三次方程

三次方程是未知项總次数最高为3的整式方程，一元三次方程一般形式為
，
其中是屬於一個域的數字，通常這個域為ℝ或ℂ。

本條目只解釋一元三次方程，而且簡稱之為三次方程式。

历史 
中國唐朝数学家王孝通在武德九年（626年）前后所著的《緝古算經》中建立了25个三次多项式方程和提出三次方程实根的数值解法。

波斯数学家欧玛尔·海亚姆（1048年－1123年）通过用圆锥截面与圆相交的方法構建了三次方程的解法。他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案。

中国南宋的数学家秦九韶在他1247年编写的《数书九章》一书中提出了高次方程的数值解法秦九韶算法，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则。

在十六世纪早期，意大利数学家费罗找到了能解一种三次方程的方法，也就是形如的方程。事实上，如果我们允许是複数，所有的三次方程都能变成这种形式，但在那个时候人们不知道複数。

尼科洛·塔爾塔利亞被認為是最早得出三次方程式一般解的人。1553年他在一場數學競賽中解出所有三次方程式的問題。隨後卡尔丹诺拜訪了塔爾塔利亞請教三次方程式解法並得到了啟發。卡尔丹诺注意到塔爾塔利亞的方法有时需要他给复数开平方。他甚至在《数学大典》裡包括了这些複數的计算，但他并不真正理解它。拉斐尔·邦贝利（Rafael Bombelli）详细地研究了这个问题，并因此被人们认为是複数的发现者。

判别式 

当时，方程有一个实根和两个共轭複根；

当时，方程有三个实根：当

时，方程有一个三重实根；

当时，方程的三个实根中有两个相等；

当时，方程有三个不等的实根。

三次方程解法

求根公式法 

红色字体部分为判别式。

当时，方程有一个实根和两个共轭複根；

当时，方程有三个实根：

当时，方程有一个三重实根；

当时，方程的三个实根中有两个相等；

当时，方程有三个不等的实根。

三角函数解 
，其中。

若令，则

卡尔达诺法 
令為域，可以進行開平方或立方運算。要解方程只需找到一個根，然後把方程除以，就得到一個二次方程，而我們已會解二次方程。

在一個代數封閉域，所有三次方程都有三個根。複數域就是這樣一個域，這是代數基本定理的結果。

解方程步驟：
把原來方程除以首項係數，得到：
，其中，，。

代換未知項，以消去二次項。當展開，會得到這項，正好抵消掉出現於的項。故得：
，其中和是域中的數字。
；。

設滿足,則為解
這個假設的hint如下:
記。前一方程化為。
展開：。
重組：。
分解：。

設和。我們有和因為。所以和是輔助方程的根，可代一般二次方程公式得解。

接下來，和是和的立方根，適合，，最後得出。

在域裡，若和是立方根，其它的立方根就是和，當然還有和，其中，是1的一个复数立方根。

因為乘積固定，所以可能的是，和。因此三次方程的其它根是和。

判别式 
最先嘗試解的三次方程是實係數（而且是整數）。因為實數域並非代數封閉，方程的根的數目不一定是3個。所遺漏的根都在裡，就是的代數閉包。其中差異出現於和的計算中取平方根時。取立方根時則沒有類似問題。

可以證明實數根數目依賴於輔助方程的判別式，
若，方程有一个实根和两个共轭複根；
若，方程有三个实根：当时，方程有一个三重实根；当时，方程的三个实根中有两个相等；
若，方程有三个不等的实根：其中（注意，由於此公式應對於的形式，因此這裡的實際上是前段的，應用時務必注意取負號即）。

注意到实系数三次方程有一實根存在，這是因為非常數多項式在和的極限是無窮大，對奇次多項式這兩個極限異號，又因为多項式是連續函數，所以從介值定理可知它在某點的值為0。

第一個例子 
解。

我們依照上述步驟進行：
 （全式除以）
設，代換：，再展開。
 ，，。設和。和是的根。

和，

和。
，

该方程的另外两个根：
，
，

第二个例子 
这是一个历史上的例子，因为它是邦别利考虑的方程。

方程是。

从函数算出判别式的值，知道这方程有三实根，所以比上例更容易找到一个根。

前两步都不需要做，做第三步：，，。
 和。
和是的根。这方程的判别式已算出是负数，所以只有实根。很吊诡地，这方法必须用到复数求出全是实数的根。这是发明复数的一个理由：复数是解方程必需工具，即使方程或许只有实根。

我们解出和。取复数立方根不同于实数，有两种方法：几何方法，用到辐角和模（把辐角除以3取模的立方根）；代数方法，分开复数的实部和虚部：
现设。
 等价于：
 （实部）
 （虚部）
 （模）

得到和，也就是，而是其共轭：。

归结得，可以立时验证出来。

其它根是和，其中。

当是负，和共轭，故此和也是（要适当选取立方根，记得）；所以我们可确保是实数，还有和。

盛金公式法 
，其中系数皆为实数。

判别式 
重根判别式：；

总判别式：。

情况1： 
。

情况2： 
让，得：

；

；

。

情况3： 
让，得：

；

。

情况4： 
让，得：

；

；

。

极值

驻点的公式 
设

将其微分，可得

 
 有序列表项

拐点 

设，可得。

驻点的类型 
由函数取极值的充分条件可知：
，是的极大值点；
，是的极小值点；
，是的拐点。

可知：
，的驻点为极大值点；
，的驻点为极小值点；
，的驻点为拐点。

參見

參考資料

外部链接 
 代數學的故事：三次方程的一般解，李白飛
 三次方程的判別式，應用，Carto Wong
 以複變函數求解一元三次方程式的根
 一元三次方程解法

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