香农小波

在泛函分析中，香农小波（）（或Sinc小波）是由理想带通滤波器进行信号分析定义的信号分解方法。香农小波可以是实小波，也可以是复小波。

香农小波在时域局域化特性不好（时域非紧支撑），但其傅里叶变换是带限的（频域是紧支撑）。因此香农小波的时间定位性能较差，但频率定位性能良好。这些特征恰好与哈尔小波相反，因为Haar和sinc系统是彼此的傅里叶对偶。

定义 
香农小波的构建从Sinc函数开始。

尺度函数 
首先由sinc函数定义香农小波的尺度函数：

其伸缩和平移为：

其中， 为伸缩和平移的参数。

尺度函数的傅里叶变换为：

 

其中（归一化的）矩形函数定义为：

 

尺度函数在傅里叶域中的伸缩和平移定义为：

母小波 
由尺度函数  和多分辨率近似，我们可以得出香农母小波在傅里叶域的形式：

其伸缩和平移形式为：

对其进行逆傅里叶变换，可以得到香农母小波函数的伸缩和平移形式：

进一步了解香农小波的构建可以参考。

尺度函数和母小波的性质 

 母小波是单位正交的：

 尺度  的尺度函数的平移是正交的：

 尺度的尺度函数和母小波时正交的：

 香农小波有无穷阶的消失矩

利用香农小波重建函数 
假设信号  满足  并对任意伸缩和平移参数 都有：

, 

则

 是一致收敛的，其中

实香农小波 
在傅里叶变换中，香农母小波由下式给出：
 
其中（归一化）门函数由下式定义：
 
实香农小波的解析表达式可由逆傅里叶变换得到：
 
也可按：
 
其中
 
是出现在香农采样定理中的常见正弦函数。
该小波有级的可微性，但是在无穷远处缓慢减小并且没有有界支撑，因为有频带限制的信号没有时间限制。

对于香农MRA（或是正弦MRA）的缩放函数由下面示例函数给出：

复香农小波  
复连续香农小波由下式定义：
,

参考资料 
S.G. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing,Academic Press, 1999, ISBN 0-12-466606-X
C.S. Burrus, R.A. Gopinath, H. Guo, Introduction to Wavelets and Wavelet Transforms: A Primer, Prentice-Hall, 1988, ISBN 0-13-489600-9.
L.W. LIU, Construction of Interval Shannon Wavelet and Its Application in Solving Nonlinear Black-Scholes Equation, 2014， 9 pages.

小波分析