Định lý Helly

Định lý Helly là một kết quả cơ bản trong hình học rời rạc về giao của các tập hợp lồi. Nó được phát hiện bởi Eduard Helly năm 1913, nhưng chỉ được xuất bản năm 1923, khi các chứng minh khác của  và  đã được đăng. Định lý Helly đưa ra khái niệm gia đình Helly.

Phát biểu
Giả sử

là các tập hợp lồi trong , trong đó . Nếu giao của mọi bộ  tập là khác rỗng, thì giao của tất cả các tập hợp đó là khác rỗng, nghĩa là

Để áp dụng cho một số vô hạn các tập hợp cần có thêm tính chất compact: Nếu  là các tập hợp lồi compact trong  và giao của mọi bộ không quá  tập là khác rỗng thì giao của tất cả các tập hợp đó là khác rỗng.

Chứng minh
Ta chứng minh phiên bản hữu hạn của định lý thông qua định lý Radon như trong chứng minh của . Từ đó ta có phiên bản vô hạn thông qua tính chất giao hữu hạn của không gian compact: giao của một gia đình các tập hợp là khác rỗng khi và chỉ khi mọi bộ hữu hạn các tập trong gia đình đó có giao khác rỗng.

Trước hết giả sử . Theo giả thuyết của định lý, tồn tại điểm
 nằm trong giao của

Tương tự như vậy, với mọi

tồn tại điểm  nằm trong giao của mọi  ngoại trừ .
Ta áp dụng định lý Radon cho tập

Theo định lý Radon, tồn tại hai tập hợp không giao nhau  sao cho bao lồi của  giao với bao lồi của . Giả sử  là điểm nằm trong phần giao của hai bao lồi. Ta sẽ chứng minh

Thật vậy, xét  bất kì. Phần tử duy nhất trong  có thể không nằm trong  là . Nếu , thì , và do đó .
Do  lồi, nó cũng chứa bao lồi của  và do đó .
Tương tự như vậy, nếu , thì , và lập luận tương tự như trên, ta có .
Do  nằm trong mọi , nó nằm trong giao của chúng.

Ở trên ta giả sử  là các điểm khác nhau. Nếu điều này không đúng, chẳng hạn  cho hai số  nào đó, thì  nằm trong mọi tập , và ta cũng kết luận giao của tất cả các tập hợp là khác rỗng. Như vậy ta đã chứng minh được định lý cho trường hợp .

Giả sử  và ta có giả thiết quy nạp là định lý đúng cho .
Chứng minh trên cho thấy mọi bộ  tập có giao khác rỗng.
Ta xét một gia đình các tập hợp mới trong đó  và  được thay bằng

Trong gia đình mới này, giao của mọi bộ  tập là khác rỗng. Theo giả thiết quy nạp, giao của tất cả các tập hợp mới là khác rỗng. Do đó, giao của tất cả các tập hợp ban đầu cũng khác rỗng.

Xem thêm 
 Định lý Carathéodory
 Bổ đề Shapley–Folkman
 Định lý Krein–Milman
 Lý thuyết Choquet
 Định lý Radon

Ghi chú

Tham khảo
.
. 
.
 Heinrich Guggenheimer (1977) Applicable Geometry, tr. 137, Krieger, Huntington ISBN 0882753681.
. 
.
.

Hình học lồi
Hình học rời rạc
H