Định lý Tychonoff

Trong tô pô, định lý Tychonoff (định lý Tikhonov) được phát biểu là tích của một họ các không gian tôpô compact là một không gian compact. Định lý này được đặt tên sau khi Andrey Nikolayevich Tychonoff chứng minh được nó năm 1930 cho những khoảng đóng đơn vị và năm 1935 chứng minh đầy đủ hơn cho các hợp đặc biệt. Chứng minh được công bố sớm nhất chứa trong kết quả bài báo của Eduard Čech.

Phát biểu 
Tích của một họ bất kỳ các không gian compact thì compact trong tô pô tích đó.

Chứng minh định lý 
Cho  compact . Chúng ta
sẽ chứng minh: compact thông qua đặc trưng
tập đóng trong Định lý về đặc trưng qua tập đóng của tập compact.

Cho  là một họ bất kỳ các tập con đóng của  có tính
giao hữu hạn. Ta chứng minh  có phần giao khác rỗng,
tức là .

Xét họ
 với  là tập con đóng của  có phần giao hữu hạn.
Vì  compact nên có phần giao khác rỗng. Suy ra có 

Từ đó cho thấy  có phần giao khác rỗng, nhưng điều đó
là không đúng như hình vẽ sau:

Khi đó ý tưởng của Tikhonov là mở rộng họ 

, 
là cực đại dưới tính giao hữu hạn. (Bổ đề Zorn)

Sẽ lặp lại lý luận trên với 
thay vì .

Xét họ

là họ các tập con đóng của  có tính giao hữu hạn.

 compact nên tồn tại 

Cho 
và 

Chứng minh 

tức là chứng minh 

Lấy một lân cận bất kỳ của  có dạng  vớimở
trong 

Do  nên  là điểm dính của 
suy ra  chứa điểm của .

Nên 
 với mọi 
 với mọi 

Suy ra  vẫn
có tính giao hữu hạn.

Do  là cực đại dưới tính giao
hữu hạn nên .

Suy ra 
 với mọi 
 với mọi 

Suy ra 

Vậy  hay .

Tham khảo

Liên kết ngoài
 

Toán học tô pô
Tychonoff