布朗常数

1919年，挪威数学家瑋哥·布朗（Viggo Brun）证明了所有孪生素数的倒数之和收敛于一个数学常数，称为布朗常数（Brun's constant），记为B2 。他的證明也對篩法的發展造成歷史性的影響。

數學描述 
B2 的形式如下：

以上收斂的結論，稱為布朗定理。而所有素数的倒数之和则是发散的。假如以上的级数发散，则我们立刻就可以证明孪生素数猜想。但由于它收敛，我们就不知道是否有无穷多个孪生素数（若孪生素数之平方根的倒數和發散，則亦可知其為無限多）。类似地，如果证明了布朗常数是无理数，也立刻就可以证明孪生素数猜想。但如果它是有理数，则仍然无法知道孪生素数是不是无限的。

我们知道1.9 < B2，但不知道是否能大于2。

數值估計 
這數列收斂極慢，Thomas Nicely指出，即使在最初的十億項彼此相加後，其相對誤差值依舊超過5%。

Thomas R. Nicely把孪生素数算到1014，估计布朗常数大约为1.902160578，Nicely在這過程中也發現了奔騰浮點除錯誤；之後Nicely在2010年1月18日將估計延展到大小約為1.6的孿生質數上，但這還不是截至目前為止最大的計算。

目前最精确的估计是Pascal Sebah和Patrick Demichel在2002年发现的，他们把孪生素数算到了1016：

 B2 ≈ 1.902160583104.

截至目前為止，對於布朗常數的估計如下：

最後一項是根據小於的孿生質數和1.830484424658...的外推而來。Dominic Klyve在一篇未發表的論文證明說在廣義黎曼猜想成立的狀況下，B2 < 2.1754；而在不假定任何條件的狀況下，B2 < 2.347。

除此以外，还有一个四胞胎素数的布朗常数，它是所有的四胞胎素数的倒数之和，记为B4：

它的值为

B4 =0.87058 83800 ± 0.00000 00005。根據Nicely的說法，其誤差範圍的置信區間為99%。

這常數不該跟也記做B4、對於形如的質數對倒數和的表兄弟質數的布朗常數搞混，倭爾夫（Wolf）估計說形如的質數對的倒數和大約為。

延伸結果 
設為孿生質數常數，則有猜想認為

特別地，對於任意充分大的以及任意的，有

對於特殊情況，目前已有證明；在近期，Jie Wu正明說對於任意充分大的而言，有

其中4.5的部分相當於上述的。

數學之外 
Thomas Nicely在研究布朗常數時曾使用包括66 MHz Intel Pentium處理器的電腦對布朗常數進行計算，但用包括66 MHz Intel Pentium處理器的電腦處理長除法時一直出錯 。他用一個數字去除以824,633,702,441時，答案一直是錯誤的，而這使得奔騰浮點除錯誤受到揭發，並進而造成Intel的公關災難。

另外Google曾使用三個數學常數作為交易金額，而其中一個常數是布朗常數。Google曾在北電網路的專利交易中出價1,902,160,540美元，而1.9021605...是布朗常數的約略值。

参见 
孪生素数
 孪生素数猜想
埃拉托斯特尼筛法
素数判定法则
Meissel-Mertens常数
奔騰浮點除錯誤─Thomas Nicely在研究布朗常數時發現的技術錯誤。

参考文献 
 Finch, S. R. "Brun's Constant." §2.14 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 133-135, 2003. 
 Segal, B. "Généralisation du théorème de Brun." Dokl. Akad. Nauk SSSR, 501-507, 1930.

外部链接 

 布朗常数的计算
 
 

解析数论
数学常数