拉普拉斯算子

在數學以及物理中，拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符（）是由欧几里得空间中的一個函数的梯度的散度给出的微分算子，通常寫成 、 或 。

這名字是為了紀念法国数学家皮耶-西蒙·拉普拉斯（1749–1827）而命名的。他在研究天体力学在數學中首次应用算子，当它被施加到一个给定的重力位（Gravitational potential）的时候，其中所述算子给出的质量密度的常数倍。經拉普拉斯算子運算為零  的函數稱為调和函数，现在称为拉普拉斯方程，和代表了在自由空间中的可能的重力场。

拉普拉斯算子有許多用途，此外也是椭圆算子中的一個重要例子。

拉普拉斯算子出现描述许多物理现象的微分方程裡。例如，常用於波方程的數學模型、熱傳導方程、流体力学以及亥姆霍茲方程。在靜電學中，拉普拉斯方程和泊松方程的應用隨處可見。在量子力學中，其代表薛丁格方程中的動能項。

拉普拉斯算子是最简单的椭圆算子，并且拉普拉斯算子是霍奇理論的核心，並且是德拉姆上同調的結果。在图像处理和计算机视觉中，拉普拉斯算子已经被用于诸如和边缘检测等的各种任务。

定义
拉普拉斯算子是 n 维欧几里得空间中的一个二阶微分算子，其定义为對函數  先作梯度運算（）後，再作散度運算（）的結果。因此如果  是二阶可微的实函数，则  的拉普拉斯算子定义为：

  ── (1)

 的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系  中的所有非混合二阶偏导数：

  ── (2)

作为一个二阶微分算子，对于k ≥ 2，拉普拉斯算子把Ck函数映射到Ck-2函数。表达式（(1)或(2)）定义了一个算子Δ：Ck(Rn)→ Ck-2(Rn)，或更一般地，定义了一个算子Δ：Ck(Ω)→ Ck-2(Ω)，对于任何开集Ω。

函数的拉普拉斯算子也是该函数的海森矩阵的迹：

坐標表示式

二維空間

其中x與y代表x-y平面上的笛卡兒坐標
另外極坐標的表示法為：

三維空間
笛卡兒坐標系下的表示法

圓柱坐標系下的表示法

球坐標系下的表示法

N维空间
在参数方程为（其中以及）的维球坐标系中，拉普拉斯算子为：

其中是维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。我们也可以把的项写成。

恒等式
 如果f和g是两个函数，则它们的乘积的拉普拉斯算子为：

。

f是径向函数且g是球谐函数，是一个特殊情况。这个情况在许多物理模型中有所出现。的梯度是一个径向向量，而角函数的梯度与径向向量相切，因此：

。

球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数：

。

因此：

。

谱理论 
拉普拉斯算子的谱由特征值和对应的特征函数组成，满足：

这就是所谓的亥姆霍兹方程。

如果在中有界，拉普拉斯算子的特征函数时希尔伯特空间下的一组标准正交基。这主要是因为紧自伴随算子的谱定理，适用于拉普拉斯的逆算子（根据庞加莱不等式和Rellich-Kondrachov定理，它是紧算子）。这也可以表明特征函数是无穷阶可微的函数。更一般地说，这些结果对任何有界紧黎曼流形上的拉普拉斯-贝特拉米算子都是成立的，或者说对任何有边界上具有光滑系数的椭圆算子的Dirichlet特征值问题也成立。当Ω为N维球面时，拉普拉斯的特征函数是球谐函数。

推广

复杂空间上的实值函数
拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里得空间，这时它就有可能是椭圆型算子，双曲型算子，或超双曲型算子。

在闵可夫斯基空间中，拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子：

达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-戈尔登方程以及四维波动方程。第四个项前面的符号是负号，而在欧几里德空间中则是正号。因子c是需要的，这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量；如果x方向用寸来衡量，y方向用厘米来衡量，也需要一个类似的因子。

值域爲复杂空间

向量值函數的拉普拉斯算子

拉普拉斯算子作用在向量值函數上，其結果被定義爲一個向量，這個向量的各個分量分別爲向量值函數各個分量的拉普拉斯，卽
．
更一般地，對沒有坐標的向量，我們用下面的方式定義（受向量恒等式的啓發）：
，也可用類似于拉普拉斯－德拉姆算子的方式定義，然後證明“旋度的旋度”向量恒等式．

拉普拉斯－贝尔特拉米算子

拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子，称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。达朗贝尔算子则推广为伪黎曼流形上的双曲型算子。拉普拉斯–贝尔特拉米算子还可以推广为运行于张量场上的算子（也称为拉普拉斯–贝尔特拉米算子）。

另外一种把拉普拉斯算子推广到伪黎曼流形的方法，是通过拉普拉斯–德拉姆算子，它作用在微分形式上。这便可以通过外森比克恒等式来与拉普拉斯–贝尔特拉米算子联系起来。

参见
在圆柱和球坐标系中的del

参考文献

外部連結
 MathWorld: Laplacian 
 Derivation of the Laplacian in Spherical coordinates  by Swapnil Sunil Jain

皮埃尔-西蒙·拉普拉斯
場論
多变量微积分
微分算子
调和函数