電磁波方程式

在電磁學裏，電磁波方程式（英語：Electromagnetic wave equation）乃是描述電磁波傳播於介質或真空的二階微分方程式。電磁波的波源是局域化的含時電荷密度和電流密度，假若波源為零，則電磁波方程式約化為二階。這方程式的形式，以電場和磁場來表達為
、
；

其中，是拉普拉斯算符，是電磁波在真空或介質中傳播的速度，是時間。

由於光波就是電磁波，也是光波傳播的速度，稱為光速。在真空裏， ［公尺／秒］，是電磁波傳播於自由空間的速度。

歷史

在詹姆斯·麦克斯韦的1864年論文《電磁場的動力學理論》內，麦克斯韦將位移電流與其它已成立的電磁方程式合併，因而得到了描述電磁波的波動方程式。最令人振奮的是，這方程式所描述的波動的波速等於光波的速度。他這樣說
：

理論推導
在真空裏，麦克斯韦方程組的四個微分方程式為
、(1)
、(2)
、(3)
；(4)

其中，是真空磁導率，是真空電容率。

分別取公式(2)、(4)的旋度，
、
。

應用一則向量恆等式（這裏，應被理解爲對V的每個分量取拉普拉斯算子，卽拉普拉斯–德拉姆算子）
； 

其中，是任意向量函數。

將公式(1)、(3)代入，即可得到亥姆霍茲方程形式的波動方程式：
、(5)
；(6)

其中， ［公尺／秒］是電磁波傳播於自由空間的速度。

齊次的波動方程式的協變形式
電磁四維勢是由電勢與矢量勢共同形成的，定義為
。

採用勞侖次規範：
。

前述那些齊次的波動方程式(5)、(6)，可以按照反變形式寫為
；

其中，是達朗貝爾算子，又稱為四維拉普拉斯算子。

彎曲時空中的齊次的波動方程式

齊次的电磁波方程式在弯曲时空中需要做两处修正，分别是將偏导数替换为协变导数，以及增加了一项有关时空曲率的项。假设洛伦茨规范在弯曲时空中的推广为
。

那麼，彎曲時空中的齊次的波動方程式為
；

其中，是里奇曲率张量。

非齊次的電磁波方程式

追根究底，局域化的含時電荷密度和電流密度是電磁波的波源。在有波源的情形下，馬克士威方程組可以寫成一個非齊次的電磁波方程式的形式。正是因為波源的存在，使得偏微分方程式變為非齊次。

波動方程式的解 

在齊次的電磁波方程式中，電場和磁場的每一個分量都滿足純量波動方程式
；(7)

其中，是任意良態函數，

純量波動方程式的一般解的形式為
； 

其中，是任意良態函數，是位置向量，是時間，是波向量，是角頻率。

函數描述一個波動，隨著時間的演化，朝著的方向傳播於空間。將函數代入純量波動方程式(7)，可得到角頻率與波數的色散關係：
，

或者，角頻率一定大於零，但波數可以是負值：
。

正弦波

假設，函數的波形為正弦波：
； 

其中，是實值波幅，是初相位。

根據歐拉公式，
，

函數也可以表達為一個複數的實值部分
。

以上方加有波浪號的符號來標記複值變數。設定複值函數為
； 

其中，是複值波幅。

那麼，
；

純量波動方程式的正弦波解的形式為的實值部分。任意涉及實函數的線性方程式，都可以用複函數來代替。最後得到的複值答案，只要取實值部分，就可以得到描述實際物理的答案。但是，當遇到非線性方程式，必須先轉換為實值函數，才能夠確保答案的正確性。

由於指數函數比三角函數容易計算，在很多場合，都可以使用這技巧。

線性疊加
任意波動可以表達為一個無限集合的不同頻率的正弦波的線性疊加：
。

所以，只要能得知單獨頻率的波動（單色波）的表達式，就可以求算整個波動的表達式。

齊次的電磁波方程式的解

單色正弦平面波的解

從前面的分析，可以猜到齊次的電磁波方程式的單色正弦平面波的解為：
、
；

其中，、分別為複值電場和複值磁場的複常數振幅向量。

這兩個方程式顯示出正弦平面波的傳播方向是的方向。由於方程式(1)和(3)，
、
，

電場和磁場垂直於波向量，波動傳播的方向。所以，電磁波是橫波。

由於法拉第電磁感應定律方程式(2)，
。

將角頻率與波數的色散關係式帶入：
。

所以，電場與磁場相互垂直於對方；磁場的大小等於電場的大小除以光速。

電磁波譜分解

由於馬克士威方程組在真空裡的線性性質，其解答可以分解為一集合的正弦波。將這集合的正弦波的疊加在一起，又可以形成原本的解答。這是傅立葉變換方法解析微分方程式的基礎概念。電磁波方程式的正弦波解的形式為
、
。

波向量與角頻率的關係為
；

其中，是波長。

按照波長長短，從長波開始，電磁波可以分類為電能、無線電波、微波、紅外線、可見光、紫外線、X-射線和伽馬射線等等。普通實驗使用的光譜儀就足以分析從2  奈米到2500 奈米波長的電磁波。使用這種儀器，可以得知物體、氣體或甚至恆星的詳細物理性質。這是天文物理學的必備儀器。例如，氫原子會發射波長為21.12公分的無線電波。

圓柱對稱性解

如圖右，思考一條由半徑為的無窮長的直導線，和半徑為的無窮長的圓柱導電管，所組成的共軸傳輸線。假設這傳輸線與z-軸平行。由於共軸傳輸線的內部有一條直導線，不是空心的，它可以傳輸和的電磁橫波，採用圓柱坐標，在傳輸線的內部空間，電場和磁場分別為
、
。

這一組方程式顯示出電磁波方程式的圓柱對稱性解的一種形式。

球對稱性解
思考一個位於原點的振盪中的磁偶極矩。這磁偶極矩會發射出電磁波，從原點往無窮遠輻射出去。採用球坐標，則在離原點很遠的位置，電場和磁場分別為

、
。

這是一組滿足電磁波方程式的球面波方程式。

參閱

理論與實驗

 
 電磁輻射
 電磁場的數學表述
 偏導
 光學

 推遲勢
 傑斐緬柯方程式
 相對論
 量子電動力學
 雙縫實驗中光子的動力學

應用領域

 彩虹
 宇宙微波背景輻射
 雷射
 核融合
 X-射線
 雷達

 天線
光子學
 微波爐
 全像攝影
 顯微鏡
 望遠鏡

參考文獻

 Landau, L. D.,  The Classical Theory of Fields (Course of Theoretical Physics: Volume 2), (Butterworth-Heinemann: Oxford, 1987). ISBN 0-08-018176-7.

電動力學
電磁輻射
電磁學
方程
偏微分方程