反常積分

廣義積分，又称为反常积分、异常积分（ ），是对普通定积分的推广。

广义积分可以分成兩類，第一類又稱為無窮積分，指積分區間的上限或下限為無窮的積分。第二類稱為瑕積分，指被積函數在積分區間中含有不連續點的積分。

第一類反常積分

定義

第一類反常積分是無窮積分，指積分區間的上限或下限中含有無窮 ∞ 的积分。數學定義如下：

设函数  在  上連續且可積。定義無窮積分：
。

类似的，设函数  在  上連續且可積。定義無窮積分：
。

当上述极限存在时，称該积分收敛。当上述极限不存在时，称该积分发散。

例子如下：

；
，即發散；
 ，振動發散。

推廣定義

第一類反常積分的定義能進一步推廣至上限及下限皆為無窮 ∞ 的積分。

设函数  在  上連續且可積。定義無窮積分：

。

或者取區間上任意一點   ，分拆寫成：

。

當上述極限同時存在時，稱該積分收斂。當上述極限至少有一個不存在時，稱該積分發散。

例子如下：

；
，即發散。

與柯西主值的聯繫

在無窮積分的推廣定義中，兩個極限須分別處理，即兩者的收斂速度可能不同。在柯西主值的理解下，可假設兩個極限的收斂速度相同。

设函数  在  上連續且可積。定義無窮積分的柯西主值：

 。

若在相同收斂速度下，兩者可以互相抵消，則該積分的柯西主值存在。舉例來說：

。

根據定義，若無窮積分收斂，則其柯西主值收斂，且二者相等。但無窮積分的柯西主值收斂，該積分未必收斂。

第二類反常積分

定義

第二類反常積分是瑕積分，指積分區間的上限或下限是被積函數的不連續點。數學定義如下：

設函數  在  上連續且可積，但在點  不連續。定義瑕積分：

。

類似的，設函數  在  上連續且可積，但在點  不連續。定義瑕積分：

。

當上述極限存在時，稱該積分收斂。當上述極限不存在時，稱該積分發散。

例子如下：

；

，即發散。

推廣定義

第二類反常積分的定義能進一步推廣至上限及下限皆為不連續點，或上限及下限之間含有不連續點的積分。

設函數  在  上連續且可積，但在點  及  不連續。定義瑕積分：

。

或者取區間上任意一點  ，分拆寫成：

。

設函數  在  及 上連續且可積，但在點  不連續。定義瑕積分：

。

當上述極限同時存在時，稱該積分收斂。當上述極限至少有一個不存在時，稱該積分發散。

例子如下：

；
，即發散。

與柯西主值的聯繫

在瑕積分的推廣定義中，兩個極限須分別處理，即兩者的收斂速度可能不同。在柯西主值的理解下，可假設兩個極限的收斂速度相同。

設函數  在  上連續且可積，但在點  及  不連續。定義瑕積分的柯西主值：

 ；

設函數  在  及 上連續且可積，但在點  不連續。定義瑕積分的柯西主值：

 

若在相同收斂速度下，兩者可以互相抵消，則該積分的柯西主值存在。舉例來說：

。

根據定義，若瑕積分收斂，則其柯西主值收斂，且二者相等。但瑕積分的柯西主值收斂，該積分未必收斂。

参考文献

 歐陽光中、朱學炎、陳傳璋 (2007)。《數學分析（下冊）》。第三版。高等教育出版社。ISBN 978-7-04-020743-9。
 Weisstein, Eric W. Improper Integral. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ImproperIntegral.html
 Weisstein, Eric W. Cauchy Principal Value. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CauchyPrincipalValue.html

参见

 积分 
 極限
 柯西主值

积分学