逻辑与

在逻辑和数学中，逻辑合取或逻辑与或且是一个二元逻辑運算符。如果其两个变量的真值都为“真”，其结果为“真”，否则其结果为“假”。

相关名称 
基本符号：
英文名：logical conjunction
中文名：逻辑与，合取，交集，按位与，逻辑乘，与门，...
命题逻辑中的二元连接词合取，是一个两元算子，集合论中的交集算子，二进制中的逻辑乘算子，按位与（Bitwise AND），逻辑门中的“与”门（AND gate），编程语言中的&或and运算符等等。

基本定义
逻辑与（logical conjunction）是两个逻辑变量的一种运算，经常是两个命题的运算。它满足：当且仅当其两个变量的真值都为真时，其结果为真。

逻辑与是个二元算子，运算结果取值为真的条件是，当且仅当两个命题的取值都真时。命题是取值要么是真要么是假的二值语句，没有第三种取值，或说值域为{真，假}或是{T,F}或是{0,1}。未知真又未知假的语句是猜想；既真又假，既不真又不假的语句是悖论。

复合命题，读作A合取B，在GCT逻辑中，也叫联言命题。也有称为合取命题的。

真值表定义
A与B的真值表（也写作AB（逻辑学），A && B（计算机科学），或AB（电子学））。

 的真值表:

推理規則

合成与分解规则

合取引入规则
合取引入规则（∧+）（conjunction introduction rule）或联言推理的合成式，是经典逻辑中简单且有效的论证形式。这个论证形式有两个前提，A和B，可以直观地推出他们的合取。

其形式如下：

A, 
B.
因此A且B.

形式化为：

下面的例子是满足联言推理的合成式的论证：

小橘子是正妹。
小橘子是車神。
因此小橘子是正妹也是車神。

另一個例子如下：

1小于2
6大于5
因此，1小于2，而且6大于5。

還有一個例子如下：

有一些PSPACE問題不是NL問題
有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題
因此有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題，而且有一些PSPACE問題不是NL問題

合取消去规则
合取消去规则（∧-）（Conjunction elimination rule）或联言推理的分解式，是另一个在经典逻辑中简单且有效的论证形式。从任何合取式中都可以直观地推论出两个前提中的任意一个。

其形式如下：

A且B。
因此A。

...或者，

A且B.
因此B.

用逻辑运算符描述为，

形式化为:

或者,

例如:
有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題，而且有一些PSPACE問題不是NL問題
因此有一些PSPACE問題不是NL問題

或者

有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題，而且有一些PSPACE問題不是NL問題
因此有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題

另一個例子如下：
1小于2，而且6大于5。
因此1小于2。

或者

1小于2，而且6大于5。
因此6大于5。

還有一個例子如下：
小橘子是正妹也是車神。
因此小橘子是正妹。

或者

小橘子是正妹也是車神。
因此小橘子是車神。

性质
逻辑与满足以下性质：

结合律: 

交换律: 

分配律: 
 

幂等律: 

单调性: 

保真性: 所有变量的真值皆为“真”的命题在逻辑与运算后的结果为真。

保假性: 所有变量的真值皆为“假”的命题在逻辑与运算后的结果为假。

如果用二进制来表达真（1）和假（0），逻辑与运算与算术乘法运算一致。

计算机科学中的运用

位运算
逻辑与常在位运算中使用，比如：

 0 and 0 = 0
 0 and 1 = 0
 1 and 0 = 0
 1 and 1 = 1

 1100 and 1010 = 1000

编程中的使用
在高等计算机编程中，逻辑合取“与”通常由内置算符and或&号来表达。很多编程语言还提供与逻辑与相应的短路求值控制结构。

布尔“与”也在SQL的运算符中使用。有些数据库区分大小写，需要"AND"符号。

在计算机科学中，AND运算符可以用来构造位屏蔽，以选择二进制序列的一部分。比如10011101 AND 00001000 = 00001000用来取二进制序列的第五位。

交集运算
集合论中的交运算是用逻辑与来定义的：x ∈ A ∩ B当且仅当(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)。因此逻辑与有很多与交集运算相同的性质，诸如结合律，交换律，分配律，及德·摩根定律。

註釋

参见 
与门

相关网页

Wolfram Mathematics Conjunction 
All Math Words Encyclopedia Conjunction 

邏輯聯結詞
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