取整函数

在数学和计算机科学中，取整函数是一类将实数映射到相近的整数的函数。

常用的取整函数有两个，分别是下取整函数（）和上取整函数（）。

下取整函数即為取底符號，在数学中一般记作或者或者，在计算机科学中一般记作floor(x)，表示不超过x的整数中最大的一个。
 

举例来说，，，，。对于非负的实数，其下取整函数的值一般叫做它的整数部分或取整部分。而叫做x的小数部分。每个分数都可以表示成其整数部分与一个真分数的和，而实数的整数部分和小数部分是与此概念相应的拓延。

下取整函数的符号用方括号表示（），称作高斯符号，首次出現是在卡爾·弗里德里希·高斯的數學著作《算术研究》。

上取整函数即為取頂符號在数学中一般记作，在计算机科学中一般记作ceil(x)，表示不小于x的整数中最小的一个。
 

举例来说，，，，。

计算机中的上取整函数和下取整函数的命名来自于英文的ceiling（天花板）和floor（地板），1962年由肯尼斯·艾佛森于《A Programming Language》引入。

性质

对于高斯符號，有如下性质。
按定义：
 当且仅当x为整数时取等号。
 设x和n为正实数，则：

 当n为正整数时，有：
 其中表示除以的餘數。
 对任意的整数k和任意实数x，

一般的數值修約規則可以表述为将x映射到floor(x + 0.5)；
 高斯符號不是连续函数，但是上半连续的。作为一个分段的常数函数，在其导数有定义的地方，高斯符號导数为零。
 设x为一个实数，n为整数，则由定义，n ≤ x当且仅当n ≤ floor(x)。
 當x是正數時，有：

 用高斯符號可以写出若干个素数公式，但没有什么实际价值，見。
 对于非整数的x，高斯符號有如下的傅里叶级数展开：

 根据Beatty定理，每个正无理数都可以通过高斯符號制造出一个整数集的分划。
 最后，对于每个正整数k，其在 p 进制下的表示有  个数位。

函數間之關係 
由上下取整函數的定義，可見

等號當且僅當為整數，即

實際上，上取整與下取整函數作用於整數，效果等同恆等函數：

自變量加負號，相當於將上取整與下取整互換，外面再加負號，即：

且：

至於小數部分，自變量取相反數會使小數部分變成關於1的「補數」：

上取整、下取整、小數部分皆為冪等函數，即函數疊代兩次的結果等於自身：

而多個上取整與下取整依次疊代的效果，相當於最內層一個：

因為外層取整函數實際衹作用在整數上，不帶來變化。

商 
若和為正整數，且，則

若為正整數，則

若為正數，則

代，上式推出：

更一般地，對正整數，有：

對於正整數，以下兩式可將上下取整函數互相轉化：

對任意正整數和，有：

作為特例，當和互質時，上式簡化為

此等式可以幾何方式證明。又由於右式關於、對稱，可得

更一般地，對正整數，有

上式算是一種「互反律」（），與有關。

應用

二次互反律 
高斯給出二次互反律的第三個證明，經艾森斯坦修改後，有以下兩個主要步驟。

設、為互異奇質數，又設
  

首先，利用高斯引理，證明勒让德符号可表示為和式：

同樣

其後，採用幾何論證，證明

總結上述兩步，得

此即二次互反律。一些小整數模奇質數的二次特徵標，可以高斯符號表示，如：

質數公式 
下取整函數出現於若干刻畫質數的公式之中。舉例，因為在整除時等於，否則為，所以正整數為質數当且仅当

除表示質數的條件外，還可以寫出公式使其取值為質數。例如，記第個質數為，任選一個整數，然後定義實數為

則衹用取整、冪、四則運算可以寫出質數公式：

類似還有米尔斯常数，使

皆為質數。

若不疊代三次方函數，改為疊代以為㡳的指數函數，亦有使

皆為質數。

以質數計算函數表示小於或等於的質數個數。由威尔逊定理，可知

又或者，當時：

本小節的公式未有任何實際用途。

其它等式

 对于所有实数x，有：

设x为一个实数，n为整数，则

对于两个相反数的高斯符號，有：
如果x为整数，则
否则

基本特殊函数
数学符号

参考来源

数论
函数