諧振子

古典力學中，一個諧振子（）乃一個系統，當其從平衡位置位移，會感受到一個恢復力正比於位移，並遵守虎克定律：

其中是一個正值常數。

如果是系統僅受的力，則系統稱作簡諧振子（簡單和諧振子）。而其進行簡諧運動——正中央為平衡點的正弦或餘弦的振動，且振幅與頻率都是常數（頻率跟振幅無關）。

若同時存在一摩擦力正比於速度，則會存在阻尼現象，稱這諧振子為阻尼振子。在這樣的情形，振動頻率小於無阻尼情形，且振幅隨著時間減小。

若同時存在跟時間相關的外力，諧振子則稱作是受驅振子。

力學上的例子包括了單擺（限於小角度位移之近似）、連接到彈簧的質量體，以及聲學系統。其他的相類系統包括了電學諧振子（electrical harmonic oscillator，參見RLC電路）。

簡諧振子 
簡諧振子沒有驅動力，也沒有摩擦（阻尼），所以淨力單純為：

利用牛頓第二定律

則加速度等於是的二次微分導數：

若定義，則方程式可以寫為如下：

可以觀察到：

然後代回原式得到

積分可得

其中K是積分常數，設K = (A ω0)2

經過積分，結果（包括積分常數φ）為

並有一般解

其中振幅以及相位可透過初始條件來決定。

另外也可以將一般解寫成

其中的值與前面形式相比，偏移了；

又可以寫作

其中與為透過初始條件決定的常數，以替代前面形式的與。

振動頻率則為

動能為
.

以及勢能（位能）為

所以系統總能為定值：

受驅諧振子 
一受驅諧振子滿足如下非齊次（nonhomogeneous）二階線性微分方程
，

其中是驅動振幅而是驅動頻率，針對的是一弦波式的驅動機制。這樣的系統出現在交流LC（電感L-電容C）電路以及理想化的彈簧系統（沒有內部力學阻力或外部的空氣阻力）。

阻尼諧振子 
一阻尼諧振子滿足如下二階微分方程
，

其中是由實驗決定的阻尼常數，滿足關係式。遵守此方程式的系統，其中一例為置於水中的加權彈簧（weighted spring），若假設水所施的阻尼力與速度呈線性比例關係。

阻尼諧振子的頻率為

 
其中
。

受驅阻尼振子 
受驅阻尼振子滿足方程式
。

其一般解為兩個解的和，一為暫態解（無驅動阻尼諧振子之齊次常微分方程的解），與初始條件相關；另一為穩態解（非齊次常微分方程式之特殊解），與初始條件無關，只與驅動頻率、驅動力、阻尼力有關。

穩態解為

其中

為阻抗（impedance）或線性響應函數（linear response function）之絕對值

而

為相對於驅動力（相位定為0）的振動相位。

可以觀察到，當在某特定驅動頻率時，振子振動之振幅（相對於一給定之）達到最大。這發生在頻率為

之時，而此現象稱之為（位移上的）共振。

總結來說，在穩態時，振動頻率等同於驅動力的頻率，但振動與驅動力在相位上有偏移；且振幅大小與驅動頻率相關，當驅動頻率與振動系統偏好（共振）頻率相同時，振幅達到最大。

例子：RLC電路；電阻類比於阻尼。

完整數學描述 
多數諧振子，至少近似上地說，是在解以下的微分方程式：

其中t是時間，b是阻尼常數，ωo是本徵角頻率，而Aocos(ωt)代表驅動系統的某種事物，其振幅Ao而角頻率ω。x是進行振盪的被測量量；可以是位置、電流或其他任何可能的物理量。角頻率與頻率f有關，關係式為
。

重要項
 振幅：偏離平衡點的最大的位移量。
 週期：系統完成一個振盪循環所需的時間，為頻率的倒數。
 頻率：單位時間內系統執行的循環總數量（通常以赫茲 = 1/秒為量度）。
 角頻率：
 相位：系统完成了循环的多少（开始时，系统的相位为零；完成了循环的一半时，系统的相位为）。
 初始條件：t = 0时系统的状态。

X
X
X