有理数

数学上，可以表达为两个整数比的数（, ）被定义为有理数，例如，0.75(可被表达为)；整数和整数分数统称为有理数。

与有理数相對的是无理数，如无法用整数比表示。

有理数与分數形式的区别，分數形式是一种表示比值的记法，如 分數形式是无理数。
所有有理数的集合表示为Q，Q+,或。定义如下：

有理数的小数部分有限或为循环。不是有理數的實數遂稱為無理數。

词源 
有理数在英文中称作rational number，来自拉丁语rationalis，意为理性的；词根ratio，拉丁语意为理性、计算。代表“比例”的英文ratio一词在历史上出现得要比有理数（rational number）一词更晚，前者最早有记录是1660，而后者是1570年。

运算 
有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的，亦即有理數加、减、乘、除有理數的結果仍為有理數。有理数的加法和乘法如下：

两个有理数和相等当且仅当

有理数中存在加法和乘法的逆：
时，

古埃及分数 

古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如：

对于给定的正有理数，存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。

形式构建 
数学上可以将有理数定义为建立在整数的有序对上的等价类，这里不为零。我们可以对这些有序对定义加法和乘法，规则如下：
 
 

为了使，定义等价关系如下：
 

这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的，而且可以将Q定义为整数有序对关于等价关系~的商集：。例如：两个对和是相同的，如果它们满足上述等式。（这种构建可用于任何整数环，参见商域。）

定義大小 
Q上的大小可以定义为：
 当且仅当
 并且
 并且

然後是指但。亦可在“小于”概念之上引入“大于”的概念，即：当且仅当。此排序中，每一对有理数之间皆可比較，必有且仅有以下关系之一：
，，。
又滿足传递性：若，且，则。所以以上定義的大小關係是全序关系。

有理數集的序還滿足：若，则必存在有理数，满足，且。

性质 

集合，以及上述的加法和乘法运算，构成域，即整数的商域。

有理数是特征为0的域最小的一个：所有其他特征为0的域都包含的一个拷贝（即存在一个从到其中的同构映射）。

的代数闭包，例如有理数多项式的根的域，是代数数域。

所有有理数的集合是可数的，亦即是說的基數（或勢）與自然數集合相同，都是阿列夫數，這是因為可以定義一個從有理數集映至自然數集合的笛卡爾積 的單射函數，而是可數集合之故。因为所有实数的集合是不可数的，所以从勒贝格测度来看，可以认为绝大多数实数不是有理数。

有理数的序是个：任何两个有理数之间存在另一个有理数，事实上是存在无穷多个。此外，有理數集也沒有最大和最小元素，所以是無端點的可數稠密全序（）。說明，任何無端點的可數稠密全序必定序同構於有理數的序，換言之，若不辨同構之異，則有理數的大小序是唯一具此性質的序結構。

实数 
有理数是实数的稠密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，僅有理数可化為有限连分数。

依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。采用度量，有理数构成一个度量空间，这是上的第三个拓扑。幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间；实数是的完备集。

p进数 
除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将转化到拓扑域：

设是素数，对任何非零整数设，这里是整除的的最高次幂；

另外。对任何有理数，设。

则在上定义了一个度量。

度量空间不完备，它的完备集是p进数域。

参见 
 浮点数
 尼云定理

参考文献

實數
分數
初等数学
有理数