张量代数

在数学中，一个向量空间的张量代数（），记作，是上的（任意阶）张量的代数，其乘法为张量积。张量代数左伴随于从代数到向量空间的遗忘函子，在这种意义下它是上的自由代数；在相应的泛性质的意义下，它是包含的“最一般的代数”（见下）。 

张量代数也具有余代数结构。

注：本文中所有代数都假设是有单位的且结合。

构造
设是域上一个向量空间。对任何非负整数，我们定以的次张量积为与自己的次张量积：

。

这便是讲，由上所有秩张量组成。习惯上是基域（作为自己的一维向量空间）。

令为所有（）的直和：

。

中的乘法由典范同构确定：

由张量积给出，然后线性扩张到所有。此乘法表明张量代数自然是一个分次代数，作为次子空间。

此构造可径直推广到任意交换环上的模上。如果是一个非交换环，我们仍然可以对任意- 双模执行这样的构造。（对通常的-模不行，因为没有迭代张量积。）

伴随与泛性质
张量代数也成为向量空间上的自由代数，并具有函子性。像其它自由构造一样，函子左伴随于某个遗忘函子，该函子将每个-代数送到它的底向量空间。

准确地说，张量代数满足如下的泛性质，正式地表明它是包含的最一般的代数：
任何从到上的一个代数的线性变换可以惟一地扩张为从到的一个代数同态，如下交换图表所示：

这里是到的典范包含（伴随的单位）。事实上可以定义张量代数为满足这个性质惟一的代数（确切地说，在惟一的一个同构意义下），但仍然要证明满足这个性质的对象存在。

如上泛性质说明张量代数的构造有自然的函子性。就是讲，是从-Vect，上向量空间范畴，到-Alg，-代数范畴，的一个函子。的函子性意味着任何从V到W的线性映射惟一地扩张为从到的代数同态。

非交换多项式
如果为有限维，张量代数的另一个看法是“ 上个非交换变量的多项式代数”。如果我们取的基向量，它们成为中的非交换变量（或不定元），彼此间没有任何约束（除了结合律，分配律以及K-线性）。

注意上的多项式代数不是，而是：上一个（齐次）线性函数是中的一个元素。

商

因为张量代数的一般性，许多其它有趣的代数可以由张量代数开始构造，然后在生成元上施以一定的关系，即构造一定的商代数。这样的例子譬如外代数、对称代数、克利福德代数以及泛包络代数。

余代数结构
张量代数上的余代数结构如下。余积定义为

线性扩张到整个。余单位由的0-次分量。注意到保持分次：

而也与分次相容。

张量代数在这个余积下不是双代数。但下述更复杂的余积确实得到一个余代数：

这里求和取遍所有(p,m-p)-牌序。最后，对极映射为：

线性扩张到整个，这样张量代数成为一个霍普夫代数。

参见

幺半范畴
Stanisław Lem's Love and Tensor Algebra

参考文献
 
 Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician(2nd ed.). GTM5. Spinger, 1998

代数
多重线性代数