拉格朗日方程式

拉格朗日方程式（），-{因}-數學物理學家约瑟夫·拉格朗日而命名，是分析力學的重要方程式，可以用來描述物體的運動，特別適用於理論物理的研究。拉格朗日方程式的功能相當於牛頓力學中的牛頓第二定律。

定義
假設一個物理系統符合完整系統的要求，即所有廣義座標都互相獨立，則拉格朗日方程式成立：
；

其中，是拉格朗日量，是廣義座標，是時間的函數，是廣義速度。

導引
在分析力學裏，有三種方法可以導引出拉格朗日方程式。最原始的方法是使用達朗貝爾原理導引出拉格朗日方程式（參閱達朗貝爾原理）；更進階層面，可以從哈密頓原理推導出拉格朗日方程式（參閱哈密頓原理）；最簡明地，可以借用數學變分法的歐拉-拉格朗日方程式來推導：

設定函數和： 
、
、
 ；

其中，是自變數（）。

若使泛函取得局部平穩值，則在區間內，歐拉-拉格朗日方程式成立：

。

現在，執行下述轉換：
設定獨立變數為時間、
設定函數為廣義坐標、
設定泛函為拉格朗日量，

則可得到拉格朗日方程式
。

為了滿足這轉換的正確性，廣義坐標必須互相獨立，所以，這系統必須是完整系統。
拉格朗日量是動能減去位勢，而位勢必須是廣義位勢。所以，這系統必須是單演系統。

半完整系統
主項目：參閱半完整系統
一個不是完整系統的物理系統是非完整系統，不能用上述形式論來分析。假若，一個非完整系統的約束可以以方程式表示為
；
則稱此系統為半完整系統。

半完整系統可以用拉格朗日形式論來分析。更具體地說，分析半完整系統必須用到拉格朗日乘子：
；

其中，是未知函數。

由於這個廣義坐標中，有個相依的廣義坐標，泛函不能直接被轉換為拉格朗日量；必須加入拉格朗日乘子，將泛函轉換為。這樣，可以得到拉格朗日廣義力方程式：
；

其中，是廣義力，。

這個廣義力運動方程式加上個約束方程式，給出個方程式來解個未知廣義坐標與個拉格朗日乘子。

實例
這個段落會展示拉格朗日方程式的兩個應用實例。第一個實例展示出，用牛頓方法與拉格朗日方法所得的答案相同。第二個實例展示出拉格朗日方法的威力，因為這問題比較不適合用牛頓方法來分析。

自由落體
思考一個粒子從靜止狀態自由地下落。由於重力作用於此粒子，應用牛頓第二定律，可以得到運動方程式
；

其中，x-坐標垂直於地面，由初始點（原點）往地面指。

這個結果也可以從拉格朗日形式論得到。動能是
，

位勢是
；

所以，拉格朗日量是
  。

將代入拉格朗日方程式，
。

運動方程式是
；
與牛頓方法的運動方程式相同。

具有質量的移動支撐點的簡單擺

思考一個簡單擺系統。系統的x-軸平行於地面，y-軸垂直於x-軸，指向地面。擺錘P的質量是，位置是。擺繩的長度是。擺的支撐點Q的質量是。這支撐點Q可以沿著一條平行於x-軸的直線移動。點Q的位置是。擺繩與y-軸的夾角是。那麼，動能是
，

位勢為
。

所以，拉格朗日量是
。

兩個約束方程式為
、
。

將約束方程式代入拉格朗日量方程式,
。

特別注意，在這裏，廣義坐標是與。應用拉格朗日方程式，經過微分運算，對於坐標，可以得到
。

運動方程式為
。

由於拉格朗日量不顯含廣義坐標，稱為可略坐標，而其相對應的廣義動量是常數：
。

對於坐標，可以得到
；

所以，運動方程式為
。

假如用牛頓第二定律，則必須仔細地辨明所有的相關作用力。這是一項既困難又容易出錯的工作。

相關條目 

 拉格朗日量
 拉格朗日力學
 哈密頓力學
 牛頓力學
 變分法

參考文獻

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en:Lagrangian equation