四維矢量

在相對論裏，四維向量（）是實值四維向量空間裏的矢量。這四維向量空間稱為閔考斯基時空。四維向量的分量分別為在某個時間點與三維空間點的四個數量。在閔考斯基時空內的任何一點，都代表一個「事件」，可以用四維向量表示。從任意慣性參考系觀察某事件所獲得的四維向量，通過勞侖茲變換，可以變換為從其它慣性參考系觀察該事件所獲得的四維向量。

本文章只思考在狹義相對論範圍內的四維向量，儘管四維向量的概念延伸至廣義相對論。在本文章內寫出的一些結果，必須加以修改，才能在廣義相對論範圍內成立。

數學性質

在閔考斯基時空內的任何一點，都可以用四維向量（一組標準基底的四個坐標）  來表示；其中，上標  標記時空的維數次序。稱這四維向量為「坐標四維向量」，又稱「四維坐標」，定義為
 ；

其中， 是光速， 是時間， 是位置的三維直角坐標。

為了確使每一個坐標的單位都是長度單位，定義  。

「四維位移」定義為兩個事件之間的矢量差。在時空圖裏，四維位移可以用從第一個事件指到第二個事件的箭矢來表示。當矢量的尾部是坐標系的原點時，位移就是位置。四維位移  表示為
 。

帶有上標的四維向量  稱為反變矢量，其分量標記為
 。

假若，標號是下標，則稱四維向量  為協變矢量。其分量標記為
 。

在這裡，閔考斯基度規  被設定為
 。

採用愛因斯坦求和約定，則四維向量的協變坐標和反變坐標之間的關係為
 。

閔考斯基度規與它的「共軛度規張量」  相等：
 。

勞侖茲變換

給予兩個慣性參考系 、  ；相對於參考系 ，參考系  以速度  移動。對於這兩個參考系，相關的「勞侖茲變換矩陣」  是
；

其中， 是勞侖茲因子，是「貝塔因子」。

對於這兩個參考系 、  ，假設一個事件的四維坐標分別為 、  。那麼，這兩個四維坐標之間的關係為
 、
 ；

其中， 是  的反矩阵，
 。

將這兩個四維坐標之間的關係式合併為一，則可得到
 。

因此，可以找到勞侖茲變換矩陣的一個特性：
 ；

其中， 是克羅內克函數。

另外一個很有用的特性為
 ；

給定一個事件在某慣性參考系的四維坐標，通過勞侖茲變換，就可計算出這事件在另外一個慣性參考系的四維坐標。這是個很有用的物理性質。當研究物理現象時，所涉及的四維向量，最好都能夠具有這有用的性質。這樣，可以使得數學分析更加精緻犀利。以方程式表示，對於兩個參考系 、 ，具有這種有用性質的四維向量  、 滿足
 、
 。

在計算這四維向量對於時間的導數時，若能選擇固有時為時間變數，則求得的四維向量仍舊具有這有用的性質。因為，固有時乃是個不變量；改變慣性參考系不會改變不變量。

假設一個物體運動於閔考斯基時空。在「實驗室參考系」裡，物體運動的速度隨著時間改變。對於每瞬時刻，選擇與物體同樣運動的慣性參考系，稱為「瞬間共動參考系」（momentarily comoving reference frame）。在這瞬間共動參考系裡，物體的速度為零，因此，這參考系也是物體的「瞬間靜止參考系」。隨著物體不斷地改變運動速度與方向，新的慣性參考系也會不斷地改換為瞬間共動參考系。隨著這些不斷改換的瞬間同行坐標系所測得的時間即為固有時，標記為  。這就好像給物體掛戴一隻手錶，隨著物體的運動，手錶也會做同樣的運動，而手錶所紀錄的時間就是固有時。

這物體的運動可以用一條世界線  來描述。由於時間膨脹，發生於物體的兩個本地事件的微小固有時間隔  與從別的慣性參考系  所觀測到的微小時間間隔  的關係為
 。

所以，固有時  對於其它時間  的導數為
 。

閔考斯基內積
在閔考斯基空間裡，兩個四維向量  與  的內積，稱為閔考斯基內積，以方程式表示為：
 。

由於這內積並不具正定性，即

可能會是負數；而歐幾里得內積一定不是負數。

許多學者喜歡使用相反正負號的 ：
 。

這樣， 與  的內積改變為
 。

其它相聯的量值也會因而改變正負號，但這不會改變系統的物理性質。

從參考系  改換至另一參考系  ， 與  的內積為
 。

所以，在閔考斯基時空內，兩個四維向量的內積是個不變量：
 。

四維向量可以分類為類時，類空，或類光（零矢量）：
類時矢量： ，
類空矢量： ，
類光矢量： 。

動力學實例

四維速度

設想一個物體運動於閔考斯基時空，則其世界線的任意事件  的四維速度  定義為
 ；

其中， 是三維速度，或經典速度矢量。

 的空間部分與經典速度  的關係為
 。

四維速度與自己的內積等於光速平方，是一個不變量：
 。

在物體的瞬間共動參考系裡，物體的速度為零，因此，四維速度為
 ，

其方向與瞬間共動參考系的第零個基底向量  同向；

其中， 表示從瞬間共動參考系觀察得到的數據。

四維加速度

四維加速度  定義為 
 。

經過一番運算，可以得到勞侖茲因子對於時間的導數：
 ；

其中， 是經典加速度。

所以，四維加速度  可以表示為
 。

由於  是個常數，四維加速度與四維速度相互正交；也就是說，四維速度與四維加速度的閔考斯基內積等於零：
 。

對於每一條世界線，這計算結果都成立。

注意到在瞬間共動參考系裡，  只有時間分量不等於零，所以，  為的時間分量為零：
 。

四維動量

一個靜止質量為  的粒子的四維動量  定義為
 。

經典動量  定義為
 ；

其中， 是相對論性質量。

所以， 的空間部分等於經典動量  ：
。

四維力

作用於粒子的四維力定義為粒子的四維動量對於固有時的導數：
。

提出四維動量內的靜止質量因子，即可發覺四維力就是靜止質量乘以四維加速度：
 。

因此，四維力可以表示為
 。

經典力  定義為
 。

所以，的空間部分等於  ：
 。

物理內涵
在四維向量的表述裏，存在著許多能量與物質之間的關係。從這些特別關係，可以顯示出這表述的功能與精緻。

質能方程式
假設，在微小時間間隔  ，一個運動於時空的粒子，感受到作用力  的施加，而這粒子的微小位移為  。那麼，作用力  對於這粒子所做的微小機械功  為
 。

因此，這粒子的動能的改變  為
 。

粒子的動能  對於時間的導數為
 。

將前面經典力和經典速度的公式帶入，可以得到
 。

這公式的反微分為
 。

當粒子靜止時，動能等於零。所以，
 。

這公式的右手邊第二個項目就是靜止能量  。動能  加上靜止能量  等於總能量  ：
 。

再加簡化，以相對論性質量  表示：
 。

這方程式稱為質能方程式。

能量-動量關係式
使用質能方程式  ，四維動量可以表示為
 。

四維動量與自己的內積為
 。

改以四維速度來計算內積：
 。

所以，能量-動量關係式為
 。

電磁學實例

四維電流密度

在電磁學裏，四維電流密度  是一個四維向量，定義為
 ；

其中， 是電荷密度， 是三維電流密度。

在瞬間共動參考系所觀測到的電荷密度，稱為固有電荷密度  。四維電流密度與四維速度的關係為
 。

電荷守恆定律能以三維矢量表示為
 。

這定律也能以四維電流密度表示為
 。

從這方程式，可以推論四維電流密度的四維散度等於零。

電磁四維勢

電磁四維勢是由電勢  與矢量勢  共同形成的，定義為
 。

黎曼-索末菲方程式表示電磁四維勢與四維電流密度之間的關係：
 ;

其中， 是磁常數， 是達朗貝爾算符，又稱為四維拉普拉斯算符。

四維頻率和四維波矢量
一個平面電磁波的四維頻率  定義為
 ；

其中， 是電磁波的頻率， 是朝著電磁波傳播方向的單位矢量。

四維頻率與自己的內積永遠等於零：
 。

一個近單色光的波包的波動性質可以用四維波矢量  來描述：
 。

其中， 是三維波矢量。

四維波矢量與四維頻率之間的關係為
 。

參閱
洛侖茲協變性

參考文獻

 	

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