格尔斯滕哈伯代数

格爾斯滕哈伯代数是Gerstenhaber在研究结合代数的形变时发现的。一个结合代数的形变跟它的Hochschild上复形有密切的关系，Gerstenhaber证明，Hochschild上复形实际上形成一个微分分次李代数，并且这个微分分次李代数完全控制了该结合代数的形变。Gerstenhaber的研究受到小平邦彦（Kodaira）-Spencer关于流形复结构形变研究的启发，这些思想后来由Deligne和Kontsevich等人加以系统完成。

在下面后4个例子中，例2和例3是1990年代之前发现的，1993年，Deligne在给一些数学家的通信中猜测它们之间也许是有关系的，用数学语言表述，即：对任何一个结合代数，其Hochschild上复形是little disks operad的链(chain) operad上的代数。这就是著名的Deligne猜想，最后由Kontsevich-Soibelman，McClure-Smith，Tamarkin和Voronov等人解决。Deligne猜想的证明涉及到了很多高深的数学工具，而这些工具都与拓扑共形场论有着密切的联系，因而引起了很多人的兴趣。

稍后，在1997年，Chas和Sullivan的研究论文发表了名为弦拓扑的论文，发现了例5。他们的研究结果引起了数学家们很大的关注和进一步的研究，从而开辟了一门崭新的学科。

最后，需要补充的是，关于Gerstenhaber代数的研究往往伴随着Batalin-Vilkovisky代数（简称BV代数）的研究。BV代数是一类特殊的Gerstenhaber代数，往往由Gerstenhaber代数里面的某种对称性而得到，如。

定义

设  是数域  上的一个分次向量空间。 上的一个格尔斯滕哈伯代数结构是三元组 ，满足以下关系：
  是 上的分次、交换、结合的代数；
 是李括号次数为 -1 的分次李代数；
 李括号对其两个变元都是乘积  的导子，即对任给 ，

有些文献也把格尔斯滕哈伯代数称为辫代数（braid algebra）。

例子
下面是一些Gerstenhaber代数的例子，因为构造都比较复杂，因此只列出结果，有兴趣的读者可以参考所给文献资料：

设是一个李代数，记为其所对应的链复形，则在其上有一个自然的Gerstenhaber代数结构，乘法由外积给出，李括号为从上诱导的李括号给出（这是一个比较平凡的例子，因此一般人并不重点讨论，但它在构造Gerstenhaber代数的同伦论中非常重要）；
设是数域上的结合代数，Gerstenhaber证明：的霍赫希尔德上同调形成一个Gerstenhaber代数；
记为little disks operad，Cohen证明：的同调群形成一个Gerstenhaber代数；
Lian和Zuckerman证明了，在弦理论的背景（background，指从弦理论里面抽象出来的代数结构）中，存在一个Gerstenhaber代数结构；
设是一个紧致光滑的流形，是它的自由环路空间（free loop space）。Chas和Sullivan证明：的同调群形成一个Gerstenhaber代数。

參見
Batalin-Vilkovisky代数
弦拓扑

参考资料

弦理论
数学物理
代数拓扑