歸一條件

在量子力學裏，表達粒子的量子態的波函數必須滿足歸一條件（歸一化，或規範化，），也就是說，在空間內，找到粒子的機率必須等於  。這性質稱為歸一性。用數學公式表達，

 ;

其中， 是粒子的位置， 是波函數。

歸一化導引 
一般而言，波函數  是一個複函數。可是， 是一個實函數，大於或等於  ，稱為「機率密度函數」。所以，在區域  內，找到粒子的機率  是
 ；(1) 。

既然粒子存在於空間，機率是  。所以，積分於整個一維空間：

 。(2)

假若，從解析薛丁格方程而得到的波函數  ，其機率  是有限的，但不等於  ，則可以將波函數  乘以一個常數，使機率  等於  。或者，假若波函數內，已經有一個任意常數，可以設定這任意常數的值，使機率  等於 。

實例 
在一維空間內，束縛於區域  內的一個粒子，其波函數是
 ；

其中， 是波數， 是角頻率， 是任意常數。

計算能夠使波函數歸一化的常數值  。將波函數代入：
 。

積分於整個粒子存在的區域：
 。

稍加運算，
 。

歸一化的波函數是：
 。

薛丁格方程的形式不變 
薛丁格方程為 
  ；

其中， 是約化普朗克常數， 是位勢， 是能量。

將波函數  歸一化為  。則薛丁格方程成為
  

 

 。

薛丁格方程的形式不變。對於歸一化，薛丁格方程是個不變式，因為薛丁格方程是個線性微分方程式。

一個表達粒子量子態的波函數，必須滿足粒子的薛丁格方程。既然  和  都能夠滿足同樣的薛丁格方程，它們必定都表達同樣的量子態。假若不使用歸一化的波函數，則只能知道機率的相對大小；否則，使用歸一化的波函數，可以知道絕對的機率。這對於量子問題的解析，會提供許多便利。

歸一化恆定性 
給予一個歸一化的波函數．隨著時間的變化，波函數也會改變．假若，隨著時間改變的波函數不再滿足歸一條件，則勢必要重新將波函數歸一化．這樣，歸一常數  變得含時間．很幸運地，滿足薛丁格方程的波函數的歸一性是恆定的．設定波函數  滿足薛丁格方程與歸一條件：
  ，
 ；

假若，歸一性是恆定的，則機率  不含時間。為了顯示這一點，先計算  ：
 。

展開被積函數
 。

編排薛丁格方程，可以得到波函數  對於時間的偏導數：
 。

共軛波函數  對於時間的偏導數為
 。

將  與  代入被積函數
。 

代入  的方程式:
 。

可是，在  ， 與  都等於 0 ．所以，
 。

機率  不含時間。波函數的歸一化是恆定的。

參考文獻

參閱 
 正則變換
 么正性

外部連結 
Middlebury 大學講義：歸一化

G

en:Normalizable wave function