環的局部化

在抽象代數中，局部化是一種在環中形式地添加某些元素的倒數，藉以建構分式的技術；由此可透過張量積構造模的局部化。範疇的局部化過程類似，但此時加入的是態射之逆元素，以使得這些態射在局部化以後變為同構。

局部化在環論與代數幾何中佔有根本地位，範疇的局部化則引出導範疇的概念，在高等數學中有眾多應用。

幾何詮釋
「局部化」一詞源出代數幾何。設  是一個仿射代數簇  的座標環（也就是  上的多項式函數），則  對其元素  的局部化的意義是將  從  中挖掉，得到的環  正是  的座標環；若對極大理想  作局部化，則可以設想為挖去所有的 ；得到的環  體現  上的多項式函數在  點的局部性質。

藉著將模理解為仿射代數簇上的擬凝聚層，可以類似地詮釋模的局部化；它無非是擬凝聚層在一個點的莖。

環的局部化
在此僅考慮含單位元的環。設  為環， 為 的積性子集（定義：對乘法封閉，並包含單位元素的集合）。以下將探討  對  之局部化。

泛性質
 對  的局部化如果存在，是一個環 （或記作 ）配上環同態 ，使之滿足以下的泛性質：
 對任何環  及環同態 ，若  的元素在  下的像皆可逆，則存在唯一的環同態 ，使得  是  與  的合成。

此性質可保證局部化  的唯一性。

交換環的情形
當交換環  為整環時，局部化的構造相當容易。若 ，則  必然是零環；若不然，我們可以在  的分式環  中構造局部化：取  為形如  的元素即可。

對於一般的交換環，我們必須推廣分式環的構造；在此須注意到：由於  中可能有零因子，我們不能魯莽地通分一個分式。構造方式如下：

在集合  上定義下述等價關係 ：
  存在  使得 

等價類  可以想成「分式」 ，藉此類比，在商集  上定義加法與乘法為：
 
 

可驗證上述運算是明確定義的。此外還有環同態 ，定義為 。於是可定義 ，再 配上上述環運算與同態。在實踐上，我們常逕將  裡的元素寫作分式 。

交換代數與代數幾何中經常考慮兩種局部化：
 固定 ，取 。在交換環譜中，對這類  的局部化構成  的基本開集（ 表  的所有素理想構成的集合）。這種局部化常記作 。
 固定素理想 ，取 ，此時也稱作對素理想  的局部化。這種局部化常記作 。

以下是  的一些環論性質。
  若且唯若 。
 環同態  是單射，若且唯若  中不含零因子。
 同態  下的逆像給出下列一一對應：
 
 一個重要的特例是取 ，可知  中的素理想一一對應至  中包含於  的素理想，因此  是局部環。

非交換環的情形
非交換環的局部化較困難，並非對所有積性子集   都有局部化。充分條件之一是歐爾條件，請參閱條目歐爾定理。

其應用之一是用於微分算子環。例如它可以解釋作為一個微分算子  抽象地添加逆算子 ；微局部分析中運用了這類構造。

模的局部化
設  為含單位元的交換環， 是積性子集，而  是個 -模。模的局部化與交換環類似，寫作  或 。我們依然要求存在模同態  及以下的泛性質（此泛性質蘊含唯一性）：

 對任何 -模   及 -模同態 ，存在唯一的 -模同態 ，使得  是  與  的合成。

事實上，可以用張量積構造模的局部化：
 
這是一個正合函子，它將單射映為單射。亦即： 是平坦的 -模。利用張量積與環的局部化的泛性質，可以形式地導出上述構造確實滿足局部化的要求。

此外，也可以仿造交換環的局部化，用分式  直接構造 ，分式間的等價與代數運算類似交換環的情形。

範疇的局部化
範疇的局部化的意義在將一族態射之逆態射加入範疇中，使得這些態射成為同構。這在形式上近於環的局部化，也能使先前不同構的對象在局部化後變為同構。例如，在同倫理論中有許多連續映射在同倫的意義下可逆，藉著將這些映射局部化，同倫等價的空間可被視為彼此同構。局部化範疇裡的操作也稱作分式運算，相關技術細節請見文獻中 Gabriel-Zisman 或 Weibel 的著作。

一些例子
 塞爾提議在模掉某類阿貝爾群  的同倫範疇裡操作，這意謂若群  滿足 ，則視之為同構的。稍後 Dennis Sullivan 引進一個大膽的想法：改在空間的局部化裡操作。如此將影響底層的拓撲空間。
 設  的克鲁尔维数至少是 2，此時若兩個 -模  滿足  的支撐集的餘維至少是 2，則可視之為偽同構的。岩澤理論大大利用了這個想法。
 在同調代數中，我們藉著加入擬同構之逆而得到導範疇。
 在阿貝爾簇的理論中，我們常等同兩個同源的阿貝爾簇，並將同源映射視為同構。此「至多差一個同源」的範疇是局部化較簡單的例子，實質上不外是將  代以 。

集合論的問題
一般而言，給定一個範疇  及一族態射 ，在探討是否能構造局部化   時會遇到以下問題：當  是小範疇或  是集合時已知可構造局部化，但一般來說則是個棘手的集合論問題；局部化的典型構造可能會造成兩對象間的態射「太多」，換言之可能是個真類。發展模型範疇的動機之一正是要避免這類問題。

文獻
 P. Gabriel and M. Zisman. Calculus of fractions and homotopy theory. Springer-Verlag New York, Inc., New York, 1967. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 35.
 Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X
 Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra (1994), Cambridge University Press.  ISBN 0-521-55987-1

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