I-đê-an

Trong lý thuyết vành, một nhánh của đại số trừu tượng, i-đê-an là một khái niệm tổng quá hóa khái niệm bội số.

Định nghĩa 
Đối với một vành tùy ý , ký hiệu cho  là nhóm cộng nền của nó. Một tập hợp con  được gọi là i-đê-an trái nếu:

  là một nhóm con của  
 Với mọi  và , tích  thuộc .

Tương tự, ta có thể định nghĩa i-đê-an phải và i-đê-an hai phía.

Một i-đê-an (không có giải thích thêm) thông thường được ngầm hiểu là một i-đê-an trái hoặc một i-đê-an hai phía, tùy ngữ cảnh.

Ví dụ 

 Trong vành R, chính tập hợp R tạo thành một i-đê-an hai phía. Nó là i-đê-an chính , được gọi là i-đê-an đơn vị.
 Một i-đê-an khác đơn vị được gọi là một i-đê-an đích thực (giống như là tập con đích thực). 
 Các số chẵn tạo thành một i-đê-an của vành các số nguyên ; nó thường được ký hiệu là . Tương tự, i-đê-an các bội số của một số nguyên  được ký hiệu là .
 Tập hợp tất cả các đa thức chia hết cho x2 + 1 là một i-đê-an chính của vành đa thức.
 Tập hợp các ma trận  với hàng dưới cùng bằng  là một i-đê-an phải của vành ma trận. Nó không phải là một i-đê-an trái.
 Vành  các hàm liên tục f từ  vào  chứa i-đê-an các hàm số f sao cho f(1) = 0 (i-đê-an các hàm số triệt tiêu tại 1; đây là một i-đê-an tối đại).

Tính chất 
Ta có một loạt các loại i-đê-an như sau.

 I-đê-an tối đại: Một i-đê-an đích thực I được gọi là i-đê-an tối đại nếu nó không có i-đê-an đích thực nào chứa nó. Tức là, tồn tại một và chỉ một i-đê-an chứa I: i-đê-an đơn vị. Nó là một phần tử tối đại trong lớp các i-đê-an đích thực (với thứ tự cảm sinh bởi quan hệ bao hàm). Lớp này khác rỗng bởi luôn tồn tại một i-đê-an đích thực: i-đê-an . Theo bổ đề Zorn, tồn tại ít nhất một i-đê-an tối đại trong một vành (ta xây dựng chặn trên bằng phép hợp).
 I-đê-an tối tiểu: Một i-đê-an là tối tiểu nếu nó khác i-đê-an  và nó chỉ chứa duy nhất i-đê-an  (và chính nó). 
 I-đê-an nguyên tố. 
 I-đê-an gốc hoặc i-đê-an bán nguyên tố. 
 I-đê-an sơ cấp. 
 I-đê-an chính 
 I-đê-an hữu hạn sinh. 
 I-đê-an nguyên thủy. 
 I-đê-an bất khả quy. 
 I-đê-an chính quy. 
 I-đê-an lũy linh đơn: một i-đê-an là lũy linh đơn nếu mỗi phần tử của nó là lũy linh.
 I-đê-an lũy linh: một i-đê-an là lũy linh nếu một lũy thừa hữu hạn của nó bằng 0.

Một i-đê-an của một vành  được trang bị một cấu trúc -mô-đun tự nhiên.

Phép toán i-đê-an 
Tổng và tích của các i-đê-an được định nghĩa như sau

 ,

Ví dụ 
Trong  ta có

 

Đặt  và . Thế thì,

  và  
  
  
  trong khi

Xem thêm 

 Số học mô-đun 
 Định lý đẳng cấu Noether 
 Định lý i-đê-an nguyên tố Boolean 
 Lý thuyết i-đê-an 
 I-đê-an (lý thuyết thứ tự) 
 Định chuẩn i-đê-an 
 Phân tách các i-đê-an nguyên tố trong phần mở rộng Galois
 Bó i-đê-an

Tham khảo 

 Atiyah, M. F. và Macdonald, I.G., Introduction to Commutative Algebra, 1969, ISBN 0-201-00361-9
 Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra (tái bản lần thứ ba), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-22025-3

Cấu trúc đại số
Lý thuyết vành