超極限

數學上，超極限是幾何的構造法，對一個度量空間序列Xn指定一個度量空間為其極限。超極限推廣了度量空間的格羅莫夫－豪斯多夫收斂。

超濾子
在自然數集上的超濾子ω，是一個有限可加的集合函數（可視為有限可加測度），從自然數集的冪集映射到集合{0,1}上，使得。一個在上的超濾子ω 稱為非主要的，若對所有有限子集， 都有ω(F)=0。

點序列關於一個超濾子的極限

設ω是上的非主要超濾子。
若是度量空間(X,d)上的點序列，x∈ X，稱x是xn的ω -極限，記為，若對所有都有

不難看出：
 若一個點序列的ω-極限存在，則是唯一的。
 若在標準意義下，則。（這性質成立，關鍵在超濾子是非主要的。）

若(X,d)緊緻，則每個點序列都存在ω-極限。故此，實數的有界序列都存在ω-極限。

有基點度量空間的超極限
設ω是在上的非主要超濾子。設 (Xn,dn) 是度量空間，有基點pn∈Xn。

考慮序列，其中xn∈Xn。這個序列稱為容許的，若實數序列(dn(xn,pn))n有界，也就是存在正實數C，使得。記容許序列的集合為。

由三角不等式可知對兩個容許序列及，序列(dn(xn,yn))n有界，因此存在ω-極限。在中定義關係如下：對，每當時便有 。易知 是等價關係。

序列(Xn,dn, pn)關於ω的超極限是一個度量空間，定義如下。

作為集合，有。

對兩個容許序列及的等價類，定義

不難看到有良好定義，且為 上的度量。

記。

備註

幾何群論
度量幾何