根值审敛法

根值审敛法（Root test）是判别正项级数敛散性的一种方法，又叫做柯西判别法。方法是分析第项的绝对值的次方根的上极限与1的大小关系。

定理

设是要判断审敛性的级数，令

当时级数绝对收敛（当然同时也收敛）
当或时级数发散
当 时级数可能收敛也可能发散。
{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"
!证明：
|-
|
当时，取，由上极限的定义，应当有收敛于的子列，由极限的保序性，，使时，（否则，总可以取出极限不比小的子列，和的定义矛盾）。因而，时，有，又因为是收敛的，由比较审敛法，收敛，即绝对收敛。
当或时，取子列，从而，使得时，。这意味着，根据通项极限判别法，级数是发散的。
例：，但发散，而。
|}

参见
比值审敛法
比较审敛法

级数
审敛法

pl:Kryteria zbieżności szeregów#Kryterium Cauchy'ego