二元运算

二元运算是種数学运算，它的運算結果跟兩個輸入值必須是同種東西。比如說，整數的加法是二元运算，因整數相加以後仍然是整數。

定义 

直觀上，也就是集合  裡的一組數  都對應一個  裡的數值  ，那對應規則的整體  就是所謂的二元運算。

 通常写为  ，而且比起使用字母，二元运算時常以某种运算符表示，來跟普通的函數作區別。

事實上  這個符號本身就保證了：「只要  就會有  」，這個性質也稱為（二元）運算封閉性。

常用性质和术语 
关于二元运算有很多常见的性质和术语，列举如下：

幺元 

设 :  是集合  上的二元运算，，则：
 称  为  在  下的左幺元，若  满足：；
 称 为  在  下的右幺元，若  满足：；
 称  为  在  下的幺元，若  满足： 既是  在二元运算  下的左幺元，又是  在二元运算  下的右幺元。

逆元 

设: 是集合上的二元运算，,是在下的幺元。则：
 称是在下的左逆元，若满足：。
 称是在下的右逆元，若满足：。
 称是在下的逆元，若满足：a既是在下的左逆元，又是在下的右逆元。（显然此时也是的逆元），若上下文明确是哪个运算，则元素的逆元通常记为。

零元 

设: 是集合上的二元运算，，则：
 称为在下的左零元，若满足：；
 称为在下的右零元，若满足：；
 称为在下的零元，若满足：z既是在下的左零元，又是在下的右零元。

零因子 

设: 是集合上的二元运算，且,是在下的零元。则：
 称是中在下的左零因子，若满足：，使。
 称是中在下的右零因子，若满足：，使。
 称为在下的零因子，若满足：a既是在下的左零因子，又是在下的右零因子。

交換律 

设: 是集合上的二元运算，则：
称满足交换律，若满足：；

结合律 

设: 是集合上的二元运算，则：
称满足结合律，若满足：；

消去律 

设: 是集合上的二元运算，则：

称满足左消去律，若满足：

称满足右消去律，若满足：

称满足消去律，若同时满足左消去律与右消去律。

幂等律 

设: 是集合上的二元运算，则：
称满足幂等律，若满足：；

幂幺律 

设: 是集合上的二元运算，i是在下的幺元，
则：称满足幂幺律，若满足：（显然此时每个元素都是它自己的逆元）；

幂零律 

设: 是集合上的二元运算，z是在下的零元，
则：称满足幂零律，若满足：，有（显然此时每个元素都是零元素，而且既是左零元素又是右零元素）；

分配律 

设: 和: 是集合上的两个二元运算，则：
 称对 满足左分配律，若， 满足：，有；
 称对 满足右分配律，若， 满足：，有；
 称对 满足分配律，若對 滿足左分配律以及右分配律；

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