卡方分佈

卡方分布（, ，或寫作χ²分布）是概率论与统计学中常用的一种概率分布。k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布。卡方分布是一种特殊的伽玛分布，是統計推論中应用最为广泛的概率分布之一，例如假說檢定和置信区间的计算。

由卡方分布延伸出來皮爾森卡方檢定常用于：

樣本某性質的比例分布與母體理論分布的拟合优度（例如某行政機關男女比是否符合該機關所在城鎮的男女比）；
同一母體的兩個随机变量是否独立（例如人的身高與交通違規的關聯性）；
二或多個母體同一屬性的同質性檢定（義大利麵店和壽司店的營業額有沒有差距）。（詳見皮爾森卡方檢定）

数学定义 

若k个随机变量、……、是相互独立且符合标准正态分布的随机变量（数学期望为0、方差为1），则随机变量Z的平方和

被称为服从自由度为 k 的卡方分布，记作

性质 
可以在文章右上角的表中看到更多卡方分布的性质。

概率密度函数 
卡方分布的概率密度函数为：

其中，当时。这里Γ代表Gamma函数。

累积分布函数 
卡方分布的累积分布函数为：
，
其中γ(k,z)为不完全Γ函数

在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。此外许多表格计算软件如OpenOffice.org Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。

自由度为k的卡方变量的平均值是k，方差是2k。
卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为：

其中是雙伽瑪函數。

卡方變數與Gamma變數的關系 
當Gamma變數 頻率（λ）為1/2時，α的2倍為卡方變數之自由度。
即：

卡方變數之期望值＝自由度
卡方變數之方差＝两倍自由度

可加性 
由定义可得，独立卡方变量之和同样服从卡方分布。特别地，若分别独立服从自由度为的卡方分布，那么它们的和服从自由度为的卡方分布。

偏差的平方和 
若k个随机变量、……、是相互独立，符合标准正态分布的随机变量，则它们与均值之间偏差的平方和

其中均值

它的平方正比于自由度为1的卡方分布，即

卡方分布表 
p-value = 1- p_CDF. 

χ2越大，p-value越小，則可信度越高。通常用p=0.05作为閾值，即95%的可信度。

常用的χ2与p-value表如下:

参考文献

外部链接 
卡方分配與卡方檢定 

 分布计算器

连续分布
正态分布
指数族分布
无穷概率分布
概率分布