刘维尔数

如果一个实数满足，对任意正整数，存在整数，其中有

就把叫做刘维尔数。

法国数学家刘维尔在1844年证明了所有刘维尔数都是超越数，第一次说明了超越数的存在。

基本性质 
容易证明，刘维尔数一定是无理数。若不然，则。
取足够大的使，在时有

与定义矛盾。

刘维尔常数 
即

这是一个刘维尔数。取

那么对于所有正整数

超越性 
所有刘维尔数都是超越数，但反过来并不对。例如，著名的e和就不是刘维尔数。实际上，有不可数多的超越数都不是刘维尔数。

证明 
刘维尔定理：若无理数是代数数，即整系数次多项式的根，那么存在实数，对于所有有

 

证明：令，记的其它的不重复的根为
，取这样的A

 

如果存在使定理不成立的，就有

 

那么，

据拉格朗日中值定理，存在和之间的使得

 

有

 

是多项式，所以

 

由于和

 

矛盾。

证明刘维尔数是超越数：有刘维尔数，它是无理数，如果它是代数数则

取满足的正整数，并令，存在整数其中 有

 

与上式矛盾。故刘维尔数是超越数。

参考文献

参见 
 丢番图逼近

外部链接 
 The Beginning of Transcendental Numbers 

丢番图逼近
數學常數
包含证明的条目
实数超越数
無理數