张量积

在数学中，张量积，记为 ，可以应用于不同的上下文中如向量、矩阵、张量、向量空间、代数、拓扑向量空间和模。在各种情况下这个符号的意义是同样的:最一般的双线性运算。在某些上下文中也叫做外积。

例子:

结果的秩为2、维数为 4×3 = 12。

这里的秩指的是“张量秩”（所需指标数），而维数计算在结果数组(阵列)中自由度的数目；矩阵的秩是 2。

代表情况是任何两个被当作矩阵的矩形数组的克罗内克积。在同维数的两个向量之间的张量积的特殊情况是并矢积。

两个张量的张量积 

有两个（或更多）张量积的分量的一般公式。例如，如果 U 和 V 是秩分别为 n 和 m 的两个协变张量，则它们的张量积的分量给出为
。

所以两个张量的张量积的分量是每个张量的分量的普通积。

注意在张量积中，因子 V 消耗前 rank(V) 個指标，而因子 U 再消耗 rank(U) 個指标，所以

例子

设 U 是类型 (1,1) 的张量，带有分量 Uαβ；并设 V 是类型 (1,0) 的张量，带有分量 Vγ。则

而
。

张量积继承它的因子的所有指标。

两个矩阵的克罗内克积

对于矩阵这个运算通常叫做克罗内克积，用来明确结果有特定块结构在其上，其中第一个矩阵的每个元素被替代为这个元素与第二个矩阵的积。对于矩阵  和 :

。

多重线性映射的张量积

给定多重线性映射  和 
它们的张量积是多重线性函数

向量空间的张量积

在域  上的两个向量空间 V 和 W 的张量积  有通过“生成元和关系”的方法的形式定义。在这些  的关系下的等价类被叫做“张量”并指示为 。通过构造，可以证明在张量之间的多个恒等式并形成张量的代数。

要构造 ，采用在  之上带有基  的向量空间，并应用（因子化所生成的子空间）下列多线性关系:

 
 
 

这里的  是来自适当空间的向量，而  来自底层域 。

我们可以推出恒等式

，

零在  中。

结果的张量积  自身是向量空间，它可以直接通过向量空间公理来验证。分别给定 V 和 W 基  和 ，形如 
的张量形成  的基。张量积的维数因此是最初空间维数的积；例如  有维数 。

张量积的泛性质

张量积可以用泛性质来刻画。考虑通过双线性映射 φ 把笛卡尔积 V × W 嵌入到向量空间 X 的问题。张量积构造 V ⊗ W 与给出自

 
的自然嵌入映射 φ : V × W → V ⊗ W 一起是这个问题在如下意义上的“泛”解。对于任何其他这种对(X, ψ)，这里的 X 是向量空间，而 ψ 是双线性映射 V × W →  X，则存在一个唯一的线性映射

 

使得

。

假定这个泛性质，张量积在同构意义下的惟一性是容易验证的。

直接推论是从 V × W 到 X 的双线性映射 

 

和线性映射

的同一性。它是 ψ 到 T 的自然同构映射。

希尔伯特空间的张量积

两个希尔伯特空间的张量积是另一个希尔伯特空间，其定义如下。

定义

设  和  是两个希尔伯特空间，分别带有内积  和 。构造 H1 和H2 的张量积如下：

考虑他们的作为线性空间的张量积。 和 上的内积自然地扩展到上：

由内积的双线性（Bilinearity），只需定义
  
其中  和 
即可。

现在是一未必完备的内积空间。将完备化，得到希尔伯特空间，这就是 H1 和 H2作为希尔伯特空间的张量积。在希尔伯特空间的范畴中，具有如前所述的泛性质，即它是二者在该范畴内的乘积。

性质

如果 H1 和 H2 分别有正交基 {φk} 和 {ψl}，则 {φk ⊗ ψl} 是 H1 ⊗ H2 的正交基。

与对偶空间的关系 

在泛性质的讨论中，替代 X 为 V 和 W 的底层标量域生成空间 （ 的对偶空间，包含在那个空间上的所有线性泛函），它自然的同一于在  上所有双线性函数的空间。换句或说，所有双线性泛函是在张量积上的泛函，反之亦然。

只要  和  是有限维的，在  和  之间有一个自然的同构，而对于任意维的向量空间我们只有一个包含 。所以线性泛函的张量是双线性泛函。这给我们一种新看法，把双线性泛函看做张量积自身。

注解

参见
外积
并矢积
張量積模型變換

Z
张量
Z
双线性算子