字符串运算

在计算机科学领域形式语言理论中，经常用到各种字符串函数；但是符号不同于计算机编程中所用到的，某些在理论领域中常用的函数，在编程中很少用到。本文定义其中一些基本术语。

字符串的字母表
字符串的字母表是在一个特定字符串中出现的所有字母的列表。如果 s 是字符串，则它的字母表指示为

这可以等价地认为是先把字符串中的所有字母按照给定的顺序排好，再去掉其中重复者。

字符串代换

设 L 是一个语言，并设  是它的字母表。字符串代换或简称代换是映射 f，它把  中的字母映射到(可能有不同的字母表的)语言。比如，给定一个字母 ，有  这里的  是其字母表为  的某个语言。这个定义可被扩展到字符串为

对于空串 ，和

对于字符串 。字符串代换可以被扩展到整个语言为

字符串代换的一个例子出现在正则语言中，它闭合于字符串代换之下。就是说，如果一个正规语言的字母被另一个正规语言所代换，结果仍是正规语言。

字符串同态

字符串同态是使得每个字母被替代为一个单一字符串的字符串代换。就是说，，这里的 s 是字符串，对于每个字母 a。字符串同态是保持字符串连接二元运算的同态。给定一个语言 L， 的集合叫做 L 的同态像。字符串 s 的逆同态像被定义为 

而语言 L 的逆同态像被定义为 

注意一般的说 ，然而确实有 

 

和 

对于任何语言 L。简单单一字母置换密码是字符串代换的例子。

字符串投影

如果 s 是字符串，而  是字母表，s 的字符串投影是通过删除不在  中的所有字母结果的字符串。它被写为 。它通过从右手端切除字母来得出形式定义:

这里的  指示空串。字符串的投影本质上同于关系代数中的投影。

字符串投影可以提升为语言的投影。给定形式语言 L，它的投影给出自

右商

字符串 s  与字母 a 的右商是在字符串 s 中切断右手端字母 a 得到的字符串。它被指示为 。如果字符串在右手端没有 a，则结果是空串。就是:

空串的右商可以是:

类似的，给出幺半群  的子集 ，可以定义商子集为

左商可以类似的定义，运算发生在字符串的左端。

语法关系

幺半群  的子集  的右商定义了一个等价关系，叫做 S 的右语法关系。它给出为

关系明显是有有限索引的(有有限数目个等价类)，当且仅当右商族有限的；就是说如果

是有限的。在这种情况下，S 是可识别语言，就是说可被有限状态自动机识别的语言。这个在语法幺半群中详细讨论。

右取消

字符串 s 与字母 a 的右取消是切除字符串 s 右手端的字母 a 的首次出现得到的字符串。它被指示为  并被递归的定义为

空串总是可取消的:

明显的，右取消和投影可交换:

前缀

字符串的前缀是关于给定语言一个字符串的所有前缀的集合:

语言的前缀闭包是 

一个语言叫做前缀闭合的，如果 。明显的，前缀闭包算子是幂等的:

前缀关系是二元关系 ，有着  当且仅当 。 

前缀文法生成(关于这个文法)前缀闭合的语言。

参见 
 字符串函数（C 语言）
 字符串函数（C++）
 Levi引理

引用 

 John E. Hopcroft and Jeffrey D. Ullman, Introduction to Automata Theory, Languages and Computation, Addison-Wesley Publishing, Reading Massachusetts, 1979. ISBN 0-201-02988-X. (See chapter 3.)

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