初拓扑

在一般拓扑学与数学的相关领域中，给定集合与上的一族函数，其初拓扑（initial topology）是使得这一族函数连续的最粗糙拓扑。

子空間拓撲与積拓撲都是初拓扑的特例。事实上，初拓扑可以看作是这两种结构的推广。

与初拓扑对偶的结构稱為终拓扑。

定义
 為集合，設有一集合族  與其指標集  ：

還有一族與之相對應的拓扑  ：

和一函数族  ：

那 上關於 的初拓扑 ，定義為「對所有的  ，  為 - 连续」的最粗糙拓扑。 

更精確地说，初拓扑可以描述为由为生成的拓扑，这里的是中的开集。集合通常也被叫做「」，如果指标集只包含一个元素，那么的全体开集都是圓柱集合。

实例
子空间拓扑是在子空間上，关于包含映射的初拓扑。
積拓撲是关于一族投影映射的初拓扑。
的是关于映射至其对偶空间的连续线性算子的初拓扑。

性质

特征性质
给出任意拓扑空间，X上的初拓扑依照上面所给的定义。则有以下性质成立：从到的映射是连续的，当且仅当  是连续的。

Evaluation

从闭集分离点
称从闭集分离点，如果中任意闭集，与任意不属于的点，，使得 这里的cl是闭包算子。

关于初拓扑有如下定理：一族连续映射从闭集分离点，当且仅当the cylinder sets构成集合的一个基。

从这个定理可以得到，如果上有一族连续映射从闭集分离点，那么关于这族映射就存在一个初拓扑。反之是不成立的，因为初拓扑是由为子基生成的拓扑，在这个定理中要求the cylinder sets是集合的一个基。

参考资料

拓扑学