树状数组

树状数组或二元索引树（），又以其发明者命名为Fenwick树，最早由Peter M. Fenwick于1994年以A New Data Structure for Cumulative Frequency Tables为题发表在SOFTWARE PRACTICE AND EXPERIENCE。其初衷是解决数据压缩裡的累积频率（Cumulative Frequency）的计算问题，现多用于高效计算数列的前缀和， 区间和。它可以以的时间得到任意前缀和，并同时支持在时间内支持动态单点值的修改。空间复杂度。

结构起源 
按照Peter M. Fenwick的说法，正如所有的整数都可以表示成2的幂和，我们也可以把一串序列表示成一系列子序列的和。采用这个想法，我们可将一个前缀和划分成多个子序列的和，而划分的方法与数的2的幂和具有极其相似的方式。一方面，子序列的个数是其二进制表示中1的个数，另一方面，子序列代表的f[i]的个数也是2的幂。

基本操作

预备函数 
定义一个lowbit函数，返回参数转为二进制后,最后一个1的位置所代表的数值。

例如，lowbit(34)的返回值将是2；而lowbit(12)返回4；lowbit(8)返回8。

将34转为二进制为(0010 0010)2。这里的“最后一个1”指的是从位往前数，见到的第一个1，也就是位上的1。

程序上，(~i + 1) & i表明了最后一位1的值。

仍然以34为例，~(0010 0010)的结果是1101 1101（221），加1后为1101 1110（222），把0010 0010与1101 1110作AND，得0000 0010（2）。

lowbit的一个简便求法:（C++）
int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}

新建 
定义一个数组 BIT，用以维护的前缀和，则：

具体能用以下方式实现：（C++）
void build()
{ 
    for (int i = 1; i <= MAX_N; i++)
    {
        BIT[i] = A[i - 1];
        for (int j = i - 2; j >= i - lowbit(i); j--)
            BIT[i] += A[j];
    }
}
//注：这里的求和将汇集到非终端结点（D00形式）
//BIT中仅非终端结点i值是 第0~i元素的和
//终端结点位置的元素和，将在求和函数中求得
//BIT中的index，比原数组中大1

修改 
假设现在要将的值增加delta，

那么，需要将覆盖的区间包含的值都加上delta，

这个过程可以写成递归，或者普通的循环。

需要计算的次数与数据规模N的二进制位数有关，即这部分的时间复杂度是。

修改函数的C++写法：
void edit(int i, int delta)
{
    for (int j = i; j <= MAX_N; j += lowbit(j))
        BIT[j] += delta;
}

求和 
假设我们需要计算的值。

首先，将ans初始化为0，将i初始化为k。
将ans的值加上BIT[i]。
将i的值减去lowbit(i)。
重复步骤2～3，直到i的值变为0。

求和函数的C/C++写法：
int sum (int k)
{
    int ans = 0;
    for (int i = k; i > 0; i -= lowbit(i))
        ans += BIT[i];
    return ans;
}

时空复杂度 
 初始化复杂度最优为：
 单次询问复杂度：，其中N为数组大小
 单次修改复杂度：，其中N为数组大小
 空间复杂度：

扩展 
树状数组可以通过维护差分数组来处理区间修改和单点查询。具体地，当我们在  增加  时只需执行 edit(l,d) 和 edit(r+1,-d) 。查询则与单点修改区间查询相似。

应用

求逆序对数 
逆序对数是一个数列中在它前面有比它大的个数。如4312的逆序对数是0+1+2+2=5。

可以先把数列中的数按大小顺序转化成到的整数，使得原数列成为一个的排列，创建一个树状数组，用来记录这样一个数组（下标从1算起）的前缀和：若排列中的数当前已经出现，则的值为，否则为。初始时数组的值均为，从排列中的最後一个数开始遍历，每次在树状数组中查询有多少个数小于当前的数（即用树状数组查询数组目前个数的前缀和）并加入计数器，之后对树状数组执行修改数组第个数值加的操作。

参考文献 

树结构
数组