1 + 2 + 3 + 4 + …

無窮級數中1 + 2 + 3 + 4 + …為所有自然数的和，是一个发散级数，其數學式也寫作  

此級數前 n 项的部分和即是三角形數：

尽管這個级数的和第一眼看起来不会有任何有意义的值，透過與拉馬努金求和等方法可產生一有限值 ，表示為：

此結果在复分析、量子力学及弦理论等領域中有所应用。

部分和公式的证明 

自然数從 1 加到 n 的和是  能用许多方法证明。首先令

我们将这些项重排反着写：

将两者相加，对应项相加，我们得到

ζ函数的求和与解析连续性 

当 s 的实部大于 1，s 次方的黎曼ζ函数等于求和 。当 s 的实部小于或等于 1 时和式发散，但当 s = −1 时 由 ζ(s) 的解析延拓给出 ζ(−1) 为 。

1 + 2 + 3 + 4 + … 的和不存在，但拉马努金另外給其定義，其拉马努金和為 。

物理 
在玻色弦理論中，我们想算出一个弦的可能的能量级，特别是最低能量级。非正式地说，每一个弦的谐波可以视为一组  无关量子谐振子，这里  是时空的维数。如果基本振子频率是  则一个振子对  级谐波的贡献是 。所以利用发散级数我们发现在所有谐波上求和是 。最后这确实是正确的，与一起，导致波色弦理论在维数不为 26 时是不一致的。

一个类似的计算是计算卡西米尔力。

历史 
在拉马努金写给戈弗雷·哈羅德·哈代的第二封信中（日期为1913年2月27日）：
“亲爱的先生，我很感激地读到你1913年2月8日的信。我等待您的答复，类似于一个伦敦的数学教授写信要我仔细研究的“无穷级数”而不要陷入发散级数的陷阱。……我告诉他，在我的理论中一个无穷数列 。如果我告诉你这个，你肯定会劝我进精神病收容院。我向你细说此事只是使你相信，如果我暗示我只在一封信中所写的行数，你不可能找出我证明的方法。」

注释

引用

延伸阅读 
 
  See pp. 65–6 on the Casimir effect.
  See p. 293.

外部链接 
 数学物理每周发现（124周），（126周），（147周）
 欧拉对 1 + 2 + 3 + · · · = −1⁄12 的证明
 所有自然数的和等于负十二分之一视频

发散级数
级数