八元数

八元数（）是以實數構建的8維度賦範可除代數，為四元数非结合推广的超複數，通常记为O或。八元數的8個維度可以視為2個4維度之四元數的組合。八元數不具備結合律和交換律，但具備交错代数的特性，並保有冪結合性。

也许是因为八元数的乘法不具備结合性，因此它们作為超複數而言受關注的程度較四元数低。尽管如此，八元数仍然与数学中的一些例外结构有关，其中包括例外李群。此外，八元数在诸如弦理论、狭义相对论和中也有应用。

歷史

八元數第一次被描述於1843年，於一封給威廉·盧雲·哈密頓的信中。格雷夫斯稱其為「octaves」。後來八元數由阿瑟·凯莱在1845年獨自發表。格雷夫斯發表結果的時間點比阿瑟·凯莱發表的時間稍晚一些。阿瑟·凯莱發表的八元數和约翰·格雷夫斯給威廉·盧雲·哈密頓的信中所提及的並無關係。阿瑟·凯莱是獨自發現八元數的，因此八元數又被稱為凯莱數或凯莱代數。哈密頓則描述了八元數被發現並描述的早期歷史。

定义

八元数可以视为实数的八元组。八元数有多種構造方式。以凯莱-迪克森结构為例，八元数可以表達為2個四元數與的組合，即或，其中，量為其中一個八元数單位並滿足：
 
在這種定義下每一个八元数都是单位八元数的线性组合。也就是说，每一个八元数x都可以写成

其中系数是实数。
這些八元数單位亦滿足：
 
八元数的加法是把对应的系数相加，就像复数和四元数一样。根据线性，八元数的乘法完全由以下单位八元数的乘法表来决定。

一些不同的定義方式會將八元數的單位元素表達為的線性組合，其中：

當中的為實數單位。每個八元數單位元素皆不相等，而其平方為實數。也就是說，每個八元數都可以寫成以下形式：

其中為單位元素的係數，且必為實數。八元數的加法和減法是通過加減相應的項以及它們的係數來完成的，與四元數的加減法類似。 乘法則較為複雜。 八元數的乘法是對加法的分配，所以兩個八元數的乘積可以通過對所有項的乘積求和來計算，再次如同四元數一般。 每對項的乘積可以通過係數的乘積和單位八元數的乘法表給出，其乘法表的結構與的模式（）類似。這個乘法表先後由Graves於1843年和Cayley於1845年描述：

除了主對角線上以及作為操作數的行和列的元素之外，乘法表中的大多數非對角元素都是反對稱的，這使得這個乘法表幾乎是一個斜對稱矩陣。

該表可總結如下：
 

其中為克罗内克δ函数（當且僅當時為1）、 為，且當時，值為1。

然而，上述定義並不是唯一的。這些定義只是八元數乘法的480個可能定義之一。其他的八元數乘法定義可以透過置換和改變非標量基元素的符號來獲得。這480個不同乘法定義對應的代數結構是同構的，很少需要考慮使用哪個特定的乘法規則。

這480個八元數乘法定義中，每一定義的正負號在7循環（1234567）下的特定點上都是不變的，並且對於每個7循環有四個定義，它們的區別在於正負號和順序的反轉。 一個常見的選擇是使用 的7循環（1234567）下的定義不變量 — 通過使用三角乘法圖或下面的 法诺平面，該平面還顯示了基於124的7循環三元組及其相關乘法的排序列表和格式的矩陣。

此外，亦有一些文獻會將八元數的單位定義為。

凯莱-迪克松构造

一个更加系统的定义八元数的方法，是通过凯莱-迪克松构造。就像四元数可以用一对复数来定义一样，八元数可以用一对四元数来定义。两对四元数和的乘积定义为：

其中表示四元数的共轭。这个定义与上面给出的定义是等价的。

法诺平面记忆

一个用来记忆八元数的乘积的方便办法，由右面的图给出。这个图中有七个点和七条直线（经过i、j和k的圆也視為一条直线），称为。这些直线是有向的。七个点对应于的七个标准基元素。每一对不同的点位于唯一的一条直线上，而每一条直线正好通过三个点。

设为位于一条给定的直线上的三个有序点，其顺序由箭头的方向指定。那么，乘法由下式给出：

以及它们的。这些规则
1是乘法单位元，
对于图中的每一个点，都有
完全定义了八元数的乘法结构。七条直线的每一条都生成了的一个子代数，与四元数同构。

共轭、範数和逆元素

八元数

的共轭为：

當中除了實數項外，其餘項正負號皆相反。因此若將八元數單位表達為，則八元数的共轭可以簡化表示為：

共轭是的一个对合，满足（注意次序的变化）。

x的实数部分定义为，虚数部分定义为。所有纯虚的八元数生成了的一个七维子空间，记为。

八元数x的範数可用與自身共軛的積來定義：

在这里，平方根是定义良好的，因为总是非负实数：

这个範数与上的标准欧几里得範数是一致的。

上範数的存在，意味着的所有非零元素都存在逆元素。的逆元素为：

它满足。

性质

八元数的乘法既不是交换的：

也不是结合的：

然而，八元数确实满足结合性的一个较弱形式──交错性。这就是说，由任何两个元素所生成的是结合的。实际上，我们可以证明，由的任何两个元素所生成的子代数都与、或同构，它们都是结合的。由于八元数不满足结合性，因此它们没有矩阵的表示法，与四元数不一样。

八元数确实保留了、和共同拥有的一个重要的性质：上的範数满足

这意味着八元数形成了一个非结合的赋範可除代数。所有由凯莱-迪克松构造所定义的更高维代数都不满足这个性质，因為它们都存在零因子。

这样，实数域上唯一的赋範可除代数是、、和。这四个代数也形成了实数域上唯一的交错的、有限维的。

由于八元数不是结合的，因此的非零元素不形成一个群。然而，它们形成一个拟群。

自同构
八元数的自同构A，是的可逆线性变换，满足：

的所有自同构的集合组成了一个群，称为。群是一个单连通、紧致、14维的实李群。这个群是中最小的一个。

参见
双曲复数
四元数
十六元数

──法诺平面的自同构群。

註釋

参考文献

延伸閱讀
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超複數
非結合代數