Phép chiếu (đại số tuyến tính)

phải|khung|Phép biến đổi P là phép chiếu vuông góc lên đường thẳng m.

Trong đại số tuyến tính và giải tích hàm, phép chiếu là một biến đổi tuyến tính  từ một không gian vectơ vào chính nó sao cho . Tức là khi nào  được thực hiện hai lần với một giá trị bất kỳ, nó cho kết quả tương tự khi nó được áp dụng chỉ một lần (tính lũy đẳng). Việc thực hiện lại phép chiếu không làm thay đổi ảnh của nó. Mặc dù là khái niệm trừu tượng, định nghĩa "phép chiếu" này hình thức hóa và tổng quát hóa ý tưởng phép chiếu đồ họa. Ta có thể xét tác động của một phép chiếu lên một đối tượng hình học bằng cách xét các tác động của phép chiếu lên từng điểm của đối tượng.

Định nghĩa 
Phép chiếu trên một không gian vectơ  là một toán tử tuyến tính tự đồng cấu  sao cho .

Khi  được trang bị tích trong và là đầy đủ (chẳng hạn khi  là không gian Hilbert), khái niệm trực giao có thể được sử dụng. Một phép chiếu  trên một không gian Hilbert  được gọi là phép chiếu trực giao nếu nó thỏa mãn điều kiện tự liên hợp  với mọi .
Phép chiếu trên một không gian Hilbert không phải là phép chiếu trực giao được gọi là phép chiếu xiên.

Ma trận chiếu 

 Trong trường hợp hữu hạn chiều, một ma trận vuông  được gọi là ma trận chiếu nếu nó bằng bình phương của nó, tức là nếu .
 Một ma trận vuông  được gọi là ma trận chiếu trực giao nếu  đối với một ma trận thực, và tương ứng  đối với một ma trận phức, trong đó  ký hiệu cho chuyển vị của  và  ký hiệu cho chuyển vị Hermite của .
 Ma trận chiếu không là ma trận chiếu trực giao được gọi là ma trận chiếu xiên.

Các giá trị riêng của một ma trận chiếu phải bằng 0 hoặc 1.

Ví dụ

Phép chiếu trực giao 
Ví dụ, hàm ánh xạ một điểm  trong không gian 3 chiều  vào điểm  là một phép chiếu trực giao lên mặt phẳng x–y. Hàm này được biểu diễn bởi ma trận sau

 

Tác động của ma trận này lên một vectơ bất kỳ là

 

Để xem liệu  có là một phép chiếu, tức là , ta tính

 .

Ta còn có thể thấy rằng  (ma trận đối xứng), chứng tỏ phép chiếu này là phép chiếu trực giao.

Phép chiếu xiên 
Một ví dụ đơn giản cho phép chiếu xiên (không trực giao) là

 

Bằng phép nhân ma trận, ta thấy rằng

 

chứng tỏ rằng  chắc chắn là một phép chiếu.

Phép chiếu  là trực giao khi và chỉ khi  bởi vì chỉ khi đó mới có .

Tính chất và phân loại 
phải|khung|Biến đổi T là phép chiếu theo phương k lên m. Miền giá trị của T là m và hạt nhân là k.

Tính lũy đẳng 
Theo định nghĩa, phép chiếu  là lũy đẳng (tức là ).

Miền giá trị và hạt nhân 
Cho  là một không gian vectơ hữu hạn chiều và  là một phép chiếu trên . Giả sử rằng các không gian con  và  tương ứng là miền giá trị (ảnh) và hạt nhân của . Vậy thì  có các tính chất sau:

  là toán tử đơn vị  trên 
 .
 Ta có một tổng trực tiếp . Mọi vectơ  có thể được phân tích duy nhất dưới dạng  với  và , trong đó .

Miền giá trị và hạt nhân của một phép chiếu là phần bù của nhau, và cũng vậy với toán tử  và . Toán tử  cũng là một phép chiếu, với miền giá trị và hạt nhân của  tương ứng trở thành hạt nhân và miền giá trị của  và ngược lại. Ta nói  là phép chiếu theo phương  lên  (hạt nhân/miền giá trị) và  là phép chiếu theo phương  lên .

Phổ 
Trong các không gian vectơ hữu hạn chiều, phổ của một phép chiếu, có giá trị thuộc  là

 

Giá trị riêng của một phép chiếu chỉ có thể là 0 hoặc 1. Từ điều này suy ra rằng một phép chiếu trực giao  luôn là một ma trận nửa xác định dương. Tổng quát, các không gian con riêng (tương ứng) là hạt nhân và miền giá trị của phép chiếu. Sự phân tích không gian vectơ thành tổng trực tiếp là không duy nhất. Vì thế, cho một không gian con , có thể có nhiều phép chiếu có miền giá trị (hay hạt nhân) là .

Nếu phép chiếu là không tầm thường thì nó có đa thức cực tiểu  có thể phân tích được thành các nghiệm phân biệt, vì vậy  chéo hóa được.

Tích các phép chiếu 
Tích các phép chiếu nói chung không phải là phép chiếu ngay cả khi chúng trực giao. Nếu hai phép chiếu giao hoán được thì tích của chúng là một phép chiếu, nhưng điều ngược lại không đúng: tích của hai phép chiếu không giao hoán vẫn có thể là một phép chiếu.

Nếu hai phép chiếu là trực giao và giao hoán đựoc thì tích của chúng là phép chiếu trực giao. Nếu tích của hai phép chiếu trực giao cũng là một phép chiếu trực giao thì hai phép chiếu trực giao là giao hoán được (bởi vì tổng quát: hai tự đồng cấu tự liên hợp giao hoán được khi và chỉ khi tích của chúng tự liên hợp).

Phép chiếu trực giao 
Khi không gian vectơ  được trang bị một tích trong và là đầy đủ (là một không gian Hilbert) thì có thể sử dụng khái niệm trực giao. Phép chiếu trực giao là một phép chiếu sao cho miền giá trị  và hạt nhân  là các không gian con trực giao. Vì vậy, với mọi  và  thuộc , ta có . Một cách tương đương:

 .

Một phép chiếu là trực giao khi và chỉ khi nó là tự liên hợp. Để chứng tỏ, sử dụng tính chất tự liên hợp và tính chất lũy đẳng của , với bất kỳ  và  trong  ta có , , và

 

trong đó  là tích trong được trang bị cho . Vì thế,  và  là các phép chiếu trực giao. Điều ngược lại, tức là nếu  là trực giao thì nó là tự liên hợp, suy ra từ

 

với mọi  và  trong ; vì vậy .

Tính chất và các trường hợp riêng 
Một phép chiếu trực giao là một toán tử bị chặn. Điều này là do với mọi vectơ  trong không gian vectơ ta có bởi bất đẳng thức Cauchy–Schwarz:

 

Vì vậy .

Đối với không gian vectơ hữu hạn chiều thực hoặc phức, tích trong tiêu chuẩn có thể được thay thế cho .

Chú thích

Tham khảo

Liên kết ngoài 

 , from MIT OpenCourseWare
 , by Pavel Grinfeld.
 Planar Geometric Projections Tutorial  – a simple-to-follow tutorial explaining the different types of planar geometric projections.

Giải tích hàm
Đại số tuyến tính
Toán tử tuyến tính