雅可比橢圓函數

在數學中，雅可比橢圓函數是由卡爾·雅可比在1830年左右研究的一類橢圓函數。這類函數可用於擺之類的應用問題，並具有與三角函數相似的性質。

介紹

雅可比橢圓函數有十二種，各對映到某個矩形的頂點連線。此諸頂點記作    。

視此矩形為複數平面的一部分， 是原點， 是實軸上的一點  是 ， 是 。 與  稱作四分之一週期。

十二個橢圓函數分別記為 。為方便起見，取變數 意指矩形上的任一對頂點，則函數  是唯一滿足以下性質的週期亞純函數
  是單零點， 是單極點。
  在  方向的週期等於  距離的兩倍。對另兩個從 出發的方向，亦滿足同樣性質。
  在頂點   的展式首項係數均為一。

表列如次：

一般而言，須以平行四邊形代替上述矩形，以考慮更一般的週期。

表為橢圓積分之逆
以上定義略顯抽象，更具體的定義是將之表為某類橢圓積分(第一類不完全橢圓積分)之逆。設

橢圓正弦函數  sn u 定義為

而橢圓余弦函數 cn u 定義為

同理，椭圆德尔塔函数有

這裡的  是自由變元，通常取 。

剩下的九種橢圓函數能由這三種構造。

反函數
雅可比椭圆函数的反函数可以像三角函数与反三角函数那样被定义。因为椭圆函数往往是椭圆积分之逆，这些反函数也都可以用勒让德椭圆积分来描述。如同反三角函数一样，雅可比椭圆函数的反函数也是多值的，因此需要支割线。以下是部分反函数的积分表达：

用Θ函數来定义

雅可比椭圆函数也可以用Θ函數来定义。如果我们把简写为，把分别简写为（Theta常数），那么椭圆模k是。如果我们设，我们便有：

加法定理

由此可見 (cn,sn,dn) 描出射影空間  中兩個二次曲面之交，這同構於一條橢圓曲線。曲線上的群運算由下列加法公式描述：

函数的平方之间的关系

常微分方程的解
三个基本的雅可比椭圆函数的导数为：

根据以上的加法定理，可知它们是以下非线性常微分方程的解：

 是微分方程和的解；

 是微分方程和的解；

 是微分方程和的解。

图像

文獻
 見 第16章 

 Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
 E. T. Whittaker and G. N. Watson A Course of Modern Analysis, (1940, 1996) Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3

 Alfred George Greenhill, The applications of elliptic functions (London, New York, Macmillan, 1892)
 H. Hancock Lectures on the theory of elliptic functions (New York, J. Wiley & sons, 1910)
 A. C. Dixon  The elementary properties of the elliptic functions, with examples (Macmillan, 1894)

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