泊松方程

泊松方程（）是數學中一個常見於靜電學、機械工程和理論物理的偏微分方程式，因法國數學家、幾何學家及物理學家泊松而得名的。

方程的叙述
泊松方程式為

在這裡代表的是拉普拉斯算子，而和可以是在流形上的實數或複數值的方程式。當流形屬於歐幾里得空間，而拉普拉斯算子通常表示為，因此泊松方程通常寫成

在三維直角坐標系，可以寫成

如果有恒等于0，這個方程式就會變成一个齐次方程，这个方程称作“拉普拉斯方程”。

泊松方程可以用格林函數來求解；如何利用格林函數來解泊松方程可以參考。現在也发展出很多種數值解，如（一种迭代法）。

数学表达
通常泊松方程式表示为

这里代表拉普拉斯算子，为已知函数，而为未知函数。当   时，这个方程被称为拉普拉斯方程。

为了解泊松方程我们需要更多的信息，比如狄利克雷边界条件:

其中  为有界开集。

这种情况下利用基础函数构建泊松方程的解，拉普拉斯方程的基础函数为:

其中为n维欧几里得空间中单位球面的体积，此时可通过卷积得到 的解。

为了使方程满足上述边界条件，我们使用格林函数

 为一个校正函数，它满足

通常情况下是依赖于。

通过 可以给出上述边界条件的解

其中 表示上的曲面测度。

此方程的解也可通过变分法得到。

靜電學
在靜電學很容易遇到泊松方程。對於給定的f找出φ是一個很實際的問題，因為我們經常遇到給定電荷密度然後找出電位的問題。在國際單位制（SI）中：

此代表電勢（單位為伏特），是體電荷密度（單位為庫侖/立方公尺），而是真空電容率（單位為法拉/公尺）。

如果空間中有某區域沒有帶電粒子，則

此方程式就變成拉普拉斯方程：

高斯電荷分佈的電場

如果有一個三維球對稱的高斯分佈電荷密度
：

此處，Q代表總電荷

此泊松方程式：
的解Φ(r)則為

erf(x)代表的是误差函数.

注意：如果r遠大於σ，erf(x)趨近於1，而電場Φ(r)趨近點電荷電場
；正如我們所預期的。

參閱
 
 泊松-玻尔兹曼方程

参考文献

引用

来源 

 Poisson Equation  at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
 L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
 A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9.

外部链接

Poisson's equation  on PlanetMath.

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