法里數列

數學上，n階的法里數列是0和1之間最簡分數的數列，由小至大排列，每個分數的分母不大於n。每個法里數列從0開始，至1結束，寫作0⁄1和1⁄1，但有些人不把這兩項包括進去。有時法里數列也稱為法里級數，嚴格來說這名字不正確，因為法里數列的項不會加起來。

例子
1至8階的法里數列如下：
F1 = {0⁄1, 1⁄1}
F2 = {0⁄1, 1⁄2, 1⁄1}
F3 = {0⁄1, 1⁄3, 1⁄2, 2⁄3, 1⁄1}
F4 = {0⁄1, 1⁄4, 1⁄3, 1⁄2, 2⁄3, 3⁄4, 1⁄1}
F5 = {0⁄1, 1⁄5, 1⁄4, 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄5, 2⁄3, 3⁄4, 4⁄5, 1⁄1}
F6 = {0⁄1, 1⁄6, 1⁄5, 1⁄4, 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄5, 2⁄3, 3⁄4, 4⁄5, 5⁄6, 1⁄1}
F7 = {0⁄1, 1⁄7, 1⁄6, 1⁄5, 1⁄4, 2⁄7, 1⁄3, 2⁄5, 3⁄7, 1⁄2, 4⁄7, 3⁄5, 2⁄3, 5⁄7, 3⁄4, 4⁄5, 5⁄6, 6⁄7, 1⁄1}
F8 = {0⁄1, 1⁄8, 1⁄7, 1⁄6, 1⁄5, 1⁄4, 2⁄7, 1⁄3, 3⁄8, 2⁄5, 3⁄7, 1⁄2, 4⁄7, 3⁄5, 5⁄8, 2⁄3, 5⁄7, 3⁄4, 4⁄5, 5⁄6, 6⁄7, 7⁄8, 1⁄1}

歷史
「法里數列」歷史頗為稀奇。 — Hardy & Wright (1979) 第三章

……又一次，數學關係的名字取自一個人，但記錄所載這人不是其發現者。 — Beiler (1964) 第十六章

法里數列是以英國地質學家老約翰·法里得名，他關於這數列的信刊登在1816年的《哲學雜誌》。法里猜測這數列的每一項都是相鄰兩項的中間分數；不過，以所知道的資料，他沒有證明這個性質。法里的信給柯西讀了，就給了一個證明在他的《數學習題》，把這結果歸到法里上。其實，另一位數學家 C. Haros 曾在1802年發表了相類似的結果，幾乎可以肯定法里和柯西都沒看過。所以，法里的名字給了這個數列，是歷史的一次意外。

性質

數列長度
n階的法里數列包含了較低階的法里數列的全部項，特別是它包含的全部項，和與n互質的每個數的相應分數。所以包含了和分數1⁄6及5⁄6。對大於1的n，其法里數列的中間項必定是1⁄2。

從上，和的長度的關係，可以用歐拉函數描述：

。

從這項資料，可以推導出的長度公式：

。

的漸近行為是：

。

數列鄰項

法里數列的相鄰分數項有下述性質：

若a⁄b和c⁄d是法里數列的鄰項，而有a⁄b < c⁄d，則它們之差c⁄d − a⁄b是1⁄bd。由於

，

上文就等於是說

bc − ad = 1。

例如1⁄3和2⁄5在中是鄰項，它們之差為1⁄15。

這結果的逆命題也成立。若

bc − ad = 1，

其中a,b,c和d為正整數，及有a < b和c < d，則a⁄b和c⁄d在階為的法里數列中是鄰項。

若p⁄q在某法里數列的鄰項是a⁄b和c⁄d，及

a⁄b < p⁄q < c⁄d，

則p⁄q是a⁄b和c⁄d的中間分數。換句話說，

。 

又若a⁄b和c⁄d在某法里數列是鄰項，則當法里數列的階增加，它們間出現的第一項是

，

而這項第一次出現在b+d階的法里數列中。

例如在1⁄3和2⁄5間出現的第一項是3⁄8，在出現。

Stern-Brocot樹是一個資料結構，顯出如何從0 (= 0⁄1)和1 (= 1⁄1)開始，以取中間分數來構成法里數列。

法里數列中的鄰項分數，它們的連分數表示形式也密切相關。每個分數都有兩個連分數表示，一個的尾項為1，另一個則大於1。考慮p⁄q，它第一次於出現。以連分數表示為

，或
，

則p⁄q在中最接近的鄰項（這是兩鄰項中分母較大的）表示為連分數是

，

而另一鄰項則會表示為

。

例如3⁄8有兩個連分數表示：[0;2,1,1,1]和[0;2,1,2]，而它在中的鄰項為2⁄5，可寫成[0;2,1,1]；和1⁄3，可寫成[0;2,1]。

福特圓
法里數列和之間有個有趣關連。

對每個最簡分數p⁄q，有福特圓C[p⁄q]，以為半徑，以為圓心。兩個不同分數的福特圓一是分開，一是相切，但不會相交。若0 < p⁄q < 1，則與相切的福特圓正好是在某一法里數列中與p⁄q為鄰項的分數。

例如C[2⁄5]與C[1⁄2]，C[1⁄3]，C[3⁄7]，C[3⁄8]等相切。

F1--F8的福特圓圖像如下：

外部連結
 Farey Sequence 

数论
分数