埃尔米特多项式

在数学中，埃尔米特多项式（Hermite polynomials）是一种经典的正交多项式族，得名于法国数学家夏尔·埃尔米特。概率论裡的埃奇沃斯级数的表达式中就要用到埃尔米特多项式。在组合数学中，埃尔米特多项式是阿佩尔方程的解。物理学中，埃尔米特多项式给出了量子谐振子的本征态。

定义 

埃尔米特多项式有两种常见定义。

第一种是概率论中较为常用的形式（又记作：）：

另一种是物理学中较为常用的形式（又记作：）：

这两种定义并不是完全等价的。它们之间的关系是：

概率论中常用第一种定义，因为是标准正态分布函数（数学期望等于0，标准差等于1）的概率密度函数。

性质 
多项式Hn 是一个n次的多项式。概率论的埃尔米特多项式是首一多项式（最高次项系数等于1），而物理学的埃尔米特多项式的最高次项系数等于2n。

正交性 
多项式Hn 的次数与序号n 相同，所以不同的埃尔米特多项式的次数不一样。对于给定的权函数 w，埃尔米特多项式的序列将会是正交序列。
   （概率论）
   （物理学）

也就是说，当m ≠ n 时：

除此之外，还有：
   （概率论）
   （物理学）

其中是克罗内克函数。

从上式可以看到，概率论中的埃尔米特多项式与标准正态分布正交。

完备性 
在所有满足

的函数所构成的完备空间中，埃尔米特多项式序列构成一组基。其中的内积定义如下：

埃尔米特微分方程 
概率论中的埃尔米特多项式是以下微分方程的解:

方程的边界条件为：应在无穷远处有界。

其中是这个方程的本征值，是一个常数。要满足上述边界条件，应取∈。对于一个特定的本征值，对应着一个特定的本征函数解，即。

而物理学中的埃尔米特多项式则是以下微分方程的解:

其本征值同样为∈，对应的本征函数解为。

以上两个微分方程都称为埃尔米特方程。

參考文獻 
 Arfken, Mathematical Methods for Physicists
 B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 11 deals with Hermite polynomials.
 Bayin, S.S. (2006) Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 4.
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Temme, Nico, Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics, Wiley, New York, 1996

外部链接 

多项式
正交多项式