Định lý Routh

Trong hình học phẳng, Định lý Routh nói về tỉ lệ diện tích tam giác tạo bởi ba đường thẳng cevian và tam giác ban đầu. Định lý này phát biểu rẳng nếu tam giác  các điểm , , và  lần lượt nằm trên các cạnh , , và , đặt , , và , khi đó tỉ số diện tích của tam giác tạo bởi ba đường thẳng cevian , , và  bằng diện tích của tam giác  nhân với hệ số:

 

Định lý được đưa ra bởi Edward John Routh tại trang 82 trong tài liệu Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples năm 1896. Khi  trở thành trường hợp đặc biệt Khu vực một phần bảy diện tích tam giác. Trường hợp  định lý này suy biến thành định lý Ceva.

Chứng minh

Giả sử diện tích tam giác  là 1. Cho tam giác  và đường thẳng  sử dụng định lý Menelaus, chúng ta có:

Do đó 
Như vậy diện tích của tam giác  là:

Tương tự như vậy chúng ta có diện tích tam giác:  và 
Do đó diện tích tam giác  là:

Xem thêm
 Định lý Ceva

Tham khảo 

 Murray S. Klamkin and A. Liu (1981) "Three more proofs of Routh's theorem", Crux Mathematicorum 7:199–203.
H. S. M. Coxeter (1969) Introduction to Geometry, statement p. 211, proof pp. 219–20, 2nd edition, Wiley, New York.
J. S. Kline and D. Velleman (1995) "Yet another proof of Routh's theorem" (1995) Crux Mathematicorum 21:37–40
 Routh's Theorem, Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project. 
 
 Routh's Theorem by Cross Products at MathPages
 Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) "Routh's theorem revisited", Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.

Liên kết ngoài

Routh
Hình học
Routh
Hình học afin
Hình học Euclid
Hình học sơ cấp
R
Định lý trong hình học phẳng
Diện tích
Hình học tam giác