旋轉曲面

旋转曲面是一条平面曲线C绕它所在平面的一条直线L旋转一周所生产的曲面，其中曲线C称之为该旋转曲面的母线，直线L称为该旋转曲面的旋转轴。

例子包括球面，由圆绕着其直径旋转而成，以及环面，由圆绕着外面的一条直线旋转而成。

面积

如果曲线由参数方程、给出，其中，且旋转轴是轴，则旋转曲面的面积由以下的积分给出：

条件是非负。这个公式与古尔丁定理是等价的。

来自勾股定理，表示曲线的一小段弧，像弧长的公式那样。是这一小段的（重心的）路径。

如果曲线的方程是y = f(x)，a ≤ x ≤ b，则积分变为：

（绕着x轴旋转），

（绕着y轴旋转）。

这可以由以上的公式推出。

例如，单位半径的球面由曲线x(t) = sin(t)，y(t) = cos(t)旋转而得，其中。所以，它的面积为：

对于半径为r的圆绕着x轴旋转所得的曲面，

参见
 旋转体

参考文献
Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 931-937, 1985. 
Goldstein, H. Classical Mechanics, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 42, 1980. 
Gray, A. "Surfaces of Revolution." Ch. 20 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 457-480, 1997. 
Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S. "The Cylinder, the Cone, the Conic Sections, and Their Surfaces of Revolution." §2 in Geometry and the Imagination. New York: Chelsea, pp. 7-11, 1999. 
Isenberg, C. The Science of Soap Films and Soap Bubbles. New York: Dover, pp. 79-80 and Appendix III, 1992. 

积分学
曲面