幂零元

在抽象代数中，某个环R的一个元素x是一个幂零元，当存在一个正整数n，使得xn等于加法中的零元素。

例子 
 首先来看一个矩阵中的例子。在3阶方阵中，矩阵：

 是一个幂零元，因为A3 = 0。

 在商环Z/9Z中，同余类3是一个幂零元，因为32是同余类0。

 如果在不交换的环R中，a,b满足ab=0。那么元素c=ba（如果非零的话）是一个幂零元，因为c2=(ba)2=b(ab)a=0。在矩阵中的一个例子是：

 于是有

性质 
在一个非平凡的交换环中，幂零元不可能是乘法的可逆元。每个幂零元显然都是零因子。

在交换环中，所有的幂零元组成一个理想，称作这个环的。每个素理想都包含所有的幂零元，实际上，所有素理想的交集就是环的诣零根。

如果x是幂零元，那么1 − x就是一个可逆元，因为由xn = 0 可得
(1 − x) (1 + x + x2 + ... + xn−1) = 1 − xn = 1。

更一般地，在满足交换律的情况下，可逆元与幂零元之和依然是一个可逆元。

一个域上的n阶方阵是幂零元，当且仅当它的特征多项式等于。

参见
环

零
环论