蚌线

在平面几何中，蚌线是一类曲线，可以由一条给定的曲线、一个定点和一个给定的长度来确定。更具体地说，过定点  的动直线与给定曲线  相交，动直线上满足“与交点距离为定长  ”的点的轨迹定出的新曲线，就是原曲线  关于极点  和迹距  的蚌线。

用解析几何的方式来表述：平面曲线  的极坐标方程为  ，则以  为方程的曲线是  关于原点的蚌线。

“蚌线”也常特指原曲线为直线的蚌线，即尼科美迪斯蚌线。是古希腊数学家，他利用这种蚌线来解决古希腊数学三大难题中的两个——三等分角和倍立方体。

尼科美迪斯蚌线

性质
有定直线  和直线外一固定点 ，过点  的动直线与  相交，动直线上满足“与交点距离为定长”的点的轨迹，就是直线  关于极点  的蚌线  ，即尼科美迪斯蚌线。一条尼科美迪斯蚌线有内外两支，两支的渐近线都为  。

通常记  与点  的距离为  ，迹距为 。根据  和  的关系，内支有三种不同形态：

当  时，蚌线内支没有尖点或结点，极点与内支不相交。
当  时，蚌线内支有一个尖点，尖点与极点重合。
当  时，蚌线内支有一个结点，结点与极点重合。

尼科美迪斯蚌线是轴对称图形，对称轴与  垂直并通过极点 。

历史和应用

古希腊数学家是最早研究蚌线的人。他发明了绘制直线之蚌线的工具，这是人们第一次用仪器绘制出直线和圆之外的几何曲线。他关于蚌线的论著已经失传，只有一部分通过帕普斯的《数学汇编》得以保存下来。帕普斯指出，存在“四种”蚌线，但只记录了“第一种”蚌线，也就是直线蚌线的外支，用来解决尺规作图三大难题中的两个：三等分角和倍立方体。剩下的“三种”蚌线，很可能指的是直线蚌线内支的三种形态。

帕普斯将该曲线称为“螺线”（），这很可能是尼科美迪斯最初的叫法。后来的普罗克洛等人才改称该曲线为“蚌线”（）。

17世纪的大数学家艾萨克·牛顿认为蚌线是仅次于直线和圆的、定义第三简洁的曲线，并利用蚌线构造出多种三次平面曲线。但及至当代，蚌线变得很少被数学家研究和关注。

倍立方体

作线段  。以点  为圆心、 为半径作圆，以点  为圆心、 为半径作圆，交于点  。

过点  作线段  的垂线 。以点  为极点、 为迹距作直线  的蚌线外支。

延长  交蚌线于点  。延长  交圆  于点  。连接  交  于点  。线段  的长度即为  。

{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
! 代数证明
|-
| 
设  。显然  是正实数。

因为  为直角三角形，所以  。

又因为  ，所以  。

 

 

|}

{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
! colspan="2" | 尼科美迪斯的几何证明
|-
|
作长方形  ， 。
延长  ，延长  ，交于点  。
连接  ，交  于点  ，点  是  中点。
取  中点 ，连接  。
| rowspan="5" |
|-
|

 
|-
|

|-
|

 

|-
|

 
|}

三等分角

作任意直角三角形  ，点  为垂足。以点  为极点、 为迹距作直线  的蚌线外支。

过点  作直线  的垂线，交蚌线于点 。  就是  的三等分线。

{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
! 证明
|-
| 
作  与  的交点  。取  的中点  ，连接  。

根据蚌线和直角三角形的性质，可知  。

易证得  。

故  。

|}

解析几何
在极坐标系中，设点  为坐标原点，则直线  和蚌线  的方程可以表示为：

在直角坐标系中，设点  为坐标原点，则直线  和蚌线  的方程可以表示为：

或用参数方程表示为：

（上下正负号同号，）

尼科美迪斯蚌线是四次平面曲线。

帕斯卡蜗线

帕斯卡蜗线是一类外旋轮线，同时也是一类特殊的蚌线，是圆关于圆上一个定点的蚌线。由于极点在原曲线上，所以蚌线的内支和外支光滑相连为一条曲线。当迹距等于圆的直径时，就是心脏线。

作圆  关于圆上一个定点  、迹距等于圆的半径的蚌线。对于圆上任意一点 ，延长  至圆外，与所作蚌线交于点 。根据蚌线的性质，易知  。这条特殊的蚌线被称为。

其他蚌线

参考来源

四次曲线