平行軸定理

平行軸定理（英語：parallel axis theorem）能夠很簡易地，從剛體對於一支通過質心的直軸（質心軸）的轉動慣量，計算出剛體對平行於質心軸的另外一支直軸的轉動慣量。

讓  代表剛體對於質心軸的轉動慣量、 代表剛體的質量、 代表另外一支直軸 z'-軸與質心軸的垂直距離。那麼，對於 z'-軸的轉動慣量是
 。

平行軸定理、垂直軸定理、伸展定則，這些工具都可以用來求得許多不同形狀的物體的轉動慣量。

平行軸定理也可以應用於面積二次矩（面積慣性矩）：
 ；

這裏， 是對於 z-軸的面積慣性矩、 是對於平面質心軸的面積慣性矩、 是面積、 是 z-軸與質心軸的垂直距離。

因雅各·史丹納 () 而命名，史丹納定理所指的幾個理論，其中一個理論就是平行軸定理。

進階理論
平行軸定理能夠很簡易的，從對於一個以質心為原點的座標系統的慣性張量，轉換至另外一個平行的座標系統。

對於三維空間中任意一参考點 Q 與以此参考點為原點的直角座標系 Qxyz ，一個剛體的慣性張量  是
 。

這裏，對角元素  、 、 分別為對於 x-軸、y-軸、z-軸的慣性矩。設定  為微小質量  對於點 Q 的相對位置。則這些慣性矩，可以精簡地用方程式定義為
 ，
 ，
 。

而非對角元素，稱為慣性積, 可以定義為
 ， 
 ，
 。

假若已知剛體對於質心 G 的慣性張量  ，質心 G 的位置是  ，則剛體對於原點 O 的慣性張量  ，依照平行軸定理，可以表述為
 ，
 ，
 ，

 ，
 ，
 。

證明：

a) 參考右圖 ，讓  、 分別為微小質量  對質心 G 與原點 O 的相對位置：
 ， 。

依照慣性張量的慣性矩定義方程式，
 ，
 。

所以，
 

相似地，可以求得  、 的方程式。

b) 依照慣性張量的慣性積定義方程式 ，
 ，
 。

因為  ， ，所以
 
相似地，可以求得對於點 O 的其他慣性積方程式。

實例

思考一個實心長方體對於質心 G 的慣性張量，

如圖右，質心 G 的位置是  。依照平行軸定理，實心長方體對於點 O 的慣性矩與慣性積分別為

 、
 、
 、

 、
 、
 。

因此，實心長方體對於點 O 的慣性張量是

參閱
轉動慣量列表
垂直轴定理

參考文獻 
Beer, Ferdinand; E. Russell Johnston, Jr., William E. Clausen (2004). Vector Mechanics for Engineers. 7th edition. USA: McGraw-Hill, ISBN 0-07-230492-8

外部連結
南台科技大學高職教師進修網站 

力學
經典力學
動力學
物理定理
矩 (物理學)

fr:Moment d'inertie#Théorème de transport (ou théorème d'Huygens ou théorème de Steiner)