商环

在環論中，商環（或稱剩餘類環）是環對一個理想的商結構。

定義
設為一環，為一雙邊理想。定義下述等價關係
 

令為其等價類的集合，其中的元素記作，其中是該元素在上任一代表元。我們可以在上定義環結構：
 
 

以上運算是明確定義的（在第二式中須用到是雙邊理想）。集合配合上述運算稱作對的商環。根據定義，商映射是滿的環同態，為此同態的核。

如果含單位元，則是的單位元。

註：若條件弱化為是左（或右）理想，上述兩式仍可賦予集合左（或右）-模結構。

例子
 最平凡的例子是，此時分別得到。
 取，商環可視為模運算的代數框架，其中的元素即模的剩餘類。
 商環是構造代數擴張的主要工具。例如取實係數多項式環，，則商環與複數域同構（考慮映射）。一般而言，設為一個域，為上的不可約多項式，則商環的意義在於抽象地在上加進的一個根。

性質
商環由下述泛性質唯一決定（至多差一個同構）：

設為商同態；對任何環同態，若  ，則存在唯一的同態，使得。

事實上，若更設，則是單射。準此，的同態像無非是的商環。

理想的性質常與其商環相關，例如當是交換含-{zh-hans:幺;zh-hk:幺;zh-tw:幺;}-環時，是素理想（或極大理想）若且唯若是整環（或域）；中包含的理想一一對應於中的所有理想，此對應由商映射的逆像給出。

文獻
 Serge Lang, Algebra（2002）, Springer-Verlag. ISBN 0-387-95385-X

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