球谐函数

球谐函数是拉普拉斯方程的球坐标系形式解的角度部分。在古典場論、量子力学等领域广泛应用。

函数的推导

本微分方程的推导
球坐标下的拉普拉斯方程式:

 。

利用分离变量法，设定  。其中代表角度部分的解，也就是球谐函数。

代入拉普拉斯方程，得到：

分离变量后得：
 ，整理得

本征方程的求解

这里，是一个以为周期的函数，即满足周期性边界条件，因此必须为整数。而且可以解出：
，

而对于的方程，进行变量替换 ，，，得到关于的伴随勒让德方程。方程的解应满足在区间上取有限值，此时必须有，其中为自然数，且。对应方程的解为。即可以解出：
，

故球谐函数可以表达为：
 ，；

其中N 是归一化因子。

經過歸一化後，球谐函数表達為：
 ；

这里的  称为  和  的球谐函数。以上推导过程中， 是虛數單位，  是伴随勒让德多项式 。

其中 用方程式定義為：
 ；

而  是  階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為：
 。

前几阶球谐函数

参见 
 勒让德多项式
 伴随勒让德多项式
 施图姆-刘维尔理论
 柱谐函数
 向量球諧函數

Q
Q
Q
Q