闭形式和恰当形式

在数学，特别是向量分析与微分拓扑中，一个闭形式  是微分算子  的核，即 的微分形式；而恰当形式(恰当微分形式)  是微分算子  的像，即存在某个微分形式  使得 ， 称为关于  的一个“本原”。

因为 ，所以恰当形式一定是闭形式，但閉形式是否為恰當形式並不顯然。考虑一个闭形式是不是恰当的，可由不同的条件检测拓扑信息來得知。问一个 0-形式是否恰当没有意义，因为  将阶数提高 1，不过可以规定恰当 0-形式就是零函数。

当两个闭形式的差是一个恰当形式时，称它们为相互上同调的。这便是说，如果  与  是闭形式，且存在某个  使得

则我们说  与  是互相上同调的。恰当形式经常称为上同调于零。相互上同调的形式的集合组成了一个德拉姆上同调类中的一个元素；对这样的类作一般性研究称为上同调理论。

 与  上的微分形式已经为十九世纪的数学物理所熟知。在平面上，0-形式就是函数，2-形式是函数乘以基本面积元  ，故只有 1-形式

具有真正的意义，其外导数  是

这里下标表示偏导数。从而 “闭”的条件是

当  是一个函数时则

“恰当形式是闭形式”便是关于 x 与 y 二阶导数的对称性的一个推论，这可以直接推广到高维情形。

在上，恰当 1-形式相当于有势场（保守场），闭 1-形式相当于无旋场。故“恰当形式是闭形式”用向量分析的语言来说相当于有势场一定是无旋场。

庞加莱引理
庞加莱引理断言：如果  是  中可缩开子集，对任何整数 ，任何定义在  上的光滑闭 -形式  是恰当的（这只在  有内容）。

可缩意味着存在同伦映射  将  形变为一点。从而任何  中的闭链  都是某个“锥”的边缘；我们可以取锥为  在同伦下的像。这个性质的对偶版本给出了庞加莱引理。

更确切地，我们将  与柱  联系起来，分别通过映射 与与顶端和底面等价。在微分形式上，诱导拉回映射 与  由上链同伦联系：

令 表示  上的 -形式，映射是柱映射的对偶，定义为：

 

这里  是一个不含  的单项 -形式。所以如果是到一点的同伦形变，那么

在形式上：

将这两个等式代入上链同伦等式便证明了庞加莱引理。

这个引理的一个推论是德拉姆上同调是同伦不变量。庞加莱引理的本质是局部的，大范围的结果就是德拉姆定理。

不可缩空间不一定有平凡的德拉姆上同调。例如，在参数化圆周上，闭 1-形式不是恰当的（注意：不能定义为整个 上的函数，但是一个良定的闭形式）。这是因为恰当形式在圆周上积分为 0，但在圆周上积分是。

参考文献

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