Chuyển vị liên hợp

Trong toán học, chuyển vị liên hợp (conjugate transpose) của một ma trận phức  cỡ  là một ma trận thu được bằng cách chuyển vị  và lấy liên hợp phức của từng hệ số trong ma trận  (liên hợp phức của số phức  là , với hai số thực  và ). Chuyển vị liên hợp có kích cỡ  và thường được ký hiệu là  hay  hay , hoặc một ký hiệu rất thường gặp trong vật lý là . Nó còn được gọi là chuyển vị Hermite, theo tên của nhà toán học Pháp Charles Hermite, hoặc chỉ đơn giản là liên hợp (adjoint).

Đối với các ma trận thực, chuyển vị liên hợp chỉ đơn giản là chuyển vị, .

Định nghĩa 
Chuyển vị liên hợp của một ma trận  cỡ  được định nghĩa chính tắc là:trong đó chỉ số  ký hiệu cho hệ số thứ  trong ma trận, với  và , và gạch ngang trên ký hiệu liên hợp phức vô hướng.

Định nghĩa trên còn có thể được viết dưới dạng

 

trong đó  ký hiệu cho chuyển vị và  ký hiệu cho ma trận với các số hạng được lấy liên hợp phức.

Một số tên gọi khác cho chuyển vị liên hợp của một ma trận bao gồm chuyển vị Hermite, ma trận liên hợp hay chuyển hợp. Chuyển vị liên hợp của ma trận  có thể được ký hiệu bởi một trong các cách sau:

 , thường được dùng trong đại số tuyến tính
 , thường được dùng trong đại số tuyến tính
  (đôi khi còn được đọc là A đao), thường được dùng trong cơ học lượng tử
 , mặc dù ký hiệu này thường được sử dụng hơn để chỉ giả nghịch đảo Moore–Penrose

Trong một số ngữ cảnh,  ký hiệu cho ma trận chỉ với các hệ số được liên hợp phức và không có chuyển vị.

Ví dụ 
Giả sử chúng ta muốn tính toán chuyển vị liên hợp của ma trận  sau.

 

Đầu tiên ta chuyển vị ma trận:

 

Sau đó ta lấy liên hợp từng hệ số của ma trận:

Một số liên hệ cơ bản 
Một ma trận vuông  với các hệ số  được gọi là

 Hermite hay tự liên hợp nếu ; tức là .
 Hermite chéo hay phản hermite nếu ; tức là .
 Chuẩn tắc nếu .
 Unita nếu , hay , hay .

Ngay cả nếu  không là ma trận vuông, hai ma trận  và  đều là hermite và chính là các ma trận nửa xác định dương.

Khái niệm a trận chuyển vị "liên hợp"  không được nhầm lẫn với ma trận phụ hợp (adjugate), , đôi khi cũng được gọi là adjoint.

Chuyển vị liên hợp  của ma trận  với các hệ số thực đơn giản về chuyển vị  của , bởi liên hợp của một số thực là chính nó.

Đặt vấn đề 
Chuyển vị liên hợp được nảy sinh từ cách mà các số phức có thể được biểu diễn hữu ích bằng các ma trận thực , thỏa mãn các phép toán cộng và nhân:

 

Điều này nghĩa là, ký hiệu mỗi số phức  bằng một ma trận thực  biểu diễn biến đổi tuyến tính trên sơ đồ Argand (được coi là không gian vectơ thực ), chịu ảnh hưởng của phép nhân phức với  trên .

Do đó, một ma trận phức  cũng được biểu diễn hiệu quả bởi một ma trận  gồm các số thực. Chuyển vị liên hợp do đó được nảy sinh một cách tự nhiên từ kết quả của việc chuyển vị một ma trận như vậy—khi được xem lại là một ma trận  gồm các số phức.

Tính chất của chuyển vị liên hợp 

  đối với hai ma trận phức bất kỳ  và  cùng số chiều.
  với một số phức  bất kỳ và một ma trận  cỡ  bất kỳ.
  với một ma trận  cỡ  bất kỳ và một ma trận  cỡ  bất kỳ. Chú ý rằng thứ tự của các thừa số bị đảo ngược.
  đối với một ma trận  cỡ , một cách tương đương chuyển vị Hermite là một đối hợp.
 Nếu  là một ma trận vuông thì   trong đó  là định thức của  .
 Nếu  là một ma trận vuông thì  trong đó  là vết của .
  là khả nghịch khi và chỉ khi  khả nghịch, và trong trường hợp đó .
 Các giá trị riêng của  là liên hợp phức của các giá trị riêng của .
  với bất kỳ một ma trận  cỡ , một vectơ  và một vectơ . Ở đây  ký hiệu cho tích trong phức tiêu chuẩn trên  và tương tự cho .

Tổng quát hóa 
Tính chất cuối cùng bên trên cho thấy rằng nếu ta coi rằng  là một biến đổi tuyến tính từ không gian Hilbert  vào  thì ma trận  tương ứng với toán tử liên hợp của . Khái niệm toán tử liên hợp giữa các không gian Hilbert do đó có thể được xem là tổng quát hóa của khái niệm chuyển vị liên hợp của các ma trận đối với một cơ sở trực chuẩn.

Còn có một cách tổng quát hóa khác: giả sử  là một ánh xạ tuyến tính từ một không gian vectơ  vào một không gian khác,  thì ánh xạ tuyến tính liên hợp phức và ánh xạ tuyến tính chuyển vị được xác định, và do đó ta có thể lấy chuyển vị liên hợp của  là liên hợp phức của ánh xạ chuyển vị của . Nó ánh xạ đối ngẫu liên hợp của  vào đối ngẫu liên hợp của .

Xem thêm 

 Tích vô hướng phức
 Liên hợp Hermite
 Ma trận phụ hợp

Tham khảo

Liên kết ngoài 

 

Đại số tuyến tính
Ma trận