共變和反變

在數學裏，反變（contravariant，也稱逆變）和共變（covariant，也稱協變）描述一個向量（或更廣義來說，張量）的坐標，在向量空間的基底／坐標系轉換之下，會如何改變。

反變和共變在張量場的演算中不可或缺，是了解狹義相對論、廣義相對論必需的數學基礎。

轉換方式

向量：反變轉換
 標記法說明：向量  是向量空間  的元素。向量基底  構成了向量空間的一個基底，其座標系統為。對應這個基底，向量的分量為，即。

（註： 這符號中的上標不代表平方，而是代表第二個坐標，在較基礎的數學上，常寫作  ，但是，在张量分析领域，指标写作上标或下标牵涉到对张量性质的提示，以及愛因斯坦求和約定。）

向量空間有另一個基底，其座標系統為。對應這個基底， 有分量 ，即。

對於1...n之間任意整數  ，我們知道  和  的關係：
 。

使用愛因斯坦求和約定可寫成：

  。

餘向量：共變轉換
假設對偶空間有兩個基底 跟 。

假設。
則對於...之間其中一個特定的整數  ，我們知道  和  的關係：

  。

或使用愛因斯坦求和約定寫成：
  。

向量的共變分量和反變分量
在歐幾里得空間  裏，共變向量和反變向量之間的區分很小。這是因為能夠使用內積運算從向量求得餘向量；對於所有餘向量  ，通過下述方程式，向量  和線性泛函  ，唯一地確定了餘向量  ：
 。

逆過來，通過上述方程式，線性泛函  和每一個餘向量，唯一地確定了向量  。由於這向量與餘向量的相互辨認，我們可以提到向量的共變分量和反變分量；也就是說，它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。

給予  的一個基底  ，則必存在一個唯一的對偶基底  ，滿足
 ；

其中， 是克羅內克函數。

以這兩種基底，任意向量  可以寫為兩種形式
 ；

其中， 是向量  對於基底  的反變分量， 是向量  對於基底  的共變分量，

歐幾里得空間

在歐幾里得空間Ｒ3裏，使用內積運算，能夠從向量求得餘向量。給予一組可能不是標準正交基的基底，其基底向量為  、 、 ，就可以計算其對偶基底的基底向量：
 ；

其中， 是三個基底向量  、 、 所形成的平行六面體的體積。

反過來計算，
 ；

其中， 是三個基底向量  、 、 所形成的平行六面體的體積 。

雖然  與  並不相互標準正交，它們相互對偶：
 。

這樣，任意向量  的反變坐標為
 。

類似地，共變坐標為
 。

這樣，  可以表達為
 ，
或者，
 。

綜合上述關係式，
 。

向量  的共變坐標為
 ；

其中， 是度規張量。

向量  的反變坐標為
 ;

其中， 是共軛度規張量。

共變坐標的標號是下標，反變坐標的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基，或反變基底向量組成的基底是標準正交基，則共變基底與反變基底相互等價。那麼，就沒有必要分辨共變坐標和反變坐標，所有的標號都可以用下標來標記。

在相對論上的應用
根據相對性原理，一條物理定律在不同的系統，都應該有相同的「形式」。

狹義相對論討論的是閔可夫斯基空間，它是一種平直空間。

参考来源

向量
張量
微分幾何
黎曼幾何
多重線性代數