戴德金分割

戴德金分割（）是数学中对于全序集的操作。对于给定的全序集及其中某个元素而言，将分拆为两个非空集合，使得两者其一中所有元素（按照顺序）均在之前、另一真子集中所有元素均在之后。

常见的是对于全体有理数的操作，即。对于有理数，将有理数集合分拆为两个非空集合和，若和满足条件：
 ，关系式和必有且只有一个成立。
 ，，必有，并且和两者在不同时取等号时均成立。
则称这样的分拆为有理数的一个戴德金分割，记为。其中集合称为戴德金分割的下组，集合称为戴德金分割的上组。

分类 
根据戴德金分割中和是否有最大数、最小数，可以将戴德金分割分为三种类型：
 中有最大数，中无最小数
 中无最大数，中有最小数
 中无最大数，中无最小数
可以证明，“中有最大数，中有最小数」的情况并不存在。证明如下：

如果有最大数，有最小数，则根据分割的定义可知 。但是  显然也是有理数，并且 ，因此  既不在  中, 也不在  中，这就与  是全体有理数矛盾。

第三种情况揭示了在有理数域中存在这样的一种「空隙」（和之间的界数），这个「空隙」所对应的数既不属于，也不属于，因此它不是有理数，它所对应的数就是无理数，因此说第3种情况的戴德金分割定义了一个无理数。

作为一个直观的理解，我们可以把上面三种分化分别看成 、 和 ，而“中有最大数、中有最小数”的情况就是 ，中间的分割点d同时（不合法地）属于两边集合。

例子 
 将所有小于或等于0的有理数划分为集合，将所有余下的有理数（即大于0的有理数）划分为集合，则是一个戴德金分割，并属于上述分类中的第1种情形。
 将所有小于0的有理数划分为集合，将所有余下的有理数（即大于或等于0的有理数）划分为集合，则是一个戴德金分割，并属于上述分类中的第2种情形。
 将所有小于或等于0、其平方小于或等于3的正有理数（即满足的数）划分到集合，将余下的有理数（即其平方大于3的正有理数）划分到集合，则是一个戴德金分割，并属于上述分类中的第3种情形，此时戴德金分割定义了无理数。

定義大小 

假设无理数由分划所确定，无理数由分划所确定，则
 若集合或，则称无理数与相等，记为。
 若集合（），则称无理数大于，记为。

无理数小于（）的概念可由大于（）的概念定义，即当且仅当。如此得到實數系的大小關係，其性質有：
 任意实数，必有且只有下列关系式之一成立：。
 传递性：若实数，则。对于小于（）的情形，传递性同样成立。
所以該大小關係是全序關係。

参阅 
 无理数
 實數的構造

参考文献 

实数