普吕克坐标

数学上，普吕克坐标是将射影三维空间中的每条线给予6个齐次坐标，也就是一个射影5维空间中的一点。普吕克坐标由尤利乌斯·普吕克于1844年给出。

定义

令L为一直线，穿过点和点。

定义为的行列式。

这蕴涵着和.

考虑六元组。不是所有6个都可以同时为0，因为如果是的话，所有的子矩阵都是零，则该矩阵最多秩为1，这个p及q为不同点的假设不符。

p和q的选取对于6元组的影响只是一个非零因子，如下所示：

考虑和为L上不同点，其中而。 p'和q'不同的假设归结为。 可以检验：
这样， 

称W为所有PG(3,K)中的直线的集合。我们现在恰当地定义一个映射：从W到一个K上的5维射影空间：

到克莱因二次曲面的单射性和满射性

P
坐标系
P