貝蒂數

在代數拓撲學中，拓撲空間之貝蒂數  是一族重要的不變量，取值為非負整數或無窮大。直觀地看， 是連通分支之個數， 是沿著閉曲線剪開空間而保持連通的最大剪裁次數。更高次的  可藉同調群定義。

「貝蒂數」一詞首先由龐加萊使用，以義大利數學家恩里科·貝蒂命名。

定義
空間  的第  個貝蒂數（ 為非負整數）定義為
 

上式的同調群可以任意域為係數。

例子
 圓環  的貝蒂數依次為 。
 二維環面的貝蒂數依次為 。
 三維環面的貝蒂數依次為 。
 一般而言， 維環面的貝蒂數由二項式係數給出，此命題可透過下節敘述的性質證明。
 無窮維空間可以有無窮多個非零的貝蒂數，例如無窮維複射影空間  的貝蒂數依次為 （週期為二）。

性質
閉曲面的第一個貝蒂數描述了曲面上的「洞」數。環面之 ；一般而言，閉曲面的  等於「洞」或「把手」個數之兩倍。可定向緊閉曲面可由其  完全分類。

有限單純複形或CW複形的貝蒂數有限。當  大於複形維度時，。

對於有限 CW 複形，定義其龐加萊多項式為貝蒂數的生成函數
 
對於任意 ，有

對於 -維可定向閉流形 ，龐加萊對偶定理給出貝蒂數的對稱性

貝蒂數與微分形式
在微分幾何及微分拓撲中，所論的空間  通常是閉流形，此時拓撲不變量  可以由源自流形微分結構的微分形式計算。具體言之，考慮複形
 
其中  表  次微分形式構成的向量空間， 為外微分。則
 
這是德拉姆上同調理論的簡單推論。

德拉姆上同調的不便之處，在於它考慮的是微分形式的等價類，其間可差一個  之元素。設流形  具有黎曼度量，則可以定義微分形式的「長度」。我們若嘗試以變分法在等價類中找最短元素，透過形式計算可知存在唯一最短元素 ，且為調和形式 ：，在此拉普拉斯算子  依賴於流形的度量，在局部座標系下可表為橢圓偏微分算子。這套想法催生的霍奇理論在複幾何中扮演關鍵角色。

文獻
 F.W. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Springer (1983).
 J.Roe, Elliptic Operators, Topology, and Asymptotic Methods, Second Edition (Research Notes in Mathematics Series 395), Chapman and Hall (1998).

代數拓撲
拓扑图论