有界函数

在数学中，如果在某个集合上定义的具有实数或复数值的某个函数的值域是有界集合，则函数被称为有界的（或有界函数）。换句话说，存在实数，使得对于集合中的所有，都有。有时，如果对于集合中的所有，都有，则函数称为上有界的，就是它的一个上界；如果对于集合中的所有，都有，则函数称为下有界的，就是它的一个下界。

一个特例是有界数列，其中是所有自然数所组成的集合。所以，一个数列
是有界的，如果存在一个数，使得对于所有的自然数，都有。

例子 
由所定义的函数是有界的。如果正弦函数是定义在所有复数的集合上，则不再是有界的。 
函数（不等于−1或1）是无界的。当越来越接近−1或1时，函数的值就变得越来越大。但是，如果把函数的定义域限制为，则函数就是有界的。

函数是有界的。

任何一个连续函数都是有界的。 
考虑这样一个函数：当是有理数时，函数的值是0，而当是无理数时，函数的值是1。这个函数是有界的。有界函数并不一定是连续的。

参见 
 有界集合
 支撑集
 一致有界

实分析
复分析
各类函数