克莱尼星号

Kleene 星号，或稱Kleene 闭包，德语稱 Kleensche Hülle，在數學上是一種適用於字符串或符號及字元的集合的一元運算。當 Kleene 星号被應用在一個集合時，寫法是。它被廣泛用於正则表达式。

定義及標記法 
假定
 
递归的定义集合
 这里的 

如果  是一个形式语言，集合  的第  次幂是集合  同自身的 i 次串接的简写。就是说， 可以被理解为是从  中的符号形成的所有长度为  的字符串的集合。 

所以在  上的 Kleene 星号的定義是
。就是说，它是从  中的符号生成的所有可能的有限长度的字符串的搜集。

例子 
Kleene 星号應用於字符串集合的例子：
 {"ab", "c"}* = {ε, "ab", "c", "abab", "abc", "cab", "cc", "ababab", "ababc", "abcab", "abcc", "cabab", "cabc", "ccab", "ccc", ...}

Kleene 星号應用於字元集合的例子：
 {'a', 'b', 'c'}* = {ε, "a", "b", "c", "aa", "ab", "ac", "ba", "bb", "bc", ...}

推广 

Kleene 星号经常推广到任何幺半群 (M, )，也就是，一个集合 M 和在 M 上的二元运算  有着
 (闭包) 
 (结合律) 
 (单位元) 

如果 V 是 M 的子集，则 V* 被定义为包含 ε(空字符串)并闭合于这个运算下的 V 的最小超集。接着 V* 自身是幺半群，并被称为“V 生成的自由幺半群”。这是上面讨论的 Kleene 星号的推广，因为在某个符号的集合上所有字符串的集合形成了一个幺半群(带有字符串串接作为二元运算)。

参见 
 克莱尼代数 
 扩展巴科斯范式
 泵引理
 星号高度问题，广义星号高度问题，星号无关语言
 正则表达式

參考文獻
The definition of Kleene star is found in virtually every textbook on automata theory. A standard reference is the following:
 约翰·爱德华·霍普克洛夫特 and . Introduction to Automata Theory Languages and Computation. 1st edition. Addison-Wesley Publishing Company, 1979.

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