五引理

在同調代數中，五引理是關於交換圖的一個重要引理。五引理可以被視為兩個相對偶的四引理之組合。此結果不只對阿貝爾範疇成立，也對群範疇成立。

陳述
在任一阿貝爾範疇（例如阿貝爾群或模的範疇）或群範疇中，考慮以下的交換圖：

五引理的敘述是：如果橫列正合， 是同構， 是滿射而  是單射，則  是同構。

兩個四引理的敘述是：

(1) 考慮交換圖

若其橫行正合， 是滿射而  是單射，則  是滿射。

(2) 考慮交換圖

若其橫行正合， 是單射而  是滿射，則  是單射。

證明
以下採用的證法俗稱「圖追蹤」，它看似繁複，其實習慣後只是例行程序罷了。

為進行圖追蹤，以下假設所論範疇為某個環上的模範疇，因此可以談論對象的元素，並將態射視為模的同態。此時單射、滿射等等性質相應於集合論意義上的性質。根據Mitchell嵌入定理，可導出一般範疇上的情形。

對於群範疇，僅須注意到證明內容未用到群的交換性。

 設 。
 由於  是滿射，存在  使得 。
 根據圖的交換性，。
 根據正合性， ，故 。
 因為  是單射，，故 。
 於是存在  使得 。
 遂有 。因為  是同態，有 。
 根據正合性，，故存在  使得 。
 因為  是滿射，存在  使得 。
 根據圖的交換性 。
 因為  是同態，。
 由此可知  是滿射。證畢。

為證明 (2)，在下圖中假設  與  是單射，而  是滿射。

 設  使得 。
 於是 。
 根據圖的交換性，
 因為  是單射，。
 根據正合性，存在  使得 。
 根據圖的交換性，。
 根據正合性，存在  使得 。
 因為  是滿射，存在  使得 。
 根據圖的交換性，。
 因為  是單射，。
 故 。
 由此可知  是單射。證畢。

結合兩個四引理，便可證得五引理。

應用
五引理通常用於長正合序列：在計算一個對象的同調或上同調群時，我們通常利用一個較簡單的子對象，其同調或上同調已知，再配合長正合序列進行計算。長正合序列本身不一定能確定所求的同調或上同調，此時可以試著以態射比較原對象與一個已知的對象，此態射導出長正合序列的鏈映射，此時五引理有助於決定未知的同調或上同調群。

相關主題
 短五引理：五引理對短正合序列的特例。
 蛇引理
 九引理

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