莱恩-埃姆登方程

莱恩－埃姆登方程（Lane–Emden equation）是天文物理中一個表現自重力位能，球對稱多方流體的無因次泊松方程。此方程式名字由來於強納生·荷馬·萊恩與羅伯特·埃姆登。此方程式的解表示了恆星在半徑  時的壓力與密度，方程式中並有重構徑向變數  和重構溫度變數 ：

 

當

 

以及

 

下標 c 代表核心的壓力與密度。是多方指數；多方指數與代表氣體壓力及密度的多方方程式有關係。

 

 是代表壓力， 則是密度，而  則是比例常數。標準的邊界條件則是  和 。因此該方程式的解是描述恆星壓力和密度與半徑的關係，並且給定的多方指數  也是多方球的多方指數 。流體靜力平衡與位能、密度、壓力梯度有關；泊松方程與位能、密度有關。

應用 
在物理學上，流體靜力平衡與位能梯度、密度和壓力梯度相關，而泊松方程則可以是位能和密度的關係式。因此如果有一個方程式可以進一步指出壓力和密度如何互相反映，就可以得到一個解。以上多方氣體的特定選項在數學上陳述了這個問題，尤其是該陳述特別簡潔並推導出了莱恩－埃姆登方程。這個方程式對於恆星等自重力位能氣體球是相當有用的近似，但它的假設通常是受到限制。

推導

以流體靜力平衡推導 
考慮到自重力位能、流體靜力平衡下的球對稱流體、質量守恆這些狀況，就可使用以下連續性方程式：

 

這裡  是  的函數。流體靜力平衡的公式成為：

 

 也是  的公式。再一次求導數可得：

 

這裡已經使用一個連續性方程式取代質量梯度。再將方程式兩側乘上 ，並將帶有  的導數的項置於左側，方程式成為：

 

方程式兩側除以 ，在某些意義上這是一維形式所需的方程式。此外，如果我們以多變方程  和  代入，可得到：

 

將常數聚集並以  取代： 

 , 

最後得到莱恩－埃姆登方程：

以泊松方程推導 
同樣地，也可以使用泊松方程進行推導：

 

我們可以透過以下數學公式以流體靜力平衡取代位能梯度：

 

最後也可以得到莱恩－埃姆登方程。

方程式解

解析解 
 只在3個值時有解析解

如果 ，方程式成為：

 

重新整理並進行一次積分後的公式成為：

 

公式兩側都除以 ，並且再積分一次後得到：

 

邊界條件  和  暗示積分常數是  和 。

當 ，方程式可展開如下：

 

兩端都乘以  可得到  和  的球貝索函數。套用了邊界條件以後的解將是：

在經過一連串取代的步驟後，方程式可以有進一步的解：

 

當 ，方程式的解將是循著徑向的無限大值。

數值解 
一般情形下莱恩－埃姆登方程的解必須以數值積分方式求得。許多數值積分的標準解法要求該問題必須以一階常微分方程表示，例如：

 
 

在這裡  被視為無因次質量，而質量可使用  表示。相關的邊界條件是  和 。第一個方程式表現了流體靜力平衡，而第二個方程式則表示質量守恆。

同調變數

同調不變方程 
已知如果  是莱恩－埃姆登方程的解，那麼完整的解方程式將是 。和這方式相關的解則稱為「同調」，而轉換的過程是同調性的。如果我們選擇不變的變數達到同調性，就可以將莱恩－埃姆登方程降一階計算。

而這類可選擇的變數有多個，一個適當的選擇是：

 

和

 

我們可以將相對於  的變數的對數微分，得到：

 
和
 .

最後，我們將以上兩個方程式相除以消去應變量 ，留下：

 

以上即為單一一階方程式。

拓撲結構不變的同調方程 
同調性不變的方程式可被視為自主對方程式：

 

和

 

這些方程式的解的形式可透過以下線性穩定性分析來決定。方程式的臨界點（當 ）和雅可比矩阵的特徵值、特徵向量如下表所示：

相關條目
恆星結構

延伸閱讀
.

參考資料

外部連結

 Horedt, George Paul ( 1986 ) , Astrophysics and Space Science vol. 126, no. 2, Oct. 1986, p. 357–408. ( ISSN 0004-640X ). Collected at the Smithsonian/NASA Astrophysical Data System.

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恆星天文學
常微分方程