切比雪夫不等式

在概率論中，切比雪夫不等式（）顯示了隨機變量的「幾乎所有」值都會「接近」平均。在20世纪30年代至40年代刊行的书中，其被称为比奈梅不等式（）或比奈梅-切比雪夫不等式（）。切比雪夫不等式，对任何分布形状的数据都适用。可表示为：对于任意，有：

概念 
這個不等式以數量化這方式來描述，究竟「幾乎所有」是多少，「接近」又有多接近：
 與平均相差2個標準差以上的值，數目不多於1/4
 與平均相差3個標準差以上的值，數目不多於1/9
 與平均相差4個標準差以上的值，數目不多於1/16
……
 與平均相差k個標準差以上的值，數目不多於1/k2

舉例說，若一班有36個學生，而在一次考試中，平均分是80分，標準差是10分，我們便可得出結論：少於50分或多於110分（與平均相差3個標準差以上）的人，數目不多於4個（=36*1/9）。
公式：

推论

測度論說法
設(X,Σ,μ)為一測度空間，f為定義在X上的廣義實值可測函數。對於任意實數t > 0，

一般而言，若g是非負廣義實值可測函數，在f的定義域非降，則有

上面的陳述，可透過以|f|取代f，再取如下定義而得：

概率論說法
設為隨機變量，期望值為，标准差為。對於任何實數k>0，

改進
一般而言，切比雪夫不等式給出的上界已無法改進。考慮下面例子：
 
 
這個分布的標準差，。

对于任意分布形态的数据，根据切比雪夫不等式，至少有  的数据落在k个标准差之内。其中k>1，但不一定是整数。

當只求其中一邊的值的時候，有Cantelli不等式：

證明
定義，設為集的指示函数，有

又可從馬爾可夫不等式直接證明：馬氏不等式說明對任意隨機變量Y和正數a有。取及。

亦可從概率論的原理和定義開始證明：

參見
馬爾可夫不等式
弱大數定律
大數定律

参考来源
《基本統計學 觀念與應用二版》，林惠玲 陳正倉 著
《應用統計學 第四版》 修訂版，林惠玲 陳正倉 著

概率論
概率不等式
统计学定律