初等矩阵

线性代数中，初等矩阵（又稱為基本矩陣）是一个与单位矩阵只有微小区别的矩阵。具体来说，一个 n 阶单位矩阵 E 经过一次初等行变换或一次初等列变换所得矩阵称为 n 阶初等矩阵。

操作
初等矩阵分为3种类型，分别对应着3种不同的-{zh-cn:行; zh-tw:列}-/-{zh-cn:列; zh-tw:行}-变换。

两-{zh-cn行; zh-tw:列}-（-{zh-cn:列; zh-tw:行}-）互换：
 

把某-{zh-cn行; zh-tw:列}-（-{zh-cn:列; zh-tw:行}-）乘以一非零常数：
 其中

把第 i -{zh-cn行; zh-tw:列}-（-{zh-cn:列; zh-tw:行}-）加上第 j -{zh-cn:行; zh-tw:列}-（-{zh-cn:列; zh-tw:行}-）的 k 倍：
 

初等矩阵即是将上述 3 种初等变换应用于一单位矩阵的结果。以下只讨论对某列的变换。

-{zh-cn:行; zh-tw:列}-互换 
此变换 Ti j 将单位矩阵的第 i -{zh-cn:行; zh-tw:列}-的所有元素与第 j -{zh-cn:行; zh-tw:列}-互换。

性质
逆矩阵即自身：。
因为单位矩阵的行列式为1，故 。對所有階數相同的方阵 A 亦有以下性质：。

把某-{zh-cn:行; zh-tw:列}-乘以一非零常数 
此变换 Ti(m) 将第 i -{zh-cn:行; zh-tw:列}-的所有元素乘以一個非零常数 m。

性质
逆矩阵为 。
此矩阵及其逆矩阵均为对角矩阵。
其行列式 ，故對所有階數相同的方阵 A 都有 。

把第 i -{zh-cn:行; zh-tw:列}-加上第 j -{zh-cn:行; zh-tw:列}-的 m 倍 
此变换 Ti j(m) 将第 i -{zh-cn:行; zh-tw:列}-加上第 j -{zh-cn:行; zh-tw:列}-的 m 倍，其中 m 为第 i -{zh-cn:列; zh-tw:行}-第 j -{zh-cn:行; zh-tw:列}-的元素。

性质
逆矩阵具有性质 。
此矩阵及其逆矩阵均为三角矩阵。
其行列式 ，故對所有階數相同的方阵 A 有 。

应用

在解线性方程组中的应用 

初等行变换不影响线性方程组的解，也可用于高斯消元法，用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等-{zh-cn:行; zh-tw:列}-变换不改变矩阵的核（故不改变解集），但改变了矩阵的像。反过来，初等-{zh-cn:列; zh-tw:行}-变换没有改变像却改变了核。

用于求解一个矩阵的逆矩阵 
有的时候，当矩阵的阶数比较高的时候，使用其行列式的值和伴随矩阵求解其逆矩阵会产生较大的计算量。这时，通常使用将原矩阵和相同列行数的单位矩阵并排，再使用初等变换的方法将这个并排矩阵的左边化为单位矩阵，这时，右边的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。

另见
高斯消元法
线性方程组
矩阵

注释

参考
 
 
 
 
 
 
线性代数
矩阵