级数

级数（）是数学中一个有穷或无穷的序列例如之和，即，如果序列是有穷序列，其和称为有穷级数；反之，称为无穷级数（一般也简称为级数）。

序列中的项称作级数的通项（或一般项）。级数的通项可以是实数、矩阵或向量等常量，也可以是关于其他变量的函数，不一定是一个数。一般的，如果级数的通项是常量，则称之为常数项级数，如果级数的通项是函数，则称之为函数项级数。常见的简单有穷数列的级数包括等差数列和等比数列的级数。

有穷数列的级数一般通过初等代数的方法就可以求得。无穷级数有发散和收敛的区别，称为无穷级数的敛散性。判断无穷级数的敛散性是无穷级数研究中的主要工作。无穷级数在收敛时才會有一个和；发散的无穷级数在一般意义上没有和，但可以用一些别的方式来定义。

无穷级数的研究更多的需要数学分析的方法来解决。无穷级数一般写作、或者，级数收敛时，其和通常被表示为，其中符号称为求和号。

无穷级数的定义 
设是一个无穷序列 ：，其前n项的和称为的部分和：

部分和依次构成另一个无穷序列：

这两个序列合称为一个级数，记作或者。

无穷级数的敛散性 
对于级数，如果当趋于正无穷大时，趋向一个有限的极限：，那么这个无穷级数就叫做是收敛的，叫做级数的和。如果极限不存在，这个无穷级数就是发散的。收敛的无穷级数存在唯一的一个和。这时可以定义级数的余项和：。

任意项级数
如果级数中的各项可以是正数，负数或零，则级数称为任意项级数。
将任意项级数各项取绝对值，得到正项级数。

条件收敛
如果任意项级数收敛，而级数发散，则称级数条件收敛。

绝对收敛
如果级数收敛，则称级数绝对收敛
定理：如果任意项级数的各项的绝对值所组成的正项级数收敛，则级数收敛。
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!证明：
|-
|
令

于是，有

因为,均为正项级数，且收敛，由比较审敛法知，级数和收敛。
又因为,所以由级数的定义可得，级数收敛。
该定理表明，如果级数绝对收敛，则级数必收敛。
|}

收敛级数的性质
 若一个无穷级数收敛，其和为，则如果每一项乘以一个常数，得到的级数也收敛，且和等于as。

 收敛的无穷级数可以逐项相加或相减，如有两个无穷级数：
和 ，则
.

 级数前面加上有限项或减去有限项不影响其敛散性，如：
和 
这两个级数的敛散性是一样的。

 当趋向无限大时，任何一个收敛级数的通项都趋于0：

 在一个完备空间中，也可以运用柯西收敛的准则来判断级数是否收敛：一个无穷级数收敛的充要条件是，对任意 ，总存在，使得任意的，。

无穷级数的研究历史 
将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自14世纪印度的马德哈瓦。他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理逼近以及无穷连分数做了研究。他发现了正弦、余弦、正切函数等的泰勒展开，还用幂级数计算了 π 的值。他的学生继承和发展了他关于级数的工作。

17世纪，詹姆斯·格里高利也开始研究无穷级数，并发表了若干函数的麦克劳林展开式。1715年，布鲁克·泰勒提出了构造一般解析函数的泰勒级数的方法。18世纪时欧拉又发展了超几何级数和q-级数的理论。

对审敛法的研究 
14世纪时，马德哈瓦已经开始讨论判别无穷级数敛散性的方法。他提出了一些审敛的准则，后来他的学生将其推广。

然而在欧洲，审查无穷级数是否收敛的研究一般被认为是从19世纪由高斯开始的。他于1812年发表了关于欧拉的超几何级数

的论文，提出了一些简单的收敛准则，并对余项和以及收敛半径进行了讨论。

柯西提出了严格的审敛法的重要性，他证明了两个收敛级数的乘积不一定是收敛的，同时开始研究严格的审敛准则。欧拉和高斯各自给出了各种审敛法则。柯西更研究了复函数的幂级数展开。

1826年，阿贝尔在他的关于二项式级数

的论文中更正了柯西的若干个结论，并给出了二项式级数的严格的求和方法，指出了连续性在收敛问题中的重要性。

柯西提出的审敛法并不是普遍适用的，只能用于判别某些特定函数的敛散性。同时代的其他数学家，比如拉贝（Joseph Ludwig Raabe）的对数判别法，德·摩根的对数判别法（被 DuBois-Reymond和普林斯海姆证明对某些函数失效）
，以及贝特朗、斯托克斯、切比雪夫等人的审敛法也是如此。

对普遍的审敛法则的研究由恩斯特·库默尔开始，之后的艾森斯坦、维尔斯特拉斯、尤里斯·迪尼等都曾致力于这一领域。普林斯海姆于1889年发表的论文阐述了完整的普适审敛理论。

对一致连续性的研究 
1821年，柯西首先开始对一致连续性的研究，但其中有不少错误和局限。这些错误最早被阿贝尔指出，但首先得出正确结论的是西德尔和斯托克斯。1853年，柯西在注意到阿贝尔的批评后重新开展研究，并得到了与斯托克斯一样的结论。然而，一致连续性的重要性在很长一段时间裡没有受到重视。

类别 
更多級數請參見級數列表。

几何级数 

几何级数（或等比级数）是指通项为等比数列的级数，比如：

一般来说，几何级数收敛当且仅当。

调和级数 

调和级数是指通项为的级数：

它是发散的。

-级数 
-级数是指通项为的级数：

对于实数值的，当时收敛，当时发散。这可以由积分比较审敛法得出。

函数是黎曼ζ函數在实轴大于1的部分的限制，关于黎曼函數有著名的黎曼猜想。
特別地，當時，-級數即為調和級數。

裂项级数 

收敛当且仅当数列收敛到某个极限，并且这时级数的和是。

泰勒级数 

泰勒级数是关于一个光滑函数在一点附近取值的级数。泰勒函数由函数在点的各阶导数值构成，具体形式为：

这是一个幂级数。如果它在附近收敛，那么就称函数在点上是解析的。

交错级数 
具有以下形式的级数

其中所有的非负，被称作交错级数。交错级数的收敛通常要借助莱布尼茨判别法。

幂级数 

形同的函数项无穷级数称为的幂级数。它的收敛与否和系数有关。

傅里叶级数 

任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，称为傅里叶级数。傅里叶级数是函数项无穷级数，也就是说每项都是一个函数。傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

例如，周期为的周期函数可以表示为：

其中，，，特别的，

常数项无穷级数审敛法

正项级数 
若通项为实数的无穷级数每一项都大于等于零，则称是一正项级数。

如果无穷级数  是正项级数，则部分和是一个单调递增数列。由数列极限的判别准则：单调有界数列必有极限。因此，倘若部分和数列Sn有界，收敛，且 ;反之，若部分和数列趋于正无穷，级数发散。

比较判别法 
设 和 是正项级数。
如果存在正实数，使得从若干项开始，（也就是说），则
 当 收敛时，可推出  也收敛。
 当 发散时，可推出  也发散。

如果，则
 当 收敛时，可推出  也收敛。
 当 发散时，可推出  也发散。

如果或其它有限数，则 和 同时收敛或发散。

比如，我们已知级数：收敛，则级数：也收敛，因为对任意的，。

比较判别法的特点是要已知若干级数的敛散性。一般来说，我们可以选择比较简单的级数：作为“标准级数”，依此判断其他函数的敛散性。需要知道的是当时，发散，当时，收敛。

达朗贝尔判别法 

在比较判别法中，如果取几何级数为比较的标准级数，可得：
设是通项大于零的正项级数。并且，则
 当 时，级数收敛。
 当 时，级数发散。
 当 时，级数可能收敛也可能发散。

这个判别法也称为比值判别法或比值审敛法。

柯西收敛准则 

设  是正项级数。并且，则
 当时，级数  收敛。
 当时，级数  发散。
 当时，级数  可能收敛也可能发散。

这个判别法也称为根值判别法或根值审敛法'。

交错级数 

具有以下形式的级数

其中所有的非负，被称作交错级数。

莱布尼茨判别法 

在上述的级数中，如果当趋于无穷时, 数列的极限存在且等于 0，并且每个小于（即, 数列是单调递减的），那么级数收敛。

任意项级数 

对于通项为任意实数的无穷级数，将级数称为它的绝对值级数。可以证明，如果收敛，那么 也收敛，这时称 绝对收敛。如果收敛，但是发散，则称条件收敛。比如说，级数绝对收敛，因为前面已经证明 收敛。而级数是条件收敛的。它自身收敛到，但是它的绝对值级数是发散的。

黎曼级数定理说明，如果一个无穷级数条件收敛，那么对于任意的实数，存在一个正整数到正整数的双射，使得级数收敛到 。对于正负无穷大，上述双射也存在。

函数项级数 
设为定义在区间上的函数列，则表达式：称为函数项级数，简记为。对函数项级数的主要研究是：

 确定对哪些，收敛。
 收敛的话，其和是什么，有什么性质？

收敛域 
对区间上的每个 ，级数 是常数项级数。若
收敛，则称是的一个收敛点，全体收敛点的集合称为它的收敛域。若
发散，则称是的一个发散点，全体发散点的集合称为它的发散域。在其收敛域的每一点上都有定义，因此定义了一个函数，称为的和函数，记为。按照定义，，其中为函数项级数在点上的部分和。

一致收敛 

函数项级数的取值可以在它的收敛域上用和函数定义，但和函数的性质可能会和级数的每一项不同。比如说，当函数项级数中的每一项在收敛域上都是连续函数时，和函数未必会是连续函数。以下是一个例子：
设，也就是说，等等，它们显然都是连续函数（甚至是光滑函数）。这时函数项级数在 点上的部分和。在区间的每一点上，部分和都有极限：
当时，
当时，
于是在区间上，级数 收敛，其和函数为：
当时，；。
这不是一个连续函数。

然而，如果函数项级数能够满足某些更严格的条件的话，可以证明级数的和函数的规则性将会等于每一项函数的规则性，这就是所谓的一致收敛性质。和函数列的一致收敛性质一样，函数项级数在某个区间内（关于某个范数）一致收敛的定义是它的部分和函数 在区间上一致收敛到和函数，
 
或者写成

可以证明：

进一步的，如果导函数级数的每一项都是函数（阶连续可微函数），并且各阶导函数级数在区间内都一致收敛，那么级数和函数 也是函数，并且：
  ，。

绝对收敛 
函数项级数也有绝对收敛的概念。对于某个给定的区间和范数，函数项级数在区间内绝对收敛，当且仅当常数级数收敛。

绝对收敛的（连续？）函数在每一点都收敛，并且在区间内一致收敛。

幂级数 

形同的函数项无穷级数称为的幂级数。一般只需讨论形同的幂级数。

幂函数的收敛域 
根据阿贝尔定理，它的收敛域是一个关于零对称的区间，即为（可开可闭）的形式。这个正数（可以是无穷大）叫做幂级数的收敛半径。并有定理：

设幂级数满足，则：
 是正实数时，。
 时，。
 时，。

幂级数的和函数 
求解幂级数的和函数有时需要利用先对各项积分（或求导）以得到一个方便利用已有公式进行求和的形式，在求和后在对各项求导（或积分）。

渐进级数 

渐进级数是用来对某些函数的间断点附近的情况进行逼近的级数。渐进级数一般是发散的，它的部分和趋于无穷大，因此可以很好地逼近一个趋于无穷大的函数。但要注意的是，渐进级数提供的逼近是相对的，即只是比值趋于一致，与函数值之间的误差并不像收敛的级数一样趋于无穷小。一般来说，渐进级数在若干项后便达到最小的绝对误差，之后的绝对误差一般会增大甚至趋于无穷。

发散级数的和 

发散级数的部分和没有极限，但是在应用中可以使用比较弱的级数和定义，比如切萨罗求和、阿贝尔求和以及欧拉求和。

推广 
级数的概念可以在任何的对称拓扑群中定义，常用的是在一个巴拿赫空间（比如实数或复数空间）中。

参见 
 收敛
 发散级数
 
 级数展开
 求和变换
 阿贝尔定理
 黎曼级数定理
 柯西-阿达马公式

注释

参考文献

参考书目 
 
 

 
无穷
高等数学