指示函数

在集合論中，指示函数是定义在某集合X上的函数，表示其中有哪些元素属于某一子集A。指示函数有时候也称为示性函数或特征函数。

集X的子集A的指示函数是函数，定义为

{|
|rowspan=2|
| 若 
|-
| 若 
|}

A的指示函数也记作或。

简单性质 
把X的子集A对应到它的指示函数的映射是雙射，值域是所有函数的集合。

如果A和B是X的两个子集，那么
，
以及
。

更一般地，设A1, ..., An是X的子集。对任意，可知

当且仅当x不属于任何Ak。
故有
。

展开左式

{|
|
|
|-
|
|，
|}

其中|F|是F的势。这是容斥原理的一个形式。

如上一例子所示，指示函数是组合数学一个有用记法。这记法也用在其他地方，例如在概率论：若X是概率空间，有概率测度P，A是可测集，那么1A就是随机变量，其期望值等于A的概率。

。

这等式用于马尔可夫不等式的一个简单证明裡。

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