Trường hữu hạn

Trong toán học, một trường hữu hạn là một trường chứa một số hữu hạn các phần tử. Ví dụ phổ biến nhất của các trường hữu hạn là các số nguyên mod  với  là số nguyên tố.

Tính chất 
Số lượng phần tử của một trường hữu hạn được gọi là cấp hoặc bậc của nó, hoặc đôi khi, kích thước của nó. Trường hữu hạn cấp  tồn tại khi và chỉ khi  là một lũy thừa nguyên tố  (trong đó  là số nguyên tố và  là số nguyên dương). Trong cấp , tổng của  lần bất kỳ phần tử nào luôn có kết quả bằng 0; tức là, đặc số của trường là .

Nếu  tất cả các trường cấp  là đẳng cấu.  Hơn nữa, một trường không thể chứa hai trường con hữu hạn khác nhau có cùng cấp. Do đó, người ta có thể xác định tất cả các trường hữu hạn có cùng cấp và chúng được ký hiệu là ,  hoặc .

Tất cả các phần tử của một trường hữu hạn cấp  đều là nghiệm của đa thức . Các phần tử khác không của một trường hữu hạn tạo thành một nhóm nhân. Nhóm này là xiclic, vì vậy tất cả các phần tử khác không có thể được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của một phần tử duy nhất gọi là phần tử nguyên thủy của trường. (Nói chung một trường có nhiều hơn một phần tử nguyên thủy.)

Sự tồn tại và tính duy nhất 
Đặt  là một lũy thừa nguyên tố và  là trường phân rã của đa thức

 

trên trường . Thế thì  là một trường hữu hạn có cấp bằng .

Việc mọi trường cấp  đều đẳng cấu với nhau là hệ quả của tính duy nhất xê xích một đẳng cấu của trường phân rã. Ngoài ra, nếu một trường  có một trường con  với cấp   thì các phần tử của  là các nghiệm của đa thức {{Math|X<sup>q'''</sup> - X}} và  là trường con cấp  duy nhất của .

 Xây dựng tường minh 

 Các trường không nguyên tố 
Với một lũy thừa nguyên tố  với  số nguyên tố và , trường  có thể được xây dựng tường minh như sau. Đầu tiên ta chọn một đa thức bất khả quy  trong  sao cho bậc của  bằng  (định lý - luôn tồn tại một đa thức như vậy). Thế thì vành thương

của vành đa thức  bởi i-đê-an chính sinh bởi  là một trường cấp .

 Trường bốn phần tử 
Trên , chỉ có một đa thức bất khả quy bậc  duy nhất:

 

Do đó, ta có một đẳng cấu .

Nếu ký hiệu  là một nghiệm của đa thức  trong , ta có bảng các phép toán trong  như sau.  

 Cấu trúc nhân 

 Tham khảo 

 W. H. Bussey (1905) "Galois field tables for pn ≤ 169", Bulletin of the American Mathematical Society 12(1): 22–38,  
 W. H. Bussey (1910) "Tables of Galois fields of order < 1000", Bulletin of the American Mathematical Society'' 16(4): 188–206, 
 
 
 
 
 Skopin, A. I. (2001) [1994], "Galois field", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

Liên kết ngoài 

 Finite Fields at Wolfram research.

Lý thuyết trường