重言1形式

在数学中，重言 1-形式（）是流形 Q 的余切丛  上一个特殊的 1-形式。这个形式的外导数定义了一个辛形式给出了  的辛流形结构。重言 1-形式在哈密顿力学与拉格朗日力学的形式化中起着重要的作用。重言 1-形式有时也称为刘维尔 1-形式，典范 1-形式，或者辛势能。一个类似的对象是切丛上的典范向量场。

在典范坐标中，重言 1-形式由下式给出：

在差一个全微分（恰当形式）的意义下，相空间中的任何“保持”典范 1-形式结构的坐标系，可以称之为典范坐标；不同典范坐标之间的变换称为典范变换。

典范辛形式由

给出。

无坐标定义
重言 1-形式可以相当抽象地定义为相空间上一个 1-形式。设  是一个流形， 是其余切空间或者说相空间。设

是典范纤维丛投影，令

是  诱导的前推。设 m 是 M 上一点，然而因为 M 是余切丛，我们可将 m 理解为切空间上一个函数，在  点为：

这样，我们便有 m 是在 q 点的纤维中。重言 1-形式  在点 m 定义为

这是一个线性函数

所以

是流形  上一个 1-形式。不难验证这种定义和上一节局部坐标的定义是相同的。

性质
重言 1-形式是惟一“消去”拉回的 1-形式。这便是说：若

 

是 Q 上任意一个 1-形式，而  是其拉回。那么

 

以及

这些都可以用上一节的定义直接得到，如果写成局部坐标的形式就最好理解：

作用量
如果 H 是余切丛上一个哈密顿向量场，而  是其哈密顿流，那么相应的作用量 S 为

用普通的方式表述，哈密顿流代表了一个力学系统在哈密顿-雅可比方程限制下的轨道。哈密顿流是哈密顿向量场的积分曲线，所以我们用作用量-角度坐标传统记法：

这里积分理解为在流形上的维持能量  为常数  的子集上进行。

在度量空间上
如果流形 Q 有一个黎曼或者伪黎曼度量 g，那么相应的定义可以用广义坐标写出。特别地，如果我们取度量为映射

这样便定义了

和

在 TQ 上的广义坐标中  ，我们有

以及

度量使我们可定义  上的一个单位半径球面（丛）。典范 1-形式限制到这些球面上组成了一个切触结构；这个切触结构可以用来生成关于这个度量的测地流。

又见
 基本类

参考文献
 Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 3.2.
 贺龙广，辛几何与泊松几何引论，首都师范大学出版社，2001年，ISBN 7-81064-249-9

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