四元群

在群論裡，四元群是指一個8目的不可換群。它常被標示為Q，且被寫成乘法的形式，以下列的8個元素
Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}
這裡，1是單位元素，(−1)2 = 1且對每個Q內的a，(−1)a = a(−1) = −a。剩下的乘法律能由下列的關係獲得：

Q的凱萊表如下：

需注意的是，此一群為非可換的；如ij=−ji。Q有著漢彌爾頓群較不常見的性質：每一個Q的子群都是其正規子群，但這個群不是可換的。每一個漢彌爾頓群都會含有一個或多個Q。

在抽象代數裡，可以造出一個其基底為{1,i,j,k}的實四維向量空間，且使用上面的乘法表和分配律來形成一個結合代數。其即為一個稱為四元數的除環。需注意的是，這並不是在Q上的群代數(其應該是8維的)。相反地，亦可以先由四元數開始，再「定義」出由八個元素{1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}所組成之乘法子群做為四元群。

i、j和k都是Q內4目的元素且選定其中任兩個都可以產生出整個群來。Q有著下列的展現

其中可以取成i=x、j=y及k=xy。

Q的中心及交換子群為{±1}。其商群 Q/{±1}會同構於克萊因四元群V。Q的內自同構群會同構於Q同餘其中心，且因此也會同構於克萊因四元群。Q的全自同構群會同構於對稱群S4。Q的外自同構群因此為S4/V，其會同構於S3。

四元群Q亦可視為是作用於在有限體GF(3)上之二維向量空間的八個非零元素。關於其圖像，請見圖像化GL(2,p)。

廣義四元群 

一個群若被稱為廣義四元群，則表示其有一個展現

其中n為大於3的整數。此一群的目為2n。原本的四元群為n=3時的特例。廣義四元群可以被理解為單位四元數的子群，其產生子為

廣義四元群是雙循環群此一更大類型的一類。廣義四元群有著每個可換子群都是循環的性質。可證明一具有此性質(每個可換子群都是循環的)之有限p-群若不是循環群就是廣義四元群。

另見 
 四元數
 克萊因四元群
 雙循環群
 赫爾維茨四元數
 十六胞

S
S
S
四