韦达定理

在數學上，韦达定理是一個公式 ()，給出多項式方程的根與係數的关系，因而又被代稱為根與係數。該定理由法國數學家弗朗索瓦·韋達發現，並因此得名。韋達定理常用於代數領-{域}-。

韋達定理的實用之處在於，它提供一個不用直接把根解出來的方法來計算根之間的關係。

敘述 
设  是一个一元 n 次實(或複)係數多項式，首項系數 ，令 P 的 n 個根為 ，则根 和係數 之間滿足關係式

等價的說，對任何 k = 1, 2, ..., n，係數比  是所有任取 k 個根的乘積的和的  倍，即

 

其中  是要讓所有的根的組合都恰好出現一次。

事實上，等號的左邊被稱作是初等對稱多項式。

证明 
因為  是一元 n 次多項式  的 n 个根。於是有

根據乘法原理展開右式，比較等號兩邊的各項係數可得

上式等同於韋達定理的敘述。

特例

n=2 
设  是一元二次多項式  的两根，則由有

這個特殊情況除之前提到的证明方法，也可以直接用解公式即 ，證明：

在這個情況下，韦达定理的逆定理同样成立：給定一個一元二次多項式 ，如果有两个数 ，滿足  和 ，則 就是多項式的兩根。

n=3 
设  是一元三次多項式  的三根，則

推廣至環 
韋達定理經常使用在討論整環 R 上多項式，換言之多項式係數都落在 R 上。此時，分數  在 R 中不見得有定義，除非  本身是可逆元。但  在 R 的分式環 K 中有定義，而根  則在 K 的代數閉包  中有定義。特別的，如果 R 是整數環 ，則 K 是有理數體 ，是複數體 。

如果多項式 P(x) 定義在一般非整環的交換環上，則韋達定理可能在兩個地方出錯。第一， 可能不是零因子，因此不能出現在分母。第二 P(x) 可能不等於 。第一點算是顯而易見，以下給出一個第二點的例子。在環  中，多項式  有四個根 1、3、5、7，根數比多項式的次數還多。此外，如果隨便取兩根出來，例如 ，，會發現 ，但是有時候如果根取的剛好，卻又可能會有  和 。

歷史 
在 16 世紀，韋達發現了所有根都是正整數的版本，至於一般的版本 (根是實數)，可能首次由法國數學家  提出。Funkhouser 引用了18 世紀英國數學家的話寫道...[Girard 是] 理解關於各次方項係數的和與積公式的一般性學說的第一人。他是找到關於將任意方程式的根的次方加總的規則的第一人。

參考資料

参见 
 法兰西斯·韦达
 对称多项式
 韋達跳躍
 天元术

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