Tập có hướng

Trong toán học, tập có hướng (hay tiền thứ tự có hướng hay tập bị lọc và đôi khi tập được định hướng) là một tập hợp khác rỗng  kèm theo một quan hệ hai ngôi có tính bắc cầu và phản xạ  (tức là tiền thứ tự), và kèm theo một tính chất khác là mọi cặp phần tử phải có cận trên. Nói cách khác, cho bất kỳ  và  thuộc  thì phải tồn tại  thuộc  sao cho  và  Tiền thứ tự của tập có hướng được gọi là hướng của tập hợp đó.

Khái niệm trên đôi được gọi trên là .  được định nghĩa tương tự như vậy,, nghĩa là mọi cặp phần tử đều có cận dưới. 
Một số tác giả (và ngay cả bài viết này) sẽ giả định trước rằng tập có hướng sẽ hướng lên, trừ phi nhắc trước trong bài. Một số tác giả khác gọi một tập là tập có hướng khi nó vừa hướng lên vừa hướng xuống.

Tập có hướng là dạng tổng quát của các tập hợp sắp thứ tự toàn phần khác rỗng. Do vậy, mọi tập sắp thứ tự toàn phần là tập có hướng (trái ngược với đó. các tập hợp sắp thứ tự riêng phần không nhất thiết phải có hướng. Nửa dàn có nối (và cũng là tập sắp thứ tự riêng phần) cũng là tập có hướng, nhưng không phải ngược lại. Tương tự như vậy, dàn là các tập có hướng lên vừa hướng lên vừa hướng xuống.

Trong tô pô, các tập có hướng được dùng định nghĩa lưới, lưới được dùng để dùng tể tổng quát hoá cho khái niệm dãy số và nhiều khác niệm khác của giới hạn được dùng trong giải tích. Bên cạnh đó, từ tập có hướng còn sinh ra khái niệm giới hạn trực tiếp trong đại số trừu tượng và tổng quát hơn là trong lý thuyết phạm trù.

Định nghĩa tương đương

Bên cạnh định nghĩa ở trên, có một định nghĩa khác tương đương như sau: Tập có hướng là tập hợp  đi kèm tiền thứ tự sao cho mọi tập con hữu hạn của  bị chặn trên. Trong định nghĩa này, sự tồn tại của cận trên của tập con rỗng sẽ suy ra  khác rỗng.

Ví dụ

Tập hợp các số tự nhiên  đi kèm thứ tự thông thường  là một trong những ví dụ quan trọng về tập có hướng (và cũng về tập hợp sắp thứ tự toàn phần). Theo định nghĩa,  là một hàm số từ tập có hướng đi từ tập có hướng, còn dãy số là hàm từ tập các số tựn hiên  Mỗi dãy số đều chính tắc trở thành một lưới bằng cách đi kèm với  thêm quan hệ  

Một ví dụ dễ gặp về tập sắp thứ tự riêng phần nhưng  có hướng là tập  cùng với hai quan hệ thứ tự duy nhất  và 

Nếu  là một số thực nào đó thì tập hợp  có thể biến đổi thành tập có hướng bằng cách định nghĩa  if  (để các số "lớn hơn" sẽ gần hơn với ). Khi đó ta nói rằng các số thực đang hướng về  Đây là ví dụ về một tập có hướng nhưng  sắp thứ tự riêng phần hay toàn phần. Lý do nó như vậy là bởi vì tính phản đối xứng không còn đúng cho mọi cặp  và  có cùng khoảng cách với  và  và  ở hai bên của  Cụ thể, nó xảy ra khi  cho một số thực  Khi đó sẽ có  và  mặc dù  Nếu tiền thứ tự này được định nghĩa ngay trên  thay vì  thì nó vẫn sẽ lập thành tập có hướng nhưng đồng thời nó sẽ có phần tử lớn nhất (duy nhất) chính là ; tuy nhiên, kể cả vậy nó vẫn sẽ không phải là tập sắp thứ tự toàn phần. Ví dụ này có thể tổng quát hoá cho không gian mêtric  bằng cách định nghĩa trên  hay  tiền thứ tự  khi và chỉ khi 

Sử dụng ví dụ "các số thực hướng về " ở trước nhưng đổi sao cho luật sắp xếp chỉ áp dụng với các cặp phần tử ở cùng một bên của  thì tập đó sẽ không có hướng nữa (bởi vì, nếu ta lấy   ở bên trái của  và  ở bên phải, thì  và  không so sánh được với nhau, và do vậy, tập con  không có cận trên).

Phần tử tối đại và phần tử lớn nhất

Phần tử  của tập sắp tiền thứ tự  là phần tử tối đại nếu cho mọi   suy ra 
Nó là phần tử lớn nhất nếu với mọi  

Bất kỳ tập sắp tiền thứ tự đi cùng với một phần tử lớn nhất đều là tập có hướng với cùng tiền thứ tự đó.
Ví dụ chẳng hạn, trong poset  mọi Bao đóng dưới của một phần tử (bao đóng dưới là các tập con có dạng  trong  là phần tử cố định được cho trước từ ) là tập có hướng. 

Mọi phần tử tối đại của tập sắp tiền thứ tự có hướng đều sẽ lớn nhất.  Thật vậy, tập sắp tiền thứ tự có hướng có đặc trưng là tập các phần tử tối đại (có thể rỗng) và tập các phần tử lớn nhất bằng với nhau,

Tích của các tập có hướng

Gọi  và  là hai tập có hướng. Khi đó, tích Descartes của chúng  có thể biến thành tập có hướng bằng cách định nghĩa  khi và chỉ khi  và  Tương tự với thứ tự tích, đây là hướng tích của tích Descartes. Ví dụ chẳng hạn, tập hợp  của các cặp số tự nhiên có thể biến thành tập có hướng bằng cách định nghĩa thêm quan hệ  khi và chỉ khi  and

Bao hàm tập hợp

Quan hệ bao hàm tập hợp  cùng với đối ngẫu của nó  định nghĩa thứ tự riêng phần trên bất kỳ họ các tập hợp. Họ khác rỗng của các tập hợp là tập có hướng tương ứng thứ tự riêng phần (hoặc ngược lại ) khi và chỉ khi phần giao (ngược lại là phần hợp) của bất kỳ hai trong số chúng chứa (ngược lại, là tập con của) một phần tử thứ ba nào đó. Viết dưới ký hiệu họ  của các tập hợp là tập có hướng theo quan hệ  (hoặc, ) khi và chỉ khi 
với mọi  tồn tại một số  sao cho  và  (ngược lại,  và ) 
hoặc tương đương, 
với mọi  tồn tại một số  sao cho  (ngược lại, ).

Nhiều ví dụ quan trọng của tập có hướng có thể định nghĩa bằng cách sử dụng các thứ tự riêng phần. Ví dụ chẳng hạn, theo định nghĩa,  hay  là họ tập hợp khác rỗng và là tập có hướng tương ứng với thứ tự riêng phần  và bên cạnh đó cũng không chứa tập rỗng (điều kiện này ngăn chặn tính tầm thường, bởi nếu kèm vào thì tập rỗng sẽ trở thành phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất tương ứng với ). 
Mọi -hệ thống (-hệ thống là học tập hợp khác rỗng đóng dưới phép giao bất kỳ hai phần tử trong tập hợp) là tập có hướng tương ứng  Mọi λ-hệ thống (hay hệ thống λ) là tập có hướng tương ứng với  Mọi bộ lọc, tô pô, và σ-đại số là tập có hướng tương ứng với  và  
Nếu  là bất kỳ lưới từ tập có hướng  thì cho bất kỳ chỉ số  tập hợp  được gọi là đuôi của  bắt đầu từ  Họ  của tất cả các đuôi là tập có hướng tương ứng với  thậm chí, nó còn là tiền bộ lọc.

Nếu  là không gian tô pô và  là một điểm trong  thì tập tất cả các lân cận của  có thể biến đổi thành tập có hướng bằng cách viết  khi và chỉ khi  chứa  Với mọi   và :
  bởi  chứa chính nó.
 Nếu  và  thì  và  suy ra  Do đó 
 Bởi  và vì đồng thời  và  nên  và 

Tập hợp  chứa tất cả tập con hữu hạn của tập  là tập có hướng tương ứng với  bởi cho bất kỳ hai  hợp của chúng  là cận trên của  trong  in  Tập có hướng này được dùng để định nghĩa tổng  của chuỗi đã tổng quát của họ đánh chỉ số  của các số  (hoặc tổng quát hơn là, tổng của các phần tử trong một nhóm tô pô giao hoán, ví dụ như các vectơ trong không gian vectơ tô pô) là giới hạn của lưới các tổng riêng phần  nghĩa là:

Trái với nửa dàn

Tập có hướng là khái niệm tổng quát hơn so với nửa dàn (có nối): mọi nửa dàn có nối là tập có hướng, bởi nối hay cận trên nhỏ nhất của hai phần tử bất kỳ là phần tử  cần tìm. Tuy nhiên, cái ngược lại chưa chắc đã đúng, xét tập có hướng {1000,0001,1101,1011,1111} sắp thứ tự theo từng bit (ví dụ  đúng, nhưng  thì không, bởi bit cuối 1 > 0), trong đó tập con {1000,0001} có ba cận trên nhưng không có cận trên , xem hình vẽ. (Đồng thời lưu ý rằng nếu bỏ 1111 đi, thì tập hợp này sẽ mất hướng)

Tập con có hướng
Quan hệ thứ tự trong tập có hướng không được yêu cầu là phải phản đối xứng, và do vậy tập có hướng không nhất thiết phải là sắp thứ tự riêng phần. Song, thuật ngữ  được dùng nhiều trong ngữ cảnh của tập sắp thứ tự riêng phần. Trong bối cảnh này, tập con  của tập sắp thứ tự riêng phần  được gọi là tập con có hướng nếu nó là tập có hướng theo cùng thứ tự riêng phần đó: nói cách khác, nó không phải tập rỗng, và mỗi cặp hai phần tử phải cận trên. Ở đây, vì quan hệ thứ tự trên  lấy từ ; nên không cần phải nhắc đến tính phản xạ và bắc cầu.

Tập con có hướng của tập sắp thứ tự riêng phần không nhất thiết phải đóng dưới; Tập con của tập sắp thứ tự riêng phần là tập có hướng khi và chỉ khi bao đóng xuống của nó là ideal. Trong khi định nghĩa (trong bài này) là cho tập "hướng lên", ta cũng có thể định nghĩa một tập hướng dưới sao cho mọi cặp phần tử đều có chung một cận dưới. Tập con của tập sắp thứ tự riêng phần là tập hướng xuống khi và chỉ khi bao đóng trên của nó là một bộ lọc.

Tập có hướng cũng được dùng trong lý thuyết miền, dùng để nghiên cứu các thứ tự riêng phần đầy đủ có hướng. Đây là các tập hợp sắp thứ tự riêng phần trong đó mỗi tập hướng lên được yêu cầu phải có cận trên nhỏ nhất. 

Xem thêm

 
 
 
 
 

Chú thích

Tham khảo

 J. L. Kelley (1955), General Topology.
 Gierz, Hofmann, Keimel, et al. (2003), Continuous Lattices and Domains'', Cambridge University Press. .

Quan hệ hai ngôi
Tô pô tổng quát
Lý thuyết thứ tự