邻域

在集合论中，邻域（）指以点 a 为中心的任何开区间，记作：U(a)。

在拓扑学和相关的数学领域中，邻域是拓扑空间中的基本概念。直觉上说，一个点的邻域是包含这个点的集合，並且該性質是外延的：你可以稍微“抖动”一下这个点而不离开这个集合。

定义 
在集合论中，有以下几种邻域：
邻域：
去心邻域：
左邻域：
右邻域：

在拓扑学中，拓扑空间X，A，B⊆X，称B是A的邻域，当且仅当以下条件之一成立：
 存在开集C，使得A⊆C⊆B。
 A⊆Bo。（Bo是B的内部）

开邻域，闭邻域
若B是开集，则B称为A的开邻域；若B是闭集，则B称为A的闭邻域。
邻域系统
设x∈X，则{x}所有邻域的集合U(x)，称为x（或{x}）的邻域系。

注意：某些作者要求邻域是开集，所以在阅读文献时注意约定是很重要的。

如果S是X的子集，S的邻域是集合V，它包含了包含S的开集U。可得出集合V是S的邻域，当且仅当它是在S中的所有点的邻域。

鄰域的度量空间定義 

在度量空间M = (X,d)中，集合V是点p的邻域，如果存在以p为中心和半径为r的开球，

它被包含在V中。

一致邻域 
V叫做集合S的一致邻域（uniform neighborhood），如果存在正数r使得对于S的所有元素p，

被包含在V中。

对于r>0集合S的r-邻域是X中与S的距离小于r的所有点的集合(或等价的说是以S中一个点为中心半径为r的所有开球的并集)。

可直接得出r-邻域是一致邻域，并且一个集合是一致邻域当且仅当它包含对某个r值的r-邻域。

參見一致空間。

非一致邻域的例子 
给定实数集带有平常的欧几里得度量和如下定义的子集V
，
则V是自然数集合N的邻域，但它不是这个集合的均匀邻域，因為並不是一個固定值。

去心邻域 
点  的去心邻域（ 或 ）是点  的邻域中减去  后得到的差集。例如，区间  是  在实数轴上的邻域，因此集合  是  的一个去心邻域。需注意的是，给定点的去心邻域实际上不是该点的邻域。在讨论函数极限时，会用到去心邻域的概念。

基于邻域的拓扑 

上述定义適用於开集的概念早已定义的情況。有另一种方式来定义拓扑，也就是先定义邻域系统，再定义开集：若集中每个点皆有一個邻域被包含於集中，則為開集。

在X上的邻域系统是滤子N(x)(在集合X上)到每个X中的x的指派，使得
 点x是每个N(x)中的U的元素，
 每个N(x)中的U包含某个N(x)中的V使得对于每个V中的y有着U在N(y)中。

可以证明这两个定义是兼容的，就是说从使用开集定义的邻域系统获得的拓扑就是最初的拓扑，反之从邻域系统出发亦然。

引用

参见
局部基
第一可数空间
管状邻域

L
數學分析