Chuỗi lũy thừa hình thức

Trong toán học, một chuỗi lũy thừa hình thức là một sự khái quát của đa thức, trong đó số các số hạng có thể là vô hạn mà không có yêu cầu nào về sự hội tụ.

Vành các chuỗi lũy thừa hình thức 
Vành các chuỗi lũy thừa hình thức một biến X với hệ số trong vành giao hoán R được ký hiệu là .

Cấu trúc vành 
Một phần tử của  có thể được coi như một phần tử của . Ta định nghĩa phép cộng

 

và phép nhân

 

Phép nhân này khác với phép nhân từng số hạng. Nó được gọi là tích Cauchy của hai chuỗi hệ số, và là một loại tích chập rời rạc. Với các phép toán này,  trở thành một vành giao hoán với phần tử không  và đơn vị .

Cấu trúc tô pô 
Theo qui ước

 

một cấu trúc tô-pô trên vành các chuỗi lũy thừa hình thức được xác định bởi một cấu trúc tô-pô trên . Có nhiều định nghĩa tương đương.

 Chúng ta có thể gán cho  tô pô tích, với mỗi bản sao của  mang tô pô rời rạc.
 Ta cũng có thể gán cho nó tô-pô cảm sinh từ metric sau. Khoảng cách hai chuỗi phân biệt  được định nghĩa là

  
 với  là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho .

Ví dụ 
Lưu ý rằng trong  giới hạn

 

không tồn tại, vì vậy, nó không hội tụ tới

Các phép toán khác

Lũy thừa 
Với một số tự nhiên n ta có

 

trong đó

Nghịch đảo 
Chuỗi

 

là khả nghịch trong  hệ số hằng  là khả nghịch. Chuỗi nghịch đảo  có thể được tính qua công thức đệ quy tường minh

 

Một trường hợp đặc biệt là công thức chuỗi cấp số nhân được thỏa mãn trong :

Hợp 
Cho hai chuỗi lũy thừa hình thức

 
 

ta có thể định nghĩa phép hợp

 

với

 

Tổng này được lấy trên tất cả các cặp (k,j) với  và  sao cho

Đạo hàm hình thức 
Cho một chuỗi lũy thừa hình thức

 

ta có thể xác định đạo hàm hình thức của nó, ký hiệu là Df hoặc f' , bởi

Tính chất

Tính chất đại số của vành các chuỗi lũy thừa hình thức

Tính chất tô pô 
Không gian metric  là hoàn chỉnh

Vành  là compact khi và chỉ khi R là hữu hạn.

Tham khảo 

      
 Nicolas Bourbaki: Đại số, IV, §4. Springer-Verlag 1988.

Đọc thêm 

 W. Kuich. Springer, Berlin, 1997,     
 Droste, M., & Kuich, W. (2009). 

Chuỗi toán học
Lý thuyết vành
Đại số trừu tượng