阿基米德公理

在抽象代数和分析学中，以古希腊数学家阿基米德命名的公理，是一些赋范的群、域和代数结构具有的一个性质，可表述如下：

對於任何正實數  及 ，即使  多麼小，或是  多麼大，也必定存在自然數 ，使得 。

這公理的粗略意義是，數字系統不存在具有无穷大或无穷小性質的元素。

这个概念源于古希腊对量的理论。由于它出现在阿基米德的《论球体和圆柱体》的公理五，1883年，奧地利數學家赋予它这个名字。

在現代實分析中，這性質不是一個公理，而是退卻為實數具完備性的結果。基於這理由，常以性質的叫法取而代之。

此性質在现代数学中，仍然起着重要的作用，例如有關有序群、有序域和局部域的理论，以及大卫·希尔伯特的几何公理系統。

形式敘述以及證明

解釋 
簡單地說，阿基米德性質可以認為以下二句敘述的任一句：

給出任何數，你總能夠挑選出一個整數大過原來的數。
給出任何正數，你總能夠挑選出一個整數其倒數小過原來的數。

這等價于說，對於任何正實數、，如果，則存在自然數，有

与實數的完備性的关系 
實數的完備性蘊含了阿基米德性質，證明利用了反證法：

假設對所有，（注意表示个相加），令，則爲的上界（上方有界，依實數完備性，必存在最小上界，令其為），於是有

 

得出也是的一個上界，這與是最小上界矛盾。這樣就由實數的完備性推出了阿基米德性質，但阿基米德性質推不出實數的完備性，因為有理數滿足阿基米德性質，但並不是完備的。

參看 

数论
A