克拉莫-克若尼關係式

克喇末-克勒尼希關係式（）是數學上連結複面上半可析函數實部和虚部的公式。此關係式常用於物理系統的線性反應函數。物理上因果關係（系統反應必須在施力之後）意味着反應函數必須符合複面上半的可析性。反之，反應函數的可析性意味着相應物理系統的因果性。此關係式以拉尔夫·克勒尼希和汉斯·克喇末為名。

公式定義
給定一複數變數的複值函數，其中和是實值函數。假設此函數在複數平面上半部可析，且當趨向無限大时，它在上半平面趋于零的速度比快或與之相等，那么满足以下關係：

和

其中表示柯西主值。因此可析函數的實部和虚部并不獨立：函數的一部分可以重建整個函數。

推導
推導克喇末-克勒尼希關係式是留數定理的基本應用。對任何複面上半可析函數和實數函數在複面上半可析。留數定理得到對任何在複面上半的積分路徑： 

選用實軸上的路徑、跳過任何實軸上極點、再以複面上半圓完成。把積分分解成三部分。其中半圓部分長度和成正比，因此只要消失比快，對半圓部分積分趨向零。因此積分只剩實軸上直線部和跳過極點的小半圓：

以上第二項留數定理的結果。重組後得到克喇末-克勒尼希關係式：

分母裡的虚數意味者這是連系實部和虚部的公式。把分解成實部和虚部可輕易得到更早的公式。

物理理解
可以将Kramers-Kronig关系应用于响应函数理论。物理上，响应函数概括系統對在時間的作用力在另一時間的反應：

因為系統不能在施力前有任何反應因此當，。
可以證明這因果關係意味着的傅立葉變換在複面上半可析。另外如果我們施加系統一個遠高於它最高共振頻率的高頻作用力，此時作用力轉换太快而系統不能即時做出反應，因此很大時，會趨近於0。從這些物理考量，可知物理反應函數通常符合克喇末-克勒尼希關係式的前提條件。

反應函數的虚部和作用力異相。它概括系統如何消散能量。因此利用克喇末-克勒尼希關係，我們可以透過觀察系統能量消耗而得到它對作用力的同相（不做功）反應，反之亦然。

上述函数的积分路径是从到，其中出现了负频率。幸运的是，多数系统中，正频响应决定了负频响应，这是因为是实数变量的傅里叶变换，根据对实数进行傅里叶变换的性质，，是频率的偶函数，而是的奇函数。

根据该性质，积分可以从正负无穷区间约化为的区间上。考虑实部的第一个关系，积分函数上下同乘可得：

由于为奇函数，第二项为零，剩下的部分为

类似的推导亦可用于虚部：

该 Kramers-Kronig 关系在物理响应函数上的很有用处。

參考文献

复分析