Cis函數

在微积分学中，cis函數又稱純虛數指數函數，是複變函數的一种，和三角函數類似，其可以使用正弦函數和餘弦函數來定義，是一種實變數，其中為虛數單位，而cis則為的縮寫。

概觀 
cis函數是歐拉公式等號右側的所形的組合函數簡寫：

其中表示虛數單位。因此

cis符號最早由威廉·哈密頓在他於1866出版的《Elements of Quaternions》中使用，而Irving Stringham在1893出版的《Uniplanar Algebra》

以及James Harkness和Frank Morley在1898出版的《Theory of Analytic Functions》中皆沿用了此一符號

，其利用歐拉公式將三角函數與複平面的指數函數連結起來。

cis函數主要的功能為簡化某些數學表達式，透過cis函數可以使部分數學式能更簡便地表達，例如傅里葉變換和哈特利變換的結合，以及應用在教學上時，因某些因素（如課程安排或課綱需求）因故不能使用指數來表達數學式時，cis函數就能派上用場。

性質 
cis函數的定义域是整个实数集，值域是單位複數，絕對值為1的複數。它是周期函数，其最小正周期为。其图像关于原点对称。

上述文字稱它以類似三角函數的形式來定義函數的原因是，就如同三角函數，他也算是一種比值，複數和其模的比值:
，其中是辐角為的複數
因此，當一複數的模為1，其反函數就是辐角（arg函數）。

函數可視為求單位複數的函數。

函數的實數部分和餘弦函數相同。

微分

積分

其他性質 
根據歐拉公式，cis函數有以下性質：

上述性質是當與都是複數時成立。在與都是實數時，有以下不等式：

命名 
由於函數的值為「餘弦加上虛數單位倍的正弦」，取其英文縮寫cosine and imaginary unit sine，故以來表示該函數。

歐拉公式 

在數學上，為了簡化歐拉公式，因此將歐拉公式以類似三角函數的形式來定義函數，給出了cis函數的定義：

並且一般定義域為，值域為。

當值為複數時，函數仍然是有效的，因此可利用cis函數將歐拉公式推廣到更複雜的版本。

棣莫弗公式 

在數學上，為了方便起見，可以將棣莫弗公式寫成以下形式：

指數定義 
跟其他三角函數類似，可以用e的指數來表示，依照歐拉公式給出:

反函數 
的反函數：，當代入模為1的複數時，所得的值是其輻角

類似其他三角函數，的反函數也可以用自然對數來表示

當一複數經過符號函數後代入可得輻角。

恆等式 
函數的倍角公式似乎比三角函數簡單許多

半形公式

倍角公式

冪簡約公式

相關函數

餘cis函數 

就如同三角函數，我們可以令：，其可用於誘導公式來化簡某些特定的函數的式子。

至於指數定義，經過正弦和餘弦的指數定義得:

有恆等式:

雙曲cis函數 
cish函數（）在幾何意義上與cis函數對應的雙曲函數不同。在雙曲幾何中，與歐幾里得幾何對應cis函數應為：

然而當中的若定義為負一的平方根，則其會變為：

雙曲複數

在一般的情況下，cis函數對應的雙曲函數定義域和值域皆為實數，但若定義雙曲複數，考慮數，其中是實數，而量不是實數，但是實數。選取，得到一般複數。取的話，便得到雙曲複數。

而雙曲複數有對應的歐拉公式:

其中j為雙曲複數。

因此雙曲cis函數得到的值為雙曲複數，相反的若將其反函數帶入模為一的雙曲複數可得其輻角。

如此一來，值域將會變成分裂四元数。

cas函數 
cas函數是一個以類似cis函數的概念定義的一個函數，為於1942提出，其定義為，是一種實變數實值函數，而cas為「cosine-and-sine」的縮寫，其表示了實數值的：

cas函數存在一些恆等式：

角和公式：

微分：

參見 
 正弦
 餘弦
 複數 (數學)
 三角函数
 三角函数恆等式
 歐拉公式

參考文獻 

特殊函数