圆锥曲线

圆锥曲线（英語：conic section），又稱圓錐截痕、圓錐截面、二次平面曲线，是数学、幾何學中透过平切圆锥（嚴格為一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的曲线，包括圆，椭圆，抛物线，双曲线及一些退化类型。

圆锥曲线在約西元前200年時就已被命名與研究，其發現者為古希臘的數學家阿波羅尼奥斯，當时阿波羅尼阿斯已对它们的性质做過系统性的研究。

圆锥曲线应用最广泛的定义为（椭圆，抛物线，双曲线的统一定义）：动点到一定点（焦点）的距离与其到一定直线（准线）的距离之比为常数（離心率）的点的集合是圆锥曲线。对于得到椭圆，对于得到抛物线，对于得到双曲线。

定义
设为定点，为定直线，为正常数，称满足的动点的轨迹为圆锥曲线。

其中为其焦点，为准线，为离心率。

由此可知，圆锥曲线的极坐标参数方程为或（正负号由所选焦点与定直线所处的位置不同而引起）。
其中为与极轴的夹角，为定直线，即准线到焦点的距离。

将参数方程转换成直角坐标方程易得，
当时，曲线为抛物线。
当时，
当时，曲线为椭圆。
当时，曲线为双曲线。

圆锥曲线的类型 

椭圆，圆：当平面只与圆锥面一侧相交，交截线是闭合曲线的时候，且不过圆锥顶点，结果为近似椭圆。如果截面与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。

抛物线：截面仅与圆锥面的一条母线平行，结果为抛物线。

双曲线：截面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线。

在平面通过圆锥的顶点的时候，有一些退化情况。交截线可以是一个直线、一个点、或一对直线。

几何性质

椭圆（ellipse） 

椭圆上的点到两个焦点的距离和等于长轴长（2a）。

抛物线（Parabola） 

抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

双曲线（Hyperbola） 

双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于貫轴长（2a）。

离心率 

对于椭圆和双曲线，可以采用两种焦点-准线组合，每个都给出同样完整的椭圆或双曲线。从中心到准线的距离是，这里的是椭圆的半长轴，或双曲线的半实轴。从中心到焦点的距离是。

在圆的情况下，且准线被假想为离中心无限远。这时声称圆由距离是到L的距离的e倍的所有点组成是没有意义的。

圆锥曲线的离心率因此是对它偏离于圆的程度的度量。

对于一个给定的，越接近于1，半短轴就越小。

笛卡尔坐标 

在笛卡尔坐标系内，二元二次方程的圖像可以表示圓錐曲線，并且所有圓錐曲線都以這種方式引出。方程有如下形式

此處參數，和不得皆等於。

矩陣表示
上述方程可以使用矩陣表示爲

 

亦可以寫作

 

這是在射影幾何中使用的齊次形式的一個特例。 (参见齐次坐标)

下文中記，記。

類別
藉由，我們可以判定圓錐曲線是否退化。

 若，則圓錐曲線退化。
 若，則圓錐曲線未退化。

若圓錐曲線未發生退化，則

 若 , 方程表示一個橢圓；
 對於橢圓，當時，爲一個實橢圓；當時爲一個虛橢圓。（例如，沒有任何實值解，是一個虛橢圓）
 特別的，若 ，且，作爲橢圓的特殊情況，表示一個圓。
 若 ，表示一條拋物線；
 若 ，表示一條雙曲線；
 若 ，表示一條直角雙曲線。

若圓錐曲線發生退化，則

 若，作爲橢圓的退化，爲一個點。
 若，作爲拋物線的退化，爲兩條平行直線。
 若，爲兩條不重合的平行直線。
 若，爲兩條重合的平行直線。（特別的，此時的秩爲1）
 若，直線不存在與實平面中。
 若，作爲雙曲線的退化，爲兩條相交直線。（同時，也是雙曲線的漸近線）

在此處的表達中，和爲多項式係數，而非半長軸和半短軸。

不變量

矩陣、的行列式，以及（的跡）在任意的旋轉和座標軸的交換中保持不變。  常數項以及僅在旋轉中保持不變。

離心率
的離心率可被寫作關於係數的函數。 若 ，爲 拋物線，其離心率爲1。其它情況下，假設表達一個未退化的橢圓或雙曲線，那麼 

此處若爲負則；若爲正則。

此外，離心率也是下述方程的一個正根

此處  。對於橢圓或拋物線，該方程只有一個正根，即其離心率；對於雙曲線，其有兩個正根，其中的一個爲其離心率。

轉換爲標準方程

對於橢圓或雙曲線，可用變換後的變量表示爲如下所示的標準形式 

或等價的

此處，和爲的特徵值，也即下述方程的兩根：

同時，，。 

透過座標變換，各種類型的圓錐曲線都可以表示爲其標準形式：

极坐标 

圆锥曲线的半正焦弦（semi-latus rectum）通常指示为，是从单一焦点或两个焦点中的一个，到圆锥曲线自身的，沿着垂直于主轴（长轴）的直线度量的距离。它有关于半长轴，和半短轴，通过公式或。

在极坐标系中，圆锥曲线有一个焦点在原点，如果有另一个焦点的话它在正x轴上，给出自方程
 ，

或者，

 ，

如上，对于得到一个圆，对于得到椭圆，对于得到抛物线，对于得到双曲线。

齐次坐标 

在齐次坐标下圆锥曲线可以表示为：

或表示为矩阵：

 

矩阵叫做“圆锥曲线矩阵”。

叫做圆锥曲线的行列式。如果则这个圆锥曲线被称为退化的，这意味着圆锥曲线是两个直线的联合（两相交直线，两平行直线或两重合直线）或一点。。

例如，圆锥曲线退化为两相交直线：。

类似的，圆锥曲线有时退化为两重合直线（两直线重合成一条）:
。

被称为圆锥曲线的判别式。如果则圆锥曲线是抛物线，如果则是双曲线，如果则是椭圆。如果且，圆锥曲线是圆；如果且，它是直角双曲线。可以证明在複射影平面中，两个圆锥曲线共有四个点（如果考虑重根），所以永不多于4个交点并总有1个交点（可能性：4个不同的交点，2个单一交点和1个双重交点，2个双重交点，1单一交点和1个三重交点，1个四重交点）。如果存在至少一个重根的交点，则两个圆锥曲线被称为相切的。如果只有一个四重交点，两个圆锥曲线被称为是共振的。

进一步的，每个直线与每个圆锥曲线相交两次。如果两交点是重合成一点，则这个线被称为切线。因为所有直线交圆锥曲线两次，每个圆锥曲线有两个点在无穷远（与无穷远线的交点）。如果这些点是实数的，圆锥曲线必定是双曲线；如果它们是虚共轭，圆锥曲线必定是椭圆，如果圆锥曲线有双重点在无穷远，则它是抛物线。如果在无穷远的点是和，则圆锥曲线是圆。如果圆锥曲线有一个实数点和一个虚数点在无穷远，或它有两个不共轭的虚数点，它不是抛物线、不是椭圆、不是双曲线。

参考文献

外部链接 

 Conic sections at Special plane curves.
 
 
 
 Determinants and Conic Section Curves 
 Occurrence of the conics. Conics in nature and elsewhere.

数学概念