施图姆定理

施图姆定理是一个用于决定多项式的不同实根的个数的方法。这个方法是以雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆命名的。

施图姆定理与代数基本定理的一个区别是，代数基本定理是关于多项式的实根或复根的个数，把重根也计算在内，而施图姆定理则只涉及实根，且不把重根计算在内。

标准施图姆序列
我们首先从以下不含重根的多项式构造一个施图姆序列：

 

标准施图姆序列是把多项式长除法应用于和它的导数时，所得到的中间结果的序列。

标准施图姆序列由以下公式计算：
 

也就是说，序列中每一项都是前两项相除所得的余数，并将其变号。由于当时，，因此这个序列最终要停止。最后一个多项式，，就是和它的导数的最大公因式。由于没有重根，因此是一个常数。于是，标准施图姆序列为：

表述
设为以下序列中符号变化的次数（零不计算在内）：

其中是不含重根的多项式。于是，施图姆定理说明，对于两个实数，开区间中的不同根的个数为。

应用
通过恰当选择，这个定理可以用来计算多项式的实根的总个数。例如，柯西发现的一个定理说明，系数为的多项式的所有实根都在区间内，其中：

除此以外，我们还可以利用下列事实：对于很大的正数，以下多项式的符号
 
是，而则是。 

用这种方法，仅仅计算施图姆序列中首项系数的符号变化，就可以得出多项式的不同实根的个数。

通过施图姆定理的帮助，我们还可以决定某个给定根（例如）是几重根。确实，假设我们知道在内，且。那么，是重根正好当是的重根时（这是因为它是和它的导数的最大公因式）。

一般的施图姆序列
 上的施图姆序列，是实系数多项式  的一个有限序列，使得：
在  上没有根

如果对于，那么
若对于 ,则存在,使得 时， 而  时 
我们可以验证每一个标准施图姆序列确实是如上定义的施图姆序列。

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參考資料
 D.G. Hook and P.R. McAree, "Using Sturm Sequences To Bracket Real Roots of Polynomial Equations" in Graphic Gems I (A. Glassner ed.), Academic Press, p. 416-422, 1990.

外部链接
 施图姆定理的C代码

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