Không gian xạ ảnh

Trong tô pô, một không gian xạ ảnh là một cấu trúc cơ bản cho phép thuần nhất hóa một không gian vectơ, nói cách khác là quên đi các tỷ lệ để chỉ xem xét các hướng. Ví dụ:  là không gian thương của ℝ\{0} bởi quan hệ tương đương cộng tuyến.

Tương tự, không gian xạ ảnh phức  là không gian thương của  bởi quan hệ cộng tuyến phức.

Không gian xạ ảnh là một trường hợp đặc biệt của đa tạp Grassmann: .

Định nghĩa 
Cho một K-không gian véc-tơ V, không gian xạ ảnh P(V) là tập hợp các lớp tương đương của V \{0} dưới quan hệ tương đương ~ xác định bởi x ~ y nếu tồn tại một phần tử khác không λ trong K sao cho x = λy. Nếu V là một không gian véc-tơ tô pô, không gian thương P(V) là một không gian tô-pô, được trang bị tô pô thương (ví dụ K là trường các số thực hoặc trường các số phức với tô pô Euclid). Nếu V là một không gian hữu hạn chiều, chiều của P(V) bằng chiều của V trừ đi 1.

Không gian xạ ảnh một chiều  cũng được gọi là đường thẳng xạ ảnh. Không gian xạ ảnh hai chiều  cũng được gọi là mặt phẳng xạ ảnh.

Tính chất 

 Trang bị cho  một chuẩn, ta có một phép phủ . Đây là một phép phủ bậc . Ta có thể trang bị cho  một cấu trúc vi phân cảm sinh bởi phép phủ này.
 Với , . Phần tử sinh của nhóm cơ bản được cho bởi hợp của  với bất kỳ đường nào nối hai điểm đối cực của hình cầu  chiều. (với , ta có , do đó nhóm cơ bản của nó đẳng cấu với .)
  là một đa tạp định hướng được khi và chỉ khi  lẻ.

Phân thớ lặp 
Trên  có một phân thớ véc-tơ mà thớ tại mỗi điểm  là không gian véc-tơ một chiều . Đây được gọi là phân thớ lặp trên  (tautologique-tautological).

Tham khảo

Thư mục 
 Hartshorne, Robin, 1977, Algebraic Geometry, Berlin, New York, Springer-Verlag
 Mukai, Shigeru, 2003, An Introduction to Invariants and Moduli, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press
 Veblen, Oswald; Young, John Wesley, 1965, Projective geometry. Vols. 1, 2, Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co. New York-Toronto-London
 Manetti, Marco, 2014, Topology, ISBN 978-3-319-16958-3, mục 5.3, Projective Spaces

Đa tạp