协变微商

数学上，共变导数或称-{zh-hans:协变导数; zh-hant:共變導數;}-是在流形上定义沿着向量场的导数的方法之一。

事实上，除了引入的风格不同之外，共变导数和联络没有实质上的区别。

在黎曼和伪黎曼流形理论中，共变导数通常指列維-奇維塔聯絡。

这里，我们给出一个向量相对于向量场的共变导数(也称为张量导数)的传统的带指标记号的简介；张量的共变导数是同一概念的推广。

本条目中，我们使用爱因斯坦记号。我们假设读者熟悉微分流形的概念特别是关于切向量的概念。

一般概念 

向量u的沿着向量v的共变导数  (也写作D)是一个定义第三个称为 (也作 Dvu)的向量的规则，它有如下面所述的导数的属性。向量是一个几何对象，和所选基(坐标系统)无关。固定一个坐标系之后，这个导数和向量基自身的变换规则相同(共变变换)，所以有这个名字。

在欧几里得空间的情形，如果有一个标准正交坐标系，一般会用两个相近的点的两个向量的差来定义向量场的导数。

在这样的系统中，平移其中一个向量到另一个的原点，保持和原来的向量平行。这样得到的欧氏空间的共变导数可以取每个分量的导数。

但是在一般情况，我们必须把坐标系的变化考虑在内。在弯曲空间中，例如地球表面（作为一个球面），平移没有严谨的定义，而和它相似的概念，平行移动，依赖于向量被平移的路径。例如，在二维欧几里得平面极坐标中，导数包含了额外的项用于表述坐标格点自身如何“转动”。在其他的情况下，还有额外的项描述坐标格点如何扩张，收缩，扭转，交织，等等。

 这是一个二维欧氏空间中的极坐标中的曲线的一个例子。在曲线参数 t 的向量(比如说加速度，不在图中)可以表达在坐标系中，其中 和 是极坐标中的单位切向量，用作把一个向量分解为在辐向和切向分量的基底。稍后，极坐标的新基底会相对于第一套基底稍有转动。基向量的共变导数（克里斯托费尔符号可以表达这个变化）。

(可能最好不要把t看作时间参数，至少在广义相对论的应用中不要这样。它只是一个任意参数沿着路径光滑而单调的变化。）

  另一个例子:向量e在球上位于赤道上的一点Q，方向朝北。假设我们首先沿着赤道平行移动该向量直到P（然后保持它和自己平行））着子午线把它拖到北极N然后（保持方向）继续沿着另一条子午线移动它回到Q。然后我们注意到沿着封闭回路平行移动的向量不会回到原来的向量;它会变成另外一个方向。这在欧氏空间不会发生，它发生的原因是球的曲面上的曲率。如果我们沿着无穷小闭曲面依次沿着两个不同方向然后返回，我们会看到同样的现象。向量的无穷小变化是曲率的一个测量。

备注 

定义中的向量 u 和 v  是定义在同一点 p 的。而且共变导数也是 p 的一个向量。 

共变导数的定义不用空间的度量。但是，一个给定的度量唯一的确定了一个特殊的共变导数，称为列维-奇维塔联络。

导数的性质暗示者依赖于p周围的情况，就像标量函数在一点p沿着曲线的导数依赖于p点周围一样。

在共变导数中关于点 p 围的信息可以用来定义向量的平行移动。而且曲率，挠率和测地线也可以只用共变导数来定义。

偶尔，术语“共变导数”指一个一般向量丛沿着基空间的一个切向量的截面的导数；参看“联络形式”中的“向量丛”的有关章节。

形式化定义

函数 

给定流形上一点和其上一个实函数， 在点沿的共边导数是一个定义在处的标量，记为，等于实函数在处沿向量v方向的通常导数，也可以记为 或者。

向量场 

向量场 在向量方向的共变导数 记为 对任意向量场 u, v, w 和标量函数f和g由下列性质定义:
  对于 代数式线性所以
  对于可加，所以
  遵守乘积法则， 也就是说  其中 如前所定义。

注意在点p依赖于v在p点的值以及u在p的一个邻域的值，因为最有一个性质乘积法则的要求。这表示共变导数不是一个张量。

餘向量場 

给定餘向量场(或者说1-形式) ，其共变导数  可以用下边的对于所有向量场u都满足的恒等式来定义

餘向量场沿着一个向量场v的共变导数还是一个餘向量场。

张量场 

一旦定义了向量和余向量场的共变导数，它就可以定义到任一张量场上，这要用如下的恒等式，其中和是任意两个张量:

并且，若和是同一个张量丛的张量场，则

沿着向量场v的共变导数也还是同类型的张量场。

坐标表示 

给定坐标函数，任何切向量都可以用它的在基中的分量表示。 共变导数是一个向量，所以可以表示为基向量的线性组合Γkek，其中Γk 是分量（参看爱因斯坦记号)。 
要给定共变导数，给定每个基向量场ej 沿着ei的共变导数就可以了
 
系数称为克里斯托费尔符号。
然后使用定义中的规则，我们发现对于一般的向量场  and  可以得到
 
这个公式的第一项代表了坐标系对于共变导数的"扭转"，而第二项代表了向量场u的分量的变化。特别的有

用语言描述的话: 共变导数是一般的沿着坐标的导数加上关于坐标改变的校正项。在物理教科书中，共变导数有时只用这个方程中的分量形式表述。

一个常用的记法是，用一个分号表示共变导数，而用一个逗号表示普通导数。在这个记号下，我们把同样的公式写作::

这再次表明了向量场的共变导数不仅仅是从沿着坐标的微分中得到 ，而且是通过依赖于向量v本身的。

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