E的π次方

又稱格爾豐德常數（）是一个数学常数。与e和π一样，它是一个超越数。这可以用格尔丰德-施奈德定理来证明，并注意到：

其中是虚数单位。由于是代数数，但肯定不是有理数，因此是超越数。这个常数在希尔伯特第七问题中曾提到过。一个相关的常数是，又称为格尔丰德-施奈德常数。相关的值也是无理数。

数值 

在十进制中，大约为

它的值可以用以下迭代来求出。定义

其中

则 

迅速收敛于。

几何中的独特之处 

n维球体的体积由以下公式给出：

所以，任何一个偶数维的单位球具有体积：

把所有偶数维的单位球的体积加起来，得出：

相似或相關的常數

拉馬努金常數 

即所謂的拉馬努金常數，是黑格纳数的一個應用，其中 的 163 是問題中用到的黑格納數。

同  一樣， 非常接近整數：

 ... 

雖然這個數是由法國數學家夏爾·埃爾米特在 1859 年所發現，但印度數學家斯里尼瓦瑟·拉马努金第一個預測它非常接近整數，因而以他為名。

這種非常近似於  的巧合，可以用 的及q展開來表示。

且

而  是誤差項。

這解釋了為何  比  小了 0.000 000 000 000 75 。（這個證明的細節，可以參考黑格纳数）。

數  
由 A018938 所給出  的十進位表示為

 ...

儘管這個數非常接近正整數 20 ，但目前沒有關於這個現象的解釋；因此，被認為是一種数学巧合。

數  
由 A059850 給出的  十進位表示為：

 ...

目前還不知此數是否是超越數。

須注意的是，根據 格尔丰德-施奈德定理，只有在  是代數數，而  是非有理數（， 都是复数，且 , ）的情況下， 才為超越數。

之所以可以證明  是超越數，其原因在於複數的指數形式，因為  可以被視為複數  的模，而根據  的等式，才可以使用 格尔丰德-施奈德定理 。

 則沒有如此的等式，所以，儘管  和  都是超越數，但我們不能由此說  是超越數。

數  
如同 ，我們仍不知  是否是超越性質的。甚至，目前還沒有證明說它是無理數：

由 A059850 給出的  十進位表示為：

 ...

數 

由給出的  十進位表示為：

 ...

因為上述等式，可用格尔丰德-施奈德定理證明格爾豐德常數的平方根倒數也是超越的：

 是代數數，但同時不是有理數，由此 是超越數。

参见 
 格爾豐德-施奈德常數
 格尔丰德-施奈德定理
 希尔伯特第七问题

参考文献

外部链接 
 MathWorld

數學常數
实数超越数