模糊集

模糊集是模糊数学上的一个基本概念，是数学上普通集合的扩展。

定义 
给定一个论域 ，那么从到单位区间的一个映射称为上的一个模糊集，或的一个模糊子集。

表示
模糊集可以记为。映射（函数）或简记为叫做模糊集的隶属函数。对于每个， 叫做元素对模糊集的隶属度。

模糊集的常用表示法有下述几种：
 解析法，也即给出隶属函数的具体表达式。
 Zadeh记法，例如。分母是论域中的元素，分子是该元素对应的隶属度。有时候，若隶属度为0，该项可以忽略不写。
 序偶法，例如，序偶对的前者是论域中的元素，后者是该元素对应的隶属度。
 向量法，在有限论域的场合，给论域中元素规定一个表达的顺序，那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式，如。

和传统集合的关系 
和傳統的集合一樣，模糊集也有它的元素，但可以談論每個元素屬於該模糊集的程度，其從低至高一般用 0 到 1 之間的數來表示。模糊集理論是由盧菲特·澤德（1965）所引進的，是經典集合論的一種推廣。在經典的集合論中，所謂的二分條件規定每個元素只能屬於或不屬於某個集合（因此模糊集不是集合）；可以說，每個元素對每個集合的歸屬性（membership）都只能是 0 或 1。而每模糊集則擁有一個歸屬函數（membership function），其值允許取閉區間（單位區間）中的任何實數，用來表示元素對該集的歸屬程度。比如設某模糊集的歸屬函數為 ，而、、為三個元素；如果，，，則可以說 「完全屬於」，「完全不屬於」，「對的歸屬度為」（注意没有說「有一半屬於」，因為尚未規定的歸屬度具有甚麼特殊含義）。作為特例，當歸屬函數的值只能取 0 或 1 時，就得到了傳統集合論常用的指示函数（indicator function）。傳統集合在模糊集理論中通常稱作「明確集」（crisp set）。

截集与截积 
设 为 上的模糊集（记作 ），任取 ，则
 ，

称为的截集，而称为阈值或置信水平。将上式中的替换为，记为，称为强截集。

截集和强截集都是经典集合。此外，显然为的核，即；如果，则称为正规模糊集，否则称为非正规模糊集。

截积是数与模糊集的积：

设，，则，与的截积（或称为截集的数乘，记为）定义为：

 

根据定义，截积仍是上的模糊集合。

分解定理与表现定理 

分解定理：

设，则
 

即任一模糊集都可以表达为一族简单模糊集的并。也即，一个模糊集可以由其自身分解出的集合套而“拼成”。

表现定理：

设为上的任何一个集合套，则
 

是上的一个模糊集，且，有

（1）

（2）

即任一集合套都能拼成一个模糊集。

模糊度 
一个模糊集的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度，一个直观的定义是这样的：

设映射满足下述5条性质：
 清晰性：当且仅当。（经典集的模糊度恒为0。）
 模糊性：当且仅当有。（隶属度都为0.5的模糊集最模糊。）
 单调性：，若，或者，则。
 对称性：，有。（补集的模糊度相等。）
 可加性：。

则称是定义在上的模糊度函数，而为模糊集的模糊度。

可以证明符合上述定义的模糊度是存在的，一个常用的公式（分别针对有限和无限论域）就是其中是参数，称为 Minkowski 模糊度。特别地，当的时候称为 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指标，当的时候称为 Euclid 模糊度。

模糊測度(Fuzzy measures)
是輿集的一種。

用函數定義，包含下列3項特性稱為模糊測度:

①

---函數代0值，表示沒有值為空值，用數學0來表示。函數代表示輿集全部帶進去了塞滿了，用1表示塞滿。

②若和, 則.

---是屬於的一部分，在裡面也可能跟一樣大，則

③If ∈, ⊆⊆…,then 

---當屬於同時包含於，則將代入函數趨小所得的值等同於先趨小再代入函數所求得的值。

模糊量測(measures of fuzziness)

模糊集的运算

各种算子 
 Zadeh 算子，即为并，即为交

 代数算子（概率和、代数积）

 有界算子

 Einstein 算子

 Hamacher 算子，其中是参数，等于1时转化为代数算子，等于2时转化为 Einstein 算子

 Yager 算子，其中是参数，等于1时转化为有界算子，趋于无穷时转化为 Zadeh 算子

算子，其中是参数

 Dobois-Prade 算子，其中是参数

算子的性质 

参见集合代数和布尔代数。

主要算子的性质对比表如下（.表示不满足，-表示未验证）：

线性补偿是指：

模糊集之间的距离

使用度量理论 
可以使用一般的度量理论来描述模糊集之间的距离。在这个意义上，我们需要在模糊幂集上建立一个度量，此外，我们还可能需要将此度量标准化，也即映射到区间上。例如可以这样来标准化 Minkowski 距离：

贴近度 

另一种是使用贴近度概念。在某种意义上，贴近度就是 1 - 距离（这里的距离是上述标准化意义上的距离）。而之所以应用这个变换，是考虑到“度”的概念的直觉反映——距离越近，贴近的程度显然越“高”，因此它恰为距离的反数。

除了距离外，还有一些与模糊集的特殊操作有关系的贴近度定义。

 最大最小贴近度
 

 算术平均最小贴近度
 

 几何平均最小贴近度
 

 指数贴近度

參見 
 粗集合
 解模糊

參考文獻 

集合論系統
模糊邏輯

de:Fuzzylogik#Unscharfe Mengen