Luật số lớn

Luật số lớn được đưa ra vào thế kỷ XVII.

Luật số lớn chỉ ra rằng, khi ta chọn ngẫu nhiên các giá trị (mẫu thử) trong một dãy các giá trị (quần thể), kích thước dãy mẫu thử càng lớn thì các đặc trưng thống kê (trung bình, phương sai,...) của mẫu thử càng "gần" với các đặc trưng thống kê của quần thể

Các nhà toán học phân biệt 2 phát biểu khác nhau của luật số lớn, là luật số lớn yếu và luật số lớn mạnh.

Luật số lớn yếu 

Luật số lớn yếu còn được gọi là định lý Khintchine.

Xét n biến ngẫu nhiên X_1, X_2,..., X_n độc lập, cùng phân phối với kỳ vọng E(X), luật số lớn yếu phát biểu rằng, với mọi số thực  dương, xác suất để khoảng cách giữa trung bình tích lũy  và kỳ vọng E(X) lớn hơn  là tiến về 0 khi n tiến về vô cực.

Phát biểu được chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức Bienaymé-Tchebychev sau đây của Tchebychev:

Ta có biến ngẫu nhiên  có kỳ vọng 
 
và phương sai 

từ bất đẳng thức Bienaymé-Tchebychev, ta có:

Vế phải tiến về 0 khi n tiến về vô cực, định lý được chứng minh.

Theo định nghĩa hội tụ của biến ngẫu nhiên thì  hội tụ theo xác suất về E(X).

Luật số lớn mạnh 

Xét n biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối xác suất, khả tích (nghĩa là ). Luật số lớn mạnh phát biểu rằng trung bình tích lũy  hội tụ hầu như chắc chắn về E(X).

Nghĩa là:
.

Tham khảo

Lý thuyết xác suất
Chứng minh toán học
Thuật ngữ thống kê