开集

在數學上，特別是拓樸學中，開集是對實數開區間進行推廣之後得到的抽象集合。

通常微積分的課程中，會借助歐式空間的距離去描述數列極限；直觀上，當  越來越大時數列  跟  要多靠近有多靠近的時候，就說  是數列  的極限，但這需要距離去嚴謹的描述「靠近程度」，開集就是來自於＂  點附近＂這樣的直觀概念。類似的，函數極限也需要距離的概念去嚴謹定義。

定義

歐式空間 
代表  維歐式空間，  而  中的任兩點距離（歐式距離）為

 

若  ，且對所有   ，存在一个  ，使得對所有  ，只要  就有  ，那麼就說子集是 中的一個開集。也就是說，開集  裡的所有點  都有一個以  為中心的開球完全包含於  。

賦距空间 
歐式空間的開集很容易地推廣到賦距空间中：

 是  的子集，若對所有  中的點 ，存在  使得對所有中的點 ，只要   ，则  也屬於，或以正式的邏輯符號表述為則稱  是  的一個開集。也就是說，如果所有  中的点都有完全包含於  的開球，便是开集。

這的確推廣了歐式空間部分的定義，因為歐式距離和歐式空間本身就組成了一個賦距空間。

賦距空間的開集還會有以下的性質：定理：

若  為賦距空間，則

(1)  和  也是  的開集。

(2) 若  和  都是  的開集，則  也是  的開集。 

(3)  （  是  的一個子集族），若所有  都是開集，則   也是  的開集。（也就是說，任意數量開集的聯集也是開集）關於上面性質的證明，(1)是非常顯然的；(2)只需取每一點比較小的開球即可；(3)根據聯集的定義也是非常顯然的。

事實上這些性質這就是拓扑空间定義的動機。

拓撲空間 
開集是拓扑空间定義的基石；也就是從任意母集合  出發，再選取  的特定的子集族  ，規定  中的集合就是開集，这樣的子集族  被叫做  上的拓樸： 為集合，若  滿足

(1) 

(2) 若  則 。

(3)  ，則   。（也就是說，任意數量開集的聯集也是開集）

則稱  為  上的拓樸，並稱  為一拓撲空間。任何  被稱為開集。 根據上一節賦距空間的性質，取  為所有  的開集所構成的子集族，則顯然  也是一拓撲空間。

例子 
 度量空间中，以点为中心，为半径的球体为开集，任意的开集包含以为中心，充分小的为半径的球体。
 流形中的开集为子流形。

用处 
开集在拓扑学分支中有著基础的重要性。當定义拓扑空间和其他拓扑结构（处理邻近性与收敛此類概念，比如度量空间和一致空间）時，都會用到开集的概念。

拓扑空间X的每個子集A都包含至少一个（可能为空）开集；最大的这种开集被叫做A的内部。它可以通过取包含在A中的所有开集的并集来构造。

给定拓扑空间X和Y，从X到Y的函数f是连续的，如果在Y中的所有开集的前像是在X中的开集。映射f被叫做开映射，如果在X中的所有开集的像是Y中的开集。

实直线上的开集都是可数個不相交开区间的并集。

相关条目 
 拓扑空间
 度量空间
 闭集
 闭开集

注释

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