E (数学常数)

，作为數學常數，是自然對數函數的底數，亦称自然常数、自然底数，或是歐拉數（），以瑞士數學家歐拉命名；還有個較少見的名字納皮爾常數，用來紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進對數。它是一个无限不循环小数，數值約是（小數點後20位，）：
，近似值約為。


歷史 
第一次提到常數，是約翰·納皮爾於1618年出版的對數著作附錄中的一張表。但它沒有記錄這常數，只有由它為底計算出的一張自然對數列表，通常認為是由威廉·奧特雷德製作。第一次把看為常數的是雅各布·伯努利，他嘗試計算下式的值：

上式代表把1與無窮小相加，再自乘無窮多次。

已知的第一次用到常數，是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信，以表示。1727年歐拉開始用來表示這常數；而第一次在出版物用到，是1736年歐拉的《力學》（）。雖然往後年日有研究者用字母表示，但較常用，終於成為標準。

用表示的原因確實不明，但可能因為是指數函數（）一字的首字母。另一看法則稱有其他經常用途，而是第一個可用字母。

定義 
就像圓周率和虛數單位，是數學中最重要的常數之一。它有幾種等價定義，下面列出一部分。
 定義爲下列極限值：

 定義爲階乘倒數之無窮級數的和：

 其中代表的階乘。
 定義爲唯一的正數使得

 定義爲唯一的實數使得

這些定義可證明是等價的，请参见文章。

性質 

很多增長或衰減過程都可以用指數函數模擬。指數函數的重要性在於，唯独该函數（或其常數倍，即，其中為任意常數）與自身導數相等。即：
。
的泰勒級數為

為複數時依然成立，因此根據及的泰勒級數，得出在數學中一條稱為歐拉公式的重要等式：

當的特例是歐拉恆等式：

此式被理查德·費曼稱為「歐拉的寶石」。

即棣莫弗公式。

 是無理數和超越數（見林德曼－魏尔斯特拉斯定理）。這是第一個獲證為超越數的数，而非故意構造的（比較劉維爾數）；由夏爾·埃爾米特（）於1873年證明。有猜想它為正規數。
 当时函數有最大值。
 的無窮連分數展開式有個有趣的模式，可以表示如下（）

就像以下的展開式：

無理數證明

反證法 
證明是無理數可以用反證法。假設是有理數，則可以表示成 ，其中為正整數。以的無窮級數展開式可以得出矛盾。

考慮數字
，

以下將推導出是小於1的正整數；由於不存在這樣的正整數，得出矛盾，所以得證是無理數。
 是整數，因為

。
 是小於1的正數，因為

。

但是0與1之間（不含0與1）不存在有整數，故原先假設矛盾，得出為無理數。

二項式定理 
視為存在的數值，所以用二項式定理可證出：

已知位数

諧取 
 在Google2004年的首次公開募股，集資額不是通常的整頭數，而是$2,718,281,828，這當然是取最接近整數的十億美元。Google2005年的一次公開募股中，集資額是$14,159,265，与圆周率有关。
 Google也是首先在矽谷心臟地帶，接著在麻薩諸塞州劍橋出現的神祕廣告版 的幕後黑手，它寫著{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com（在的連續數字中第一個發現的十位質數.com）。解決了這問題（第一個中的十位質數是7427466391，出奇地到很後才出現，由第100個數字開始），進入網站後還有個更難的題目要解決，最後會到達Google的招聘頁。但這個挑戰已結束，上述網站都已關閉。
 著名電腦科學家高德納的软件Metafont的版本號碼趨向（就是說版本號碼是2，2.7，2.71，2.718等），与之相对的有TeX的版本号是趋向于圆周率的。

参见 
 e的π次方
 无理数
 超越数
 欧拉数
 圆周率
 指数函数
 自然對數

参考文献 

 
數學常數
实数超越数
莱昂哈德·欧拉