积分第一中值定理

积分第一中值定理的内容为：

设  为一连续函数， 要求g(x)是可积函数且在积分区间不变号，那么存在一点  使得

 。

事实上，可以证明，上述的中值点必能在开区间内取得，见下方中值点在开区间内存在的证明。

证明

因为  是闭区间上的连续函数， 取得最大值  和最小值 。于是
 。
对不等式求积分，我们有
 。
若 ，则 。 可取  上任一点。

设 ，那么
 。
因为 是连续函数，根據介值定理，必存在一点 ，使得
 。

中值点在开区间内存在的证明

已知在上连续，设。

知在上连续，在内可导，应用拉格朗日中值定理，可得：
 ，其中

即
 

所以
 。

参考文献

由微积分基本性质，当被积函数在[a,b]上连续时，原函数在[a,b]上是可导的，而拉格朗日定理的假设是“f(x)在（a,b）内可导"
所以原文中“知F(x)在[a,b]上连续，在[a,b]内可导，应用拉格朗日中值定理，可得：”应该改为
“知F(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，应用拉格朗日中值定理，可得：”
否则无法排除ξ只取在a或者b上的可能

此说法并不严密。现根据以上对原定理的证明，来解释为什么可以改为 。
因为 在 上连续，所以在 上有最大值 和最小值 。设，，，，如果，则是常值函数，任取即可。如果 ，由于函数连续且有一点使  ，所以由积分性质有
，即

同理可得 ,故有

由连续函数的介值定理，至少存在一点⊂（或⊂），使得，即

注：以上内容参考延边大学出版社《数学分析辅导及习题精解 华东师大．第四版 上册》

另请参见
中值定理

积分学
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