Định lý Green

Trong toán học, định lý Green đưa ra mối liên hệ giữa tích phân đường quanh một đường cong khép kín C và tích phân mặt trên một miền D  bao quanh bởi C. Đây là trường hợp đặc biệt trong không gian 2 chiều của  định lý Stokes, và được đặt tên theo nhà toán học người Anh tên George Green.

Định lý
C là một đường đơn đóng có định hướng dương trong mặt phẳng 2, và D là miền được bao quanh bởi C. Nếu L và M là các hàm số với biến (x, y) được định nghĩa trên miền mở chứa D và có các đạo hàm riêng phần liên tục trên đó, thì

Mối liên hệ với định lý Stokes 
Định lý Green là một trường hợp đặc biệt của định lý Stokes, khi áp dụng trên mặt phẳng-xy:

Chúng ta có thể mở rộng trường 2 chiều thành một trường trong không gian 3 chiều với thành phần z luôn bằng 0. Gọi F là hàm số vector định nghĩa bởi .  Bắt đầu với vế trái của định lý Green:

Theo định lý Stokes thì:

Mặt  chỉ là một miền  trong mặt phẳng, với vector định chuẩn  hướng lên (theo hướng z) để trùng với "định hướng dương" trong cả hai định lý.

Biểu thức bên trong tích phân trở thành 

Do đó mà ta sẽ được vế phải của định lý Green

Mối liên quan với định lý Gauss 
Nếu chỉ xét các trường vectơ trong không gian 2 chiều,
định lý Green là tương đương với phiên bản 2 chiều sau đây của định lý Gauss:

với  là véc tơ định chuẩn hướng ra ngoài trên biên.

Để thấy điều này, xét vec tơ định chuẩn  ở tay phải của phương trình. Bởi vì trong định lý Green  là một vecto đi theo hướng tiếp tuyến với đường cong, và đường cong C được định hướng dương (ngược chiều kim đồng hồ) dọc theo biên, vectơ định chuẩn hướng ra ngoài sẽ chỉ vuông góc  90° về phía phải, và sẽ là . Chiều dài của vec tơ này là . Do vậy 

Bây giờ hãy để . Khi đó vế phải sẽ trở thành

mà do định lý Green sẽ trở thành

Điều ngược lại cũng có thể được chứng minh một cách dễ dàng.

Tính toán diện tích
Định lý Green có thể được sử dụng để tính diện tích sử dụng tích phân đường. Diện tích của miền D được cho bởi:

Miễn là chúng ta chọn được L và M sao cho:

Diện tích sẽ được cho bởi công thức sau:

Các công thức cho diện tích của D bao gồm:

Đây là cùng công thức cho tính diện tích cho những hình nằm trên mặt phẳng xy bằng toán vectơ:

A = 1/2 ∮ r x dr = 1/2 k ∮(xdy – ydx)

khi r = xi + yj và dr = dxi + dyj.

Xem thêm
Planimeter
Method of image charges – A method used in electrostatics that takes advantage of the uniqueness theorem (derived from Green's theorem)

Tham khảo

Đọc thêm

 Calculus (5th edition), F. Ayres, E. Mendelson, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-150861-2.
 Advanced Calculus (3rd edition), R. Wrede, M.R. Spiegel, Schuam's Outline Series, 2010, ISBN 978-0-07-162366-7.

Liên kết ngoài
Green's Theorem on MathWorld

Theorems in calculus
Định lý trong tính toán