共轭梯度法

共轭梯度法（），是求解系数矩阵为对称正定矩阵的线性方程组的数值解的方法。共轭梯度法是一个迭代方法，它适用于系数矩阵为稀疏矩阵的线性方程组，因为使用像Cholesky分解这样的直接方法求解这些系统所需的计算量太大了。这种方程组在数值求解偏微分方程时很常见。

共轭梯度法也可以用于求解无约束的最優化问题。

双共轭梯度法（）提供了一种处理非对称矩阵情况的推广。

方法的表述

设我们要求解下列线性系统

其中  矩阵  是对称的（即 ），正定的（即 ），并且是实系数的。 将系统的唯一解记作 。

最后算法

经过一些简化，可以得到下列求解  的算法，其中  是实对称正定矩阵。

结果为 .

外部链接
 Méthode du gradient conjugé （共轭梯度法，法语）作者N. Soualem.
 Méthode du gradient conjugé préconditionné （预处理共轭梯度法，法语）作者N. Soualem.
 共轭梯度法通俗介绍 作者Jonathan Richard Shewchuk.

相關 
共轭梯度法的推导

参考

共轭梯度法最初出现于
 Magnus R. Hestenes and Eduard Stiefel（1952）,Methods of conjugate gradients for solving linear systems, J. Research Nat. Bur. Standards 49, 409–436.

下列教科书中可以找到该方法的描述
 Kendell A. Atkinson（1988）,An introduction to numerical analysis（2nd ed.）,Section 8.9, John Wiley and Sons. ISBN 0-471-50023-2.
 Gene H. Golub and Charles F. Van Loan, Matrix computations（3rd ed.）,Chapter 10, Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-5414-8.

G
G