巴都萬數列

巴都萬數列（Padovan Sequence）是一個整數數列，其起始數值跟遞歸關係定義為：

P(n) 的前几个值是：

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265, ... 

此數列以建築師命名，理察·巴都萬把此数列的发现归功于荷兰建筑师在1994年发表的论文《Dom. Hans van der Laan : Modern Primitive》。1996年6月，艾恩·史都華在《科學美國人》雜誌提到這個數列。

遞歸關係
 （此關係可從圖中見得）
 
 
 

佩蘭數列滿足相同的遞歸關係。它亦可從巴都萬數列定義：

反巴都萬數列
使用遞歸關係可將巴都萬數列推廣到負數項。這樣的定義跟將斐波那契數推廣到反斐波那契數列相似。另一方面，反斐波那契數列取絕對值便和斐波那契數列相等，但反巴都萬數列卻不：

... -7, 4, 0, -3, 4, -3, 1, 1, -2, 2, -1, 0, 1, -1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1 ...

項的和

首項（包括第0項）之和比少2：

下面是每隔數項的和：

下面的恆等式跟項與項的乘積之和有關：

其他恆等式

巴都萬數列跟二項式係數之和有關：

估計值
有三個根：唯一的實數根（即銀數）和兩個複數根和。

因為和的絕對值都少於1，當趨近無限，其冪會趨近0。因此，對於很大的，可以以下面的公式估計：

從上面的公式亦知的值趨近銀數。

整數分拆上的定義
可以用不同的整數分拆來定義。

 是將寫成一個有序、每項是2或3的和式的方法的數目。例如，有4種方法將8寫成這類和式：
 2+2+2+2 ; 2+3+3 ; 3+2+3 ; 3+3+2

 是將寫成一個有序且式中沒有項為2的和式的方法的數目。例如，有7種方法將5寫成這類和式：
 1+1+1+1+1 ; 1+1+3 ; 1+3+1 ; 3+1+1 ; 4+1 ; 1+4 ; 5

 是將寫成一個有序且「回文型」且式中沒有項為2的和式的方法的數目。例如，有9種方法將9寫成這類和式：
 9 ; 1+7+1 ; 1+1+5+1+1 ; 1+1+1+3+1+1+1 ; 1+1+1+1+1+1+1+1+1; 3+3+3 ; 4+1+4 ; 3+1+1+1+3; 1+3+1+3+1

 若上述情況改為，則數列如下：
 1+1+1+1+1+1+1+1: 4+4; 3+1+1+3; 1+3+3+1;  1+1+4+1+1; 1+6+1; 8

 是將寫成一個有序的、每項除以3都餘2的和式的方法的數目。例如，有5種方法將11寫成這類和式：
 11 ; 2+2+2+5 ; 2+2+5+2 ; 2+5+2+2 ; 5+2+2+2

生成函數
巴都萬數列的生成函數為

它可以用於證明巴都萬數跟幾何級數的項的積的等式，例如：

多項式
巴都萬數列可以一般化成一個多項式的集。

首七個巴都萬多項式為：

第個巴都萬數即。

其他特質
奇偶性：按「奇奇奇偶偶奇偶」的組合重覆出現。
數列中的質數：（OEIS:A000931）
數列中的平方數：

参考文献

外部連結
 Padovan Sequence （MathWorld）
 Tales of a Neglected Number，艾恩·史都華在雜誌發表的文章
 學生科技網--中學生科技：美丽的螺旋线 黄金分割漫谈之三，李颍伯
 Dom Hans Van Der Laan And The Plastic Number , Richard Padovan

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