非标准分析

非標準分析（），又可稱為實無限分析或超标准分析，是一個數學分析的一个分支，它用嚴格定義的无穷小量的概念來構建分析學。1973年，直觉主义者阿兰德·海廷称赞非标准分析是“重要数学研究的标准模型”。

歷史

實無限的概念源自G·W·萊布尼茲，將微積分中的dx, dy等符號視為實際存在的無窮小量，而dy/dx則是它們之間的比值，也就是無限小尺度下的斜率。在G·W·萊布尼茲的時代，實無限的概念雖然符合直覺，但是被批評為不夠嚴謹。

在德國數學家卡尔·魏尔斯特拉斯（1815-1897）創建極限的潛無窮概念，替代實無限作為微積分的基礎時，被學界認為是微積分的一大勝利，即能夠嚴謹地表示與證明。

1960年代初，德國數學家亞伯拉罕·魯濱遜提出非標準分析，重新回到G·W·萊布尼茲的實無限取徑，並以此建構出一個嚴謹的基礎。他寫道：

魯濱遜繼續說道：

有序域F中的非零元素稱為無窮小量，當且僅當其絕對值小於F中任何形如1/n的元素，其中n為F中的標準整數。一個擁有無窮小量的有序域稱為非阿基米德的。

更一般地說，無窮小分析是任何依賴於非標準模型和的數學。一個域如果滿足實數的傳達原理，則為超實數域，而實無限分析就是使用這些域作為實數的非標準模型。

魯濱遜的原始辦法正是基於這些非標準的實數域模型。他那1966出版的經典奠基作非標準分析，在今天仍有印行。

動機
至少有三個原因使人們考慮無窮小分析：

歷史上的原因
在牛頓和萊布尼茲發展無窮小演算法的最初階段，經常采取無窮小的數以及最終要消失的量等的表達方式。正如超實數中所提到的，這些提法曾遭到其它人的廣泛非議，其中最著名的是乔治·贝克莱主教所写书籍消失量之鬼中提到的悖論，而当时牛顿也无法解决该悖论。

用無窮小量來建立一個自洽的分析理論是一項挑戰，方法不只一種，而第一個令人滿意地完成此任務的人是亞伯拉罕·魯濱遜。

1958年，Curt Schmieden和Detlef Laugwitz發表了一篇文章Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung ，即“無窮小演算法的拓展”，其中提出了含無窮小量的環的一種構造，這個環是用一些實數序列構造出來的：如果兩個序列只在有限項不相等，則認為是等價的；算術運算是逐項定義的。然而，這樣構造的環含有零因子，因此不能構成一個域。

教學上的原因
一些教育工作者認為，比起以往用ε-δ語言的辦法來，用無窮小量更能使學生直觀容易地把握分析的概念。見的書。對某些結論而言，ε-δ語言多少有些笨拙，而無窮小量的方法有時能提供更容易的證明。例如，在非標準分析的框架下證明微分法的鏈式法則是較為簡單的。這樣的簡化大多源於非標準分析的簡單運算規則，即：

無窮小×有界量 = 無窮小
無窮小 +無窮小 = 無窮小

以及下面會提到的傳達原理。無窮小分析的批評者認為，這些簡化只是一種幻想，一種障眼法，使人看不見初等的ε-δ論證。他們爭論說，理解超實數的這些公理和構造不見比ε-δ式的論證來得容易。

無窮小分析在教學上的另一個應用是對隨機過程處理。他在他的專著《概率论的初级理论》（Radically Elementary Probability Theory）讨论了这个问题。。

技術上的原因
一些新近的工作中，特別是在統計學和數學物理中考查極限過程時，便使用了無窮小分析中的概念。Albeverio等討論了此法的一些應用。

無窮小分析的各種建立方法

無窮小分析有兩個非常不同的做法：語義學方法或稱模型論方法，以及句法學方法。兩個辦法都能應用於除分析外的其它數學領域，包括數論，代數，和拓撲。

語義學方法：魯濱遜最初做非標準分析的方法便屬於這一類。在他的論文中可見，此法的基礎是考察一個理論的各種模型（尤其是飽和模型）。自魯濱遜的工作以來，已由Elias Zakon發展出一套更簡明的語義學方法。他使用了一些稱為超結構的純集合論對象。在這種新方法裡，一個集合S上的超結構 V(S)取代了理論的各種模型。從V(S)出發構造出*V(S)時用到了超乘積的構造，以及V(S)到*V(S)的一個滿足傳達原理的映射。映射* 聯繫了V(S)和*V(S)的形式化性質。此外，可以考慮一種形式更簡單的飽和模型，即可數飽和模型。這種簡化的方法也更適合專業不在模型論或邏輯的數學家。

句法學方法：句法學方法對理解和使用邏輯和模型論的要求要低得多。此方法是在70年代中期由數學家愛德華尼爾森建立的。尼爾森用完全公理化的方式構建了非標準分析；他稱之為（簡稱IST）。 IST是策梅洛-弗蘭克爾集合論（含選擇公理，即ZFC）的延伸。其中除了元素間的基本二元關係外，還引入了新的一元謂詞，標準（standard）。

用合適的模型可以證明ZFC + IST相對於ZFC的相容性：若ZFC是相容的，則ZFC + IST也是相容的。實際上可以證明更強的命題：ZFC + IST是ZFC的一個保守擴展，也就是說任何經典公式（正確或不正確的！）只要可以在內含集合論中證明，則僅用策梅洛-弗蘭克爾的公理系統加上選擇公理就能證明。

使用句法學方法做非標準分析時，需要非常小心地應用集合構成原理（通常叫做概括公理，或分類公理模式）；數學家們常常想當然地認為此原理成立。但正如納爾遜指出，一個常見的推理謬誤正是在於非法構成集合。例如，在IST中不存在恰由所有標準整數構成的集合。為了避免非法構成集合，必須只使用ZFC中的謂詞來定義子集。

句法學方法的另一個例子是代替集合論，由引進。此理論試圖尋找一套比策梅洛-弗蘭克爾集合論更適合於非標準分析的公理系統。

注释

参见

中心話題：
 
 非標準微積分
 非標準測度論
 非標準泛函分析
 內含集合論
其它相關話題：
 各種超實數
 初等微積分
 超整數
 無窮小量
 超現實數
 非經典分析
 光滑無窮小量分析
 對非標準分析的批評
 非標準分析的影響

暫譯術語
傳達原理（transfer principle）
溢出法（overspill）
內含集合論（Internal Set Theory）
代替集合論（Alternative Set Theory）

參考資料

數學分析
模型論
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