自然對數

自然对数（）為以数学常数e為底數的对数函数，標記作或，其反函数為指數函數。

自然对数积分定義為對任何正實數，由  到  所圍成，  曲線下的面積 。如果小於1，則計算面積為負數。

 則定義為唯一的實數  使得 。

自然对数一般表示為  ，數學中亦有以  表示自然對數。

歷史

十七世纪

約翰·納皮爾在1614年以及约斯特·比尔吉在6年後，分別發表了獨立編制的對數表，當時通過對接近1的底數的大量乘冪運算，來找到指定範圍和精度的對數和所對應的真數，當時還沒出現有理數冪的概念。按後世的觀點，约斯特·比尔吉的底數1.000110000相當接近自然對數的底數，而約翰·納皮爾的底數0.999999910000000相當接近。實際上不需要做開高次方這種艱難運算，約翰·納皮爾用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，建議納皮爾改用10為底數未果，他用自己的方法於1624年部份完成了常用對數表的編制。

形如的曲線都有一個代數反導數，除了特殊情況對應於雙曲線的，即雙曲線扇形；其他情況都由1635年發表的給出，其中拋物線的弓形面積由公元前3世紀的阿基米德完成（），雙曲線的弓形面積需要發明一個新函數。1647年將對數聯繫於雙曲線的弓形面積，他發現x軸上兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形同對應的扇形，在時面積相同，這指出了雙曲線從到的積分滿足：

1649年，將雙曲線下的面積解釋為對數。大約1665年，伊薩克·牛頓推廣了二項式定理，他將展開並逐項積分，得到了自然對數的無窮級數。“自然對數”最早描述見於尼古拉斯·麥卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中，他也獨立發現了同樣的級數，即自然對數的麥卡托級數。

十八世纪
大約1730年，歐拉定義互為逆函數的指數函數和自然對數為：

1742年威廉·琼斯發表了現在的冪指數概念。

形式定義
歐拉定義自然對數為序列的極限：

正式定義為積分，

這個函數為對數是因滿足對數的基本性質:

這可以通過將定義了的積分拆分為兩部份，並在第二部份中進行換元來證實:

冪公式可如下推出:

第二個等式使用了換元。

自然對數還有在某些情況下更有用的另一個積分表示：

性質
 
 
(參見複數對數)
 
 
 
 
 

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!證明
|-
|

|}

導數 

自然對數的導數為

證明一 （微積分第一基本定理）:

證明二: 按此影片 

设 

设 

用自然對數定義的更一般的對數函數，，根據其逆函數即一般指數函數的性質，它的導數為：
 
根據鏈式法則，以為參數的自然對數的導數為

右手端的商叫做的，通過的導數的方法計算叫做對數微分。

冪級數
自然對數的導數性質導致了在0處的泰勒級數，也叫做麥卡托級數：

對於所有  但不包括
把代入中，可得到自身的級數。通過在麥卡托級數上使用歐拉變換，可以得到對絕對值大於1的任何有效的如下級數:

這個級數類似於贝利-波尔温-普劳夫公式。

還要注意到是自身的逆函數，所以要生成特定數的自然對數，簡單把代入中。

對於

自然數的倒數的總和

叫做調和級數。它與自然對數有密切聯繫：當趨於無窮的時候，差

收斂於欧拉-马歇罗尼常数。這個關係有助於分析算法比如快速排序的性能。

積分
自然對數通過分部積分法積分:

假設:

所以:

 

自然對數可以簡化形如的函數的積分：的一個原函數給出為。這是基於鏈式法則和如下事實:

換句話說，

且

例子
下面是的例子：

設且：

與雙曲函數的關係

在18世紀，約翰·海因里希·蘭伯特介入雙曲函數，並計算雙曲幾何中雙曲三角形的面積。對數函數是在直角雙曲線下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數指數函數，即要形成指定雙曲角，在漸近線即x或y軸上需要有的或的值。顯見這裡的底邊是，垂線是。

通過旋轉和縮小線性變換，得到單位雙曲線下的情況，有：

單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線下雙曲角的。

連分數
儘管自然對數沒有簡單的連分數，但有一些廣義連分數如:

這些連分數特別是最後一個對接近1的值快速收斂。但是，更大的數的自然對數，可以輕易的用這些更小的數的自然對數的加法來計算，帶有類似的快速收斂。

例如，因為，2的自然對數可以計算為:

進而，因為，10的自然對數可以計算為:

複數對數

指數函數可以擴展為對任何複數得出複數值為的函數，只需要簡單使用為複數的無窮級數；這個指數函數的逆函數形成複數對數，並帶有正常的對數的多數性質。但是它涉及到了兩個困難: 不存在使得；並且有著。因為乘法性質仍適用於複數指數函數，，對於所有複數和整數。

所以對數不能定義在整個複平面上，並且它是多值函數，就是說任何複數對數都可以增加的任何整數倍而成為等價的對數。複數對數只能在切割平面上是單值函數。例如，或或等等；儘管，不能定義為或或，以此類推。

主值定義
對於每個非0複數，主值是虛部位於區間內的對數。表達式不做定義，因為沒有複數滿足。  

要對給出一個公式，可以先將表達為極坐標形式，。給定，極坐標形式不是確切唯一的，因為有可能向增加的整數倍，所以為了保證唯一性而要求位於區間內；這個叫做幅角的主值，有時寫為或。則對數的主值可以定義為 ：

例如，。

科学應用 
自然指数有应用於表达放射衰变（放射性）之类关于衰減的过程，如放射性原子数目的微分方程随时间变化率，常数为原子衰变概率，积分得。

註釋

参考资料

延伸阅读
John B. Conway, Functions of one complex variable, 2nd edition, Springer, 1978.
Serge Lang, Complex analysis, 3rd edition, Springer-Verlag, 1993.
Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964.
Donald Sarason, Complex function theory , 2nd edition, American Mathematical Society, 2007.
 and G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1927.

对数
基本特殊函数
E (数学常数)
一元运算