拉格朗日定理 (群論)

拉格朗日定理是群論的定理，利用陪集證明了子群的階一定是有限群的階的因數值。

定理

叙述：设H是有限群G的子群，则H的阶整除G的阶。

定理的证明利用了左陪集的性质，令H是群G的子群。可知H在G中的每个左陪集都是一个等价类（证明见下）。将G作左陪集分解，由于每个等价类的元素个数都相等，都等于H的元素个数（H是H关于e的左陪集），因此H的阶（元素个数）整除G的阶，商是H在G中的左陪集个数，叫做H对G的指数，记作[G:H]。

陪集的等价关系

定义二元关系：。下面证明它是一个等价关系。

 自反性：
 对称性：，因此，因此
 传递性：，因此，因此。

可以证明，。因此左陪集是由等价关系确定的等价类。

拉格朗日定理说明，如果商群G / H存在，那么它的阶等于H对G的指数[G:H]。 

上述写法在G为无限群时也成立。

推论

1. 由拉格朗日定理可立即得到：由有限群G中一个元素a的阶数整除群G的阶（考虑由a生成的循环群）。

2. 如果是质数，那么所有阶数为的群都同构（因为素数只有1和它本身为约数）。

3. 费马小定理是拉格朗日定理的一个简单推论。

逆命题

拉格朗日定理的逆命题并不成立。给定一个有限群G和一个整除G的阶的整数d，G并不一定有阶数为 
d的子群。最简单的例子是4次交替群A4，它的阶是12，但对于12的因数6，A4没有6阶的子群。对于这样的子群的存在性，柯西定理和西洛定理给出了一个部分的回答。

参见 

 群
 正规子群
 西洛定理

L
L
有限群