Công thức Heron

Trong hình học, Công thức Heron là công thức tính diện tích của một tam giác theo độ dài 3 cạnh.

Công thức

Gọi S là diện tích và độ dài 3 cạnh tam giác lần lượt là a, b, và c
p = (a+b+c)/2
Công thức tính S dựa trên 3 cạnh là:

với p là nửa chu vi của tam giác:

Công thức Heron còn có thể được viết:

Lịch sử 

Công thức này mang tên nhà toán học Heron của Alexandria, và cách chứng minh có thể tìm thấy trong cuốn sách của ông, Metrica, được viết vào khoảng năm 60 sau công nguyên. Có lẽ Archimedes đã biết công thức này, bởi vì Metrica là tuyển tập các kiến thức toán học có sẵn ở thế giới cổ đại. Vì thế, cuốn sách này có lẽ là nguồn tham khảo của thời kì trước.

Một công thức tương đương với Heron có nội dung:

được phát hiện bởi người Trung Quốc độc lập với người Hy Lạp. Nó được xuất bản trong cuốn sách Sổ thư cửu chương, được viết bởi Tần Cửu Thiều và xuất bản vào năm 1247 sau công nguyên.

Chứng minh 
Một cách chứng minh hiện đại, bằng cách sử dụng đại số và lượng giác và khá lạ so với cách chứng minh của Heron. Gọi a, b, c lần lượt là 3 cạnh của tam giác và A, B, C lần lượt là các góc đối diện của các cạnh. Theo hệ quả định lý cosin, ta có:

Từ đó:
.
Dựa vào đường cao và sin của góc C. Ta có công thức tính diện tích tam giác ABC:

{|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
| 
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|}

Tới đây công thức đã được chứng minh.

Xem thêm 
 Tam giác Heron
 Công thức Bretschneider
 Công thức Brahmagupta

Chú thích

Liên kết ngoài 
 MathWorld entry on Heron's Formula
 A Proof of the Pythagorean Theorem From Heron's Formula tại cut-the-knot
 Interactive applet and area calculator using Heron's Formula
 Implementations of Heron's formula in various programming languages
 J.H. Conway discussion on Heron's Formula
 Kevin Brown's simplification of Heron's Pythagorean argument 

Hình học phẳng Euclid
Định lý toán học
Diện tích
Hình học tam giác
Định lý trong hình học phẳng