柯西-施瓦茨不等式

柯西-施瓦茨不等式，又稱施瓦茨不等式或柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式，在多個数学领域中均有應用的不等式；例如線性代數的矢量，數學分析的無窮級數和乘積的積分，和概率論的方差和協方差。它被认为是最重要的数学不等式之一。它有一些推广，如赫尔德不等式。

不等式以奧古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy），赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz），和（Виктор Яковлевич Буняковский）命名。

叙述 
 是個複内积空间，則對所有的  有：

 (a) 
 (b)   存在  使 
證明請見内积空间#范数。

特例

 對歐幾里得空間Rn，有
。
等式成立時：

也可以表示成

證明則須考慮一個關於的一個一元二次方程式

很明顯的，此方程式無實數解或有重根，故其判別式

注意到

⇒

則

即

而等號成立於判別式時

也就是此時方程式有重根，故

 對平方可積的複值函數，有
。

這兩例可更一般化為赫爾德不等式。

 在3維空間，有一個較強結果值得注意：原不等式可以增強至拉格朗日恒等式
。
这是
 
   在n=3 时的特殊情况。

矩阵不等式
设为列向量，则
 時不等式成立，设非零，，则

等号成立与线性相关

设为Hermite阵，且，则
存在，设

等号成立与线性相关

设为Hermite阵，且，则
存在，设

等号成立与线性相关

若，则

复变函数中的柯西不等式
设 在区域及其边界上解析， 为内一点，以为圆心做圆周 ，只要及其内部均被包含，则有：

其中，M是的最大值，
。

其它推广

參見
 三角不等式
 內積空間

注释

参考资料

奥古斯丁-路易·柯西
代数不等式
线性代数
泛函分析