Hội tụ (không gian tôpô)

Khái niệm hội tụ trong toán học có thể được sử dụng trong các không gian Euclid (chẳng hạn xem định nghĩa (ε, δ) của giới hạn), các không gian metric, ví dụ như , , các không gian hàm hay các không gian tô pô. Với các không gian metric, ta có sự tương đương giữa hai phát biểu sau:

 Một ánh xạ f là liên tục theo nghĩa tô pô.
 Với mọi điểm x trong X, và với mọi dãy trong X hội tụ tới x, tạo ảnh của dãy này bởi f hội tụ tới f(x). (tính chất này cũng được gọi là liên tục theo nghĩa dãy).

Đối với các không gian tô pô tổng quát, ta có 1 suy ra 2, nhưng điều ngược lại không đúng. (trong một số trường hợp, chẳng hạn như với các không gian đếm được bậc nhất, ta có 2 suy ra 1). Do đó, người ta đã xây dựng khái niệm hội tụ của lưới nhằm đạt được một tính chất tương đương với tính liên tục của ánh xạ.

Bài viết sau khảo sát lại các khái niệm về sự hội tụ, tính liên tục và mối quan hệ giữa chúng.

Sự hội tụ của một hàm số

Giả sử  là hàm số thực,  là hằng số. Ký hiệu   có nghĩa là  tiến gần đến  khi  tiến gần về . Có thể đọc là "Giới hạn của hàm  khi  tiến gần đến  là  ".

Lưu ý:  Hàm  có thể không cần xác định tại 

Định nghĩa trên được Augustin Louis Cauchy sáng kiến vào năm 1821. Sau đó, Karl Weierstrass đã hình thức hóa bằng cách định nghĩa theo  như sau:

Hàm số  hội tụ về  nếu  ,   sao cho

Ví dụ
Cho 

Thì  không xác định, khi cho  tiến gần về  1 thì  tiến gần về 2:

Do đó,   có thể tiến gần đến giới hạn của  2 ngay khi   gần đến 1.

Mặt khác, 

Nó cũng có thể được tính theo phương pháp đại số, khi  với mọi số thực .

Vì  liên tục theo  tại 1 nên có thể thay  để được .

Thêm giới hạn tại những điểm hữu hạn, hàm có thể có những giới hạn vô hạn. Ví dụ, xét 

   = 1.9900
  = 1.9990
 = 1.99990

Khi  thật sự lớn, giá trị của  tiến về  2. Trong trường hợp này, giới hạn của  khi  tiến đến vô cùng là 2. Ký hiệu trong toán học,

Sự hội tụ của một dãy

Trong không gian tôpô , dãy  hội tụ về  nếu với mỗi lân cận mở  của  thì có một số nguyên dương  sao cho . Khi đó  là điểm giới hạn của dãy  và viết

Ví dụ
Nếu  với   là hằng số thì .
Nếu  thì .
Nếu  khi  chẵn và  khi  lẻ thì .

Tính chất
Nếu  và  thì , .
Giới hạn của một dãy là duy nhất

 với 

Nếu  với mọi  lớn hơn  thì

Sự hội tụ của một lưới
Lưới  được gọi là hội tụ  về  ( là một không gian tôpô)nếu với mỗi lân cận  của  tồn tại một chỉ số  ( là tập có hướng) sao cho  thì . Điểm  được gọi là điểm giới hạn của lưới  và thường viết  .

Tập có hướng 
Tập có hướng là một tập có thứ tự  sao cho: Với 2 phần tử , luôn có phần tử   lớn hơn hoặc bằng của hai phần tử  . Ký hiệu: ,  và

Lưới 
Lưới (còn được gọi là dãy tổng quát) là một ánh xạ đi từ một tập có hướng vào trong một không gian. Nói cách khác, một lưới trên không gian  (với tập chỉ số là tập có hướng ) là một ánh xạ . Ta viết  và ký hiệu lưới . Ký hiệu  cũng thường được sử dụng.

Ví dụ
 Tập số tự nhiên  với quan hệ thứ tự  là một tập có hướng.
 Cho   là một không gian tôpô và . Lấy  là họ các lân cận mở của . Định nghĩa trên tập : . Lúc đó   trở thành tập có có hướng.
 Những lưới có tập chỉ số  với thứ tự thông thường là một dãy.
 Sự hội tụ của những lưới có tập chỉ số  với thứ tự thông thường  là sự hội tụ của dãy.
 Lấy  với tôpô . Lưới  hội tụ về  và . Lưới  hội tụ về .

Các phát biểu liên quan đến hội tụ trong không gian tôpô
 Điểm  được gọi là điểm giới hạn của tập con   có một lưới trong  hội tụ về .
{| class="toccolours collapsible collapsed" width="90%" style="text-align:left"
!Chứng minh
|-
|
(): Giả sử  là điểm giới hạn của . Xét tập có hướng  chứa tất cả các lân cận mở của  với thứ tự   nếu .
Với bất kỳ một lân cận mở  của , tồn tại phần tử . Xét lưới , đây chính là một lưới trong  hội tụ về . Thực vậy, cho trước một lân cận mở  của , , 
(): Giả sử có một lưới  trong  hội tụ về . Lấy  là một lân cận mở của . Ta có một  sao cho với , , đặc biệt .
|}
 Cho  là hai không gian tôpô. Ánh xạ liên tục tại   Nếu một lưới  hội tụ về  thì lưới  hội tụ về .
{| class="toccolours collapsible collapsed" width="90%" style="text-align:left"
!Chứng minh
|-
|
(): Cho  liên tục tại ,  là lân cận của . Suy ra  là lân cận của  trong . Khi  hội tụ tại , tồn tại  sao cho với mọi  ta có , cho ta .
(): Ta sẽ chứng minh rằng nếu  là một lân cận mở trong  của  thì  là một lân cận của  trong . Giả sử ngược lại, thì  không là điểm trong của , nên nó là điểm giới hạn của . Tồn tại một lưới  trong  hội tụ về . Khi  liên tục,  hội tụ về . Điều mâu thuẫn này cho thấy  mở.
|}
Nếu   là không gian Hausdorff thì mọi lưới trong  có nhiều nhất một điểm giới hạn.
{| class="toccolours collapsible collapsed" width="90%" style="text-align:left"
!Chứng minh
|-
|
Cho một lưới  hội tụ về hai điểm  và  khác nhau. Khi một không gian là Hausdorff, tồn tại các lân cận mở giao nhau là rỗng  và  của  và . Tồn tại  để  ta có . Khi tồn tại  để  và , điểm  sẽ thuộc , vô lý.
|}
Không gian mêtric là compact nếu và chỉ nếu mọi dãy đều có dãy con hội tụ.

Đọc thêm
Dãy Cauchy
Không gian Banach
Không gian compact
Không gian mêtric
Lưới (toán học)

Tham khảo

Tô pô chung