黑格纳数

黑格纳数（Heegner number）指滿足以下性質，非平方數的正整數：其虚二次域Q(√−d)的類数为1，亦即其整數環為唯一分解整環。

黑格纳数-{只}-有以下九個：
1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163。

高斯曾猜測符合上述特性的數只有九個，但未提出證明，1952年提出不完整的證明，後來由哈羅德·斯塔克提出完整的證明，即為。

歐拉的質數多項式
歐拉的質數多項式如下：

在n = 1, ..., 40時會產生不同的40個質數，這相关于黑格纳数163 = 4 · 41 − 1.

歐拉公式，取值為1,... 40和以下的多項式

讓取值0,... 39時等效，而Rabinowitz證明了

在時，多項式為質數的充份必要條件為其判別式等於負的黑格纳数。

（若代入會得到一定不是質數，因此最大值只能取到）

1, 2和3不符合要求，因此符合條件的黑格纳数為，也就表示可以讓歐拉公式產生質數的p為，這些數字被稱為。

拉马努金常数
拉马努金常数是的值，是超越數，但非常接近整数：

這個數字是在1859年由數學家夏爾·埃爾米特發現，在1975年愚人節的《科学美国人》，《數學遊戲》的專欄作家马丁·加德纳故意聲稱這個數字其實是整數，而印度數學天才斯里尼瓦瑟·拉马努金也預測了這個數很接近整數，因此以他的名字來命名。

這個巧合可以用的及q展開來表示。

註解

參考資料

外部連結
 
 
 Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields, by Dorian Goldfeld : Detailed history of problem.
 

代数数论