预序关系

预序关系（简称预序，又称先序，preorder）、在数学中，是一类接近于偏序关系的二元关系，但仅满足自反性和传递性而不满足反对称性。偏序的大多数理论均可扩展到预序。

定义

考虑集合 P 及其上的二元关系 。若  具有自反性和传递性，则称  为预序。具体来说，对任意 P 的元素 a，b 和 c，下列性质成立：

a  a (自反性)
若 a  b 且 b  c，则 a  c (传递性)

带预序的集合称为预序集合。同时满足反对称性（若 a  b 且 b  a，则 a = b）的预序为偏序。

说明

作为特例，空集上的空关系为一预序。空集加上空关系构成一预序集。

导出偏序

将预序集的等价元素等同起来，可得到由该预序集所导出的偏序集。具体过程如下：定义预序集 X 上的等价关系 ，使得 a  b 当且仅当 a   b 且 b   a。定义所得商集 （所有  的等价类构成的集合）上的序关系  ，使得[x]    [y] 当且仅当 x   y。由  的构造可知， 的定义与所选等价类的代表元素无关，故上述定义明确。易证该关系为一偏序。

举例

 拓撲學中，網收敛的定义使用预序比使用偏序可避免重要特征的丢失。
 可數全序的嵌入關係。
 图论中的图子式关系（）
 多種經濟學模型的偏好。

参见

 二元关系
 偏序关系
 全序关系
 等价关系
 有向集合
 预序范畴

參考文獻

 

Y
数学关系