唯一素数

唯一素数（）是指一個不為2、5（在十進位時），有以下性質的質數p：不存在其他質數q，其倒數1 / q的循环節長度和1 / p的循环節長度相等。唯一素数是在1980年代由Samuel Yates提出。

可以證明素数p其倒數的循环節長度為n若且唯若存在一自然數c使得下式成立（下面内容仅限于十进制范畴）：

其中Φn(x)為n次的分圓多項式。至2010年為止，已經找到逾50個唯一素数或者有此性質的，但是小於10100的唯一素数-{只}-有23個。以下是這些唯一素数及其循环節位數：

倒數循环節長度294位的唯一素数類似7的倒數（0.142857142857142857...）。

接續上表的第24個唯一素数有128位，倒數循环節長度為320位，可以寫成(932032)2+1，其中下標n表示前面的一個數字或一組數字會重覆出現n次。

所有循環單位素数都是唯一素数。依照循環單位素数及循環單位可能素數出現的頻率來看，唯一素数非常的少見，不過數學家們仍強烈推論有無窮多個唯一素数。

至2010年為止，循環單位(10270343-1)/9是已知最大的可能唯一素数。

至1996年為止，確定是質數的最大唯一素数是(101132 + 1)/10001，若用前文中的表示法，可以表示為(99990000)141+ 1，其倒數循环節長度為為2264位，後來陸續證明更大的唯一素数，至2010年為止，確定是質數的最大唯一素数有10081位數。

二進制中的唯一質數 
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 31, 41, 43, 73, 127, 151, 241, 257, 331, 337, 683, ...... ：

其循環節長度分別為：
2, 4, 3, 10, 12, 8, 18, 5, 20, 14, 9, 7, 15, 24, 16, 30, 21, 22, ......：

這當中包含了所有費馬質數(循環節長度為2的乘方)，梅森質數(循環節長度為質數)及瓦格斯塔夫質數(循環節長度為奇質數的兩倍)

以下為不超過264之二進制唯一質數列表：

參考資料

外部連結 
 The Prime Glossary: Unique prime
 Prime Top Tens
 Unique Period Primes
 Factorization of 11...11 (Repunit)

素數