Hàm đồng nhất

Trong toán học, hàm đồng nhất (), còn gọi là quan hệ đồng nhất, ánh xạ đồng nhất hay phép biến đổi đồng nhất, là một hàm số luôn luôn trả về giá trị bằng chính tham số của nó. Cụ thể, hàm đồng nhất  là hàm số thỏa  với mọi .

Định nghĩa
Chính xác hơn, nếu  là một tập hợp, hàm đồng nhất  trên  được định nghĩa là hàm với tập xác định và tập giá trị  thỏa mãn:
   với mọi phần tử  thuộc tập .
Hàm số trên vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh, nên nó là song ánh.

Hàm đồng nhất trên  thường được ký hiệu là .

Tính chất đại số
Nếu  là một hàm số bất kỳ thì ta có  (trong đó "∘" ký hiệu hàm hợp). Nói cách khác,  là phần tử đơn vị của monoid của tất cả hàm số từ  đến .

Do phần tử đơn vị của một monoid là duy nhất, ta có thể định nghĩa hàm đồng nhất trên  là phần tử đơn vị này. Định nghĩa như thế mở rộng cho trường hợp ánh xạ đồng nhất trong lý thuyết phạm trù, khi ấy pháp tự đồng cấu của  không nhất thiết là hàm số.

Các tính chất
 Hàm đồng nhất trên tập số nguyên là một hàm nhân tính hoàn toàn trong ngữ cảnh lý thuyết số. 
 Hàm đồng nhất là một toán tử tuyến tính, khi áp dụng cho không gian vectơ. Trong không gian vectơ  chiều, hàm đồng nhất được biểu diễn bởi ma trận đơn vị , bất kể cơ sở.
 Trong một không gian metric, hàm đồng nhất có tính đẳng cự.
 Trong một không gian topo, hàm đồng nhất liên tục.
 Hàm đồng nhất có tính lũy đẳng.

Tham khảo

Hàm số và ánh xạ
Toán học sơ cấp
Khái niệm cơ bản trong lý thuyết tập hợp
Loại hàm số
1 (số)