无穷公理

在公理化集合论和使用它的逻辑、数学和计算机科学中，无穷公理（）是策梅洛-弗兰克尔集合论的公理之一。

形式陈述 
在Zermelo-Fraenkel公理的形式语言中，这个公理读作：

或用非形式化的語言陳述：存在一个集合，使得空集在中，并且只要是的成员，则与它的单元素集合此兩者的并集也是的成员。这种集合有时也叫做归纳集合。归纳集合是带有如下性质的集合：对于所有，的后继也是的一个元素。

解释 
要理解这个公理，首先我们要定义的后继为。注意配对公理允许我们形成单元素集合。
后继是用来定义自然数的常用的集合论编码。在这种编码中，0是空集（），而1是0的后继：

类似地，2 是1 的后继：

如此类推。这个定义的推论是對於任何自然數，等同于由它的所有前驱（）組成的集合。

我们希望可以形成包含所有自然数的一個集合，但是只使用其他ZF公理的話並不能做到這一點。因此，有必要加入无穷公理以假定这个集合的存在。它是通过类似于数学归纳法的方法完成的：首先假定有一个集合包含零，并接着規定对于的所有元素，这个元素的后继也在中。

这个集合可以不只是包含自然数，還包含別的元素。但是我们可以应用分类公理模式来除去不想要的元素，留下所有自然数的集合。通过外延公理可知这个集合是唯一的。应用分类（分离）公理的结果是：

用非形式化的語言陳述：所有自然数的集合存在；这里的自然数要么是零，要么是一个自然數k的后继，并且的每个元素要么是0要么是的另外一个元素的后继。

所以这个公理的本质是：
有一个集合包含所有的自然数。
无穷公理也是von Neumann-Bernays-Gödel 公理之一。

引用

延伸阅读
Paul Halmos (1960) Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company. Reprinted 1974 by Springer-Verlag. ISBN 0-387-90092-6.
Thomas Jech (2003) Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.
Kenneth Kunen (1980) Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

集合论公理