张量 (内蕴定义)

在数学中，处理张量理论的现代无分量（）方法首先将张量视为抽象对象，表示多重线性概念的某些特定类型。他们一些熟知的性质可由作为线性映射或更广泛地定义得出；而张量的操作导致了线性代数扩张为多重线性代数。

在微分几何中，一个内蕴的几何论断也许可以用一个流形上的张量场表示，这样完全不必使用参考坐标系。在广义相对论中同样如此，张量场描述了物理性质。无分量方法在抽象代数与同调代数中也很常用，在那里张量自然地出现了。

用向量空间的张量积定义
给定域上一个有限向量空间集合，我们可以考虑他们的张量积 。这个张量积中的一个元素称为一个张量（但这不是本文讨论的张量概念）。

向量空间上的张量定义成具有形式

的向量空间中的一个元素（即向量），这里 V* 是 V 的对偶空间。

如果在我们的积中有个与个，张量称为型，具有反变（contravariant）阶数与共变（covariant，也稱協變）阶数，总阶数为。零阶张量就是数量（域中的元素），1 阶反边张量是中的向量，1 阶共变张量是中的1-形式（因此，后两个空间经常称为反变向量与共变向量）。

型张量

 

自然同构于从到的线性变换空间。一个实向量空间的内积自然对应于张量 

 

称为相应的度量，一般记作。

其它记法
文献中通常不写出完整的张量积以表示型张量的空间，而使用缩写：

这个空间的另外一种记法是用从向量空间到向量空间的线性映射来表示。讓

表示所有从到的线性映射的集合，這會形成一個向量空間。因此，例如对偶空间（线性泛函的空间）可以写成

由 universal property 可知，(m,n)-张量有如下自然的同構(isomorphism)關係

在上面的公式中，和的角色互换了。特别地，我们有

与

以及

以下记法

通常用来表示从 V 到 W 的可逆线性变换的空间，但对于张量空间没有类似的记法。

张量场

微分几何、物理学和工程学必须经常要处理光滑流形上的张量场。术语“张量'”实际上有时用作张量场的简称。一个张量场表达了逐点变化的张量的概念。

張量在不同座標間的變換公式
对任何给定向量空間 我們有的一组基底，以及對應的對偶空間 以及和向量基底 對應的对偶基底 （也可用來表示）。上指标与下指标的区别提醒我们分量变换的方式以及向量跟餘向量(covector)或是向量跟餘向量的係數的分別。

例如，取空间

中的张量 ，在我们的坐标系下分量可写成

这里我们使用愛因斯坦求和約定，这是处理張量份量的一种常見約定：即当張量分量同時出現了一組上指标与下指标时，我们对這上下指標所有可能值求和，比如說：這符號，在這約定下即代表。也就是說在在愛因斯坦求和約定下我們有。在物理中我们经常使用表达式

來表示张量，就像向量经常写成分量形式，这可以视为一个数组。假設在另一坐标系中，有另一组基底，則對同一向量來說兩組基底對應的分量將會不同。如果 是兩基底間的变换矩阵（注意这不是一个张量，因为它表达一个基的变化而不是一个几何实体），也就是

，设  是的逆矩陣，對同一張量在新基底的張量分量設為，則兩者之間的變換公式為：

注意上面的第二個等式使用了愛因斯坦求和約定。
在旧教材中这个变换规律经常作为一个张量的定义。形式上，这意味这那个张量作为所有坐标变换组成的群的一个特定表示。

参考文献