平坦模

在抽象代數中，一個環  上的平坦模是一個 -模 ，使得函子  保持序列的正合性；若此函子還是忠實函子，則稱之為忠實平坦模

域上的向量空間都是平坦模。自由模或更一般的射影模也是平坦模。对于一个局部諾特環上的有限生成模，平坦性、射影性與自由性三者等價。

自塞爾的論文《代數幾何與微分幾何》以降，平坦性便在同調代數與代數幾何中扮演重要角色。其幾何意義甚深，詳見條目平坦態射。

交換環的情形

當  為交換環，一個 -模的平坦性等價於  是個從 -模到-模之正合函子。

將環  對一個積性子集  的局部化  視作 -模，則它是平坦的。

當  是諾特環而  是有限生成 -模時，平坦性在下述意義等價於局部自由模： 是平坦 -模若且唯若對任何素理想 ，局部化  是自由 -模。事實上，對條件中的  僅須考慮極大理想即可。

一般的環 
當  非交換時的定義須作如下修改：假設  是左 -模，則稱之左平坦模，若且唯若對  的張量積將右 -模的正合序列映至阿貝爾群的正合序列。

環上的張量積總是右正合函子，所以左 -模  是平坦模的充要條件是：對任何右 -模的單射 ，取張量積後的同態  仍為單射。

極限
一般來說，平坦模的歸納極限仍是平坦模；此陳述可由  與  的伴隨性質形式地推出。平坦模的子模與商模不一定是平坦模，然而我們有下述定理：一個平坦模的同態像是平坦模，若且唯若其核為純子模。

Lazard 在1969年證明了：模  平坦的充要條件是它可表成有限生成自由模的歸納極限。由此可知有限展示的平坦模都是射影模。

一個阿貝爾群是平坦 -模的充要條件是其中沒有撓元。

同調代數

與Tor函子的關係
平坦性也可以用Tor函子的消沒性表示。Tor函子是張量積的左導函子。一個左 -模  的平坦性等價於 ；類此，一個右 -模  的平坦性等價於 。藉Tor函子的長正合序列可以導出下列關於基本性質：

考慮短正合序列
 

 若  平坦，則  亦然。
 若  平坦，則  亦然。
 若  平坦， 不一定平坦；若假設  是  的純子模而  平坦，則可推出  與  皆平坦。

局部判準
設  為交換環， 為一理想，則我們有下述平坦性的局部判準。

定理（Bourbaki）. 以下諸條件等價：
  是平坦 -模。
  是平坦 -模，且 。
  是平坦 -模，且典範同態  為同構。
 對所有 -模 ，有 。
 對所有 -模 ，有 。
 對所有 ， 是平坦 -模。
  是平坦 -模，且典範態射  為同構。

此判準在代數幾何中的用途尤大。

平坦分解
一個模  的平坦分解是如下形式的正合序列：
 
使得其中每個  都是平坦模。

任何射影分解都是平坦分解。

忠實平坦模
一個 -模  被稱作忠實平坦的，若且唯若  是個忠實的正合函子。這也就是說：
  是個平坦 -模。
 典範映射  是單射。

當  為交換環時，有以下幾種等價的刻劃：
  是忠實平坦的。
  是平坦的，且 。
  是平坦的，且對所有極大理想  都有 。
 一個序列  正合，若且唯若  正合。

文獻
 Multilinear Algebra, Northcott D.G, 1984, Cambridge University Press - page 33

P
P
模论