摆线

在数学中，摆线（Cycloid）被定义为，一个圆在一条直线上滚动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。它是一般旋轮线的一种。摆线亦称圆滚线。

摆线也是最速降线问题和等时降落问题的解。

历史 
摆线的研究最初开始于库萨的尼古拉，之后马兰·梅森也有针对摆线的研究。1599年伽利略为摆线命名。1634年指出摆线一拱的區域面积是滾動圆的面积的三倍。1658年克里斯多佛·雷恩也向人们指出摆线的长度是滾動圆的直径的四倍。在这一时期，伴随着许多发现，也出现了众多有关发现权的争议，甚至抹杀他人工作的现象，而因此摆线也被人们称作“几何学中的海伦”（The Helen of Geometers）。

方程式 

过原点半径为r的摆线参数方程为

在这里实参数t是在弧度制下，圆滚动的角度；摆线的第一道拱由参数t在(0, 2π)区间内的点组成。对每一个给出的t，圆心的坐标为(rt, r)。

通过替换解出t可以求的笛卡尔坐标方程为

也可寫成

摆线也满足下面的微分方程。

面积 
一条由半径为r的圆所生成的拱形面积可以由下面的参数方程界定：

微分，

于是可以求得

弧长 
弧形的长度可以由下面的式子计算出：

其它相关联的曲线 
一些曲线同摆线紧密相关。当我们弱化定点只能固定在圆边界上时，我们得到了短擺線（curtate cycloid）和長擺線（prolate cycloid），兩者合稱為次擺線（trochoid），前面的情形是定点在圆的内部，后者则是在圆外。次摆线则是上述三种曲线的统称。更进一步，如果我们让圆也沿着一个圆滚动而不是直线的话，我们会得到外摆线（epicycloid，沿着圆的外部运动，定点在圆的边缘），内摆线（hypocycloid，沿着圆内部滚动，定点在圆的边缘）以及外旋轮线（epitrochoid）和内旋轮线（hypotrochoid，定点可以在圆内的任一点包括边界。）

应用 

在建筑物的设计方面，摆线曾被路易·卡恩用来设计德克萨斯州沃思堡的建筑。
它也曾被用于设计新罕布什尔州汉诺威的霍普金斯中心。

参考 

 An application from physics: Ghatak, A. & Mahadevan, L. Crack street: the cycloidal wake of a cylinder tearing through a sheet. Physical Review Letters, 91, (2003). http://link.aps.org/abstract/PRL/v91/e215507

外部链接 
 
 Cycloids  at cut-the-knot
 A Treatise on The Cycloid and all forms of Cycloidal Curves , monograph by Richard A. Proctor, B.A. posted by Cornell University Library .
 Cicloides y trocoides
 Cycloid Curves  by Sean Madsen with contributions by David von Seggern, Wolfram Demonstrations Project.

曲线