Chặn Gilbert–Varshamov

Trong lý thuyết mã hóa, chặn Gilbert–Varshamov (chứng minh bởi Edgar Gilbert và một cách độc lập bởi Rom Varshamov) là một giới hạn của các tham số  của một mã (không nhất thiết tuyến tính). Nó còn được gọi là chặn Gilbert–Shannon–Varshamov (hay chặn GSV), nhưng tên gọi "chặn Gilbert–Varshamov" là phổ biến nhất. Varshamov chứng minh kết quả này bằng phương pháp xác suất. Xem thêm về chứng minh này ở chặn Gilbert–Varshamov cho mã tuyến tính.

Phát biểu
Đặt

là số lớn nhất các mã tự của mã  trên bảng chữ cái kích thước q, độ dài n và khoảng cách nhỏ nhất d (có thể coi bảng chữ cái là trường  gồm có q phần tử).

Khi đó:

Chứng minh
Đặt  là một mã độ dài , khoảng cách Hamming nhỏ nhất  với kích thước cực đại:

Khi đó với mọi  , tồn tại một mã tự  sao cho khoảng cách Hamming  giữa  và  thỏa mãn

vì nếu không ta có thể thêm x vào tập hợp các mã tự mà vẫn duy trì khoảng cách nhỏ nhất d – mâu thuẫn với giả thiết về tính cực đại của .

Do đó  được phủ bởi hợp của các hình cầu bán kính d − 1 với tâm ở các điểm :

Mỗi hình cầu có chứa

điểm vì có thể chọn thay đổi không quá  trong số  vị trí của mã tự (so với giá trị ở tâm hình cầu) và mỗi lần thay đổi có thể lựa chọn một trong  giá trị mới. Do đó

Nghĩa là:

(Ở đây ta sử dụng tính chất: ).

Chặn chặt hơn cho lũy thừa số nguyên tố
Khi q là lũy thừa số nguyên tố, có thể chứng minh chặn chặt hơn  trong đó k là số nguyên lớn nhất thỏa mãn

Xem thêm

Chặn Singleton
Chặn Hamming
Chặn Johnson
Chặn Plotkin
Chặn Griesmer
Chặn Grey–Rankin
Chặn Gilbert–Varshamov cho mã tuyến tính
Chặn Elias-Bassalygo

Tham khảo

Lý thuyết mã hóa