马丢函数

马丟函数（）是1868年法國數學家因研究数学物理所推得的特殊函數，下列马丟方程的解析解：

马丟方程有两个线性无关的解：
奇数解
MathieuCE(n, q, x)，或记为,

偶数解
MathieuSE(n, q, x).或记为
称为基本解

周期性
马丟函数 MathieuC(a,q,z) 或 MathieuS(a,q,z) 只有一个是周期为  或的周期解，另一个不是。

马丟函数 MathieuC(a,q,z) 和 MathieuS(a,q,z) 两者都有是周期为（n≥2)的周期函数。

正交性

特征方程

马丟方程的特征方程是

对于给定的v，q,  上列特征方程给出无穷多个a、b解称为特征值。

特征值的展开
马丟函数体特征值可展开成级数：

级数展开
马丟函数ce,se的级数展开

傅立叶展开式
马丟函数的傅立叶展开：
 
 

其中系数A,B满足下列归递关系：

关系式
马丟方程的基本解满足下列关系：:

= 

郎斯基行列式：

特例
 
 
 
 
 
 
 <math
>                    </math>

夫洛开解

马丟函数中，如果 是一个周期为的解，并满足下列条件

,其中与x 无关，则此解称为夫洛开解。

级数展开

参考文献

王竹溪 郭敦仁 《特殊函数概论》 第十二章 马丟函数  北京大学出版社  2000
Frank J Oliver  NIST Handbook of Mathematical Functions,Cambridge University PRESS, 2010

常微分方程
特殊函数