有界变差

有界變差（）是函數的一個性質，它指的是總變差為有限的函數。

有界變差的理論對黎曼－斯蒂尔杰斯积分有相當的用處。

定義
設 ，若一個定義於實數區間  上的函數 是有界變差函數，則存在一正數 ，對任意在區間 上的（有限）分割 而言，有 。

另一個等價的定義為：定義一個跟函數  相關的量如下：

這裡的符號  代表在閉區間 [a, b] 上所有的（有限）分割。

為有界變差函數若且唯若 。

其定義可推廣至複數域乃至於任何的歐幾里德空間上。

性質
任意單調函數都是有界變差的。
设在區間上滿足Lipschitz條件，即存在常數，使得對於任意，有，則在上是有界變差的。
若在區間上連續，且在區間的內部可微，若對於任意在定義域的內部的點而言，存在一正實數使得，則在上是有界變差的。
若在區間上是有界變差的，則在該區間上亦是有界的。
若在區間上是有界變差的，則其不連續點的數量是可數的。

參見
總變差

參照
T. M. Apostol, Mathematical Analysis, second edition.
http://eom.springer.de/V/v096110.htm 

數學分析