多重指标

多重指標是數學中一種方便的表示法，它將指標中的單個整數推廣為多個整數，它可以簡化多元微積分、偏微分方程與分佈理論中的計算，也便於操作冪級數。

定義與運算

一個-維多重指標是一個由整數構成的向量

 

設為多重指標，定義：

應用最廣的是非負的多重指標，此時可以定義：

（假設）

設，定義

 其中

命題。若是非負的維多重指標，且，則

按定義直接操作即可證明。

應用

多元微積分
多重指標可以將單變元微積分的許多結果直接推廣到多變元。以下是幾個例子：

多元冪級數：有兩個以上變元的冪級數通常寫成
 
其中是-維多元指標而，以簡化冗長的表法
  

多項展開

萊布尼茨公式：設存在夠高階的導數，則

泰勒展開式：對一多元解析函數f，當充分小時有下述展開

其實這不外是定義，多元指標在此提供了簡練的表示法。

對於存在夠高階導數的函數，我們也有帶餘項的泰勒展開式：

其中的最後一項（餘項）有多種表法，例如柯西的積分表法：

偏微分算子
一個形式上的變元-階偏微分算子能以多重指標寫成

分部積分：對有界定義域上的緊支集光滑函數，我們有

此公式用以定義分佈與弱導數。

文獻
 Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Chap 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9

 

數學表示法
多变量微积分
组合数学