Định lý cơ bản của các nhóm cyclic

Trong đại số trừu tượng,  định lý cơ bản về nhóm cyclic khẳng định rằng nếu G là một nhóm cyclic cấp n thì mọi nhóm con của G cũng là cyclic. Hơn nữa, cấp của các nhóm con của G là một ước của n và với mỗi ước dương k của n nhóm G có đúng một nhóm con cấp k.

Chứng minh 
Giả sử  là một nhóm cyclic sinh bởi phần tử .  Giả sử  là nhóm con của .
Ta sẽ chứng tỏ rằng  là cyclic. Nếu  thì . Nếu  thì vì  là cyclic nên mọi phần tử trong  có dạng lũy thừa , trong đó  là số nguyên dương. Đặt  là số nguyên dương nhỏ nhất mà .

Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng . Từ tính chất đống của nhóm con rút ra rằng .

Để chứng tỏ  chúng ta giả sử . Vì  ta có  với một số nguyên dương nào đó . Theo thuật toán chia,  với , và do đó , từ đó . Bây giờ vì  và , nên . Nhưng  là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho  và , nên  và do đó . Như vậy .

Vì  và  nên  và như vậy  là cyclic.

Bây giờ, chúng ta chứng tỏ rằng cấp của nhóm con bất kỳ của  là một ước của . Giả sử  là một nhóm con bất kỳ của . Ta luôn có thể viết , trong đó m là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho . Vì  nên  với số nguyên  nào đó. Như vậy .

Chúng ta sẽ chứng minh phần cuối của định lý. Giả sử  là một ước nguyên dương của . Ta sẽ chứng tỏ rằng  và chỉ nó là nhóm con  cấp . Chú ý rằng  có cấp . Đặt  là nhóm con bất kỳ của  có cấp . Ta biết rằng , trong đó  là ước của . Như vây  and . Từ đó  và như vậy . Định lý đã được chứng minh.

Bổ sung
Giả sử  là một nhóm cyclic, và  là một nhóm con của . Ta xác định một ánh xạ  nhờ . Vì  là cyclic sinh bởi , nên  là toàn ánh. Đặt .  là nhóm con của . Vì  là toán ánh, nên thu hẹp của  trên  xác định một toàn cấu từ  lên , và do đó  là đẳng cấu với một nhóm thương của . Vì  là một nhóm con của ,  là  với số nguyên  nào đó. Nếu , thì , từ đó , là nhóm cyclic. Nếu khác đi,  đẳng cấu với . Do đó  là đẳng cấu với một thương của  , và chắc chắn là cyclic.

Xem thêm
Nhóm cyclic

Tham khảo

Đại số
Lý thuyết nhóm