超复数

超複數是複數在抽象代數中的引申，通常是實數域上某個有限維的單位代數的元素。19世紀後期對超複數的研究，成為現代群表示論的根基。
此種代數舉例如下：

4維度：四元數、雙複數、分裂四元數
8維度：八元數、複四元數
16維度：十六元數

歷史
19世紀，實數系和複數系之外的若干數系，如四元數系、雙複數系、分裂四元數系、複四元數系、八元數系，成為數學文獻中完善的概念。超複數是涵蓋該些數系的概念，吸引學者研究和分類。

分類工作始於本傑明·皮爾士的1872年文章〈線性結合代數〉，並由其子查爾斯·桑德斯·皮爾士接續。重要的是，二人認定冪零元和冪等元皆對分類有用。凱萊－迪克森構造利用對合，從實數系開始，生成複數系、四元數系、八元數系。赫維茲和弗羅貝尼烏斯證明超複數的若干限制：赫維茲定理斷言有限維的實僅得實數系、複數系、四元數系、八元數系，而斷言，實僅得、、。1958年，考慮H-空間（有具單位元的連續乘法的拓撲空間）的霍普夫不變量，發表推廣的結果，該結果仍將維數限制在1、2、4、8。

矩陣代數對研究超複數系幫助很大。首先，矩陣提供新的超複數系，例如實矩陣組成的代數（同構於分裂四元數）。很快，矩陣方法解明其他超複數系，因為該些超複數系也可以用矩陣及其運算表示。1907年，約瑟夫·韋德伯恩證明，滿足結合律的超複數系可表示為方陣代數或其直積。此後，結合代數成為較常用來稱呼超複數系的術語，例如韋德伯恩在愛丁堡大學的學位論文標題便用了此術語。然而，也有不可結合的數系，例如八元數系和，也算是另一類的超複數。

湯馬士·霍金斯（Thomas Hawkins）解釋，超複數是研究李群和群表示論的踏腳石。例如，1929年，埃米·諾特發表〈超複量與表示論〉。1973年，和索洛多夫尼科夫（A. S. Solodovnikov）出版關於超複數的德文教科書，該書於1989年翻譯成英文。

詳細介紹全盛期的超複數研究，包括數學家和的貢獻。關於超複數至近世代數的過渡，在《代數史》有三十頁專論超複數。

定義
定義超複數為實域上某個有限維代數的元素，而該代數要有單位，但無需可結合或可交換。 該些元素可以寫成一組基的線性組合，其中系數為實數，而基的大小稱為該代數的維數。若可行，一般將基正規化，即選取使。下節先考慮二維超複數（即）。

二維實代數
關於二維實代數有以下定理：在同構意義下，實域上的二維單位代數恰有3個：複數系、雙曲複數系、二元數系。於是，實域上的所有二維單位代數皆可結合和可交換。

下段簡述定理的證明。

因為給定的代數是二維，可選一組基。因為代數對乘法封閉，的平方仍是代數的元素，故可寫成線性組合：

其中為實系數。

運用常見的配方法，兩邊減走並加上，得：

所以，其中是實數。
取決於此實數值，分別有三種情況：
若，則上式變成。於是，可視為二元數的基中的冪零元。
若，則有。雙曲複數的標準基滿足，故若除以正實數（其平方與平方相等），得到的結果即可視為。
若，則有。平常複數的標準基滿足，故若除以正實數（其平方與平方互為相反數），得到的結果即可視為。

從而定理成立。

複數系是以上三個二維實代數中唯一一個域。若代數具有1的非實平方根（如雙曲複數），則也有冪等元和零因子（因為），故此種代數必不為。然而，此種性質有時很有用，例如雙曲複數適用於描述狹義相對論的勞侖茲變換。

《數學雜誌》在2004年的某版中，稱二維實代數為「廣義複數」（generalized complex numbers）。四個複數交比的概念也可以推廣到其他二維實代數。

高維例子（有多於一條非實軸）

克里福代數

克里福代數是由賦有二次型的向量空間所生成的單位結合代數。在實域上，其等價於可以定義對稱純量積，正交化該二次型，以得到基，滿足：

由乘法封閉性，該向量空間的基相乘得到個，即，皆為克里福代數的元素，且組成該代數的基（不同於原向量空間的基），可視為一個超複數系的基。與原向量空間的基不同，該代數的其他基元素不一定反交換，而是取決於將兩個因子對調時，會交換的簡單因子（即）有奇數對抑或偶數對。所以，，但。

若不允許（即二次型），則餘下的克里福代數可記為，表示其為個滿足的簡單基元和個滿足的簡單基元生成的代數，而括號內的指明此為實域上的克里福代數，即元素的系數為實數。

該些代數稱為，組成有規律的一族。該族代數適用於描述轉動、相位、自旋，因此在古典和量子力學、電磁學、相對論方面很有用。

此族代數包括：複數系、雙曲複數系，四元數系、、分裂四元數系（二維空間生成的自然代數）、（三維空間生成的自然代數，也是包立矩陣生成的代數）、。

代數可以視為代數的偶子代數，從而可用作描述中的旋轉。因此，複數密切關係二維空間的旋轉，四元數密切關係三維空間的旋轉，雙曲複數密切關係1+1維時空的雙曲旋轉（洛侖茲變換），餘可類推。

雖然八維或以上時，凱萊-迪克森結構和分裂複數構造的乘法不可結合，任意維數的克里福代數皆可結合。

1995年，有關克里福代數的書中，論及「子代數的辨認」。其命題11.4總結超複數的情況：
設為實結合代數，且具有單位元。則
 生成（實子代數），
 若是任何滿足的元素，則其生成的二維子代數與同構（複子代數），
 若是任何滿足的元素，則其生成的二維子代數與同構（此處是實二元組的集合，其上的乘法是逐個分量相乘。該代數與雙曲複代數同構），
 若，且反交換，則生成的四維子代數同構於（四元數代數），
 若，且反交換，則生成的四維子代數同構於（元素為實矩陣，或分裂四元數），
 若，且兩兩反交換，則其生成的八維子代數同構於（），
 若，且兩兩反交換，則其生成的八維子代數同構於（元素為複矩陣，亦可視為複四元數或包立代數）。

超出該些古典代數的延伸，見。

凱萊－迪克森構造

撇除實數系、複數系、四元數系不計，其他克里福代數皆含有平方為的非實數，故不能為除代數。凱萊－迪克森構造是另一個擴展複數系的方法，其給出維數為的數系，該些數系的基滿足：所有非實的基元兩兩反交換，且。在8維或以上時（即），該些代數不可結合，而在16維或以上時（即），該些代數有零因子。

此構造得到的前幾個代數是4維的四元數系、8維的八元數系、16維的十六元數系。隨維數上升，其代數結構的對稱性逐一失去：四元數乘法不可交換，八元數乘法不可結合，而十六元數的範數不具積性。

凱萊－迪克森構造的某些步驟中，若插入額外的符號，則得到中的「分裂代數」，而非除代數：
 分裂複數系：有基，滿足，
 分裂四元數系：有基，滿足，
 ：有基，滿足，。

與複數系不同，分裂複數系並非代數閉，甚至包含非平凡的零因子和冪等元。與四元數系類似，分裂四元數系亦不可交換，但同時還含有冪零元。分裂四元數與二階方陣的代數同構。分裂八元數系不可結合，也含有冪零元。

張量積
兩個代數的張量積仍為代數，如此可構造更多超複數系。

作為例子，取2維實代數（複數系）、4維實代數（四元數系）、8維實代數（八元數系），分別與作張量積，依次得4維的雙複數系、8維的複四元數系、16維的複八元數系。

其他例子

 多重複數：其組成複域上的維向量空間。
 ：賦有二次型的代數，其中二次型與乘法可互換次序。

參見
十六元數

理查德·布饒爾

注

參考資料

數學史
数学术语