连通空间



定义
拓扑空间X称为是连通的。当且仅当以下叙述之一成立：
 X不能表示为两个分離的非空开集的并集。
 ∀A⊆X，A≠X或∅，A-∩(X-A)-≠∅。

一个拓扑空间被称为是不连通的，若它不是连通的。

连通性是拓扑空间的一个拓扑不变性质，即两个拓扑空间之间若存在一个同胚映射，其中一个空间是连通的，则另一个空间也是连通的。

一些数学家承认空集(按照它独有的拓扑)是连通空间，不过也有数学家不承认这一点。

连通单元
连通子集
拓扑空间X的子集A称为连通的，当且仅当A诱导的子拓扑空间是连通的。
连通单元
拓扑空间的极大连通子集称作连通单元。
完全不连通空间
拓扑空间X称为完全不连通空间，当且仅当X的连通单元都是单元素集合。

每个空间都能表成它的连通单元的不相交并集。

连通单元必然是闭的，在够好的空间（如流形、代数簇）上也同时是开的，但并非总是如此。

其它连通性定义

道路连通，弧连通

称拓扑空间X是道路连通空间，当且仅当∀x,y∈X，存在连续函数 使得 。若 可取为使得  为同胚，则称X为弧连通空间。

道路连通空间必定是连通空间，反之不一定。

道路连通的豪斯多夫空间必为弧连通空间。

局部连通 
拓扑空间X称为局部连通的，当且仅当以下叙述之一成立：
空间中的任一点都存在连通的邻域（即该邻域是X的连通子集）。
空间的拓扑基完全由连通的集合组成。

例子 
拓扑学家的正弦曲线。在平面欧几里得空间中定义集合和。考虑在中诱导的子拓扑空间，它是连通的，但不是局部连通的。
有理数集上的连通单元都是单元素集合，所以有理数集是一个完全不连通空间。

參考文獻

 

.

拓扑空间性质