赫尔德不等式

赫爾德不等式是數學分析的一條不等式，取名自德國數學家奧托·赫爾德。這是一條揭示Lp空間的相互關係的基本不等式：

設為測度空間，，及，設在內，在內。則在內，且有

等号当且仅当与（幾乎處處）线性相关时取得，即有常數使得對幾乎所有成立。

若取作附計數測度，便得赫爾德不等式的特殊情形：對所有實數（或複數），有
。

我们称p和q互为赫尔德共轭。

若取為自然數集附計數測度，便得與上類似的無窮級數不等式。

當，便得到柯西-施瓦茨不等式。

赫爾德不等式可以證明空間上一般化的三角不等式，閔可夫斯基不等式，和證明空間是空間的對偶。

备注

 在赫尔德共轭的定义中，1/∞意味着零。

 如果1 ≤ p，q < ∞，那么||f ||p和||g||q表示（可能无穷的）表达式：

   以及   

 如果p = ∞，那么||f ||∞表示|f |的本性上确界，||g||∞也类似。

 在赫尔德不等式的右端，0乘以∞以及∞乘以0意味着 0。把a > 0乘以∞，则得出 ∞。

证明

赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。

如果||f ||p = 0，那么f  μ-几乎处处为零，且乘积fg  μ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果||g||q = 0也是这样。因此，我们可以假设||f ||p > 0且||g||q > 0。

如果||f ||p = ∞或||g||q = ∞，那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设||f ||p和||g||q位于(0,∞)内。

如果p = ∞且q = 1，那么几乎处处有|fg| ≤ ||f ||∞ |g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于p = 1和q = ∞，情况也类似。因此，我们还可以假设p, q ∈ (1,∞)。

分别用f和g除||f ||p||g||q，我们可以假设：

我们现在使用杨氏不等式：

对于所有非负的a和b，当且仅当ap = bq时等式成立。因此：

两边积分，得：

这便证明了赫尔德不等式。

在p ∈ (1,∞)和||f ||p = ||g||q = 1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有|f |p = |g|q。更一般地，如果||f ||p和||g||q位于(0,∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在α, β > 0（即α = ||g||q且β = ||f ||p），使得：

   μ-几乎处处   (*)

||f ||p = 0的情况对应于(*)中的β = 0。||g||q =0 的情况对应于(*)中的α = 0。

参考文献

概率不等式
泛函分析