留数

在复分析中，留数是一个正比于一个亚纯函数某一奇点周围的路径积分的复数。（更一般地，对于任何除去离散点集{ak}之外全纯的函数都可以计算其留数，即便是离散点集中含有本质奇点）留数可以是很容易计算的，一旦知道了留数，就可以通过留数定理来计算更复杂的路径积分。

定义 
亚纯函数在孤立奇点的留数，通常记为或，是使在穿孔圆盘内具有解析原函数的唯一值。

另外，留数也可以通过求出洛朗级数展开式来计算，并且可以将留数定义为洛朗级数的系数a-1。

留数的定义可以拓展到任意黎曼曲面上。

例子 
作为例子，考虑以下的路径积分：

其中C是围绕原点的任意(正向)简单闭曲线。

我们来计算这个积分，不用任何标准的积分定理。现在，ez的泰勒级数是众所周知的，我们可以把这个级数代入被积表达式中。则积分变为：

我们把1/z5的项代进级数中，便得到：

现在，积分便化为更简单的形式。由于：

因此任何不是cz−1形式的项都变成了零，那么积分变为：

1/4!就是ez/z5在z = 0的留数，记为：

或或

留数的计算 
设复平面内有一穿孔圆盘D = {z : 0 < |z − c| < R}，f是定义在D内的一个全纯函数。f在c的留数Res(f, c)是罗朗级数展开式的(z − c)−1项的系数a−1。计算留数的值的方法有很多，具体采用那种方法取决于题目中的函数，以及奇点的性质。

根据柯西积分公式，我们有：

其中γ是逆时针绕着c的一条闭曲线。我们可以选择γ为绕着c的一个圆，它的半径可以任意地小。

可去奇点 
如果函数f在整个圆盘{ |z − c| < R }内可以延拓为全纯函数，则Res(f, c) = 0。反过来不总成立。

一阶极点 
在一阶极点，留数由以下公式给出：

设g和h在c的一个邻域内是全纯函数，h(c) = 0而g(c) ≠ 0，那么函数f(z)=g(z)/h(z)在极点c的留数为：

较高阶极点的极限公式 
更一般地，f在z = c的留数，其中c是n阶极点，由以下公式给出：

以上的公式对于计算低阶极点的留数是十分有用的。对于较高阶的极点，则级数展开式更加容易一些。

无穷远点的留数 
一般地，无穷远点的留数是指：
.
如果满足下面的条件：
,
则可以用下面的公式计算无穷远点的留数：
.
如果不满足，即
,
则无穷远点的留数为：
.

级数方法 
如果函数的一部分或全部可以展开为泰勒级数或洛朗级数，则留数的计算比用其它的方法要容易得多。

1. 第一个例子，计算以下函数在奇点的留数：

 

它可以用来计算一定的路径积分。这个函数表面上在z = 0处具有奇点，但如果把分母因式分解，而把函数写成： 

 

则显然z = 0是可去奇点，因此z = 0处的留数为零。

唯一一个另外的奇点是z = 1。函数g(z)在z = a的泰勒级数为：

 

因此，对于g(z) = sin z和a = 1，我们有：

 

对于g(z) = 1/z和a = 1，我们有：

 

把两个级数相乘，并除以(z − 1)，便得：

 

因此f(z)在z = 1的留数为sin 1。

2. 接下来的例子展示了运用级数展开来求留数，拉格朗日反演定理在这里发挥了重要作用。令
 

为一个整函数，并令

参见 
 柯西积分公式
 柯西积分定理
 莫雷拉定理

参考文献 
 
 Marsden & Hoffman, Basic complex analysis (Freeman, 1999).

外部链接 
 
 留数的教程

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