Miền nguyên

Trong toán học, cụ thể là đại số trừu tượng, một miền nguyên là một vành giao hoán (có đơn vị) khác không trong đó tích của hai phần tử khác không là khác không; nói cách khác, nó không có ước của không.

Trong một miền nguyên, mọi phần tử khác không a có tính giản ước, có nghĩa là, nếu  và  thì .

Ví dụ 

 Ví dụ điển hình là vành các số nguyên . 
 Trường là một miền nguyên.
 Vành đa thức với hệ số trong một miền nguyên thì là một miền nguyên.
 Vành  là một miền nguyên nếu  không phải là số chính phương.

Phản ví dụ 
Các vành sau đây không phải là miền nguyên.

 Vành không (vành trong đó ).
 Vành thương  khi m là một hợp số. Thật vậy, chọn một cách phân tích  (với  và  khác  và khác ). Thế thì  và , nhưng .

Tính chất 

 Một vành giao hoán R là một miền nguyên khi và chỉ khi i-đê-an (0) trong R là một i-đê-an nguyên tố.
 Nếu R là một vành giao hoán và P là một i-đê-an trong R, thì vành thương R/P là một miền nguyên khi và chỉ khi P là một i-đê-an nguyên tố.
 Đặt R là một miền nguyên. Thế thì vành đa thức với hệ số trong R (với mọi lực lượng biến số) là một miền nguyên. Nói riêng, vành đa thức với hệ số trong một trường là một miền nguyên.
 Một miền nguyên có tính giản ước.
 Một giới hạn quy nạp của các miền nguyên là một miền nguyên.
 Nếu  là các miền nguyên trên một trường đóng đại số k, thì  là một miền nguyên. Đây là hệ quả của định lý không điểm Hilbert.

Trường phân thức 
Trường phân thức K của một miền nguyên R là tập hợp các phân số a/b với a và b trong R và b ≠ 0 modulo một quan hệ tương đương phù hợp, được trang bị các phép nhân và cộng. Trường phân thức của  là trường các số hữu tỷ  Trường phân thức của một trường thì đẳng cấu với trường đó

Hình học đại số 
Một vành là một miền nguyên khi và chỉ khi nó là vành giảm (tức là nếu x2 = 0 thì x = 0) và vành bất khả quy (tức là tồn tại một i-đê-an nguyên tố tối tiểu duy nhất).

Điều này được dịch sang ngôn ngữ của hình học đại số rằng vành tọa độ của một tập hợp đại số a-phin là một miền nguyên khi và chỉ khi tập hợp đó là một đa tạp đại số.

Ngoài ra, một vành giao hoán là một miền nguyên khi và chỉ khi phổ của nó là một lược đồ a-phin nguyên.

Chú thích

Tham khảo 

      
 
 BL van der Waerden, Đại số, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1966.
 

    
    
 

 Nghiêm Xuân Cảnh (2008), Mô đun tự do trên vành chính, (Luận văn thạc sĩ toán học), Trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh   

    

Các thuộc tính vành