欧拉公式

歐拉公式（，又稱-{zh-hans:尤拉; zh-hant:尤拉; zh-tw:歐拉;}-公式）是複分析领域的公式，它将三角函数與复指数函数关联起来，因其提出者莱昂哈德·歐拉而得名。歐拉公式提出，對任意实数 ，都存在

 

其中  是自然对数的底数， 是虚数單位，而  和  則是餘弦、正弦對應的三角函数，参数  則以弧度为单位。這一複數指數函數有時還寫作  （，余弦加i 乘以正弦）。由於該公式在  為複數時仍然成立，所以也有人將這一更通用的版本稱為歐拉公式。

歐拉公式在数学、物理和工程领域应用广泛。物理学家理查德·费曼将歐拉公式称为：“我们的珍宝”和“数学中最非凡的公式”。

当  时，歐拉公式变为，即歐拉恒等式。

历史 
約翰·伯努利注意到有

 

并且由于

 

上述公式通过把自然对数和复数（虚数）联系起来，告诉我们关于複對數的一些信息。然而伯努利并没有计算出这个积分。

欧拉也知道上述方程，伯努利对欧拉的回应表明他还没有完全理解复对数。欧拉指出复对数可以有无穷多个值。

与此同时，于 1714 年发现

 

由于三角函数的周期性，一个复数可以加上  的不同倍数，而它的复对数可以保持不变。

1740年左右，欧拉把注意力从对数转向指数函数，得到了以他命名的欧拉公式。欧拉公式通过比较指数的级数展开和三角函数得到（其实此证法存在问题，原因见验证方法，但结论正确。），于1748年发表。

大约50年之后，卡斯帕尔·韦塞尔提出可以把复数視做复平面中的点。

形式 

对于任意实数，以下等式恆成立：

由此也可以推导出
及。

当时，欧拉公式的特殊形式为
。

证明 

首先，在复数域上对进行定义：

对于，规定。

对复数的极坐标表示，有：

且根据棣莫弗公式，

从而有：

假设，则：

（由於包含n在冪，所以要ln）从而有：

這一步驟用到 （墨卡托級數）

即：

又有(arctan x 約等於x 於0附近）：

从而可以证明：

即：

令，可得欧拉公式。

证毕。

验证方法 

方法一：泰勒级数
把函数、和写成泰勒级数形式：

将代入可得：

方法二：求導法
对于所有，定義函數

由於

可知不可能為0，因此以上定義成立。

之导数為：

设和
（拉格朗日中值定理）

因此必是常數函數。

重新整理，即可得到：

方法三：微積分
找出一个原函數，使得及。
假设 ，有：

假设 ，有：

使用積分法，可得的原函數是以上兩個函數分别与任意实数的和，分别记为：

其中，和:是任意实数。

又時，，观察到：

所以，可以得出：

cis函數 

在複分析領域，歐拉公式亦可以以函數的形式表示

並且一般定義域為，值域為（复平面上的所有单位向量）。

當一複數的模為1，其反函數就是輻角（arg函數）。

當值為複數時，cis函數仍然是有效的，所以有些人可利用cis函數將歐拉公式推廣到更複雜的版本。

檢定和角公式

由於且，則有

實部等於實部，虛部等於虛部，因此

在複分析的應用 
這公式可以說明當  為實數時，函數  可在複數平面描述一單位圓。且  為此平面上一條連至原點的線與正實數軸的交角。先前一個在複數平面的複點只能用笛卡尔坐标系描述，歐拉公式在此提供複點至極坐標的變換

任何複數  皆可記為

在此
為實部
為虛部
為  的模
，其中

參見 
 cis函數
 歐拉恆等式

参考资料

复分析定理
包含证明的条目
分析
E (数学常数)
三角学
莱昂哈德·欧拉