算符

在物理學领域裡，算符（operator）有别于数学的算子，其作用於物理系統的狀態空間，使得物理系統從某種狀態變換為另外一種狀態。這變換可能相當複雜，需要用很多方程式來表明，假若能夠使用算符來代表，可以更為簡單扼要地表達論述。

對於很多案例，假若作用的對象有所迥異，算符的物理行為也會不同；但是，對於有些案例，算符的物理行為具有一般性，這時，就可以將論題抽象化，專注於研究算符的物理行為，不必顧慮到狀態的獨特性。這方法比較適用於一些像對稱性或守恆定律的論題。因此，在經典力學裏，算符是很有用的工具。在量子力學裏，算符為理論表述不可或缺的要素。

對於更深奧的理論研究，可能會遇到很艱難的數學問題，算符理論（operator theory）能夠提供高功能的架構，使得數學推導更為簡潔精緻、易讀易懂，更能展現出內中物理涵意。

一般而言，在經典力學裏的算符大多作用於函數，這些函數的參數為各種各樣的物理量，算符將某函數映射為另一種函數。這種算符稱為「函數算符」。在量子力學裏的算符稱為「量子算符」，作用的對象是量子態。量子算符將某量子態映射為另一種量子態。

經典力學
在經典力學裏，粒子（或一群粒子）的動力行為是由拉格朗日量或哈密頓量決定；其中，、分別是廣義坐標、廣義速度，是共軛動量，是時間。

假設拉格朗日量或哈密頓量與某廣義坐標無關，則當有所改變時，或仍舊會保持不變，這意味著粒子的動力行為也會保持不變，對應於的共軛動量守恆。對於廣義坐標的改變，動力行為所具有的不變性是一種對稱性。在經典力學裏，當研讀有關對稱性的課題時，算符是很有用的工具。

特別而言，假設對於某種群的變換運算，物理系統的哈密頓量是個不變量；也就是說，假設，
。

在這案例裏，所有的元素都是物理算符，能夠將物理系統從某種狀態變換為另一種狀態；儘管作用於這物理系統，哈密頓量守恆不變。

舉一個關於平移於空間的簡單例子。「平移算符」能夠將粒子從坐標為移動至坐標為，以方程式表示：
；

其中，是描述一群粒子的密度函數。

給定一個對於平移變換具有不變性的物理系統，則儘管的作用，這物理系統的哈密頓量是個不變量，對應於坐標的動量守恆。

經典力學算符表格
{| class="wikitable"
|-
! 算符
! 標記
! 位置
! 動量
|-
| 平移算符 
| 
| 
| 
|-
| 時間演化算符
| 
| 
| 
|-
| 旋轉算符 
| 
| 
| 
|- 
| 伽利略變換算符
| 
| 
| 
|-
| 宇稱算符
| 
| 
| 
|-
| 時間反演算符
| 
| 
| 
|-
|}

是旋轉矩陣，是旋轉軸向量，是旋轉角弧。

生成元概念
對於一個微小的平移變換，猜測平移算符的形式為 
；

其中，是「單位算符」──變換群的單位元，是微小參數，是專門用來設定平移變換群的生成元。

為了簡化論述，只考慮一維案例，推導平移於一維空間的生成元。將平移算符作用於函數：
。

由於很微小，可以泰勒近似為
 。

重寫平移算符的方程式為
 ；

其中，導數算符是平移群的生成元。

總結，平移群的生成元是導數算符。

指數映射
在正常狀況下，通過指數映射，可以從生成元得到整個群。對於平移於空間這案例，重複地做次微小平移變換，來代替一個有限值為的平移變換  ：
。

現在，讓變得無窮大，則因子趨於無窮小：
。

這表達式的極限為指數函數：
。

核對這結果的正確性，將指數函數泰勒展開為冪級數：
。

這方程式的右手邊可以重寫為
。

這正是的泰勒級數，也是的原本表達式結果。

物理算符的數學性質是很重要的研讀論題。更多相關內容，請參閱條目C*-代数與蓋爾范德-奈馬克定理（Gelfand-Naimark theorem）。

量子力學
在量子力學裏，算符的功能被發揮得淋漓盡致。量子力學的數學表述建立於算符的概念。量子系統的量子態可以用態向量設定，態向量是向量空間的單位範數向量。在向量空間內，量子算符作用於量子態，使它變換成另一個量子態。由於物體的態向量範數應該保持不變，量子算符必須是厄米算符。假若變換前的量子態與變換後的量子態，除了乘法數值以外，兩個量子態相同，則稱此量子態為本徵態，稱此乘法數值為本徵值。

物理實驗中可以觀測到的物理量稱為可觀察量。每一個可觀察量，都有其對應的算符。可觀察量的算符也許會有很多本徵值與本徵態。根據統計詮釋，每一次測量的結果只能是其中的一個本徵值，而且，測得這本徵值的機會呈機率性，量子系統的量子態也會改變為對應於本徵值的本徵態。

量子算符
假設，物理量是某量子系統的可觀察量，其對應的量子算符可能有很多不同的本徵值與對應的本徵態，這些本徵態，形成了具有正交歸一性的基底：
；

其中，是克羅內克函數。

假設，某量子系統的量子態為
；

其中，是複係數，是在裏找到的機率幅。

測量這動作將量子態改變為本徵態的機率為，測量結果是本徵值的機率也為。

期望值

在量子力學裏，重複地做同樣實驗，通常會得到不同的測量結果，期望值是理論平均值，可以用來預測測量結果的統計平均值。

採用狄拉克標記，對於量子系統的量子態，可觀察量的期望值定義為
；

其中，是對應於可觀察量的算符。

將算符作用於量子態，會形成新量子態：
。

從左邊乘以量子態，經過一番運算，可以得到
。

所以，每一個本徵值與其機率的乘積，所有乘積的代數和，就是可觀察量的期望值：
。

將上述定義式加以推廣，就可以用來計算任意函數的期望值：
。

例如，可以是，即重複施加算符兩次：
。

對易算符

假設兩種可觀察量、的算符分別為、，它們的對易算符定義為
。

對易算符是由兩種算符組合而成的複合算符，當作用於量子態時，會給出
。

假設，則稱這兩種可觀察量為「相容可觀察量」，否則，，稱這兩種可觀察量為「不相容可觀察量」。

假設兩種可觀察量為不相容可觀察量，則由於不確定原理，絕無法製備出這兩種可觀察量在任意精確度內的量子系統。注意到這是一個關於製備方面的問題，不是一個關於測量方面的問題。假若精心設計測量實驗，裝備足夠優良的測量儀器，則對於某些量子系統，測量這兩種可觀察量至任意精確度是很容易達成的任務。

厄米算符
每一種經過測量而得到的物理量都是實值，因此，可觀察量的期望值是實值： 
。

對於任意量子態，這關係都成立：
。

根據伴隨算符的定義，假設是的伴隨算符，則。因此，
。

這正是厄米算符的定義。所以，表現可觀察量的算符，都是厄米算符。

矩陣力學
應用基底的完備性，添加單位算符於算符的兩旁，可以得到
；

其中，是求和式內每一個項目的係數。

所以，量子算符可以用矩陣形式來代表：
 。

算符與它的伴隨算符彼此之間的關係為
。

所以，分別代表這兩個算符的兩個矩陣，彼此是對方的轉置共軛。對於厄米算符，代表的矩陣是個實值的對稱矩陣。

用矩陣代數來計算算符怎樣作用於量子態，假設系統因此變換為量子態：
。

從左邊乘以本徵態，應用基底的完備性，添加單位算符於算符的右邊，可以得到
。

右矢、分別用豎矩陣來代表
 、　　　　 。

兩個豎矩陣彼此之間的關係為
 。

假設算符是厄米算符，則其所有本徵態都相互正交。以矩陣來代表算符，可以計算出一組本徵值與對應的本徵態，每一次做測量會得到的結果只能是這一組本徵值中之一。由於本徵態的正交性質，可以找到一組基底來表示每一種量子態。解析方塊矩陣的特徵多項式，就可以找到本徵值：
。

量子算符表格
在這表格裏，算符的表現空間是位置空間。假若表現空間是其它種空間，則表示出的方程式會不一樣。在英文字母上方的尖角號表示整個符號代表的是個量子算符，不是單位向量。
{| class="wikitable"
|-valign="top"

! scope="col" width="200" | 算符名稱
! scope="col" width="200" | 直角坐標系分量表示
! scope="col" width="200" | 向量表示
|-valign="top"
! 位置算符
|
|
|-valign="top"
!rowspan="2"| 動量算符
|一般狀況

 
|一般狀況

|-valign="top"
|電磁場

|電磁場（是磁向量勢）

|-valign="top"
!rowspan="3"| 動能算符
| 平移運動

 
|| 平移運動

|-valign="top"
|電磁場

|電磁場（是磁向量勢）

|-valign="top"
|旋轉運動（是轉動慣量）

|旋轉運動 

|-valign="top"
! 勢能算符
|N/A
|
|-valign="top"
! 總能量算符
|N/A
|含時位勢：

不含時位勢：

|-valign="top"
! 哈密頓算符
|N/A
|
|-valign="top"
! 角動量算符
|
|
|-valign="top"
! 自旋算符
|

其中，

 

 

是自旋1/2粒子的包立矩陣。
|

其中，向量的分量是包立矩陣。
|-valign="top"

! 總角動量算符
||
||
|-valign="top"
! 躍遷矩（電）（transition moment）
||
||
|-valign="top"
|}

範例

位置算符

只思考一維問題，將位置算符施加於位置本徵態，可以得到本徵值，即粒子的位置：
。

由於位置基底具有完整性，，任意量子態可以按著位置本徵態形成的基底展開：
。

將位置算符施加於量子態，由於算符只作用於右矢，與其它數學個體無關，可以移入積分式內：
。

左矢與這方程式的內積為
。

設定量子態。由於位置基底具有完整性，，量子態與的內積，可以按著位置本徵態形成的基底展開為
。

將這兩個積分式加以比較，立刻可以辨識出全等式
。

設定量子態。量子態、的位置空間表現，即波函數，分別定義為
、
。

兩個波函數、之間的關係為
。

總結，位置算符作用於量子態的結果，表現於位置空間，等價於波函數與的乘積。

動量算符
表現於位置空間，一維動量算符為
。

將動量算符施加於量子態，可以得到類似前一節得到的結果：
。

應用位置基底所具有的完整性，對於任意量子態，可以得到更廣義的結果：
 ；

其中，、分別是量子態、表現於位置空間的波函數。

假設是的本徵態，本徵值為，則可得到
。

將改寫為本徵值為的本徵態，方程式改寫為
。

這微分方程式的解析解為
。

所以，動量本徵態的波函數是一個平面波。不需要應用薛丁格方程式，就可以推導求得這出結果。

參閱
有界算符
表示論
算子

參考文獻

de:Operator (Mathematik)#Operatoren der Physik