双曲函数

在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是雙曲正弦函数和雙曲餘弦函数，从它们可以导出双曲正切函数等，其推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数。

双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做双曲角。双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如說定义悬链线和拉普拉斯方程。

基本定义

最簡單的幾種雙曲函數為：
雙曲正弦：

雙曲餘弦：

雙曲正切：

雙曲餘切：當

雙曲正割：

雙曲餘割：當

函数是关于y轴对称的偶函数。函数是奇函数。

如同当遍历实数集时，点（, ）的轨迹是一个圆一样，当遍历实数集时，点（, ）的轨迹是的右半边。这是因为有以下的恒等式：

参数t不是圆角而是双曲角，它表示在x轴和连接原点和双曲线上的点（, ）的直线之间的面积的两倍。

歷史

在18世紀，約翰·海因里希·蘭伯特引入雙曲函數，並計算了雙曲幾何中雙曲三角形的面積。自然對數函數是在直角雙曲線下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數指數函數，即要形成指定雙曲角，在漸近線即x或y軸上需要有的或的值。顯見這裡的底邊是，垂線是。

通過旋轉和縮小線性變換，得到單位雙曲線下的情況，有：

單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線下雙曲角的。

虛數圓角定義
雙曲角經常定義得如同虛數圓角。實際上，如果是實數而，則
 
所以雙曲函數和可以通過圓函數來定義。這些恆等式不是從圓或旋轉得來的，它們應當以無窮級數的方式來理解。特別是，可以將指數函數表達為由偶次項和奇次項組成，前者形成函數，後者形成了函數。函數的無窮級數可從得出，通過把它變為交錯級數，而函數可來自將變為交錯級數。上面的恆等式使用虛數，從三角函數的級數的項中去掉交錯因子，來恢復為指數函數的那兩部份級數。

雙曲函數可以通過虛數圓角定義為：
 雙曲正弦：

 雙曲餘弦：

 雙曲正切：

 雙曲餘切：

 雙曲正割：

 雙曲餘割：

這些複數形式的定義得出自歐拉公式。

與三角函數的類比
奧古斯都·德·摩根在其1849年出版的教科書《Trigonometry and Double Algebra》中將圓三角學擴展到了雙曲線。威廉·金頓·克利福德在1878年使用雙曲角來參數化單位雙曲線。

給定相同的角α，在雙曲線上計算雙曲角的量值（雙曲扇形面積除以半徑）得到雙曲函數，角得到三角函數。在單位圓和單位雙曲線上，双曲函数与三角函数有如下的关係:
正弦同樣是從x軸到曲線的半弦。
餘弦同樣是從y軸到曲線的半弦（圖中的餘弦是長方形的另一條邊）。
正切同樣是過x軸上單位點（1,0）在曲線上的切線到終邊的長度。
餘切同樣是從y軸與過終邊和曲線交點的切線與y軸的交點和曲線連線之長度。
正割同樣是在一個有正切和單位長的直角三角形上，但邊不一樣。
餘割同樣是y軸與過終邊和曲線交點的切線與y軸的交點和原點之距離。
角的量值可以從0到無限大，但實際上只會介於到（360度）之間，其餘是的同界角，再繞著圓旋轉，故三角函數可以有周期。雙曲角的量值可以從到無限大，但實際上不會超過（45度），故無法如三角函數一樣有周期性。

恆等式

与双曲函数有关的恆等式如下:

加法公式：

二倍角公式：

半角公式：

由于雙曲函數和三角函数之间的对应关系，雙曲函數的恆等式和三角函數的恒等式之间也是一一对应的。对于一个已知的三角函数公式，只需要將其中的三角函數轉成相應的雙曲函數，并将含有有兩個的積的项（包括）轉換正負號，就可得到相應的雙曲函數恆等式。如
三倍角公式：
三角函数的三倍角公式为：

而对应的双曲函数三倍角公式则是：

差角公式：
三角函数的差角公式为：
而对应的双曲函数的差角公式则是：

双曲函数的導數

双曲函数的泰勒展開式
雙曲函數也可以以泰勒級數展開:

（罗朗级数）

（罗朗级数）

其中

是第項伯努利數
是第項欧拉數

双曲函数的积分

與指數函數的關係
從雙曲正弦和餘弦的定義，可以得出如下恆等式:

和

複數的雙曲函數
因為指數函數可以定義為任何複數參數，也可以擴展雙曲函數的定義為複數參數。函數和是全純函數。

指數函數與三角函數的關係由歐拉公式給出：

所以:

因此，雙曲函數是關於虛部有週期的，週期為（對雙曲正切和餘切是）。

反双曲函数

反双曲函数是双曲函数的反函数。它们的定义为：

参考文献

参见
反双曲函数
双曲函数符号
三角函数
古德曼函数

基本特殊函数
指数
双曲函数