歐拉-拉格朗日方程

歐拉-拉格朗日方程（）為變分法中的一條重要方程。它是一个二阶偏微分方程。它提供了求泛函的臨界值（平穩值）函數，換句話說也就是求此泛函在其定義域的臨界點的一個方法，與微積分差異的地方在於，泛函的定義域為函數空間而不是 。

该方程由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉与意大利数学家约瑟夫·拉格朗日在1750年代提出。

第一方程
設，以及在中連續，並設泛函
。

若使得泛函取得局部平穩值，則對於所有的，

。

推廣到多維的情況，記 
，
，
 。

若使得泛函取得局部平穩值，則在區間內對於所有的，皆有

。

第二方程
設，及在中連續，若使得泛函取得局部平穩值，則存在一常數，使得

。

例子

例一：两点之间最短曲线
設及為直角坐標上的兩個固定點，欲求連接兩點之間的最短曲線。設，並且 
； 

這裏，為連接兩點之間的曲線。則曲線的弧長為
。

現設 
，
，

取偏微分，則
，
，
。

若使得取得局部平穩值，則符合第一方程：

，
。

因此，
，
。

隨積分，
，
；

這裏，為常數。重新編排，
，
。

再積分， 
，
。

代入初始條件 
， 
；

即可解得，是連接兩點的一條線段。

另經過其他的分析，可知此解為唯一解，並且該解使得取得極小值，所以在平面上連結兩點間弧長最小的曲線為一直線。

例二：两点之间最短曲线的另一种求解
另一个例子同样是求定义在区间[a, b]上的实值函数y满足y(a) = c与y(b) = d，并且沿着y所定义的曲线的道路长度最短。

被积函数为

L的偏导数为

以及

把上面两式代入欧拉-拉格朗日方程，可以得到

也就是说，该函数的一阶导数必须为常值，因此其图像为直线。

參閱
拉格朗日方程式
變分法
作用量
哈密頓原理

參考書籍
Troutman, John L. Variational Calculus and Optimal Control, 2nd edition, (Springer, 1995), ISBN 978-0387945118.

常微分方程
偏微分方程
变分法
包含证明的条目
莱昂哈德·欧拉