黎曼级数定理

黎曼级数定理（亦称黎曼重排定理），是一个有关於无穷级数性质的数学定理，得名于19世纪德国著名数学家波恩哈德·黎曼。黎曼级数定理说明，如果一个实数项无穷级数若是条件收敛的，它的项在重新排列後，重新排列後的级数收敛的值可以收斂到任何一个给定的值，甚至发散。

许多有限项级数具有的性質，在一般的无穷级数不一定滿足，例如一般的有限项级数可以重新排列各項，其級數和不會改變，但在无穷级数中，只有绝对收敛的无穷级数才可以重新排列各項而不改變收斂值。

相关定义
给定无穷级数，其部分和为：。如果部分和的数列 

 

收敛于某个数值：，则级数收敛。也就是说，如果对于任何的，总存在一个整数N，使得如果，则
.

那么级数收敛。如果级数收敛，但级数发散，则称此级数是条件收敛的。

定理的陈述
假设是一个条件收敛的无穷级数。对任意的一个实数，都存在一种从自然数集合到自然数集合的排列，使得

此外，也存在另一种排列，使得

类似地，也可以有办法使它的部分和趋于，或没有任何极限。

反之，如果级数是绝对收敛的，那么无论怎样重排，它仍然会收敛到同一个值，也就是级数的和。

例子
交错调和级数是条件收敛级数的一个经典的例子：

收敛，而

是调和级数，它是发散的。虽然在标准的表示法中，交错调和级数收敛于ln(2)，我们可以把它的项重新排列，使它收敛于任何一个数，甚至发散。例如，如果排列为以下的形式，

那么这时的和等于

可以看出，它的和是原来的和的一半。

趋近任一个实数

用不同的排列方法，可以让交错调和级数趋向任意一个给定的实数。事实上，由于调和级数是发散的，它的部分和可以近似估计为：

其中表示一个当N趋于无穷大时的无穷小，指欧拉常数。如果将调和级数中所有负项（也就是所有偶数项）相加，得到的级数会是：

它的部分和是：

因此所有正项相加的级数的部分和是：

这也是一个发散级数，趋向正无穷。因此，对任意给定的正实数，可以使用以下的算法来构造出趋向的重排级数的每一项：
从第一项起，将中的正项（奇数项）从前往后放入，一直放到超过为止：必定存在一个自然数，使得（假设）。将第1至第项定义为：

从第项开始，将中的负项（偶数项）从前往后放入，一直放到小于为止：必定存在一个自然数，使得。将第至第项定义为：

交替重复这两步来重排级数，可以将重排级数的部分和保持在上下，而因为是重复第k步时首次“跨过”时候的值，因而它与的差距必定不超过“跨越”时的“步长”，也就是。随着越来越大，与的差距也会越来越趋近于0. 因此使用这个算法构造出来的重排级数最终会收敛于。

证明
对一般的条件收敛级数，也可以用以上的算法来证明黎曼级数定理。上文中有关交错调和级数的算法之所以成立，原因有二：首先，所有正项构成的级数发散到正无穷大，所有负项构成的级数发散到负无穷大，所以每次超出（低于）目标值以后，只要不停地累加，必然能够再次低于（超出）目标值；其次，调和级数是由相加而成，而随着趋向无穷，趋向于0，也就是说“步长”趋向0，所以最终能够收敛。所以只需要证明，任何条件收敛级数都满足这两个性质：
所有正项构成的级数和所有负项构成的级数都是发散的；
级数的项随着项数趋于无穷而趋于0.
就能证明黎曼级数定理成立了。

性质一：
设有给定的条件收敛级数，级数和为。为了简便起见，假设中每一项都不等于0（否则可以随意将它们重排在任何地方）。中的正项和负项必定都有无穷多个。将中所有大于0的项按照它们原来在中的顺序重新标号排列，可以得到由所有正项排列而成的级数。同样可以建立由所有负项排列而成的级数。

是一个正项级数，所以它要么收敛到某个定值，要么发散到正无穷大。假设收敛到某个定值，那么可以证明也是收敛级数，级数和为。因而可以证明，级数也是收敛级数，这与是条件收敛级数的设定矛盾。所以，发散到正无穷大。同理可证，发散到负无穷大。

性质二：
设是一个条件收敛的级数，级数和为。这说明，级数的部分和趋向极限。所以对任意，存在自然数使得对任意，都有：

所以对任意，

这说明当趋于无穷大时，趋于0.

证明了性质一与性质二後，就可以用上文提到的算法构造趋向任何实数甚至发散的重排方式。对于任意实数，不妨假设. 首先将的项按顺序累加，直到部分和超过为止，然后再将的项按顺序累加在其後，直到部分和小于为止，接着再将剩余的项按顺序累加在其後，直到部分和超过为止……这个算法可以一直进行下去，因为根据性质一，和都是发散的。而在执行算法的过程中，部分和与会越来越接近。因为无论是在部分和低于，逐项增加到超过的过程中，还是在部分和超过了，逐项减少到低于的过程中，部分和与的差距（绝对值）都不超过前一次“跨越”值的那一刻，部分和与的差距。而这个差距又小于等于部分和“跨越”值时的“步长”。假设第次“跨越”的是在累加第项的时候发生的，那么直到第次“跨越”时，部分和与的差距都小于等于。随着趋于无穷大，也趋于无穷大，因而根据性质二，趋于0，也就是说部分和与的差距趋于0。这等价于说重排後的级数收敛于。

如果，只需要将算法中的正负项颠倒即可。如果将算法中第次累加正项要超越的值从改为，然后累加负项直到低于，再开始第次累加正项直到超越，如此以往，就能得到发散到正无穷大的重排级数。反之也能得到发散到负无穷大的重排级数。而如果将算法中每次累加正项要超过的值设为1，将每次累加负项要低于的值设为0，那么重排级数的值将在0和1左右上下反复摆动，从而不收敛于任何定值。这就是黎曼级数定理。

推廣
此定理可推廣至。給定一個複數收斂級數，則重排後的級數之和有以下幾種可能：

 級數為絕對收斂，所以任何重排後的級數和都收斂到同一個值。
 級數為條件收斂。令S為所有重排級數之和的集合，則S要不為整個複數平面C，要不為複數平面上C上的一條線L

更一般的說，給定一個有限維度實向量空間E，考慮其向量組成的收斂級數，則重排級數之和的集合為E的仿射子空間。

参考来源

Weisstein, Eric (2005). Riemann Series Theorem. 于2005年5月16日访问。

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