幾里得所證明的）較為容易：如果2p − 1是質數，那麼
σ(2p − 1(2p − 1))
 = σ(2p − 1)σ(2p − 1)
 = (2p − 1)2p
 = 2(2p−1(2p − 1))

至於另一個方向，設有偶完全數2kx，其中x是奇數。它是完全數，故此
2k + 1x = σ(2kx) = (2k + 1 − 1)σ(x).

上式右邊的奇因數2k + 1 − 1 至少等於3，且必定整除或等於左邊唯一的奇因數x，因此y = x/(2k + 1 − 1) 是x的真因數。將上式兩邊除以公因數2k + 1 − 1，並考慮x已知有因數x和y，得出
2k + 1y = σ(x) = x + y + 其他各因數 = 2k + 1y + 其他各因數.
要使等式成立，必需無其他因數，因此y必定等於1，x必定是形為2k + 1 − 1的質數。定理得證。

參考文獻

数论定理
包含证明的条目
莱昂哈德·欧拉
梅森素数
完全数
欧几里得