Đẳng cấu thăng giáng (hình học Riemann)

Trong hình học vi phân, đẳng cấu thăng giáng là một đẳng cấu giữa phân thớ tiếp xúc  và phân thớ đối tiếp xúc  của một đa tạp Riemann, cảm sinh bởi tenxơ metric.

Định nghĩa 
Xét một đa tạp Riemann .

Cho trước một trường vectơ , ta xác định giáng của nó, là một nhát cắt  của phần thớ đối tiếp xúc (hay một trường đối véc-tơ), bởi

 

với mọi  và mọi trường véc-tơ . Đẳng cấu này gán cho phân thớ  một tích vô hướng.

Tương tự, với một trường đối véc-tơ , ta định nghĩa thăng của nó, , là trường véc-tơ duy nhất thỏa mãn

 

với mọi  và mọi trường véc-tơ .

Ta có hai đẳng cấu là nghịch đảo của nhau

Nâng hạ chỉ số 
Sử dụng các ký hiệu nâng hạ chỉ số Einstein, với một trường mục tiêu địa phương  (và trường đối mục tiêu tương ứng  thỏa mãn ), ta có:

Chú thích

Tham khảo 

 Berger, Marcel (2003). A Panoramic View of Riemannian Geometry, tr. 696
 
 
 
 Warner, Frank, (1971). Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups

Hình học Riemann