欧几里得定理

欧几里得定理是数论中的基本定理，定理指出素数的个數是无限的。该定理有许多著名的证明。

欧几里得的证明 

欧几里得在他的著作《几何原本》（第九卷的定理20）提出了证明，大意如下：

对任何有限素数的集合。在这裡将会证明最少存在一个集合中沒有的额外素数。令及。那么是素数或者不是，二者必居其一：

 如果是素数，那么至少有一个素数不在有限素数集中。

 如果不是素数，那么存在一个素数因子整除，如果在我们的有限素数集中，必然整除(既然是素数有限集中所有素数的积)；但是，已知整除()，如果同时整除和，必然整除和之差 —— 。但是没有素数能整除，即有整除就不存在整除。因此不在有限集中。

这证明了：对于任何一个有限素数集，总存在一个素数不在其中。所以素数一定是无限的。

很多时候有人会错误地指出欧几里得是用了反证法，他们假设证明起初考虑的是所有自然数的集合，或是集合內含有个最小的素数，而不是任何任意的素数集合。欧几里得证明用的不是反证法，而是证明了一個有限集合中沒有任何拥有特殊性质的元素。当中并沒有反论的部分，但集合中的任何元素都不可以整除1。

文献中存在数个版本的欧几里得证明，包括以下的：

正整数的階乘可被至的所有整数整除，这是由於它是这些数全部的乘积。因此并不能被至（包括）的任何自然数所整除（所得的余数皆为）。因此有兩个可能性：是素数，或者能被大于所整除。在任一个案中，对所有正整数而言都存在最少
一个比大的素数。所以结论就是共有无限个素数。

欧拉的证明 

另一个由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉提出的证明，则使用了算术基本定理：每一个自然数都有一组独一无二的素因子排列。设为所有素数的集合，欧拉写下了：

 

第一条等式是由乘积中每一项的等比数列公式所得。而第二个等式则是用于黎曼ζ函数的欧拉乘积。为了证实此点，可把乘积分配进和裡面：

 

在这个结果中，每一个素数积都出现了正好一次，因此由算术基本定理可得这个和等于所有自然数的和。

右边的和是发散的調和级数。因此左边的和也是发散的。由于乘积內每一个项都是有限的，所以其项数必须为无限；因此得出共有无限个素数。

埃尔德什的证明 

埃尔德什·帕尔的第三种证明也是靠算术基本定理的。首先注意每一个自然数都能被写成独一无二的

 

其中非平方数，或任何平方数的倍数（设为能整除的最大平方数，并使）。此時假设素数的数量为有限，且其数量为。由於每个素数只有一个非平方数的因子，所以根据算术基本定理，得出共有非平方数个。（見組合#在集合中取出k項元素及）

現在把一个正整数固定，并考虑1與之间的自然数。 这些数每一个都能被写成，其中为非平方数，为平方数，例如：

 

集合中共有个不同的数。每一个都是由非方數和比小的平方数组成。这样的平方数共有（見高斯符号的取底符号）。然后把这些小於的平方數乘积与其余所有的非平方数相乘。这样得出的数一共有个，各不相同，因此它们包括了所有我们集合裡的数，甚至更多。因此，。

由于此不等式对足够大的並不成立，因此必须存在無限个素数。

弗斯滕伯格的证明 

于1950年代提出了一个使用点集拓扑学的证明。（見）

一些近期的证明

皮纳西科 

胡安·帕布洛·皮纳西科（Juan Pablo Pinasco）写下了以下的证明。

设为最小的个素数。然后根据容斥原理可得，少於或等如又同時能被那些素数中其中一个整除的正整数的个数为

 

把全式除以，并且让，得

 

上式可被改写为

 

若除了以外不存在其他素数的话，则式(1)与 相等，而式(2)则等于，但很明顯地式(3)并不等于。因此除了以外必须要存在其他素数。

黃 

俊浩·彼得·黃（Junho Peter Whang）于2010年发表了使用反证法的证明。设为任何正整数，为素数。根据勒让德定理，则可得：

 

其中

 

 

但若只存在有限个素数，則

 

（上式分子呈单指數增長，但斯特灵公式指出分母的增长速度比分子快），这样就违反了每一个的分子要比分母大的这一点。

塞达克 

菲利浦·塞达克（Filip Saidak）给出了以下的证明，当中沒有用到归谬法 (而大部分欧几里得定理的证明都用了，包括欧几里得自己的证明)，而同时不需要用到欧几里得引理，也就是若素数整除則也必能整除或。证明如下：

由于每个自然數（）最少拥有一个素因子，所以兩个相邻数字和必定沒有共同因子，而乘积則比数字本身拥有更多因子。因此普洛尼克數的鏈：1×2 = 2 {2},    2×3 = 6 {2, 3},    6×7 = 42 {2,3, 7},    42×43 = 1806 {2,3,7, 43},    1806×1807 = 3263443 {2,3,7,43, 13,139}, · · ·提供了一组素数集合無限增长的数列。

使用的無理性的证明 

以欧拉乘积来表示π的莱布尼茨公式可得

乘积的分子为奇数的素数，而每一个分母则是最接近分子的4的倍数。

若存在的素数是有限的话，上式所展示的就是是一个有理数，而分母是所有與素数多1或少1的4的倍数的乘积，而这点违反了实际上是无理数的这一点。

使用信息论的证明 

亞历山大·沈（音譯，Alexander Shen）与其他人发表了利用的证明：

设只存在素数（）。由算术基本定理可得，任何正整数都能被写成：

其中非負自然数與素数的有限集合就足够重构任何數字。由於所有都遵守，因此可得所有\（其中代表底数為2的对数）。 

由此可得的编码大小（使用大O符号）：

 位元。

（其中prime list size为素数集合的大小）这编码比直接用二进制代表要有效得多，二进制的话需要位元。无损数据压缩的一个已被确立的结果指出，一般不可能把位元的信息压縮到少於位元。由於，所以當足够大时，以上的这个表示不成立。

因此，素数的数量必不能为有限。

参阅
 狄利克雷定理
 素数定理

注释和参考资料

外部链接
 
 Euclid's Elements, Book IX, Prop. 20  (Euclid's proof, on David Joyce's website at Clark University)

O
素数
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