欧拉-麦克劳林求和公式

欧拉-麦克劳林求和公式在1735年由莱昂哈德·欧拉与科林·麦克劳林分别独立发现，该公式提供了一个联系积分与求和的方法，由此可以导出一些渐进展开式。

公式

设为一至少阶可微的函数，，则

其中
表示的阶乘
表示的阶导函数
，其中
表示第个伯努利多项式
伯努利多项式是满足以下条件的多项式序列：

表示的小数部分
为第个伯努利数

证明
证明使用数学归纳法以及黎曼－斯蒂尔杰斯积分，下文中假设的可微次数足够大，。
为了方便，将原式的各项用不同颜色表示：

k=0的情形 
容易算出

其中橙色的项通过分部积分可化为

假设k=n-1时原式成立

处理积分（蓝色项）

将处理后的积分代入

得到想要的结果。

余项（积分项）估计
欧拉-麦克劳林求和公式的精确度通常不一定随着的增加而增加，相反地，如果相当大，则积分项也会很大。右图是在计算调和级数的前100项时用Mathematica算出不同的对应的积分项的绝对值：

应用
通过欧拉-麦克劳林求和公式可以给出黎曼ζ函数的渐进式：

其中

其他形式
欧拉-麦克劳林求和公式有时也被写成如下形式：

这是欧拉给出的原始形式。

参考文献

渐近分析
数值积分
包含证明的条目
分析定理
可和法
莱昂哈德·欧拉