極限 (數列)

極限（）為某些數列才擁有的特殊值，當數列的下標越來越大的時候，數列的值也就越接近那個特殊值。

定義

實數數列的極限 
從上面的定義可以證明，對實數數列  來說，若

則其極限  一定為实数 ，因為假設  的虛部  的話，則對上面的定義取  的話，會存在  ，使得任意的 ，只要 有

這是矛盾的，所以根據反證法， ，即  。

基本性質

唯一性

有界性 

根據实质条件的意義，上面的定理等價於「如果一個實數數列無界，則這個實數數列一定發散。」

注意有界數列不一定有極限，如數列   是一個有界數列，但沒有極限。

但是當數列有界，存在一個遞增或是遞減的子數列的話，則可以證明，數列存在極限。

保序性

四則運算定理 
設，，則

 ；
 ；
 若,則.

審斂法
其中一個判斷數列是否收斂的定理，称为单调收敛定理，和實數完備性相關：單調有界數列必收斂，即是說，有上界的單調遞增數列，或是有下界的單調遞減數列，必然收斂。

柯西數列

参考文献列表

參看 
 级数
 函数极限

微积分
序列