Đa thức tối tiểu (lý thuyết trường)

Trong lý thuyết trường, đa thức tối tiểu của , nói một cách đơn giản, là đa thức có bậc nhỏ nhất với hệ số nhất định, sao cho  là nghiệm của đa thức đó. Nếu đa thức tối tiểu của  tồn tại thì nó là duy nhất. Hệ số bậc cao nhất của đa thức phải bằng 1, và các hệ số còn lại có thể là số nguyên, số hữu tỉ, số thực hay những thực thể khác.

Chính xác hơn, một đa thức tối tiểu được định nghĩa dựa trên một mở rộng trường  và một phần tử của trường . Đa thức tối tiểu của phần tử, nếu tồn tại, là một đa thức thuộc , vành đa thức ẩn  với hệ số thuộc . Với phần tử  thuộc , xét  là tập tất cả đa thức  thuộc  sao cho . Phần tử  được gọi là nghiệm hay không điểm của mỗi đa thức trong . Tập  là một ideal của . Đa thức không, với tất cả hệ số bằng 0, xuất hiện trong tất cả tập  và không được tính là đa thức tối tiểu. Nếu tồn tại một đa thức khác đa thức không trong  thì  được gọi là một phần tử đại số trên , và tồn tại một đa thức monic với bậc nhỏ nhất trong . Đây chính là đa thức tối tiểu của  đối với . Nó là duy nhất và bất khả quy trên . Nếu đa thức không là phần tử duy nhất của  thì  được gọi là một phần tử siêu việt trên  và không có đa thức tối tiểu đối với .

Đa thức tối tiểu thường được dùng để xây dựng và phân tích các mở rộng trường. Khi  là đại số với đa thức tối tiểu , trường nhỏ nhất chứa cả  và  là đẳng cấu với vành thương , trong đó  là ideal của  sinh ra bởi . Đa thức tối tiểu cũng được dùng để định nghĩa phần tử liên hợp.

Định nghĩa 

Xét mở rộng trường ,  là một phần tử của , và  là vành đa thức của  trên . Phần tử  có đa thức tối tiểu khi  đại số trên , tức là  với một đa thức  khác 0 trong . Khi ấy đa thức tối tiểu của  được định nghĩa là đa thức monic có bậc nhỏ nhất trong số các đa thức trong  nhận  làm nghiệm.

Tính duy nhất 

Giả sử  là đa thức tối tiểu của  đối với . Tính duy nhất của  được chứng minh bằng cách xét đồng cấu vành  từ  đến  thay  cho , tức là . Hạt nhân của , , là tập hợp tất cả đa thức thuộc  nhận  làm nghiệm. Nói cách khác, . Do  là một đồng cấu vành,  là một ideal của . Do  là một trường nên  là vành chính, suy ra có ít nhất một đa thức thuộc  sinh ra . Đa thức như thế sẽ có bậc nhỏ nhất trong tất cả đa thức khác không trong , và  được chọn là đa thức monic duy nhất trong các đa thức này.

Một chứng minh khác như sau. Giả sử  và  đều là đa thức monic trong  với bậc nhỏ nhất . Do  và , ta phải có , hay .

Tính chất 

Đa thức tối tiểu là bất khả quy. Chứng minh: xét mở rộng trường  như trên,  và  là đa thức tối tiểu của . Giả sử điều ngược lại, , trong đó ,  là các đa thức thuộc  với bậc nhỏ hơn . Do trường cũng là miền nguyên và  nên ta phải có  hoặc . Điều này mâu thuẫn với giả thiết  có bậc nhỏ nhất. Do đó điều giả sử là sai,  là đa thức bất khả quy.

Ví dụ 

Nếu ta lấy , , , thì đa thức tối tiểu của  là . Trường  đóng vai trò quan trọng vì nó xác định các hệ số của . Ví dụ, nếu ta lấy  thì đa thức tối tiểu cho  là .

Nếu  thì đa thức tối tiểu trong  là .

Đa thức tối tiểu trong  của tổng căn bậc hai của  số nguyên tố đầu tiên được xây dựng tương tự, và được gọi là đa thức Swinnerton–Dyer.

Đa thức tối tiểu trong  của các nghiệm đơn vị là các đa thức cầu phân.

Tham khảo 

 
 
 

Đa thức
Lý thuyết trường