林德勒夫空間

Lindelöf 空間是每個開覆盖都有可數子覆蓋的拓撲空間。注意緊空間的定義為每個開覆蓋都有有限子覆蓋，因此林德勒夫空間可以視為緊空間的推廣。如果一個拓樸空間的所有子空間都是 Lindelöf 空間，那麼這個拓樸空間我們稱之為可傳 Lindelöf 空間 (Hereditarily Lindelöf Space) 或強 Lindelöf 空間，但後者因為模糊且容易混淆而較少使用。

Lindelöf 空間是以芬蘭數學家 Ernst Leonard Lindelöf 的名字命名。

Lindelöf 空間的性質 
 每個緊空間，或更廣義地說，每個 σ-緊空間都是 Lindelöf 的。每個可數空間都是 Lindelöf 的。
 一個 Lindelöf 空間是緊的若且唯若它是可數緊的。
 每個第二可數空間都是 Lindelöf 的，反之則不然。例如，有許多緊空間並非第二可數的。
 一個度量空間是 Lindelöf 的若且唯若它是可分的，並若且唯若它是第二可數的。
 每個正則 Lindelöf 空間都是正規且仿緊的。
 對於一個拓樸空間的可數多個 Lindelöf 子空間，其聯集是 Lindelöf 的。
 Lindelöf 空間的每個閉子空間都是 Lindelöf 的。所以每個 Lindelöf 空間中的 Fσ 集都是 Lindelöf 的。
 Lindelöf 空間的任意子空間不一定是 Lindelöf 的。
 Lindelöf 空間的連續像是 Lindelöf 的。
 Lindelöf 空間與緊空間的積空間是 Lindelöf 的。
 Lindelöf 空間與 σ-緊空間的積空間是 Lindelöf 的。這是前一個性質的推論。
 即使是有限個 Lindelöf 空間的積空間都未必是 Lindelöf 空間，例如，Sorgenfrey直線  是 Lindelöf 的，但 Sorgenfrey平面  並非 Lindelöf 的。
 Lindelöf 空間中，每個由非空子集組成的局部有限族最多是可數的。

可傳 Lindelöf 空間的性質 

 一個空間是可傳 Lindelöf 的若且唯若它的每個開子空間都是 Lindelöf 的。
 可傳 Lindelöf 空間對於取可數多聯集、子空間及連續像有封閉性。
 一個正則 Lindelöf 空間是可傳 Lindelöf 的若且唯若它是完美正規的。
 每個第二可數空間都是可傳 Lindelöf 的。
 每個可數空間都是可傳 Lindelöf 的。
 每個蘇斯林空間 (Suslin space) 都是可傳 Lindelöf 的。
 每個可傳 Lindelöf 空間的拉東測度 (Radon measure) 都是 moderated。

一般化 
以下的定義將緊緻與 Lindelöf 一般化。如果一個拓樸空間的每個開覆蓋都有一個基數嚴格小於  的子覆蓋，那麼我們稱這個拓樸空間是 -緊（或 -Lindelöf）的，其中  是任意基數。根據這個定義，緊空間是 -緊的，而 Lindelöf 是 -緊的。

Lindelöf 度數 (Lindelöf degree)，或稱 Lindelöf 數 (Lindelöf number)，以  表示，是使得「拓樸空間  的每個開覆蓋，都有不比  大的子覆蓋」的最小基數 。 用符號表示即是：如果  那麼  是 Lindelöf 的。注意前述所定義的 Lindelöf 度數並未區分緊空間與 Lindelöf 非緊空間。有些作者用「Lindelöf 度數」表達不同的概念：使得「拓樸空間  的每個開覆蓋，都有大小嚴格地小於  的子覆蓋」的最小基數 。對於後者（且較少使用）的這種定義而言，Lindelöf 度數是使得「一個拓樸空間  是 -緊」的最小基數。這樣的概念有時候也被稱為空間  的緊緻性度數 (compactness degree)。

相關條目
可數性公理
林德勒夫引理

參考文獻

 Michael Gemignani, Elementary Topology (ISBN 978-0-486-66522-1) (see especially section 7.2)
 
 

拓扑空间性质