庫拉托夫斯基十四集問題

在点集拓扑学中，庫拉托夫斯基十四集問題敘述是：給定拓樸空間的子集，對做任意有限次數的取補集或閉包，最多可以得到幾個不同的集合？

本問題又被稱作閉包補集問題，由庫拉托夫斯基於1922年提出，並給出了解答 14 。约翰·L·凯利撰寫的拓樸學經典教科書 General Topology 將庫拉托夫斯基十四集問題收錄做為一題習題，使得本問題在往後的 30 年間被許多人所熟知。

證明 
對所有子集，將的補集記為，閉包記為，則有以下 3 件事實

  (取補集是對合的)
  (取閉包是冪等的)
  (或等價的，等價性來自 1.)

由 1. 和 2. 知，只需要考慮以下兩個序列就足夠了

 及 

再由 3. 知，最多只會有 14 個相異集合。

若對取補集或閉包可以產生恰好 14 個相異集合，則稱是個 14-集。事實上，實數空間 與一般實數上的拓樸，形成的拓樸空間就有包含 14-集，例如

 

其中 ( , ) 和 [ , ] 分別代表開區間和閉區間。

其他結果 
1962 年 T.A. Chapman 發現，對做任意有限次數的取内部或閉包，則最多可以得到 7 幾個不同的集合。證明仍然化約到討論下面的兩個序列

 及 

其中，代表的內部。

代數結構 
雖然問題是屬於點集拓樸學，但是出乎意料的，它的性質卻比較代數，而非拓樸。1960 年代，類似概念的問題不斷被提出，然而大部分卻已經跟拓樸本身不太有關係了。

此外，取閉集或補集的運算定義了一個么半群，可以用來對不同拓樸空間做分類。

參考資料

外部連結 

 The Kuratowski Closure-Complement Theorem  ，作者：B. J. Gardner 和 Marcel Jackson。
 The Kuratowski Closure-Complement Problem ，作者：Mark Bowron。

K
数学问题