条件收敛

条件收敛是数学中无穷级数和广义积分的一种性质。收敛但不绝对收敛的无穷级数或广义积分称为条件收敛的。一个积分条件收敛的函数也称为条件可积函数。

详细定义

条件收敛的级数
给定一个实数项无穷级数，如果它自身收敛于一个定值：

但由每一项的绝对值构成的正项级数：不收敛：

那么就称这个无穷级数是一个条件收敛的无穷级数。

条件收敛的广义积分
给定一个在区间上有定义的函数，如果在任意的闭区间上都可积，并且广义积分：

收敛，而函数绝对值的广义积分：

发散，那么就称广义积分条件收敛。

例子

无穷级数
常见的条件收敛的无穷级数包括交错调和级数：
 
它收敛到定值：，而对应的由每项的绝对值构成的正项函数：叫做调和级数，是发散的。

广义积分
条件收敛的广义积分的一个例子是函数：在正实数轴上的积分：

任取实数，运用分部积分法可以得到：

而对任意的正实数：

由柯西收敛原理可知广义积分收敛，所以

即积分：收敛。但是，绝对值函数的积分：不收敛。这是因为对任意自然数，积分：

所以

因此，积分是条件收敛的。

相关定理
黎曼级数定理：假设是一个条件收敛的无穷级数。对任意的一个实数，都存在一种从自然数集合到自然数集合的排列，使得

此外，也存在另一种排列，使得

类似地，也可以有办法使它的部分和趋于，或没有任何极限。

反之，如果级数是绝对收敛的，那么无论怎样重排，它仍然会收敛到同一个值，也就是级数的和。

参见
无条件收敛
绝对收敛

参考来源

级数
积分学
收敛 (数学)
可和理论