歐拉線

在平面几何中，欧拉线，或稱尤拉線（图中的红线）是指过三角形的垂心（蓝）、外心（绿）、重心（黄）和九点圆圆心（红点）的一条直线。莱昂哈德·欧拉，也稱尤拉，证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。注意內心一般不在歐拉線上，除了等腰三角形外。

证明 

如图分别是的垂心，重心，外心。

設為直線和外接圆的交點，並连结。

（1）
是直徑，且。

又是垂心，且。

，。

为平行四边形。

->

又分别是的中点，

，

（2）
作边上的中线连结

设交于点

，

，

即的重心

的垂心重心外心三点共线直线即欧拉线

推论 
九点圆的圆心也在欧拉线上，且在垂心到外心的线段的中点

如图，H、G、Ω分别是△ABC的垂心、重心、外心，三角形的三边中点I i，三高的垂足Hi，和顶点到垂心的三条线段的中点J i

令HΩ和J1I1的交点为K，∵BΩ=CΩ，BI1=CI1，∴ΩI1⊥BC，又∵AH1⊥BC，∴ΩI1∥AH1。

∵∠GΩI1=∠AHG，∠GAH=∠GI1Ω，∴△AGH∽△GΩI1。∵AG=2GI1，∴AH=2ΩI1，即ΩI1=J1H。

∵ΩI1∥AH1， J1H=ΩI1 ∴J1K=KI1, HK = KΩ。

同理J2K=KI2， J3K=KI3。 可知K为九点圆圆心。

∵点K在HΩ上，HK = KΩ

∴九点圆圆心在欧拉线上，且在垂心到外心的线段的中点。

参考资料

外部链接 

 Altitudes and the Euler Line 
 Euler Line and 9-Point Circle 

三角形几何
几何定理