柯西-利普希茨定理

在数学中，柯西-利普希茨定理（Cauchy-Lipschitz Theorem），又称皮卡-林德勒夫定理（Picard-Lindelöf Theorem），保证了一階常微分方程的局部解以至最大解的存在性和唯一性。此定理最早由奧古斯丁·路易·柯西于1820年发表，但直到1868年，才由鲁道夫·利普希茨给出确定的形式。另一个很常见的叫法是皮卡-林德勒夫定理，得名于数学家埃米尔·皮卡和恩斯特·林德勒夫。

局部定理
设为一个完备的有限维賦範向量空間（即一个巴拿赫空间），为一个取值在上的函数：

其中为中的一个开集，是中的一个区间。考虑以下的一阶非线性微分方程：

如果关于连续，并在中满足利普希茨条件，也就是说，

那么对于任一给定的初始条件： ，其中 、，微分方程（1）存在一个解 ，其中  是一个包含  的区间， 是一个从  射到  的函数，满足初始条件和微分方程（1）。

局部唯一性：在包含点的足够小的区间上，微分方程（1）的解是唯一的（或者说，方程所有的解在足够小的区间上都是重叠的）。

这个定理有点像物理学中的决定论思想：当我们知道了一个系统的特性（微分方程）和在某一时刻系统的情况（）时，下一刻的情况是唯一确定的。

局部定理的证明
一个简洁的证明思路为构造一个总是满足初始条件的函数递归序列，使得，这样，如果这个序列有一个收敛点  ，那么为函数的不动点，这时就有，于是我们构造出了一个解。为此，我们从常数函数
开始。令

这样构造出来的函数列中的每个函数都满足初始条件。并且由于  在  中满足利普希茨条件，当区间足够小的时候，成为一个收缩映射。根据完备空间的不动点存在定理，存在关于的稳定不动点，于是可知微分方程（1）的解存在。

由于收缩映射的局部稳定不动点只有一个，因此在足够小的区间内解是唯一的。

最大解定理
局部的柯西-利普希茨定理并没有说明在较大区域上解的情况。事实上，对于微分方程（1）的任意解、，定义一个序关系：小于当且仅当 ，并且在上的值与一样。在这个定义之下，柯西-利普希茨定理断言，微分方程的最大解是唯一存在的。

证明思路

解的唯一性：假设有两个不同的最大解，那么由局部柯西-利普希茨定理可以证明其重叠部分的值相同，将两者不同的部分分别延伸在重叠部分上，则会得到一个更“大”的解（只需验证它满足微分方程），矛盾。因此解唯一。

解的存在性：证明需要用到佐恩引理，构造所有解的并集。

扩展至高阶常微分方程
对于一元的高阶常微分方程
，

只需构造向量和相应的映射，就可以使得（2）变为。这时的初始条件为，即

扩展至偏微分方程
对于偏微分方程，有柯西-利普希茨定理的扩展形式：柯西-克瓦列夫斯基定理，保证了偏微分方程的解的存在性和唯一性。

参见
常微分方程
柯西-克瓦列夫斯基定理
动力系统
初值問題
利普希茨条件
弗罗贝尼乌斯定理
皮亚诺存在性定理

参考资料
常微分方程（组）基本理论 
 M. E. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 114, 1894, pp. 454-457. 网上版本可在 http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3074r/f454.table  找到（文中林德勒夫讨论扩展了皮卡的一个早期证明）

相关链接
局部柯西-利普希茨定理的另一个证明，英文 
湖北师范学院数学与统计学院，比较严格的讨论，中文 

奥古斯丁-路易·柯西
利普希茨映射
常微分方程
分析定理
唯一性定理