Trường cyclotomic

Trong lý thuyết số, trường cyclotomic là trường số có được bằng cách mở rộng thêm căn đơn vị  phức cho  là trường các số hữu tỉ.

Trừong cyclotomic đóng vai trò quan trọng trong phát triển đại số hiện đại và lý thuyết số bởi quan hệ của nó với định lý lớn Fermat. Fermat dùng nó trong quá trình nghiên cứu các phép tính trong các trường cho số nguyên tố ) – và chính xác hơn thì, do không thể phân tích duy nhất trong các vành nguyên .

Định nghĩa

Với , đặt ; là căn đơn vị nguyên thủy thứ .  Trường cyclotomic thứ  là mở rộng  của  sinh bởi .

Tính chất
 Đa thức cyclotomic thứ  

không phân tích được, nên nó là đa thức tối tiểu của  trên .
 Liên hợp của  trong  cũng là căn đơn vị nguyên thủy thứ :  với  và .
 Bậc của  là , với  là hàm phi Euler.
 Các nghiệm của  là lũy thừa của , nên  là trường phân rã của  (hoặc của ) trên .
 Do đó,  là mở rộng Galois của .
 Nhóm Galois  đẳng cấu tự nhiên với nhóm nhân , bao gồm các giá trị dư khả nghịch  modulo , tức là các giá trị  với  và .  Phép đẳng cấu biến mỗi  thành , với  là số nguyên sao cho .
 Vành số nguyên của  là .
 Với , biệt thức của mở rộng  là:

Tham khảo

Lý thuyết số đại số
Trường Cyclotomic