反函數

在數學裡，反函數，也称为逆函数（），為對一個定函數做逆運算的函數。

定义
設為一函數，其定義域為，值域為。如果存在一函數，其定義域和值域分別為，並對每一有：

則稱為的反函數，記之為。

例如，若給定一函數，則其反函數為。
若一函數有反函數，此函數便稱為可逆的。

簡單規則 
一般而言，當為一任意函數，且為其反函數，則，。換句話說，反函數撤销了原函數的运算。

在上述例子，可以證明確為反函數，以將代入的方式，如此

 。

類似地，也可以將代入來證明。

確實，的反函數的一等價定義，就是為於定義域上的恆等函數，且為值域上的恆等函數。

存在性 
如果一函數有反函數，必須是一雙射函數，即：
 單射：陪域上的每一元素都只被映射至多一次。
 滿射：陪域上的每一元素都必須被映射到。

不然將沒有辦法對某些元素定義的反函數。

設為一实函数。若有一反函數，它必通過水平線測試，即一放在圖上的水平線必對所有實數，至多通過一次。換言之，當位於的值域時，恰好通過f圖一次。

性質 
原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域。
原函数与其反函数的函数图像关于函数的图像对称。
严格单调函数一定存在反函数，且反函数与原函数的单调性一致。
拥有反函数的函数不一定是严格单调函数，例如

注释

另見 
 值域
 逆關係
 反函数定理

集合論基本概念
 
一元运算
負一