Compact hóa

Trong toán học và lý thuyết topo, compact hóa (phiên âm: compắc hóa, tiếng Anh: compactification) là một quá trình biến một không gian topo thông thường thành một không gian compact. Không gian compact hay tập compact có những tính chất hữu ích như:
 Tập compact thì đóng và bị chặn trong không gian mêtric.
 Với mọi dãy có dãy con hội tụ trong một tập compact của không gian mêtric.
 Các hàm liên tục trên không gian compact thì tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Một phương pháp thông dụng để compact hóa một không gian topo là "compact hóa một điểm" (one-point compactification) với định lý Alexandroff và tính chất compact địa phương.

Định nghĩa
Một compact hóa của  là một không gian compact  sao cho  đồng phôi với một không gian con trù mật của .

Ví dụ:
 Tập compact hóa của tập  là .
 Tập compact hóa của tập  là .

Compact hóa một điểm

Trong một vài trường hợp nhất định, ta có thể compact hóa một không gian không compact bằng việc thêm vào đó một điểm. Khi đó, ta gọi đó là compact hóa một điểm.

Ví dụ:
 Một tập compact hóa một điểm của tập  là .
 Một tập compact hóa một điểm của tập  là

Compact hóa một điểm Alexandroff
Cho  là một không gian mà . Gọi , xác định một topo trên  như sau:

Một tập mở trong :
 là một tập con mở của ,
 là , với  là một tập con đóng, compact của .

Với topo này,  là compact và chứa  như một không gian con. Nếu  không compact thì  trù mật trong  và  được gọi là compact hóa Alexandroff của .

Ví dụ:
 Compact hóa Alexandroff của  là .
 Compact hóa Alexandroff của  là  đường tròn tiếp xúc với nhau tại một điểm.

Tính chất liên quan
  là không gian  nếu  là .
  là không gian Hausdorff nếu  là Hausdorff và compact địa phương.
 Nếu  đồng phôi với  thì không gian Hausdorff compact hóa Alexandroff của  sẽ đồng phôi với không gian Hausdorff compact hóa Alexandroff của . ()

Compact hóa Stone - Cech

Như đã nói, với topo thông thường, compact hóa Alexandroff của  là . Tuy nhiên, với một hàm  cho bởi  (Topologist's sine curve) là một hàm bị chặn và liên tục trên  nhưng hoàn toàn không thể được mở rộng liên tục vào . Như vậy, với trường hợp này, compact hóa Alexandroff chưa bảo đảm tính liên tục của một hàm trên không gian compact hóa.
Khi đó, phương pháp compact hóa Stone-Čech sau đây sẽ giải quyết được vấn đề nêu trên.
Compact hóa Stone-Čech lần đầu xuất hiện trong một bài báo của Tychonoff (năm 1930) và sau đó được nói đến rõ ràng bởi Marshall Stone (năm 1937) và Eduard Čech (năm 1937).

Định nghĩa
Cho  là một không gian topo, ký hiệu  là tập các hàm liên tục bị chặn từ  vào . Xét hàm sau

Nếu  là chính tắc đầy đủ thì  là một đồng phôi, nghĩa là  là một phép nhúng. Trong trường hợp này, vì  compact nên không gian con  là compact. Khi đó,  được gọi là compact hóa Stone - Cech của . Hơn nữa, nó là một không gian Hausdorff.

Tính chất liên quan
 Cho  là một không gian compact Hausdorff thì với mỗi hàm  liên tục, thì tồn tại duy nhất một hàm mở rộng liên tục  của  mà .
  liên thông khi và chỉ khi  là liên thông.
  mở trong  khi và chỉ khi  là một không gian compact địa phương.

Tham khảo

Toán học tô pô