Định lý con bướm

Định lý con bướm là một định lý trong hình học Euclid, có thể được phát biểu như sau:

Cho dây cung PQ của một đường tròn và trung điểm M của nó. Vẽ hai dây cung AB và CD khác của đường tròn đi qua M. Gọi giao điểm của AD và BC với PQ tương ứng là X và Y. Khi đó M cũng là trung điểm của XY.

Chứng minh
Gọi  và  lần lượt là hình chiếu vuông góc của X trên các đoạn thẳng AM và DM. Tương tự, gọi  và  lần lượt là hình chiếu của Y trên đoạn thẳng BM và CM.

Do
 

 

 

 

 

 

 

Từ các đẳng thức trên, ta có

 

  (xem Phương tích)

  (do PM = MQ)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
 

Từ đó suy ra MX = MY, hay M là trung điểm của XY.

Mở rộng

Mở rộng định lý con bướm của Sharygin. Trên dây cung AB của đường tròn lấy điểm M, N sao cho AM=BN, đường thẳng qua M cắt đường tròn tại hai điểm P, Q, đường thẳng qua N cắt đường tròn tại hai điểm R, S. PR, SQ cắt AB tại hai điểm K, L khi đó MK=LN.

Tham khảo

Liên kết ngoài
 Định lý con bướm tại Cut-The-Knot.
 Một định lý con bướm tổng quát hơn tại Cut-The-Knot.
 Chứng minh Định lý con bướm tại PlanetMath.
 

Hình học phẳng Euclid
Tam giác
S
Hình học tam giác
Hình học sơ cấp
C
Bướm