波莱尔-坎泰利引理

波莱尔－坎泰利引理是概率论中的一个基本结论。大致上，波莱尔－坎泰利引理说明了，如果有无穷个概率事件，它们发生的概率之和是有限的，那么其中的无限多个事件一同发生的概率是零。这个定理实际上是测度论的结论在概率论中的应用，得名于数学家埃米尔·波莱尔与弗朗西斯科·保罗·坎泰利。

概率空间中的定理

设为某个概率空间中的一个事件序列。波莱尔－坎泰利引理说明：
如果所有的事件发生的概率的总和是有限的，

那么它们之中有无限多个同时发生的概率等于零：

其中的是指一个事件序列的上极限。由于每一个事件都是若干个可能结果的集合，所以就是指使得序列里面有无限多个事件一起发生的結果（outcome，或稱樣本輸出）的集合。准确来说，

。

证明

设(En)是某个概率空间里的一系列事件。假设这些事件发生的概率之和是有限的： 

。

这等价于说，正项无穷级数收敛。所以，根据无穷级数的性质，级数的余项的下极限是0：

因此，

推广

对于更一般的概率空间，波莱尔－坎泰利引理可以叙述如下：

设μ是一个集合X上的测度，装备了σ-代数F。设(An)为F中的一个序列。如果：

那么，

参考来源

 
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 Durrett, Rick. "Probability: Theory and Examples." Duxbury advanced series, Third Edition, Thomson Brooks/Cole, 2005.

测度论
概率论
引理