類氫原子

似氫原子模型（Hydrogen-like atom）是只擁有一個電子的原子，與氫原子同為等電子體，例如，He+, Li2+, Be3+與B4+等等都是類氫原子，又稱為「類氫離子」。類氫原子只含有一個原子核與一個電子，是個簡單的二體系統，系統內的作用力只跟二體之間的距離有關，是反平方連心力。這反平方連心力二體系統不需再加理想化，簡單化。描述這系統的（非相對論性的）薛丁格方程式有解析解，也就是說，解答能以有限數量的常見函數來表達。滿足這薛丁格方程式的波函數可以完全地描述電子的量子行為。在量子力學裏，類氫原子問題是一個很簡單，很實用，而又有解析解的問題。所推演出來的基本物理理論，又可以用簡單的實驗來核對。所以，類氫原子問題是個很重要的問題。

稱滿足上述系統的薛丁格方程式的波函數為單電子波函數，或類氫原子波函數。類氫原子波函數是單電子角動量算符  與其 z-軸分量算符  的本徵函數。由於能量本徵值  跟量子數  ， 無關，而只跟主量子數  有關。所以，類氫原子波函數可以由主量子數  、角量子數  、磁量子數  ，獨特地決定。因為構造原理，還必須加上自旋量子數  。對於多電子原子，這原理限制了電子構型的四個量子數。對於類氫原子，所有簡併的軌域形成了一個電子層；每一個電子層都有其獨特的主量子數  ．這主量子數決定了電子層的能量。主量子數也限制了角量子數  、磁量子數  、自旋量子數  的值域。

除了氫原子（電中性）以外，類氫原子都是離子，都帶有正電荷量  ；其中， 是單位電荷量， 是原子序數。離子像He+、Li2+、Be3+、B4+、等等，都是類氫原子。

在元素周期表中，第 IA 族的鹼金屬元素，其原子的最外電子層都有一個電子，而第二外層電子層的亞層，不論是 s 亞層或 p 亞層，凡是內中有電子的亞層．都已被填滿。例如，鈉元素有11個電子。電子排佈為  。最外層只有一個電子。第二外層的  與  亞層都已填滿。鉀元素有19個電子。電子排佈為  。第二外層的  與  亞層都已填滿。由於  亞層的軌域的能量較高，最外層唯一的一個電子的軌域是  。受到內層電子的緊密屏蔽，這最外層的電子只能感受到大約為一個質子的存在。有效原子序數是 1 。所以，這鹼金屬的單電子系統可以視為一個類氫原子系統。可以用原子序數為 1 的類氫原子波函數，來近似地表達這電子的量子態。

因為電子與電子之間的庫侖相互作用，擁有多個電子的原子或離子沒有解析解，必須用數值法來做量子力學計算，才能求得近似的波函數以及其它有關性質。由於哈密頓量的球對稱性，一個原子的角動量  守恆。許多數值程序，開始於單電子算符  與  的本徵函數的乘積。所計算出來的波函數的徑向部分 有時會是數值列表或斯萊特軌域 () 。應用角動量偶合方法 () ，可以設定  （或許也可以設定  ）的多電子本徵函數。

薛丁格方程式解答
類氫原子問題的薛丁格方程式為
 ；

其中， 是約化普朗克常數， 是電子與原子核的約化質量， 是量子態的波函數， 是能量， 是庫侖位勢：
 ；

其中， 是真空電容率， 是原子序， 是單位電荷量， 是電子離原子核的距離。

採用球坐標 ，將拉普拉斯算子展開：
 。

猜想這薛丁格方程式的波函數解  是徑向函數  與球諧函數  的乘積：
 。

角部分解答
參數為天頂角和方位角的球諧函數，滿足角部分方程式 
 ；

其中，非負整數  是軌角動量的角量子數。磁量子數  （滿足  ）是軌角動量對於 z-軸的（量子化的）投影。不同的  與  給予不同的軌角動量函數解答  ：
 ；

其中， 是虛數單位， 是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為
 ；

而  是  階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為
 。

徑向部分解答
徑向函數滿足一個一維薛丁格方程式：
 。

方程式左邊的第二項可以視為離心力位勢，其效應是將徑向距離拉遠一點。

除了量子數  與  以外，還有一個主量子數  。為了滿足  的邊界條件， 必須是正值整數，能量也離散為能級  。隨著量子數的不同，函數  與  都會有對應的改變。按照慣例，規定用波函數的下標符號來表示這些量子數。這樣，徑向函數可以表達為
 ；

其中， 。  近似於波耳半徑  。假若，原子核的質量是無限大的，則  ，並且，約化質量等於電子的質量， 。  是廣義拉格耳多項式，定義為

 ；

其中， 是拉格耳多項式，可用羅德里格公式表示為

 。

為了要結束廣義拉格耳多項式的遞迴關係，必須要求  。

知道徑向函數  與球諧函數  的形式，可以寫出整個量子態的波函數，也就是薛丁格方程式的整個解答：
 。

量子數
量子數  ， ， 都是整數，容許下述值：
 ，
 ，
 。

為什麼  ？為什麼  ？若想進一步知道關於這些量子數的群理論，敬請參閱氫原子量子力學。

角動量
每一個原子軌域都有特定的角動量向量  。它對應的算符是一個向量算符  。角動量算符的平方  的本徵值是

 。

角動量向量對於任意方向的投影是量子化的。設定此任意方向為 z-軸的方向，則量子化公式為

 。

因為  ， 與  是對易的， 與  彼此是相容可觀察量，這兩個算符有共同的本徵態。根據不確定性原理，以同時地測量到  與  的同樣的本徵值。

由於  ， 與  互相不對易， 與  彼此是不相容可觀察量，這兩個算符絕對不會有共同的基底量子態。一般而言， 的本徵態與  的本徵態不同。

給予一個量子系統，量子態為  。對於可觀察量算符  ，所有本徵值為  的本徵態  ，形成了一組基底量子態。量子態  可以表達為這基底量子態的線性組合： 。對於可觀察量算符  ，所有本徵值為  的本徵態  ，形成了另外一組基底量子態。量子態  可以表達為這基底量子態的線性組合： 。

假若，測量可觀察量  ，得到的測量值為其本徵值  ，則量子態機率地塌縮為本徵態  。假若，立刻再測量可觀察量  ，得到的答案必定是  ，在很短的時間內，量子態仍舊處於  。可是，假若改為立刻測量可觀察量  ，則量子態不會停留於本徵態  ，而會機率地塌縮為  本徵值是  的本徵態  。這是量子力學裏，關於測量的一個很重要的特性。

根據不確定性原理，
 。

 的不確定性與  的不確定性的乘積  ，必定大於或等於  。

類似地， 與  之間， 與  之間，也有同樣的特性。

自旋-軌道作用

電子的總角動量必須包括電子的自旋。在一個真實的原子裏，因為電子環繞著原子核移動，會感受到磁場。電子的自旋與磁場產生作用 ，這現象稱為自旋-軌道作用。當將這現象納入計算，自旋與角動量不再是保守的，可以將此想像為電子的進動。為了維持保守性，必須取代量子數  、 與自旋的投影  ，而以量子數 ， 來計算總角動量。

精細結構

在原子物理學裏，因為一階相對論性效應，與自旋-軌道耦合，而產生的原子譜線分裂，稱為精細結構。

非相對論性，無自旋的電子產生的譜線稱為粗略結構。類氫原子的粗略結構只跟主量子數  有關。可是，更精確的模型，考慮到相對論效應與自旋-軌道效應，能夠分解能級的簡併，使譜線能更精細地分裂。相對於粗略結構，精細結構是一個  效應；其中， 是原子序數， 是精細結構常數。

在相對論量子力學裏，狄拉克方程式可以用來計算電子的波函數。用這方法，能階跟主量子數  、總量子數  有關，容許的能量為
 。

穩定性
思考類氫原子穩定性問題，應用經典電動力學來分析，則由於庫侖力作用，束縛電子會被原子核吸引，呈螺線運動掉入原子核，同時輻射出無窮大能量，因此原子不具有穩定性。但是，在大自然裏這虛擬現象實際並不會發生。那麼，為什麼類氫原子的束縛電子不會掉入原子核裏？應用量子力學，可以計算出類氫原子系統的基態能量大於某有限值，稱這結果為滿足「第一種穩定性條件」，即類氫原子的基態能量  大於某有限值：
 。

量子力學的海森堡不確定性原理  可以用來啟發性地說明這問題，電子越接近原子核，電子動能越大。但是海森堡不確定性原理不能嚴格給出數學證明，有些特別案例不能滿足第一種穩定性條件，因為  量度的是波函數的半寬度，而不是波函數集聚於原子核附近的程度，所以波函數可以擁有一定的半寬度，並且極度集聚於原子核附近，造成庫侖勢能趨於  ，同時維持有限的動能。

更詳細分析起見，只考慮類氫原子系統，給定原子的原子序  ，原子的能量  為
 ；

其中， 為動能， 為勢能， 為描述類氫原子系統的波函數， 為位置坐標， 為積分體積。

應用索博列夫不等式，經過一番運算，可以得到能量最大下界為。
 ；

其中， 是能量單位里德伯，大約為13.6eV。

總結，類氫原子滿足第一種穩定性條件這結果。

參閱
氫原子
芮得柏原子
正子電子偶
拉普拉斯-龍格-冷次向量
精細結構

註釋

參考文獻

 Tipler, Paul & Ralph Llewellyn (2003).  Modern Physics (4th ed.).  New York: W. H. Freeman and Company.  ISBN 0-7167-4345-0

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