牟合方盖

牟合方盖是几何体，是两支等半径圆柱躺在平面上垂直相交的交集，像兩個方形蓋子合在一起，稱作「牟合方蓋」。

阿基米德與祖沖之用不同方法計出球體積是，r為圓柱半徑。祖沖之正是计出牟合方蓋体积为，从而推出球体积公式。

初出
《九章算術》曾認為，球體外切圓柱體積與球體積之比等於正方形與其內切圓面積之比。魏國數學家劉徽在他為《九章算術》作的註釋指出，原書說法不正確，只有「牟合方蓋」（兩支垂直相交圓柱體的交集之體積）與球體積之比，才正好等於正方形與其內切圓的面積之比，即是：
球体积：牟合方盖体积＝
但劉徽沒有提供牟合方蓋體積公式，也就得不出球體積公式。

推導
一直到南北朝，數學家祖冲之和其子祖暅之才另創新法求出牟合方蓋與球體體積。他們的求法紀錄在唐代李淳風為九章算數作的注解中，流傳至今。

這段說明的形狀可看做是塊牟合方蓋，外接一立方體；塊牟合方蓋即「內棋」，立方體減去內棋餘部即為「外棋」。

現將內外棋橫向切開。內棋截面是正方形，可用勾股弦定理求出其邊長與圓半徑的關係式。圓半徑（立方體邊長）r，底面到截面高h，則正方形邊長，面積；也就是說外棋截面積為。

現以立方體的底面和底面以外一粒頂點作一四角錐（這形狀稱陽馬）。對陽馬距離角錐h處橫向切開，則截面是正方形，面積等於。

祖氏父子在此解釋：所有等高處橫截面積相等的兩個同高立體，其體積也必然相等。這就是今天所稱的「祖暅原理」。套用此定理，

外棋截面積＝陽馬截面積＝

所以外棋體積也等於陽馬體積。

《九章算术》已有提到，阳马体积等于其外接立方体积，所以內棋體積是立方體的，即。由於內棋是牟合方蓋的，故牟合方蓋體積為
。
而球體積即為
。

註釋

參考資訊
祖沖之、球體公式及其他 ，EpisteMath | 數學知識
《缀术》中的开立圆术，中文數學數字圖書館
於Google SketchUp 3D 模型庫的「牟合方蓋」立體模型 

中國古代數學
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