克罗内克积

数学上，克罗内克积（）是两个任意大小的矩阵间的运算，表示为⊗。简单地说，就是将前一个矩阵的每个元素乘上后一个完整的矩阵。克罗内克积是外积从向量到矩阵的推广，也是张量积在标准基下的矩阵表示。

尽管没有明显证据证明德国数学家利奥波德·克罗内克是第一个定义并使用这一运算的人，克罗内克积还是以其名字命名。在历史上，克罗内克积曾以Johann Georg Zehfuss名字命名为Zehfuss矩阵。

定义 

如果A是一个 m × n 的矩阵，而B是一个 p × q 的矩阵，克罗内克积则是一个 mp × nq 的分块矩阵

更具体地可表示为

我们可以更紧凑地写为

例子 

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特性

双线性和结合律 

克罗内克积是张量积的特殊形式，因此满足双线性与结合律：

其中，A, B 和 C 是矩阵，而 k 是常量。

克罗内克积不符合交换律：通常，A ⊗ B 不同于 B ⊗ A。 

A ⊗ B和B ⊗ A是排列等价的，也就是说，存在排列矩阵P和Q，使得

如果A和B是方块矩阵，则A ⊗ B和B ⊗ A甚至是排列相似的，也就是说，我们可以取P = QT。

混合乘积性质 

如果A、B、C和D是四个矩阵，且矩阵乘积AC和BD存在，那么：

这个性质称为“混合乘积性质”，因为它混合了通常的矩阵乘积和克罗内克积。于是可以推出，A  B是可逆的当且仅当A和B是可逆的，其逆矩阵为：

克罗内克和 

如果A是n × n矩阵，B是m × m矩阵，表示k × k单位矩阵，那么我们可以定义克罗内克和为：

谱 

假设A和B分别是大小为n和q的方块矩阵。设λ1，……，λn为A的特征值，μ1，……，μq为B的特征值。那么A  B的特征值为：

于是可以推出，两个矩阵的克罗内克积的迹和行列式为：

奇异值 

如果A和B是长方矩阵，那么我们可以考虑它们的奇异值。假设A有rA个非零的奇异值，它们是：

类似地，设B的非零奇异值为：

那么克罗内克积A  B有rArB个非零奇异值，它们是：

由于一个矩阵的秩等于非零奇异值的数目，因此我们有：

与抽象张量积的关系 

矩阵的克罗内克积对应于线性映射的抽象张量积。特别地，如果向量空间V、W、X和Y分别具有基{v1, ... , vm}、 {w1, ... , wn}、{x1, ... , xd}和{y1, ... , ye}，且矩阵A和B分别在恰当的基中表示线性变换S : V → X和T : W → Y，那么矩阵A ⊗ B表示两个映射的张量积S ⊗ T : V ⊗ W → X ⊗ Y，关于V ⊗ W的基{v1 ⊗ w1, v1 ⊗ w2, ... , v2 ⊗ w1, ... , vm ⊗ wn}和X ⊗ Y的类似基。

与图的乘积的关系 

两个图的邻接矩阵的克罗内克积是它们的张量积图的邻接矩阵。两个图的邻接矩阵的克罗内克和，则是它们的笛卡儿积图的邻接矩阵。参见<ref name="TAOCP0a">D. E. Knuth: "Pre-Fascicle 0a: Introduction to Combinatorial Algorithms" , zeroth printing (revision 2), to appear as part of D.E. Knuth: The Art of Computer Programming Vol. 4A</ref>第96个练习的答案。

 转置 

克罗内克积转置运算符合分配律：

 矩阵方程 

克罗内克积可以用来为一些矩阵方程得出方便的表示法。例如，考虑方程AXB = C，其中A、B和C是给定的矩阵，X是未知的矩阵。我们可以把这个方程重写为

这样，从克罗内克积的性质可以推出，方程AXB = C具有唯一的解，当且仅当A和B是非奇异矩阵。.

在这里，vec(X)表示矩阵X的向量化，它是把X的所有列堆起来所形成的列向量。

如果把X的行堆起来，形成列向量x''，则也可以写为 。

參考文獻 

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外部链接 

 
 MathWorld Matrix Direct Product 

矩阵论
二元运算