累积分布函数

累积分布函数（，CDF）或概率分布函数，简称分布函数，是概率密度函數的积分，能完整描述一個實随机变量的概率分佈。

在標量連續分佈的情況下，它給出了從負無窮到的概率密度函數下的面積。 累積分佈函數也用於指定的分佈。

定義

對於所有實數值的随机变量 ，累积分布函数定義如下：

其中右侧表示随机变量取值小于或等于的概率。

對於位于半闭区间 的概率，其中，因此定義是:

在上面的定義中，“小於或等於”符號“≤”是一種約定，不是普遍使用的（例如匈牙利文獻使用“<”），但這種區別對於離散分佈很重要。二項式分布和泊松分布的表格的正確使用取決於此約定。此外，像數學家保羅·皮埃爾·萊維(Paul Lévy)的特徵函數反演公式等重要公式也依賴於“小於或等於”公式。

性質

 有界性

 單調性：

右連續性：

之值落在一區間之內的機率為

一隨機變數的CDF與其PDF的關係為

反函数
若累积分布函数  是连续的严格增函数，则存在其反函数。累积分布函数的反函数可以用来生成服从该随机分布的随机变量。设若是概率分布的累积分布函数，并存在反函数。若是区间上均匀分布的随机变量，则服从分布。

互补累积分布函数
互补累積分布函数（complementary cumulative distribution function、CCDF），是对连续函数，所有大于的值，其出现概率的和。

參見
機率密度函數
機率質量函數

參考

与概率分布相关的函数