特殊直角三角形

特殊直角三角形是一些有特殊性質的直角三角形，其特殊性質可能是使三角形的計算更加方便，或是存在一些較簡單的公式。例如有些三角形的內角有一些簡單的關係，例如45–45–90度三角形，這是各角有特殊關係的直角三角形。也有些直角三角形的各邊有特殊關係，例如各邊的比例可以用自然數表示，例如3 : 4 : 5，或是可以用黃金比例表示等。若在處理這些三角形時知道其特殊的邊關係或角關係，可以快速的計算一些幾何問題而不需用到一些較複雜的公式。

各角有特殊關係

直角三角形的各角有其基本關係：最大角（直角）為90度，也等於另外二角的和。但有些直角三角形的各角還有其他特殊關係。

直角三角形的邊長一般會用單位圓或其他幾何方式推導而成，若角度為30°, 45°或60°，其三角函數的數值計算會比其他的角度會簡單很多。

以下是一些特殊角的三角函數

45–45–90度三角形、30–60–90度三角形以及正三角形是平面上的三種莫比斯三角形，任一內角都可以找到對應整數，使內角和整數的乘積為180，參照。

45–45–90度三角形

在平面幾何中，將正方形繪製一條對角線會產生一個角度比例為1 : 1 : 2的三角形，而內角和為180度（或是π弧度），因此各角角度為45° (π/4)、45° (π/4)和90° (π/2)。依畢氏定理可得其邊長比例為1 : 1 : √2，因此45–45–90度三角形為等腰直角三角形。若繪製45–45–90度三角形斜邊的中線，中線會將45–45–90度三角形分割為另外二個較小的45–45–90度三角形，邊長是原來的1/√2。

45–45–90度三角形為等腰直角三角形，在平面幾何中，這也是唯一是等腰三角形的直角三角形。不過在球面幾何學或雙曲幾何中，有無限種也是等腰三角形的直角三角形。

30–60–90度三角形

若三角形各角的比例是1 : 2 : 3，其各角角度會是30°、60°和90°。各邊的比例會是1 : √3 : 2。

使用三角函數可以證明上述的事實．利用幾何學的證明如下：

繪製邊長為2的正三角形ABC，並令D點為線段BC的中點。連接線段AD，則三角形ABD為 30–60–90度三角形，其斜邊長度為2，一股BD長度為1。

另一股AD的長度為√3，可以由畢氏定理求得。

30–60–90度三角形是平面幾何中唯一一個角度呈等差數列的直角三角形。其證明很簡單：假設三個角的角度為等差數列，可以表示為為α, α+δ, α+2δ，因為內角和為180°，可得3α+3δ = 180°，其中有一角會是60度，而且最大角需為90度，因此最小角會是30度。

角度呈等比數列的直角三角形

在平面幾何中，30–60–90度三角形是唯一一個角度呈等差數列的直角三角形，角度呈等比數列的直角三角形也只有一種，其角度為π/(2φ2)、π/(2φ)、π/2，其中公比為黃金比例φ。三個內角的比例為。

根據正弦定律，各邊的比例會是。因為各邊長的關係也要滿足畢氏定理，因此可得。

另外，存在以下的恆等式：

有趣的是，若將餘弦函數以指數來表示，可以得到一個「黃金比例恆等式」，其中有出現黃金比例φ，和出現在歐拉恆等式中的五個數學基本常數π, e, i, 1, 0（不過歐拉恆等式比較簡潔）：

各邊有特殊關係

若三角形各邊為整數，三角形的三邊稱為勾股數，其各角的角度不會是整數。這類的直角三角形容易記憶，而且三角形的各邊比例只要一様，即為相似三角形，就會有一様的特質。利用歐幾里得產生勾股數的公式，勾股數的比例比必定滿足以下的關係

其中m和n均為正整數，而且m>n。

常見的勾股数

以下是前五個勾股数：
{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"
!align="right"|3:||align="center"|4 ||align="left"|:5
|-
!align="right"|5:||align="center"|12||align="left"|:13
|-
!align="right"|8:||align="center"|15||align="left"|:17
|-
!align="right"|7:||align="center"|24||align="left"|:25
|-
!align="right"|9:||align="center"|40||align="left"|:41
|}

其中3 : 4 : 5三角形是唯一邊長呈等差數列的直角三角形，在埃及稱為「埃及三角形」。由勾股数的有理數組成的三角形都是海倫三角形，表示其邊長和面積都是有理數。

以下是所有二股都小於256的互質勾股数組：
{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" align="left"
!align="right"|3:||align="center"|4 ||align="left"|:5
|-
!align="right"|5:||align="center"|12||align="left"|:13
|-
!align="right"|8:||align="center"|15||align="left"|:17
|-
!align="right"|7:||align="center"|24||align="left"|:25
|-
!align="right"|9:||align="center"|40||align="left"|:41
|-
!align="right"|11:||align="center"|60||align="left"|:61
|-
!align="right"|12:||align="center"|35||align="left"|:37
|-
!align="right"|13:||align="center"|84||align="left"|:85
|-
!align="right"|15:||align="center"|112||align="left"|:113
|-
!align="right"|16:||align="center"|63||align="left"|:65
|-
!align="right"|17:||align="center"|144||align="left"|:145
|-
!align="right"|19:||align="center"|180||align="left"|:181
|-
!align="right"|20:||align="center"|21||align="left"|:29
|-
!align="right"|20:||align="center"|99||align="left"|:101
|-
!align="right"|21:||align="center"|220||align="left"|:221
|}

斐波那契三角形

從5開始，斐波那契數列中的第6項、第8項、第10項...等偶數項（假設0為第1項）{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...} 為邊長為整數的直角三角形的斜邊，也就是勾股數中最大的一項。二股中較長的一股為上一個斐波那契三角形的三邊和，較短一股為跳過的斐波那契數減去上一個斐波那契三角形的最短邊。

第一個斐波那契三角形邊長為5, 4和3。跳過數字8，下一個斐波那契三角形邊長為13, 12（5 + 4 + 3）和5（8 − 3）。跳過數字21，下一個三角形邊長為34, 30（13 + 12 + 5）和16（21 − 5）。此數列會一直延伸，最後會趨近以下的比值：

Andrew Clarke建議將長度比例為:的三角形稱為dom，因為此三角形可以由二格骨牌（domin）延對角線切割而成，此三角形是約翰·何頓·康威及提出的的基礎。

幾乎等腰的直角三角形

等腰直角三角形的三邊不可能都是整數，但存在無限個「幾乎等腰」的直角三角形，也就是直角三角形的邊長為整數，而且二股長度只差一。這類幾乎等腰的直角三角形可以用佩尔方程遞迴求解而得：

a0 = 1, b0 = 2
an = 2bn–1 + an–1bn = 2an + bn–1

an為斜邊的長度，n = 1, 2, 3, ....。最小的幾個三角形如下

{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"
!align="right"|3 : ||align="center"|4 ||align="left"| : 5
|-
!align="right"|20 : ||align="center"|21||align="left"| : 29
|-
!align="right"|119  :  ||align="center"|120||align="left"|  :  169
|-
!align="right"|696  :  ||align="center"|697||align="left"|  :  985
|-
!align="right"|4059  :  ||align="center"|4060||align="left"|  :  5741
|-
!align="right"|23660     :     ||align="center"|23661||align="left"|     :     33461
|}

各邊呈等比數列的三角形

开普勒三角形是特殊的直角三角形，它的三边之比等于，為等比數列，其中是黄金比，.德国数学家及天文学家开普勒最早提出三边满足此比例的三角形。

相關條目
 
 
 直角三角形

註釋

參考資料

外部連結
 3 : 4 : 5 triangle 
 30-60-90 triangle 
 45-45-90 triangle 

平面幾何
三角形