薛丁格繪景

薛丁格繪景（Schrödinger picture）是量子力學的一種表述，為紀念物理學者埃爾溫·薛丁格而命名。在薛丁格繪景裏，量子系統的態向量隨著時間流易而演化，而像位置、自旋一類的對應於可觀察量的算符則與時間無關。

薛丁格繪景與海森堡繪景、狄拉克繪景不同。在海森堡繪景裏，對應於可觀察量的算符會隨著時間流易而演化，而描述量子系統的態向量則與時間無關。在狄拉克繪景裏，態向量與算符都會隨著時間流易而演化。

這三種繪景殊途同歸，所獲得的結果完全一致。這是必然的，因為它們都是在表達同樣的物理現象。

在薛丁格繪景裏，負責時間演化的算符是一種么正算符，稱為時間演化算符。假設時間從流易到，而經過這段時間間隔，態向量演化為態向量，這時間演化過程以方程式表示為
；

其中，是時間演化算符。

假設系統的哈密頓量不含時，則時間演化算符為
；

其中，是約化普朗克常數，指數函數必須通過其泰勒級數計算。

在初級量子力學教科書裏，時常會使用薛丁格繪景。

時間演化算符

定義
時間演化算符定義為
；

其中，右矢表示時間為的態向量，是時間演化算符，從時間演化到時間。

這方程式可以做這樣解釋：將時間演化算符作用於時間是的態向量，則會得到時間是的態向量。

類似地，也可以用左矢來定義：
；

其中，算符是算符的厄米共軛。

性質

幺正性
由於態向量必須滿足歸一條件，態向量的範數不能隨時間而變：
。

可是，
。

所以，
 ;

其中，是單位算符。

單位性
時間演化算符必須是單位算符，因為，
。

閉包性
從初始時間到最後時間的時間演化算符，可以視為從中途時間到最後時間的時間演化算符，乘以從初始時間到中途時間的時間演化算符：
。

根據時間演化算符的定義，
，
。

所以，
。

可是，再根據定義，
。

所以，時間演化算符必須滿足閉包性：
。

時間演化算符的微分方程式
為了方便起見，設定，初始時間永遠是，則可忽略時間演化算符的參數，改寫為。含時薛丁格方程式為
；

其中，是哈密頓量。

從時間演化算符的定義式，可以得到
。

由於可以是任意恆定態向量（處於的態向量），時間演化算符必須遵守方程式
。

假若哈密頓量不含時，則這方程式的解答為
。

注意到在時間，時間演化算符必須約化為單位算符。由於是算符，指數函數必須通過其泰勒級數計算：
。

按照時間演化算符的定義，在時間，態向量為
。

注意到可以是任意態向量。假設初始態向量是哈密頓量的本徵態，而本徵值是，則在時間，態向量為
。

這樣，可以看到哈密頓量的本徵態是定態，隨著時間的流易，只有相位因子在進行演化。

假設，哈密頓量與時間有關，但在不同時間的哈密頓量相互對易，則時間演化算符可以寫為
。

假設，哈密頓量與時間有關，而在不同時間的哈密頓量不相互對易，則時間演化算符可以寫為
；

其中，是時間排序算符。

必須用來表示，
。

各種繪景比較摘要
為了便利分析，位於下標的符號、、分別標記海森堡繪景、交互作用繪景、薛丁格繪景。

各種繪景隨著時間流易會呈現出不同的演化：

參閱
哈密頓-亞可比方程式

參考文獻

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