刘维尔公式

刘维尔公式（Liouville's Formula）是一个关于多重积分和欧拉积分（函数）的公式，其形式如下：

其中，为连续函数。

证明
用数学归纳法。
当n=1时，公式显然成立。

当n=2时，公式也成立，即

事实上，令表示区域：，作代换，以及，则有

设公式对于n-1成立，今证对于n公式也成立。为此，将公式左端写为

令

代入上式，并利用公式对-1成立的假定，得知上式为

利用上面已证的=2时的公式，于是即得

证明完毕。

参考资料

积分学