超越數

在數論中，超越數（）是指任何一個不是代數數的无理数。只要它不是任何一個有理係數代數方程的根，它即是超越數。最著名的例子是自然對數底e以及圓周率π。

幾乎所有的實數和複數都是超越數，這是因為代數數的集合是可數集，而實數和複數的集合是不可數集之故。

定義 
超越數是代數數的相反，也即是說若是一個超越數，那麼對於任何整數都符合：

（其中）

例子 
超越數的例子包括：
錢珀瑙恩數
 刘维尔数：它是第一個確認為超越數的數，是於1844年刘维尔發現的。
 自然對數底（参见：e）。
  ，其中是除0以外的代數數。
 （参见：圓周率）林德曼-魏尔斯特拉斯定理，1882年，注：因是超越數而證明尺規作圖中的“化圓為方”的不可實現性。
 （参见：e的π次方）
 （参见：2的√2次方）。更一般地，若為零和一以外的任何代數數及為無理代數數則必為超越數。這就是格尔丰德-施奈德定理。
 （参见：正弦）
 （参见：自然对数），其中為一不等于1的正有理數。
 （参见：朗伯W函數），其中為一正有理數。
  ， 及 （參見伽傌函數）。

所有超越數構成的集是一個不可數集，也就是說，幾乎所有的實數和複數都是超越數；儘管如此，現今發現的超越數極少，甚至连是不是超越数也不知道，因為要證明一個數是超越數或代數數是十分困難的。

超越數的證明，給數學帶來了大的變革，解決了幾千年來數學上的難題——尺規作圖三大問題，即倍立方問題、三等分任意角問題和化圓為方問題。隨著超越數的發現，這三大問題被證明為不可能。

可能的超越數 
以下數仍待證明為超越數或代數數：
 數 e 和的大多數和、積、冪等等，例如, , , , , , , , 尚未得知是有理數、代數無理數或超越數。值得注意的例外是, 和 （對於所有正整數 ）已被證明是超越數
 欧拉-马歇罗尼常数，尚未被證明是無理數
 卡塔兰常数，未被證明是無理數
 阿培里常数 ，是无理数
 黎曼ζ函數在其他奇整數的取值，（尚未被證明是無理數）
 費根鮑姆常數，與，皆未证明是否为无理数
 米尔斯常数，未证明是否为无理数
 辛钦常数，未证明是否为无理数
 科普兰-埃尔德什常数，是无理数

猜想：

簡要地證明是超越數 
第一個對自然對數底 e是超越數的證明可以追溯到1873年。我們現在跟隨的是大卫·希尔伯特的策略。他給出了夏尔·埃尔米特的原始证明的简化。思路如下所示：

為尋找矛盾，假設是代數數。那就存在一個有限的整係數集滿足下列等式：

現在對於一個正整數，我們定義如下的多項式：

並在上述等式的兩端乘上

於是我們得到等式：

該等式可以寫成這種形式

其中

 引理 1. 對於恰當選擇的，  是非零整數。

證明： P 的每一項都是整數乘以階乘的和，這可以從以下的關係式得出

對於任何正整數 j 成立（考慮Γ函数）。

它是非零的，因為對於每一個滿足 0< a ≤ n 的 a ，
 
中的被積函數均為 e−x 乘以一些項的和，在積分中用 x - a 替換 x 后， x 的最低冪次是 k+1 。然後這就變成了具有以下形式的積分的和

其中 k+1 ≤ j ，而且它是一個能被 (k+1)! 整除的整數。在除以 k! 后，我們得到模 (k+1) 得 0 的數。不過，我們可以寫成：

於是

通過選擇 k ，使得 k+1 是大於 n 與 |c0| 的質數，我們可以得出  模 (k+1) 為非零，從而該數為非零整數。

引理 2. 對於充分大的 k ，  。

 證明： 注意到

使用  和  在區間 [0,n] 的上限 G 和 H ，我們可以推出

從而

 
於是有

這點足以完成對引理的證明。

注意可以選擇滿足兩個引理的，從而我們能得出矛盾。進而得以證明的超越性。

馬勒的分類 
在1932年把超越數分為3類，分別叫做S數、T數和U數。這些類別的定義利用了劉維爾數思想的擴充。

實數的無理性度量 
一種定義劉維爾數的方式是考慮對於給定的實數，可以使得一次多項式盡可能小但不精確地等於 0 。這裡的 , 是滿足, 以正整數為界的整數。

令為這些多項式所取的最小非零絕對值，並且令：

常稱為實數的無理性度量（measure of irrationality）。對於有理數，而且對無理數其值至少為1 。劉維爾數可以定義為具有無窮大的無理性度量的數。表明了實代數無理數的無理性度量均為 1 。

複數的超越性度量 
接下來考慮多項式對於複數的取值，這些多項式係數為整數，次數至多為，而且至多為，此處的, 是正整數。

令為以為變量的上述多項式所取的最小非零值，並且令：

假如對於盡可能小的正整數，為無窮大，則這種情況下複數稱為次的U數。

現在我們可以定義
 

常稱為的超越性度量（measure of transcendence）。假如有界，則有限，稱為S數。如果有限而無界，則稱為T數。為代數數當且僅當。

顯然劉維爾數是U數的子集。在1953年構造了任意次數的U數。劉維爾數是不可數集，從而U數也是。它們的測度為 0 。

T數組成的集合測度亦為 0 。人們花了 35 年時間證明它們存在。在 1968 年證明了T數的樣例存在。由是可知幾乎所有複數都是S數。馬勒證明了當為任意非零代數數時均為S數：這點揭示了是S數且給出了的超越性證明。對於我們至多知道它不是U數。其他更多的超越數仍未歸類。

兩個數, 稱為代數相關，當存在 2 個變量的整係數非零多項式滿足。一個有力的定理指出，屬於相同馬勒分類的 2 個複數是代數相關的。這允許我們構造新形式的超越數，例如劉維爾數與或的和。

通常推測 S 代表馬勒的老師卡爾·西格爾（Carl Ludwig Siegel），而 T 和 U 是接下來的兩個字母。

Koksma 的等價分類 
 在 1939 年提出了基於代數數逼近的另一種分類。

考慮用次數且高的代數數逼近複數。令為該有限集中滿足取最小正值得代數數。定義和如下：

若對於最小的正整數，為無窮大，則稱為次的U*數。

若有界且不收斂到 0 ，則則稱為S*數，

一個數被稱為 A*數 ，當收斂到 0 。

若所有的均為有限但無界，則稱 x 為T*數，

Koksma和馬勒的分類是等價的，因為它們將超越數以同樣的方式分類。A*數就是代數數。

勒維克的構造

令

可以證明（劉維爾數）的次方根是次的U數。

此構造可以改進以建立次U數的不可數個系列。令為上述的級數中 10 的冪次的集合。所有子集的集合是不可數的。在表示的級數中刪去任意一個的子集，將產生不可數個顯然的劉維爾數，它們每一個的次方根都是次數為的U數。

類型 
數列的上界稱為類型（type）。幾乎所有實數都是類型為 1 的S數，此類型數在實S數中是最小的。幾乎所有複數都是類型為 1/2 的S數，此類型數在複S數中同樣是最小的。以上判斷對於幾乎所有數成立的猜想由馬勒提出，於 1965 年由 Vladimir Sprindzhuk 證明。

参考文献

參見 
 多項式
 無理數
 代數數
 林德曼-魏尔斯特拉斯定理