朗伯W函数

朗伯W函数（，又称为欧米加函数或乘积对数），是f(w) = wew的反函数，其中ew是指数函数，w是任意复数。对于任何复数z，都有：

由于函数f不是单射，因此函数W是多值的（除了0以外）。如果我们把x限制为实数，并要求w是实数，那么函数仅对于x ≥ −1/e有定义，在(−1/e, 0)内是多值的；如果加上w ≥ −1的限制，则定义了一个单值函数W0(x)（见图）。我们有W0(0) = 0，W0(−1/e) = −1。而在[−1/e, 0)内的w ≤ −1分支，则记为W−1(x)，从W−1(−1/e) = −1递减为W−1(0−) = −∞。

朗伯W函数不能用初等函数来表示。它在组合数学中有许多用途，例如树的计算。它可以用来解许多含有指数的方程，也出现在某些微分方程的解中，例如y'''(t) = a y(t − 1)。

 微分和积分 
朗伯 函数的积分形式为
 

若  ,若 

把被积函数的实部和虚部分离出来：

设  ，则有  ，展开分离出实部和虚部，

,当时，易知 

若  ，上式还可化为

由隐函数的求导法则，朗伯函数满足以下的微分方程：

，

因此：

，

函数，以及许多含有的表达式，都可以用的变量代换来积分，也就是说 

其中為欧米加常数。

 性质 

、，

其中是高德納箭號表示法。

、若，则

 泰勒级数 
在的泰勒级数如下：

收敛半径为  。

 加法定理 

 複數值 
實部
 , 
虛部
, 
模長

模角
, 
共軛值
, 

 特殊值 

（欧米加常数）

 

 应用 
许多含有指数的方程都可以用函数来解出。一般的方法是把未知数都移到方程的一侧，并设法化为的形式。

 例子 

例子1

 

 

 

 

 

 

 

更一般地，以下的方程

 
其中

 

两边同乘: ，

得到：

同除以：，

得到：

同除：， 

可以用变量代换

令

化为
 
 

即：

同乘：

得出

故

带入

为

因此最终的解为

若辅助方程：中，

,

辅助方程无实数解，原方程亦无实解；

若：,

辅助方程有一实数解，原方程有一实解：

若: ,

辅助方程有二实解，设为，

，

为

例子2

用类似的方法，可知以下方程的解

为

或

例子3

以下方程的解

具有形式

例子4

  :  : 
取对数，
 

 

 

 

取倒数，
 

 

最终解为 : 

例子5

两边开次方并除以得

令 ，

化为

两边同乘

 ，

最终得

一般化
標準的 Lambert W 函數可用來表示以下超越代數方程式的解：

其中 a0, c   與 r  為實常數。

其解為

Lambert W 函數之一般化T.C. Scott, G. Fee and J. Grotendorst, "Asymptotic series of Generalized Lambert W Function" , SIGSAM, vol. 47, no. 3, (September 2013), pp. 75-83 包括: 
 一項在低維空間內廣義相對論與量子力學的應用（量子引力），實際上一種以前未知的 連結 於此二區域中，如 “Journal of Classical and Quantum Gravity” 所示其 (1) 的右邊式現為二維多項式 x：

 

其中 r1 和 r2 是不同實常數，為二維多項式的根。於此函數解有單一引數 x 但 ri  和 ao 為函數的參數。如此一來，此一般式類似於 “hypergeometric”（超几何分布）函數與 “Meijer G“，但屬於不同類函數。當 r1 = r2，(2)的兩方可分解為 (1) 因此其解簡化為標準 W 函數。(2)式代表著 “dilaton”（軸子）場的方程，可據此推導線性，雙體重力問題 1+1 維（一空間維與一時間維）當兩不等（靜止）質量，以及，量子力學的特徵能Delta位勢阱給不等電位於一維空間。

量子力學的一特例特徵能的分析解三體問題，亦即（三維）氢分子離子。於此 (1)（或 (2)）的右手邊現為無限級數多項式之比於 x：

             
 其中 ri 與 si 是相異實常數而 x 是特徵能和內核距離R之函數。式 (3) 與其特例表示於 (1) 和 (2) 是與一更大類型延遲微分方程。由于哈代的“虚假导数”概念，多根的特殊情况得以解决。

Lambert "W" 函數於基礎物理問題之應用並未完全即使標準情況如 (1) 最近在原子，分子，與光學物理領域可見。

 图象 

 计算 W''函数可以用以下的递推关系算出：

参考来源

外部链接 

 MathWorld 

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