环 (代数)

环（）是由任意集合 R 和定义于其上的两种二元运算（记作「」和「」，常被简称为加法和乘法，但与一般所说的實數加法和乘法不同）所构成的，符合一些性质（具体见下）的代数结构。

环的定義类似于交换群，只不过在原来「+」的基础上又增添另一种运算「⋅」（注意我们这里所说的「+」與「⋅」一般不是我们所熟知的四则运算加法和乘法）。在抽象代数中，研究环的分支为环论。

定义 
 為集合，  和  為定義於其上的二元運算（一種二變數函數）。以下依照二元運算的慣例，將運算結果  和  分別簡記為  和  。

 被稱為環，若它滿足：
 為交換群 ，即：
 結合律：對所有的  有 
 單位元：存在  ，對所有的  有    （可由上面的性質證明這樣的  是唯一的， 這樣的  稱為加法單位元）
 反元素：對所有的  存在  使    （可以由上面的性質證明這樣的  是唯一的，通常簡記為  並稱為  的加法反元素)
 交換律：對所有的  有 
 為半群，即：
 結合律：對所有的  有 
 乘法對于加法满足分配律，即對所有的  有：
 
 

其中  常會被暱稱為加法；類似的  會被暱稱為乘法，因為取  （實數系），  為普通的實數加法且  為普通的實數乘法的話，顯然為環。而此時加法單位元顯然為實數  ，所以有時會偷懶的將一般環的加法單位元  簡寫為  。

所以慣例上仿造實數乘法把  簡寫為   ；而且因為實數乘法優先於實數加法，所以也會規定  是  的簡寫。此外還會仿造實數減法，會把  簡寫為  。

定義的分歧 
在1960年代以前，多數抽象代数的書籍並不將乘法單位元列入環的定義；有些不要求乘法單位元的作者，會將包含乘法單位元的環稱為「單位環」；反之，有些要求乘法單位元的作者，會將不含乘法單位元的環稱為「偽環」。

基本性质 
 為環，則對所有  有：

I. 

證明： 

 （單位元）
 （式1等號兩邊於左側同乘 ）
 （分配律）
 （式2, 式3）
 （式4等號兩邊於右側加 ）
 （以反元素化簡式5）

可調換  和  的順序， 仿上證明  。 

II.  

證明：

  （加法交換律、分配律、加法逆元素）
  （上面的性質I）

故   的確是  的加法反元素，仿上可證明  也是  的加法反元素。

环的相关概念

特殊的环 
幺环
若环中，构成幺半群，即，使得，有，则称为幺环。此时幺半群的幺元，亦称为环的幺元。

交换环
若环中，还满足交换律，从而构成交换半群，即，有，则称为交换环。

无零因子环
若中没有非的零因子，则称为无零因子环。
 此定义等价于以下任何一条：
 对乘法形成半群；
 对乘法封闭；
 中非元素的乘积非；

整环
无零因子的交换幺环称为整环。
例：整数环，多项式环

唯一分解环
若整环R中每个非零非可逆元素都能唯一分解，称R是唯一分解环.

除环
若环是幺环，且对上的乘法形成一个群，即，，使得。则称为除环。
 除环不一定是交换环。反例：四元数环。
 交换的除环是體。

主理想环
每个理想都是主理想的整环称为主理想环。

单环
若幺环R中的极大理想是零理想，则称R为单环。

商环

質环

例子 
 集环：非空集的集合构成一个环，当且仅当它满足以下几个条件中任何一个：
 对集合的并和差运算封闭，即：∀E，F∈R ⇒ E∪F∈R，E-F∈R；
 对集合的交和对称差运算封闭，即：∀E，F∈R ⇒ E∩F∈R，E△F∈R；
 对集合的交，差以及无交并运算封闭。
这样得到的集环以交为乘法，对称差为加法；以空集为零元，并且由于∀E∈R，E∩E=E·E=E，因此它还是布尔环。
 整数环是一个典型的交换且含单位环。
 有理数环，实数域，复数域都是交换的含单位元环。
 所有项的系数构成一个环A的多项式全体A[X]是一个环。称为A上的多项式环。
 n为正整数，所有n×n的实数矩阵构成一个环。

环的理想 

考虑环，依环的定义知是阿贝尔群。集合，考虑以下条件：
 构成的子群。
 ，有。
 ，有。
若满足条件1、2则称是的右理想；若满足条件1、3则称是的左理想；若满足条件1、2、3，即既是的右理想，也是的左理想，则称为的双边理想，简称理想。

示例 
 整数环的理想：整数环只有形如的理想。

基本性质 
 在环中，（左／右／双边）理想的和与交仍然是（左／右／双边）理想。
 在除环中，（左／右）理想只有平凡（左／右）理想。
 对于环R的两个理想、，记。则由定义易知：
 若是的左理想，则是的左理想；
 若是的右理想，则是的右理想；
 若是的左理想，是的右理想，则是的双边理想。

相关概念 
真（左／右／双边）理想
若的（左／右／双边）理想I满足：是的真子集，称为的真（左／右／双边）理想。

极大（左／右／双边）理想
环及其真（左／右／双边）理想，称为的极大（左／右／双边）理想，若不存在的真（左／右／双边）理想，使得是的真子集。
 若是极大（左／右）理想，又是双边理想，则是极大理想。
 极大双边理想不一定是极大（左／右）理想。

生成理想
环，，定义，则易知：
 是环的理想，并且是中所有包含子集的理想的交，即是中包含子集的最小理想。
若为由子集生成的理想，称为的生成元集。当是有限集时，称为的有限生成理想。
 下面是生成理想的几种特殊情况：
 当是交换环时，
 当是幺环时，
 当是交换幺环时，
 同一个理想，其生成元集可能不唯一。

主理想
由环中单个元素生成的理想称为的主理想。即，设，则称为的主理想。

素理想
真理想被称为的素理想，若理想，则或。
素环
若环的零理想是素理想，则称是素环或质环。无零因子环是素环。在交换环中，真理想是素理想的充分且必要条件是：是素环.
半素理想
环的真理想，若理想，，则称是环的半素理想。
 半素理想是一类比素理想相对较弱条件的理想，因为素理想是半素理想，但半素理想未必是素理想。
 除环的零理想是极大理想。在有单位元的环中，如果零理想是其极大理想，称这种环是单环。除环是单环，域也是单环。反之则不尽然，即存在不是除环的单环。
 定理1：在整数环中，由生成的主理想是极大理想的充分必要条件是：是素数。
 定理2：设是有单位元的交换环。理想是的极大理想的充分且必要条件是：商环是域。
 定理3：设是环的左理想，则是的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在中的左理想J都有。

有关环的其它概念 

 零因子 （zero divisor）：
设是环中的非零元素，如果，称为左零因子；类似地可以定义右零因子。左零因子和右零因子通称零因子。

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