自然数的集合论定义

已经提出了多种使用集合论定义自然数的方式。

当代标准

在 ZFC 和有关理论中，自然数的集合论定义是约翰·冯·诺伊曼的序数定义:
 定义空集为零。
 定义 n 的后继为 n ∪ {n}

无穷公理接着确保所有自然数的集合 N 存在。容易证明上述定义满足皮亚诺算术公理。它也有一個特別的性質（在其他定義中不一定如此），就是每个自然数 n 都是恰好含 n 个元素的集合，即{0,1,2,...,n-1}。

最老的定义

弗雷格（和伯兰特·罗素独立的）提议了如下定义。非形式的，每个自然数 n 被定义为其每个成员都有 n 个元素的集合。更形式的说，一个自然数是在等势的关系下的所有集合的等价类。这看起来是循环定义其实不是。 

更加形式的说，首先定义 0 为 （这是其唯一元素是空集的集合）。接着给定任何集合 A，定义:
  为 。
σ(A) 是通过向 A 的所有成员 x 增加一个新元素而获得的集合。 是后继函数的集合论运算实现（operationalization）。有了函数 σ ，就可以说 1 = 2 = , 3 = ，以此类推。这个定义有预期的效果：我们所定义的 3 实际上是其成员都有三个元素的集合。

如果全集 V 有有限势 n，则 , ，自然数的序列就此终结。所以如果 Frege-Russell 自然数要满足皮亚诺公理，所用到的公理化集合论必须包括无穷公理。自然数的集合可以被定义为包含 0 并闭合在 σ 下的所有集合的交集。

在朴素集合论、类型论和根源于类型论的集合论如新基础集合论和相关系统中，這個定義是可行的。但是它在公理化集合论 ZFC 和相关系统中不可行，因为在这种系统中在等势下的等价类作為集合而言太大了。這是由于罗素悖论的原因，在 ZFC 中没有全集 V。

Hatcher（1982）从一些基础系统，包括 ZFC 和范畴论推导出了皮亚诺公理。他也从弗雷格的 Grundgesetze 系统出發，使用现代符号和自然演绎谨慎的推导出这些公理。当然，罗素悖论证明了这个系统是不自恰的，但是 George Boolos（1998）和 Anderson 与 Zalta（2004）展示了如何修补它。

参见
 皮亚诺算术
 ZFC
 公理化集合论
 新基础集合论

引用
 Anderson, D. J., and Edward Zalta, 2004, "Frege, Boolos, and Logical Objects," Journal of Philosophical Logic 33: 1-26.
 George Boolos, 1998. Logic, Logic, and Logic.
Hatcher, William S., 1982. The Logical Foundations of Mathematics. Pergamon. In this text, S refers to the Peano axioms.
Holmes, Randall, 1998.  Elementary Set Theory with a Universal Set. Academia-Bruylant. The publisher has graciously consented to permit diffusion of this introduction to NFU via the web. Copyright is reserved.
Patrick Suppes, 1972 (1960). Axiomatic Set Theory. Dover.

外部链接 
 Stanford Encyclopedia of Philosophy:
 Quine's New Foundations  -- by Thomas Forster.
 Alternative axiomatic set theories -- by Randall Holmes.
 McGuire, Gary, "What are the Natural Numbers? "
 Randall Holmes:  New Foundations Home Page. 

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