Định lý Cauchy (lý thuyết nhóm)

Định lý Cauchy là một định lý trong lý thuyết nhóm được đặt tên theo tên của nhà toán học người Pháp Augustin Louis Cauchy. Định lý này phát biểu rằng nếu  là một nhóm hữu hạn và  là một số nguyên tố chia hết cấp của  (số phần tử trong ) thì trong  tồn tại một phần tử có cấp . Tức là trong  tồn tại phần tử  sao cho  là số nguyên dương nhỏ nhất để , với  là phần tử đơn vị.

Định lý này liên quan đến định lý Lagrange, phát biểu rằng cấp của một nhóm con bất kỳ của một nhóm  hữu hạn cho trước đều chia hết cấp của . Định lý Cauchy chứng tỏ rằng với mọi ước nguyên tố  của cấp của , tồn tại một nhóm con cyclic của  có cấp  được sinh bởi phần tử đã được nói tới trong định lý Cauchy.

Tổng quát hơn định lý Cauchy là định lý Sylow thứ nhất, phát biểu rằng: nếu  là một nhóm hữu hạn và  là ước của cấp của  với  nguyên tố thì  có một nhóm con cấp .

Phát biểu và chứng minh

Chứng minh

Ta chứng minh bằng quy nạp theo  với  và xét 2 trường hợp  giao hoán và  không giao hoán.
G giao hoán: 
Nếu  là nhóm đơn, tức là  chỉ có 2 nhóm con là  và chính nó thì nhóm này phải là nhóm cyclic cấp nguyên tố và dĩ nhiên sẽ tồn tại một phần tử có cấp p. 
Nếu  không là nhóm đơn thì tồn tại một nhóm con chuẩn tắc không tầm thường H trong G. Nếu  chia hết  thì theo giả thiết quy nạp, trong  tồn tại một phần tử cấp p và do đó, trong  cũng tồn tại một phần tử cấp p. Ngược lại, theo định lý Lagrange,  phải chia hết chỉ số , khi đó, theo giả thiết quy nạp, trong nhóm thương  sẽ tồn tại một phần tử có cấp . Và do đó, trong  tồn tại một phần tử  thỏa . Khi đó, tồn tại một phần tử  trong  sao cho . Dễ thấy với mọi phần tử  trong , tồn tại phần tử  trong  sao cho  nên tồn tại một phần tử  trong  sao cho . Do đó,  có cấp là  và kết thúc chứng minh cho trường hợp  abel.
 không giao hoán: trong tập hợp này,tâm  là một nhóm con không tầm thường của . 
Nếu  chia hết cấp của tâm hóa tử  với  là một phần tử nào đó không thuộc  thì  là một nhóm con không tầm thường và do đó, theo giả thiết quy nạp, trong  tồn tại một phần tử có cấp .
 Ngược lại, nếu  chia hết cấp của  thì khi đó,  chia hết chỉ số  với  là một phần tử nào đó không thuộc . Từ  ta có p chia hết cấp của  và do đó, tâm chứa một phần tử có cấp  và do đó,  chứa một phần tử có cấp . Kết thúc chứng minh.

Hệ quả

Nếu  là một nhóm hữu hạn (không nhất thiết giao hoán) thỏa tính chất mọi phần tử khác  trong  đều có cấp là lũy thừa của một số nguyên tố cho trước thì  có cấp là một là lũy thừa của một số nguyên tố  cho trước thì  có cấp là một lũy thừa của

Chú thích

Tham khảo

Liên kết ngoài
 
 

Lý thuyết nhóm