冯诺依曼稳定性分析

数值分析中, 冯诺依曼稳定性分析 (亦作傅立叶稳定性分析) 用于验证计算线性偏微分方程时使用特定有限差分法的数值稳定性，该分析方法基于对数值误差的傅立叶分解。1947年英国研究人员約翰·克蘭克和菲利斯·尼科爾森在文章中对该方法进行了简要介绍，
尔后又出现在冯诺依曼合作的文章中
 。
洛斯阿拉莫斯国家实验室对该方法进行了进一步发展。

数值稳定性
数值稳定性与数值误差密切相关。使用有限差分方法进行计算时，若任意时间步的误差不会导致其后计算结果的发散，则可称该有限差分法是数值稳定的。如果误差随着进一步计算降低最终消失，该算法被认为稳定；若误差在进计算中保持为常量，则认为该算法“中性稳定”。但如果误差随着进一步计算增长，结果发散，则数值方法不稳定。数值方法的稳定性可以通过冯诺依曼稳定性分析得到验证。稳定性一般不易分析，特别是针对非线性偏微分方程。

冯诺依曼稳定性方法只适用于满足 Lax–Richtmyer 条件 （Lax 等价定理） 的某些特殊差分法： 偏微分方程系统须线性，常系数，满足周期性边界条件，只有两个独立变量，差分法中最多含两层时间步。 由于相对简单，人们常使用冯诺依曼稳定性分析代替其他更为详细的稳定性分析，用以估计差分方法中对容许步长的限制。

方法描述 
冯诺依曼误差分析将误差分解为傅立叶级数。为了描述此过程，考虑一维热传导方程

空间网格间隔为 , 对网格作 FTCS （Forward-Time Central-Space，时间步前向欧拉法，空间步三点中心差分) 离散处理，

其中  。 为离散网格上的数值解，用于近似此偏微分方程的精确解  。

定义舍入误差  。
其中  是离散方程 (1) 式的精确解， 为包含有限浮点精度的数值解。 因为精确解  满足离散方程, 误差  亦满足离散方程 ：

此式将确定误差的递推关系。方程 (1) 和 (2) 中，误差和数值解随时间具有一致的变化趋势。对于含周期性边界条件的线性微分方程，间隔  上的空间部分误差可展开为傅立叶级数

其中波数 ，， 。 通过假设误差幅度  是时间的函数，可以给出误差和时间的关系。 不难知单步中，误差随时间指数增长，因此 (3) 式可以写作

其中  为常量。

由于误差所满足的差分方程是线性的（级数每一项的行为与整个级数一致），只估计一项的误差变化便足以估计整体趋势：

为找出误差随时间步的变化, 将方程 (5) 式应用于离散后的误差表达式上

再代入到 (2) 式中，求解方程后可得

使用已知的指数三角关系式
 和 
可以将方程 (6) 变作

定义涨幅因子

则误差有限的充要条件为  。 已知

联立 (7) 和 (8) 两式，易得稳定性条件为

即

(10) 即为该算法的稳定性条件。 对于 FTCS 求解一维热传导方程，给定  ， 所允许的  取值需要足够小以满足 (10) ，才能保证计算的数值稳定。

參考資料

数值分析