Ứng dụng của đạo hàm

Tương tự như hàm số hay tích phân, vi phân, đạo hàm có nhiều ứng dụng trong toán học và nhiều lĩnh vực khác.

Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Tiếp tuyến của đường cong phẳng 
Đạo hàm của hàm số  tại  
là hệ số góc của tiếp tuyến 
 của (C) tại điểm .
Chứng minh:
Giả sử ta có điểm  
là điểm di chuyển trên (C). 
Ta có  =
Hệ số góc của cát tuyến 
 là  
Khi M dần tới  () thì 
 và ngược lại.
Theo giả thiết, f(x) có đạo hàm tại  nên tồn tại giới hạn 
 = 
Vậy khi  thì cát tuyến  
dần tới vị trí giới hạn là đường thẳng , 
có hệ số góc bằng .
Đường thẳng  là tiếp tuyến tại  của (C).
Vậy  
là hệ số góc của tiếp tuyến tại  của đồ thị (C)

Phương trình tiếp tuyến 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm y=f(x)  tại  là
 trong đó .
Điều này được rút ra từ tiếp tuyến đường cong phẳng.

Ý nghĩa vật lý của đạo hàm

Vận  tốc tức thời 
Một chuyển động thẳng có phương trình dạng  là một hàm số có đạo hàm, khi đó vận tốc tức thời xác định bằng công thức  trong đó nếu   sẽ có độ chính xác càng cao..

Cường độ tức thời của dòng điện 
Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số thời gian của t hay  với cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian là  hoặc đơn giản chỉ là

Gia tốc tức thời 
Với đạo hàm cấp hai ta có  là gia tốc tức thời của chuyển động  tại thời điểm t.

Tất cả các kiến thức kể trên đều có trong SGK Đại số và Giải tích 11, Sách nâng cao Đại số và Giải tích 11 nâng cao và Sách Giáo viên Đại số Giải tích 11 nâng cao.

Ý nghĩa hàm số của đạo hàm

Xét tính đơn điệu của hàm số 
Định lý sau đây được thừa nhận: Cho hàm y=f(x) có đạo hàm trên K
nếu f'(x)>0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K
nếu f'(x)<0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên  K
giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'(x) 0  tại  một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K

Điều kiện để hàm số có cực trị 
Định lý sau đây được thừa nhận: Giả sử hàm y=f(x) liên tục trên  và có đạo hàm trên K hoặc trên 
Nếu f'(x)>0 trên khoảng  và f'(x)<0 trên khoảng  thì  là một điểm cực đại của hàm số f(x)
Nếu f'(x)<0 trên khoảng  và f'(x)>0 trên khoảng  thì  là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)

Tìm cực trị 
Định lý sau đây được thừa nhận: Giả sử hàm y=f(x) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng K kể trên và h>0 thì:

nếu 

nếu 

Tất cả các kiến thức trong mục này đều có trong SGK Giải tích 11.

Tham khảo

Giải tích toán học
Toán học ứng dụng