三角形内角的嵌入不等式

三角形内角的嵌入不等式是平面几何中的一个不等式。在不至于引起歧义的情况下简称嵌入不等式。该不等式指出，若A、B、C是一个三角形的三个内角，则对任意实数 x、y、z，有：

首先发现此不等式的是英国数学家。他在1867年出版的《数学问题集》一书中对嵌入不等式做出介绍。

证明
注意到不等式： 对所有的实数 x、y、z以及任意角A、B、C成立，将其左侧展开，就得到：

 
由于A、B、C是三角形内角，，因此上式等价于

从证明中可推出，不等式中等号成立当且仅当和同时成立。也就是说，要么，要么。

推广与加强
从以上证明中可以看到，证明成立的关键是，所以可以将条件中的“A、B、C是三角形内角”推广到“”。而如果 ，则，展开恒成立的不等式 便可得到不等式 
 
这个不等式和三角形内角的嵌入不等式可以合写成一个不等式：
如果，那么对任意实数x、y、z，都有 
由于三角形内角的嵌入不等式具有高度对称性，在应用中也会写成对称下标不等式：
  
或轮换下标不等式：
  
设 是三角形内角，对后一个不等式做变量代换
 
可以得到不等式：
 

由这个不等式可以推出嵌入不等式的另一种推广：
设满足 ，  满足 ，则有：
 
其中。而当的时候，上面的不等式转化为：

嵌入不等式是此不等式在时的特例。

应用
三角形内角的嵌入不等式将代数不等式和几何不等式结合起来。运用嵌入不等式可以解决许多几何不等式，例如以下是运用嵌入不等式证明埃尔德什－莫德尔不等式。

埃尔德什-莫德尔不等式是一个二十世纪初期发现的不等式，其声称：对于任何三角形和其内部的一点O，点O到三角形三条边的距离之和总是小于或等于点O到三角形的三个顶点的距离之和的一半。下设这个三角形顶点为，点O到这三个顶点的距离分别是，到它们对边的距离分别是，则埃尔德什-莫德尔不等式写作：
 
在嵌入不等式中令，则可得到：
  
另一方面，计算三角形在O点发出的角平分线长度，可得

同时作为角平分线，其长度必然大于O点到的距离，所以

 
因此

等价形式
设 , , ，则有

等号成立当且仅当 。

证明

推论
对于 ，令 , , ，其中 ，即得

等号成立当且仅当 ，即 。

一般形式
若非零实数  满足 ，则对任意实数  恒有

证明：

参见 
 三角不等式
 外森比克不等式

参考来源

几何不等式
三角学