Định lý Menelaus

Định lý Menelaus là một định lý cơ bản trong hình học tam giác, được phát biểu như sau: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi

Chứng minh

*Phần thuận: Giả sử D, E, F là 3 điểm thẳng hàng với nhau. Vẽ đường thẳng qua C và song song với AB cắt đường thẳng DE tại G.

Vì CG//AB (c.dựng) nên theo định lý Ta-lét, ta có:

 (1)
và  (2)

Nhân (1) và (2) và vế theo vế

Từ đó suy ra

*Phần đảo: Giả sử . Khi đó gọi F' là giao của đường thẳng ED với đường thẳng AB.

Theo chứng minh ở trên, ta có 

Kết hợp giả thuyết suy ra 

Hay 

Nên F'A = FA và F'B = FB

Suy ra F' trùng với F.

Vậy định lý đã được chứng minh.

Xem thêm
Định lý Carnot
Định lý Ceva

Tham khảo

 Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. "Menelaus's Theorem." §3.4 in Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 66–67, 1967.
 Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 122, 1987.
 Graustein, W. C. Introduction to Higher Geometry. New York: Macmillan, p. 81, 1930.
 Grünbaum, B. and Shepard, G. C. "Ceva, Menelaus, and the Area Principle." Math. Mag. 68, 254-268, 1995.
 Honsberger, R. "The Theorem of Menelaus." Ch. 13 in Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 147–154, 1995.
 Durell, C. V. Modern Geometry: The Straight Line and Circle. London: Macmillan, pp. 42–44, 1928.
 Graustein, W. C. Introduction to Higher Geometry. New York: Macmillan, p. 81, 1930.
 Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, p. 150, 1991.

M
Hình học tam giác
Hình học afin
Định lý trong hình học phẳng
Hình học phẳng Euclid