摩尔-彭若斯广义逆

摩尔－彭若斯广义逆（），通常標記為或，是著名的广义逆矩阵之一。

1903年，埃里克伊姆（Erik Ivar Fredholm）提出积分算子的伪逆的概念。摩尔－彭若斯广义逆先后被以利亚金·黑斯廷斯·摩尔（Eliakim Hastings Moore）（1920年）、阿恩·布耶哈马（Arne Bjerhammar）（1951年） 、罗杰·彭罗斯（1955年）发现或描述。

它常被用于求得或简化非一致线性方程组的最小范数最小二乘解（最小二乘法）。

矩阵的摩尔－彭若斯广义逆在实数域和复数域上都是唯一的，并且可以通过奇异值分解求得。

定义

定义一 

令PS表示到向量空间S上的正交投影。对于任意一个m乘n的复矩阵A，设R(A)表示A的值域空间。摩尔于1935年证明矩阵A的广义逆矩阵G必须满足的条件：

以上两个条件称为摩尔条件。满足摩尔条件的矩阵G称为矩阵A的摩尔逆矩阵。

定义二 

彭若斯于1955年提出了定义广义逆矩阵的另外一组条件：

 ， 不一定是单位矩阵，但却不会改变的列向量。
 ， 是乘法半群的弱逆
 ， 是埃尔米特矩阵
 ， 也是埃尔米特矩阵

以上四个条件常称摩尔-彭若斯条件。满足全部四个条件的矩阵G，就称为A的摩尔－彭若斯广义逆矩阵。

性质 
从摩尔－彭若斯条件出发，彭若斯推导出了摩尔－彭若斯广义逆的一些性质：

，，和都是幂等矩阵。

存在性和唯一性 
伪逆存在且唯一：对于任何矩阵，恰好有一个矩阵满足定义的四个性质。

满足该定义的第一个条件的矩阵被称为广义逆。如果该矩阵也满足第二个定义，它就被称为广义反身逆阵（generalized reflexive inverse）。广义逆矩阵总存在，但一般不唯一。唯一性是最后两个条件的结果。

基本性质 

这些性质的证明可以在維基教科書中找到。

 如果  有实数项，那么 也有。
 如果  是可逆的，它的伪逆就是它的逆矩阵，即： .
 零矩阵的伪逆是它的转置。
 矩阵伪逆的伪逆是原矩阵，即： .
 伪转置与转置、复共轭和共轭转置可以交换： 
 , , .
 矩阵  的标量乘法的伪逆是  的标量的倒数的乘法：
  对于 .

恒等式 
下面的恒等式可以用来判定部分涉及伪逆的子表达式的正确性：同样的，将  替换为  会得到：当用  替代  时，会得到：

埃尔米特情况 
伪逆的计算可以简化为其在埃尔米特情况下的构造，这可以通过等价关系实现：其中 和  是埃尔米特矩阵。

乘积 
令，下列等式等价：

 
 
 
 
 

下方列出了 的充分条件：

  的列单位正交（此时），或
  的行单位正交 （此时 ） ，或
  的列线性无关（此时  ） 同时  的行线性无关（此时 ），或 
 ，或
 。

下方列出了 的必要条件：

 

由最后一个充分条件得出等式：注意: 等式  一般不成立，例如：

投影 

 和  是正交投影算子，即它们是埃尔米特矩阵（，）和幂等矩阵（，）。以下性质成立：

  ，
  是正交投影算子，投影到  的值域（也就是  的核的正交补空间）。
  是正交投影算子，投影到  的值域（也就是  的核的正交补空间）。
  是正交投影算子，投影到  的核。
  是正交投影算子，投影到  的核。

最后两条性质隐含了下列等式：

 
 

如果   是埃尔米特矩阵和幂等矩阵（当且仅当它为正交投影矩阵），则对于任意矩阵  ，下式成立：这一条性质可以如此证明：定义矩阵 , ，当  是埃尔米特矩阵和幂等矩阵时，通过验证伪逆的性质可以检查  确实是  的一个伪逆。从上一条性质可以看出，当   是埃尔米特矩阵和幂等矩阵时，对于任意矩阵 

当  是一个正交投影矩阵，则它的伪逆就是它自身，即 。

几何结构 

如果我们把矩阵看作是一个在数域  上的线性映射 ， 那么  可以被分解如下。首先定义符号：  表示直和，  表示正交补， 表示映射的核，  表示映射的像。注意  和 。 限制条件  则是一个同构。这意味着  在  上时这个同构的逆，在  上则是零。

换而言之，对于给定的  要找到 ，首先将  正交投影在  的值域中，找到点 ，然后构建 ，即就是在  中，会被  投影到  的点。这是  的一个平行于  的核的仿射子空间。这个子空间中长度最小的元素（也就是最靠近原点的元素），就是我们寻找的  的解。它可以通过从  中选择任意元素，并将其投影在  的核的正交补空间而得到。

以上描述与线性系统的最小范数解密切相关。

子空间

极限 
伪逆可以由极限定义：（参见吉洪诺夫正则化）。当  或  不存在时，这些极限仍然存在。

连续性 
与一般的矩阵求逆不同，求伪逆的过程并不连续：如果序列  收敛到矩阵  （在最大范数或弗罗贝尼乌斯范数意义下），则  不一定收敛于 . 然而，如果所有的矩阵  与  有相同的秩，则  将收敛于 .

导数关系 
实值伪逆矩阵的导数，该矩阵在某点处具有恒定的秩 可以用原矩阵的导数来计算：

例子 
对于可逆矩阵，其广义逆为其一般的逆矩阵，所以以下仅举一些不可逆矩阵的例子。

 对于，其广义逆矩阵为（通常零矩阵的广义逆矩阵为其转置）。该广义逆矩阵的唯一性可以认为时由性质得出的，因为与零矩阵相乘总会得到零矩阵。
 对于，其广义逆矩阵为 。
 事实上，，所以 。
 类似的， ，由此 。
 对于，其广义逆矩阵为。
 对于，其广义逆矩阵为。
 对于，其广义逆矩阵为。
 对于，其广义逆矩阵为  。对于该矩阵，其左逆存在且等于，事实上，。

参考

书籍

文献 

线性代数