二項式分布

在概率论和统计学中，二项分布（）是个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当时，二项分布就是伯努利分布。二项分布是显著性差异的二项试验的基础。

详述

概率质量函数

一般來說，若随机变量服从参数为和的二项分布，我们记作或。n次试验中正好得到k次成功的概率由概率质量函数给出：

对于，其中

是二项式系数（这就是二项分布的名称的由来），又记为，，或。该公式可以用以下方法理解：我们希望有次成功（機率為）和次失败（機率為）。然而，次成功可以在次试验的任何地方出现，而把次成功分布在次试验中共有个不同的方法。

在制造二项分布概率的参考表格时，通常表格中只填上个值。这是因为时的概率可以从它的补集计算出：

因此，我们要看另外一个和另外一个（二项分布一般不是对称的）。然而，它的表现不是任意的。总存在一个整数，满足:

作为的函数，表达式当时单调递增，时单调递减，只有当是整数时例外。在这时，有两个值使达到最大：和。是伯努利试验的最可能的结果，称为众数。注意它发生的概率可以很小。

累积分布函数（概率分布函数）

累积分布函数可以表示为：

其中是小于或等于的最大整数。

它也可以用正则化不完全贝塔函数来表示：

期望和方差

如果（也就是说，是服从二项分布的随机变量），那么的期望值为
 
方差为
 

这个事实很容易证明。首先假设有一个伯努利试验。试验有两个可能的结果：1和0，前者发生的概率为，后者的概率为。该试验的期望值等于。该试验的方差也可以类似地计算：.

一般的二项分布是次独立的伯努利试验的和。它的期望值和方差分别等于每次单独试验的期望值和方差的和：

众数和中位数

通常二项分布的众数等于，其中  是取整函数。然而，当是整数且不等于0或1时，分布有两个众数：和。当等于0或1时，众数相应地等于0或。这些情况可以综述如下：
 

一般地，没有一个单一的公式可以求出二项分布的中位数，甚至中位数可能是不唯一的。然而有几个特殊的结果：
 如果是整数，那么平均数、中位数和众数相等，都等于。
 任何中位数都位于区间内。
 中位数不能离平均数太远：。
 如果，或，或（除了、是奇数的情况以外），那么中位数是唯一的，且等于。
 如果，且是奇数，那么区间中的任何数都是二项分布的中位数。如果且是偶数，那么是唯一的中位数。

两个二项分布的协方差

如果有两个服从二项分布的随机变量和，我们可以求它们的协方差。利用协方差的定义，当时我们有

 

第一项仅当和都等于1时非零，而和分别为和的概率。定义为和都等于1的概率，便得到

 

对于n次独立的试验，我们便有

 

如果和是相同的变量，便化为上面的方差公式。

与其他分布的关系

二项分布的和
如果和，且和相互独立，那么也服从二项分布；它的分布为

伯努利分布
伯努利分布是二项分布在时的特殊情况。与的意思是相同的。相反，任何二项分布都是次独立伯努利试验的和，每次试验成功的概率为。

泊松二项分布
二项分布是泊松二项分布的一个特殊情况。泊松二项分布是次独立、不相同的伯努利试验()的和。如果服从泊松二项分布，且，那么。

正态近似

如果足够大，那么分布的偏度就比较小。在这种情况下，如果使用适当的连续性校正，那么的一个很好的近似是正态分布：

越大（至少30），近似越好，当不接近0或1时更好。不同的经验法则可以用来决定是否足够大，以及是否距离0或1足够远：

一个规则是和都必须大于5。

泊松近似

当试验的次数趋于无穷大，而乘积固定时，二项分布收敛于泊松分布。因此参数为的泊松分布可以作为二项分布的近似，如果足够大，而足够小。

极限

 当趋于，趋于0，而固定于，或至少趋于时，二项分布趋于期望值为λ的泊松分布。

 当趋于而固定时，

的分布趋于期望值为 0、方差为 1的正态分布。这个结果是中心极限定理的一个特殊情况。

例子 
一个简单的例子如下：掷一枚骰子十次，那么掷得4的次数就服从、的二项分布。

參見 
 概率论
 機率分布
 卜瓦松分布
负二项分布

参考文献

离散分布
阶乘与二项式主题