雙曲複數

雙曲複數（或），是異於複數而對實數所做的推廣。

定義
考慮數，其中是實數，而量不是實數，但是實數。

選取，得到一般複數。取的話，便得到雙曲複數。

定義雙曲複數的加法和乘法如下，使之符合交換律、結合律和分配律：

共軛、範數

對於，其共軛值。對於任何雙曲複數，
 
 
 

可見它是自同構的。

定義內積為  。若 ，說（雙曲）正交。

雙曲複數的平方範數就取自己和自己的內積，即自身和其共軛值之乘積（閔可夫斯基範數）：
 。

這個範數非正定，其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不變：。

除法
除了0之外，也不是每個雙曲複數都有乘法逆元。

由此可見，雙曲複數可逆若且唯若其平方範數非零。其形式均為，其中是實數。

基
雙曲複數的冪等元有：

列方程。有四個解：。

s和s^*都是不可逆的。它們可以作雙曲複數的基。 。

若將表示成，雙曲複數的乘法可表示成 。因此，在這個基裏，雙曲複數的加法和乘法和直和R⊕R同構。

共軛可表示為，範數。

幾何
有閔可夫斯基內積的二維實向量空間稱為1+1閔可夫斯基空間，表示為R1,1。正如歐几里得平面R2的幾何學可以複數表示，閔可夫斯基空間的幾何學可以雙曲複數表示。

在R，對於非零的，點集  是雙曲線。左邊和右邊的會經過和。稱為單位雙曲線。

共軛雙曲線是 ，會分別經過和。雙曲線和共軛雙曲線會被成直角的兩條漸近線  分開。

歐拉公式的相應版本是。

歷史
1848年James Cockle提出了双复数。1882年威廉·金頓·克利福德以雙曲複數表示自旋和。

20世紀，雙曲複數成為描述狹義相對論的勞侖茲變換的工具，因為不同參考系之間的速度變換可由雙曲旋轉表達。

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