平方根

在數學中，一個數的平方根指的是滿足的數，即平方結果等於的數。例如，4和-4都是16的平方根，因为。

任意非負實數都有唯一的非負平方根，称为算术平方根或-{zh-cn:主平方根; zh-tw:算術平方根;}-（），記為，其中的符号称作根号。例如，9的算术平方根为，记作 ，因为并且3非负。被求平方根的数称作被开方数（），是根号下的数字或者表达式，即例子中的数字9。

正数有兩個互为相反数的平方根：正数与负数，可以将两者一起记为。

負數的平方根在複數系中有定義。而實際上，對任何定義了開平方運算的數學對象都可考慮其“平方根”（例如矩陣的平方根）。

MS的Excel中和大部分程式語言以 "sqrt()"表示。

历史 

耶鲁大学的巴比伦藏品YBC 7289是一块泥板，制作于前1800年到前1600年之间。泥板上是一个画了两条对角线正方形，标注了的六十进制数字 1;24,51,10。十六进制的 1;24,51,10 即十进制的 1.41421296，精确到了小数点后5位（1.41421356...）。

莱因德数学纸草书大约成书于前1650年，内容抄写自更早年代的教科书。书中展示了埃及人使用反比法求平方根的过程。

古印度的《绳法经》大约成书于前800年到前500年之间，书中记载了将2的平方根的计算精确到小数点后5位的方法。

古希腊的《几何原本》大约成书于前380年，书中还阐述了如果正整数不是完全平方数，那么它的平方根就一定是无理数——一种无法以两个整数的比值表示的数（无法写作m/n，其中m和n是整数）。

中国的《书》成书于汉朝（约前202年到前186年之间），书中介绍了使用盈不足术求平方根的方法。

古代未有劃一的平方根符號時，人們通常使用他們語言內開方這個字的首個字母的變型作為開方號。

中世紀時，拉丁語中的（正方形邊）的首個字母“L”被不少歐洲人採用；亨利·布里格斯在其著作《》中則用橫線當成的簡寫，在被開方的數下畫一線。

最有影響的是拉丁語的（平方根），1220年Leconardo在《》中使用℞（R右下角的有一斜劃，像P和x的合體）；⎷（沒有上面的橫劃）是由克里斯多福·魯登道夫在1525年的書Coss首次使用，據說是小寫r的變型；后来数学家笛卡尔给其加上线括号，但与前面的方根符号是分开的（即“⎷‾”），因此在复杂的式子中它显得很乱。直至18世纪中叶，数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根（当根指数为2时，省略不写），从而形成了现在人們熟知的开方运算符号。

實數 
的平方根亦可用指數表示，如：

的絕對值可用的算數平方根表示：

正數 

若正整數是平方數，則其平方根是整數。若正整數不是平方數，則其平方根是無理數。

對於正數、，以下式成立：

負數 
負數的平方根在複數範圍内同樣有定義。

负数有兩個平方根，它们为一对共轭的纯虚数。

以虛數單位可將負數的平方根表示為

，其中。

例如-5的平方根有两个，它们分别为和。

對於負數、，以下式成立：

负数与複數 
正数和负数的平方都是正数，0的平方是0，因此负数没有实数平方根。然而，我们可以把我们所使用的数字集合扩大，加入负数的平方根，这样的集合就是複數。首先需要引入一个实数集之外的新数字，记作（也可以记作，比如电学场景中一般表示电流），称之为虚数单位，定义即为，故是-1的平方根，而且，所以也是-1的平方根。通常称-1的算术平方根是，如果是任意非负实数，则的算术平方根就是：

之所以等式右侧（包括其对应的负值）是的算术平方根，是因为：

对于任何一个非零的复数都存在两个複数使得。

虚数的算术平方根 

虚数的算术平方根可以根据以下公式计算：

这个公式可以通过用代数方法推导，只需找到特定的实数和，满足

就可以得到方程组

的解：

其中，算术平方根即为

这个公式还可以通过棣莫弗公式得到，设

就可以推出

复数的算术平方根 

首先，我们将复数 看作是平面上的点，即笛卡尔坐标系中的点。这个点也可以写作极坐标的，其中，是该点到坐标原点的距离，则是从原点到该点的直线与实数坐标轴（轴）的夹角。复分析中，通常把该点记作。如果

那么我们将的算术平方根定义为：

因此，平方根函数除了在非正实数轴上以外是处处全纯的。 的泰勒级数也适用于复数。

上面的公式还可以用三角函数的形式表达：

代数公式 
如果使用笛卡尔坐标的形式表达复数 z，其算术平方根可以使用如下公式：

其中，方根虚部的符号与被开方数虚部的符号相同（为0时取正）；实部永远非负。

在虛數，平方根函數的值不是連續的，以下等式不一定成立：
 
 
 

所以這是錯誤的：

多项式

例：若，

2的算术平方根 
數學史中，最重要的平方根可以說是，它代表邊長為1的正方形的對角線長，是第一個公認的無理數，也叫毕达哥拉斯常数，其值到小數點14位約為。

是無理數，可由歸謬法證明：

 設為有理數，可表示為，其中、為互質之正整數。
 因為，故是2的倍數，也是2的倍數，記為，其中為正整數。
 但是，故，是2的倍數，也是2的倍數。
 依上兩式，、都是2的倍數，和、為互質之正整數的前題矛盾。依歸謬法，得證不是有理數，即是無理數。

計算方法

因數計算
。

注意，6 的质因数分解为 2 × 3，不能写成某个数的平方，因此  就是最简结果
。

中算开方 

《九章算术》和《孙子算经》都有筹算的开方法。宋代数学家贾宪发明释锁开平方法、增乘开平方法；明代数学家王素文，程大位发明珠算开平方法，而朱载堉《算学新说》首创用81位算盘开方，精确到25位数字。

長除式算法 
長除式算平方根的方式也稱為直式開方法，原理是。

 首先將要開平方根的數從小數點分別向右及向左每兩個位一組分開，如98765.432內小數點前的65是一組，87是一組，9是一組，小數點後的43是一組，之後是單獨一個2，要補一個0而得20是一組。如1 04.85 73得四組，順序為1' 04. 85' 73'。
 將最左的一組的數減去最接近又少於它的平方數，並將該平方數的開方（應該是個位數）記下。
 將上一步所得之差乘100，和下一組數加起來。 
 將記下的數乘20，然後將它加上某個個位數，再乘以該個個位數，令這個積不大於但最接近上一步所得之差，並將該個個位數記下，且將上一步所得之差減去所得之積。
 記下的數一次隔兩位記下。
 重覆第3步，直到找到答案。
 可以在數字的最右補上多組的00'以求得理想的精確度為止。

下面以為例子：

四捨五入得答案為14.14。

事實上，將算法稍作改動，可以開任何次方的根，詳見n次方算法。

利用高精度长式除法可以计算出1至20的平方根如下：

牛頓法 

如果要求的平方根，選取
 

例子：求至6位有效數字。

因此.

連分數 
平方根可以简便地用连分数的形式表示，关于连分数请见连分数，其中1至20的算术平方根分别可用连分数表示为：

 

连分数部分均循环，省略号前为2或4个循环节。

巴比倫方法
主条目：
巴比伦求平方根的算法实际上很简单：（假设要求一个数N的平方根）

 预测一个平方根，初始另一个值，且
 求预测值与初始值的均值：, 
 比较和的差值是否达到精度，如果无，继续步骤

重複的算術運算 
這個方法是從佩爾方程演變過來的，它通過不斷減去奇數來求得答案。

尺规作图

問題 
給定線段AB和1，求一條長為的線段。

解法 

 畫線AB，延長BA至C使
 以BC的中點為圓心，OC為半徑畫圓
 過A畫BC的垂直線，垂直線和圓弧交於D，AD即為所求之長度

證明 
將整個過程搬到直角座標上，已知AC=1，設
 O=
 AB=

 直徑為BC的圓就是（圓的方程式：）（其中表示半径。）
 將（A,D所在的x座標）代入上面的方程式
 
 解方程，得。

另也可参见射影定理。

参见 
 方根
 增乘开平方法
二项式定理
牛顿法

外部链接 
 Earliest Uses of Symbols of Operation
 The History of Mathematical Symbols: The radical symbol
 开方公式的推导 
 平方根計算器

參考資料 

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