Cực và đường thẳng đối cực

Trong lĩnh vực hình học phẳng, Cực và đối cực là các khái niệm lần lượt nói về điểm và đường thẳng có các tính chất đặc biệt trong mối quan hệ với đường conic cho trước.

Trường hợp đường conic là đường tròn tâm O bán kính R ký hiệu (O,R). Gọi A là điểm trong mặt phẳng và A' là điểm trên đường thẳng OA sao cho  khi đó điểm A', A là nghịch đảo (liên hợp) của nhau qua đường tròn (O,R). Đường thẳng qua A' và vuông góc với OA được là đường thẳng đối cực của điểm A trong mối quan hệ với đường tròn (O,R).

Khi ba điểm đôi một (nghịch đảo) liên hợp với nhau ta gọi tam giác có đỉnh là ba điểm đó là tam giác liên hợp.

Trường hợp tổng quát, cho một đường conic S và một điểm P và một đường thẳng L trong mặt phẳng chứa S, đường thẳng L được gọi là đường thẳng đối cực của điểm P và điểm P gọi là cực của đường thẳng L trong mối quan hệ với đường conic nếu có đường thẳng đi qua P cắt đường conic tại hai điểm H, G và cắt đường thẳng L tại I ta có hệ thức sau:

Tính chất
 Cho đường đường conic S và điểm P khi đó đường thẳng đối cực của P sẽ đi qua điểm tiếp xúc của tiếp tuyến kẻ từ P đến đường conic
 Đường thẳng qua P cắt đường conic tại hai điểm H, G và cắt đường thẳng đối cực của P tại I ta có hệ thức sau: 
 Tiếp tuyến của qua B cắt hai tiếp tuyến kẻ từ P tới đường conic tại điểm A, C cắt đường thẳng đối cực của P tại D khi đó ta có: 
 Ba điểm thẳng hàng khi và chỉ khi ba đường đối cực của chúng đồng quy.
 Bốn điểm lập thành 1 hàng điểm điều hòa khi và chỉ các đường đối cực của chúng lập thành 1 chùm điều hòa.
 Từ P có thể kẻ hai tiếp tuyến đến đường conic thì đường thẳng nối hai tiếp điểm chính là đường thẳng đối cực của điểm P trong mối quan hệ với conic đó.

Định lý La Hire
Ba đường thẳng đối cực đồng quy nếu và chỉ nếu ba điểm cực thẳng hàng.

Xem thêm
 Định lý Pascal
 Định lý Đào (conic)

Tham khảo

 Durell, C. V. "Poles and Polars." Ch. 9 in Modern Geometry: The Straight Line and Circle. London: Macmillan, pp. 93–97, 1928.
 Casey, J. "Theory of Poles and Polars, and Reciprocation." §6.7 in A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples, 5th ed., rev. enl. Dublin: Hodges, Figgis, & Co., pp. 141–148, 1888.
 
 Dörrie, H. 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions. New York: Dover, p. 157, 1965.
 Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 100–106, 1929.
 
 
  The paperback version published by Dover Publications has the ISBN 978-0-486-41147-7.

Liên kết ngoài
 Interactive animation with multiple poles and polars at Cut-The-Knot
 Interactive animation with one pole and its polar 
 
 
 
 
 Tutorial  at Math-abundance

Hình học Euclid
Hình học sơ cấp
Định lý hình học
Định lý trong hình học phẳng
Đường cong bậc hai
Hình học phẳng Euclid