高斯映射

在微分幾何裡，高斯映射是從歐氏空間R3中的一個曲面到單位球面S2的一個映射。高斯映射是以卡爾·弗里德里希·高斯命名。

給出R3中的曲面X，高斯映射是一個連續映射N: X → S2，使得N(p)是在點p上正交於X的單位向量，就是曲面X在點p處的法向量。

高斯映射可以在曲面的整體上定義，當且僅當曲面是可定向的，此時其映射度等於歐拉示性數的一半。無論何時高斯映射都可以在曲面的局部上（即曲面的一小塊上）定義。高斯映射的雅可比行列式等於高斯曲率，而高斯映射的微分稱為形狀算子。

高斯以此為題在1825年寫了一份初稿，並在1827年發表。

全曲率
高斯映射的像的面積稱為全曲率，等於高斯曲率的曲面積分。這是起初高斯所給出的詮釋。高斯-博内定理將曲面的全曲率和曲面的拓撲性質聯繫起來：

推廣
高斯映射可以定義在Rn中的超曲面上，從超曲面映射到Rn中的單位球面Sn-1。

參考
Gauss, K. F., Disquisitiones generales circa superficies curvas (1827)
Gauss, K. F., General investigations of curved surfaces, English translation. Hewlett, New York: Raven Press (1965).

卡尔·弗里德里希·高斯
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