Nhóm con chuẩn tắc

Trong đại số, nhóm con chuẩn tắc (hay còn gọi là nhóm con bất biến hoặc nhóm con tự liên hợp) là nhóm con bất biến dưới mọi tác động liên hợp. Nói cách khác, nhóm con  của nhóm  được gọi là chuẩn tắc trong  nếu và chỉ nếu  với mọi  thuộc ; tức là tập các lớp kề trái và các lớp kề phải trùng nhau. Ta có thể xây dựng nhóm thương từ một nhóm con chuẩn tắc cho trước. Một nhóm , không tầm thường, không có nhóm con chuẩn tắc nào ngoài nhóm con tầm thường và chính nó, được gọi là một nhóm đơn.

Évariste Galois là người đầu tiên nhận ra tầm quan trọng của sự tồn tại của nhóm con chuẩn tắc.

Định nghĩa 
Nhóm con  của nhóm  được gọi là nhóm con chuẩn tắc của  nếu nó không đổi dưới phép liên hợp; tức là liên hợp của một phần tử thuộc  bởi một phần tử của  luôn nằm trong   Ký hiệu thường dùng cho quan hệ này là

Các điều kiện tương đương
Cho bất kỳ nhóm con  của  các điều kiện sau đều tương đương với việc  là nhóm con chuẩn tắc của  Do đó có thể dùng tuỳ ý một trong số chúng để làm định nghĩa

 Ảnh của phép liên hợp của  bằng bất kỳ phần tử của  là tập con của 
 Ảnh của phép liên hợp của  bằng bất kỳ phần tử của  bằng với 
 Với mọi  lớp kề trái  và lớp kề phải  luôn bằng nhau.
 Tập hợp của lớp kề trái và tập của lớp kề phải  trong  bằng nhau.
 Tích của lớp kề trái của  tương ứng với  và một phần tử của lớp kề trái của  tương ứng với  là một phần tử của lớp kề trái của  tương ứng với : với mọi  nếu and  thì 
  là hợp của các lớp liên hợp của 
  được bảo toàn bởi các phép tự đẳng cấu trong của 
 Có một số đồng cấu từ  có nhân là 
 Có một số quan hệ tương đẳng trên  mà lớp tương đương của phần tử đơn vị là .
 Với mọi  và  giao hoán tử  luôn nằm trong

Các ví dụ 
Cho bất kỳ nhóm  nhóm tầm thường  chỉ bao gồm phần tử đơn vị của  luôn là nhóm con chuẩn tắc của   Tương tư,  chính nó cũng luôn là nhóm con chuẩn tắc của  (Nếu đây là hai nhóm con chuẩn tắc thì  được gọi là nhóm đơn.)  Các tên khác cho nhóm con chuẩn tắc bao gồm tâm của nhóm (tập các phần tử giao hoán với các phần tử còn lại) và nhóm con giao hoán tử   Tổng quát hơn, bởi phép liên hợp là đẳng cấu nên bất kỳ nhóm con đặc trưng cũng là nhóm con chuẩn tắc.

Nếu  là nhóm giao hoán thì mọi nhóm con  của  là nhóm con chuẩn tắc, bởi vì  Nhóm không giao hoán nhưng mọi nhóm con của nó đều chuẩn tắc được gọi là nhóm Hamilton.

Một ví dụ cụ thể là với mỗi số nguyên  cho trước, nhóm các số nguyên  có các nhóm con chuẩn tắc  bao gồm các bội số của . Nhóm thương  là nhóm các lớp đồng dư theo mô-đun .

Một ví dụ cụ thể khác là nhóm con chuẩn tắc  của nhóm đối xứng  bao gồm phần tử và hai xích độ dài ba quy nhất.  Cụ thể hơn, ta có thể kiểm tra rằng mọi lớp kề của  hoặc bằng với chính  hoặc bằng với   Mặt khác, nhóm  không chuẩn tắc trong  bởi  Ví dụ này minh hoạ việc bất kỳ nhóm con  có chỉ số bằng hai thì là nhóm con chuẩn tắc.

Nhóm thay phiên  là một nhóm đơn, tức là nó chỉ có hai nhóm con chuẩn tắc:  và chính .  là nhóm đơn không giao hoán có lực lượng nhỏ nhất. Các nhóm  với  là một số nguyên tố đều là các nhóm đơn giao hoán. Chúng không có nhóm con chuẩn tắc nào ngoài hai nhóm con chuẩn tắc tầm thường.

Trong nhóm lập phương Rubik, các nhóm con chứa các phép biến đổi hướng của các khối ở góc hoặc ở cạnh thì chuẩn tắc.

Nhóm tịnh tiến là nhóm con chuẩn tắc của nhóm Euclid trong bất kỳ số chiều. Điều này có là thực hiện bất kỳ phép biến đổi hình học nào, rồi tịnh tiến một đoạn rồi biến đổi hình học ngược lại sẽ không khác gì một bước tịnh tiến. Ngược lại, nhóm của các phép quay quanh gốc toạ độ không phải nhóm con chuẩn tắc của nhóm Euclid khi số chiều lớn hơn hoặc bằng hai (bởi tịnh tiến, rồi quay quanh gốc toạ độ, rồi tịnh tiến về sẽ không giữ cố định gốc toạ độ và do đó không cùng giá trị với một phép quay quanh gốc toạ độ.

Các tính chất 

 Nếu  là nhóm con chuẩn tắc của  và  là nhóm con của  và chứa  thì  cũng là nhóm con chuẩn tắc của 
 Nhóm con chuẩn tắc của một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm không nhất thiết cũng phải chuẩn tắc trong nhóm đó. Tức là tính chuẩn tắc không cần phải là quan hệ bắc cầu. Nhóm nhỏ nhất có hiện tượng này là nhóm nhị diện cấp 8. Song, nhóm con đặc trưng của nhóm con chuẩn tắc thì cũng chuẩn tắc. Nhóm có tính chuẩn tắc tuân theo quan hệ bắc cầu được gọi là T-nhóm.
 Hai nhóm  và  là nhóm con chuẩn tắc của tích trực tiếp của chúng 
 Nếu nhóm  là tích nửa trực tiếp  thì  chuẩn tắc trong  còn  thì không nhất thiết phải chuẩn tắc trong 
 Nếu  và  là nhóm con chuẩn tắc của nhóm cộng  sao cho  và , thì 
 Tính chuẩn tắc được bảo toàn dưới các toàn ánh; nghĩa là nếu ánh xạ  là toàn cấu nhóm và  chuẩn tắc trong  thì ảnh  chuẩn tắc trong 
 Tính chuẩn tắc được bảo toàn bằng cách lấy ảnh ngược; nghĩa là, nếu ánh xạ  là đồng cấu nhóm và  chuẩn tắc trong  thì ảnh ngược  chuẩn tắc trong 
 Tính chuẩn tắc được bảo toàn dưới tích trực tiếp; nghĩa là nếu  và  thì 
 Mọi nhóm con của chỉ số bằng hai đều là nhóm con chuẩn tắc. Tổng quát hơn là, các nhóm con  có chỉ số hữu hạn  trong  và chứa nhóm con  chuẩn tắc trong  và có chỉ số là ước của  được gọi là lõi chuẩn tắc . Cụ thể hơn, nếu  là ước nguyên tố nhỏ nhất của cấp của  thì mọi nhóm con có chỉ số  đều chuẩn tắc.
 Dựa trên việc nhóm con chuẩn tắc của  là nhân của đồng cấu nhóm được định nghĩa trên , ta có thể phân loại bên trong các đồng cấu nhóm được định nghĩa trong đó. Lấy ví dụ chẳng hạn, nhóm hữu hạn không tầm thường là nhóm đơn khi và chỉ khi nó đẳng cấu với tất cả ảnh đồng cấu không tầm thường của nó, nhóm hữu hạn được gọi là nhóm hoàn hảo khi và chỉ khi nó không có nhóm con chuẩn tắc có chỉ số là số nguyên tố, và không hoàn hảo khi và chỉ nhóm con dẫn xuất của nó không được phụ hợp bởi bất kỳ nhóm con chuẩn tắc thực sự nào

Dàn của nhóm con chuẩn tắc 
Cho hai nhóm con chuẩn tắc  và  của   Khi đó giao  và tích  đều là nhóm con chuẩn tắc của  

Các nhóm con của  tạo thành một dàn dưới quan hệ chứa trong với phần tử nhỏ nhất,  và phần tử lớn nhất  Gặp của hai nhóm con chuẩn tắc  và  trong dàn này là giao của chúng và nối của hai nhóm con này là tích của chúng.

Dàn này đầy đủ và modula.

Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương và đồng cấu 

Nếu  là nhóm con chuẩn tắc thì ta có thể định nghĩa phép toán trên các lớp kề như sau: 

Quan hệ này định nghĩa ánh xạ  Để chứng minh ánh xạ này được xác định, ta cần chứng minh lựa chọn các phần tử đại diện  không làm thay đổi kết quả. Để làm điều đó, xét các phần tử đại diện khác  Khi đó tồn tại  sao cho  Từ đây và ta cũng dùng thêm ý  là nhóm con , để do vậy tồn tại  sao cho  Điều này chứng minh phép toán được xác định.

Cùng với phép toán này, tập các lớp kề được gọi nhóm thương và được ký hiệu bằng  Có đồng cấu tự nhiên,  cho bởi  Đồng cấu này ánh xạ  sang phần tử đơn vị của  là lớp kề  tức là, 

Trong tổng quát, đồng cấu nhóm  gửi mỗi nhóm con của  thành nhóm con của  Bên cạnh đó, tiền ảnh của bất kỳ nhóm con của  là nhóm con của  Ta gọi tiền ảnh của nhóm tầm thường  trong  là hạt nhân (hay nhân) của đồng cấu nhóm và ký hiệu nó bởi  Hạt nhân luôn chuẩn tắc và ảnh của  luôn đẳng cấu với  (theo định lý đẳng cấu đầu tiên). Hơn nữa, tương xứng này còn là song ánh giữa tập của nhóm thương của  và tập các ảnh đồng cấu  (xê xích đẳng cấu). Cũng dễ nhận thấy rằng hạt nhân của ánh xạ thương,  chính là , và các nhóm con chuẩn tắc là hạt nhân của các ánh xạ có miền xác định

Nhóm con chuẩn tắc và định lý Sylow

Định lý Sylow thứ hai phát biểu rằng: Nếu  và  là hai p-nhóm con Sylow của nhóm , thì tồn tại  sao cho 

Đây là hệ quả trực :
Gọi  là nhóm hữu hạn và  là p-nhóm con Sylow với  là số nguyên tố. Khi đó  chuẩn tắc trong  khi và chỉ khi  là p-nhóm con Sylow duy nhất của .

Xem thêm 

 Nhóm thương
 Lớp kề
 Nhóm hoàn hảo

Tham khảo

Thư mục 

 C.D. Cantrell (2000), Modern Mathematical Methods for Physicists and Engineers. Cambridge University Press
 Hoàng Xuân Sính (1972), Đại số đại cương, Nhà xuất bản giáo dục
 Thomas Hungerford (2003). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer
 Marc Hindry, Cours d'algèbbre au magistère de Cachan
 Nguyễn Tiến Quang, (2008), Đại số đại cương, Nhà xuất bản giáo dục

C