伯恩赛德引理

伯恩赛德引理（），也叫伯恩赛德计数定理（），柯西-弗罗贝尼乌斯引理（）或轨道计数定理（），是群论中一个结果，在考虑对称的计数中经常很有用。该结论被冠以多个人的名字，其中包括、波利亚、柯西和弗罗贝尼乌斯。这个命题不属于伯恩赛德自己，他只是在自己的书中《有限群论 On the Theory of Groups of Finite Order》引用了，而将其归于。

下文中，设  是一个有限群，作用在集合  上。对每个  属于  令  表示  中在  作用下的不动元素。伯恩赛德引理断言轨道数（记作 ）由如下公式给出：

从而轨道数（是一个自然数或无穷）等于被 G 中一个元素保持不动的点个数的平均值（故同样是自然数或无穷）。

应用举例 
使用三種顏色對立方體的面染色，旋轉后相同的視為一種，染色方式總數可以由這個公式確定。

選取一個定向，設 X 是這個定向立方體所有 36 種可能面染色組合，立方體的旋轉群自然作用在 X 上。則 X 的兩個元素屬于同一軌道恰好是一個是另一個的旋轉。旋轉不同的染色數就是軌道数，可以通過數 G 的 24 個元素的不動集合的大小求出來。

 一個恒同元素保持 X 的所有 36 個元素不變。
 六個 90 度面旋轉，每一個保持 X 的 33 個元素不變。
 三個 180 度面旋轉，每一個保持 X 的 34 個元素不變。
 八個 120 度頂點旋轉，每一個保持 X 的 32 個元素不變。
 六個 180 度邊旋轉，每一個保持 X 的 33 個元素不變。

這些自同構的詳細檢驗可參見。

這樣，平均不動集合的大小是

 

從而有 57 種旋轉不同的立方體面 3 色染色方式。一般地，使用 n 種顏色，立方體不同的旋轉面染色數是

证明 
定理的證明利用軌道-中心化子定理以及 X 是軌道的不交并的事實：

历史：该引理不属于伯恩赛德
威廉·伯恩賽德在他1897年關于有限群的書中陳述并證明了這個引理，將其歸于。不過在弗羅貝尼烏斯以前，這個公式在1845年已經為柯西所知。事實上，這個引理明顯如此有名，伯恩賽德不過忽略了將其歸于柯西。因此，這個引理有時候也稱為不是伯恩賽德的引理
。這可能看起來不那么有歧義，伯恩賽德對這個領域貢獻了許多引理。

注释

另见 
 波利亞計數定理

参考文献 
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