全微分方程

全微分方程是常微分方程的一种，它在物理学和工程学中广泛使用。

定义

给定R2的一个单连通的开子集D和两个在D内连续的函数I和J，那么以下形式的一阶常微分方程

 

称为全微分方程，当且仅当存在一个连续可微的函数F，称为势函数，使得

以及

“全微分方程”的命名指的是函数的全导数。对于函数，全导数为：

例子

函数

是以下全微分方程的势函数。

势函数的存在

在物理学的应用中，I和J通常不仅是连续的，也是连续可微的。施瓦茨定理（也称为克莱罗定理）提供了势函数存在的一个必要条件。对于定义在单连通集合上的微分方程，这个条件也是充分的，我们便得出以下的定理：

给定以下形式的微分方程：
 
其中I和J在R2的单连通开子集D上是连续可微的，那么势函数F存在，当且仅当下式成立：

全微分方程的解

给定一个定义在R2的单连通开子集D上的全微分方程，其势函数为F，那么D内的可微函数f是微分方程的解，当且仅当存在实数c，使得
 

对于初值问题

我们可以用以下公式来寻找一个势函数：

解方程

其中c是实数，我们便可以构造出所有的解。

参见
全微分
里卡蒂方程
伯努利微分方程
柯西-欧拉方程
克莱罗方程
线性微分方程

参考文献
Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 4th ed. New York: Wiley, 1986. 
Ross, C. C. §3.3 in Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 2004. 
Zwillinger, D. Ch. 62 in Handbook of Differential Equations. San Diego, CA: Academic Press, 1997.

微分方程