三角平方數

三角平方數是既是三角形數，又是平方數的數。三角平方數有無限個，可以由以下公式求得：

找尋三角平方數的問題可用以下方法簡化成佩爾方程。每個平方數的形式為，三角形數的則為。於是求n, m使得：

設，，代入之，得方程。

第個三角平方數等於第個平方數及第個三角形數，它們的關係為

可以由下面的方式得出：

亦可用遞歸的方式求得：

當越大，就會趨近：

它們實際上是「為偶數的佩爾數」的一半再平方的值。

相關問題 
大衛·蓋爾曾提出一條問題：求對於哪些n，使得1,2,3,4...,n這個數列中，存在一個數s，在s之前的數之和跟在s之後的數之和相等。例如1,2,3,...,8中，6就是這樣的一個數，1+2+3+4+5=7+8

解答：
根據題意列方程，得到s(s-1)/2 = (s+n+1)(n-s)/2
s2 = n(n+1)/2

當第n個三角形數是平方數時，就符合題目的條件。（參考：Puzzles Column of The Emissary (Fall2005)）

參考 
Triangular numbers that are also square From Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.

3,4