双曲线

在数学中，双曲线（；，意思是超过、超出）是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。

它还可以定义为与两个固定的点（称为焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是的两倍，这里的是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。还称为双曲线的半实轴。焦点位于贯轴上，它们的中间点称为中心。

从代数上说，双曲线是在笛卡尔平面上由如下方程定义的曲线

使得，这裡的所有系数都是实数，并存在定义在双曲线上的点对的多于一个的解。

在笛卡尔坐标平面上，两个互为倒数的变量的图像是双曲线。

定义 

上面已经列出：
平面切直角圆锥面的两半的交截线。
与两个固定点（称为焦点）距离差为常数的点的轨迹。
到一个焦点的距离和到一条直线（称为准线）的距离的比例是大于的常数的点的轨迹。这个常数称为双曲线的离心率。

双曲线由分开两个焦点的两个分离的称为臂或分支的曲线构成。随着到焦点的距离的变大，双曲线就越逼近称为渐近线的两条线。渐近线交叉于双曲线的中点，并对于东西开口的双曲线有斜率，对于北南开口的双曲线有斜率。

双曲线有个性質，出自一个焦点的射线反射于双曲线后看起来像是出自另一个焦点。

双曲线的一个特殊情况是“等轴”或“直角”双曲线，它的渐近线交于直角。以坐标轴作为渐近线的直角双曲线由方程给出，这裡的是常数。

如果对双曲线方程交换和，得到它的共轭双曲线。共轭双曲线有同样的渐近线。

笛卡尔坐标 
中心位于的左右开口的双曲线：

中心位于的上下开口的双曲线：

实轴贯穿双曲线的中心并交双曲线两臂于它们的顶点。焦点位于双曲线实轴的延长线上。虚轴贯穿双曲线中点并垂直于实轴。

在两个公式中，是半实轴（在双曲线两臂之间沿着实轴测量的距离），而是半虚轴。

如果用双曲线的两个顶点的切线交渐近线形成一个矩形，在切线上的两边的长度是，平行于实轴的两边的长度是，注意可以大于。

如果计算从双曲线上任意准线上的点到每个焦点的距离，这两个距离的差的绝对值总是。

离心率给出自：

左右开口的双曲线的焦点是：，其中c给出自。

上下开口的双曲线的焦点是：，其中c给出自。

等軸雙曲線 
等轴双曲线的实轴与虚轴长相等，即且，此时渐近线方程为（无论焦点在轴还是轴）。

单位双曲线属于等轴双曲线，且半实轴和半虚轴的长均为，即，满足方程：
 或。

对于以直线和直线为渐近线的直角双曲线：

这种双曲线最简单的例子是：

共軛雙曲線 
當双曲线的实轴是双曲线的虚轴，且双曲线的虚轴是双曲线的实轴时，称双曲线与双曲线为共轭双曲线。若的方程為

則的方程為

其特点為：
 共渐近线，与渐近线平行的直线和双曲线有且只有一个交点。
 焦距相等。
 两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于。

极坐标 
左右开口的双曲线：

上下开口的双曲线：

上右下左开口的双曲线：

上左下右开口的双曲线：

在所有公式中，中心在极点，而是半实轴和半虚轴。

双曲线的参数方程 
如同正弦和余弦函数给出椭圆的参数方程，双曲函数给出双曲线的参数方程。
左右开口的双曲线：

或

上下开口的双曲线：

或

在所有公式中，是双曲线的中点，是半实轴而是半虚轴。

双曲线的标准方程 
焦点在轴：

焦点在轴：

双曲线的渐近线方程 
焦線平行於轴：

焦線平行於轴：

圆锥曲线方程 

当时，表示双曲线。其中为焦点到准线距离，为弦与轴夹角。

参考文献

外部链接 
 
 
 
 Mathworld - Hyperbola

参见 
 圆锥曲线
 双曲函数

圆锥曲线
S