度分布

度分布是图论和网络理论中的概念。一个图（或网络）由一些顶点（节点）和连接它们的边（连结）构成。每个顶点（节点）连出的所有边（连结）的数量就是这个顶点（节点）的度。度分布指的是对一个图（网络）中顶点（节点）度数的总体描述。对于随机图，度分布指的是图中顶点度数的概率分布。

定义
度分布是图论和（复杂）网络理论中都存在的概念。首先介绍图的概念。一个图是一个由两个集合和构成的二元组。集合一般由有限个元素构成：，其中的元素被称为图的顶点。集合是由个元素构成的集合：。中的每个元素都是一个非负整数。无向图中，的一个元素，表示中的两个顶点和连有条边，并且规定。有向图中，的一个元素，表示中的顶点有条连向顶点的边。如果一个图中所有的都不超过1，并且，那么称图是简单图。

网络理论的数学框架建立在图论上。网络理论中的网络其实就是图论中的图，但在网络理论中称之为网络，图的顶点在网络理论中称为节点，边被称为连结。以下仍旧以图论中的术语定义度分布。

一个无向图中某个顶点的度，是指所有与它相连的边的数目。

有向图中，根据连出边的数目和连入边的数目，分为出度和入度。

因此，一个无向图中，可以看成将每个顶点映射到一个非负整数的函数：

而度分布则是对每个非负整数，考察度数是的顶点在所有顶点中占的比例：

因此满足：

从顶点中等概率地随机抽取一个顶点，那么这个顶点度数为的概率就是。

随机图顶点的度分布
随机图是指由随机过程产生的图，即是将给定的顶点之间随机地连上边。一个随机图中，每两个顶点之间的边的数量是随机变量。因此任一顶点的度也是随机变量。这个变量的概率分布也称为随机图中的顶点的度分布：

这个定义与一般的图的度分布是不一样的。

在经典的随机图模型中，所有顶点的位置都是一致的，没有特殊的顶点。因此每个顶点的度分布都是相同的：。所以，随机抽取一个顶点，它的度数是的概率就是；越高，表示可能有更多的顶点度数是。当顶点数目很大每个顶点的度分布都是相对独立的时候，顶点的度分布近似等于图中度数是的顶点的比例。

例子

以下给出一些度分布的例子。右图是由十个顶点构成的无向图。其中度数是4的顶点有3个，度数是3的顶点有6个，度数是6的顶点有1个，所以度分布是：

对于阶完全图，所有的顶点的度数都是，所以度分布是：

如果图是任意两顶点之间以概率连边的随机图，那么每个顶点都有相同的度分布。

这个分布是泊松分布。我们可以构造每个顶点的度数都是这样的概率分布的随机图模型。这样当顶点数很大的时候，度数是的顶点的个数占的比例大致是。这个分布的特点是当k很小或很大的时候，都近似于0，的值在一个特定的值处达到高峰，然后回落。也就是说，大多数的顶点的度数在这个特定值左右。然而在真实的复杂网络中，人们观察到，度分布并不像这种随机图模型显示的，聚集在某个特定值周围，而是随着k增大而以多项式速度递减，也就是遵从所谓的幂律分布：

也就是说 的概率反比于 的某个幂次，其中是某个正实数。这种网络特性被称为无尺度特性。

参考文献
引用

期刊文章
 
 

书籍

参见 
 图的连通性
 集聚系数
 複雜網路
 無尺度網路
 隨機圖
 圖論

图论
网络