割圆连比例

割圆连比例是清代级数理论的几何学基础，最先由明安图在《割圜密率捷法》卷三、四《法解》中阐明，其后经董祐誠、项名达等数学家的工作而趋于完善。。割圆连比例的中心问题是已知圆弧长度，如何求弦长及矢高，或已知弦长、矢高，如何求得弧长。割圆连比例中心方法是结合由西方传入的连比例方法，结合传统中算方法，将圆弧分割成多等分，画出多条矢，然后构造一系列相似三角形获得一系列连比例式，再将圆弧分割越细，以折线逼近弧线，求得弧长。

历史背景 
1701年，法国耶稣会传教士杜德美（Pierre Jartoux  1668年至1720年）来到中国，他带来了由艾萨克·牛顿和J.格雷戈里创建的三个三角函数无穷级数 

这些计算的“捷法”只涉及乘法和加减运算，速度远超传统刘徽割圆术涉及的平方根计算，因而激起了中国数学家的极大兴趣。然而杜德美没有将推导这些无穷级数的方法带来中国。明安图怀疑西方人不愿分享他们的秘密，于是他着手进行这项工作，前后历时30年，完成了书稿《割圜密率捷法》，他在书中创建几何模型用于获得三角函数无穷级数，不仅推出杜德美的三个无穷级数，还发现了六个新的无穷级数。在这个过程中，他发现和应用卡塔蘭數。

连比例

如图一 ABC,BCD,CDE,DEF,FDG…… 是一系列相似三角形，于是。

AB:BC=BC:CD=CD:EF=EF:DF=DF:DG;
 AB为第一率，以表示
 BC为第二率，以 表示
 BC为第二率，以 表示
 CD为第三率，以 表示
 DE为第四率，以 表示
 EF为第五率，以 表示
 FG为第六率，以 表示
 ……
 第m率：
于是：

…………

又：

明安图割圆连比例

由二分弧通弦率数求全弧通弦率数法
如图BCD为全弧，AB=AC=AD=为半径,令半径=1；BD为通弦，BC、CD为1/2 分弧。作BG=BC=x,作直线CG;又作DH=DC,连CH直线。因此，

作EJ=EF,FK=FJ；延长BE直线至L，并令EL=BE;作BF=BE,使F在AE线上。连BF延长至M，并BF=MF；连LM，显然LM通过C点。将三角形BLM以BM为轴反转成三角形BMN,C点重合G，L点重合N。将三角形NGB以BN为轴反转至BMI；显然BI=BC。

作CG之平分线BM，并令BM=BC；连GM、CM；作CO=CM交BM于O;作MP=MO；作NQ=NR，R为BN与AC之交点。∠EBC=1/2 ∠CAE=1/2 ∠EAB;  ∠EBM=∠EAB;于是得到一系列相似三角形：ABE,BEF,FJK,BLM,CMO,MOP,CGH,而且三角形CMO=三角形EFJ;于是得:
连比第一率:AB=AC=AD=AE
连比第二率：BE=BC=BF=C
连比第三率:EF=CM
连比第四率:FJ
连比第五率:JK=OP

1:BE=BE:EF；即

于是,

即

因为 风筝形ABEC 与BLIN相似，。

 即 
令

由此得 或
又,代人p值得：

,于是

上式平方之，两边除以16：

即

依次类推
。

将下列二式相加，可以消去项：

同理
,

.......

 

展开式各项分子的系数 1，1，2，5，14，42，132……（见图二  明安图原图最后一行，由右至左读）乃是卡塔兰数,明安图是发现此数的世界第一人。

因而得到：

。

其中

为明安图-卡塔兰数。
明安图利用他首创的递推关系：

代人
最后得到。

三角学意义
在图一中令BAE角=α，BAC角=2α
x=BC=sinα
q=BL=2BE=4sin(α/2)
BD=2sin(2α)
明安图获得的 
就是

即

由三分弧通弦率求全弧通弦率

如图，BE为全弧通弦，BC=CE=DE=a为三等分弧。AB=AC=AD=AE=1 为半径。连BC、CD、DE、BD、EC；作BG、EH=BC，Bδ=Eα=BD,于是三角形Cαβ=Dδγ；又三角形Cαβ与三角形BδD相似。

因此：
,

依次类推，最后得：

。

四分弦

+……

。。
几何意义：

 。

五分弦

几何意义：
。

十分弦

从十分弦开始，明安图不再作几何模型，而是对无穷级数进行代数运算

显然十分弦等于五分弦和二分弦的组合，即

;
展开即得：

+……。

百分弧
同理，

,展开后即得：
……。

千分弧
……。

万分弦
…………。

弧背求通弦
y100,y1000 and y10000 可表为:

..........

..............

..................

分弦数越大，分母24.000000240000002400、24.000002400000218400*80越接近
24 、  24*80 ；当分弦数n趋向无穷大，  n*a, 就变成 弧背，于是

令c 为弦，a 为弧背，

.....

通弦求弧背
明安图求得上述无穷级数的反逆，将弧表示为弦的无穷级数:

............

正弦的无穷级数展开
,

令 r=1

…………

。

参考文献

明安图原著 罗见今译注 《割圆密率捷法译注》内蒙古教育出版社 1998 ISBN 7-5311-3584-1
Yoshio Mikami, Development of Mathematics in China and Japan
李俨 《中算史论丛》 第三集 《明清算家的割圆术研究》《李俨钱宝琮科学史全集》第7卷 

中國古代數學
数学近似