長度 (模論)

在數學中，設  為環，一個 -模 之長度是一個整數（包括無窮大），它推廣了向量空間的維度。有限長度的模與有限維向量空間有許多共通性。

動機
單模是除了零和本身外沒有子模的模，這種模有時也稱為不可約模。例如不可約的向量空間（視為域或除環上的模）是一條直線。對於單模，我們只可能造出一種嚴格遞增的子模鏈：

 

單模是容易處理的對象。對於一個環  上的 -模 ，如果我們能找到一條嚴格遞增的子模鏈：

 

使得每個子商  都是單模，那麼此鏈將是極大的——我們無法插入新的子模。根據以下將闡述的定義，這時  將是有限長度的模，其長度 恰為 。

因此單模正好是長度為一的模。另一個例子：設  是域  上的有限維向量空間，那麼一個極大的子模鏈是一族子空間 ，使得維度在每一步都加一：

 

而此時 ，這種資料稱作旗。

定義
設  為一個環（可能非交換）， 一個 -模  的長度定義為嚴格遞增的子模鏈長度的上確界：此即最大可能的整數 （可能是無窮大），使得  中存在嚴格遞增的子模鏈 。模  的長度記為 ，不致混淆時也逕寫作 。

例子
 模  是單模的充要條件是長度為一。
 對於向量空間，長度等於維度。
 整數環  視為 -模，則其長度為無窮大，因為存在任意長的子模鏈 。
 設正整數  的素因數分解為 ，則有

性質
有限長的模具有許多類似有限維向量空間的性質。例如：若  為有限長模，則其子模皆有限長，設  為兩個子模， 且 ，則 。

我們有 Grassman 公式：
 

對於有限長模 ，一個極大的子模鏈  稱為一個合成列，其長度  是固定的，且合成因子  在至多差一個置換與同構的意義下唯一。

此外，一個模是有限長模若且唯若它同時是阿廷模與諾特模。

文獻
 Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X

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长度