单调收敛定理

在数学中，有许多定理称为单调收敛定理；这里我们介绍一些主要的例子。

单调实数序列的收敛性

定理
如果ak是一个单调的实数序列（例如ak ≤ ak+1），则这个序列具有极限（如果我们把正无穷大和负无穷大也算作极限的话）。当且仅当序列是有界的，这个极限是有限的。

证明
我们证明如果递增序列有上界，则它是收敛的，且它的极限为。

由于非空且有上界，因此根据实数的最小上界公理，存在，且是有限的。现在，对于每一个，都存在一个，使得，否则是的一个上界，这与为最小上界的事实矛盾。于是，由于是递增的，对于所有的n > N，都有，因此根据定义，的极限为。证毕。

类似地，如果一个实数序列是递减且有下界，则它的最大下界就是它的极限。

单调级数的收敛性

定理
如果对于所有的自然数j和k，aj,k都是非负实数，且aj,k ≤ aj+1,k，则（参见第168页）：

勒贝格单调收敛定理

这个定理是前一个定理的推广，也许就是最重要的单调收敛定理。

定理
设( X, A,  )为一个测度空间。若序列  為定義域是
，對應域是  的 -可测单调递增函数序列。也就是说 ，有
。
接着，设序列  的逐点极限为 。也就是说 
。
則  會是 -可测函數，且：
。（参见第21.38节）

注意其積分值不一定是有限值，也就是左右兩邊可能都是無限大。

证明
我们首先证明f是-可测函数。为此，只需证明区间[0,t]在f下的原像是X上的σ代数A的一个元素。设I为的一个子区间。那么：
。
另一方面，由于[0,t]是闭区间，因此：
。
所以：
。
注意可数交集中的每一个集合都是A的一个元素，这是因为它是一个波莱尔子集在-可测函数下的原像。由于根据定义，σ代数在可数交集下封闭，因此这便证明了f是-可测的。需要注意的是，一般来说，任何可测函数的最小上界也是可测的。 

现在我们证明单调收敛定理的余下的部分。f是-可测的事实，意味着表达式是定义良好的。 

我们从证明开始。

根据勒贝格积分的定义，
，
其中SF是X上的-可测简单函数的交集。由于在每一个，都有，我们便有：

因此，由于一个子集的最小上界不能大于整个集合的最小上界，我们便有：  

右面的极限存在，因为序列是单调的。

我们现在证明另一个方向的不等式（也可从法图引理推出），也就是说，我们来证明：

 

从积分的定义可以推出，存在一个非负简单函数的非递減序列gn，它几乎处处逐点收敛于f，且：

只需证明对于每一个，都有：

这是因为如果这对每一个k都成立，那么等式左端的极限也将小于或等于等式右端。

我们证明如果gk是简单函数，且

 

几乎处处，则： 

由于积分是线性的，我们可以把函数分拆成它的常数部分，化为是σ代数A的一个元素B的指示函数的情况。在这种情况下，我们假设是一个可测函数的序列，它在B的每一个点的最小上界都大于或等于一。 
 
为了证明这个结果，固定，并定义可测集合的序列：

根据积分的单调性，可以推出对于任何的，都有： 

根据的假设，对于足够大的n，任何B内的x都将位于内，因此：

。

所以，我们有：

利用测度的单调性，可得：

取，并利用这对任何正数都正确的事实，定理便得证。

参见
无穷级数
勒贝格控制收敛定理

注释

包含证明的条目
微積分定理
序列
实分析定理
测度论定理

it:Passaggio al limite sotto segno di integrale#Integrale di Lebesgue