Chứng minh e là số vô tỉ

Số e được Jacob Bernoulli giới thiệu vào năm 1683. Hơn nửa thế kỷ sau, Euler, người từng là học trò của em trai Jacob, Johann, đã chứng minh rằng e là số vô tỉ; nghĩa là nó không thể được biểu thị bằng thương số của hai số nguyên.

Trong toán học, dạng khai triển số e của Euler

 
được dùng để chứng minh rằng e là số vô tỉ. Dưới đây là phép chứng minh bằng phản chứng của Joseph Fourier.

Chứng minh
Giả sử rằng e là số hữu tỉ. Khi đó tồn tại các số tự nhiên a và b sao cho e = a/b.

Đặt

Thay e = a/b vào biểu thức bên trên ta được

Số hạng đầu tiên là số nguyên, các số hạng tiếp theo nguyên bởi vì n ≤ b, vậy nên x là số nguyên.

Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng 0 < x < 1. Thật vậy, thay e bằng dạng khai triển Euler ta được:

Với mọi n ≥ b + 1 ta có ước lượng bên dưới

và bất đẳng thức trở nên nghiệm ngặt với n ≥ b + 2. Thay từng đánh giá vào tổng và sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân vô hạn ta được

Vậy 0 < x < 1, mà không có số nguyên nào giữa 0 và 1, mâu thuẫn này chứng tỏ giả thiết phản chứng là sai, vậy e phải là số vô tỉ.

Tham khảo

Giải tích toán học
Chứng minh toán học
Chứng minh bằng phương pháp phản chứng
E (hằng số toán học)