中心化子和正规化子

群论中，一個群  的子集 的中心化子和正规化子是  的子群。它们分别在 的元素和作为一个整体 有受限制的作用。这些子群给出了关于 的结构的有用信息。我們可以倚靠這些群的資訊，在有限群的分類中，得出一些群 的一些內在訊息

定義

中心化子
令 為一個群, , 我們定義一個集合蒐集所有在 中與每一個  中的元素 可交換的元素，我們記做 ；換句話說，。若 為 的子群，则。

特別的，當 ，我們會簡化 。

群的中心

群的中心是，通常记作 。一个群的中心既是正规子群也是交换群，而且有很多其它重要属性。我们可以将a的中心化子视作最大的（用包含关系为序）G的子群H，满足a属于其中心Z(H)的条件。

正规化子

一个相关的概念是，S在G中的正规化子，记作NG(S)或者N(S)。正规化子定义为N(S) = {x属于G : xS = Sx}。同样的是，N(S)可以视作G的子群。正规化子的名字来源于如果我们令<S>为一个由S生成的子群，则N(S)是最大的满足包含<S>为其正规子群的G的子群。<S>在其中为正规子群的最小的G的子群称为共軛閉包。

如果NG(H) = H，则G的子群H称为G的自正规化子群。

性质

若G是交换群，则任何G的子集的中心化子和正规化子就是G的全部；特别是，一个群可交换，当且仅当Z(G) = G。

若a和b是G的任意元素，则a在C(b)中，当且仅当b在C(a)中，这有当且仅当a和b可交换。
若S = {a}则N(S) = C(S) = C(a)。

C(S)总是N(S)的正规子群：若c属于C(S)而n属于N(S)，我们要证明n −1cn属于C(S)。为此，取s属于S并令t = nsn −1。则t属于S，所以ct = tc。注意到ns = tn；以及n −1t = sn −1。我们有
(n −1cn)s = (n −1c)tn = (n −1(tc)n = (sn −1)cn = s(n −1cn)
这也就是要证明的命题。

若H是G的子群，则N/C定理表明因子群N(H)/C(H)同构于Aut(H)（H的自同构群）的子群。

因为NG(G) = G，N/C定理也意味着G/Z(G)同构于Inn(G)（由所有G的内自同构组成的Aut(G)的子群）。

如果我们通过T(x)(g) = Tx(g) = xgx −1定义群同态 T : G → Inn(G)，则我们可以用Inn("G")在G上的群作用来表述N(S)和C(S)：S在Inn(G)中的定点子群就是T(N(S))，而Inn(G)中固定S的子群就是T（C(S)）。

共軛類方程 
若G为有限群，考慮G共軛到自身的群作用，並應用軌道-穩定點定理，

G的核為

G的軌道為

類方程：

Z