理查德森外推法

数值分析中，理查德森外推法(Richardson extrapolation)用以改善级数序列收敛效率，它是在20世纪前期由英国数学家，物理学家，气象学家Lewis Fry Richardson提出的。在数值分析领域，Richardson外推法有很多实际应用，如Romberg's method，是在梯形公式的基础上应用Richardson外推法导出的；还有用于求解常微分方程的Bulirsch–Stoer算法。

推导 
假定某一函数可数值近似（离散化）为，其中为步长，
 （1）
其中为首项阶数，下一项阶数, 满足。
  
考虑该函数又可以使用同样的数值近似方法，以步长为做离散近似
 （2）

如果希望消掉式(1)中的项，我们可以对以上两式相减，即(1)(2)，其中：

或简记作：

代替了，为的新的数值近似。新近似相比最初形式具有更高阶的误差项，数值精度由此提高，此方法即为理查德森外推法。

示例 
应用理查德森方法，改善用于近似微分的中心差分公式

则由式(1)可知, 
代入公式：

由此，中心差分公式精度由2阶变为4阶。

参考文献 
Extrapolation Methods. Theory and Practice by C. Brezinski and M. Redivo Zaglia, North-Holland, 1991.

外部链接 
Module for Richardson's Extrapolation, fullerton.edu
Fundamental Methods of Numerical Extrapolation With Applications , mit.edu
Richardson-Extrapolation 
 Richardson extrapolation on a website of Robert Israel (University of British Columbia)  

数值分析