質數階乘

質數階乘（又稱：-{zh-cn:质数;zh-tw:素數;zh-hk:素數;}-階乘）是所有小於或等於該數的質數的積，自然數n的質數階乘，寫作n#。例如10以下的質數有：2,3,5,7，所以10# = 7×5×3×2 = 210。第n個質數階乘的值，寫作pn#。例：第三個質數為5，所以p3# = 5# = 5×3×2 = 30。
質數階乘與階乘不同於，質數階乘是質數乘積而階乘是自然數乘積。
質數階乘由定義並命名。

用質數定義
第n個質數pn的質數階乘pn#定義為前n個質數的積：

其中pk是第k個質數。

例如，p5#代表前五個質數的乘積：

前幾個質數階乘pn#是：
...

並定義p0# = 1 為空積。

質數階乘pn#的漸進遞增為：

其中：
"exp"是指數函數ex
 "o"是大O符號

用自然數定義
一般情況下，對於正整數n的一質數階乘n#（或稱作自然質數階乘）也可以被定義為：

其中，π(n)是質數計數函數，表示小於或等於某個實數n的質數的個數。

它等於：

prime指質數，composite指合成數
例如，12# 代表質數≤ 12：

因為π(12) = 5，所以這個算式也可以寫成：

前幾個自然質數階乘n#是：
1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310
不難發現當n為合成數時，n#的值總是與(n-1)#相同。例如上面提及的12#  =  p5#  =  11#，因為12為合成數。

n#的自然對數是第一個，记為 或 。

質數階乘n#的漸進遞增為：

質數階乘的概念可以用於證明素數是無限的。（參見證明黎曼ζ函數的歐拉乘積公式）

恆等式 

黎曼ζ函數在超過1的正整數可以質數階乘與 Jordan's totient function 表示：

質數階乘列表（部分）

參見
質數（-{zh-cn:质数;zh-tw:素數;zh-hk:素數;}-）
階乘
歐幾里得數

註釋

參考文獻 

 Harvey Dubner, "Factorial and primorial primes".  J. Recr. Math., 19, 197–203, 1987.

Z
階乘與二項式主題
素數
ru:Факториал#Праймориал или примориал