外代数

外代数（）也稱為格拉斯曼代数（Grassmann algebra），以紀念数学家赫爾曼·格拉斯曼。

数学上，向量空间的外代數是一个特定有单位的结合代数，其包含了为其中一个子空间。它记为或. 而它的乘法，称为楔积或外积，记为. 楔积是结合的和雙線性的；其基本性質是它在上是交錯的，也就是：

，對於所有向量

这表示
，對於所有向量，以及
，當 线性相关时。

值得注意的是，以上三性质只对中向量成立，不是对代数中所有向量成立。

外代数事实上是“最一般的”满足这些属性的代数。这意味着所有在外代数中成立的方程只从上述属性就可以得出。的这个一般性形式上可以用一个特定的泛性质表示，请参看下文。

形式为的元素，其中在中，称为-向量。所有-向量生成的的子空间称为的-阶外幂，记为。外代数可以写作每个阶幂的直和：

该外积有一个重要性质，就是-向量和-向量的积是一个-向量。这样外代数成为一个分次代数，其中分级由给出。这些-向量有几何上的解释：2-向量代表以和为边的带方向的平行四边形，而3-向量代表带方向的平行六面体，其边为, , 和。

外幂的主要应用在于微分几何，其中他们用来定义微分形式。因而，微分形式有一个自然的楔积。所有这些概念由格拉斯曼提出。

定义及运算律

外代数有很多种等价的定义，下面的定义是最简洁的一个。

定义: 设 是域 上的一个向量空间，讓則定義

令 为 的张量代数的理想（即双边理想），该理想是由所有形如的张量生成的（其中任意），则将上的外代数定义为商代数，即

并且把的等价类 记为，其中 。设 称 

为的-阶外幂（th exterior power of ），称中的元素为-向量（-multivector）。

注：
 ，当且仅当时才有，因此，可以把等同于，并且把记为；基于类似的原因，可以把等同于，而且把记为。这一点是前面所讲的能够把记为 的特例和前提。
 当时，-向量并不仅限于形如的元素，例如，也是2-向量，其中.
 理想中的元素并不仅限于形如的张量，例如，
, 必定有 和.
 , 由于和以及，显然有，这就有一个推论：所有的二阶对称张量都在理想中。
 由于上面的两个结论，，我们有，这是因为等式右边的每一项都在中。对张量的阶数作数学归纳法，则可以证明：, ，总有。
 设，则，作为等价类含有唯一的一个完全反对称的代表元，可以把这个-阶的完全反对称张量等同于, 详见后面的“反对称算子和外幂”一节。在有些文献中，-向量就是以这种方式定义的。

运算律 将上面的注中的内容用写出，则分别给出

(1) , 

证明如下： 作为等价类，我们从中任意挑选一个代表元，则而且。根据商代数的定义，

类似地，可以证明

(2) 根据注3.1中的内容，显然有.

(3) 根据注3.2中的内容，对任意成立着

注：即使的特徵为2，这个公式也是对的，只不过此时有而已。

(4) 根据商代数的定义以及张量代数的性质，运算满足结合律和分配律：

其中都是任意的。

以前两条性质为例，其证明如下：设张量分别是中的代表元，即, , , 则

(5) 根据上面的(3)和(4)，用数学归纳法可以证明：

证明从略。

基底和维数 

若的维数是而是的基，则集合

是阶外幂的一个基。理由如下：给定任何如下形式的楔积

则每个向量可以记为基向量的一个线性组合；利用楔积的双线性性质，这可以扩张为那些基向量的楔积的线性组合。任何出现同样基向量两次的楔积为0；任何基向量出现的次序不正确的可以重新排序，在交换任何两个基向量的时候变换符号。一般来讲，最后基-向量前的系数可以用通过积来描述的矩阵的子式来计算。

数一下基元素，我们可以看到的维数是n 取 k。特别的有，
对于.

外代数是一个分级代数，是如下直和

其维数等于二项式系数之和，也就是.

例子: 欧氏三维空间的外代数 
考虑空间，其基为。一对向量

的楔积为

其中是三维空间的基底。

再加一个向量
,
这三个向量的楔积是

其中是一维空间的基底。

空间是, 而空间是。取所有四个子空间的直和得到一个向量空间，这是八维向量空间

.

那么，给定一对8维向量和, 其中如上给出，而

,
和的楔积如下(用列向量表达),

.

容易验证8维楔积以向量为乘法幺元。也可以验证该代数的楔积是结合的(也是双线性的):

所以该代数是有单位且结合的。

叉乘的实质，赝向量与赝标量

对三维欧几里得空间可以建立一个线性同构如下：任取的右手的标准正交基，，，规定把，，分别映射为，，，则的定义与右手的标准正交基如何选取无关。

不难看出，对任意向量和，这个线性同构把映射为。这就是叉乘（向量积）的实质。例如，中平行四边形的面积向量可以表示为. 经过推广之后，高维黎曼流形中的紧的二维曲面的面积则可以用

来计算（其中是度规张量场在上的诱导度规

的坐标分量），由此可以看到外积和叉乘的深刻关系。

在物理学中，向量（极向量）与赝向量（轴向量）两个概念经常需要加以区分。从根本上说，向量是中的元素，所以在空间反演变换下不会改变方向；而赝向量其实是中的元素，故在空间反演变换下会改变方向。

类似地，借助于右手的标准正交基，可以把中的元素映射为“标量"。但是，在空间反演变换下它就会原形毕露，所以称它为赝标量。真正的标量在空间反演下是不变的，而赝标量在空间反演下会改变符号。

把 2-向量映射为向量以及把 3-向量映射为一个实数的映射实际上是一个叫做霍奇对偶的线性映射。

泛性质及构造 

令为一个域（在多数应用中，也就是实数域）上的向量空间。是“最一般”的包含的并有一个交替乘法在上由单位的结合-代数这个事实可以用如下的泛性质形式化的表达：

任给一个有单位的结合 -代数和一个-线性映射使得对于每个属于成立，则存在恰好一个由单位的代数同态使得所有属于成立。

要构造最一般的包含的代数，而且其乘法是在上交替的，很自然可以从包含的最一般的代数开始，也就是张量代数，然后通过合适的商来强制交替的性质。这样我们取中由所有形为的元素生成的双边理想，其中属于，并定义为商

（并且使用为中的乘法的代号）。然后可以直接证明包含并且满足上述泛性质。

如果不是先定义然后把外幂等同为特定的子空间，我们也可以先定义空间然后把它们合并成为一个代数。这个方法在微分集合中常常用到，并在下节中有描述。

反对称算子和外幂

给定两个向量空间和，一个从到的反对称算子是一个多线性映射

使得只要是中线性相关的向量，则 
.

最著名的例子是行列式值，从到的反对称线形算子。

映射

它关联中的个向量到他们的楔积，也就是它们相应的-向量，这也是反对称的。事实上，这个映射是定义在上的“最一般”的反对称算子：给定任何其它反对称算子，存在一个唯一的线性映射。这个泛性质表述了空间并且可以作为它的定义。

所有从到基域的反对称映射组成一个向量空间，因为两个这样的映射的和、或者这样一个映射和一个标量的乘积也是反对称的。若是有限维的，维数，则该空间可以认同为，其中表示的对偶空间。特别的有，从到的反对称映射的空间是取维的。

在这个等同关系下，若基域是或者，楔积有一个具体的形式：它从两个给定的反对称映射得到一个新的反对称映射。设和为两个反对称映射。和在多线性映射的张量积的情况一样，楔积的变量数是每个映射的变量数之和。它定义如下：

其中多线性映射的交替定义为其变量的所有排列的带符号平均：

注意： 有一些书中楔积定义为

指标记法
在主要由物理学家使用的指标记法中有：

微分形式

令为一个微分流形。一个微分k-形式是（的余切丛的阶外幂）的一个截面。等价的有：是的光滑函数，对于的每个点给定一个的元素。大致来讲，微分形式是余切向量的全局版本。微分形式是微分几何的重要工具，其中，它们被用于定义德拉姆上同调和亚历山大-斯潘尼尔上同调。

推广

给定一个交换环和一个-模，我们可以定义和上文一样的外代数，它是张量代数适当的商。它会满足类似的泛性质。

物理应用

格拉斯曼代数在物理中有重要应用，它们被用于建模和费米子和超对称性相关的各种概念。

参看：超空间，超代数，超群

注释

相关课题
多线性代数
张量代数
对称代数
克利福德代数

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