实数完备性

直观上，实数完备性意味着实数轴上（以理查德·戴德金的说法）没有“间隙”。这是实数区别于有理数的特点，有理数在数轴上是有间隙的，即无理数。在十进制计数法下，实数的完备性等价于：实数与一个十进制小数表示一一对应。

实数的完备性公理有一组等价命题，完备性的定义方式与实数的构造方式相关。在确立其中之一为公理后，其余皆为完备性公理的等价定理。

等價命題
实数完备性可以用以下任意一个等价定理作為出發點。以下從最小上界定理出发，來证明其他等价命题。

最小上界性 
又稱為上確界定理（Theorem of Least-Upper-Bound, 簡稱LUB），也就是

也就是說，实数非空子集有上界，则它有最小上界。其證明請參見實數的構造。

柯西收敛准则 

设  是實數柯西序列。设 S 為這樣一個集合，其中每個實數只大於序列  中的有限個成員。，设  使得 ， 。於是这个序列在区间  裡出現无限多次，而且只在它的補集裡最多出現有限次。这意味着  S， 因此 S。另外  是 S 的上界。於是通过 LUB 公理，可以设 b 是 S 的最小上界，而且  。由三角不等式，當 n>N 時成立时 。所以  。

滿足柯西收敛准则的度量空間稱為完備空間，若取函數  為

 

可以驗證    為一度量空間，這樣本節的結果也可以重新敘述為「實數系  有最小上界定理等價於  為完備空間。」

区间套原理 

定理聲稱對於任一的有界閉區間套（例如並滿足），它們的交集非空，且為閉區間；特別地，假若，則它們的交集J為一個包含且僅包含的單點集。

单调有界定理 

如果ak是一个单调的实数序列（例如ak ≤ ak+1），则这个序列具有有限极限，当且仅当序列是有界的。证明可以通过利用LUB公理来完成。

聚点定理 

波爾查諾-魏爾施特拉斯定理（）说明，中的一個子集是序列緊緻（每個序列都有收斂子序列）当且仅当是有界閉集。更一般地，這個定理對有限维实向量空间亦有效。

参考资料 

Upper and Lower Bounds (including the lub axiom)，Springer's Encyclopedia of Mathematics
Apostol, Tom M. "Mathematical analysis." (1964).

数学分析
实分析
公理
数学定理