Hàm nhân tính

Ngoài lý thuyết số, cụm từ hàm nhân tính thường được dùng để chỉ hàm nhân tính hoàn toàn. Bài viết này nói về hàm nhân tính trong ngữ cảnh lý thuyết số.

Trong lý thuyết số, một hàm nhân tính là một hàm số học  trên tập số nguyên dương với tính chất  và với mọi số  và  nguyên tố cùng nhau thì

Một hàm số học  được gọi là nhân tính hoàn toàn (hay nhân tính toàn bộ) nếu  và  thỏa với mọi số nguyên dương  và , bất kể chúng có nguyên tố cùng nhau hay không. Như vậy mọi hàm nhân tính hoàn toàn đều là hàm nhân tính, nhưng điều ngược lại không đúng.

Ví dụ 

Một số hàm nhân tính được đặt tên để việc viết công thức thuận tiện hơn:
 : hàm hằng, định nghĩa bởi  (nhân tính hoàn toàn).
 : hàm đồng nhất, định nghĩa bởi  (nhân tính hoàn toàn).
  với số phức  bất kỳ (nhân tính hoàn toàn).
 : hàm đơn vị, định nghĩa bởi  và  với mọi  khác 1 (nhân tính hoàn toàn).

Một số hàm nhân tính khác đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết số và được sử dụng rộng rãi, như là:

 gcd(n,k): ước chung lớn nhất của  và , một hàm theo  còn  cố định.
 : hàm phi Euler , đếm số số nguyên dương không quá  và nguyên tố cùng nhau với .
 : hàm Möbius, tính chẵn lẻ (−1 cho lẻ, +1 cho chẵn) của số ước nguyên tố của số không chính phương; 0 nếu  không phải số không chính phương.
 : hàm ước, tổng tất cả lũy thừa mũ  của các ước số dương của . Các trường hợp đặc biệt gồm
 , số ước dương của .
 , tổng các ước dương của .
 : số nhóm giao hoán bậc  tính đến đẳng cấu.
 : hàm Liouville,  trong đó  là tổng số ước nguyên tố của  đếm cả bội (nhân tính hoàn toàn).
 , định nghĩa bởi , trong đó hàm cộng tính  là số ước nguyên tố phân biệt của .
 : hàm tau Ramanujan.
 Mọi hàm đặc trưng Dirichlet đều là các hàm nhân tính hoàn toàn. Ví dụ như ký hiệu Legendre , xét là một hàm theo  còn  là số nguyên tố cố định.

Trong Bảng tra cứu dãy số nguyên trực tuyến (OEIS), dãy các giá trị của hàm nhân tính có thể được tìm bằng từ khóa "mult".

Tính chất 
Một hàm nhân tính được định nghĩa hoàn toàn bởi giá trị của nó tại các lũy thừa của số nguyên tố, một hệ quả của định lý cơ bản của số học. Do đó, nếu  có thể được phân tích thành  thì

Nếu  là một hàm nhân tính và  là hai số nguyên dương bất kỳ thì

trong đó  là hàm ước chung lớn nhất,  là bội chung nhỏ nhất.

Mọi hàm nhân tính hoàn toàn là một đồng cấu của monoid và được xác định bởi giá trị của nó tại các số nguyên tố.

Xem thêm
 Tích Euler
 Chuỗi Bell
 Chuỗi Lambert

Tham khảo

Liên kết ngoài
Planet Math

 
Hàm nhân