Quy tắc nhân

Trong giải tích, quy tắc nhân là công thức dùng để tìm các đạo hàm của tích của 2 hay nhiều hàm. Được phát biểu rằng
 
hoặc phát biểu bằng ký hiệu Leibniz
 
Theo ký hiệu vi phân, công thức này có thể viết thành
 
Theo ký hiệu Leibniz, đạo hàm của tích của 3 hàm (đừng nhầm lẫn với Quy tắc nhân 3 của Eucler) là

Sự phát hiện 
Người được ghi nhận phát hiện quy tắc này là Gottfried Leibniz, ông đã chứng minh quy tắc nhân bằng các sử dụng vi phân. (Tuy nhiên, còn có lập luận rằng đó là do Isaac Barrow.) Dưới đây là chứng minh của Leibniz: Cho u(x) và v(x) là 2 hàm số khả vi với x. Khi đó vi phân của uv bằng
 
Do tích du·dv là "không đáng kể" (so với du và dv), Leibniz khẳng định rằng
 
Công thức này là thực chất là dạng vi phân của quy tắc nhân. Nếu chia vi phân dx cho 2 vế, ta có
 
mà viết lại theo ký hiệu Lagrange là

Ví dụ 
 Giả sử ta muốn tìm vi phân của hàm f(x) = x2 sin(x). Bằng cách quy tác nhân, ta có (x) = 2x sin(x) + x2 cos(x) (do đạo hàm của x2 là 2x và đạo hàm của sin là hàm cos).
 Trường hợp đặc biệt của quy tắc nhân là quy tắc nhân với hằng số, được phát biểu rằng: nếu c là một số và f(x) là hàm số khả vi thì cf(x) cũng khả vi, và (cf(x) = c(x). Quy tắc này tuân theo quy tắc nhân do đạo hàm của một hằng số chính là 0. Quy tắc nhân với hằng số và quy tắc cộng đối với đạo hàm chứng minh rằng phép lấy vi phân có tính chất tuyến tính.
 Các quy tắc áp dụng cho tích phân từng phần thực chất là được suy ra từ quy tắc nhân, giống nhứ (một phiên bản rút gọn) của quy tắc chia. (Nó là phiên bản "yếu" do không chứng minh được tính khả vi của thương mà chỉ suy ra đạo hàm nếu hàm khả vi.)

Chứng minh

Chứng minh bằng phân tích nhân tử (dựa trên nguyên tắc đầu tiên)

Tóm tắt chứng minh 
Bằng định nghĩa, nếu  là khả vi tại  thì
 
sao cho , cũng viết thành . Do đó:
 
Tìm giới hạn khi  cực tiểu cho ta kết quả.

Quy tắc chuỗi 
Quy tắc nhân có thể coi là trường hợp đặc biệt của quy tắc chuỗi với nhiều biến.

Giải tích không chuẩn

Giải thích cực tiểu trơn

Tổng quát hóa

Tích nhiều hơn hai nhân tử

Đạo hàm cấp cao

Đạo hàm một phần cấp cao

Không gian Banach

Phép lấy đạo hàm trong đại số trừu tượng

Các hàm vector

Trường vô hướng

Ứng dụng

Xem thêm 
 Đạo hàm (đại số vi phân)
 Vi phân (toán học)
 Quy tắc Leibniz tổng quát
 Quy tắc chia
 Quy tắc đối

Tham khảo

Liên kết ngoài 
 Bài toán Thực tế về Quy tắc nhân [Kouba, Đại học California: Davis]

Định lý trong giải tích
Định lý trong tính toán