威尔逊定理

威尔逊定理是以英格兰数学家爱德华·华林的学生约翰·威尔逊命名的，尽管这对师生都未能给出证明。华林于1770年提出该定理，1771年由拉格朗日首次证明。

在初等数论中，威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为質數的充分必要条件。即：当且仅当为質數时：

证明

充分性
如果  不是質數，那么它的正因数必然包含在整数  中，因此  ，所以不可能得到 。

必要性
若是質數，取集合 ，
则构成模乘法的缩系，即任意 ，存在 ，使得：

這幾乎說明中的元素恰好两两配对。僅有滿足

的元素是例外。

上式解得

或

其余两两配对，故而

若不是質數且大于4，
则易知有

故而

推論 
可以藉此推論如下：

參考文獻 

素數
W
同余
阶乘与二项式主题