平行六面体

在几何学中，平行六面体是由六个平行四边形所组成的三维立体，是一種平行多面體。它与平行四边形的关系，正如正方体与正方形之间的关系；在欧几里得几何中这四个概念都允许，但在仿射几何中只允许平行四边形和平行六面体。平行六面体的三个等价的定义为：
六个面都是平行四边形的多面体；
有三对对面平行的六面体；
底面为平行四边形的棱柱。
长方体（六个面都是长方形）、正方体（六个面都是正方形），以及菱面体（六个面都是菱形）都是平行六面体的特殊情况。

平行六面体是拟柱体的一个子类。

性质
平行六面体可由正方体经线性变换而成。

用相同的平行六面体，可以镶嵌整个空间。

体积

基本公式
平行六面体的体积是底面  与高  的乘积，即
 。
这里的高是底面与对面的垂直距离。

以向量計算

另外一个方法是用向量  ，  ，以及  来表示相交于一点的三条棱。平行六面体的体积  等于純量三重积：

。

證明：

以  和  来表示底面的边，则根据向量积的定义，底面的面积  为：
 ，
其中  是  与  之间的角，而高为：
，
其中  是  与  之间的角。

从图中我们可以看到，  的大小限定为  。而向量  与  之间的角  则有可能大于90°（）。也就是说，由于  与  平行，    的值要么等于  ，要么等于  。因此：
，
且
。
我们得出结论： 
 ，
于是，根据純量积的定义，它等于  的绝对值，即：
。
证毕。

最后一个表达式也可以写成以下行列式的绝对值：
。

以稜長及夾角計算
若  、 及  是三條兩兩相鄰的稜長，且 、  及  是三條稜邊的夾角，則平行六面体的体积為：
 。

證明

從上面可知，平行六面体的体积可表示為：

其中：
。

因此

依行列式及純量積定義展開公式右手邊，即可得上述公式。

以座標計算
選取任意一頂點  以其相鄰三個頂點  、  及  ，則體積可表示為：

特殊情况
如果平行六面体具有对称平面，则一定是以下两种情况之一：
四个面是长方形；
两个面是菱形，而在另外四个面中，两个相邻面相等，另外两个面也相等。

长方体是六个面都是长方形的平行六面体；正方体是六个面都是正方形的平行六面体。

菱面体是六个面都是菱形的平行六面体；三方偏方面体是所有菱形面都全等的菱面体。

完美平行六面體
完美平行六面體指棱長、面對角線和體對角線都是整數的平行六面體。在2009年，發現了數十個完美平行六面體的例子，包括棱長271、106及103，劣面對角線長101、 266及255，優面角線長183、 312及323,以及體對角線長374、 300、 278及272的平行六面體。

超平行体

平行六面体在高维空间的推广称为超平行体。

特别地，n维空间中的超平行体称为n维超平行体。因此，平行四边形就是2维超平行体，平行六面体就是3维超平行体。

n维超平行体的所有对角线相交于一点，并被这个点所平分。

位于空间中的n维超平行体的n维体积（），可以用格拉姆行列式的方法来计算。

参考文献
 Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, p. 122, 1973.

外部链接
 
 

多面体
空間填充多面體