Hàm số bậc năm

Trong đại số, hàm số bậc năm là hàm số có dạng

 

trong đó , , , ,  và  là thành viên của một trường, điển hình là trường số hữu tỷ, số thực hoặc số phức và  là khác không. Nói cách khác, một hàm bậc năm được xác định bởi một đa thức có bậc là năm.

Nếu  bằng 0 nhưng một trong các hệ số , ,  hoặc  là khác không, hàm được phân loại là hàm bậc bốn, hàm bậc ba, hàm bậc hai hoặc hàm tuyến tính.

Bởi vì các hàm này có bậc là lẻ, các hàm bậc năm bình thường có đồ thị tương tự như các hàm bậc ba bình thường khi được vẽ biểu đồ, ngoại trừ chúng có thể có thêm một điểm cực đại cục bộ và cực tiểu cục bộ bổ sung. Đạo hàm của hàm bậc năm là một hàm bậc bốn.

Đặt  và giả sử  tạo ra một phương trình bậc năm có dạng:

 

Việc giải các phương trình bậc năm theo dạng căn thức là một vấn đề lớn trong đại số từ thế kỷ 16, khi các phương trình bậc ba và bậc bốn được giải ra, cho đến nửa đầu thế kỷ 19, khi sự không tồn tại của một phép giải chung như vậy đã được Định lý Abel-Ruffini chứng minh.

Tìm nghiệm của một phương trình bậc năm 
Tìm các nghiệm của một đa thức đã cho là một vấn đề toán học nổi bật.

Việc giải các phương trình tuyến tính, bậc hai, bậc ba và bậc bốn bằng cách phân tích nhân tử thành các căn thức luôn có thể được thực hiện, bất kể nghiệm số là hữu tỷ hay vô tỷ, là số thực hay số phức; có những công thức mang lại nghiệm số cần thiết. Tuy nhiên, không có biểu thức đại số (nghĩa là về mặt căn thức) cho các nghiệm của phương trình bậc năm tổng quát bằng căn thức; tuyên bố này được gọi là định lý Ruffini Abel, lần đầu tiên được khẳng định vào năm 1799 và được chứng minh hoàn toàn vào năm 1824. Kết quả này cũng đúng cho các phương trình có bậc cao hơn 5. Một ví dụ về một phương trình bậc 5 có nghiệm không thể được biểu thị dưới dạng căn thức là . Phương trình này này là phương trình chuẩn hóa Bring-Jerrard.

Tham khảo 
 Charles Hermite, "Sur la résolution de l'équation du cinquème degré", Œuvres de Charles Hermite, t.2, pp. 5–21, Gauthier-Villars, 1908.
 Felix Klein, Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree, trans. George Gavin Morrice, Trübner & Co., 1888. .
 Leopold Kronecker, "Sur la résolution de l'equation du cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, t. XLVI, 1858 (1), pp. 1150–1152.
 Blair Spearman and Kenneth S. Williams, "Characterization of solvable quintics , American Mathematical Monthly, Vol. 101 (1994), pp. 986–992.
 Ian Stewart, Galois Theory 2nd Edition, Chapman and Hall, 1989. . Discusses Galois Theory in general including a proof of insolvability of the general quintic.
 Jörg Bewersdorff, Galois theory for beginners: A historical perspective, American Mathematical Society, 2006. . Chapter 8 () gives a description of the solution of solvable quintics .
 Victor S. Adamchik and David J. Jeffrey, "Polynomial transformations of Tschirnhaus, Bring and Jerrard," ACM SIGSAM Bulletin, Vol. 37, No. 3, September 2003, pp. 90–94.
 Ehrenfried Walter von Tschirnhaus, "A method for removing all intermediate terms from a given equation," ACM SIGSAM Bulletin, Vol. 37, No. 1, March 2003, pp. 1–3.
 Daniel Lazard, "Solving quintics in radicals", in Olav Arnfinn Laudal, Ragni Piene, The Legacy of Niels Henrik Abel, pp. 207–225, Berlin, 2004, , available at

Liên kết ngoài
 Mathworld - Quintic Equation – more details on methods for solving Quintics.
 Solving Solvable Quintics  – a method for solving solvable quintics due to David S. Dummit.
 A method for removing all intermediate terms from a given equation - a recent English translation of Tschirnhaus' 1683 paper.

Phương trình