爱因斯坦求和约定

在數學裏，特別是將線性代數套用到物理時，愛因斯坦求和約定（）是一種標記的約定，又稱為愛因斯坦標記法（），在處理關於坐標的方程式時非常有用。這約定是由阿爾伯特·愛因斯坦於1916年提出的。後來，愛因斯坦與友人半開玩笑地說：「這是數學史上的一大發現，若不信的話，可以試著返回那不使用這方法的古板日子。」

按照愛因斯坦求和約定，當一個單獨項目內有標號變數出現兩次，一次是上標，一次是下標時，則必須總和所有這單獨項目的可能值。通常而言，標號的標值為1、2、3（代表維度為三的歐幾里得空間），或0、1、2、3（代表維度為四的時空或閔可夫斯基時空）。但是，標值可以有任意值域，甚至（在某些應用案例裏）無限集合。這樣，在三維空間裏，

的意思是
。

請特別注意，上標並不是指數，而是標記不同坐標。例如，在直角坐標系裏，、、分別表示坐標、坐標、坐標，而不是、的平方、的立方。

簡介
愛因斯坦標記法的基本點子是餘向量與向量可以形成純量：
。

通常會將這寫為求和公式形式：
。

在基底變換之下，純量保持不變。當基底改變時，一個向量的線性變換可以用矩陣來描述，而餘向量的線性變換則需用其逆矩陣來描述。這樣的設計為的是要保證，不論基底為何，伴隨餘向量的線性函數（即上述總和）保持不變。由於只有總和不變，而總和所涉及的每一個項目都有可能會改變，所以，愛因斯坦提出了這標記法，重複標號表示總和，不需要用到求和符號：

採用愛因斯坦標記法，餘向量都是以下標來標記，而向量都是以上標來標記。標號的位置具有特別意義。請不要將上標與指數混淆在一起，大多數涉及的方程式都是線性，不超過變數的一次方。在方程式裏，單獨項目內的標號變數最多只會出現兩次，假若多於兩次，或出現任何其它例外，則都必須特別加以說明，才不會造成含意混淆不清。

向量的表示
在線性代數裏，採用愛因斯坦標記法，可以很容易的分辨向量和餘向量（又稱為1-形式）。向量的分量是用上標來標明，例如，。給予一個維向量空間和其任意基底（可能不是標準正交基），那麼，向量表示為
。

餘向量的分量是用下標來標明，例如，。給予的對偶空間和其任意基底（可能不是標準正交基），那麼，餘向量表示為
。

採用向量的共變和反變術語，上標表示反變向量（向量）。對於基底的改變，從改變為，反變向量會變換為
；

其中，是改變基底後的向量的分量，是改變基底後的坐標，是原先的坐標，

下標表示共變向量（餘向量）。對於基底的改變，從改變為，共變向量會會變換為
。

一般運算
矩陣的第橫排，第 豎排的元素，以前標記為；現在改標記為。各種一般運算都可以用愛因斯坦標記法來表示如下：

內積
給予向量和餘向量，其向量和餘向量的內積為純量：
。

向量乘以矩陣
給予矩陣和向量，它們的乘積是向量：
。

類似地，矩陣的轉置矩陣，其與餘向量的乘積是餘向量：
。

矩陣乘法
矩陣乘法表示為
。

這公式等價於較冗長的普通標記法：
。

跡
給予一個方塊矩陣，總和所有上標與下標相同的元素，可以得到這矩陣的跡：
。

外積
M維向量和N維餘向量的外積是一個M×N矩陣：
。

採用愛因斯坦標記式，上述方程式可以表示為

由於和代表兩個不同的標號，在這案例，值域分別為M和N，外積不會除去這兩個標號，而使這兩個標號變成了新矩陣的標號。

向量的內積
一般力學及工程學會用互相標準正交基的基底向量、及來描述三維空間的向量。
。

把直角坐標系的基底向量、及寫成、及，所以一個向量可以寫成：
。

根據愛因斯坦求和约定，若單項中有標號出現兩次且分別位於上標及下標，則此項代表著所有可能值之總和：
。

由於基底是標準正交基，的每一個分量，所以，
。

兩個向量與的内积是
。

由於基底是標準正交基，基底向量相互正交歸一：
；

其中，就是克羅內克函數。當時，則，否則。

邏輯上，在方程式內的任意項目，若遇到了克羅內克函數，就可以把方程式中的標號轉為或者把標號轉為。所以，

。

向量的叉積
採用同樣的標準正交基、及，兩個向量與的叉積，以方程式表示為

。

注意到
；

其中，張量是列维-奇维塔符号，定義為

所以，
。

設定，那麼，
。

所以，
。

向量的共變分量和反變分量
在歐幾里得空間裏，共變向量和反變向量之間的區分很小。這是因為能夠使用內積運算從向量求得餘向量；對於所有向量，通過下述方程式，向量唯一地確定了餘向量：
。

逆過來，通過上述方程式，每一個餘向量唯一地確定了向量。由於這向量與餘向量的相互辨認，我們可以提到向量的共變分量和反變分量；也就是說，它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。

給予的一個基底，則必存在一個唯一的對偶基底，滿足
；

其中，張量是克羅內克函數。

以這兩種基底，任意向量可以寫為兩種形式
 ；

其中，是向量對於基底的反變分量，是向量對於基底的共變分量，

歐幾里得空間

在歐幾里得空間裏，使用內積運算，能夠從向量求得餘向量。給予一個可能不是標準正交基的基底，其基底向量為、、，就可以計算其對偶基底的基底向量：
；

其中，是基底向量、、共同形成的平行六面體的體積。

反過來計算，
；

其中，是基底向量、、共同形成的平行六面體的體積。

雖然與並不相互標準正交，它們相互對偶：
。

雖然與並不相互標準正交，它們相互對偶：
。

這樣，任意向量的反變分量為
。

類似地，共變分量為
。

這樣，可以表示為
，
或者，
。

綜合上述關係式，
。

向量的共變分量為
；

其中，是度規張量。

向量的反變分量為
 ;

其中，是共軛度規張量。

共變分量的標號是下標，反變分量的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基，或反變基底向量組成的基底是標準正交基，則共變基底與反變基底相互等價。那麼，就沒有必要分辨共變分量和反變分量，所有的標號都可以用下標來標記。

抽象定義
思考維度為的向量空間。給予一個可能不是標準正交基的基底。那麼，在內的向量，對於這基底，其分量為、、...。以方程式表示，
 。

在這方程式右手邊，標號在同一項目出現了兩次，一次是上標，一次是下標，因此，從等於到，這項目的每一個可能值都必須總和在一起。

愛因斯坦約定的優點是，它可以應用於從用張量積和對偶性建立的向量空間。例如，，與自己的張量積，擁有由形式為的張量組成的基底。任意在內的張量可以寫為
。

向量空間的對偶空間擁有基底，遵守規則
；

其中，是克羅內克函數。

範例
為了更明確地解釋愛因斯坦求和約定，在這裏給出幾個簡單的例子。

思考四維時空，標號的值是從0到3。兩個張量，經過張量縮併（）運算後，變為一個純量：
。

方程式的右手邊有兩個項目：
。

由於運算結果與標號和無關，可以被其它標號隨意更換，所以，和稱為傀標號。

自由標號是沒有被總和的標號。自由標號應該出現於方程式的每一個項目裏，而且在每一個項目裏只出現一次。在上述方程式裏，是自由標號，每一個項目都必須有同樣的自由標號。注意到在項目裏，標號出現了兩次，一次是上標，一次是下標，所以，這項目的所有可能值都必須總和在一起。稱為求和標號。
思考在黎曼空間的弧線元素長度：
。請將這兩種標號跟自由變量和約束變量相比較。

進一步擴展，

。

注意到是乘以，是，而不是坐標的微小元素。當有疑慮時，可以用括號來分歧義。

參閱
 狄拉克標記
 抽象指标记号
 潘洛斯圖形標記法（）

參考文獻
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外部連結

數學表示法
多重線性代數
張量
黎曼幾何
數學物理
阿爾伯特·愛因斯坦