努梅罗夫方法

努梅罗夫方法属于四阶线性多步法，用于求解不出现一阶微分项的二阶常微分方程。努梅罗夫方法属于隐式方法，但如果微分方程线性，则可转化为显式方法。该方法由
俄国天文学家Boris Vasil'evich Numerov提出。

方法 
可由努梅罗夫方法求解的微分方程形式为

求出函数  在区间  上等距格点上的值，从连续的两个格点上的函数值  和  开始，其他的函数值可由

算得。

其中，  和  为在格点  上的函数值，为格点间距。

对于非线性方程，

则非线性方程的努梅罗夫方法为

该式为隐式的线性多步方法。当  是  的线性函数时，该式变为显式方法，精度为4阶。

应用 

在物理中用于数值求解任意势场中径向薛定谔方程：

此式可重写为

其中 . 与Numerov方法求解的方程形式做比较，

这样，我们可以数值求解薛定谔方程。

推导 
从  的泰勒展开开始， 我们可求  的相接邻点上的函数值

上两式之和为

用所求微分方程的定义式  替换掉 ，

对所求微分方程的定义式  取二次微分

将其代入到四阶微分项中，并把二阶导  替换为  的二阶差分公式 

求解  可得

忽略掉  就可以得到努梅罗夫方法，最终收敛阶数为4(假定稳定)。

参考文献 
 .  This book includes the following references:
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外部链接 
Lecture notes: Computerphysik und Numerik  - by Jan Krieger
Lecture notes of Werner Scholz - At Vienna University of Technology
Lecture notes of Alexander Wagner 

数值微分方程