赫尔维茨ζ函数

赫尔维茨ζ函数(Hurwitz zeta function)定义如下

其中、都是复数，并且有,

对于给定的q,s,此函数可以扩展到 s≠1的亚纯函数.

黎曼ζ函数=

级数展开
赫尔维茨ζ函数可以展开成级数：:

此级数在S空间的紧空间子集中均匀收敛成为一个整函数。

积分式

赫尔维茨ζ函数可以表示为下列梅林变换

其中  及

赫尔维茨公式

其中

对于  and s > 1成立，其中 代表 多重对数.

泰勒展开
赫尔维茨ζ函数的导数是平移：

因此赫尔维茨ζ函数的泰勒级数可表示为:

或

其中 .

与Θ函數的关系
 令 代表 雅可比 Θ函數, 则

对于  and 复数z 成立，但对于 z=n 整数，则有

其中 ζ 代表黎曼ζ函数.

推广
正整数m的赫尔维茨ζ函数与 多伽玛函数有下列关系:

For negative integer −n the values are related to the Bernoulli polynomials:

The 巴恩斯ζ函数是赫尔维茨ζ函数的推广。

The 勒奇超越函数也是赫尔维茨ζ函数的推广:

即：

赫尔维茨ζ函数与超几何函数的关系：

其中 

Meijer G函数

参考文献

延伸阅读
 
 
 
 

Ζ函數與L函數