Phép ngập

Trong hình học vi phân, một phép ngập là một ánh xạ khả vi giữa các đa tạp vi phân sao cho tại mọi điểm, vi phân của nó là một toàn ánh. Đây là một khái niệm cơ bản trong tô-pô vi phân. Phép ngập đối ngẫu với phép dìm.

Phép ngập vi phân có tính cục bộ: nó không nhất thiết phải là một toàn ánh. Trong khi đó, một phép ngập tô-pô luôn là một toàn ánh.

Định nghĩa 
Gọi M và N là các đa tạp vi phân và  là một ánh xạ khả vi giữa chúng. Ánh xạ  là một phép ngập tại một điểm  nếu vi phân của nó

 

là một toàn ánh tuyến tính. Trong trường hợp này  được gọi là điểm chính quy của ánh xạ . Nếu không phải là một điểm chính quy,  được gọi là một điểm cực hạn. Một điểm  là giá trị chính quy của  nếu mọi điểm trong nghịch ảnh  đều là điểm chính quy. Một ánh xạ khả vi   được gọi là một phép ngập nếu nó là một phép ngập tại mọi điểm .

Tương đương,  là một phép ngập nếu vi phân của nó  có hạng không đổi bằng số chiều của

Định lý ngập 
Cho trước một phép ngập giữa các đa tạp trơn , các thớ của , ký hiệu , có thể được trang bị một cấu trúc vi phân. Điều này kết hợp với định lý nhúng Whitney ngụ ý rằng mọi đa tạp trơn đều là thớ của một ánh xạ trơn .

Ví dụ, xét  được cho bởi  Ma trận Jacobi

 

Ma trận này có hạng tối đa tại mọi điểm trừ . Ngoài ra, các thớ

 

là tập hợp rỗng với  và là một điểm với . Do đó, ta có một phép ngập  và các thớ  là các đa tạp con hai chiều với .

Ví dụ 

 Mọi phép chiếu  đều là một phép ngập.
 Một vi phôi địa phương là một phép ngập.
 Một phép ngập Riemann là một phép ngập bảo toán metric Riemann.
 Phép chiếu phân thớ là một phép ngập (do sự tồn tại của tầm thường hóa cục bộ).

Phép ngập tô-pô 
Một phép ngập tô-pô là một toàn ánh liên tục  sao cho với mọi  thuộc , tồn tại các bản đồ liên tục  tại  và  tại  sao cho ánh xạ  bằng với phép chiếu từ  đến , với .

Ghi chú

Tham khảo 

   
   
   
   
 Đoàn Quỳnh, 2000, Hình học vi phân
   
   
 
  
   

Hàm trơn
Thuật ngữ hình học vi phân