費馬數

費馬數是以数学家费马命名的一组自然数，具有形式：

其中n为非负整数。

若2n + 1是素数，可以得到n必须是2的幂。（若n = ab，其中1 < a, b < n且b为奇数，则2n + 1 ≡ (2a)b + 1 ≡ (−1)b + 1 ≡ 0(mod 2a + 1)，即2a + 1是2n + 1的因數。）也就是说，所有具有形式2n + 1的素数必然是費馬數，这些素数称为費馬素數。已知的費馬素數只有F0至F4五個。

基本性质

费马数满足以下的递归关系：

其中n ≥ 2。这些等式都可以用数学归纳法推出。从最后一个等式中，我们可以推出哥德巴赫定理：任何两个费马数都没有大于1的公因子。要推出这个，我们需要假设 0 ≤ i < j 且 Fi 和 Fj 有一个公因子 a > 1。那么 a 能把

和Fj都整除；则a能整除它们相减的差。因为a > 1，这使得a = 2。造成矛盾。因为所有的费马数显然是奇数。作为一个推论，我们得到素数个数无穷的又一个证明。

其他性质：
Fn的位数D(n,b)可以表示成以b 为基数就是

 (参见高斯函数).
除了F1 = 2 + 3以外没有费马数可以表示成两个素数的和。
当p是奇素数的时候，没有费马数可以表示成两个数的p次方相减的形式。
除了F0和F1，费马数的最后一位是7。
 所有费马数的倒数之和是无理数。 (Solomon W. Golomb, 1963)

费马数的因式分解
最小的12个費馬數为：

其中前八个来源于。

只有最小的12个費馬數被人们完全分解了。

历史 
1640年，费马提出了一个猜想，認為所有的费马数都是素数。这一猜想对最小的5个費馬數成立，于是费马宣称他找到了表示素数的公式。然而，欧拉在1732年否定了这一猜想，他给出了F5的分解式：
F5 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417

歐拉證明費馬數的因數皆可表成k2n+1 + 1，之後卢卡斯證明費馬數的因數皆可表成k2n+2 + 1。

定理 

高斯称：尺规作图正多边形的边数目的充分条件是2的非負整數次方乘以任意个（可为0个）不同的费马素数的积，解决了兩千年来悬而未决的难题。這個條件也是必要條件，但他沒有給出證明。

素性检验 

设为第n个费马数。如果n不等于零，那么：

是素数，当且仅当。

证明

假设以下等式成立：

那么，因此满足3k=1（mod）的最小整数k一定整除，它是2的幂。另一方面，k不能整除，因此它一定等于。特别地，存在至少个小于且与互素的数，这只能在是素数时才能发生。

假设是素数。根据欧拉准则，有：
,
其中是勒让德符号。利用重复平方，我们可以发现，因此，以及。因为，根据二次互反律，我们便可以得出结论。

注释

Fermat
数学中未解决的问题
大整数
数学概念