五角化六十面體

在幾何學中，五角化六十面體是一種卡塔蘭立體，為由60個不等邊五邊形組成的六十面體，並且是阿基米德立體扭棱十二面體的對偶多面體。這種立體是一個等面圖形，也就是說它每個面都全等，但組成面不是正多邊形。五角化六十面體有兩種不同的形式，它們互為鏡像（或“對映體”），是為手性鏡像，兩種手性鏡像的面、頂點、邊數皆相同，共有60個面、150個邊、92個頂點。五角化六十面體是頂點數最多的卡塔蘭立體。在卡塔蘭立體和阿基米德立體中，五角化六十面體的頂點數為第二多，僅次於具有120個頂點的大斜方截半二十面体。

性質 
五角化六十面體是一個，也就是說，該多面體鏡射之後會跟原本的形狀不同，無法藉由旋轉半周再回到原本的形狀。這兩種形式互為鏡像（或“對映體”），又稱為手性鏡像，且其面、頂點、邊數皆相同，共有60個面、150個邊、92個頂點。在其92個頂點中，有80個頂點是三階頂點，即3個五邊形的公共頂點和12個頂點是五階頂點，即5個五邊形的公共頂點。

構造 
五角化六十面體是扭棱十二面体的對偶多面體。事實上，五角化六十面體可以不經由對偶變換而從扭棱十二面体構造。首先在扭棱十二面体的所有12個五邊形面上加入五角錐，再將扭棱十二面体的所有不與五邊形面相鄰的20個三角形面上加入三角錐，並調整加入之錐體的錐高，使加入的錐體之側面與其餘60個三角形面共面則形成五角化六十面體，然而這種方式構造的五角化六十面體會稍微有點形變。

二面角 
五角化六十面體只有一種二面角，約為153.18度：
2.67347322717678153.178732558°
其中為黃金比例、為

面的組成 
五角化六十面體60個全等的五邊形面組成，每個五邊形都具有3條短邊和2條長邊，若令為，則短邊與長邊的比為：
0.582899534744982414 : 1.019988247022845898
其中為黃金比例。

若令為多項式的根，則長邊與短邊的比值為：
.
也就是說，若短邊為單位長，則長邊的長度約為1.74985單位長。

組成五角化六十面體的五邊形有4個相等的鈍角和一個銳角（兩個長邊的夾角）。其中鈍角的角度為，約118度8分，而反餘弦內的值是多項式的第一個實根；銳角的角度為，約67度28分，而反餘弦內的值是多項式的第4個根。

幾何 
扭棱十二面體的面心不能直接作為五角化六十面體的頂點，因為4個三角形的面心位於同一個平面上，但五邊形的面心則否，它需要被徑向推出以使其與三角形中心共面。因此，五角化六十面體的頂點並不都位於同一個球面上，因此根據定義，五角化六十面體不是一個環帶多面體。

若其對偶多面體的邊長為單位長，則對應的五角化六十面體八十個三階頂點所在的球面之半徑為：
2.1172098986
十二個五階頂點所在的球面之半徑為：
2.220000699

體積與表面積 
若要計算五角化六十面體的體積和表面積，則需要將其中一個五邊形面的短邊表示為，並令常數為：
 .
則短邊長為的五角化六十面體表面積（）為：
.

體積（）為：
.

使用以上這些數值，可以計算此形狀的量值：

用途 

由於五角化六十面體是一個等面多面體，因此可以製成骰子。

參見
卡塔蘭立體
對偶多面體

參考文獻 

 (Section 3-9)
 (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 29, Pentagonal hexecontahedron)

外部連結 

卡塔蘭立體
康威多面體