Β函数

Β函数，又称为贝塔函数或第一类欧拉积分，是一个特殊函数，由下式定义：

其中。

性质 
Β函数具有以下對稱性質：

当x,y是正整数的时候，我们可以从伽马函数定义得到如下式子：

它有许多其它的形式，包括：

其中是伽玛函数。

就像伽玛函数描述了阶乘一样，我们也可以用贝塔函数来定义二项式系数：

伽玛函数与贝塔函数之间的关系 
为了推出两种函数之间的关系，我们把两个阶乘的乘积写为： 

现在，设, ，因此：

利用变量代换和，可得：

因此，有：

导数 

贝塔函数的导数是：

其中是双伽玛函数。

估计 

斯特灵公式给出了一个用来近似计算贝塔函数的公式：

不完全贝塔函数 

不完全贝塔函数是贝塔函数的一个推广，把贝塔函数中的定积分用不定积分来代替，就像不完全伽玛函数是伽玛函数的推广一样。

不完全贝塔函数定义为：

当x = 1，上式即化为贝塔函数。

正则不完全贝塔函数（或简称正则贝塔函数）由贝塔函数和不完全贝塔函数来定义：

当a和b是整数时，计算以上的积分（可以用分部积分法），可得：

正则不完全贝塔函数是Β分布的累積分布函數，可由二項式分布描述一個實隨機變量X的機率分布：

其中p為試驗成功機率，n為樣本數。

性质

参见 
 Β分布
 二项分布
 伽玛函数

参考文献 
 M. Zelen and N. C. Severo. in Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. （See §6.2, 6.6, and 26.5） 
 W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1992. Second edition. (See section 6.4)

外部链接 
 贝塔函数计算器
 不完全贝塔函数计算器
 正则不完全贝塔函数计算器

特殊超几何函数
伽玛及相关函数