霍赫希尔德同调

数学中，霍赫希尔德同调（）是环上结合代数的同调论。对某些函子也有一个霍赫希尔德同调。这是以德国数学家（Gerhard Hochschild）冠名的。

代数的霍赫希尔德同调之定义
设 k 是一个环，A 是一个结合 k-代数，M 是一个 A-双模。我们记 A⊗n  为 A 在 k 上的 n 重张量积。给出霍赫希尔德同调的链复形是

  

边缘算子 di 定义为

这里对所有 1 ≤ i ≤ n，ai 属于 A，而 m ∈ M。如果我们令

 

则 b ° b = 0，所以 (Cn(A,M), b) 是一个链复形，叫做霍赫希尔德复形，它的同调是 A 系数取 M 的霍赫希尔德同调。

注释
映射 di 是使模 Cn(A,M) 成为 k-模范畴中的单纯对象的面映射（），也就是一个函子 Δo → k-mod，这里 Δ 是单纯范畴（）而 k-mod 是 k-模范畴。这里 Δo 是 Δ 的反范畴。退化映射（）由 si(a0 ⊗ ··· ⊗ an) = a0 ⊗ ··· ai ⊗ 1 ⊗ ai+1 ⊗ ··· ⊗ an 定义。霍赫希尔德同调是这个单纯模的同调。

函子的霍赫希尔德同调
单纯圆周 S1 是有限带基点集合范畴 Fin* 中一个单纯对象，即一个函子 Δo → Fin*。从而，如果 F 是一个函子 F: Fin → k-mod，通过将 F 与  S1 复合，我们得到一个单纯模

这个单纯模的同调是函子 F 的霍赫希尔德同调。如上交换代数的霍赫希尔德同调是当 F 是 Loday 函子的特例。

Loday 函子
有限带基点集合范畴的一个骨架由对象

给出，这里 0 是基点，而态射是保持基点的态射。令 A 是一个交换 k-代数，M 是一个对称 A-双模。Loday 函子 L(A,M) 作用在 Fin* 中的对象由

给出。态射

 

送到态射 f*

 

这里

而 bj = 1 如果 f −1(j) = ∅。

代数的霍赫希尔德同调之另一描述
一个交换代数 A 的系数取一个对称 A-双模 M 的霍赫希尔德同调是与复合

相伴的同调，这个定义与上面的定义相同。

参考文献
Jean-Louis Loday, Cyclic Homology, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Vol. 301, Springer (1998) ISBN 3-540-63074-0
Richard S. Pierce, Associative Algebras, Graduate Texts in Mathematics (88), Springer, 1982.
Teimuraz Pirashvili, Hodge decomposition for higher order Hochschild homology

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