Phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất

Trong toán học, đặc biệt là trong lý thuyết thứ tự, phần tử lớn nhất (cũng gọi là phần tử tối đại) của tập con  của một tập hợp sắp thứ tự một phần là một phần tử của  mà lớn hơn mọi phần tử khác trong . Phần tử nhỏ nhất (cũng gọi là phần tử tối tiểu) của  là một phần tử nhỏ hơn mọi phần tử khác của S.

g là một phần tử lớn nhất của S nếu

 s ≤ g, với mọi s thuộc S và .

Tương tự, g là một phần tử nhỏ nhất của S nếu

 , với mọi s thuộc S và .

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 

Xét  là một hàm số. Ta trang bị cho  thứ tự cảm sinh từ thứ tự trên . Thế thì phần tử lớn nhất của  được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số  và phần tử nhỏ nhất của  được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số  nếu chúng tồn tại.

Ví dụ 
Hàm số  có giá trị nhỏ nhất bằng  và không có giá trị lớn nhất. Hàm số  có giá trị lớn nhất bằng  và không có giá trị nhỏ nhất. Các hàm số  đều không có cả giá trị lớn nhất lẫn giá trị nhỏ nhất. Lưu ý rằng hàm  là một hàm bị chặn dưới. (Trong tất cả các ví dụ trên, tập xác định ).

Phần tử tối đại và phần tử tối tiểu 

Nhìn chung, một phần tử lớn nhất, nếu tồn tại, thì là một phần tử tối đại, và nó là phần tử tối đại duy nhất, nhưng điều ngược lại không đúng: một tập hợp có thể có nhiều phần tử tối đại mà không có phần tử lớn nhất.

Tương tự, một phần tử nhỏ nhất, nếu tồn tại, thì là phần tử tối tiểu duy nhất.

Tham khảo

Thư mục 
    
 Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương (tái bản lần thứ tám), 1972, Nhà xuất bản Giáo dục

So sánh bậc nhất
Lý thuyết thứ tự