消失矩

消失矩(Vanishing Moments)，在連續小波變換(Continuous Wavelet Transform)，是一項非常重要的參數，用來檢視母小波(Mother wavelet)是否為高頻的函數。

Vanish moment  越高，經過內積後被濾掉的低頻成分越多

在實務上，Vanish moment=5

由來 
在連續小波變換中，母小波有4個主要限制如下。

1. 有值區間必須是有限的(Compact Support): 

母小波不能是一個無限長的函數。

2. 必須是實函數(Real) : 
因為要處理的影像不會是複數信號，且為了方便計算。

3. 偶對稱(Even Symmetric)或是奇對稱(Odd Symmetric)

4. 消失矩越高越好:  

這項是最難滿足的一項。 

5. 
Admissibility Criterion 要存在才存在反小波轉換

定義 

首先定義第  個動量(  moment): 

 

若 ，

則我們說  有  個消失矩。

如何計算消失矩 

我們可以看到  不太好計算，尤其是  很大的時候。

此時，可以善用傅立葉轉換來進行計算。

計算第0個動量 

首先，觀察傅立葉轉換的公式:

 

當令時，可以看到以上公式變成:

 

正是第0個動量 。

因此，若要計算  的第0個動量，可以先計算  的傅立葉轉換，再取直流項(也就是  )。

計算第k個動量 

我們可以同樣利用傅立葉轉換來計算第  個動量。

首先，傅立葉轉換有一個性質: 在頻域微分   次，就相當於時域乘上  :

 

當令時，可以看到以上公式變成:

 

正是第  個動量 。

因此，若要計算  的第k個動量，可以先計算  的傅立葉轉換的k次微分，再取直流項(也就是  )。

一些常用函數的消失矩
分成兩類連續函數與連續函數的離散係數

 連續函數:哈爾基底、墨西哥帽函數
 連續函數的離散係數:多貝西小波(Daubechies wavelet)、Symlet 、 Coiflet

連續函數
哈爾小波轉換是最簡單的一種小波轉換，使用哈爾基底(Haar Basis)來做母小波。

而墨西哥帽函數(Mexican hat function)也常被用來當母小波。

哈爾基底 

哈爾基底的數學表示式如下: 

 

 是一個奇函數，所以

 

但  是偶函數，所以

 

因此，哈爾基底的消失矩為1。

墨西哥帽函數 

墨西哥帽函數的數學表示式:

 

仔細觀察， 其實是高斯函數的二次微分:

  常數。 

而高斯函數做傅立葉轉換仍是高斯函數:

 。

利用

 

可以算出

 。

所以墨西哥帽函數的消失矩為2。

高斯函數的p次微分 

墨西哥帽函數是高斯函數的二次微分，所以消失矩為2。

當

 

其傅立葉轉換為

 。

利用

 

可以算出

 。

所以高斯函數p次微分的消失矩為p。

連續函數的離散係數 

多貝西小波(Daubechies wavelet)、Symlet 、 Coiflet都是一些常用的離散小波，而且都是由連續小波的離散係數推導而來。

且這三種都是orthonormal filters

多貝西小波 

  點的多貝西小波，消失矩

Symlet 

  點的Symlet，消失矩 
Coiflet
  點的Coiflet，消失矩 
三者的比較

 Symlet和多貝西小波非常類似，但是比多貝西小波還要對稱。
 Coiflet 在scaling function 存在 vanish moment.

消失矩對於函數的意義

消失矩是用以判斷一個函數如何遞減的指標。舉例來說，對於函數

 

當輸入值逐漸往無限大增加時，此函數會以的速率遞減。
我們可用利用定義中的動量積分式來評估此函數的遞減速率。

回到此範例中的函數，當時，由於分子會在之間震盪，使得整個函數在震盪。

此性質使得時，

  

函數積分式必定會收斂於0，代表第0個動量

當時，
 
 

因此第1個動量

對於的情況，動量積分式均會隨著而發散。

由以上的範例，我們可藉由能夠讓動量積分式收斂為0的最大值來判斷函數的遞減速率，而此最大值便是函數的消失矩。

在連續小波轉換中，設計母小波的其中一個條件是有值區間比須是有限的，而母小波在有值區間內如何遞減的特性，則可由消失矩來描述。

消失矩的等價敘述
依照定義，小波母函數有  個消失矩的條件為

 

然而由於此定義中包含了一個無限範圍的連續積分，因此在設計小波母函數上並不實用。

若定義小波轉換中的尺度函數為，當以下小波母函數和尺度函數的關係成立時，

 

 

下列四項敘述便是等價的：

1. 小波母函數有個消失矩。

2. 的傅立葉轉換，以及前次微分在處均為零。

3. 的傅立葉轉換，以及前次微分在處均為零。

4. 對於 區間內的任意值

是最高次方為 的多項式函數。

消失矩與小波函數的設計

當濾波器的傅立葉轉換滿足以下的條件時，

 

此濾波器滿足共軛鏡像濾波器的條件。其中代表離散低通濾波器離散低通濾波器的傅立葉轉換。

結合共軛鏡像濾波器的條件與消失矩的第3個等價敘述，我們可以將低通濾波器表示為

 

其中為一多項式函數。

利用上述條件與消失矩的等價敘述，可以簡化設計小波函數的步驟。

消失矩與濾波器長度

在小波轉換中，尺度函數和小波母函數可利用離散濾波器來定義：

 

 

其中為離散低通濾波器，則為離散高通濾波器，通常會利用支撐大小(Size of support)來表示濾波器的長度。

從上述的表示式可得知，

當我們選擇較高的消失矩時，將會是具有較高次方的多項式函數，因此對應到的便有較長的濾波器長度。

一般而言，擁有較高的消失矩與較短的濾波器長度是一個交換條件的關係，無法兩者同時滿足。

因此在設計連續小波轉換中的小波母函數時，除了消失矩外，也應當把所對應到的濾波器長度考慮進去。

參考文獻
Jian-Jiun Ding (2012), Time-Frequency Analysis and Wavelet Transform   [viewed 17/01/2012]
Chun-Lin Liu, A Tutorial of the Wavelet Transform , February 2010
S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, 3rd ed., Third Edition: The Sparse Way. Academic Press, 3 ed., December 2008.

小波分析