指标的上升和下降

在数学与数学物理中，给定流形 M 上一个张量，若在 M 已有一个非退化形式（比如黎曼度量或闵可夫斯基度量），我们可将指标上升或下降：将一个  张量变成一个  张量（上升）或一个  张量（下降）。 这里记号  用于表示张量的秩 ，有  个上指标和  个下指标。

可以这样做：将张量乘以共变或反变度量张量，然后做缩并。下文在对重复指标  求和时使用爱因斯坦记号。

乘以反变度量张量（然后缩并）上升指标：

而乘以共变度量张量（然后缩并）下降指标：

对同一个指标先上升然后下降（或顺序相反）得到原来的张量，这反应了共变度量张量与反变度量张量互逆：

这里 N 是流形的维数。注意下降一个指标不要求形式非奇异，但相反的过程需要非奇异条件。

广义相对论中的例子 
闵可夫斯基空间具有度量张量

共变电磁张量由下式给出

 
注意：一些教材，比如 Griffiths，可能有一个因子 -1。这是因为他们使用了度量张量与此处差一个符号，参见度量符号。老教材比如 Jackson 2ed 没有因子 c；他们使用高斯单位，这里使用国际单位制。

为了得到共变张量 ，我们用

注意因为  是对角的，上式中许多项其实没有：

对指标 1、2、3 使用拉丁字母：

因为度量张量中的因子都是 -1。

类似

将它们放在一起，我们得到：

参考文献

相关条目 
 爱因斯坦记号
 度量张量
 音乐同构

张量