Đường số thực mở rộng

Trong toán học, hệ thống số thực mở rộng affine được tạo từ tập số thực  và hai phần tử vô cực:  và  trong đó các cực được coi như số. Nó hữu dụng trong việc mô tả đại số trên các cực cũng như nhiều hành vi của giới hạn trong vi tích phân và giải tích toán học, đặc biệt là trong lý thuyết độ đo và tích phân. Hệ thống số thực mở rộng affine được ký hiệu là  hoặc  hoặc là 

Khi đã rõ ngữ cảnh thì ký hiệu  có thể viết ngắn gọn thành

Lý do thúc đẩy

Giới hạn hàm số 
Thường thì để thuận lợi, ta thường hay mô tả hành vi của hàm  khi tham số  hoặc kết quả hàm  trở nên "lớn vô cùng" bằng một số phương pháp hoặc hình học. Để lấy ví dụ, xét hàm  được định nghĩa bởi

 

Đồ thị của hàm số này có tiệm cận ngang tại  Nhìn theo hình học thì, khi ta càng di chuyển về bên phải theo trục , giá trị của  càng gần đến . Hành vi giới hạn này giống với giới hạn của hàm số  trong đó số thực  tiến dần đến .

Việc thêm  và  trong tập  cho phép ta lập "giới hạn tại vô cực", với các tính chất tô pô tương tự như tập 

Định nghĩa dãy Cauchy của  cho phép định nghĩa  là tập các dãy  của số hữu tỷ thỏa mãn với mọi  được đi kèm tương ứng  sao cho  với mọi  Định nghĩa cho  có thể được định nghĩa tương tự.

Độ đo và tích phân 
Trong lý thuyết độ đo, thường để thuận lợi ta cho phép các tập có độ đo vô cực và tích phân có thể có giá trị truyền vào vô cực.

Chú thích

Tham khảo

Đọc thêm 

 
 

Vô cực
Số thực