傅立叶变换家族中的关系

在数学领域的谐波分析中，连续傅里叶变换（continuous Fourier transform, CFT）与傅里叶级数 （Fourier series, FS）有非常微妙的关系。而且连续傅里叶变换也与离散时间傅里叶变换（discrete time Fourier transform, DTFT）和离散傅里叶变换（discrete Fourier transform, DFT）有很近的关系。傅里叶变换家族通常就是指这四种变换。

通过利用Dirac delta函数  ，CFT可以应用到时间离散 （time-discrete）或时间周期（time-periodic）信号。实际上，FS、 DTFT和DFT都可以由最广泛的CFT得到。从理论上看，它们也都是CFT的特殊情况。

在信号理论和数字信号处理（digital signal processing, DSP）中，DFT扩展用于近似计算连续信号的频谱，其变换的对象只是一个采样点的有限序列，而且可以由快速傅里叶变换（fast Fourier transform, FFT）实现。

家族中各个变换的定义 
下表中左上、左下、右上和右下分别对应了傅里叶变换家族中CFT、FS、DTFT和DFT四个变换对的定义。

显然，上表是从时域信号的角度来划分的：表的列区分了连续时间和离散时间的信号，而表的行则区分了时间上非周期的信号和时间上周期的信号。其中重要的参量符号解释为：
  和  都为无限序列，其采样间隔，即间隔时间和间隔频率分别为  和  ；
  和  都为周期函数，且时间周期和频率周期分别为  和  ；
  和  都为有限序列，且序列长度都为  ；

关系推导所需的公式 
前面表中的定义都可以通过Dirac delta函数  的扩展形式  ，即Dirac comb函数，由CFT引入或推导。为计算离散和/或周期信号的CFT，我们需要引入一些公式，并使用傅里叶变换的一些特性。以下集中给出：

1. Dirac comb函数的傅里叶变换

Dirac comb函数的定义为

在电气工程中通常又称作冲击串（impulse train）或采样函数 （sampling function）。其重要的傅里叶变换为：

这个变换在傅里叶变换家族中各个变换之间转换上起关键作用。

2. 傅里叶变换的卷积定理（convolution theorem）

这包括了傅里叶变换的时域卷积和频域卷积：

3. 泊松求和公式（Poisson summation formula）

由Dirac comb函数的傅里叶变换和卷积定理，容易证明泊松求和公式：

若第1和第2公式中分别取  和  ，得到相同等式：

这表明，傅里叶变换时时域函数  和频域函数  分别以  和  为间隔采样，则所有时域采样点的总和与所有频域采样点扩大  的总和相等。

各种变换之间的关系 

图中立方体包含了频域和时域两个平面上各种变换的关系，同时两平面相连的四个边则分别代表了CFT、FS、DTFT和DFT。其中参量符号与前面表中相同，另外增加：
  为由FS和DTFT推导DFT得到的DFT'频域形式，与传统DFT的频域  有关系：  ；
 图中粗的双箭头（）表示每个函数和其变换之间的联系；
总的说来，各种变换之间的转换是一个周期扩展或采样的过程：
 如果时域进行周期扩展，则频域为采样；如果时域进行采样，则频域为周期扩展；
 一个转换中，周期扩展的周期与采样的间隔有倒数关系；
 频域的周期扩展或者采样，都有一个周期或采样间隔作系数；
这里的周期扩展就是与Dirac comb函数相卷积，而采样则是与Dirac comb函数相乘。

从CFT分别到FS和DTFT的转换都容易推导，下面具体说明FS和DTFT到DFT/DFT'转换的推导，最后说明连续FT与DFT/DFT'的关系。

由DTFT推导DFT 
设DTFT，及对应的CFT为：

在时域作周期为  的扩展，有:

其中代入了  ，而由于  和  的求和区间都为  到  ，可以用  代替  得到最后一步推导。取：

在频域作带系数  且间隔也为  的采样，有：

取：

由FS推导DFT 
设FS，及对应的CFT为：

在时域作间隔为  采样，有：

取：

在频域作带系数  且周期也为  扩展，有：

其中也代入了  ，而由于  和  的求和区间都为  到  ，可用  替代  得到最后一步推导。 取：

CFT与DFT的关系 
前面FS到DFT和DTFT到DFT的推导都得到相同的  和  。这里的  和  可看作一种DFT变换对，有关系：

记为：

对比传统DFT变换对的  和  ，显然有：

这一对变换的等式右边系数的乘积为  ，符合我们在DFT中的说明，因而完全可以将这里的DFT'看作传统DFT的另一种变换形式 。

而由前面转换的推导过程可得到：

为一对CFT，其中要求  。加之如果 ，则有：

其中可以任选  和  。这样就建立了CFT和DFT之间的双向关系。但应注意到，此时我们已经将DFT'和DFT都做了周期拓展，即  。

参看 
 傅里叶变换
 傅里叶级数
 离散时间傅里叶变换
 离散傅里叶变换

参考文献
 Oppenheim, Alan V.; Schafer, R. W.; and Buck, J. R., (1999). Discrete-time signal processing, Upper Saddle River, N.J. : Prentice Hall. ISBN 0137549202
 Sklar, B., (2001). Digital Communications: Foundamentals and Applicatons, 2nd Edition, Prentice Hall PTR. ISBN 0130847887 

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en:Fourier analysis#Variants of Fourier analysis