代數 (環論)

在數學中，交換環上的代數或多元環是一種代數結構，上下文不致混淆時通常逕稱代數。

本頁面中的環都是指有單位的環，並使用么環一詞表示則是不一定有單位的環。

定義 
給定一個交換環  。

代數 
給定一個四元組  。如果以下兩個條件成立：
  是一個 -模。
 是一個  的內部運算（即），並且是-雙線性的。也就是說內部運算符合以下三點：
 
 
 
那麼我們說四元組  是一個  上的代數（或稱 -代數），或簡稱集合  是一個-代數。

結合代數、有單位的代數、交換代數 
設  為一個 -代數。
 如果內部運算符合結合律，那麼我們說  是一個結合代數。
 如果內部運算有一個單位元（即 ），那麼此單位元是唯一的並且我們說  是一個有單位的代數。
 如果內部運算符合交換律，那麼我們說   是一個交換代數。
註：有些作者用結合代數來稱呼結合且有單位的代數，或是用交換代數來稱呼結合、有單位且交換的代數。本頁面使用上述段落給的定義而不採用這些稱呼。

等價定義 
一樣給定一個交換環  。

給定一個四元組  。 這是一個上的結合代數（結合且有單位的代數、結合、有單位且交換的代數）當且僅當以下三個條件成立：
  是一個 -模。
  是一個環（一個幺環、一個交換環）。
 是一個  的內部運算（即），並且是-雙線性的。
註：上述條件中的第三個條件在第一及第二條件成立下等價為：
 是一個  的內部運算（即），並符合

上述只是將最初定義重整理一次。然而我們可以用別種結構來理解結合且有單位的代數：
 給定一個結合且有單位的 -代數  就等於給定一個二元組 ：其中  是一個環，而  是一個滿足 的環同態。（ 代表環  的中心，也就是 ）。
原因是如果  是一個結合且有單位的-代數，那麼  是一個環並且  是一個環同態，滿足。反過來看，如果  是一個環，而  是一個滿足  的環同態，那麼我們可以定義外部運算（即）。 上環的結構與此外部運算結構使其成為一個 -模並且成為一個結合且有單位的 -代數。

將上述性質套用在交換環上，我們便可得到結合、有單位且交換的代數的另一種看法：
 給定一個結合、有單位且交換的 -代數  就等於給定一個二元組 ：其中  是一個交換環，而  是一個的環同態。

代數同態 
設  是 -代數，-模間的同態  被稱作 -代數間的同態，若且唯若它滿足 。因此所有 -代數構成一個範疇，也可以探討代數間的同構。詳閱主條目代數同態。

結構常數 
設  是 -代數。當  是個自由的有限秩 -模（當  為域且 時自動成立）時，可選定一組基底 ，並將乘法寫作
  （採用愛因斯坦記號）

此時常數  稱作  對基底  的結構常數。

例子 
 對於，矩陣環  附上矩陣乘法是一個非交換但結合且有單位的-代數。
 對二階以上的矩陣環，假設域的特徵不等於 2。定義新的乘法為 ，此時得到一個交換、非結合、無單位的代數。這是一個約當代數的例子。
 歐氏空間  對其外積構成一個非交換、非結合且無單位的 -代數。這是一個李代數的例子。
 四元數  是一個非交換但結合且有單位的 -代數。
 八元數  是一個非交換、非結合但有單位的 -代數。
 考慮所有在正無窮有極限且極限為0的函數所形成的集合，附上一般的運算會是一個結合且交換但無單位的-代數。

除了交換結合代數外，一般常研究的幾類代數包括李代數、克里福代數、約當代數等等。近來一些物理學家運用的幾何代數也是一例。

代數上也可以賦予拓撲結構，並要求代數運算是連續的；最突出的例子是巴拿赫代數，這是現代泛函分析的基石之一。

參見 
 結合代數
 代數同態
 李代數

文獻 
 Nicholas Bourbaki, Algèbre: tome 1. Chapitres 1 à 3 ISBN 2-903684-00-6

D
环论