格林公式

在物理學與數學中，格林定理给出了沿封閉曲線  的線積分與以  為邊界的平面區域  上的雙重積分的联系。格林定理是斯托克斯定理的二維特例，以英國數學家喬治·格林（George Green）命名。

定理
设闭区域  由分段光滑的简单曲线  围成，函数 (,)及 (,)在  上有一阶连续偏导数，则有

其中L+是D的取正向的边界曲线。

此公式叫做格林公式，它给出了沿着闭曲线L的曲线积分与L所包围的区域D上的二重积分之间的关系。另见格林恆等式。格林公式还可以用来计算平面图形的面积。

D 为一个简单区域时的证明

以下是特殊情况下定理的一个证明，其中D是一种I型的区域，C2和C4是竖直的直线。对于II型的区域D，其中C1和C3是水平的直线。

如果我们可以证明

以及

那么就证明了格林公式是正确的。

把右图中I型的区域D定义为：

其中g1和g2是区间[a, b]内的连续函数。计算(1)式中的二重积分：

{|
|-
|
|
|-
|
|
|}

现在计算(1)式中的曲线积分。C可以写成四条曲线C1、C2、C3和C4的并集。

对于C1，使用参数方程：。那么：

对于C3，使用参数方程：。那么：

沿着C3的积分是负数，因为它是沿着反方向从b到a。在C2和C4上，x是常数，因此：

所以：

{|
|
|
|-
|
|
|}

(3)和(4)相加，便得到(1)。类似地，也可以得到(2)。

应用

计算区域面积
使用格林公式，可以用线积分计算区域的面积。因为区域D的面积等于，所以只要我们选取适当的L与M使得，就可以通过来计算面积。

一种可能的取值是。

参见
高斯公式
斯托克斯公式
格林函數

参考文献

向量分析

G
数学公式