常微分方程

在数学分析中，常微分方程（，簡稱）是未知函数只含有一个自变量的微分方程。对于微积分的基本概念，请参见微积分、微分学、积分学等条目。

很多科学问题都可以表示为常微分方程，例如根据牛顿第二运动定律，物体在力的作用下的位移  和时间  的关系就可以表示为如下常微分方程：
；
其中  是物体的质量， 是物体所受的力，是位移的函数。所要求解的未知函数是位移 ，它只以时间  为自变量。

精确解总结 
一些微分方程有精确封闭形式的解，这里给出几个重要的类型。

在下表中，和 是任意关于的函数，是给定的实常数，是任意常数(一般为复数)。这些微分方程的等价或替代形式通过积分可以得到解。

在积分解中， 和  是积分变量（求和下标的连续形式），记号 只表示对积分，在积分以后 替换，无需加常数（明确说明）。

{| class="wikitable"
|-
! width="200" scope="col" | 微分方程
! width="100" scope="col" | 解法
! width="400" scope="col" | 通解
|-
! colspan="3" | 可分离方程
|-
| 一阶，变量  和  均可分离（一般情况, 下面有特殊情况）

|| 分离变量（除以）。
|| 
|-
| 一阶，变量  可分离

||直接积分。
|| 
|-
| 一阶自治，变量  可分离

|| 分离变量（除以 ）。
|| 
|-
| 一阶，变量  和  均可分离

|| 整个积分。
|| 
|-
! colspan="3"| 一般一阶微分方程
|-
| 一阶，齐次

|| 令 ，然后通过分离变量  和  求解.
|| 
|-
| 一阶，可分离变量

|| 分离变量（除以 ）。
||

如果, 解为.
|-
| 正合微分, 一阶

其中 

|| 全部積分
|| 

其中  和  是积分出来的函数而不是常数，将它们列在这里以使最终函数  满足初始条件。
|-
| , 一阶

其中
|| 积分因子  满足

|| 如果可以得到 ：

|-
! colspan="3"| 一般二阶微分方程
|-
| 二阶, 自治

|| 原方程乘以  , 代换, 然后两次积分.
|| 
|-
! colspan="3"| 线性方程 (最高到阶)
|-
| 一阶线性，非齐次的函数系数

|| 积分因子: .
|| 
|-
| 二阶线性，非齐次的常系数

|| 余函数 : 设 ，代换并解出  中的多项式，求出线性无关函数 。

特解 ：一般运用，虽然对于非常容易的  可以直观判断。
|| 

如果 , 则:

如果 , 则:

如果 , 则:

|-
|  阶线性，非齐次常系数

|| 余函数 ：设 ，代换并解出  中的多项式，求出线性无关函数 .

特解 ：一般运用，虽然对于非常容易的  可以直观判断。
|| 

由于  为  阶多项式的解：
，于是：

对于各不相同的 ，

每个根  重复  次，

对于一些复数值的 αj，令 α = χj + iγj，使用欧拉公式，前面结果中的一些项就可以写成

的形式，其中 ϕj 为任意常量（相移）。
|}

参见 
微分方程
偏微分方程

参考资料 

常微分方程
微分学