Henstock–Kurzweil积分

在数学中，Henstock–Kurzweil积分（也称为Luzin积分、Perron积分，有时为了和广义Denjoy积分区别而称为Denjoy积分）是黎曼积分的一种推广，有些情况下比勒贝格积分更加宽泛。

Henstock-Kurzweil积分最早是由二十世纪初法国数学家引进的。Arnaud Denjoy在研究形似：

的函数的时候，希望能够为它们定义积分。这种函数往往在某一点附近无法定义黎曼积分，但是用类似极限定义的  方法又能够定义出类似黎曼积分的极限。

为了给这类函数定义积分，Denjoy将黎曼不可积的点分为若干种情形，分别用超限归纳法来定义积分。这样的定义繁复冗长。Nikolai Luzin使用类似绝对连续的方式给出了另一种等价定义；Oskar Perron也给出了一种等价的定义，但这个等价关系并不显然。

1957年，捷克数学家给出了一种比较优雅的定义，和黎曼积分的定义比较相似。Kurzweil称之为“刻度积分”（）。而则发展并完善了这种积分理论。基于这两位数学家的贡献，现今一般将这种积分称为Henstock-Kurzweil积分。由于Kurzweil的定义和黎曼积分的定义同样简洁，有的数学教育者认为可以在教学中用Henstock-Kurzweil积分代替黎曼积分，但这个主张并未被广泛采纳。

定义
这里只给出Henstock的定义：

区间分割与刻度
给定一个取样分割：和一个正函数（所谓的“刻度”），如果
 
就称这个分割是一个δ-精细分割。

黎曼和
对一个在闭区间有定义的实值函数，关于取样分割： 、的黎曼和定义为以下和式：

和式中的每一项是子区间长度与在处的函数值的乘积。直观地说，就是以标记点上的函数值到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。

Henstock–Kurzweil积分
是函数在闭区间上的Henstock–Kurzweil积分，当且仅当对于任意的，都存在刻度函数，使得对于任意的取样分割：、，只要是δ-精细分割，就有：

从定义中可以看出，Henstock–Kurzweil积分比黎曼积分更加注重区间上的取样。黎曼积分中，只将分割的小区间的最大长度作为精细度的标准。Henstock–Kurzweil积分的定义中引入“刻度”函数，并将取样值和刻度函数联系起来，定义分割的精细程度。如果将刻度函数δ设定为常值函数，那么Henstock–Kurzweil积分就退化为黎曼积分。

δ-精细分割的存在性
如果对某些刻度函数δ，δ-精细分割不存在，那么定义中“只要是δ-精细分割，就有”一句就会变成一个前件全真的判断，从而失去应有的意义。说明，对任意的刻度函数δ，必定存在δ-精细分割，杜绝了Henstock–Kurzweil积分定义逻辑上可能存在的瑕疵。

积分的唯一性
为了能够良好地定义积分，Henstock–Kurzweil积分的定义中的S必须是唯一存在的，同一个函数在同一个区间上不能有两个不同的积分值。可以证明，Henstock–Kurzweil积分如果存在就必定是唯一的。这说明Henstock–Kurzweil积分是良好定义的。

参见
黎曼－斯蒂尔杰斯积分
广义积分
勒贝格积分

参考来源

积分的定义