可逆元

单位又被称为可逆元。在數學裡，於一(有单位的)環 內的可逆元是指一 的可逆元素，即一元素 使得存在一於 內的 有下列性質：
，其中 是乘法單位元。

亦即， 是 內乘法-{zh-hant: 么半群; zh-hans: 幺半群}-的一可逆元素。

可逆元群
主条目：单位群
的可逆元組成了一於乘法下的群 ，稱做 的可逆元群(或单位群)。可逆元群U(R)有時亦被標記成R*或R×。

在一可交換單作環R內，可逆元群U(R)以乘法作用於R上頭。此一作用的軌道(orbit)被稱為結合集合；換句話說，存在一於R上的等價關係 ~ ，且當r~s時，表示存在一可逆元u使得r=us。

U是一由環範疇至群範疇的函子：每一個環同態 f : R → S 都可導出一群同態U(f) : U(R) → U(S)，當f會將可逆元映射至可逆元時。此一函數子有為整數群環結構的左伴隨。

一個環R是一個除環若且唯若R* = R \ {0}。

例子
 在整數環裡，可逆元為±1。其每一軌道內都有兩個元素n和−n。

 任一單位根均是某一單作環內的可逆元。（若是一單位根，且，則亦為的元素）。
 在代數數論裡，狄利克雷单位定理證明了許多代數整數環內可逆元的存在域。例如，在環，，因此都是可逆元。
 在環，於一體上的矩陣內，其可逆元恰好就是可逆矩陣。

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