黎曼几何

微分幾何中，黎曼幾何（英語：Riemannian geometry）研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空間上二次形式的選擇。它特別關注于角度、弧線長度及體積。把每个微小部分加起來而得出整體的數量。

19世紀，波恩哈德·黎曼把這個概念加以推广。

任意平滑流形容許黎曼度量及這個額外結構幫助解決微分拓扑問題。它成為伪黎曼流形複雜結構的入門。其中大部分都是廣義相對論的四維研究对象。

黎曼几何古典理論 

下面给出部分的黎曼几何古典理論。

一般理論 

 高斯-博内定理：紧致二維黎曼流形上高斯曲率的积分等於，這裡的記作M的欧拉示性数。
 纳什嵌入定理：（两个）被稱為黎曼幾何的基礎理論。他們表明每個黎曼流形可以是嵌入歐幾里得空間Rn。

理論 

所有给出的定理中，都将用空间的局部行为（通常用曲率假设表述）来推出空间的整体结构的一些信息，包括流形的拓扑类型和"足够大"距离的点间的关系。

受限截面曲率 

 1/4-受限 球定理：若M是完备n-维黎曼流形，其截面曲率严格限制于1和4之间，则M同胚于n-球。

 Cheeger's有限定理：给定常数C和D，只有有限个（微分同胚的流形算作一个）紧n-维黎曼流形，其截面曲率并且直径。

 Gromov的几乎平坦流形：存在一个使得如果一个n-维黎曼流形其度量的截面曲率且直径，则其有限覆盖微分同胚于一个零流形.

正曲率

正截面曲率 

 灵魂定理：若M是一个不紧的完备正曲率n-维黎曼流形，则它微分同胚于Rn.
 Gromov的贝蒂数定理：有一个常数C=C(n)使得若M是一个由正截面曲率的紧连通n-维黎曼流形，则它的贝蒂数之和不超过C.

正里奇曲率 

 Myers定理：若一个紧黎曼流形有正Ricci曲率则它的基本群有限。

 分裂定理：若一个完备的n-维黎曼流形有非负Ricci曲率和一条直线（在任何区间上的距离都极小的测地线）则它等度同胚于一条实直线和一个有非负Ricci曲率的完备(n-1)-维黎曼流形的直积。

 Bishop's不等式：半径为r的球在一个有正Ricci曲率的完备n-维黎曼流形中的体积不超过欧几里得空间中同样半径的球的体积。

 Gromov's紧致性定理：所有正Ricci曲率且直径不超过D的黎曼流形在Gromov-Hausdorff度量下是仿紧的。

数量曲率 

 n-维环不存在有正数量曲率的度量。

 若一个紧n-维黎曼流形的单射半径，则数量曲率的平均值不超过n（n-1）。

負曲率

負截面曲率 

 任何有非正截面曲率的单连通黎曼流形的两点有唯一的测地线连接。

 若M是一个有负截面曲率的完备黎曼流形，则基本群的任何可交换子群同构于整数群Z。

 设V*是一-rank2的紧致不可约局部对称空间，设V是一截面曲率的紧致黎曼流形，若，且，则与等距。

負里奇曲率 

 任何有负里奇曲率的紧黎曼流形有一个离散的等距同胚群。
 任何光滑流形可以加入有负里奇曲率的黎曼度量。

參見 

 度量張量
 黎曼流形
 列维-奇维塔联络
 曲率
 曲率張量
 微分幾何主題列表
 黎曼及度量幾何詞表

參考文献 

 Marcel Berger, Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century, (2000) University Lecture Series vol. 17, American Mathematical Society, Rhode Island, ISBN 0-8218-2052-4. (Provides a historical review and survey, including hundreds of references.) 
 Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2 (Provides a formal introduction, written at the grad-student level.) 
 Peter Peterson, Riemannian Geometry, (1998) Springer-Verlag, Berlin ISBN 0-387-98212-4. (Provides an introduction, presented at an undergrad level.)

 
伯恩哈德·黎曼