多项式环

在抽象代數中，多項式環推廣了初等數學中的多項式。一個環  上的多項式環是由係數在  中的多項式構成的環，其中的代數運算由多項式的乘法與加法定義。在範疇論的語言中，當  為交換環時，多項式環可以被刻劃為交換 -代數範疇中的自由對象。

定義

多項式函數與多項式
在初等數學與微積分中，多項式視同多項式函數，兩者在一般的域或環上則有區別。舉例言之，考慮有限域  上的多項式
 
此多項式代任何值皆零，故給出零函數，但其形式表法非零。

我們寧願將多項式看作形式的符號組合，以得到較便利的代數理論。且考慮多項式在域擴張之下的性質：就函數觀點，多項式函數在域擴張下的行為頗複雜，上述  給出  上的零函數，但視為  上的多項式函數則非零；而就形式觀點，只須將係數嵌入擴張域即可。

形式定義
於是我們採取下述定義：令  為環。一個單變元  的多項式  定義為下述形式化的表法：
 
其中  屬於 ，稱作  的係數，而  視作一個形式符號。兩多項式相等若且唯若每個  的係數均相同。次數最大的非零係數稱為該多項式的領導係數，或者首項係數。

更嚴謹的說法或許是將多項式定義為係數的序列 ，使得其中僅有有限項非零。但是我們在實踐上總是用變元  及其冪次表達。

多項式的運算
以下固定環 ，我們將推廣初等數學中熟悉的多項式運算。

環結構
多項式的加法由係數逐項相加定義，而乘法則由下列法則唯一地確定：
 分配律：對所有  上的多項式 ，恆有
 
 
 對所有 ，有 
 對所有非負整數 ，有 

運算的具體表法如下：
 
 

當  是交換環時， 是個  上的代數。

多項式的合成
設  而  為另一多項式，則可定義兩者的合成為

求值
對於任一多項式  及 ，我們可考慮  對  的求值：
 

固定 ，則得到一個環同態 ，稱作求值同態；此外它還滿足

導數
在微積分中，多項式的微分由微分法則  確定。雖然一般的環上既無拓撲結構更無完備性，我們仍然可形式地定義多項式的導數為：
 
 

這種導數依然滿足  與  等性質。對於係數在域上的多項式，導數也可以判定重根存在與否。

多變元的情形
上述定義可以推廣到任意個變元（包括無限個變元）的情形。對於有限變元的多項式環 ，也可以採下述構造：

先考慮兩個變元  的例子，我們可以先構造多項式環 ，其次構造 。可以證明有自然同構 ，例如多項式 

也可以視作

對 亦同。超過兩個變元的情形可依此類推。

性質
 若 R 是域，則  是主理想環（事實上還是個欧几里得整环）。
 若 R 是唯一分解環，則  亦然。
 若 R 是整環，則  亦然。
 若 R 是諾特環，則  亦然；這是希爾伯特基底定理的內容。
 任一個交換環  上的有限生成代數皆可表成某個  的商環。

在數學中的角色
多項式環對理想的商是構造環的重要技術。例子包括從同餘系 構造有限域，或從實數構造複數等等。

弗羅貝尼烏斯多項式是另一個跟多項式環相關的環，此環的乘法係採用多項式的合成而非乘法。

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