利普希茨連續

在數學中，特別是實分析，利普希茨連續（）以德國數學家魯道夫·利普希茨命名，是一個比一致連續更強的光滑性條件。直覺上，利普希茨連續函數限制了函數改變的速度，符合利普希茨條件的函數的斜率，必小於一個稱為利普希茨常數的實數（該常數依函數而定）。

在微分方程，利普希茨連續是皮卡-林德洛夫定理中確保了初值問題存在唯一解的核心條件。一種特殊的利普希茨連續，稱為壓縮應用於巴拿赫不動點定理。

利普希茨連續可以定義在度量空間上以及賦范向量空間上；利普希茨連續的一種推廣稱為赫爾德連續。

定義

對於在實數集的子集的函數 ，若存在常數，使得，則稱 符合利普希茨條件，對於 最小的常數 稱為  的利普希茨常數。

若， 稱為收縮映射。

利普希茨條件也可對任意度量空間的函數定義：

給定兩個度量空間，。若對於函數，存在常數 使得

則說它符合利普希茨條件。

若存在使得

則稱為双李普希茨(bi-Lipschitz)的。

皮卡-林德洛夫定理

若已知有界，符合利普希茨條件，則微分方程初值問題剛好有一個解。

在應用上，通常屬於一有界閉區間（如）。於是必有界，故有唯一解。

例子
 符合利普希茨條件，。
 不符合利普希茨條件，當。
 定義在所有實數值的符合利普希茨條件，。
 符合利普希茨條件，。由此可見符合利普希茨條件的函數未必可微。
 不符合利普希茨條件，。不過，它符合赫爾德條件。
 若且唯若處處可微函數f的一次導函數有界，符合利普希茨條件。這是中值定理的結果。所有函數都是局部利普希茨的，因為局部緊緻空間的連續函數必定有界。

性質
符合利普希茨條件的函數連續，实际上一致連續。
双李普希茨(bi-Lipschitz)函數是單射。
Rademacher定理：若且為開集，符利普希茨條件，則幾乎處處可微。
Kirszbraun定理：給定兩個希爾伯特空間，，符合利普希茨條件，則存在符合利普希茨條件的，使得的利普希茨常數和的相同，且。

參考 

微分方程
数学分析
利普希茨映射