Nhóm con giao hoán tử

Trong toán học, cụ thể hơn là đại số trừu tượng, nhóm con giao hoán tử (hay nhóm dẫn xuất) của một nhóm là nhóm con sinh bởi tất cả các giao hoán tử của nhóm đó. Nhóm con giao hoán tử của một nhóm  thường được ký hiệu là . (nói chung, ký hiệu  thường chỉ nhóm con sinh bởi tập hợp .)

Ví dụ 

 Nhóm con giao hoán tử của một nhóm abel  là nhóm con tầm thường, bởi mọi giao hoán tử đều bằng với phần tử đơn vị.

Abel hóa 

 Nhóm thương  là một nhóm abel. Nó được gọi là abel hóa (abelianization) của nhóm , và thường được ký hiệu là 
 Nếu  là một nhóm con chuẩn tắc của , nhóm thương  là nhóm abel khi và chỉ khi . (một cách trực giác,  "hủy" các phần tử trong ; nếu ta muốn nó là Abel, nó phải hủy tất cả các giao hoán tử, tức là  phải là một tập con của , mà  là một nhóm con, nên ).
 Mọi đồng cấu nhóm  từ  vào một nhóm abel  đều phân tách qua , tức là tồn tại  sao cho , với  là phép chiếu chuẩn tắc.

Chuỗi dẫn xuất 
Chuỗi dẫn xuất của  là một dãy các nhóm  được định nghĩa bởi

 
 

Một nhóm là giải được khi và chỉ khi dãy dẫn xuất là dãy dừng tầm thường, tức là .

Chuỗi tâm 
Chuỗi tâm dưới của  là một dãy các nhóm  được định nghĩa bởi

Chuỗi tâm trên của  là một dãy các nhóm  được định nghĩa bởi

Nhân hoàn hảo 

 Một nhóm  được gọi là hoàn hảo nếu .
 Nhân hoàn hảo của một nhóm  là nhóm con hoàn hảo tối đại của . Nó tồn tại và duy nhất.
 Nhân hoàn hảo của một nhóm giải được hay của một nhóm tự do là tầm thường.

Xem thêm 

 Nhóm giải được 
 Nhóm lũy linh

Chú thích

Tham khảo 

 Fraleigh, John B. (2014). A First Course in Abstract Algebra (ấn bản 7). Pearson. ISBN 978-1-292-02496-7
 Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 0-387-95385-X
 Lathsamivong Kikeo (2011), Tâm và nhóm con giao hoán tử của một số lớp nhóm, Luận văn thạc sĩ toán học
 Wan, Zhexian; Shi, Sheng-Ming (1996). Group Theory in China. Springer Science & Business Media, ISBN 9780792339892.

Lý thuyết nhóm