Tỷ lệ vàng trong hình học

Tỷ lệ vàng trong hình học được xác định nếu một đoạn thẳng chia phần theo tỷ lệ vàng: Tỷ số giữa tổng hai đoạn thẳng a + b với đoạn thẳng dài hơn a bằng tỷ số giữa a với đoạn thẳng ngắn hơn b. Tỷ lệ vàng thường được ký hiệu bằng ký tự  (phi) trong bảng chữ cái Hy Lạp nhằm tưởng nhớ đến Phidias, nhà điêu khắc đã xây dựng nên đền Parthenon.

Như hình bên phải, tỷ lệ vàng được biểu diễn như sau:

Phương trình này có nghiệm đại số xác định là một số vô tỷ:
 
Trong bài viết này sẽ trình bày một số cách chia tỷ số vàng trong lĩnh vực hình học phẳng.

Chia tỷ lệ vàng trên đoạn thẳng

Xây dựng trên tam giác đều và tam giác vuông cân
 Cách dựng tỉ số vàng của George Phillips Odom: Cho tam giác A,B là trung điểm của các cạnh EF, ED của tam giác đều DEF. Khi đó đường thẳng AB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF tại C ta có tỉ lệ vàng sau: 
Cho tam giác vuông cân ABC tại A, lấy G, F trên cạnh AC, AB sao cho  khi đó đường thẳng GF sẽ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại hai điểm H, E thỏa mãn .
Cho tam giác đều ABC, lấy D, E trên cạnh AC, AB sao cho  khi đó đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE sẽ cắt cạnh đáy BC tại hai điểm FG, với  
Cho tam giác vuông cân ABC tại A, lấy D, E trên cạnh AC, AB sao cho  khi đó đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE sẽ cắt cạnh đáy BC tại hai điểm H, G, với .

Xây dựng trên ngôi sao năm cánh
Ngôi sao năm cánh trong hình trên có các đoạn được tô màu đỏ, xanh lá cây, xanh nước biển, tím để phân biệt những đoạn có độ dài khác nhau. Chiều dài của bốn đoạn thẳng đó đó xác định tỷ lệ vàng. Đỏ/Xanh lá cây=Xanh lá cây/Xanh nước biển=Xanh nước biển/Tím=Tỉ lệ vàng.

Một số đa giác đặc biệt liên quan đến tỷ số vàng

Tam giác tỷ lệ vàng

Một tam giác tỷ lệ vàng cũng còn có tên tam giác vàng, là một tam giác cân với chiều dài cạnh bên chia cho chiều dài cạnh đáy bằng tỷ lệ vàng

Tam giác Kepler

Tam giác Kepler là một tam giác vuông đặc biệt với diện tích của các hình vuông có cạnh bằng các cạnh của tam giác đó (xem hình trên) thỏa mãn tỷ lệ

Hình thoi vàng

Hình thoi tỷ lệ vàng là một hình thoi có tỷ lệ các đường chéo là tỷ lệ vàng 
, .

Hình chữ nhật vàng

Phương pháp của Le Corbusier: Vẽ một hình vuông rồi chia đôi hình vuông đó ra, rồi lấy trung điểm của cạnh vuông làm tâm vẽ một cung tròn có bán kính bằng đường chéo của hình chữ nhật nửa hình vuông, sẽ giúp ta kéo dài cạnh vuông ra thành một chiều dài cân đối Tỷ Lệ Vàng với cạnh vuông. Ngoài ra ta còn có diện tích của hình vuông tỷ lệ với diện tích của hình chữ nhật tỷ lệ vàng mới hình thành bởi cạnh kéo dài.

Phương pháp Le Corbusier xem như có tính tổng hợp các phương pháp có trước đó, cho nên khá phong phú, toàn diện: một chiều dài hoặc một diện tích có sẵn, ta có thể tìm ra các thành phần lớn hơn và nhỏ hơn mà cân đối với nhau.

Xem thêm
Tỷ lệ vàng
Tỷ lệ bạc
Tam giác vuông đặc biệt
Tam giác cân

Chú thích

Liên kết ngoài
 Golden Ratio in Geometry tại Cut-The-Knot
 Two-dimensional Geometry and the Golden section or Fascinating Flat Facts about Phi

Hình học