Tính so sánh được

Trong toán học,  hai phần tử x và y của tập hợp P được gọi là so sánh được với nhau tương ứng với quan hệ hai ngôi ≤ nếu ít nhất một trong x ≤ y hoặc y ≤ x là đúng.  Ngược lại thì chúng được gọi là không so sánh được với nhau.

Định nghĩa chặt chẽ 

Quan hệ hai ngôi trên tập hợp  được định nghĩa là bất kỳ tập hợp con  của  Cho   được viết khi và chỉ khi , khi đó ta nói  có  với  theo  
Phần tử  được gọi là , hay  (), với phần tử  nếu  hoặc   
Thường thì các ký hiệu so sánh chẳng hạn như  (hoặc    và nhiều cái khác) được dùng thay cho  và ta viết  thay cho  .Do vậy thuật ngữ "so sánh được" được sử dụng. 

Tinh so sánh được tương ứng với  cảm sinh một quan hệ hai ngôi chính tắc trên ; chính xác hơn,  cảm sinh bởi  được định nghĩa là tập tất cả các cặp  thỏa mãn  so sánh được với ; tức là ít nhất một trong  hoặc  là đúng.
Tương tự,  trên  cảm sinh bởi  được định nghĩa là tập tất cả các cặp  thỏa mãn  không so sánh được với ; tức là cả  và  đều sai. 

Nếu ký hiệu  được dùng thay vì  thì tính so sánh được tương ứng với  đôi khi được ký hiệu bởi , còn tính không so sánh được được ký hiệu bởi .

Ví dụ 

Tập hợp sắp thứ tự toàn phần là tập hợp sắp thứ tự riêng phần trong đó bất kỳ hai phần tử đều so sánh được với nhau. Định lý mở rộng Szpilrajn phát biểu rằng mọi thứ tự riêng phần đều nằm trong một thứ tự toàn phần nào đó. Theo trực giác, có nghĩa là bất kỳ phương pháp so sánh nào mà để lại một số cặp không so sánh được với nhau, vẫn có thể mở rộng sao cho mọi cặp so sánh được với nhau.

Tính chất 

Cả hai quan hệ  và  đều có tính đối xứng, nghĩa là  so sánh được với  khi và chỉ khi  so sánh được với  tương tự như vậy đối với tính không so sánh được.

Đồ thị so sánh được 

Đồ thị so sánh được của tập hợp sắp thứ tự riêng phần  có các đỉnh là các phần tử thuộc  và các cạnh là các cặp phần tử  sao cho .

Phân loại 

Khi phân loại các đối tượng toán học (chẳng hạn như không gian tô pô), hai  được gọi là so sánh được với nhau nếu các đối tượng thỏa mãn một tiêu chuẩn sẽ cấu tạo một tập con các đối tượng thỏa mãn tiêu chuẩn còn lại, tức là chúng so sánh được với nhau dưới thứ tự riêng phần ⊂.Vi dụ chẳng hạn, Tiêu chuẩn T1 và T2 so sánh được với nhau trong khi tiêu chuẩn T1 và tiêu chuẩn điều độ thì không.

Xem thêm 
 , là quan hệ thứ tự riêng phần trong đó tính không so sánh được là quan hệ bắc cầu

Tham khảo

Liên kết ngoài

 

Quan hệ hai ngôi
Lý thuyết thứ tự