刘维尔定理 (复分析)

刘维尔定理是数学中复分析的一个定理，由十九世纪法国数学家约瑟夫·刘维尔最先证明。刘维尔定理对整函数（即在整个复数域上都是全纯函数）的值域进行了刻画。它表明，任何有界的整函数都一定是常数。

比刘维尔定理更进一步的是皮卡定理。後者说明，只要存在两个相异的复数，它们都不属于一个整函数的值域，则这个整函数是常数函数。

简介
整函数是指从复数域射到复数域，并且在整个复数域上都是全纯函数的函数。全纯也称为复可微，是复函数的重要性质。某个函数]在某点全纯，指在点以及其邻域上有定义，并且以下极限：

存在。全纯函数是复分析中的中心概念。全纯不仅代表着复可微，而且可以证明，全纯函数必然无穷可微，是解析函数。

刘维尔定理说明，任何一个整函数，如果存在一个正数，使得对于所有的复数，的模长都小于等于：

则该函数必定是常数函数。

证明
证明用到了整函数和解析函数的关系。整函数必然是解析函数，设有整函数，考虑它关于的解析展开：
 

其中的系数可以根据柯西积分公式求得：

其中是以0为圆心，半径为的圆。依照函数有界的条件，可以估计系数模长的上界：

在以上的估计中，曲线积分为，其中半径的选择是任意的。当趋于无穷大时，趋于0. 因此，让趋于无穷大，便可以推出：对所有的k ≥ 1，都有ak = 0。这说明，

 
即是说是常数函数。定理得证。

应用与推论

代数基本定理

整函数的大小关系
应用刘维尔定理可以证明，如果一个整函数总比另一个整函数小：，那么这两个整函数成比例关系：，其中是比例常数。

考虑函数

说明，函数的模长总小于等于1。另一方面，由于，所以的奇点都是可去奇点，可以依照上面的方式拓延为整函数。所以作为一个有界的整函数，根据刘维尔定理，必然是常数函数。这说明和成比例关系。

次线性整函数
次线性函数，指函数值总小于等于定值乘以变量值的函数。设整函数满足：

其中是一个常数系数。考虑的导函数。根据柯西积分公式，

其中是以为圆心，半径为的圆；

取，则 所以，因此

因此依据刘维尔定理，是常数函数。另一方面，，所以 综上可知，次线性整函数是线性函数。

皮卡小定理
刘维尔定理可以被用于进一步证明推广了它的皮卡小定理。

参考文献
Knopp, K. Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part II. New York: Dover, p. 74, 1996. 
Krantz, S. G. "Entire Functions and Liouville's Theorem." §3.1.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 31-32, 1999.

外部链接
 
 刘维尔定理的教程

复分析定理
包含证明的条目
holomorphic functions