Nhóm lũy linh

Nhóm lũy linh cùng với nhóm giải được là các cấu trúc cơ bản của đại số trừu tượng.

Định nghĩa

Chuỗi tâm trên 
Tồn tại một nhóm  là lũy linh nếu nó có các chuỗi tâm trên ổn định sau khi hữu hạn toàn bộ nhóm (tức là tồn tại một số tự nhiên  sao cho . Sau đây chúng ta định nghĩa  bằng phương pháp quy nạp:

Tâm  là tạo ảnh của tâm  dưới các ánh xạ thương từ  đến  và  là nhóm con chuẩn tắc của .

Chuỗi tâm dưới 
 là lũy linh nếu tồn tại một số tự nhiên  sao cho  là chuẩn tắc với  được nhắc lại  lần.  là giao hoán tử của các tập con của .

Chuỗi tâm 
 là lũy linh nếu tồn tại số tự nhiên  và một dãy con hữu hạn:

 và mỗi  là nhóm con chuẩn tắc của  và  là tâm của .

Nhóm con chéo bình thường của tích Descartes của nhóm (tạm dịch) 
Tập  là nhóm con của tích Descartes  với mọi .

Tích giao hoán tử chuẩn-trái chuẩn tắc (tạm dịch) 
Tồn tại độ dài subnormal (không dịch được)  sao cho  nhận giá trị của phần tử đơn vị với mọi .

Tích giao hoán tử chuẩn-"bất kỳ hướng" chuẩn tắc (tạm dịch) 
Tồn tại số  như trên sao cho mọi tích giao hoán tử bao gồm  tích giao hoán tử.

Trong trường hợp , biểu thức

,

 đều nhận giá trị của phần tử đơn vị.

Tích giao hoán tử chuẩn-trái chuẩn tắc tổng quát 
Giống tích giao hoán tử chuẩn-trái chuẩn tắc nhưng tổng quát hơn.

Ví dụ 
 Nhóm chuẩn tắc là lũy linh trên lớp lũy linh cấp .
 Mọi nhóm Abel là lũy linh trên lớp lũy linh cấp .
 Nhóm D8 là lũy linh nhưng không Abel.
 Nhóm quaternion lũy linh nhưng không Abel.

Tính chất 
 Giả tốt.
 Nếu  lũy linh, nhóm con  cũng lũy linh.
 Nếu  lũy linh và có nhóm con bình thường  thì nhóm thương  cũng lũy linh.
 Nếu  lũy linh, tích Descartes  cũng lũy linh. 
 Nếu  lũy linh và tồn tại các nhóm con bình thường  thì tích trong của chúng cũng lũy linh.
 Nếu  là nhóm isoclinic và  lũy linh, nhóm  cũng lũy linh.

Tham khảo 

 Homology in group theory, by Urs Stammbach, Lecture Notes in Mathematics, Volume 359, Springer-Verlag, New York, 1973, vii+183 pp. review
 
 
 
 
 
 
 
 

Nhóm lũy linh
Các thuộc tính nhóm