不可及数

不可及数（Untouchable Number）是这样的一些正整数，它们无法表示为任意一个正整数（包括自身）的全部真因數之和。

比如5就是不可及数。5可以表示為1+4，這是唯一加數中有1，且加数沒有重覆的分解方式。不過，如果4是某个数的因数，则2也是它的因数，因此1和4明显不能是任何一个数所有的正因子，2也必须包括进来。5=2+3的分解方式不包括1，因此也是不符要求的。别的分解方式必然包括相同的数，因此也不符合要求。

相反的，4就不是不可及數，因為4可以表示為1+3，這是9的正因子（不考慮9本身）的和，因此4不是不可及數。

在线数列百科OEIS的数列展示了递增排列的不可及数：

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290,292,304,306,……

保罗·埃尔德什证明了不可及数有无穷多个。

人们相信5应该是不可及数中唯一的奇数，但这尚未获得证明。可以由稍强化的哥德巴赫猜想得到此推论。如果这个猜想成立，那么除了2和5，不可及数都应该是合数。

完全数显然不是不可及数：完全数正好等于自身所有因子之和。

梅森數显然不是不可及数：2的冪的真因數和正好等于梅森數。

質数進位由1組成的純位數显然不是不可及数：質数冪的真因數和等於質数進位由1組成的純位數。

不可及数不可能比质数多1：显然任何素数p的平方的因子之和为p+1。

不可及数不可能比质数多3：显然任何素数p的2倍的因子之和为p+3。

參考資料

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