貝西科維奇覆蓋定理

數學上，貝西科維奇(Besicovitch)覆蓋定理是實分析的一條覆蓋定理。歐氏空間的任何一個有半徑上限的閉球族中，可以取出幾個子集，子集的球互不相交，且覆蓋原來閉球族中所有球的中心，而子集的數目上限只取決於空間的維數。

定理敘述
若是中的非退化（半徑為正數）閉球族，當中的球的半徑有有限上界，即

而A為當中的球的中心組成的集合。那麼中存在子集，每個是可數多個互不相交的球的集合，而且

其中是一個僅依賴於n的常數。

證明大概
先假設A是有界集合。依次選取球
 選擇為，適合條件
 若已選取，。令。若，就停止；若否，選擇為，適合條件
球有以下性質
 以的選取方法可知，若j > i，則，。
 將全部球的半徑縮至三分之一，從以上不等式，可證這些縮小的球互不相交。
 若有可數無限多球，因A有界，及縮小的球不交的性質，所以球的半徑趨向0。
 。若數目有限，則結果明顯；若數目是無限多，假如有，那麼中有球，而從上一性質知，對足夠大的j，有，與的選取條件矛盾。

對k > 1，估算和多少個之前選擇的球相交。先將這樣的按半徑分成兩組：為第一組，為第二組。

對第一組的球，將其縮小成後包含在中。之間互不相交，故總體積不超過的體積。又因，因此相對的比例有一個下限，而這下限僅由維數n決定。所以第一組的球的數目有一個僅依賴於n的上限。

對第二組的球，任取其中兩個球,。考慮以,,作頂點的三角形。因,都和相交，又不在,之內，故有不等式

欲證出此三角形以為頂點的角，不小於一常數。可以假設邊長不大於邊長。如果不在內，則邊長大於。若邊長不小於邊長，則為三角形中最長的邊，所以不小於。若邊長小於邊長，以平面幾何可證得這情形時不小於arccos(5/6)。如果在內，必有i < j，故，且不在內，因此邊長大於。可證得這情形時不小於arccos(61/64)。取上述下限的最小者，得出的下限為arccos(61/64)。

因此將第二組各個的球的中心和之間連成直線，則任意兩條直線之間在的夾角不小於arccos(61/64)。為中心的單位球面上，這些直線中任何兩條和球面的交點，其間的球面距離，等於直線間的夾角。直線間的夾角下限，就是交點間的球面距離下限。在單位球面上所能容納的這樣的點的數目，有一個只依賴維數n的上限，這也就是第二組球的數目上限。

和之前的球相交的數目上限，是以上兩組的上限的和，於是這個上限只依賴於維數n。這個上限加1設為。現在從開始依次把球放到子集內。輪到時，因為之前的球中最多有個和相交，因此在個子集中，必定有至少一個所包含的球都不和相交，於是可以把加進這個子集。這樣就得出了子集，滿足條件

對一般的A，設

對每個正整數l，設

將以上結果用到和上，得到子集，滿足條件

對，設，，並設。那麼的球互不相交，且有

因此定理得證。

參見
維塔利覆蓋引理

參考
Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure Theory and Fine Properties of Functions. CRC Press.

覆盖引理
分析定理