第二基本形式

微分几何中，第二基本形式（）是三维欧几里得空间中一个光滑曲面的切丛上一个二次形式，通常记作 II。与第一基本形式一起，他们可定义曲面的外部不变量，主曲率。更一般地，若在黎曼流形中或洛伦兹流形中，的一个光滑超曲面上，选取了一个光滑单位法向量场，则可定义这样一个二形式。

R3 中曲面

引论 
R3 中一个参数曲面 S 的第二基本形式由高斯引入。最先假设曲面是两次连续可微函数的像，z = f(x,y)，且平面 z = 0 与曲面在原点相切。则 f 以及关于 x 和 y 的偏导数在 (0,0) 皆为零。从而 f 在 (0,0) 处的泰勒展开以二次项开始：

 ，

记 , 则在 (x, y) 坐标中原点处的第二基本形式是二次型：

 

对 参数曲面S 上一个光滑点 p，总可以选取坐标系使得坐标的 z-平面与 S 切于 p，然后可以相同的方式定义第二基本形式。

经典记号

一个一般参数曲面的第二基本形式定义如下。设 r=r(u,v) 是 R3 中一个正则参数曲面，这里 r 是两个变量的光滑向量值函数。通常记 r 关于 u 和 v 的偏导数为 ru 与 rv。参数化的正则性意味着 ru 与 rv 对 r 的定义域中任何 (u,v) 是线性无关的。等价地，叉积 ru × rv 是曲面的一个非零法向量。参数化这样就定义了一个单位法向量场 n(u,v)：

第二基本形式通常写成

 

在基 {ru, rv} 下的矩阵是

在参数化 uv-平面上一个给定点处系数 L, M, N 由 r 在那个点的二次偏导数到 S 的法线上投影给出，利用点积可计算如下：

现代记法
一个通常曲面 S 的第二基本形式定义如下：设 r=r(u1,u2) 是 R3 中一个正则参数曲面，这里 r 是两个变量的光滑向量值函数。通常记 r 关于 uα 的偏导数为 rα，α = 1，2。参数化的正则性意味着 r1 与 r2 在 r 的定义域上是线性无关的，从而在每一点张成 S 的切空间。等价地，叉积 r1 × r2 是曲面的一个非零法向量。这样参数化定义了一个单位法向量场 n： 

第二基本形式通常写作

上式使用了爱因斯坦求和约定。

在参数 (u1, u2)-曲面给定点处系数 bαβ 由 r 的二次偏导数到 S 的法线的投影给出，利用点积可写成：

黎曼流形中的超曲面 

在欧几里得空间中，第二基本形式由

给出，这里  是高斯映射，而  是  的微分视为一个向量值微分形式，括号表示欧几里得空间的度量张量。

更一般地，在一个黎曼流形上，第二基本形式是描述一个超曲面形算子（记作 S）的等价方法，

这里  表示周围空间的共变导数，n 超曲面上一个法向量场。如果仿射联络是无挠的，则第二基本形式是对称的。

第二基本形式的符号取决于 n 的方向的选取。（这称为曲面的余定向，对欧几里得空间中的曲面，等价于给定曲面的一个定向）。

推广为任意餘维数 

第二基本形式可以推广到任意餘維數。在这种情形下，它是切空间上取值于法丛的一个二次型，可以定义为

这里  表示共变导数  到法丛的正交投影。

在欧几里得空间中，子流形的曲率张量可以描述为下列公式：

这叫做高斯方程，可以视为高斯绝妙定理的推广。在一个标准正交基中第二基本形式的本征值，是曲面的主曲率。一组正交规范本征向量称为主方向。

对一般的黎曼流形必须添加周围空间的曲率；如果 N 是嵌入黎曼流形 (M,g) 中一个流形，则 N 在诱导度量下的曲率张量  可以用第二基本形式与 M 的曲率张量  表示出来：

相关条目
第一基本形式
高斯曲率
高斯-科达齐方程

参考文献

外部链接
 关于第二基本形式的几何的一篇博士论文，作者为 Steven Verpoort: https://lirias.kuleuven.be/bitstream/1979/1779/2/hierrrissiedan!.pdf 

微分几何
曲面的微分几何
黎曼几何
曲率