伴随矩阵

在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵（）是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。

的伴随矩阵记作，或。

定义 

设R是一个交换环，A是一个以R中元素为系数的n×n的矩阵。A的伴随矩阵可按如下步骤定义：
 定义：A关于第i行第j列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(n − 1)×(n − 1)矩阵的行列式。
 定义：A关于第i行第j列的代数余子式是：
。
 定义：A的余子矩阵是一个n×n的矩阵C，使得其第i行第j列的元素是A关于第i 行第j 列的代数余子式。

引入以上的概念后，可以定义：矩阵A的伴随矩阵是A的余子矩阵的转置矩阵：

，

也就是说，A的伴随矩阵是一个n×n的矩阵（记作adj(A)），使得其第i 行第j 列的元素是A关于第j行第i列的代数余子式。
简言之，伴随矩阵就是把原来余子矩阵C每一列的代数余子式横着写：
。

例子

2x2矩阵

一个矩阵的伴随矩阵是

3x3矩阵

对于的矩阵，情况稍微复杂一点：
 
其伴随矩阵是：

其中
 

要注意伴随矩阵是餘因子矩陣的转置，因此第3行第2列的系数是A关于第2行第3列的代数余子式。

具体情况

对于数值矩阵，
例如求矩阵  的伴随矩阵，

只需将数值代入上节得到的表达式中。

即：。

其中，為刪掉矩陣  的第 i 橫列與第 j 縱行後得到的行列式，為矩陣  的餘因子。

例如：中第3行第2列的元素为

依照其順序一一計算，便可得到计算后的结果是：

应用
作为拉普拉斯公式的推论，关于n×n矩阵A的行列式，有：

其中I是n阶的单位矩阵。事实上，A adj(A)的第i行第i列的系数是
。根据拉普拉斯公式，等于A的行列式。

如果i ≠ j，那么A adj(A)的第i行第j列的系数是
。拉普拉斯公式说明这个和等于0（实际上相当于把A的第j行元素换成第i行元素后求行列式。由于有两行相同，行列式为0）。

由这个公式可以推出一个重要结论：交换环R上的矩阵A可逆当且仅当其行列式在环R中可逆。

这是因为如果A可逆，那么
，

如果det(A)是环中的可逆元那么公式（*）表明

性质
对的矩阵A和B，有：
，
，
，
，

当n>=2时，
如果A可逆，那么
如果A是对称矩阵，那么其伴随矩阵也是对称矩阵；如果A是反对称矩阵，那么当n为偶数时，A的伴随矩阵也是反对称矩阵，n为奇数时则是对称矩阵。
如果A是（半）正定矩阵，那么其伴随矩阵也是（半）正定矩阵。
如果矩阵A和B相似，那么和也相似。
如果n>2，那么非零矩阵A是正交矩阵当且仅当

伴随矩阵的秩
当矩阵A可逆时，它的伴随矩阵也可逆，因此两者的秩一样，都是n。当矩阵A不可逆时，A的伴随矩阵的秩通常并不与A相同。当A的秩为n-1时，其伴随矩阵的秩为1，当A的秩小于n-1时，其伴随矩阵为零矩阵。

伴随矩阵的特征值
设矩阵A在复域中的特征值为(即为特征多项式的n个根），则A的伴随矩阵的特征值为
。

这里要用到一个结论作为引理：一个n阶矩阵的n个特征值的和等于它的迹数，它们的乘积等于矩阵的行列式。

分3种情况讨论：
如果A的秩为n，即是说A可逆，那么由引理有：。只需证明A的伴随矩阵的特征值为。考察矩阵：

 
 

由于，因此
 
 

因此
 
 
 
 

可以看到的特征多项式为，因此命题成立。 

如果A的秩严格小于n-1，即是说A至少有两个特征值为0，于是

全部都是0。这时A的伴随矩阵为0，因此特征值也全是0。命题成立。 

如果A的秩等于n-1，即是说A至少有一个特征值为0，不妨设其为。由于这时A的伴随矩阵秩为1，它至少有n-1个特征值为0。设剩余的一个为，则其迹数为。另一方面，A的伴随矩阵的迹数为
 
这个和恰好等于，即等于（其余都是0）。

综上所述，对任意的矩阵A，命题都成立。

伴随矩阵和特征多项式

设  为的特征多项式，定义，那么： 

,

其中是的各项系数：
。

伴随矩阵也出现在行列式的导数形式中。

参见
 逆矩阵
 可逆元
 余子矩阵
 行列式

参考来源

外部链接
 矩阵论参考手册 (英文)

线性代数
矩阵