核密度估计

核密度估计（，縮寫：KDE）是在概率论中用来估计未知的密度函数，属於非参数检验方法之一，由Rosenblatt (1955)和Emanuel Parzen(1962)提出，又名Parzen窗（Parzen window）。Ruppert和Cline基于数据集密度函数聚类算法提出修订的核密度估计方法。

核密度估计在估计边界区域的时候会出现边界效应。

在单变量核密度估计的基础上，可以建立风险价值的预测模型。通过对核密度估计变异系数的加权处理，可以建立不同的风险价值的预测模型。

一些比较常用的核函数是：
均匀核函数
，
加入带宽后：
。

三角核函数
，
加入带宽后：
。

伽马核函数
。

定义 
设为从单变量分布中抽取的独立同分布样本，给定点有未知的概率密度，我们对估计函数的形状感兴趣，其核密度估计器是

 

其中是非负的核函数，带宽为平滑参数。带下标h的核被称为缩放核，定义为。直觉上讲，在数据允许的范围内应当选择尽可能小的带宽；然而，偏差和方差之间总有所权衡。

常用的核函数有：均匀核（Uniform）、三角核（Triangular）、双权核（Biweight）、三权核（Triweight）、Epanechnikov核、正态核（Normal）等。从均方误差的角度来看，Epanechnikov核是最佳的，尽管对于前面列出的核来说，效率的损失很小。由于其数学特性良好，正态核经常被使用，即，其中是标准正态密度函数。

参考文献
唐林俊、杨虎、张洪阳：核密度估计在预测风险价值中的应用 The Application of The Kernel Density Estimates in Predicting VaR，《数学的实践与认识》2005年10期

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