科恩系列分佈

科恩系列分佈（Cohen's class distribution）於1966年由L. Cohen首次提出，且其使用雙線性轉換亦是此種轉換形式中最通用的一種。在幾種常見的時頻分佈中，Cohen's class分佈是最強大的轉換之一。隨著近幾年來時頻分析發展，應用也越來越多元。Cohen's class分佈和短時距傅立葉變換比較起來有較高的清晰度，但也相對的有交叉項(cross-term)的問題，不過可選擇適當的遮罩函數(mask function)來將交叉項的問題降到最低。

數學定義 
 ，

其中  為模糊函數(Ambiguity Function) ，且為一遮罩函數，通常是低通函數用來濾除雜訊。

科恩系列分佈函數

韋格納分布(Wigner Distribution Function) 

當Cohen's class分佈中的時，Cohen's class分佈會成韋格納分布(Wigner distribution function)。

利用韋格納分佈對函數作時頻分析的結果可見右圖。

錐狀分布(Cone-Shape Distribution) 

當Cohen's class分佈中的，且時，

其中，Cohen's class分佈會成錐狀分布。

右圖為不同的值下的錐狀分佈時頻分析圖。

喬伊-威廉斯(Choi-Williams) 
當Cohen's class分佈中的時，Cohen's class分佈會成喬伊-威廉斯分布。

右圖為不同的值下的錐狀分佈時頻分析圖。

科恩系列分佈優缺點 
優點:

1.可選擇適當的遮罩函數來避免掉交叉項問題 。

2.具有高清晰度。

缺點

1. 需要較高的計算量與時間。

2. 缺乏良好的數學特性。

科恩系列分佈的實現

簡化方法一:不是所有的的值都要計算出 

對或，若，則

簡化方法二:注意，這個參數和輸入及輸出都無關 

，其中

，由於和輸入無關，可事先算出，因此可簡化成兩個積分式。

簡化方法三:使用摺積方法(convolution) 

，其中

。對或是，則

，上式為一摺積式。

模糊函數 (Ambiguity Function) 
模糊函數的定義為：

Modulation 和 Time Shifting 對模糊函數的影響 
我們來看一下  對於模糊函數的影響

(1) 假設  是一個高斯函數: , 其中 

那麼我們可以得到 , 代入模糊函數  中：

(2) 假設  是一個經過 shifting 和 modulation 的高斯函數: 

那麼我們可以得到 , 代入模糊函數  中：

我們可以看到 , 

因此我們可以得出 time shifting  和 modulation  並不會影響 

積分後，

所以  在  的地方會有最大的

交叉項 Cross-term 問題 
上述所列出來的是當  只有一項而已 (one term only)，如果  有兩項以上的元素構成 (more than two terms), ，依然會有交叉項 (cross-term) 的問題存在。

假設  , 其中

將  代入模糊函數  中：

其中

Auto - terms

Cross - terms 
(1) 

(2) 

因此，我們目前得到  (auto-terms) 和  (cross-terms) 的公式，我們再仔細的分析 auto-terms 和 cross-terms 分別發生最大值的位置。

首先，先看 Auto-terms：
最大值發生在 的地方
最大值發生在 的地方
而 Cross-terms：
最大值發生在 的地方
最大值發生在 的地方
換句話說，如果我們繪製一個 x軸為 , y軸為  的座標圖，Auto-terms發生在原點  的位置，而 Cross-terms 則是以原點為對稱中心，在第一象限和第三象限的位置，

這也是為什麼可以透過一個低通函數來濾除雜訊，把主成分 Auto-terms 分離出來，避免交叉項的問題。

與 維格納分布 Wigner Distribution Function 的不同 
維格納分布是由尤金·維格納於 1932 年提出的新的時頻分析方法，對於非穩態的訊號有不錯的表現。

相較於傅立葉轉換或是短時距傅立葉轉換，維格納分布能有比較好的解析能力。

維格納分布的定義為:

如果我們假設  是一個具有弦波特性的訊號, 

那麼將此  代入維格納分布中， 

所以當  時， 在   的地方會有最大值。

換句話說，當 有 modulation  或是有 time shifting  的情況發生時，會影響維格納分布 (Wigner Distribution Function) 最大值   的位置

然而，對於科恩系列分布 (Cohen's class distribution)而言，time shifting  和 modulation  並不會影響

參考 
 Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2007.
 Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2018.
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