Horofunction

數學上，horofunction是定義在一個完備度量空間X上的函數，是X上的距離函數的極限。horofunction是米哈伊爾·格羅莫夫將推廣而引入的概念。

定義
設(X,d)為完備度量空間。取基點。對任一點，定義距離函數

這個函數連續，因此在X的連續函數空間C(X)中。在空間C(X)中賦以sup範數，建立的映射
 
易知這個映射是等距嵌入，稱為Kuratowski嵌入。

考慮商空間，並以在X中的有界集上一致收斂作為拓撲。把C(X)投射到C'，得到從X到中的嵌入。這個嵌入不依賴於基點o。

設X是可數緊緻的。定義為X在中的閉包，則稱為X的horofunction緊緻化（horofunction compactification）。又定義邊界，則稱為X的horofunction邊界（horofunction boundary）。一個連續函數 稱為horofunction ，如果h投射到的像b是在內。稱h是以b為中心的horofunction。集合稱為開horoball，而則稱為horosphere。

參考
 Gromov, M., Hyperbolic manifolds, groups and actions
 Andreev, P. D.,A. D. Alexandrov's Problem for Non-Positively Curved Spaces in the Sense of Busemann. Russian Mathematics. 2010, 54(9):7–29.

度量幾何