遞進階乘與遞降階乘

在数学中，階乘冪（）是基于自然數数列积的一种运算，分為遞進階乘（）和遞降階乘（），或稱上升階乘和下降階乘，

定义 

遞進階乘与遞降階乘有多种书写方式。

由引进的珀赫哈默尔符號（Pochhammer symbol）是常用的一种，分別為 与  。

一种较为少见的写法将遞進階乘記作  。

葛立恒、高德纳与在《具体数学》一书中，則引进符號  与  。

遞進階乘 

在组合学和特殊函数理论中，遞進階乘用于表达上升自然數数列的积，定义为

遞降階乘 

在组合学中也常用遞降階乘：

另外，值得一提的是遞降階乘实际上是排列 ，详见排列。

两者的关系 

遞進階乘与遞降階乘，两者之间的关系为：

它們与阶乘的关系为：

擴展

零次幂

零次幂的遞進階乘与遞降階乘都定義為空積 1 :

 。

实数 

運用伽玛函数，階乘冪的定義域可以扩展到实数。

遞進階乘的定义變為

遞降階乘则为

特性 

遞進階乘与遞降階乘都能以二项式系数形式表达：

 

于是二项式系数适用的许多性质都适用于遞進階乘与遞降階乘。

显然，遞進階乘与遞降階乘作为 n 个连续整数的积，它定能被 n 整除，即

 ；
 。

當 n=4 ，遞進階乘与遞降階乘必定能表达为一个完全平方数减1，即

；
 。

遞進階乘与遞降階乘遵从一个类似二项式定理的规则:

 

 

其中系数为二项式系数。

因为遞降階乘是多项式环的基础，我们可以将遞降階乘的积表示为遞降階乘的线性组合：

等式右边的系数则为二项式系数。

一般化

階乘冪能一般化至任意函數和公差：

使用這個記號，原來的遞進階乘与遞降階乘便記作  和  。

与亚微积分的關係 

差分方程里常使用遞降階乘。其应用与微积分学中的泰勒定理非常相似，不过将微分替换为对应的差分。只是在差分中，遞降階乘  替代微分中的  例如：

与

这种相似性在数学中称为亚微积分。亚微积分涵盖如多项式的二项式型和谢费尔序列。

程序实现

Mathematica

参考文献 
 .
 .

外部链接  
 
 Elementary Proofs 

伽玛及相关函数
阶乘与二项式主题
有限差分
数字运算