乘积法则

乘积法则（），也称積定則、莱布尼兹法则，是数学中关于两个函数的积的導數的一个计算法则。

若已知两个可導函数及其导数，则它们的积的导数为：

這個法則可衍生出积分的分部積分法。

莱布尼兹的发现

人們將這個法則的發現歸功於莱布尼兹，以下是他的論述：设u(x)和v(x)为x的两个可导函数。那么，uv的微分是：

 

由于du·dv的，因此有：

两边除以dx，便得：

若用拉格朗日符號來表達，則等式記為

例子

假设我们要求出f(x) = x2 sin(x)的导数。利用乘积法则，可得f'(x) = 2x sin(x) + x2cos(x)（这是因为x2的导数是2x，sin(x)的导数是cos(x)）。
乘积法则的一个特例，是“常数因子法则”，也就是：如果c是实数，f(x)是可微函数，那么cf(x)也是可微的，其导数为(c × f)'(x) = c × f '(x)。
乘积法则可以用来推出分部积分法和除法定则。

证明一：利用面积

假设

且f和g在x点可导。那么：

现在，以下的差

是图中大矩形的面积减去小矩形的面积。

这个区域可以分割为两个矩形，它们面积的和为：

因此，(1)的表达式等于：

如果(5)式中的四个极限都存在，则(4)的表达式等于：

现在：

因为当w → x时，f(x)不变；

因为g在x点可导；

因为f在x点可导；以及

因为g在x点连续（可导的函数一定连续）。

现在可以得出结论，(5)的表达式等于：

证明二：使用对数
设f = uv，并假设u和v是正数。那么：

两边求导，得：

把等式的左边乘以f，右边乘以uv，即得：

证明三：使用导数的定义

设 

且f和g在x点可导。那么：

.

推廣
 若有个函数，则：

 

 （萊布尼茲法則）若均為可導次的函數，則的次導數為：

 

其中是二項式係數。

应用

乘积法则的一个应用是证明以下公式：

其中n是一个正整数（该公式即使当n不是正整数时也是成立的，但证明需要用到其它方法）。我们用数学归纳法来证明这个公式。如果n = 1，

假设公式对于某个特定的k成立，那么对于k + 1，我们有：

因此公式对于k + 1也成立。

参见
 除法定则
 倒数定则
 鏈式法則
 分部积分法

包含证明的条目
求导法则
分析定理
微積分定理