极限点

极限点（）在数学中是指可以被集合S中的点随意逼近的點。

这个概念有益的推广了极限的概念，并且是諸如闭集和拓扑閉包等概念的基础。实际上，一个集合是闭合的当且仅当他包含所有它的极限点，而拓扑闭包运算可以被认为是通过增加它的极限点来扩充一个集合。

定义 
 为拓扑空间  （ 其拓撲為  ） 的子集且  ，若所有  的开集也包含至少一个  內的非x的点，即

 

稱  為  的极限点（注意到  不一定属于  ）。由  內所有極限點所組成的集合稱為  的導集，標記為。

在T1空間裡，上述定義和要求  的每個鄰域皆包含無限多個  的點是等價的。

另外，若X為序列空間，則可稱x ∈ X為S的極限點，若且唯若存在一個由S \ {x}的點組成的ω序列，其極限為x；這也是「極限點」此一名稱的由來。

特殊类型的極限點

如果包含x的所有开集都包含无限多个S的点，则x是特殊类型极限点，称为S的会聚点（）。

如果包含的所有開集都包含不可数多個的點，則是特殊类型的极限点，稱為的缩合点（）。

会聚点
在度量空间中，会聚点与普通的极限点定义等价。在拓扑空间中，两者概念不再等价。对于非强拓扑空间，一个所有会聚点都属于本身的集合不一定是闭集，但一个所有极限点都属于本身（导集包含于自身）的集合必爲闭集。

度量空间的聚集点
在带有度量函數  的度量空间  且有  和  ，若對所有  ，存在  值使得  ，也就是

 

這樣稱  是   的聚集点（cluster point）或会聚点（accumulation point）。直觀上意為，  可以被  裡的點（以度量  的意義上）無限制地逼近。

應用上，  為定義域的聚集點也是函數極限能在  上有定義的前提條件。

性质 

 关于极限点的性质：是的极限点，当且仅当它属于 \ {}的闭包。
证明：根据闭包定义，某点属于某集合的闭包，当且仅当该点的所有邻域都和该集合相交。则有：x是的极限点，当且仅当所有的邻域都包含一个非的点属于S，当且仅当所有的邻域含有一个点属于\ {x}，当且仅当属于的闭包。

 的闭包具有下列性质：的闭包等于和其導集的并集。
证明：（从左到右）设属于的闭包。若属于S，命题成立。若，则所有的邻域都含有一个非的点属于；也就是说，x是的极限点，。（从右到左）设属于S，则明显地所有的邻域和相交，所以属于的闭包。若属于L(S)，则所有的邻域都含有一个非的点属于S，所以也属于的闭包。得证。

 上述结论的推论给出了闭集的性质：集合是闭集，当且仅当它含有所有它的极限点。
证明1：S是闭集，当且仅当等于其闭包，当且仅当=∪ L(S)，当且仅当L(S)包含于S。
证明2：设是闭集，是的极限点。则必须属于S，否则的补集为的开邻域，和不相交。相反，设包含所有它的极限点，需要证明的补集是开集。设属于的补集。根据假设，x不是极限点，则存在的开邻域U和不相交，则U在的补集中，则的补集是开集。

 孤点不是任何集合的极限点。
证明：若是孤点，则{x}是只含有的的邻域。

 空间是离散空间，当且仅当的子集都没有极限点。
证明：若是离散空间，则所有点都是孤点，不能是任何集合的极限点。相反，若不是离散空间，则单元素集合{x}不是开集。那么，所有{x}的邻域都含有点y ≠ x，则是的极限点。

 若空间有密着拓扑，且是的多于一个元素的子集，则的所有元素都是的极限点。若是单元素集合，则所有\的点仍然是的极限点。
说明：只要\ {x}非空，它的闭包就是X；只有当是空集或是的唯一元素时，它的闭包才是空集。

注释

引用
 

不动点
J