测度收敛

测度收敛是测度论中的一个概念： 假设可测空间上有一个有趣却很难直接构造的测度μ，我们希望能找到一列相对容易构造或分析的测度  ，随着  的增大，  的性质与  越来越相似。 '越来越相似' 和一般的 序列的极限的想法一致：对于任何可接受的误差  ，只要  充分大， 对于任何  ，   和  之间的'差别'小于  。 收敛的定义也就取决于'差别'的定义。 这些定义可能互相不等价，强弱有别。

下面介绍3种最常见的测度收敛的定义。

测度的总变差收敛

测度的强收敛

测度的弱收敛 
在数学和统计学中, 弱收敛 (即为泛函分析中的 弱*收敛)是 测度论中广泛应用的一种收敛。 
下面是几种测度弱收敛的等价定义。 这些等价定义被称为 portmanteau定理.

定义   为拥有 Borel σ-代数 的 度量空间 。我们称一列(S, Σ)上的 概率测度   ,  弱收敛于概率测度  ,（记为
）
如果下面任何一条条件得到满足 (  为关于概率  的数学期望， 为关于概率  的数学期望):
  对于任何有界连续的函数 ,
  对于任何有界且满足 Lipschitz条件的函数  ,
  对于任何有上界的 上半连续 的函数  ,
  对于任何有下界的 下半连续 的函数  ,
  对于任何空间S中的闭集  ;
  对于任何空间S中的开集  ;
  对于任何关于概率P连续的集合 .

參考來源

参考文献
 
 
 

测度论
Measure, Convergence of