换位子群

在抽象代数中，一个群的换位子群或导群，是指由这个群的所有交换子所生成的子群，记作[G,G]、G′或G(1) 。每个群都对应着一个确定的交换子群。在一个群G的所有正规子群中，交换子群G′是使得G对它的商群为交换群的最小子群。在某种意义上，交换子群提供了群G的可交换程度。因为从交换子的定义：，如果x与y交换，那么。一个群内可交换的元素越多，交换子就越少，交换子群也就越小。可交换群的交换子群为平凡群。

定义

给定一个群G，G的交换子群或导群： [G,G]、G′或G(1)  是G的所有交换子所生成的子群：

类似地可以定义高阶的导群。

可以证明，如果存在自然数 n 使得  ，那么G是可解群。

商群是一个阿贝尔群，叫做G的阿贝尔化子群，通常记作Gab。G的阿贝尔化子群就是G的一阶同调群。 

的群叫做完美群，这是与阿贝尔群相对的概念。完美群的阿贝尔化子群是单位群{e}。

性质

是的正规子群。
G对于自同构稳定：。
如果H是G的子群，那么。
是一个满同态，那么。
如果H是G的正规子群，那么是交换群，当且仅当。
证明：是一个满同态，
所以，是交换群

，所以 可交换。

交换子群的例子

4次交替群的交换子群是克莱因四元群。
n次对称群的交换子群是n次交替群。
四元群Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} 的交换子群是 {1, −1}。

参见

群
交换子
正规子群
可解群
伽罗瓦理论

J
J