氫原子

氫原子是氫元素的原子。電中性的原子含有一個正價的質子與一個負價的電子，被庫侖定律束縛於原子核內。在大自然中，氫原子是豐度最高的同位素，稱為氫，氫-1 ，或氕。氫原子不含任何中子，別的氫同位素含有一個或多個中子。這條目主要描述氫-1 。

氫原子擁有一個質子和一個電子，是一個的簡單的二體系統。系統內的作用力只跟二體之間的距離有關，是反平方連心力，不需要將這反平方連心力二體系統再加理想化，簡單化。描述這系統的（非相對論性的）薛丁格方程式有解析解，也就是說，解答能以有限數量的常見函數來表達。滿足這薛丁格方程式的波函數可以完全地描述電子的量子行為。因此可以這樣說，在量子力學裏，沒有比氫原子問題更簡單，更實用，而又有解析解的問題了。所推演出來的基本物理理論，又可以用簡單的實驗來核對。所以，氫原子問題是個很重要的問題。

另外，理論上薛丁格方程式也可用於求解更複雜的原子與分子。但在大多數的案例中，皆無法獲得解析解，而必須藉用電腦來進行計算與模擬，或者做一些簡化的假設，方能求得問題的解析解。

歷史

1913 年，尼爾斯·玻耳在做了一些簡化的假設後，計算出氫原子的光譜頻率。這些假想，波耳模型的基石，並不是完全的正確，但是可以得到正確的能量答案。

1925/26 年，埃爾文·薛丁格應用他發明的薛丁格方程式，以嚴謹的量子力學分析，清楚地解釋了波耳答案正確的原因。氫原子的薛丁格方程式的解答是一個解析解，也可以計算氫原子的能級與光譜譜線的頻率。薛丁格方程式的解答比波耳模型更為精確，能夠得到許多電子量子態的波函數（軌域），也能夠解釋化學鍵的各向異性。

薛丁格方程式解答
氫原子問題的薛丁格方程式為：
；

其中， 是約化普朗克常數， 是電子與原子核的約化質量， 是量子態的波函數， 是能量， 是庫侖位勢：
 ；

其中， 是真空電容率， 是單位電荷量， 是電子離原子核的距離。

採用球坐標 ，將拉普拉斯算子展開：
 。

猜想這薛丁格方程式的波函數解  是徑向函數  與球諧函數  的乘積：
 。

角部分解答
參數為天頂角和方位角的球諧函數，滿足角部分方程式：
 ；

其中，非負整數  是軌角動量的角量子數。磁量子數  （滿足  ）是軌角動量對於 z-軸的（量子化的）投影。不同的  與  給予不同的軌角動量函數解答  :

 ；

其中， 是虛數單位， 是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為
 ；

而  是  階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為：
 。

徑向部分解答
徑向函數滿足一個一維薛丁格方程式：
 。

方程式左邊的第二項可以視為離心力位勢，其效應是將徑向距離拉遠一點。

除了量子數  與  以外，還有一個主量子數  。為了滿足  的邊界條件， 必須是正值整數，能量也離散為能級  。隨著量子數的不同，函數  與  都會有對應的改變。按照慣例，規定用波函數的下標符號來表示這些量子數。這樣，徑向函數可以表達為

 ；

其中， 。  近似於波耳半徑  。假若，原子核的質量是無限大的，則  ，並且，約化質量等於電子的質量， 。  是广义拉盖尔多项式，其定義式可在條目拉盖尔多项式裡找到。

广义拉盖尔多项式另外還有一種在量子力學裡常用的定義式（兩種定義式不同）：
 ；

其中， 是拉盖尔多项式，可用羅德里格公式表示為

 。

為了要結束广义拉盖尔多项式的遞迴關係，必須要求量子數  。

按照這種定義式，徑向函數表達為
 。

知道徑向函數  與球諧函數  的形式，可以寫出整個量子態的波函數，也就是薛丁格方程式的整個解答：
 。

量子數

量子數  、 、 ，都是整數，容許下述值：
 ，
 ，
 。

角動量
每一個原子軌域都有特定的角動量向量  。它對應的算符是一個向量算符  。角動量算符的平方  的本徵值是

 。

角動量向量對於任意方向的投影是量子化的。設定此任意方向為 z-軸的方向，則量子化公式為

 。

因為  ， 與  是對易的， 與  彼此是相容可觀察量，這兩個算符有共同的本徵態。根據不確定性原理，可以同時地測量到  與  的同樣的本徵值。

由於  ， 與  互相不對易， 與  彼此是不相容可觀察量，這兩個算符絕對不會有共同的基底量子態。一般而言， 的本徵態與  的本徵態不同。

給予一個量子系統，量子態為  。對於可觀察量算符  ，所有本徵值為  的本徵態  ，形成了一組基底量子態。量子態  可以表達為這基底量子態的線性組合： 。對於可觀察量算符  ，所有本徵值為  的本徵態  ，形成了另外一組基底量子態。量子態  可以表達為這基底量子態的線性組合： 。

假若，測量可觀察量  ，得到的測量值為其本徵值  ，則量子態機率地塌縮為本徵態  。假若，立刻再測量可觀察量  ，得到的答案必定是  ，在很短的時間內，量子態仍舊處於  。可是，假若改為立刻測量可觀察量  ，則量子態不會停留於本徵態  ，而會機率地塌縮為  本徵值是  的本徵態  。這是量子力學裏，關於測量的一個很重要的特性。

根據不確定性原理，
 。

 的不確定性與  的不確定性的乘積  ，必定大於或等於  。

類似地， 與  之間， 與  之間，也有同樣的特性。

自旋-軌道作用

電子的總角動量必須包括電子的自旋。在一個真實的原子裏，因為電子環繞著原子核移動，會感受到磁場。電子的自旋與磁場產生作用 ，這現象稱為自旋-軌道作用。當將這現象納入計算，自旋與角動量不再是保守的，可以將此想像為電子的進動。為了維持保守性，必須取代量子數  、 與自旋的投影  ，而以量子數 ， 來計算總角動量。

精細結構

在原子物理學裏，因為一階相對論性效應，與自旋-軌道耦合，而產生的原子譜線分裂，稱為精細結構。

非相對論性、無自旋的電子產生的譜線稱為「粗略結構」。氫原子的粗略結構只跟主量子數  有關。可是，更精確的模型，考慮到相對論效應與自旋-軌道效應，能夠分解能級的簡併，使譜線能更精細地分裂。相對於粗略結構，精細結構是一個  效應；其中， 是精細結構常數。

在相對論量子力學裏，狄拉克方程式可以用來計算電子的波函數。用這方法，能階跟主量子數  、總量子數  有關，容許的能量為：
 。

電子軌域圖

右圖顯示出能量最低的幾個氫原子軌域（能量本徵函數）。這些是機率密度的截面的繪圖。圖內各種顏色的亮度代表不同的機率密度（黑色：0 機率密度，白色：最高機率密度）。角量子數 () ，以通常的光譜學代碼規則，標記在每一個縱排的最上端。 意指  ， 意指  ， 意指  。主量子數  標記在每一個横排的最右端。磁量子數  被設定為 0 。截面是 xz-平面（ z-軸是縱軸）。將繪圖繞著 z-軸旋轉，則可得到三維空間的機率密度。

基態是最低能級的量子態，也是電子最常找到的量子態，標記為  態，  。

特別注意，在每一個軌域的圖片內，黑線出現的次數。這些二維空間黑線，在三維空間裏，是節面 () 。節面的數量等於   ，是徑向節數（   ）與角節數（   ）的總和。

穩定性
思考氫原子穩定性問題，應用經典電動力學來分析，則由於庫侖力作用，束縛電子會被原子核吸引，呈螺線運動掉入原子核，同時輻射出無窮大能量，因此原子不具有穩定性。但是，在大自然裏這虛擬現象實際並不會發生。那麼，為什麼氫原子的束縛電子不會掉入原子核裏？應用量子力學，可以計算出氫原子系統的基態能量大於某有限值，稱這結果為滿足「第一種穩定性條件」，即氫原子的基態能量  大於某有限值：
 。

量子力學的海森堡不確定性原理  可以用來啟發性地說明這問題，電子越接近原子核，電子動能越大。但是海森堡不確定性原理不能嚴格給出數學證明，有些特別案例不能滿足第一種穩定性條件，因為  量度的是波函數的半寬度，而不是波函數集聚於原子核附近的程度，所以波函數可以擁有一定的半寬度，並且極度集聚於原子核附近，造成庫侖勢能趨於  ，同時維持有限的動能。

更詳細分析起見，只考慮類氫原子系統，給定原子的原子序  ，原子的能量  為
 ；

其中， 為動能， 為勢能， 為描述類氫原子系統的波函數， 為位置坐標， 為積分體積。

應用索博列夫不等式，經過一番運算，可以得到能量最大下界為。
 ；

其中， 是能量單位里德伯，大約為13.6eV。

總結，類氫原子滿足第一種穩定性條件這結果。

參閱
氘
氚
氫原子光譜
21公分線
量子化學
類氫原子
球對稱位勢
拉普拉斯-龍格-冷次向量

註釋

參考文獻

外部連結
大衛森大學物理課堂講義：關於軌域的互動繪圖
新墨西哥大學物理課堂講義：氫原子的波函數，波函數線形圖，與機率密度圖像
德瑞守大學物理課堂講義：氫原子基本量子力學概念 

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