凸共轭

在数学中，凸共轭（）是勒让德变换的一种推广；凸共轭也被称作勒讓德-芬克爾变换（Legendre–Fenchel transformation），以阿德里安-马里·勒让德和威爾納·芬克爾命名。

定义
函数在扩展的实数轴上取值。

它的凸共轭定义为：

这里，表示实賦範向量空間，表示的对偶空间。

映射表示一个二次型，满足：对于（）中任意非零元素，总能在（对应地，）中找到一个元素使得。

例子

 仿射变换；它的凸共轭是：

 幂函数；它的凸共轭是：
 这里 
 绝对值变换；它的凸共轭是：

 指数函数
；它的凸共轭是：

性质

逆序性 
如果，那么就有。这里的指，对定义域中所有元素，都有成立。

半连续性与两次凸共轭 
函数的凸共轭总具有半连续性，因此函数的两次共轭也具有半连续性。同时，还是是闭凸包，也即最大的凸的半连续函数，满足。

由Fenchel-Moreau定理可以知道，对于合適的函数，  当且仅当是半连续的凸函数。

Fenchel不等式 
 ， 这里，是的凸共轭。

凸性 
凸共轭算子自身是凸的，即：

取函数，间任意实数，有： 成立。

最小值卷积 
对于两个函数f和g，它们的最小值卷积被定义为

如果 f1, …, fm 都是Rn上的proper且凸且半连续的函数。那么它们的最小值卷积是凸且半连续的（但不一定proper），并且满足关系

两个函数的最小值卷积具有几何意义。两个函数的最小值卷积的超图是这两个函数的超图的闵可夫斯基和

凸分析
对偶理论
變換