迭代函数

在数学中，迭代函数是在碎形和动力系统中深入研究的对象。迭代函数是重复的与自身复合的函数，这个过程叫做迭代。

定义
在集合  上的迭代函数的形式定义为:

设  是集合和  是函数。定义  的  次迭代  为  而 ，这里的  是在  上的恒等函数。

在上述中， 指示函数复合；就是说 。

換句話說，迭代函数也可以表示為以下的形式：

定義為。

定義為的反函數。（如果的反函數不存在，則也不存在）

因此，就是，是，是恆等函數，是的反函數（如果存在的話），而就是能夠使得合成函數正好是的函數。

注意，一般情況下，並不等於或，而例如是的反函數，亦即，而不是。

例 
一些特殊函數的冪次為（其中、、可為任意複數，亦即）：

，（在是負實數或虛數的時候並沒有定義，就好比在是負實數或虛數的時候也沒有定義）

，

，

，（注意迭代冪次要由右往左算）

，（）

，（）

（注意任何非零複數的任何複數次方都有定義：，當為負實數或虛數時，，其中為複數的絕對值，為複數的主幅角，為複數的實部，為複數的虛部）

函數冪亦有類似指數律的定理，其中、可為任意複數，亦即：

注意函數的合成是不可交換的（並不一定等於）但因為可結合（一定等於），所以會符合冪結合性，因此這兩條「函數冪的指數律」並沒有任何問題。

這跟例如指數拓展到次方為負整數、分數、無理數、複數，以及階乘運算跟排列組合運算、拓展到非整數和負數時（使用伽瑪函數）一樣，二項式定理也可以用這種方式拓展到負整數、分數、無理數、複數，只是會變成無窮級數而不再是有限級數而已，包括矩陣的次方以及微分次（為負整數時等同於積分次），也都可以用這種方式，把拓展到任意複數，或例如已知「首項」、「公差/公比」、「項數」的等差數列或等比數列要求出全部項的和或乘積的公式，也都可以用這種方式，拓展到項數為負整數、分數、無理數、複數的情況（包括一般的與中，為常見的函數如多項式函數、指數函數、對數函數、三角函數的時候，跟也能拓展到任意複數，就跟積分式一樣），至於超運算能不能拓展到分數、無理數或複數，則是數學中未解決的問題之一。

从迭代建立序列

函数  的序列叫做 Picard 序列，得名于埃米尔·皮卡。对于一个给定 ， 的值的序列叫做  的轨道。

如果对于某个整数  有 ，则轨道叫做周期轨道。对于给定  最小的这种  值叫做轨道的周期。点  自身叫周期点。

不动点

如果m=1，就是说如果对于某个X中的x有f(x) = x，则x被称为迭代序列的不动点。不动点的集合经常指示为Fix（f）。存在一些不动点定理保证在各种情况下不动点的存在性，包括巴拿赫不动点定理和Brouwer不动点定理。

有很多技术通过产生了序列收敛加速。例如，应用于一个迭代不动点的Aitken方法叫做Steffensen方法，生成二次收敛。
不动点理论同样也适用于经济学领域。

极限行为

通过迭代，可以发现有向一个单一点收缩和会聚的一个集合。在这种情况下，会聚到的这个点叫做吸引不动点。反过来说，迭代也可以表现得从一个单一点发散；这种情况叫不稳定不动点。

当轨道的点会聚于一个或多个极限的时候，轨道的会聚点的集合叫做极限集合或 ω-极限集合。

吸引和排斥的想法类似推广；依据在迭代下小邻域行为，可把迭代分类为稳定集合和不稳定集合。

其他极限行为也有可能；比如，游荡点是总是移动永不回到甚至接近起点的点。

例子
著名的迭代函数包括曼德博集合和迭代函数系统。

如果 f 是一个群元素在一个集合上的作用，则迭代函数对应于自由群。

参见

引用

Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981).  ISBN 90-277-1224-7

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序列