拉普拉斯展开

在数学中，拉普拉斯展开（或称拉普拉斯公式）是一个关于行列式的展开式。将一个n×n矩阵B的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵B的某一行（或某一列）的n个元素的(n-1)×(n-1)余子式的和。行列式的拉普拉斯展开一般被简称为行列式按某一行（或按某一列）的展开。由于矩阵B有n行n列，它的拉普拉斯展开一共有2n种。拉普拉斯展开的推广称为拉普拉斯定理，是将一行的元素推广为关于k行的一切子式。它们的每一项和对应的代数余子式的乘积之和仍然是B的行列式。研究一些特定的展开可以减少对于矩阵B之行列式的计算，拉普拉斯公式也常用于一些抽象的推导中。

公式
设B = (bij)是一个n × n矩阵。B关于第i行第j列的余子式Mij是指B中去掉第i行第j列后得到的n−1阶子矩阵的行列式。有时可以简称为B的（i，j）余子式。B的（i，j）代数余子式：Cij是指B的（i，j）余子式Mij与(−1)i + j的乘积：Cij = (−1)i + j Mij

拉普拉斯展开最初由范德蒙德给出，为如下公式：对于任意i,j ∈ {1, 2, ...,n}：

例子
考虑以下的矩阵：
。
这个矩阵的行列式可以用沿着第一行的拉普拉斯展开式来计算：

。
也可以用沿着第二列的拉普拉斯展开式来计算：

。
很容易看到这个结果是正确的：这个矩阵是奇异的，因为它的第一列和第三列的和与第二列成比例，因此它的行列式是零。

证明
设B是一个n × n的矩阵，。为了明确起见，将的系数记为，其中1 ≤ s,t ≤ n − 1.

考虑B的行列式|B|中的每个含有的项，它的形式为： 

 

其中的置换τ ∈ Sn使得τ(i) = j，而σ ∈ Sn-1是唯一的将除了i以外的其他元素都映射到与τ相同的像上去的置换。显然，每个τ都对应着唯一的σ，每一个σ也对应着唯一的τ。因此我们创建了Sn − 1与{τ ∈ Sn : τ(i) = j}之间的一个双射。置换τ可以经过如下方式从σ得到：

定义σ' ∈ Sn使得对于1 ≤ k ≤ n − 1，σ'(k) = σ(k)并且σ'(n) = n，于是sgn σ' = sgn σ。然后

 。

由于两个轮换分别可以被写成n − i和n − j个对换，因此

 。

因此映射σ ↔ τ是双射。由此，
{|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|}
从而拉普拉斯展开成立。

拉普拉斯定理
拉普拉斯在1772年的论文中给出了行列式展开的一般形式，现在称为拉普拉斯定理。拉普拉斯定理建立在子式和余子式的基础上，说明了如果将B关于某k行的每一个子式和对应的代数余子式的乘积加起来，那么得到的仍然是B的行列式。定理的证明与按一行（一列）展开的情况一样，都是通过建立置换间的双射来证明两者相等。

参考来源
拉普拉斯定理
线性代数发展史
行列式的展开定理
戴立辉，线性代数，同济大学出版社，2007.

皮埃尔-西蒙·拉普拉斯
矩阵论
数学公式
行列式

de:Determinante#Laplacescher Entwicklungssatz