西格爾模形式

在數學中，西格爾模形式是辛群上的自守形式。西格爾模形式是西格爾上半平面上的一類多變元全純函數，模形式是其特例。在模空間的意義下，若模形式對應到橢圓曲線，則西格爾模形式便對應更廣的阿貝爾簇。

卡爾·西格爾在1930年代引入這個概念，本意在以解析數論處理二次型的問題。西格爾模形式後來也用於代數幾何、橢圓上同調及某些物理學問題，例如共形場論。

定義
固定正整數 。首先定義西格爾上半平面為
, 
換言之，此即虛部正定之對稱矩陣構成的空間。

再定義一個離散子群
, 
其中  表  階單位矩陣。

再設
 
為一有理複表示，這相當於說  是代數簇之間的有理映射，並保持群運算。

現在可以定義西格爾模形式：對任一函數 ，我們採用下述符號
 
. 

所謂權為 、次數為 、階為  的西格爾模形式，是滿足下述條件的全純函數 
.

當  時，須要求  在無窮遠處全純。對於 ，可證明此條件自動成立（Koecher 定理）。

外部連結
Gerard van der Geer, Lecture notes on Siegel modular forms (PDF)

模形式
自守形式