Định lý Lagrange (lý thuyết số)

Trong Lý thuyết số, định lý Lagrange khẳng định:
 Nếu p là số nguyên tố và f(x) là một đa thức với hệ số nguyên thuộc trường  có bậc là n và không đồng nhất với không (nghĩa là có ít nhất một hệ số không chia hết cho p), thì phương trình  có không quá n nghiệm trong trường .

Nếu p không phải là số nguyên tố thì có thể có nhiều hơn n nghiệm.

Định lý được đặt theo tên của Joseph-Louis Lagrange.

Một chứng minh của định lý Lagrange 

Ta chứng minh quy nạp theo n.

Định lý hiển nhiên đúng với n=0.

Giả sử định lý đúng với n=k, xét đa thức không đồng nhất với không , deg(f) = k + 1, với m nghiệm.

Không mất tính tổng quát giả sử m>0, vậy tồn tại r sao cho .

Khi đó, , với g là đa thức có bậc nhỏ thua k+1. Rõ ràng,  không đồng nhất với không, do đó  có không quá k nghiệm. Kết hợp với  có đúng một nghiệm, suy ra  có không quá k+1 nghiệm.

Suy ra điều phải chứng minh.

Tham khảo

L
Lý thuyết số
Đa thức