四平方和定理

四平方和定理 （） 說明每个正整数均可表示为4个整数的平方和。它是費馬多邊形數定理和華林問題的特例。

注意有些整數不可表示為3個整數的平方和，例如7。

历史
1743年，瑞士数学家欧拉发现了一个著名的恒等式：

根据上述欧拉恒等式或四元數的概念可知如果正整数和能表示为4个整数的平方和，则其乘积也能表示为4个整数的平方和。于是为证明原命题只需证明每个素数可以表示成4个整数的平方和即可。

1751年，欧拉又得到了另一个一般的结果。即对任意奇素数 p，同余方程

必有一组整数解x，y满足，（引理一）

至此，证明四平方和定理所需的全部引理已经全部证明完毕。此后，拉格朗日和欧拉分别在1770年和1773年作出最后的证明。

證明
根據上面的四平方和恆等式及算術基本定理，可知只需證明質數可以表示成四个整数的平方和即可。

，因此只需證明奇質數可以表示成四个整数的平方和。

根據引理一，奇質數必有正倍數可以表示成四个整数的平方和。在這些倍數中，必存在一個最小的。設該數為。又從引理一可知。

證明不會是偶數
設是偶數，且。由奇偶性可得知必有兩個數或四個數的奇偶性相同。不失一般性設的奇偶性相同，的奇偶性相同，均為偶數，可得出公式：

，與是最小的正整數使得的假設可以表示成四个整数的平方和不符。

證明  
現在用反證法證明。設。

 不可整除的最大公因數，否則可整除，則得是的因數，但且p為質數，矛盾。

故存在不全為零、絕對值小於（注意是奇數在此的重要性）整數的使得 。

 
 

可得 ，其中是正整數且小於。

 下面證明可以表示成四个整数的平方和，從而推翻假設。

令，根据四平方和恆等式可知是的倍數，令，

 
 
 

矛盾。

引理一的證明
將和為的剩餘兩個一組的分開，可得出組，分別為。
將模的二次剩餘有個，分別為。

若是模的二次剩餘，選取使得，則，定理得證。

若不屬於模的二次剩餘，則剩下組，分別為，而模的二次剩餘仍有個，由於  ，根據抽屜原理，存在。

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