初值問題

在數學裏，初值問題是一個涉及微分方程式與一些初始條件的問題；這初始條件是微分方程式的未知函數在某些點的設定值。

以下是一些初值問題的例子：

定義 
一個初值問題涉及微分方程式
 ，

與在  的定義域內的一點
 。

這在  的定義域內的點  稱為初始條件。

假若初值問題的一個解是函數  ，則  是微分方程式  的解，滿足  。

對於更高階的問題，可視  為向量。每加高一個階，就増添一個分量給  。

解的存在性及唯一性 
對於許多的初值問題，解的存在性及唯一性可以用計算機來描述。

若ƒ在一個包括t0及y0的區間內連續，且對變數y滿足利普希茨連續的條件．則皮卡-林德勒夫定理可保證在一個包括t0的區間有唯一解。

此定理的證明需將問題變成等價的積分方程，積分可視為將一個函數映射為另一個函數的運算子，因此其解為運算子的不動點，再利用巴拿赫不动点定理證明有一個唯一的不動點．即為初值問題的解。

較早期證明皮卡-林德勒夫定理的方式是建構一個函數的數列，最終會收斂到積分方程的解，也就是初值問題的解。這種建構法稱為「皮卡法」或是「連續近似法」，是巴拿赫不动点定理的一個特例。

日本數學家找到一個初值問題有唯一解的充分必要條件，其條件是要證實系統的李亞普諾夫函數存在。

有些情形，函數ƒ不是光滑函数，甚至不是利普希茨連續，因此一般可確認局部唯一解的方式無法適用。皮亚诺存在性定理可以在函數ƒ僅僅為連續函數的情形，證明存在局部解。不過此時無法證明解的唯一性。可適用的範圍更廣，可以在ƒ是一些特定不連續函數的情形下證明局部解是否存在。

範例
例一
一個簡單的範例是求解及，要求出一個滿足上述二式。

由於，因此

 

接下來重新整理方程式，使在等式左邊，在等式右邊

 

再將等式二邊積分，會引入未知常數

 

消去

 

令為一個新的未知常數，，因此

 

現在需要找出的數值。利用的啟始條件，將代入0，代入19 

 
 

因此可得其解為.

例二
 

利用拉普拉斯变换
  
 

利用部分分式分解
 
 
 

拉普拉斯逆變換

參閱 
邊值問題
柯西问题

參考資料

邊界條件