Mặt Riemann

Trong toán học, mặt Riemann (hay còn gọi là diện Riemann), đặt tên theo nhà toán học Bernhard Riemann, là đa tạp phức một chiều. Mặt Riemann có thể được xem là những bản uốn cong của mặt phẳng phức: ở lân cận mỗi điểm chúng giống nhau là một mảnh trên mặt phẳng phức, nhưng tô pô toàn cục có thể khác. Ví dụ, chúng có thể giống mặt cầu hoặc mặt xuyến hoặc một số tấm dán lại với nhau.

Định nghĩa 
Một mặt Riemann là một không gian tô pô Hausdorff X, với một át-lát vào C sao cho các phép biến đổi bản đồ là các hàm song chỉnh hình. Tức là X có một phủ mở (Ui) gồm các tập mở đồng phôi với các tập mở của C sao cho các ánh xạ đồng phôi  thỏa mãn là một hàm song chỉnh hình.

Mặt cầu Riemann 
Xét . Gán cho nó hai hệ tọa độ (hay hai bản đồ) phức  và . Hàm đổi hệ tọa độ là hàm , là một hàm song chỉnh hình. Đây được gọi là mặt cầu Riemann (dựa theo phép đồng phôi giữa mặt cầu với compắc hóa Alexandroff của mặt phẳng phức).

Mặt xuyến phức 
Mặt xuyến phức thường được định nghĩa là thương số của  dưới tác động của một lưới  với một số phức  có phần ảo lớn hơn .

Các mặt Riemann ứng với một hàm số
Xét một hàm số . Không phải lúc nào cũng tồn tại một hàm ngược  của . Tuy nhiên  có thể được định nghĩa như một hàm trên một mặt Riemann tương ứng với nó. Sau đây là các mặt Riemann ứng với  lần lượt bằng  (và các hàm ngược tương ứng ).

Hàm chỉnh hình 
Một hàm số phức  trên một mặt Riemann được gọi là một hàm chỉnh hình nếu là một hàm chỉnh hình với mọi bản đồ  của . Tương tự, một hàm số phức bộ phận  được gọi là một hàm phân hình nếu  là một hàm phân hình với mọi bản đồ  của .

Cấu trúc vi phân 
Một mặt Riemann có một cấu trúc vi phân cảm sinh từ cấu trúc vi phân của mặt phẳng phức, là một đa tạp vi phân hai chiều.

Xem thêm
Hình học phức

Tham khảo

 Forster, Otto, 1981, Lectures on Riemann Surfaces

Liên kết ngoài

Hình học phức