图 (数学)

在离散数学中，图（）是用于表示物体与物体之间存在某种关系的结构。数学抽象后的“物体”称作节点或顶点（），节点间的相关关系则称作边。在描绘一张图的时候，通常用一组点或小圆圈表示节点，其间的边则使用直线或曲线。

图中的边可以是有方向或没有方向的。例如在一张图中，如果节点表示聚会上的人，而边表示两人曾经握手，则该图就是没有方向的，因为甲和乙握过手也意味着乙一定和甲握过手。相反，如果一条从甲到乙的边表示甲欠乙的钱，则该图就是有方向的，因为“曾经欠钱”这个关系不一定是双向的。前一种图称为无向图，后一种称为有向图。

图是图论中的基本概念。1878年，詹姆斯·西尔维斯特首次使用“图”这一名词：他用图来表示数学和化学分子结构之间的关系（他称为“化学图”，）。

定义 
在图论中，图的定义有很多。下面是一些比较基本的定义方式以及与它们相关的数学结构。

图

一张图（为了和有向图区分，也称无向图；为了和多重图区分，也称简单图）是一个二元组，其中集合中的元素称为节点，集合中的元素是两个节点组成的无序对，称为边。集合称为点集，称为边集。

一条边上的两个节点和称作这条边的顶点或端点；也说这条边连接了节点和，或这条边与和关联（）。一个节点可以不属于任何边，即它不与任何节点相连。由于是无序对，和表示的是同一个元素。

更一般地，多重图的定义中允许同一对节点之间存在多条不同的边。在特定语境中，多重图也可以直接称作图。此时，在上面的定义中，集合E应该为多重集。

有时，图的定义中允许自环（简称环，），即一条连接一个节点和其自身的边。允许自环的图也称为自环图。

点集V一般是有限集；这意味着边集E也是有限集（不考虑多重图）。相对地，中的点集可以是无限的。然而，由于有限图中的结论大多不能延伸到无穷图，无穷图通常更被视为一种特殊的二元关系。

一个点集为空集的图称为空图（因此边集也是空集）。图的阶（）是指其中节点的数量，即。图的边数是指其边的数量，即。图的大小（）一般也指图的边数。但在一些语境中，例如描述算法复杂度的时候，图的大小是指（否则非空图的大小也有可能是0）。节点的度（）是指连接到该节点的边的数量；对于允许自环的图，环要算做两条边（因为两端都连接到这个节点）。

如果一个图的阶是，则其节点的度最大可能取（对于允许自环的图则是），而边最多可能有条(对于允许自环的图则是）。

在图的定义中，边的概念定义了节点上的一个对称关系，即“邻接”关系（）。具体地说，对于两个节点和，如果是一条边，则称它们是邻接的。一张图因此可以用其邻接矩阵A来表示，即一个的矩阵，其中每个元素Aij表示节点i和j之间的边的数量。对于一个简单图，总有，分别表示“不相连”和“相连”，而（即一条边的两个顶点不能相同）。允许自环的图上的取值可以是非负整数，而多重图则允许任何的取值都是非负整数。无向图的邻接矩阵是对称阵（）。

有向图 

边为有方向的图称作有向图（）。

有向图的一种比较严格的定义是这样的：一个二元组，其中
 是节点的集合；
 是边（也称为有向边，；或弧，）的集合，其中的元素是节点的有序对。
为了和多重图区分，这样的有向图也称为有向简单图。

在从到的边 上，节点和称作这条边的顶点，其中是起点或尾（），是终点或头。也说这条边连接了节点和、这条边与节点和关联。一张有向图中的节点可以不属于任何一条边。边称为边的反向边。

节点的出度（）是指起点为该节点的边的数量；节点的入度（）是指终点为该节点的边的数量。

更一般地，如果一张有向图允许多条头尾都分别相同的边，则称这样的图为有向多重图，这样的边称为多重边。一种允许多重边的有向图定义方法如下：一个有向图是这样的三元组：
 是节点的集合；
 是边的集合；
 是一个关联函数，将每条边映射到一个由顶点组成的有序对上（即一条边被按顺序关联到两个顶点）。

自环是指一条起点和终点相同的边。前面的两个定义都不允许自环，因为若节点上有一个自环，则边存在；但这样的边不在中。因此，如果要允许自环，则上面的定义要做修改：对于有向简单图，的定义应该修改为；对于有向多重图，的定义应该修改为。为了避免定义不清，这样的图分别称作允许自环的有向简单图或允许自环的有向多重图（）。

在允许自环的有向简单图中，边是上的一个，称作上的邻接关系。 
对于顶点是和的边，我们说和是彼此邻接的，记作。

混合图

边既可以有向、也可以无向的图称作混合图。混合简单图是一个多元组，而混合多重图则是多元组，其中V、E（无向边集）、A（有向边集）、ϕE、ϕA的定义可以参考前面的无向图和有向图定义。在此定义下，有向图和无向图是混合图的特殊情况。

赋权图

赋权图（，也称加权图、网络（））是指每条边都对应有一个数字（即“权重”，）的图。根据具体问题，权重可以表示诸如费用、长度或容量等意义。这样的图会出现在最短路径问题和旅行商问题等问题中。

基本术语

 子图（）：对于圖和图，若且，则称是的子图。
 生成子图（）：指满足条件的的子图。
 链()、轨迹()、路径()：链是顶点和边交替出现的序列称作一个长度为k的链，其中和为其端点，其余顶点为内部点。所有边都不相同的链称为轨迹（简称迹）。所有顶点都不相同的轨迹称为路径（简称路）。在有向图中，若链（迹、路）的方向和其中每条边的方向一致，则称其为有向链（迹、路）。
 两端点相同的链和迹分别称为闭链（或环，）、闭迹（或回路，）。
 距離（Distance）： 从頂點出發到頂點的最短路徑若存在，則此路徑的長度稱作從到的距離。

特殊的图

正则图 

正则图是指每个节点的邻居（）数量都相同的图，即每个节点的度都相同的图。节点的度为k的正则图也称作k-正则图。

完全图 

完全图（）是指每对节点之间都有一条边相连的图。一张完全图包含简单图所有可能出现的边。

有限图 
有限图（）是指点集和边集是有限集的图。否则，则称为无限图。在不加说明的情况下，图论中讨论的图大多是有限图。

连通图 

在无向图中，如果存在x和y之间的路径，则称此两节点的无序对是连通的；否则，则称此两点是非联通的。

连通图是指每对节点都连通的无向图。否则，则称图是非连通图。

在有向图中，如果存在x和y之间的有向路径，则称此两节点的有序对是强连通的。此外，若将图中的所有边都换为无向边，得到的无向图中存在x和y之间的路径，则称此两节点是弱连通的。否则，则称此两点是非联通的。

强连通图是指每对节点都强连通的有向图。此外，弱连通图是指每对节点都弱联通的有向图。否则，则称图是非连通图。

对于一张图，若不存在大小为的点集或边集，使得从图中移除该集合后，图就变为非连通图，则称该图是或。k-点连通图通常也简称k-连通图。

二分图 

二分图（）是指这样的简单图：其点集可以被划分称两个集合W和X，其中W中的任意两个节点之间没有边相连，X中的任意两个节点之间也没有边相连。二分图是点着色色数为2的图。

若一张图的点集是两个集合W和X的无交并，使得W中的任意节点都和X中的所有节点邻接，且W或X之内没有边，则称此图是完全二分图。

平面图 

平面图是指可以将其节点和边画在平面上，而没有两边相交的图。

循环图 

阶为的循环图（）或环形图（）是指其节点可以列为v1, v2, …, vn，使得图中的边为，其中i=1, 2, …, n − 1，以及。循环图的另一种定义是所有点的度都为2的连通图。如果循环图是另一个图的子图，则它是那个图中的一个环。

树和森林 

树是指任意两点之间都有且仅有一条路径的无向图。等价地，树是一个连通无环无向图。

森林是指任意两点之间至多仅有一条路径的无向图。等价地，森林是一个无环无向图，或一组树的无交并。

其它特殊的图
一些进阶的特殊图包括：
 佩特森圖；
 ；
 弦图；
 。

例子 

 右边的图示是一个点集为、边集为的图。
 在计算机科学中，有向图可以用于表示、有限状态自动机，以及其它许多数据结构。
 任意集合X上的二元关系R都可定义一个有向图。X中的元素x到y有一条边，当且仅当xRy。
 有向图可以用于表示信息网络。例如，在推特上，用户之间的关注关系可以用有向图表示。

图运算 

图上可以进行一些运算或变换，使一个图变为另一个图：
 一元运算，将一个图变换为另一个图，例如：
 边收缩，
 线图，
 对偶图，
 补图；
 二元运算，结合两个图为一个新图，例如：
 ，
 图乘积，包括、、、图的字典积等，
 等。

图的推广 
在超图中，允许一条边连接多于两个节点。

无向图可以看作是由1-单纯形（边）和0-单纯形（节点）组成的单纯复形。由此，复形成为图的推广，其中允许维度更高的单纯形。

图可以看作是一种拟阵。

在模型论中，图是一个结构。这样一来，边的数量可以是任意基数。参见图极限。

在计算生物学中，推广了无向图的定义。

在地理信息系统中，为了进行道路网络或电网的时空分析而提出的的定义参考了图，并借用了许多图论的概念。

参见 
 
 图 (数据结构)
 图论
 图数据库
 网络理论

参考资料

脚注

文献 
 Introduction To Graph Theory, by Gary Chartrand and Ping Zhang, McGraw Hill

外部链接 

 
 

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