Kronecker delta

Trong toán học, ký hiệu Kronecker delta là một hàm số của hai biến, thường là các số nguyên không âm. Hàm số có giá trị 1 nếu hai biến bằng nhau, và 0 nếu chúng khác nhau:

hoặc bằng dấu ngoặc Iverson:

trong đó Kronecker delta  là một hàm số xác định theo từng khoảng của các giá trị  và . Ví dụ, , còn . Hàm Kronecker delta xuất hiện thường xuyên trong các ngành toán học, vật lý, và kỹ thuật để đơn giản hóa định nghĩa ở trên. Hàm số được đặt tên theo Leopold Kronecker.

Trong  đại số tuyến tính, ma trận đơn vị  kích thước  có các phần tử xác định bằng Kronecker delta:
 
trong đó  và  mang các giá trị . Ngoài ra, tích trong của các vectơ có thể được viết dưới dạng

Thông thường, hàm Kronecker delta chỉ được xét trên tập số nguyên, tuy nhiên nó có thể được định nghĩa trên một tập hợp bất kỳ.

Tính chất 
Ta có những đẳng thức sau

Do đó, ma trận  có thể được coi như một ma trận đơn vị.

Một dạng khác cũng đôi khi được sử dụng là dạng chuỗi cấp số nhân:

Ký hiệu 
Ta có thể biểu diễn Kronecker delta bằng dấu ngoặc Iverson:

Ngoài ra, ký hiệu một biến  cũng thường xuất hiện, tương đương với việc cho :

Trong đại số tuyến tính, Kronecker delta có thể được coi là một tensor và ký hiệu bằng. Đôi khi nó được gọi là tensor thay thế.

Xem thêm
Độ đo Dirac
Hàm chỉ thị
Ký hiệu Levi-Civita
Cổng XNOR

Tham khảo

Ký hiệu toán học
Hàm số sơ cấp đặc biệt