齐次函数

在數學中，齐次函数是一個有倍數性質的函數：如果变數乘以一個係數，則新函數會是原函數再乘上係數的某次方倍。

正式定义 
假设是域内的两个向量空间之间的函数。 

我们说是“次齐次函数”，如果对于所有非零的和，都有：

即是，在歐幾里得空間，，
其中為指數函數。

例子 

 线性函数是一次齐次函数，因为根据线性的定义，对于所有的和，都有：
 多线性函数是n次齐次函数，因为根据多线性的定义，对于所有的和都有：
 从上一个例子中可以看出，两个巴拿赫空间和之间的函数的阶弗雷歇导数是次齐次函数。
 元单项式定义了齐次函数。

例如：

是10次齐次函数，因为：
。

 齐次多项式是由同次数的单项式相加所组成的多项式。例如： 

是5次齐次多项式。齐次多项式可以用来定义齐次函数。

基本定理 

 欧拉定理：假设函数是可导的，且是次齐次函数。那么：
。

这个结果证明如下。记，并把以下等式两端对求导：

利用复合函数求导法则，可得：
，
因此：
。
以上的方程可以用劈形算符写为：
，
当，定理即得证。

 假设是可导的，且是阶齐次函数。则它的一阶偏导数是阶齐次函数。

这个结果可以用类似欧拉定理的方法来证明。记，并把以下等式两端对求导：

利用复合函数求导法则，可得：
，
因此：

所以
.

用于解微分方程 

对于以下的微分方程
 
其中和是同次数的齐次函数，利用变量代换，可以把它化为可分离变量的微分方程：
。

参考文献

外部链接 
 
 

線性代數
微分算子
各类函数
莱昂哈德·欧拉