反對稱矩陣

在線性代數中，反對稱矩陣（或稱斜對稱矩陣）指轉置矩陣和自身的加法逆元相等的方形矩陣。其滿足：

AT = − A

或寫作，各元素的關係為：

例如，下例為一個斜對稱矩陣：

在非偶数域中，斜對稱矩陣中的主對角線元素皆為0。

例子

特性 
 斜對稱矩陣自身相乘的積是對稱矩陣。
 任意矩陣，是斜對稱矩陣。
 若是斜對稱矩陣，是向量，
 斜對稱矩陣的主對角線元素必是零，所以其跡數為零。

行列式 
若是的斜對稱矩陣，其行列式滿足
 。
 若是奇數，行列式等於零。這個結果叫雅可比定理。
 若是偶數，行列式可以寫成部分元素的多項式的平方：。

這個多項式叫的普法夫行列式。任意實斜對稱矩陣的行列式是非負數。

譜理論 
斜對稱矩陣的特征根永遠以成對的形式（±λ）出現，因此一個實數斜對稱矩陣的非零特征根為純虛數將會如下：iλ1, −iλ1, iλ2, −iλ2, …，其中 λk 是實數。

实斜对称矩阵是正规矩阵（它们与伴随矩阵可交换），因此满足谱定理的条件，它说明任何实斜对称矩阵都可以用一个酉矩阵对角化。由于实斜对称矩阵的特征值是复数，因此无法用实矩阵来对角化。然而，通过正交变换，可以把每一个斜对称矩阵化为方块对角线的形式。特别地，每一个2n × 2n的实斜对称矩阵都可以写成A = Q Σ QT的形式，其中Q是正交矩阵，且：

对于实数λk。这个矩阵的非零特征值是±iλk。在奇数维的情况中，Σ总是至少有一个行和一个列全是零。

无穷小旋转 
斜对称矩阵形成了正交群O(n)在单位矩阵的切空间。在某种意义上，斜对称矩阵可以视为无穷小旋转。

另外一种说法是，斜对称矩阵的空间形成了李群O(n)的李代数o(n)。这个空间上的李括号由交换子给出：

很容易验证，两个斜对称矩阵的交换子也是斜对称的。

于是，斜对称矩阵A的矩阵指数，是正交矩阵R：

李代数的指数映射的像总是位于含有单位元的李群的连通分支内。在李群O(n)的情况中，这个连通分支是特殊正交群SO(n)，由所有行列式为1的正交矩阵组成。因此R = exp(A)的行列式为+1。于是，每一个行列式为1的正交矩阵都可以写成某个斜对称矩阵的指数。

參見 
 斜埃尔米特矩陣
 辛矩阵

参考文献 

 

X