MV-代数

在纯数学分支抽象代数中，MV-代数（多值代数）是带有二元运算 、一元运算  和常量  的满足特定公理的代数结构。多值逻辑是 MV-代数的模型。

定义 

设 A 是个集合。MV-代数是代数结构，带有型  的标识(signature) ，它满足如下恒等式：
 ,
 , 
 ,
 , 
 , 
 .

备注：通过前三个公理  是交换幺半群。

或者作为替代，MV-代数是一个剩余格  满足额外恒等式
 。

Hájek (1998)描述了这两个公式的等同。

例子 
一个简单的例子是 ，带有定义为  和  的运算。

讨论 
在多值逻辑中，给定一个 MV-代数 A，一个 A-賦值就是从命题演算中公式的集合到 MV-代数的函数。如果对于所有 A-賦值这个函数把一个公式映射到 1（或 0），则这个公式是一个 A-重言式。因此对于无穷值逻辑（比如模糊逻辑、武卡谢维奇逻辑），我们设 [0,1] 是 A 的下层集合来获得 [0,1]-賦值和 [0,1]-重言式（经常就叫做賦值和重言式）。

Chang 发明 MV-代数来研究波蘭數學家扬·武卡谢维奇（）在 1920 年介入的多值逻辑。Chang 的完备定理(1958, 1959) 声称任何在 [0,1] 区间成立的 MV-代数等式也在所有 MV-代数中成立。通过这个定理，证明了无穷值的武卡谢维奇逻辑可以被 MV-代数所刻画。后来同样适用于模糊逻辑。这类似于在 {0,1} 成立的布尔代数等式在任何布尔代数中也成立，布尔代数因此刻画了标准二值逻辑。

引用 
Chang, C. C. (1958) "Algebraic analysis of many-valued logics," Transactions of the American Mathematical Society 88: 476-90.
------ (1959) "A new proof of the completeness of the Lukasiewicz axioms," Transactions of the American Mathematical Society 88: 74-80. 
 Cignoli, R. L. O., D'Ottaviano, I, M. L., Mundici, D., 2000. Algebraic Foundations of Many-valued Reasoning. Kluwer.
 Di Nola A., Lettieri A. (1993) "Equational characterization of all varieties of MV-algebras," Journal of Algebra 221: 123-31.
 Hájek, Petr (1998) Metamathematics of Fuzzy Logic. Kluwer.

外部链接 
 Stanford Encyclopedia of Philosophy："Many-valued logic " -- by Siegfried Gottwald.

参见 
布尔代数
武卡谢维奇逻辑

格理论
半群论
代数逻辑