無理數

無理數（irrational number）是指有理数以外的实数，當中的「理」字来自于拉丁语的rationalis，意思是「理解」，实际是拉丁文对于logos「说明」的翻译，是指无法用两整数之比来说明的无理数。

非有理數之實數不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點後有無限多位，並且不會循環，即无限不循环小数（任何有限或无限循环小数可表示成两整数的比）。常見無理數有大部分的平方根、π和e（後兩者同時為超越數）等。無理數另一特徵是無限的連分數表達式。

傳說中，无理数最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯发现，他以幾何方法證明無法用整数及分數表示；而畢達哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信無理數存在，後來希伯斯触犯学派章程，将无理数透露给外人，因而被扔进海中处死，其罪名竟然等同于“渎神”。另見第一次數學危機。

無理數可以通過有理數的分划的概念來定義。

举例 
＝1.73205080…
3＝0.47712125…
e＝2.71828182845904523536…
sin 45°＝＝0.70710678…
π＝3.141592653589793238462…

性质 
 无理数加或减无理数不一定得无理数，如。
 无理数乘不等于0的有理数必得无理数。
 无理数的平方根、立方根等次方根必得无理数。

不知是否是無理數的數 
π＋e、π－e等，事实上，對于任何非零整數及，不知道是否無理數。

無理數與無理數的四則運算的結果往往不知道是否無理數，只有π－π＝0、等除外。

我們亦不知道、、、欧拉－马歇罗尼常数、卡塔兰常数和费根鲍姆常数是否無理數。

無理數集的特性 

無理數集是不可數集（有理數集是可數集而實數集是不可數集）。無理數集是不完備的拓撲空間，它與所有正數數列的集拓撲同構，當中的同構映射是無理數的連分數開展，因而贝尔纲定理可應用於無數間的拓撲空間。

無理化作連分數的表達式 
，
選取正實數使
。
經由遞迴處理

無理數之證

證明是无理数 

假设是有理数，且，是最简分数。

两边平方，得。将此式改写为，可见为偶数。

因为平方运算保持奇偶性，所以只能为偶数。设，其中为整数。

代入可得。同理可得亦为偶数。

这与为最简分数的假设矛盾，所以是有理数的假设不成立。

證明是无理数 

假設是有理數，兩邊平方得

其中因為是有理數，所以也是有理數。

透過證明為無理數的方法，其中為一非完全平方数

可以證明是無理數

同樣也推出是無理數

但這又和是有理數互相矛盾

所以是一無理數

證明是无理数 

證一

同樣，假設是有理數，兩邊平方得

，

於是是有理數。兩邊再次平方，得：

，

於是

由於是有理數，所以

透過證明形如的數是無理數的方法，得出也是一無理數

但這結果明顯和與皆為有理數出現矛盾，故為無理數

證二

同樣假設是有理數，

，兩邊平方：

證明形式的數是無理數的方法，得出是無理數

也是矛盾的。

證明是无理数 

，兩邊平方得

，得到為一有理數

，兩邊繼續平方：

由於，皆為有理數

設，亦為有理數

證明形式的數是無理數的方法可知為無理數

這和是有理數衝突

所以得證為無理數

参见 
 分划
 丢番图逼近
 3的算术平方根
 5的算术平方根
 超越数
 第一次數學危機
 正規數

外部連結 
 從畢氏學派到歐氏幾何的誕生，蔡聰明 ，有畢氏弄石法的證明
 是無理數的六個證明，香港大學數學系蕭文強 （Mathematical Excalibur Vol.3 No.1 Page 2）
 舊題新解—根號2是無理數，張海潮 張鎮華（數學傳播 第30卷 第4期）