达布变换

达布变换（Darboux Transformation）是1882年法国数学家达布发现的一种求偏微分方程精确显式解的变换法。达布变换在求KdV方程,MKdV方程，高维AKNS系统，sine-Gordon方程，sinh-Gordon方程，高阶Broer Kaup系统的精确解方面，有广泛用途。

1882年，达布研究一维薛定谔方程的特征值问题：

他发现作一个变换：

其中 

其中是时一维薛定谔方程的解，

则当  时，和必定满足另一个相关的一维薛定谔方程： 

λ

达布变换也称为Bäcklund变换，其特点在于根据已知的一个解作为种子，经过变换之后，获得完全可积的新方程组，由此得出另一个新的解。。

KdV方程的达布变换
1977年Wahlquist等学者发现，达布变换也适用于KdV方程，从而将薛定谔方程的达布变换推广为KdV方程的达布变换

KdV方程：

是其LAX对的可积条件：

经过达布变换(u,Φ)→(u',Φ')得到

因此，只要从LAX对求得一个解，然后通过达布变换(u,Φ)→(u',Φ')就可以得到KdV方程的新解，还可以不断进行连锁式达布变换(u,Φ)→(u',Φ')→(u,Φ)→(u,Φ)……以得到KdV方程大量的解。<ref谷超豪《孤立子理论中的达布变换及其几何应用》2-3页上海科学技术出版社</ref>

矩阵形式

几何应用

负常曲率曲面

十九世纪八十年代发现一个负常曲率曲面是Sine-Gordon方程一个非零解，又发现通过Bäcklund变换可以从一个负常曲率曲面得到另一个负常曲率曲面。

伪球线汇

自对偶楊-米爾斯流

参考文献

偏微分方程