利萨茹曲线

数学上，利萨茹（）曲线（又称利萨茹图形、李萨如图形或鲍迪奇（）曲线）是两个沿着互相垂直方向的正弦振动的合成的轨迹。

纳撒尼尔·鲍迪奇在1815年首先研究这一族曲线，朱尔·利萨茹在1857年作更详细研究。

数学定义 

利萨茹曲线由以下参数方程定义：
 
其中，。

称为曲线的参数，是两个正弦振动的频率比。若比例为有理数，则，参数方程可以写作：
 ，

其中。

性质 
若为无理数，曲线在长方形中稠密。
若为有理数， 
曲线是次代数曲线若对奇数，或对偶数。
曲线是次代数曲线的一部份若对奇数，或对偶数。

若为偶数而，或若为奇数而，则曲线是第个切比雪夫多项式的曲线的一部份。

特别情况 
若，，则曲线是椭圆。
若，则这椭圆其实是圆。
若，则这椭圆其实是线段。
若，（所以），则曲线是besace。
若，则这besace是拋物线一部份。
若，则这besace是一个热罗诺双纽线。

以下是利萨茹曲线的例子，其中，, 是奇数，是偶数，。

频率比1:n和n:1的情况

频率比n1:n2的情况

演示 
鼠标悬浮在两个数字上时，通过滚轮可以调节数字大小。

在電子學上的應用 
藉由使用利萨茹圖形可以測量出兩個信號的頻率比與相位差。

外部連結 
利萨茹曲线的Java 3D示範 

曲線