倒頻譜

倒頻譜（cepstrum），顧名思義，就是將頻譜（spectrum）的英文前四個字母反過來寫。倒頻譜是為了某些時候，為了計算方便，將原來信號的頻譜先轉成類似分貝的單位，再作逆傅里叶变换，把它視為一種新的訊號做處理。倒頻譜有複數倒頻譜，及實數倒頻譜。

倒頻譜被定義在1963的論文（Bogert等）。定義如下：

字義：倒頻譜（信號）是信號頻譜取對數的傅立葉變換後的新頻譜（信號），有時候會稱頻譜的倒頻譜。
數學上：信號的倒頻譜 = IFT ( log ( | FT (信号) | ) + j2πm )（m為實數）
演算法：信号 -> 傅立叶变换 -> 取绝对值 -> 取对数 -> 相位展开 -> 逆傅立叶变换 -> 倒频谱

複數倒頻譜擁有頻譜大小跟相位的資訊，實數倒頻譜只有頻譜大小的資訊，各有各的不同應用。

複數倒頻譜與實數倒頻譜

複數倒頻譜 

其中
可能遭遇的問題
1. 
2. 有無限多的解
當輸入是實數時,因為偶對稱，奇對稱,所以複數倒頻譜的值為實數

實數倒頻譜 

可能遭遇的問題
1.

應用 
倒頻譜可以被視為在不同頻帶上變化速率的資訊，倒頻譜一開始被發明在地震或炸彈產生的地震回音，現今也被使用在分析雷達訊號，以及訊號處理等問題。
自相關倒頻譜(autocepstrum)被定義為倒頻譜的自相關性，自相關倒頻譜有時在分析處理回傳訊號時比倒頻譜還準確。
倒頻譜在處理人聲訊號以及音樂訊號有非常好的效果，例如梅爾頻率倒頻譜(Mel-Frequency Cepstrum)，用來做聲音的辨認，偵測音高等。近年來梅耳倒頻譜也被應用在音樂資訊的回覆。
倒頻譜在聲學中可以將聲帶震動的影響去除。
倒頻譜用在處理多路徑問題時(如聲波的迴音、電磁波的折、反射等)，如果將其他路徑干擾視為雜訊，為了消除雜訊，利用倒頻譜，不需測量每條多路徑的延遲時間，可以利用傳送多次信號，觀察其他路徑在倒頻譜上的效果，並且加以濾除。
語音大致上是由音高、聲帶脈衝、聲門波形所組成，我們可以利用倒頻譜將這三種元素在倒頻域上分開，以利於做語音訊號的分析。
倒頻譜的微分適用於影像處理上的圖形辨認(pattern recognition)。
倒頻譜與同型聲音理論(homomorphic sound theory)有關。

倒頻譜觀念 
頻譜圖上的獨立變數是頻率，而倒頻譜圖上的獨立變數為倒頻率(quefrency)，倒頻率是一種時間的度量單位。舉個例子，聲音訊號取樣速率等於44100赫茲，在倒頻譜上有個很大的值在倒頻率等於100，代表實際上在44100/100=441赫茲有很大的值，這值出現在倒頻譜上因為頻譜上週期性出現，而頻譜上出現的週期與倒頻譜很大的值出現的位置有關。

倒濾波器 
濾波器(filter)常使用在頻譜上，用來保存或刪除我們所要或不要的資訊，經過上面的許多討論，不難猜到，倒濾波器(lifter)就是在倒頻譜上所使用的濾波器。低通的倒濾波器跟低通濾波器有點類似，它可以藉由在倒頻譜上乘以一個window係數，使倒頻譜上的高倒頻率被壓抑，如此依來，當信號轉回時域空間時會變成一個較平滑的信號。

計算倒頻譜的方法

直接計算IDTFT(反離散時間傅立葉變換) 

問題:  可能會無限大, 且對於arg(x[n])有無限多個解

利用Z轉換的零點與極點 
先對信號做Z轉換, 並整理一下係數, 讓他變成下面的形式

其中

分子: 
第一項A是係數
第二項是延遲
第三項是位於單位圓內的零點
第四項是位於單位圓外的零點

分母:
第一項是位於單位圓內的極點
第二項是位於單位圓外的極點

對取log變成

假設r=0, 因為這只是延遲, 並不會破壞波形
根據Z轉換所得到的系數, 我們可以利用泰勒展開得到Z的反轉換

注意事項
1.總是IIR(無限脈衝響應)
2.對於FIR(有限脈衝響應)的情況,

利用Z轉換與微分 

對其做Z的反轉換

故

分別對於x[n]的四種不同的狀況做延伸
1.對於x[n]是因果(causal)和最小相位(minimum phase) i.e. 
對於
可得出

故

2.對於x[n]是最小相位(minimum phase)

3.對於x[n]是反因果(anti-causal)且最大相位(maximum phase) i.e. 

4.對於x[n]是最大相位(maximum phase)

特性
1. 複數倒頻譜至少以的速度衰退

其中  
2. 如果X(Z)沒有在單位圓以外的零點和極點, 則

因為
3. 如果X(Z)沒有在單位圓以內的零點和極點, 則

因為
4. 如果x[n]是有限長度, 則是無限長度

梅爾頻率倒頻譜 
梅爾頻率倒頻譜是倒頻譜的一種應用，梅爾頻率倒頻譜常應用在聲音訊號處理，對於聲音訊號處理比倒頻譜更接近人耳對聲音的分析特性，而梅爾頻率倒頻譜與倒頻譜的差別在於:

梅爾頻率倒頻譜的頻帶分析是根據人耳聽覺特性所設計，人耳對於頻率的分辨能力，是由頻率的"比值"決定，也就是說，人耳對200赫茲和300赫茲之間的差別與2000赫茲和3000赫茲之間的差別是相同的。
梅爾頻率倒頻譜是針對訊號的能量取對數，而倒頻譜是針對訊號原始在頻譜上的值取對數。
梅爾頻率倒頻譜是使用離散餘弦轉換，倒頻譜是用離散傅立葉變換。
梅爾頻率倒頻譜係數足夠描述語音的特徵。

梅爾頻率倒頻譜係數(MFCCs)的推導步驟：
將信號做傅立葉變換
頻譜上的值取絕對值再平方成為能量，在乘上頻譜上對應的梅爾頻率倒頻譜三角重疊窗(window)的係數。
對每個梅爾頻率取對數。
作離散餘弦轉換。
求得梅爾頻率倒頻譜係數。

梅爾頻率倒頻譜應用 
梅爾頻率倒頻譜係數常利用在辨認語音技術上，例如辨認電話中說話的人的身份。
利用每種樂風、或樂器在梅爾頻域上有不同特性來分析音樂的種類與類型，並且可以加以分類。

雜訊敏感性 
梅爾頻率倒頻譜係數很容易被外來的雜訊所破壞，因此有些研究結果指出，在求梅爾頻率倒頻譜係數時，在作離散餘弦轉換前，提升適當的能量(大約2或3倍)，以減少雜訊在低能量成份的影響。

梅爾頻率倒頻譜優點 
相較於原始的倒頻譜
有絕對值平方

卷積 
倒頻譜領域上的一項重要的特性為二信號卷積之產生，其產生之程序為二倒頻譜值(cepstra)之相加：

微分倒頻譜(differential cepstrum)

定義 
  或 

If 

優點: 
(a)沒有模糊的相位
(b)可以處理延遲問題

特性 
(1)微分倒頻譜在shift和scaling時，結果不改變。
ex: 

(proof):

(2)複數倒頻譜 與 微分倒頻譜 和原訊號x[n]有關
 diff cepstrum
 recursive formula
複數頻譜做得到的事情, 微分倒頻譜也做得到
(3)如果x[n]是最小相位(minimum phase),則,當
minimum phase 意思為 no poles 或 zeros 在單位圓外
(4)如果x[n]是最大相位(maximum phase),則,當
maximum phase 意思為 no poles 或 zeros 在單位圓內
(5)如果x(n)為有限區間,則為無限區間
複數倒頻譜的衰減率反比於n
微分倒頻譜的衰減率下降

範例 
 ,otherwise 0 , Find its cepstrum.

step 1. Z transform: 
step 2. log: 
step 3. reverse Z transform: 
 ,otherwise 0 , Find its inverse cepstrum.

step 1. Z transform: 
step 2. exp: 
step 3. reverse Z transform: 
Suppose that an IIR filter is 

step 1. Z transform: 
step 2. log: 
step 3. reverse Z transform:

參考文獻 
B. P. Bogert, M. J. R. Healy, and J. W. Tukey: "The quefrency analysis of time series for echoes: cepstrum, pseudo-autocovariance, cross-cepstrum, and saphe cracking". Proceedings of the Symposium on Time Series Analysis (M. Rosenblatt, Ed) Chapter 15, 209-243. New York: Wiley, 1963.
D. G. Childers, D. P. Skinner, R. C. Kemerait, " The Cepstrum: A Guide to Processing," Proceedings of the IEEE, Vol. 65, No. 10, October 1977, pp. 1428-1443.
Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2008

信号处理