內射模

內射模（），在模論中，是具有與有理數 （視為 -模）相似性質的模。內射模是投射模的對偶概念，由Reinhold Baer於1940年引進。

定義
一個環  上的左模  若滿足以下等價條件，則稱之為內射模：
 若  是另一個左 -模  的子模，則存在另一個子模  使得 。
 若  是左 -模的單射， 為同態，則存在同態  使得 。圖示如下：
 
 任何短正合序列  都分裂。
 函子  為正合函子。

右模的定義類此。抽象地說，內射模乃是模範疇中的內射對象。

例子
 零模是內射模的平凡例子。
 設  為域，則任何 -模（即 -向量空間）都是內射模，此點可由基的性質證明。
 設  為緊群（例如有限群）， 為特徵為零的域。根據緊群的表示理論，可知任何表示的子表示都是其直和項；若翻譯為模的語言，即是：群代數  上的所有模都是內射模。
 設  為域  上含單位元的有限維結合代數。則逆變函子  給出有限生成左 -模與有限生成右 -模的對偶性。因此，有限生成的左 -模在同構的意義下皆可寫作 ，其中  是某個有限生成的投射右 -模。
 在一般的環上也存在充足的（在內射分解的意義下）投射模，以下將述及相關理論。初步的例子包括： 對加法形成內射 -模。群  （）是內射 -模，而非內射 -模。
 若一个环作为它自身的左模是内射的，就称为一个左自内射环（）。右自内射环可对称的定义。半单环，整数的剩余类环是自内射环。一个左自内射环不一定是右自内射的。

性質
內射模的直積（包括無窮直積）仍是內射模，內射模的有限直和仍為內射模。一般而言，內射模的子模、商模或無窮直和並不一定是內射模。

Baer 在其論文中證明了一個有用的結果，通常稱作 Baer 判準：一個左 -模  是內射模若且唯若定義在任一理想  上的態射  都能延拓到整個  上。

利用此判準，可證明主理想域  上的模  是內射模若且唯若  可除，即：對任何 ，存在  使得 ，由此可證  是內射 -模，向量空間都是內射模。

最重要的內射模當屬 ：它是 -模範疇中的內射上生成元，換言之，這是內射模，而且任何 -模皆可嵌入某個  中，其中  是夠大的基數。由此可知任何 -模皆可嵌入某個內射 -模。此性質對任意環  上的左模都成立，要點在於利用  的特性構造左 -模範疇中的內射上生成元。

我們也可以定義模的內射包（基本上是包含一個模的最小內射模）。任意模  都有內射分解，這是形式如下的正合序列：
 
其中每個  都是內射的。內射分解可以用以定義模的內射維度（基本上是內射分解的最短長度，可能是無限的）及導函子。

不可分解內射模的自同態環是局部環。

文獻
 F.W. Anderson and K.R. Fuller: Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 13, 2nd Ed., Springer-Verlag, New York, 1992.

参见
模论
投射模

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