新基础集合论

在数理逻辑中，新基础集合論（NF）是公理化集合論的一種，由蒯因构想出來作为对《数学原理》中类型论的简化。蒯因1937年於《数理逻辑的新基础》一文中首次提及NF（此即其名稱的由來）。請注意，此条目大多是在談论NFU，這是Jensen於1969年所提出，並由Holmes於1998年闡述的一重要变体。

类型论TST

改进版本的类型论TST的基本谓词是等於和成员关系。TST有一个线性的类型层次：类型0由不加描述的个体组成。对于每个（元-）自然数n，类型n+1的对象是类型n对象的集合；类型n的集合有类型为n-1的成员。用等號连接的對象必须有相同的类型。下列两个原子公式简洁的描述了定类型规则：和（符号仍可改进）。

TST的公理是：
外延性：带有相同成员的相同（正数）类型的集合是相等的；
概括公理模式，也就是：

如果是公式，则集合存在。
换句话说，给定任何公式，存在集合使得为真。

这个类型论比于《数学原理》首次发表的类型论簡單許多，因為它還得包括其参数不必然都有同样类型的关系类型。在1914年，諾伯特·維納展示了如何把有序对编码为集合的集合。这使得以这里描述的集合层次的方式消除了关系类型。

蒯因集合论

公理和层化
新基础（NF）是通过放弃TST的类型区别而获得的。NF的公理有：
外延性：有相同元素的两个对象是同一个对象；
概括模式：所有TST的概括实例，但去掉了类型索引（并且不用引入在变量之间新的同一性）。

通过约定，NF的概括模式使用层化公式的概念來陈述，而不直接提及类型。一个公式被称为是层化的，如果存在从语法片段到自然数的一个函数f，使得对于任何的原子子公式有f(y) = f(x) + 1；而对于任何的原子子公式，有f(x) = f(y)。概括接着变成：
对于每个层化公式存在。甚至在层化概念内隐含的对类型的间接提及也可以消除。Hailperin在1944年证实了概括等价于它的一些推論的有限合取，所以NF可以有限的公理化而不提及类型的概念。

对于朴素集合论概括好像是不自洽的，但是在这里不是。例如，不可能的罗素类不是NF集合，因为不能被层化。

有序对
关系和函数在TST（以及NF和NFU）中以通常的方式定义为有序对。首先由Kuratowski在1921年提议的有序对常用的定义对于NF和相关理论有个严重缺陷：结果的有序对必定有比它的参数（它的左和右投影）的类型高2的类型。所以為了决定分层，函数有比它的定义域的成员高3的类型。

如果能以其类型是同它的参数一样的类型的方式定义对（导致一个类型齐平有序对），则关系或函数有只比它的域的成员的类型高1的类型。所以NF和相关理论通常采用蒯因的有序对的集合论定义，這樣得出的是类型的类型-齐平的有序对。Holmes（1998）把有序对与它的左和右投影定為原始概念。幸运的是，無論有序对是通过定义或通过假定（就是作為原始概念）而类型齐平，通常是不重要的。

类型齐平有序对的存在蕴涵了“无穷公理”，而NFU +“无穷公理”解释了NFU +“存在着类型齐平的有序对”（它们不是同样的理论，但是区别无关紧要）。反过来，NFU +“无穷公理”+“选择公理”证明了类型齐平有序对的存在。

有用的大集合的可容纳性
NF（以及NFU +“无穷公理”+“选择公理”，下面描述并已知是相容的）允许构造两种集合，它們都是ZFC和它的真扩展所不允许的，因为“太大”的緣故（某些集合论在真类的名义下接受这些实体）：
全集V。因为是层化公式，通过概括存在全集。直接的推论是所有集合都有补集，而在NF下的整个集合论全集有一个布尔结构。
基数和序数。在NF（和TST）中，存在n个元素的所有集合的集合（这里循环性只是外观上的）。所以弗雷格的基数定义在NF和NFU中可行；基数是集合在等势关系下的等价类：集合A和B是等势的，如果存在它们之间的双射，在这种情况下我们写为。类似的，序数是良序集合在相似关系下的等价类。

NF(U)如何避免集合论悖论
NF清除了三个周知的集合论悖论。NFU這個{相对}相容的理论也避免了这些悖论，增强了我们對這些理論的信心。

罗素悖论：不是层化公式，所以不會通過概括的任何推論得出的存在性。蒯因构造NF的时候大概最关注于这个悖论。

关于最大基数的康托尔悖论利用了康托尔定理对全集的应用。康托尔定理声称（假定ZFC）任何集合的的幂集大于（没有从到的单射函数）。但如果是全集的话，当然有从到的单射。為了解决这个问题，我们需要注意到在类型论中没有意义：的类型比的类型高1。正确的有类型版本（它是在类型论中的定理，成立的原因就像康托尔定理在ZF中成立那樣）是，这里的是的單元素子集的集合。在这个定理中，使我们感兴趣的特殊实例是：單元素集合们少于集合们（因此一个元素的集合们少于全体对象，如果我们在NFU中的话）。从全集到这些單元素集合明显的双射不是一个集合；它不是集合是因为它的定义是非层化的。注意在所有已知的NFU的模型中都成立；“选择公理”允许我们不只证明有基本元素，而且在和之间有很多基数。

我们现在引入某些有用的概念。若集合满足，就被称为康托尔式的：康托尔式集合满足通常形式的康托尔定理。集合满足进一步条件，即单元素集合映射在A上的限制，则不只是康托尔式的而且是强康托尔式的。

下面是关于最大序数的布拉利-福尔蒂悖论。我们定义(跟从朴素集合论)序数是良序排序在相似性下的等价类。在序数上有一个明显的自然的良序排序；因为它是良序排序所以它属于一个序数。(通过超限归纳法)可直接证明在小于一个给定序数的序数们上的自然次序的序类型是自身。但是这意味着是小于的序数们的序类型，因此它严格小于所有序数的序类型 -- 但是通过定义，后者是自身！

在NF(U)中对这个悖论的解决开始于观察到在小于的序数们上的自然次序的序类型的类型比的类型高。因此类型齐平有序对的类型比它的参数的类型高1，而常规的Kuratowski有序对高3。对于任何序类型，我们可以定义比的类型高1的序类型：如果，则是次序的序类型。T运算的烦琐只是外观上的；可以轻易的证明T是在序数们上的严格的单调(序保持)运算。

我们可以用层化的方式重申关于序类型的引理：在小于的序数们上的自然次序的序类型是或，依赖于使用哪个有序对定义(我们在下文中假定类型齐平有序对)。从此我们可演绎出在小于的序数们上的序类型是，从它我们演绎出。因此T运算不是个函数；我们不能有从序数到序数的严格单调集合映射，它向下映射一个序数！因为T是单调的，我们有，在序数们中的“递减序列”不能是集合。

某些人已经断言这个结果证实了没有NF(U)的模型是“标准”的，因此在任何NFU的模型中序数们外在的不是不是良序的。我们不接受这种立场，而我们注意到还有一个NFU的定理，任何NFU的集合模型都有非良序的“序数”；NFU不结论出全集V是NFU的模型，尽管V是集合，因为成员关系不是集合关系。

关于数学在NFU中的进一步开发，和与在ZFC中相同的开发的比较，请参见数学的集合论实现（:en:Implementation of mathematics in set theory）。

蒯因在1940年第一版的《数理逻辑》的集合论中，结合了von Neumann-Bernays-Gödel集合论的真类于NF，并为真类包括了一个无限制概括的公理模式。在1942年，J. Barkley Rosser证明了蒯因的集合论遭受Burali-Forti悖论。在1950年，王浩展示了如何修正蒯因的公理来避免这个问题，蒯因在1951年第二和最终版本的《数理逻辑》中包括了结果的公理化。

参见
公理化集合论
ZFC
数学的集合论实现
自然数的集合论定义
正集合论
可替代的集合论

引用 
Holmes, Randall, 1998.  Elementary Set Theory with a Universal Set. Academia-Bruylant. The publisher has graciously consented to permit diffusion of this introduction to NFU via the web. Copyright is reserved.
Jensen, R. B., 1969, "On the Consistency of a Slight(?) Modification of Quine's NF," Synthese 19: 250-63. With discussion by Quine.
Quine, W. V., 1980, "New Foundations for Mathematical Logic" in From a Logical Point of View, 2nd ed., revised. Harvard Univ. Press: 80-101. The definitive version of where it all began, namely Quine's 1937 paper in the American Mathematical Monthly.

外部链接 
Stanford Encyclopedia of Philosophy:
Quine's New Foundations  -- by Thomas Forster.
Alternative axiomatic set theories -- by Randall Holmes.
Randall Holmes:  New Foundations Home Page. 
Randall Holmes: Bibliography of Set Theory with a Universal Set. 

集合论系统
类型论