对偶范数

对偶范数是数学中泛函分析里的概念。考虑一个赋范向量空间的对偶空间时，常常需要给对偶空间赋以合适的几何架构。对偶范数是一种自然的赋范方式。

定义

对偶空间

给定一个系数域为赋范向量空间（比如说一个巴拿赫空间）（其中通常是实数域或复数域），所有从到上的连续线性映射（也称为连续线性泛函）的集合称为的（连续）对偶空间，记作：.

对偶范数
可以证明，是一个向量空间。其上可以装备不同的范数。对偶范数（）是一种自然的范数定义方式，定义为：

由于中的元素的是连续线性泛函，所以按照以上定义的范数必然存在，是一个有限正实数。引进了对偶范数後，成为一个赋范线性空间。可以证明，在对偶范数下必然是完备的，所以是巴拿赫空间。

证明：
给定一个由中元素构成的柯西序列：，其中每一个都是-线性泛函。由柯西序列的定义可知，
 使得
所以对中任何元素，都有：

这说明是柯西数列，因而收敛：数列的极限存在。定义函数如下：

这样定义的函数 是连续线性泛函，属于。事实上：
 是线性映射：

 是连续映射：
将定为1，则存在，使得，都有，这说明：
 因此，  都有 
当趋向无穷大时，就有：。这说明 是连续映射。
最后证明 是序列在对偶范数下的极限：
给定，总能找到，使得：
 所以，

当趋向无穷大时，就有：
因此，
这说明序列在对偶范数下收敛到。所以是完备空间。

例子
给定两个大于1的实数和。如果两者满足：，那么序列空间和互相是对偶空间（在同构的意义上）。装备的是序列p-范数之时，它的对偶空间装备的对偶范数可以和装备了序列q-范数的建立等距同构。当时，以上性质说明，和自身对偶。

参见

参考来源

泛函分析
对偶理论