基 (線性代數)

在线性代数中，基（英文：basis，又称基底) 是向量空间裡某一群特殊的向量（称为基向量），使得向量空间中的任意向量，都可以唯一地表示成基向量的线性组合（或線性組合的極限）。

通过基底可以直接地描述向量空间  上定义的线性映射  ，詳請參見线性映射#矩阵一節。

定义 
為了記號表示方便，這裡仿造數列级数定義一個"向量序列的級數"：

通常會仿造數列級數而把上面定義的  寫為

 

或更直觀的

Hamel基 

上面的第二個條件，也可以等價地改寫為以下兩條：

等價性來自於線性無關：

若有第二組相異  基向量和第二組标量  也滿足  的話，把這住兩組基向量合併，並重新排列，於兩組間重複的記為  ，其他不重複的部分，第一組的記為  ；而第二組的記為  ；然後設  於原來第一組對應的标量係數是  ；原第二組則是對應   。另外  對應的标量係數則為  ； 對應的标量係數則為  ； 這樣把  的第一組線性組合表達式減去第二組會有

 

這樣依據線性無關，就有

 

這就確保任意  的線性組合表達式都是用同一組的基向量，且其标量係數也是唯一的。

Schauder基 
除了上小節單以線性組合定義的Hamel基，也有以無窮級數展開任意向量為動機來定義基：

第二項條件通常會簡寫為

 對每個  ，都存在唯一組标量，使 

甚至寫為

例子

在傅立叶级数的研究中，函数是所有的在区间[0, 2π]上为平方可积分的（实数或复数值）的函数的（实数或复数）向量空间的“正交基”，这种函数满足

函数族是线性无关的，所有在[0, 2π]上平方可积分的函数是它们的“无限线性组合”，在如下意义上

对于适合的（实数或复数）系数ak, bk。但是多数平方可积分函数不能表达为这些基函数的有限线性组合，因为它们不构成Hamel基。这个空间的所有Hamel基都大于这个函数的只可数无限集合。此类空间的Hamel基没有什么价值，而这些空间的正交基是傅立叶分析的根本。

維度 

如果基中元素个数有限，就称向量空间为有限维向量空间，並将元素的个数称作向量空间的维度。如果原本的基底為：

那時也可依據元素個數的數數是以一對一對應來定義的本質，反過來用基向量序列  來間接代表。

事实上，不是所有空间都拥有由有限个元素构成的基底。这样的空间称为无限维空间。某些无限维空间上可以定义由无限个元素构成的基。在现代集合论中，如果承认选择公理，就可以证明任何向量空间都拥有一组基。一个向量空间的基不止一组，但同一个空间的两组不同的基，它们的元素个数或势（当元素个数是无限的时候）会是相等的。一组基里面的任意一部分向量都是线性无关的；反之，如果向量空间拥有一组基，那么在向量空间中取一组线性无关的向量，一定能得到一组基。特别地，在内积向量空间中，可以定义正交的概念。通过特别的方法，可以将任意的一组基变换成正交基乃至标准正交基。

性质 
设是向量空间的子集。则是基，当且仅当满足了下列任一条件：
 是的极小生成集，就是说只有能生成，而它的任何真子集都不能生成全部的向量空间。
 是中线性无关向量的极大集合，就是说在中是线性无关(線性獨立)集合，而且中没有其他线性无关(線性獨立)集合包含它作为真子集。
 中所有的向量都可以按唯一的方式表达为中向量的线性组合。如果基是有序的，则在这个线性组合中的系数提供了这个向量关于这个基的坐标。

如果承认良序定理或任何选择公理的等价物，那么作为推论，可以证明任何的向量空间都拥有一组基。（证明：良序排序这个向量空间的元素。建立不线性依赖于前面元素的所有元素的子集。它就是基）。反过来也是真的。一个向量空间的所有基都拥有同样的势（元素个数），叫做这个向量空间的维度。这个结果叫做维度定理，它要求系统承认严格弱形式的选择公理即超滤子引理。

例子 

考虑所有坐标 (a, b)的向量空间R2，这里的a和b都是实数。则非常自然和简单的基就是向量e1 = (1,0)和e2 = (0,1):假设v = (a, b)是R2中的向量，则v = a (1,0) + b(0,1)。而任何两个线性无关向量如 (1,1)和(−1,2)，也形成R2的一个基。

更一般的说，给定自然数n。n个线性无关的向量e1, e2, ..., en可以在实数域上生成Rn。因此，它们也是的一个基而Rn的维度是n。这个基叫做Rn的标准基。

设V是由函数et和e2t生成的实数向量空间。这两个函数是线性无关的，所有它们形成了V的基。

设R[x]指示所有实数多项式的向量空间；则 (1, x, x2, ...)是R[x]的基。R[x]的维度的势因此等于.

标准基 
在行向量空间中有单位行向量

那么在该空间中，任意向量,都可以唯一表示成.然后我们可以看出，可以由它的向量子空间构成

.

同样的，单位列向量就可以表达为.

线性无关的单位行向量生成. 那么是的基，称这个基为标准基.

基的扩张 
如上所述，一个向量空间的每一组基都是一个极大的线性无关集合，同时也是极小的生成集合。可以证明，如果向量空间拥有一组基，那么每个线性无关的子集都可以扩张成一组基（也称为基的扩充定理），每个能够生成整个空间的子集也必然包含一组基。特别地，在任何线性无关集合和任何生成集合之间有一组基。以数学语言来说：如果是在向量空间中的一个线性无关集合而集合是一个包含而且能够生成的集合，则存在的一组基，它包含了而且是的子集：。

以上两个结论可以帮助证明一个集合是否是给定向量空间的基。如果不知道某个向量空间的维度，证明一个集合是它的基需要证明这个集合不仅是线性无关的，而且能够生成整个空间。如果已知这个向量空间的维度（有限维），那么这个集合的元素个数必须等于维数，才可能是它的基。在两者相等时，只需要证明这个集合线性无关，或这个集合能够生成整个空间这两者之一就够了。这是因为线性无关的子集必然能扩充成基；而这个集合的元素个数已经等于基的元素个数，需要添加的元素是0个。这说明原集合就是一组基。同理，能够生成整个空间的集合必然包含一组基作为子集；但假如这个子集是真子集，那么元素个数必须少于原集合的元素个数。然而原集合的元素个数等于维数，也就是基的元素个数，这是矛盾的。这说明原集合就是一组基。

有序基和坐标 
基底是作为向量空间的子集定义的，其中的元素并不按照顺序排列。为了更方便相关的讨论，通常会将基向量进行排列。比如说将：写成有序向量组：。这样的有序向量组称为有序基。在有限维向量空间和可数维数的向量空间中，都可以自然地将基底表示成有序基。在有序基下，任意的向量都可以用确定的数组表示，称为向量的坐标。例如，在使用向量的坐标表示的时候习惯谈论“第一个”或“第二个”坐标，这只在指定了基的次序前提下有意义。在这个意义下，有序基可以看作是向量空间的坐标架。

设是在域上的n维向量空间。在上确定一个有序基等价于确定一个从坐标空间到的一个选定线性同构。

证明：这个证明利用了的标准基是有序基的事实。

首先假设
是线性同构。可以定义的一组有序基如下：
 
其中的是的标准基。

反过来说，给定一个有序基，考虑如下定义的映射
 φ(x) = x1v1 + x2v2 + ... + xnvn,
这里的x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen是Fn的一个元素。不难检查出φ是线性同构。

这两个构造明显互逆。所以V的有序基一一对应于线性同构Fn → V。

确定自有序基{vi}线性映射φ的逆映射为V装备了坐标：如果对于向量v ∈ V, φ-1(v) = (a1, a2,...,an) ∈ Fn，则aj = aj(v)的分量是v的坐标，在v = a1(v) v1 + a2(v) v2 + ... + an(v) vn的意义上。

从向量v到分量aj(v)的映射是从V到F的线性映射，因为φ-1是线性的。所以它们是线性泛函。它们形成V的对偶空间的基，叫做对偶基。

参考文献

参见 

线性代数
线性组合

外部链接
 MIT Linear Algebra Lecture on Bases  at Google Video, from MIT OpenCourseWare

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