信源编码定理

在信息论中，香农的信源编码定理（或无噪声编码定理）确立了数据压缩的限度，以及香农熵的操作意义。

信源编码定理表明（在极限情况下，随着独立同分布随机变量数据流的长度趋于无穷）不可能把数据压缩得码率（每个符号的比特的平均数）比信源的香农熵还小，又不丢失信息。但是有可能使码率任意接近香农熵，且损失的概率极小。

码符号的信源编码定理把码字的最小可能期望长度看作输入字（看作随机变量）的熵和目标编码表的大小的一个函数，给出了此函数的上界和下界。

陈述 
信源编码是从信息源的符号（序列）到码符号集（通常是bit）的映射，使得信源符号可以从二进制位元（无损信源编码）或有一些失真（有损信源编码）中准确恢复。这是在数据压缩的概念。

信源编码定理 
在信息论中，信源编码定理非正式地陈述为：

 个熵均为  的独立同分布的随机变量在  时，可以很小的信息损失风险压缩成多于  bit；但相反地，若压缩到少于  bit，则信息几乎一定会丢失。

码符号的信源编码定理 
令  表示两个有限编码表，并令  和  （分别）表示来自那些编码表的所有有限字的集合。

设  为从  取值的随机变量，令  为从  到  的唯一可译码，其中 。令  表示字长  给出的随机变量。

如果  是对  拥有最小期望字长的最佳码，那么(Shannon 1948)：

证明：码符号的信源编码定理 
对于  令  表示每个可能的  的字长。定义 ，其中  会使得 。于是

其中第二行由吉布斯不等式推出，而第五行由克拉夫特不等式推出：

因此 .

对第二个不等式我们可以令

于是

因此

并且

因此由克拉夫特不等式，存在一种有这些字长的无前缀编码。因此最小的  满足

参考资料

信息论