幂零矩阵

幂零矩阵（）是一个n×n的方块矩阵M，满足以下等式：

对于某个正整数q。类似地幂零变换是一个线性变换L，满足对于某个整数q。

幂零矩阵是幂零元──一个更加一般的概念的特殊情况，不仅可以应用于矩阵和线性变换，也可以应用于环的元素。

例子

考虑以下的矩阵：

这是一个4×4的幂零矩阵的例子（实际上，这种形式的矩阵称为转移矩阵）。注意非零的超对角线。这个矩阵的特征为：

超对角线不断向右上角“移动”，直到完全消失，得到零矩阵。

对应的幂零变换L : R4 → R4由下式定义：

有一个分类定理证明这是典型的：幂零矩阵与分块矩阵是相似的，其对角线上的区块推广了这种类型，而其它区块为零。

性质

设M为n×n的幂零矩阵。

 满足Mq = 0的最小整数q小于或等于n。
 在代数封闭域上，矩阵M是幂零的，当且仅当它的所有特征值为零。因此，M的行列式和迹都为零，所以幂零矩阵必為奇異方陣。
 假设A和B是两个矩阵。如果A是可逆矩阵，则是幂零矩阵，当且仅当与t无关。这是因为：
 
其中是的特征值。
 M的特征多项式为λn。
 每一个严格的上三角矩阵或下三角矩阵都是幂零矩阵。
 每一个奇异方阵都可以写成若干个幂零矩阵的乘积。

分类定理

以上的例子是典型的，这是因为以下的结果。每一个幂零矩阵都与以下的分块矩阵相似： 

其中区块在超对角线上为一，在其它地方为零：

这可以从若尔当标准形，以及每一个与幂零矩阵相似的矩阵也是幂零的事实推出。

参考文献

外部链接
 PlanetMath上的幂零矩阵 和幂零变换 。

矩阵