Công thức Legendre

Trong toán học, Công thức Legendre là biểu thức tính số mũ của lũy thừa lớn nhất của số nguyên tố p mà là ước của  n!.  Công thức được đặt tên theo nhà toán học Adrien-Marie Legendre.  Đôi khi nó cũng được gọi là công thức de Polignac, theo tên của Alphonse de Polignac.

Phát biểu 
Cho số nguyên tố p và bất kỳ số tự nhiên n, gọi  là số mũ của lũy thừa lớn nhất  p mà là ước của n (tức là  định giá p-adic của n).  Khi đó

trong đó  là hàm lấy phần nguyên.  Mặc dù tổng ở vế phải có vô hạn số phần tử, cho bất kỳ giá trị của n và p, nó vẫn chỉ có hữu hạn số phần tử khác không, lý do như sau: lấy các giá trị i đủ lớn sao cho , ta có . Nhờ đó, rút gọn công thức trên thành

trong đó .

Ví dụ 
Xét n = 6, ta có .  Các số mũ  và  có thể tính bằng công thức Legendre như sau:

Chứng minh 
Bởi  là tích của các số nguyên dương từ 1 đến n, ta thu được ít nhất một p trong  cho mỗi bội của p trpng , tổng cộng có .  Mỗi bội của  cho thêm một nhân tử p, và tương tự như vậy, mỗi bội của  cho thêm một nhân tử p, tiếp diễn như vậy cho các lũy thừa sau.  Cộng tất cả số này sẽ thu về được công thức tổng vô hạn cho .

Dạng khác 
Ta cũng có thể viết lại công thức Legendre thành khai triển cơ số p của n.  Gọi  là tổng các chữ số trong khai triển cơ số p của n thì
	

	
Ví dụ chẳng hạn, n = 6 trong hệ nhị phân được viết là 610 = 1102, ta có  nên

Tương tự, n = 6 trong hệ tam phân được viết là 610 = 203, ta có  nên

Chứng minh 
Viết  trong hệ cơ số p.  Vì , và do vậy

Ứng dụng 
Công thức Legendre được dùng để chứng minh định lý Kummer.  Dưới trường hợp đặc biệt, nó có thể dùng để chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì  chia hết cho 4 khi và chỉ khi n không phải lũy thừa của 2.

Suy ra được từ công thức Legendre rằng hàm mũ p-adic có bán kính hội tụ bằng với .

Tham khảo 

 
 , page 77
 Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers, Volume 1, Carnegie Institution of Washington, 1919, page 263.

Liên kết ngoài 

Giai thừa