波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理

波爾查諾-魏爾施特拉斯定理（）是数学中，尤其是拓扑学与實分析中，用以刻畫 中的緊集的基本定理，得名於數學家伯納德·波爾查諾與卡爾·魏爾施特拉斯。波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理说明，有限维实向量空间中的一個子集是序列緊緻（每個序列都有收斂子序列）当且仅当是有界閉集。

历史

这个定理最早由伯纳德·波尔查诺证明，當他在證明介值定理時，附帶證明了這個定理，但是他的证明已经散佚。卡尔·魏尔施特拉斯独自发现并证明了这个定理。波尔查诺-魏尔施特拉斯定理是实分析中的基本定理。

基础概念
子列：也称为子序列。一个序列的一个子列是指在中抽取无穷多个元素，然后按照它们在原来序列里的顺序排列起来的序列。严格的定义是：如果存在一个从到的严格单调递增的映射，使得，就称是的一个子列。
有界闭集：中的有界闭集概念建立在给定的拓扑和度量上的。由于在有限维向量空间中所有度量等价，所以可以将视为装备了欧几里德度量的度量空间（并且可以定义相应的范数）。的子集有界，当且仅当所有中元素的范数小于一个给定常数。注意这时对应的拓扑是欧几里德范数诱导的自然拓扑。
序列紧致：称一个集合是序列紧致的，是指每个由集合中元素所组成的数列都包含收敛的子列，并且该子列收敛到集合中的某个元素。

定理
波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理可以视为刻画有限维实向量空间中序列紧致集合的定理。波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理的核心部分可以仅仅使用序列的语言来表示：
定理 1：
任一中的有界序列都至少包含一个收敛的子列。
从这个定理出发，在给定的有界闭集中任取一个序列，那么这个序列是有界的，从而至少包含一个收敛的子列。而从的封闭性可知，这个子列作为的一部分，其收敛的极限必然也在中。所以可以推知：
推论：
任一中的有界闭集必然序列紧致。
这个推论给出了中集合序列紧致的充分条件。另一方面，可以证明序列紧致的集合必然是有界闭集。这样就将充分条件推进为充要条件：
定理 2：
中的一个子集是序列紧致的，当且仅当是有界闭集。
由于有限维-{zh-cn:赋范;zh-tw:賦範}-向量空间都与装备了欧几里德范数的同胚，所以以上的定理都可以扩展到任意有限维-{zh-hans:赋范;zh-hant:賦範}-向量空间。

证明
证明的关键是定理的核心部分，也就是定理1：任一中的有界序列都至少包含一个收敛的子列。
引理：
任何实数列必然包含单调的子列。

引理的证明：
设有实数列，定义集合：。集合中的每个元素，都比序列中排在其后的所有元素都大。
如果中有无限个元素，在其中取下标递增的一个数列，那么这个数列是的子列，并且单调递减，构造完毕。
如果中元素个数有限，那么设为中元素的下标中最大的一个。对任意，考虑，不在集合中，所以之后至少会有一个元素大于。换句话说，序列里面排在後面的任一元素，它後面都必然还有一个比它大的元素。于是取，为第一个大于的元素的下标，为第一个大于的元素的下标，依此类推，就可以得到的一个单调递增的子列。

综上可得，任何实数列必然包含单调的子列。

定理的证明：
 
先考虑一维（也就是）的情况。给定有界的实数列，取它的一个单调子列。不妨设这个子列单调递增，由于数列有上界，依据数列的单调收敛定理，这个子列必然收敛。

对于高维（）的情况，证明的思路是取多次子列。

设为一个有界序列，则个实数列都是有界数列。于是存在的子列使得收敛。但是仍是有界数列，因而存在子列使得也收敛（注意这里必然是收敛的）。在进行类似的次操作后，我们就可以得到一个子列，使得都收敛，也就是说存在子列收敛。证毕。

波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质
在有限维度量空间中，波尔查诺-魏尔斯特拉斯说明了序列紧致的集合就是有界闭集。然而在一般的度量空间中，有界闭集不一定是序列紧致的。为此，拓扑学中将一般度量空间中的序列紧致称为波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质。
定义：
设为度量空间的子集。若中任一序列都包含一个收敛的子列，其极限也是中元素，就称具有波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质。
如果度量空间本身满足波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质，就称这个度量空间为紧空间。在度量空间中，波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质等价于海恩-波莱尔性质：所有的开覆盖都有限子覆盖。

参考来源

 Fitzpatrick, Patrick M. (2006) Advanced Calculus (2nd ed.). Belmont, CA: Thompson Brooks/Cole. ISBN 0-534-37603-7.

外部連結

 
 A proof of Bolzano–Weierstrass Theorem 
 PlanetMath: proof of Bolzano–Weierstrass Theorem 
 Proof of Bolzano–Weierstrass Theorem as a rap 
  Demonstration of Bolzano–Weierstrass Theorem  

实分析定理
紧致性定理