外延公理

在公理化集合论与使用它的逻辑、数学和计算机科学分支中，外延性公理或外延公理（）是 Zermelo-Fraenkel 集合论的公理之一。

形式陈述
在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式语言中，它读做:

换句话说:
给定任何集合和任何集合，等于，当且仅当给定任何集合，是的一个成员当且仅当是的一个成员。

（这里的是集合不是本质性的，但在ZF中所有东西都是集合。参见下面的带有基本元素的集合论章节）。

解释
要理解这个公理，注意上述符号陈述中圆括号内的子句简单的声称了 A 和 B 有完全相同的成员。所以，这个公理实际上说的是两个集合相等，当且仅当它们有完全相同的成员。它的本质是:
集合唯一的由它的成员来决定。

外延性公理可以同  形式的概括陈述一起使用，这里的是不提及或的任何一元谓词，来定义一个唯一集合，它的成员完全是满足谓词的集合。我们可以接着为介入新的符号；普通数学中的定义最终以这种方式工作的，当它们的陈述简化到纯集合论术语的时候。

外延性公理一般被认为是无可争议的，它或它的等价命題出现在所有可替代的集合論的公理化中。但是对于某些使用需要修改。

在没有等号的谓词逻辑中 

上面给出的公理假定等号是谓词逻辑的基本符号。某些公理化集合论的做法是不做这个假定：有的不把上述陈述作为公理，而是作为对等号的定义。那么，就必須連同来自谓词逻辑中有關等式的公理，作為关于这个被定义的符号的公理。多数等式的公理仍能从这个定义得出；余下的一个是

而這就成为了所謂的外延性公理。

在有基本元素的集合论中 

基本元素是自身不是集合的一个集合的一个元素。在 Zermelo-Fraenkel 公理中没有基本元素，但在某些可替代的集合論的公理化中會有它们。基本元素可以被当作不同于集合的逻辑类型；在这种情况下，如果是基本元素，则没有意义，所以外延性公理只适用于集合。

作为选择之一，在无类型逻辑中我们可以要求在是基本元素的时候为假。在这种情况下，平常的外延性公理将蕴涵所有基本元素等于空集。为了避免这样，我们可以修改外延性公理为只适用于非空集合，并把它读为:

就是说:
给定任何集合和任何集合，如果是非空集合(就是说存在着的一个成员)，那么和是相等的，当且仅当它们有完全相同的成员。

另一个选择，在无类型逻辑中可定义在是基本元素的时候自身是的唯一的元素。尽管这个方式可以胜任保存外延性公理，但基础公理反而需要调整。

引用 
Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded.  Springer.  ISBN 3-540-44085-2.
Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier.  ISBN 0-444-86839-9.

集合论公理