Đồ thị hai phía đầy đủ

Trong lý thuyết đồ thị, một đồ thị hai phía đầy đủ (tiếng Anh: Complete bipartite graph hoặc biclique) là một dạng đồ thị hai phía đặc biệt, trong đó mỗi đỉnh của tập thứ nhất nối với mọi đỉnh thuộc tập thứ hai và ngược lại.

Định nghĩa 
Cho  là một đồ thị vô hướng lưỡng phân với hai tập  và  phân hoạch  (  Ø   và    = Ø). Khi đó  được gọi là lưỡng phân đầy đủ nếu:
    
      * Với mọi cặp đỉnh(i,j) mà i   và j   thì có đúng một cạnh của G nối i và j.

 Mối tương quan giữa đồ thị đầy đủ và đồ thị hai phía đầy đủ:

      * Đồ thị đầy đủ  có: n đỉnh,  cạnh
      * Đồ thị hai phía đầy đủ  có: m + n đỉnh, m.n cạnh

Ví dụ  
 Với mọi k,  ta có đồ thị hình sao.

 Hay với đồ thị  ta có đồ thị hình vuốt, hoặc một cây

  với m khác n.

  với m = n.

Tính chất 
Định lý Kuratowski  liên quan giữa tính phẳng của đồ thị và : Điều kiện cần và đủ một đồ thị liên thông G có tính phẳng là G không chứa bất kỳ đồ thị con nào đồng phôi với  hay . Đồ thị  là đồ thị không phẳng có ít cạnh nhất.

Một đồ thị hai phía đầy đủ  có số phủ đỉnh (Vertex covering number) bằng  và số phủ cạnh (Edge covering number) bằng 
Đồ thị hai phía đầy đủ  là một Cayley Graph.
 Một đồ thị đủ  có thể được tách thành 4 đồ thị con, mỗi đồ thị con là một đồ thị hai phía đầy đủ, , , ,... , sao cho 

Đồ thị hai phía đầy đủ  là k-choosable khi và chỉ khi  

Một đồ thị hai phía đầy đủ  có cặp ghép hoàn hảo (Perfect matching) kích thước 
Một đồ thị hai phía đầy đủ  hay  là một đồ thị Turán.
Một đồ thị hai phía đầy đủ  có mn−1 nm−1 cây bao trùm
Ma trận Laplace của đồ thị hai phía đầy đủ  có các vectơ n+m, n, m, 0; với các vectơ tương thích 1, m-1, n-1, 1.
Một đồ thị hai phía đầy đủ  có một cách tô màu cạnh (Edge coloring) đúng đắn, n_Edge = n_color.

Sắc số của đồ thị  là 2 .
Số màu cần thiết để tô màu các cạnh của  là max{m.n} để không có 2 cạnh nào cùng màu mà lại có chung đỉnh.
Đường kính của đồ thị hai phía đầy đủ:  là 1, còn tất cả các  khác đều có đường kính là 2.

Xem thêm 
 Đồ thị hai phía
 Đồ thị chu trình
 Đồ thị đầy đủ
 Ma trận kề

Tham khảo 

Lý thuyết đồ thị