切比雪夫方程

切比雪夫方程（）是指二阶线性常微分方程

其中p为一实常数。该方程是以俄罗斯数学家巴夫尼提·切比雪夫的名字命名的。

方程的解为幂级数

其中系数可通过以下递推关系式计算：

级数在上收敛（对递推关系式应用比值审敛法可得）。

递推关系的初值a0与a1可为任意值，由此可得微分方程不同的特解。通常初值可取为：
a0 = 1 ; a1 = 0，可得解

以及
a0 = 0 ; a1 = 1，可得解

通解可表示为以上两特解的任意线性组合。

当p为整数时，两个函数中有一个为有限项：p为偶数时F为有限项，反之G为有限项。此时，那个为有限项的函数是一个p次多项式，并与p次切比雪夫多项式成比例：
 （p为偶数）
 （p为奇数）

参考文献 
 Chebyshev equation on PlanetMath 

常微分方程