向量分析

向量分析，或称为向量微積分（）是數學的一个分支，主要研究在3维欧几里得空间  中向量場的微分和积分。「向量分析」有时也用作多元微积分的代名词，其中包括向量分析，以及偏微分和多重积分等更广泛的问题。

向量分析在微分几何与偏微分方程的研究中起着重要作用。它被广泛应用于物理和工程中，特别是在描述电磁场、引力场和流体流动的时候。

向量分析从四元數分析发展而来，由约西亚·吉布斯和奧利弗·黑維塞於19世纪末提出，大多数符号和术语由吉布斯和在他们1901年的书《向量分析》中提出。向量演算的常规形式中使用外积，不能推广到更高维度，而另一种的方法，它利用可以推广的外积，下文将会讨论。

向量运算

代数运算

向量分析中的基本代数（非微分）的运算称为向量代数，定义在一向量空间，然后应用到整个向量场，包括：
标量乘法
标量场和向量场相乘，产生向量场： ;
向量加法
两个向量场相加，产生向量场： ;
內積
两个向量场相乘，产生标量场： ;
外積
两个向量场相乘，产生向量场： ;

还有两个三重积：
标量三重积
向量和两个向量叉积的点积：  ;
向量三重积
向量和两个向量叉积的叉积：  或  ;
尽管三重積不常作为基本运算，不過仍可以用內積及外積表示。

微分运算

向量分析研究定义在标量场或向量场定义的不同微分算子，通常用的向量算子（∇）来表示，也被称为“Nabla算子”。向量分析的五个最重要的微分运算：

定理 
同样，也有几个与这几个相关的重要定理，将微积分基本定理拓展到了更高维度：

参见

 实函数
 向量恒等式
 在圆柱和球坐标系中的del
 方向导数
 保守矢量场
 螺线矢量场
 拉普拉斯矢量场
 亥姆霍兹分解
 正交坐标
 偏斜坐标
 曲线坐标
 张量

延伸阅读 
A History of Vector Analysis

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