Chuỗi hợp thành

Trong đại số trừu tượng, một chuỗi hợp thành (hay còn gọi là dãy hợp thành) cung cấp một cách để phá vỡ cấu trúc đại số, chẳng hạn như một nhóm hoặc một mô-đun, thành các thành phần đơn giản.

Một chuỗi hợp thành không nhất thiết tồn tại; nếu nó tồn tại thì nó cũng không nhất thiết phải là duy nhất. Tuy nhiên, dưới một số điều kiện cụ thể, một nhóm các kết quả được biết đến dưới tên chung định lý Jordan Hölder khẳng định rằng bất cứ khi nào chuỗi hợp thành tồn tại, các lớp đẳng cấu của các mảnh đơn giản và số bội của chúng được xác định duy nhất (tuy nhiên vị trí của chúng trong chuỗi có thể thay đổi). Do đó, chuỗi hợp thành có thể được sử dụng để định nghĩa các bất biến của các nhóm hữu hạn và các mô đun Artin.

Nhóm 
Một chuỗi hợp thành của một nhóm G là một chuỗi các nhóm con chuẩn tắc có độ dài hữu hạn

 

, sao cho mỗi Hi là một nhóm con chuẩn tắc thực sự tối đaị của Hi +1. Một cách tương đương, một chuỗi hợp thành là một chuỗi chuẩn tắc sao cho mỗi nhóm thương Hi +1/Hi là đơn.

Ví dụ 

 Với ,  là một chuỗi hợp thành của nhóm đối xứng . Các nhóm thương lần lượt là  và .
  là một chuỗi hợp thành của .

Tính duy nhất: Định lý Jordan Hölder 

 Định lý - Giả sử nhóm  có một chuỗi hợp thành với độ dài . Khi đó, mọi chuỗi hợp thành của  cũng có độ dài . Đồng thời, các thương hợp thành đều lần lượt đẳng cấu với nhau (sau một phép hoán vị nếu cần).

Ví dụ 

 Nhóm xiclic  có vài chuỗi hợp thành  và . Các dãy thương hợp thành tương ứng là  và

Mô-đun 
Cho một vành R và một R -mô-đun M, một chuỗi hợp thành của M là một chuỗi các mô-đun con

 

trong đó tất cả các phép bao hàm đều là ngặt và Jk là mô-đun con tối đại của Jk +1 với mọi k.

Tính duy nhất: Định lý Jordan Hölder 

 Định lý - Giả sử mô-đun  có một chuỗi hợp thành với độ dài . Khi đó, mọi chuỗi hợp thành của  cũng có độ dài . Đồng thời, các thương hợp thành đều lần lượt đẳng cấu với nhau (sau một phép hoán vị nếu cần).

Xem thêm 

 Lý thuyết Krohn-Rhodes 
 Định lý sàng lọc Schreier 
 Bổ đề Zassenhaus

Ghi chú

Tham khảo 

 Birkhoff, Garrett,  
 Baumslag, Benjamin, 2006, A simple way of proving the Jordan-Holder-Schreier theorem, American Mathematical Monthly 
 Isaacs, I. Martin, 1994, Algebra: A Graduate Course, Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-19002-6 
 Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre, 2006, Categories and sheaves 
 Lê Thị Thanh Nhàn, Vũ Mạnh Xuân, 2007, Giáo trình Lý thuyết nhóm, Nhà xuất bản ĐHQGHN 
 Nguyễn Chánh Tú, 2006, Mở rộng trường và lý thuyết Galois
 Võ Thị Ngọc Bích, 2012, Định lý Brauer và ứng dụng của nó để mô tả các biểu diễn bất khả qui của một số nhóm hữu hạn, Luận văn thạc sĩ toán học

Lý thuyết nhóm