余数

在算术中，当两个整数相除的结果不能以整数商表示时，余数便是其“餘留下的量”。当余数为零时，被称为整除。

自然数的余数 
如果  和  是两个自然数， 非0，可以证明存在两个唯一的整数  和  ，满足  且  。其中，  被称为商數，  被称为余数。带余除法是一个关于如何计算余数的算法，其中提供了对此结果的证明。

例子 
 13除以10，商为1，余数为3，或。
 26除以4，商为6，余数为2，或。
 56除以7，商为8，余数为0，或。
 9除以10，商为0，余数为9，或。

一般整数的余数 
如果  与  是整数， 非零，那么余数  满足这样的关系：

  ,  为整数，且。

当这样定义时，可能导致两种可能的余数。例如，除法式子的可以表达为

（在数学工作者中使用较多）

或

.

即余数可能是3或−2。

这种对余数不明确的定义可能导致严重的计算问题，对于處理关键任务的系统，错误的选择会导致严重的后果。在一些組合語言系統中，會有特殊的除法指令，設定余数和被除數同號。

在上面的例子，负余数为正余数减5得来，5即是除数  。通常，当除以  时，如果正余数为，负余数为，那么

。

Python 2.7语言定义的除法中，不能整除的情况下，余数与除数同号，例如表达为

而  则表达为

实数的余数 
当  和  是实数，且  非零， 除以  会得到另一个实数（商），没有所谓的剩余的数.但如果要求商为一个整数，则余数的概念还是有必要的。可以证明：存在唯一的整数商  和唯一的实数r 使得：, 。在整数除法裡，余数可以要求为负，即满足关系：。

如上在实数范围内扩展余数的定义在数学理论中并不重要；尽管如此，很多程序语言都实现了这个定义—参同餘。

参见 
整除
中国剩余定理
同余
輾轉相除法

数论

初等数学
除法