多项式矩阵

多项式矩阵，也称为－矩阵、矩阵系数多项式（不是矩阵多项式），是数学中矩阵论里的概念，指系数是多项式的方块矩阵。使用“－矩阵”的名称时，说明系数多项式以为不定元。

严格定义
给定自然数和系数环，一个阶多项式矩阵为如下形式：
，
其中是每个多项式的次数。如果设其中最大的为：

那么多项式矩阵也可以表达为：

其中约定当时，.

由于多项式矩阵也能被表达为以（数值）矩阵为系数的多项式，所以也被称为矩阵系数多项式。如果最高次系数矩阵的行列式不为零，则称多项式矩阵为为正则多项式矩阵（）。所有阶多项式矩阵的集合记为或。前者表示所有以多项式为系数的阶方块矩阵的集合，后者表示所有阶方块矩阵为系数的多项式的集合。可以验证两者是同构的。

例子
所有的数值矩阵都是多项式矩阵，因为可以将每个元素看成一个零多项式。设系数环为实数域，以下是一个3阶多项式矩阵：

特征矩阵是多项式矩阵的一个例子。设有阶数值矩阵，则特征矩阵实际上是一次多项式矩阵：。而特征矩阵的行列式就是数值矩阵的特征多项式。

性质
由于多项式代数和矩阵代数的结构特性，环上的所有阶多项式矩阵也构成一个代数。两个阶多项式矩阵可以互相加减、相乘，并且满足加法交换律和乘法分配律（不满足乘法交换律）。用与数值矩阵相同的方式可以定义多项式矩阵的初等变换、相似关系、等价关系（也称为相抵）、秩以及行列式。

如果系数环是域，那么可以证明，所有的多项式矩阵都可以对角化。任何一个秩为的多项式矩阵，都可以相抵于一个对角多项式矩阵：

其中的每个非零的对角元素都是首一多项式，并且整除下一个对角元素。这种形式称为多项式矩阵的史密斯标准型（），所有的被称为原多项式矩阵的不变因子。

如果将阶多项式矩阵看成以阶方块矩阵为系数的多项式，可以通过将其中的不定元替换为一个阶方块数值矩阵，而得到一个阶数值矩阵。这种操作称为多项式矩阵的矩阵替换。由于矩阵乘法不满足交换律，所以替换分为左替换和右替换：
左替换：将 替换为  也记作
右替换：将 替换为  也记作
如果系数环是域，那么多项式矩阵之间可以做带余除法：如果和都是多项式矩阵，其中，那么唯一存在多项式矩阵和，满足

作为多项式的次数严格小于，或者为零。

参见
特征多项式
不变因子
初等因子

参考来源

矩阵论
多项式