無效證明

在數學裡，有著許多明顯矛盾的虛假證明存在。即使其證明是有缺陷的，其錯誤——通常是經過設計的——卻常是較難抓摸的。這些謬誤一般都儘止於好奇而已，但可以被用来顯示嚴謹在數學中的重要性。

大多數此類的證明都仰賴著同種錯誤的變形 此一錯誤為採一非單射的函數，以觀察對某些和，會有，來（錯誤地）做出的結論。零除數是此類錯誤的一特例；為將映射至的函數，而其錯誤的一步是起於將的等式做成的結論。相似地，下面證明了的句子也是以函數的同一種錯誤造成的。其錯誤的一步始於有某個和會使得的一正確申論，然後做出了的一錯誤結論。

算术例子

證明1是最大的正整數 
 假設最大的正整數不是，而是，有；

 ，為正的，所以由得到；

 但是還是正整數，可是沒有任何正整數比大，矛盾；

 所以最大的正整數是1。
Q.E.D.

此一證明是無效的，因為最大的正整數不存在，因此不能如此假設。

證明-1等於1 
 由一等式開始
 
 將兩邊轉成假分數
 
 將兩邊開方
 
 其會等於
 
 兩邊同乘以來消去分數
 
 但任一數的開方之平方會給出原本的數來，故
 

Q.E.D.

此一證明是無效的，因為負數的開方不是实数，推出是错误的（事實上，，）。

證明1等於2 
1.令，且

2.將兩邊乘以a

3.將兩邊減掉

4.將兩邊因式分解

5.將兩邊除以

6.因為因此

7.簡化

8.將兩邊除以b

Q.E.D.

這個證明的錯誤點在於第五步，正因為a=b所以a-b等於零，而除以零是無效的。

證明4等於5 
 由一等式開始
 
 將等式兩邊以稍微不同但相等的方式表示
 
 將兩邊做因式分解
 
 將兩邊加上相同的數
 
 將兩邊再做一次因式分解
 
 將兩邊開方
 
 消去相同的項
 

Q.E.D.

那一證明內的錯誤在於不表示的這一事實。到此之前的算術都是正確的，而事實上，。需注意的是，若將4減去，會得到。若再平方的話，則會得到正的。其下一個邏輯的數學步驟為取兩邊的平方。若這樣做的話，則將會看見會等於。原始的式子事實上是會導致一個正確的等式的（若此一問題是以此一純粹的方式運算的話）。

證明1+1=0 
求︰

Q.E.D.

此證明的錯誤在於只有在a與b不皆為負數才成立，並不等於。

證明0=1 
首先，設定一個無窮級數。

因為，因此：

拆括號之後在於不同的地方加上括號：

，因此：

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於，無窮等比級數在公比的絕對值大於等於一的情況下，將括號插入無窮級數求無窮和是沒有意義的，因為這樣的無窮等比級數和發散。因此這類條件不適用於格蘭迪級數  。

證明任何數字等於1/任何數字 
 

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於， 不等於 ，正確等式應是（下一步：）。

證明0/0等於0 
首先，我們知道：

由於

因此

因此

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於，成立的前提有。

證明任意兩數都是相等的 
設
設

由和立方與差立方公式可知：
 
 

由於
 
 

將代入，可得：
 

因此：

代入，可得：

Q.E.D.

这个证明的错误在于：

1、在以上的假设下，可得，所以和并不是独立的；

2、在复数域中，由得不出。在此证明中，由得出是错误的。

几何例子

第一题：证明任何三角形都是正三角形 

给定三角形△ABC，证明AB = AC:
 作∠A的角平分线。
 作BC的垂直平分线，并设BC的中点为D。
 设这两条直线的交点为P。
 从P向AB和AC作垂线，并设垂足为E和F。
 作直线PB和PC。
 △EAP ≅ △FAP（AP = AP；∠PAF ≅ ∠PAE由于AP平分∠A；∠AEP ≅ ∠AFP都是直角）。
 △PDB ≅ △PDC（∠PDB、∠PDC是直角；PD = PD；BD = CD由于PD平分BC）。
 △EPB ≅ △FPC（EP = FP由于△EAP ≅ △FAP；BP = CP由于△PDB ≅ △PDC；∠EPB ≅ ∠FPC由于它们是对顶角）。
 因此，AE ≅ AF，EB ≅ FC，AB = AE + EB = AF + FC = AC。
 同理，AB = BC，AC = BC。
证毕。

这个证明的错误在于，只有在△ABC為等腰三角形，P才會位于三角形的内部，而且AP与DP会重合。

第二题：证明直角等于钝角 

给定一个矩形ABCD，证明∠DCB=∠ECB；
 在矩形ABCD外作CE=CD。
 联结AE。
 作BC、AE的中垂线，它们的垂足分别是G、F，两条直线交于H。
 在中垂线上的点到线段两端的距离是相等的，所以HA=HE，HB=HC。
 矩形的对边相等，得AB=DC；加上作图要求，得AB=EC。
 利用S.S.S得△ABH≅△ECH。于是得∠ABH=∠ECH。
 由于HB=HC，则得∠HBC=∠HCB。
 等量减等量，得∠ABC=∠ECB。
 矩形的四个角都是90°，得∠ABC=∠ECB=90°。
Q.E.D.

这个证明的错误在于，由于△ABH≅△ECH，则∠BHA=∠CHE，即∠AHE=∠BHC-∠BHA+∠CHE，可以把∠AHE看作是∠BHC的旋转，因AH穿过了矩形ABCD，则EH是不可能穿过矩形ABCD的。

微积分例子

证明0等于1 

我们从计算以下的不定积分开始：

利用分部积分法，可得： 
，
因此： 
，
所以，有：

证毕。

这个证明的错误在于，忽略了積分完會出現的積分常數C。若繼續計算，會得到。

參見 
 悖論

數學推理
謬誤