Định lý Stolz–Cesàro

Trong toán học, định lý Stolz–Cesàro là một tiêu chuẩn để chứng minh tính hội tụ của một dãy số. Định lý này được đặt tên theo nhà toán học Otto Stolz và Ernesto Cesàro, người đầu tiên phát biểu và chứng minh định lý này.

Định lý Stolz–Cesàro có thể được coi là mở rộng của trung bình Cesàro, hoặc là phiên bản dãy số của quy tắc l'Hôpital.

Phát biểu 
Cho  và  là hai dãy số thực. Định lý được phát biểu trong hai trường hợp

Trường hợp  
Giả sử  là dãy đơn điệu nghiêm ngặt và phân kỳ (tức nó tăng nghiêm ngặt và tiến đến , hoặc giảm nghiêm ngặt và tiến đến ). Nếu giới hạn sau tồn tại:

thì:

Trường hợp  
Giả sử  và  đều tiến tới , đồng thời  là dãy đơn điệu nghiêm ngặt. Nếu

thì

Lịch sử 
Trường hợp  được phát biểu và chứng minh ở trang 173—175 trong quyển sách năm 1885 của Stolz và ở trang 54 trong bài viết năm 1888 của Cesàro.

Định lý cũng xuất hiện trong quyển sách giải tích của Pólya và Szegő (1925), và là bài toán 70 trong sách.

Dạng tổng quát 
Định lý Stolz–Cesàro trong trường hợp tổng quát được phát biểu sử dụng khái niệm giới hạn trên và giới hạn dưới của dãy số.

Nếu  và  là các dãy số thực sao cho  đơn điệu nghiêm ngặt và không bị chặn thì:

Để ý rằng nếu

thì giới hạn trên và dưới của  cũng bằng nhau, tức giới hạn

cũng tồn tại và bằng .

Tham khảo
.
.
.
.
A. D. R. Choudary, Constantin Niculescu: Real Analysis on Intervals. Springer, 2014, , pp. 59-62 
J. Marshall Ash, Allan Berele, Stefan Catoiu: Plausible and Genuine Extensions of L’Hospital's Rule. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 1 (February 2012), pp. 52–60 (JSTOR)

Liên kết ngoài 
 Quy tắc l'Hôpital và định lý Stolz-Cesàro tại imomath.com

Ghi chú

Định lý trong giải tích thực
Tiêu chuẩn hội tụ