格羅莫夫雙曲空間

數學上，設為一常數，則一個度量空間是格羅莫夫(Gromov)δ-雙曲空間，簡稱δ-雙曲空間，如果中任意四點都符合不等式

其中是對基點的格羅莫夫積。若δ的實際數值不重要時，也可稱作格羅莫夫雙曲空間或雙曲空間。以上是米哈伊爾·格羅莫夫的定義，因為不須用到測地線，故可以用於一般的度量空間。

一個測地度量空間是格羅莫夫雙曲的，當且僅當存在常數，使得每個測地三角形（三邊都是測地線段的三角形）都是δ-瘦，即是三角形每一邊上任何一點，距離另外兩邊其中一邊少於δ。

以上的δ-瘦條件由以利亞·里普斯(Eliyahu Rips)給出，此外又有數種等價條件。格羅莫夫定義中的δ未必等於里普斯條件的δ，但如果一個測地度量空間符合格羅莫夫定義中的δ-雙曲性，則它符合里普斯4δ-瘦條件；反之若這空間符合里普斯δ-瘦條件，則符合格羅莫夫定義的8δ-雙曲性。

例子
 樹是0-雙曲空間，因為其上任何三角形都是退化的。
 有限直徑的度量空間都是雙曲空間。
 設為測地度量空間，是一個擬等距映射，如果是雙曲空間，那麼也是雙曲空間。
 若是負曲率的緊緻黎曼流形，那麼其萬有覆疊空間是雙曲空間，而的基本群賦予字度量後可以擬等距映射到（施瓦茨－米爾諾引理），所以也是雙曲空間。因此是雙曲群。

理想邊界
設X是一個格羅莫夫雙曲空間，為X中一個序列。如果
當時，，
稱收斂於無窮。其中p是X中某個定點，是對基點p的格羅莫夫積。

對收斂於無窮的序列定義一個等價關係如下：，如果
當時，。
由這些等價類構成的集合稱為X的理想邊界。

注意上述條件都不依賴於基點p，因為格羅莫夫積對p是1-利普希茨連續的，即是若將p換作另一點q，則任兩點的格羅莫夫積以q為基點時的值，與以p為基點時的值，相差不超過p和q的距離。

若序列在等價類內，那麼稱。這樣就在上定義了一個拓撲，使得X在內是稠密的。

等價定義
設格羅莫夫雙曲空間X是測地和常態的，其理想邊界有等價定義如下：

 一個映射稱為擬射線，如果f是一個擬等距嵌入。對X中的擬射線定義等價關係：兩條擬射線等價，若二者的豪斯多夫距離是有限的。那麼由擬射線的等價類構成的集合是X的理想邊界。
 選取X中任何一點w為基點。對所有從w點出發的測地射線，定義如上一項所述的等價關係。則由這些測地射線的等價類構成的集合是X的理想邊界。

參見
雙曲群

參考

度量幾何