正合序列

在數學裡，尤其是在群論、環與模理論、同調代數及微分幾何等數學領域中，正合序列（或釋作正合列或恰當序列）是指一個由對象及其間的態射所組成的序列，該序列中的每一個態射的像都恰好是其下一個態射的核。正合序列可以為有限序列或無限序列。

正合序列於同調代數中居於核心地位，其中特別重要的一類是短正合序列。

定義
在群論裡，一個由群及群同態所組成的序列

稱之為正合序列，若且唯若該序列中的每一個同態的像均等於其下一個同態的核：

 

上述的正合序列可以為有限序列，亦或是無限序列。

在其他的代數結構裡也可以得出類似的定義，如將群與群同態替換成向量空間與線性映射，或是模與模同態，也都可以得出類似的正合序列定義。更一般性地來說，任何一個具有核與上核的範疇裡都能形成正合序列的概念。

簡單例子 
下面會舉出一些相對簡單的例子來幫助理解上述定義。這些例子均以-{zh:平凡;zh-hans:平凡;zh-hk:當然;zh-tw:平凡}-群作為開頭或結束，一般會將此一平凡群標記為0（表示加法運算，一般用於序列內的群為阿貝爾群時），或標記為1（表示乘法運算）。

 序列0 → A → B 為正合序列，若且唯若從A 至B 的映射，其核為{0}，亦即若且唯若該映射為單射。
 在對偶時，序列B → C → 0 為正合序列，若且唯若從B 至C 的映射，其像為整個C，亦即若且唯若該映射為滿射。
 因此，序列0 → X → Y → 0 為正合序列，若且唯若從X 至Y 的映射同時為單射及滿射（即為雙射），並因此在大多數狀況下，該映射為從X 至Y 的同構。

短正合序列 
短正合序列為具有下列形式的正合序列

如上所述，對任何一個短正合序列，f 一定為單射，且g 一定為滿射，且f 的像會等於g 的核。因此，可導出一同構

若以下任一等價（依據分裂引理）條件成立，則稱短正合序列 分裂：
 有截面（即存在使得）
 有縮回（即存在使得）
 該短正合序列同構（在鏈複形的意義下）於
 
其中的箭頭是直和的典範映射。

對於群的範疇，前兩個條件不一定蘊含第三個，它們只能保證可以表為與的半直積；例如我們可考慮群同態
 
其中是3次對稱群。由給出，它的像是交代群，商為；但無法分解成。

將正合序列拆解為短正合序列
正合序列可以透過核Ker與上核Coker的構造拆解為短正合序列，構造方式如下：考慮一正合序列

設

其中，這就給出了一個短正合序列
 

一般而言，設為鏈複形，我們同樣定義；此時鏈複形的正合性等價於所有短鏈的正合性。

推廣
給定一個短正合序列
 
有時也稱為經由的擴張。

詳閱條目Ext函子與群上同調。

長正合序列

若有鏈複形的短正合序列：
 

反覆運用蛇引理，可以導出正合序列
 

對上鏈複形的上同調亦同，此時連接同態的方向是。這類序列稱作長正合序列，它是同調代數最重要的技術之一。在代數拓撲中，長正合序列與相對同調群和Mayer-Vietoris序列相關。導函子也可以導出相應的長正合序列。

參見
 正合函子
 鏈複形

Z
加法范畴
Z
Z
序列