平摊分析

平攤分析在计算机科学中，是用於算法分析中的方法，平攤分析常用於分析資料結構（動態的資料結構），在使用平攤分析前須知道資料結構各種操作所可能發生的時間，並計算出最壞情况下的操作情況並加以平均，得到操作的平均耗费时間。平摊分析只能確保最坏情况性能的每次操作耗费的平均时间，並不能確認平均情况性能。

一個簡單的例子，一個長度為n的list，在list的最後要加入一筆新的資料此時要花費的操作時間為O(n)，此時也是加入新的資料的最糟糕的情況。但是，一个 n 个插入的操作序列仍然可以在 O(n) 的时间内完成，因为剩下的插入可以在常数时间内完成，因此n 个插入可以在 O(n) 的时间内完成。因此每操作的平摊耗费为O(n) / n = O(1)。

注意平摊分析与平均时间分析和概率算法的概率分析不同。在平均时间分析中，我们平均化所有可能的输入；在概率算法的概率分析中，我们平均化所有可能的随机选择；在平摊分析中，我们平均化一系列操作的耗费。平摊分析假设的是最坏情况输入并且通常不运行随机选择。

平摊分析中几种常用的技术:
聚合分析决定 n 个操作序列的耗费上界T(n)，然后计算平均耗费为 T(n) / n。
记账方法确定每个操作的耗费，结合它的直接执行时间及它在对运行时中未来操作的影响。通常来说，许多短操作增量累加成「债」，而通过减少长操作的次数来「偿还」。
势能方法类似记账方法，但通过预先储蓄「势能」而在需要的时候释放。

平攤分析種類

聚集法(Aggregate method) 
計算n個操作的時間複雜度上限T(n)
平攤T(n)至每一個操作，每一個操作的平攤成本是T(n)/n

記帳法(Accounting method) 
執行花費較低的operations時先存credit未雨綢繆, 供未來花費較高的operations使用

對每個操作定義一個合法的平攤成本(amortized cost)
假設為第i個操作的actual cost，為第i個操作的amortized cost

若，則credit=，我們把credit存起來(deposited)，未來可以提取(withdraw)
若，則提取credit

設定每個操作的平攤成本(amortized cost)後，要做valid check確保credit不可以是0，也就是說

位能法(Potential method) 
定義一個位能函數(potential function)，將資料結構D(例如: 堆疊)的狀態對應到一個實數

: 資料結構D的初始狀態

: 資料結構D經過個操作後的狀態

: 第個操作的actual cost

: 第個操作的amortized cost

定義

為了滿足

我們定義 , 通常令 和

例子

堆疊(stack)的平攤分析
我們定義一個堆疊有下列操作

S.mult-pop(k)的程式碼如下
def multi_pop(k):
	while (not S.empty()) and (k>0):
		S.pop()
		k -= 1

接下來我們分別使用聚集法(aggregate method), 記帳法(Accounting method), 位能法(Potential method)求出"堆疊一個操作的平攤成本是O(1)"

使用聚集法(aggregate method)分析堆疊操作的平攤成本 
令是S.push(x)的執行次數，是S.pop()的執行次數，是S.multi-pop(k)的執行次數

為總執行次數

因為一個堆疊S如果是空的，就不能執行pop了，也就是說可以pop或multi-pop的元素個數不會超過S中push進去的元素個數

所以

假設是執行個操作的時間複雜度上限

所以堆疊一個操作的平攤成本為

使用記帳法(Accouting method)分析堆疊操作的平攤成本 
我們假設S.push(x), S.pop(), S.multi-pop(k)的amortized cost分別為2, 0, 0，如下表所示

因此每個操作的平攤成本是O(1)

使用位能法(potential method)分析堆疊操作的平攤成本 
我們定義位能函數為執行i個操作後，堆疊內的元素個數

 ，因為堆疊一開始是空的

 ，因為堆疊的元素個數一定

計算堆疊S每一個操作的平攤成本

總平攤成本 ，所以堆疊單一個操作的平攤成本是

动态数组
 
考虑一个随元素个数增加而增长的动态数组，比如Java的ArrayList或者C++的std::vector。如果我们的数组大小从4开始，那么来向其中增加四个元素的时间就是一个常数。然而，若要将第五个元素加入其中，那么会花费更多时间，因为我们此时必须要创建一个两倍于当前数组大小的数组（8个元素），把老元素拷贝到新数组中，然后增加一个新元素。接下来的三次加入操作也同样会花费常数时间，然后在数组被填满后则又需要一轮新的加倍扩充。

一般地，如果我们考虑任意一个任意的n大小的数组并对其进行n + 1次加入操作。我们注意到，所有的加入操作都是常数时间的，除了最后一个，它会花费时间在大小加倍上。因为我们进行了n + 1次加入操作，我们可以将数组加倍的时间平摊到所有的加入操作上，因此得到加入操作的平均时间是。它是一个常数。

队列
使用Ruby實現的佇列，一个先進先出資料結構: 
class Queue
  def initialize
    @input = []
    @output = []
  end

  def enqueue(element)
    @input << element
  end

  def dequeue
    if @output.empty?
      while @input.any?
        @output << @input.pop
      end
    end

    @output.pop
  end
end

佇列操作及特性參考佇列條目，enqeue及deqeue操作時間複雜度為常數，
否則，dequeue需要時間將所有元素從輸入數組添加到輸出數組中，其中n是輸入數組的當前長度。 從輸入複製n元素後，我們可以在輸出數組再次為空之前執行n出隊操作，每次操作都需要一個恆定的時間。 因此，我們可以僅在時間執行一系列n出列操作，這意味著每個出列操作的攤銷時間是 。

或者，我們可以收取將任何項目從輸入數組複製到輸出數組的成本，以及該項目的早期排隊操作。 該計費方案將入隊的攤還時間加倍，但將出列的攤還時間減少到。

通常用法 
 在常见场合，我们把能很好平摊分析的算法称为“平摊算法”。
 在线算法通常使用平摊分析。

参考资料

算法分析