正轴形

在几何学中，正轴形，或称交叉形、正交形、超正八面体、-{zh-hans:余; zh-hant:餘;}-方形，是一个正的、凸的、存在于任意维度的多胞形。正轴形的顶点坐标都是(±1, 0, 0, …, 0)的全排列，正轴形是这些顶点的凸包。它的(n-1)维表面是(n-1)维的正单纯形，而正轴形的顶点图是前一维的另一正轴形。

n维正轴形也可以用在Rn中ℓ1-赋范下的单位球（或者，对于某些学者，单位球面）来定义；

在一维，正轴形就是线段 [−1, +1]，在二维它是正方形（或叫做正菱形），有顶点{(±1, 0), (0, ±1)。在三维它是正八面体—五个正多面体，即柏拉图立体之一。更高维的正轴形总结如下：

正轴形是超方形的对偶多胞形。n维正轴形的是T(2n,n)。

四维 
四维正轴形也被叫做正十六胞体。它是6个四维凸正多胞体之一。这些多胞体最先被瑞士数学家路德维希·施莱夫利在19世纪中期描述过。

更高维 

正轴形家族是三个延伸至正无穷维的正多胞形家族之一，考克斯特将其标记为βn，另外两个是超方形家族，记为γn，以及单纯形家族，记为αn第四个非凸多胞形的家族，超方形密铺家族，他将其标记为δn。

n维正轴形有2n个顶点，及2n个全都是(n−1)-单纯体的维面（n−1 维组成元素）。它的顶点图 都是n − 1维的正轴形。正轴形的施莱夫利符号是{3,3,…,3,4}。n-维正轴形的二面角是
.

n-维正轴形的k-维组成元素（顶点、棱、面、…、维面）的个数由以下公式给出（见二项式系数）：

n-维正轴形的超体积为：

这里有许多能够以二维图像展示正轴形的正交投影，皮特里多边形投影是常用的一种投影，将其顶点，投影到一个2n边形或更低阶的正多边形上。第二次的投影再投影于更低维中的2(n-1)边皮特里多边形，例如双角锥，我们可将其沿主轴投影，两个顶点被投影到了投影的中心。

等轴正轴形的顶点在曼哈顿距离下，任意两点之间的距离都是相等的（L1赋规）。即是说这个由2d 个点组成的集合是在这距离下最大的等距集。

另见 

 正图形
 ，正轴形的对称群。

注释

参考
 p. 296, 表 I (iii): Regular polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n>=5)

外部链接 

 
 Polytope Viewer （点击<polytopes...>来选择正轴形。）

多维几何
多胞形