漢彌爾頓矩陣

在數學上，若一個階矩陣是一個漢彌爾頓矩陣，則對此矩陣而言，會是一個對稱矩陣，而其中這個矩陣具有以下的形式：

其中是階矩陣單位矩陣。也就是說，若是一個漢彌爾頓矩陣若且唯若，在此處表示矩陣的轉置

性質

假設一個階的矩陣可寫成如下形式的分塊矩陣：

其中、、、皆為階矩陣，則「是漢彌爾頓矩陣」的這條件與「和這兩個矩陣皆為對稱矩陣，且」的這條件等價。另一個是漢彌爾頓矩陣時的這條件等價的條件為「存在一個對稱矩陣，使得 with 」

從轉置的定義，可輕易地得知說一個漢彌爾頓矩陣的轉置也是漢彌爾頓矩陣，兩個漢彌爾頓矩陣的和也是彌爾頓矩陣，一個漢彌爾頓矩陣的交換子也是漢彌爾頓矩陣。由所有同階的漢彌爾頓矩陣組成的空間形式一個李代數，記作，而的維度則為。與這個李代數相對應的李群是這個辛群。這個群可將之視作由辛矩陣所構成的一個群，其中若一矩陣為一辛矩陣，則它滿足這條件。因此，一個漢彌爾頓矩陣的指數是一個辛矩陣，而一個辛矩陣的對數是一個漢彌爾頓矩陣。

實漢彌爾頓矩陣的特徵多項式是個偶函數，因此若是一個漢彌爾頓矩陣的特征向量，則、和也都會是該矩陣的特徵向量。而這也說明了一個漢彌爾頓矩陣的跡會是零。

一個漢彌爾頓矩陣的平方是一個斜漢彌爾頓矩陣（skew-Hamiltonian matrix。若一個矩陣滿足這條件，則它是一個斜漢彌爾頓矩陣）；另一方面，每個斜漢彌爾頓矩陣都是一個彌爾頓矩陣的平方。

在複矩陣上的推廣
漢彌爾頓的定義可用兩種方式推廣到複矩陣上。一種方法是如上所述般定義說若一矩陣滿足這條件，則該矩陣是一個漢彌爾頓矩陣；另一個方式是利用這條件，其中表示矩陣的共轭转置。

漢彌爾頓算子
設為一個向量空間，在其上有著辛形式。那麼當「是對稱的」這條件滿足時，就稱線性變換是一個對的漢彌爾頓算子（Hamiltonian operator），也就是說它當滿足下式：

若選擇一個基 in ，使得可寫成這樣的形式，則一個對線性算子是漢彌爾頓算子，當且僅當在這個基中與此算子對應的矩陣是漢彌爾頓矩陣。

參照

矩陣