超几何函数

在数学中，高斯超几何函数或普通超几何函数2F1(a,b;c;z)是一个用超几何级数定义的函数，很多特殊函数都是它的特例或极限。所有具有三个的二阶线性常微分方程的解都可以用超几何函数表示。

超几何级数
当不是非正整数时，对于|z| < 1，超几何函数可用如下幂级数定义

其中  是遞進階乘，定义为:

当a或b是0或负整数时级数只有有限项，另有避免这种情况出现的正则超几何函数。 

对于满足|z| ≥ 1 的复数z，超几何函数可以通过将上述在单位圆内定义的函数沿着避开支点0和1的任意路径做解析延拓来得到。具体的公式可以表示为

特殊情形
很多普通的数学函数可以用超几何函数或它的极限表示出来，一些典型的例子如下：

.

合流超几何函数（Kummer函数）可以用超几何函数的极限表示如下

因此，所有合流超几何函数的特例，例如贝塞尔函数都可以表示成超几何函数的极限。

勒让德函数是有3个正则奇点的二阶线性常微分方程的解，可以用以不同的形式用超几何函数表示，例如

很多多项式，例如贾可比多项式 P及其特殊情形勒让德多项式, 车比雪夫多项式, Gegenbauer多项式都能用超几何函数表示

其它特殊情形还包括Krawtchouk多项式, Meixner多项式, Meixner–Pollaczek多项式。

有时能表示成参数a, b, c是1, 1/2, 1/3, ... 或 0 的超几何函数之比的反函数。例如，若

则

是τ的椭圆模函数.

不完整的beta函数 Bx(p,q) 表示成

完整的椭圆积分 K 和 E 如下给出

超几何方程
超几何函数满足的微分方程称为超几何方程，其形式为（参见广义超几何函数)
.

展开后，得

它有三个正则奇点：0, 1, ∞.

正则奇点 0 附近的解 
超几何方程的为

它的两个指标  是 0 和 1-。

当 不是整数时，超几何方程在 0 附近的两个线性无关的正则特解为：

当  为 1 时，方程只有一个正则解。当  为其余整数时，另一个线性无关的正则特解涉及对数项。

事实上，当  为整数时，另一个线性无关的特解总可以选取为 Meijer -函数：

正则奇点 1 附近的解 
只需作代换 =1-，方程变为：

当  不是整数时，两个线性无关的正则特解为：

正则奇点 ∞ 附近的解 
当  不是整数时，两个线性无关的正则特解为：

李代数参数与连接关系 
在讨论超几何方程的解的连接关系的时候，采用另外一套参数会更加方便。这组参数是根据方程在三个正则奇点处的指标之差来定义的。

参数  称为李代数参数。

运用李代数参数，超几何方程在三个正则奇点处的正则解可以分别表示为：

从上面的表达式可见，李代数参数比起通常用的参数  的优势在于能够体现不同区域的解之间的对称性。

引入记号：

则超几何方程在不同区域的解的连接关系可以表示为：

分别对比两组式子最后一个等号之后的部分，可以看出每组的两个式子之间的对称性。

完整的连接关系表称为 Kummer 表，上面四式是 Kummer 表的一部分。

积分表示 

式中的 Β 是beta函数。

证明 
可以证明等号右边的表达式是超几何方程的解。再考虑这个解在 =0 附近的性质，可以确定它的具体形式。

设

则

上式中的第二、三个等号可以通过直接展开大括号内的多项式乘积得到。上式两边分别对  从 1 到无穷大进行积分，等号右边为 0，于是我们证明了上面的积分表达式的确是超几何方程的解。

另一方面，利用二项式定理，积分表达式等号右边的部分可以按  展开成幂级数，故可知等号右边应取  21 的形式（因为另一个线性无关的特解无法展开成幂级数），其中  为待定的常数。

对比积分表达式在 =0 处的值与 Β 函数的定义，即可确定常数 。

变换公式

分式线性变换

Pfaff 变换 
Pfaff 变换将正则奇点 1 和 ∞ 交换（也就是将李代数参数中的  与  对换）：

由  的对称性自然有：

证明 
Pfaff 变换可以根据超几何方程得到。事实上，令

则

取

由 () 满足的超几何方程知等号右边为 0，再考虑函数 (1-) 在 =0 附近的性质即可得到 Pfaff 变换的公式。

Euler 变换 
Pfaff 变换可以导出 Euler 变换，它将李代数参数  变成 -：

Pfaff 变换和 Euler 变换都是分式线性变换的例子，这得名于等式两边的超几何函数的宗量的联系，参见莫比乌斯变换。

将上面提到的四个连接关系与 Pfaff 变换及 Euler 变换组合起来，就得到完整的 Kummer 表。

给定一组李代数参数(,,)，(,,) 及其轮换对应着 24 个不同但彼此关联的超几何函数（,, 恒等于 ,,），利用前面提到的四个连接关系和 Pfaff 变换，它们中的任意一个可以通过任意另外两个表出。

例如 Euler 变换可以表示为：

二次变换 
下面是一个二次变换的例子：

二次变换得名于等号两边超几何函数宗量的联系（一个二次函数和一个莫比乌斯变换的组合）。

证明 
仿照上面 Pfaff 变换的证明，有：

令

则

取

仿照上面关于 Pfaff 变换的讨论，可得二次变换的公式。

其它例子 
运用李代数参数，一般的二次变换可以表示为

其中 (),() 是  的函数， () 表示  要满足的约束。

下表给出了一些二次变换。

另外还有：

将它们与 Kummer 表组合起来，就得到所有的含有两个独立参变量的二次变换关系式。例如上面的例子可以通过组合第一行中的变换与 Pfaff 变换得到。

另外还有一些只含有一个独立参变量的二次变换关系式。

三次及高次变换 
若一组李代数参数满足下列条件：有两个是 ±1/3，或者三个参数的绝对值相等，则有一个三次变换的公式将它与另一个超几何函数联系起来。

另外有一些 4 次和 6 次变换的公式。其它次数的变换公式只有当参数取特定有理数值时存在。参见。

特殊值

=0

=1 

这称为高斯原理（Gauss's theorem），可以由超几何函数的积分表示得到。范德蒙恒等式是它的特殊情形。

=-1 

这可以通过组合上表中的第二个二次变换和 Pfaff 变换，并利用 =1 时的特殊值得到。

=1/2 

上面两式分别被称为高斯第二求和原理与 Balley 原理。它们都可以通过组合第三个二次变换和 Pfaff 变换，并利用 =1 时的特殊值得到。

参考文献
 
 John Pearson, Computation of Hypergeometric Functions  (University of Oxford, MSc Thesis)
 Marko Petkovsek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger, The book "A = B" (freely downloadable)
 
 
 

阶乘与二项式主题
 
常微分方程
级数