泛包絡代數

在數學中，我們可以構造任意李代數  的泛包絡代數 。李代數一般並非結合代數，但泛包絡代數則是帶乘法單位元的結合代數。李代數的表示理論可以理解為其泛包絡代數的表示理論。在幾何上，泛包絡代數可以解釋為李群上的左不變微分算子。

泛性質
以下固定域 。首先注意到：對任意帶乘法單位元的 -結合代數 ，定義括積 ，可視  為李代數。

泛包絡代數係指帶單位元的結合代數  及一個指定的李代數同態 。這對資料由下述泛性質刻劃：

對任意帶乘法單位元的 -結合代數 ， 若存在李代數同態
 。

則存在唯一的代數同態
 
使之滿足
 

換言之，函子  滿足下述關係：
 
 
藉此，可視  為 （單位結合代數）（李代數）的左伴隨函子。

構造方式
首先考慮張量代數 ，此時有自然的包含映射 。取  為下列元素生成的雙邊理想
 
定義

所求的映射  為  與商映射的合成。容易驗證  保存李括積。

根據上述構造，可直接驗證所求的泛性質。

基本性質
 若  可交換，則  亦然；此時  同構於多項式代數。
 若  來自李群 ，則  可理解為  上的左不變微分算子。
  的中心  顯然包含 ，但不僅如此，通常還包括更高階的元素，例如喀希米爾元素；這種元素給出李群上的拉普拉斯算子。

庞加莱-伯克霍夫-维特定理

庞加莱-伯克霍夫-维特定理是泛包絡代數的根本定理之一。取定有限維李代數  的基 ，此定理斷言

 

是  的基。此定理的直接推論是： 為單射。

表示理論
在泛性質中取 ，其中  為任意向量空間，遂可等同  的表示與  的表示，後者不外是 -模。藉此觀點，李代數表示理論可視為模論的一支。

群代數之於群表示一如泛包絡代數之於李代數的表示。兩者都具有霍普夫代數結構。

文獻

 Dixmier, Jacques, Enveloping algebras. Revised reprint of the 1977 translation. Graduate Studies in Mathematics, 11. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. xx+379 pp. ISBN 0-8218-0560-6

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