雙線性形式

在域 F 中,向量空間 V 的雙線性形式指的是一个V × V → F 上的线性函数 B, 满足：
，映射：

都是线性的。這個定義也適用於交換環的模，这时线性函数要改为模同态。

注意一個雙線性形式是特別的双线性映射。

坐標表示法

如果V是n維向量空間，设是V的一组基。定义 阶的矩阵A使得。当
的矩阵x和y表示向量u及v时，双线性形式B可表示为:

考虑另一组基  ，其中S是一个可逆的 阶矩阵（基底转换矩阵），则双线性形式在下的矩阵的形式为：

对偶空间映射

V的每一個雙線性形式B都定義了一對由V射到它的对偶空间V*的線性函数。
定义 ：

常常記作：

這裡的(–)是放变量的位置。

如果 V是有限维空间的话，V和它的雙对偶空間V**是同构的，这时B2是B1 的轉置映射（如果V是无限维空间，B2限制在V在V**的像下的部分是B1 的轉置映射）。 定義B的轉置映射為雙線性形式：

如果 V是有限维空间，B1 及B2 的秩相等。如果他们的秩等于V的維数的话，B1 和 B2 就是由V到V*的同构映射（显然B1是同构当且仅当B2 是同构），此时，B是非退化的。实际上在有限维空间里，这常常作为非退化的定义：B是非退化的当且仅当

镜像對稱性和正交性

雙線性形式 B : V × V → F 是镜像對稱的当且仅当:

有了镜像對稱性，就可以定义正交：两个向量v和w关于一个镜像對稱的双线性形式正交当且仅当：
 。
一个双线性形式的根是指与所有其他向量都正交的向量的集合。一个矩阵表示为x的向量v属于双线性形式的根当且仅当（等价于），根一般是V的子空间，
当A是非奇异矩阵，即当B是非退化时，根都是零子空间{0}。

设W是一个子空间，定义。

当B是非退化时，映射是双射，所以的维数等于dim(V)-dim(W)。

可以证明，雙線性形式B是镜像對稱的当且仅当它是以下两者之一：
對稱的:  
交替(alternating)的:  

每个交替形式都是斜对称(skew-symmetric)（或称反对称(antisymmetric)）的，只要展开

B(v+w,v+w)就可看出。

当F的特征不为2时，逆命题也是真的。斜对称的形式必定交替。然而，当char(F)=2时，斜对称就是对称，因此不全是交替的。

一个双线性形式是对称的(反对称的)当且仅当它对应的矩阵是对称的(反对称的)。一个双线性形式是交替的当且仅当它对应的矩阵是反对称的，且主对角线上都是零。（在F的特征不为2时的情况下）

一个双线性形式是对称的当且仅当 相等，是旋钮对称的当且仅当。char(F) ≠ 2 时，一个双线性形式可以按成对称和反对称部分分解：

其中B* 是B 的转置映射。

不同空間的推廣
這套理論有很大一部份可推廣到雙線性映射的情形：

B: V × W → F.

此時仍有從 V 到 W 的對偶、及從 W 到 V 的對偶的映射。當 V, W 皆有限維，則只要其中之一是同構，另一個映射也是同構。在此情況下 B 稱作完美配對。

張量積關係
由張量積的泛性質， 上的雙線性形式一一對映至線性映射 ：若  是  上的雙線性形，則相應的映射由下式給出

所有從  到  的線性映射構成  的對偶空間，此時雙線性形式遂可視為下述空間的元素：

同理，對稱雙線性形式可想成二次對稱冪 S2V* 的元素，而交代雙線性形式則可想成二次外冪  Λ2V*  的元素。

參见

双线性映射
多线性映射
二次方程式
半双线性形式

外部链接

S
抽象代数
線性代數
多重线性代数