線性無關

在線性代數裡，向量空間的一組元素中，若沒有向量可用有限個其他向量的線性組合所表示，则稱為線-{}-性無關或線-{}-性獨立（），反之稱為線性相關（）。例如在三維歐幾里得空間R3的三個向量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)線性無關。但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)線性相關，因為第三個是前兩個的和。

定義 

假設是在域上的向量空間。如果是的向量，若它們為線性相關，则在域K 中有非全零的元素，使得

；

或更簡略地表示成，

。

（注意右邊的零是的零向量，不是的零元素。）

如果中不存在這樣的元素，那麼是線性無關。

對線性無關可以給出更直接的定義。向量線性無關，若且唯若它們滿足以下條件：如果是的元素，適合：

，

那麼對所有都有。

在中的一個無限集，如果它任何一個有限子集都是線性無關，那麼原來的無限集也是線性無關。

線性相關性是線性代數的重要概念，因為線性無關的一組向量可以生成一個向量空間，而這組向量則是這向量空間的基。

相關性
含有零向量的向量組，必定線性相關。
若有向量組，其中，則。
含有兩個相等向量的向量組，必定線性相關。
若有向量組，其中，則。
若一向量組相關，則加上任意個向量後，仍然線性相關；即局部線性相關，整體必線性相關。
整體線性無關，局部必線性無關。
向量個數大於向量維數，則此向量組線性相關。
若一向量組線性無關，即使每一向量都在同一位置處增加一分量，仍然線性無關。
若一向量組線性相關，即使每一向量都在同一位置處減去一分量，仍然線性相關。
若線性無關，而線性相關，則必可由線性表示，且表示係數唯一。
有向量組和，其中，且中每個向量都可由線性表示，則向量組必線性相關。即向量個數多的向量組，若可被向量個數少的向量組線性表示，則向量個數多的向量組必線性相關。
若一向量組可由向量組線性表示，且線性無關，則。即線性無關的向量組，無法以向量個數較少的向量組線性表示。

例子1

设V = Rn，考虑V内的以下元素：

则e1、e2、……、en是线性无关的。

证明

假设a1、a2、……、an是R中的元素，使得：

 

由于
 

因此对于{1, ..., n}内的所有i，都有ai = 0。

例子2

设V是实变量t的所有函数的向量空间。则V内的函数et和e2t是线性无关的。

证明

假设a和b是两个实数，使得对于所有的t，都有：

aet + be2t = 0

我们需要证明a = 0且b = 0。我们把等式两边除以et（它不能是零），得：
bet = −a
也就是说，函数bet与t一定是独立的，这只能在b = 0时出现。可推出a也一定是零。

例子3

R4内的以下向量是线性相关的。

证明

我们需要求出标量、和，使得：

可以形成以下的方程组：

解这个方程组（例如使用高斯消元法），可得：

由于它们都是非平凡解，因此这些向量是线性相关的。

参考文献
Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 5. Auflage, Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-55259-5, Kapitel 1.5.

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