魏尔施特拉斯逼近定理

斯通-魏尔施特拉斯逼近定理（Stone–Weierstrass theorem）有两个：

闭区间上的连续函数可用多项式级数一致逼近。
闭区间上周期为的连续函数可用三角函数级数一致逼近。

第一逼近定理可以推广至上的有界闭集

证明
第一逼近定理与第二逼近定理可以互相推导。
第二逼近定理的证明：
设为周期为的连续函数，定义为一三角级数。
首先证明，为一个正交函数系：

(因为)。
故令，于是我们可以求出。
将代入  的定义式中，有：

。

下面对积分号中的和式S求和，令，那么就有：，分成正负两部分求和，可知:

代回原积分，有，这就是f(s)的泊松积分。其中称为泊松核。故有：

我们要检验的的是在时的情况，可以证明：

由的一致连续性，可以证明，上式在时，满足一致收敛的条件，故我们可以用来一致逼近。

参阅
傅里叶级数

参考资料

W
W
W