賦值向量環

在數論中，賦值向量環或阿代爾環（法文：adèle，英譯多用原文）是由一個域  的所有完備化構成的拓撲環 ，原域  可以對角方式嵌入其中。

在現代代數數論中，賦值向量環是處理整體問題的基本語言。

法文原文 adèle 是 idèle additif 的縮寫，其中 idèle 意指理想元（élément idéal）。adèle 也是法文中常見的女性名字。

定義
設  為整體域，例如有理數域 、一般的數域或函數域  等等。設  為其中的代數整數環。對於所有  上的賦值 （又稱位），可定義相應的完備化 。在此，通常將賦值分為有限與無限兩類：
 有限賦值：一一對應於  的素理想，兩兩不相等價。其中的賦值環記為 。
 無限賦值： 上的阿基米德賦值。對於數域，無限賦值係由域的嵌入  給出，兩個嵌入  給出等價賦值的充要條件是其間至多差一個複共軛：。無限賦值的個數有限。

有時也以素理想的慣用符號  表示賦值，並以  表示  為無窮賦值。 

定義
 
上式的積稱為限制積，這是  的子環，我們要求對其中的每個元素 ，存在包含所有無窮賦值的有限集 ，使得 。賦予  相應的子空間拓撲，是為賦值向量環。

 的拓撲由在  點的一組局部基確定，可取下述形式之開集：
 
其中  是函括所有無限賦值的有限集， 是  的開子集。根據吉洪諾夫定理可知  為局部緊拓撲環，這是採限制積定義的原因之一。

性質
 對角嵌入  的像落在 ，可證明  構成   的離散子集，而商群  是緊群。

 固定  的任一特徵標 ，則任何特徵標  皆可唯一地表示成 ，是故加法群  是其自身的對偶群。這是在賦值向量環上開展調和分析的關鍵之一。

應用
賦值向量環主要用於代數數論中。對於  上的代數群 ，可考慮其上的 點 。由於代數群總是線性的（換言之，可嵌入 ）， 可以具體設想為係數佈於環  上的線性群，並帶有自然的拓撲結構。

最簡單的情形是 ，此時  稱為 idèle 群，這是整體類域論的基石。在郎蘭茲綱領中，須考慮更廣泛的代數群，以描述數域的絕對伽羅瓦群。

文獻
 J. W. S. Cassels, A. Frohlich, Algebraic Number Theory  ISBN 0-12-163251-2

F