隐函数定理

在数学分析中，隐函数定理是一個(數學上的)工具用來回答下面的問題：以隐函数表示的多變量函數，這函數的變量在局部上是否存在显式的关系？隐函数定理说明，对于一个由关系  表示的隐函数，如果它在某一点的偏微分满足某些条件，则在这点有鄰域使得在該鄰域內  可以表示成关于  的函数：

这样就把隐函数关系变成了常见的函数关系。

舉一個簡單例子：假設兩個變數  滿足隱函數 ，此隱函數代表了平面上的單位圓，任取單位圓中的一點，那是否存在包含該點的鄰域跟定義在鄰域裡的顯函數  去(局部的)描述這單位圓的圖形？

答案是：除了 跟  兩點外，其他點局部上都有  的顯函數表達式。理由請看下面的隱函數定理。

例子 

有函數 ，那么方程式  的所有解的集合构成平面上的单位圆。圆上的点整體上是无法表示成單變數函數  的形式的，因为每个都有两个的值与之对应，即。

然而在某些點附近，局部地用  來表示  是可能的。比如给定圆上一点 ，如果 ，也就是说如果只選取圓的上半部分的话，在这一点附近  可以写成关于  的函数：。如果 ，在圓的下半部分  也可以写成关于  的函数：。

但是，在点  的附近， 无法写成关于  的函数，因为這些點的每一个邻域中都包含了上半圆和下半圆的点，也就是說对于附近的每一个 ，都有两个  的值与之对应，這種情況下  無法寫成  的函數。

定理的叙述：欧几里得空间的情况 
设  为一个连续可微函数。这里 被看作是两个空间的直积： ，于是  中的一个元素写成  的形式。 我們的目標是找到一個函數  ，讓這函數的圖形(graph of a function), , 局部上恰好等於集合{ }，當然這目標不見得一定可以達成，接下來我們會看需要哪些條件來保證函數  的局部存在。

固定一点 使得 ，我們希望在點  的附近找到一個  关于  的函数 ，严格来说，就是说存在  的鄰域  和  的邻域  以及函數：，使得  的函數的圖形  剛好等於  中  的集合，也就是說：

。

要保證这样的函数  存在，函数  的雅可比矩阵要满足某些性質。对于给定的一点 ， 的雅可比矩阵写作：

其中的矩阵  是函數  关于變數  的偏微分，而矩陣  是  关于變數  的偏微分。隐函数定理说明了：如果是一个可逆矩阵的话，那么满足前面性质的鄰域 、 和函数  就会存在。正式的敘述就是：

一般情形 
设、和是三个巴拿赫空间，而、分别是、上的两个开集。设函数：

是一個階可微函數（見），并且对于中的一点，满足：
 
 映射  是一個從到的同構
那么有如下结论：
 存在的邻域  、 的邻域  ，以及  階Fréchet可微函數，使得：
 对任意，只要，就有。

参见
反函数定理
不动点定理
压缩映射定理
微分

参考来源 
 

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包含证明的条目
数学恒等式
微積分定理
实分析定理