考克斯特群

在數學中，考克斯特群是一類由空間中對超平面的鏡射生成的群。這類群廣泛出現於數學的各分支中，二面體群與正多胞體的對稱群都是例子；此外，根系對應到的外爾群也是考克斯特群。這類群以數學家哈羅德·斯科特·麥克唐納·考克斯特命名。

形式定義
所謂考克斯特群，是一個群  寫成如下的表達式，即由滿足一些交互關係的生成元生成的群

其中  滿足  以及  對所有 。在此  意指  恆不等於單位元。

注意到 ；若 ，則 。且 m 滿足對稱性 。

令這組生成元為 。資料  稱為考克斯特群。方陣  稱為考克斯特矩陣。

性質

設  為考克斯特群，可證明存在一個有限維實矢量空間  及其上的非退化雙線性形 （未必正定），使得  同構於正交群  的某個子群。由於  的元素均為二階，可視之為  中對某些超平面的鏡射。

利用  的展示，定義元素的長度如下：對 ，定義其長度  為所有表法  中最短的 。由此可導出

例子
 對稱群  是考克斯特群。在此可取  為置換 ；關係為 。

 正多胞體的對稱：正多胞體的對稱群是有限考克斯特群。舉例明之：正多邊形的對稱群是二面體群，正 n 維單形的對稱群是前述的 ，又稱為  型的考克斯特群。n 維超正方體的對稱群為 。正十二面體與正二十面體的對稱群是 。在四維空間中，存在三種特別的正多胞體──正二十四胞體、正一百二十胞體與正六百胞體，其對稱群分別是 。 可以由某些半正多胞體的對稱群得到。

 外爾群：每個根系的外爾群都是有限考克斯特群。

 仿射外爾群：仿射外爾群是無限群，但帶有一個正則阿貝爾子群，使得對應的商群是個外爾群。

分類
一般而言，兩個群展示的同構與否是無法判定的。然而對考克斯特群則有一個簡單的判準，稱為交換條件。可以透過考克斯特-丹金圖分類有限考克斯特群。圖的構造方式為：
 每個生成元對應到一個頂點。
 若 ，則頂點  之間有邊相連。
 若 ，則將邊標上 。

文獻
 Larry C Grove and Clark T. Benson, Finite Reflection Groups (1985), Graduate texts in mathematics, vol. 99, Springer.
 Paul Garrett, Buildings and Classical Groups (1997), Chapman Hall. ISBN 0-412-06331-X . PostScript 檔案下載  .
 James E. Humphreys, Reflection Groups and Coxeter Groups (1990), Cambridge studies in advanced mathematics, 29.

C
C