拋物柱面坐標系

拋物柱面坐標系（）是一種三維正交坐標系。往 z-軸方向延伸二維的拋物線坐標系 ，則可得到拋物柱面坐標系。其坐標曲面是共焦的拋物柱面。拋物柱面坐標可以應用於許多物理問題。例如，物體邊緣的位勢論。

基本定義
直角坐標  可以用拋物柱面坐標  表示為
 、
 、
 ；

其中， ， 。

坐標  為常數的曲線形成共焦的，凹性往 +y-軸的拋物柱面：
 ，

而坐標   為常數的曲線形成共焦的，凹性往 -y-軸的拋物柱面：
 。

這些拋物柱面的焦線的位置都在 z-軸。

徑向距  的公式為
。

當解析經典力學的反平方連心力問題時，假若採用拋物柱面坐標的哈密頓-亞可比方程式，則會用到這很有用的公式。參閱拉普拉斯-龍格-冷次向量。

標度因子
拋物柱面坐標  與  的標度因子相等；而  的標度因子是 1 ：
 、
 。

無窮小體積元素是
 。

拉普拉斯算子是
。

其它微分算子，像  、 ，都可以用  坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用
拋物柱面坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，拋物柱面坐標允許分離變數法的使用。個典型的例題是，有一塊半無限的平板導體，請問其周圍的電場為什麼？應用拋物柱面坐標，我們可以精緻地分析這例題。

參閱

參考文獻
 

 

 

   

   Same as Morse & Feshbach (1953), substituting uk for ξk。

外部連結
數學世界的拋物柱面坐標系頁面 

P