泰勒斯定理

泰勒斯定理（）以古希腊思想家、科学家、哲学家泰勒斯的名字命名，其内容为：若A, B, C是圆周上的三點，且AC是该圆的直徑，那么∠ABC必然為直角。或者说，直径所对的圆周角是直角。该定理在欧几里得《几何原本》第三卷中被提到并证明。

泰勒斯定理的逆定理同样成立，即：直角三角形中，直角的顶点在以斜边为直径的圆上。

證明

证法一

以下證明主要使用兩個定理：
三角形的內角和等於180°
等腰三角形的兩個底角相等

設O為圓心，因為OA = OB = OC，所以△OAB和△OBC都是等腰三角形。因為等腰三角形底角相等，故有∠OBC = ∠OCB，且∠BAO = ∠ABO。設α = ∠BAO，β = ∠OBC。在△ABC中，因为三角形的内角和等于180°，所以有

证法二

泰勒斯定理也可以用三角学方法证明，证明如下：

令O =（0, 0）, A =（-1, 0）, C =（1, 0）。此时，B就是单位圆上的一点。我们将通过证明AB与BC 垂直，即它们的斜率之积等于–1，来证明这个定理。计算AB和BC的斜率：

并证明它们的积等于–1:

注意以上证明过程中运用了毕达哥拉斯三角恒等式。

逆定理的證明
此證明使用兩線的向量形成直角三角形，若且唯若其內積為零。設有直角三角形ABC，和以AC為直徑的圓O。設O在原點，以方便計算。则AB和BC的內積為：

故A和B與圓心等距，即B在圆上。

一般化以及有关定理
泰勒斯定理是「同弧所对的圓周角是圓心角的一半」的一個特殊情況。

以下是泰勒斯定理的一个相关定理：

如果AC是一个圆的直径，则：
 若B在圆内，则∠ABC > 90°
 若B在圆上，则∠ABC = 90°
 若B在圆外，则∠ABC < 90°

歷史
泰勒斯並非此定理的首名發現者，古埃及人和巴比倫人一定已知這特性，可是他們沒有給出證明。

参考文献

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圆