環面曲線

環面曲線（toric section）是平面和環面相交形成的曲線，正如圓錐曲線是圓錐面和平面相交而成的。其方程為：

它們都是四次曲線。

伯努利雙紐線
伯努利雙紐線（Lemniscate of Bernoulli）的方程為

求雙紐線的弧長需要應用橢圓積分。雙紐線可視為雙曲線的反演變換，反演圓心在双曲线的中心。

卡西尼卵形線

取兩個定點為焦點。卡西尼卵形線（Cassini oval）是所有這樣的點P的軌跡：和焦點的距離的積為常數（這類似橢圓的定義——點和焦點的距離的和為常數）。即。

在直角坐標系，若焦點分別在和，卵形線的方程可寫成：

在極坐標系：

卵形線經過反演變換，依然是卵形線。

卵形線的形狀由的值決定。若，軌跡是一個封閉的圈。若，軌跡是兩個封閉的圈。若，軌跡為伯努利雙紐線。

Hippopede曲線

Hippopede曲線（或Hippopede of Proclus）的極坐標方程為：
 

直角坐標系：

當，Hippopede曲線為伯努利雙紐線。

四次曲線