算术-几何平均值不等式

算术-几何平均值不等式，簡稱算几不等式，是一个常见而基本的不等式，表现算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设为  个正实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是 。算术-几何平均值不等式表明，对任意的非负实数：

等号成立当且仅当  。

通常用于两个数之间，设这两个数为和，也就是

算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。

算术-几何平均值不等式有時被称为平均值不等式（或均值不等式），其實后者是一组更廣泛的不等式。

例子
在  的情况，设：，那么 

可见。

历史上的证明
历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。的情况很早就为人所知，但对于一般的 ，不等式并不容易证明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。

柯西的证明
1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出一个使用逆向归纳法的证明：

命题：对任意的  个正实数，

当  时，显然成立。假设  成立，那么  成立。证明：对于 个正实数， 
 
 
 

假设成立，那么成立。证明：对于 个正实数，设，，那么由于成立， 。

但是 ， ，因此上式正好变成
 
也就是说

综上可以得到结论：对任意的自然数 ，命题  都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数 ，命题  都成立。因此对任意的 ，可以先找  使得 ，再结合第三条就可以得到命题  成立了。

归纳法的证明
使用常规数学归纳法的证明则有（George Chrystal）在其著作《代数论》（Algebra）的第二卷中给出的：

由对称性不妨设  是  中最大的，由于  ，设 ，则 ，并且有  。

根据二项式定理，

于是完成了从  到  的证明。

此外还有更简洁的归纳法证明：

在  的情况下有不等式  和  成立，于是：

所以 ，从而有。

基于琴生不等式的证明
注意到几何平均数 实际上等于 ，因此算术-几何平均不等式等价于：
 。
由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。

基于排序不等式的证明
令 ，于是有 ，再作代换 ，运用排序不等式得到：
 ，
于是得到 ，即原不等式成立。

此外还有基于伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。

推广
算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。

加权算术-几何平均不等式

不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设  和  为正实数，并且 ，那么：
 。

加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。

矩阵形式
算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵，一样有类似的不等式：
对于系数都是正实数的矩阵

设 ，，那么有：
 
也就是说：对  个纵列取算术平均数，它们的几何平均小于等于对  个横行取的  个几何平均数的算术平均。

极限形式
也称为积分形式：对任意在区间上可积的正值函数 ，都有 
  
这实际上是在算术-几何平均值不等式取成  后，将两边的黎曼和中的  趋于无穷大后得到的形式。

算數-幾何-調和平均值不等式
若再規定的调和平均数 

則有

且等号依舊成立当且仅当  。

證明由算數-幾何平均值不等式知

故

即

且等號成立於

即

参见
平均数不等式
算术平均数
几何平均数
幂平均不等式
杨氏不等式

参考来源

匡继昌，《常用不等式》，山东科技出版社。
李胜宏，《平均不等式与柯西不等式》，华东师大出版社。
莫里斯·克莱因（Morris Kline），张理京 张锦炎 江泽涵 译，《古今数学思想》，上海科学技术出版社。
李兴怀，《学科奥林匹克丛书·高中数学》，广东教育出版社。

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平均数