麦克劳林不等式

数学中，麦克劳林不等式（），以科林·麦克劳林冠名，是算术几何平均不等式的加细。

设 a1, a2, ..., an 是正实数，对 k = 1, 2, ..., n 定义平均 Sk 为

这个分式的分子是度数为 n 变元 a1, a2, ..., an   的 k 阶基本对称多项式，即 a1, a2, ..., an 中指标递增的任意 k 个数乘积之和。分母是分子的项数，二项式系数 。

麦克劳林不等式是如下不等式链：

等号成立当且仅当所有 ai 相等。

对 n = 2，这个给出两个数通常的几何算术平均不等式。n = 4 的情形很好地展示了麦克劳林不等式:

证明
麦克劳林不等式可用牛顿不等式证明。证明的思路是运用归纳法：

首先证明

也就是：。
这个式子等价于，
也就是：。因此成立。

其次，假设对某个，已经证明了，那么也就等于说证明了：

牛顿不等式说明，还有：
这个不等式两边作k 次乘幂，就得到：
从而：

于是，综上所述，可以证明对所有的，都有：

麦克劳林不等式得证。

参见

 牛顿不等式
 Muirhead不等式
 广义平均不等式

参考

实分析
不等式
对称函数