曲线的微分几何

曲线的微分几何是几何学的一个分支，使用微分与积分专门研究平面与欧几里得空间中的光滑曲线。

从古代开始，许多具体曲线已经用综合方法深入研究。微分几何采取另外一种方式：把曲线表示为参数形式，将它们的几何性质和各种量，比如曲率和弧长，用向量分析表示为导数和积分。分析曲线最重要的工具之一为 Frenet 标架，是一个活动标架，在曲线每一点附近给出“最合适”的坐标系。

曲线的理论比曲面理论及其高维推广的范围要狭窄得多，也简单得多。因为欧几里得空间中的正则曲线没有内蕴几何。任何正则曲线可以用弧长（“自然参数”）参数化，从曲线上来看不能知道周围空间的任何信息，所有曲线都是一样的。不同空间曲线只是由它们的弯曲和扭曲程度区分。数量上，这由微分几何不变量曲线的“曲率”和“挠率”来衡量。曲线基本定理断言这些不变量的信息完全确定了曲线。

定义 

设  是一个正整数， 是正整数或 ， 是实数非空区间， 属于 。一个 类（即  为  次连续可微）向量值函数

称为一条  类参数曲线或曲线  的一个  参数化， 称为曲线  的参数， 称为曲线的像。将参数曲线  和它的像  区别开来是非常重要的，因为一个给定的的子集可以是许多不同的参数曲线的像。

可以想象参数  代表时间，而曲线  作为空间中一个运动粒子轨迹。

如果 I 是闭区间 [a, b]，我们称 γ(a) 为曲线 γ 的起点而 γ(b) 为终点。

如果 ，我们说 γ 是闭的或是一个环路。进一步，我们称 γ 是一条闭 Cr-曲线，如果 γ(k)(a) = γ(k)(b) 对所有 k ≤ r。

如果  为单射，我们称为简单曲线。

如果参数曲线  局部可写成幂级数，我们称曲线解析或是  类。

记号 - 表示朝相反的方向运动的曲线。

一条 -曲线

称为  阶正则当且仅当对任何  属于

在  中线性无关。

特别地，一条 -曲线  是正则的如果 

 对任何

重新参数化与等价关系 

给定一条曲线的像我们可以定义曲线的许多不同的参数化。微分几何旨在描述在一定的参数化下不变的性质。所以我们需在所有参数曲线集合上定义一种合适的等价关系。曲线的微分几何性质（长度，Frenet 标架和广义曲率）在重新参数化下不变从而满足等价类性质。这个等价类称为  Cr 曲线，是曲线的微分几何研究的中心。

两个 Cr 参数曲线

与

要称为等价，就要存在一个 Cr 双射

使得

和

γ2 称为 γ1 的重新参数化。这种 γ1 的重新参数化在所有参数 Cr 曲线的集合上定义了一种等价关系，其等价类称为 Cr 曲线。

对定向 Cr 曲线，我们可以定义一种“加细”的等价关系，要求 φ 满足 φ'(t) > 0。

等价的 Cr 曲线有相同的像；等价的定向 Cr 曲线有相同的运动方向。

长度与自然参数化 

C1 曲线 γ : [a, b] → Rn 的长度 l 可以定义为

曲线的长度在重参数化下保持不变，从而是曲线的一个微分几何性质。

对任何正则 Cr （r 至少为 1）曲线 γ: [a, b] → Rn 我们可以定义一个函数

写成

 

这里 t(s) 是 s(t) 的逆函数，我们得到 γ 的一个新参数化 ，称为自然、弧长或单位速度参数化；参数 s(t) 称为 γ 的自然参数。

我们偏爱这个参数，因为自然参数 s(t) 以单位速度转动 γ 的像，所以

在实际中常常很难计算出一条曲线的自然参数，但在理论讨论中很有用。

给定一条参数化曲线 γ(t) 的自然参数化是在差一个参数移动的意义下是惟一的。

数量

经常称为曲线的能量或作用量；这个名称是有理由的，因为测地线方程是这个作用量的欧拉-拉格朗日运动方程。

Frenet 标架 

一个 Frenet 标架是一个移动的参考标架，由描述曲线在每一点 γ(t) 局部性质的n 个正交向量 ei(t) 组成。这是微分几何处理曲线的主要工具，因为在这个局部参考系中，远比使用欧几里得那样的整体坐标系更容易和自然地描述局部性质（如曲率、挠率）。

给定 Rn 中一条 n 阶正则 Cn+1-曲线 γ，曲线的 Frenet 标架是一组正交向量

称为 Frenet 向量。它们是通过对 γ(t) 的各阶导数使用格拉姆-施密特正交化算法得到的：

实值函数 χi(t) 称为 广义曲率，定义为

Frenet 标架和广义曲率在重新参数化下是不变的，故它们是曲线的微分几何性质。

特殊 Frenet 向量和广义曲率 
最初三个 Frenet 向量和广义曲率可以在三维空间中看到。它们有额外的名字以及与名称相关更多信息。

切向量 

如果曲線 γ 表示一個質點的軌跡，那麼質點在給定點 P 的瞬時速度用一個向量表示，稱為曲線在 P 的切向量。

數學表述為，給定一條曲線 γ = γ(t)，對參數 t 的任何值： t = t0，
向量：

是點 P = γ(t0) 的切向量。一般說，切向量可以為零向量。

切向量的長度：

是在時間 t0 的速率。

第一個 Frenet 向量 e1(t) 是在同一方向的單位切向量，在 γ 的每個正則點有定義：

如果 t = s 是自然參數則切向量有單位長，從而公式化簡為：

單位切向量確定了曲線的定向，或隨著參數增長的前進方向。

法向量 
法向量，有时也称为曲率向量，表明曲线和一条直线的偏离程度。

法向量定义为

其正规形式单位法向量，是 Frenet 向量 e2(t)，定义为

t 点的切向量和法向量张成 t 点的密切平面。

曲率 

第一个广义曲率 χ1(t) 称为曲率，度量了曲线 γ 偏离密切平面上一条直线的程度。定义为

称为 γ 在点 t 的曲率。

曲率的倒数

称为曲率半径。

半径为 r 的圆周有常曲率

但一条直线的曲率是 0 。

次法向量 

次法向量是第三个 Frenet 向量 e3(t) ，
总是正交于 t 点的单位切向量和单位法向量。其定义为

在 3 维空间中等式简化为

挠率 

第二广义曲率 χ2(t) 称为挠率，度量了 γ 和一条平面曲线的偏离程度。或者说，如果挠率为 0 则曲线完全在某平面内（任何 t 都在这一个平面内）。

称为 γ 在点 t 的挠率。

曲线论主要定理 

给定 n 个函数

满足

那么存在惟一的（在差一个欧几里得群作用的意义下） n 阶正则 Cn+1-曲线 γ，具有如下性质

这里集合

是曲面的 Frenet 标架。

再附加起始 t0 ∈ I，起始点 p0 ∈ Rn 以及一个初始正交标架 {e1, ..., en-1} 满足

那么我们可以排除欧几里得作用得到惟一的曲线 γ。

Frenet-Serret 公式 

Frenet-Serret 公式是一组一阶常微分方程。其解为由广义曲率函数 χi 所刻画的曲线的 Frenet 向量组。

2-维

3-维

n 维一般公式

参考文献 
 Erwin Kreyszig, Differential Geometry, Dover Publications, New York, 1991, ISBN 9780484667218. Chapter II is is a classical treatment of Theory of Curves in 3-dimensions.
 陈维桓，微分几何，北京大学出版社，北京，2006年，ISBN 7-301-10709.

另见 

曲线的仿射几何
弧
切线、切点、次切距
密切圆
包络线、转迹线
四顶点定理
测地线
等周问题
环绕数

Q
Q