Số quay

Trong toán học, số quay là một bất biến gắn với một phép đồng phôi của đường tròn.

Định nghĩa 
Giả sử f: S 1 → S 1 là một phép đồng phôi bảo toàn định hướng của đường tròn S1=R/Z. Thế thì f có thể được nâng lên thành một phép đồng phôi duy nhất F:R→R của đường thẳng thực, thỏa mãn

 

với mọi số thực x và mọi số nguyên m.

Số quay của f được xác định bởi:

 

Henri Poincaré đã chứng minh rằng giới hạn này tồn tại và độc lập với sự lựa chọn điểm bắt đầu x. Số quay là một phần tử của R/Z. Một cách trực quan, nó đo góc quay trung bình dọc theo quỹ đạo của f.

Ví dụ 
Nếu f là một phép quay với góc 2πθ (trong đó 0≤θ <1), thì

 

do đó số quay của f là θ.

Tính chất 
Số quay là bất biến dưới liên hợp tôpô: nếu f và g là hai phép đồng phôi của đường tròn và

 

với một ánh xạ liên tục đơn điệu h từ đường tròn vào chính nó (không nhất thiết là đồng phôi) thì f và g có cùng số quay.

Số quay được Poincaré và Arnaud Denjoy sử dụng để phân loại các phép đồng phôi của đường tròn. Có hai khả năng:

 Số quay f là số hữu tỷ p/q (phân số tối giản). Khi đó f có quỹ đạo tuần hoàn, mọi quỹ đạo đều có chu kỳ q. 
 Số quay của f là một số vô tỷ θ. Thế thì f không có quỹ đạo tuần hoàn. Có hai trường hợp con:

 Có một quỹ đạo trù mật.  
 Tồn tại một tập hợp Cantor C bất biến dưới tác động của f.

Số quay là một ánh xạ liên tục từ nhóm các phép đồng phôi (với tô pô ) của đường tròn vào đường tròn.

Tham khảo 

 M.R. Herman, Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations,  Publ. Math. IHES, 49 (1979)  pp. 5–234
 Sebastian van Strien, Rotation Numbers and Poincaré's Theorem (2001)

Liên kết ngoài 

 Michał Misiurewicz (ed.). "Rotation theory". Scholarpedia 
 Weisstein, Eric W. "Map Winding number" Từ MathWorld - Tài nguyên web Wolfram

Hệ thống động lực