Đa thức cực tiểu (đại số tuyến tính)

Trong đại số tuyến tính, đa thức cực tiểu  của một ma trận    trên một trường  là một đa thức monic  trên  với bậc thấp nhất sao cho . Bất kỳ đa thức  nào khác sao cho  là một bội của .

Các khẳng định sau là tương đương:

  là một nghiệm của ,
  là một nghiệm của đa thức đặc trưng  of ,
  là một giá trị riêng của ma trận .

Độ bội (hay số bội) của một nghiệm  của  là lũy thừa  lớn nhất sao cho  bao hàm ngặt . Nói cách khác, việc tăng số mũ lên đến  sẽ cho hạch tăng liên tục, nhưng tăng thêm số mũ lớn hơn  thì chỉ cho cùng một hạch.

Định nghĩa 
Cho một tự đồng cấu  trên không gian vectơ hữu hạn  trên một trường , đặt  là tập hợp

 

trong đó  là không gian của tất cả các đa thức trên trường .  là một i-đê-an đích thực của . Vì  là một trường,  là miền chính, do đó, bất kỳ i-đê-an nào cũng là một i-đê-an chính. Đa thức cực tiểu được định nghĩa là đa thức monic duy nhất sinh . Đây là đa thức monic bậc thấp nhất trong

Thí dụ 
Đa thức cực tiểu của ma trận đơn vị là , trong khi đa thức đặc trưng của ma trận đơn vị là . Tương tự, đa thức cực tiểu của ma trận  là , và đa thức đặc trưng của nó là .

Tham khảo 

 Lang, Serge (2002), Algebra, Giáo trình cao học, 211 (Sửa đổi lần thứ ba.), New York: Springer-Verlag

Đa thức
Đại số tuyến tính