狄利克雷定理

狄利克雷定理是狄利克雷于1837年发表的数论中关于质数在同余类中分布的定理：对于任意互质正整数对，模同余的质数集合相对质数集合的密度为。

定理内容
狄利克雷定理表明：
 若  互质，则

 其中，为欧拉函数，为质数计数函数，为模同余集合中小于的质数个数。

质数在同余类中的分布
狄利克雷定理揭示了质数在同余类中的分布。

形象地说，在模同余类中，除去不包含或仅包含有限个质数的同余集合，质数的分布是大致均匀的。

 以为例：共有共个模同余集合，其中同余集合不包含或只含有限个质数，剩下的质数近乎等概率地分布在同余集合中：
 在不大于的质数中，质数在中的比率分别为和；
 在不大于的质数中，质数在中的比率分别为和；
 在不大于的质数中，质数在中的比率分别为和。

 以为例：共有共个模同余集合，其中同余集合不包含或只含有限个质数，剩下的质数近乎等概率地分布在同余集合中：
 不大于的质数中，质数在中的比率分别为和；
 在不大于的质数中，质数在中的比率分别为和；
 在不大于的质数中，质数在中的比率分别为和；

相關定理
 歐幾里得證明了有無限個質數，即有無限多個質數的形式如。
 算術級數的質數定理：若互質，則有

 。

其中φ是歐拉函數。取，可得一般的質數定理。

 林尼克定理說明了級數中最小的質數的範圍：算術級數中最小的質數少於，其中和均為常數，但這兩個常數的最小值尚未找到。
 是在狄利克雷定理在伽羅瓦擴張的推廣。

歷史
歐拉曾以，來證明質數有無限個。約翰·彼得·狄利克雷得以靈感，借助證明來證明算術級數中有無限個質數。這個定理的證明中引入了狄利克雷L函數，應用了一些解析數學的技巧，是解析數論的重要里程碑。

推廣

這個定理的一些推廣形式，但是都還只是未被證明的猜想而已，並不是定理。

 布尼亞科夫斯基猜想，推廣至>=2次的多項式
 狄克森猜想，推廣至>=2個多項式
 ，上述兩個推廣合併

參考
 T. M. Apostol (1976). Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90163-9. Chapter 7
解析数论
D
素数