Quan hệ phản xạ

Trong toán học, quan hệ hai ngôi R trên tập X có tính phản xạ nếu nó quan hệ mỗi phần tử của X tới chính phần tử đó.. Nếu quan hệ có tính phản xạ thì ta gọi quan hệ đó là quan hệ phản xạ.

Một ví dụ của quan hệ phản xạ là quan hệ "bằng với" trên tập các số, bởi mỗi số đều bằng với chính nó. Cùng với tính đối xứng và tính bắc cầu, 3 tính chất lập thành quan hệ tương đương

Định nghĩa 

Gọi  là quan hệ hai ngôi trên tập , theo định nghĩa tức là tập con của  
Cho bất kỳ  ký hiệu  nghĩa là  trong khi "không " nghĩa là 

Quan hệ  được gọi là có tính  nếu  với mọi  hoặc tương đương: nếu  trong đó  ký hiệu quan hệ đơn vị trên  
 của  là hợp , hay định nghĩa tương đương của nó là quan hệ phản xạ nhỏ nhất đối với ) trên tập  là tập chứa của  Quan hệ  có tính phản xạ khi và chỉ khi nó bằng với bao đóng phản xạ của nó,

 hay  của  là quan hệ nhỏ nhất (đối với ) trên  có bao đóng phản xạ của nó bằng với  Nó bằng với  Hạt nhân không phản xạ của  có thể hiểu là cách xây "ngược lại" với bao đóng phản xạ  
Lấy ví dụ, bao đóng phản xạ của quan hệ chặt chính tắc  trên các số thực  là quan hệ không chặt  trong khi rút gọn phản xạ của  là

Các định nghĩa gần với tính phản xạ 

Có một số định nghĩa gần với tính phản xạ. 
Quan hệ  được gọi là có tính:

 Nếu nó không quan hệ bất cứ phần tử nào với chính nó; nghĩa là không  với mọi  Quan hệ hoàn toàn không phản xạ khi và chỉ khi phần bù của nó trong  có tính phản xạ. Quan hệ không đối xứng thì cũng sẽ không phản xạ. Quan hệ bắc cầu và hoàn toàn không phản xạ thì sẽ không đối xứng.

 Bất cứ khi nào có  sao cho  thì 

 Bất cứ khi nào có  sao cho  thì 

 Nếu hai phần tử có quan hệ với nhau, thì mỗi phần tử trong cặp quan hệ đó có quan hệ với chính nó. Cụ thể hơn, nghĩa là bất cứ khi nào có  sao cho  thì    Một định nghĩa tương đương khác là, quan hệ hai ngôi có tính tựa phản xạ khi và chỉ khi nó vừa tựa phản xạ trái vừa tựa phản xạ phải. Một quan hệ  có tính tựa phản xạ khi và chỉ khi bao đóng phản xạ  có tính tựa phản xạ trái hoặc phải.

Phản xứng Bất cứ khi nào  sao cho  thì 

 Bất cứ khi nào  sao cho  thì  Quan hệ  có tính đối phản xạ khi và chỉ khi bao đóng phản xạ của nó có tính phản đối xứng.

Quan hệ phản xạ trên tập khác rỗng  không thể hoàn toàn không phản xạ, không đối xứng ( được gọi là  nếu  thì không ), và không bắc cầu ( được gọi là  nếu  thì không ).

Các ví dụ 

Các ví dụ của quan hệ phản xạ bao gồm:
 "bằng với" (đẳng thức)
 "là tập con của" (bao hàm tập hợp)
 "là ước của" (Tính chia hết)
 "lớn hơn hoặc bằng với"
 "nhỏ hơn hoặc bằng với"
Các ví dụ của quan hệ không phản xạ bao gồm:
 "không bằng với"
 "nguyên tố cùng nhau" trên các số nguyên lớn hơn 1
 "là tập con thực sự của"
 "lớn hơn"
 "nhỏ hơn"

Nếu quan hệ không có tính phản xạ thì không nhất thiết nó hoàn toàn không phản xạ; ta có thể định nghĩa quan hệ sao cho một số phần tử có quan hệ với chính nó nhưng các phần tử khác thì không (nghĩa là không phải tất cả đều phải có tính phản xạ) . Lấy ví dụ, quan hệ hai ngôi "tích của  và  là số chẵn" có tính phản xạ trên tập các số chẵn, hoàn toàn không phản xạ trên tập các số lẻ, và không có tính phản xạ hay hoàn toàn không phản xạ trên tập các số tự nhiên.

Số các quan hệ phản xạ 

Số các quan hệ phản xạ trên tập có  phần tử là

Logic triết học 

Các tác giả trong logic triết học thường sử dụng thuật ngữ khác so với toán học. Quan hệ phản xạ trong toán học thì sẽ được gọi là phản xạ toàn phần trong logic triết học, còn quan hệ tựa phản xạ thì sẽ được gọi là quan hệ phản xạ.

Chú thích

Tham khảo 

 Levy, A. (1979) Basic Set Theory, Perspectives in Mathematical Logic, Springer-Verlag. Reprinted 2002, Dover. 
 Lidl, R. and Pilz, G. (1998). Applied abstract algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag. 
 Quine, W. V. (1951). Mathematical Logic, Revised Edition. Reprinted 2003, Harvard University Press. 
 Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, .

Liên kết ngoài
 

Quan hệ hai ngôi
Quan hệ phản xạ