拉比周期

在物理学中，拉比周期是在振荡外场中的二能级量子体系的周期性行为。一个二能级系统具有两个可能的状态，如果状态不是简并的，当吸收一份能量以后，体系可以被激发。

这种效应在量子光学、核磁共振和量子计算中非常重要，它是以伊西多·伊萨克·拉比（Isidor Isaac Rabi）的名字命名的。

当一个原子（或者其它二能级体系）被一束相干光照射的时候，它将周期性地吸收光子并透過受激发射重新将光子发射出来，这样一个周期称为拉比周期，它的倒数称为。

这种机制是量子光学的基础，其模型的建立可以依据傑恩斯-卡明斯模型和布洛赫矢量形式。

例如，对于频率受外部电磁场调制到激发态的二能级原子（该原子的电子可以处于激发态或者基态），利用布洛赫方程可以得到，原子处于激发态的机率为 ，其中为。

更一般地，可以考虑一个没有本征态的二能级体系，如果这个体系初态位于其中一个能级，时间演化将导致每个能级的态密度按照某个特征频率振荡，其角频率也称为。

数学处理 
拉比效應的數學細節請參見。 例如，若將电磁场频率调至激发能，並於電磁場當中置入一個雙態原子（該原子之电子可以处于激发态或基态），那麼處於激發態原子之機率可以从Bloch方程得出： 

是拉比频率。 

更一般而言，我們可以考虑一種，兩個能階都不是能量本征态的系统 。因此，如果在其中一個能階對系统初始化，则时间演化将使每个能階的總粒子數以某个特征频率振荡，其角频率也称为拉比频率。 該雙態量子系统的状态可以表示为二维希尔伯特空间複向量 ，这意味着每个状态向量 是以標准的复数坐标表示。 

和是坐标。

如果向量归一化， 和的关联為 。 基向量表示为和 

所有与该系统相关的可观测物理量均为2  2埃尔米特矩阵 ，这表示系统的哈密顿量也是相似矩阵。

如何在量子系统中准备振荡实验 
可以透過以下步骤建構振荡实验： 

 准备系统，使之處於固定狀态；例如 
 在哈密顿量H下，讓态隨时间t自由演化
 求出狀态为的機率 P(t) 

如果是H的本征态且P(t)=1 ，那麼就不会產生振荡。此外，如果两個態和皆為簡併態，那麼包括在內的所有态皆為H的本征态。因此也不会產生振荡。 

另一方面，若H無简并本征态，且初态不是本征态，则振荡将會產生。 雙態系統哈密頓量的最一般形式給定如下和是实数。 这个矩阵可以分解为 是2  2單位矩陣，是泡利矩陣 。 尤其是在与时间无关的情况下，这种分解能夠简化系统分析，其中和是常数。考虑置於磁场 之中的自旋1/2粒子。该系统的交互作用能量算符为 ， 是粒子磁矩的大小， 是旋磁比 ，是泡利矩陣之向量。此處哈密顿量之本征态是，而和具有对应的本徵值 。 我們可以在系统处于状态下，給出找到任意状态之機率。在的時刻，让系统处于准备状态 。 注意到是的本征态 ： 此處的哈密顿量与时间无关。 因此，透過求解平稳的薛丁格方程，在經過时间t之后，狀態演變為 ，帶有系统总能量 。

因此經過时间t之后，状态成为： 现在假设在t時刻，對x方向上的自旋進行测量。 下式给出測量到自旋向上的機率：是特徵角频率，假设的情形，給定  。  在这种情况下，当系统最初自旋是在方向，那麼x方向发现自旋向上的機率會随著时间而振盪。 同样，如果我们测量方向，那麼所测量到的系统自旋为之機率為 。在簡併情形下 ，特征频率為0，無振盪發生。 

留意到，如果系统处于给定哈密顿量的本征态，则系统将維持在该状态，保持不變。 

這同樣也適用於时间相依的哈密顿函数。 以 為例；如果系统的初始自旋状态为 ，那麼在時刻，自旋在y方向测量结果為之機率為 。

以包立矩陣推導非微擾過程之拉比公式 
考虑以下形式的哈密顿量該矩陣的特徵值為 ，。此處， 。因此我們可以取 。

現在，由方程式 :，我們可以得到的特徵向量。

因此， 。

對特徵向量採用歸一化條件。

因此 。

令 ，。所以。

我們得到 ，即 。取任意相角，我們可以寫下 . 同理可證，。

所以特徵值之特徵向量為。

由於總相角較無關緊要，我們可以寫下 。

類似地, 特徵能量之特徵向量為 。

從這兩個方程，我們可以寫出

。

假設系統開始時在時刻 的狀態是，也就是說，。經過時間t之後，狀態演變為

。

如果系統處於 或 之中的某一個本徵態，那麼它將會維持在同一個本徵態。然而，對於如上所示的一般初始狀態而言，時間演化並不顯然。

系統在時刻t處於狀態的機率幅為 。

系統當前處於，而之後處於任意態 的機率為這可以簡化為.........(1)這表明， 當系統最初處於狀態時，該系統最終處於狀態的機率是有限的。機率是以角頻率 振盪，而是系統唯一的玻爾頻率，又稱為。而式子(1)亦可稱為拉比公式。在時間t之後，系統處於狀態的機率為，同樣也是振盪形式。

這些二能階系統的振盪稱為拉比振盪，在許多問題之中都會發生這種振盪，如中微子振荡、、量子计算、氨邁射等等。

量子计算中的拉比振盪 
任何双态量子系统都可以用来模拟量子位元。現在考虑一个自旋系统，將磁矩置于经典磁场之中。令系统旋磁比，因此磁矩，可以給出该系统的哈密顿量，此處，。

透過上述步骤，我們可以求得哈密顿量的特征值和特征向量。现在，让量子位元在時刻處於量子態，那么，在时刻，量子位元处于量子態的機率為，这种现象就稱作拉比振盪。因此，量子位元會在量子態和之间振荡。振盪的振幅會在達到最大，而这即為共振条件。共振时的跃迁機率為，要从一個量子態跃迁到另一個量子態，只需调整旋转场作用的时间滿足或是就充分了，这叫做「脈衝」。如果选择的时间介于0和之间，我们會得到和的疊加態。尤其是當的時候，我们會得到一個「脈衝」，它的作用是造成量子態躍遷，而這個操作在量子計算中起到至關重要的作用。当对激光场中的二能階原子进行大致满意的旋转波近似时，方程基本上是相同的。然后两个原子能階之间的能量差(是激光波的频率)及拉比频率，与原子的跃迁电偶极矩与激光波电场的乘积成正比，也就是。總而言之，拉比振盪是用於操縱量子位元的基本過程，而這個振盪是在適當調整的時間間隔內，藉由將量子位元暴露在周期性的電場或磁場中來獲得。

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外部链接 
 https://web.archive.org/web/20110719095612/http://www.itp.tu-berlin.de/menue/lehre/owl/quantenmechanik/zweiniveau/parameter/en/ 
A Java applet that visualizes Rabi Cycles of two-state systems (laser driven). 
 https://web.archive.org/web/20110719095819/http://www.itp.tu-berlin.de/menue/lehre/owl/quantenmechanik/elektron-phonon-wechselwirkung/parameter/en/ 
extended version of the applet. Includes electron phonon interaction.

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