半連續性

在數學分析中，半連續性是實值函數的一種性質，分成上半連續與下半連續，半連續性較連續性弱。

形式定義 
設  為拓撲空間，，而  為實值函數。若對每個 ε > 0 都存在  的開鄰域  使得 ，則稱  在  上半連續。該條件也可以用上極限等價地表述：

若  在  上的每一點都是上半連續，則稱之為上半連續函數。

下半連續性可以準此定義：若對每個 ε > 0 都存在  的開鄰域  使得 ，則稱  在  下半連續。用下極限等價地表述為：

若  在  上的每一點都是下半連續，則稱之為下半連續函數。

拓撲基  賦予實數線  較粗的拓撲，上半連續函數可以詮釋為此拓撲下的連續函數。若取基為 ，則得到下半連續函數。

例子 

考慮函數
 
此函數在  上半連續，而非下半連續。

下整數函數  處處皆上半連續。同理，上整數函數  處處皆下半連續。

性質 
一個函數在一點連續的充要條件是它在該點既上半連續也下半連續。

若  在某一
點上半連續，則  亦然；若兩者皆非負，則  在該點也是上半連續。若  在一點上半連續，則  在該點下半連續，反之亦然。

若  為緊集（例如閉區間），則其上的上半連續函數必取到極大值，而下半連續函數必取到極小值。

設  為下半連續函數序列，而且對所有  有
 
則  是下半連續函數。

開集的指示函數為下半連續函數，閉集的指示函數為上半連續函數。

文獻 
 

 

數學分析