谱半径

數學上，矩阵或有界線性算子的谱半径（spectral radius）是其特徵值絕對值中的最大值（也就是矩阵的谱中元素絕對值中的最小上界），會表示為ρ(·)。

矩陣
令是矩陣中的特徵值，則其谱半径  is 定義為：

的条件数可以用譜半徑表示，公式為。

譜半徑是矩陣所有範數的一種下确界（infimum）。另一方面，對每一個矩陣範數 都成立，Gelfand公式指出。不過，針對任意向量，譜半徑不一定會滿足。若要說明原因，可以令為任意數，考慮矩陣。的特徵多項式是，因此其特徵值為，且。不過，因此，其中是上的任何範數。至於可以當時，讓的原因是，因此當時，使。

 針對所有
成立的條件是為埃尔米特矩阵及為欧几里得範數。

圖
有限图的谱半径定義為其邻接矩阵的谱半径。

此一定義可以擴散到無限圖，但是其每個頂點都只連接有限個頂點（存在一實數使得每一個頂點的度都小於）。此情形下，針對圖可定義：

令是 的邻接算子：

的谱半径定義為有界線性算子的谱半径。

上界

矩陣譜半徑的上界

以下的命題指出了一個簡單但是有用的矩陣譜半徑上界：

命題：令，其譜半徑為，以及相容（Consistent）矩陣範數 。則針對每一個整數:

證明

令為矩陣A的特徵值-特徵向量對。利用矩陣範數的次可乘性（sub-multiplicative property），可得：

因為，可得

因此

圖譜半徑的上界 
有關n個頂點，m個邊的圖，有許多的譜半徑的上界公式。例如，若

其中為整數，則 ：

乘幂數列

定理
谱半径和矩陣乘幂數列是否收斂有緊密的關係。以下的定理會成立：
定理：令，其譜半徑。則若且唯若

另一方面，若, 。上述敘述針對上的任何矩陣範數都有效。

定理證明
假設問題中的極限值為零，可以證明。令為A的特征值和特征向量對。因為可得：

因為假設，會得到

表示|λ| < 1。因為這對任何一個特征值都會成立，因此可知ρ(A) < 1。

接下來假設的譜半徑小於。根據若尔当标准型定理，可以知道針對所有的，存在以及非奇異的和分塊對角矩陣使得：

而

其中

因此可得

因為是分塊對角矩陣

而若尔当方塊矩陣次方可以得到，針對：

因此，若，則針對所有的，都會成立。因此針對所有的，可得：

這也表示

因此

另一方面，若，當k增加時，在中至少有一個元素無法維持有界，因此證明了定理的第二部份。

Gelfand公式

定理 
以下的定理可以用[矩陣範數的極限來計算T谱半径
定理（Gelfand公式，1941年）：令任何矩陣範數 ，可得
.

證明
令任意，先建構以下二個矩陣：

則:

先將之前的定理應用到:

這表示，根據級數極限定理，一定存在使得針對所有的k ≥ N+，下式都成立

因此

將之前的定理用在，表示無界，一定存在使得針對所有的k ≥ N−，下式都成立

因此

令，可得：

因此，依定義，可得下式

舉例
考慮以下矩陣

其中的特徵值為。依照定義，。在以下的表中，會以四個最常用的矩陣範式，在k增加時，計算（注意，因為此矩陣特殊的形式，）:

有界線性算子
針對有界線性算子  及算子范数 ||·||，可以得到

（複數希爾伯特空間上的）有界算子若其谱半径等於，可以稱為「譜算子」（spectraloid operator）。其中一個例子是正规算子。

相關條目
聯合譜半徑

矩阵的谱

註解

參考資料
 
 

算子理论
矩陣論