根系 (数学)

在數學中，根系是歐幾里得空間中滿足某些公理的向量配置。根系在李群、李代數與代數群理論中格外重要；而根系分類的主要工具──鄧肯圖，也見諸奇异性理论等與李群並無顯著關係的學科。

定義
設  為有限維實向量空間，並賦予標準的內積 。 中的根系是有限個向量（稱為根）構成的集合 ，滿足下述條件：

  的元素張出 。
 對任一 ，其屬於  的純量倍數只有 。
 對任意 ，集合  在對  的反射之下不變。在此的反射是指
 
（整性）若 ，則   在  方向的投影乘以2是  的整數倍，即： 

根據性質三，整性等價於：對任意 ， 與  僅差  的整數倍。此外，注意到性質四定義的尖積

並非一個內積，它未必對稱，而且只對第一個參數是線性的。

根系  的秩定義為  的維度。

給定兩個根系 ，可考慮其正交直和 ，則  自然地構成其中的根系。若一個根系無法表成如此的組合（當然，假設 ），則稱之為不可約的。

對兩個根系 ，若存在其間的線性同構，使得  映至 ，則稱它們為同構的根系。

對於根系 ，對根的反射生成一個群，稱為該根系的外爾群。可證明此群在  上忠實地作用，因此必為有限群。

秩一與秩二的例子

秩为1的例子
在同構的意義下，秩一的根系僅有一種，由兩個非零向量  組成。此根系記作 。

秩为2的例子

秩二的根系有四種可能，对应于，其中的情况。注意根系并不由它生成的格所决定： 和均生成正方形格，而 和 生成六边形格。这仅仅是五种可能的二维格中的两种。
圖解如下：

當  是  中的根系，而  是  在  中生成的子空間，則  是  中的根系。因此上述列表限制了任意秩根系中兩根的幾何關係，例如：任意兩根的交角僅可能是  或  度。

正根與單根
對於根系 ，可以取定滿足下述條件的正根子集 ：
 對每個根  ， 中恰有一者屬於 。
 對任意 ，若 ，則 。

正根的取法並不唯一。取定一組正根後， 的元素被稱為負根。

正根的選取等價於單根的選取。單根集是  中滿足下述條件的子集 ：
 任意  中的元素皆可唯一地表成  中元素的整係數線性組合，而且其係數或者全大於等於零，或者全小於等於零。

選定一組單根後，可定義相應的正根為展開式中係數大於等於零的根。如此可得到單根與正根選取法的一一對應。

以鄧肯圖分類根系
不可約根系與某類被稱為鄧肯圖的圖間有一一對應關係。鄧肯圖的分類是簡單的組合學問題，由此可導出不可約根系的分類定理。其構造方式如下：

給定一個不可約根系，選取一組單根。相應的鄧肯圖以這些單根為頂點。兩個單根  若不垂直，則有  個邊相連：若只有一個邊，則不取定向，否則則取自長度  長者（稱為長根）指向短者（稱為短根）的有向邊。

一個根系可以取多種不同的單根。然而，由於外爾群在這些選取上的作用是傳遞的，鄧肯圖的構造與單根的選取無關，它是根系內在的不變量。反之，給定具有相同鄧肯圖的兩個不可約根系，可以按圖配對單根及其間的內積，從而得到根系的同構。鄧肯圖給出的內積未必唯一，但至多差一個正常數倍，因而得到的根系是同構的 。

藉此，可將不可約根系的分類問題化約到連通鄧肯圖的分類。若某個鄧肯圖來自於根系，則從其頂點與邊定義的雙線性形式必然是鄧肯的；配上這個條件後，即可解決根系的分類。

鄧肯圖的分類列表詳如下圖。下標表示圖中的頂點數，亦即相應根系的秩。

不可約根系的性質

不可約根系依其鄧肯圖的種類命名。有四族根系：，其下標分別取遍  的正整數，稱為典型根系；剩下五種情形稱為例外根系。下標表示根系之秩。在上表中，  表示短根的個數（若諸根同長，則皆視為長根）， 表示其嘉當矩陣的行列式，而  表示外爾群之階。

不可約根系的構造方法及描述

An
取  為  中滿足  的點  所成之子空間。令  為  中長度為  的格子點。取  的標準基 ，則根具有  的形式，共有  個根。通常取單根為 。

對垂直於  的超平面的鏡射在  上的作用是交換第  個座標。因此  的外爾群不外就是對稱群 。

 是李代數  的根系。

Bn

取 ，並令  為  中長度為  的格子點。共有  個根。通常取單根為  及 （短根）。

對短根  的反射即 。

 跟  僅差一個縮放，因此通常僅考慮  的情形。 是李代數  的根系。

Cn

取 ， 為  中所有長度  的格子點與形如 的點，其中  是長度為一的格子點。共有  個根。通常取單根為 及 （長根）。

 與  僅差一個縮放加上旋轉 45 度，因此通常僅考慮  的情形。 是李代數  的根系。

Dn

取 ， 為  中長度  的格子點。共有  個根。通常取單根為  及 。

 同構於 ，故通常僅考慮  的情形。 是李代數  的根系。

E8, E7, E6
 是較為特殊的根系。首先定義  中滿足下述條件的點集 ：
 各座標均為整數，或均為半整數（不容相混）。
 八個座標的和為偶數。

定義  為  中長度為  的向量，即：
 

定義  為  與超平面  之交， 其中  是任取的根。同樣步驟施於 ，得到更小的根系 。根系  分別有 72, 126 與 240 個根。若續行此化約步驟，則會得到典型根系 。

另一種等價的描述是取  為：
 各坐標均為整數，而且其和為偶數；或
 各坐標均為半整數，而且其和為奇數。

 與  同構。將任意偶數個座標乘以負一，便可在兩者間轉換。 稱為  的偶坐標系， 稱為奇坐標系。

在偶坐標下，通常取單根為
 
 
 

在奇坐標下，通常取單根為
 
 ，其中
 
（在上述定義中，若改取 ，將得到同構的結果。若改取 ，將得到  或 。至於 ，其坐標和為零，而  亦然，所以張出的向量空間維度不合所求。

刪去  可得到  的一組單根；再刪去 ，可得  的單根。

由於對  垂直等價於前兩個坐標相等，而對  垂直等價於前三個座標相等，不難導出  的明確定義：

E7 = (α ∈  Z7 ∪ (Z+½)7: ∑αi2 + α12 = 2，∑αi + α1 ∈ 2Z),

E6 = (α ∈  Z6 ∪ (Z+½)6: ∑αi2 + 2α12 = 2，∑αi + 2α1 ∈ 2Z)

F4

對於 ，取 ，並令  為滿足下述條件的向量：
 
  各坐標皆為奇數或皆為偶數。

此根系有  個根。通常取單根為  的單根再加上 。

G2

 有 12 個根，構成一個六邊形的頂點，詳如秩二的例子一節所示。通常取單根為
 
 
在此沿用了之前的符號： 。

根系與李群、李代數
不可約根系的分類可用於研究下述對象：
 單複李代數
 單複李群
 模掉中心後為單李群的單連通複李群
 緊單李群

参考文献

引用

来源 

 Serre, J.-P., Jones, G. A., Complex Semisimple Lie Algebras (2001), Springer-Verlag,  ISBN 3540678271
 Serre, J.-P. Lie Algebras and Lie Groups (2005), Lecture Notes in Mathematics, no. 1500, Springer-Verlag, ISBN 3540550089 .
 Dynkin, E. B.  The structure of semi-simple algebras. (Russian) Uspehi Matem. Nauk (N.S.) 2, (1947). no. 4(20), 59–127.

參見
ADE分類
外爾群
考克斯特群
考克斯特矩陣
根資料
考克斯特-鄧肯圖

G
G