单位圆

在数学中，单位圆（）是指半径为单位长度的圆，通常为欧几里得平面直角坐标系中圆心为、半径为1的圆。单位圆对于三角函数和复数的坐标化表示有着重要意义。单位圆通常表示为S1。多维空间中，单位圆可推广为单位球。

如果单位圆上的点位于第一象限，那么与是斜边长度为1的直角三角形的两条边，根据勾股定理，与满足方程：

由于对于所有的来说，并且所有这些点相对于x轴或者y轴的反射点也都位于单位圆上，因此单位圆上的所有点都满足上面的方程。

单位圆与三角函数
事实上，不仅仅是正弦与余弦，而且所有六个标准三角函数—正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）、余切（cot）、正割（sec）、余割（csc）以及不常用正矢（versin）与外正割（exsec）—都可以在单位圆表示出来。

在直角三角形中，正弦、余弦以及其它三角函数只有当角度大于0且小于时才有意义。但是，在单位圆上，对于任意的实数角度，这些函数都有直观的意义。

正弦函数与余弦函数可以用如下方法定义。

设是单位圆上的一个点。设角的起始边为x轴的正方向，角度按照逆时针方向测量。那么角t的终边和单位圆会有一个交点。因此：

另外，从可以得到

从这里还可以直观地看出正弦函数与余弦函数都是周期函数，对于任意的整数有恒等式

这些恒等式的依据是在角度  增加任意圈数或者减小任意圈数的时候x与y坐标保持不变。一圈 弧度。

复数的圆群
复数也可以用欧几里得平面内的点来表示， 表示为。在这种表示下，单位圆是不断增加的群，在数学以及科学领域这个群有很重要的应用。

参见
三角函数
角
单位球
单位正方形
单位圆盘
圆群

三角学
圆
一