双伽玛函数

双伽玛函数是伽玛函数的对数导数。

它是第一个多伽玛函数。

与调和数的关系 

双伽玛函数，通常用ψ0(x)、ψ0(x)或来表示，与调和数有以下的关系：

其中Hn是第n个调和数，γ是欧拉-马歇罗尼常数。对于半整数的值，它可以表示为：

积分表示法 
它有以下的积分表示法：

也可以写为

这可以从调和数的欧拉积分公式得出。

泰勒级数 
双伽玛函数有一个有理ζ级数，由z=1的泰勒级数给出。这是

,

当|z|<1时收敛。在这里，是黎曼ζ函数。这个级数可以很容易从赫尔维茨ζ函数的泰勒级数推导出。

牛顿级数 
双伽玛函数的牛顿级数可从欧拉积分公式得出：

其中是二项式系数。

反射公式 
双伽玛函数满足一个反射公式，类似于伽玛函数的反射公式：

递推关系 
双伽玛函数满足以下的递推关系：

高斯和 
双伽玛函数具有以下形式的高斯和：

其中m是整数，且。在这里，ζ(s,q)是赫尔维茨ζ函数，是一个伯努利多项式。乘法定理的一种特殊情况是：

一个推广为：

其中假设了q是自然数，而1-qa则不是。

高斯双伽玛定理 
对于正整数和 ，双伽玛函数可以用初等函数来表示：

特殊值 
双伽玛函数有以下的特殊值：

参见 
 伽玛函数
 三伽玛函数
 多伽玛函数

参考文献 
 Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 . 参见第§6.3节。
 

伽玛及相关函数

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