Mô hình Black–Scholes

Mô hình Black–Scholes hay Mô hình Black–Scholes–Merton là một mô hình toán học ứng dụng để định giá một số sản phẩm tài chính mà tiêu biểu là quyền chọn kiểu châu Âu. Mô hình được đưa ra bởi Fischer Black và Myron Scholes trong bài báo năm 1973, "The Pricing of Options and Corporate Liabilities", xuất bản trong Journal of Political Economy.

Công thức Black - Scholes 

Công thức Black - Scholes được dùng để định giá quyền chọn châu Âu.

Giá của quyền chọn mua với các tham biến Black - Scholes là:

Giá của quyền chọn bán là:

Với:
 N(•) là hàm phân bổ tích lũy của phân phối chuẩn N(0, 1)
 T - t là thời gian còn lại đến kì hạn.
 S là giá giao ngay (spot price) của tài sản gốc.
 K là giá điểm (strike price).
 r là lãi suất không rủi ro.
  là biến động giá của tài sản gốc
  cổ tức được trả và tái đầu tư ngay lập tức vào cổ phiếu.

Phương trình Black Scholes cho quyền chọn kiểu châu Âu 

Phương trình Black Scholes là một phương trình đạo hàm riêng trong đó miêu tả sự phụ thuộc của giá một sản phẩm phái sinh theo thời gian và theo sản phẩm sản phẩm nền(underlying asset). Phương trình như sau

 trên miền 
với ràng buộc payofff của sản phẩm phái sinh tại thời điểm đáo hạn  là

ví dụ
 khi sản phẩm phái sinh là quyền chọn mua hoặc
 trong trường hợp sản phẩm phái sinh là quyền chọn bán.

Phương trình Black Scholes cho quyền chọn kiểu châu Mỹ

Mô phỏng Monte Carlo

Lược đồ

Ước lượng các tham số của mô hình

Tham khảo

Tham khảo chính 
   (Black and Scholes' original paper.)

Các khía cạnh lịch sử và xã hội

Liên kết ngoài

Discussion of the model 
 The Black–Scholes Model, global-derivatives.com
 Options pricing using the Black-Scholes Model , Investment Analysts Society of Southern Africa
 Black, Merton, and Scholes: Their work and its consequences , by Ajay Shah
 A Study of Option Pricing Models, Prof. Kevin Rubash
 Black-Scholes in English, risklatte.com
 The Black–Scholes Option Pricing Model, optiontutor
  Inside Wall Street's Black Hole by Michael Lewis, March 2008 Issue of portfolio.com
  Whither Black-Scholes?  by Pablo Triana, April 2008 Issue of Forbes.com
  Mispriced risk tests market faith in a prized formula April 2008 Financial Times
 Black–Scholes Model & Binomial Model, OptionTradingpedia.com

Cách thiết lập phương trình và lời giải 
 The risk neutrality derivation of the Black-Scholes Equation, quantnotes.com
 Arbitrage-free pricing derivation of the Black-Scholes Equation, quantnotes.com, or an alternative treatment , Prof. Thayer Watkins
 Solving the Black-Scholes Equation, quantnotes.com
 Solution of the Black–Scholes Equation Using the Green's Function, Prof. Dennis Silverman
 Solution via risk neutral pricing or via the PDE approach using Fourier transforms  (includes discussion of other option types), Simon Leger
 Step-by-step derivation of delta from the Black-Scholes equation (site also contains step-by-step derivations of some of the other greeks), quantnotes.com
 Step-by-step solution of the Black-Scholes PDE , planetmath.org.

Thử nghiệm mô hình 
 Anomalies in option pricing: the Black–Scholes model revisited , New England Economic Review, March-April, 1996
 Why We Have Never Used the Black-Scholes-Merton Option Pricing Formula, Nassim Taleb và Espen Haug
 The illusions of dynamic replication , Emanuel Derman và Nassim Taleb

Mã máy tính 

 Sourcecode
 Black–Scholes in Multiple Languages, espenhaug.com
 VBA sourcecode for Black Scholes and Greeks, global-derivatives.com
 Excel
 Option Pricing Spreadsheet with documented VBA, OptionTradingTips.com
 Excel spreadsheet with VBA sourcecode , quantnotes.com
 Excel implementation and tutorial , researchkitchen.co.uk
 Real Time
 Black-Scholes tutorial based on graphic simulations, Jerry Marlow
 Surface Plots of Black-Scholes Greeks, Chris Murray
 Real-time calculator of Call and Put Option prices when the underlying follows a Mean-Reverting Geometric Brownian Motion , by Razvan Pascalau, Univ. of Alabama
 Black & Scholes calculator, with profitability of some operations, epx.com.br

Historical 
 The Sveriges Riksbank (Bank of Sweden) Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel for 1997
 Trillion Dollar Bet—Companion Web site to a Nova episode originally broadcast on 8 tháng 2 năm 2000. "The film tells the fascinating story of the invention of the Black-Scholes Formula, a mathematical Holy Grail that forever altered the world of finance and earned its creators the 1997 Nobel Prize in Economics."
 BBC Horizon A TV-programme on the so-called Midas formula and the bankruptcy of Long-Term Capital Management (LTCM)
 BBC Horizon - The Midas Formula (1999). Documentary available at Stage6.

Phương trình
Lý thuyết tài chính
Thị trường chứng khoán
Kinh tế năm 1973