收敛半径

收敛半径是数学分析中与幂级数有关的概念。一个幂级数的收敛半径是一个非负的扩展实数（包括无穷大）。收敛半径表示幂级数收敛的范围。在收敛半径内的紧集上，幂级数对应的函数一致收敛，并且幂级数就是此函数展开得到的泰勒级数。但是，在收敛半径上幂级数的敛散性是不确定的。

定义
定义幂级数f 为：。其中常数a是收敛圆盘的中心，cn为第n个複系数，z为变量。

收敛半径r是一个非负的实数或无穷大（），使得在时幂级数收敛，在时幂级数发散。

具体来说，当z和a足够接近时，幂级数就会收敛，反之则可能发散。收敛半径就是收敛区域和发散区域的分界线。在 |z - a| = r的收敛圆上，幂级数的敛散性是不确定的：对某些z可能收敛，对其它的则发散。如果幂级数对所有复数z都收敛，那么说收敛半径是无穷大。

收敛半径的计算 
根据达朗贝尔审敛法，收敛半径满足：如果幂级数满足，则：
{|border="0"
|-
|时，。
|-
| 时，。
|-
|时，。
|}

根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式：

或者。

复分析中的收敛半径 
将一个收敛半径是正数的幂级数的变量取为复数，就可以定义一个全纯函数。收敛半径可以被如下定理刻画：
一个中心为a的幂级数f 的收敛半径R 等于a与离a 最近的幂级数无定义点的距离。到a 的距离严格小于R 的所有点组成的集合称为收敛圆盘。

最近点的取法是在整个复平面中，而不仅仅是在实轴上，即使中心和系数都是实数时也是如此。例如：函数

没有复根。它在零处的泰勒展开为：

运用达朗贝尔审敛法可以得到它的收敛半径为1。与此相应的，函数在±i存在奇点，其与原点0的距离是1。

简单的例子

三角函数中的反正切函数可以被表达成幂级数： 

运用审敛法可以知道收敛半径为1。

一个更复杂的例子

考虑如下幂级数展开：

其中有理数Bn是所谓的伯努利数。对于上述幂级数，很难运用审敛法来计算收敛半径，但运用上面提到的复域中的准则就可以很快得到结果：当z=0时，函数没有奇性，因为是可去奇点。仅有的不可去奇点是其他使分母为零的取值，即使得

的复数z。设z = x + iy，那么

要使之等于1，则虚部必须为零。于是有，其中。同时得到。回代后发现只能为偶数，于是使得分母为零的z为的形式，其中。

离原点最近距离为，于是收敛半径为。

收敛圆上的敛散性 
如果幂级数在a附近可展，并且收敛半径为r，那么所有满足 |z − a| = r的点的集合（收敛圆盘的边界）是一个圆，称为收敛圆。幂级数在收敛圆上可能收敛也可能发散。即使幂级数在收敛圆上收敛，也不一定绝对收敛。

例1:函数ƒ(z) = (1 − z)−1在z = 0处展开的幂级数收敛半径为1，并在收敛圆上的所有点处发散。

例2:函数g(z) = ln(1 − z)在z = 0处展开的幂级数收敛半径为1，在z = 1处发散但除此之外，在收敛圆上所有其它点上都收敛。例1中的函数ƒ(z)是 -g(z)的复导数。

例3:幂级数
 

的收敛半径是1并在整个收敛圆上收敛。设h(z)是这个级数对应的函数，那么h(z)是例2中的g(z)除以z後的导数。h(z)是双对数函数。

例4:幂级数

的收敛半径是1并在整个收敛圆上一致收敛，但是并不在收敛圆上绝对收敛。

收敛速率

将下列函数在x = 0处展开：

可以看到收敛半径为，也就是说幂级数对所有的复数变量值收敛。但是，在实际操作中，人们常常更关心函数值的精确度。展开的项数和展开点与变量的取值都会影响结果的准确度。例如，要得到ƒ(0.1) = sin(0.1)的前5位有效数字，只需要计算级数的前两项。然而，在x = 1时，要得到相同的精确度，就要计算前5项。对于ƒ(10)，需要18项，对于ƒ(100)则需要141项。

可以看出，越靠近中心，收敛的速度就越快，反之则收敛速率降低。

图例 
考虑亚纯函数，对应的模长二元函数图像见右。函数在处有极点。

由于最近的奇点与原点距离为1，收敛半径为1。函数在z = 0处的泰勒级数收敛当且仅当 。

狄利克雷级数的收敛度规

与收敛半径类似的一个概念是狄利克雷级数的收敛度规，也就是使得级数收敛的最小的s，其只依赖于数列an。

参见
无穷级数
幂级数
阿贝尔定理
阿贝尔型定理和陶伯型定理
哈代-李特爾伍德圓法
收敛度规

参考来源

外部链接

解析函数
收敛 (数学)
数学物理
理论物理