局部環

在數學中，局部環是只有一個極大理想的交換環。

局部環的概念由 Wolfgang Krull 於1938年引入，稱之為 Stellenringe，英譯 local ring 源自扎裡斯基。

定義
設  為交換含-{zh-hans:幺;zh-hk:幺;zh-tw:幺;}-環。若  僅有一個極大理想 ，則稱 （或 ）為局部環。域  稱為  的剩餘域。

若  中僅有有限個極大理想，則稱之為半局部環。

一個局部環  上帶有一個自然的 -進拓撲，使得  成為拓撲環；其開集由  生成。當  為諾特環時，可證明  為豪斯多夫空間，且所有理想皆是閉理想。

設  為局部環，環同態  被稱為局部同態，若且唯若 。

例子
 域是局部環。
 形式冪級數環  是局部環，其中  是個域。極大理想是 。
 取係數在 或  上，原點附近收斂半徑為正的冪級數，它構成一個局部環，極大理想表法同上。
 凡賦值環皆為局部環。
 設  為任意交換環，  為素理想，則相應的局部化  是局部環；這也是局部環應用的主要場合。若  已是局部環，則 。
 局部環的商環仍是局部環。

動機與幾何詮釋
局部環意在描述一個點附近的函數「芽」。設  為拓撲空間， 或 ，且。考慮所有資料 ，其中  是  的一個開鄰域，而  是連續函數。引入等價關係：
  且  是  的開鄰域。

換言之，若兩個函數在  附近一致，則視之等同。上述等價類在逐點的加法及乘法下構成一個環 ，其元素稱作在  的連續函數芽，它體現了連續函數在  附近的行為。若  滿足  ，則存在一個  的開鄰域  及連續函數 ，使得  且  恆非零，因此可定義乘法逆元 。於是  是局部環，其唯一的極大理想是所有在  點取零的函數，剩餘域則是 。

類似想法可施於微分流形、解析流形或複流形，稍作修改後亦可推廣至代數簇與概形。

在代數幾何與複幾何中，假設適當的有限性條件（例如凝聚性）， 若一陳述對某一點的芽成立，則在該點的某個開鄰域上皆成立；就此而論，局部環集中表現了一點附近的局部性質。

在交換代數中，局部化的技術往往可將問題化約到局部環上；因此交換代數的許多定義與結果都落在局部環的框架內。

非交換的情形
一個含-{zh-hans:么;zh-hk:么;zh-tw:么;}-環  被稱作局部環，若且唯若它滿足下述等價條件：
 R 僅有一個極大左理想。
 R 僅有一個極大右理想。
 ，且任兩個非可逆元的和仍為非可逆元。
 ，且對任何元素 ， 或  必有一者可逆。
 ，若  中某個有限和是可逆元，則其中某項必可逆。

當上述任一性質成立，則下述三者等同：
 R 的唯一極大左理想
 R 的唯一極大右理想
 R 的 Jacobson根

對於交換環，上述定義化為交換局部環的原始定義。

文獻
 
 H. Matsumura, Commutative algebra (1970), ISBN 0-8053-7026-9

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