正則變換生成函數

在哈密頓力學裏，當計算正則變換時，生成函數扮演的角色，好似在兩組正則坐標  ， 之間的一座橋。為了要保證正則變換的正確性 ，採取一種間接的方法，稱為生成函數方法。這兩組變數必須符合方程式
 ；(1)

其中， 是舊廣義坐標， 是舊廣義動量， 是新廣義坐標， 是新廣義動量， 分別為舊哈密頓量與新哈密頓量， 是生成函數， 是時間。

生成函數  的參數，除了時間以外，一半是舊的正則坐標；另一半是新的正則坐標。視選擇出來不同的變數而定，一共有四種基本的生成函數。每一種基本生成函數設定一種不同的變換，從舊的一組正則坐標變換為新的一組正則坐標。這變換  保證是正則變換。

生成函數列表

第一型生成函數
第一型生成函數  只跟舊廣義坐標、新廣義坐標有關，
 。

代入方程式 (1) 。展開生成函數對於時間的全導數，
 。

新廣義坐標  和舊廣義坐標  都是自變量，其對於時間的全導數  和  互相無關，所以，以下  個方程式都必須成立：
 ，(2)
 ，(3)
 。(4)

這  個方程式設定了變換  ，步驟如下：

第一組的  個方程式 (2) ，設定了  的  個函數方程式
 。
在理想情況下，這些方程式可以逆算出  的  個函數方程式
 。(5)

第二組的  個方程式 (3) ，設定了  的  個函數方程式
 。

代入函數方程式 (5) ，可以算出  的  個函數方程式
 。(6)

從  個函數方程式 (5) 、(6) ，可以逆算出  個函數方程式
 ，
 。

代入新哈密頓量  的方程式 (4) ，可以得到
 。

第二型生成函數
第二型生成函數  只跟舊廣義坐標  、新廣義動量  有關 ：
 ；

代入方程式 (1) 。展開生成函數隨時間的全導數：
 。

由於舊廣義坐標  與新廣義動量  必須彼此無關，以下  方程式必須成立：
 ，(7)　
 ，(8)
 。(9)

這  個方程式設定了變換  。步驟如下：

第一組的  個方程式 (7) ，設定了  的函數方程式
 。
在理想情況下，這些方程式可以逆算出  的函數方程式
 。(10)

第二組的  個方程式 (8) ，設定了的函數方程式
 。

代入函數方程式 (10) ，可以算出  函數方程式
 。(11)

由函數方程式 (10) 、(11) ，可以算出函數方程式
 ，
 。

代入新哈密頓量的方程式 (9) ，則可得到
 。

第三型生成函數
第三型生成函數只跟舊廣義動量  、新廣義坐標  有關： 
 。

以下  方程式設定了變換  ：
 ，
 ，
 。

第四型生成函數
第四型生成函數  只跟舊廣義動量  、新廣義動量  有關：
 。

以下  方程式設定了變換  ：
 ，
 ，
 。

實例 1
第一型生成函數有一個特別簡易案例：
 。

方程式 (2) ，(3) ，(4) 的答案分別為
 ，
 ，
 。

實例 2
再擧一個涉及第二型生成函數，比較複雜的例子。讓
 ；

這裏，  是一組  個函數。

答案是一個廣義坐標的點變換，
 。

實例 3
有時候，可以將一個給定的哈密頓量，變成一個很像諧振子的哈密頓量，
 。

例如，假若哈密頓量為
 ；(12)

這裏， 是廣義動量， 是廣義坐標。

一個優良的正則變換選擇是
 ，(13)
 。(14)

代入方程式 (12) ，新哈密頓量的形式與諧振子的哈密頓量型式相同：
 

這變換用的是第三型生成函數  ；其對於  的導數是
 。

代入方程式 (13) 、(14) ，
 。

對於  積分，可以得到生成函數  ：
 。

最後，檢查答案是否正確：
 。

參閱
哈密頓-亞可比方程式
帕松括號
正則變換列表

參考文獻

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Z
函数