Gốc của một i-đê-an

Trong lý thuyết vành giao hoán, một nhánh của toán học, gốc của một i-đê-an  (hay cũng gọi là ra-đi-can của , cũng viết là radical) là một i-đê-an sao cho một phần tử  là một phần tử trong gốc và chỉ khi một lũy thừa của  nằm trong . Một i-đê-an gốc (hay i-đê-an bán nguyên tố) là một i-đê-an có gốc bằng với chính nó. Gốc của một i-đê-an sơ cấp là một i-đê-an nguyên tố.

Khái niệm này được khái quát cho các vành không giao hoán trong bài viết về vành bán nguyên tố.

Định nghĩa 
Gốc của một i-đê-an  trong một vành giao hoán , ký hiệu  hoặc là , được định nghĩa là

Ví dụ 

 Xét vành  các số nguyên.

 Gốc của  là . 
 Gốc của  là . 
 Gốc của  là . 
 Gốc của  là  với  là tích các ước số nguyên tố phân biệt của .

 Xét i-đê-an  Ta có .

Tính chất 
Xét một vành giao hoán :

 Ta có .
  là giao của các i-đê-an nguyên tố chứa 
 Một i-đê-an  của một vành  là một i-đê-an gốc khi và chỉ khi vành thương  là một vành giảm.

Tham khảo 

 M. Atiyah, IG Macdonald, Giới thiệu về Đại số giao hoán, Addison-Wesley, 1994.  Mã số   0-201-40751-5 
 Eisenbud, David, Đại số giao hoán với quan điểm hướng tới hình học đại số, văn bản cao học toán học, 150, Springer-Verlag, 1995, . 
 Lang, Serge (2002), ‘’Đại số’’, Văn bản cao học Toán học, 211 (Sửa đổi lần thứ ba.), New York: Springer-Verlag, ISBN    Lang, Serge  Lang, SergeMR   1878556, Zbl   0984.00001

Lý thuyết vành