小群列表

下面的數學列表包含著以群同構來分之小階有限群。

這個列表可以被用來決定一個給定的有限群G會同構於哪一種群：首先確定G的階，然後再找下面列表中有相同階的候選群。若知道G為可換與否，某些的候選群便可以立刻被刪掉。為了分別剩下的候選群，可以看給定之群內每個元素的階，並對照候選群內每個元素的階。

術語

 Zn：其階為n之循環群(通常Cn或Z/nZ之符號也會被使用)。
 Dihn：其階為2n的二面體群(通常Dn之符號也會被使用，有時則會用D2n)。
 Sn：n階的對稱群，包含有n!個n個元素的置換。
 An：n階的交錯群，包含有n!/2個n個元素的偶置換。
 Dicn：其階為4n的雙循環群。

Zn和Dihn之符號在三維點群Cn和Dn中有著沒有相同符號的優點。其存在著多於此兩類的等距同構群，但這些都有著相同的抽象群類型。

符號G × H表示是兩個群的直積。阿貝爾群和簡單群會加上注釋(對小於60階之群，簡單群會恰好是循環群Zn，其中的n為質數。)下面會以等號(=)來標註同構。

環圖內的單位元素會以黑圓圈來表示。圖環不能唯一地表示一個群之最小階為16。

下面列表中的子群，當然群和群自身並不會被列出來。

小非可換群的列表

另見小阿貝爾群列表和下面合併的列表。

注意如「3×Z2」之標記表示其有3個Z2類型的子群(而不是Z2的一個左陪集)，而其他地方裡的×則表示直積。

<table class="wikitable">
階
群
子群
性質
環圖

6
S3 = Dih3
Z3 , 3 × Z2 
最小的非可換群

8
Dih4
Z4, 2 × Dih2 , 5 × Z2 
非可換

四元群, Q8 = Dic2 
 3 × Z4 , Z2 
非可換；最小的漢彌爾頓群

10
Dih5
 Z5 , 5 × Z2 
非可換

12

14
 Dih7
 Z7 , 7 × Z2 
非可換

16

合併列表

<table class="wikitable">
階
群
子群
性質
環圖

1
平凡群 = Z1 = S1 = A2
- 
平凡、循环、交错、对称、初等

2
Z2 = S2 = Dih1
- 
可換、簡單、最小非當然群

3
Z3 = A3
- 
可換、簡單

4
Z4 
Z2 
可換

克萊因四元群 = Z2 ×
Z2 = Dih2
3 × Z2 
可換、最小非循環群

5
Z5 
- 
可換、簡單

6
Z6 = Z2 × Z3
Z2 , Z3 
可換

S3 = Dih3
Z3 , 3 × Z2 
最小非可換群

7
Z7 
- 
可換、簡單

8
Z8
Z4 , Z2 
可換

Z2 ×Z4
2 × Z4 , 3 ×Z2 , Dih2 
可換

 Z2 ×
Z2 × Z2 = Dih2 × Z2
7 ×
Z2 × Z2 , 7 × Z2  
可換

Dih4
Z4, 2 × Dih2 , 5 × Z2 
非可換

四元群, Q8 = Dic2 
 3 × Z4 , Z2 
非可換、最小漢彌爾頓群

9
Z9
 Z3 
可換

 Z3 ×
Z3
 4 × Z3 
可換

10
Z10 = Z2 × Z5
 Z5 , Z2 
可換

Dih5
 Z5 , 5 × Z2 
非可換

11
Z11
- 
可換、簡單

12
Z12 = Z4 × Z3
Z6 , Z4 , Z3 , Z2 
可換

 Z2 × Z6 = Z2 ×
Z2 × Z3 = Dih2 × Z3
<td>3 × Z6, Z3, Dih2, 3 × Z2 
可換

13
Z13 
- 
可換、簡單

14
Z14 = Z2 × Z7
 Z7 , Z2 
可換

 Dih7
 Z7 , 7 × Z2 
非可換

15
Z15 = Z3 × Z5
Z5 , Z3 
可換

16

小群圖書館
群論電腦代數系統GAP包含著描述了「小」階之群的「小群圖書館」。這些群以同構為分列出。現在，這個圖書館已包含了下列個群：
 至多2000階的群，除了1024階的(423 164 062個群)；
 55階和74階的群(92個群)；
 qn×p階的群，其中qn整除28、36、55或74且p為不同於q的任意質數；
 因式分解成至多3個質數的群。
它包含著上述的群以電腦上可讀形式顯示之詳盡描述。

這個圖書館由Hans Ulrich Besche、Bettina Eick和Eamonn O'Brien所建構及準備；見http://www.tu-bs.de/~hubesche/small.html。

另見
小拉丁方陣和擬群

外部連結
小群

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