艾里函数

艾里函数（Ai(x)），英国英格蘭天文学家、數學家喬治·比德爾·艾里命名的特殊函数，他在1838年研究光学的时候遇到了这个函数。Ai(x)的记法是Harold Jeffreys引进的。Ai(x)与相关函数Bi(x)（也称为艾里函数），是以下微分方程的解：

这个方程称为艾里方程或斯托克斯方程。这是最简单的二阶线性微分方程，它有一个转折点，在这一点函数由周期性的振动转变为指数增长（或衰减）。

定义

对于实数x，艾里函数由以下的积分定义：

虽然这个函数不是绝对可积的（当t趋于+∞时积分表达式不趋于零），这个广义积分还是收敛的，因为它快速振动的正数和负数部分倾向于互相抵消（这可以用分部积分法来检验）。

把:求导，我们可以发现它满足以下的微分方程： 

这个方程有两个线性独立的解。除了:以外，另外一个解称为第二艾里函数，记为。它定义为当x趋于−∞时，振幅与相等，但相位与相差
的函数：

性质
时，和 以及它们的导数的值为：

在这里，表示伽玛函数。可以推出Ai(x)和Bi(x)的朗斯基行列式是
。

当x是正数时，Ai(x)是正的凸函数，指数衰减为零，Bi(x)也是正的凸函数，但呈指数增长。当x是负数时，Ai(x)和Bi(x)在零附近振动，其频率逐渐上升，振幅逐渐下降。这可以由以下艾里函数的渐近公式推出。

渐近公式
当x趋于+∞时，艾里函数的渐近表现为：

而对于负数方向的极限，则有：

这些极限的渐近展开式也是可以得到的。

自变量是复数时的情形
我们可以把艾里函数的定义扩展到整个复平面：

其中积分路径从辐角为-(1/3)π的无穷远处的点开始，在辐角为(1/3)π的无穷远处的点结束。此外，我们也可以用微分方程来把Ai(x)和Bi(x)延拓为复平面上的整函数。

以上Ai(x)的渐近公式在复平面上也是正确的，如果取主值为x2/3，且x不在负的实数轴上。Bi(x)的公式也是正确的，只要x位于扇形{x∈C : |arg x| < (1/3)π−δ}内，对于某个正数δ。最后，Ai(−x)和Bi(−x)是正确的，如果x位于扇形{x∈C : |arg x| < (2/3)π−δ}内。

从艾里函数的渐近表现可以推出，Ai(x)和Bi(x)在负的实数轴上都有无穷多个零点。Ai(x)在复平面内没有其它零点，而Bi(x)在扇形{z∈C : (1/3)π < |arg z| < (1/2)π}内还有无穷多个零点。

图像

与其它特殊函数的关系
当自变量是正数时，艾里函数与变形贝塞尔函数之间有以下的关系：

在这里，I±1/3和K1/3是方程的解。

当自变量是负数时，艾里函数与贝塞尔函数之间有以下的关系：

在这里，J±1/3是方程的解。

Scorer函数是的解，它也可以用艾里函数来表示：

或是利用超几何函数，

参考文献

 Milton Abramowitz and Irene A. Stegun (1954). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (See §10.4) . National Bureau of Standards.
 Airy (1838). On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic. Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 6, 379–402.
 Olver (1974). Asymptotics and Special Functions, Chapter 11. Academic Press, New York.
 （含有许多图像 ）

外部链接
 

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微分方程