方根

在数学中，一數為数的次方根，則。在提及实数的次方根的时候，若指的是此数的主次方根，則可以用根号（）表示成。例如：1024的主10次方根为2，就可以记作。當時，則可以省略。定义实数的主次方根为的次方根，且具有与相同的正负号的唯一实数。在是偶数時，负数没有主次方根。习惯上，将2次方根叫做平方根，将3次方根叫做立方根。

方根也是幂的分数指数，即數為数的次方：

符号史 

最早的根号“√”源于字母「r」的变形（出自拉丁语latus的首字母，表示“边长”），没有线括号（即被开方数上的横线），后来数学家笛卡尔给其加上线括号，但与前面的方根符号是分开的，因此在复杂的式子显得很乱。直至18世纪中叶，数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根（当根指数为2时，省略不写。）。形成了现在所熟悉的开方运算符号。

考慮在计算机中的输入问题，有时也可以使用sqrt(a,b)来表示a的b次方根。

基本运算 
带有根号的运算可由如下公式推導而得:

这裡的a和b是正数。 

对于所有的非零复数，有个不同的复数使得，所以符号就會出現歧义（通常這樣寫是取個值當中主幅角最小的）。次单位根是特别重要的。

当一个数从根号形式变换到幂形式，幂的规则仍适用（即使对分数幂），也就是

例如:

若要做加法或减法，需考慮下列的概念。

若已可以简化根式表示式，则加法和减法就只是群的“同类项”问题。

例如

不尽根数 
未經化簡的根數，一般叫做“不尽根数”（surd），可以处理为更简单的形式。

如下恒等式是處理不尽根数的基本技巧:

无穷级数 
方根可以表示为无穷级数:

找到所有的方根 
任何数的所有的根，实数或复数的，可以通过简单的算法找到。这个数应当首先被写为如下形式(参见欧拉公式)。接着所有的n次方根给出为:

对于，这裡的表示的主次方根。

正实数 
所有或的次方根，这裡的是正实数，的复数解由如下简单等式给出:

对于，这裡的表示的主次方根。

解多项式 
曾经有數學猜想，認為多项式的所有根可以用根号和基本运算来表达；但是阿贝尔-鲁菲尼定理断言了这不是普遍为真的。例如，方程
 
的解不能用根号表达。

要解任何n次方程，参见求根算法。

算法 
對於正數，可以通過以下算法求得的值：
 猜一個的近似值，將其作為初始值
 設 。記誤差為，即。
重複步驟2，直至絕對誤差足夠小，即：。

從牛頓法導出
求之值，亦即求方程的根。

設，其導函數即。

以牛頓法作迭代，便得

從牛頓二項式定理導出 
設為迭代值，為誤差值。

令（*），作牛頓二項式展開，取首兩項：

調項得

將以上結果代回（*），得遞歸公式

参见 
 增乘开平方法
 幂
 无理数
 分母有理化
 双重根号
 2的12次方根

外部链接 

 高階根號求解 。此法亦可求任意正實數指數值
 立方根與高次方根 
 指數-高中數學教案
 法国心算天才70.2秒算出200位数13次方根(图) 

初等代数
数字运算