LOCC

LOCC 是 Local Operations（局域操作）and Classical Communications（經典通訊）的縮寫，它是一種用在量子信息上、對量子態進行操作的方法。簡單的說，當一個量子系統被分成許多部份，每個部份的測量和操作只限制在該部分上，各個部分之間允許經典通訊，例如：打電話。許多量子信息的工作必須藉由 LOCC 來完成，例如：假設某次實驗室製備了一個貝爾態，但是卻不能確定這個貝爾態是  還是 ，其中  和  是

A和B兩個量子位元是分隔兩地的，並且由愛麗絲對量子位元A進行操作，由鲍勃對量子位元B進行操作。首先愛麗絲測量量子位元A並得到結果0，此時我們仍不知道當初實驗室製備的貝爾態是  還是 。這時候愛麗絲藉由打電話把結果告訴鲍勃，接著鲍勃對量子位元B進行測量並得到結果0，現在鲍勃得知波函數塌縮成 ，所以推得實驗室製備的貝爾態是 。

糾纏轉換
將一個量子系統分成兩部分，利用 LOCC 操作，把一個糾纏態轉換成另一個糾纏態。
舉例說明：愛麗絲和鲍勃分別擁有一個糾纏態(純態)的一部分，例如 。愛麗絲和鲍勃都只能對各自的自旋進行操作，也就是Local Operation的意思。當然這個操作也包含測量，當愛麗絲進行Sz的測量後，得到本征值+ħ/2，波函數塌縮成 ，然後愛麗絲透過電話告訴鲍勃結果，這就是Classical Communications，鲍勃知道結果後也相應做了一個Local Operation，現在鲍勃做σx操作，於是波函數變為 。如果剛才愛麗絲測得本征值-ħ/2，波函數塌縮成 ，則愛麗絲立即進行σx操作，然後經由電話告訴鲍勃，要求鲍勃不做任何操作，結果仍然可將波函數透過利用LOCC轉換成 。

顯然利用 LOCC 把某個態  轉換成 ，A與B之間的糾纏只能變小或維持不變。但是並不是只要  的糾纏熵比  的糾纏熵還小就必定能透過 LOCC 作轉換。要判斷可不可轉，首先，可以把  和  分別做：

將Schmidt值由大至小排列然後進行比較。尼爾森(Nielsen)在1999年提出定理:
若Majorization
,
對於所有  都成立，則  可利用LOCC轉換成 。
然而若上述條件不成立，並不表示 LOCC 轉換必定不成立。如果允許引入催化態，LOCC 轉換仍有可能的。

催化轉換
Jonathan 和 Plenio 在尼爾森定理發表不久即給出一個催化轉換的例子：考慮

以上三個態已經過且係數皆由大至小排列，以下進行  和  驗算係數的前  項之和：
{| class="wikitable"
|-
|  ||  || 
|- style="background: green; color: white"
| 0 || 0.4 || 0.5
|- style="background: red; color: white"
| 1 || 0.8 || 0.65
|- style="background: green; color: white"
| 2 || 0.9 || 1.0
|- 
| 3 || 1.0 || 1.0
|}
以上表格中，若「 的前  項之和」比「 的前  項之和」小的話，填入綠色；大的話，填入紅色；相等則是留下白色。如此一來，觀察  方向的顏色便一目了然。如果所有顏色皆為綠色，則表示  可經由LOCC轉換成 ；如果所有顏色皆為紅色，則表示  可經由LOCC轉換成 ；如果顏色既有紅色又有綠色，則說明若無催化態便不可轉換。

那麼什麼是「催化轉換」和「催化態」呢？我們考慮直積態  和 ：

以上各項已按照由大至小排列，接著同樣進行製作表格計算前  項之和：
{| class="wikitable"
|-
|  ||  || 
|- style="background: green; color: white"
| 0 || 0.24 || 0.30
|- style="background: green; color: white"
| 1 || 0.48 || 0.50
|- style="background: green; color: white"
| 2 || 0.64 || 0.65
|- 
| 3 || 0.80 || 0.80
|- style="background: green; color: white"
| 4 || 0.86 || 0.90
|- style="background: green; color: white"
| 5 || 0.92 || 1.00
|- style="background: green; color: white"
| 6 || 0.96 || 1.00
|- 
| 7 || 1.00 || 1.00
|}
表格做完馬上看出所有顏色皆為綠色，因此根據尼爾森定理， 透過LOCC轉換成  是可以的。由於  只是從直積態中直接加入然後轉換完畢便可取走，很像化學反應中的催化劑，因此可稱  是催化態。

塔庫定理
2007年塔庫（Turgut）證明了定理

糾纏轉換和量子多體系統

參考文獻

量子信息科学