交运算

在数学中，在一个集合上的交(meet)有两种定义：关于在这个集合上的偏序的唯一下确界(最大下界)，假定下确界存在的话； 或者是满足幂等律的交换结合二元运算。在任何一个情况下，这个集合与交运算一起是半格。这两个定义产生等价的结果，除了在偏序方式中有可能直接定义更一般的元素的集合的交。最常见到交运算的领域是格。

通常把  和  的交指示为 。

偏序定义

设 A 是带有偏序  的一个集合，并设  和  是 A 中的两个元素。A 的一个元素  是  和  的交(或最大下界或下确界)，如果满足了下列两个条件:
1.   且  (就是说， 是  和  的下界)；
2.  对于 A 中的任何 ，使得  且 ，有着  (就是说， 大于任何其他  和  的下界)。
如果有  和  的交，则它的确是唯一的，因为如果  和  都是  和  的最大下界，则 ，因而 。如果交确实存在，它被指示为 。在 A 中的某对元素可能缺乏一个交，要么因为它们根本没有下界，要么因为它们的下界中没有一个大于所有其他的。如果所有的元素对都有交，则交实际上是在 A 上的二元运算，并且容易看出这个运算满足下列三个条件: 对有 A 中任何元素 ,  和 
a.   (交换律)，
b.   (结合律)，
c.   (幂等律)。

泛代数定义

通过定义，在集合 A上的 二元运算  是交，如果它满足上面的三个条件 a, b 和 c。有序对 (A,) 就是交半格。此外，我们可以定义在 A 上二元关系 ，通过声称  当且仅当 。实际上，这个关系是在 A 上的偏序。对于 A 中任何元素 ,  和  有
，因为 ，通过公理 c；
如果  且  则 ，通过公理 a；
如果  且  则 ，因为 ，通过公理 b 。

两个定义的等价性
如果 (A,) 是偏序集合，使得对于每对 A 中的元素都有交，则确实有  当且仅当 ，因为在后者情况下  确实是  和  的下界，并且明显的  是最大下界当且仅当它是下界。所以用泛代数方式的交定义的偏序一致于最初的偏序。

反过来，如果 (A,) 是交半格，并且偏序  按泛代数方式定义，对于A 中某些元素  和  有 ，则  是  和  关于  的最大下界，因为 ，类似的 ，并且如果  是  和  的另一个下界，则 ，从而 。所以这个用最初的交定义的偏序定义的交一致于最初的交。

换句话说，两种方式生成本质上等价的概念，集合配备了二元关系和二元运算二者，使得每个结构都由另一个确定，而且分别满足偏序或交的条件。

一般子集的交

如果 (A,) 是交半格，则交可以被扩为任何非空有限集合的良好定义的交，通过在迭代二元运算中描述的描述的技术。可供选择的，如果交定义或定义自一个偏序，A 的某个子集确实有关于它的下确界。对于非空有限子集，这两种方式产生同样的结果，因为都可以做为交的定义。在 A 的每个子集都有交的情况下，(A,) 是完全格；详情参见完全性 (序理论)。

参见
下确界
格 (数学)
偏序集合
并运算

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