中值定理

在數學分析中，均值定理（）大致是講，給定平面上固定兩端點的可微曲線，則這曲線在這兩端點間至少有一點，在這點該曲線的切線的斜率等於兩端點連結起來的直線的斜率。

更仔細點講，假設函數  在閉區間  連續且在開區間  可微，則存在一點，使得

.

中值定理包括微分中值定理和积分中值定理。

微分中值定理 
微分中值定理分为罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，内容粗略的说是指平面上一段固定端點的可微曲线，兩端點之中必然有一点，它的斜率與連接兩端點的直線斜率相同（严格的数学表达参见下文）。

當提到均值定理時在沒有特別說明下一般指拉格朗日均值定理。

罗尔中值定理 

如果函数满足
 在闭区间上连续；
 在开区间内可导；
 在区间端点处的函数值相等，即，

那么在内至少有一点，使得。这个定理称为罗尔定理。

拉格朗日中值定理（均值定理） 

令为闭区间上的一个连续函数，且在开区间内可导，其中。那么在上存在某个使得

此定理称为拉格朗日中值定理，也簡稱均值定理，是罗尔中值定理的更一般的形式，同时也是柯西中值定理的特殊情形。

这个定理在可以稍微推廣一點。只需假设  在  连续，且在開區間  内对任意一點 ，极限

存在，为一个有限数字或者等于+∞或−∞.如果有限，则极限等于。這版本定理应用的一个例子是函數 ，实值三次方根函数，其导数在原点趋于无穷。

注意若一个可微函数的值域是複數而不是實數，則上面这定理就未必正确。例如，对實數  定义。那么

因 时， 為開區間  中任意一點。

柯西中值定理 
柯西中值定理，也叫拓展中值定理，是中值定理的一般形式。它叙述为：如果函数 f 和 g 都在闭区间[a,b] 上连续，且在开区间 (a,b) 上可微，那么存在某个 c ∈ (a,b)，使得

当然，如果 且 ，則可表示成：

在几何上，这表示曲线

上存在一點其切線平行于由兩點 (f(a),g(a)) 和 (f(b),g(b)) 所連接的直线。但柯西定理不能表明在任何情况下這種切線都存在，因为可能存在一些c值使 ，所以在这些点曲线根本没有切线。下面是这种情形的一个例子

在区间[−1,1]上，曲线由(−1,0)到(1,0)，却并无一个水平切线，然而它在 处有一个驻点(实际上是一个尖点)。

柯西中值定理可以用来证明洛必达法则。(拉格朗日)均值定理是柯西中值定理当时的特殊情况。

积分中值定理 
积分中值定理分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其退化状态均指在ξ的变化过程中存在一个时刻使两个图形的面积相等（严格表述在下面）。

积分第一中值定理 

设为一连续函数，要求是可积函数且在积分区间不变号，那么存在一点使得

 。

证明 
在不失去一般性的条件下，设对所有，有；
因为是闭区间上的连续函数，取得最大值和最小值。于是
 。
对不等式求积分，我们有
 。
若，则。可取上任一点。

若不等于零那么，
 。
因为是连续函数，根據介值定理，则必存在一点，使得
 。

的情况按同样方法证明。

推论（拉格朗日中值定理的积分形式） 
在上式中令，则可得出：

设为一连续函数，则∃，使

 

它也可以由拉格朗日中值定理推出：

设在上可导，，则∃，使

积分第二中值定理 
积分第二中值定理与积分第一中值定理相互独立，却又是更精细的积分中值定理。它可以用来证明Dirichlet-Abel反常Riemann积分判别法。

内容 
若f,g在[a,b]上黎曼可积且f(x)在[a,b]上单调，则存在[a,b]上的点ξ使
；

退化态的几何意义 

令g(x)=1，则原公式可化为：
；
进而导出：
；

此时易得其几何意义为：
能找到ξ∈[a,b]，使得S[红]+S[蓝]=S[阴影]，即S[I]=S[II]

应用 
关于积分中值定理的一个重要应用是可以去除掉积分号，或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。

注释

参见 
 罗尔定理
 柯西中值定理
 介值定理
 极值定理

奥古斯丁-路易·柯西
包含证明的条目
微積分定理
实分析定理