超实数 (非标准分析)

超實數系統是為了嚴格處理無窮量（無窮大量和無窮小量）而提出的。自從微積分的發明以來，數學家、科學家和工程師等（包括牛頓和萊布尼茲在內）就一直廣泛地用無窮小量等概念。超實數集，或稱為非標準實數集，記爲，是實數集  的一個擴張；其中含有一種數，它們大於所有如下形式的數：
（有限個）

這可以解釋為無窮大；而它們的倒數就作為無窮小量。 滿足如下性質：任何關於  的一階命題如果成立，則對  也成立。這種性質稱為。舉例來說，實數集的加法交換律

是關於  的一階命題。因此以下命題同樣成立：

也就是說超實數集同樣滿足加法交換律。

無窮小量的概念是否嚴格呢？此問題可以追溯到古希臘數學：數學家們如歐幾里得、阿基米德等，為了在一些證明裡繞開無窮小量的爭議以保證嚴格性，而采用了窮竭法等其它說明方式。而亞伯拉罕·魯濱遜在1960年代證明了，

換句話說，如果對實數的使用没有懷疑，那也可以放心使用超實數。在處理數學分析的問題時對超實數、尤其是傳達原理的使用，通稱為非標準分析。

参考资料 

 

数
无穷