自旋-軌道作用

在量子力學裏，一個粒子因為自旋與軌道運動而產生的作用，稱為自旋-軌道作用（），也稱作自旋-軌道效應或自旋-軌道耦合。最著名的例子是電子能級的位移。電子移動經過原子核的電場時，會產生電磁作用．電子的自旋與這電磁作用的耦合，形成了自旋-軌道作用。譜線分裂實驗明顯地偵測到電子能級的位移，證實了自旋-軌道作用理論的正確性。另外一個類似的例子是原子核殼層模型能級的位移。

半導體或其它新穎材料常常會涉及電子的自旋-軌道效應。自旋電子學專門研究與應用這方面的問題。

電子的自旋-軌道作用
在這篇文章裏，會以相當簡單與公式化的方式，詳細地講解一個束縛於原子內的電子的自旋-軌道作用理論。這會用到電磁學、非相對論性量子力學、一階微擾理論。這自旋-軌道作用理論給出的答案，雖然與實驗結果並不完全相同，但相當的符合。更嚴謹的導引應該從狄拉克方程式開始，也會求得相同的答案。若想得到更準確的答案，則必須用量子電動力學來計算微小的修正。這兩種方法都在本條目範圍之外。

磁場
雖然在原子核的靜止參考系 () ，並沒有作用在電子上的磁場；在電子的靜止參考系，有作用在電子上的磁場存在。暫時假設電子的靜止參考系為慣性參考系，則根據狹義相對論，磁場  是
 ；(1)

其中， 是電子的速度， 是電子運動經過的電場， 是光速。

以質子的位置為原點，則從質子產生的電場是
 ；

其中， 是質子數量（原子序數）， 是單位電荷量， 是真空電容率， 是徑向單位向量， 是徑向距離，徑向向量  是電子的位置。

電子的動量  是
 ；

其中， 是電子的質量。

所以，作用於電子的磁場是
 ；(2)

其中， 是角動量， 。

 是一個正值因子乘以  ，也就是說，磁場與電子的軌道角動量平行。

磁矩
電子自旋的磁矩  是
 ；

其中， 是迴轉磁比率 () ， 是自旋角动量， 是電子自旋g因數， 是電荷量。

電子的g-因數（g-factor）是  ，電荷量是  。所以，
 。(3)

電子的磁矩與自旋反平行。

哈密頓量微擾項目
自旋-軌道作用的哈密頓量微擾項目是
 。

代入  的公式 (3) 和  的公式(2)，經過一番運算，可以得到

一直到現在，都還沒有考慮到電子靜止坐標乃非慣性坐標。這事實引發的效應稱為托馬斯進動 () 。因為這效應，必須添加因子  在公式裏。所以，
 。

能級位移
在準備好了自旋-軌道作用的哈密頓量微擾項目以後，現在可以估算這項目會造成的能量位移。特別地，想要找到  的本徵函數形成的基底，使  能夠對角化。為了找到這基底，先定義總角動量算符  ：
 。

總角動量算符與自己的內積是
 。

所以，
 。

請注意  與  互相不對易，  與   互相不對易。讀者可以很容易地證明這兩個事實。由於這兩個事實， 與  的共同本徵函數不能被當做零微擾波函數，用來計算一階能量位移  。 與  的共同本徵函數也不能被當做零微擾波函數，用來計算一階能量位移  。可是，  、 、 、 ，這四個算符都互相對易。 、 、 、 ，這四個算符也都互相對易。所以， 、 、 、 ，這四個算符的共同本徵函數  可以被當做零微擾波函數，用來計算一階能量位移  ；其中，  是主量子數， 是總角量子數， 是角量子數， 是自旋量子數。這一組本徵函數所形成的基底，就是想要尋找的基底。這共同本徵函數  的  的期望值是
；

其中，電子的自旋  。

經過一番繁瑣的運算，可以得到  的期望值
 ；

其中， 是波耳半徑。

將這兩個期望值的公式代入，能級位移是
 。

經過一番運算，可以得到
 ；

其中， 是主量子數為  的零微擾能級。

特別注意，當  時，這方程式會遇到除以零的不可定義運算；雖然分子項目  也等於零。零除以零，仍舊無法計算這方程式的值。很幸運地，在精細結構能量微擾的計算裏，這不可定義問題自動地會消失。事實上，當  時，電子的軌道運動是球對稱的。這可以從電子的波函數的角部分觀察出來， 球諧函數是
 ，

由於完全跟角度無關，角動量也是零，電子並不會感覺到任何磁場，所以，電子的  軌道沒有自旋-軌道作用。

參閱
斯塔克效應
塞曼效應
超精細結構
蘭姆位移

參考文獻

外部連結
圣地牙哥加州大学物理系量子力学視聽教學： 自旋-軌道作用

Z
Z
Z