沃罗诺伊图

沃罗诺伊图（Voronoi Diagram，也称作Dirichlet tessellation，狄利克雷镶嵌）是由俄国数学家格奧爾吉·沃羅諾伊建立的空间分割算法。灵感来源于笛卡尔用凸域分割空间的思想。在几何、晶体学、建筑学、地理学、气象学、信息系统等许多领域有广泛的应用。

沃洛诺伊图的单元被称为泰森多边形。

建立步骤 

建立泰森多边形算法的关键是对离散数据点合理地连成三角网，即构建Delaunay三角网。建立泰森多边形的步骤为：

1、离散点自动构建三角网，即构建Delaunay三角网。对离散点和形成的三角形编号，记录每个三角形是由哪三个离散点构成的。

2、找出与每个离散点相邻的所有三角形的编号，并记录下来。这-{}-只要在已构建的三角网中找出具有一个相同顶点的所有三角形即可。

3、对与每个离散点相邻的三角形按顺时针或逆时针方向排序，以便下一步连接生成泰森多边形。设离散点为o。找出以o为顶点的一个三角形，设为A；取三角形A除o以外的另一顶点，设为a，则另一个顶点也可找出，即为f；则下一个三角形必然是以of为边的，即为三角形F；三角形F的另一顶点为e，则下一三角形是以oe为边的；如此重复进行，直到回到oa边。

4、计算每个三角形的外接圆圆心，并记录之。

5、根据每个离散点的相邻三角形，连接这些相邻三角形的外接圆圆心，即得到泰森多边形。对于三角网边缘的泰森多边形，可作垂直平分线与图廓相交，与图廓一起构成泰森多边形。

定义 
用表示一个距离函数为的空间（一个非空集合）。令 为一个指数集合，为空间的一个非空子集的有序元组。对应于的，称沃罗诺伊原胞，或称沃罗诺伊区域，是空间中所有到的距离不大于到其他位置（j≠k）的点集。或者说，如果定义为点和子集的距离，则 

。

沃罗诺伊图即原胞的元组。理论上有些位点能够交叉甚至重合，但事实上它们往往被设定为不相交的。另外，定义过程中允许位点数目无限（这在几何数论和 结晶学有着重要应用），然而通常情况下，只考虑有限位点数。 

对于某些特定情况，如有限维度的欧几里得空间，每一位点对应于一个点。这些点是有限且各异的，则沃罗诺伊原胞表现为凸多胞形，由它们的顶点、边、二维面等的组合方式加以描述。有时引入的组合结构被称为沃罗诺伊图。然而，沃罗诺伊原胞不一定是凸形，甚至不一定是连通的。

平面绘制 

在平面上，绘制沃罗诺伊图的过程，只要将胞点连起來构成许多三角形，利用中垂线找外心，再将所有外心相连即可。

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参考资料
MathWorld的介紹 
用Mathematica畫沃羅諾伊圖 

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图表
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