笛卡儿积

在数学中，两个集合和的笛卡儿积（），又称直积，在集合论中表示为，是所有可能的有序对組成的集合，其中有序對的第一个对象是的成员，第二个对象是的成员。

。

舉個實例，如果集合是13个元素的点数集合，而集合是4个元素的花色集合♠, ♥, ♦, ♣，则这两个集合的笛卡儿积是有52个元素的标准扑克牌的集合♠♠♠♣♣♣。

笛卡儿积得名于笛卡儿，因為這概念是由他建立的解析几何引申出來。

笛卡儿积的性质 
易见笛卡儿积满足下列性质：
 对于任意集合，根据定义有
 一般来说笛卡儿积不满足交换律和结合律。
 笛卡儿积对集合的并和交满足分配律，即

 若一個集合包含有無限多的元素，那這個集合對自身的笛卡爾積有和一樣多的元素。

笛卡儿平方和n元乘积 
集合的笛卡儿平方（或二元笛卡儿积）是笛卡儿积。一个例子是二维平面，（这里是实数集） - 它包含所有的点，这里的和是实数（参见笛卡儿坐标系）。

为了幫助枚舉，可绘制一个表格。一个集合作为行而另一个集合作为列，从行和列的集合选择元素，以形成有序对作为表的单元格。

可以推广到在个集合上的n-元笛卡儿积:

。

实际上，它可以被等同为。它是n-元组的集合。

一个例子是欧几里得三维空间，这里的同樣是指实数集。

无穷乘积 
有限個集合可以看成某個一對一的有限集合序列 （因為序列是種以自然数系  為定義域的函數），而  的值域恰好是預備要依序進行笛卡儿积的所有集合，換句話說：

這樣的話，若有函数  滿足：

那就等價於

換句話說，函数  可以看做  裡的一個n-元组，而這就是以下無窮乘積定義的直觀動機：

在无限情况，一個令人熟悉的特例是，當索引集合是自然数集的时候：这正是其中第i项对应于集合的所有无限序列的集合。再次，提供了这样的一个例子：

是实数的无限序列的搜集，可視之为带有無限個构件的向量或元组。另一个特殊情况（上述例子也满足它）是在乘积中的各因子Xi都是相同的时候，类似于“笛卡儿指数”。這樣，在最先定义中的无限并集自身就是这个集合自身，而其他条件被平凡的满足了，所以这正是从I到X的所有函数的集合。

在別的情況，无限笛卡儿积就不那麼直觀了；尽管在高等数学中的應用有其价值。

“非空集合的任意非空搜集的笛卡儿积为非空”這一陳述等价于选择公理。

函数的笛卡儿积 
如果是从到的函数，而是从到的函数，则它们的笛卡儿积是从到的函数，带有

跟之前類似，函数的笛卡儿积也可以扩展到函数的元组和无限情況。

参见 
 有序对
 幂集公理
 二元关系
 笛卡儿
 乘积拓扑
 乘积 (范畴论)
 拉回 (范畴论)

外部链接 
 Cartesian Product at ProvenMath 
 

勒内·笛卡尔
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