埃尔米特伴随

数学上，特别是泛函分析中，希尔伯特空间中的每个线性算子有一个相应的伴随算子（）。算子的伴随将方块矩阵共轭转置推广到（可能）无穷维情形。如果我们将希尔伯特空间上的算子视为“广义复数”，则一个算子的伴随起着一个复数的共轭的作用。

一个算子A的伴随常常也称为埃尔米特伴随（，以夏尔·埃尔米特命名），记作A*或A†（后者尤其用于狄拉克符号记法）。

有界算子 

假設H是一個希爾伯特空間，帶有內積
。考慮連續線性算子A : H → H（這與有界算子相同）。

利用里斯表示定理，我們可以證明存在唯一的連續線性算子

A* : H → H具有如下性質：

 ，对所有。

這個算子A* 是A的伴隨。

這可以視為一個方塊矩陣的轉置共軛或伴隨矩陣推廣，在標準（復）內積下具有相似的性質。

性质 

马上可得的性质
 A** = A
 如A可逆，则A* 也可逆，且 (A*)−1 = (A−1)*
 (A + B)* = A* + B*
 (λA)* = λ* A*，这里λ* 表示复数λ的复共轭
 (AB)* = B* A*

如果我们定义A的算子范数为

则

而且有
。

希尔伯特空间H上有界线性算子与伴随算子以及算子范数给出一个C*代数例子。

A的像与它的伴随的核的关系为

。

第一个等式的证明：

第二个等式由第一个推出，于两边取正交空间即可。注意到一般地，像未必是闭的，但连续算子的核总是闭的。

埃尔米特算子 
有界算子A: H → H称为埃尔米特或自伴如果
 A = A*
这等价于
。

在某种意义下，这种算子起着实数（等于他们的复共轭）的作用。他们在量子力学中作为实值可观测量的模型。更多细节参见自伴算子一文。

无界算子的伴随 

许多重要的算子不是连续的或只定义在希尔伯特的一个子空间上。在这种情形，我们仍然能定义伴随，在自伴算子一文有解释。

其他伴随 

范畴论中，方程
 
形式上类似地定义了伴随函子偶性质，这也是伴随函子得名之由来。

又见

 数学概念
 线性代数
 内积
 希尔伯特空间
 埃尔米特算子
 范数
 算子范数
 线性映射的转置
 物理应用
 对偶空间
 狄拉克符号
 量子力学
 可观测量

参考文献 
 Walter Rudin. Functional Analysis(2nd ed.), China Machine Press, 2006 

算子理论

sv:Hermiteskt konjugat