索菲·熱爾曼質數

若質數為索菲·熱爾曼質數，則亦為質數。與索菲·熱爾曼質數p相聯繫之質數則稱之為-{zh-cn:安全素数;zh-tw:安全質數}-。舉例來說，29為一索菲·熱爾曼質數，2×29+1=59則為其對應的安全質數。索菲·熱爾曼證明了費馬最後定理對於這類質數為真。且若均為整數，在這式子內，必有一項能被整除。

是否存在無限個索菲熱爾曼質數仍屬猜想。

從1到10000共有190個索菲熱爾曼質數：

已发现的最大的索菲·熱爾曼質數
於2016年3月發現了截至目前為止最大的索菲·熱爾曼質數，2618163402417×21290000 − 1，此數共有388342位。

特性
索菲熱爾曼質數永不會以7為個位數。證明：

反證法：假設存在個位數為7的質數p，將它表達成p=10k+7。根據索菲熱爾曼質數的性質，亦是質數，但，能被5整除，而且大於5，所以，是合成數，矛盾。

和梅森數的關係
若，，且p為索菲熱爾曼質數，2p+1是梅森數的因數。

出現頻率
1922年，哈代和李特爾伍德，猜測了以下估計索菲熱爾曼質數頻率的公式：

且，C是孿生質數常數。

坎寧安鏈
數列{p, 2p + 1, 2(2p + 1) + 1, ...}的索非熱爾曼質數稱為第一類坎寧安鏈。除了首尾之外，這個數列中的項均同時為索非熱爾曼質數和安全質數。

參考
 http://goodprimes.eu5.org/TSophie1.htm 
 http://mathworld.wolfram.com/SophieGermainPrime.html 

素数