快樂數

快樂數有以下的特性：在給定的進位制下，該數字所有數位（）的平方和，得到的新數再次求所有數位的平方和，如此重複進行，最終結果必為1。

以十進位為例： 
2 8 →  →  → 
3 2 →  →  → 
3 7 →  →  →  →  →  →  →  → 
5 6 →  →  →  →  →  →  →  →  →  → 

因此28和32是快樂數，而在37和56的計算過程中，數字會重複出現，繼續計算的結果只會是上述數字的循環（不快樂數循環），不會出現1，因此37和56不是快樂數。

不是快樂數的數稱為不快樂數（），所有不快樂數的數位平方和計算，最後都會進入 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 的循環中。

在十進位下，100以內的快樂數有：1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100，共20個。

快樂數表格
以下是小於100的快樂數表格，表示它是快樂數，表示它是不快樂數循環。

以下是100到小於200的快樂數表格，表示它是快樂數，表示它是不快樂數循環。

以下是200到小於300的快樂數表格，表示它是快樂數。

300以內的快樂數沒有其中一位是5，300以內的數其中有一位是5，它一定不是快樂數。

以下是300到小於400的快樂數表格，表示它是快樂數。

發現10*10、100*100等表格的快樂數表格有線對稱。

快樂數的因數
以下是300以內的快樂數因數。

由表格可知：
128以內快樂數沒有因數3、6、9等數，如果128以內的數是3的倍數等，它一定不是快樂數。
1000以內快樂數沒有因數9、15、18、21等數，如果1000以內的數是9的倍數等，它一定不是快樂數。
1000以內快樂數同樣也沒有能被25整除但不能被100整除，即尾數是（25、50或75的數），如果1000以內的數是25的倍數但不是100的倍數，它一定不是快樂數。
1000以內的快樂數有143個，只有7個是3的倍數，129、192、219、291、888、912、921，機率:5%。
1000以內的快樂數有143個，有其中一位是5的只有12個，356、365、536、556、563、565、566、635、653、655、656、665，機率:8%。
1000以內的快樂數有143個，只有3個是25的倍數，100、700、1000，機率:2%。

快樂質數
在十進位下，300以內的快樂質數有：7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293，共15個。

快樂完全數
已知的51個完全數，只有3個是快樂數：28、496、8128。

其他進制的快樂數
三進制：1, 3, 9, 13, 17, 23, 25, 27, 31, 35, 37, 39, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 85, 89, 91, 93 

五進制：1, 5, 7, 11, 19, 23, 25, 27, 33, 35, 41, 43, 49, 51, 55, 79, 81, 83, 91, 93, 95, 99 

任何進制（最小快樂數且大於1）：2, 3, 2, 5, 6, 7, 8, 3, 7, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 17, 2, 5, 2, 21, 22, 23, 24, 5, 26, 27, 28, 3, 2, 31, 32, 33, 3, 35, 6, 31, 38, 39, 40, 13, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 7, 50, 51, 52, 31, 54, 53, 56, 57, 58, 59, 54, 61, 62, 63, 8, 65, 66, 67, 12, 69, 70, 71, 72

其他進制的不快樂數循環
2進制
每個數都是快樂數

3進制
2 →11 →2
written in base 10:
2 →4 →2

4進制
每個數都是快樂數

5進制
4  →31  →20  →4
23  →23
written in base 10:
4  →16  →10  →4
13  →13

6進制
5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5 
written in base 10:
5 → 25→ 17 → 29 → 41 → 26 → 20 → 13 → 5 

7进制
2 →4 →22 →11 →2
34 →34
written in base 10:
2 →4 →16 →8 →2
25 →25

8進制
4 → 20 → 4
5 → 31 → 12 → 5
32 → 15 → 32
written in base 10:
4 → 16 → 4
5 → 25 → 10 → 5
26 → 13 → 26

9进制
58 →108 →72 →58
55→55
written in base 10:
53→89→65→53
50→50

10进制
4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4

11進制
75 →68 →91 →75
23 →12 →5 →23
written in base 10:
82→74→100→82
25→13→5→25

12进制
22→8 →54 →35 →2A →88 →A8 →118 →56 →51 →22
21 →5 →21
written in base 10:
26 →8 →64 →41 →34 →104 →128 →164 →66 →61 →26
25 →5 →25

13进制
79 →A0 →79
36 →36
B2 →98 →B2
67 →67
14 →14
written in base 10:
100 →130 →100
45→45
145→125→145
85→85
17→17

16进制
D → A9 → B5 → 92 → 55 → 32 → D
written in base 10:
13→169→181→146→85→50→13

其他性質
快樂數加入數字0或交換的數也是快樂數，不快樂數的情況也是。例如：49是快樂數，94、4900也是快樂數；123不是快樂數，321、10203、123000也不是快樂數
通过检查十进制中前一百万个快乐数，它们的自然密度似乎约为0.15。十进制快乐数也许没有渐近密度。快乐数的自然密度上限大于0.18577，下限小于0.1138。
十進位不快樂數的循環只有一個，是 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 。

Python程式碼 
#ishappy number

def ishappy(n):
    a = []
    while n not in a:
        a.append(n)
        n = sum([int(x) **2 for x in str(n)])
        
    return 'happy' if n == 1 else 'unhappy'

相關條目

哈沙德數
幸運數

外部連結

Happy number calculator - 可以線上判斷數字是否為快樂數〔英文〕

Happy