Tích Euler

Trong lý thuyết số, tích Euler là dạng khai triển chuỗi Dirichlet thành tích vô hạn được đánh chỉ số bởi các số nguyên tố. Tích gốc xuất hiện trong bài chứng minh công thức cho tổng các số nguyên dương được mũ lên một giá trị nào đó của Leonhard Euler. Chuỗi này cùng với thác triển của nó trong mặt phẳng phức sau được biết đến là hàm zeta Riemann.

Định nghĩa 
Trong tổng quát, nếu  là hàm nhân tính bị chặn, thì chuỗi Dirichlet

bằng với

trong đó giá trị tích được lấy trên các số nguyên tố , và  là tổng

Thậm chí, nếu ta coi các hàm này là hàm sinh hình thức, thì sự tồn tại của tích Euler có hình thức là điều kiện cần và đủ sao cho  nhân tính: tức là  là tích của các  mỗi khi  phân tích thành tích của các lũy thừa nguyên tố  với các số nguyên tố  phân biệt.

Một trường hợp đặc biệt quan trọng là khi  nhân tính toàn phần, khi đó  là chuỗi hình học và do vậy

và là trường hợp đặc biệt của hàm zeta Riemann khi , và tổng quát hơn cho các ký tự Dirichlet.

Hội tụ 
Thực tế, tất cả trường hợp quan trọng đều là khi khai triển chuỗi vô hạn và tích vô hạn đều hội tụ tuyệt đối trong một số miền

tức là, miền đó là một trong trong một số bán mặt phẳng phải nằm trong mặt số phức. Tính chất này cho thêm một số thông tin bởi, để tích vô hạn có thể hội tụ thì phải có giá trị của nó phải khác không, do đó hàm cho bởi chuỗi vô hạn sẽ khác không tại bán mặt phẳng đó.

Trong lý thuyết của các dạng modula, thường thì sẽ có tích Euler có các đa thức bậc hai ở mẫu số. Tổng quát hơn, chương trình Langlands bao gồm giải thích đầy đủ cho mối liên hệ giữa các đa thức bậc  với lý thuyết biểu diễn cho .

Các ví dụ
Các ví dụ sau sử dụng ký hiệu  cho tập các số nguyên tố, nghĩa là:

Tích Euler gắn liền với hàm zeta Riemann , và cũng sử dụng tổng của chuỗi hình học, tức là

trong khi đối với hàm Liouville , khai triển của nó là

Sử dụng phần nghịch đảo, hai tích Euler cho hàm Möbius  là

và

Chia cái dưới cho cái trên ta được

Bởi khi lấy các giá trị chẵn của , hàm zeta Riemann  có giá trị là biểu thức giải tích dưới dạng bội hữu tỉ của , thì đối với các số mũ chẵn, giá trị của tích vô hạn là một số hữu tỉ. Ví dụ chẳng hạn, bởi , , và , nên

và tiếp tục như vậy, kết quả đầu tiên được tính và biết bởi Ramanujan. Họ các tích vô hạn này đồng thời tương đương với

trong đó  đến các ước số nguyên tố phân biệt của , và  là số các ước thiếu chính phương.

Nếu  là ký tự Dirichlet của giá trị dẫn  sao cho  nhân tính toàn phần và  chỉ phụ thuộc trên , và  nếu  không nguyên tố cùng nhau với , thì

Ở đây để tiện, ta bỏ khỏi tích các ước nguyên tố  của . Trong sách của ông, Ramanujan tổng quát hóa tích Euler cho hàm zeta thành

với ,  trong công thức là hàm polylôgarit. Khi  , tích trên bằng với  .

Hằng số toán học 
Một số hằng số có dạng khai triển tích Euler.

Công thức Leibniz cho 

có thể coi là một chuỗi Dirichlet sử dụng ký tự Dirichlet (duy nhất) modulo 4, được đổi thành tích Euler của các phân số siêu riêng biệt (là các phân số trong đó tử số và mẫu số chỉ cách nhau 1 đơn vị):

trong đó mỗi tử số là ước số nguyên tố và mỗi mẫu số là số gần nhất với bội của 4.

Các khai triển tích Euler cho một hằng số khác:

Hằng số Hardy–Littlewood cho số nguyên tố sinh đôi:

Hằng số Landau–Ramanujan:

 Hằng số Murata :

Hằng số Artin :

Hằng số totient của Landau :

Hằng số Feller–Tornier :

Hằng số lớp toàn phương :

Hằng số tổng totient :

Hằng số Sarnak :

Hằng số vô tâm :

Hằng số vô tâm  :

và nghịch đảo của nó :

Hằng số vô tâm mạnh :

Hằng số vô tâm mạnh  :

Hằng số Stephens :

Hằng số Barban :

Hằng số Taniguchi :

Hằng số của Heath-Brown và Moroz :

Chú thích

Tham khảo

 G. Polya, Induction and Analogy in Mathematics Volume 1 Princeton University Press (1954) L.C. Card 53-6388 (A very accessible English translation of Euler's memoir regarding this "Most Extraordinary Law of the Numbers" appears starting on page 91)
  (Provides an introductory discussion of the Euler product in the context of classical number theory.)
 G.H. Hardy and E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers, 5th ed., Oxford (1979)  (Chapter 17 gives further examples.)
 George E. Andrews, Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part I, Springer (2005), 
 G. Niklasch, ''Some number theoretical constants: 1000-digit values"

Liên kết ngoài

 

 
 

Lý thuyết số giải tích
Hàm zeta và L-hàm
Hằng số toán học
Tích vô hạn