非完整系統

在古典力學裏，假如，一個系統有任何約束是非完整約束，則稱此系統為非完整系統。非完整約束不是完整約束。完整約束可以用方程式表示為
；
這裏，是每一個粒子之位置和時間的函數。非完整約束不能夠用上述方程式表示。

廣義坐標的轉換
完整約束方程式與位置、時間有關，與速度無關。完整約束方程式可以很簡易地除去指定的變數。假設變數是完整約束函數裏的一個參數，現在指定除去。重新編排上述約束方程式，求出表示的函數：
。

將函數代入所有提到的方程式。這樣，可以除去所有指定變數。

假設一個物理系統原本的自由度是。現在，將個完整約束作用於此系統。那麼，這系統的自由度減少為。可以用個獨立廣義座標來完全描述這系統的運動。座標的轉換方程式可以表示如下：
。

換句話說，由於非完整約束無法依照上述方法，來除去其所含廣義座標，完全描述非完整系統，所需要的廣義座標數目，大於自由度。

微分形式表示
約束有時可以用微分形式的約束方程式來表示。思考第個約束的微分形式的約束方程式：
；
這裏，，分別為微分與的係數。

假若此約束方程式是可積分的。也就是說，有一個函數的全微分滿足下述等式：
；

那麼，此約束是完整約束；否則，此約束是非完整約束。因此，所有的完整約束與某些非完整約束可以用微分形式的方程式來表示。不是所有的非完整約束都可以這樣表示。含有廣義速度的非完整約束就不能這樣表示。所以，假若知道一個約束的微分形式的約束方程式，這約束到底是完整約束，還是非完整約束，需要看微分形式的約束方程式能否積分來決定。

半完整系統
表示非完整約束的方程式往往比較複雜。因此，非完整系統也比較難分析，只有簡易一點的非完整系統能用形式論來分析。假如，一個非完整系統的約束可以用以下方程式表示：
 ；
則稱此系統為半完整系統；這裏，是廣義速度。

半完整系統可以用拉格朗日形式論來分析。更具體地說，分析半完整系統必須用到拉格朗日乘子 
；
這裏，是未知函數。

假設哈密頓原理成立，則下述方程式成立：
；
這裏，是拉格朗日量，  與分別為積分的時間下限與上限。經過變分法運算，可以得到方程式
。

由於這個廣義座標中，仍舊有個不獨立廣義座標，不能將拉格朗日方程式提取出來；必須加入拉格朗日乘子項目：
。

經過變分法運算，可以得到方程式
 ;
這裏，是廣義力的分量：
。

雖然還有個不獨立廣義座標，仍舊可以調整加入的拉格朗日乘子，使總和公式內的每一個虛位移的係數都等於0。因此，
。

這個方程式加上個約束方程式，給予了個方程式來解個未知廣義座標與個拉格朗日乘子。

實例
非完整系統至少存在於以下三個狀況：
物體在做滾動運動。
系統的約束包括不等式。
系統的約束與速度有關（例如普法夫約束）。

參閱
拉格朗日力學
哈密頓力學
完整系統
定常系統
單演系統
保守系統
平行停車問題
落貓問題
自行車及摩托車的動力學

參考文獻

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物理学系统