斯托尔兹-切萨罗定理

斯托尔兹－切萨罗定理（）是数学分析学中的一個用于證明數列收歛的定理。该定理以奥地利人和意大利人恩纳斯托·切萨罗命名。

内容

情況的敘述
令  以及  為兩個實數數列。假設  是個嚴格單調且發散的數列(亦即嚴格遞增並接近無窮大，或者嚴格遞減並接近負無窮大)，以及下述極限存在:

那麼，可以推得極限

情況的敘述
令  以及  為兩個實數數列。假設  以及 ，並且  是嚴格單調。如果 

則

用法说明 
该定理虽然主要被用来处理数列不定型极限，但该定理在没有这一限制条件时也是成立的。虽然该定理通常是以分母為正數數列的情形加以叙述的，但注意到该定理对分子的正负没有限制，所以原则上把对数列的限制条件替换为“严格单调递减且趋于负无穷大”也是没有问题的。

与羅必达法则的迭代用法类似，在尝试应用斯托尔兹－切萨罗定理考察数列的极限时，如果发现两个数列差分的商仍然是不定型，可以尝试再使用1次该定理，考察其2阶差分之商的极限。

应当注意，当不存在时，不能认定必定也不存在。换句话说，确实有“有穷极限存在，但有穷极限不存在”的情况（详见下文针对此逆命题所举的反例）。

證明

的情況 
假設為嚴格遞增並發散至, 而且, 於是存在  使得 。因此我們有  而且 。

那麼，給定，注意到 。因為 , 我們有 。

令，由於, 於是。因此我們有。那麼，對於，我們有 。同樣地，對於 與 , 

存在  使得對於所有 , 我們有 。於是，如果

 , 那麼 。因此 。
 , 那麼 。因此 。
 , 那麼對於所有 使得，存在一個 (上述的最大值)，使得對於所有，我們有 。因此。

對於為嚴格遞減並發散至的情況，注意到 且 為一個嚴格遞增至的數列即得證。

的情況 
假設為嚴格遞減收斂至, 而且, 於是存在  使得 。因此我們有  而且 。

那麼，給定，注意到 。因為 , 我們有 。

令，由於, 於是。那麼，當, 我們有 。同樣地，對於和  

存在  使得對於所有 , 我們有 。於是，如果 

 , 那麼 。因此 。
 , 那麼 。因此 。
 , 那麼對於所有 使得，存在一個 (上述的最大值)，使得對於所有，我們有 。因此。
對於為嚴格遞增並收斂到的情況，注意到 且 為一個嚴格遞增至的數列即得證。

直觀解釋 
利用与折线斜率的类比，该定理具有直观的几何意义。

應用

算術平均 
令  為一個收斂到的實數數列, 定義

 

那麼 為一個遞增至  的數列. 計算

 

因此

-{zh-hans:幾何; zh-tw:幾何}-平均 
令  為一個收斂到的正數數列, 定義

 

計算

 

這邊我們使用到對數函數是連續的。 因此

 

再一次，因為對數函數是連續和單調的，我們有

 .

根號與比值 
令  為一個收斂到的正數數列, 定義

 

其中。那麼我們有 。於是，
我們有

 。

相关命题 
这个用于解决数列不定型极限的定理与用于解决函数不定型极限的洛必达法则在形式上非常类似。求数列的差分对应于求函数的导函数，斯托尔兹－切萨罗定理就相当于是洛必达法则的离散化版本。但在类比记忆时应当注意，斯托尔兹－切萨罗定理要求数列要具有严格的单调性（或者至少当项数足够大时，要具有严格单调性），而洛必达法则没有对函数的单调性作出要求；洛必达法则要求函数在所考察点的邻域上具有可求导性，但斯托尔兹－切萨罗定理对数列不存在类似限制（数列没有“可差分性”一说）。并非所有的函数都可以进行求导运算，但任何数列都是可以进行差分运算的。

此定理的逆命题不成立。也即当满足条件的存在时，未必存在。如设，，这2个正实数数列都是严格单调递增的且发散至无穷大。易知存在，且数值为1。但是当时是震荡的，即此差分之商的极限值不存在。目前可找出的例子都是借助震荡型数列构造的，而用于说明洛必达法则的逆命题不成立的例子也用到了震荡型的函数。

推广 
该定理的一个推广形式如下：
如果 和是两个数列，而是单调无界的，那么

證明 
假設為嚴格遞增並發散至, 而且, 於是存在  使得 。因此我們有  而且 。

那麼，給定，注意到 。因為 , 我們有 。

令，由於, 於是。因此我們有。那麼，對於，我們有 。 

於是，當，我們有。因為是任意大於的數，。當，不等式顯然成立。 

假設, 於是存在  使得 。因此我們有  而且 。 

那麼，給定，注意到 。因為 , 我們有 。

令，由於, 於是。因此我們有。那麼，對於，我們有 。 

於是，當，我們有。因為是任意小於的數，。當，不等式顯然成立。 

對於為嚴格遞減並發散至的情況，注意到 且 為一個嚴格遞增至的數列即得證。

参考资料

外部链接 
 Marian Mureşan: A Concrete Approach to Classical Analysis. Springer 2008, ISBN 978-0-387-78932-3, p. 85 ()
 

实分析定理
审敛法