留数定理

在複分析中，留数定理，又叫残数定理（），是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推论。

定理

假设是复平面上的一个单连通开子集，是复平面上有限个点，是定义在的全纯函数。如果是一条把包围起来的可求长曲线，但不经过任何一个，并且其起点与终点重合，那么：

如果γ是若尔当曲线，那么I(γ, ak) = 1，因此：

在这里，Res(f, ak)表示f在点ak的留数，I(γ, ak)表示γ关于点ak的卷绕数。卷绕数是一个整数，它描述了曲线γ绕过点ak的次数。如果γ依逆时针方向绕着ak移动，卷绕数就是一个正数，如果γ根本不绕过ak，卷绕数就是零。

例子

实轴上的积分
以下的积分

在计算柯西分布的特征函数时会出现，用初等微积分计算并不容易。我们把这个积分表示成一个路径积分的极限，积分路径为沿着实直线从−a到a，然后再依逆时针方向沿着以0为中心的半圆从a到−a。取a为大于1，使得虚数单位i包围在曲线里面。路径积分为：

由于eitz是一个整函数（没有任何奇点），这个函数仅当分母z2 + 1为零时才具有奇点。由于z2 + 1 = (z + i)(z − i)，因此这个函数在z = i或z = −i时具有奇点。这两个点只有一个在路径所包围的区域中。

由于f(z)是 

{|
|-
|  || 
|-
| ||
|}

f(z)在z = i的留数是：

根据留数定理，我们有：

路径C可以分为一个“直”的部分和一个曲线弧，使得：

因此

如果t > 0，那么当半圆的半径趋于无穷大时，沿半圆路径的积分趋于零：

上述结果也可以直接由得到，要注意这里的半圆弧上积分随半径增长趋于0必须要才能成立，所以如果就必须考虑下半平面上的半圆弧。

因此，如果t > 0，那么：

类似地，如果曲线是绕过−i而不是i，那么可以证明如果t < 0，则

因此我们有：

（如果t = 0，这个积分就可以很快用初等方法算出来，它的值为π。）

无穷级数
由于在为整数时皆为一阶极点，并且留数皆为，因此可以用来计算如下所示级数：

在此处令，并且令为的正方形正向（逆时针）围道（其中为整数），于是依留数定理：

当时，等式左侧由于而趋于零；另一方面：

其中有伯努利数。

（实际上有）因此，，可以得出：

即为巴塞尔问题的证明之一。

参见
 留数
 路径积分
 莫雷拉定理
 傅里叶变换
 拉普拉斯变换

参考文献

外部链接
 Mathworld 
 John H. Mathews所作的留数定理教程

复分析定理
解析函数