舒尔不等式

舒尔不等式说明，对于所有的非负实数x、y、z和正数t，都有：

当且仅当x = y = z，或其中两个数相等而另外一个为零时，等号“=”成立。当t是正的偶数时，不等式对所有的实数x、y和z都成立。

证明 
由于不等式是对称的，不失一般性，我们不妨设。对t分类讨论:
时,

显然成立，这是因为左边的每一项都是非负的。同理，时,

证毕。

推广 
舒尔不等式有一个推广：

假设a、b、c是正的实数。如果（a，b，c）和（x，y，z）是同序的，则以下的不等式成立：

2007年，罗马尼亚数学家Valentin Vornicu证明了一个更一般的形式：

考虑，其中，而且要么，要么。设，并设或者是凸函数，或者是单调函数。那么：

 

当x = a、y = b、z = c、k = 1、f(m) = mt时，即化为舒尔不等式。

参考文献 

代数不等式