霍普夫-里诺定理

数学中，霍普夫-里诺定理（）是关于黎曼流形的测地完备性的一套等价命题，以海因茨·霍普夫和他的学生维利·里诺命名。定理如下：

设M是黎曼流形，则下列命题等价：

 的有界闭子集是紧的。
 是完备度量空间。
 是测地完备：对中任意点，指數映射可定义在整个切空间。

而且，以上任一条均可导出对于中任何两点和，存在连起两点的测地线使长度最短（测地线一般是极值，不一定是最小值）。

推广

霍普夫—里诺定理推广至长度度量空间如下：
若一长度度量空间是完备和局部紧，那么中任意两点可以用长度最短的测地线连起，的任意有界闭子集是紧的。

参考书目
 Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin.  ISBN 3-540-4267-2 See section 1.4.

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度量几何
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