魏尔施特拉斯分解定理

魏尔施特拉斯分解定理（）是指任意整函数可以分解为如下无穷乘积的形式：

其中是另一整函数，是上述无穷乘积收敛的最小整数，称为亏格。是魏尔施特拉斯的基本因子。这种无穷乘积称为典范乘积。求解的方法一般是两边同时取对数再求导数，这样右边就可以化为无穷级数形式，通过对比无穷级数理论中的相关结果得出的形式。

基本因子 
英文为primary factors或是elementary factors。也有译为“主要因子”的版本。

对于任意的，基本因子的定义如下：

其中，级数。

对于级数，有如下性质。以下性质在后续引理的证明中会用到（主要是3.、4.与5.）。

 的情况下，可被展开为。接着两边同时积分，可得。所以的极限可以表示为。
 因为，所以。
 如果将与之间的差额定义为新的级数。
 利用2.与3.改写的定义式：。改写后的基本因子定义式将会在后续引理的证明中用到。
 将3.的关系写成级数形式：。

利用以上性质，可以证明下面的重要引理。该引理在后续证明魏尔施特拉斯分解定理时有关键性作用。

引理 (15.8, Rudin): 对于，

成立。

证明：

时，显而易见。所以只讨论的情况。

i) 将引理左边的部分（不带绝对值）定义为一个新函数。后续称此式为式。

运用性质4.与5.改写式：

将指数部分展开后可得（为了简洁，系数用字母表示）：

整理后可得，可以用一个新的级数来表示：。将系数统一用（如）来标注的话，。

将该结果微分，可得：

ii) 将式直接微分，可得

将指数部分展开可得。

结论1：比较i)与ii)的结果。比较项可知，。同样的方法比较后续项可知，皆为正的实数。

iii) 基于新设一个级数。因为极点是一个可消极点，所以这也是一个整函数。计算

所以在给定的条件下，运用绝对值不等式的基本性质和结论1：

即，成立。引理(15.8)证明完毕。

相关条目 
复分析
卡尔·魏尔施特拉斯

延伸阅读 
Alford的《复分析》

参考资料

复分析定理