方块矩阵

方塊矩陣，也称方阵、方矩陣或正方矩陣，是行數及列數皆相同的矩陣。由矩陣組成的集合，連同矩陣加法和矩陣乘法，构成環。除了，此環並不是交换環。

M(n, R)，即實方塊矩陣環，是個實有单位的結合代數。M(n, C)，即複方塊矩陣環，則是複結合代數。

單位矩陣的對角線全是1而其他位置全是0，對所有矩陣及矩陣都有及。
例如，若：

單位矩陣是方塊矩陣環的單位元。

方塊矩陣環的可逆元稱為可逆矩陣或非奇异方阵。矩陣是可逆當且僅當存在矩陣使得
。
此時稱為的逆矩陣，並記作。
所有矩陣在乘法上組成一個群（亦是一個李群），稱為一般線性群。

若數字和非零向量满足，則為的一個特征向量，是其對應的特征值。數字為的特征值當且僅當可逆，又當且僅當。這裏，是的特征多項式。特征多項式是一個次多項式，有个复根（考虑重根），即有個特征值。

方塊矩陣的行列式是其個特征值的積，但亦可經由莱布尼茨公式計算出來。可逆矩陣正好是那些行列式非零的矩陣。

高斯-若爾當消元法非常重要，可以用来計算矩阵的行列式，秩，逆矩陣，并解決線性方程組。

矩陣的迹是矩陣的对角线元素之和，也是其個特征值之和。

所有正交矩阵都是方块矩阵。

方块矩阵的等价命题 

线性代数中，下列关于方块矩阵A的命题是等价的（同时成立，或同时不成立）：

 A 可逆 ； A的反矩陣存在。
 det(A) ≠ 0 。 
 rank(A) = n 。 
 Null(A) = 0 。 
 A的特征值中没有0。
对任意b属于Fn，Ax = b有唯一解。
 Ax = 0只有平凡解。
 ATA可逆。
 A与单位矩阵行（列）等价。
 A的行向量或列向量張成Fn 。 
 A的零空间只有零向量。
 A的值域為Fn 。 
 A的行（列）向量构成Fn (Fn)中向量的线性无关集。 
 
这裡，F为矩阵元素所属的域。通常，这个域为实数域或复数域。

參考資料 

F