希爾伯特第十問題

希爾伯特的第十個問題，就是不定方程（又稱為丟番圖方程）的可解答性。這是希爾伯特於1900年在巴黎的國際數學家大會演說中，所提出的23個重要數學問題的第十題。

這個問題是問，對於任意多個未知數的整係數不定方程，要求給出一個可行的方法（），使得借助於它，通過有限次運算，可以判定該方程有無整數解。

這裡德文的方法（），就是英文所謂的演算法（）。對於演算法的概念我們是不陌生的，例如遠在古希臘時代，人們就知道可以使用輾轉相除法，求兩個自然數的最大公約數。還有，任給一個自然數，也存在著一個方法，在有限步驟內，可以判定這個數是不是質數。

雖然人們很早就有了演算法的樸素概念，但對於到底什麼是可行的計算，仍沒有精確的概念。一個問題的可解與不可解究竟是什麼含意，當時的人們還不得而知。然而為了研究第十問題，必須給予演算法精確化的觀念。這點還有賴於數理邏輯學對可計算性理論的發展，才得以實現。

基本觀念

不定方程
不定方程是指含任意數量變元的整係數多項式方程

　　　　　

這裡都是正整數、負整數或零，而變元的定義域是自然數或整數。若能找到整數，使得

則稱此不定方程具有整數解。例如：

則(3,4,5)、(5,12,13)等都是它的整數解。事實上可找出它所有的整數解：，其中。這是著名的勾股定理或稱畢式定理。

著名的費馬最後定理，是說當時，方程式

沒有非零整數解。

丟番圖集
自然数，自然数对（或具有自然数的n-元组）的有丟番图定义的集合被称为丟番图集。丟番图定义可以由方程组或单个方程给出，因为方程组

 

等价于单个方程：

递归可枚举集可以被描述为一个集合，对其存在一种算法，对这个算法，当集合的一个成员被输入时最终会停机，但一个非成员被输入时会不确定的继续。是可计算性理论（亦即递归论）给出了算法可计算性的直觉符号的精确解释，因而使得递归可枚举性的符号具有完美的严格性。显然，丟番图集是递归可枚举的。因为可以排列所有可能的未知数的值的多元组为一个序列，然后对于一个给定的参数值，一个接一个的测试这些多元组，看他们是否是相应方程的解。希尔伯特第十问题的不可解性源于令人惊讶的事实──其逆命题成立：
每个递归可枚举集都是丟番图集。
这一结果即马季亚谢维奇定理（由他提供的完成证明的关键步骤）和MRDP定理（即尤里·马季亚谢维奇（Yuri Matiyasevich），朱莉娅·罗宾逊（Julia Robinson），马丁·戴维斯（Martin Davis）和希拉里·普特南（Hilary Putnam）各人姓氏的首字母缩写）。因为“存在一个递归可枚举集是不可计算的”，希尔伯特第十问题的不可解性是其直接后果。实际上，还有更多的结论：有一个多项式

有整数系数使对于方程

有自然数解的的值的集合不可计算。因此，不仅没有一般的算法测试丟番图方程可解性，甚至也没有算法来测试单一参数家族的方程。

丟番圖函數

遞歸函數

遞歸可枚舉集

通用丟番圖集

歷史發展
第十問題的解決是眾人集體的智慧結晶。其中美國數學家（Martin Davis）、希拉里·普特南（Hilary Putnam）和（Julia Robinson）做出了突出的貢獻。而最終的結果，是由俄國數學家尤里·马季亚谢维奇（Yuri Matiyasevich）於1970年所完成的。

外部链接
Hilbert第十问题漫谈 
希尔伯特第十问题：一段数学发现史
Hilbert's Tenth Problem page
Hilbert's 10th Problem 

丢番图方程
希尔伯特问题