Thặng dư (giải tích phức)

Trong toán học, cụ thể hơn là trong giải tích phức, thặng dư là một số phức tỷ lệ với tích phân đường của hàm phân hình dọc theo một đường cong kín bao quanh một điểm kỳ dị của nó.

Định nghĩa 
Thặng dư của hàm phân hình  tại một điểm kỳ dị , thường được ký hiệu  hoặc , là

 giá trị , với  là một đường cong kín định hướng dương bao quanh một điểm kì dị duy nhất  sao cho winding number bằng .
 cũng là giá trị duy nhất  sao cho  có một nguyên hàm giải tích trong một đĩa bị thủng .
 cũng là giá trị hệ số a-1 của khai triển Laurent của hàm  tại điểm .

Ví dụ

Thặng dư của một đơn thức 
Tính thặng dư của đơn thức qua tích phân

 

với  là đường tròn định hướng dương có bán kính . Sử dụng phép đổi biến  ta có

 

Do đó thặng dư của đơn thức  bằng  nếu , và bằng  nếu .

Kỳ dị bỏ được 
Nếu hàm f có thể thác triển thành một hàm chỉnh hình trên toàn bộ đĩa  thì Res(f, c) = 0. Điều ngược lại không đúng: ví dụ hàm  có thặng dự tại  bằng .

Cực điểm đơn 
Tại một cực điểm đơn c, thặng dư của hàm f thỏa mãn

Cực điểm cấp cao 
Tổng quát hơn, nếu c là một cực cấp n, thặng dư của f quanh z = c có thể được tính theo công thức:

Tham khảo

Liên kết ngoài 

 
 Tài liệu trực tuyến, Le Quy Don Technical University,
 

Giải tích phức