天元术

天元术是中国古代的代数学方法之一种，是中国古代建立高次方程的方法。1248年，金代数学家李冶在其著作《测圆海镜》、《益古演段》，以及元代数学家朱世杰的《算学启蒙下卷》《四元玉鉴》，都系统地介绍了用天元术建立二次方程。元代数学家王恂也广泛使用天元术解高次方程。例如在授时历中“问半弧背一度下，黄赤道矢弧若干”一题，王恂用天元术建立和求解四次多项式方程 

其中“天元”相当于现在的未知数，“立天元一为某某”相当于现代数学中的“设某某为”，用天、地表示方程的正次幂和负次幂，根据问题设未知数，列出两个相等的多项式，进行多项式运算，最后列出有待求解的方程。

历史

在中国数学史上最早创立天元概念的是北宋平阳蒋周所著的《益古集》，随后有博陆李文一撰《照胆》，鹿泉石信道撰《钤经》，平水刘汝谐撰《如积释锁》，处州李思聪《洞渊九容》后人才知道有天元。

李冶在东平获得刘汝谐撰《如积释锁》，书中用十九个单字表示未知数的各个至的幂：

仙、明、霄、汉、垒、层、高、上、天、人、地、下、低、减、落、逝、泉、暗、鬼；其中立天元在上。

后来有太原彭泽彦出，反其道而行，以天元在下。

《益古集》、《照胆》、《钤经》、《如积释锁》、《洞渊九容》等早期天元术著作今已失传。李冶在《测圆海镜》中使用天元在上的天元术。后来李冶又著《益古演段》，采用天元在下的次序。朱世杰《四元玉鉴》和《算学启蒙》卷下也采用天元在下的次序。

例子

在天元术中，一次项系数旁记一“元”字（或在常数项旁记一“太”字）。
历史上有两种次序：

《测圆海镜》式

“元”以上的系数表示各正次幂，“元”以下的系数表示常数项和各负次幂）。

例：李冶《测圆海镜》第二卷第十四问方程：

元

《益古演段》式
“元”以下的系数表示各正次幂，“元”以上的系数表示常数和各负次幂

例一：

李冶《益古演段》卷中第三十六问中的方程= 用天元术表示为:

 太
    元（x）
                   （项）

其中“太”是常数项，算筹 打斜线表示该项常数为负数。
“元”相当于未知数x

例二：

朱世杰《算学启蒙》下卷第四问

将代数方程

表示为天元方程：

例三：

朱世杰《四元玉鉴》《一气混元》
今有黄方乘直积得二十四步，只云股弦和九步，问勾几何？
答曰：三步。
草曰:立天元一为勾，

根据条件 黄方乘直积得二十四步
黄方：
直积：
得  
此外：股弦和九步

(立天元一为勾)
由此得方程

 太

解之，得勾=3

天元术与阿拉伯代数之差异
天元术与阿拉伯代数虽功用相同，但方法迥异。天元术可解高次方程，阿拉伯代数只能解一次，二次方程。天元术解根只求正根，但阿拉伯代数解二次方程得二根。

参见
《益古演段》
《算学启蒙》
《四元玉鉴》

参考文献

中國古代數學
代数