毕奥-萨伐尔定律

在靜磁學裏，必歐-沙伐定律（-{Biot-Savart Law}-）以方程式描述，電流在其周圍所產生的磁場。採用靜磁近似，當電流緩慢地隨時間而改變時（例如當載流導線緩慢地移動時），這定律成立，磁場與電流的大小、方向、距離有關。必歐-沙伐定律是以法國物理學者让-巴蒂斯特·毕奥與菲利克斯·沙伐命名。

必歐-沙伐定律表明，假設源位置為的微小線元素有電流，則作用於場位置的磁場為
；

其中，是微小磁場（這篇文章簡稱磁通量密度為磁場），是磁常數。

已知電流密度，則有：
；

其中，為微小體積元素，是積分的體積。

在流体力学中，以渦度對應電流、速度對應磁場強度，便可應用必歐-沙伐定律以計算渦線（）導出的速度。

概念 
必歐-沙伐定律適用於計算一個穩定電流所產生的磁場。這電流是連續流過一條導線的電荷，電流量不隨時間而改變，電荷不會在任意位置累積或消失。採用國際單位制，用方程式表示，
；

其中，是源電流，是積分路徑，是源電流的微小線元素。

應用這方程式，必須先選出磁場的場位置。固定這場位置，積分於源電流的路徑，就可以計算出在場位置的磁場。請注意，這定律的應用，隱性地依賴著磁場的疊加原理成立；也就是說，每一個微小線段的電流所產生的磁場，其向量的疊加和給出總磁場。對於電場和磁場，疊加原理成立，因為它們是一組線性微分方程式的解答。更明確地說，它們是馬克士威方程組的解答。

當電流可以近似為流過無窮細狹導線，上述這方程式是正確的。但假若導線是寬厚的，則可用包含導線體積的積分方程式：
；

其中，是電流密度，是微小體積元素。

必歐-沙伐定律是靜磁學的基本定律，在靜磁學的地位，類同於庫侖定律之於靜電學。必歐-沙伐定律和安培定律的關係，則如庫侖定律之於高斯定律。

假若無法採用靜磁近似，例如當電流隨著時間變化太快，或當導線快速地移動時，就不能使用必歐-沙伐定律，必須改用傑斐緬柯方程式。

等速運動的點電荷所產生的電場和磁場 
由於點電荷的運動不能形成電流，所以，必須使用推遲勢的方法來計算其電場和磁場。假設一個點電荷以等速度移動，在時間的位置為。那麼，麦克斯韦方程組給出此點電荷所產生的電場和磁場：
、
；

其中，是和之間的夾角。

當時，電場和磁場可以近似為
、
。

這方程式最先由奧利弗·黑維塞於1888年推導出來，稱為必歐-沙伐點電荷定律。

安培定律和高斯磁定律的導引 
這裏，我們要從必歐-沙伐定律推導出安培定律和高斯磁定律。若想查閱此證明，請點選「顯示」。

{| class="toccolours collapsible collapsed" width="90%" style="text-align:left"
!證明必歐-沙伐定律所計算出來的磁場，永遠滿足高斯磁定律：
|-
|首先，列出必歐-沙伐定律，
。

應用一個向量恆等式，
，

將這恆等式帶入必歐-沙伐方程式。由於梯度只作用於無單撇號的坐標，可以將梯度移到積分外：
。

應用一個向量恆等式，
。

所以，高斯磁定律成立：
。
|}

{| class="toccolours collapsible collapsed" width="90%" style="text-align:left"
!證明必歐-沙伐定律所計算出來的磁場，永遠滿足安培定律：
|-
|首先，列出必歐-沙伐定律：
。

任意兩個向量和的叉積，取其旋度，有以下向量恆等式，：
，

取旋度於必歐-沙伐方程式的兩邊，稍加運算，可以得到
。

應用著名的狄拉克δ函數關係式
，

可以得到
。

注意到x-分量，
。

由於電流是穩定的，，所以，
；

其中，是一個微小源面積元素，是體積外表的閉曲面。

這個公式右邊第二項目是一個閉曲面積分，只與體積内所包含的被積函數，或體積外表曲面的電流密度有關。而體積可大可小，我們可以增大這體積，一直增大到外表的閉曲面沒有任何淨電流流出或流入，也就是說，電流密度等於零。這樣，就可以得到安培定律。
。
|}

參閱 
 狹義相對論
 向量分析
 散度定理
 安培律

參考文獻 

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