Đồng luân

Trong tô pô, hai ánh xạ liên tục từ không gian tôpô này vào không gian tô pô khác được gọi là đồng luân với nhau (tiếng Hy Lạp ὁμός-homos-đồng nhất và τόπος-topos-vị trí) nếu ánh xạ này có thể biến đổi liên tục thành ánh xạ kia, một phép biến đổi như vậy gọi là một phép biến đổi đồng luân giữa hai ánh xạ. Ngoài ra đồng luân còn nói đến nhóm đồng luân và nhóm đối đồng luân, các bất biến quan trọng trong tô pô đại số.

Định nghĩa
 Một biến đổi đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục  và  từ không gian tô pô  vào không gian tô pô  được định nghĩa là ánh xạ liên tục  từ tích của không gian  với đoạn đơn vị  vào  sao cho với mọi điểm  ta có  và .
 Nếu ta nghĩ tham số thứ hai của  như là thời gian, khi đó  mô tả một biến đổi liên tục ánh xạ  thành  ký hiệu . Tại thời điểm  ta có ánh xạ , tại thời điểm  ta có ánh xạ . Chúng ta cũng có thể nghĩ đến tham số thứ hai như điều khiển một thanh trượt cho quá trình chuyển đổi từ  để  như di chuyển thanh trượt   đến , và ngược lại.
 Một ký hiệu thay thế khác cho ký hiệu một phép đồng luân giữa hai hàm số liên tục  là một họ của các hàm số liên tục  cho  sao cho  và  và mỗi bản đồ  liên tục từ  đến . Hai cách viết này trùng nhau bằng cách thiết lập 
 Ví dụ về phép biến đổi đồng luân của cốc cà phê thành hình xuyến (sử dụng phần mềm Sketchup file: Ly cà phê).

Tính chất

Ánh xạ hợp 
Hàm số liên tục  và  được gọi là đồng luân khi và chỉ khi có một đồng luân  từ  đến  như mô tả ở trên. Mối quan hệ đồng luân này tương thích với ánh xạ thành phần theo nghĩa sau đây: Nếu  là đồng luân, và  là đồng luân, thì ánh xạ hợp của chúng  và  cũng đồng luân do tính chất ánh xạ hợp của hai hàm số liên tục thì liên tục.

Nhóm đồng luân 
Quan hệ đồng luân giữa hai ánh xạ  là một quan hệ tương đương, do đó ta có thể xét tập hợp các lớp tương đương, ký hiệu là . Cố định  và  ảnh của biên , tập hợp này tạo thành một nhóm . Các nhóm này được gọi là các nhóm đồng luân. Khi , ta thu được nhóm cơ bản.

Đồng luân đường
 Nhắc lại về đường đi trong không gian  là ánh xạ liên tục   từ khoảng  trong tô pô Euclid vào . Điểm  được gọi là điểm đầu và điểm  được gọi là điểm kết thúc.
 Đặt  và  là hai đường từ  sang  trong . Một phép đồng luân từ  và  là họ các ánh xạ: , như vậy ánh xạ  là liên tục, , và với mọi điểm  đường  đi từ .
 Nếu có một phép đồng luân từ  chúng ta nói rằng  đồng luân với , thường ký hiệu là  ~ .
 Một vòng hay một đường đi đóng tại  là một đường mà điểm đầu và điểm cuối của nó là . Nói cách khác, nó là một ánh xạ liên tục   sao cho . Vòng bất biến là vòng mà   = với mọi .
 Một không gian được gọi là đơn liên nếu nó liên thông đường và bất kì vòng nào đều đồng phôi với một vòng bất biến.
 Ví Dụ: 

 Trong không gian định chuẩn hai đường  cùng điểm đầu và cùng điểm cuối là đồng luân. Ta có thể chọn đồng luân .

Mệnh đề 
 Quan hệ đồng luân trên các tập của tất cả các đường từ  sang  là mối quan hệ tương đương.
 2. Nếu không gian  có sự biến dạng co rút lại thành không gian con  thì  là đồng luân với .
 3. Nếu  ~  và  ~  thì  ~ . Thì chúng ta có thể định nghĩa .
 4. Nếu  là đường từ  sang  thì  là đồng luân chứa vòng tại .
 5. Đặt  là đường từ  sang  là nhóm cơ bản của  tại  thì ánh xạ:

là đồng phôi.

Đồng luân tương đương
 Cho hai không gian  và  chúng ta nói rằng chúng tương đương đồng luân, hoặc của cùng một dạng đồng luân, nếu có tồn tại ánh xạ liên tục  và  sao cho   đồng luân với ánh xạ đồng nhất của  và  đồng luân với ánh xạ đồng nhất của . Các ánh xạ  và  được gọi là tương đương đồng luân trong trường hợp này. Mỗi đồng phôi là một tương đương đồng luân, nhưng điều ngược lại là không đúng. Ví dụ,  tương đương đồng luân với không gian đơn điểm: ta có thể chọn  là hàm hằng và  là hàm gửi đơn điểm đến gốc tọa độ.  và . Một đồng luân giữa  và  được cho bởi  với  và . Tuy nhiên,  không đồng phôi với không gian đơn điểm. (chúng thậm chí còn không có cùng lực lượng.)
 Ví dụ: Một đĩa rắn không phải là đồng phôi với một điểm duy nhất (vì không có song ánh giữa chúng), mặc dù các ổ đĩa và các điểm tương đương đồng luân (kể từ khi bạn có thể biến dạng đĩa dọc theo các đường xuyên tâm liên tục vào một điểm duy nhất).
 Trực giác mà nói, hai không gian  và  tương đương đồng luân nếu chúng có thể được chuyển đổi thành nhau bằng cách uốn cong, thu hẹp hay mở rộng. Ví dụ, một đĩa cứng hoặc một quả bóng rắn là tương đương đồng luân đến một điểm, và  là tương đương đồng luân với vòng tròn đơn vị . Một không gian tương đương đồng luân với một điểm được gọi là một không gian co rút.

Biến thể

Đồng vị 
Một phép đồng vị, là một phép đồng luân H sao cho với mọi t, H(x,t) là một phép nhúng.

Ví dụ, hai ánh xạ gửi [−1,1] vào đường thẳng thực f(x) = −x và g(x) = x không đồng vị với nhau. Tuy nhiên chúng có đồng luân với nhau.

Các phép đồng vị là cấu xạ trong phạm trù các nút thắt.

Xem thêm
 Lý thuyết đồng đều
 Tô pô đại số

Tham khảo

Toán học tô pô