Định lý về đặc trưng qua tập đóng của tập compact

Định lý tập compact đặc trưng qua tập đóng là một phát biểu định lý trong ngành tô pô học: Nếu một họ các tập con đóng có tính giao hữu hạn bất kì có phần giao khác  thì không gian là compact.

Định nghĩa tính giao hữu hạn 
Cho  là không gian tôpô.

Cho ,  là một họ các tập con của .
 có tính giao hữu hạn nếu giao của một họ con hữu hạn bất kỳ của  thì khác  
hay với

Chứng minh 
Giả sử  có đặc trưng trên.
Chứng minh  compact.
Giả sử  không compact.
Gọi  là một phủ mở của .

 không có phủ con hữu hạn.
Cho  là một họ con hữu hạn của  tức là 
thì  không phủ được : 
Suy ra

Xét họ 

Do  nên  có tính giao hữu hạn.
.Mâu thuẫn giả thiết.
Suy ra định lý được chứng minh.

Tham khảo

Toán học tô pô
Đặc trưng đóng của tập compact