算术-几何平均数

两个正实数和的算术-几何平均数定义如下：

首先计算和算术平均数（相加平均），称其为。然后计算和几何平均数（相乘平均），称其为；这是的算术平方根。

然后重复这个步骤，这样便得到了两个数列和：

这两个数列收敛于相同的数，这个数称为和的算术-几何平均数，记为，或。

例子
欲计算和的算术-几何平均数，首先算出它们的算术平均数和几何平均数：

然后进行迭代：

 etc.

继续计算，可得出以下的值：

{| class="wikitable"
|-
! n
! an
! gn
|-
| 0
| 24
| 6
|-
| 1
| 
| 
|-
| 2
| 
| ...
|-
| 3
| ...
| ...
|-
| 4
| ...
| ...
|}

24和6的算术-几何平均数是两个数列的公共极限，大约为13.45817148173。

性质
是一个介于和的算术平均数和几何平均数之间的数。

如果，则。

还可以写为如下形式：

其中是第一类完全椭圆积分。

1和的算术-几何平均数的倒数，称为高斯常数。

存在性的证明 
由算术几何不等式可得

因此

这意味着  是不降序列。同时，因为两个数的几何平均数是总是介于两个数之间，又可以得到该序列是有上界的（ 中的较大者）。根据单调收敛定理，存在  使得:

然而，我们又有:

从而:

证毕。

关于积分表达式的证明 
该证明由高斯首次提出。
令

将积分变量替换为 , 其中

于是可得

因此，我们有

最后一个等式可由  推出。

于是我们便可得到算术几何平均数的积分表达式：

参考文献

引用

来源 

 Jonathan Borwein, Peter Borwein, Pi and the AGM. A study in analytic number theory and computational complexity. Reprint of the 1987 original. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts, 4. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1998. xvi+414 pp. ISBN 0-471-31515-X

参见 
 算术平均数
 几何平均数

平均数
A
A