調變在時頻分析的應用

調變的功用在於將訊號移動至未使用的頻帶做傳輸使用，然而當訊號在傳遞時通常不會在每一個時間點都把頻寬完全佔據，造成某些時間點頻寬使用上的浪費。運用時頻分析可以了解任一時間點的訊號對於頻寬使用的情形，故可以在一些未使用的時間頻帶加入新的傳輸訊號，使得頻寬資源的運用更加完整。

時頻分析 
用於了解一訊號的頻譜隨著時間的變化情形，常用的方法有短時距傅立葉變換（STFT）、韋格納分布（WDF）、加伯轉換等。例如有一訊號x(t)在0~10秒等於cos(2*pi*t)，在10~20秒等於cos(6*pi*t)，在20~30秒等於cos(4*pi*t)，則時頻分析的結果如圖。（此為方波短時距傅立葉轉換（rec-STFT）的結果）

調變在時頻圖上的作用

移動（shifting） 
即將頻譜圖進行平移，又分為沿著時間軸和沿著頻率軸的移動

水平移動 
沿著時間軸移動時，時頻圖的值會多一個相位，但並不影響大小。
短時距傅立葉變換、加伯轉換：

韋格納分布：

垂直移動 
沿著頻率軸移動時，訊號會多一個相位。
短時距傅立葉變換、加伯轉換：

韋格納分布：

擴張（dilation） 
將時頻圖沿著時間軸和頻率軸分別放大(a>1)或縮小(a<1)、縮小或放大。
短時距傅立葉變換、加伯轉換：

韋格納分布：

修剪（shearing） 
將時頻圖沿著時間軸或頻率軸做線性位移。

垂直修剪 
乘以線性調頻會產生頻率的線性軸位移。
短時距傅立葉變換、加伯轉換：

韋格納分布：

水平修剪 
和線性調頻做卷積會產生時間軸的線性位移。
短時距傅立葉變換、加伯轉換：

韋格納分布：

旋轉（rotation） 
將時頻圖對著原點旋轉。

就是分數傅立葉轉換

若則此分數傅立葉轉換會與傅立葉轉換相等，即一信號做傅立葉轉換可順時鐘旋轉，且會有以下特性：
若，則：
短時距傅立葉變換：

加伯轉換：

韋格納分布：

廣義修剪 
若有一已知的頻率為線性變化的信號

要將其攤平成一個水平且整齊的信號，則可做以下修剪。
短時距傅立葉變換、加伯轉換：

韋格納分布：

參見 
 調變
 時頻分析
 線性調頻
 加伯轉換
 韋格納分布
 分數傅立葉轉換
 短時距傅立葉變換

參考文獻 

 Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2015.
SG Mallat, Z Zhang, Matching pursuits with time-frequency dictionaries, Signal Processing, IEEE Transactions on, 1993 - ieeexplore.ieee.org
Karlheinz Gröchenig, Foundations of Time-Frequency Analysis,

信号处理