半立方抛物线

半立方抛物线（cuspidal cubic）是一個參數式如下的平面代數曲線

其為

可以求得得到以下的式子

此三次平面曲線在原點有一尖點。

若令, ，且令，可得

這意味著，針對任意的實數，此曲線都可以到的曲線，也就是說，不同的只對應不同的單位長度。

性質
有一種特殊的半立方抛物线，是抛物线的渐屈线，其方程式為

若將Tschirnhausen cubic catacaustic展開，可以證明也是半立方抛物线：

半立方抛物线的另一個特性是其為，也就是說一物體在其曲線上，因重力而往下移動，在相同的時間內會移動相同的距離。因此此曲線和等時降線有關，也是物體在不同的位置因重力同時往下移動，會在相同的時間到達最下方。此曲線也和最速降線問題有關，物體沿此軌跡，會從起點以最快速度到達終點。

半立方抛物线等時曲線的特性是由雅各布·伯努利為了回答戈特弗里德·莱布尼茨在1687年提出的一個挑戰，在1690年提出此曲線的特性。

參考資料

外部連結

曲線