代數整數

在數學裡，代數整數（algebraic integer）是複數中的一类。一个複数α是代数整数当且仅当它是某个個整系數的首一多項式的根。其中首一（英文：monic）意謂最高冪次項的系數是1。

因此，所有代數整數都是代數數，但並非所有代數數都是代數整數。所有代数整数构成一个环，通常记作。

如果是整係數本原多項式（即系數的最大公因数是1的多项式），但非首一多項式，則的根都不是代數整數。

定义  
以下是代数整数四种相互等价的定义。设为代数数域（有理数域的有限扩张）。根据本原元定理，可以写成的形式。其中是某个代数数。设有，则是代数整数当且仅当以下命题之一成立：
存在整系数多项式：，使得。
在上的极小首一多项式是整系数多项式。
是有限生成的模。
存在有限生成的子模：，使得。

例子
有理数域中的代数整数就是整数。换句话说，和交集是整数环。这可以用整系数多项式的一个简单性质证明。如果一个整系数多项式

有一个根是有理数：，其中p、q是互素的整数，那么必然有：分母q 整除，以及分子p 整除。因此，由于代数整数是某个首一多项式的根，如果它是有理数，那么它的分母整除多项式的最高冪次項，也就是说整除1。所以这个有理数的分母是1，即是说它是整数。反过来，所有的整数n都是整系数首一多项式的根，所以是代数整数。

一个给定的代数数域与的交集称为这个数域的（代数）整数环，记作。这个整数环中的代数整数不再只是整数。比如说，给定一个数域：，那么对应的整数环中不仅有整数，还有，因为是首一多项式的根。

不是代数整数。这是因为在有理数域上的最小多项式是，不是一个首一多项式。

是一个代数整数。它是多项式的根。一般来说，如果整数除以4余1，那么也是代数整数，因为它是多项式的根。
 
给定素数，次单位根也是一个代数整数，因为是首一多项式的根。实际上，次分圆域的整数环就是。

性质

 兩個代數整數的和是一個代數整數，他們的差及積也是。這時它們滿足的首一多項式可以用結式表達；但他們的商就不一定是代數整數。
 一個以代數整數為系數的首一多項式的根也是代數整數。換句話說，代數整數構成一個環，並且在任何代數擴張下是整閉的。
 任何從整數出發，透過和、積與开方得到的數都是代數整數，但並非所有代數整數都可依此構造，例如，大多數的五次代數整數都無法透過這種方式構造。
 代數整數是裴蜀整环。

參見
整性
高斯整數
艾森斯坦整數
單位根
狄利克雷單位理論
基本单位 (数论)

参考来源
 Daniel A. Marcus, Number Fields（数域）, third edition, Springer-Verlag, 1977

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