泰勒级数

在数学中，泰勒级数（）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英國数学家布魯克·泰勒（）来命名的。通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做麦克劳林级数，以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。

拉格朗日在1797年之前，最先提出帶有餘項的現在形式的泰勒定理。实际应用中，泰勒级数需要截断，只取有限项，可以用泰勒定理估算这种近似的误差。一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒多项式。一个函数的泰勒级数是其泰勒多项式的极限（如果存在极限）。即使泰勒级数在每点都收敛，函数与其泰勒级数也可能不相等。在开区间（或复平面上的开区间）上，与自身泰勒级数相等的函数称为解析函数。

定义 

在数学上，对于一个在实数或复数邻域上，以实数作为变量或以复数作为变量的函数，并且是无穷可微的函数，它的泰勒级数是以下这种形式的幂级数：

这里，表示的阶乘，而表示函数在点处的阶导数。如果，也可以把这个级数称为麦克劳林级数。

解析函數

如果泰勒级数对于区间中的所有都收敛并且级数的和等于，那么我们就称函数为解析形的函数（analytic）。一个函数当且仅当（简单地说，“只有在且只要在”）能够被表示为幂级数的形式时，才是解析形的函数。通常会用泰勒定理来估计级数的餘项，这样就能够确定级数是否收敛于。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。

以下三个事实可以说明为什么泰勒级数是十分重要的：
 可以逐项对幂级数的计算微分和积分，因此求和函数相对比较容易。
 数学家因此能够在复数平面上研究函数，因为一个解析函数，也可以被定义为在复平面中一个开放的区间内的解析函数(在区间内每一个点上都能被微分的函数)。
 可用泰勒级数估计，在某一点上函数会计算出什么值。

对于一些无穷的可以被微分函数，虽然它们的展开式会收敛，但是并不等于。例如，分段函数，如果并且，则时所有的导数都为零，所以这个的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，不过函数仅在处为零。但是，在以复数作为变量的函数中这个问题并不存在，因为当沿虚轴趋于零，并不趋于零。

如果一个函数在某处引发一个奇点，它就无法被展开为泰勒级数，不过如果变量是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，虽然在的时候，会引发奇点，但仍然能够把这个函数展开为一个洛朗级数。

最近，专家们发现了一个用泰勒级数来求解微分方程的方法——。用皮卡反覆運算便可以推导出这个方法。

常用的函数:麦克劳林級數 

下面我们给出了几个重要的麦克劳林级数。当变量是复数时，这些等式依然成立。

几何级数

由无穷递缩等比数列求和式:

二项式级数

二项式系数。

指数函数和自然对数
以为底数的指数函数的麦克劳林序列是
 （对所有X都成立）

以为底数的自然对数的麦克劳林序列是

 （对于在区间[-1,1)内所有的X都成立）

 （对于在区间(-1,1]内所有的X都成立）

三角函数
常用的三角函数可以被展开为以下的麦克劳林序列：

在展开式中的Bk是伯努利数。在展开式中的Ek是欧拉数。

双曲函数

展开式中的Bk是伯努利数。

朗伯W函数

多元函数的展开 

泰勒级数可以推广到有多个变量的函数：

历史 
希腊哲学家芝诺在考虑了利用无穷级数求和来得到有限结果的问题，得出不可能的结论 - 芝诺悖论。后来，亚里士多德对芝诺悖论在哲学上进行了反驳，但德谟克利特以及后来的阿基米德进行研究，此部分数学内容才得到解决。 正是用了阿基米德的穷竭法才使得一个无穷级数被逐步的细分，得到了有限的结果。几个世纪之后，中国数学家刘徽也独立提出了类似的方法。

进入14世纪，最早使用了泰勒级数以及相关的方法。尽管他的数学著作没有流传下来，但后来印度数学家的著作表明他发现了一些特殊的泰勒级数，这些级数包括正弦、余弦、正切、和反正切三角函数等等。之后，在他的基础上进行了一系列的延伸与合理逼近，这些工作一直持续到16世纪。

到了17世纪，詹姆斯·格雷果里同样继续着这方面的研究并且发表了若干麦克劳林级数。但是直到1715年，布鲁克·泰勒  提出了一个通用的方法来构建适用于所有函数的此类列级数。这就是后来被人们所熟知的泰勒级数。
麦克劳林级数是泰勒级数的特例，是爱丁堡大学的科林·麦克劳林教授在18世纪发表的，并以其名字命名。

與牛頓插值公式的淵源

牛頓插值公式也叫做牛頓級數，由“牛頓前向差分方程”的項組成，得名於伊薩克·牛頓爵士，最早发表为他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編“宇宙體系”的引理五，此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續“泰勒展開”的離散對應。

差分

對於x值間隔為非一致步長，牛頓計算均差，對x值間隔為單位步長1或一致但非單位量的情況，計算差分，前向差分的定義為：

插值公式

牛頓前向差分插值公式為：
 

這成立於任何多項式函數和大多數但非全部解析函數。

無窮級數
牛頓在1665年得出並在1671年寫的《流數法》中發表了的無窮級數，在1666年得出了和的無窮級數，在1669年的《分析學》中發表了、、和的無窮級數；萊布尼茨在1673年大概也得出了、和的無窮級數。布魯克·泰勒在1715年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa 》中研討了有限差分方法，其中論述了他在1712年得出的泰勒定理，這個成果此前詹姆斯·格雷果里在1670年和萊布尼茨在1673年已經得出，而約翰·伯努利在1694年已經在《教師學報》發表。

他對牛頓的均差分的步長取趨於的極限，得出：

参考文献

參見 
 無窮級數
 牛頓多項式
 冪級數
 光滑函數
 帕德近似
 泰勒公式

级数
光滑函数
微積分
級數展開