極值長度

數學上，共形和擬共形映射的理論中，一個曲線族的極值長度是的一個共形不變量。確切來說，設
是複平面中的開集，是中的路徑族，是一個共形映射。那麼的極值長度等於 在下的像的極值長度。因此極值長度是研究共形映射的有用工具。

極值長度的定義
設是複平面中的開集。設是在中的可求長曲線族。是博雷爾可測函數。對任意可求長曲線，設

表示的長度，其中表示歐氏線元。（可能有。）又設

的面積定義為

而的極值長度定義為

其中最小上界是取自所有滿足的博雷爾可測函數。若包含了不可求長曲線，將中可求長曲線的子集記為
，則
定義為。

的模是。

中的兩個集合在中的極值距離，是在中兩個端點分別在這兩個集合的曲線族的極值長度。

參考

共形映射
位勢論