指數映射 (李群)

在微分幾何中，指數映射是微積分中定義的指數函數在任意黎曼流形上的推廣。李群上的指數映射是一類重要的情形。

定義
設  為微分流形， 為其上的仿射聯絡。給定任一點 。根據常微分方程的基本理論，存在切空間  中的開子集  及光滑映射 ，使得：
 
 對每個 ，映射  是測地線。
 承上，。

對夠小的 ，映射  是唯一的。定義點  的指數映射為
 

由於常微分方程解的存在性只是局部性的，指數映射一般不能定義在整個  上，在黎曼流形的情形，霍普夫-里諾定理給出了充要條件。此外，指數映射通常也不是滿映射，而是  的一個鄰域。黎曼流形上由指數映射給出的坐標系稱作測地法坐標。

从几何上看，指数映射exp(p,v)是把切丛中的一个切向量v，映射到以(p,v)为初始条件的测地线从点p量起弧长等于|v|的点。

李群的情形
設  為李群，取定左、右不變之仿射聯絡，可得在整個李代數上定義的指數映射 。這是聯繫李代數與李群的主要工具。李群的指數映射滿足下述性質：
 若 ，則 ；對一般情形，左式可由 Campbell-Baker-Hausdorff 公式給出。
  在群論的意義下生成 。
 設  為李群同態， 為它在單位元處的拉回作用，則我们有一交換圖

 重要的特例是  而 （伴隨作用），此時有

取 ，相應者便是尋常的指數函數 。取 ，相應者是恆等映射 。

事實上，對複李群及任何完備域上的解析李群都能定義指數映射。

文獻 
Manfredo P. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser (1992). ISBN 0-8176-3490-8. See Chapter 3.
Jeff Cheeger and David G. Ebin, Comparison Theorems in Riemannian Geometry, Elsevier (1975). 

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