Compact

Trong toán học, không gian compact là một khái niệm rất quan trọng của tô pô. Tùy theo không gian ta xét là không gian mêtric hay không gian Euclide mà có những định nghĩa khác nhau so với không gian tô pô tổng quát.

Giới thiệu

Một ví dụ cơ bản về không gian compact là không gian con  của  với topo Euclide. Tức là nếu lấy tập vô hạn phần tử rời nhau trong  thì tập đó sẽ chứa ít nhất một điểm tụ. Ví dụ tập 
 
thì  sẽ là một điểm tụ của . Tổng quát hơn, định lý Heine-Borel cho ta  là không gian compact (không gian  là con của  với topo Euclide) khi và chỉ khi  đóng và bị chặn trong . Vì vậy, những khoảng mở, nửa khoảng và  là không compact.

Như ta đã biết, có nhiều cách định nghĩa một không gian compact, ví dụ như compact tổng quát, compact dãy.... Các định nghĩa sẽ phụ thuộc vào cấp độ tổng quát của không gian topo. Ví dụ:

 Không gian con của không gian Euclide là compact khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn.
 Trong không gian metric, khái niệm compact dãy trùng với khái niệm compact tổng quát.

Tuy nhiên, trong không gian topo tổng quát, khái niệm compact dãy sẽ không tương đương với khái niệm compact tổng quát. Nghĩa là không gian  được gọi là compact khi và chỉ khi với mọi phủ mở của , ta có thể trích ra một phủ con hữu hạn. Khi đó, một tập đóng và bị chặn trong không gian Euclide là compact tổng quát được chứng minh qua định lý Heine-Borel.

Định nghĩa
Xét  là một tập hợp con của một không gian tô-pô .  được gọi là một tập con compact của  nếu điều kiện sau được thỏa mãn: nếu  và với  là các tập con mở của , thì tồn tại một tập con hữu hạn  sao cho  (nghĩa là với mọi phủ mở của , có một phủ hữu hạn các tập mở bao hàm nó). Ngắn gọn,  là một tập con compact khi và chỉ khi "mọi phủ mở đều có phủ con hữu hạn".

Một không gian tô-pô  được gọi là compact nếu tập con tầm thường  là một tập con compact.

Không gian con compact
Cho  là không gian con của không gian tô pô . Cho  là tập chỉ số của một phủ mở của . Với mỗi  là chỉ số của một tập mở của , thì ta có  mở trong  sao cho . Vì vậy, ta có họ các tập mở  của  mà có hội chứa . Nói cách khác, nếu có một họ  các tập mở trong  có hội chứa , thì họ  là một phủ mở của . Do đó,  là không gian con compact của  nếu cho họ  là họ các tập mở bất kì có phần hội chứa , thì tồn tại  và  sao cho  có hội chứa . Vì vậy, ta có thể định nghĩa không gian con  của  là compact qua hai cách: dùng họ phủ mở của  hoặc họ các tập mở trong  có hội chứa .

Nói cách khác, một tập con là compact khi và chỉ khi nó là một không gian con compact với tô-pô cảm sinh.

Những ví dụ

Topo tổng quát

 Không gian topo  với  hữu hạn là không gian compact, vì nó chỉ có hữu hạn tập mở. Tổng quát hơn, nếu topo  có hữu hạn phần tử thì  là không gian compact (topo hiển nhiên là một ví dụ).
 Không gian topo  với tô pô phần bù hữu hạn là không gian compact.

Giải tích và Đại số

 Khoảng đóng  dưới topo Euclide là compact, điều này được suy ra từ định lý Heine - Borel. Khoảng mở  thì không compact vì ta có họ phủ mở 
 
là phủ  nhưng không trích ra được phủ con hữu hạn.

  với topo Euclide là không compact vì ta có họ phủ mở  phủ  nhưng không trích ra được phủ con hữu hạn. Ta cũng có thể kết luận điều này vì   đồng phôi với  với topo Euclide nhưng  không compact, dẫn đến  không compact.
 Tập Cantor là compact dưới topo Euclide.
 Cho  là tập hợp các hàm số  thỏa điều kiện Lipschitz: tồn tại  sao cho   thì
.
Ta có  là không gian metric với metric định bởi 

là không gian compact. Điều này được suy ra từ định lý Arzela-Ascoli.

Ý nghĩa

Ý nghĩa của khái niệm này: Để đưa những vấn đề mang tính địa phương về toàn cục, cần phải hữu hạn hóa quá trình vô hạn. Nói cách khác, mỗi sự kiện phụ thuộc ở phạm vi địa phương (xét trong lân cận tại mỗi điểm thuộc A), toàn bộ tập A được bao phủ bởi tất cả các lân cận ấy. Nếu chỉ cần một số hữu hạn các lân cận ấy đủ để bao phủ A thì ta có thể chọn được những đại lượng lớn nhất, bé nhất liên quan đến tính hữu hạn này.

Trong tiếng Anh, compact có nghĩa là "nén chặt, gọn gàng, tinh tế". Qua định nghĩa trên, ta thấy một tập compact khá gọn gàng: Tưởng chừng phải có vô hạn cái túi để đựng tập A nhưng thật ra chỉ cần hữu hạn cái là đủ.

Trước đây, một số nhà toán học Việt Nam đưa những thuật ngữ tiếng Việt để dịch khái niệm này như là "tập compact", "tập cơm nén" (quá thuần Việt) hay "tập áp súc" (từ Hán-Việt). Có lẽ không được hưởng ứng nhiều, ngày nay ta dùng luôn từ compact, đôi khi phiên âm thành "com-pắc".

Các định lý
Khá nhiều định lý gắn chặt với tính chất compact của tập như:
 Ảnh liên tục của một không gian compact là compact.
 Tập con đóng của không gian compact là compact.
 Cho  là song ánh liên tục. Nếu  là compact và  là Hausdorff, thì  là đồng phôi.
 Không gian con compact của không gian Hausdorff là đóng.
 Định lý giá trị cực trị: một hàm trị thực liên tục trên một không gian compact có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.
 Hội hữu hạn những tập compact là compact.
 Định lý Tychonoff: tích của một họ các không gian compact là compact.

Đặc trưng của tính compact
Một không gian là compact nếu và chỉ nếu mỗi họ các tập đóng với tính chất giao hữu hạn có giao khác rỗng.

Không gian Euclide
Với tập con  của không gian Euclide , những tính chất sau là tương đương:

1.  là compact.

2. Mỗi dãy trong  có dãy con hội tụ.

3.  là đóng và bị chặn (định lý Heine-Borel).

Không gian metric
 Cho phủ mở của không gian metric compact, thì có một số  sao cho quả cầu bán kinh  chứa trong một thành phần của phủ mở. (số Lebesgue)
 Một không gian metric là compact nếu và chỉ nếu mỗi dãy có dãy con hội tụ.

Chú thích

Tham khảo
 .
 
 Walter, Rudin (1964), Principles of Mathematical Analysis, ISBN 10: 0070542317. 

Toán học tô pô
Tô pô chung
Các thuộc tính của không gian tô pô