Thuật toán Dinitz

Thuật toán Dinitz là một thuật toán thời gian đa thức mạnh cho việc tìm luồng cực đại trên đồ thị luồng, tìm ra năm 1970 bởi nhà nghiên cứu khoa học máy tính người Israel (trước đó ở Liên Xô) Yefim Dinitz. Thuật toán chạy trong thời gian  và tương tự như  thuật toán Edmonds–Karp, chạy trong thời gian , ở chỗ nó cũng dùng đường tăng luồng ngắn nhất (ít cung nhất). Việc sử dụng các khái niệm đồ thị tầng và luồng ngăn chặn cho phép thuật toán Dinitz đạt được thời gian nhanh hơn.

Định nghĩa
Giả sử  là một mạng lưới với khả năng thông qua  và luồng  trên cung .

Khả năng thông qua còn dư là một ánh xạ  định nghĩa như sau,
 nếu , thì
 
 
  nếu không phải.

Đồ thị còn dư là đồ thị , trong đó
 .

Một đường tăng luồng là một đường  trên đồ thị còn dư .

Định nghĩa  là độ dài đường đi ngắn nhất (tính theo số cung) từ  đến  trên . Đồ thị tầng của  là đồ thị , trong đó
 .

Một luồng ngăn chặn là một luồng  từ  đến  trên đồ thị  sao cho đồ thị  với  không có đường  nào.

Thuật toán
Thuật toán Dinitz
 Dữ liệu vào: Mạng .
 Dữ liệu ra: Một luồng  từ  đến  có giá trị lớn nhất.
 Khởi tạo  với mọi .
 Xây dựng  từ  của . Nếu , thì dừng và đưa ra kết quả .
 Tìm luồng ngăn chặn  trong .
 Tăng luồng  bằng cách thêm  và quay lại bước 2.

Phân tích
Có thể chứng minh rằng khoảng cách (tính theo số cung) từ đỉnh phát đến đỉnh thu tăng lên ít nhất 1 sau mỗi lần tăng luồng bằng luồng ngăn chặn nên chỉ cần tìm không quá  luồng ngăn chặn, trong đó  là số đỉnh của đồ thị. Có thể xây dựng đồ thị tầng  bằng tìm kiếm theo chiều rộng trong thời gian  và có thể tìm luồng ngăn chặn trong thời gian . Do đó thời gian chạy của thuật toán Dinitz là .

Bằng cách sử dụng cấu trúc dữ liệu cây động, có thể giảm thời gian tìm mỗi luồng ngăn chặn xuống còn  và do đó giảm thời gian chạy của thuật toán Dinitz xuống .

Trường hợp đặc biệt 
Trong mạng với khả năng thông qua đơn vị, thời gian chạy của thuật toán nhanh hơn rất nhiều so với trường hợp tổng quát. Có thể tìm mỗi luồng ngăn chặn trong thời gian , và có thể chứng minh rằng số lần tìm luồng ngăn chặn là không quá số nhỏ hơn giữa  và . Do đó thuật toán chạy trong thời gian .

Trong mạng lưới xây dựng từ bài toán ghép cặp trên đồ thị hai phía, số lần tìm luồng ngăn chặn là , nên thời gian chạy là không quá . Thuật toán này còn được biết đến là thuật toán Hopcroft–Karp. Tổng quát hơn, chặn trên cho thời gian chạy này đúng cho mọi mạng đơn vị — mạng trong đó mỗi đỉnh, ngoại trừ đỉnh phát và đỉnh thu, hoặc có đúng một cung vào với khả năng thông qua bằng một, hoặc đúng một cung ra với khả năng thông qua bằng một và tất cả các cung khác có khả năng thông qua là số nguyên tùy ý.

Ví dụ
Dưới đây là một ví dụ thực hiện thuật toán Dinitz. Trong đồ thị tầng , nhãn đỏ của các đỉnh là các giá trị . Các đường màu xanh tạo thành một luồng ngăn chặn.

Lịch sử
Thuật toán Dinitz được xuất bản năm 1970 bởi nhà nghiên cứu khoa học máy tính người Nga (khi đó) Yefim (Chaim) A. Dinitz, nay là thành viên của khoa Khoa học Máy tính tại đại học Ben-Gurion (Israel), trước thuật toán Edmonds–Karp, xuất bản năm 1972 nhưng được phát hiện trước đó. Họ chứng minh một cách độc lập rằng trong thuật toán Ford–Fulkerson, nếu mỗi đường tăng luồng luôn là đường tăng ngắn nhất, chiều dài của đường tăng luồng là không giảm.

Xem thêm
 Thuật toán Ford–Fulkerson
 Bài toán luồng cực đại

Ghi chú

Tham khảo
 
 
 

Giải thuật lý thuyết đồ thị