理想 (环论)

理想（Ideal）是一个环论中的概念。
若某环的子集为在原环加法的定义下的子群，且其中的元素在原环乘法下与任意原环中的元素结果都在该子群中，则称其为原环的理想。
通俗地说，一环的理想在加法上成群且在乘法上表现如同一个黑洞。
理想把整数的某些子集，例如偶数或3的倍数组成的集合给一般化了。两个偶数相加或相减结果仍是偶数，偶数与任意整数相乘的结果也仍是偶数；这些闭包和吸收的性质正是理想的定义。理想可以被用来构造商环，这类似于在群论里，正规子群可以被用来构造商群。

历史 

恩斯特·库默尔提出了理想数的概念，以此作为那些不具有唯一因子分解的数环的“缺失”的因子。“理想”在这里的意思是它只存在于想象中，可以类比在几何中那些“理想”的几何对象，比如无穷远处的点。随后在1876年，理查德·戴德金在狄利克雷的数论讲义书的第三版中用被称为“理想”的数的集合代替了库默尔之前未定义的概念。之后这个概念被大卫·希尔伯特和艾米·诺特从数环拓展到了多项式环以及其他交换环上。

定义 

环(R,+,·)，已知(R, +)是阿贝尔群。R的子集I称为R的一个右理想，若I满足：
(I, +)构成(R, +)的子群。
 ∀i ∈ I，r ∈ R，i·r ∈ I。

类似地，I称为R的左理想，若以下条件成立：

(I, +)构成(R, +)的子群。
 ∀i ∈ I，r ∈ R，r·i ∈ I。

若I既是R的右理想，也是R的左理想，则称I为R的双边理想，简称R上的理想。

示例 
 整数环的理想：整数环Z只有形如nZ的理想。

一些结论 
 在环中，（左或右）理想的交和并仍然是（左或右）理想。

 对于R的两个理想A，B，记。按定义不难证明：
如果A是R的左理想，则AB是R的左理想。
如果B是R的右理想，则AB是R的右理想。
如果A是R的左理想，B是R的右理想，则AB是R的双边理想。

 R的子集I是R的理想，若I满足：
 ∀a,b ∈ I，a - b∈I。
 ∀a ∈ I, r ∈ R，则a·r∈ I。

 交换环的理想：交换环的理想都是双边理想。

 除环的理想：除环中的（左或右）理想只有平凡（左或右）理想。

生成理想 
如果  是环  的一个非空子集，令 , 其中

则  是环  的理想，这个理想称为  中由  生成的理想， 称为生成元集。同群的生成子群类似， 是  中所有包含  的理想的交，因此是  中包含  的最小理想。下面是生成理想的几种特殊情况：

当  是交换环时，;
当  是有单位元的环时，;
当  是有单位元的交换环时，.

主理想 
设集合A = {a1,a2,...,an}，则记<A> = <a1,a2,...,an>，称是有限生成理想。特别当是单元素集时，称为环R的主理想。注意作为生成元一般不是唯一的，如。的一般形式是：
 
 性质：

几类特殊环中的主理想：

如果是交换环，则
如果是有单位元的环，则
如果是有单位元的交换环，则

相关概念和结论 
 真理想：若I是环R的理想，且I是R的真子集，I称为R的真理想。
 极大理想：环R的一个真理想I被称为R的极大理想，若不存在其他真理想J，使得I是J的真子集。
 极大左理想：设I是环R的左理想，若I ≠ R并且在I与R之间不存在真的左理想，则称I是环R的一个极大左理想。极大左理想与极大理想之间有如下关系：
 如果I是极大左理想，又是双边理想，则I是极大理想。
 极大理想未必是极大左理想。
 单环：在幺环中，若零理想是其极大理想，称该环为单环。
 除环是单环，其零理想是极大理想。
 域是单环。
 在整数环Z中，由p生成的主理想是极大理想的充分必要条件是：p是素数。
 设R是有单位元1的交换环。理想I是R的极大理想的充分且必要条件是：商环R / I是域。
 设I是环R的左理想，则I是R的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在I中的左理想J都有I+J=R。

 素理想：环R的真理想I被称为素理想，若∀R上的理想A，B，有AB ⊆ I ⇒ A ⊆ I或B ⊆ I。
 素环：若环R的零理想是素理想，则称R是素环（或质环）。
 无零因子环是素环。
 在交换环R中，真理想I是素理想的充要条件是：R / I是素环。
 准素理想：环R的真理想I。若∀R上的理想P，有P2 ⊆ I ⇒ P ⊆ I，称I是R的准素理想。
 准素理想是一类比素理想相对较弱的理想。素理想是准素理想，反之不成立。

参考文献 
Atiyah, M. F. and Macdonald, I. G., Introduction to Commutative Algebra, Perseus Books, 1969, 
 
 Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004.

注释

参见 

 理想 (序理论)

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