力矩

力矩（，moment）在物理学中，是作用力促使物體繞著轉動軸或支點轉動的趨向；也就是作用力使物体产生“转”、“扭”或“弯”效应的量度。簡略地说，力矩是一種施加於例如螺栓、飛輪一類的物體，或是擰毛巾、扳鋼筋的扭轉力。例如，用扳手的開口箝緊螺栓或螺帽，然後轉動扳手，這動作會產生力矩來轉動螺栓或螺帽。

使机械元件转动的力矩又称转矩（turning moment，moment of rotation）即转动力矩；在材料力学、土木工程和建筑学中，作用引起的结构或构件某一截面上的剪力所构成的力偶矩，称为扭矩（torsional moment，torque），而作用引起的结构或构件某一截面上的正应力所构成的力矩，则称为弯矩（bending moment）。

力矩能够使物体改变其旋转运动。推擠或拖拉涉及到作用力，而扭转則涉及到力矩。如上图，力矩等於径向向量与作用力的叉積。

根據国际单位制，力矩的单位是牛顿米。本物理量非能量，因此不能以焦耳（J）作單位；根據英制单位，力矩的单位则是英尺磅。力矩的表示符号是希腊字母，或。

力矩與三個物理量有關：施加的作用力、從轉軸到施力點的位移向量、兩個向量之間的夾角。力矩以向量方程式表示為
。

力矩的大小為
。

定义

力矩等於作用於杠杆的作用力乘以支点到力的垂直距离。例如，3 牛顿的作用力，施加於离支点2 米处，所产生的力矩，等於1牛顿的作用力，施加於离支点6米处，所产生的力矩。力矩是个向量。力矩的方向与它所造成的旋转运动的旋转轴同方向。力矩的方向可以用右手定則来决定。假设作用力垂直於杠杆。将右手往杠杆的旋转方向弯捲，伸直的大拇指与支点的旋转轴同直线，则大拇指指向力矩的方向。

更一般地，如圖右，假設作用力施加於位置為的粒子。選擇原點為參考點，力矩以方程式定義為
。

力矩大小為
；

其中，是兩個向量與之間的夾角。

力矩大小也可以表示為
；

其中，是作用力對於的垂直分量。

任何與粒子的位置向量平行的作用力不會產生力矩。

從叉積的性質，可推論，力矩垂直於位置向量和作用力。力矩的方向與旋轉軸平行，由右手定則決定。

力矩與角動量之間的關係

假設一個粒子的位置為，動量為。選擇原點為參考點，此粒子的角動量為
。

粒子的角動量對於時間的導數為
 ；

其中，是質量，是速度，是加速度。

應用牛頓第二定律，，可以得到
。

按照力矩的定義，，所以，
。

作用於一物體的力矩，決定了此物體的角動量對於時間的導數。

假設幾個力矩共同作用於物體，則這幾個力矩的合力矩共同決定角動量的對於時間的變化：
。

關於物體的繞著固定軸的旋轉運動，
；

其中，是物體對於固定軸的轉動慣量，是物體的角速度。

所以，取上述方程式對時間的導數：
；

其中，是物體的角加速度。

单位
力矩的定义是距离乘以作用力。根據国际单位制，力矩的单位是牛顿米（Nm）。虽然牛顿与米的次序，在数学上，是可以交换的，但是国际重量测量局（）规定这次序应是牛顿米，而不是米牛顿。

根據国际单位制，能量与功量的单位是焦耳，定义为1牛顿米。但是，焦耳不是力矩的单位。因为，能量是力点积距离的标量；而力矩是距离叉积作用力的向量。当然，量纲相同并不尽是巧合，使1牛顿米的力矩，作用1 全转，需要恰巧焦耳的能量：
。

其中，是能量，是移动的角度，单位是弧度。

根據英制，力矩的单位是英尺磅。

矩臂方程式

在物理学外，其他的学术界裡，力矩时常会如以下定义：
。

右图显示出矩臂（moment arm）、前面所提及的相对位置、作用力（force）。这个定义並没有指出力矩的方向，只有力矩的大小。所以，并不适用于三维空间问题。

静力概念
当一个物体在静态平衡时，合力是零，对任何一点的合力矩也是零。二维空间的平衡要求是
，
，
。
这里，是作用力分别在x-轴与y-轴的分量。假若，这三个联立方程式有解，则称此系统为静定系统；不然，则称为静不定系统。

力矩、能量和功率之間的關係
假設施加作用力於一物體，使得此物體移動一段距離，則作用力對於此物體做了機械功。類似地，假設施加力矩於一物體，使得此物體旋轉一段角位移，則力矩對於此物體做了機械功。對於穿過質心的固定軸的旋轉運動，以數學方程式表達，
；

其中，是機械功，、分別是初始角和終結角，是無窮小角位移元素。

根據功能定理，也代表物體的旋轉動能的改變，以方程式表達，
。

功率是單位時間內所做的機械功。對於旋轉運動，功率以方程式表達為
。

請注意，力矩注入的功率只跟瞬時角速度有關，而角速度是否在增加中，或在減小中，或保持不變，功率都與這些狀況無關。

實際上，在與大型輸電網路相連接的發電廠裏，可以觀察到這關係。發電廠的發電機的角速度是由輸電網路的頻率設定，而發電廠的功率輸出是由作用於發電機轉動軸的力矩所決定。

在計算功率時，必須使用一致的單位。採用國際單位制，功率的單位是瓦特，力矩的單位是牛頓-米，角速度的單位是每秒弧度（不是每分鐘轉速rpm，也不是每秒鐘轉速）。

力矩原理
力矩原理闡明，幾個作用力施加於某位置所產生的力矩的總和，等於這些作用力的合力所產生的力矩。力矩原理又名伐里農定理()（以法国科学家兼神父皮埃爾·伐里農命名），以方程式表達，
。

参考文献

延伸阅读

參閱
馬力
扭力轉換器
刚体动力学
機械平衡（）
扭矩扳手（）

外部链接
模擬力矩平衡的Java小程式
Torque and Angular Momentum in Circular Motion  on Project PHYSNET.
Torque Unit Converter

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