格拉姆矩阵

在线性代数中，内积空间中一族向量  的格拉姆矩阵（）是内积的埃尔米特矩阵，其元素由  给出。

一个重要的应用是计算線性獨立：一組向量彼此線性獨立当且仅当格拉姆行列式（格拉姆矩阵的行列式）不等于零。

格拉姆矩阵以丹麦数学家命名。

例子 
最常见地，向量是欧几里得空间中元素，或 L2 空间中函数，比如闭区间 [a, b] 上的连续函数（是 L 2（[a, b]）的子集）。

给定区间  上的实数值函数 ，格拉姆矩阵，由函数的标准内积给出：

 

给定一个实矩阵 A，矩阵 ATA 是 A 的列向量的格拉姆矩阵，而矩阵 AAT 是 A 的行向量的格拉姆矩阵。

对一般任何域上的有限维向量空间上的双线性形式 B，我们可对一组向量  定义一个格拉姆矩阵 G 为  。如果双线性形式 B
对称则该格拉姆矩阵对称。

应用 
 如果向量是随机变量，所得格拉姆矩阵是协方差矩阵。
 在量子化学中，一组基向量的格拉姆矩阵是重叠矩阵（Overlap matrix）。
 在控制论（或更一般的系统理论中），可控制性格拉姆矩阵、可观测性格拉姆矩阵及交叉格拉姆矩陣确定了线性系统的性质。
 格拉姆矩阵出现在协方差结构模型中（比如可参见 ）。
 在有限元方法中，格拉姆矩阵出现在从有限维空间逼近函数时；格拉姆矩阵的元素是有限维子空间的基函数的内积。

性质

半正定 
格拉姆矩阵是半正定的，反之每个半正定矩阵是某些向量的格拉姆矩阵。这组向量一般不是惟一的：任何正交基的格拉姆矩阵是单位矩阵。

这个命题无穷维类比是）。

基变换 
在一个由可逆矩阵 P 表示的基变换下，格拉姆矩阵是用 P 做一个矩阵合同变为 PTGP。

格拉姆行列式 
格拉姆行列式（）是格拉姆矩阵的行列式：

在几何上，格拉姆行列式是这些向量形成的平行多面体的体积之平方。特别地，这些向量线性无关当且仅当格拉姆行列式不为零（当且仅当格拉姆矩阵非奇异）。

外部链接 
 

 

 Volumes of parallelograms  by Frank Jones

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