列維-奇維塔符號

列維-奇維塔符號（Levi-Civita symbol），又稱列維-奇維塔ε，為一在線性代數，張量分析和微分幾何等數學範疇中常見到的符號。對於正整數  ，它以 所形成排列的奇偶性來定義。它以義大利數學家和物理學家图利奥·列维-齐维塔命名。其他名稱包括排列符號、反對稱符號與交替符號。這些名稱與它排列和反對稱的性質有關。

列維-奇維塔符號的標準記號是希臘小寫字母  或  ，較不常見的也有以拉丁文小寫  記號。下標符能與張量分析兼容的方式來顯示排列：

其中每個下標指標  取值介乎  到  。在  中，共有  個指標排列，可以排成為一個  維陣列。

當任何兩個指標相等，則定義符號值等於  ：
；

當全部指標都不相等時，我們定義：
，

其中  稱為「排列的奇偶性」 (parity of permutation)，是要將  變換成自然次序  ，所需的對換次數。而因子  被稱為「排列正負號」 (signum of permutation)。這裡，  的值必須有定義，否則其他特定排列的符號值將無法確定。大多數作者選擇  作為自然次序的值：

。

在本文中，也將使用這個定義。

從定義可知，當任何兩個指標互換，則須加上負號：
。
這稱為「完全反對稱性」。

“ 維列維-奇維塔符號”一詞是指符號上的指標數  ，和所討論的向量空間維度相符，其中可指歐幾里得空間或非歐幾里得空間，例如  的  或閔可夫斯基空間的  。

列維-奇維塔符號的值，與參考座標系無關。此外，這裡使用「符號」一詞。強調了它並不是一個張量；然而，它可以被理解為張量的密度。

列維-奇維塔符號可用來表示正方矩陣的行列式，及三維歐幾里德空間中的兩個向量的叉積。

定義
列維-奇維塔符號最常用於三維和四維，並在一定程度上用於二維，因此在定義一般情況之前，先給出這些符號值。

二維 
在二維中，列維-奇維塔符號定義如下：
{|
| rowspan="3" |
|當 
|-
|當 
|-
|當 
|}

這些值可以排列成  反對稱矩陣：

相對於其他維度，二維的列維-奇維塔符號並不常見，雖然在某些專門的主題，如超對稱和扭量理論中，談及2-旋量時會用到。

三維 

三維以上的列維-奇維塔符號更常用。在三維中，列維-奇維塔符號定義如下：
{|
| rowspan="3" |
|當  、  或 
|-
|當  、  或 
|-
|當  、  或 
|}

也就是說，如果  是  的偶排列，則符號值為  。如果是奇排列，則符號值為  。如果任何兩個索引重複，則符號值為  。

僅在三維中，  的循環排列都是偶排列，反循環排列都是奇排列。這意味著在三維中，僅觀察  是  的循環排列，還是反循環排列，就足以分辨其奇偶性。

類似於二維矩陣，三維列維-奇維塔符號的值可以排成  陣列：

其中  是深度 (: ; : ; : ) ，  是橫行， 是直列。

以下是一些例子：

四維 
在四維中，列維-奇維塔符號定義如下：

{|
| rowspan="3" |
|當  的偶排列
|-
|當  的奇排列
|-
|其餘情況，即任意兩個指標相等
|}

這些值可以排成  陣列，然而四維以上較難描繪出示意圖。

以下是一些例子：

推廣到高維 
更一般地推廣到  維中，則列維-奇維塔符號的定義為：

又可使用求積符號  表達為：

其中的  是符號函數，根據  的正負給出  、  或 。該公式對對於任何  及任何指標排列都有效（當  或  時，定義為空積 ）。

然而，計算以上公式的時間複雜度為  ，而以不交循環排列的性質計算，則只需  。

兩個列維-奇維塔符號的積，可以用一個以廣義克羅內克函數表示的行列式求得：

應用和範例

行列式 
在线性代数中，  的方陣  ：
 ，

其行列式可以寫為：
，

類似地，  矩陣  的行列式可以寫為：

向量的叉積 
對於向量  與  ，它們的叉積：

對於向量  、  與  ，它們的三重積：

性質
由列維-奇維塔符號給出（共變等級為）張量在正交基礎中的組成部份，有時稱為“置換張量”。

根據普通的張量變換規則，列維-奇維塔符號在純旋轉下不變，與正交變換相關的所有座標系統（在定義上）相同。然而，列維-奇維塔符號是一種贗張量，因為在雅可比行列式−1的正交變換之下，例如，一個奇數維度的鏡射，如果它是一個張量，它“應該”有一個負號。由於它根本沒有改變，所以列維-奇維塔符號根據定義，是一個贗張量。

由於列維-奇維塔符號是贗張量，因此取叉積的結果是贗張量，而不是向量。

在一般座標變換下，置換張量的分量乘以变换矩阵的雅可比。這表示在與定義張量的座標系不同的座標系中，其組成部份與列維-奇維塔符號表示的那些，不同之處在於一整體因子。如果座標是正交的，則根據座標的方向是否相同，因子將為±1。

在無指標的張量符號中，列維-奇維塔符號被霍奇对偶的概念所取代。

在使用張量的指標符號來操作分量的上下文中，列維-奇維塔符號可以將其指標寫為下標或上標，而不改變意義，這也許是方便的如下寫成：

在這些例子中，上標應該被視為與下標相同。

使用愛因斯坦標記法可消除求和符號，其中兩個或多個項之間重複的指標表示該指標的求和。例如，
.

以下的例子使用愛因斯坦標記法。

二維
在二維上，當所有，，，各取值1和2時，

三維

指標和符號值 
在三維中，當所有，，，，各取值1,2和3時：

乘積 
列維-奇維塔符號與克罗内克函数有關。 在三維中，關係由以下等式給出（垂直線表示行列式）：

這個結果的一個特例是():

有時候稱為“contracted epsilon identity”。

在愛因斯坦標記法中，指標的重複表示的總和。然後前一個被表示為

維

指標和符號值
在維中，當所有take values：

驚嘆號()代表階乘，而是廣義克罗内克函数，對於任意有屬性：

從以下事實可得出：
每個排列是偶排列或奇排列，
，與
任何-元素集合的排列數正好是。

乘積
一般來說，對於維，兩個列維-奇維塔符號的乘積可以寫成：

證明

L
L
数学符号