Công thức De Moivre

Trong toán học, công thức de Moivre (hay định thức de Moivre, đẳng thức de Moivre, tiếng Anh: de Moivre's formula) phát biểu rằng với mọi số thực  và số nguyên , đẳng thức sau luôn xảy ra, với  là đơn vị ảo ():

 

Công thức được đặt theo tên của nhà toán học Abraham de Moivre, mặc dù ông chưa bao giờ đề cập nó trong các tác phẩm của mình.Công thức này có giá trị chủ yếu ở việc liên kết các số phức với công thức lượng giác. Bằng việc khai triển biểu thức ở vế trái sau đó sử dụng điều kiện để hai số phức bằng nhau, công thức de Moivre có thể được sử dụng để khai triển  và  dưới dạng đơn giản hơn là đa thức của  và .

Như nội dung của công thức, đẳng thức này không được áp dụng hoàn toàn cho trường hợp  không phải là số nguyên.

Ví dụ 
Với  và , công thức de Moivre có thể được áp dụng như sau:hoặc tương đương vớiTrong ví dụ này, có thể kiểm tra được đẳng thức có đúng hay không bằng cách khai triển phép bình phuơng ở vế trái.

Mối quan hệ với công thức Euler 
Công thức de Moivre là hệ quả cho công thức Euler - công thức thiết lập mối quan hệ giữa các hàm lượng giác và hàm mũ với số mũ phức:

Sử dụng tính chất của phép lũy thừa, có thể sử dụng công thức Euler để suy ra công thức de Moivre, bằng cách viết như sau: 

sử dụng công thức Euler cho vế trái, vế trái tuơng đuơng với , vế phải sẽ tuơng đuơng với:

Chứng minh bằng quy nạp 
Công thức de Moivre có thể được chứng minh bằng cách sử dụng phép quy nạp cho các số tự nhiên, từ đó mở rộng ra các số nguyên. Với số nguyên  cho trước, gọi mệnh đề sau đây là : 

Với , phép quy nạp toán học bắt đầu từ đây.  là một mệnh đề đúng, từ đó giả sử  là mệnh đề đúng với số  nguyên nào đó, điều này tuơng đuơng với: 

Xét mệnh đề : 

Từ đó dẫn tới khi  đúng,  cũng đúng, từ đó theo phép quy nạp toán học, công thức này đúng với mọi số tự nhiên.  cũng là mệnh đề đúng do . Với các số nguyên âm. xét một số nguyên âm  là số đối của , khi đó:

Phuơng trình (*) là một phuơng trình đúng nhờ có tính chất:
 ở đó . 

Từ đó,  đúng với mọi số nguyên

Công thức hạ bậc của sin và cosin 
Để hai số phức có thể bằng nhau, phần thực và phần ảo của chúng đều phải đôi một bằng nhau. Nếu như , hay  và  đều là những số thực, khi đó chúng đều có thể được sử dụng để thiết lập mối quan hệ bằng nhau bằng việc sử dụng định lý nhị thức. Công thức này được phát biểu lần đầu tiên vào thế kỷ thứ 16 bởi nhà toán học người Pháp François Viète: 

Ở vế phải của cả hai đồng nhất thức, hệ số tự do hoặc là 1, -1 hay 0. Hai đồng nhất thức này đúng kể cả khi  là một số phức. Dưới đây là hai ví dụ cho trường hợp  và : 

Bản chất vế trái của đồng nhất thức với  là giá trị của  - một đa thức Chebyshev.

Số mũ không nguyên 
Công thức de Moivre không chắc chắn đúng khi số mũ không nguyên, do khi một số phức được lũy thừa hóa với số mũ không nguyên, có nhiều hơn một kết quả được thu lại. Ví dụ, với , công thức de Moivre khi được áp dụng cho ra kết quả: 

 Với , công thức tuơng đuơng  và, 
 Với , công thức lại tuơng đuơng với 

Điều này xảy ra do  vừa bằng 1, vừa bằng -1, nên công thức không đúng trong trường hợp này.

Phát biểu đồng dạng

Hàm lượng giác hyperbolic 
Do , một phát biểu đồng dạng cũng xuất hiện với các hàm hyperbol, rằng với mọi số nguyên : 

Nếu  là một số hữu tỉ, khi đó  sẽ là một giá trị của

Mở rộng với số phức 
Công thức với số phức  vẫn có dạng: 

, khi mà:

Ma trận vuông 2x2 
Xét ma trận , khi đó: 

Đẳng thức này có thể được chứng minh bằng phép quy nạp như công thức de Moivre.

Chú thích 

Số phức