曼德博集合

曼德博集合（，或译為曼德布洛特复数集合）是一种在复平面上组成分形的点的集合，以數學家本華·曼德博的名字命名。曼德博集合與朱利亚集合有些相似的地方，例如使用相同的复二次多项式來进行迭代。

定义 
曼德博集合可以用複二次多项式来定义：

其中  是一个复数參数。

从  开始对  进行迭代：

每次迭代的值依序如以下序列所示： 

不同的参数  可能使序列的绝对值逐漸發散到无限大，也可能收斂在有限的區域内。

曼德博集合  就是使序列不延伸至无限大的所有复数  的集合。

特性
自相似
面积为

相關的定理

定理一 

若 ，則

證明： 

假設  為真

則

第一步： 

當  時

因為 

由以上可得知

第二步： 

假設  成立

由上式可得知 

由數學歸納法可得知對於所有的n(n=1,2,...)， 皆比  小。

當n趨近無限大時  依然沒有發散，所以 ，故得證。

定理二 

若 ，則

證明： 

假設 

則

第一步： 

當  時

由 ，左右同乘  再減去  可得到下式

由以上可得知

第二步： 

假設  成立，則 

因為 

由 ，左右同乘  再減去  可得到下式

由以上可得知 

由數學歸納法可得知 ，可看出隨著迭代次數增加  逐漸遞增並發散。

假如不发散，则收敛于某个常数,

由 再取极限得  即 。

又 ，矛盾，故发散。

所以若 ，則 ，故得證。

定理三 

若 ，則

證明： 

要證明若 ，則 

首先分別探討  與  兩種情形

由定理二可知道  且  時， 。

接著要證明  時的情況：

假設 ，因為  ，所以  ，而

因為 

由 ，左右同乘  再減去  可得到下式

由以上可得知 

由數學歸納法可得知 ，可看出隨著迭代次數增加  逐漸遞增並發散。

所以在  且  的情況下也是 。

綜合上述可得知不論 為多少

若 ，則 ，故得證。

利用定理三可以在程式計算時快速地判斷 是否會發散。

计算的方法 
曼德博集合一般用计算机程序计算。对于大多数的分形软件，例如Ultra fractal，内部已经有了比较成熟的例子。下面的程序是一段伪代码，表达了曼德博集合的计算思路。
For Each c in Complex
 repeats = 0
 z = 0
 Do
  z = z^2 + c
  repeats = repeats + 1
 Loop until abs(z) > EscapeRadius or repeats > MaxRepeats '根据定理三，EscapeRadius可设置为2。
 If repeats > MaxRepeats Then
  Draw c,Black                                            '如果迭代次数超过MaxRepeats，就将c认定为属于曼德博集合，并设置为黑色。
 Else
  Draw c,color(z,c,repeats)                               'color函数用来决定颜色。
 End If
Next

決定顏色的一些方法 
 直接利用循环终止时的Repeats
 综合利用z和Repeats
 Orbit Traps

Mathematica代码 
mand = Compile[{{z0, _Complex}, {nmax, _Integer}}, 
   Module[{z = z0, i = 1}, 
    While[i < nmax && Abs[z] <= 2, z = z^2 + z0; i++]; i]];
ArrayPlot[
 Reverse@Transpose@
   Table[mand[x + y I, 500], {x, -2, 2, 0.01}, {y, -2, 2, 0.01}]]

各種圖示

參考資料 

分形
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