柯西主值

在微積分中，柯西主值是為某類原來發散的反常積分指派特定數值的方式，為紀念數學家柯西而得此名。

第一類反常積分
第一類反常積分，稱為無窮積分，指積分區間的上限或下限為無窮的積分。

設函數  在  上連續且可積。可定義以下第一類反常積分：

，

其中  是區間上任意一點。

上式中兩個極限皆收斂，這反常積分才定義為收斂。若任意其一發散，則此積分發散。在這裡，兩個極限須分別處理，即兩者的收斂速度可能不同。但在柯西主值的理解下，可假設兩個極限的收斂速度相同，即：

 。

若在相同收斂速度下，兩者可以互相抵消，則該積分的柯西主值存在。舉例來說：

根據定義，若無窮積分收斂，則其柯西主值收斂，且二者相等。但無窮積分的柯西主值收斂，該積分未必收斂。

第二類反常積分
第二類反常積分，稱為瑕積分，指被積函數在積分區間中含有不連續點的積分。

設函數  在  上連續且可積，但在點  及  不連續。可定義以下第二類反常積分：

，

其中  是區間上任意一點。

設函數  在  及 上連續且可積，但在點  不連續。可定義以下第二類反常積分：

。

同樣地，上式中兩個極限皆收斂，這反常積分才定義為收斂。若任意其一發散，則此積分發散。在這裡，兩個極限的收斂速度可能不同。但在柯西主值的理解下，可假設兩個極限的收斂速度相同，即：

 ；
 。

若在相同收斂速度下，兩者可以互相抵消，則該積分的柯西主值存在。

根據定義，若瑕積分收斂，則其柯西主值收斂，且二者相等。但瑕積分的柯西主值收斂，該積分未必收斂。

對於區間上有多個不連續點的積分，可由類似方式定義廣義的柯西主值。

混合反常積分
有些時候，無窮積分和瑕積分能同時出現。設函數  在  及 上連續且可積，但在點  不連續。我們能用以下方式計算其柯西主值：

。

計算問題
在計算積分的柯西主值時，使用換元積分法可能會導致歧義。例如在計算  時，

但若使用換元  ，  ，

在上面的兩個結果中，第一個才是正確的。第二個計算方式中，由於使用換元取代時，兩個極限的收斂速度改變了。當兩者的改變不對稱時，就會得到不一樣的結果。要避免這樣的情形，我們應避免使用換元取代的方法求柯西主值。

名稱和記號
有些作者會把柯西主值直接叫作「主值」(principal value)。但這和多值函數的主值是沒有關係的。

不同作者會使用不同的記號表示積分的柯西主值。以下是常見的記號：

 、
 、
 。

參考文獻
 歐陽光中、朱學炎、陳傳璋 (2007)。《數學分析（下冊）》。第三版。高等教育出版社。ISBN 978-7-04-020743-9。
 Weisstein, Eric W. Improper Integral. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ImproperIntegral.html 
 Weisstein, Eric W. Cauchy Principal Value. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CauchyPrincipalValue.html 
 Dave Rusin's webpage. Cauchy Principal Value. The Department of Mathematics, the University of Texas. http://www.math.utexas.edu/users/rusin/408D-12b/CPV.pdf.

參見
 積分 
 極限
 反常積分

奥古斯丁-路易·柯西
数学分析
广义函数
積分
可和法