凱萊定理

在群論中，凱萊定理，以阿瑟·凱萊命名，聲稱所有群G 同構於在G上的對稱群的子群。這可以被理解為G在G的元素上的群作用的一個例子。

集合G的置換是任何從G到G的雙射函數；所有這種函數的集合形成了在函數複合下的一個群，叫做“G上的對稱群”并寫為Sym(G)。 

凱萊定理通過把任何群（包括無限群比如(R,+)）都當作某個底層集合的置換群，把所有群都放在了同一個根基上。因此，對置換群成立的定理對於一般群也成立。

歷史 

Burnside
將其歸功於Jordan，但是 
Eric Nummela爭論說這個定理的名字“凱萊定理”事實上是合適的。凱萊在他最初介紹群概念的1854年論文中證明了定理中的對應是一一對應，但是沒能明確的證明它是同態(因此是同構)。但是，Nummela提示大家注意凱萊讓當時的數學界知道了這個結果，因此比Jordan要提前了16年。

定理的證明 

從初等群論中，知道了對于任何G中元素g必然有g*G = G；并通過消除規則知道了g*x = g*y當且僅當x = y。所以左乘g充當了雙射函數fg : G → G，通過定義fg(x) = g*x。所以，fg是G的置換，并因此是Sym(G)的成員。

Sym(G)的子集K定義為
K = {fg : g ∈ G并且fg(x) = g*x對於所有x ∈ G} 
是同構於G的Sym(G)的子群。得出這個結果的最快方式是考慮函數T : G → Sym(G)對於所有G中的g有著T(g) = fg。(對Sym(G)中的複合使用"·")，T是群同態因為：
(fg · fh)(x) = fg(fh(x)) = fg(h*x) = g*(h*x) = (g*h)*x = f(g*h)(x)，對於所有G中的x，因此：
T(g) · T(h) = fg · fh = f(g*h) = T(g*h)。
同態T也是單射因為：T(g) = idG（Sym(G)的單位元）蘊含了對于所有G中的x有g*x = x，選取x為G的單位元e產生g = g*e = e。可替代的，T(g)也是單射因為：g*x=g*x' 蘊含x=x' （通過左乘上g的逆元，因為G是群所以一定存在）。

因此G同構於T的像，它是子群K。

T有時叫做G的正規表示。

另一个的證明 

另一个證明使用了群作用的語言。考慮群為G-集合，可以證明它有置換表示。 

首先假設帶有。則根據G-軌道分類這個群作用是（也叫做軌道-穩定集定理）。

現在這個表示是忠实的，如果是單射，就是說，如果的核是平凡的。假設 ∈  ker ，則，通過置換表示和群作用的等價性。但是因為 ∈  ker , 并因此ker 是平凡的。則im 并因此利用第一同構定理得出結論。

對正規群表示的注記

單位元對應於恒等置換。所有其他的群元素對應於不留下任何元素不變的置換。會因為這也適用於群元素的冪，小于這個元素的階，每個元素對應於由相同長度的環構成的置換：這個長度是這個元素的階。在每個環中的元素形成了這個元素生成的子群的左陪集。

正規群表示的例子

Z2 = {0,1}帶有模2加法，群元素0對應於恒等置換e，群元素1對應於置換 (12)。

Z3 = {0,1,2}帶有模3加法；群元素0對應於恒等置換e，群元素1對應於置換 (123)，而群元素2對應於置換 (132)。比如1 + 1 = 2對應於 (123)(123)=(132)。

Z4 = {0,1,2,3}帶有模4加法；它的元素對應於e, (1234), (13)(24), (1432)。

克萊因四元群{e, a, b, c}的元素對應於e, (12)(34), (13)(24)和 (14)(23)。

S3（6階二面體群）是三個對象的所有置換的群，但也是6個群元素的置換群：

引用

參見 
米田引理

群論
置换
K