Phép giao

Cho A và B là hai tập hợp.

Giao của A và B là tập gồm những phần tử thuộc cả A và B, ngoài ra không có phần tử nào khác. Giao của A và B được viết là "A ∩ B".  Nói một cách đơn giản, giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tất cả các phần tử mà cả A và B có điểm chung.

Biểu tượng giao nhau đôi khi được thay thế bằng từ "và" giữa hai tập hợp. Từ này gợi ý ký hiệu nhỏ gọn hơn cho giao lộ thường được sử dụng.  Một cách để nhớ rằng biểu tượng ∩ này đề cập đến giao lộ là nhận thấy sự giống nhau của nó với chữ A viết hoa, viết tắt của từ "và" trong tiếng Anh.

Ký hiệu và ví dụ 

Phép giao được ký hiệu bằng ""; Ví dụ chẳng hạn:

 
 
 
 

Giao của nhiều hơn hai tập hợp (phép giao tổng quát) thường được viết là:

tương tự với ký hiệu sigma viết hoa.

Định nghĩa

Giao của hai tập hợp  và , ký hiệu bởi  là tập các đối tượng vừa thuộc tập hợp  và vừa thuộc tập hợp 
Khi viết bằng ký hiệu:

Nghĩa là,  là phần tử của giao  khi và chỉ khi  vừa là phần tử của  và vừa là phần tử của 

Thêm ví dụ:
 Giao của hai tập {1, 2, 3} và {2, 3, 4} là {2, 3}.
 Số 9 không nằm trong phần giao của tập các số nguyên tố {2, 3, 5, 7, 11, ...} và tập các số lẻ {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}, là bởi vì số 9 không nguyên tố.

Tập hợp không giao nhau

Ta nói tập hợp  nếu tồn tại phần tử  vừa thuộc  vừa thuộc .

Ngược lại, ta nói tập hợp  hay rời nhau nếu  không giao với  Nghĩa là chúng không chung một phần tử nào cả. Tập hợp  và  không giao nhau nếu giao của chúng là tập rỗng, được ký hiệu là 

Ví dụ chẳng hạn, tập  và  không giao nhau, còn tập các số chẵn giao với tập của các số chia hết cho 3 tại các bội của 6.

Tính chất đại số 

Phép giao là phép toán có tính kết hợp; tức là, cho bất kỳ tập  và  ta có

Do vậy, dấu ngoặc có thể bỏ đi mà không làm mất giá trị: cả hai cái trên đều có thể viết thành . Phép giao còn có tính giao hoán. Tức là cho bất kỳ tập  và  ta có 
Giao của bất kỳ tập hợp với tập rỗng sẽ ra tập rỗng; nghĩa là cho bất kỳ tập hợp ,

Ngoài ra, phép giao còn có tính lũy đẳng; tức là, cho bất kỳ tập , . Tất cả tính chất này đều đương tự với phép hội.

Phép giao phân phối trên phép hợp và ngược lại. Nghĩa là cho bất kỳ tập  và  ta có

Trong vũ trụ  ta định nghĩa phần bù  của  là tập các phần tử thuộc  nhưng không thuộc  Sử dụng định nghĩa này, giao của  và  có thể viết lại thành bù của hợp của bù của mỗi phần tử, dễ dàng suy ra từ luật De Morgan:

Giao của họ tập hợp

Giao của họ khác rỗng
Dạng tổng quát nhất là giao của một họ tập hợp .
Nếu  là tập hợp khác rỗng trong đó các phần tử là các tập hợp, thì  là phần tử của  của  khi và chỉ khi với mọi phần tử  thuộc   là phần tử thuộc 
Viết bằng ký hiệu:

Ký hiệu này có nhiều các viết khác khác nhau. Các nhà lý thuyết tập hợp sẽ đôi khi viết "", trong khi một số sẽ viết "".
Ký hiệu sau có thể tổng quát hóa thành "", tức là giao của họ 
Trong đó  là tập chỉ số khác rỗng và  là tập hợp với mọi 

Khi tập chỉ số  là tập các số tự nhiên, ký hiệu giao có thể viết lại thành:

giống với chuỗi.

Nếu khó khi định dạng, ta cũng có thể viết "".

Giao của họ rỗng

Trong phần trước, ta vẫn chưa xét trường hợp  là tập hợp rỗng (). Lý do là bởi: Giao của họ  được định nghĩa là tập (xem ký pháp xây dựng tập hợp)

Nếu  rỗng, thì không có tập  nào thuộc , nên câu hỏi trở thành "phần tử  nào sẽ thỏa mãn điều kiện trong định nghĩa?". Câu trả lời có vẻ như là . Khi  rỗng, điều kiện cho trên là một ví dụ của chân lý rỗng. Do đó, giao của họ rỗng phải là tập phổ dụng (phần tử đơn vị cho phép giao),
, song trong lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel, tập phổ dụng không tồn tại.

Mặc dù vậy, nếu giới hạn về các tập con của một tập  cho trước, thì giao của họ rỗng các tập con của  được định nghĩa tốt. Trong trường hợp này, nếu  rỗng thì giao của nó sẽ là .  Bởi  đều thỏa mãn điều kiện, nên giao của họ rỗng các tập con của  là toàn bộ của   Nói bằng công thức, Cách hiểu này khớp với ý nghĩ rằng khi họ các tập con càng ngày càng nhỏ đi thì giao tương ứng của chúng càng trở nên lớn hơn; và trong trường hợp đặc biệt, giao của họ rỗng sẽ là toàn bộ tập nền.

Xem thêm

Tham khảo

Thư mục 

 Nguyễn Tiến Quang (2008), Đại số đại cương, Nhà xuất bản giáo dục
 Hoàng Xuân Sính (1972), Đại số đại cương (tái bản lần thứ tám), Nhà xuất bản giáo dục

Liên kết ngoài
 

Lý thuyết tập hợp
Phép toán hai ngôi