圓周摺積

兩個函數的圓周摺積是由他們的週期延伸所來定義的。週期延伸意思是把原本的函數平移某個週期 T 的整數倍後再全部加起來，所產生的新函數。 的週期延伸可以寫成

兩個函數  與  的圓周摺積  可用兩種互相等價的方式來定義

其中  表示原本的（線性）摺積。

類似地，對於離散信號（數列），可以定義週期 N 的圓周摺積  為

如果引入循环矩阵，那么两个长度都为 N  的离散信号（长度不一致，则可以通过补零来对齐两信号）的循环卷积则可以写成矩阵的形式。设有长度为 N 的离散信号 ，则由该向量构建的循环矩阵有如下形式

此时，信号与信号的圆周卷积可以写为

離散信號的圓周摺積可以經由圓周摺積定理使用快速傅立葉變換（FFT）而有效率的計算。因此，若原本的（線性）摺積能轉換成圓周摺積來計算，會遠比直接計算更快速。考慮到長度  和長度  的有限長度離散信號，做摺積之後會成為長度  的信號，因此只要把兩離散信號補上適當數目的零（zero-padding）成為 N 點信號，其中    ，則它們的圓周摺積就與摺積相等。即可接著用 N 點 FFT 作計算。

用以上方法計算摺積時，若兩個信號長度相差很多，則較短者須補上相當多的零，太不經濟。而且在某些情況下，例如較短的  是一個 FIR 濾波器而較長的  是未知長度的輸入（像語音）時，直接用以上方法要等所有的輸入都收到後才能開始算輸出信號，太不方便。這時可以把  分割成許多適當長度的區塊（稱為 block convolution），然後一段一段的處理。經過濾波後的段落再仔細的連接起來，藉由輸入或輸出的重疊來處理區塊連接的部份。這兩種做法分別稱為重疊-儲存之摺積法和重疊-相加之摺積法。

相關條目

摺積
圓周摺積定理
DFT與圓周摺積

參考文獻 
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外部連結

cnx 

信号处理
泛函分析
二元运算