Đa tạp Riemann

Trong hình học vi phân, một đa tạp Riemann hoặc không gian Riemann  là một đa tạp thực trơn M được trang bị với một tích vô hướng gp xác định dương trên không gian tiếp tuyến TpM tại mỗi điểm p. Theo qui ước, g là một tích vô hướng trơn. Tức là với mọi bản đồ trơn (U, x) trên M, n2 hàm

 

là các hàm trơn. Tương tự, ta có thể xét các mêtric Riemann Lipschitz hoặc các mêtric Riemann đo được, vân vân.

Họ các tích vô hướng gp nói trên được gọi là mêtríc Riemann (hay tenxơ mêtric Riemann). Những thuật ngữ này được đặt theo tên nhà toán học người Đức Bernhard Riemann. Ngành nghiên cứu về các đa tạp Riemann được gọi là hình học Riemann.

Một một (tenxơ) mêtríc Riemann cho phép định nghĩa một số khái niệm hình học trên các đa tạp Riemann, chẳng hạn như góc tại một giao điểm, chiều dài đường cong, diện tích bề mặt và các đại lương chiều cao tương ứng (thể tích, v.v.), độ cong ngoại biên của các đa tạp con, và độ cong nội tại của chính đa tạp lớn.

Định nghĩa 
Một đa tạp Riemann  là một đa tạp trơn với một 2-ten-xơ  sao cho

  đối xứng, tức là 
  xác định dương, tức là .

Ví dụ 

 Đường tròn  cùng với ten-xơ  (thường được ký hiệu là ) là một đa tạp Riemann. Nó là đường tròn có bán kính bằng .

Độ dài cung 
Với mọi cung (khả vi) , ta định nghĩa độ dài của cung  là giá trị . Giá trị này độc lập với cách ta tham số hóa .

Khoảng cách 
Nếu  là một đa tạp Riemann liên thông (và do đó liên thông cung do  là không gian Euclid địa phương), ta có thể định nghĩa khoảng cách Riemann giữa hai điểm  như là infimum của các độ dài cung nối  và . Không gian metric cảm sinh có chung tô pô với .

Liên thông Levi-Civita 
Ứng với mỗi đa tạp Riemann , tồn tại một liên thông tuyến tính  trên  được gọi là liên thông Levi-Civita.

Xem thêm 

 HÌnh học Riemann
 Đa tạp Finsler
 Ten-xơ metric

Tham khảo

Thư mục

 Lee, John, 1997, Introduction to Riemannian Manifolds, Springer, ISBN 0-387-98271-X
 Đoàn Quỳnh, 2000, Hình học vi phân, Nhà xuất bản giáo dục
 Khu Quốc Anh và đồng nghiệp (2011), Lí thuyết liên thông và Hình học Riemann, Nhà xuất bản Đai học sư phạm Hà Nội

Liên kết ngoài 

 

Đa tạp