梅滕斯函數

梅滕斯函數（Mertens function）為一數論中的函數，針對所有正整數n定义，得名自弗朗茨·梅滕斯，梅滕斯函數定义如下

，

其中μ是默比乌斯函数。

上述定義也可以延伸到實數：

以較不嚴謹的說法來看，M(n)是計算到n為止的无平方数因数的数，其中有偶數個質因數的個數，減去有奇數個質因數的個數。

梅滕斯函數的值及其零點
前160個梅滕斯函數的值為

梅滕斯函數緩慢的增長及減少，不論其平均值或是峰值都有類似特性，其函數以類似混沌的方式,在零的上下變化，梅滕斯函數在以下幾點的數值為零：
2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, ... .

實際計算 
利用類似質數計算的埃拉托斯特尼筛法，可以隨著n的增加，計算梅滕斯函數

所有不大於N正整數的梅滕斯函數可以在用O(N2/3+ε)時間內算出來，不過已知有更好的演算法。有基本的演算法可以計算單獨的M(N)，時間複雜度為O(N2/3*(ln ln(N))1/3)。

為10的冪下的梅滕斯函數。

梅滕斯猜想和黎曼猜想
因為默比乌斯函数的數值只有-1、0及+1，因此梅滕斯函數緩慢的變化，不存在正整數n使得|M(n)| > n。梅滕斯猜想更進一步，認為不存在正整數n使得梅滕斯函數的絕對值超過數值的平方根。梅滕斯猜想是由汤姆斯·斯蒂尔吉斯在一封于1885年写给夏尔·埃尔米特与弗朗茨·梅滕斯的信中提出的，已在1985年被與證否。

黎曼猜想等價於較弱型式的梅滕斯猜想M(n) = O(n1/2 + ε)。因為較高的M(n)成長的速度至少和n的平方根一様快，因此可以對成長速率定出上下限。此處的O為大O符号。

参见 
梅滕斯猜想
 劉維爾函數

參考資料 

 F. Mertens, "Über eine zahlentheoretische Funktion", Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich Kleine Sitzungsber, IIa 106, (1897) 761–830.
 
 
 
 

解析数论