變分法基本引理

在數學裏，特別是在變分法裏，變分法基本引理（）是一種專門用來變換問題表述的引理，可以將問題從弱版表述（）（變分形式）改變為強版表述（微分形式）。

敘述
 代表阶导数连续（阶光滑）的函数空间，代表无限光滑的函数空间。 

變分法基本引理：

設 

若任意  滿足  成立
 
則 。

證明
設  且  ，

因為只要存在一個不滿足  的  ，就可以證明  ，因此我們只須證明其中一個特例。

令  滿足下列兩個條件：

 ；

 ；

並且令 。

由  可得到
 。
因為  在  是正值，所以 必須恆等於 0 ，與假設  矛盾。

故  。

應用
這引理可用來證明泛函

的極值是歐拉-拉格朗日方程式
 
的弱解。

歐拉-拉格朗日方程式在經典力學和微分幾何佔有重要的角色。

參閱
拉格朗日力學
哈密頓原理
泛函分析

參考文獻

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