X²+1素数

x²+1素数问题是一個未解决的数学问题，其陳述為：是否有无穷个正整数x，使得x²+1為素数？

這個問題得到许多数论学者的關注。有學者認為這個問題比孪生素数猜想更加困难，因为在正整数中，形如x²+1的数比p+2稀少，所以x²+1为素数的概率更小。

10000以內的x²+1素数為（）：2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837。

歷史 
在1912年的国际数学家大会上，愛德蒙·蘭道就素數理論的發展和黎曼ζ函數作演說，當中他提到有四個關於素數的問題，是“以目前的科學狀況無法攻克”的。第四個問題便是：“函數u²+1在u取整數值時是否給出了無窮多個質數？”

推論 
更一般地，設f(x)=ax^2+bx+c為整系數二次函數。可以證明，若f(x)能取無窮多次的質數值，那麼a, b, c須符合以下條件：
a, b, c的最大公约数為1
a+b和c不能都是偶数
b²-4ac不是完全平方数

一個廣義化的猜想便是，若a為正數且a, b, c符合上述3個條件，那麼f(x)便能取無窮多次的質數值（見布尼亚科夫斯基猜想）。

進展
1923年，英國數學家哈代和李特爾伍德猜測：

根據，存在無窮多個形如的質數。

在1978年，證明了存在無窮多個x，使得至多是兩個質數的積。

X²+1合数与佩尔方程 
发现许许多多X²+1合数有平方因子

例如：18²+1=325=5²×13；32²+1=1025=5²×41；38²+1=1445=5×17²；68²+1=4625=5³×37；70²+1=4901=13²×29；....。

这是一个佩尔方程形式：

38²-5×17²=-1；70²-29×13²=-1。

註釋

参考文献
Kaisa Matomäki, Approaches to primes of the form aq2 + 1 , Department of Mathematics, University of London, 2008. section 1.

参见
素数判定法则
蘭道問題
布尼亞科夫斯基猜想
 

素数
素数猜想
数学中未解决的问题