艾森斯坦級數

在數學中，艾森斯坦級數是一類可直接表成級數的模形式，由費迪南·艾森斯坦首創。對於一般的約化群，-{zh-cn:罗伯特;zh-tw:勞勃;zh-hant:羅伯特;zh-hk:羅拔;}-·朗蘭茲也發展了相應的理論。

模群的艾森斯坦級數 
固定整數 。對上半平面上的複數 ，定義艾森斯坦級數  為

此級數是上半平面上的全純函數，此外它更是模群  的權  模形式。換言之，若  滿足 ，則

遞迴關係 
模形式理論中的一個基本事實是：模群  的模形式俱可表為  與  的多項式。作為特例，以下說明如何將艾森斯坦級數遞迴地表成  的多項式。

置 ，遂有下述關係式： 
 
在此  是二項式係數而 、。

函數  可以表示魏爾斯特拉斯  函數：

傅立葉展開 
置 。由於艾森斯坦級數是模群的模形式，故有傅立葉展開式

其中的傅立葉係數  是
。

此處的  是伯努利數，是黎曼ζ函數，而  是  的正因數的  次冪和。

當 ，對  之和亦可化成蘭伯特級數
。

有時也會考慮常數項等於一的艾森斯坦級數：
。

拉馬努金公式 
拉馬努金給出了許多有趣的艾森斯坦級數關係式：定義

則有

文獻 
 Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
 Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0
 Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), America Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7 (See chapter 3)
 Jean-Pierre Serre, A course in arithmetic. Translated from the French. Graduate Texts in Mathematics, No. 7. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973.

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