完全数

完全数（），又稱完美數或完備數，是一些特殊的自然数：它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和，恰好等於它本身，完全数不可能是楔形數、平方數、佩爾數或費波那契數。

例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，，恰好等於本身。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，，也恰好等於本身。后面的数是496、8128。

十進位的5位數到7位數、9位數、11位數、13到18位數等位數都沒有完全數，它們不是虧數就是盈數。

完全數的發現 
古希腊数学家欧几里得是通过
的表达式发现前四个完全数的。 

当
当
当
当

一个偶数是完美数，当且仅当它具有如下形式：，其中是素数，此事實的充分性由欧几里得证明，而必要性則由歐拉所證明。

比如，上面的和对应着和的情况。我们只要找到了一个形如的素数（即梅森素数），也就知道了一个偶完美数。

尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是或的形式，其中是素数。 

首十個完全數是（）：
 6（1位）
 28（2位）
 496（3位）
 8128（4位）
 33550336（8位）
 8589869056（10位）
 137438691328（12位）
 2305843008139952128（19位）
 2658455991569831744654692615953842176（37位）
 191561942608236107294793378084303638130997321548169216（54位）

历史 
古代数学家根据當時已知的四个完全数做了很多假设，大部分都是错误的。其中的一个假设是：因为 2、3、5、7 恰好是头 4 个素数，第 5 个完全数应该是第 5 个素数，即当  的时候，可是  并不是素数。因此  不是完全数。另外两个错误假设是：

 头四个完全数分别是 1、2、3、4 位数，第五个应该是 5 位数。
 完全数应该是交替以 6 或 8 结尾。

事实上，第五个完全数  是  位数。

对于第二个假设，第五个完全数确实是以  结尾，但是1588年，意大利數學家彼得羅·卡塔爾迪計出第六个完全数 ，仍是以  结尾，只能說歐幾里得的公式給出的完全數以  和  结尾。卡塔爾迪證明了此結論。此外，還計出第七個完全數137,438,691,328。

对完全数的研究，至少已经有两千多年的历史。《几何原本》中就提出了寻求某种类型完全数的问题。

每一个梅森素数给出一个偶完全数；反之，每個偶完全數給出一個梅森素數，這結果稱為歐幾里得－歐拉定理。到 2018 年 12 月为止，共发现了 51 个完全数，且都是偶数。最大的已知完全數為  共有  位數。

性质 
以下是目前已發現的完全數共有的性質。
 偶完全数都是以6或28结尾。
 而如果存在奇完全數，它在十二進制中必定以1, 09, 39, 69或99結尾。
 而如果存在奇完全數，它在六進制中必定以01, 13, 21或41結尾。
 除了6以外的偶完全数，把它的各位数字相加，直到变成個位数，那么这个個位数一定是1：
  →  → 
  →  →  → 
 所有的偶完全数都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和，从到：
 
 
 
 
 每个偶完全数都可以写成连续自然数之和：
 
 
 
 
 除6以外的偶完全数，还可以表示成连续奇立方数之和（被加的项共有)：
 
 
 
 
 每个完全数的所有约数（包括本身）的倒数之和，都等于2：（這可以用通分證得。因此每個完全數都是歐爾調和數。）
 
 
 它们的二进制表达式也很有趣：（因為偶完全數形式均如）

奇完全數 

用计算机已经证实：在101500以下，没有奇完全数；至今还证明了，如果奇完全数存在，则它至少包含11个不同素数（包含一個不少於7位數的質因子）但不包含3，亦不會是立方數。一般猜测：奇完全数是不存在的。完全数的个数是否为无限？至今都不能回答。

美國數學家卡爾·帕梅朗斯提出了一個想法說明奇完全數不太可能存在。

奇完全数的部分条件 
 N > 101500
 N是以下形式： 
 
其中：
 q，p1，…，pk是不同的素数（Euler）。
 q ≡ α ≡ 1 (mod 4)（Euler）。
 N的最小素因子必须小于。
 ≡...≡ ≡ 1（mod 3）的关系不能满足（McDaniel 1970）。
 要么qα > 1062，要么对于某个j有 > 1062。
 
 N必须可以写成12n+1，468n+117或324n+81（n为整数）的形式。
 N不能被105整除。
 N的最大素因子必须大于108，并低于 。。
 N的第二大素因子必须大于104，并低于。  。
 N的第三大素因子必须大于100。
 N至少要有101个素因子，其中至少10个是不同的。 如果3不是素因子之一，则至少要有12个不同的素因子。

 如果对于所有的i，都有 ≤ 2，那么：
 N的最小素因子必须大于739（Cohen 1987）。
 α ≡ 1（mod 12）或α ≡ 9 (mod 12)（McDaniel 1970）。

圖查德定理 
這個定理說明若存在奇完全數，其形式必如或。最初的證明在1953年由首先證明，1951年巴爾塔薩·范德波爾用非線性偏微分方程得出證明。茱蒂·霍爾德納在《美國數學月刊》第109卷第7期刊證了一個初等的證明。

證明會使用這四個結果：（下面的n,k,j,m,q均為正整數）
 歐拉證明了奇完全數的形式必如。
 表示的正因數之和。完全數的定義即為。為積性函數
 引理（甲）：若（是正整數），則非完全數。
 引理（乙）：若（是正整數），則非完全數。

引理的證明（甲）：

使用反證法，設為完全數，且。

。因為3的二次剩餘只有0,1，故非平方數，因此其正因數個數為偶數。

有正因數，則可得：
 且；或
 且。

因此，。故。

但，矛盾。

故的形式只可能為或。

引理的證明（乙）：

使用反證法，設為完全數，且。

。因為4的二次剩餘只有0,1，故非平方數，因此其正因數個數為偶數。

有正因數，則可得：
 且；或
 且。

因此，。故。

但，矛盾。

故的形式只可能為。

若，根據歐拉的結果，，綜合兩者，得。

若，，得。若非3的倍數，3和互質。

因為為積性函數，可得。

但，出現了矛盾。故知是3的倍數。代入，可得。

參考 
 Odd Perfect Numbers, Gagan Tara Nanda

註釋

參考資料

參見 
高合成數
婚約數
親和數
盈數
虧數
梅森素数
半完全數
佩服數
超完全數
梅森素数与完全数集合
笛卡爾數

外部链接 
 
 David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers
 Perfect numbers – History and Theory
 
 
 OddPerfect.org A projected distributed computing project to search for odd perfect numbers.
 Great Internet Mersenne Prime Search
 Perfect Numbers, math forum at Drexel.
 

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除數函數
梅森素数
完全数