克鲁尔维数

在交換代數中，一個環的克鲁尔維數定義為素理想鏈的最大長度。此概念依數學家 Wolfgang Krull（1899年-1971年）命名。

定義 
設交換環  中有  個素理想 ，使得
 
則稱之為長度為  的素理想鏈，一個無法插入新的素理想的鏈被稱作極大的。 的克鲁尔維數定義為素理想鏈的最大可能長度，這也等於是  中素理想的最大可能高度。

根據定義，  的維數與對素理想的局部化有下述關係
 
其中  表  的所有素理想所成集合。我們也可以僅考慮為極大理想的 。當  為鏈環時，對各極大理想的局部化皆有相同維數；代數幾何處理的交換環通常都是鏈環。

例子與性質 

例如在環  中可考慮以下的素理想鏈

 

因此 ；事實上可證明其維數確實為 3。以下是克鲁尔維數的幾個一般性質：

 零維的整環是域。
 離散賦值環與戴德金整環是一維的。
 若 ，則 ；當  為諾特環時則 。
 若  為域，則 。
 若  為 -代數，同時又是有限生成的 -模，則 。

與幾何的關係 
在代數幾何中，一個概形的維數被定義為各局部環的克鲁尔維數的上確界；對於仿射概形 ，則回歸到 。

設  為域， 是有限型 -整代數，這是代數幾何中的主要案例。根據諾特正規化引理，存在非負整數  及  中彼此代數獨立的元素  ，使得  是有限生成之 -模，因此 。從幾何觀點看， 此時是  的有限分歧覆蓋，因而克鲁尔維數確實合乎下述幾何直觀：
 
 若  是分歧覆蓋，則 。

特別是當  時，代數簇的克鲁尔維數等於複幾何中定義的維數。

文獻 
 H. Matsumura, Commutative algebra ISBN 0-8053-7026-9

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维度