理想類群

理想類群是代數數論的基本對象之一，簡稱類群。它描述了一個數域的理想與元素的差異。理想類群是有限交換群，其元素個數稱作該域的類數。

形式定義
設  為戴德金整環。此時  中的非零理想對乘法構成一個交換么半群。

今將定義其上的等價關係：設  為二非零理想，定義
 

理想么半群對此關係的商構成一個交換群 ，稱為  的理想類群。

另一套進路是考慮  的非零分式理想構成之交換群，再考慮它對主分式理想  之商，由此得到的對象自然同構於理想類群。

性質
 理想類群為平凡群的充要條件是該戴德金整環為主理想環。
 設  為數域， 為其中的代數整數環，因而是戴德金整環。此時可證明  是有限群。其元素個數記為 ，稱作類數。

例子
考慮二次域 。考慮理想
 。
易證此非主理想，因此理想類群非零。事實上，其理想類群是二階循環群。

代數數論
理想