平均曲率

在微分几何中，一个曲面  的平均曲率（），是一个“外在的”弯曲测量标准，局部地描述了一个曲面嵌入周围空间（比如二维曲面嵌入三维欧几里得空间）的曲率。

这个概念由索菲·热尔曼在她的著作《弹性理论》中最先引入。

定义

令  是曲面  上一点，考虑  上过  的所有曲线 。每条这样的  在  点有一个伴随的曲率 。在这些曲率  中，至少有一个极大值  与极小值 ，这两个曲率  称为  的主曲率。

 的平均曲率是两个主曲率的平均值，由欧拉公式其实也是所有曲率的平均值，故有此名。
  

利用第一基本形式与第二基本形式的系数，平均曲率表示为：

这里  是第一基本形式的系数， 为第二基本形式的系数。

平均曲率可推广为更一般情形 ，一个超曲面  的平均曲率为：
 

更抽象地说，平均曲率是第二基本形式（或等价地，形算子）的迹 。

另外，平均曲率  可以用共变导数  写成 
 
这里利用了高斯-Weingarten 关系， 是一族光滑嵌入超曲面， 为单位法向量，而  是度量张量。

一个曲面是极小曲面当且仅当平均曲率为零。此外，平面  平均曲率满足一个热型方程称为平均曲率流方程。  

有些作者會將平均曲率直接定為第二基本形式的迹（而並未）。然而，這並不影響一個曲面是否成為一個極小曲面的條件。

3 维空间中曲面
对 3 维空间中的曲面，平均曲率与曲面的单位法向量相关：

 

这里法向量的选取影响曲率的正负号。曲率的符号取决于法向量的方向：如果曲面“远离”法向量则曲率是正的。上面的公式对 3 维空间中任何方式定义的曲面都成立，只要能够计算单位法向量的散度。

对曲面是两个坐标的函数定义的曲面，比如 ，使用向下的法向量平均曲率（的两倍）表示为

如果曲面还是轴对称的，满足 ，则

流体力学

在流体力学中使用的另外一种定义是不要因子 2：

  

这出现于楊-拉普拉斯公式中，平衡球状小滴内部的压力等于表面张力乘以 ；两个曲率等于小滴半径的倒数 。

极小曲面

一个极小曲面是所有点的平均曲率为零的曲面。经典例子有:悬链曲面、螺旋面、Scherk 曲面与Enneper 曲面。新近发现的包括（1982年）与（1970年）。

极小曲面的一个推广是考虑平均曲率为非零常数的曲面，球面和圆柱面就是这样的例子。Heinz Hopf的一个问题为是否存在曲率为非零常数的非球面闭曲面。球面是惟一具有常平均曲率且没有边界或奇点的曲面；如果允许自交，则存在平均曲率为非零常数的闭曲面，Wente在1986年曾构造出这样的自交环面。

参见

 高斯曲率
 平均曲率流
 逆平均曲率流
 面积公式第一变分

注释

参考文献

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