上极限和下极限

在微积分学中，上極限和下極限（）是指數列極限的上极限和下极限，可以大致想像為數列极限的上下界。舉例來說，數列  的上極限為 1，下極限為 -1。
函数的上极限和下极限可以用类似方式考虑。。集合的上极限和下极限分别是这个集合的极限点的上确界和下确界。

定义 

序列的上极限定义是

；

或者 

。

同样的，序列的下极限定义是

 ；

或者

。

这些定义在任意的偏序集都适用，只需要上确界和下确界存在。
在完全格裡，上确界和下确界总是存在，所以其中的序列一定有上极限和下极限。

每当和都存在，那么

。

上极限和下极限也记为和。

实数数列 

实数集 R 的数列对微积分很重要。R 不是完備格，但可以加入正负无穷以得到完備全序集 ，形成完備格。那么在  中数列 
收敛当且仅当 ，而这时  等于上面的共同值。

若實數數列  的上極限為實數，那麼上極限是最小的實數 a，使得對任意小的正實數 ，都存在足夠大的正整數 N，使得對所有 ，都有 。換言之，對任何大於上極限的實數，都存在 N 使得這實數是數列  的上界。

若實數數列  的下極限為實數，那麼下極限是最大的實數 b，使得對任意小的正實數 ，都存在足夠大的正整數 N，使得對所有 ，都有 。換言之，對任何小於下極限的實數，都存在 N 使得這實數是數列 的下界。

設  是整數數列。若其上極限為實數 a，由於  也符合上述條件，故此 a 必是整數。在條件中取 ，得出 a 是最小的實數，使得存在正整數 N，對所有 ，都有 。因此 a 是最大的整數，使得有無限個 。同樣地，若其下極限為實數 b，則 b 是最小的整數，使得有無限個 。

若  和 
，那么区间  不一定包含任何的 ，但是轻微扩大了的 [I-ε,S+ε]
对任意小的ε > 0都会包含除了有限项外所有的 xn。区间 [I, S] 是适合这个性质的最小闭区间。

例子
設，則，。閉區間[-1, 1]中不包含任何。
考虑数列。应用π的无理数性质，可以证明和。

一个数论例子是

其中是第个素数。

集的序列 

集合X的冪集P(X)是完備格。对于P(X)中的序列，也就是X的子集的序列，其上下极限也有用处。

若是这样的序列，那么X的元素a属于，当且仅当存在自然数使得对于所有，a在裡。元素a属于，当且仅当对所有自然数，都存在一个指数使得a在裡。换句话说，包含了所有这样的元素，其中的每一个，都有无限多个n，使得它在集合裡；而包含了所有这样的元素，其中的每一个，都有除了有限多个外的所有n，使得它在裡。

以集合论的标准语言来说，一个集合序列的下确界是这些集合的可数交，也就是包含在所有集合裡的最大集合：

。

令为自起的集合的下确界。那么序列非递减，因为。所以，第1至n个下确界的并集就是第n个下确界。下极限就是这序列的极限：

。

上极限可以相反方式定义。一个集合序列的上确界是包含这些集合的最小集合，也就是它们的可数并：

。

上极限是这个非递增的上确界序列的可数交（其中每个上确界都包含在前一个裡面）。

。

例子或应用可见波莱尔－坎泰利引理，柯西-阿达马公式（Cauchy-Hadamard Formula）。

注释

引用 

实分析
极限