Hàm nhân tính hoàn toàn

Trong lý thuyết số, hàm nhân tính hoàn toàn hay hàm nhân tính toàn bộ là một hàm số học giữ lại phép nhân giữa hai số bất kỳ. Nói cách khác, hàm số  định nghĩa trên tập số nguyên dương được gọi là nhân tính hoàn toàn nếu nó thỏa  với mọi số nguyên dương .

Nếu hàm số học  thỏa  với mọi số nguyên dương  nguyên tố cùng nhau thì nó được gọi là hàm nhân tính. Ngoài ngữ cảnh lý thuyết số, thuật ngữ "hàm nhân tính" thường dùng để chỉ hàm nhân tính hoàn toàn.

Định nghĩa 
Một hàm nhân tính hoàn toàn (hay hàm nhân tính toàn bộ) là một hàm số học (hàm số có tập xác định là tập số tự nhiên) , sao cho

với mọi số nguyên dương .

Trong trường hợp  thì ta có  với mọi số tự nhiên . Nếu  thì do , ta suy ra .

Định nghĩa đại số 
Định nghĩa trên có thể viết lại bằng ngôn ngữ của đại số trừu tượng: một hàm nhân tính hoàn toàn là một đẳng cấu từ monoid  (tức là, tập số nguyên dưới phép nhân) vào một monoid khác.

Ví dụ 
Ví dụ đơn giản nhất của hàm nhân tính hoàn toàn (ngoài hàm  với mọi ) là một đơn thức với hệ số bằng 1: hàm số  với  là một số dương bất kỳ. Khi ấy
,

Một số ví dụ không tầm thường khác là hàm Liouville, đặc trưng Dirichlet, ký hiệu Jacobi và ký hiệu Legendre.

Tính chất
Một hàm nhân tính hoàn toàn được xác định chỉ bởi giá trị của nó tại các số nguyên tố, một hệ quả từ định lý cơ bản của số học, phát biểu rằng mọi số tự nhiên đều có một và chỉ một phân tích ra thừa số nguyên tố. Cụ thể, nếu phân tích ra thừa số nguyên tố của  là  thì
.

Trong khi tích chập Dirichlet của hai hàm nhân tính là một hàm nhân tính, tích chập Dirichlet của hai hàm nhân tính hoàn toàn không nhất thiết là nhân tính hoàn toàn.

Một hàm số  là nhân tính hoàn toàn khi và chỉ khi nghịch đảo Dirichlet của nó là , trong đó  là hàm Möbius.

Tính phân phối 
Hàm nhân tính hoàn toàn cũng thỏa mãn một tính chất phân phối. Nếu  là nhân tính hoàn toàn thì

trong đó  ký hiệu tích chập Dirichlet và  là tích tại từng điểm. Một hệ quả của tính chất này là với mọi hàm nhân tính hoàn toàn , ta có:

suy ra bằng cách thế , tức là hàm hằng với giá trị bằng 1. Ở đây  là hàm ước số, trả về số ước của số nguyên dương .

Chứng minh 
Do  là hàm nhân tính hoàn toàn nên nếu  là ước của  thì

Như vậy ta có

Chuỗi Dirichlet
Hàm L của chuỗi Dirichlet nhân tính hoàn toàn thỏa

Xem thêm
Hằng số Hall–Montgomery
Hàm nhân tính
Chuỗi Dirichlet
Hàm L Dirichlet
Hàm số học

Tham khảo

Hàm nhân tính
Lý thuyết số
Hàm nhân