內射維度、投射維度與同調維度

投射維度、內射維度與同調維度（又稱整體維度）是交換代數中考慮的重要不變量。

定義
以下設  為交換環，而  為 -模。

 的內射維度  定義為其內射分解的最短長度（當  時置 ）。投射維度  則定義為其投射分解的最短長度。

利用同調代數的工具，可以進一步得到下述刻劃：

命題一. 設  為整數，下述條件等價：
 。
 對所有 -模 ，有 。
 對所有理想 ，有 。
 對所有正合序列 ，若每個  都是內射模，則  也是內射模。

命題二. 設  為整數，下述條件等價：
 。
 對所有 -模 ，有 。
 對所有正合序列 ，若每個  都是投射模，則  也是投射模。
當  為諾特環而  為有限生成 -模時，上述條件更等價於
 對所有極大理想 ，有 
 對所有極大理想 ，有 

由此可定義環  的同調維度 為：
 
 
 存在 -模  使得  的最大整數 （可能是無窮大）。

性質
內射維度、投射維度與同調維度對局部化有下述關係：
 
 

其中的  取遍  的所有素理想（或極大理想），而投射維度給出  的上半連續函數。事實上，僅須考慮  的支撐集中的素理想。

由此立刻得到 。

此外，它們與模的深度也有密切的關係，例如：

定理 （Auslander-Buchsbaum）：設  為局部諾特環， 為有限生成 -模，而且其投射維度有限，則
 

定理：設  為局部諾特環， 為有限生成 -模，而且其內射維度有限，則
 

最後，同調維度為正則局部環給出了一個完全內在的刻劃：

定理（Serre）：一個局部諾特環  是正則局部環的充要條件是 ，此時 。

文獻
 N. Bourbaki, Algèbre commutative, chapitre 10 (1998), Masson. ISBN 3-540-34394-6

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维度