Chu trình trung bình nhỏ nhất

Trong lý thuyết đồ thị, bài toán chu trình trung bình nhỏ nhất yêu cầu tìm trong một đồ thị có hướng cho trước một chu trình có trọng số trung bình nhỏ nhất. Trọng số trung bình của một chu trình là tỉ số giữa tổng trọng số các cung của chu trình và số cung của nó. Bài toán này có nhiều ứng dụng trong lý thuyết đồ thị, và phân tích hệ thống sự kiện rời rạc.

Định nghĩa
Xét đồ thị có hướng  và một hàm trọng số . Trọng số của một chu trình , ký hiệu là , là tổng trọng số các cung của ,

Trọng số trung bình của  được định nghĩa là tỉ số .

Thuật toán
Cho đơn giản, mở rộng  bằng cách thêm vào một đỉnh gốc  có cung độ dài 0 tới tất cả các đỉnh khác. Do  không có thêm chu trình nào nên chu trình trung bình nhỏ nhất là không đổi.

Thuật toán Karp
Có rất nhiều thuật toán cho bài toán tìm chu trình trung bình nhỏ nhất. Thuật toán đầu tiên cho bài toán này là của Karp. Định nghĩa  là độ dài đường đi ngắn nhất từ  tới  gồm đúng  cung. Nếu không có đường đi nào gồm đúng  cung thì . Định nghĩa,

Có thể chứng minh rằng  chính là trung bình nhỏ nhất của các chu trình trong . Để tính , thuật toán tính tất cả các giá trị  theo công thức sau:

Thời gian thực thi của thuật toán là .

Ghi chú

Xem thêm
 Luồng cực đại chi phí cực tiểu

Tham khảo
 
 
 

Lý thuyết đồ thị