Định lý Carathéodory (bao lồi)

Xem thêm các định lý Carathéodory khác 
Trong hình học lồi, định lý Carathéodory khẳng định nếu điểm x trong Rd nằm trong bao lồi của tập hợp P, thì tồn tại một tập hợp con P′ của P gồm tối đa d+1 điểm sao cho x nằm trong bao lồi của P′. Một cách phát biểu tương đương là x nằm trong một r-đơn hình với các đỉnh thuộc P, trong đó . Kết quả này được đặt tên theo Constantin Carathéodory, người đã chứng minh định lý này năm 1911 cho trường hợp P compact. Năm 1913, Ernst Steinitz mở rộng định lý Carathéodory cho mọi tập P trong Rd.

Sau đây là một ví dụ. Ta xét tập hợp P = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} trong R2. Bao lồi của tập này là một hình vuông. Xét điểm x = (1/4, 1/4) nằm trong bao lồi của P. Ta có thể chọn tập {(0,0),(0,1),(1,0)} = P ′, với bao lồi là một hình tam giác chứa x và do đó định lý là đúng trong trường hợp này do |P′| = 3.

Chứng minh

Giả sử x là một điểm trong bao lồi của P. Khi đó, x là tổ hợp lồi của một tập hợp hữu hạn các điểm trong P:

trong đó mọi xj đều thuộc P, λj là số dương, và .

Giả sử k > d + 1 (nếu không ta có ngay điều phải chứng minh). Khi đó, các điểm x2 − x1,..., xk − x1 là phụ thuộc tuyến tính, nên tồn tại μ2,..., μk sao cho không phải tất cả chúng đều bằng 0 và

Nếu định nghĩa μ1 như sau

thì

và không phải tất cả μj đều bằng 0. Do đó tồn tại ít nhất một μj>0. Ta có,

cho mọi số thực α. Vì vậy đẳng thức trên là đúng khi chọn α như sau

Ghi chú là α>0, và với mọi j từ 1 tới k,

Ta nhận thấy λi − αμi = 0 theo cách chọn α. Vì vậy,

trong đó mọi  là không âm, tổng của chúng bằng 1, và thêm vào đó, . Nói cách khác, x là tổ hợp lồi của k-1 điểm trong P. Có thể lặp lại quá trình trên cho tới khi x là tổ hợp lồi của d + 1 điểm trong P.

Một cách chứng minh khác là sử dụng định lý Helly.

Xem thêm

 Bổ đề Shapley–Folkman
 Định lý Helly
 Định lý Krein–Milman
 Lý thuyết Choquet

Ghi chú

Tham khảo 
. 
.

Liên kết ngoài
Một phát biểu ngắn gọn của định lý  thông qua bao lồi (tại PlanetMath)

Hình học lồi
Hình học rời rạc
C
Bao lồi