Đường cong elliptic

Trong toán học, một đường cong elliptic là một đường cong đại số phẳng được định nghĩa bằng phương trình có dạng

mà không có điểm đơn; nghĩa là, nó không có đỉnh nhọn hoặc tự cắt chính nó. (Khi đặc tính của trường hệ số bằng 2 hoặc 3, phương trình trên không phải đủ chung để bao gồm tất cả đường cong bậc ba không có điểm đơn; xem dưới đây để biết một định nghĩa chính xác hơn.)

Đại thể thì một đường cong elliptic là một đường cong đại số trơn, đối xứng bậc 1, trong đó có một điểm xác định O. Một đường cong elliptic là một loại biến đổi Abel - nghĩa là nó có một phép nhân được định nghĩa kiểu đại số, đối với nó là một nhóm Abel – và điểm O tồn tại với tư cách phần tử đơn vị. Thông thường bản thân đường cong, bỏ qua điểm O nói trên, được gọi là một đường cong elliptic. Điểm O trên thực tế là "điểm tại vô cực" trên mặt phẳng chiếu.

Nếu y2 = P(x), trong đó P là bất kỳ đa thức bậc ba đối với x mà không có nghiệm kép, thì chúng ta có được một đường cong phẳng không có điểm đơn bậc một, và là một đường cong elliptic. Nếu đa thức P có bậc 4 và không có nghiệm kép thì phương trình này lại mô tả một đường cong phẳng bậc 1; tuy nhiên, nó không có sự lựa chọn tự nhiên của phần tử đơn vị. Nhìn chung, bất kỳ đường cong đại số nào bậc 1, ví dụ giao điểm của hai mặt bậc hai trong không gian ba chiều, đều được gọi là một đường cong elliptic, với điều kiện nó phải có ít nhất một điểm đóng vai trò phần tử đơn vị.

Tham khảo

Sách tham khảo

 
 
 

   Chapter XXV

Liên kết ngoài

 
 The Mathematical Atlas: 14H52 Elliptic Curves 
 
 The Arithmetic of elliptic curves from PlanetMath
 Three Fermat Trails to Elliptic Curves , Ezra Brown, The College Mathematics Journal, Vol. 31 (2000), pp. 162–172, winner of the MAA writing prize the George Pólya Award.
 Matlab code for implicit function plotting  – Can be used to plot elliptic curves.
 Interactive introduction to elliptic curves and elliptic curve cryptography with Sage by Maike Massierer and the CrypTool team
 Geometric Elliptic Curve Model(Java-Applet drawing curves)
 Interactive elliptic curve over R and over Zp - Web application that requires HTML5 capable browser.
 Comprehensive database of Elliptic Curves over Q

Lý thuyết nhóm