Định nghĩa (ε, δ) của giới hạn

Trong giải tích, định nghĩa  của giới hạn (định nghĩa giới hạn bằng ký tự epsilon–delta) là một phát biểu chặt chẽ cho khái niệm của giới hạn. Khái niệm này xuất phát từ Augustin-Louis Cauchy, tuy không định nghĩa  trong quyển Cours d'Analyse của mình, nhưng thỉnh thoảng dùng phép lập luận bằng  trong các chứng minh của mình. Định nghĩa chặt chẽ đầu tiên được đưa bởi Bernard Bolzano năm 1817, và phát biểu hoàn chỉnh hiện đại do Karl Weierstrass đưa ra. Nó làm chặt chẽ định nghĩa không chính thức sau: hàm số  tiến tới giá trị  khi biến số  tiến tới giá trị  nếu  có thể ở gần  tùy ý như mong muốn khi đưa  đủ gần đến .

Lịch sử 
Mặc dù người Hy Lạp cổ đại từng xem xét các quá trình giới hạn, như là phương pháp Babylon, nhiều khả năng họ không có khái niệm giới hạn giống như ngày nay. Nhu cầu cho khái niệm giới hạn xuất hiện trong thế kỷ 17 khi Pierre de Fermat cố tìm độ dốc của đường tiếp tuyến tại một điểm  của một hàm số như là . Sử dụng một đại lượng khác không nhưng gần bằng không , Fermat đã tính độ dốc  bằng cách sau:

Điểm then chốt cho phép tính trên là do  khác không nên ta có thể chia  cho , nhưng do  gần bằng không,  cũng giống như . Đại lượng như  được gọi là infinitesimal (vô cùng bé). Tuy nhiên, các nhà toán học thời đó không thể định nghĩa chặt chẽ một đại lượng với tính chất của  như trên, nhưng các nhà toán học vận thường dùng các đại lượng vô cùng bé như thế và có vẻ vẫn cho ra kết quả đúng.

Vấn đề này lại xuất hiện sau đó trong việc phát triển bộ môn giải tích do những tính toán như của Fermat được dùng để tính đạo hàm. Isaac Newton lần đầu phát triển giải tích bằng một đại lượng vô cùng bé gọi là fluxion. Ông phát triển chúng với ý tưởng về một "khoảng khắc vô cùng ngắn..." Tuy nhiên, Newton sau đó từ bỏ fluxion mà thay vào đó là một lý thuyết về tỉ số gần giống với định nghĩa  hiện đại của giới hạn. Hơn nữa, Newton biết rằng giới hạn của tỉ số hai đại lượng gần bằng không không phải là tỉ số, như ông đã viết:
Những tỉ số cuối cùng đó... không phải là tỉ số của các đại lượng tới hạn, mà là giới hạn... mà chúng có thể tiếp cận gần đến mức hiệu của chúng nhỏ hơn bất kỳ con số nào...
Thêm vào đó, Newton đôi khi giải thích giới hạn theo nghĩa giống với định nghĩa epsilon–delta. Gottfried Wilhelm Leibniz xây dựng một infinitesimal và cố gắng làm nó chặt chẽ, nhưng vẫn bị một số nhà toán học và triết học nghi ngờ.

Augustin-Louis Cauchy đưa ra định nghĩa của giới hạn bằng một khái niệm đơn giản hơn mà ông gọi là một "đại lượng biến thiên". Ông chưa bao giờ đưa ra định nghĩa epsilon–delta cho giới hạn (Grabiner 1981), tuy nhiên một số chứng minh của ông chứa dấu hiệu của phương pháp này. Liệu cách tiếp cận của ông có thể coi là tiền đề cho Weierstrass là một vấn đề được tranh cãi; Grabiner cho là có, trong khi Schubring (2005) thì nghĩ là không.

Cuối cùng, Weierstrass và Bolzano đều được công nhận là đã đưa ra nền tảng chặt chẽ cho giải tích sử dụng định nghĩa  của giới hạn.
 Đại lượng vô cùng bé  trở nên không cần thiết và thay vào đó là giới hạn:

Tuy nhiên định nghĩa này không hẳn là không có vấn đề, dù nó loại bỏ đại lượng vô cùng bé, nhưng lại cần việc xây dựng số thực của bởi Richard Dedekind. Đại lượng vô cùng bé cũng không hẳn bị lãng quên, chúng vẫn có chỗ đứng trong toán học nhờ vào sự hình thành của các tập số siêu thực (hyperreal number) hay số kỳ quái (surreal number). Hơn nữa, ta có thể xây dựng giải tích một cách chặt chẽ bằng những đại lượng này và chúng được dùng trong những tình huống khác.

Phát biểu không chính thức
Một định nghĩa không chính quy (tức là, theo trực cảm hay tạm thời) là một "hàm số  tiếp cận giới hạn  gần  (bằng ký hiệu, ) nếu ta có thể làm  gần  tùy ý bằng cách cho  đủ gần, nhưng không bằng, ."

Khi ta nói hai đại lượng gần nhau (như là  và  hay  hay ) ý chỉ hiệu (hay khoảng cách) giữa chúng là nhỏ. Trong trường hợp , , , và  là các số thực, hiệu hay khoảng cách giữa hai số là giá trị tuyệt đối của hiệu hai số đó. Do đó, khi ta nói  gần với  nghĩa là  nhỏ. Tương tự, khi ta nói  gần , nghĩa là  nhỏ.

Khi ta nói có thể làm  gần  tùy ý, nghĩa là với mọi khoảng cách  lớn hơn 0, ta có thể làm khoảng cách giữa  và  nhỏ hơn 

Khi ta nói có thể làm  gần  tùy ý bằng cách cho  đủ gần nhưng không bằng , nghĩa là với mọi khoảng cách khác không , tồn tại một khoảng cách khác không  sao cho nếu khoảng cách giữa  và  nhỏ hơn  thì khoảng cách giữa  và  nhỏ hơn

Phát biểu chính xác

Phát biểu cho hàm số thực
Định nghĩa  cho giới hạn của hàm số là:

 Gọi    là một hàm giá trị thực định nghĩa trên tập con  của tập số thực. Gọi  là một điểm giới hạn của  và  là một số thực. Ta nói
 
 nếu với mọi  tồn tại một  sao cho, với mọi , nếu , thì 

Bằng ký hiệu:
 −  − 
 −  − 
 −  − 
 −  − 
Nếu  hoặc , điều kiện  là điểm giới hạn có thể được thay bằng  thuộc , do khoảng số thực và toàn bộ tập số thực đều là các tập hợp đầy đủ.

Chú ý: trong định nghĩa, phần tử  là phụ thuộc vào  và đôi khi còn phụ thuộc vào cả hàm . Do đó, để tránh nhầm lẫn, nhiều người thường dùng kí hiệu  hay  thay vì .

Phát biểu cho hàm số giữa không gian mêtric 

Định nghĩa trên có thể được mở rộng cho hàm số giữa các không gian mêtric. Những không gian này mang một hàm số, gọi là một mêtric, lấy hai điểm trong không gian đó và trả về một số thực biểu diễn khoảng cách giữa hai điểm đó. Định nghĩa tổng quát là:

 Giả sử  được định nghĩa trên tập con  của không gian mêtric  với mêtric là  và đi vào không gian mêtric  với mêtric . Gọi  là một điểm giới hạn của  và  là một điểm trong . Khi đó ta nói
 
nếu với mọi , tồn tại một số  sao cho với mọi , nếu  thì 

Cụ thể, mêtric của tập số thực là , do đó định nghĩa trên là trường hợp tổng quát cho định nghĩa đầu tiên với hàm số thực.

Phát biểu phủ định 

Phủ định của định nghĩa trên cho không gian mêtric là như sau:

 Giả sử  được định nghĩa trên tập con  của không gian mêtric  với mêtric là  và đi vào không gian mêtric  với mêtric . Gọi  là một điểm giới hạn của  và  là một điểm trong . Khi đó ta nói
 
 nếu tồn tại một  sao cho với mọi  thì tồn tại một  sao cho  và 

Ta nói  không tồn tại nếu với mọi , .

Trong trường hợp số thực, ta chỉ cần thay .

Phát biểu cho giới hạn ở vô cùng
Phát biểu chính xác trong trường hợp giới hạn ở vô cùng như sau:

 Giả sử  được định nghĩa trên tập con  của không gian mêtric  với mêtric là  và đi vào không gian mêtric  với mêtric . Gọi  là một điểm trong . Khi đó ta nói
 
 nếu với mọi , tồn tại một số thực  sao cho với mọi  thỏa  thì

Ví dụ

Ví dụ 1
Ta sẽ chứng minh giới hạn sau bằng cách áp dụng định nghĩa trên

 

Cho trước số . Ta cần tìm một  sao cho .

Do hàm sin bị chặn trên bởi 1 và chặn dưới bởi −1,

Do đó, nếu ta lấy , thì từ , ta suy ra . Chứng minh hoàn tất.

Ví dụ 2 
Ta sẽ chứng minh

 
với mọi số thực 

Cố định số . Ta sẽ tìm một số  sao cho .

Ta bắt đầu bằng cách phân tích nhân tử :

 

Do được tùy ý chọn  nên ta có thể cho  rồi sau đó chọn một số nhỏ hơn 1 làm 

Vậy ta có . Sử dụng bất đẳng thức tam giác, ta có

 

Suy ra

 

Do đó, nếu ta giả sử thêm

thì

Tóm lại, ta chỉ cần đặt
 

Khi ấy, nếu  thì

 

Như vậy, ta đã tìm được một số  sao cho nếu  thì . Từ đó, ta suy ra
 
với mọi số thực

Ví dụ 3
Ta sẽ chứng minh tính chất sau của giới hạn

 
với điều kiện các giới hạn ở vế phải tồn tại. Đặt  và 

Cố định số . Ta cần tìm số  sao cho nếu  thì 

Từ định nghĩa của giới hạn, ta suy ra tồn tại các số  và  sao cho

Ta có thể chọn . Khi ấy, nếu  thì cả hai bất đẳng thức trên đều đúng. Sử dụng bất đẳng thức tam giác, ta có

Như vậy  đã chọn thỏa yêu cầu của giới hạn, ta có điều phải chứng minh.

Xem thêm 
 Giới hạn của hàm số
 Hàm số liên tục
 Giới hạn của dãy
 Danh sách các chủ đề giải tích

Tham khảo

Đọc thêm 
 
 

Giới hạn (toán học)
Giải tích toán học