向量算子

向量算子是指向量分析中使用的微分算子。向量算子使用Nabla算符定义，包括梯度、散度和旋度。

拉普拉斯算符表示为：

向量算子必须写在它们所运算的标量场或向量场的左侧，例如：

得到f的梯度，但是

是另一个向量算子，没有对任何量进行运算。

一个向量算子可对另一个向量算子进行运算，得到一个复合向量算子，例如上面的拉普拉斯算符。

三維空間中的純量函數與向量函數

純量函數
令  為空間位置  的 ，例如：

表示了一個球面，這是一個标量场，其中每點的值等於該球半徑的平方。

向量函數
令  為空間位置  的 ，它可以被拆成三個分量，寫成以下的向量形式：

梯度與Nabla算子的定義

純量函數  在三維笛卡兒坐標系的各個座標軸上有以下變率：

因為是沿著座標軸的變率，所以可以寫成分量形式：

其加總即為  的組合變率：

如同微分算子  被用來表示某函數的導數，例如  或 ，我們使用  來表示組合變率：

其中  為一向量函數。組合變率  稱為  的導數（derivative）， 則稱為  的本原（primitive）。

 本身是一個向量函數。在幾何與物理上，它指向變化速率最大的那個方向，在這個意義上，它被稱為  的梯度、或斜率。

Nabla算子的單獨使用

我們可以把  當作一個函數，唸為 ，記為 ，它接受一個純量函數，並傳回一個向量函數。其運算式為：
，因此：

將  當作一個形式上的向量，則可以用向量的內積與叉積導出散度與旋度。

散度：Nabla算子與向量函數的內積

將  當作一個形式向量，與向量函數  做內積：

這裡得到一個純量函數 ，稱為  的散度。

我們也可以將  當作一個算子，唸為 ，記為 ，它接受一個向量函數，但是傳回一個純量函數：

旋度：Nabla算子與向量函數的叉積

將  當作一個形式向量，與向量函數  做叉積：

這裡得到一個向量函數，稱為  的旋度。

我們也可以將  當作一個算子，唸為 ，記為 ，它接受一個向量函數，並傳回一個向量函數：

拉普拉斯算子

對一個純量函數做梯度運算，可以得到一個向量函數，再對該向量函數做散度運算，又得回一個純量函數，稱為梯度的散度：

這稱為拉普拉斯算子，記為  或者 ，它接受一個純量函數，並傳回一個純量函數。

参见
 Nabla算符
 达朗贝尔算符
 Vector Analysis, Gibbs and Wilson, p.136, p.152, p.158

延伸阅读
 H. M. Schey (1996) Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, ISBN 0-393-96997-5.

向量分析