德林費爾德模

在數學領域，德林費爾德模或橢圓模是一種特別的模，佈於有限域上的代數曲線的坐標環上。粗略地說，德林費爾德模是複橢圓曲線的複乘法理論之函數域版本。

俄文單詞 штука（英語拼音：shtuka 或 chtouca，源於德文的 Stück，意指物件或東西），又稱F-層，是德林費爾德模的一種延伸，由曲線上的向量叢和其它關乎弗羅貝尼烏斯映射的資料組成。

弗拉基米爾·德林費爾德在1973年發明了德林費爾德模，隨後推廣到 штука，以證明函數域上的  郎蘭茲猜想。洛朗·拉福格藉由研究 n秩 штука的模疊與跡公式，在2002年證出  的情形。

德林費爾德模

加性多項式環
設  為特徵  的域。定義其上的非交換多項式環 
 a0 + a1τ + a2τ2 + ... 

乘法由下述條件確定
 

元素  可設想為弗羅貝尼烏斯映射。事實上， 是左 -模，其中  以乘法作用而  以  映射。環  也可以看作是如下多項式的集合
 
這類多項式滿足 ，故稱加性多項式；此環的乘法由多項式的合成給出，而非乘法，故非交換。

形式定義
今設  為交換環，L 上的 德林費爾德 A-模定義為環同態 ，使得  不包含於 ；此條件意在排除一些平凡例子。環  通常取作某條有限域上的仿射曲線的坐標環。

 可視為加法群  的自同態，而德林費爾德 A-模可視為  在  上的作用。

例子
 置 ，對應到虧格為一的仿射代數曲線。德林費爾德模  僅依賴於像 。此時德林費爾德模可等同於 。對於虧格更高的曲線，德林費爾德模會更複雜。
 承上，Carlitz 模是由 ， 為含  的完備代數封閉域給出的德林費爾德模。此模首先由 Leonard Carlitz 在1935年展開研究，詳見Goss 的著作第三章  。

штука
設  是有限域  上的代數曲線。對概形或疊 ，其上的秩 r （右）штука 由下列資料定義：
  上的秩 r 局部自由層  及單射
 
其餘核的支撐集包括於某態射  的圖（稱為該 штука 的零點與極點，記為  與 ），且在支撐集上是秩  局部自由層。在此  表  上的弗羅貝尼烏斯態射。

左 штука 的定義類似，但態射的方向反轉；若極點與零點集互斥，則實際上無分左右。

粗略而言，考慮不同的 ，可得代數疊  及  上的「萬有 штука」，並有相對維度 $2$ 的平滑態射 。注意到當  時，疊  並非有限型的。

德林費爾德模可在某種意義下視作特別的 штука（自定義觀之，這絕非明顯），詳見 Drinfel'd, V. G. Commutative subrings of certain noncommutative rings. Funkcional. Anal. i Prilovzen. 11 (1977), no. 1, 11--14, 96. 。

應用
簡言之，函數域上的郎蘭茲猜想是關於  的尖點自守表示及某個伽羅瓦群的表示之間的對應。德林費爾德利用 штука 證明的情形。此猜想的難處在於構造滿足特定性質的伽羅瓦表示，德林費爾德的高處在於從某個秩  штука 的模空間的 -進上同調入手，找出相應的伽羅瓦表示。

德林費爾德認為此法可延伸至  的情形。拉福格最後克服了其中的大量技術困難，完成證明。

文獻

德林費爾德模
V. Drinfel'd, Elliptic modules (Russian) Math. Sbornik 94 (1974), English translation in Math. USSR  Sbornik 23 (1974) 561-592.
D. Goss, Basic structures of function field arithmetic, ISBN 3-540-63541-6
Drinfel'd module  in the Springer encyclopaedia of mathematics
G. Laumon, Cohomology of Drinfeld modular varieties I, II, Cambridge university press 1996

штука
Drinfel'd, V. G. ''Cohomology of compactified moduli varieties of F-sheaves of rank 2. (Russian) Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) 162 (1987), Avtomorfn. Funkts. i Teor. Chisel. III, 107--158, 189; translation in J. Soviet Math. 46 (1989), no. 2, 1789-1821
Drinfel'd, V. G. Moduli varieties of F-sheaves. (Russian) Funktsional. Anal. i Prilozhen. 21 (1987), no. 2, 23--41. English translation: Functional Anal. Appl. 21 (1987), no. 2, 107-122.
D. Goss, What is a shtuka?  Notices of the Amer. Math. Soc. Vol. 50 No. 1 (2003)

拉福格在郎蘭茲猜想方面的工作
Lafforgue, L. Chtoucas de Drinfeld et applications.   (Drinfeld shtukas and applications) Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Berlin, 1998).  Doc. Math.  1998,  Extra Vol. II, 563--570
 Lafforgue, Laurent Chtoucas de Drinfeld, formule des traces d'Arthur-Selberg et correspondance de Langlands. (Drinfeld shtukas, Arthur-Selberg trace formula and Langlands correspondence)  Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Beijing, 2002),  383--400, Higher Ed. Press, Beijing, 2002.
Gérard Laumon, The work of Laurent Lafforgue  Proceedings of the ICM, Beijing 2002, vol. 1, 91--97
G. Laumon La correspondance de Langlands sur les corps de fonctions (d'apres Laurent Lafforgue) (The Langlands correspondence over function fields (according to Laurent Lafforgue)) Seminaire Bourbaki, 52eme annee, 1999-2000, no. 873

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有限域