伴隨函子

在範疇論中，函子若滿足，則稱之為一對伴隨函子，其中稱為的右伴隨函子，而是的左伴隨函子。伴隨函子在範疇論中是個極基本而有用的概念。

定義 
設為函子，若存在雙函子的同構
 
則稱為一對伴隨函子，稱為的右伴隨函子，而是的左伴隨函子。

上述同構進一步給出兩個同構
 
 

分別在同構的左右兩側置與，遂得到函子間的態射（即自然變換）：
 （單位）
 （上單位）

定義中的雙函子同構由單位與上單位唯一決定。

正合性 
设是一對伴隨函子，若為右正合则為左正合；此命題可由正合函子與極限的定義直接導出。

例子 
伴隨函子在數學中處處可見，以下僅舉出幾個例子：
 自由對象與遺忘函子是一對伴隨函子，舉群範疇為例，此時單位態射不外是集合到它生成的自由群的包含映射。
 積與對角函子。
 設為環，為右-模，則與為一對伴隨函子。當可交換時，上式的可代為，可代為。
 層的正像與逆像。
 群表示理論中的弗羅貝尼烏斯互反定理（詳閱誘導表示）。

文獻 
 Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3-540-27949-0

外部連結 
 Pierre Schapira, Categories and Homological Algebra

函子