二次规划

二次规划（），在运筹学当中，是一种特殊类型的最优化问题。

簡介
一個有n個變數與m個限制的二次規劃問題可以用以下的形式描述。首先給定：
 一個 維的向量 
 一個 維的對稱矩陣
 一個 維的矩陣
 一個 維的向量 

則此二次規劃問題的目標即是在限制條件為

的條件下，找一個 維的向量  ，使得
 

 
為最小。其中是的转置。

根據不同的參數特性，可以得到對問題不同的結論
 如果Q是半正定矩阵，那么f(x)是一个凸函数。相应的二次规划为凸二次规划问题；此时若约束条件定义的可行域不为空，且目标函数在此可行域有下界，则该问题有全局最小值。
 如果Q是正定矩阵，则该问题有唯一的全局最小值。
 若Q为非正定矩阵，则目标函数是有多个平稳点和局部极小点的NP问题。
 如果Q=0，二次规划问题就变成线性规划问题。

根据优化理论，一个点x成为全局最小值的必要条件是满足Karush-Kuhn-Tucker条件（KKT）。当f(x)是凸函数时，KKT条件也是充分条件。

当二次规划问题只有等式约束时，二次规划可以用线性方程求解。否则的话，常用的二次规划解法有：
 内点法(interior point) 
 active set 
 共轭梯度法 
 椭球法 若Q为正定矩阵，则相应的二次规划问题可由椭球法在多项式时间内求解。 
 增广拉格朗日法 
 梯度投影法 
凸集二次规划问题是凸优化问题的一个特例。

对偶
每个二次规划问题的对偶问题也是二次规划问题。以正定矩阵Q为例：

对偶问题，可定义为

  

可用:得到的极小 

, 

对偶函数：

对偶问题为：

maximize :

subject to :

计算复杂性 
当Q正定时，用椭圆法可在多项式时间内解二次规划问题。当Q非正定时，二次规划问题是NP困难的。即使Q只存在一个负特征值时，二次规划问题也是NP困难的。

参考文献

運籌學