交错群

数学中，交错群（）是一个有限集合偶置换之群。集合 {1,...,n} 上的交错群称为 n 阶交错群，或 n 个字母上的交错群，记做 An 或 Alt(n)。

例如，4 阶交错群是 A4 = {e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} （参见轮换记法）。

基本性质 

对 n > 1，群 An 是对称群 Sn 的交换子群，指数为 2，从而有n!/2 个元素。它是符号群同态 sgn : Sn → {1, −1} 的核。

群 An 是阿贝尔的当且仅当 n ≤ 3，单当且仅当 n = 3 或 n  ≥ 5。注意 A3 事实上是 3 阶单群。A1 与 A2 是 1 阶群，一般不称为单的，而 A4 有一个非平凡正规子群从而不单。A5 是最小非阿贝尔单群，阶数为 60，也是最小不可解群。

共轭类 
在对称群中，An 的共轭类由有相同轮换型的元素组成。但是如果轮换类型只由没有两个长度相等的奇数长的轮换组成，这里长为 1 的轮换包含在轮换型中，则对这样的轮换型恰有两个共轭类 。

例如：
 两个置换 (123) 与 (132) 有相同的轮换型从而在 S3 中共轭，但在 A3 中不共轭。
 置换 (123)(45678) 与其逆 (132)(48765) 有相同的轮换型所以在 S8 中共轭，但在 A8 中不共轭。

自同构群 

对 n > 3，除了 n = 6，An 的自同构群就是 Sn 的自同构群，其内自同构群为 An 外自同构群为 Z2；外自同构来自用一个奇置换共轭。

对 n = 1 与 2，自同构群平凡。对 n = 3  自同构群是 Z2，其内自同构群平凡外自同构群为 Z2。

A6 的外自同构群是克莱因四元群 V = Z2 × Z2，这也是 S6 的自同构群。 A6 另外的自同构将三轮换（比如 (123)）与 32 型元素（比如 (123)(456)）交换。

特殊同构 
在小交错群与小李型群之间有一些同构。他们是
 A4 同构于 PSL2(3) 以及手征性四面体对称之对称群。
 A5 同构于 PSL2(4)，PSL2(5)，以及手征性二十面体对称之对称群。
 A6 同构于 PSL2(9) 与 PSp4(2)'。
 A8 同构于 PSL4(2)。

更显然有 A3 同构于循环群 Z3，以及 A1 与 A2 同构于平凡群（也是 SL1(q)=PSL1(q) 对任何 q）。

子群 
A4 是说明拉格朗日定理的逆命题一般不成立的最小群：给定一个有限群 G 和 |G| 的一个因子 d，不一定存在 G 的一个 d 阶子群。群 G = A4，阶为 12，没有 6 阶子群。有三个元素的子群（由三个对象的轮换旋转生成）再加上任何一个其它元素生成整个群。

群同调 
交错群的群同调体现了类似中的稳定性：对足够大的 n 是常值。

H1：阿贝尔化 
第一同调群与阿贝尔化相同，因为  除去已经提到的例外是完全群（完滿群），从而有

 for  and

H2：舒尔乘子 

当 n 等于 5 或大于等于 8 时，交错群 An 的是 2 阶循环群；在 6 和 7 时有一个三重覆盖，则舒尔乘子的阶数为 6。

 for 
 对 
 对  與

参考文献 

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