虛數單位

在數學、物理及工程學裏，虛數單位是指二次方程的解。虽然沒有這樣的实数可以滿足這個二次方程，但可以通過虛數單位将實數系統延伸至复数系統。延伸的主要動機為有很多實係數多項式方程式無實數解。例如剛才提到的方程式就無實數解。可是倘若我們允許解答為虛數，那麼這方程式以及所有的多項式方程式都有解。虛數單位標記為，在电机工程和相关领域中则标记为，这是为了避免与电流（记为或）混淆。

定義

虛數單位定義為二次方程式的兩個根中的一個。這方程式又可等價表達為：
。

由於實數的平方絕不可能是負數，我們假設有這麼一個數目解答，給它設定一個符號。很重要的一點是，是一個良定義的數學構造。

另外，虛數單位同樣可以表示為：

然而往往被誤認為是錯的，他們的證明的方法是：

因為，但是-1不等於1。

但請注意：成立的條件有,不能為負數。

實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時，我們只需要假設是一個未知數，然後依照的定義，替代任何的出現為-1。的更高整數冪數也可以替代為，，或，根據下述方程式：
，
，
。

一般地，有以下的公式：

其中表示被4除的余数。

和
方程有两个不同的解，它们都是有效的，且互为共轭虚数及倒數。更加确切地，一旦固定了方程的一个解，那么（不等于）也是一个解，由于这个方程是的唯一的定义，因此这个定义表面上有歧义。然而，只要把其中一个解选定，并固定为，那么实际上是没有歧义的。这是因为，虽然和在数量上不是相等的（它们是一对共轭虚数），但是和之间没有质量上的区别（-1和+1就不是这样的）。在任何的等式中同時將所有i替換為-i，該等式仍成立。

正当的使用
虚数单位有时记为。但是，使用这种记法时需要非常谨慎，这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立。例如，公式仅对于非负的实数和才成立。

假若這個關係在虚数仍成立，則會出現以下情況：
（不正确）
（不正确）
（不正确）

的运算

许多实数的运算都可以推广到，例如平方根、冪、对数和三角函数。以下运算除第一项外，均为与有关的多值函数，在实际应用时必须指明函数的定义选择在黎曼面的哪一支。下面列出的仅仅是最常采用的黎曼面分支的计算结果。

 的平方根为：

这是因为：

使用算术平方根符号表示：

其解法為先假設兩實數及，使得，求解
 一个数的次幂为：

一个数的次方根为：

利用歐拉公式
，
代入不同的值，可計算出無限多的解。当最小的解是...

 以为底的对数为：

 的余弦是一个实数：
...

 的正弦是纯虚数：
...

在程式語言
 大部分的程式語言都不提供虛數單位，且平方根函數(大多為sqrt()或Math.Sqrt())的引數不可以是負數，因此，必須自行建立類別後方可使用。
 但Lisp的许多实现与方言，如Common Lisp，内建虚数和複數的支持。不少动态语言受其影响，也在语言本身或标准库中支持虚数和複數，如Python、Ruby。
 一些传统编程语言，如C语言，也从C99开始支持虚数和複數。
 在Matlab，虛數單位的表示方法為i或j，但i和j在for迴圈可以有其他用途。
 在Mathematica，虛數單位的表示方法為I、𝕚或𝕛。
 在Maple，必須啟用虛數功能，並選擇用i還是j表示虛數單位。
 Go語言於第 1.0 版就内建虚数和複數的支持，變數類型為 complex64和complex128。

註解

参见
 代數基本定理
 虚数
 复平面
 单位根
 i

参考文献
 Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

外部链接
 欧拉对多项式的复数根的研究
  i作為-1的平方根（英文視頻）
 的計算方法舉例（英文視頻）

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負一