離散正交轉換

數學上，任一的離散線性轉換皆可表示成矩陣（Matrix） 的型式：

再進一步假設，若矩陣 by正交基底 (Orthogonal basis) 列向量（Row vector） 所組成：

也可表示成級數和形式（Summation form）：

其中代表內積運算（Inner product）。

同理也可假設，若矩陣 by正交基底行向量（Column vector） 所組成：

也可表示成級數和：

假若時，則可得

離散正交轉換 

大致上，可簡單化將矩陣分類由（a）列向量（Row Vector）或（b）行向量（Column Vector）所組成。

正交矩陣by列向量： 

若

其中，和為一組列向量的正交集合且稱為一種離散正交轉換。

再者，若滿足。則和將組成一組列向量的正規化正交集合且稱為一種離散正規化正交轉換。

此時，我們可利用和來求得的反矩陣：

其中。再者，也可表示成級數和（Summation）形式：

若，即簡化成，

正交矩陣by行向量： 

若

其中，和為一組行向量的正交集合且也稱是一種離散正交轉換。

再者，若滿足。則和將組成一組行向量的正規化正交集合且稱為一種離散正規化正交轉換。

此時，我們再利用和來組成的反矩陣：

 

其中。再者，也可表示成級數和：

若，即簡化成，

例子 

離散傅里葉變換
離散餘弦變換、離散正弦變換、離散哈特利轉換
瓦希轉換、哈爾小波轉換
離散勒詹德轉換
離散正交多項式轉換

如：哈恩轉換、Krawtchouk多項式、Charlier多項式。

特性 

其列向量型式與行向量型式為一體兩面的情形：

順向轉換（Forward Transform）：列向量型式反向轉換（Inverse Transform）：行向量型式。
順向轉換（FT）：行向量型式反向轉換（IT）：列向量型式。

於正規化正交情況下：

若為行向量所組成的正規化正交矩陣，則它所對應的列向量形成的反矩陣必為正規化正交矩陣。
若為列向量所組成的正規化正交矩陣，則它所對應的行向量形成的反矩陣必為正規化正交矩陣。

優點 

彼此間的列向量（或行向量）不會互相產生干擾（Interference）。

在同一維度（dimension）下，DOT提供正交矩陣內的列向量（或行向量） 彼此間重要的正交特性，可藉由此避免其他使用者干擾進而來實現多工存取技術。

其本身的FT與對應的IT結構為相當類似。

此外，離散正交轉換較非正交轉換（Non-orthogonal Transform）計算上較為簡單。

將DOT應用於影像重建（Reconstruction） 或壓縮上，可藉由增加正交基底（Orthogonal basis）來控制誤差的產生，是採用非正交轉換所能及的。

應用於影像重建 

通常對於影像重建或壓縮上大都採用局部重建（Parital reconstruction）的機制，即：

(a) 正交情況下

因此，對於局部重建所產生的平方誤差（Sqaure error）：

從此結果可發現必定為正的，因此可藉由增加正交基底數來改善影像重建後的平方誤差值。

（b）非正交情況下

因此，對於局部重建所產生的平方誤差：

從此結果可發現不一定為正的，所以無法利用增加基底數來改善平方誤差。

參閱 

離散傅里葉變換
離散餘弦變換
離散正弦變換
哈爾小波轉換
正交矩陣

參考文獻 

Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2008.
http://fourier.eng.hmc.edu/e101/lectures/Image_Processing/node15.html . 
http://mathworld.wolfram.com/KrawtchoukPolynomial.html .

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