达朗贝尔方程

在经典电动力学中，将描述电磁波的势所满足的一个微分方程组称作达朗贝尔方程（英文：d'Alembert equation）。达朗贝尔方程以数学家让·勒朗·达朗贝尔的名字命名，他于 1747 年将其作为振动弦问题的解决方案推导出来。

达朗贝尔方程是一个的波动方程。

形式
达朗贝尔方程的形式如下：

其中为磁矢势，为电势，为真空光速。

推导
经典电动力学中的麦克斯韦方程组如下所示

且有。

由的无源性可以引入磁矢势，有，代入麦克斯韦方程组的第一式得。这说明矢量是无旋场，可以用标量势的负梯度描述：

也即。

因此

而，代入并整理得

采用洛伦茨规范，即，可得

此即达朗贝尔方程，其自由项为电流密度和电荷密度。

参考资料

电磁学