時頻分析轉換關係

在時間與頻率的分析領域中，有不少的訊號的單純使用頻域或時域表示，而是同時使用時域與頻域來表示。

有幾種方法或轉換被-{}-里昂·柯恩統整組織被稱為"時頻分析"，最常被使用的方法稱為「二次」或「雙線性時頻分析」，而此類方法中，最被廣泛使用的方法中以韋格納分布為其中之一，其他的時頻分布則被稱為維格納分佈的摺積版。另一個被廣泛使用的方法為頻譜圖，為「短時距傅立葉轉換」的平方，頻譜圖有著平方必為正的優點，容易由圖理解，但有著不可逆的缺點，如短時距傅立葉轉換不可逆計算，無法從頻譜圖找回原信號。而驗證這些理論與定義驗證可以參考「二次式時頻分布理論」。

本文主題雖是訊號處理領域，但是藉由量子力學的相空間來推導某些分布從A分布轉換至B分布的過程。一個信號在相同的狀況下，給與不同的時頻分布表示方式，透過簡單的平滑器或濾波器，計算出其他分布。

一般化
如果我們用變數ω=2πf，然後，借用量子力學領域中使用的符號，就可以顯示該時間-頻率表示，如維格納分佈函數和其它雙線性時間-頻率分佈，可表示為

     (1)

為一定義其分布及特性之二維函數。

維格納分布的核為一。但在一般型式裡任何分布的核為一沒有任何的意義，在其他狀況下維格納分布的核應為其他結果。

特徵方程式
特徵方程式為雙傅立葉轉換，從方程式(1)可以得到

      (2)

      (3)

 為對稱模糊函數，特徵方程式也可易被稱為廣義模糊函式。

分布之間轉換關係
假設有兩個分布  and ,個別對應核為  and ，特徵方程式為

      (4)

      (5)

方程式(4)、(5)相除得

      (6)

方程式(6)相當重要，其結果使其連接特徵方程式在有線區域內之核不為零。

欲獲得兩分布之間的關係，需使用雙傅立葉轉換並使用方程式(2)

      (7)

用來表示
      (8)

可改寫成

      (9)

其中，

       (10)

頻譜與其他雙線性相互關係
我們專注於其中一個從任意代表性的頻譜轉換的情況，在方程式(9)中，為頻譜圖而 為任意數，為了簡化符號使用以下表示，, , ，可被表示為

      (11)

頻譜圖的核為

       (12)

令, 為窗函數，然而在狀況下得

      (13)

使其核滿足 

      (14)

其核亦滿足

其證明可見Janssen[4]. 當不等於1時，

      (15)

      (16)

參考資料

時頻分析