模糊函數與韋格納分佈的關係

模糊函數(Ambiguity function,AF):

韋格納分佈(Wigner distribution,WD):

模糊函數與韋格納分佈關係
一個訊號s(t)，自相關函數為

如果為時間相依性(time-dependent)，則時間相依自相關(time-dependent auto-correlation)為，
時間相依(時變)頻譜(time-dependent spectrum)可以表示的形式類似於傳統的功率譜，即對時間相依自相關函數做傅立葉變換。
 
不同的時間相依自相關會導致不同的時間相依功率譜。
如果
 
，則時間相依功率譜變成為Wigner distribution
若對中的t做傅立葉逆轉換，得到另一個時頻表示，對稱模糊函數(symmetric ambiguity function,SAF)

模糊函數反映信號在時間和相位的相關性，並已廣泛應用在雷達和聲納系統上。
給一個對稱模糊函數，透過傅立葉變換可以得到時間相依自相關:

由上式可以推得

也就是對對稱模糊函數做兩次傅立葉變換可以得到Wigner distribution

範例
一個訊號為兩個Gaussian函數的和:

其中集中在原點(0,0)，而集中在，而相似於，除了中心點在
 ,  ,  ,  ,

模糊域(ambiguity domain)的auto-term與cross-term
從範例中得知一項重要事實，即為，在模糊域(ambiguity domain)中的auto-term總是集中在原點(0,0)，而cross-term總是在遠離原點處，所以可以用一個2D lowpass filter在模糊域中抑制cross-term的干擾，如下:
 ,其中為2D lowpass filter

兩高斯信號和之模糊函數與韋格納分佈應對關係
如果，則

其中SWD為smoothed Wigner distribution
通常( 和 )當作kernal function，用來控制SWD的特性。

若Wigner分佈和對稱模糊函數用大小(magnitude)及相位(phase)表示，如下:
 
 
而 , 
也就是說對對稱模糊函數的相位做偏微分，會等於Wigner分佈的時頻(time-frequency)中心。
相反地， , 
則為對Wigner分佈的相位做偏微分，會等於對稱模糊函數的中心。

如果，則
 
會集中在軸上。

如果，則
 
會集中在軸上。

參考
Weiss, Lora G. "Wavelets and Wideband Correlation Processing". IEEE Signal Processing Magazine, pp. 13–32, Jan 1994 
Shie Qian, Introduction to time-frequency and wavelet transforms, Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, c2002
L. Sibul, L. Ziomek, "Generalised wideband crossambiguity functiom", IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing, ICASSP '81.01/05/198105/1981; 6:1239- 1242.

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