过剩数

在數論中，過剩數又称作丰数或盈数，一般指的是真因數之和大於自身的一类正整数，严格意义上指的是因数和函数大於两倍自身的一类正整数。

定義

一般定义 
一般而言，過剩數是指使得函数  的正整数 ，其中  指的是  的真因數之和； 称作  的盈度或豐度。

例如，12除本身外的所有正因數为4和6，由于 ，且 ，因此12為過剩數，且12的豐度為 。

严格定义 
更为严格地说，過剩數是指使得函数  的正整数 ，其中  指的是  的所有正因数（包括 ）之和； 称作  的盈度或豐度。

在这种定义下，12的正因數有6和12，由于 ，且 ，因此12為過剩數，且12的豐度為 。

性質 
最小的偶過剩數构成数列：
102 ……
最小的奇過剩數构成数列：
945、 1575、 2205、 2835、 3465、 4095、 4725、 5355、 5775、 5985、 6435、 6615、 6825、 7245、 7425、 7875 ……
不能被2和3整除的最小過剩數是 5391411025，其質因數有 23 和 29。
亞努奇（Iannucci）在2005年給出了一個尋找不能被前  個質數整除的最小過剩數的演算法：若  表示不能被前  個質數整除的最小過剩數，則當  足夠大時，對所有的 ，有
 
除了完全數本身，完全數的倍數都是過剩數。例如，每個大於6之6的倍數都是過剩數，因為 。
過剩數的倍數都是過剩數。例如，20是過剩數，20及其倍數也都是過剩數，因為 。
由於完全數的倍數都是過剩數，過剩數的倍數也都是過剩數，因此奇數和偶數的過剩數都有無限多個。

過剩數的集合具有非零的自然密度，1998年 Marc Deléglise 证明了過剩數在自然数中的自然密度介于 0.2474 与 0.2480 之间。
若一個過剩數不是完全數或其他過剩數的倍數，則這個數稱為本原過剩數。
若一個過剩數的豐度超過所有小於該數的過剩數的豐度，則這個過剩數稱為高過剩數。
若一個過剩數的相對豐度  超過所有小於該數的過剩數的豐度，則這個過剩數稱為超過剩數。
每個大於 20161 的整數都可以寫成兩個過剩數之和。
不是半完全數的過剩數稱為奇異數。
豐度為1的過剩數稱為准完全数，然而目前尚未找到准完全数。

相關概念 

 与過剩數相关的概念是完全数（真因數和等於本身，即  或 ）和亏数（真因數和小於本身，即  或 ）。最早将自然数分为过剩数、完美数和亏数的是 Nicomachus 于公元前100年所著的 Introductio Arithmetica。
  的豐度指數（過過剩指數）是指因數和與自身的比，即 ；若一组相異的數 （無論是否為過剩數）擁有相同的豐度指數，則這些數互為友誼數。
 记  变化时，滿足  的最小自然数  构成数列 ，则 ，为第一個過剩數。 是一个增長速度很快的数列。
 豐度指數超過3的最小奇數為  。

参见
高合成數
完全數
婚約數
親和數
亏数
梅森素数
半完全數
佩服數

參考文獻

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