哈密顿-雅可比-贝尔曼方程

哈密顿-雅可比-贝尔曼方程（Hamilton-Jacobi-Bellman equation，簡稱HJB方程）是一個偏微分方程，是最佳控制的中心。HJB方程式的解是針對特定動態系統及相關成本函數下，可以有最小成本的控制實值函數。

若只在某一個區域求解，HJB方程是一個必要條件，若是在整個狀態空間下求解，HJB方程是充分必要條件。其解是針對開迴路的系統，但也允許針對閉迴路系統求解。HJB方程也可以擴展到隨機系統。

一些經典的變分問題，例如最速降線問題，可以用此方法求解。

HJB方程的基礎是以1950年代由理查德·貝爾曼及其同仁提出的動態規劃。對應的離散系統方程式一般稱為貝爾曼方程。在連續時間的結果可以視為由卡爾·雅可比及威廉·哈密頓提出，經典力學中哈密顿－雅可比方程的延伸。

最佳控制的問題

考慮在時間內，以下確定系統最佳控制的問題：

其中C[ ]為純量成本函數，D[ ]為計算其最終狀態時效力時或經濟值的函數，x(t)為系統狀態向量，x(0)假設已知，及u(t)是想要求得的控制向量，在 0 ≤ t ≤ T。

此系統也需滿足下式：

其中F[ ]可以根據狀態向量決定向量後續的變化。

偏微分方程

針對上述簡單的系統，哈密顿-雅可比-贝尔曼微分方程如下：

需符合以下條件

其中為向量a和b的內積，而為梯度運算子。（注意： 表示  对  求导，非对  求导！）

上述PDE中的未知向量是貝爾曼間接效用函數，表示從時間，狀態開始控制系統，以最佳方式控制系統一直到時間的成本。

推導HJB方程
HJB方程可以用以下的方式推導：假設是最佳的成本函數，則根據理查·貝爾曼的貝爾曼方程，從時間t到t + dt，可得：

注意最後一項的泰勒展開式如下：

其中o(dt)是泰勒展開式中的高階項，若在等式兩側刪除V(x(t), t)，除以dt，並取dt趨近為零的極限，可得上述定義的HJB方程。

求解方程

HJB方程一般會用求解，也就是從往前求解到。

若對整個狀態空間求解，HJB方程是最佳解的充份必要條件。若可以求解，就可以找到達到最小成本的控制。

一般而言，HJB方程不會有一個傳統光滑函数的解。為了這些情形發展了許多廣義解的表示方式，包括皮埃爾-路易·利翁及的粘性解，Andrei Izmailovich Subbotin的極小化極大演算法等。

延伸到隨機問題
上述的作法主要是應用贝尔曼的最优化原理，以及在時間上由最終時間倒推求解，針對隨機控制問題也可以用類似的作法求最佳解。考慮以下的問題

此時為隨機過程，而為控制變數。首先使用貝爾曼方程，再用伊藤引理將展開，可以得到以下的隨機HJB方程。

其中為隨機微分運算子，以下是最終時間的限制條件。

注意此時已沒有隨機性了。此例中後者的不一定是原來方程式的解，它只是可能解之一，需要再作驗證。此技巧常用在財務數學中，決定在市場中的最佳投資策略（例如像）。

在LQG控制的應用

下例是一個有線性隨機動態特性的系統，有二次式的成本。若系統動態為

而成本以以下的速度累積，則HJB方程為

假設價值函數是二次式，可以將一般的Riccati方程用在價值函數的海森矩阵中，即為線性二次高斯控制（LQG控制）。

相關條目
 貝爾曼方程，離散的哈密顿-雅可比-贝尔曼方程。
 Pontryagin最小值定理，是將哈密顿量最小值，是最佳化必要但不充份的條件，和哈密顿-雅可比-贝尔曼方程相比的好處是只要考慮滿足條件的單一軌跡。

參考資料

延伸閱讀
 

偏微分方程
動態規劃