球 (数学)

球（）在數學裡，是指球面內部的空間。球可以是封閉的（包含球面的邊界點，稱為閉球），也可以是開放的（不包含邊界點，稱為開球）。

球的概念不只存在於三維歐氏空間裡，亦存在於較低或較高維度，以及一般度量空間裡。維空間裡的球稱為維球，且包含於維球面內。因此，在歐氏平面裡，球為一圓盤，包含在圓內。在三維空間裡，球則是指在二維球面邊界內的空間。

歐氏空間裡的球
在  維歐氏空間裡，一個中心為  ，半徑為  的  維（開）球是個由所有距  的距離小於  的點所組成之集合。一個中心為 ，半徑為  的  維閉球是個由所有距  的距離小於等於  的點所組成之集合。

在  維歐氏空間裡，每個球都是某個超球面內部的空間。在一維時，球是個有界的區間；在二維時，是某個圓的內部（圓盤）；而在三維時，則是某個球面的內部。

體積
 

在  維歐氏空間裡，半徑  的球之  維體積為：

其中，Γ是李昂哈德·歐拉的Γ函數（可被視為階乘在實數的延伸）。使用Γ函數在整數與半整數時的公式，可不需要估算Γ函數即可計算出球的體積：

在奇數維度時的體積公式裡，對每個奇數，雙階乘 (2k + 1)!! 定義為 (2k + 1)!! = 1 · 3 · 5 ··· (2k − 1) · (2k + 1)。

一般度量空間裡的球
令 (M,d) 為一度量空間，即具有度量（距離函數）d 的集合 M。中心為 M 內的點 p，半徑為 r > 0 的開球，通常標計為 () 或 (; )，定義為

其閉球，可標計為 [] 或 [; ]，則定義為

請特別注意，一個球（無論開放或封閉）總會包含點 p，因為依定義， r > 0。

開球的閉包通常標記為 。雖然  與  總是成立的，但  則不一定總是為真。舉例來說，在一個具離散度量的度量空間 X 裡，對每個 X 內的 p 而言，，但 。

一個（開或閉）單位球為一半徑為 1 的球。

度量空間的子集是有界的，若該子集包含於某個球內。一個集合是全有界的，若給定一正值半徑，該集合可被有限多個具該半徑的球所覆蓋。

度量空間裡的開球為拓撲空間裡的基，其中所有的開集合均為某些（有限或無限個）開球的聯集。該拓撲空間被稱為由度量 d 導出之拓撲。

賦範向量空間裡的球
每個具範數 |·| 的賦範向量空間亦為一度量空間，其中度量 d(x, y) = |x − y|。在此類空間裡，每個球 () 均可視為是單位球 1(0) 平移 p，再縮放 r 後所得之集合。

前面討論的歐氏空間裡的球亦為賦範向量空間裡球的一例。

p-範數
在具 p-範數  的笛卡爾空間  裡，開球是指集合

 

在二維（n=2）時，1（通常稱為曼哈頓度量）的球是對角線平行於坐標軸的正方形；而 ∞（切比雪夫度量）的球則是個邊平行於坐標軸的正方形。對於 p 的其他值，該球則會是超橢圓的內部。

在三維（n=3）時，1 的球是個對角線平行為坐標軸的八面體，而 ∞ 的球則是個邊平行為坐標軸的正立方體。對於 p 的其他值，該球則會是超橢球的內部。

一般凸範數
更一般性地，給定任一  內中心對稱、有界、開放且凸的集合 X，均可定義一個在  的範數，該球均為 X 平移再一致縮放後所得之集合。須注意，若將此定理內的「開」子集以「閉」子集替代，則定理不能成立，因為原點也符合定理內所定之集合，但無法定義  內的範數。

拓撲空間裡的球
在拓撲學的文獻裡，「球」可能有两種含义，由上下文决定。

開集

“（开）球”一词有时被非正式地用于指代任何开集：可以用“p 点周围的一个球”代表包含p 的一个开集。该集合同胚于什么依赖于背景拓扑空间以及所选取的开集。同样，“闭球”有时用于表示这样一个开集的闭包。（这可能产生误导，例如超度量空间中一个闭球不是同样半径的开球的闭包，它们都是既开且闭的。）

有时，邻域用于指代这个意义上的球，但是邻域其实有更一般的意义：p 的一个邻域是任何包含一个p 的开集的集合，因此通常不是开集。

拓撲球

X 內的 n 維（開或閉）拓撲球是指 X 內同胚於 n 維（開或閉）歐幾里得球的任一子集，該子集不一定需要由某個度量導出。n 維拓撲球在組合拓撲學裡很重要，為建構胞腔復形的基礎。

任一 n 維開拓撲球均同胚於笛卡爾空間 R 及 n 維開單位超方形 。任一 n 維閉拓撲球均同胚於 n 維閉超方形 [0, 1]。

n 維球同胚於 m 維球，若且唯若 n = m。n 維開球 B 與 R 間的同胚可分成兩種類型，以 B 的兩種可能之拓撲定向來區分。

一個 n 維拓撲球不一定是光滑的；若該球是光滑的，亦不一定需微分同胚於一 n 維歐幾里得球。

另見
 球 - 一般常見的意義
 圓盤
 形式球，將球的半徑延伸至負值。
 鄰域
 三維球面
 n維球面（超球面）
 
 流形
 
 正八面體， 度量下的三維球

 
 橢球
 球缺
 半球

参考文献 

D. J. Smith and M. K. Vamanamurthy, "How small is a unit ball?", Mathematics Magazine, 62 (1989) 101–107.
"Robin conditions on the Euclidean ball", J. S. Dowker 
"Isometries of the space of convex bodies contained in a Euclidean ball", Peter M. Gruber

参见 

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