达布积分

在实分析或数学分析中，达布积分是一种定义一个函数的积分的方法，它是通过达布和构造的。达布积分和黎曼积分是等价的，也就是说，一个实值函数是达布可积的当且仅当它是黎曼可积的，并且积分的值相等。达布积分的定义比黎曼积分简单，并且更具操作性。达布积分的名字来自于数学家让·加斯东·达布（Jean Gaston Darboux）。

区间的分割 

一个闭区间的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列。每个闭区间叫做一个子区间。定义 为这些子区间长度的最大值：，其中。

再定义取样分割。一个闭区间的一个取样分割是指在进行分割后，于每一个子区间中取出一点 。的定义同上。

精细化分割：设以及构成了闭区间的一个取样分割，和是另一个分割。如果对于任意，都存在使得，并存在使得，那么就把分割：、称作分割、的一个精细化分割。简单来说，就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。

于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。

达布和

设 为一个有界函数，又设

 

是闭区间的一个分割。令:

在分割下的上达布和定义为：

同样的有下达布和的定义：

的上达布积分指的是所有上达布和的下确界： 

是闭区间的一个分割

同样的的下达布积分指的是所有下达布和的上确界： 

是闭区间的一个分割

如果那么就称作达布可积的，并用表示，记作在区间的达布积分。

性质 
对于任何给定的分割，上达布和永远大于等于下达布和。此外，下达布和被限制在以为宽，以为高的矩形下，占据。同样，上达布和被限制在以为宽，以为高的矩形上。

下达布和和上达布和满足

对处于的任意

下达布积分和上达布积分不必要是线性的。令是一个有界函数，则上达布积分和下达布积分满足下面的不等关系。

对于一个常数我们有

对于一个常数我们有

考虑函数定义为

那么是利普希茨连续的。当是用达布积分定义的，一个相似的结论也成立。

例子

一个达布可积函数 

假设我们想证明函数在区间上是达布可积的，并且确定它的值。我们需要把区间分割为个等大的子区间，每个区间长度为。我们取个等大的子区间中一个作为。

现在因为在上严格单增，在任意一个特定子区间上的下确界即它的起点。同样，在任意一个特定子区间上的上确界即它的终点。在中第个子区间的起点是，终点是。那么在一个分割上的下达布和就是

类似地，上达布和为

由于

则对于任意，我们得到对于的任何分割都满足

得证是达布可积的。要找到这个积分的值需要注意到

一个不可积函数 

如果我们有函数定义为

由于有理数和无理数都是R的稠密子集，因而断定在任何分割的任何子区间只能取0或1。所以对于任意分割我们有

从中我们可以看出上下达布和不等。

与黎曼积分的关系

如果分割比分割“精细”，那么有 以及 。这是因为实际上是将中的若干个子区间再做分割，而分割后的子区间上的上（下）确界必然比原来区间的上（下）确界小（大）。（见图）

如果是同一个区间的两个分割（不一定要一个比另一个“精细”），那么 

.  

所以， 

显然，一个分割的黎曼和一定介于对应的上达布和与下达布和之间。正规的说，如果

并且

共同构成区间上的一个取样分割

(正如黎曼积分的定义中那样)，对应和的黎曼和为
，就有

由上可以看出，黎曼积分的第二个定义与达布积分的定义等价（见黎曼积分）。如果一个函数在区间的达布积分存在，那么一个对于足够精细的分割，上达布和与下达布和之间的差将能够无限趋近于0（都趋近于共同的极限），因此比其更为精细的分割，黎曼和将介于上达布和与下达布和之间，于是趋于一个极限。同时，注意到对于一个分割，我们可以适当取样使得取样的函数值趋于上（下）确界（由确界的定义）。这表明如果黎曼和趋于一个定值，则上下达布和之间的差将趋于0，也就是说达布积分存在。

参见

积分
黎曼积分
勒贝格积分
黎曼－斯蒂尔杰斯积分

积分的定义