弱微分

在数学中，弱微分（Weak Derivative）是一个函数的微分（强微分）概念的推广，它可以作用于那些勒贝格可积（Lebesgue Integrable）的函数，而不必预设函数的可微性（事实上大部分可以弱微分的函数并不可微）。一个典型的勒贝格可积函数的空间是。在分布中，可以定义一个更一般的微分概念。

定义 

命是一个在中的勒贝格可积的函数，称是的一个弱微分，如果

其中是任意一个连续可微的函数，并且满足。

推广到维的情形，如果和是中的函数（在某个开集中局部可积），并且是一个多重指标，那么称为的次弱微分，如果

其中是一个任意给定的函数，即给定的支撑集含于的无穷可微的函数。

如果的弱微分存在，一般被记为。可以证明，一个函数的弱微分在测度意义是唯一的，即如果有两个不同的弱微分，其仅可能在一个零测集上存在差异。

例子 
函數  在  並不可微，但具有以下被稱為符號函數的弱微分：

性质 

如果两个函数是相同函数的弱导数，那么它们除了在一个勒贝格测度为零的集合上以外相等，也就是说，它们几乎处处相等。如果我们考虑函数的等价类，其中两个函数是等价的如果它们几乎处处相等，那么弱导数是唯一的。

此外，如果u是可微的，那么它的弱导数与导数相同。因此弱导数是导数的推广。更进一步，两个函数的和与积的导数公式对弱导数也是成立的。

参见 
次导数

参考文献 
 

 

R
导数的推广