三角不等式

三角不等式是數學上的一個不等式，表示從A到B再到C的距離永不少於從A到C的距離；亦可以說是兩項獨立物件的量之和不少於其和的量。它除了適用於三角形之外，還適用於其他數學範疇及日常生活中。

几何

标量 
在三角形ABC中，这个式子用标量可以写作。

当该式取不等号时，可以由欧几里得第五公设导出；欧几里得给出的证明记载于《几何原本》第一卷命题20：（证明所用的辅助图像见右）

现在，我们有三角形ABC。延长至点D，并使，联结。

那么，三角形BCD为等腰三角形，所以。记它们均为。

根据欧几里得第五公设，角也就是大于角（，也就是）；

由于角对应边，角对应边，因此（大角对大边，命题19）。

又由于，所以，即证。

如果我们将该式左右各减去，便能得到，这便是三角不等式的另一种表达方法：三角形的两边之差小于第三边。

当该式取等号的时候，其已经不属于欧氏几何的范畴，这种情况只有可能在球面三角形中出现，此时，而a, b, c为三角形三边的长。

向量 
用向量的写法，这个不等式可以写成：

上式和标量的写法明显是等价的。

考虑到，该式也可以写成：，这种情况的形式和下方实数中的形式是一致的。

如果根据向量构建平面直角坐标系，则可以用代数的方式予以证明。

还是以右图中的三角形为例子。假设在坐标系中，向量的方向向量为，向量的方向向量为，

那么因为，得向量的方向向量为。

因此，，。

所以，。

而，，

两者相减再配方，得到，该式实际上是的值。

当且仅当时，该式的值为0，而此时我们可以推出，这说明和、和都是平行的。而由于，也就是向量的终点和，也就是向量的起点是相同的，显然和共线。这种情况在欧氏几何中是不可能的，只有在非欧几何的情况下才能成立。用和平行也一样能够推出和共线。

其他任何情况，也就是时，该式取到不等号，适用于欧氏几何。

将向量形式的三角不等式两边减去相同的向量，同样能够推出三角形的两边之差小于第三边。

實數 
在实数中，此式依然成立：。

證明如下：

考慮到實數的平方必然是非负数，將兩邊平方，使它剩下一套絕對值符號：

對於（即a, b彼此異號），；

對於（即a, b彼此同號），。

像几何中的情况一样，该式的推论为：。

反方向 
在閔考斯基時空，三角不等式是反方向的：

 ||x + y|| ≥ ||x|| + ||y||     对所有 x, y  V，使得||x|| ≥ 0, ||y|| ≥ 0 和 tx ty ≥ 0

這個不等式的物理例子可以在狹義相對論中的雙生子佯謬找到。

參見 
 次可加性

参考文献 

度量几何
几何不等式
三角形几何