群作用

数学上，对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的：群的每个元素作为一个双射（或者对称作用）作用在某个集合上。在这个情况下，群称为置换群（特别是在群有限或者不是线性空间时）或者变换群（特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时）。一个群G的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示（通常该集合有限），并且可以表述为置换矩阵，一般在有限的情形作此考虑－这和作用在有序的线性空间基上是一样的。

定义 
若为一个群而为一个集合，则在上的一个(左) 群作用是一个二元函数

(其中和的像写作)，满足如下两条公理：

  对于所有  和 成立
 对于每个成立 (代表的么元)

从这两条公理，可以得出对于每个，映射到的函数是一个双射(單射以應付，滿射以應付），从映射到。因此，也可以将在上的群作用定义为从到对称群的群同态。

若群作用给定，我们称“G作用于集合X”或者X是一个G-集合。

完全一样地，可以定义一个G在X上的右群作用为函数，满足以下公理：
 
 
注意左和右作用的区别仅在于象gh这样的积在x上作用的次序。对于左作用h先作用然后是g，而对于右作用g先作用然后是h。从一个右作用可以构造一个左作用，只要和群上的逆操作复合就可以了。如果r为一右作用，则

是一左作用，因为

而

所以在这里，我们只考虑左群作用，因为右作用可以相应推理。

群作用的种类 
群G作用在集合X上的作用稱為:

遞移性(Transitive)如果X是一個非空集合，對於每對數對 x,y  X，則存在一個gG，使得，我們就稱此作用為遞移性。
忠實性(Faithful)如果群G嵌入(embbeding)到X的置換群中，我們就稱此作用為忠實的。換言之，就是則群G到X的置換群之中為單射。
自由性(Free)如果給定 ，存在，則有著，則稱為此作用為自由性。
正則的(Regular)同時具有自由性以及遞移性的作用稱為正則的，又稱簡單遞移（）。
n-遞移性(n-transitive)如果集合X 至少有 n 個元素, 對所有不同的元素x1, ..., xn 和所有不同的y1, ..., yn, 存在一個 g 在群G 使得  g⋅xk = yk  對所有 1 ≤ k ≤ n ，我們就稱其為n-遞移性。
本原的(Primitive)如果遞移性作用滿足只有trivial區塊(block)，那我們稱此作用為本原的。可以證明n-遞移性皆為本原的。

軌道與穩定化子

軌道 

若是的一個元素，且群在上有著一個作用，那麼的軌道就是指以下列方式定義的的子集：

的兩個軌道，要不彼此相等，要不然其交集就是空集合。這是因為假如兩個軌道和有一個共通元素，那麼就可以找到兩個中的元素和，使得、，同時有，反之亦可推出，而這使得這兩個集合所有的元素都相等。

一個軌道的例子是陪集，假若是的一個子集，且定義中元素的慣常運算規則為在上的一個作用，那麼的陪集()就是的軌道。

不變子集 

若S是X的一個子集，群G作用在X上( X 被稱作G-set)，對於群G中的所有元素 g，以及所有S中的元素 x，有著 ，

則我們會說 S在G的作用下是封閉的，或是說，S在G作用下是不變的

不動點與穩定子群 

若是的一個元素，對於群中的所有元素而言，都有，那麼就稱是-不變的（-invariant）。

另外若是的一個元素，則所有使得的中的元素構成的集合又稱對於的穩定子群（stabilizer subgroup of  with respect to ），一般常常將之記作(注意：不要將之與上面軌道的符號混淆)。

是的一個子群，因為根據定義，因此的單位元屬於，且假若，那麼的逆元也是的元素，因為。

軌道－穩定點定理與伯恩賽德引理 

考慮一個映射 可以證明此映射是一個雙射的函數，而這個映射的結論就是所謂的 軌道-穩定點定理  

而一個跟軌道-穩定點定理相似的結果就是伯恩賽德引理，

西羅定理

範例

 任意群G在任意集合X上的群作用定义为  对任意g属于G以及任意x属于X；换句话说，每个群元素对应 X上的恒等置换。

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