二體問題

在經典力學裏，二體問題（）研究兩個粒子因彼此互相作用而產生的運動。這是個很重要的天文問題，常見的應用有衛星繞著行星公轉、行星繞著恆星公轉、雙星系統、雙行星、一個經典電子繞著原子核運動等等。

二體問題可以表述為兩個獨立的單體問題，其中一個是平凡的單體問題，另外一個單體問題研究一個粒子因外力作用而呈現的運動。由於很多單體問題有精確解（），即不需借助近似方法就可得到問題的解答；其對應的二體問題連帶地也可解析。顯然不同地，除了特別案例以外，三體問題（或者更複雜的多體問題）並沒有精確解。

約化為兩個獨立的單體問題
在一個物理系統裏，假設兩個粒子的質量分別為、，在時間的初始位置分別為、，初始速度分別為、，計算這兩個粒子的軌跡函數及的問題，稱為二體問題。

根據牛頓第二定律：
、(1)
；(2)

其中，表示粒子B施加於粒子A的作用力。

將方程式(1)與方程式(2)相加，可以得到一個方程式，專門描述兩個粒子的質心運動。將方程式(1)與方程式(2)的相減，則可得到描述兩個粒子相對的位移向量與時間之間的關係。將這兩個獨立的單體問題的解答結合起來，就可以求得軌跡函數和。

質心運動（第一個單體問題）
質心的位置由兩個粒子的位置和質量給出：
；

其中，是系統的總質量。

質心的加速度為：
。

由於沒有外力作用，將方程式(1)與(2)相加，根據牛頓第三定律，可以得到
。

因此，質心的加速度等於零，質心的速度為常數：
。

這物理系統的動量守恆：
。

從兩個粒子的初始位置和初始速度，就可以決定質心在任意時間的位置：
。

位移向量運動（第二個單體問題）
將方程式(1)、(2)分別除以、，然後相減，可以得到
。

其中，是個從粒子2位置指到粒子1位置的位移向量。

應用牛頓第三定律，。所以，
。

兩個粒子之間的作用力應該只是相對位置的函數，而不是絕對位置、的函數；否則，無法滿足物理的平移對稱，物理定律會因地而易，二體之間的物理關係無法普遍地成立於全宇宙。換句話說，在宇宙中，兩個粒子的絕對位置無關緊要，因為它們是宇宙中唯一的兩個粒子，是互相施加於彼此的作用力的源頭。誠然地，這是一個不實際的問題，可以被視為一個思想實驗。為了滿足這問題的要求，兩個粒子之間的作用力必須只是相對位置的函數。這樣，相減得到的方程式寫為
；

其中，是約化質量。

一旦求得函數與，就可以計算出兩個粒子的軌跡方程式與：
、
。

角動量
兩個粒子的總角動量為
 

其中，是質心對於原點的角動量，是兩個粒子對於質心的角動量。

回想前面質心的軌跡方程式，
。

為了簡化分析，設定質心的初始位置為。也就是說，質心的直線運動經過原點。那麼，
、
。

二体问题常用的换元的技巧是通过  和  将原方程中对时间的求导转化为对角度  的求导，并得到Sturm-Liouville型方程

角動量守恆與連心力
二體問題的總力矩是
。

在物理學裏，時常會遇到的萬有引力、靜電力等等，都是連心力。假設，作用力是連心力，則與同直線，總力矩等於0。根據角動量守恆定律，
。

因此，總角動量是個常數，總角動量守恆。

請注意，並不是每一種力都是連心力。假設，兩個粒子是帶電粒子。由必歐-沙伐定律與勞侖茲力定律所算出的作用力和反作用力並不是連心力。總力矩不等於0。總角動量不守恆；這是因為還有角動量並沒有被計算在內。假若，將電磁場的角動量計算在內，則角動量守恆定律仍舊成立。

在很多物理系統裏，作用力是一種連心力，以方程式表示為
；

其中，是徑向距離，是徑向單位向量。

這物理系統的運動方程式為
。

更詳盡細節，請參閱條目經典連心力問題（）。

平面運動與角動量守恆
總角動量與的點積為
。

這兩個粒子的運動軌道必定包含於垂直於的平面。假設作用力為連心力，則由於角動量守恆，這兩個粒子必定運動於某特定平面，而常數向量垂直於這平面。

參閱
 多體問題
 克卜勒定律
 克卜勒問題
 拉普拉斯-龍格-冷次向量
 伯特蘭定理
牛頓旋轉軌道定理

參考文獻

引用

来源 

 书籍
 Lev D. Landau and E. M. Lifshitz, (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 978-0-08-021022-3 (hardcover) and ISBN 978-0-08-029141-3 (softcover).

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