一元二次方程

一元二次方程式是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的多项式方程。

例如，，， 等都是一元二次方程。

一元二次方程式的一般形式是　

其中，是二次项，是一次项，是常数项。是一个重要条件，否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。当然，在强调了是一元二次方程之后，也可以省略不写。另外，一元二次方程式有時會出現虛數根。

歷史 

古巴比伦留下的陶片显示，在大约公元前2000年（2000 BC）古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大約公元前480年，中國人已经使用配方法求得了二次方程的正根。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世紀印度的婆羅摩笈多（Brahmagupta）是第一位懂得用使用代數方程，它同時容許有正負數的根。

11世紀阿拉伯的花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。

据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是（引自婆什迦罗第二）：

将其转化为数学语言：解关于的方程 

在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍，即，得　

在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方，即，得　

然后在方程的两边同时开二次方根，得

解法 
阿贝尔指出，任意一元二次方程都可以根据、、三个系数，通过初等代数运算来求解。求得的解也被称为方程的根。

一般來說，一元二次方程有兩個解，答案需提供兩個不同的數值，只要符合的原則就可以了。

因式分解法 
把一个一元二次方程变形成一般形式後，如果能够较简便地分解成两个一次因式的乘积，则一般用因式分解来解这个一元二次方程。

将方程左边分解成两个一次因式的乘积后（一般可用十字相乘法），分别令每一个因式等于零，可以得到两个一元一次方程。解这两个一元一次方程，得到的两个解都是原方程的解。

如果一元二次方程存在两个实根，那么它可以因式分解为。

例如，解一元二次方程时，可将原方程左边分解成，所以，可解得

公式解法 
對於，它的根可以表示為　

當時也寫成

公式解的證明 
公式解可以由配方法得出。首先先將一元二次方程的一般形式除以（在一元二次方程中不為零），將會得到　，即　

現在可以開始配方了。為了配方，必須要加上一個常數到等式的左邊，使等式左邊有完全平方的樣子。

當時，得到，亦即當式子的兩邊加上將得到，現在式子的左邊變成了一個完全平方式了，並且可以看出是的平方。式子的右邊則可以通分成一個分數，因此式子變成了　

接下來，對式子的兩邊開根號　

最後，式子兩邊同時減去得公式解

一般化 
一元二次方程的求根公式在方程的係數为有理数、实数、複數或是任意数域中适用。

公式中的根式

應該理解為「如果存在的話，兩個自乘後為的數當中任何一個」。在某些数域中，有些數值没有平方根。

根的判别式 

对于實係数一元二次方程，称作一元二次方程根的判別式。根据判别式，一元二次方程的根有三种可能的情况：

 如果，则这个一元二次方程有兩个不同的实数根。如果係數都為有理數，且是一个完全平方数，則這兩個根都是有理数，否則這兩個根至少有一個是無理數。

 如果，则這个一元二次方程有兩個相等的实数根。而且這兩個根皆為

 如果，则这个一元二次方程有兩個不同的複數根，兩根互为共轭复数。這時根為，其中

非實係數一元二次方程 
即係數为非实数时的一元二次方程，将系数扩展到复数域内，此时要注意根的判别式不適用於非實係數一元二次方程。

根與係數 
根據韋達定理可以找出一元二次方程的根與方程中係數的關係。

图像解法 

一元二次方程的根的几何意义是二次函数的图像（為一条抛物线）与轴交点的x坐标。

另外一种解法是把一元二次方程化为 的形式。

则方程的根，就是函数和交点的X坐标。

通过作图，可以得到一元二次方程根的近似值。

计算机法 
在使用计算机解一元二次方程时，跟人手工计算相似，大部分情况下也是根据以下公式去解可以进行符号运算的程序，比如Mathematica，可以给出准确的解析表达式。而大部分程序则只会给出数值解。(但亦有部分顯示平方根及虛數)

参见 
 方程
 三次方程
 和平方
 差平方
 平方差
 配方法

参考资料

外部連結 
 101 uses of a quadratic equation: Part I ，Part II 

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