亨泽尔引理

亨泽尔引理是数学中模算术的一個结论。亨泽尔引理说明，如果一个模（是给定的质数）的多项式方程有一个单根，则可以通过这个根求出该方程在模的更高次方时的根。在完备交换环（包括p进数）中，亨泽尔引理被看作是类似于牛顿法的渐进求根方法。由于p进数分析在某些方面比实分析更加简单，亨泽尔引理可以加强为多项式方程有根的判定方法。

定理内容
設為整係數多項式，為不少於2的整數，為質數。若整數是下面同餘式的根：
 

對於
   （I）

，則有：
 若，則存在唯一的整數使得（I）成立。
 
 若 且  ，則（I）對任意整數t成立。
 若 但 ，則（I）無整數解。

證明
Hensel引理可用泰勒公式證明。

 

因此可見，由第三項開始，都必能被整除。因此：

推廣
若為完備局域。設 為的整數環，設為係數在 的多項式，若存在 使得

 
則有根。

且：
  趨近
 

這個引理其中一個重要應用就是在域為p進數的情形。

參考
 http://mathworld.wolfram.com/HenselsLemma.html 
 http://eom.springer.de/h/h046930.htm 
 https://web.archive.org/web/20071206223035/http://planetmath.org/encyclopedia/HenselsLemma.html
交換代數
數論
同余
引理