均差

均差（Divided differences）是遞歸除法過程。在数值分析中，可用於計算牛頓多項式形式的多項式插值的係數。在微积分中，均差与导数一起合称差商，是对函数在一个区间内的平均变化率的测量。

均差也是一种算法，查尔斯·巴贝奇的差分机，是他在1822年发表的论文中提出的一种早期的机械计算机，在历史上意图用来计算对数表和三角函数表， 它设计在其运算中使用这个算法。

定義 
給定n+1個數據點

定義前向均差為：

定義後向均差為：

表示法

假定數據點給出為函數 ƒ，

其均差可以寫為：

對函數 ƒ 在節點 x0, ..., xn 上的均差還有其他表示法，如：

例子

給定ν=0：

為了使涉及的遞歸過程更加清楚，以列表形式展示均差的計算過程：

展開形式
用數學歸納法可證明：

此公式體現了均差的對稱性質。故可推知：任意调换數據點次序，其值不变。

性质
对称性：若是一个排列则 
 
線性：
 
：
 

：

等價定義
通過對換 n 阶均差中(x0,y0)与(xn-1,yn-1)，可得到等價定義：

這個定義有著不同的計算次序：

以列表形式展示這個定義下均差的計算過程：

牛頓插值法

牛頓插值公式，得名於伊薩克·牛頓爵士，最早发表为他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編“宇宙體系”的引理五，此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續泰勒展開的離散對應。

使用均差的牛顿插值法為：

可以在计算过程中任意增添节点如點(xn+1,yn+1)，只需計算新增的n+1階均差及其插值基函數，而无拉格朗日插值法需重算全部插值基函数之虞。

對均差採用展開形式：

以2階均差牛頓插值為例：

前向差分

當數據點呈等距分佈的時候，這個特殊情況叫做“前向差分”。它們比計算一般的均差要容易。

定義

給定n+1個數據點

有著

定義前向差分為：

前向差分所对应的均差为：

例子

展開形式
差分的展開形式是均差展開形式的特殊情況：

這裡的表達式

是二項式係數，其中的(n)k是“下降階乘冪”，空積(n)0被定義為1。

插值公式
其對應的牛頓插值公式為：

無窮級數
牛頓在1665年得出並在1671年寫的《流數法》中發表了ln(1+x)的無窮級數，在1666年得出了arcsin(x)和arctan(x)的無窮級數，在1669年的《分析學》中發表了sin(x)、cos(x)、arcsin(x)和ex的無窮級數；萊布尼茨在1673年大概也得出了sin(x)、cos(x)和arctan(x)的無窮級數。布魯克·泰勒在1715年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa》中研討了“有限差分”方法，其中論述了他在1712年得出的泰勒定理，這個成果此前詹姆斯·格雷果里在1670年和萊布尼茨在1673年已經得出，而約翰·伯努利在1694年已經在《教師學報》發表。

他對牛頓的均差的步長取趨於0的極限，得出：

冪函數的均差
使用普通函數記號表示冪运算，，有：

此中n+1元m次齊次多項式的記法同於多項式定理。

泰勒形式
泰勒級數和任何其他的函數級數，在原理上都可以用來逼近均差。將泰勒級數表示為:

均差的泰勒級數為：

前項消失了，因為均差的階高於多項式的階。可以得出均差的泰勒級數本質上開始於：

依據，這也是均差的最簡單逼近。

皮亞諾形式

均差還可以表達為

這裡的Bn-1是數據點x0,...,xn的n-1次B樣條，而f(n)是函數f的n階導數。這叫做均差的皮亞諾形式，而Bn-1是均差的皮亞諾核。

註釋與引用

参考书目

參見
差分
差商
插值
牛頓多項式

有限差分