正則變換

在哈密頓力學裏，正則變換（canonical transformation）是一種正則坐標的改變，，而同時維持哈密頓方程的形式，雖然哈密頓量可能會改變。正則變換是哈密頓-亞可比方程式與刘维尔定理的基礎。

定義
點變換（）將廣義坐標變換成廣義坐標，點變換方程式的形式為
；

其中，是時間。

在哈密頓力學裏，由於廣義坐標與廣義動量同樣地都是自變量（），點變換的定義可以加以延伸，使變換方程式成為
，
；

其中，是新的廣義動量。

為了分辨這兩種不同的點變換，稱前一種點變換為位形空間點變換，而後一種為相空間點變換。

在哈密頓力學裏，正則變換將一組正則坐標變換為一組新的正則坐標，而同時維持哈密頓方程式的形式（稱為形式不變性）。原本的哈密頓方程式為
，
；

新的哈密頓方程式為
，
；

其中，、分別為原本的哈密頓量與新的哈密頓量。

實際用處
思考一個物理系統的哈密頓量
。

假設哈密頓量跟其中一個廣義坐標無關，則稱為可略坐標（），或循環坐標（）：
。

在哈密頓方程式中，廣義動量對於時間的導數是
。

所以，廣義動量是常數。

假設一個系統裏有個廣義坐標是可略坐標。找出這個可略坐標，則可以使這系統減少個變數；使問題的困難度減少很多。正則變換可以用來尋找這一組可略坐標。

生成函數方法
主項目：正則變換生成函數
採取一種間接的方法，稱為生成函數方法，從變換到。為了要保證正則變換的正確性，第二組變數必須跟第一組變數一樣地遵守哈密頓原理
、

。

那麼，必須令
；

其中，是標度因子，是生成函數。

假若一個變換涉及標度因子，則稱此變換為標度變換（）。一般而言，標度因子不一定等於1。假若標度因子不等於1，則稱此正則變換為延伸正則變換（）；假若標度因子等於1，則稱為正則變換。

任何延伸正則變換都可以修改為正則變換。假設一個的延伸正則變換表示為
。

則可以設定另外一組變數與哈密頓量：
、
、
、
；其中，是用來刪除的常數，。經過一番運算，可以得到
、
、
。（1）

顯然地，這變換符合哈密頓方程式。所以，任何延伸正則變換都可以改變為正則變換。

假若正則變換不顯性含時間，則稱為設限正則變換（）。

生成函數的參數，除了時間以外，一半是舊的正則坐標；另一半是新的正則坐標。視選擇出來不同的變數而定，一共有四種基本的生成函數。每一種基本生成函數設定一種變換，從舊的一組正則坐標變換為新的一組正則坐標。這變換保證是正則變換。

第一型生成函數
第一型生成函數只跟舊廣義坐標、新廣義坐標有關，
。

代入方程式（1）。展開生成函數對於時間的全導數，
。

新廣義坐標和舊廣義坐標都是自變量，其對於時間的全導數和互相無關，所以，以下個方程式都必須成立：
，（2）
，（3）
。（4）

這個方程式設定了變換，步驟如下：

第一組的個方程式（2），設定了的個函數方程式
。

在理想情況下，這些方程式可以逆算出的個函數方程式
。（5）

第二組的個方程式（3），設定了的個函數方程式
。

代入函數方程式（5），可以算出的個函數方程式
。（6）

從個函數方程式（5）、（6），可以逆算出個函數方程式
，
。

代入新哈密頓量的方程式（4），可以得到
。

第二型生成函數
第二型生成函數的參數是舊廣義坐標、新廣義動量  與時間：
；

以下方程式設定了變換：
，　
，
。

第三型生成函數
第三型生成函數  的參數是舊廣義動量、新廣義坐標與時間： 
。

以下方程式設定了變換：
，
，
。

第四型生成函數
第四型生成函數的參數是舊廣義動量、新廣義動量與時間：
。

以下方程式設定了變換：
，
，
。

實例1
第一型生成函數有一個特別簡易案例：
。

生成函數的導數分別為
，
。

舊的哈密頓量與新的哈密頓量相同：
。

實例2
再擧一個比較複雜的例子。讓
；

這裏，是一組個函數。

答案是一個廣義坐標的點變換，
。

不變量
正則變換必須滿足哈密頓方程式不變；哈密頓方程式為正則變換的一個不變式。另外，正則變換也有幾個重要的不變量。

辛條件
辛標記提供了一種既簡單，又有效率的標記方法來展示方程式及數學運算。設定一個的豎矩陣 :
。

變數向量將與包裝在一起。這樣，哈密頓方程式可以簡易的表示為
；

這裏，是辛連結矩陣、是哈密頓量。

應用辛標記於正則變換，正則坐標會從舊正則坐標改變成新正則坐標，；哈密頓量也從舊的哈密頓量改變成新的哈密頓量，；但是，哈密頓方程式的形式仍舊維持不變：
；

這裏，。

用第一型生成函數，則。

取關於時間的導數，
；

這裏，是亞可比矩陣，。

代入哈密頓方程式，
 ;

假若限制正則變換為設限正則變換，也就是說，顯性地不含時間，解答會簡單許多。假若正則變換顯性地含時間，則仍舊能得到與下述同樣的答案，這是一個很好的偏導數習題。現在，限制這正則變換為設限正則變換，則簡化後的方程式為
。

而，所以，

。

代回前一個方程式，取的係數，則可以得到
。

經過一番運算，
；
；
可以求出辛條件：
。

在這裏，得到了正則變換的辛條件：一個變換是正則變換，若且唯若辛條件成立。

基本帕松括號不變量
在相空间裏，兩個函數關於正則坐標的帕松括號定義為
。

用辛標記，
。

立刻，可以得到下述關係：
，
。

定義基本帕松括號為一個方矩陣，其中，元素的值是。那麼，
。

思考一個變換。新坐標的基本帕松括號為
。

這兩個正則坐標的亞可比矩陣是
。

代入前一個方程式，則
。

假若這變換是正則變換，辛條件必須成立，
。

相反地，假若，則辛條件成立，這變換是正則變換。

所以，一個變換是正則變換，若且唯若基本帕松括號關於任何正則坐標的值不變。當表示基本帕松括號時，我們可以忽略下標符號，直接表示為，而認定這基本帕松括號是關於正則坐標計算的值。

帕松括號不變量
思考兩個函数對於正則坐標的泊松括號

 

假若這變換是正則變換，辛條件必須成立，
。

所以，任何兩個函數關於正則坐標的帕松括號，都是正則變換的不變量。當表示帕松括號時，可以忽略下標符號，直接表示為，而認定這帕松括號是關於正則坐標計算的值。

參閱
正則變換列表
正則座標
帕松括號
辛矩陣
辛拓撲
辛群

參考文獻

 Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).

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