格林恆等式

格林恆等式（）乃是向量分析的一組共三條恆等式，以發現格林定理的英國數學家喬治·格林命名。

格林第一恆等式
設定向量場；其中，在的某區域內，是二次連續可微標量函數，是一次連續可微標量函數，則從散度定理，
 ，

可以推導出格林第一恆等式：
 ；

其中，是區域的邊界，是取於邊界面的法向導數，即。

格林第二恆等式
假若在區域內，和都是二次連續可微，則可交換與，從的格林第一恆等式得到的格林第一恆等式。將這兩個恆等式相減，則可得到格林第二恆等式：
 。

格林第三恆等式
假設函數是拉普拉斯方程式的基本解（）：
；

其中，是狄拉克δ函數。

例如，在R3，基本解的形式為
。

函數稱為格林函數。對於變數與的交換，格林函數具有對稱性，即。

設定，在區域內，是二次連續可微。假若在積分區域內，則應用狄拉克δ函數的定義，
 ；

其中，、分別積分於 

這是格林第三恆等式。假若是調和函數，即拉普拉斯方程式的解：
 ，

則這恆等式簡化為
 。

參閱
向量恆等式列表
數學恆等式列表 ()
向量微積分恆等式 ()

參考文獻

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