群概形



定義
在代數幾何中，一個概形上的群概形是範疇中的群對象。藉由米田信夫引理，我們可以給出兩種刻劃：

以乘法、單位元與逆元定義：存在中的態射
 乘法：
 單位元：
 逆元：
並滿足結合律等等群的性質。

以函子性定義：點函子透過遺忘函子分解。。

換言之：對於任意的-概形，構成一個群；而且對任意-態射，誘導映射都是群同態。

代數群：設為域，上的連通、光滑群概形稱作上的代數群。

李代數：群概形自然地作用在它的全體向量場上。的全體左不變向量場稱作的李代數，記為；它是上的層。

例子
 交換環譜的群概形結構一一對應到的Hopf代數結構。
 阿貝爾簇：即一個域上的真（proper）代數群，它們必然是可交換的。
 線性代數群：即中的閉子群。仿射代數群都是線性代數群，它們在表示理論及數論中佔有根本地位。Chevalley定理斷言：若代數封閉，則對所有代數群都存在短正合列，其中是線性代數群而是阿貝爾簇。在此意義下，所有代數群都是由阿貝爾簇與線性代數群建構而來。
 設，並考慮的譜。這些群在拓樸上只有一個點，但其結構層帶有冪零元素。這些子群在代數群的研究中相當常見，同時也是理解時的代數群之重要關鍵。

文獻
 A. Borel, Linear Algebraic Groups 2nd enlarged edition (1991), Graduate Texts in Mathematics 126, Springer.
 M. Demazure et P. Gabriel, Groupes algébriques: Tome I（1970）, PA Masson
 D. Mumford, Abelian Varieties（1970）, Oxford Univ. Press

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