Tích chập Dirichlet

Trong toán học, tích chập Dirichlet, còn gọi là phép nhân Dirichlet, là một phép toán hai ngôi đóng giữa các hàm số học, tức những hàm số đi từ tập số nguyên dương đến tập số phức. Phép toán này được sử dụng trong lý thuyết số, bao gồm lý thuyết số đại số và lý thuyết số giải tích, cũng như những bài toán đếm tổ hợp.

Nhà toán học Dirichlet phát triển tích chập này năm 1837 để chứng minh định lý về cấp số cộng mang tên ông.

Định nghĩa và ví dụ

Ký hiệu 
Trong bài viết này, ta sẽ sử dụng các ký hiệu sau:
  là tập hợp các hàm số học, trong đó
  là hàm chỉ thị cho tập đơn vị :  và  với mọi số nguyên dương  khác ,
  là hàm hằng có giá trị : ,
  là hàm đồng nhất: .

Định nghĩa 

Tích chập này xuất hiện trong quá trình nghiên cứu các chuỗi Dirichlet như hàm zeta Riemann. Nó miêu tả phép nhân hai chuỗi Dirichlet biểu diễn bằng các hệ số của chúng:

Ví dụ 
 Mọi hàm số học  đều thỏa mãn đẳng thức 
 Tích chập của hàm phi Euler với hàm hằng là hàm đồng nhất:  Điều này tương đương với đẳng thức

Tính chất

Cơ bản 
Tích chập Dirichlet có các tính chất sau đây:
 Tính giao hoán

 Tính kết hợp

 Tính phân phối với phép cộng

 Phần tử đơn vị là

Cấu trúc 
Tập hợp  các hàm số học, cùng với phép cộng thông thường (tức  với mọi ) và phép nhân Dirichlet, tạo thành một miền nguyên, hay vành Dirichlet. Điều này suy ra từ việc  cùng với phép cộng tạo thành một nhóm giao hoán, và phép toán tích chập  có tính giao hoán, tính kết hợp, tính phân phối với phép cộng, đơn vị của phép nhân là hàm , và nếu  thì 

Phép toán  định nghĩa bởi  (trong đó  là hàm lôgarít trong cơ số bất kỳ) là một đạo hàm trên vành này.

Hàm nhân tính 
Hàm nhân tính là những hàm số học  thỏa mãn  và  với mọi số nguyên dương  và  nguyên tố cùng nhau. Hàm nhân tính hoàn toàn là những hàm nhân tính  mà  với mọi số nguyên dương  và , bất kể có nguyên tố cùng nhau hay không.

Nhóm hàm nhân tính 
Mặc dù phép nhân Dirichlet có tính giao hoán, vành các hàm số học  không phải là một trường, bởi một nghịch đảo phép nhân không nhất thiết phải tồn tại. Cụ thể, một hàm số học  có nghịch đảo Dirichlet khi và chỉ khi  Các hàm số như thế tạo thành nhóm đơn vị của vành 

Tích chập Dirichlet của hai hàm nhân tính thì là một hàm nhân tính, và mọi hàm nhân tính khác  đều có một nghịch đảo Dirichlet cũng nhân tính. Nói cách khác, các hàm nhân tính tạo thành một nhóm con của nhóm đơn vị các phần tử khả nghịch của vành Dirichlet. Cần chú ý rằng tổng của hai hàm nhân tính thì không nhất thiết nhân tính, do đó tập hợp các hàm nhân tính không tạo thành một vành con của vành Dirichlet.

Hàm Möbius 
Hàm hằng  cũng thuộc nhóm hàm nhân tính ở trên. Nghịch đảo Dirichlet của nó là hàm Möbius :

Nghịch đảo  này của  đóng vai trò quan trọng trong tích chập Dirichlet. Nếu ta có hàm số học  và  thỏa mãn  thì bằng tích chập với , ta có . Việc biểu diễn  theo  này được gọi là công thức nghịch đảo Möbius.

Một ví dụ của công thức này là với hàm phi Euler. Theo ví dụ thứ hai ở trên, ta có đẳng thức  Bằng công thức nghịch đảo, ta suy ra:

Hàm nhân tính hoàn toàn 
Tích chập Dirichlet của hai hàm nhân tính hoàn toàn là một hàm nhân tính, nhưng không nhất thiết nhân tính hoàn toàn. Ví dụ như tích chập  chính là hàm đếm số ước  và là một hàm số không nhân tính hoàn toàn:  còn 

Nếu  là một hàm nhân tính hoàn toàn thì:
 Nghịch đảo Dirichlet của nó là tích thông thường ,

 Tích chập Dirichlet của  với chính nó bằng tích ,

 Với mọi hàm số học  và , ta có tính chất phân phối 

Tính chất đầu tiên trong ba tính chất này còn xác định một hàm nhân tính hoàn toàn, tức một hàm số học là nhân tính hoàn toàn khi và chỉ khi nó thỏa tính chất đầu tiên.

Xem thêm 
 Hàm số học
 Tích chập
 Công thức nghịch đảo Möbius

Ghi chú

Tham khảo

Danh mục

Liên kết ngoài 
 

Hàm số học
Phép toán song tuyến