柯西中值定理

柯西中值定理，也叫拓展中值定理，是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。

内容

如果函数及满足
在闭区间上连续；
在开区间内可微分；
对任意；
那么在内至少有一点，使等式

或

成立。

其几何意义为：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。

但柯西定理不能表明在任何情况下不同的两点(f(a),g(a))和(f(b),g(b))都存在切线，因为可能存在一些c值使,换句话说取某个值时位于曲线的驻点;在这些点处，曲线根本没有切线。下面是这种情形的一个例子

在区间[−1,1]上，曲线由(−1,0)到(1,0),却并无一个水平切线;然而它有一个驻点(实际上是一个尖点)在时。

柯西中值定理可以用来证明洛必达法则. 拉格朗日中值定理是柯西中值定理当时的特殊情况。

证明
首先，如果，由罗尔定理，存在一点使得，与条件3矛盾。所以。

令。那么 
 在上连续，
 在上可导，
 。由罗尔定理，存在一点使得。即。命题得证。

参见
拉格朗日中值定理
微分中值定理
罗尔定理

K
微分学