正规扩张

正规扩张是抽象代数中的概念，属于域扩张中的一类。一个有限扩张是正规扩张当且仅当扩域是多项式环中的某个多项式的分裂域。布尔巴基学派将这类扩张称为“准伽罗瓦扩张”。正规扩张是代数扩张的一种。

定义 
正规扩张的定义不止一种，以下三个准则都可以刻画正规扩张，是三个等价的定义。域扩张是正规扩张当且仅当它满足以下三个等价条件中任意一个：

 是多项式环中的某一族多项式的分裂域。
 设是一个包含了的的代数闭包。对于L在上的每一个嵌入，只要它限制在上的部分是平凡的（即为恒等映射：()），那么就有。换句话说，在上的每一个嵌入都是一个上的自同构。
 任意一个上的不可约多项式，只要它在中有一个根，那么就可以在分解成一次因式的乘积（或者说全部的根都在中）。

例子
是的一个正规扩张，因为它是上的多项式的分裂域。然而，并不是的一个正规扩张，因为上的不可约多项式有一个根：在里面，但它的另外两个根：和都是複數，不在里面。只有在加入了三次单位根：后的扩域才是一个正规扩张。

也可以用正规扩张的第二个定义来证明不是的正规扩张。设域是由所有复代数数生成的扩域，则是的一个代数闭包，并且在里面。另一方面，

并且，如果记是的复根之一，那么映射：

是在上的一个嵌入，并且它限制在上的部分是平凡的（将中元素映射到自己）。但是并不是上的自同构。

更一般地，对每一个素数，域扩张都是的一个正规扩张，扩张的次数是(1)。是上的多项式的分裂域。其中的是任意一个复数次单位根。

性质 

设有域扩张，那么：

 如果是的正规扩张，并且是一个子扩张（也就是说有扩张⊂⊂）那么也是的正规扩张。
 如果的子域和都是的正规扩张，那么两者的复合扩张（指的子域中同时包含和的最小者）以及两者的交∩也都是的正规扩张。

正规闭包 
设有域扩张，那么总存在域扩张，使得是正规扩张。在同构意义上，“最小”的这样的扩张是唯一。即是说，其他的域扩张如果使得是正规扩张，那么总存在的子扩张，使得同构于。这个唯一的“最小”正规扩张称为域扩张的正规闭包。

如果是有限扩张，那么它的正规闭包也是有限扩张（因此也是有限扩张）。

参见 

 伽罗瓦扩张

参考来源 

 
 

域论
抽象代数