积分因子

积分因子是一种用来解微分方程的方法。

方法

考虑以下形式的微分方程：

其中是的未知函数，和是给定的函数。

我们希望把左面化成两个函数的乘积的导数的形式。

考虑函数。我们把(1)的两边乘以

如果左面是两个函数的乘积的导数，那么：

 

两边积分，得：

其中是一个常数。于是，

为了求出函数，我们把(3)的左面用乘法定则展开：

 

与(2)比较，可知满足以下微分方程：

两边除以，得：

等式(5)是对数导数的形式。解这个方程，得：

我们可以看到，的性质在解微分方程中是十分重要的。称为积分因子。

例子

解微分方程

我们可以看到，：

两边乘以，得：

 

或

可得

一般的应用

积分因子也可以用来解非线性微分方程。例如，考虑以下的非线性二阶微分方程：

可以看到，是一个积分因子：

利用复合函数求导法则，可得：

因此

利用分离变量法，可得：

这就是方程的通解。

参见 
 微分方程
 乘法定则
 全微分

参考文献
Adams, R. A. Calculus: A Complete Course, 4th ed. Reading, MA: Addison Wesley, 1999. 

微分方程