長球面坐標系

長球面坐標系（）是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於 xz-平面；兩個焦點  與  的直角坐標分別為  與  。將橢圓坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到長球面坐標系。（假若，繞著 y-軸旋轉，則可以得到扁球面坐標系。）橢圓坐標系的兩個焦點，包含於 z-軸。長球面坐標系可以被視為橢球坐標系的極限案例，其兩個最短的半軸的長度相同。

基本定義
在三維空間裏，一個點 P 的長球面坐標  常見的定義是
 、
 、
 ；

其中， 是個實數，弧度  ，弧度  。

坐標曲面
 坐標曲面是長球面：
 。

每一個長球面都是由橢圓繞著 z-軸旋轉形成的。橢球面與 xz-平面的相交，是一個橢圓。沿著 x-軸，橢圓的短半軸長度為  ，沿著 z-軸，橢圓的長半軸長度為  。橢圓的焦點都包含於 z-軸，z-坐標分別為  。

 坐標曲面是半個旋轉雙葉雙曲面：
 。

當  時，坐標曲面在 xy-平面以上；當  時，坐標曲面在 xy-平面以下。

 坐標曲面是個半平面 ：
 。

標度因子
長球面坐標  與  的標度因子相等：
 。

方位角  的標度因子為
 。

無窮小體積元素是
 。

拉普拉斯算子是
 。

其它微分算子，像  ，  ，都可以用  坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用
當邊界條件涉及長球面時，長球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式。例如，位置分別在 z-軸兩個焦點的電子，會產生怎樣的靜電場？一個關於氫離子  的問題是，當移動於兩個正價的原子核中間時，一個電子的波函數是什麼？另外一個很實際的問題是，兩個小電極尖端之間的電場是什麼？極限案例包括一根電線段 () 產生的電場，缺了一線段的一根電線 () 產生的電場。

第二種表述

另外，還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系  ：
 、
 、
 。

其中， 是個實數， 是個實數，弧度  。

與扁球面坐標系不同，長球面坐標系並沒有簡併。在三維空間裏，長球面坐標系與直角坐標有一一對應關係:
 、
 、
 。

坐標曲面
 坐標曲面是長球面：
 。

每一個長球面都是由橢圓繞著 z-軸旋轉形成的。橢球面與 xz-平面的相交，是一個橢圓。沿著 x-軸，橢圓的短半軸長度為  ，沿著 z-軸，橢圓的長半軸長度為  。橢圓的焦點都包含於 z-軸，z-坐標分別為  。

 坐標曲面是半個旋轉雙曲面：
 。

當  時，坐標曲面在 xy-平面以上；當  時，坐標曲面在 xy-平面以下。

 坐標曲面是個半平面 ：
 。

任何一點 P 與焦點  ， 的距離  ， ，可以一個很簡單的公式表示：
 、
 。

所以，點 P 與焦點  的距離  是  ，點 P 與焦點  的距離  是  。（回想  ， 都是在 z-軸，分別位於  ， 。）

標度因子
第二種長球面坐標  的標度因子分別為:
 、
 、
 。

無窮小體積元素是
 。

拉普拉斯算子是
 。

其它微分算子，像  ，  ，都可以用  坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用
如同球坐標解答的形式為球諧函數，拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解，得到形式為長扁球諧函數的答案。假若，邊界條件涉及長球面，我們可以優先選擇這方法來解析。

參閱

參考目錄

不按照命名常規
   採用  、 、 。

   如同 Morse & Feshbach (1953) ，採用  來替代  。

 

   採用混合坐標  、 、 。

按照命名常規
  採用第一種表述  ，又加介紹了簡併的第三種表述  。 

   如同 Korn and Korn (1961) ，但採用餘緯度  來替代緯度  。

   Moon and Spencer 採用餘緯度常規  ，又改名  為  。

特異命名常規
  視長球面坐標系為橢球坐標系的極限。

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