漸伸線

漸伸線（involute）(或稱漸開線(evolvent))和漸屈線（evolute）是曲線的微分幾何上互為表裡的概念。若曲線A是曲線B的漸伸線，曲線B是曲線A的漸屈線。

在曲線上選一定點S。有一動點P由S出發沿曲線移動，選在P的切線上的Q，使得曲線長SP  和直線段長PQ  相同。漸伸線就是Q的軌跡。

若曲線B有參數方程，其中，曲線A的方程為。

曲線的漸屈線是該曲線每點的曲率中心的集。

若該曲線有參數方程（），則其漸屈線為

 。

每條曲線可有無窮多條漸伸線，但只有一條漸屈線。

參數化曲線

漸開線方程曲線的參數化定義的函數( x(t) , y(t) ) 是:

範例

圓的漸伸線

圓的漸伸線會形成一個類似阿基米德螺線的圖形。

在笛卡兒坐標系中，一個圓的漸開線的參數方程可以寫成：

其中是圓的半徑，為參數

在 極坐標系中，  一個圓的漸開線的參數方程可以寫成：

其中  是圓的半徑 為參數

通常，一個圓的漸開線常被寫成寫成：

.

歐拉建議使用圓的漸開線作為齒輪的形狀, 這個設計普遍存在於目前使用，稱為漸開線齒輪。

懸鏈線的漸開線

一個懸鏈線的漸開線 會通過此懸鏈線的頂點 ，形成曳物線。 在笛卡兒坐標系中，一個懸鏈線的漸開線的參數方程可以寫成：

其中t 是參數，而sech是雙曲正割函數(1/cosh(x))

衍生

用

我們得到 

且。

替代成

可得到 。

擺線的漸開線

一個 擺線的漸開線是另一個與它 全等的擺線 在笛卡兒坐標系中，一個擺線的漸開線的參數方程可以寫成：

其中t是角度，r是半徑

參見
漸屈線
渦旋壓縮機
漸開線齒輪

外部連結
 Xah: Special Plane Curves: Involute , Evolute 
Mathworld 

曲線