長球波函數

在數學中，長球波函數由一個限時、限頻、與第二個限時的函數相乘而成。假定表示一個切截時間的運算器，且，則x必為有限時間區間的函數，當x在的區間內。同理，假定表示一個理想的低頻濾波器，且，則x必為有限頻寬區間的函數，當x在的區間內。透過組合上述運算子，使得轉變成線性、有界且的運算式。對於，我們假設為第n項的本徵函數，定義下列函式

 

其中為對應的本徵值。此時限函數即為長球波函數(PSWFs).在此領域中，幾個非常重要的先驅文章由Slepian and Pollak, Landau and Pollak, and Slepian.所提出。

這些函數有些不同的意涵，當在解亥姆霍兹方程，透過在長球面坐標系做變數分離，使得各代表：

  and .
 
得到解為長球波函數與角球波函數的成積乘上. 這裡的變數c可定義為, with 為長球的橢圓截面的兩焦點的距離。

徑向波(The radial wave function)滿足線性常微分方程:

此本徵值在Sturm-Liouville 微分方程中已被固定，透過設定為有限函數，當 .

角波函數滿足下列微分方程：

這跟徑向波函數式為同樣的微分方程。然而，這兩式的變數的範圍是不同的(在徑向波函數中)，在角波函數中)。

當給定，這兩個微分方程可以簡化成滿足伴隨勒讓德多項式的式子。當給定，角波函數可被展開成勒讓德級數。

注意，如果我們將角波函數寫成，函數將滿足以下線性微分方程：

此函數為球波函數。這個輔助方程式在Stratton 1935年的文章被當作例子。

現存不少不同的球函數標準化的方法，在Abramowitz and Stegun.的文章中有整理的表格。Abramowitz跟Stegun(以及現在的相關文章)都沿用Flammer當初提出來的符號。

一開始，球波函數是由C. Niven,提出，他在球座標上引入Helmholtz方程式。許多專題論文已經探討出球波函數的很多面向，例如Strutt, Stratton et al., Meixner and Schafke, and Flammer.等人的作品。

Flammer提供了一個完整的討論，計算出長球與扁球的本徵值、角波函數與徑函數。許多電腦程式已經因應發展出來，其中包含King與其團隊, Patz和Van Buren, Baier與其團隊, Zhang和Jin, Thompson,、Falloon. Van Buren和Boisvert最近發展出新的方法去計算出長球波函數，延伸了數值解的能力，能運算極廣的變數範圍。Fortran原始碼結合了新的結果與傳統的方法，可見於http://www.mathieuandspheroidalwavefunctions.com.。 
 
Flammer, Hunter, Hanish et al., and Van Buren et al.等人也提出了數值解的整理表格。

NIST提供的DLMF(Digital Library of Mathematical Functions)(http://dlmf.nist.gov)是個了解球波函數的良好資源。

關於值域落在單位球的表面的長球波函數，我們通稱為"Slepian functions" (另見「頻譜集中問題」)。這函數存在非常多的應用，像是大地測量以及宇宙學.

參考文獻

外部連結 
 MathWorld Spheroidal Wave functions 
 MathWorld Prolate Spheroidal Wave Function 
 MathWorld Oblate Spheroidal Wave function 

特殊函数
小波分析