Trường Euclid

Trong toán học, một trường Euclid là một trường sắp thứ tự  mà mọi phần tử không âm đều là một số chính phương. Tức là, với  thuộc  nghĩa là  với một  nào đó thuộc .

Tính chất 
 Mọi trường Euclid là một trường Pythagoras sắp thứ tự, nhưng điều ngược lại không đúng.
 Nếu  là một mở rộng trường hữu hạn, và  là một trường Euclid thì  cũng là Euclid. Tính chất "đi xuống" này là một hệ quả của định lý Diller–Dress.

Ví dụ 
 Trường số thực  với các phép toán và thứ tự thông thường tạo thành một trường Euclid.
 Trường các số đại số thực  là một trường Euclid.
 Các số dựng được, những độ dài có thể dựng được từ một đoạn hữu tỉ bằng phép dựng hình bằng thước kẻ và compa, tạo thành một trường Euclid.
 Trường các số siêu thực là một trường Euclid.

Phản ví dụ 
 Trường số hữu tỉ  với các phép toán và thứ tự thông thường không tạo thành một trường Euclid. Ví dụ, 2 không phải là số chính phương trong  vì căn bậc hai của 2 là số vô tỉ.  By the going-down result above, no algebraic number field can be Euclidean.
 Trường số phức  không tạo thành một trường Euclid vì nó không phải là trường sắp thứ tự.

Tham khảo

Sách tham khảo

Liên kết ngoài
 

Lý thuyết trường