WKB近似

在量子力學裏，WKB近似是一種半經典計算方法，可以用來解析薛丁格方程式。喬治·伽莫夫使用這方法，首先正確地解釋了阿爾法衰變。WKB近似先將量子系統的波函數，重新打造為一個指數函數。然後，半經典展開。再假設波幅或相位的變化很慢。通過一番運算，就會得到波函數的近似解。

簡略歷史 
WKB近似以三位物理學家格雷戈尔·文策尔、汉斯·克喇末和萊昂·布里淵姓氏字首命名。於1926年，他們成功地將這方法發展和應用於量子力學。不過早在1923年，數學家哈罗德·杰弗里斯就已經發展出二階線性微分方程式的一般的近似法。薛丁格方程式也是一個二階微分方程式。可是，薛丁格方程式的出現稍微晚了兩年。三位物理學家各自獨立地在做WKB近似的研究時，似乎並不知道這個更早的研究。所以物理界提到這近似方法時，常常會忽略了杰弗里斯所做的貢獻。這方法在荷蘭稱為KWB近似，在法國稱為BWK近似，只有在英國稱為JWKB近似。

數學概念 
一般而言，WKB近似專門計算一種特殊微分方程式的近似解。這種特殊微分方程式的最高階導數項目的係數是一個微小參數。給予一個微分方程式，形式為
。

假設解答的形式可以展開為一個漸近級數：
。

將這擬設代入微分方程式。然後约去相同指數函數因子。又取的極限。這樣，就可以從開始，一個一個的解析這漸近級數的每一個項目。

通常的漸近級數會發散。當大於某值後，一般項目會開始增加。因此WKB近似法造成的最小誤差，約是最後包括項目的數量級。

數學例子 
設想一個二階齊次線性微分方程式
；

其中，。

猜想解答的形式為
。

將猜想代入微分方程式，可以得到
。

取的極限，最重要的項目是
。

我們可以察覺，必須與成比例。設定，則的零次冪項目給出
。

我們立刻認出這是程函方程。解答為
。

檢查的一次冪項目給出
。

這是一個一維傳輸方程式。解答為
；

其中，是任意常數。

我們現在有一對近似解（因為可以是正值或負值）。一般的一階WKB近似解是這一對近似解的線性組合：
。

檢查的更高冪項目（）可以給出：
。

薛丁格方程式的近似解 
解析一個量子系統的薛丁格方程式，WKB近似涉及以下步驟：
 將波函數重寫為一個指數函數，
 將這指數函數代入薛丁格方程式，
 展開指數函數的參數為約化普朗克常數的冪級數，
 匹配約化普朗克常數同次冪的項目，會得到一組方程式，
 解析這些方程式，就會得到波函數的近似。

一維不含時薛丁格方程式為
；

其中，是約化普朗克常數，是質量，是坐標，是位勢，是能量，是波函數。

稍加編排，重寫為
。(1)

假設波函數的形式為另外一個函數的指數（函數與作用量有很密切的關係）：
。

代入方程式(1)，
；(2)

其中，表示隨著的導數。

可以分為實值部分與虛值部分。設定兩個函數與：
。

注意到波函數的波幅是，相位是。將的代表式代入方程式(2)，分別匹配實值部分、虛值部分，可以得到兩個方程式：
，(3)
。(4)

半經典近似 
將與展開為的冪級數：
，
。

將兩個冪級數代入方程式(3)與(4)。的零次冪項目給出：
，
。

假若波幅變化地足夠慢於相位（），那麼，我們可以設定
，
。

只有當的時候，這方程式才成立。經典運動只會允許這種狀況發生。

更精確一點，的一次冪項目給出：
，
。

所以，
，
。

波函數的波幅是
。

定義動量，則波函數的近似為
；(5)

其中，和是常數，是一個任意參考點的坐標。

換到另一方面，假若相位變化地足夠慢於波幅（），那麼，我們可以設定
，
。

只有當的時候，這方程式才成立。經典運動不會允許這種狀況發生。只有在量子系統裏，才會發生這種狀況，稱為量子穿隧效應。類似地計算，可以求得波函數的近似為
；(6)

其中，。

連接公式 
顯而易見地，我們可以從分母觀察出來，在經典轉向點，這兩個近似方程式(5)和(6)會發散，無法表示出物理事實。我們必須正確地找到波函數在經典轉向點的近似解答。設定是經典運動允許區域。在這區域內，，波函數呈振動形式。其它區域和是經典運動不允許區域，波函數呈指數遞減形式。假設在經典轉向點附近，位勢足夠的光滑，可以近似為線性函數。更詳細地說，在點附近，將  展開為一個冪級數：
；

其中，是常數值係數。

取至一階，方程式(1)變為
。

這微分方程式稱為艾里方程式，其解為著名的艾里函數：
。

匹配艾里函數和在的波函數，在的波函數，經過一番繁雜的計算，可以得到在附近的連接公式（）：
 。

類似地，也可以得到在附近的連接公式：
 。

量子化規則 
在經典運動允許區域內的兩個連接公式也必須匹配。設定角變量
，
，
。

那麼，
，
。

立刻，我們可以認定。匹配相位，假若，那麼，
。

所以，
。

假若，那麼，
。

所以，
。

總結，量子系統必須滿足量子化守則：
。

範例 
考慮一個量子諧振子系統，一個質量為的粒子，運動於諧振位勢；其中，是角頻率。求算其本徵能級？

能量為的粒子，其運動的古典轉向點為
。

所以，
。

粒子的動量為
。

將這些變量代入量子化守則：
。

經過一番運算，可以得到本徵能量
。

藉由以上之計算，發現近似解與精確解完全一樣。

參閱 
 微擾理論 (量子力學)
 量子穿隧效應
 舊量子論

參考文獻

現代文獻

歷史文獻 
 
 
 
 

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