埃奇沃斯級數

埃奇沃斯級數（Edgeworth series）是以愛爾蘭經濟學家埃奇沃斯來命名的。它和 Gram-Charlier A series 一樣，是把一個隨機變數的機率密度函數展成級數，級數中的每一項是用該隨機變數的累积量來表達。對同一個分布，Gram-Charlier A series 和埃奇沃斯級數展出來是同樣的級數，只是項的排列不同。（也因此只取前幾項作為逼近時的誤差會有所不同）

Gram-Charlier A series
Gram-Charlier A series 的主要想法，是把待逼近分布（以F 為它的密度函數）的特徵方程，寫成另一個已知分布的特徵方程的展式，再經過傅立葉變換的逆變換，就可以求得F 的展式。

假設f 是待逼近分布的特徵方程，是這個分布的 累积量。現在將它展成和另一個已知分布相關的級數。該已知分布的密度函數為 ，特徵函数為 ，累积量 為 。常見的作法是選用正态分布作為已知分布，但事實上選用其它的分布函數也是可行的。由累积量的定義，下列這個等式是恆成立的：

由傅立葉變換的性質，(it)rψ(t) 是 (−1)r Dr (x) 的傅立葉變換，其中 D 代對 x 的微分算子。這樣我們就得到 F 的一個級數

如果令  為正态分布的密度函數且其期望值和方差与分布 F相同，也就是說，期望值 μ = κ1，變異數 σ2 = κ2，則此展式變成

再將指數函數展開並按微分階數逐項列出，就得到 Gram-Charlier A series。例如，選用正態分布做為已知分布，展到前兩項就可以得到

其中 H3(x) = x3 − 3x；H4(x) = x4 − 6x2 + 3 （即埃爾米特多項式）

注意到以上的 series 並不保證函数值恆正，所以事实上並不一定是一個密度函數。在許多情況下，Gram-Charlier A series 會發散—仅當 x 趨近無限大時 F(x) 遞降的比 exp(−x2/4) 快時它才會收斂 (Cramér 1957)。當它不收斂時，這不是一個真正的漸近展式，因為要估計這個展式的誤差是不可能的。因此，一般的情況埃奇沃斯級數（見下一節）比 Gram-Charlier A series 更常用。

延伸阅读

 H. Cramér (1957). Mathematical Methods of Statistics. Princeton University Press, Princeton.
 D. L. Wallace (1958). "Asymptotic approximations to distributions". Annals of Mathematical Statistics 29:635–654.
 M. Kendall & A. Stuart (1977), The advanced theory of statistics, Vol 1: Distribution theory, 4th Edition, Macmillan, New York
 P. McCullagh (1987). Tensor Methods in Statistics.  Chapman and Hall, London.
 D. R. Cox and O. E. Barndorff-Nielsen (1989). Asymptotic Techniques for Use in Statistics.  Chapman and Hall, London.
 P. Hall (1992).  The Bootstrap and Edgeworth Expansion.  Springer, New York.
 S. Blinnikov and R. Moessner (1998). Expansions for nearly Gaussian distributions. Astron. Astrophys. Suppl. Ser. 130:193–205.
 J. E. Kolassa (2006).  Series Approximation Methods in Statistics, 3rd Edition. (Lecture Notes in Statistics #88). Springer, New York.

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统计学