Thác triển giải tích

Trong giải tích phức, một nhánh của toán học, thác triển giải tích là một kỹ thuật để mở rộng miền xác định của một hàm giải tích nhất định.

Thảo luận khởi đầu 

Giả sử f là một hàm giải tích được xác định trên tập con mở không rỗng U của mặt phẳng phức  Nếu V là tập con mở lớn hơn của  chứa U và F là một hàm giải tích được xác định trên V sao cho

 

thì F được gọi là một thác triển giải tích của f. Nói cách khác, thu hẹp của F về U là hàm f ban đầu.

Thác triển giải tích là duy nhất theo nghĩa sau: nếu V là miền xác định liên thông của hai hàm giải tích F1 và F2 sao cho U được chứa trong V và với mọi z trong U

 

thì

 

Đây là hệ quả trực tiếp từ định lý đồng nhất cho các hàm chỉnh hình.

Ví dụ cụ thể 

Xét:

 

Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa này là 1. Đó là,  xác định và giải tích trên tập mở  có biên . Lưu ý rằng chuỗi lũy thừa phân kỳ tại .

Ta tìm một chuỗi số mới có tâm tại :

 

Ta sẽ tìm  và xác định xem chuỗi mới này có hội tụ trong một tập mở  không phải là một tập con của  hay không. Nếu ta thành công, ta đã thác triển  đến một miền  lớn hơn .

Ta có

 

Tức là

 

Chuỗi mới này có bán kính hội tụ  và  Nếu ta chọn  với , thì  không phải là một tập hợp con của  và thực ra thì có diện tích lớn hơn . Hình vẽ minh họa cho 

Ta có thể tiếp tục quá trình này. Trong trường hợp cụ thể này,  có thể được thác triển giải tích đến mặt phẳng phức trừ một điểm

Mầm 
Chuỗi lũy thừa được khái quát bằng khái niệm mầm. Lý thuyết chung thác triển giải tích và khái quát hóa của nó được gọi là lý thuyết bó. Xét

 

Ta nói rằng véc-tơ

 

là mầm của f. Nền của g là z0, gốc của g là (α0, α1, α2,...) và đỉnh g1 của g là α0. Đỉnh của g là giá trị của f tại z 0.

Tập hợp các mầm tạo thành một không gian mầm .

Tô-pô của không gian mầm 
Ta có thể định nghĩa một cấu trúc tô pô trên . Đặt r > 0 và xét

 

Các tập hợp Ur(g), với r > 0 và  xác định một cơ sở của các tập mở cho một cấu trúc tô-pô trên .

Một thành phần liên thông của  được gọi là một bó. Lưu ý rằng tồn tại các bản đồ  với r là bán kính hội tụ của g. Tập hợp các bản đồ như vậy tạo thành một at-lat cho , vì thế  là một mặt Riemann.  đôi khi được gọi là hàm giải tích phổ quát. Một thành phần liên thông của nó cũng chính là không gian étalé của bó các hàm giải tích trên một miền của mặt phẳng phức.

Tham khảo

Liên kết ngoài 

Giải tích phức