Định lý Heine–Borel

Trong topo học của không gian metric, định lý Heine-Borel, được đặt theo tên của Eduard Heine và Émile Borel, phát biểu rằng:

Đối với một tập con A trong không gian Euclide , thì 2 mệnh đề sau đây là tương đương nhau:
A là tập đóng và bị chặn.
Mỗi phủ mở của A có một phủ con hữu hạn, điều đó có nghĩa A là compact.

Trong thực tế, định lý Heine-Borel được phát biểu cho bất kỳ một không gian metric nào, như sau:

Một tập con  của không gian metric là compact khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn hoàn toàn.

Chứng minh
Giả sử  compact. Vì  là không gian Hausdorff nên  đóng. Lấy một họ 
 
các phủ mở của . Vì  compact nên có phủ con hữu hạn. Do đó có  sao cho . Nên, với hai điểm bất kỳ  và  của , ta có . Vậy  bị chặn.

Ngược lại, nếu  đóng và bị chặn, giả sử  với mọi . Cố định một điểm  của , đặt . Khi đó, với mọi  thì 
.
Đặt , thì  là tập con của , là tập compact. Vì  đóng nên  cũng compact.

Tham khảo
.

Tham khảo

Liên kết ngoài 
 

Toán học tô pô
Định lý tôpô học
Tô pô chung
Định lý trong giải tích thực
H