可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程也叫做变量分离方程，指的是形如
的方程.

等价定义
可化为的方程，称为可分离变量的微分方程.

一般解法(求通解)
分离变量法：

对，若则
，两边取不定积分，得
，这里和理解为某个确定的原函数，为任意常数.

对也是一样的解法.

初值问题（求特解）
1.不定积分法

以为例，若给初始条件,则对两边取不定积分，得

,将初始条件代入,求得

,再代回原方程即得所要求的特解.

2.变上限积分法

仍以为例，若给初始条件,对两边取不定积分，得

,其中分别为的一个原函数，代入初始条件，有

,代回原方程得特解为,即

,根据牛顿—莱布尼茨公式，可知

,在不混淆的时候，可写为

.

所以可以用两边取变上限积分的方法求这类初值问题.

若又给条件,将此条件代入,得

,即

.

参考资料
1.《常微分方程（第三版）》王高雄、周之铭等编 高等教育出版社

2.《高等数学（第六版）》同济大学 

3.《微积分（第二版）》同济大学应用数学系

4.《微积分学习指导书》同济大学应用数学系

微分方程