Sinh nhật của Cheryl

"Sinh nhật của Cheryl" là một câu đố logic, cụ thể là một câu đố về kiến thức. Mục đích là xác định ngày sinh của cô gái tên Cheryl thông qua một số manh mối đưa cho hai người bạn của cô là Albert và Bernard. Câu đố đã được hỏi trong cuộc thi Olympic Toán học Singapore và châu Á và được đăng tải trực tuyến vào ngày 10 tháng 4 năm 2015 bởi người dẫn chương trình truyền hình người Singapore, ông Kenneth Kong. Câu đó trở nên thịnh hành chỉ trong vài ngày.

Nguồn gốc 
Câu hỏi được đăng trên Facebook bởi người dẫn chương trình truyền hình Singapore, Kenneth Kong. Bài đăng đã thu hút hàng ngàn bình luận, trong đó có nhiều bình luận hài hước, nhiều người nhắm vào Cheryl, người dường như không muốn tiết lộ ngay ngày sinh nhật của cô. Kong đã đăng bài đố sau khi tranh luận với vợ anh. Lúc đầu, anh ta nghĩ rằng nó là một phần của câu hỏi toán học cho kỳ thi tiểu học dành cho các học sinh từ 10 đến 11 tuổi, mặc dù nó là một phần của Olympic Toán học Singapore và Châu Á 2015 (SASMO) dành cho học sinh 14 tuổi. Cuộc thi được tổ chức vào ngày 8 tháng 4 năm 2015, với 28.000 người tham gia từ Singapore, Thái Lan, Việt Nam, Trung Quốc và Vương quốc Anh. Theo ban tổ chức của SASMO, bài kiểm tra đã nhắm đến 40% thí sinh hàng đầu và nhằm mục đích "sàng lọc những học sinh giỏi hơn". Giám đốc điều hành của SASMO nói với BBC rằng "có một nơi cho một số loại tư duy logic và phân tích tại nơi làm việc và trong cuộc sống hàng ngày của chúng ta".

Câu hỏi 
Câu hỏi là số 24 trong danh sách 25 câu hỏi và được dịch như sau:

"Albert và Bernard vừa trở thành bạn bè với Cheryl, và họ muốn biết ngày nào là sinh nhật của cô ấy. Cheryl cung cấp cho họ danh sách gồm 10 ngày, trong đó có ngày sinh nhật của cô: 

Cheryl sau đó nói riêng với Albert biết tháng và Bernard biết ngày sinh nhật của cô.

Albert: Mình không biết sinh nhật của Cheryl là ngày nào, nhưng mình biết rằng Bernard cũng không biết.
Bernard: Lúc đầu mình không biết ngày nào sinh nhật của Cheryl, nhưng bây giờ mình biết rồi.
Albert: Bây giờ mình cũng biết ngày nào là sinh nhật của Cheryl rồi.

Vậy sinh nhật của Cheryl là ngày nào?"

Lời giải 
Câu trả lời cho câu hỏi là ngày 16 tháng 7.

Câu trả lời có thể được suy luận bằng phương pháp loại trừ. Bản dịch được chỉnh sửa sau là cách Alex Bellos trên tờ báo The Guardian của Anh trình bày kết quả của câu đố:

Lời giải sai 
Sau ngày câu hỏi trở nên phổ biến, một số người đã cho rằng ngày 17 tháng 8 cũng là một câu trả lời đúng. Câu trả lời này bị từ chối và là một đáp án không hợp lệ trong cuộc thi Olympic Toán học Singapore và Châu Á.

Các giải pháp đi đến câu trả lời này quên đi phần viết ở dưới của câu hỏi:

Albert: mình không biết sinh nhật của Cheryl là ngày nào, nhưng mình biết rằng Bernard cũng không biết.

cung cấp thông tin cho Bernard về cách Albert có thể suy luận điều này. Bernard sẽ chỉ biết ngày sinh nhật nếu ngày đó không trùng tháng với các ngày khác, 18 hoặc 19. Do đó, Albert có thể suy luận rằng "Bernard không biết" bởi vì anh ta nghe thấy một tháng không có hai ngày đó (tháng 7 hoặc tháng 8). Nhận ra điều này, Bernard có thể loại trừ tháng 5 và tháng 6, cho phép anh ta suy ra một ngày duy nhất ngay cả ngày anh ta được Cheryl cho biết ngày 15 hoặc 16, không chỉ 17.

Như các nhà tổ chức của SASMO đã chỉ ra, ngày 17 tháng 8 sẽ là lời giải đúng nếu chuỗi phát biểu bắt đầu với câu Bernard nói rằng anh ta không biết ngày sinh nhật của Cheryl:

Bernard: Mình không biết ngày nào là sinh nhật của Cheryl.
Albert: Mình vẫn không biết ngày nào là sinh nhật của Cheryl.
Bernard: Lúc đầu mình không biết sinh nhật của Cheryl là ngày nào, nhưng bây giờ mình biết rồi.
Albert: Rồi bây giờ mình cũng biết ngày nào là sinh nhật của Cheryl.

Nó cũng sẽ là câu trả lời đúng nếu khẳng định đầu tiên được đưa ra bởi Cheryl:
Cheryl: Bernard không biết ngày nào là sinh nhật của mình.
Albert: Mình vẫn không biết ngày nào là sinh nhật của Cheryl.
Bernard: Lúc đầu mình không biết sinh nhật của Cheryl là ngày nào, nhưng giờ mình đã biết.
Albert: Rồi bây giờ mình cũng biết ngày nào là sinh nhật của Cheryl.

Lưu ý: Các câu nói cuối cùng của Albert trong hai ví dụ trên chỉ hoàn thành các đoạn đối thoại, người đọc không cần chúng để xác định ngày sinh của Cheryl là ngày 17 tháng 8.

Hậu truyện 
Vào ngày 14 tháng 5 năm 2015, Đại học Công nghệ Nanyang đã tải lên phần thứ hai cho câu hỏi trên Facebook, lần này có tiêu đề "Tuổi của Cheryl". Nó được dịch như sau:

"Bây giờ Albert và Bernard muốn biết Cheryl bao nhiêu tuổi.

Cheryl: Mình có hai em trai. Tích tất cả số tuổi của chúng mình (tức là tuổi của mình và tuổi của hai anh em mình) là 144, giả sử rằng chúng mình sử dụng số tự nhiên để đếm tuổi của mình.
Albert: Chúng mình vẫn chưa biết tuổi của bạn. Bạn có thể cho chúng mình những gợi ý khác không?
Cheryl: Tổng tất cả số tuổi của chúng mình là số xe buýt của xe buýt chúng ta đang đi.
Bernard: Tất nhiên chúng mình biết số xe buýt, nhưng chúng mình vẫn không biết tuổi của bạn.
Cheryl: À, mình quên nói với các bạn rằng hai em mình bằng tuổi nhau.
Albert và Bernard: À, bây giờ chúng mình biết rồi.

Vậy tuổi của Cheryl là bao nhiêu?"

Lời giải 
Trước tiên Cheryl nói rằng cô là người lớn tuổi nhất trong ba chị em và tuổi của họ nhân lên thành 144. 144 có thể được phân tích thành thừa số nguyên tố theo định lý cơ bản của số học (144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3) và từ đó có thể suy ra tất cả các số tuổi có thể cho Cheryl và hai em trai của cô (ví dụ: 16, 9, 1 hoặc 8, 6, 3, v.v.). Các tổng của các số tuổi sau đó có thể được tính. Bởi vì Bernard (người biết số xe buýt) không thể xác định tuổi của Cheryl mặc dù đã được cho biết tổng này, nên đó không phải là tổng duy nhất trong số các giải pháp có thể cho ra. Khi kiểm tra tất cả các số tuổi có thể, hóa ra có hai cặp số tuổi có thể cộng thành cùng một số: 9, 4, 4 và 8, 6, 3, tổng bằng 17 và 12, 4, 3 và 9, 8, 2, tổng bằng 19. Cheryl sau đó nói rằng các em trai của cô bằng tuổi, loại bỏ ba khả năng cuối cùng và chỉ còn lại 9, 4, 4, vì vậy chúng ta có thể suy luận rằng Cheryl 9 tuổi và hai em trai cô 4 tuổi, và xe buýt ba họ đang đi có số 17.

Hậu truyện thứ hai 
Ngày 25 tháng 5 năm 2015, nhà toán học Alex Bellos đã xuất bản phần thứ hai của câu đố với tên là "Sự trả thù của Denise" trong mục "Câu đố ngày thứ Hai của Alex Bellos" trên tờ The Guardian. Người viết phần hậu truyện này cũng chính là tác giả của câu đố gốc Sinh nhật của Cheryl, Tiến sĩ Joseph Yeo Boon Wooi. Trong bài báo, Bellos giải thích rằng phần này có sự tham gia của một nhân vật mới. Câu đố cho biết:

Albert, Bernard và Cheryl kết bạn với Denise và họ muốn biết sinh nhật của cô là ngày nào. Denise cho họ một danh sách gồm 20 ngày, trong đó có câu trả lời đúng.

 17 tháng 2 năm 2001
 13 tháng 3 năm 2001
 14 tháng 4 năm 2001
 15 tháng 5 năm 2001
 17 tháng 6 năm 2001

 16 tháng 3 năm 2002
 15 tháng 4 năm 2002
 14 tháng 5 năm 2002
 12 tháng 6 năm 2002
 16 tháng 8 năm 2002

 13 tháng 1 năm 2003
 16 tháng 2 năm 2003
 14 tháng 3 năm 2003
 11 tháng 4 năm 2003
 16 tháng 7 năm 2003

 19 tháng 1 năm 2004
 18 tháng 2 năm 2004
 19 tháng 5 năm 2004
 14 tháng 7 năm 2004
 18 tháng 8 năm 2004

Denise lần lượt nói riêng tháng, ngày và năm sinh của mình cho Albert, Bernard và Cheryl biết. Cuộc trò chuyện sau đó:

Albert: Mình không biết sinh nhật Denise là  ngày nào, nhưng mình biết chắc Bernard cũng không biết.
Bernard: Mình vẫn không biết ngày nào là sinh nhật Denise, nhưng mình chắc chắn Cheryl cũng chưa biết.
Cheryl: Mình cũng không biết Denise sinh ngày nào, nhưng mình biết chắc rằng Albert cũng vẫn chưa biết.
Albert: Bây giờ mình biết sinh nhật của Denise rồi.
Bernard: Bây giờ mình cũng biết rồi.
Cheryl: Mình cũng vậy.

Vậy sinh nhật của Denise là ngày nào?

Lời giải 
Ngày hôm sau, Alex Bellos xuất bản lời giải sử dụng phương pháp loại trừ cho Sự trả thù của Denise.

Tóm tắt lời giải:
 Albert: Mình không biết sinh nhật Denise là ngày nào, nhưng mình biết Bernard cũng không biết.
Albert chỉ có tháng nên rõ ràng không biết. Tuy nhiên, anh biết rằng Bernard cũng không biết, điều đó có nghĩa là anh biết số ngày không phải là duy nhất, tức nó không thể là 11 hay 12 (hai ngày duy nhất xuất hiện một lần). Tương tự, để Albert biết điều đó, chúng ta có thể kết luận rằng Albert biết rằng số tháng không phải là 4 hay 6. Điều này giúp loại bỏ 11 tháng 4 năm 2003, 12 tháng 6 năm 2002, 13 tháng 4 năm 2001, 15 tháng 4 năm 2002 và 17 tháng 6 năm 2001.
 Bernard: Mình vẫn chưa biết sinh nhật Denise là ngày nào, nhưng mình biết Cheryl cũng chưa biết.
Khẳng định này cho chúng ta hai manh mối. Đầu tiên, Bernard nói, sau khi đưa ra suy luận tương tự như Albert, "Mình vẫn chưa biết sinh nhật Denise là ngày nào,...". Bernard đã biết ngày, vì vậy nếu anh làm theo lý luận của Albert nhưng vẫn không có câu trả lời đúng, điều đó có nghĩa là ngày chính xác không phải là một trong những ngày có những ngày chỉ xuất hiện một lần; tức là 15 tháng 5 năm 2001 và 17 tháng 1 năm 2001.

Rồi anh tiếp tục nói "...nhưng mình biết Cheryl vẫn chưa biết." Cách duy nhất để Cheryl biết câu trả lời là nếu cô chỉ có một ngày còn lại trong năm mà cô đã biết. Năm duy nhất có một ngày còn lại là năm 2001 (13 tháng 3 năm 2001), vì vậy nếu Bernard biết rằng Cheryl không biết câu trả lời thì có nghĩa là số ngày (thông tin duy nhất mà Bernard biết) không phải là 13. Điều đó giúp loại bỏ 13 tháng 3 năm 2001 và ngày 13 tháng 1 năm 2003.

Tham khảo 

Vấn đề toán học
Câu đố
Sinh nhật