Định lý Napoleon

Trong hình học phẳng, định lý Napoleon phát biểu rằng nếu như dựng ba tam giác đều cùng ra phía ngoài hoặc cùng vào phía trong trên ba cạnh của một tam giác bất kỳ, thì tâm của các tam giác đều này tạo thành một tam giác đều.

Nếu như ba tam giác đều cùng dựng ra ngoài ta có tam giác Napoleon ngoài, còn ba tam giác cùng dựng vào phía trong ta có tam giác Napoleon trong. Hiệu diện tích của hai tam giác Napoleon trong và ngoài bằng diện tích tam giác ban đầu.

Định lý này đặt theo tên của hoàng đế nước Pháp là Napoleon Bonaparte (1769–1821).

Điểm Napoleon
Hai tam giác Napoleon trong và ngoài của tam giác ABC thấu xạ với tam giác ABC tại hai điểm gọi là điểm Napoleon thứ nhất và thứ hai của tam giác ABC. Trong bách khoa toàn thư về các tâm của tam giác hai điểm Napoleon được đánh số X(17),(X18).

Một số mở rộng
Có rất nhiều mở rộng cho định lý Napoleon, sau đây là một số mở rộng gần đây.

Một họ tam giác đều Napoleon

Cho tam giác , dựng ba tam giác cân đồng dạng cùng ra ngoài hoặc cùng vào trong  với góc ở đáy là . Cho các điểm  trên cách tia  sao cho:

 và

Thì các tam giác  và  là các tam giác đều

Dựng các tam giác đều trên cạnh của một lục giác

Dựng sáu tam giác đều trên các cạnh của một lục giác bất kỳ sao cho chúng cùng hướng ra ngoài hoặc vào trong, khi đó trung điểm của các đoạn thẳng nối các trọng tâm của ba cặp tam giác đều đối diện nhau tạo thành một tam giác đều. Trong trường hợp các đỉnh đối diện của lục giác trùng nhau định lý này trở về định lý Napoleon.

Mở rộng định lý Napoleon kết hợp với cấu trúc đường hyperbol Kiepert
Cho tam giác ABC, F là điểm Fermat thứ nhất (hoặc thứ hai) của tam giác ABC, gọi K là điểm bất kỳ nằm trên đường hyperbol Kiepert. Gọi P là điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng FK, khi đó AK cắt đường thẳng qua P và vuông góc BC tại A0, định nghĩa B0, C0 tương tự. Khi đó tam giác A0B0C0 sẽ là tam giác đều vị tự của tam giác đều Napoleon trong (hoặc ngoài).

Xem thêm

Vấn đề Lemoine
Vấn đề Napoleon
Điểm Fermat
Lục giác

Ghi chú

Tham khảo

Liên kết ngoài

Napoleon's Theorem and Generalizations, at Cut-the-Knot
To see the construction, at instrumenpoche
Napoleon's Theorem by Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project.
 
 Napoleon's Theorem and some generalizations, variations & converses at Dynamic Geometry Sketches
 Napoleon's Theorem, Two Simple Proofs
 Infinite Regular Hexagon Sequences on a Triangle (generalization of Napoleon's Theorem) by Alvy Ray Smith.

Hình học tam giác
N
Hình học Euclid
Hình học sơ cấp
Định lý trong hình học phẳng
Napoléon Bonaparte