Đạo hàm toàn phần

Trong toán học, đạo hàm toàn phần của một hàm  tại một điểm là xấp xỉ tuyến tính tốt nhất gần điểm này của hàm đối với các đối số của nó. Không giống như các đạo hàm riêng, đạo hàm toàn phần xấp xỉ hàm số theo tất cả các đối số. Trong nhiều tình huống, điều này giống như xem xét tất cả các đạo hàm riêng một cách đồng thời (cũng có những tình huống đặc biệt).

Đạo hàm toàn phần như là một ánh xạ tuyến tính 
Đạo hàm riêng mô tả sự thay đổi của hàm số theo một hướng nhất định (ứng với đối số đã chọn). Khi ta xét tất cả các đối số, sự thay đổi của hàm số phụ thuộc cả vào hướng của đối số. Do đó, một cách tự nhiên để thể hiện đạo hàm toàn phần là sử dụng ánh xạ tuyến tính.

Đặt  là một tập con mở. Một hàm  được gọi là khả vi (toàn phần) tại một điểm  nếu tồn tại một phép biến đổi tuyến tính  sao cho

 

Ánh xạ tuyến tính  được gọi là đạo hàm (toàn phần) hoặc vi phân (toàn phần) của  tại . Ta cũng ký hiệu  hoặc . Một hàm là khả vi (toàn phần) nếu nó khả vi toàn phần tại mỗi điểm trong miền xác định.

Định nghĩa của đạo hàm toàn phần thể hiện rằng  là xấp xỉ tuyến tính tốt nhất của  tại điểm . Điều này có thể được chính xác hóa bằng cách định lượng sai số của xấp xỉ . Viết

 

với  là sai số trong phép tính gần đúng. Nói rằng đạo hàm của  tại  là  tương đương với

 

với  là ký hiệu o nhỏ và chỉ ra rằng  nhỏ hơn nhiều so với  khi . Đạo hàm toàn phần , nếu tồn tại, là duy nhất.

Đạo hàm toàn phần liên hệ với các đạo hàm riêng phần như sau:

 Định lý - Giả sử  là một hàm khả vi tại  với đạo hàm toàn phần . Thế thì đạo hàm theo hướng :  tồn tại với mọi  và ta có 
  
 Với  là các véc-tơ cơ sở tiêu chuẩn, ta thu được các đạo hàm riêng phần.

Ngược lại, ta cũng có một điều kiện đủ sau đây.

 Định lý - Giả sử  là một hàm thỏa mãn 
 *  một đạo hàm riêng phần  tồn tại tại điểm  
 *   đạo hàm riêng phần còn lại tồn tại trong một hình cầu mở chứa  và liên tục tại  
 Thế thì  khả vi tại .

 Hệ quả - Giả sử  có các đạo hàm riêng phần liên tục trên một tập mở . Thế thì  khả vi trên .
Ví dụ, ánh xạ  có đạo hàm toàn phần tại một điểm  là . Các đạo hàm riêng phần là  và .

Đạo hàm toàn phần như là một dạng vi phân 
Khi hàm đang xem xét có giá trị thực, đạo hàm toàn phần có thể được biểu diễn như là một dạng vi phân. Ví dụ, giả sử rằng  là một hàm khả vi của các biến .

Xét một véc-tơ trong 

 

Ta có

 

với

 

là một -dạng vi phân.

Đạo hàm của ánh xạ hợp 
Với hai hàm số  và , đạo hàm toàn phần của hàm hợp  tại  thỏa mãn

 

Nếu các đạo hàm toàn phần của  và  được xác định bởi các ma trận Jacobi, phép hợp ở vế phải ứng với phép nhân ma trận.

Chú thích

Tham khảo 

 A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
 Apostol, Tom M., 1981, Mathematical Analysis, Addison-Wesley Publishing Company
 From thesaurus.maths.org total derivative

Liên kết ngoài 

Giải tích toán học
Vi phân
Giải tích nhiều biến