Khoảng cách Hellinger

Trong lý thuyết xác suất và thống kê, khoảng cách Hellinger  là một đại lượng đo sự khác biệt giữa hai phân bố xác suất. Nó là một f-khoảng cách.  Khoảng cách Hellinger được định nghĩa dựa trên tích phân Hellinger, đưa ra bởi Ernst Hellinger.

Để định nghĩa khoảng cách Hellinger theo lý thuyết độ đo, giả sử P và Q là hai độ đo xác suất liên tục tuyệt đối đối với một độ đo xác suất λ.  Bình phương của khoảng cách Hellinger giữa P và Q được định nghĩa như sau

Ở đây, dP / dλ và dQ / dλ là đạo hàm Radon–Nikodym của P và Q.  Định nghĩa này không phụ thuộc vào λ, nên khoảng cách Hellinger giữa P và Q không thay đổi nếu λ được thay bằng một độ đo xác suất khác mà đối với nó, P and Q cũng liên tục tuyệt đối. Biểu thức trên có thể được viết gọn là

Để định nghĩa khoảng cách Hellinger theo lý thuyết xác suất cơ bản, ta chọn λ là độ đo Lebesgue, khi đó dP / dλ và dQ / dλ là các hàm mật độ xác suất. Nếu ta ký hiệu f và g là các hàm mật độ tương ứng, bình phương của khoảng cách Hellinger có thể được biểu diễn bằng tích phân thông thường như sau

Khoảng cách Hellinger H(P, Q) thỏa mãn

 

Khoảng cách đạt giá trị cực đại là 1 khi P có xác suất bằng 0 tại những phần tử có xác suất dương trong Q và ngược lại.

Đôi khi hệ số 1/2 bên ngoài tích phân bị bỏ qua, khi đó khoảng cách Hellinger nằm trong khoảng từ 0 đến 2.

Khoảng cách Hellinger có liên hệ với hệ số Bhattacharyya  như sau

 

Bình phương khoảng cách Hellinger luôn nhỏ hơn hoặc bằng khoảng cách Jensen-Shannon.

Khoảng cách Hellinger có liên hệ với khoảng cách L1 như sau .

Ví dụ
Bình phương khoảng cách Hellinger giữa hai phân phối chuẩn  và  là:
 

Bình phương khoảng cách Hellinger giữa hai phân phối mũ  và  là:
 

Bình phương khoảng cách Hellinger giữa hai phân phối Weibull  và  (trong đó  là tham số hình dạng và  là các tham số tỉ lệ):

Ghi chú

Tham khảo
 
 
 

Lý thuyết xác suất
F-khoảng cách
Khoảng cách thống kê