仿射空间

仿射空间 （英文: Affine space)，又称线性流形，是数学中的几何结构，这种结构是欧式空间的仿射特性的推广。在仿射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点，但是点与点之间不可以做加法。

仿射空间中没有特定的原点，因此不能将空间中的每一点和特定的向量对应起来。仿射空间中只有从一个点到另一个点的位移向量，或称平移向量。如果是仿射空间，，那么从到的位移向量为。

所有向量空间都可看作仿射空间。若是向量空间，是向量子空间，, 则是仿射空间。这里的也称为平移向量。若向量空间的维度是，那么的仿射子空间也可看作一组非齐次线性方程的解；而齐次方程的解永远是线性子空间，也就是说齐次方程的解永远包含零解。维度为的仿射空间也叫做仿射超平面。

非正式描述
下面的非正式描述可能比正式的定义更容易理解。仿射空间像是没有原点的向量空间，其中向量只有方向和大小。假设有甲乙两人，其中甲知道一个空间中真正的原点，但是乙认为另一个点才是原点。现在求两个向量和的和。乙画出到和到的箭头，然后用平行四边形找到他认为的向量。但是甲认为乙画出的是向量。同样的，甲和乙可以计算向量和的线性组合，通常情况下他们会得到不同的结果。然而，请注意：如果线性组合系数的和为1，那么甲和乙将得到同样的结果！

如果乙从他的原点向方向行走，
则从甲的角度来看，乙的行程为.

仿射空间就是这样产生的：定义仿射组合为系数和为1的线性组合；甲知道空间的「线性结构」，但是甲和乙都知道空间的「仿射结构」，也就是空间中所有仿射组合的值。
那么对于所有满足的系数，即使甲乙从不同的原点开始，他们将以同样的线性组合描述同样的点。

定义 
称集合  是仿射空间，是指其满足如下性质：
存在一个与之相伴的向量空间 
存在一个映射 ，且这个映射有如下性质：
右幺性：;
结合律： 成立 ;
正则性：给定  中的元素,  是双射.
从定义中不难得出集合  还具有如下性质:
 是一个双射;
 减法：  使得, 记这个  为 .
另一种等价的定义可以表述为：集合  是仿射空间, 是指存在某个向量空间,  在  上的作为加法群的群作用是自由且可迁的.

参阅
仿射几何
仿射变换
 仿射群
 区间测度
 heap (数学)
 空间 (数学)

参考文献 

 Ernst Snapper and Robert J. Troyer, Metric Affine Geometry, Dover Publications; Reprint edition (October 1989)

仿射几何
线性代数