艾森斯坦整数

艾森斯坦整数是具有以下形式的复数：

其中a和b是整数，且

是三次单位根。艾森斯坦整数在复平面上形成了一个三角形点阵。高斯整数则形成了一个正方形点阵。

性质

艾森斯坦整数在代数数域中形成了一个代数数的交换环。每一个z = a + bω都是首一多项式

的根。特别地，ω满足以下方程：

因此，艾森斯坦整数是代数数。

艾森斯坦整数的范数是它的绝对值的平方，由以下的公式给出：

因此它总是整数。由于：
 
因此非零艾森斯坦整数的范数总是正数。

艾森斯坦整数环中的可逆元群，是复平面中六次单位根所组成的循环群。它们是：
{±1, ±ω, ±ω2}
它们是范数为一的艾森斯坦整数。

艾森斯坦素数

设x和y是艾森斯坦整数，如果存在某个艾森斯坦整数z，使得y = z x，则我们说x能整除y。

它是整数的整除概念的延伸。因此我们也可以延伸素数的概念：一个非可逆元的艾森斯坦整数x是艾森斯坦素数，如果它唯一的因子是ux的形式，其中u是六次单位根的任何一个。

我们可以证明，任何一个被3除余1的素数都具有形式x2−xy+y2，因此可以分解为(x+ωy)(x+ω2y)。因为这样，它在艾森斯坦整数中不是素数。被3除余2的素数则不能分解为这种形式，因此它们也是艾森斯坦素数。

任何一个艾森斯坦整数a + bω，只要范数a2−ab+b2为素数，那么就是一个艾森斯坦素数。实际上，任何一个艾森斯坦整数要么就是这种形式，要么就是一个可逆元和一个被3除余2的素数的乘积。

欧几里德域

艾森斯坦整数环形成了一个欧几里德域，其范数N由以下的公式给出：

这是因为：

参见
 高斯整数

参考文献
Bachmann, P. Allgemeine Arithmetik der Zahlkörper. p. 142. 
Cox, D. A. §4A in Primes of the Form x2+ny2: Fermat, Class Field Theory and Complex Multiplication. New York: Wiley, 1989. 
Guy, R. K. "Gaussian Primes. Eisenstein-Jacobi Primes." §A16 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 33-36, 1994. 
Wagon, S. "Eisenstein Primes." §9.8 in Mathematica in Action. New York: W. H. Freeman, pp. 319-323, 1991.

外部链接
 MathWorld 

代数数

复数
分圆域