庞加莱度量

数学中，庞加莱度量（），以昂利·庞加莱命名，描述了一个常负曲率二维曲面的度量张量。它是双曲几何和黎曼曲面中广为使用的自然度量。

在二维双曲几何中有三种广泛使用的等价表述。其中一个是庞加莱半平面模型，在上半平面上定义一个双曲空间模型。庞加莱圆盘模型在单位圆盘上定义了一个双曲空间模型。圆盘与上半平面通过一个共形映射联系，等距由莫比乌斯变换给出。第三个表述是在穿孔圆盘上，通常表示为与 q-类似（）的关系，这种形式不同于前两种。

黎曼曲面上的度量概要
复平面上的度量可写成一般形式

这里 λ 是 z 与  的一个实正函数。复平面上曲线 γ 的长度为

复平面上子集 M 之面积是

这里  是用于构造体积形式的外积。度量的行列式等于 ，故而行列式的平方根是 。复平面上的欧几里得体积形式为 ，从而我们有   

函数  称为度量的势能（），如果 

拉普拉斯–贝尔特拉米算子为

度量的高斯曲率由

给出，这个曲率是里奇数量曲率的一半。

等距保持角度与弧长。在黎曼曲面上，等距与坐标变换等价：即拉普拉斯-贝尔特拉米算子与曲率在等距下不变。从而，比如设 S 是一个黎曼曲面带有度量  而 T 是带有度量  的黎曼曲面，则映射

以及  是等距当且仅当它是共形的以及

在这里，映射为共形的也就是条件

即

庞加莱平面上的度量与体积元
庞加莱半平面模型中上半平面 H 的庞加莱度量张量为

这里我们记 。这个度量张量在 SL(2,R) 的作用下不变。这就是，如果我们记

对 ，则我们可算得

与

无穷小变换为

 

从而

这样便清楚地表明度量张量在 SL(2,R) 的作用下不变。

不变体积元素为

对  度量为

度量的另一个有用的形式是用交比给出。给定紧化复平面  上任意四点  与，交比定义为

那么度量用交比表示为

这里  与  是端点，位于实数轴上，测地线连接  与 。这些点是有顺序的故  位于  与  之间。

这个度量张量的测地线是在两个端点处垂直于实轴的圆弧（的一段），即端点位于实轴的上半圆周。

从平面到圆盘的共形映射
上半平面可以共形地映到单位圆盘，用莫比乌斯变换

这里单位圆盘上的点 w 对应于上半平面上的点 z。在这个映射中，常数 z0 可取上半平面上任何一点；这个点将映为圆盘的中心。实数轴  映为单位圆盘的边界 。实常数  将圆盘旋转任意一个角度。

典范映射是

将 i 映为圆盘的中心，0 映为圆盘的最低点。

庞加莱圆盘上的度量与体积元素
庞加莱圆盘模型里的庞加莱度量张量在单位圆盘  上为

体积形式为

对  的庞加莱度量为

这个度量张量的测地线是在端点处正交于圆盘边界的圆弧。

穿孔圆盘模型

第二个将上半平面映成圆盘是 q-映射：

这里 q 是 nome（）， 是半周期比例（）。在上一节的记号中， 是上半平面  的坐标。这个映射映到穿孔圆盘，因为值 q=0 不在映射的像中。

上半平面的庞加莱度量在 q-圆盘上诱导一个度量

度量的势能是

施瓦茨引理
庞加莱度量在调和函数上距离减小。这是施瓦茨引理的一个推广，称为施瓦茨-阿尔福斯-皮克定理（）。

另见
富克斯群（）
富克斯模型（）
克莱因群
克莱因模型
庞加莱圆盘模型
庞加莱半平面模型
本原测地线（）
施瓦茨-阿尔福斯-皮克定理

引用
 Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
 Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See Section 2.3).
 Svetlana Katok, Fuchsian Groups (1992), University of Chicago Press, Chicago ISBN 0-226-42583-5 (Provides a simple, easily readable introduction.)

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