子群

假設  是一個 群（group），若  是  的一個非空子集（subset）且同時  與相同的二元運算  亦構成一個群，則  稱為  的一個 子群（subgroup）。參閱群論。

更精確地來說，若運算  在  的限制也是個在  上的群運算，则称   為 的子群。

一個群  的 純子群 是指一個子群 ，其為 的純子集（即  ≠ ）。任一個群總會有兩個子群 當然群（為只包含單位元素的子群，{e}）以及 群本身。若  為 的子群，則  有時會被稱為  的「母群」。

相同的定義可以應用在更廣義的範圍內，當 G 為一任意的半群，但此一條目中只處理群的子群而已。群G 有時會被標記成有序對(G,*)，通常用以強調其運算  當 G 帶有多重的代數或其他結構。

在下面的文章中，會使用省略掉  的常規，並將乘積a*b寫成 ab。

子群的檢驗 
給定一個群，為的子集，則有為的子群若且唯若。

若為的子群可表示為，則以上表述可表示為:

證明：

：

因為，對於任意，，另有，由於為一個群，所以。

：

假設，令，可得，即存在單位元。

對於，令，，可得，即對於任意，存在。

對於，令，，可得，即對於任意，。

因此成立。

子群的基本性質 

  且存在一個映射,且對每個  有。
  ,其中為 的單位元素。
 若，則為會使得 之  中的元素，有。
 若 .但則不一定，例如2和3是在與的聯集中，但其總和5則不是。
 若S是G的子集，則存在一個包括S的最小子群，其可以由取得所有包括S的子群之交集來找出；此一最小子群被標記為<S>且稱為由S產生的子群。G內的一個元素在<S>內若且唯若其為S內之元素的有限乘積且其逆元。
 群G內的每一個元素a都會產生一個循環子群<a>。若<a>同構於某一正整數n之Z/nZ，則n會是最小個會使得an = e的正整數，且n被稱為是a的「階」。若<a>同構於Z，則a會被稱有「無限階」。
 任一給定的群之子群都會形成一個在內含下的完全格，稱之為子群格。(其最大下界為一般的集合論交集，而其一群子群的最小上界所此些子群之集合論聯集「所產生」的子群。)若e為G的單位元素，則其當然群{e}會是群G的最小子群，而其最大子群則會是群G本身。

例子

1. 有限群 
 和以8為模的加法為二元運算的群(此群亦同時是阿貝爾群)。
其凱萊表為
{| class="wikitable"
!style="background:#FFFFAA;"| +
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="red">0 
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="red">4 
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="red">2
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="red">6
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="blue">1 
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="blue">3 
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="blue">5 
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|-
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="red">0
|style="background:silver" | <font color="red">0 ||style="background:silver" | <font color="red">4 || <font color="red">2 || <font color="red">6 || <font color="blue">1 || <font color="blue">3 || <font color="blue">5 || <font color="blue">7
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="red">4
|style="background:silver" | <font color="red">4 ||style="background:silver" | <font color="red">0 || <font color="red">6 || <font color="red">2 || <font color="blue">5 || <font color="blue">7 || <font color="blue">1 || <font color="blue">3
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="red">2
| <font color="red">2 || <font color="red">6 || <font color="red">4 || <font color="red">0 || <font color="blue">3 || <font color="blue">5 || <font color="blue">7 || <font color="blue">1
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="red">6
| <font color="red">6 || <font color="red">2 || <font color="red">0 || <font color="red">4 || <font color="blue">7 || <font color="blue">1 || <font color="blue">3 || <font color="blue">5
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="blue">1
| <font color="blue">1 || <font color="blue">5 || <font color="blue">3 || <font color="blue">7 || <font color="red">2 || <font color="red">4 || <font color="red">6 || <font color="red">0
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="blue">3
| <font color="blue">3 || <font color="blue">7 || <font color="blue">5 || <font color="blue">1 || <font color="red">4 || <font color="red">6 || <font color="red">0 || <font color="red">2
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="blue">5
| <font color="blue">5 || <font color="blue">1 || <font color="blue">7 || <font color="blue">3 || <font color="red">6 || <font color="red">0 || <font color="red">2 || <font color="red">4
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="blue">7
| <font color="blue">7 || <font color="blue">3 || <font color="blue">1 || <font color="blue">5 || <font color="red">0 || <font color="red">2 || <font color="red">4 || <font color="red">6
|}

此凱萊表是故意不用常規的排列法來表明此群有著一對非當然子群： 和 ，其中  亦是  的子群。 的凱萊表是  的凱萊表之左上半部。  群是循環的，而其子群亦為。一般而言，循環群的子群亦為循環的。

2. 二面體群 
如果，則 是一個子群

3.群的中心，中心化子，正規化子 
我們設一個群G的子集，包含了所有與群G中其他元素可交換的元素，也就是說

，此集合為群G的子群。我們稱此子群為群的中心，記作。

設A為G的任意子集，則A在G中的中心化子為集合，此集合的定義為:

，此集合也是群G的子群。

至於A在G中的正規化子則為集合，此集合定義為:

，此集合也是群G的子群。

陪集和拉格朗日定理 

給定一子群H和G內的某一元素a，則可定義出一個左陪集 aH={ah;h∈H}。因為a為可逆的，由φ(h) = ah給出之映射φ : H → aH為一個雙射。更甚地，每一個G內的元素都包含在恰好一個H的左陪集中；其左陪集為對應於一等價關係的等價類，其等價關係a1 ~ a2若且唯若a1−1a2會在H內。H的左陪集之數目稱之為H在G內的「指數」，並標記為[G:H]。

拉格朗日定理敘述著對一個有限群G和一個子群H而言，

其中o(G)和o(H)分別為G和H的階。特別地是，每一個G的子群的階(和每一個G內元素的階)都必須為o(G)的因數。
右陪集為相類比之定義：Ha = {ha : h∈H}。其亦有對應於一適當之等價關係的等價類，且其個數亦會相等於[G:H]。

若對於每個在G內的a，aH=Ha，則H稱之為正規子群。每一個指數2的子群皆為正規的：左陪集和右陪集都簡單地為此一子群和其補集。

另見 
 嘉當子群
 費汀子群
 穩定子群

Z
Z