馬克士威應力張量

在電磁學裏，馬克士威應力張量(Maxwell stress tensor)是描述電磁場帶有之應力的二階張量。馬克士威應力張量可以表現出電場力、磁場力和機械動量之間的相互作用。對於簡單的狀況，例如一個點電荷自由地移動於均勻磁場，應用勞侖茲力定律，就可以很容易地計算出點電荷所感受的作用力。但是，當遇到稍微複雜一點的狀況時，這很普通的程序會變得非常困難，方程式洋洋灑灑地一行又一行的延續。因此，物理學家通常會聚集很多項目於馬克士威應力張量內，然後使用張量數學來解析問題。

導引
為了方便參考，先列出馬克士威方程組：

其中， 是電場， 是磁場， 是電荷密度，是電流密度， 是電常數， 是磁常數。

從勞侖茲力定律開始，一個電荷分佈所感受到的單位體積的作用力  是
 。

應用高斯定律和馬克士威-安培定律，把電荷密度和電流密度替換掉，只讓電場和磁場出現於方程式：
 。

應用乘積法則和法拉第感應定律：
 ，

稍加編排，將  寫為
 。

為了使  的項目  的項目能夠相互對稱，加入一個  項目： 
 。

應用向量恆等式，對於任意向量  
，

將  的方程式內的旋度項目除去：
 。

這方程式最右邊項目涉及了坡印廷向量  ：
 。

設定馬克士威應力張量  （以英文字母上面加兩隻箭矢符號來標記二階張量）：
 ；

其中， 是克羅內克函數。

定義一個向量  與馬克士威應力張量  的內積為
 。

那麼，一個電荷分佈所感受到的單位體積的作用力  是
 。

馬克士威應力張量的性質
馬克士威應力張量是一個對稱張量，表達為
 。

馬克士威應力張量的單位是牛頓／公尺2。馬克士威應力張量的 ij 元素詮釋為，朝著 i-軸方向，施加於 j-軸的垂直平面，單位面積的作用力；對角元素代表負壓力，非對角元素代表剪應力。對角元素給出張力（拖拉力）作用於其對應軸的垂直面微分元素。不同於理想氣體因為壓力而施加的作用力，在電磁場內的一個面元素也會感受到方向不垂直於其面的剪應力。這是由非對角元素給出的。

動量守恆定律
在一個體積  內的電荷，所感受到的總作用力  是
 。

應用散度定理，可以得到
 ；

其中， 是體積  的閉合表面。

根據牛頓第二定律，
 ；

其中， 是動量。

所以，電荷的動量  可以表達為
；

其中， 是儲存於電磁場的動量（坡印廷向量  是由電場和磁場組成的一個複合向量）。

稍加編排，可以得到動量守恆定律的積分方程式：
 。

動量守恆定律闡明，一個體積的總動量（電荷的動量加上電磁場的動量）的增加速率等於每秒鐘流入閉合表面的動量。負的馬克士威應力張量  是一個動量通量密度。

動量守恆定律也能以微分形式表達為
 ；

其中， 是電荷的動量密度， 是電磁場的動量密度。

相關條目 
電磁能量密度
坡印廷向量
電磁應力-能量張量
電磁場的數學表述

參考文獻 

 

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