Meijer G-函数

Meijer G-函数是荷兰数学家梅耶尔引入的一种特殊函数。它是广义超几何函数的推广，绝大多数的特殊函数都可以用 Meijer -函数表示出来。

定义 
广义超几何函数有下列一般的积分表达式（参见相关小节）：

其中积分路径  视参数 ,  的相对大小而定。上面的积分表达式具有 Mellin 逆变换的形式。

Meijer- 函数是上面积分表达式的一个推广，它的定义为：

其中积分路径  视参数的相对大小而定。但是，为了保证至少一条积分路径有定义，要求

在书写 Meijer- 函数时要注意，上标中的第一个参数和下标中的第二个参数对应的是 ，而上标中的第二个参数和下标中的第一个参数对应的是 。

对比上述两式可以得到广义超几何函数和 Meijer- 函数的关系：

基本性质 
和广义超几何函数一样，如果上下两个向量组在合适的位置有相同的元素，则 Meijer- 函数可以降阶，此处不再赘述。

一般关系式 
Meijer- 函数的导函数具有下列性质：

注意  可以取任意整数值，取负数时表示不定积分。

另一方面，

上面的式子都可以直接由定义得到。

向量组中两个元素相差整数时的关系式 
由

又有

微分方程 
由上面一般关系式一节的讨论知 Meijer- 函数满足下列微分方程，它与广义超几何函数满足的微分方程形式上很类似。
.

这是一个 max(,) 阶的线性微分方程，在 =0 附近的基本解组可以选取为

当 = 时两种取法都可以。

从 ,  的取值上就可以看到它们跟广义超几何函数有直接的联系。事实上的确如此，以第一种情况为例，

等号右边的 Meijer- 函数显然就是广义超几何函数。

特殊情形 
因为广义超几何函数是 Meijer- 函数的特殊情形，故所有可以用广义超几何函数表示的特殊函数都可以用 Meijer- 函数表示，但是，在个别情况下，用 Meijer- 函数有更简单的表示式，例子如诺依曼函数，它可以用超几何函数0F1表示，但表示式仅仅是将（第一类）贝塞尔函数的超几何函数表示式代入其定义式中，因此含有两个超几何函数。而用 Meijer- 函数就可以直接表示为：

另外一个例子是不完全伽玛函数对参变量的偏导数，它无法用广义超几何函数表出，但可以用 Meijer- 函数表出：

事实上，不完全伽玛函数对参变量的高阶偏导数也可以用 Meijer- 函数表出，详见不完全Γ函数一文。

推广
如同广义超几何函数和Kampé de Fériet函数（双变量的广义超几何函数）的关系那样，Meijer G-函数也可以被推广到两个变量的情况：

注

参考文献 
 
  
  (see Chapter V, "The Generalized Hypergeometric Function and the G-Function", p. 136)

外部链接 
 
超几何函数