Không gian tôpô tích

Trong tô pô và các ngành toán học liên quan, không gian tích là tích Descartes của một họ không gian tô pô được trang bị một tôpô gọi là tô pô tích. Tô pô này khác với các loại khác, điển hình là tô pô hộp. Tô pô hộp của một không gian tích trở thành tô pô tích khi nó xác định trên không gian hữu hạn. Tuy vậy, tô pô tích cho phép không gian tích thực hiện được phép tích đối với các nhân tử của nó.

Định nghĩa
Không gian X thỏa mãn

là tích Descartes của không gian tô pô , đánh số bởi , và phép chiếu :  → , tô pô tích trên  được định nghĩa là tô pô yếu nhất (hay tô pô có ít tập mở nhất) đối với mọi phép chiếu liên tục . Tô pô tích còn được gọi là tô pô Tychonoff.

 Trường hợp  và  là không gian tô pô, thì tô pô tích trên  là tô pô sinh bởi cơ sở  với  là một cơ sở của tô pô  và  là một cơ sở cho tô pô Y
Cho  được định nghĩa bởi 
và cho  được định nghĩa bởi .
thì họ  với  mở trong  và  mở trong  là một cơ sở con của tô pô .

 Trường hợp tích vô hạn
 là một họ được đánh chỉ số các không gian tô pô, 
Định nghĩa tô pô tích trên  là tô pô sinh bởi .  có một cơ sở là
 
Tô pô tích trên  có cơ sở là những tập có dạng  với  mở trong  cho mỗi  và  trừ ra hữu hạn giá trị .

 Tô pô hộp là tô pô trên  có cơ sở là những tập có dạng  với  mở trong  cho mỗi .

 Ví dụ 

Tích Tôpô  là hình trụ đặc có bán kính đáy 1, chiều cao 1 như hình vẽ.
Tôpô trên  như là tích các không gian tô pô Euclid của  là tô pô Euclid.
Hình xuyến là một mặt đóng trong , nhưng cũng có thể định nghĩa nó là như tích tô pô  trong đó  là đường tròn (hoặc cung kín) trong . Theo cách này có thể coi hình xuyến là không gian tô pô con của . Tô pô của  là không gian tô pô con giống như tập con của .
Trong , cho dãy khoảng mở  trong , tập  là một tập mở cơ sở cho tô pô hộp, chú ý tập này không mở trong tô pô tích.
Tập  là một tập mở cơ sở của tô pô tích .

 Tính Chất 
Không gian tích , cùng với phép chiếu chuẩn tắc, đặc trưng bởi tính chất phổ quát sau: 
 Tô pô tích là tô pô thô nhất  trên  sao cho tất cả các ánh xạ chiếu  liên tục. Hay nói cách khác, tô pô tích là tô pô sinh bởi những ánh xạ chiếu.
Nếu  là một không gian tô pô, và đối với mỗi ,  là một ánh xạ liên tục, thì tồn tại  một ánh xạ liên tục  sao cho mỗi  tuân theo biểu đồ giao hoán:

Nó thể hiện không gian tích là tích phạm trù của các không gian tô pô. Từ tính chất phổ quát trên, ánh xạ  là liên tục nếu và chỉ nếu  liên tục cho mọi . Trong nhiều trường hợp có thể dễ dàng kiểm tra rằng hàm  là liên tục. Tuy nhiên chứng minh  liên tục thì khó hơn; và cần đến giả thiết  liên tục.

Để thỏa mãn tính liên tục, phép chiếu chuẩn tắc  cần thêm tính chất là những ánh xạ mở. Điều này có nghĩa là bất kỳ tập con mở nào của không gian tích vẫn là mở khi thực hiện chiếu chúng vào . Điều ngược lại không đúng: nếu  là không gian con của không gian tích mà phép chiếu vào mọi  là mở, thì  không cần thiết là không gian mở trong .Các phép chiếu chuẩn tắc nói chung không phải là ánh xạ đóng (ví dụ , mà phép chiếu lên hai trục tọa độ là ).

Tô pô tích còn gọi là tô pô hội tụ theo từng điểm bởi vì: một dãy số (hoặc lưới) trong X'' hội tụ nếu và chỉ nếu mọi phép chiếu của nó vào không gian  hội tụ. Đặc biệt, nếu xét không gian  của mọi hàm giá trị thực trên , sự hội tụ trong tô pô tích là giống với sự hội tụ theo điểm của hàm số.
 Ánh xạ vào không gian tích là liên tục khi và chỉ khi tất cả các ánh xạ thành phần là liên tục.
Tích các tập con đóng bất kỳ  là tập đóng trong .

Một định lý quan trọng về tô pô tích là định lý Tychonoff: tích của một họ không gian compact bất kỳ là compact. Định lý này có thể chứng minh dễ dàng cho trường hợp hữu hạn, trong khi trường hợp tổng quát tương đương với tiên đề chọn.

Liên quan đến khái niệm tôpô khác 
 Tiên đề tách
 Tích của những không gian  thì 
 Tích của những không gian  thì 
 Tích của những không gian Hausdorff thì Hausdorff
 Tích của những không gian chính tắc thì chính tắc.
Tích của những không gian chuẩn tắc thì không chắc là chuẩn tắc.
 Compắc
 Tích của những không gian compact thì compact (Định lý Tychonoff)
 Sự liên thông
 Tích của những không gian liên thông (Liên thông đường) thì liên thông (Liên thông đường)

Chú thích

Tham khảo

Liên kết ngoài
 

Tô pô chung