實數的構造

在數學裡，實數系統可以透過不同方式被定義。其中，基本方法通過一些公理將實數系統定為一個完備的有序數域。通過集合論公理，可以證明基本方法中給定的公理是絕對的，即是說如果有兩個模型都符合那些公理，那麼這兩個模型必然是同構的。這樣的模型須是從更基礎的對象構建而成的，而多數的模型的建立都是借助於有理數域。

基本方法
一個實數系統由一個集合，當中的兩個不同元素 0 和 1 ，上的兩種二元運算  （分別叫做加法與乘法），以及上的一個二元關係（即序關係）構成。
而且這個模型符合以下性質：
  是一個域。即
 （加法與乘法的結合性）
 （加法與乘法的交換性）
 （乘法對加法有分配律）
 （存在加法單位元）
 （存在乘法單位元）
 （存在加法逆元）
 （存在乘法逆元）
  是一個全序集。即
 (自反性)
 若  且 ，則有（反對稱性）
 若 且,，則有（傳遞性）
  或（完全關係性）
 上的兩個運算 均與序關係相容。即
 ,若則（加法下保持次序）
 ,若  且，則（乘法下保持次序）
  序關係符合戴德金完備性: 若的一個非空子集有上界，那么也有上確界。換言之，
 若  是 的一個非空子集，而且有上界，那麼有一上確界，使得對的任何上界，均有 

有理數域 符合前三條公理，也就是說是一個有序域（同時還滿足阿基米德性，所以是一個阿基米德有序域），但 不符合最后一條公理。所以戴德金完備性這一點在實數的定義中是不可或缺的。戴德金完備性蘊含了阿基米德性質。若有兩個模型符合公理1-4的話，它們必然是同構的，所以在同構意義下只有一個戴德金完備的阿基米德有序域。

附注：當我們說符合以上公理的兩個模型：  和 是同構時，即是指存在一個保持運算和序的雙射。
確切地說存在滿足
 是一個雙射
  及 .
  及 
  當且僅當

塔斯基实数公理

另外一种公理化实数的方法由阿尔弗雷德·塔斯基提供，只需要如下所示的8条公理以及4个基本概念：一个称之为实数集的集合（记作）、一个称之为序的二元关系（记作）、一个称之为加法的二元运算（记作）和常数。

序相关公理 ：
公理一：如果成立，那么不成立，即“”为非对称关系。
公理二：如果成立，那么存在使得与同时成立，即“”在实数集稠密。
公理三：“”满足戴德金完备性，即对所有，如果对所有以及均满足，那么存在使得对所有以及并且有以及，总有与成立。

加法相关公理 ：
公理四：。
公理五：对所有与，总存在满足。
公理六：如果成立，那么或成立。

常数相关公理 
公理七：；
公理八：。

模型的具體構造

柯西序列
首先我們需要一個定義。設是一個有理數列，如果对于任何正有理數，存在一个正整数使得对于所有的整数，都有，則稱為有理數的柯西序列。

有理數集配備上度量（即一般的绝对值）後便是一個度量空間。而透過一個叫作完備化的過程，可以往度量空間加進新點，從而使得度量空間中的所有柯西序列都收斂到某點。

以下說明實數集可定義為對於度量的完備化。（關於在其他度量下的完備化，參見p進數。）

記為由有理數的柯西序列組成的集合。定義兩個柯西序列的加法和乘法為：
 
 
運算得到的序列依然會是柯西序列。

稱兩個柯西序列是等價的，如果它們之間的差收斂到0。這樣便在上定義了一個等價關係。以表示包含序列的等價類。

設為包含所有等價類的集合，然後也在上定義加法和乘法：
 
 
同樣地，這兩個運算是良好定義的。

可以證明是一個域。我們可以把嵌入到——只要把有理數對應於便可。

實數大小的比較也是透過在柯西序列上的定義而達成的：
稱一個實數是正的，即，當且僅當存在自然數和正有理數，使得對一切有 。稱當且僅當。

較難推導的是的完備性，具體可以參考。

常用的小數記法可以自然地理解為柯西序列，比如說， 的記法意味著  是柯西序列 的等價類。等式則斷定了序列 和是等價的，即它們之間的差收斂到。

把作為的完備化有一個好處，那就是這種方法並不限於此例；對於其他度量空間也是適用的。

戴德金分割

實數可定義為有理數集上的戴德金分割，即是有理數集的一個劃分，其中都非空，而且A的每個元素都小於B的任意元素。為方便起見，不妨把劃分以其下組 來代表，因為給定了  就唯一確定了 。所以直觀上，實數能被所代表。

具體而言，一個實數是 的符合以下條件的一個子集：
  是非空集合
 
  是向下封閉的，即：
  沒有最大元。也就是說，不存在，使得對任何有

 記 為所有實數的集合，也就是說它包含了所有上的戴德金分割。然后在上定義這樣一個全序：

 有理數可以嵌入到裡，透過把 對應於集合。  因為有理數在有理數集內是稠密的，所以這個集合沒有最大元，並滿足上述的各條件。

 加法：

 減法： ，其中 代表在裡的補集，即

 負號是減法的特例： 

 乘法的定義較不直觀：
 若 ，那麼
 若 和  中有一個是負的，可以透過這定義式，把, 轉化為正數的情況，再採用上面的定義來計算。

 類似地定義除法為：
 若，則
 若 和  中有一個是負的，可以藉助  的定義式，把 換成非負數，以及把換成正數，再採用上面的定義來計算。

 上確界：如果的非空子集 有上界的話，那麼可以證明便是其上確界。

以下示範如何以戴德金分割代表根號2：設。

首先，對於任何自乘小於2的正有理數 ，都存在一個大於x的有理數 ，而且有 。選擇 便可。所以我們證明了 是一個實數。
要證明成立，只需指出如果是小於2的有理數，那麼存在正的  ，且 。

這種方法的好處是每個實數都對應於唯一的分割。

小數記法

西蒙·斯蒂文 首先提出了以小數來代表一切數（即現今的實數）的想法。具體地，可以將無限小數展開式作為實數的定義，然後規定像0.9999... 和1.0000... 這樣的兩種展開式是等價的，再形式化地定義好四則運算和大小次序。這種方法跟柯西序列和戴德金分割這兩種構造是等價的，而且它還給出了明確的。這種方法不限於十進制，其他的進位制也是適用的。

用小數來構造的好處是，這跟我們對於實數的基本印象相符。一個證明“完全有序域的所有模型都同構”的標準做法便是，說明任意模型都同構於這個模型，因為我們可以系統地給每個元素建立小數展開式。

超實數

首先，透過超濾子從有理數構造出超有理數域*Q 。此處的超有理數之定義為兩個超整數的比。考慮由*Q裡所有有界（或者說有限）元素所組成的環B。 B 有著唯一的極大理想 I，即無窮小量。商環 B/I 給出了實數域 。 注意B 並不是*Q的一個內在集合。
此外，這種構造在自然數集上使用了非主超濾子，而其存在性是依賴於選擇公理的。

這個極大理想 I保持了*Q本身的次序。所以形成的域是一有序域。完備性的證明跟柯西序列一節中的論證類同。

超現實數

每個有序域都可以嵌入到超現實數系統內。而實數組成了一個符合阿基米德性質的極大子域（意味著沒有實數是無窮大量）。這種嵌入方式並不是唯一的，儘管有標準的一種方式。

透過整數集（歐多克索斯實數）

一個較不為人知的構造方法只需用到整數的加法群。 這種方法已由IsarMathLib project正式驗證了。  Shenitzer和Arthan將此構造稱為歐多克索斯實數。

設為一函數，若然是有限集，則稱f為殆同態。稱兩個殆同態 是 幾乎相等的，如果集合是有限集。如此便在殆同態上定義了一等價關係。實數被定義為各個等價類，可簡單記為[f]。實數的加法，對應於殆同態的加法運算；實數的乘法，則對應於殆同態的複合運算。最後，稱，若 是有界的，或者 在上無限多次取正值。這樣便在實數上建立了全序。

參見 
 數學結構主義#實分析中的例子

參考資料

實數