貝祖等式

在数论中，裴蜀等式（）或貝祖定理（）是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整數 、 和 ，关于未知数  和  的線性丟番圖方程（称为裴蜀等式）：

有整数解时当且仅当  是  及  的最大公约数  的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解 、 都稱為裴蜀數，可用擴展歐幾里得演算法求得。

例如，12 和 42 的最大公因數是 6，则方程  有解。事实上有 、等。

特别来说，方程  有整数解当且仅当整数  和  互素。

裴蜀等式也可以用来给最大公约数定义： 其實就是最小的可以寫成  形式的正整數。这个定义的本质是整环中“理想”的概念。因此对于多项式整环也有相应的裴蜀定理。

历史
历史上首先证明关于整数的裴蜀定理的并不是裴蜀，而是17世纪初的法国数学家。他在于1624年发表的著作《有关整数的令人快乐与惬意的问题集》（Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres）第二版中给出了问题的描述和证明。

然而，裴蜀推广了梅齐里亚克的结论，特别是探讨了多项式中的裴蜀等式，并给出了相应的定理和证明。

整数中的裴蜀定理
对任意两个整數、，设是它们的最大公约数。那么关于未知数和的線性丟番圖方程（称为裴蜀等式）：

有整数解 当且仅当是的整數倍。裴蜀等式有解时必然有无穷多个解。

证明：
如果  和  中有一个是0，比如，那么它们两个的最大公约数是。这时裴蜀等式变成，它有整数解当且仅当是的倍数，而且有解时必然有无穷多个解，因为可以是任何整数。定理成立。

以下设和 都不为0。

设，下面证明中的最小正元素是与的最大公约数。

首先， 不是空集（至少包含和），因此由于自然数集合是良序的，中存在最小正元素。考虑中任意一个正元素（）对的带余除法：设，其中为正整数，。但是

 

因此 ，。也就是说，中任意一个正元素都是  的倍数，特别地：、。因此  是和的公约数。

另一方面，对和的任意正公约数，设、 ，那么
 

因此。所以是和的最大公约数。

在方程中，如果 ，那么方程显然有无穷多个解：
。
相反的，如果有整数解，那么，于是由前可知 （即 ）。

时，方程有解当且仅当、互质。方程有解时，解的集合是
。其中是方程的一个解，可由辗转相除法得到。

所有解中，恰有二解(x,y) 满足及，等號只會在及其中一個是另一個的倍數時成立。輾轉相除法給出的解會是這兩解中的一個。

例子
丟番圖方程 没有整数解，因为504和651的最大公约数是21。而方程是有解的。为了求出通解，可以先约掉公约数21，这样得到方程：
。
通过扩展欧几里得算法可以得到一组特解：。

取為滿足的解

將代回，解一元一次方程式得
將代回，得
將代回，得
故為一組特解

于是通解为：，即
 。

多个整数间的裴蜀定理

设为个整数，是它们的最大公约数，那么存在整数 使得 。特别来说，如果互质（不是两两互质），那么存在整数 使得 。

多项式环裡的貝祖定理

为域时，对于多项式环裡的多项式，裴蜀定理也成立。设有一族裡的多项式。设为它们的最大公约式（首项系数为1且次数最高者），那么存在多项式使得。特别来说，如果互质（不是两两互质），那么存在多项式使得。

对于两个多项式的情况，与整数时一样可以得到通解。

任意主理想环上的情况
裴蜀可以推广到任意的主理想环上。设环是主理想环，和为环中元素，是它们的一个最大公约元，那么存在环中元素和使得：

这是因为在主理想环中，和的最大公约元被定义为理想的生成元。

参见
理想 (环论)
欧几里德整环
欧几里德引理
主理想环
整除

参考来源

闵嗣鹤、严士健，初等数论，高等教育出版社，2003。
唐忠明，抽象代数基础，高等教育出版社，2006。

外部連結
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