勒貝格微分定理

數學上，勒貝格微分定理是實分析的一條定理。這條定理大致是說，一個局部可積函數在幾乎每點的值，都是函數在該點為中心的無限小的球上的平均。換言之，該函數的定義域上幾乎處處都是勒貝格點。

定理敘述
設為实值或复值的局部可積函數，m為的勒貝格測度。那麼中幾乎處處的x都符合

使上式成立的点称为的勒贝格点。

證明
因為這定理是關於函數的局部性質，不失一般性，可假設函數f定義在有界集合中，故f為可積函數。

定義

那麼這定理就是對幾乎處處的x有Tf = 0。只需證對任何y > 0，集合{Tf > y}的測度為零。

對連續函數，這定理顯然成立。連續函數在中稠密，故此對任意正整數n，有連續函數g使得。

令。由於g連續，有Tg = 0。

用三角不等式有

設。（Mh為h的哈代－李特爾伍德極大函數。）從上式得

因為，所以有

若Tf > y，則有Mh > y/2或者|h| > y/2。因此

由哈代－李特爾伍德極大不等式得

由積分的基本性質有

故得

因此

因為上式對所有正整數n成立，從而知m{Tf > y}=0。定理得證。

參考
Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis, International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.), McGraw-Hill.

实分析定理
测度论定理