Logarit tự nhiên của 2

Giá trị thập phân của logarit tự nhiên của 2  xấp xỉ bằng

 

Logarit cơ số khác của 2 được tính bằng công thức

 

Logarit cơ số 10 của 2 là ()

 

Nghịch đảo của con số trên là logarit nhị phân của 10:

  ().

Theo định lý Lindemann–Weierstrass, logarit tự nhiên của bất kỳ số tự nhiên nào khác 0 và 1 (tổng quát hơn, của bất kỳ số đại số dương nào khác 1) là một số siêu việt.

Biểu diễn dạng chuỗi

Chuỗi giai thừa đảo dấu 

  Đây là "chuỗi điều hòa đổi dấu" quen thuộc.

Chuỗi giai thừa nhị phân

Các biểu diễn dạng chuỗi khác 

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  sử dụng

Liên quan đến hàm zeta Riemann 

 
 
 
( là hằng số Euler–Mascheroni và  là hàm zeta Riemann.)

Biểu diễn dạng BBP 

Áp dụng ba chuỗi tổng quát cho logarit tự nhiên của 2 ta được:

Áp dụng cho  ta được:

Áp dụng cho  ta được:

Áp dụng cho  ta được:

Biểu diễn dạng tích phân 
Logarit tự nhiên của 2 thường xuyên xuất hiện trong các kết quả lấy tích phân. Một số công thức cụ thể bao gồm:

Biểu diễn khác 
Khai triển Pierce là 

Khai triển Engel là 

Khai triển cotang là 

Phân số liên tục đơn giản là 
,
cho ta những xấp xỉ hữu tỉ đầu tiên là  và 

Phân số liên tục tổng quát:
,
cũng có thể viết dưới dạng

Tính những logarit khác 
Sử dụng giá trị của , ta có thể tính logarit của các số tự nhiên khác bằng cách lập bảng logarit của các số nguyên tố rồi tính logarit của các hợp số  dựa trên phân tích ra thừa số nguyên tố của nó

Bảng logarit của các số nguyên tố

Logarit của các số hữu tỉ  có thể tính bằng công thức , và logarit của căn bằng .

Logarit tự nhiên của 2 có ích bởi các lũy thừa của 2 phân bố dày đặc hơn những lũy thừa khác; tìm những lũy thừa  gần với lũy thừa  của số  nào khác là tương đối dễ dàng, và biểu diễn chuỗi của  có thể tính bằng Chuyển đổi logarit.

Tính toán chữ số 
Sau đây là bảng những kỷ lục gần đây trong việc tính toán các chữ số của . Tính đến tháng 12 năm 2018, logarit của 2 đã có nhiều chữ số được tính hơn bất kỳ logarit tự nhiên của số tự nhiên nào khác, ngoại trừ 1.

Xem thêm 
Quy tắc 72
Chu kỳ bán rã
Phương trình Erdős–Moser

Tham khảo

Liên kết ngoài 
 
 
 

Lôgarit
Hằng số toán học
Số thực siêu việt