加托導數

数学上，加托导数(英文: Gâteaux derivative)是微分学中的-{方向}-导数的概念的推广。它以勒內·加托命名，他是一位法国数学家，年青时便死于第一次世界大战。它定义于局部凸的拓扑向量空间上，可以和巴拿赫空间上的弗雷歇导数作对比。二者都经常用于形式化泛函导数的概念，常见于變分法和物理学，特别是量子场论。和其他形式的导数不同，加托导数是非线性的。

定义 
假设  和  是局部凸拓扑向量空间，（例如巴拿赫空间）， 是開集合(open set)，且 。 
 在點  沿着  方向的加托偏微分(Gâteaux differential)  定义为

如果极限存在。固定  若  对于所有  都存在，则称  在  是加托可微(Gâteaux differentiable )。若  在  是加托可微，稱  為在  的加托導數。

称  是在  中连续可微的若

 

是连续的。

属性 
若加托导数存在，则其为唯一。

对于每个，加托导数是一个算子。
该算子是齐次的，使得

，但是它通常不是可加的，并且，因此而不总是线性的，不像Fréchet导数。

例子 
令  为一个在欧几里得空间  勒贝格可测集   上的平方可积函数的希尔伯特空间，也就是說  是勒貝格可測集  。泛函  由

 

给出，其中  是一个定義在實數上的可微实值函数且  而  為定義在  的實數值函數，则加托导数为
 這符號代表 .

更詳細的說：

令 (并假设所有积分有定义)，得到加托导数

也就是，内积

参看 
 导数 (推广)

参考 
 

J
J
导数的推广