I-đê-an nguyên tố

Trong đại số, i-đê-an nguyên tố là tập con của vành thỏa mãn nhiều tính chất giống như là các số nguyên tố trong vành các số nguyên.

I-đê-an nguyên tố trong các vành giao hoán 
Một i-đê-an  của một vành giao hoán  được gọi là i-đê-an nguyên tố nếu nó có hai tính chất sau:

 Nếu  và  là hai phần tử của  sao cho tích  là phần tử của , thì  là phẩn tử của  hoặc  là phần tử của . 
  không phải là toàn bộ vành

Ví dụ 

 Với  tập hợp các số chẵn là một i-đê-an nguyên tố, được ký hiệu là .
 Trong một vành , một i-đê-an tối đại là một i-đê-an  tối đại theo quan hệ bao hàm trong tập hợp tất cả các i-đê-an thực sự của , tức là  được chứa trong chính xác hai i-đê-an của :  và . Một i-đê-an tối đại thì là nguyên tố.
 Nếu  là một đa tạp trơn,  là vành các hàm thực trơn trên  và  là một điểm của  thì tập hợp tất cả các hàm trơn  với  tạo thành một i-đê-an tối đại, và do đó nguyên tố, của .

Tính chất 

 Một i-đê-an  của một vành  (có đơn vị) là nguyên tố khi và chỉ khi vành thương  là một miền nguyên. Nói riêng, một vành giao hoán là một miền nguyên khi và chỉ khi  là một i-đê-an nguyên tố.
 Tổng của hai i-đê-an nguyên tố không nhất thiết là nguyên tố. Ví dụ, vành  có các i-đê-an nguyên tố  và . Tổng của chúng là  không phải là nguyên tốt:  nhưng hai thừa số của nó lại không nằm trong .

I-đê-an nguyên tố trong các vành không giao hoán 
Các i-đê-an hai phía nguyên tố trong một vành không giao hoán có thể được định nghĩa như sau:: một i-đê-an (hai phía)  của một vành  (không nhất thiết giao hoán) được gọi là một i-đê-an nguyên tố nếu  và với mọi i-đê-an (hai phía) , ta có: .

Tham khảo

Thư mục 

 Goodearl, K. R., Warfield, R. B., 2004, An Introduction to noncommutative Noetherian rings
 Kaplansky, Irving, 1970, Commutative rings
 Lam, T. Y., 2001, A first course in non commutative rings
 Lang, Serge, 2002, Algebra

Liên kết ngoài 

Lý thuyết vành