機率流

在量子力學裏，機率流，又稱為機率通量，是描述機率密度流動的物理量。假若將機率密度想像為非均勻流體。那麼，機率流就是這流體的流率（機率密度乘以速度）。

定義
在量子力學裏，從機率守恆可以得到「機率連續性方程式」。設定一個量子系統的波函數為  。定義機率流  為
 ；

其中， 是約化普朗克常數， 是質量， 是  是共軛複數， 是取括弧內項目的虛部。

連續方程式與機率保守定律
機率流滿足量子力學的連續方程式：
 ；

其中， 是機率密度。

應用高斯公式，等價地以積分方程式表示，
 ；(1)

其中， 是任意三維區域， 是  的邊界曲面。

這就是量子力學機率守恆定律的方程式。

方程式 (1) 左邊第一個體積積分項目（不包括對於時間的偏微分），即是測量粒子位置時，粒子在  內的機率。第二個曲面積分是機率流出  的通量。總之，方程式 (1) 表明，粒子在三維區域  內的機率對於時間的微分，加上機率流出三維區域  的通量，兩者的總和等於零。

連續方程式導引
測量粒子在三維區域  內的機率  是
 。

機率對於時間的導數是
 ；(2)

假設  的含時薛丁格方程式為
 ；

其中， 是位勢。

將含時薛丁格方程式代入方程式 (2) ，可以得到
 。

應用一則向量恆等式，可以得到
 。

這方程式右手邊第一個項目與第三個項目互相抵銷，將抵銷後的方程式代入，
 。

將機率密度方程式與機率流定義式代入，
 。

這相等式對於任意三維區域  都成立，所以，被積項目在任何位置都必須等於零：
 。

範例

平面波
設定一個粒子的波函數  為三維空間的平面波，
 ；

其中， 是振幅常數， 是波數， 是位置， 是角頻率， 是時間。

 的機率流是
 。

這只是振幅的平方乘以粒子的速度  。

請注意，雖然這平面波是定態，在每一個的地點， ，但是機率流仍舊不等於  。因此可以推論，雖然機率密度不顯性地跟時間有關，粒子仍可能移動於空間中。

盒中粒子

思考一維盒中粒子問題，能級為  的本徵波函數  是
 ；

其中， 是一維盒子的寬度，兩扇盒壁的位置分別在  與  。

由於  ，其機率流為
 。

參閱
階梯位勢
透射係數

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