Số chính phương tam giác

Trong toán học số chính phương tam giác là số vừa là số hình vuông (Số chính phương) vừa là số tam giác. Có vô hạn số chính phương tam giác, được cho bởi công thức: hoặc bằng hệ thức đệ quy: với  và 

Các số chính phương tam giác nhỏ nhất là 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025,... 

vấn đề này có thể làm đơn giản hơn bằng Phương trình Pell mà ta sẽ theo con đường dưới đây. Mỗi số tam giác đều có dạng n(n + 1)/2. Vì thế ta tím các số nguyên n, m sao cho:

Với số nhị phân của đại số trở thành

Và sau đó cho k = 2n + 1 và h = 2m, ta có Phương trình Diophantine

Cái mà thay thế của phương trình Pell và được giải quyết bởi số Pell

Chúng ta có đệ quy

Cũng vậy, chú ý rằng

kể từ  và .

Số chính phương tam giác thứ k thì bằng số chính phương thứ s và số tam giác thứ t, sao cho

t được nhân bởi công thức:

hoặc bởi đệ quy:

Khi k đủ lớn người ta nhận thấy tỉ số t/s tiến gần tới căn bậc 2 của số 2: Cũng vậy tỉ số của 2 số chính phương tam giác liên tiếp hội tụ tại 17+12sqrt{2}.

Xem thêm

Tham khảo

Liên kết ngoài 
 Triangular numbers that are also square at cut-the-knot
 Sequence A001110 from the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.

Số hình học