超越三角函數

超越三角函數是自然對數的一種延伸，也是歐拉公式的擴充，其中每個超越三角函數都違反原來對三角函數的定義。

超越單位三角函數
由李昂哈德·歐拉對複數的定義得知：

當時，得知：

再因為

=>
=>
所以得出下列結論：

解聯立方程解得

發現明顯超越了1，這代表了斜邊比鄰邊還短，違反了當初對實數係的三角函數的定義域，所以這稱為對虛數係的三角函數

超越三角函數
延伸後可得：

複數悖論與數學單位形成
將超越三角函數以三度空間方式作圖，X軸為自變數，Y軸為變數之實部，Z軸為變數之虛部，可以發現超越三角函數都是以4為一週期的函數圖形，但是最後會發現一件怪異之處

這對一般數學是不成立的，但是為何有合理的解釋？
如果說一般數的單位是│µ│（單位向量），歐拉對虛數的冪可見
此單位是rad‧│µ│，如此2π等同於0的意思，那悖論也就被打破了。

ar:لوغاريتم طبيعي
de:Logarithmus#Natürlicher Logarithmus und andere spezielle Logarithmen
no:Naturlige logaritmen

函数