巴塞尔问题

巴塞尔问题是一个著名的数论问题，这个问题首先由在1644年提出，由莱昂哈德·欧拉在1735年解决。由于这个问题难倒了以前许多的数学家，年仅二十八岁的欧拉因此一举成名。欧拉把这个问题作了一番推广，他的想法后来被黎曼在1859年的论文《论小于给定大数的质数个数》（On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude）中所采用，论文中定义了黎曼ζ函数，并证明了它的一些基本的性质。这个问题是以瑞士的第三大城市巴塞尔命名的，它是欧拉和伯努利家族的家乡。

这个问题是精确计算所有平方数的倒数的和，也就是以下级数的和：

这个级数的和大约等于1.644934。巴塞尔问题是寻找这个数的准确值，并证明它是正确的。欧拉发现准确值是，并在1735年公布；彼时他給出了一個錯誤的证明，真正严密的证明在1741年给出。

收敛性证明 
利用放缩法可以简便地证明级数有界，並由单调收敛定理得到收敛性。

注意到且，。故

故。

欧拉的錯誤證明
欧拉最初推导的方法是聪明和新颖的。他假设有限多项式的性质对于无穷级数也是成立的。然而，欧拉沒有證明此一假设，且此一假設在一般情況下也是錯誤的。不過他计算了级数的部分和后发现，级数確實趨近，不多不少。这给了他足够的自信心，把这个结果公诸于众。

欧拉的方法是从正弦函数的泰勒级数展开式开始：

两边除以，得：

现在，的根出现在，其中我们假设可以把这个无穷级数表示为线性因子的乘积，就像把多项式因式分解一样：

如果把这个乘积展开，并把所有有的项收集在一起，我们可以看到， 的二次项系数为：

但从原先的级数展开式中可以看出，的系数是。这两个系数一定是相等的；因此，

等式两边乘以就可以得出所有平方数的倒数之和。

黎曼ζ函数
黎曼ζ函数ζ(s)是数学中的一个很重要的函数，因为它与素数的分布密切相关。这个函数对于任何实数部分大于1的复数s都是有定义的，由以下公式定义：

取s = 2，我们可以看出ζ(2)等于所有平方数的倒数之和：

用以下的等式，可以证明这个级数收敛：

因此ζ(2)的上界小于2，因为这个级数只含有正数项，它一定是收敛的。可以证明，当s是正的偶数时，ζ(s)可以用伯努利数来表示。设，有以下公式：

严密的证明
以下介绍了一个的证明。它是目前已知最基本的证明，大部分其它的证明都需要用到傅里叶分析、复分析和多变量微积分，但这个证明连一元微积分也不需要（在证明的最后部分需要使用极限的概念）。

考虑面积，

这个证明的想法是把以下的部分和固定在两个表达式之间，这两个表达式当m趋于无穷大时都趋于。

这两个表达式从余切和余割的恒等式推出。而这些恒等式则从棣莫弗定理推出。

设x为一个实数，满足0 < x < π/2，并设n为正整数。从棣莫弗定理和余切函数的定义，可得：

根据二项式定理，我们有：

把两个方程合并，由于相等的两个复数的虚数部分也一定相等，因此有：

固定一个正整数m，设n = 2m + 1，并考虑xr = r π/(2m + 1)对于r = 1、2、……、m。那么nxr是π的倍数，因此是正弦函数的零点，所以：

对于所有的r = 1、2、……、m。x1、……、xm是区间(0, π/2)内不同的数。由于函数cot2 x在这个区间内是一一对应的，因此当r = 1、2、……、m时，tr = cot2 xr的值各不同。根据以上方程，这些m个"tr"是以下m次多项式的根：

根据韦达定理，我们可以直接从这个多项式的头两项计算出所有根的和，因此：

把恒等式csc2 x = cot2 x + 1代入，可得：

现在考虑不等式cot2 x < 1/x2 < csc2 x。如果我们把对于xr = r π/(2m + 1)的所有不等式相加起来，并利用以上的两个恒等式，便可得到：

把不等式乘以(π/(2m + 1))2，便得：

当m趋于无穷大时，左面和右面的表达式都趋于，因此根据夹挤定理，有：

证毕。

二重积分的证明
首先考虑二重积分的级数展开形式，其中区域D1为x∈(0,1)且y∈(0,1)的正方形区域：

接下来考虑做如下变换：

相当于将正方形区域D1旋转45°之后变成D2，但仍然保持其形状与面积，其中正方形D2的四个顶点在(u,v)下的坐标分别是、、、：

最后一行用到的是偶函数的性质化简积分，并且将加号前后的两个积分（包括前面的系数）简记为I1与I2。先计算I1，下面变量代换设，则有：

类似地，再计算I2，下面变量代换设，则有，并且交换积分上下限从负号变回正号：

最终可以得到：

证毕。

傅里叶级数的证明

设有函数，其定义域为。这个函数的傅里叶级数是：

。

根据帕塞瓦尔恒等式，我们有：

因此

证毕。

参考文献
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外部链接
 
 
 
 ζ(2)=π2/6的十四种证明 ，由Robin Chapman编制

包含证明的条目
数学问题
数论
圆周率算法
数论中的平方
Ζ函數與L函數