Sinc函数

sinc函数（）是一種函數，在不同的領域它有不同的定義。數學家們用符號  表示這種函數。
sinc函数可以被定義为归一化的或者非归一化的，不過兩種函數都是正弦函数和单调的递减函数 1/x的乘积：
 在-{zh-tw:數位訊號處理; zh-cn:数字信号处理; zh-hk:數碼訊號處理;}-和通信理论中，人們把归一化sinc函数定义为
對於所有，
 在数学领域中，人們以前使用的非归一化sinc函数 （for sinus cardinalis）被定义为
對於所有， 

在这两种情况下，當x=0時sinc函数的值被定义为以下的極限值，因此 sinc 函数是处处可解析的。
對於任何實數 ，

非归一化sinc函数等同于归一化sinc函数，只是它的变量中没有放大系数 π 。

属性 

归一化 sinc 函数的特性使得它在插值与带限函数中得到理想应用：

 对于  与 （整数）， 和  ；也就是说，它是一个插值函数。
 函数  在函数空间  形成一个带限函数的正交基，它的最大角频率是  ，也就是说最大的循环频率是 。

这两个 sinc 函数的其它特性包括：

 非归一化 sinc 函数 ；对应于它与余弦函数的交点。也就是说，如果  的导数是 0 ，即在  有极值，那么   。

 非归一化 sinc 是第一类零阶球贝塞尔函数。归一化 sinc 是 。

 非归一化 sinc 的过零点是  的非零倍数；归一化 sinc 函数     的过零点出现在非零整数。

 归一化 sinc 函数     的对于普通频率的连续傅里叶变换是  。
,
 其中矩形函数在 –1/2 到 1/2 之间值为 1，在其它区域值为 0。

 积分

 是广义积分。因为：
 
所以它不是勒貝格積分。
 

 
 其中  是 Γ函数。

与狄拉克δ分布的关系 

尽管不是分布，归一化 sinc 函数也可以作为 nascent δ函数（参见狄拉克δ函数）使用。

归一化 sinc 函数通过下式与δ分布 δ(x) 发生联系

由于等式左侧并不收敛，所以这不是普通的 limit，而是说明对于任意的緊支撐平滑函数  有

在上面的表达式中，随着 a 趋近于 0，sinc 函数每个单元长度上的振动次数趋近于无限，然而不管 a 是什么值，这个表示通常在 ±1/(πx) 内振动。这与 δ(x) 的非正式表示有所矛盾，δ(x) 除了 x=0 之外其它 x 上的值都是 0，这表明了将δ函数作为函数而不是分布带来的问题。在吉布斯现象（Gibbs phenomenon）中也有类似的状况。

参见 
 抗混叠
 Sinc滤波器
 
 波尔文积分

参考文献

外部链接 

 

信号处理
基本特殊函数