拓扑空间

拓扑空间（）是一种賦予「一點附近」這個概念的抽象数学结构，由此可以定義出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。

定义动机 
拓扑結構最實用的動機，在於怎麼去定義「一點的附近」，用以定義函數極限。

對於度量空间  內的任一點 ，可定義中心為 ，半徑為  的開球

 

然後把開球視為點  附近的「開放邊界區域」。但考慮到「區域」應該是有任意形狀的，那一般的「開放邊界區域」，應該是任取裡面的點  ，都會有一個夠小的開球  完全落在這個區域裡，也就是說，可以定義  的開子集  為滿足如下條件的子集合

 

這樣定義的開集有一些有趣的性質：

(1) 任二開集的交集也是開集 

任取兩個  的開子集  ，若  ，根據定義存在  使得 

 
 

這樣若取  ，則會有：

 

也就是說，  也是個開集。

(2) 任意個開集的并集也會是開集 

若  是一群開集所構成的集合，也就是說 

 

如果取

 

換句話說：

 

這樣的話，顯然有

 

所以  也會是一個開集。

以上的性質促使人們在不依託度量情況下，去定義一個描述「一點的附近」的結構，換句話說，去抽象的定義一群開集是這麼樣的特殊集合，任二開集的交集是開的且任意開集的聯集也是開的。

正式定义 
拓扑结构一词涵盖了开集系，闭集系，邻域系，开核，閉包，导集，滤子等若干概念。可以从这些概念出发，给出若干种等价結構。

开集系 
根據定义动机一節可以作如下的定義：

  的子集族  若滿足以下开集公理

則称  为  的开集系（其中的元素称为开集）或拓扑， 則被稱為一拓扑空間， 內的元素  則称为拓扑空间  的点。

开集系的代號  是字母「O」的德文尖角體，取名自德语形容词「」（開的）。

从开集系出发定义其它概念：（ 為  的子集）
 闭集：若  是开集，則稱  是闭集。
 邻域：若存在开集  使得  ，則稱  是点  的邻域。
 开核： 的開核（或內部） 定義為 內所有开集之并，也就是

闭集系 

 的子集族  若滿足如下闭集公理：

則称  为  的闭集系（其中的元素称为闭集）。

开集系的代號  是字母「 F」 的德文尖角體，取名自法语动词「」（關閉）的过去分词「」（封閉的）。

根據德摩根定理和量詞符號的意義，以下的子集族
 

為开集系，類似地，對於開集系  ，以下的子集族

 

為閉集系，所以閉集系跟拓扑是等價的結構。

从闭集系出发定义其它概念：（ 為  的子集）
 开集： 是闭集，則稱  是开集。
 闭包： 的闭包 定義為包含A的所有闭集之交，也就是

邻域系 
函数 （  指  的幂集的幂集，也就是由所有子集族所構成的集合）若對任意  满足如下邻域公理：

这样任意  被称为  的邻域系，  裡的元素  則称为  的邻域。

換句話說，函數  将  的每个点  映射至  ，而  則是所有  的邻域所構成的集族。

邻域系的代號  是字母「 U」 的德文尖角體，取名自德语动词「 」（環繞）的名詞化「」（周圍、環境）。

若取以下的子集族
 

因為  包含任意邻域，  本身顯然為任意  的領域，故   ；另外空集合  沒有任何屬於它的點，所以根據實質條件的意義，。

若取  ，根據邻域公理的第二項有  ；若取  ，且  ，那換句話說
 

這樣的話有
 

那這樣根據邻域公理第三項，，所以  的確是個開集合系。

類似地對於開集系  ，若對任意  取
 

那  也會符合上面四款邻域系公理（注意到第四項取  ），所以對所有  定義了邻域系等同於定義了一個拓扑。

从邻域系出发定义其它概念：（ 為  的子集）
 开集：对任意  ，有 ，則稱  是开集。（開集本身是它所有点的邻域）
 开核：（開核裡的每一點，都有一個包含於  的領域。）
 闭包：。（閉包裡每一點的領域，都跟  有交集。）

闭包公理

的幂集上的一元运算（即将的子集A映射为的子集）称为闭包运算（像称为原像的闭包）。当且仅当运算满足下述的闭包公理：
 A1：；
 A2：；
 A3：；
 A4：。

集合的闭包通常记为。

从闭包出发定义其它概念：
 从闭包定义闭集：的子集是闭集，当且仅当。
 从闭包定义开核：的子集的开核。
 从闭包定义邻域：的子集是点的邻域，当且仅当。

开核公理

的幂集上的一元运算（即将的子集A映射为的子集）称为开核运算（像称为原像的开核或内部）。当且仅当运算满足如下开核公理：
 I1：；
 I2：；
 I3：；
 I4：。

集合的开核通常记为。
（显然，开核运算是闭包运算的对偶概念）。

从开核出发定义其它概念：
 从开核定义开集：的子集是开集，当且仅当。
 从开核定义邻域：的子集是点的邻域，当且仅当。
 从开核定义闭包：的子集的闭包。

导集公理
的幂集上的一元运算（即将的子集映射为的子集）称为导集运算（像称为原像的导集），当且仅当满足以下导集公理：
 D1：；
 D2：；
 D3：；
 D4：

从导集出发定义其它概念：
 从导集定义闭集：的子集是闭集，当且仅当。

拓扑之间的关系 

同一个全集可以拥有不同的拓扑，有些是有用的，有些是平庸的，这些拓扑之间可以形成一种偏序关系。当拓扑的每一个开集都是拓扑的开集时，称拓扑比拓扑更细，或称拓扑比拓扑更粗。

仅依赖于特定开集的存在而成立的结论，在更细的拓扑上依然成立；类似的，仅依赖于特定集合不是开集而成立的结论，在更粗的拓扑上也依然成立。

最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑，最细的拓扑是离散拓扑，这两个拓扑都是平庸的。

在有些文献中，我们也用大小或者强弱来表示这里粗细的概念。

连续映射与同胚 

类似定义拓扑空间，连续映射也有基于开集，闭集，开核，闭包和邻域等概念的等价定义。

拓扑空间上的一个映射称为连续映射，当且仅当它满足以下条件之一：
 对任何开集的原像是开集。（这个定义符合我们关于连续映射不会出现破碎或者分离的直观印象。）
 对任何闭集的原像是闭集。
 对点的任一邻域，都存在点的一个邻域，使得，则称在点连续，而连续映射即点点连续的映射。
 对任一集合，成立。
 对任一集合，成立。

同胚映射是一个连续的双射，并且它的逆映射也连续。两个拓扑空间之间存在同胚映射，则称这两个空间是同胚的。从拓扑学的观点上来讲，同胚的空间是等同的。

拓扑空间范畴 

拓扑空间作为对象，连续映射作为态射，构成了拓扑空间范畴，它是数学中的一个基础性的範疇。试图通过不变量来对这个范畴进行分类的想法，激发和产生了整个领域的研究工作，包括同伦论、同调论和K-理论。

相关概念

基本概念
给定拓扑空间，A是X的子集，有以下概念（继续使用上面的符号）：
内部，内点
A的开核o(A)又称为A的内部，其元素称为A的内点。
外部，外点
X - c(A)称为A的外部，其元素称为A的外点。
边界，边界点
c(A)∩c(X-A)称为A的边界，其元素称为A的边界点。
触点
A的闭包c(A)中的点称为A的触点。
稠密性，稠密集
称A在X中是稠密的（或称稠密集），当且仅当c(A) = X。
边缘集
称A是X的边缘集，当且仅当X-A在X中是稠密的。
疏性，疏集
称A在X中是疏的（或称疏集），当且仅当c(A)是X中的边缘集。
第一范畴集，第二范畴集
称A是X中的第一范畴集，当且仅当A可以表示为可数个疏集的并。称A是X中的第二范畴集，当且仅当A不是X中的第一范畴集。
聚点，导集
X中的点x称为A的聚点，当且仅当x ∈ c(A - {x})（或者等价地，x的任意邻域至少包含x以外的A的一个点）。A的所有聚点组成的集合称为A的导集。
孤立点
A中的点x称为A的孤立点，当且仅当它不是A的聚点。
孤点集，离散集
称A为孤点集或离散集，当且仅当A中所有的点都是A的孤立点。
自密集
称A为自密集，当且仅当A中的点都是A的聚点（等价地，A中没有A的孤立点）。
完备集
称A为完备集，当且仅当A等于其导集。
自密核
A的最大自密子集称为A的自密核。
无核集
称A是无核集，当且仅当A的自密核是∅（或等价地，A的任意非空子集都含有孤立点）。

网
网的目的在推广序列及极限，网的收性称作Moore-Smith收敛。其关键在於以有向集合代替自然数集。

空间上的一个网是从有向集合映至的映射。

若存在，使得对每个的邻域都存在，使得，则称网收敛至。

几乎所有点集拓扑学的基本概念都能表述作网的收敛性，请参阅主条目网

拓扑空间的例子 

 实数集R构成一个拓扑空间：全体开区间构成其上的一组拓扑基，其上的拓扑就由这组基来生成。这意味着实数集R上的开集是一组开区间的并（开区间的数量可以是无穷多个，但进一步可以证明，所有的开集可以表示为可数个互不相交的开区间的并）。从许多方面来说，实数集都是最基本的拓扑空间，并且它也指导着我们获得对拓扑空间的许多直观理解；但是也存在许多“奇怪”的拓扑空间，它们有悖于我们从实数集获得的直观理解。
更一般的，n维欧几里得空间Rn构成一个拓扑空间，其上的开集就由开球来生成。
任何度量空间都可构成一个拓扑空间，如果其上的开集由开球来生成。这中情况包括了许多非常有用的无穷维空间，如泛函分析领域中的Banach空间和希尔伯特空间。
任何局部域都自然地拥有一个拓扑，并且这个拓扑可以扩张成为这个域上的向量空间。
除了由全体开区间生成的拓扑之外，实数集还可以赋予另外一种拓扑—下限拓扑（lower limit topology）。这种拓扑的开集由下列点集构成—空集、全集和由全体半开区间[a, b)生成的集合。这种拓扑严格地细于上面定义的欧几里得拓扑；在这种拓扑空间中，一个点列收敛于一点，当且仅当，该点列在欧几里得拓扑中也收敛于这个点。这样我们就给出了一个集合拥有不同拓扑的示例。
 流形都是一个拓扑空间。
每一个单形都是一个拓扑空间。单形是一种在计算几何学中非常有用的凸集。在0、1、2和3维空间中，相应的单形分别是点、线段、三角形和四面体。
每一个单纯复形都是一个拓扑空间。一个单纯复形由许多单形构成。许多几何体都可以通过单纯复形—来建立模型，参见多胞形（Polytope）。
 扎里斯基拓扑是一种纯粹由代数来定义的拓扑，这种拓扑建立在某个环的交換环谱之上或者某个代数簇之上。对Rn或者Cn来说，相应扎里斯基拓扑定义的闭集，就是由全体多项式方程的解集合构成。
 线性图是一种能推广图的许多几何性质的拓扑空间。
 泛函分析中的许多算子集合可以获得一种特殊的拓扑，在这种拓扑空间中某一类函数序列收敛于零函数。
任何集合都可以赋予离散拓扑。在离散拓扑中任何一个子集都是开集。在这种拓扑空间中，只有常数列或者网是收敛的。
任何集合都可以赋予平庸拓扑。在平庸拓扑中只有空集和全集是开集。在这种拓扑空间中，任和一个序列或者网都收敛于任何一个点。这个例子告诉我们，在某些極端情況下，一个序列或者网可能不会收敛于唯一的一个点。
 有限补拓扑。设X是一个集合。X的所有有限子集的补集加上空集，构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为有限补空间。有限补空间是这个集合上最小的T1拓扑。
 可数补拓扑。设X是一个集合。X的所有可数子集的补集加上空集，构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为可数补空间。
如果Γ是一个序数，则集合[0, Γ]是一个拓扑空间，该拓扑可以由区间(a, b]生成，此处a和b是Γ的元素。

例子 
  = {1,2,3,4} 和  內兩個子集組成的集族  會形成一個-{zh-hans:平庸拓扑;zh-hant:密著拓撲}-。
  = {1,2,3,4} 和  內六個子集組成的集族  = {,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} 會形成另一個拓撲。
  = （整數集合）及集族  等於所有的有限整數子集加上  自身不是一個拓撲，因為（例如）所有不包含零的有限集合的聯集是無限的，但不是  的全部，因此不在  內。
 1个元素的集上总拓扑数显然只有1个。
 2个元素的集上总拓扑数显然只有4个。
 3个元素的集上总拓扑数-{只有}-29个。
 4个元素的集上总拓扑数-{只有}-355个。
 n个元素的集上总拓扑数规律还在研究中，不过已取得些成果。参见OEIS-A000798说明

3点集 X={a,b,c}的拓扑总共有29个,可分为九类，具体如下：

{∅, X}
{∅,{a},X},{∅,{b},X},{∅,{c},X}
{∅,{a,b},X},{∅,{a,c},X},{∅,{b,c},X}
{∅,{a},{b,c},X},{∅,{b},{a,c},X},{∅,{c},{a,b},X}
{∅,{a},{a,b},X},{∅,{a},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},X},{∅,{b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},X},{∅,{c},{b,c},X}
{∅,{a},{a,b},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},{b,c},X}
{∅,{a},{b},{a,b},X},{∅,{a},{c},{a,c},X},{∅,{b},{c},{b,c},X}
{∅,{a},{b},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{a},{c},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{c},{a,c},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,b},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,c},{b,c},X}
{∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},X}

拓扑空间的构造 

拓扑空间的任何一个子集都可以被赋予一个子空间拓扑，子空间拓扑中的开集是全空间上的开集和子空间的交。
对任何非空的拓扑空间族，我们可以构造出这些拓扑空间的积上的拓扑，这种拓扑称为积拓扑。对于有限积来说，积空间上的开集可以由空间族中各个空间的开集的积生成出来。
商拓扑可以被如下地定义出来：若X是一个拓扑空间，Y是一个集合，如果f : X  →  Y是一个满射，那么Y获得一个拓扑；该拓扑的开集可如此定义，一个集合是开的，当且仅当它的逆像也是开的。可以利用f自然投影确定下X上的等价类，从而给出拓扑空间X上的一个等价关系。
 Vietoris拓扑

拓扑空间的分类 

依据点和集合分离的程度、大小、连通程度、紧性等。可以对拓扑空间进行各种各样的分类。并且由于这些分类产生了许多不同的术语。

以下假设X为一个拓扑空间。

分离公理 

详细资料请参照分离公理以及相关条码。有些术语在老的文献中采用了不同地定义方式，请参照分离公理的历史。
拓扑不可区分性
X中两个点x，y称为拓扑不可区分的，当且仅当如下结论之一成立：
对X中每个开集U，或者U同时包含x，y两者，或者同时不包含它们。
x的邻域系和y的邻域系相同。
，且。

可数公理 
可分的
X称为可分的，当且仅当它拥有一个可数的稠密子集。
第一可数
X称为第一可数的，当且仅当其任何一个点都有一个可数的局部基。
第二可数
X称为第二可数的，当且仅当其拥有一个可数的基。

连通性 
连通
X称为连通的，当且仅当它不是两个无交的非空开集的并。（或等价地，该空间的闭开集（既开又闭的集合）只有空集和全空间两者）。
局部连通
X称为局部连通的，当且仅当它的每个点都存在一个特殊的局部基，这个局部基由连通集构成。
完全不连通
X称为完全不连通的，当且仅当不存在多于一个点的连通子集。
道路连通
X称为道路连通的，当且仅当其任意两点x和y，存在从x到y的道路p，也即，存在一个连续映射p: [0,1] → X，满足p（0）= x  且p（1）= y。道路连通的空间总是连通的。
局部道路连通
X称为局部道路连通的，当且仅当其每个点都有一个特殊的局部基，这个局部基由道路连通集构成。一个局部道路连通空间是连通的，当且仅当它是道路连通的。
单连通
X称为单连通的，当且仅当它是道路连通且每个连续映射都与常数映射同伦。
可缩
X称为可缩的，当且仅当它同伦等价到一点。
超连通
X称为超连通的，当且仅当任两个非空开集的交集非空。超连通蕴含连通。
极连通
X称为极连通的，当且仅当任两个非空闭集的交集非空。极连通蕴含道路连通。
平庸的
X称为平庸的，当且仅当其开集只有本身与空集。

紧性 
（详细资料请参照紧集）
紧性
X称为紧的，当且仅当其任意开覆盖都有有限开覆盖的加细。
林德洛夫性质
X称为拥有林德洛夫性质，当且仅当其任意开覆盖都有可数开覆盖的加细。
仿紧
X称为仿紧的，当且仅当其任意开覆盖都有局部有限开覆盖的加细。
可数紧
X称为可数紧的，当且仅当其任意可数开覆盖都有限开覆盖的加细。
列紧
X称为可数紧的，当且仅当其任意点列都包含收敛子列。
伪紧
X称为伪紧的，当且仅当其上的任意实值连续函数都有界。

可度量化 
可度量性意味着可赋予空间一个度量，使之给出该空间的拓扑。目前已有许多版本的度量化定理，其中最著名的是Urysohn度量化定理：一个第二可数的正则豪斯多夫空间可被度量化。由此可导出任何第二可数的流形皆可度量化。

拥有代数结构的拓扑空间 

对於任一类代数结构，我们都可以考虑其上的拓扑结构，并要求相关的代数运算是连续映射。例如，一个拓扑群乃是一个拓扑空间配上连续映射（群乘法）及（反元素），使之具备群结构。

同样地，可定义拓扑向量空间为一个赋有拓扑结构的向量空间，使得加法与纯量乘法是连续映射，这是泛函分析的主题；我们可以类似地定义拓扑环、拓扑域等等。

结合拓扑与代数结构，往往可以引出相当丰富而实用的理论，例如微分几何探究的主齐性空间。在代数数论及代数几何中，人们也常定义适当的拓扑结构以简化理论，并得到较简明的陈述；如数论中的局部域（一种拓扑域），伽罗瓦理论中考虑的Krull拓扑（一种特别的拓扑群），以及定义形式概形所不可少的I-进拓扑（一种拓扑环）等等。

拥有序结构的拓扑空间 

拓扑空间也可能拥有自然的序结构，例子包括：
谱空间（spectral space）上的序结构。
 特殊化预序：定义。常见於计算机科学。

外部链接 
n个元素的集上总拓扑数规律
整數數列線上大全:OEIS-A000798.

参考书目 
 John L. Kelley, General Topology (GTM 27). Springer-Verlag. ISBN 0387901256.
 James R. Munkres, Topology (second edition). Prentice Hall; ISBN 0131816292.

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点集拓扑学原理 / 鲍姆-{著}-;蒲思立译. - 北京: 人民教育出版社, 1981年6月。
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拓扑学初步 / 苏步青-{著}-. - 上海: 复旦大学出版社, 1986年4月。
拓扑学基础教程 / 曼克勒斯-{著}-;罗嵩龄等译. - 北京: 科学出版社, 1987年8月。
基础拓扑学 / 何伯和，廖公夫-{著}-. - 北京: 高等教育出版社, 1991年1月。
一般拓扑学专题选讲 / 蒋继光-{著}-. - 成都: 四川教育出版社, 1991年3月。
拓扑学导论 / 鲍里索维奇等-{著}-;盛立人等译. - 北京: 高等教育出版社, 1992年9月。
基础拓扑学讲义 / 尤承业编-{著}-. - 北京: 北京大学出版社, 1997年. ISBN 7-301-03103-3.