柯西函數方程

柯西函數方程是以下的函數方程：

此方程的解被稱為加性函數。

方程的解
在有理數的範圍中，可以用簡單的代數得到唯一一類的解，表示為，其中任意給定的有理數。

在實數中，這個方程仍然有這一類解，然而存在著其他非常複雜的解，函數 f 經常被外加條件以排除那些複雜的解。例如：
 若 f 是連續的 (由柯西於1821年證明)。這個條件在1875年被達布弱化，證明 f 只需要在一點連續。
 若 f 在任一個區間上是單調的
 若 f 在任一個區間上是有界的

另一方面，如果函數 f 沒有其他限制條件，那麼滿足方程的函數有無窮多個(假設選擇公理成立)。這在1905年由使用基的概念證明。

希爾伯特的第五個問題是這個方程的推廣。

存在實數使得的解稱為柯西─哈默方程（）。在希爾伯特的第三個問題中，往高維度的推廣所用的德恩-哈德維格不變量（），其中就用到柯西-哈默方程。

在有理數集下的證明
先設，得到：

再設：

反覆設、、...、，可以得到
...(1)

設並代入(1)式得到：

或者...(2)

對於任意有理數，設，根據(1)、(2)兩式可知：

上式又可改寫為

令就可以得到在有理數下的唯一解。

其他解的性質
以下的證明將顯示（若存在）線性函數以外的解，該解是相當病態的函數。我們將證明這個函數f所對應的圖形在中稠密，亦即在平面上任何給定的圓都至少包含該圖形的一個點，我們將從這個定義著手證明。

不失一般性，假設解f滿足，且能找到實數滿足，同時設

任意給定一個圓，其內部必能找到一個小圓以點為圓心，其中滿足。令實數為半徑的倍，即半徑為。

令，存在一個有理數滿足：

類似地，存在一個有理數使得：

設實數X,Y滿足：

從原方程和以上的關係式可以得知：

由以上關係式可知

∴在指定的小圓內，

於是在原本較大的圓內；

即在中任意給定的圓內皆包含圖形的一點；

即的圖形在中稠密，得證。

另一方法：如f 不是线性函数，存在在独立。任取, , 和是有理数序列的极限, 是f 的图形的聚点。

其他解的形式與證明
與有理數的情形使用相同的方式，可以證明線性解的證明在任意的集合上也成立，其中（表示所有有理數乘上的積的集合，以下亦同）
我們可以透過這點找出函數方程的所有解。但這個方式極度地不可構造，而且是以選擇公理為基礎得到的。

在承認選擇公理的前提下，在上存在一個的基底，也就是這樣的集合：
，使得對於任何實數，存在唯一的有限集合

以及唯一對應的  個有理數，滿足：

設想函數方程在實數集的子集上成立，即滿足，其中  是  的有理數倍。
運用前面推導的結論，得到對任意實數滿足方程的函數：

對於所有，以上 是函數方程的解。其中 為線性的充要條件是 是常數函數。

參考資料

外部連結
 羅格斯大學 網站上的解法
 The Hunt for Addi(c)tive Monster 

算術函數