Định lý Finsler–Hadwiger

Định lý Finsler-Hadwiger là một định lý hình học phẳng Euclid được phát hiện bởi hai nhà toán học người Đức Paul Finsler và Hugo Hadwiger. Định lý lần đầu tiên được nhắc đến trong cuốn tài liệu của cả hai người vào năm 1937, cùng với bất đẳng thức cùng tên về tam giác. Định lý Finsler-Hadwiger được cho là có mối liên hệ với định lý Napoleon và là tiền đề của định lý Van Aubel.

Nội dung
Cho hai hình vuông  (có tâm ) và  (có tâm ) (đỉnh  chung). Gọi  và  là trung điểm  và . Khi đó tứ giác  là hình vuông (hình vuông Finsler-Hadwiger).

Chứng minh
Từ giả thiết ta có F là trung điểm của B'D' và AC', H là trung điểm AC và BD. Do đó FG, EF và EH lần lượt là đường trung bình tam giác ,  và . Suy ra FG và EH cùng song song và bằng một nửa độ dài đoạn B'B, cũng như EF song song và bằng một nửa D'D. Ta có  là hình bình hành.

Hai tam giác  và  bằng nhau  nên D'D = B'B, do đó EF = EH hay  là hình thoi.

Dùng cộng góc ta suy ra D'D vuông góc với B'B, hay EF vuông góc EH. Vậy  là hình vuông.

Một cách chứng minh khác của định lý là dùng phương pháp hệ tọa độ.

Ứng dụng và mở rộng
Định lý này được ứng dụng trong nhiều bài toán hình học phẳng. Ngoài định lý Van Aubel, ta có các biến thể như sau:
 Cho hai hình chữ nhật  (có tâm ) và  (có tâm ) (đỉnh  chung) sao cho . Gọi  và  là trung điểm  và . Khi đó tứ giác  là hình chữ nhật.
 Cho hai tam giác đều  (có tâm ) và  (có tâm ) (đỉnh  chung). Gọi  và  là trung điểm  và . Khi đó  vuông góc với .

Xem thêm
 Định lý Van Aubel
 Định lý Napoleon
 Bất đẳng thức Finsler-Hadwiger

Tham khảo

Liên kết ngoài

Hình học sơ cấp
Hình học phẳng Euclid
Tứ giác
Hình chữ nhật
Định lý trong hình học phẳng