矩阵的平方根

在数学中，矩阵的平方根是算术中的平方根概念的推广。对一个矩阵A，如果矩阵B满足

那么矩阵B就是A的一个平方根。

计算
与算术中的平方根概念不同，矩阵的平方根不一定只有两个。然而依照矩阵平方根的概念以及矩阵乘法的定义，只有方块矩阵才有平方根。

对角化算法
如果矩阵的系数域是代数闭域，比如说复数域的时候，对于一个对角矩阵，其平方根是很容易求得的。只需要将对角线上的每一个元素都换成它的平方根就可以了。这种思路可以推广到一般的可对角化矩阵。一个所谓的可对角化矩阵A是指可以通过相似变换成为对角矩阵D的矩阵：

其中的矩阵P是可逆的矩阵。在这种情况之下，假设矩阵D的形式是：

那么矩阵A的平方根就是：

其中的是：

丹曼-毕福斯迭代算法
另一种计算矩阵平方根的方法是丹曼-毕福斯迭代算法。在计算一个矩阵A的平方根时，先设矩阵，（是的单位矩阵）。然后用以下的迭代公式计算矩阵序列和：

这样的两个序列将会收敛到两个矩阵和上。其中将会是矩阵的平方根，而将是的逆矩阵。

参见
平方根分解
置换矩阵
正定矩阵

参考来源

 
 

矩阵论