素数的倒数之和

公元前3世纪，欧几里得证明了素数有无穷多个。公元十八世纪，欧拉证明了所有素数的倒数之和发散。这里给出一些证明。

证明一

 

 

因为当n逐渐增大时，前n个整数的倒数之和趋近于ln(n)，所以

证明二

此证明由保罗·埃尔德什给出。用反证法。

假设所有素数的倒数之和收敛：

定义为第i个素數，可得到

存在一个正整数i使得

定义N(x)为不超过x且不能被任何大于第i个素数的素数整除的正整数n的个数。
设，k不再含平方因子（任何整数都可以这样）。
由于只有i个素数能整除k，k最多只有种选择。
又因为m最多只能取个值，可得到：

不超过x且能被某些大于第i个素数的素数整除的正整数n的个数为x − N(x)。

因为不超过x且能被p整除的整数最多有x/p个，可得到

或

但这是不可能的。

证毕。

参见
素数
布朗常数
欧拉乘积

外部链接
 Chris K. Caldwell: "There are infinitely many primes, but, how big of an infinity?", http://www.utm.edu/research/primes/infinity.shtml 
Z
數學推理
级数
素數