Quan hệ phản đối xứng

Trong toán học, quan hệ hai ngôi  trên tập hợp  được gọi là phản đối xứng (hay phản xứng) nếu không có cặp phần tử phân biệt của  sao cho mỗi cái trong cặp có quan hệ  với cái còn lại. Nói chặt chẽ hơn,  phản đối xứng nếu với mọi 

hoặc tương đương,

Định nghĩa phản đối xứng không nói gì đến việc  có đúng hay không cho bất kỳ . Quan hệ phản đối xứng  trên tập hợp  có thể phản xạ (nghĩa là,  đúng với mọi ) hoặc hoàn toàn không phản xạ (nghĩa là,  sai với mọi ), hoặc không phản xạ và cũng không hoàn toàn không phản xạ. Quan hệ được gọi là quan hệ bất đối xứng khi và chỉ khi nó vừa phản đối xứng vừa hoàn toàn không phản xạ.

Ví dụ 

Quan hệ chia hết trên các số tự nhiên là một ví dụ quan trọng về tính phản đối xứng của quan hệ. Trong quan hệ này, cách duy nhất để cả hai số trong cặp chia hết trong cái còn lại là hai số đó phải bằng nhau; nói một cách tương đương nếu  và  phân biệt và  là ước của  thì  không thể là ước của   Ví dụ chẳng hạn, 15 chia hết cho 3, nhưng 3 không chia hết cho 15.

Quan hệ thứ tự thông thường  trên tập số thực có tính phản đối xứng: nếu cho hai số thực  và  mà cả hai bất đẳng thức  và  đều thỏa mãn thì  và  phải bằng nhau. Tương tự như vậy, thứ tự tập con  trên tập các tập con của tập cho trước cũng có tính phản đối xứng: cho hai tập hợp  và  nếu mọi phần tử thuộc  cũng thuộc  và ngược lại mọi phần tử thuộc  cũng thuộc  thì  và  phải chứa cùng các phần tử và phải bằng nhau:

Một ví dụ trong đời thực là "trả tiền hóa đơn". Thường thì, một số người sẽ tự trả cho chính mình, và một số khác sẽ trả cho bạn bè hoặc người thân. Nếu giả sử miễn sao không có hai người trả cho nhau thì quan hệ đó sẽ có tính phản đối xứng.

Tính chất 

Thứ tự riêng phần và thứ tự toàn phần đều phản đối xứng theo định nghĩa. Quan hệ có thể vừa đối xứng vừa phản đối xứng (khi đó, nó được gọi là quan hệ đối phản xạ). Song, cũng có quan hệ không đối xứng và cũng không phản đối xứng, ví dụ chẳng hạn: quan hệ "săn thú" trên các loài trong sinh học) .

Quan hệ phản đối xứng khác với quan hệ bất đối xứng: quan hệ bất đối xứng khi và chỉ khi nó phản đối xứng và hoàn toàn không phản xạ.

Xem thêm

Tham khảo 

 
 
 nLab antisymmetric relation

Quan hệ hai ngôi