Lớp tương đương

Trong toán học, khi các phần tử của một tập hợp  có quan hệ tương đương với nhau với nhau, ta có thể tách tập  thành các lớp tương đương. Các lớp này được xây dựng sao cho hai phần tử  và  thuộc cùng một lớp tương đương khi và chỉ khi chúng tương đương với nhau.

Cụ thể hơn, cho tập  và quan hệ tương đương  trên   của phần tử  trong  ký hiệu bởi  là tập 

các phần tử tương đương với  Ta có thể chứng minh từ định nghĩa lớp tương đương rằng các lớp tương đương tạo thành phân hoạch tập hợp của  Tập các lớp tương đương này được gọi là tập hợp thương hay không gian thương của  bởi  và ký hiệu bởi 

Khi tập hợp  có một số cấu trúc đại số (ví dụ như đi kèm phép toán nhóm hay là một nhóm topo và quan hệ tương đương  tương thích với cấu trúc đó thì tập thương cũng sẽ giữ cấu trúc thêm vào từ tập mẹ. Các ví dụ bao gồm không gian thương trong đại số tuyến tính, nhóm thương, không gian đồng nhất, vành thương, monoid thương, và các phạm trù thương.

Các ví dụ

 Nếu  là tập tất cả các xe ô tô, and  là quan hệ "có cùng màu với", thì một trong những lớp tương đương sẽ chỉ bao gồm các xe màu hồng, và  có thể coi là tập của các màu xe.
 Gọi  là tập các hình chữ nhật trên mặt phẳng, và  là quan hệ tương đương "có cùng diện tích với", thì với mỗi số thực dương  sẽ có lớp tương đương bao gồm các hình chữ nhật có cùng diện tích 
 Xét quan hệ đồng dư 2 trên tập các số nguyên,  sao cho  khi và chỉ khi hiệu  là số chẵn. Quan hệ này sinh ra hai lớp tương đương, một lớp chứa tất cả các số chẵn và lớp còn lại thì chứa tất cả các số lẻ. 
 Xét  là tập các cặp số nguyên được sắp  với  khác không, và định nghĩa quan hệ tương đương  trên  sao cho  khi và chỉ khi  thì tập các lớp tương đương của cặp  có thể coi ngang với tập các số hữu tỷ  và quan hệ tương đương cùng với lớp tương đương có thể dùng để đưa ra định nghĩa cho tập các số hữu tỉ. Cách xây dựng này có thể tổng quát hóa cho bất cứ trường phân thức của bất kỳ miền nguyên nào.

Định nghĩa và ký hiệu

Quan hệ tương đương trên tập  là quan hệ hai ngôi  trên  thỏa mãn ba tính chất sau:
  với mọi  (phản xạ),
  thì  với mọi  (đối xứng),
 Nếu  và  thì  với mọi  (bắc cầu).

Lớp tương đương  thường được ký hiệu , ,  hoặc  và được định nghĩa là tập  của các phần tử có quan hệ với  bởi .

Tập các lớp tương đương của  với quan hệ tương đương  được ký hiệu bởi  và được gọi là  của  bởi . Phép toàn ánh  từ  tới  ánh xạ từng phần tử sang lớp tương đương của chính nó được gọi là phép chiếu chính tắc.

Mỗi phần tử của mỗi lớp tương đương đều là đặc trưng của lớp đó, và do đó có thể đại diện cho lớp đó. Khi một phần tử trong lớp được chọn, nó được gọi là đại diện của lớp đó. Phép chọn đại diện của mỗi lớp là một đơn ánh từ  sang .

Các tính chất

Mỗi phần tử  thuộc  là phần tử của lớp tương đương  Bất cứ hai lớp tương đương  và  hoặc bằng nhau hoặc không giao nhau. Do đó, tập các lớp tương đương của  tạo thành phân hoạch tập hợp của : mỗi phần tử thuộc  chỉ thuộc duy nhất một lớp tương đương. Ngược lại, mỗi phân hoạch của  đến từ quan hệ tương đương theo cách đó thì,  khi và chỉ khi  và  thuộc chung một tập phân hoạch.

Từ tính chất của quan hệ tương đương, ta có
 khi và chỉ khi 

Nói cách khác, nếu  là quan hệ tương đương trên tập   và  là hai phần tử thuộc  thì các phát biểu sau là tương đương:

Biểu diễn đồ thị

Đồ thị vô hướng có thể dùng với bất cứ quan hệ đối xứng trên tập  với các đỉnh là các phần tử thuộc  và mỗi hai đỉnh  và  được nối với nhau khi và chỉ khi  Đồ thị của quan hệ tương đương là đồ thị mà các thành phần liên thông là các clique.

Xem thêm

Chú thích

Tham khảo

Đọc thêm

Liên kết ngoài

Quan hệ tương đương
Đại số
Quan hệ hai ngôi
Lý thuyết tập hợp