双射

數學中，一個由集合映射至集合的函數，若對每一在內的，存在唯一一個在內的与其对应，且對每一在內的，存在唯一一個在內的与其对应，則此函數為對射函數。

換句話說，如果其為兩集合間的一一對應，则是雙射的。即，同時為單射和滿射。

例如，由整數集合至的函數，其將每一個整數連結至整數，這是一個雙射函數；再看一個例子，函數，其將每一對實數連結至，這也是個雙射函數。

一雙射函數亦簡稱為雙射（）或置換。後者一般較常使用在時。以由至的所有雙射組成的集合標記為。

雙射函數在許多數學領域扮演著很基本的角色，如在同構的定義（以及如同胚和微分同構等相關概念）、置換群、投影映射及許多其他概念的基本上。

複合函數與反函數
一函數為雙射的若且唯若其逆關係也是個函數。在這情況，也會是雙射函數。

兩個雙射函數及的複合函數亦為雙射函數。其反函數為。

另一方面，若為雙射的，可知是單射的且是滿射的，但也僅限於此。

一由至的關係為雙射函數若且唯若存在另一由至的關係，使得為上的恆等函數，且為上的恆等函數。必然地，此兩個集合會有相同的勢。

雙射與勢
若和為有限集合，則其存在一兩集合的雙射函數若且唯若兩個集合有相同的元素個數。確實，在公理集合論裡，這正是「相同元素個數」的定義，且廣義化至無限集合，並導致了基數的概念，用以分辨無限集合的不同大小。

例子與反例
 對任一集合，其恆等函數為雙射函數。
 函數，其形式為，是雙射的，因為對任一，存在一唯一使得。
 指數函數，其形式為，不是雙射的：因為不存在一內的使得，故非為雙射。但若其陪域改成正實數，則便是雙射的了；其反函數為自然對數函數。
 函數 : ，其形式為，不是雙射的：因為，故非為雙射。但如果把定義域也改成，則便是雙射的了；其反函數為正平方根函數。
 不是雙射函數，因為和都在其定義域裡且都映射至。
 不是雙射函數，因為和2都在其定義域裡且都映射至。

性質
 一由實數至的函數是雙射的，若且唯若其圖像和任一水平線相交且只相交於一點。
 設為一集合，則由至其本身的雙射函數，加上其複合函數「」的運算，會形成一個群，即為的對稱群，其標記為、或。
 取一定義域的子集及一陪域的子集，則
且。
 若和為具相同勢的有限集合，且，則下列三種說法是等價的：
 為一雙射函數。
 為一滿射函數。
 為一單射函數。
 一个严格的单调函数是双射函数，但双射函数不一定是单调函数（例如）。

雙射與範疇論
形式上，雙射函數恰好是集合範疇內的同構。

另見
等势
單射
同構
置換
對稱群
满射
雙射計數法
水平线测试

參考文獻

外部連結

 
 
 Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.

函数
集合論基本概念
数学关系
各类函数