龙格-库塔法

数值分析中，龙格-库塔法（英文：Runge-Kutta methods）是用于非线性常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。

四阶龙格-库塔法 
在各種龙格－库塔法當中有一個方法十分常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格－库塔法”。该方法主要是在已知方程导数和初始值时，利用计算机的仿真应用，省去求解微分方程的复杂过程。

令初值问题表述如下。

则，对于该问题的RK4由如下方程给出：

其中

这样，下一个值（yn+1）由现在的值（yn）加上时间间隔（h）和一个估算的斜率的乘积所决定。该斜率是以下斜率的加权平均：

k1是时间段开始时的斜率；
k2是时间段中点的斜率，通过欧拉法采用斜率k1来决定y在点tn + h/2的值；
k3也是中点的斜率，但是这次采用斜率k2决定y值；
k4是时间段终点的斜率，其y值用k3决定。

当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值：

RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是h5阶，而总积累误差为h4阶。

注意上述公式对于标量或者向量函数（y可以是向量）都适用。

显式龙格-库塔法 
显式龙格-库塔法是上述RK4法的一个推广。它由下式给出
 
其中

（注意：上述方程在不同著述中有不同但等价的定义）。

要给定一个特定的方法，必须提供整数s（级数），以及系数 aij（对于1 ≤ j < i ≤ s）, bi（对于i = 1, 2, ..., s）和ci（对于i = 2, 3, ..., s）。这些数据通常排列在一个助记工具中，称为Butcher tableau（得名自）：

龙格－库塔法是自洽的，如果

如果要求方法的精度為p階，即截斷誤差為O(hp+1)的，则还有相应的条件。这些可以从截斷誤差本身的定义中导出。例如，一个2级2阶方法要求b1 + b2 = 1, b2c2 = 1/2, 以及b2a21 = 1/2。

例子 
RK4法处于这个框架之内。其表为：

然而，最简单的龙格－库塔法是（更早发现的）欧拉方法，其公式為。这是唯一自洽的一级显式龙格－库塔法。相应的表为：

隐式龙格-库塔法
以上提及的显式龙格－库塔法一般来讲不适用于求解刚性方程。这是因为显式龙格－库塔法的稳定区域被局限在一个特定的区域里。显式龙格－库塔法的这种缺陷使得人们开始研究隐式龙格－库塔法，一般而言，隐式龙格－库塔法具有以下形式：

其中

在显式龙格－库塔法的框架里，定义参数的矩阵是一个下三角矩阵，而隐式龙格－库塔法并没有这个性质，这是两个方法最直观的区别：

需要注意的是，与显式龙格－库塔法不同，隐式龙格－库塔法在每一步的计算里需要求解一个线性方程組，这相应的增加了计算的成本。

参考 

 George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Chapter 6.)
 Ernst Hairer, Syvert Paul Nørsett, and Gerhard Wanner. Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, second edition. Berlin: Springer Verlag, 1993. ISBN 3-540-56670-8.
 William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Sections 16.1 and 16.2.)

数值微分方程