二阶导数的对称性

二阶导数的对称性，也称为混合导数的相等，或杨定理（），指取一个n元函数

的偏导数可以交换。如果关于的偏导数用一个下标表示，则对称性断言二阶偏导数满足等式

从而它们组成一个n×n 对称矩阵。

黑塞矩阵是典型对称的

f的二阶偏导数称为f的黑塞矩阵。主对角线之外的元素是混合导数；即关于不同两个变量相继之导数。

在最正常的情形黑塞矩阵实际上是对称矩阵；但从数学分析的观点来看这不是一个安全的论述，在特定一个点除了二阶导数的存在之外还需进一步的假设。克莱罗定理给出了关于f的一个充分条件使其成立。

对称性的正式表述
用符号表示，对称性说，例如

。

这个等式也可写成

。

或者，此对称性可利用微分算子Di写成一个代数论述，Di是关于xi取偏导数：

Di . Dj = Dj . Di.

由这个关系得知由Di生成的常系数微分算子环是交换的。但须自然地设定这些算子的一个定义域。容易验证对单项式对称性成立，从而我们可取xi的多项式为定义域。事实上光滑函数也行。

克莱罗定理

在数学分析中，克莱罗定理（）或施瓦兹定理（），以亚历克西·克莱罗与赫尔曼·施瓦兹命名，断言如果

 

在中任何一点  有连续二阶偏导数，则对

换句话說，这个函数在那一点的偏导数交换。确立这个定理的一个简单方法（当n = 2, i = 1，且j = 2，很容易推到一般）是运用格林定理求f的梯度。

克莱罗常数 
这个定理的一个副产品是克莱罗常数（，亦称卡罗拉公式或克莱罗参数），涉及球面大圆上一点的维度与方位角。一个特定大圆等于它在赤道处的方位角，或弧道路，：

分布理论描述

也可利用分布理论回避有这种对称性的解析问题。首先任何函数的导数（假设可积）可以定义为一个分布。第二分部积分将对称性问题丢给测试函数，这是光滑的当然满足对称性。从而，在分布的意义下，对称性总满足。（另一个方法，若定义了函数的傅立叶变换，注意到在变换中偏导数成为更显然交换的乘法算子）。

对称性的要求
当函数不满足克莱洛定理的前提的时候，例如其导数不连续，则不存在对称性。

展示非對稱的一個例子如下：

尽管这个函数处处连续，但它的代数导函数在原点没有定义。沿着x轴的其他地方y的导数为，所以
。
反之亦然，沿着y轴的其他地方x的导数为，所以。那就是说，在(0,0)处，尽管f的混合導數存在，且在之外處處連續。注意到它與克莱罗定理并不矛盾，因為導數在(0,0)不連續。一般地，極限運算的交換未必交換，兩個變量情形下，在(0, 0)附近考慮

的兩個極限過程，先令h → 0以及先令k → 0。這兩個過程未必交換（參見極限運算的交換）：看最先作用的那個一階項。可以構造出二階導數的對稱性不成立的病態例子。若導數作為施瓦茲分布是對稱的，這類例子屬于實分析中的精細理論，逐点值在其中起作用。当看作一个分布的时候，二阶导数值可以在任意点集中的改变，只要Lebesgue测度为。由于在这个例子中，黑塞矩阵在外所有点对称，Hessian矩阵看作施瓦茨分布是对称的事实，不存在矛盾。

李理论 

更高级的一个讨论是这样的：考虑一阶微分算子Di为欧几里得空间中的无穷小算子。即Di在某种意义下生成平行于xi-轴平移的单参数群。显然这些群互相交换，从而我们希望无穷小生成元也交换；李括号

[Di, Dj] = 0

便是其反映的方式。或者说，一个坐标关于另一个坐标的李导数是零。

参考文献

多变量微积分
广义函数
對稱
分析定理