双线性映射

在数学中，一个双线性映射是由两个向量空间上的元素，生成第三个向量空间上一个元素之函数，并且该函数对每个参数都是线性的。例如矩阵乘法就是一个例子。

定义

设, 和是在同一个基础域上的三个向量空间。双线性映射是函数

使得对于任何中，映射

是从到的线性映射，并且对于任何中的，映射

是从到的线性映射。

换句话说，如果保持双线性映射的第一个参数固定，并留下第二个参数可变，结果就是线性算子，如果保持第二个参数固定也是类似的。

如果并且有对于所有中的，则我们称是对称的。

当这里的是的时候，我们称之为双线性形式，它特别有用(参见例子标量积、内积和二次形式)。

如果使用在交换环上的模替代向量空间，定义不需要任何改变。还可容易的推广到元函数，这里正确的术语是“多线性”。

对非交换基础环和右模与左模的情况，我们可以定义双线性映射，这里的是阿贝尔环，使得对于任何中的是群同态，而对于任何中的是群同态，并还满足

对于所有的中的，中和中的。

定义, ,是有限维的，则也是有限维的。对于就是双线性形式，这个空间的维度是（尽管线性形式的空间的维度是）。看得出来，选择和的基；接着每个线性映射可以唯一的表示为矩阵，反之亦然。现在，如果是更高维的空间，我们明显的有。

例子 

 矩阵乘法是双线性映射。
 如果在实数上的向量空间承载了内积，则内积是双线性映射。
 一般的说，对于在域上的向量空间，在上的双线性形式同于双线性映射。
 如果是有对偶空间的向量空间，则应用算子是从到基础域的双线性映射。
 设和是在同一个基础域上的向量空间。如果是的成员而是的成员，则定义双线性映射。
 在中叉积是双线性映射。
 设是双线性映射，而是线性算子，则是在上的双线性映射。
 零映射，定义于对于所有中的，是从到的同时为双线性映射和线性映射的唯一映射。实际上，如果，则。

参见
 张量积
 多线性映射
 半双线性形式
 双线性滤波

S
S
双线性算子