模曲線

在代數幾何及數論領域，模曲線是一類緊黎曼曲面，同時也是定義於某數域上的射影代數曲線。模曲線是當代數論、表示理論及代數幾何中重要的課題。

「模曲線」一詞源於以下事實：模曲線參數化了一族橢圓曲線，因而是一種模空間。志村簇是模曲線在高維度的類比。

定義
考慮上半平面 。取  對模群  的有限指數子群之商，所得到的未必是緊緻空間。作完備化後便得到模曲線。可以證明模曲線必然是  上的平滑代數曲線；從複分析角度來看，便是緊黎曼曲面。

例子
對正整數 ，定義同餘子群
 。

相應的模曲線記為 ，也稱為古典模曲線。除了完備化添加的尖點外，其複值點一一對應於下述資料的同構等價類：
 ， 是複橢圓曲線、 是 -撓點。

當  時， 的虧格等於零，否則其虧格則是
 。

 的模形式可理解為  上某族線叢的截面。此時可以用幾何方式研究赫克算子，因為它們由模曲線之間的對應給出。

外部連結
 

代數曲線
模形式