埃尔米特插值

不少实际的插值问题不但要求在节点上的函数值相等，而且还要求对应的导数值也相等,甚至要求高阶导数也相等,满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式。

概述

埃尔米特插值是另一类插值问题，这类插值在给定的节点处，不但要求插值多项式的函数值与原函数值相同。同时还要求在节点处，插值多项式的一阶直至指定阶的导数值，也与被插函数的相应阶导数值相等，这样的插值称为埃尔米特(Hermite)插值。 Hermite插值在不同的节点，提出的插值条件个数可以不同，若在某节点，要求插值函数多项式的函数值，一阶导数值，直至阶导数值均与被插函数的函数值相同及相应的导数值相等。我们称为重插值点节,因此，Hermite插值应给出两组数，一组为插值点节点，另一组为相应的重数标号。

若，这就说明了给出的插值条件有个，为了保证插值多项式的存在唯一性，这时的Hermite插值多项式应在上求得，于是可作如下定义。

定义

为  上充分光滑函数，对给定的插值定节，及相应的重数标号，时，若有满足

则称 为关于节点及重数标号的Hermite插值多项式。

二重Hermite插值多项式

常用的Hermite插值为mi=2  的情况，即给定的插值节点{xi}ni=0 均为二重节点，更具体些，，及插值节点{xi}ni=0，若有
满足

，就称H2n + 1(x)为f(x)  关于节点{xi}ni=0 的二重Hermite插值多项式。

唯一性定理 

f(x)关于节点{xi}ni=0的二重Hermite插值多项式存在且唯一。

误差定理

若，则为f(x)关于上节点{xi}ni=0的二重Hermite插值多项式误差为

这里
min{x0,x1,...,xn,x}≤ξ=ξ(x)≤max{x0,x1,...,xn,x}

参考文献

韩丹夫，吴庆标.数值计算方法.浙江：浙江大学出版社，2006.6.
 Michelle Schatzman (2002). Numerical Analysis: A Mathematical Introduction, Chapter 4. Clarendon Press, Oxford. ISBN 0-19-850279-6.
 Endre Süli and David Mayers (2003). An Introduction to Numerical Analysis, Chapter 6. Cambridge University Press. ISBN 0-521-00794-1.

插值论
有限差分
阶乘与二项式主题