卡諾定理 (內切圓、外接圓)

设ABC为三角形，O为其外心。则O到ABC各边的距离之和为

，

其中r为内切圆半径，R为外接圆半径。这个定理叫做卡诺定理（），以拉扎尔·卡诺為名。

引理
在中，為之外接圓半徑，且為之內切圓半徑，則

證明
假設為銳角三角形，為之外接圓圓心，至三邊之距離分別為、、，其中為至之距離，為至之距離，為至之距離。連接與，在中，根據三角形外心性質，可以得到

所以，可以得到的表示式，

同理，亦可得到和的表示式，

因此，

根據引理，即可得證，

此外，若為鈍角三角形，且大於度，其餘符號假設均與上面相同，則可以得到，

所以，

故得證卡諾定理。

參考資料

 

几何定理
三角形几何