自守形式

數學上所謂的自守形式（），是一類特別的複變數函數，並在某個離散變換群下滿足由自守因子描述之變換規律。模形式與馬斯形式是其特例。由自守形式可定義自守表示，嚴格言之，自守表示並非尋常意義下的群表示，而是整體赫克代數上的模。

龐加萊在1880年代曾研究過自守形式，他稱之為富克斯函數。郎蘭茲綱領探討自守表示與數論的深入聯繫。

古典定義 
設  為作用於複區域  的離散群。取定自守因子  及權 。相應的權  自守形式是  上滿足下述函數方程的全純函數
 。

自守因子  當  固定時是  上的全純函數，並且是  上的 1-閉上鏈。

定義中的複值函數  可推廣成取值為矩陣的函數；權  的限制亦可放鬆，例如半整數 。

群上的定義 
自守形式另有群表示理論的詮釋，並牽涉數論，但無法完全涵攝古典定義。為簡單起見，以下設 ，其中心可等同於 。

考慮整體域 （例如 ），由此定義  的阿代爾點 ，賦予相應的拓撲結構，並取定標準的緊子群 。

固定一擬特徵 。以 為中心特徵的自守形式定為  上滿足下列條件的複值函數 ：
  光滑：若  為函數域，這代表  是局部常數函數。否則意謂存在一組  的開覆蓋 ，對每個 ，，而  無窮可微。
 对任何 及任何 ，总有 。
  右 -有限：函數  張成有限維向量空間。
 承上，設  為泛包絡代數  之中心，則  為 -有限。
 緩增性：固定適當的高度函數 （取法不影響定義），存在常數  及  使得 。

註記. 若  是  的阿基米德賦值，條件二中張出的空間在李代數  的作用  下不變。條件三蘊含自守形式對阿基米德賦值是解析函數。

若對所有  皆有
 
則稱  為尖點形式。

自守表示 
定義  為中心特徵為  的自守形式集，子空間  則為尖點形式集。

這兩個空間是有限阿代爾群  的表示；對阿基米德賦值則帶有 -模結構。此套結構可以概括為整體赫克代數  的表示。注意：它們並非  的表示！

一個自守表示是 -模  之子商， 稱作該自守表示的中心擬特徵。尖點自守表示是  之子空間。

参考文献 

 
 Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7
 Daniel Bump, Automorphic Forms and Representations, (1998), Cambridge Studies in Advanced Mathematics 55. ISBN 0-521-65818-7 .
 

 
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數論
李群