全純域

在數學的多複變函數論中，全純域是在下述意義下為極大的區域：在其上存在一個全純函數，使得不能延拓至更大的區域上。

正式而言，在n維複空間中的開集稱為全純域，如果不存在非空開集和，其中是連通的， ，以及，使得對在上的每個全純函數，存在一個在上的全純函數，在上有。

當n = 1時，每個開集都是全純域。但是，當n ≥ 2時，指出存在不是全純域的區域。

等價條件
對一個區域以下條件等價：
 是全純域。
 是的。
 是的。
 是萊維凸——對每個解析緊曲面列，使得及對某集合，我們有（ 不能用一個解析曲面列「從裏面觸碰」。）
 有局部萊維性質——對每個點，存在的鄰域，及在上全純的，使得不能延拓到的任何鄰域上。

其中關係是標準結果。（見岡引理。）主要的困難在證明，即從只是局部定義的不可延拓函數，構造一個不可延拓的全局全純函數。這個問題稱為，以命名。最先解出問題的是岡潔，之後是拉爾斯·霍爾曼德爾，用的方法包括泛函分析和偏微分方程（問題的一個結果）。

性質
 若是全純域，則其交也是全純域。
 若是全純域的上升列，則其併也是全純域。（見）
 兩個全純域的積是全純域。
 第一在全純域內可解；若再加上一些拓撲假設，第二庫贊問題也可解。

參見

參考
 Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
 Boris Vladimirovich Shabat, Introduction to Complex Analysis, AMS, 1992

多複變