Công thức tích phân lặp của Cauchy

Trong giải tích, công thức tích phân lặp Cauchy, đặt tên theo Augustin Louis Cauchy, cho phép ta biến nguyên hàm thứ  của một hàm số thành một tích phân duy nhất.

Phát biểu 
Gọi  là một hàm liên tục trên tập số thực. Khi ấy tích phân lặp thứ  của  tại :

,

có thể được tính bằng công thức

.

 Chứng minh

Một chứng minh đơn giản sử dụng quy nạp. Do  liên tục, trường hợp  suy ra từ định lý cơ bản của giải tích:

;

trong đó

Giả sử điều này đúng với , và ta cần chứng minh nó đúng với . Đầu tiên, sử dụng quy tắc tích phân Leibniz, ta có

Sau đó, áp dụng giả thiết quy nạp,

Chứng minh được hoàn tất.

Áp dụng 

Trong giải tích phân số, công thức này có thể được dùng để xây dựng khái niệm differintegral, cho phép ta đạo hàm hoặc tích phân với số lần là một phân số. Lấy tích phân lặp phân số lần với công thức này rất đơn giản; ta có thể dùng  phân số nếu coi  là  (xem hàm gamma). Lấy đạo hàm cấp phân số có thể được thực hiện bằng cách lấy tích phân phân số, rồi lấy đạo hàm kết quả đó.

Tham khảo

Liên kết ngoài 

Augustin-Louis Cauchy
Giải tích tích phân
Định lý trong giải tích