內自同構

在抽象代數的群論中，內自同構是群的自同構的一種。設g為群G的一個元素，則g對應的內自同構，是以g的共軛作用定義如下

群G的一個自同構，如果是G的元素的共軛作用，便稱為內自同構。

性質
若g在G的中心Z(G)內，則是平凡的。因此阿貝爾群的內自同構都是平凡的。一般而言，的不動點集，正是g的中心化子CG(g)。

內自同構的逆元是。兩個內自同構的複合是

由群的中心的基本性質可知，若Inn(G)是循環群，則Inn(G)是平凡群。

若Inn(G)=Aut(G)且G無中心，則G稱為完備群。

若G是完滿群且Inn(G)是單群，則G稱為擬單群。

內自同構群
群G的內自同構組成內自同構群Inn(G)。內自同構群Inn(G)與群G對其中心Z(G)的商群G/Z(G)同構。

內自同構群Inn(G)是G的自同構群Aut(G)中的正規子群，其對應商群記為Out(G)=Aut(G)/Inn(G)，稱為外自同構群。

上述關係可以用以下兩個短正合列表示：

正規子群
群G的子群H是G的正規子群，當H在G的任一內自同構的作用下不變。這時G的內自同構限制到H上是H的自同構（未必是H的內自同構），因而有群同態。這個群同態的核是H在G中的中心化子CG(H)。

對一般的子群H，可取其在G中的正規化子NG(H)，則H是NG(H)的正規子群，故有群同態，其核是CG(H)。因此NG(H)/CG(H)可以嵌入到Aut(H)內，即

是單射。

參考
  (chapter 7).

群論