巴塔林-维尔可维斯基代数

Batalin-Vilkovisky代数（Batalin–Vilkovisky formalism，简称BV代数）是Batalin和Vilkovisky在研究规范场的量子化过程中发现的一种代数结构。他们所提出的量子化方法（称为BV formailism或者BV quantization），是一种十分普遍而且有效的量子化方法，正受到越来越多的量子场论学家和弦理论家的重视和应用，而BV代数也越来越受到数学家们的重视。

定义

设是数域上的一个分次(graded)线性空间。上的一个BV代数结构是三元组，满足以下两个关系：
 是上的分次、交换、结合的代数(algebra)；
 是关于的二阶微分算子，即的度数为1，，并且对任给的,

在上面的定义中，如果令

则可以验证，形成一个Gerstenhaber代数。因此可以说，BV代数是一类特殊的Gerstenhaber代数。不仅如此，还是关于的导子(derivation)，即

使得形成一个微分分次李代数(differential graded Lie algebra, DGLA)。

例子

迄今为止所发现的BV代数的例子几乎都与数学物理有关。

设是一个奇的辛流形(odd symplectic manifold)，记为上光滑函数组成的集合。我们有形成一个分次交换结合的代数，记其乘法为。设为上的一组Darboux坐标，令则可以验证，形成一个BV代数，参见；
田刚(G. Tian)在关于卡拉比-丘流形(Calabi-Yau manifold)的复结构的形变空间是光滑的证明中，实际上证明了控制复结构形变的微分分次李代数是一个BV代数；
B. Lian和G. Zuckerman证明了量子场论的数学背景(background，指从量子场论中抽象出来的代数结构)有一个BV代数结构；
E. Getzler用不同于Lian和Zuckerman的方法证明，一个二维拓扑共形场论(TCFT，此处采用Segal的定义)的同调群有一个自然的BV代数结构；
M. Chas和D. Sullivan证明，一个流形的自由环路空间(free loop space)的同调群上有一个BV代数结构。

背景

正如上面所述，BV代数跟量子场论有密切的联系。事实上，对一些数学物理学家来说，一个量子场论就指一个BV代数以及其中一个元素，该元素满足以下方程：等价于称为Master方程，有时候必须满足所谓的量子Master方程，即

另外，BV代数跟弦理论里面的镜像对称(Mirror Symmetry)也有密切的关系。事实上，镜像对称的A模型和B模型都有一个BV代数，而它们相应的Master方程的解空间上都有一个所谓弗罗贝尼乌斯流形的结构。镜像对称的一种表述就是，这两个Frobenius流形是同构的。

BV代数的研究是目前数学特别是数学物理中一个比较活跃的领域，关于它的研究仍在进行之中。

参考文献

规范理论
超对称
辛幾何
理论物理