范数

範數（），是具有“长度”概念的函數。在線性代數、泛函分析及相關的數學領域，是一個函數，其為向量空間內的所有向量賦予非零的正長度或大小。另一方面，半範數（）可以為非零的向量賦予零長度。

舉一個簡單的例子，一個二維度的歐幾里得空間就有歐氏範數。在這個向量空間的元素（譬如：(3,7)）常常在笛卡兒座標系統被畫成一個從原點出發的箭號。每一個向量的歐氏範數就是箭號的長度。

擁有範數的向量空間就是賦範向量空間。同樣，擁有半範數的向量空間就是賦半範向量空間。

定義
假設V是域F上的向量空間；V的半範數是一個函數，满足：

,
 （具有半正定性）
 （具有绝对一次齐次性）
  （满足三角不等式，或称次可加性）

範數是一個半範數加上額外性质：
4. ,当且仅当是零向量（正定性）

如果拓撲向量空間的拓撲可以被範數導出，這個拓撲向量空間被稱為賦範向量空間。

例子
 所有范数都是半范数。
 平凡半范数，即。
 绝对值是实数集上的一个范数。
 对向量空间上的线性型f可定义一个半范数：。

绝对值范数
绝对值范数為

是在由实数或虚数构成的一维向量空间中的范数。

绝对值范数是曼哈顿范数的特殊形式。

欧几里德范数

在n维欧几里德空间上，向量的最符合直觉的长度由以下公式给出

根据勾股定理，它给出了从原点到点之间的（通常意义下的）距离。欧几里德范数是上最常用的范数，但正如下面举出的，上也可以定义其他的范数。然而，以下定义的范数都定义了同一个拓扑结构，因此它们在某种意义上都是等价的。

在一个n维复数空间中，最常见的范数是：

以上两者又可以以向量与其自身的内积的平方根表示：

其中x是一个列向量()，而表示其共轭转置。

以上公式适用于任何内积空间，包括欧式空间和复空间。在欧几里得空间里，内积等价于点积，因此公式可以写成以下形式：

特别地，中所有的欧几里得范数为同一个给定正实数的向量的集合是一个n维球面。

复数的欧几里得范数

如果将复平面看作欧几里得平面，那么复数的欧几里得范数是其绝对值（又称为模）。这样，我们可把视为欧几里得平面上的一个向量，由此，这个向量的欧几里得范数即为（最初由欧拉提出）。

參見
 內積
 賦範向量空間
 矩陣範數
 曼哈頓距離
 Lp范数

參考文獻 

 
 
 
 

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