介值定理

在数学分析中，介值定理（，又稱中間值定理）描述了連續函數在兩點之間的連續性：
假設有一連續函數 ，且假設 ，若對任意數  滿足 ，則存在一點 ，使得，當  時也有類似敘述。

直觀地比喻，這代表在區間上可以畫出一個連續曲線，而不讓筆離開紙面。
或者可以這樣說，函數的圖像必然會穿過區間中的每一個點。

介值定理首先由伯纳德·波尔查诺在1817年提出和证明，在這個證明中，他附帶證明了波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理。

定理 

假設是一個實數裡的闭区间，而是連續函數，那麼其像集也是區間。它或者包含（如果），或者包含（如果）。換言之：
 
 ,
或
 .

介值定理通常以下述等價的形式表述：假設是連續函數，且實數滿足或，則存在使得。

证明 
先证明第一种情况；第二种情况也类似。

设为内所有的集合，使得。那么是非空的，因为是的一个元素，且是上有界的，其上界为。于是，根据实数的完备性，最小上界 一定存在。我们来证明。

 假设。那么，因此存在，使得当时，就有，因为是连续函数。但是，这样一来，当时，就有（也就是说，对于内的，皆）。但參照上述定義，因为 , 因此存在，使得, 所以我们有： 并且, 这显然是矛盾的。
 假设。根据连续性，存在一个，使得当时，就有。那么对于内的，都有，因此存在大于的，使得，这与的定义矛盾。

因此。

與實數完備性的關係
此定理仰賴於實數完備性，它對有理數不成立。例如函數滿足，但不存在滿足的有理數。

零点定理（波尔查诺定理）
零点定理是介值定理的一种特殊情况－如果曲線上兩點的值正負號相反，其間必定存在一個根：
设函数在闭区间上连续，且，则必存在使成立。由於零点定理可用來找一方程式的根，也稱為勘根定理。伯纳德·波尔查诺於1817年證明了這個定理，同時證明了這個定理的一般情況（即介值定理）。以現代的標準來說，他的證明並不算是非常嚴格。

现实世界中的意义 
介值定理意味着在地球的任何大圆上，温度、压强、海拔、二氧化碳的浓度（或其他任何连续变化的变量），总存在两个对蹠点，在这两个点上该变量的值是相同的。

证明：取f为圆上的任何连续函数。通过圆的中心作一条直线，与圆相交于点A和点B。设d为f(A) − f(B)的差。如果把这条直线旋转180度，将得到值−d。根据介值定理，一定存在某个旋转角，使得d = 0，在这个角度上便有f(A) = f(B)。

这是一个更加一般的结果——博苏克-乌拉姆定理的特殊情况。

参见 
 中值定理
 极值定理
 達布定理

参考资料

外部链接 
 上的介值定理-波尔查诺定理
 

连续映射
包含证明的条目
微積分定理
实分析定理