雷諾傳輸定理

雷諾傳輸定理也稱為萊布尼茲-雷諾傳輸定理或雷諾输运定理，是以積分符號內取微分聞名的萊布尼茲積分的三維推廣。
 
雷諾傳輸定理得名自奧斯鮑恩·雷諾（1842–1912），用來調整積分量的微分，用來推導連續介質力學的基礎方程。

考慮在時變的區域積分，其邊界為，考慮上式對時間的微分：

若要求上述積分的導數，會有兩個問題，的時間相依性，及因動態的邊界而增加或減少的空間，雷諾傳輸定理提供了必要的框架。

通用型式 
雷諾傳輸定理可表為以下形式是：

其中為向外的單位法向量，為區域中的一點，也是積分變數， 及是位於的體積元素及表面元素，為面積元素的速度而非流速。函數可以是張量、向量或純量函數。注意等式左邊的積分只是時間的函數，所以採用全微分符號。

針對流體塊的形式
在連續介質力學中，此定理常用在沒有物質進來或離開的流體塊或固體中。若為一流體塊，則存在速度函數及邊界元素符合下式

上式在替代後，可以得到以下的定理

{| class="toccolours collapsible collapsed" width="50%" style="text-align:left"
!針對一流體塊的證明
|-
|
令為區域的參考組態，令其運動及形變梯度為

令.
則目前組態及參考組態的積分有以下的關係

That this derivation is for a material element is implicit in the time constancy of the reference configuration: it is constant in material coordinates. 針對體積積分的微分定義為

將上式轉換為對參考組態的積分，可得

因為和時間無關，可得

現在，的時間導數為 

因此

其中為的，現在材料導數為

因此

或者

利用以下的恆等式

可得

利用高斯散度定理及恆等式 
，可得

|}

錯誤的引用 
此定理常被錯誤的引用為只針對物质体积（material volume）的形式，若將只針對物质体积應用於物质体积以外的區域中，就會出現問題。

特別形式
若不隨時間改變，則，且恆等式化簡為以下的形式 

不過若用了不正確的雷諾傳輸定理，無法進行上述的簡化。

在一維下的詮釋及簡化
此定理是積分符號內取微分的高維延伸，有些情形下可以簡化為積分符號內取微分。假設和和無關，且為平面的單位方塊，且有及的極限，雷諾傳輸定理會簡化為

上述是由積分符號內取微分來的表示式，但x及t變數已經對調。

相關條目
積分符號內取微分

腳註

參考資料
L. G. Leal, 2007, Advanced transport phenomena: fluid mechanics and convective transport processes, Cambridge University Press, p. 912.
O. Reynolds, 1903, Papers on Mechanical and Physical Subjects, Vol. 3, The Sub-Mechanics of the Universe, Cambridge University Press, Cambridge.
J. E. Marsden and A. Tromba, 2003, Vector Calculus, 5th ed., W. H. Freeman .

外部連結
 Osborne Reynolds, Collected Papers on Mechanical and Physical Subjects, in three volumes, published circa 1903, now fully and freely 

available in digital format:Volume 1, Volume 2, Volume 3,
 https://web.archive.org/web/20080327180821/http://www.catea.org/grade/mecheng/mod6/mod6.html#slide1
 http://planetmath.org/reynoldstransporttheorem 

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