Không gian phủ

Trong tô pô, đặc biệt là tô pô đại số, không gian phủ là một quan hệ giữa hai không gian tô pô đồng phôi địa phương. Trong số các không gian phủ, không gian phủ phổ dụng là một không gian phủ đặc biệt quan trọng: nó là vật phổ dụng trong phạm trù các không gian phủ liên thông của một không gian tô pô cho trước.

Định nghĩa 
Đặt  là một không gian tô-pô. Một không gian phủ của  là một không gian tô-pô  cùng với một toàn ánh liên tục

 

sao cho với mọi , có một lân cận mở  của  mà  (nghịch ảnh của  bởi ) là một hợp rời các tập mở trong , mà mỗi trong số đó đồng phôi với  qua .

Tương đương, một không gian phủ của  có thể được định nghĩa là một phân thớ  với các thớ rời rạc.

Ánh xạ  được gọi là ánh xạ phủ, không gian  thường được gọi là không gian cơ sở của phủ và không gian  được gọi là không gian toàn thể của phủ.

Ví dụ 

  là không gian phủ phổ dụng của  
 Mặt cầu  phủ không gian xạ ảnh . Với , đây là một phủ phổ dụng.

Phủ phổ dụng 
 Một không gian phủ là một không gian phủ phổ dụng nếu nó liên thông đơn (i.e. nếu nó liên thông và nhóm cơ bản của nó là nhóm tầm thường). Tên phổ dụng xuất phát từ thuộc tính quan trọng sau: nếu ánh xạ  là phủ phổ dụng của không gian X và ánh xạ  là bất kỳ phủ nào của không gian X với C liên thông, thì tồn tại một phủ  sao cho . Tức là  Phủ phổ dụng phủ mọi phủ liên thông.

Thuộc tính nâng 
Định lý - Đặt  là một phủ. Giả sử  là một không gian liên thông và  là một ánh xạ liên tục. Với mọi nâng  của ánh xạ  (i.e. ), ta có  hoặc  với mọi Nói riêng, nếu ta cố định một nghịch ảnh  và một phần tử  sao cho , có nhiều nhất là một nâng thỏa mãn . Không phải lúc nào nâng cũng tồn tại: một ví dụ là ta không thể nâng ánh xạ đồng nhất  qua phủ . Tuy nhiên trong trường hợp  là một đoạn, nâng tồn tại và là duy nhất.

Định lý Galois

Quan hệ với groupoid 
Hàm tử groupoid cơ bản cho ta một tương đương phạm trù

 

giữa phạm trù các phủ của một không gian tô-pô X (giả sử X thỏa mãn một thuộc tính nào đó) và phạm trù các phủ groupoid của 1(X).

Ghi chú

Tham khảo 

 Manetti, Marco (2014). Topology, ISBN 978-3-319-16958-3
 

Lý thuyết đồng luân