链复形

数学上，同调代数领域中的一个链复形是一个交换群或者模的序列A0, A1, A2... 通过一系列同态dn : An→An-1相连，使得每两个连接的映射的复合为零：dn o dn+1 = 0对于所有n。它们常常写作如下形式：

定義鏈複形的同調群為 。當所有同調群為零時，此鏈複形為正合的。

链复形概念的一个变种是上链复形。一个上链复形是一个交换群或者模的序列A0, A1, A2...由一系列同态dn : An→An+1相连，使得任何两个接连的映射的复合为零：dn+1 o dn = 0 对于所有的n:  

定義上鏈複形的上同調群為 。當所有上同調群為零時，此上鏈複形正合。想法基本上是一样的。

链复形的应用通常定义并应用它们的同调群（对于上链复形是上同调群）；在更抽象的范围里，很多等价关系被应用到复形上（例如从链同伦的思想开始，以下将解说）。链复形很容易在交换范畴中定义。

一个有界复形是其中，几乎所有的Ai为零—这样一个有限的复形，用0来伸展到左边和右边。一个例子是定义一个（有限）单纯复形的同调理论的复形。

例子

奇异同调

假定我们给定一个拓扑空间X。

定义Cn(X)（对于自然数n）为自由交换群由X中的奇异单纯形形式化的生成，并定义边界映射

其中帽子表示省略一个顶点。也就是说，一个奇异单纯形的边界是限制到其面的交替和。可以证明∂² = 0，所以是一个链复形；奇异同调 是该复形的同调类；也就是说，

.

德拉姆上同调

任何光滑流形上的微分k-形式在加法下组成一个交换群（事实上一个R-向量空间）称为Ωk(M)。
外导数 d = d k 映射 Ωk(M) → Ωk+1(M)，而且d 2 = 0可以直接从二阶导数的对称性导出，所以k-形式的向量空间和外导数一起成为一个上链复形：

 

该复形的上同调是德拉姆上同调 

.

鏈映射
兩個鏈複形 、 之間的鏈映射是一族同態 ，使之滿足： ；全體鏈複形依此構成一範疇。鏈映射誘導出同調群間的映射。

上鏈複形的情形類似：兩個上鏈複形 、 之間的上鏈映射是一族同態 ，使之滿足： 。上鏈映射也誘導出上同調群間的映射。

舉例來說，拓撲空間之間的連續映射誘導出奇異上同調的鏈映射；而光滑流形間的光滑映射則誘導出德拉姆上同調的上鏈映射。這是函子性或稱自然性的一個例子：空間與映射的拓撲/幾何性質藉此反映在代數結構上，因而變得容易操作與計算。

鏈同倫
兩個鏈映射  稱作是同倫的，若且唯若存在一族同態  使得 。

上鏈映射的同倫定義也類似，惟此時考慮的是一族同態 。以下給出上鏈同倫的圖解：

（上）鏈同倫的鏈映射在（上）同調群上誘導出相同的映射。特別是：同倫於恆等映射 id. 的（上）鏈映射是擬同構。

鏈映射的同倫可理解作單純形同倫的代數翻譯。

参看
 同调
 微分分级代数

L