排序不等式

排序不等式是數學上的一條不等式。它可以推導出很多有名的不等式，例如算術幾何平均不等式（簡稱算幾不等式），柯西不等式，和切比雪夫總和不等式。它是說：

如果 ，和  是兩組實數。而  是的一個排列。排序不等式指出 。

以文字可以說成是順序和不小於亂序和，亂序和不小於逆序和。與很多不等式不同，排序不等式不需限定的正負。

證明 

排序不等式可以用數學歸納法證明。關鍵在於下列結果：

若 ，則有 

移項得出 。

重複以上步骤便可得出排序不等式。

代数不等式

我们设  为  原序列的前  个数的和，即 。

设  为打乱顺序后的序列， 表示乱序后的前  个数的和。所以有 。

注意到 ，则 

得证。