子集

子集（subset）亦稱部分集合，為某集合中一部分的集合；關係相反時則稱作父集、母集、超集。子集與父集关系上以“包含”稱呼。

如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（任意 a∈A，则 a∈B），那么集合A称为集合B的子集，记为A⊆B或 B⊇A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”。

即：∀a∈A有a∈B，则A⊆B。

若和为集合，且的所有元素都是的元素，则可表示為：
 是的子集（或称包含于）；
 是的父集／超集（或称包含）；

任何集合皆是本身的子集（）。而的子集中不等于的集合，称为真子集，若是的真子集，写作。

定义 

假设有和两个集合，如果中的每个元素都是的元素，则：

是的子集，记作 
也可以说
是的超集，记作 

如果是的子集，但不等于（即中至少存在一个元素不在集合中），则：

是的真子集，记作 
也可以说
是 的真超集，记作

符号 

ISO 80000-2 标准中定义了两种符号搭配：

 表示子集关系，表示真子集关系。使用的作品如
 表示子集关系，表示真子集关系。使用的作品如

举例 

 集合是集合的真子集。
 自然数集合是有理数集合的真子集。
 集合是大于2000的素数是集合是大于1000的奇数的真子集。
 任意集合是其自身的子集，但不是真子集。
 空集，写作 ，是任意集合的子集。空集总是其他集合的真子集，除了其自身。

性质 

命题1：空集是任意集合的子集。

这个命题说明：包含是一种偏序关系。

命题2：若是集合，则：

自反性：

反对称性：
且当且仅当

传递性：
若且则

这个命题说明：对任意集合，的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。

命题3：若是集合的子集，则：

存在一个最小元和一个最大元：
（ 由命題1給出）

存在并运算：

若且则

存在交运算：

若且则

命题4:对任意两个集合和，下列表述等价：

这个命题说明：表述""，和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。

參考文獻

参见
 冪集：某集合的全部子集组成的集合。

Z

ro:Mul?ime#Submul?imi