格林函數

在數學中，格林函數（點源函數、影響函數）是一種用來解有初始条件或邊界條件的非齐次微分方程的函數。在物理学的多体理论中，格林函数常常指各种，有时并不符合数学上的定义。 

格林函數的名稱是來自於英國數學家喬治·格林（George Green），早在1830年代，他是第一個提出這個概念的人。

定義以及用法
给定流形上的微分算子 ，其格林函數，为以下方程的解 

其中  為狄拉克δ函數。此技巧可用來解下列形式的微分方程：

若的 零空间非平凡，則格林函數不唯一。不過，實際上因著對稱性、邊界條件或其他的因素，可以找到唯一的格林函數。一般來說，格林函數只是一个广义函数。

格林函數在凝聚態物理學中常被使用，因為格林函數允許擴散方程式有較高的精度。在量子力學中，哈密頓算子的格林函數和狀態密度有重要的關係。由於擴散方程式和薛定谔方程有類似的數學結構，因此兩者對應的格林函數也相當接近。

動機

若可找到線性算符  的格林函數 ，則可將 (1) 式兩側同乘，再對變數  積分，可得：

由公式 (2) 可知上式的等號右側等於 ，因此：

由於算符  為線式，且只對變數  作用，不對被積分的變數  作用），所以可以將等號右邊的算符  移到積分符號以外，可得：

而以下的式子也會成立：

因此，若知道 (1) 式的格林函數，及 (2) 式中的 f(x)，由於 L 為線性算符，可以用上述的方式得到 u(x)。換句話說， (2) 式的解 u(x) 可以由 (3) 式的積分得到。若可以找到滿足 (1) 式的格林函數 G ，就可以求出 u(x)。

並非所有的算符 L 都存在對應的格林函數。格林函數也可以視為算符 L 的左逆元素。撇開要找到特定算符的格林函數的難度不論，(3) 式的積分也很難求解，因此此方法只能算是提供了一個理論上存在的解法。

格林函數可以用來解非齊次的微-積分方程──多半是施图姆-刘维尔问题。若 G 是算符 L 的格林函數，則方程式 Lu = f 的解 u 為

可以視為 f 依狄拉克δ函數的基底展開，再將所有投影量疊加的結果。以上的積分為。

非齊次邊界值問題的求解 

格林函數的主要用途是用來求解非齊次的邊界值問題。在近代的理論物理中，格林函數一般是用來作為費曼圖中的傳播子，而「格林函數」一詞也用來表示量子力學中的。

研究框架 

令  為一個施图姆-刘维尔算子，是一個以以下形式表示的線性微分算子

而 D 是邊界條件算子

令  為在  區間的連續函數，並假設以下問題
 
有正則特牲；即其齊次問題只存在尋常解。

定理 

則存在唯一解  滿足以下方程式

 

而其解的計算方式如下

而中  即為格林函數，有以下的特性：
  對  及  連續。
 對所有 , .
 對所有 , .
 微分跳躍：.
 對稱：.

尋找格林函數

特徵向量展開 

若一微分算子 L 有一組完备的特徵向量 （也就是一組函數  及純量  使得  成立）則可以由特徵向量及特徵值產生格林函數。

先假設函數  滿足以下的完備性：

經由證明可得下式：

若在等號兩側加上微分算子 L，則可以證明以上假設的完備性。

有關以上格林函數的進一步研究，及格林函數和特徵向量所組成空間的關係，則為所要探討的內容。

拉普拉斯算子的格林函數 

先由格林定理開始：

假設線性算符 L 為拉普拉斯算子 ，而 G 為拉普拉斯算子的格林函數。則因為格林函數的定義，可得下式：

令格林定理中的 ，可得：

根據上式，可以解拉普拉斯方程  或 泊松方程 ，其邊界條件可以為狄利克雷邊界條件或是諾伊曼邊界條件。換句話說，在以下任一個條件成立時，可以解一空間內任一位置的 ：
 已知  在邊界上的值（狄利克雷邊界條件）。
 已知  在邊界上的法向導數（諾伊曼邊界條件）。

若想解在區域內的 ，由於狄拉克δ函數的特性，(4) 式等號左邊的第一項  

可化簡為  ，再將 (4) 式等號左邊第二項  用  表示，（若為泊松方程，，若為拉普拉斯方程，），可得：

上式即為調和函數（harmonic function）的特性之一：若邊界上的值或法向導數已知，則可以求出區域內每個位置的數值。

在靜電學中， 為電位， 為電荷密度，而法向導數  則為電場在法向的分量。

若目前的邊界條件為狄利克雷邊界條件，可以選擇在 x 或 x' 在邊界時，其值也為 0 的格林函數。若邊界條件為諾伊曼邊界條件，可以選擇在 x 或 x' 在邊界時，其法向導數為 0 的格林函數。因此 (5) 式等號右側的二個積分項有一項為 0 ，只剩下一項需計算。

在自由空間的情形下（此時可將邊界條件視為：），拉普拉斯算子的格林函數為：

若  為電荷密度，則可得到電荷密度和電位  的公式：

範例 

針對以下微分方程

找出格林函數。

第 1 步

根據定理中，格林函數的特性 2，可得

在 x < s 時因特性 3 可知 

（此時不需考慮  的式子，因 ）在 x > s 時因特性 3 可知 

（此時不需考慮  的式子，因 ）整理上述的結果，可得以下的式子。
   

第 2 步

依格林函數的特性，找出 a(s)和b(s).

根據特性 1，可得
.
根據特性 4，可得

解上述二式，可以求出 a(s)和b(s)
.

因此格林函數為

對照此解和格林函數的特性 5，可知此解也滿足特性 5 的要求。

其他舉例

 若流形為 R，而線性算符 L 為 d/dx，則单位阶跃函数 H(x − x0) 為 L 在 x0 處的格林函數。
 若流形為第一象限平面 { (x, y) : x, y ≥ 0 } 而線性算符 L 為拉普拉斯算子，並假設在x = 0 處有狄利克雷邊界條件，而在y = 0 處有諾依曼邊界條件，則其格林函數為

參見
，可定義於圖以及網上。
脈衝響應
格林恆等式
基爾霍夫積分定理

參考 

 Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9.（其中的第五章介绍如何使用格林函數解靜電場的邊界值問題）
 A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
 A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

外部連結 
 
 
 
 格林函數簡介（英文）

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