初等代數

初等代數是一個初等且相對簡單形式的代數，教導對象為還沒有數學和算術方面较深知識的中小学生，大学学习的则称为高等代数。當在算術中只有數字与其運算（如：加、減、乘、除）出現時，在代數中也會使用字母符號诸如 、 或 、 等表示數字，习惯上用前者表示未知数与變數，用后者表示任意的已知数。

概述
初等代數中还会使用诸如 、、、 等映射符号来表示关于某个字母符号的代数式。

在初等代數裡，表示式包含有數字、變數及運算。它們通常把較高次項（習慣上）寫在表示左邊（參考多項式），舉幾個例子來說：

。
在更進階的代數裡，表示式也會包含有初等函數。

一個等式表示其等號兩邊的表示式是相等的。某些等式對於其中變數的所有取值都成立（如 ）；這種等式稱為恆等式。而其他只有變數在某些值時才正確（如 ），此一使等式成立的變數值則稱為這等式的解。

定理

与代数运算相关的定理  
 加法是一可交換的運算（兩個數不論順序為何，它加起來的總和都一樣）。
 減法是加法的逆運算。
 減去一個數和加上一個此數的負數是一樣意思的：
 
 例如：若  ，則 。
 乘法是一可交換的運算。
 除法是乘法的逆運算。
 除去一個數和乘上一個此數的倒數是一樣意思的：
 
例如：若  ，則 。
 冪不是一可交換的運算。
 但冪卻有兩個逆運算：對數 和 开方（如平方根）。
 例如：若 ，則 。
例如：若 ，則 ，即 ，。
 負數的平方根不存在於實數內。（參考：複數）
 加法的結合律性質：。
 乘法的結合律性質：。
 對應加法的乘法分配律性質：。
 對應乘法的冪分配律性質：。
 冪的乘法：。
 冪的冪：。

与“等於”相关的定理 
  （等於的自反性）。
 若 ，則  （等於的對稱性）。
 若  且 ，則  （等於的遞移律）。
 若 ，則 。

其他定理 
 若  且 ，則 。
 若 ，則對任一 c，（等於的可加性）。
 若  且 ，則  = 。
 若 ，則對任一 c，（等於的可乘性）。
 若兩個符號相等，則一個總是能替換另一個（替換原理）。
 若  且 ，則 （不等式的遞移律）。
 若 ，則對任一 c，。
 若  且 ，則 。
 若  且 ，則 。

例子

一元一次方程
最簡單的方程為一元一次方程，它們是含有一個常數和一沒有冪的變數。例如：

其中心解法為在等式的兩邊同時以相同數字做加、減、乘、除，以使變數單獨留在等式的一側。一旦變數獨立了，等式的另一邊即是此變數的值。例如，將上面式子兩邊同時減去4：
，
簡化後即為

再同時除以2：

再簡化後即為答案：

一般的情形

也可以依同樣的方式得出答案來：

【這就是一元一次方程簡單的說明】

一元二次方程 
一元二次方程可以表現成 ，在這  不等於零（假如  等於零，則此方式為一次方程式，而非二次方程式）。二次方程式必須保持二次的形態，如 ，二次方程式可以通過因式分解求解（多項式展開的逆過程），或者一般地使用二次方程求根公式。因式分解的舉例：

這相當於

0 和 -3 是它的解，因爲把  置為 0 或 -3 便使上述等式成立。
所有二次方程式在複數體系中都有兩個解，但是在實數系統中卻不一定，例如：
 
沒有實數解，因爲沒有實數的平方是 -1。
有時一個二次方程式會有2重根，例如：

在這個方程中，-1是2重根。

線性方程組 

在線性方程組內，如兩個變數的方程組內有兩個方程式的話，通常可以找出可同時滿足兩個方程式的兩個變數。

下面為線性方程組的一個例子，有兩個求解的方法：

求解的第一種方法 
將第2個等式的左右項各乘以2，

再將兩式相加，

上式可化簡為

因爲已知，於是就可以由兩式中的任意一個推斷出。所以這個問題的完整解為

注意：這並不是解這類特殊情況的唯一方法； 也可以在  之前求得。

求解的第二種方法 
另一種求解的方法為替代。

 的等值可以由兩個方程式中的其中一種推出。我們使用第二個方程：

由方程的兩邊減去 ：

再乘上 -1：

將此  值放入原方程組的第一個方程式：

在方程的兩端加上 2：

此可簡化成
。

將此值代回兩個方程式中的一個，可求得和上一個方法所求得的相同解答。

注意：這並不是解這類特殊情況的唯一方法；在這個方法裡也是一樣的， 也可以在  之前求得。

另見 
 等量公理
 代數
 算術
 二元運算
 高斯消去法
 數學教育
 數線
 多項式

參考 
 Charles Smith, A Treatise on Algebra, in Cornell University Library Historical Math Monographs.
 Beginning Algebra Tutorials and Reviews for basic algebra review and practice..
 Feferman, Anita Burdman and Solomon Feferman (1990) "Alfred Tarski- Life and Logic." Cambridge University Press. p.74-76. ISBN 0-521-80240-7.
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脚注