Bất đẳng thức Schur

Bất đẳng thức Schur được phát biểu như sau:

Cho  là các số thực không âm. Chứng minh rằng: 

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  hoặc hai trong số chúng bằng nhau và số còn lại bằng 

Ngoài ra khi  là một số nguyên dương chẵn thì bất đẳng thức trên đúng với mọi số thực

Chứng minh 

Do vai trò của  trong bài toán này là đối xứng nên không mất tính tổng quát, ta giả sử .

Trường hợp , biến đổi vế trái của bất đẳng thức để được:

Điều trên hiển nhiên đúng vì mọi số hạng của vế trái đều không âm.

Trường hợp , tương tự:

Chứng minh đặc biệt với trường hợp  thì:

Xét trường hợp  thì bất đẳng thức đã cho tương đương với:  hay  (hiển nhiên đúng!)

Xét trường hợp  và biến đổi vế trái của bất đẳng thức để được:

Mở rộng 
Tổng quát hóa bất đẳng thức Schur: Với  là các số thực không âm, khi đó với  và  thì:

Tham khảo
Diễn đàn toán học VMF

Diễn đàn AoPS

Bất đẳng thức