拉克斯-米爾格拉姆定理

拉克斯－米爾格拉姆定理是數學泛函分析的定理，以彼得·拉克斯和阿瑟·米爾格拉姆命名。这定理可用來藉弱形式求解偏微分方程，因此主要用作有限元法的理論基礎。

敘述
設
 是實希爾伯特空間，其內積記作，導出範數，
 是雙線性型，使得
 在上連續：
，
 在上強制（有稱為－橢圓性)：
，
 是上的連續線性型。

那麼存在唯一的，使得對所有都有：

。

而且如果是對稱的，那麼是中唯一的元素，使得以下泛函取最小值，對所有，即：

。

證明

一般情形

套用里斯表示定理到連續線性型上，可知存在唯一的，使得對任意成立。

對所有，映射是上連續線性型，因此同樣可知存在唯一的，使得對任意成立。易知算子 是一個上連續線性自同態。由此可把表示成如下等價形式：

要證明此命題，只要證得是從到的雙射。首先證明它是單射，再證它是滿射。  

從的強制性，使用柯西－施瓦茨不等式，得到對任何

從而知對任何
   (*)。

這證明了是單射。

要證明滿射，考慮算子在內的像。

不等式(*)表示，如是柯西序列，那麼 是內的柯西序列。由的完備性，收斂至。因連續，得出收斂至。

因此為中的閉子空間，由投影定理可知。

再設元素，從定義有，因此

故得。所以為，證得是滿射。

自同態是雙射，故在內存在唯一的使得，且可以由得出。

附注

不用求出，有其範數的上界估計

 

其中表示對偶空間的範數。

對稱情形

如果雙線性型對稱，那麼對所有有：

因是命題(1)的唯一解，有

從的強制性有：

取，從上式有對任意成立，因而得到的結果。

應用
這定理是有限元法的基礎。實際上，若不在內求，而是在的有限維子空間內求，那麼
 如果對稱，以為內積，是的投影。
 給出的基，上述問題化為求解線性方程組：
 

其中，。

L
L

en:Lax-Milgram theorem