特殊酉群

在数学中， 阶特殊酉群（），记作 ，是行列式为 1 的  酉矩阵组成的群（一般酉矩阵的行列式是绝对值为1的复数）。群运算是矩阵乘法。特殊酉群是由  酉矩阵组成的酉群  的一个子群，酉群又是一般线性群 ) 的一个子群。

群  在粒子物理中标准模型中有广泛的应用，特别是  在电弱相互作用与  在量子色动力学中。

最简单的情形 ，是平凡群，只有一个元素。群  同构于範數为  的四元数，从而微分同胚于三维球面。因为单位四元数可表示三维空间中的旋转（差一个符号），我们有一个满同态从  到旋转群 ，其核为 。

性质

特殊酉群 SU(n) 是一个 n2-1 维实矩阵李群。在拓扑上是紧及单连通的。在代数上，它是一个单李群（意为它的李代数是单的，见下）。SU(n) 的中心同构于循环群 Zn。当 n ≥ 3，它的外自同构群是 Z2，而 SU(2) 的外自同构群是平凡群。

SU(n) 代数由 n2 个算子生成，满足交换关系（对 i, j, k, l = 1, 2, ..., n）：

另外，算子

满足

这意味着 SU(n) 独立的生成元个数是 n2-1。

生成元
一般地，SU(n) 的无穷小生成元（infinitesimal generator） T，由一个无迹埃尔米特矩阵表示。即

以及

基本表示
在定义或基本表示中，由  矩阵表示的生成元是：

这里系数  是结构常数，它对所有指标都是反对称的，而系数  对所有指标都是对称的。
从而

 

我们也有

作为一个正规化约定。

伴随表示
在伴随表示中，生成元表示由  矩阵表示，其元素由结构常数定义：

SU(2) 
 一个一般矩阵元素形如

这里  使得 。我们考虑如下映射 ，（这里  表示 2×2 复矩阵集合），定义为

考虑到  微分同胚于  和  同胚于 ，我们可看到  是一个实线性单射，从而是一个嵌入。现在考虑  限制在三维球面上，记作 ，我们可发现这是三维球面到  的一个紧子流形的一个嵌入。但显然有 ，作为一个流形微分同胚于 ，使  成为一个紧连通李群。

现在考虑李代数 ，一个一般元素形如

这里  以及 。易验证这样形式的矩阵的迹是零并为反埃尔米特的。从而李代数由如下矩阵生成

易见它具有上面提到的一般元素的形式。它们满足关系  和 。从而交换子括号由

确定。上述生成元与泡利矩阵有关，,  及 。

SU(3)
SU(3) 的生成元 T，在定义表示中为

这里  为盖尔曼矩阵，是 SU(2) 泡利矩阵在 SU(3) 之类比：

{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0"
| 
| 
| 
|-
| 
| 
| 
|-
| 
|
|
|}

注意它们都是无迹埃尔米特矩阵。

它们服从关系

这里 f 是结构常数，如上所定义，它们的值为

d 的取值：

李代数

 对应的李代数记作 。它的标准数学表示由无迹反埃尔米特  复矩阵组成，以通常交换子为李括号。粒子物理学家通常增加一个因子 ，从而所有矩阵成为埃尔米特的。这只不过是同一个实李代数一个不同的更方便的表示。注意  是  上一个李代数。

例如，下列量子力学中使用的矩阵组成  在  上的一组基：

 
（这里  是虚数单位。）

这个表示经常用于量子力学（参见泡利矩阵以及盖尔曼矩阵）表示基本粒子比如电子的自旋。它们也作为我们三维空间量子相对论描述中的单位向量。

注意任意两个不同生成元的乘积是另一个生成元，以及生成元反交换。与单位矩阵（乘以 ）一起

它们也是  的生成元。

当然这里它取决于我们最终处理的问题，比如在非相对论量子力学中为 2-旋量；或在相对论狄拉克理论中，我们需要到 4-旋量的一个扩张；或在数学中甚至是克利福德代数。

注：在矩阵乘法下（在此情形是反交换的），生成克利福德代数 ，而在交换子括号下生成李代数 。

回到一般的 ：

如果我们选择（任意）一个特定的基，则纯虚数无迹对角  矩阵子空间组成一个  维嘉当子代数。

将这个李代数复化，从而现在允许任何无迹  矩阵。权本征向量是嘉当子代数自己，只有一个非零元素的矩阵不是对角的。尽管嘉当子代数  只是  维，但为了化简计算，经常引入一个辅助元素，与所有元素交换的单位矩阵（它不能视为这个李代数的一个元素）。故我们有一个基，其中第  个基向量是在第  个对角元素为  而在其它处为零的矩阵。则权由  个坐标给出，而且在所有  个坐标求和为零（因为单位矩阵只是辅助的）。

故  的秩是 ，它的邓肯图由  给出，有  个顶点的链。

它的根系由  个根组成，生成一个  欧几里得空间。这里，我们使用  冗余坐标而不是  坐标来强调根系的对称（ 坐标之和为零）。换句话说，我们是将这个  维向量空间嵌入 -维中。则根由所有  置换 。两段以前的构造解释了为什么。单根的一个选取为
,
,
…,
.

它的嘉当矩阵是
.

它的外尔群或考克斯特群是对称群 ，-单形的对称群。

广义特殊酉群
对一个域 F，F 上广义特殊酉群 SU(p,q;F)，F 上一个秩为 n=p+q 的向量空间上使得一个符号为 (p,q) 的非退化埃尔米特形式不变的所有行列式为 1 线性变换组成的群。这个么正群经常称为 F 上符号为 (p,q) 的特殊酉群。域 F 可以换为一个交换环，在这种情形向量空间换为自由模。

特别地，固定 GL(n,R) 中一个符号为 (p,q) 的埃尔米特矩阵，则所有

满足

经常可以见到记号  略去环或域，在这种形式环或域是指 C，这给出一个典型李群。当 F=C 时，A 的标准选取是
 
对某些维数 A 可能有更好的选择，当限制为 C 的一个子环时有更好表现。

例子
这类群的一个重要例子是皮卡模群 SU(2,1;Z[i])，（射影地）作用在二度复双曲空间上，同样地 SL(2,Z) （射影地）作用在二维实双曲空间上。2003年，Gábor Francsics 与彼得·拉克斯算出了这个群在  上作用的基本-{域}-，参见 。

另一个例子是 SU(1,1;C)，同构于 SL(2,R)。

重要子群
在物理学中，特殊酉群用于表示波色对称。在对称性破缺理论中寻找特殊酉群的子群很重要。在大一统理论中 SU(n) 重要的子群是，对 p>1，n-p>1：

为了完整性，还有正交与辛子群：

因为 SU(n) 的秩是 n-1，U(1) 是 1，一个有用的检验是看子群的秩是小于还是等于原来群的秩。SU(n) 是多个其它李群的子群：

（参见自旋群）

（关于 E6, E7 与 G2 参见单李群）。
有同构 SU(4)=Spin(6)，SU(2)=Spin(3)=USp(2) 以及 U(1)=Spin(2)=SO(2)。

最后值得指出的是 SU(2) 是 SO(3) 的二重覆叠群，这个关系在非相对论量子力学 2-旋量的旋转中起着重要的作用。

相关条目 

 SU(2)的表示论
 射影特殊酉群 PSU(n)
埃尔米特矩阵
辛矩阵
酉群
酉算子
矩阵分解

注释

参考文献 
 
Maximal Subgroups of Compact Lie Groups

外部链接
Physics 558 - Lecture 1, Winter 2003 

李群