奇點解消

在代數幾何學中，奇點解消問題探討代數簇是否有非奇異的模型（即：與之雙有理等價的非奇異代數簇）。在特徵為零的域上，廣中平祐已給出肯定答案，至於正特徵的域，四維以上的情形至今（2007年）未解。

定義
對於一個域  上的代數簇 ，若能找到一個完備非奇異代數簇與之雙有理等價（換言之：有相同的函數域），則稱  有弱奇點解消。在實踐上常會要求更容易運用的條件：若存在非奇異代數簇  及真雙有理態射 ，使之在  的奇點集  之外為同構，則稱  有奇點解消。真態射的條件意在排除平凡解，例如 。

一般而言，設 ，其中  是非奇異代數簇，此時一個實用的概念是  在  中的強奇點解消：這是一個真雙有理態射 ，滿足下述條件：
  由一系列對非奇異閉子簇的拉開合成，每一步取的閉子簇都橫截已拉開的例外除數。
  的嚴格變換  是非奇異的，並與橫截拉開的例外除數；於是限制態射  是  的奇點解消。
  的構造對平滑態射具函子性。
 態射  與  在  中的嵌入方式無關。

廣中平祐證明了：當域  的特徵為零，則存在滿足前兩個條件的強奇點解消。他的建構後經多位數學家改進，以滿足全部四個條件。

簡史
代數曲線的奇點解消較容易，在19世紀已廣為人知。證明方法不一：最常見的兩種是相繼拉開奇點，或取曲線的正規化。正規化消解的是所有餘維度為一的奇點，因此僅適用於曲線。

複代數曲面的奇點解消先後由 Beppo Levi（1899年）、O. Chisini（1921年）與 G. Albanese（1924年）給出非正式的說明。第一個嚴謹證明由 Robert J. Walker 於1935年給出。對所有零特徵域均成立的代數證明由扎裡斯基於1939年給出。S. S. Abhyankar 證明正特徵域上的情形（1956年）。所有二維優概形（包括所有算術曲面）的奇點解消由 Lipman 在1978年證出。

消解曲面奇點的通常辦法是不斷將曲面正規化（以消去餘維為一的奇點）並拉開奇點（以改善餘維為二的奇點，但是可能會增加新的餘維一的奇點）。

對於三維情形，零特徵域上首先由扎裡斯基證明（1944年）；域特徵超過 5 的情形由 S. S. Abhyankar 於1966年證明。

零特徵域上任意維度的奇點消解首先由廣中平祐於1964年證出。他證明可以藉著相繼對非奇異閉子流形作拉開以消去奇點，其證明中對維度作了相當複雜的數學歸納法。簡化版的證明之後由許多數學家給出，包括 Bierstone 與 Milman（1997年），Encinas 與 Villamayor（1998年），Encinas 與 Hauser（ 2002年）、Cutkosky（2004年），Wlodarczyk（2005年）及 Kollar（2007年）。某些晚近證明的長度還不及廣中平祐證明的十分之一，並簡單到可以在研究所導論課程中給出。關於該定理的介紹，詳閱文獻中 Hauser 的著作（2003），歷史討論請見 Hauser（2000）。

A. J. de Jong 在1996年提出奇點解消的另種進路，這套進路被 Bogomolov 與 Pantev（1996年）及 Abramovich 與 de Jong（1997年）用於證明零特徵域上的奇點解消。De Jong 的方法對正特徵域上的代數簇給出較弱的結果，然而已足以替代奇點解消的許多角色。

De Jong 證明對任意域上的代數簇 ，存在滿的真態射 ，使得  且  非奇異。這不一定是雙有理等價， 的函數域可能是有限擴張，故非奇點解消。De Jong 的想法是嘗試將  表為一個較小空間  上的纖維化映射，使得纖維均為曲線（為此可能需要修改 ），然後藉著對維度作數學歸納法消去  的奇點，最後消去纖維上的奇點。

概形的情形
奇點解消的定義容易推廣到所有概形。並非所有概形都有奇點解消：格羅滕迪克（1965, EGA IV  7.9）證明了如果在一個局部諾特概形  上有限的所有整概形都有奇點解消，則  必然是擬優概形。格羅滕迪克猜測其逆為真，換言之：如果一個局部諾特概形  是擬優且既約的，則可以消解奇點。當  定義於一個零特徵的域上時，此陳述能由廣中平祐的定理導出；一般情形則化約到整完備局部環的奇點解消問題。

外部連結
 一些奇點及其解消之圖片
 SINGULAR: 一套能處理奇點解消的軟件
 2006年6月的暑期學校 Resolution of Singularities (Trieste, Italy) 的講義
desing 另一套處理奇點解消的軟件

文獻
Abhyankar, Shreeram  Local uniformization on algebraic surfaces over ground fields of characteristic p≠0  Ann. of Math. (2)  63  (1956), 491--526.
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Abramovich, D.,  de Jong, A. J., Smoothness, semistability, and toroidal geometry. J. Algebraic Geom.  6  (1997),  no. 4, 789-801. 
G. Albanese, Transformazione birazionale di una superficie algebrica in un altra priva di punti multiple, Rend. Circ. Mat. Palermo 48 (1924). 
Bierstone, Edward,  Milman, Pierre D. Canonical desingularization in characteristic zero by blowing up the maximum strata of a local invariant. Invent. Math. 128 (1997), no. 2, 207-302. 
Bogomolov, Fedor A., Pantev, Tony G. Weak Hironaka theorem. Math. Res. Lett. 3 (1996), no. 3, 299-307. 
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Steven Dale Cutkosky Resolution of Singularities  (2004) ISBN 0821835556

de Jong, A. J. Smoothness, semi-stability and alterations. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 83 (1996), 51-93. 
Encinas, S. Hauser, Herwig Strong resolution of singularities in characteristic zero.  Comment. Math. Helv.  77  (2002),  no. 4, 821--845.
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Q
奇點理論