样条插值

在数值分析这个数学分支中，样条插值是使用一种名為样条的特殊分段多项式进行插值的形式。由于样条插值可以使用低阶多项式样条实现较小的插值误差，这样就避免了使用高阶多项式所出现的龙格现象，所以样条插值得到了流行。

样条插值
使用多项式插值，对给定数据集进行插值的n阶多项式就被给定数据点所唯一地定义出来。但是，对同样的数据进行插值的n阶样条并不是唯一的，为了构建一个唯一的样条插值式它还必须满足另外n-1个自由度。

线性样条插值
线性样条插值是最简单的样条插值。数据点使用直线进行连接，结果样条是一个多边形。

从代数的角度来看，每个Si 都是一个如下

的线性函数。
样条在每个数据点都必须连续，即

我们很容易得到

所以以上论述成立。

二次样条插值
二次样条插值可以构建为

通过选择，然后用递推关系就可以得到系数：

三次样条插值
对于给定点的数据集，我们可以用段三次多项式在数据点之间构建一个三次样条。如果

表示对函数进行插值的样条函数，那么需要：
 插值特性，
 样条相互连接，
 两次连续可导， 以及 .

由于每个三次多项式需要四个条件才能确定曲线形状，所以对于组成的个三次多项式来说，这就意味着需要个条件才能确定这些多项式。但是，插值特性只给出了个条件，内部数据点给出个条件，总计是个条件。我们还需要另外两个条件，根据不同的因素我们可以使用不同的条件。

其中一项选择条件可以得到给定与的钳位三次样条，

另外，我们可以设

.
这样就得到自然三次样条。自然三次样条几乎等同于样条设备生成的曲线。

在这些所有的二次连续可导函数中，钳位与自然三次样条可以得到相对于待插值函数f的最小震荡。

如果选择另外一些条件，

可以得到周期性的三次样条。

如果选择，

可以得到complete三次样条。

三次样条的最小性
三次样条有另外一个非常重要的解释，实际上它是在索伯列夫空间最小化泛函

的函数。

泛函包含对于函数全部曲率的近似，样条是最小曲率的近似。

由于弹性条的总体能量与曲率成比例，所以样条是受到个点约束的弹性条的最小能量形状。样条也是基于弹性条设计的工具。

使用自然三次样条的插值
它可以定义为

以及

.

通过解下面的方程可以得到它的系数。

示例

线性样条插值
假设要为带有节点

的函数

找一个线性样条。直接代入样条公式，我们得到如下样条：

样条函数（蓝线）以及所近似的函数（红点）如下图所示：

二次样条插值
下图是一个k=4的样条函数（蓝线）与所近似的函数（红线）的例子：

参见
三次埃尔米特样条
NURBS

样条
插值论
数学近似