代数数域

代数数域是数学中代数数论的基本概念，数域的一类，有时也被简称为数域，指有理数域的有限扩张形成的扩域。任何代数数域都可以视作上的有限维向量空间。

对代数数域的研究，或者更一般地说，对有理数域的代数扩张的研究，是代数数论的中心主题。

定义

预备知识
代数数域是域的一类。域是装备了两个二元运算（通常称之为“加法”、“乘法”）的代数系统。这两种运算各自满足结合律与交换律，完全可逆，同时乘法对加法满足分配律（详细定义参见域）。域的一个重要的例子是有理数域。

域的扩张
域的扩张研究各类域之间的关系，最早的应用包括多项式方程一般求根公式问题等。在给定的域中加入不属于此域的元素（一般以集合记录），规定相互间的运算法则后，“最小的”将它们都包含在内的域称为“（添加中元素得到）的扩域”。称是的子域。一般将“到的域扩张”记作⊂或/。

向量空间
另一个基础概念是向量空间。向量空间，特别是有限维向量空间的概念是三维空间以及其中向量概念的推广（具体定义参见向量空间条目）。以某个域为系数域的向量空间（通常称作上的向量空间或向量空间），其中的向量除了可以相加减，还可以乘以中元素进行放缩。有限维的向量空间可以借助其中的有限个向量来刻画。这些向量之间必须满足特定的条件，称为空间的基。选定了空间的基以后，空间里的任何向量都可以表达为以中元素组成的有序数组：。其中的是基中向量的个数，也称为空间的维数。

有限扩张
设是域的一个扩域。将中的元素看作向量，以作为系数域，可以证明是一个向量空间。如果这个向量空间是有限维的，就称是的有限扩张。作为向量空间的维数，称为扩张的次数，记作 : 。

定义
若域是有理数域的有限扩张，则称之为代数数域。

例子
最小最基本的代数数域是有理数域。因为自身是向量空间，维数是1。因此是自身的域扩张，

高斯有理数（为虚数单位）是数学家发现的第一个非平凡代数数域的例子，它是所有形同：

的数构成的集合。可以证明，是域，而且是向量空间，以为基，空间维数是2。所以是的二次扩张，

给定不是完全平方数的正整数或相反数不是完全平方数的负整数，二次域在中添加的平方根而得的扩域。与高斯有理数域类似，可以证明是向量空间，以为基，空间维数是2，即

考虑多项式方程的个复根，它们被称做次单位根，具体可以写作：

在中添加得到的扩域称为次分圆域，记作。可以证明是有限维向量空间，维数为（是数论中的欧拉函数），即

实数域、复数域和进数域都不是的有限扩张，因此都不是代数数域。任何有限域都不是的扩域，因此也不是代数数域。

全体规矩数构成的域和全体代数数构成的域（有时也被简称为代数数域，与本文主题同名，但不是同一个概念）不是的有限扩张，因此都不是代数数域。

代数数域与代数数
代数数是指能够成为某个有理数系数多项式（不是零多项式）的根的数。显然所有的有理数都是代数数。给定一个代数数域，依定义，域扩张是有限扩张。设其次数为正整数。将看作是维向量空间，在中任意选一个不属于的数，它可以被看作是维向量空间中的一个（非零）向量。考虑以下的 + 1个向量：

它们都属于。根据向量空间的性质，它们是线性相关的。即存在不全为零的 + 1个有理数：，使得：
.
考虑非零多项式，，即是多项式的根。所以是代数数。由上可知，任一代数数域的元素都是代数数。

代数整数

代数整数是指能够成为某个首一整数系数多项式的根的数。显然代数整数是一种代数数。任何整数都是一次整系数多项式的根，因此是代数整数。给定代数数域，中所有代数整数构成一个环，称作中的（代数）整数环，也称为整数环，记作。例如上的代数整数环就是，因此在代数数域研究中也被称作“有理整数”（有理数域中的整数），以区别于其余的代数整数。

代数数域中的整数环与有不同的代数性质。不一定是唯一分解整环。举例来说，设，中的整数环是。都是中的“素数”。正整数6，作为中的元素，它的素因数分解有两种方式：

有理整数的唯一分解性质在不少代数数域的整数环中失效。这个事实说明了拉梅对费马大定理的证明是错误的。为此库默尔等引进了理想数来作为弥补，由此发展出理想理论。代数数论中一个重要的事实是：的每个理想都可以唯一表示为素理想的乘积，即为戴德金整环。这种“理想的唯一素分解”可部分弥补“代数整数一般不能唯一素因子分解”的不足，在历史上使代数数论发展起来。

代数数域的基

整数基
设为次代数数域，的整数基是任一由个整数组成的集合：

使得任一个整数都能唯一地表示为这个整数的整线性组合，即：
，使得
换句话说，整数基是作为自由模的基。给定的一组整数基，可以证明，所有中元素都可以唯一地表示为其中元素的有理线性组合，即：
，使得
这说明是作为维向量空间的一组基。而且由于中元素都是整数，故名为整数基。此外可以证明，是整数当且仅当所有都是有理整数。

乘幂基
设为次代数数域。作为维向量空间，包含如下形式的基：

其中每个元素都是某个特定的数的乘幂。根据域扩张理论中的本原元定理，这样的一定存在，称为域扩张的本原元。如果不仅是本原元，还是整数，那么这时也是整数基，称作乘幂整数基，称为单衍域（）。

参见
狄利克雷单位定理, S-单位
库默尔扩张
闵可夫斯基定理 几何数论
Chebotarev稠密定理
 射线类群
 分解群
 亏格域

注释

参考来源 

 
 Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
 Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999
 Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005
 
 

 Andre Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995

代数数论
域论