悬链线

悬链线（Catenary）是一种常用曲线，物理上用于描绘質量均勻分佈而不可延伸的長鏈悬掛在两支点间，因均勻引力作用下而形成向下彎曲之曲線，因此而得名。

雖然彎曲的形狀看似二次方的拋物線，但是1638年在伽利略的《Two New Sciences》中證明因為繩子的張力會隨著吊掛重量的不同，在底端為最小、愈高的地方愈大，如此一來，它所形成的形狀就不是拋物線。

隨後在1670年虎克根據力學推導出懸鏈線的數學特性。1691年萊布尼茲、惠更斯、約翰·白努利近一步推导出數學模型。

它的公式为：

或者简单地表示为

其中cosh是雙曲余弦函数， 是一个由绳子本身性质和悬挂方式决定的常数，軸為其準線。具体来说，，其中是重力加速度，是线密度（假设绳子密度均匀），而是绳子上每一点处张力的水平分量，它取决于绳子的悬挂方式；若绳子两端在同一水平面上，则下面的方程决定了

其中L是绳子总长的一半，d是端点距离的一半。

方程的推导 
表达式的证明

如右图，设最低点处受水平向左的拉力，右悬挂点处表示为点，在弧线区段任意取一段设为点，则受一个斜向上的拉力，设和水平方向夹角为，绳子的质量为,受力分析有：

；

，

，

，　其中是右段绳子的长度，是绳子线重量密度，为切线方向，记, 代入得微分方程;

利用弧长公式;

所以;

再把代入微分方程得

对于设微分处理

得 

其中;

对(2)分离常量求积分

得，即

其中为反双曲函数;

当时，；

带入得；

整理得

工程中的应用 
悬索桥、双曲拱桥、架空电缆都用到悬链线的原理。
在工程中有一种应用，称作悬链-{}-系数。如果我们改变公式的写法，会给工程应用带来很大帮助，公式及图像如下：

还有以下几个公式，可能也有用：

其中是曲线中某点到0点的链索长度，是该点的正切角，是0点处的水平张力，是链索的单位重量。利用上述公式即能计算出任意点的张力。

參考資料

外部連結

微分方程
指數
解析幾何