拋物線座標系

拋物線坐標系（）是一種二維正交坐標系，兩個坐標的等值曲線都是共焦的拋物線。將二維的拋物線坐標系繞著拋物線的對稱軸旋轉，則可以得到三維的拋物線坐標系。

實際上，拋物線坐標可以應用在許多物理問題。例如，斯塔克效應（），物體邊緣的位勢論，以及拉普拉斯-龍格-冷次向量的保守性。

二維拋物線坐標系
直角坐標  可以用二維拋物線坐標  表示為
 、
 ；

其中， ， 。

反算回來，二維拋物線坐標  可以用直角坐標  表示為
 、
 。

坐標  為常數的曲線形成共焦的，凹性向上的（往 +y-軸）拋物線：
 ，

而坐標   為常數的曲線形成共焦的，凹性向下的（往 -y-軸）拋物線：
 。

這些拋物線的焦點的位置都在原點。

二維標度因子

拋物線坐標  的標度因子相等：
 。

因此，面積的無窮小元素是
 。

拉普拉斯算子是
 。

其它微分算子，像  ，  ，都可以用  坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內的一般公式。

三維拋物線坐標系

將二維的拋物線坐標系繞著拋物線的對稱軸旋轉，則可以得到三維的拋物線坐標系，又稱為旋轉拋物線坐標系。將對稱軸與 z-軸排列成同直線；而拋物線坐標系的共焦點與直角坐標系的原點同地點。直角坐標  可以用三維拋物線坐標  表示為
 、
 、
 ；

其中， ， ，方位角  定義為
 。

反算回來，三維拋物線坐標  可以用直角坐標  表示為
 、
 、
 。

每一個 -坐標曲面都是共焦的，凹性向上的（往 +z-軸）拋物曲面：

 ，

而每一個 >-坐標曲面都是共焦的，凹性向下的（往 -z-軸）拋物曲面：
 。

這些拋物曲面的焦點的位置都在原點。

三維標度因子
三維標度因子為：
 、
 、
 。

我們可以觀察出，標度因子  ，  與二維標度因子相同。因此，體積的無窮小元素是
 。

拉普拉斯算子是
 。

其它微分算子，像  ，  ，都可以用  坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系 條目內的一般公式。

第二種表述
另外還有一種拋物線坐標系的表述，專門用於哈密頓-亞可比方程式。假若使用此種表述的公式，則哈密頓-亞可比方程式可以很容易的分解出來。應用此方法，可以導引出拉普拉斯-龍格-冷次向量的恆定性．

採用下述從拋物線坐標變換至直角坐標的公式：
 、
 、
 。

假若  ，則可得到一片截面；其坐標被限制於  的 +xz-半平面：
 、
 。

假若包含於一條曲線的每一點的坐標  是一個常數， ，則
 。

這是一個共焦點在原點的拋物線；對稱軸與 z-軸同軸；凹性向上。

假若包含於一條曲線的每一點的坐標  是一個常數， ，則
 。

這也是一個共焦點在原點的拋物線；對稱軸與 z-軸同軸；凹性向下。

思考任何一條向上的拋物線  與任何一條向下的拋物線  ，我們想要求得兩條曲線的相交點：
 。

稍微計算，可得
 。

將相交點的横坐標  代入向上的拋物線的公式，
 。

所以，相交點 P 坐標為  。

思考正切這兩條拋物線於點 P 的一對切線。向上的拋物線的切線的斜率為
 。

向下的拋物線的切線的斜率為
 。

兩個斜率的乘積為
 。

所以，兩條切線相垂直。對於任何兩條凹性相反的拋物線，都會有同樣的結果。
 
假設  。讓  值從  緩慢增值，這半平面會相應地繞著 z-軸按照右手定則旋轉；拋物線坐標為常數的拋物線 形成了拋物曲面。一對相反的拋物曲面的相交 設定了一個圓圈。而  值設定的半平面，切過這圓圈於一個唯一點。這唯一點的直角坐標是：
 、
 、
 。

參考文獻
 

 

 

   

  

 

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