霍普夫不变量

在数学特别是代数拓扑学中，霍普夫不变量（）是球面之间某些映射的一个同伦不变量。
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历史 
1931年海因茨·霍普夫利用克利福德平行（）构造了霍普夫映射 ，并通过利用圆周 
 对任意  的环绕数（=1），证明了  是本质的，即不同伦于常值映射。随后证明了同伦群  是由  生成的无限循环群。1951年，让-皮埃尔·塞尔证明了对一个奇数维球面（ 奇）有理同伦群  是零除非 i = 0 或 n。但对一个偶数维球面（ 偶），在  次处多出一个无限循环同伦。对此有一种有趣的看法：

定义 

设  是一个连续映射（假设 ）。则我们可以构造胞腔复形

 

这里  是 -维圆盘通过  贴上一个 。
胞腔链群  在度数  只是由 -胞腔自由生成，故它们在度数 0、 与 是 ，其余都是零。胞腔（上）同调是该链复形的（上）同调，因为所有边缘同态必然是零（注意到 ），上同调是

 

记这些上同调群的生成元为

  与 

因为维数原因，这些类之间的所有杯积除了  一定都是平凡的。从而作为一个环，上同调是

 

整数  是映射  的霍普夫不变量。

性质 
定理： 是一个同态。进一步，如果  是偶数，则  映到 。

对霍普夫映射霍普夫不变量是 （这里 ，分别对应于实可除代数 ，而二重覆叠  将球面上的一个方向送到它生成的子空间）。只有这些映射的霍普夫不变量是 1，这是最先由弗兰克·亚当斯（）证明的一个定理，后来迈克尔·阿蒂亚利用 K-理论重新给出了证明。

推广到稳定映射 

可以定义一种非常一般的霍普夫不变量概念，但需要一些同伦论知识预备：

设  表示一个向量空间而  是其单点紧化，即对某个  有  而 。如果  是任意带基点的空间（在上一节中不明确），如果我们去无穷远点为  的基点，则我们可以构造楔积 。

现在令  是一个稳定映射，即在约化垂纬函子下稳定。 的（稳定）几何霍普夫不变量是

，

是从  到  映射的稳定 -等变同伦群中一个元素。这里稳定意为“在垂纬下稳定”，即通常等变同伦群在  上（或 ，如果你愿意）的正向极限；而 -作用是  的平凡作用与交换  中两个因子。如果我们令  表示典范对焦映射而  是恒等，则霍普夫不变量由下式定义：

这个映射原本是从  到  的映射，但在正向极限之下它成为映射的稳定同伦 -等变群的典型元素。

也有一个非稳定版本的霍普夫不变量 ，为此我们必须考虑向量空间 。

参考文献
 
 

 
 

同伦论