Định lý mở rộng Tietze

Cho X là một không gian chuẩn tắc, lấy F là một tập đóng trong X.Cho   liên tục, khi đó có một ánh xạ liên tục  sao cho .

Vì vậy trong một không gian định chuẩn, một hàm thực trên một không gian con đóng có thể được mở rộng thành một hàm thực liên tục trên toàn bộ không gian đó.

Chứng minh
 Trường hợp f bị chặn
a) Trường hợp tổng quát có thể suy ra từ trường hợp khi mà  và 
chúng ta sẽ thu hẹp sự chú ý trong trường hợp này.

b) Theo Định lý Urysohn có một hàm liên tục  sao cho:

Lấy . Khi đó ,  và 

c) Chúng ta có hàm số , chúng ta sẽ thu được một hàm số   sao cho:

Lấy , Khi đó  và , và 

d) Chuỗi  hội tụ đều về hàm liên tục g.

e) Vì , chuỗi  hội tụ đều về f.Do đó .

f) Chú ý rằng việc xây dựng này thì  và 
 Trường hợp f không bị chặn.
a) Giả sử rằng f hoặc bị chặn dưới, hoặc bị chặn trên, lấy h là một phép đồng phôi từ  vào .Khi đó miền xác định của   là một tập con của , do đó nó có thể mở rộng như hàm liên tục  phía trước sao cho  và 

Nếu miền xác định của  bao gồm hoặc 0 hoặc 1 khi đó   là hàm như ta mong đợi.

Nếu có trường hợp xảy ra như sau: miền xác định của  bao gồm cả 0 và 1. Trong trường hợp này lấy .Chú ý rằng C giao F bằng trống.Theo bổ đề Urysohn, có một hàm liên tục  sao cho ,. Lấy . Khi đó   và miền xác định của  là tập con của , khi đó  là hàm như ta mong đợi.

b) Nếu f bị chặn dưới khi đó tương tự như trường hợp trước chúng ta có thể sử dụng phép đồng phôi , và chúng ta đặt 

Trường hợp f bị chặn trên là tương tự

Chú thích

Tham khảo