Hàm phi Euler

Trong lý thuyết số, hàm số Euler của một số nguyên dương n được định nghĩa là số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n, nguyên tố cùng nhau với n (  là số nguyên tố cùng nhau với n trong đoạn từ 1 đến n) . Hàm Euler được ký hiệu bởi  hoặc , do đó hàm được gọi làm hàm phi Euler.

Chẳng hạn,  vì có sáu số 1, 2, 4, 5, 7 và 8 là nguyên tố cùng nhau với 9.

Hàm số  trong tiếng Anh còn được gọi là hàm "totient".

Hàm này thường được gọi là hàm số Euler, theo tên nhà toán học Thụy Sĩ Leonhard Euler, người đã nghiên cứu nó và ký hiệu nó bằng chữ cái Hy Lạp Phi (). Đối totient của n được định nghĩa là , nghĩa là số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n mà không nguyên tố với n.

Hàm phi có nhiều ứng dụng vì nó là kích thước của nhóm nhân các số nguyên modulo n. Quan trọng hơn  là cấp của nhóm các đơn vị trong vành có đơn vị .

Tính giá trị hàm phi Euler

Công thức 
Từ định nghĩa chúng ta có , và  với n là lũy thừa bậc k của số nguyên tố p ()  . Ngoài ra,  là một hàm nhân tính; nếu m và n là nguyên tố cùng nhau thì . (Tóm lược chứng minh: gọi A, B, C là các tập hợp các lớp đồng dư tương ứng theo các modulo m, n, mn; khi đó có một song ánh giữa  và , (theo [[định lý số dư Trung Quốc]]).) Giá trị của  có thể tính được khi sử dụng định lý cơ bản của số học: 
Nếu

trong đó các  là các số nguyên tố phân biệt,
thì

Công thức này là một tích Euler và thường được viết là 

với tích chạy qua các số nguyên tố  là ước của .

Ví dụ

Một số giá trị 
100 giá trị đầu tiên  được hiển thị trong bảng và đồ thị dưới đây:

{| class="wikitable" style="text-align: right"
|+ với 
! +
! 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10
|- 
! 0 
| 1 || 1 || 2 || 2 || 4 || 2 || 6 || 4 || 6 || 4 
|-
! 10
| 10 || 4 || 12 || 6 || 8 || 8 || 16 || 6 || 18 || 8 
|- 
! 20
| 12 || 10 || 22 || 8 || 20 || 12 || 18 || 12 || 28 || 8 
|-
! 30
| 30 || 16 || 20 || 16 || 24 || 12 || 36 || 18 || 24 || 16 
|-
! 40
| 40 || 12 || 42 || 20 || 24 || 22 || 46 || 16 || 42 || 20
|-
! 50
| 32 || 24 || 52 || 18 || 40 || 24 || 36 || 28 || 58 || 16 
|-
! 60
| 60 || 30 || 36 || 32 || 48 || 20 || 66 || 32 || 44 || 24 
|-
! 70
| 70 || 24 || 72 || 36 || 40 || 36 || 60 || 24 || 78 || 32
|-
! 80
| 54 || 40 || 82 || 24 || 64 || 42 || 56 || 40 || 88 || 24
|-
! 90
| 72 || 44 || 60 || 46 || 72 || 32 || 96 || 42 || 60 || 40 
|}

Các tính chất 
Số  cũng bằng số các phần tử sinh có thể của nhóm cyclic  (và do đó cũng là bậc của đa thức cyclotomic ). Từ đó mọi phần tử của  sinh ra một nhóm con cyclic của  va có dạng  trong đó d là ước số của n (ký hiệu ), ta có

trong đó tổng trải trên tất cả các ước dương d của n.

Chúng ta cũng có thể sử dụng công thức đảo ngược Möbius để "đảo ngược" tổng này và được một công thức khác đối với hàm :

trong đó  là hàm Möbius xác định trên các số nguyên dương.

Theo Định lý Euler, nếu a nguyên tố cùng nhau với n, nghĩa là, ƯCLN(a,n) = 1, thì

Điều này suy ra từ Định lý Lagrange và từ việc a thuộc nhóm nhân modulo  nếu và chỉ nếu a nguyên tố cùng nhau với n.

Tham khảo

Liên kết ngoài 
 Miyata, Daisuke & Yamashita, Michinori, Derived logarithmic function of Euler's function 
 Bordellès, Olivier,  Numbers prime to q in 

Lý thuyết số
Số học Modulo
Hàm có tính chất nhân
Khái niệm toán học mang tên Euler
Hàm nhân
Đại số