相对熵

KL散度（Kullback-Leibler divergence，簡稱KLD），在訊息系统中称为相对熵（relative entropy），在连续时间序列中称为随机性（randomness），在统计模型推断中称为訊息增益（information gain）。也称訊息散度（information divergence）。

KL散度是两个機率分布P和Q差别的非对称性的度量。 KL散度是用来度量使用基于Q的分布来编码服从P的分布的样本所需的额外的平均比特数。典型情况下，P表示数据的真实分布，Q表示数据的理论分布、估计的模型分布、或P的近似分布。

定義

對於离散隨機变量，其機率分布P 和 Q的KL散度可按下式定義為

等价于

即按機率P求得的P和Q的對數商的平均值。KL散度僅當機率P和Q各自總和均為1，且對於任何i皆滿足及時，才有定義。式中出現的情況，其值按0處理。

對於連續隨機變量，其機率分佈P和Q的KL散度可按積分方式定義為 

 

其中p和q分別表示分佈P和Q的密度。

更一般的，若P和Q為集合X的機率測度，且P關於Q絕對連續，則從P到Q的KL散度定義為

其中，假定右側的表達形式存在，則為Q關於P的R–N導數。

相應的，若P關於Q絕對連續，則

即為P關於Q的相對熵。

特性

相對熵的值為非負數：

由吉布斯不等式可知，當且僅當時為零。

尽管从直觉上KL散度是个度量或距离函数, 但是它实际上并不是一个真正的度量或距離。因為KL散度不具有对称性：从分布P到Q的距离通常并不等于从Q到P的距离。

KL散度和其它量的关系
自信息和KL散度

互信息和KL散度

信息熵和KL散度

条件熵和KL散度

交叉熵和KL散度

參考文獻

概率与统计
應用數學
概率论
信息论
信息學熵