克莱因四元群

数学上，克莱因（Klein）四元群，得名自菲利克斯·克莱因，是最小的非循环群。它有4个元素，除单位元外其阶均为2。

克莱因四元群通常以V表示（来自德文的四元群Vierergruppe）。它是阿贝尔群，同构于，就是2阶的循环群与自身的直积。它也同构于4阶的二面体群。

结构 

若把克莱因四元群记作V = { 0, e, f, g }，其运算为加法"+"，那么以下为其运算表：
{| class="wikitable"
|----- valign="bottom" align="center"
! +
! 0
! e
! f
! g

|----- valign="bottom" align="center"
! 0
| 0 || e || f || g
|----- valign="bottom" align="center"
! e
| e || 0 || g || f
|----- valign="bottom" align="center"
! f
| f || g || 0 || e
|----- valign="bottom" align="center"
! g
| g || f || e || 0
|}
这运算是对合的：∀ x ∈ V , x + x = 0。

克莱因四元群可扩展为有限域，称为克莱因域，加入乘法为第二个运算，以0为零元，e为单位元。乘法与加法符合分配律。乘法表为：
{| class="wikitable"
|----- valign="bottom" align="center"
! x
! 0
! e
! f
! g

|----- valign="bottom" align="center"
! 0
| 0 || 0 || 0 || 0
|----- valign="bottom" align="center"
! e
| 0 || e || f || g
|----- valign="bottom" align="center"
! f
| 0 || f || g || e
|----- valign="bottom" align="center"
! g
| 0 || g || e || f
|}

克莱因四元群是下图的图自同构群。

 

克莱因四元群3个阶2的元之间的对称性，可以从它在4点上的置换表示看出：

V = < (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) >

在这表示中，V是交错群A4的正规子群，也是4个字母上的对称群S4的正规子群。根据伽罗瓦理论，克莱因四元群的存在，而且还具有这特别的表示，解释了四次方程可以用根式求解的原因。

K