哈密顿向量场

在数学与物理中，哈密顿向量场是辛流形上一个向量场，定义在任何能量函数或哈密顿函数上。以物理学家和数学家威廉·卢云·哈密顿命名。哈密顿向量场是经典力学中的哈密顿方程的几何表现形式，哈密顿向量场的积分曲线表示哈密顿形式的运动方程的解。由哈密顿向量场生成的流是辛流形的微分同胚，在物理中称为典范变换，在数学中称为（哈密顿）辛同胚。

哈密顿向量场可以更一般地定义在任何泊松流形上。对应于流形上的函数 f 与 g 的两个哈密顿向量场的李括号也是一个哈密顿向量场，其哈密顿函数由 g 与 f 的泊松括号给出。

定义 
假设 (M,ω) 是一个辛流形。因为辛形式 ω 非退化，诱导了切丛  与余切丛  的一个线性同构
  

以及逆
  

从而，流形 M 上的1-形式可以与向量场等价起来，故任何可微函数  确定了惟一的向量场 XH = Ω(dH)，称为哈密顿函数 H 的哈密顿向量场。即对 M 上任何向量场 Y，等式

一定成立。

注：一些作者定义哈密顿向量场为相反的符号；需注意物理与数学著作的不同习惯。

例子 
假设 M 是一个 2n 维辛流形。则由达布定理，我们在局部总可以取 M 的一个典范坐标 ，在这个坐标系下辛形式表示为

 

则关于哈密顿函数 H 的哈密顿向量场具有形式

这里 Ω 是一个 2n × 2n 矩阵

假设 M = R2n 是 2n 维具有（整体）典范坐标的辛向量空间。

 如果  则  
 如果  则 
 如果  则 
 如果  则

性质 
 映射  线性的，所以两个哈密顿函数之和变为相应的哈密顿向量场之和。

 假设  是 M 上的典范坐标。则曲线  是哈密顿向量场 XH 的积分曲线当且仅当它是哈密顿方程的一个解：

 哈密顿函数 H 在积分曲线上是常数，这就是  与时间 t 无关。这个性质对应于哈密顿力学中的能量守恒。

 更一般地，如果两个函数 F 与 H 的泊松括号为零（见下），则 F 沿着 H 的积分曲线为常数；类似地 H 沿着 F 的积分曲线是常数。这个事实是诺特定理背后的数学原理。

 辛形式  在哈密顿流下不变；或等价地，李导数  这里  是内乘，用到了李导数的嘉当公式。

泊松括号  
哈密顿向量场的概念导致了辛流形 M 上的可微函数的一个斜对称双线性算子，这就是泊松括号，由如下公式定义
 

这里  表示沿着向量场 X 的李导数。此外，我们可以验证有恒等式：

   

这里右边表示哈密顿函数 g 与 g 对应的哈密顿向量场的李括号。事实上有：

作为一个推论，泊松括号满足雅可比恒等式。

 

这意味着 M 上可微函数组成的向量空间，赋予泊松括号，是 R 上的一个李代数，且映射 
 是一个李代数反同态，其核由局部常值函数组成（如果 M 连通则为常数）。

参考文献 
 See section 3.2.
 
 
 

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