阿贝尔定理

阿貝爾定理是冪級數的一個重要結果。

定理
設為一冪級數，其收斂半徑為R。若对收敛圆（模长为 R 的复数的集合）上的某个复数，级数收斂，則有: 。

若收斂，則結果顯然成立，無須引用這个定理。

证明
设级数收斂，下面证明：

令，则幂级数 的收敛半径为1，并且只需证明

令，则可化归到，于是以下只需要考虑 的情况。

设，那么。由幂级数性质可知 的收敛半径也是1。于是
 
 
 （因为）

对于任意的，固定 使得
 ，
再固定使得
 ，

于是对，
 

 

这就证明了

于是阿贝尔定理得证。

从证明中可以看出，对于一个固定的正数，设区域：
 
那么只要 在趋近于1，就有阿贝尔定理成立。

例子和应用
阿贝尔定理的一个有用应用是计算已知收敛级数。方法是通过在级数每项后加上项，将问题转换为幂级数求和，最后再计算 x 趋于 1 时幂级数的极限。由阿贝尔定理可知，这个极限就是原级数的和。

 为计算收敛级数，設。于是有
 为计算收敛级数，設。因此有

参考来源

 

实分析定理
复分析定理
级数
尼尔斯·阿贝尔
可和法