数学基础

数学上，数学基础（）一词有时候用于数学的特定领域，例如数理逻辑，公理化集合论，证明论，模型论，和递归论（可計算性理論）。但是寻求数学的基础也是数学哲学的中心问题：在什么终极基础上命题可以称为“真”?

目前占统治地位的数学典範思想是基于公理化集合论和形式逻辑的。實際上，幾乎所有现在的数学定理都可以表述為集合论下的定理。在这个观点下，所謂数学命题的真实性，不过就是该命题可以从集合论公理使用形式逻辑推导出来。

这个不能解释一些问题：为什么我们應沿用现行的公理而不是別的，为什么我们應沿用现行的逻辑规则而不是別的，为什么「真」数学命题（例如，算術領域的皮亚诺公理）在物理世界中似乎是真的。这被尤金·维格纳在1960年叫做“数学在自然科学中无理由的有效性”（The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences）。

在（有时也叫柏拉图主义）中，独立于人类的数学对象的世界的存在性被作为一个基本假设；这些对象的真实性由人类「发现」。在这种观点下，自然定律和数学定律有類似的地位，因此"有效性"不再"无理由"。不是我们的公理，而是数学对象的真实世界构成了數學基础。但，显然的问题在于，我们如何接触这个世界？

一些数学哲学的现代理论不承认這種數學基础的存在性。有些理论倾向于專注，並試圖把数学家的实際工作視為一種社會群體來作描述和分析。也有理論试图创造一个，把数学在"现实世界"中的可靠性歸結為人類的認知。这些理论建议只在人类的思考中找到基础，

参见 

 数学哲学
 数学准经验主义
 几何基础

参考来源 
 The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences , Eugene Wigner, 1960;
 What is mathematical truth?, Hilary Putnam, 1975;
 Mathematics as an objective science, Nicholas D. Goodman, 1979;
 Some proposals for reviving the philosophy of mathematics, Reuben Hersh, 1979;
 Challenging foundations, Thomas Tymoczko, 1986, preface to first section of New Directions in the Philosophy of Mathematics, 1986 and (revised) 1998, which includes also Putnam, Goodman, Hersh.

外部链接 

 What is Foundations of Mathematics?
 Logic and Mathematics 
 Foundations of Mathematics mailing list 

數學哲學
數理邏輯