Giới hạn Laplace

Trong toán học, giới hạn Laplace, hằng số Laplace hay hằng số giới hạn Laplace là giá trị tâm sai lớn nhất mà nghiệm của phương trình Kepler tồn tại, và được biểu diễn dưới dạng một chuỗi lũy thừa của tâm sai. Giá trị của nó là

  .

Tính chất 
Phương trình Kepler biểu diễn mối quan hệ giữa các tính chất hình học của quỹ đạo một vật thể chịu tác dụng của một lực xuyên tâm. Nó có dạng:

,

trong đó  là độ bất thường trung bình,  là độ bất thường lệch tâm của một vật thể di chuyển theo quỹ đạo hình elíp với tâm sai . Phương trình này không thể giải tìm  bằng các hàm sơ cấp, tuy nhiên định lý nghịch đảo Lagrange cho ta nghiệm dưới dạng một chuỗi lũy thừa của :

 

Công thức tổng quát là:

Laplace nhận ra rằng chuỗi này hội tụ với  bé, nhưng phân kỳ với mọi  không phải là bội của  khi giá trị tâm sai   vượt quá một hằng số nhất định, không phụ thuộc vào . Giá trị đó chính là giới hạn Laplace , và cũng là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa này.

Một biểu diễn khác là nếu ta gọi  là nghiệm dương của phương trình  (trong đó  là hàm cotang hyperbolic) thì . Từ đây có thể suy ra giá trị lớn nhất của hàm số  chính là , đạt tại .

Ngoài ra,  là nghiệm dương duy nhất của phương trình

Xem thêm

Độ lệch tâm quỹ đạo
Phương trình Kepler

Tham khảo

Liên kết ngoài 
 
 OEIS dãy A033259 (Biểu diễn thập phân của hằng số giới hạn Laplace)

Quỹ đạo
Hằng số toán học
Chuỗi toán học