达布定理

在实分析中，达布定理（）得名于让·加斯东·达布。达布定理说明所有的实导函数（某个实值函数的导数）都具有介值性质：实导函数对任意区间的值域仍是区间。即是说，若f为可导函数，则对任意区间I，f′(I) 仍为区间。

当函数 f 是一阶连续可导函数（C1）时，由介值定理，达布定理显然成立。当导函数 f′ 不连续时，达布定理说明 f′ 仍具有介值性质。

历史
19世纪时，大部分数学家认为介值定理已经可以刻畫出连续函数。但在1875年，让·加斯东·达布证明这个想法是错误的，因为连续函数的导函数仍然具有介值性质，但不一定是连续函数。一个很常用的反例是函数：
 当
 当
其导数在处并不连续。

内容
设为闭区间上的实值可导函数，那么对介于和之间的任意，存在属于使得。

证明
不失一般性，我们可假设。又设，则 。只需找到在上的一个零点即可。

由于是上的连续函数，由極值定理，在上达到极大值。由于，极大值不在处取到。同理，由于，极大值也不在b处取到。设为取到极大值的点，这时，。于是定理得证。

参见
 让·加斯东·达布
 介值定理

参考资料
万丽 , 李少琪 , 阎庆旭，《微分达布(Darboux)定理的几种新证法及其推广》，《数学的实践与认识》2003年11期
潘继斌，《达布(Darboux)定理及其应用》，《湖北师范学院学报（自然科学版）》2000年01期

外部链接
 
 

微積分定理
连续映射
实分析定理
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