海森堡繪景

海森堡繪景（Heisenberg picture）是量子力學的一種表述，因物理學者维尔纳·海森堡而命名。在海森堡繪景裏，對應於可觀察量的算符會隨著時間流易而演化，而描述量子系統的態向量則與時間無關。使用海森堡繪景，可以很容易地觀察到量子系統與經典系統之間的動力學關係。

海森堡繪景與薛丁格繪景、狄拉克繪景不同。在薛丁格繪景裏，描述量子系統的態向量隨著時間流易而演化，而像位置、動量一類的對應於可觀察量的算符則不會隨著時間流易而演化。在狄拉克繪景裏，態向量與對應於可觀察量的算符都會隨著時間流易而演化。

這三種繪景殊途同歸，所獲得的結果完全一致。這是必然的，因為它們都是在表達同樣的物理現象。

概述
為了便利分析，位於下標的符號、分別標記海森堡繪景、薛丁格繪景。

在量子力學的海森堡繪景裏，態向量不含時，而可觀察量的算符則含時，並且滿足「海森堡運動方程式」：
；

其中，是約化普朗克常數，是哈密頓量，是與的對易算符。

從某種角度來看，海森堡繪景比薛丁格繪景顯得更為自然，更具有基礎性，因為，經典力學分析物體運動所使用的物理量是可觀察量，例如，位置、動量等等，而海森堡繪景專注的就是這些可觀察量隨著時間流易的演化。進一步來看，海森堡繪景表述的量子力學與經典力學的相似可以很容易的觀察到：只要將對易算符改為帕松括號，海森堡方程式立刻就變成了哈密頓力學裏的運動方程式，其形式表示為

；

其中，是帕松括號。

通過，可以從哈密頓力學的運動方程式得到海森堡運動方程式：

。

證明海森堡繪景與薛丁格繪景是等價的。

理論導引
在薛丁格繪景裏，負責時間演化的算符是一種么正算符，稱為時間演化算符。假設時間從流易到，而經過這段時間間隔，態向量演化為，這時間演化過程以方程式表示為
；

其中，是時間從流易到的時間演化算符。

時間演化算符是么正算符：
。

假設系統的哈密頓量不含時，則時間演化算符為
，

而且，時間演化算符與哈密頓量相互對易：

。

注意到指數函數必須通過其泰勒級數計算。

在海森堡繪景裏，態向量、算符分別定義為
、
。

由於、對於時間的偏導數分別為
、
。

所以，算符對於時間的導數是
。

由於不含時哈密頓量在海森堡繪景的形式與在薛丁格繪景相同，可以忽略下標：
。

將算符的定義式納入考量，就可以得到海森堡運動方程式：
。

期望值
在薛丁格繪景裏，可觀察量的期望值為
。

在海森堡繪景裏，可觀察量的期望值為
。

注意到態向量、算符的定義式：
、
。

所以，這兩種期望值的表述方式等價。

貝克-豪斯多夫引理
算符的定義式涉及到指數函數，必須通過其泰勒級數計算，這是個很繁雜的過程，可以利用來計算
。

對於算符，可以得到
。

由於帕松括號與對易算符的關係，在哈密頓力學裏，這方程式也成立。

自由粒子範例
本節運算只涉及海森堡繪景，為了簡便起見，忽略下標。設想自由粒子系統，其哈密頓量為
。 

動量的海森堡運動方程式為
。

這是因為與對易。所以，動量是個常數：
。

位置的海森堡運動方程式為
。

所以，位置與時間的關係式為
。

換另一種方法，算符隨著時間流易而演化的方程式為
。

利用，
。

注意到以下兩個對易關係式：
、
。

將這兩個對易關係式代入，可以得到同樣的位置與時間的關係式：
。

注意到位置在不同時間的對易子不等於零：
。

諧振子範例
本節運算只涉及海森堡繪景，為了簡便起見，忽略下標。設想諧振子系統，其哈密頓量為
；

其中，為諧振子頻率。

動量算符、位置算符的海森堡運動方程式分別為
、
。

再求這兩個方程式對於時間的導數，
、
。

設定動量算符、位置算符的初始條件分別為
、
。

則在初始時間，
、
。

所以，二次微分方程式的解答分別是
、
。

稍加運算，可以得到海森堡繪景裏的對易關係：
、
、	 
。

假若，則立刻會得到熟悉的正則對易關係。

換另一種方法，算符隨著時間流易而演化的方程式為
。

利用，
。

注意到以下兩個對易關係式：
、
。

將這兩個對易關係式代入，可以得到同樣的位置與時間的關係式：
。

類似地,也可以得到同樣的動量與時間的關係式。

各種繪景比較摘要
各種繪景隨著時間流易會呈現出不同的演化：

註釋

參考文獻

延伸阅读

參閱
狄拉克標記

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