海涅-康托尔定理

海涅-康托尔定理，以愛德華·海涅和乔治·康托尔命名，说明如果M是一个紧度量空间，N是一个度量空间，则每一个连续函数

f : M → N, 

都是一致连续的。

特别地，如果f : [a,b] → R是一个连续函数，则它是一致连续的。

证明 1 

假设f在紧度量空间M上连续，但不一致连续，则以下命题
，使得对于所有M内的x和y，都有

的否定是：

，使得，使得，且。
其中d和分别是度量空间M和N上的距离函数。

选择两个序列xn和yn，使得：
，且  (*)

由于度量空间是紧致的，根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，序列xn存在一个收敛的子序列，而，故和收敛于相同的点。又因为f是连续的，所以和收敛于相同的点，与(*)式矛盾。

证明 2 

设 f 是从一个紧度量空间 (M,dM) 到一个度量空间 (N,dN) 的连续函数，欲证明 f 是一致连续的。

设给定了 , 于是对  中的每一个点  都存在一个与  有关的 , 使得

考虑由半径为  的球  构成的集族, 这族球覆盖 , 而且因为  是紧的, 所以这些球中有有限个也覆盖 , 比方说

在任何一个两倍半径的球  中, 我们有

设 , 欲证明这个  满足一致连续性定义中的要求.

对  中的两个点  和  满足条件 , 由 , 有某个球  包含 , 所以

由三角不等式可得

因而, , 所以也有 . 再次使用三角不等式就可以发现

參考文獻

外部链接 
  
 

连续映射
度量几何
分析定理
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