等度连续

在数学分析中，一个函数集合被称为等度连续的，如果其中的函数都是连续的并且当自变量变动时，它们的取值都在“相同程度”的范围中浮动。一般来说，集合里的函数是有限个或可数无限个。

等度连续最早出现在阿尔泽拉-阿斯科利定理中。阿尔泽拉—阿斯科利定理说明，考虑某个紧豪斯多夫空间X，以及建立在它上面的连续函数的集合C(X)的一个子集，这个子集是紧集当且仅当它是闭集。作为结论，C(X) 里的一个函数序列一致收敛当且仅当它是等度连续的，并且逐点收敛。

定义

设  为从拓扑空间 E 射到度量空间 F 的一组函数。 是等度连续的当且仅当
 

如果拓扑空间 E 上定义了一个距离，那么一组函数  是一致等度连续的当且仅当
 

作为对比，命题：“一组函数  全都是连续的”的数学化形式如下：
 
 
可以看出，对于一般的连续性，邻域 V 的选择是随 i 而变的，也就是说对每个函数，浮动的形式都不一样。而对于等度连续，邻域 V 的选择不随 i 而变，只取决于 x 和 。而在一致等度连续中，V 的选择只取决于  了。

参见
一致连续
阿尔泽拉-阿斯科利定理
紧空间

参考来源

数学分析
泛函分析
连续映射