紧生成空间

在拓扑学中，紧生成空间（又称k-空间）是一种拓扑空间、其拓扑为所有紧致子空间族的凝聚。具体而言，我们称拓扑空间X 为紧生成空间，当它满足：

子空间A 是X 中的闭集当且仅当对所有紧子集K ⊆X，A ∩K 是K 中的闭集。
等价地，我们也可以将以上条件中的“闭集”替换成“开集”。实际上，只要X 的拓扑是任意紧覆盖的凝聚（在以上的意义上），那么它的拓扑就是所有紧致子空间的凝聚。

相似地，紧生成豪斯多夫空间 是紧生成的豪斯多夫空间。与许多紧致性条件类似，“紧生成空间”也经常代指紧生成豪斯多夫空间。

动机

紧生成空间最初被称为k-空间，由德语kompakt 得名。胡列维茨最先研究了紧生成空间，在Kelley的《一般拓扑学》、Dugundji的《拓扑学》、Félix、Halperin及Thomas的《有理同伦论》等著作中可以找到对紧生成空间的记录。

对紧生成空间的更深层的研究始于1960年代，其动机是惯常的拓扑范畴有着公认的缺陷。这个缺陷是它并非笛卡儿闭范畴，即粘合映射的笛卡儿积并不总是粘合映射，而CW复形的笛卡儿积并不总是CW复形。相比之下，单纯集合的范畴则有许多方便的性质，其中就包括了笛卡儿闭。对如何补救这个缺陷，数学家们作了长时间的研究；这段历史在ncatlab网站上的文章convenient categories of spaces 中有更详细的记载。

最初的补救尝试（于1962年）是限制到紧生成豪斯多夫空间这一完全子范畴中，而这个子范畴事实上确是笛卡儿闭的。这些想法延伸到de Vries对偶性定理。在下文我们将给出幂对象的定义。另一个尝试（于1964年）则是考虑惯常的豪斯多夫空间，但将映射改为在紧致子集上连续的函数。

这些想法都可以推广到非豪斯多夫的情况，参考Topology and groupoids 一书的第5章第9节。这个推广的意义在于，豪斯多夫空间的粘合空间并不一定是豪斯多夫空间。更多相关信息，请参考Booth与Tillotson的论文。

范例

数学中大多数常用的拓扑空间都是紧生成的。

所有紧空间都是紧生成的。
所有局部紧空间是紧生成的。
所有第一可数空间都是紧生成的。
拓扑流形是局部紧的豪斯多夫空间，因此也是紧生成豪斯多夫空间。
度量空间是第一可数空间（甚至是第二可数），因此也是紧生成豪斯多夫空间。
所有CW复形都是紧生成豪斯多夫空间。

性质

我们用CGTop代表Top的对象为紧生成空间的完全子范畴，而用CGHaus代表CGTop的对象为同时满足豪斯多夫的空间的完全子范畴。

给定任意拓扑空间X，我们可以如下在X 上定义一个新的、可能更精细的拓扑，使X 为紧生成空间。设 {Kα} 为X 的紧致集合的搜集。我们声明X 的子集A 在新拓扑中为闭集当且仅当对于任意α，A ∩Kα 在Kα 中都是闭集。记新空间为Xc 。我们可以证明Xc 中的紧致集合与X 中的完全一致，而且这些紧致集合从两空间诱导的相对化拓扑也相同。由此可以推出，Xc 是紧生成空间，并且如果X 本身已经是紧生成的，那么Xc = X ，否则Xc 将严格比X 精致（即拥有更多开集）。

以上的构造是函子性的，即把X 映射到Xc 是从Top到CGTop的函子，而且这个函子是CGTop → Top的包含函子的右伴随。

定义在紧生成空间X 上的映射的连续性可以完全由X 的紧致子集决定。具体而言，函数f :X →Y 是连续的当且仅当它在每一个紧致子集K ⊆X 上的限制都是连续的。

即使X 和Y 均是紧生成空间，他们的积X × Y 也不一定是紧生成的（但若至少其中一个因子是局部紧的，那么积就是紧生成的）。因此，在紧生成空间的范畴内，我们必须定义X 和Y 的积为(X ×Y )c 。

范畴CGHaus中的幂对象是由(Y X )c 给出，其中Y X 代表从X 到Y 的连续函数的空间，赋予紧致开拓扑。

这些概念可以被推广到非豪斯多夫的情况，参考Topology and groupoids 一书的第5章第9节。推广的意义在于豪斯多夫空间的粘合空间不一定是豪斯多夫空间。

另见
紧致开拓扑
CW复形
有限生成空间
可数生成空间
弱豪斯多夫空间

参考资料

  P. I. Booth and J. Tillotson, "Monoidal Closed Categories and Convenient Categories of Topological Spaces", Pacific Journal of Mathematics, 88 (1980) 33-53. 

 

点集拓扑学
同伦论