康托尔集

在数学中，康托尔集（）由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入（但由在1875年发现），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。

康托尔集的构造 
康托尔集是由不断去掉线段的中间三分之一的开集而得出。首先从区间中去掉中间的三分之一，留下两条线段：。然后，把这两条线段的中间三分之一都去掉，留下四条线段：。康托尔集就是由所有过程中没有被去掉的区间中的点组成。这个过程可以由递归的方法描述，首先令：

则第步递归得到的结果：

, 对于

所以：

  , 对于 .

下面的图显示了这个过程的最初六个步骤。

有些学术论文详细描述了康托尔集的明确公式。

参见 

 康托尔函数
 
 谢尔宾斯基地毯
 科赫雪花
 门格海绵

註釋

參考文獻

  (See example 29).
 Gary L. Wise and Eric B. Hall, Counterexamples in Probability and Real Analysis. Oxford University Press, New York 1993. ISBN 0-19-507068-2. (See chapter 1).
 cut-the-knot上的康托尔集 
 cut-the-knot上的康托尔集与函数

外部連結
 Cantor Sets  and Cantor Set and Function  at cut-the-knot

测度论
拓扑空间
分形