圆幂定理

圓冪定理（），是平面幾何中的一個定理。這定理指出，給定一個圓  以及一點 ，從該點引出兩條割線，分別與  相交於 、 以及 、，則有

這個乘積，是  對於    的圓冪（），故定理以此為名。

圓冪定義

平面上任意一點  ，以及半徑為  、圓心為  的圓，則定義圓冪  為：

。

從這個定義可知，若  在圓內，則圓冪為負數；若  在圓外，則圓冪為正數；若  在圓周上，則有圓冪等於零。

圓冪又可等價地定義為：從該點穿過圓心的割線，與圓所作的兩個交點，與該點距離的乘積。也就是說：

 。

理由如下：

。

定理內容

圓冪定理有三個變體，分別是「交弦定理」、「割線定理」及「切割線定理」。

交弦定理

設有一圓，圓上有兩條弦  及 ，它們相交於 ，則有

這個乘積，是  的圓冪的相反數 。這是因為圓冪為非正數，而線段的乘積為正數。

割線定理
設有一圓，圓外有一點 ，引出兩條割線，分別與圓相交於 、 以及 、，則有

這個乘積，是  的圓冪 。

切割線定理
設有一圓，圓外有一點 ，引出一條割線，與圓相交於 、 ，又引出一條切線，與圓相切於 ，則有
 

這個乘積，同樣是  的圓冪 。

證明

交弦定理
從同弓形內圓周角的性質可知， 與  是相似三角形，因此

整理可得

證明完畢。

割線定理
從同弓形內圓周角的性質可知， 與  是相似三角形，因此

整理可得

證明完畢。

切割線定理

從內錯弓形圓周角的性質可知， 與  是相似三角形，因此

整理可得

證明完畢。

參見

參考資料

幾何定理
圓