波斯尼科夫塔

在代数拓扑和同伦论中，波斯尼科夫塔（或称：波斯尼科夫系统）是关于CW复形在同伦意义下进行分解的一种方法。形象地说，给定一个连通的CW复形，可以分解成一系列CW复形的逼近，使得每一个复形都是它前面一个复形和一个Eilenberg-McLane空间(Eilenberg-McLance space)的纤维丛乘积。

具体地说，我们有如下定理：

定理: 任给一个连通的CW复形，记其阶同伦群为。对于每一个自然数，存在一组的纤维丛，其纤维(fiber)为，和CW映射，使得
 如下图表可交换：
 诱导了阶数小于等于的同伦群的同构。

在上面的定理中，为Eilenber-McLance空间，即同伦群为，其余为0的CW复形。我们称上面的纤维丛序列为Postnikov塔，并且有

构造

上述定理的证明过程实际上就是波斯尼科夫塔的构造过程。我们从构造开始：实际上，对于，我们不停地往其上贴维数大于的胞腔使得的大于阶的同伦群都变得平凡，记之为，则我们有按照同样的方法，我们可以构造，并且有代数拓扑里面的一个定理说，每一个包含映射实际上都可以看成一个纤维丛，那么把上面这一串包含映射转换成纤维丛的语言，就得到Postnikov塔，并且可以证明每个纤维都是一个Eilenberg-McLane空间。

应用

如前所述，波斯尼科夫塔给出了CW复形的一种同伦意义下的分解。原则上，根据同伦正合列(homotopy exact sequence)或者塞尔谱序列我们可以根据一个CW复形的波斯尼科夫塔计算出该复形的同伦群和同调群。

虽然如此，波斯尼科夫塔的应用要等到 D. Quillen，陈国才(K.-T. Chen)特别是 D. Sullivan的有理同伦论发展以后才能够得到更加精妙的应用。

自1980年代以来，物理特别是量子场论的思想非常深刻地影响了数学的发展。物理学家所用的一些工具，以及思考问题的方法在同伦论中也有所反映。波斯尼科夫塔，有理同伦论，还有前后出现的Stasheff的同伦结合性(homotopy associativity)以及J. P. May等人提出的概念，等等，经过量子场论的重新考察，已经非常紧密地联系起来，成为代数拓扑里面一个非常活跃的研究领域。

资料

关于一般的代数拓扑的书，可以参考
 R. Bott and L. Tu, Differential forms in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982. 此书在中国大陆有影印本，由世界图书出版公司发行。

关于有理同伦论，特别是Sullivan的思想以及跟Postnikov塔的关系，可以参考
 P. Griffiths and J. Morgan, Rational homotopy theory and differential forms. Progress in Mathematics, 16. Birkhäuser, Boston, Mass., 1981.

关于代数拓扑跟量子场论的密切关系，可以参考M. Atiyah, G. Segal以及Kontsevich等人的论文。

代数拓扑