门格海绵

门格海绵（、）是分形的一种。它是一个通用曲线，因为它的拓扑维数为一，且任何其它曲线或图都与门格海绵的某个子集同胚。它有时称为门格-谢尔宾斯基海绵或谢尔宾斯基海绵。它是康托尔集和谢尔宾斯基地毯在三维空间的推广。它首先由奥地利数学家卡尔·门格在1926年描述，当时他正在研究拓扑维数的概念。

结构

门格海绵的结构可以用以下方法形象化：
 从一个正方体开始。（第一张图像）
 把正方体的每一个面分成9个正方形。这将把正方体分成27个小正方体，像魔方一样。
 把每一面的中间的正方体去掉，把最中心的正方体也去掉，留下20个正方体（第二张图像）。
 把每一个留下的小正方体都重复第1-3个步骤。

把以上的步骤重复无穷多次以后，得到的图形就是门格海绵。

性质

门格海绵的每一个面都是谢尔宾斯基地毯；同时，门格海绵与原先立体的任何一条对角线的交集都是康托尔集。 

门格海绵是一个闭集；由于它也是有界的，根据海涅-博雷尔定理，它是一个紧集。更进一步，门格海绵是不可数集，且具有勒贝格测度0。

门格海绵的拓扑维数是一，与任何曲线一样。门格在1926年证明了，它是一个通用曲线，就是说任何一维曲线都与门格海绵的一个子集同胚，这里的曲线是指任何勒贝格覆盖维数为一的紧度量空间。

门格海绵的豪斯多夫维为(ln 20) / (ln 3)（大约2.726833）。

门格海绵的表面积无穷大。

正式定义
正式地，门格海绵可以定义如下：

其中M0是单位立方体，且：

且i、j和k中最多只有一个等于1。

参见
 谢尔宾斯基三角形
 科赫曲线

参考文献

 Karl Menger, General Spaces and Cartesian Spaces, (1926) Communications to the Amsterdam Academy of Sciences. English translation reprinted in Classics on Fractals, Gerald A.Edgar, editor,  Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
 Karl Menger, Dimensionstheorie, (1928) B.G Teubner Publishers, Leipzig.

外部链接

 分形多面体 （VRML）和互动Java模型
Menger sponge at Wolfram MathWorld 
The 'Business Card Menger Sponge' by Dr. Jeannine Mosely – an online exhibit about this giant origami fractal at the Institute For Figuring 
An interactive Menger sponge 
Interactive Java models
Puzzle Hunt  — Video explaining Zeno's paradoxes using Menger–Sierpinski sponge
Menger Sponge Animations  — Menger sponge animations up to level 9, discussion of optimization for 3d.
Menger sphere , rendered in SunFlow
Post-It Menger Sponge  – a level-3 Menger sponge being built from Post-its
The Mystery of the Menger Sponge.  Sliced diagonally to reveal stars
Number of cards required to build a Menger sponge of level n in origami 
Woolly Thoughts Level 2 Menger Sponge  by two "Mathekniticians"

分形
拓扑空间