平衡点 (数学)

在数学中，平衡点（equilibrium point）是相对微分方程或差分方程的概念，多指微分方程的常数解（constant solution）。

定义
对于微分方程
 
若对任意都成立，则称为此微分方程的平衡点。

类似地，对于差分方程

若对都成立，则称为此差分方程的平衡点。

分类
微分方程可以被线性化为以下形式
 
其中是在平衡点处的雅可比矩阵。通过观察矩阵的特征值的符号，可以判断平衡点的稳定性。

若的所有的特征值的实部均不为0，则被称为双曲平衡点。若所有特征值的实部均为负值，则此平衡点是稳定点。若至少存在一个特征值的实部为正值，则此平衡点是不稳定点。若至少有一个特征值的实部为正，且至少有一个特征值的实部为负，则此平衡点是鞍点。

关于差分方程的平衡点也可作相似的分类。设是在平衡点处的雅可比矩阵。

若的所有的特征值的模均不为1，则被称为双曲平衡点。若所有特征值的模均为小于1，则此平衡点是稳定点。若至少存在一个特征值的模大于1，则此平衡点是不稳定点。若至少有一个特征值的模大于1，且至少有一个特征值的模小于1，则此平衡点是鞍点。

稳定性理论
动力系统