雅各布森根

在抽象代数之分支环理论中，一个环 R 的雅各布森根（）是 R 的一个理想，包含在某种意义上“与零接近”的那些元素。

定义
雅各布森根记做 J(R) 可用如下等价的方式定义：
 所有极大左理想之交。
 所有极大右理想之交。
 所有单左 R-模的零化子之交。
 所有单右 R-模的零化子之交。
 所有左本原理想（primitive ideal）之交。
 所有右本原理想之交。
 { x ∈ R : 对任何 r ∈ R 存在 u ∈ R 使得 u (1-rx) = 1 }
 { x ∈ R : 对任何 r ∈ R 存在 u ∈ R 使得 (1-xr) u = 1 }
 如果 R 可交换，R 的所有极大理想之交。
 最大理想 I 使得对所有 x ∈ I， 1-x 在 R 中可逆。

注意，最后一个性质不意味着 R 中使  1-x 可逆的任何元素 x 都是 J(R) 的一个元素。 

另外，如果 R 不可交换，则 J(R) 不必等于 R 中所有双边极大理想之交。

雅各布森根也能对没有恒同元素（或说单位）的环定义。参见 I. N. Herstein 所著《Noncommutative Rings》。

雅各布森根以内森·雅各布森（Nathan Jacobson）命名，他最先研究了雅各布森根。

例子
 任何域的雅各布森根是 {0}。整数的雅各布森根是 {0}。
 环 Z/8Z （参见模算术）的雅各布森根是 2Z/8Z。
 如果 K 是一个域，R 是所有元素位于 K 中的上三角 n×n 矩阵环，则 J(R) 由主对角线为零的所有上三角矩阵组成。
 如果 K 是域，R = K[[X1,...,Xn]] 是形式幂级数环，则 J(R) 由常数项为零的所有幂级数组成。更一般地，任何局部环的雅各布森根由这个环的非单位环组成。
 由一个有限箭图（quiver）Γ 与一个域 K 开始，考虑箭图代数 KΓ （在箭图一文有具体说明）。这个环的雅各布森根由 Γ 中所有长度 ≥ 1 的道路生成。
 一个C*-代数的雅各布森根是 {0}。这得自盖尔范德-奈马克定理（Gelfand–Naimark theorem）以及关于 C*-代数的事实，一个希尔伯特空间上的拓扑不可约 *-表示是代数不可约的，从而其核在纯代数意义上是一个本原理想（参见C*-代数的谱）。

性质

 除非 R 是平凡环 {0}，雅各布森根总是 R 中不等于 R 的理想。
 如果 R 可交换有限生成 Z-模，则 J(R) 等于 R 的诣零根（nilradical）。
 环 R/J(R) 的雅各布森根等于零。具有零雅各布森根的环称为半本原环（semiprimitive ring）。
 如果 f : R → S 是一个满环同态，则 f(J(R)) ⊆ J(S)。
 如果 M 是一个有限生成左 R-模满足 J(R)M = M，则 M = 0（中山引理）。
 J(R) 包含 R 的每个诣零理想（nil ideal）。如果 R 是左或右阿廷环，则 J(R) 是一个幂零理想（nilpotent ideal）。注意，但是一般雅各布森根不必由环中幂零元素组成。
 R 是半单环当且仅当它是阿廷环且其雅各布森根为零。

另见
模的根（Radical of a module）
理想的根

参考文献
M. F. Atiyah, I. G. Macdonald. Introduction to Commutative Algebra.
N. Bourbaki. Éléments de Mathématique.
I. N. Herstein, Noncommutative Rings.
R. S. Pierce. Associative Algebras. Graduate Texts in Mathematics vol 88. 
T. Y. Lam. A First Course in Non-commutative Rings. Graduate Texts in Mathematics vol 131. 

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