椭圆积分

在积分学中，椭圆积分最初出现于椭圆的弧长有关的问题中。和欧拉是最早的研究者。现代数学将椭圆积分定义为可以表达为如下形式的任何函数 的积分

其中是其两个参数的有理函数，是一个无重根的或阶多项式，而是一个常数。

通常，椭圆积分不能用基本函数表达。这个一般规则的例外出现在有重根的时候，或者是,没有的奇数幂时。但是，通过适当的简化公式，每个椭圆积分可以变为只涉及有理函数和三个经典形式的积分。（也即，第一，第二，和第三类的椭圆积分）。

除下面给出的形式之外，椭圆积分也可以表达为勒让德形式和Carlson对称形式。通过对施瓦茨-克里斯托费尔映射的研究可以加深对椭圆积分理论的理解。历史上，椭圆函数是作为椭圆积分的逆函数被发现的，特别是这一个：其中是雅可比正弦椭圆函数。

记法
椭圆积分通常表述为不同变量的函数。这些变量完全等价（它们给出同样的椭圆积分），但是它们看起来很不相同。很多文献使用单一一种标准命名规则。在定义积分之前，先来检视一下这些变量的命名常规：

   模角;
  椭圆模;
  参数;

上述三种常规完全互相确定。规定其中一个和规定另外一个一样。椭圆积分也依赖于另一个变量，可以有如下几种不同的设定方法：

  幅度
  其中
 ，其中而是雅可比椭圆函数之一

规定其中一个决定另外两个。这样，它们可以互换地使用。注意也依赖于。其它包含的关系有

和

后者有时称为δ幅度并写作。有时文献也称之为补参数，补模或者补模角。这些在四分周期中有进一步的定义。

第一类不完全椭圆积分
第一类不完全椭圆积分 定义为

与此等价，用雅可比的形式，可以设
；则

其中，假定任何有竖直条出现的地方，紧跟竖直条的变量是（如上定义的）参数；而且，当反斜杠出现的时候，跟着出现的是模角。
在这个意义下，，这里的记法来自标准参考书Abramowitz and Stegun。

但是，还有许多不同的用于椭圆积分的记法。取值为椭圆积分的函数没有（像平方根，正弦和误差函数那样的）标准和唯一的名字。甚至关于该领域的文献也常常采用不同的记法。Gradstein, Ryzhik , .(8.111)]采用。该记法和这里的；以及下面的等价。

和上面的不同对应的是，如果从Mathematica语言翻译代码到Maple语言，必须将EllipticK函数的参数用它的平方根代替。反过来，如果从Maple翻到Mathematica，则参数应该用它的平方代替。Maple中的EllipticK()几乎和Mathematica中的EllipticK[]相等；至少当时是相等的。

注意

其中如上文所定义：由此可见，雅可比椭圆函数是椭圆积分的逆。

加法公式

性质

第一类不完全椭圆积分的导数

第二类不完全椭圆积分
第二类不完全椭圆积分 是

与此等价，采用另外一个记法（作变量替换），

其它关系包括

加法公式

性质

第二类不完全椭圆积分的导数

第三类不完全椭圆积分
第三类不完全椭圆积分是
 

或者

或者

数字称为特征数，可以取任意值，和其它参数独立。但是要注意对于任意是无穷的。

加法公式

第三类不完全椭圆积分的导数

特殊值

第一类完全椭圆积分

如果幅度为或者，则称椭圆积分为完全的。
第一类完全椭圆积分可以定義为

或者

它是第一类不完全椭圆积分的特例：

这个特例可以表达为幂级数

它等价于

其中表示双阶乘。利用高斯的超几何函数，第一类完全椭圆积分可以表达为

第一类完全椭圆积分有时称为四分周期。它可以利用算术几何平均值來快速计算。

复数值

特殊值

其中

第一类完全椭圆积分满足

导数

漸近表示

這個近似在k<1/2時相對誤差小於，若只保留前兩項則誤差在k<1/2時小於0.01

微分方程
此函數滿足以下微分方程

此微分方程之另一解為，此解滿足以下關係。
.

第二类完全椭圆积分

第二类完全椭圆积分 可以定义为

或者

它是第二类不完全椭圆积分的特殊情况：

它可以用幂级数表达

也就是

用高斯超几何函数表示的话，第二类完全椭圆积分可以写作

有如下性质

复数值

特殊值

其中

导数、積分及微分方程

此微分方程之另解為。

第三类完全椭圆积分

第三类完全椭圆积分可以定义为

注意有时第三类椭圆积分被定义为带相反符号的，也即

用阿佩尔函数可表示为

第三类完全椭圆积分和第一类椭圆积分之间的关系

如

偏导数

特殊值

函數關係

勒讓得關係指出了第一类和第二类完全椭圆积分之间的联系:

参看
 椭圆曲线
 施瓦茨-克里斯托费尔映射
 雅可比橢圓函數
 魏爾斯特拉斯橢圓函數
 Θ函數
 算术-几何平均数

参考
 Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4.  (See chapter 17).
 Harris Hancock Lectures on the theory of Elliptic functions (New York, J. Wiley & sons, 1910) 
 Alfred George Greenhill The applications of elliptic functions (New York, Macmillan, 1892)
 Louis V. King On The Direct Numerical Calculation Of Elliptic Functions And Integrals (Cambridge University Press, 1924)

椭圆函数
特殊超几何函数