截面曲率

在黎曼几何中，截面曲率是描述黎曼流形的曲率的一种方式。截面曲率 依赖于p点的切空间裡的一个二维平面  。它就定义为该截面，考慮在 p 点以平面  作为切平面的曲面 ，這曲面是收集流形中某包含  的鄰域內從 p 点出發的測地線且這測地線在  點的切向量屬於截面  （換句話說就是  其中   是  里包含原點的鄰域），而截面曲率  就是曲面  在  點的高斯曲率。形式上，截面曲率是流形上的2维格拉斯曼纤维丛的光滑实值函数。

截面曲率完全决定了曲率张量，是非常有用的几何概念。

定义

设 M 为黎曼流形，σ 为 M 上 p 点处切空间中的二维平面，u 和 v 为 σ 中两个线性无关的向量。
则关于 σ 的截面曲率定义为

其中 R 是 M 的黎曼曲率张量。

常截面曲率流形

常截面曲率的黎曼流形是最简单的类型。它们称为空间形式。通过缩放度量，它们有三种情况
负曲率−1， 双曲几何
零曲率，欧几里得几何
正曲率+1，椭圆几何
三类几何的模型流形分别是双曲空间，欧几里得空间和单位球面。它们是对于这些给定的截面曲率唯一可能的完备单连通黎曼流形，所有其它常曲率流形是它们在某个等距映射群下的商。

性质

完备黎曼空间有非负的截面曲率，当且仅当函数对于所有点p是一个1-凹函数。
一个完备单连通黎曼流形有非正截面曲率，当且仅当函数是1-凸函数。

参看

黎曼曲率张量
黎曼流形的曲率
曲率

黎曼几何
曲率