Dãy tung hứng

Trong lý thuyết số, dãy tung hứng là dãy số nguyên bắt đầu từ số nguyên dương a0, với mỗi phần tử sau đó được tính theo công thức đệ quy sau:

Bối cảnh
Dãy tung hứng được xuất bản bởi nhà toán học và tác giả Mỹ Clifford A. Pickover. Cái tên được lấy từ tính lên xuống của dãy, giống với quả bóng trong tay của người tung hứng.

Ví dụ, dãy tung hứng xuất phát từ a0 = 3 là

Nếu dãy tung hứng chạm đến số 1, thì tất cả các phần tử sau đó vẫn sẽ là 1. Hiện đang có giả thuyết mọi dãy tung hứng sẽ đều rút về giá trị 1. Giả thuyết này mới chỉ xác nhận cho các phần tử khởi tạo ban đầu lên tới 106, nhưng chưa được chứng minh. Do đó, bài toán dãy tung hứng tương tự với giả thuyết Collatz.Paul Erdős đã phát biểu rằng "toán học bây giờ vẫn chưa sẵn sàng cho những bài toán này".

Cho phần tử khởi tạo n, ta định nghĩa l(n) là số các bước để dãy tung hứng bắt đầu với n chạm tới 1, và h(n) là giá trị cực đại trong dãy tung hứng cho n. Bảng l(n) và h(n) cho n nhỏ là:

{| class="wikitable"
|-
! n
! Dãy tung hứng
! l(n)

! h(n)

|-
| 2
| 2, 1
| align="center" | 1
| align="center" | 2
|-
| 3
| 3, 5, 11, 36, 6, 2, 1
| align="center" | 6
| align="center" | 36
|-
| 4
| 4, 2, 1
| align="center" | 2
| align="center" | 4
|-
| 5
| 5, 11, 36, 6, 2, 1
| align="center" | 5
| align="center" | 36
|-
| 6
| 6, 2, 1
| align="center" | 2
| align="center" | 6
|-
| 7
| 7, 18, 4, 2, 1
| align="center" | 4
| align="center" | 18
|-
| 8
| 8, 2, 1
| align="center" | 2
| align="center" | 8
|-
| 9
| 9, 27, 140, 11, 36, 6, 2, 1
| align="center" | 7
| align="center" | 140
|-
| 10
| 10, 3, 5, 11, 36, 6, 2, 1
| align="center" | 7
| align="center" | 36
|}

Dãy tung hứng có thể đạt các giá trị cực kỳ lớn trước khi rơi xuống 1. Ví dụ chẳng hạn, dãy tung hứng bắt đầu từ a0 = 37 đạt cực đại tại 24906114455136. Harry J. Smith đã xác nhận rằng dãy tung hứng bắt đầu với a0 = 48443 sẽ đạt cực đại tại a60 với 972,463 chữ số, trước khi chạm về 1 tại a157.

Xem thêm
 Động lực số học
 Giả thuyết Collatz
 Quan hệ đệ quy

Tham khảo

Liên kết ngoài

Juggler sequence (A094683) at the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. See also:
Number of steps needed for juggler sequence (A094683) started at n to reach 1.
n sets a new record for number of iterations to reach 1 in the juggler sequence problem.
Number of steps where the Juggler sequence reaches a new record.
Smallest number which requires n iterations to reach 1 in the juggler sequence problem.
Starting values that produce a larger juggler number than smaller starting values.
Juggler sequence calculator at Collatz Conjecture Calculation Center 
Juggler Number pages by Harry J. Smith

Động lực số học
Chuỗi số nguyên
Quan hệ đệ quy
Vấn đề mở trong lý thuyết số