九点圆定理

九点圆定理指出：在平面中，對所有三角形，其三邊的中點、三高的垂足、頂點到垂心的三條線段的中點，必然共圆，这个圆被称为九點圓，又称歐拉圓、費爾巴哈圓。
九點圓具有以下性質：
九點圓的半徑是外接圓的一半，且九點圓平分垂心與外接圓上的任一點的連線。
圓心在歐拉線上，且在垂心到外心的線段的中點。
九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切（費爾巴哈定理）。
圓周上四點任取三點做三角形，四個三角形的九點圓圓心共圓（庫利奇－大上定理）。

歷史 
1765年，萊昂哈德·歐拉證明：「垂心三角形和垂足三角形有共同的外接圓（六點圓）。」許多人誤以為九點圓是由歐拉發現所以又稱乎此圓為歐拉圓。而第一個證明九點圓的人是彭賽列（1821年）。1822年，卡尔·威廉·費爾巴哈也發現了九點圓，並得出「九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切」，因此德國人稱此圓為費爾巴哈圓，並稱這四個切點為費爾巴哈點。庫利奇與大上分別於1910年與1916年發表庫利奇－大上定理「圓周上四點任取三點做三角形，四個三角形的九點圓圓心共圓。」這個圓還被稱為四邊形的九點圓，此結果還可推廣到n邊形。

九點圓证明 

如圖：、、為三邊的中點，、、為垂足，、、為和頂點到垂心的三條線段的中點。

容易得出、（相似）

因此

同樣可得出、（相似）

因此

又，可得出四邊形是矩形（四點共圓）

同理可證也是矩形（共圓）

，因此可知也在圓上（圓周角相等）

同理可證、兩點也在圓上（九點共圓）

性質證明 

九點圓的半徑是外接圓的一半，且九點圓平分垂心與外接圓上的任一點的連線。

在直角坐標系中，我們知道圓的方程為，其中為圓的半徑，為圓的圓心坐標。若做圓上三點與點的中點的軌跡，則此軌跡的方程式為：

設為外接圓的半徑、為外接圓的圓心坐標、點為垂心坐標。
已知九點圓通過頂點到垂心的三條線段的中點，故此軌跡圓就是九點圓，半徑是外接圓的一半，且平分垂心與外接圓上的任一點的連線。
同時還可以得出下面的性質：

圓心在歐拉線上，且在垂心到外心的線段的中點。由此可知，給定三角形頂點座標，九點圓圓心為

九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切（費爾巴哈定理）。

圓周上四點任取三點做三角形，四個三角形的九點圓圓心共圓（庫利奇－大上定理）。

其他 
垂心四面体的12点共球九点圆是垂心四面体各棱的中点和垂足（相对于对棱）共球的特例，两者是同构的
主旁心三角形的九點圓是三角形的外接圓
中點三角形的外接圓是三角形的九點圓
三線坐標中，九點圓的座標為
三線坐標中，費爾巴哈點的座標為

參見條目
萊昂哈德·歐拉
卡尔·威廉·費爾巴哈

參考資料 
幾何明珠 ISBN 957-603-197-4

幾何寶庫

Feuerbach's Theorem: a Proof

圆
三角形几何
几何定理