Giai thừa nguyên tố

Với n ≥ 2, giai thừa nguyên tố (tiếng Anh: primorial) (ký hiệu n#) là tích của tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng n. Chẳng hạn, 7# = 210 là tích các số nguyên tố (2·3·5·7). Tên này đặt theo Harvey Dubner và là từ ghép của prime và factorial.

Dãy các giai thừa nguyên tố đầu tiên là:

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410 (theo OEIS).

Định nghĩa cho các số nguyên tố 

Đối với số nguyên tố tứ  , primorial  được định nghĩa là tích của  số nguyên tố đầu tiên:

,

trong đó  là số nguyên tố thứ . Để lấy ví dụ,  là tích của 5 số nguyên tố đầu tiên:

5 primorial  đầu tiên là:

2, 6, 30, 210, 2310 .

Dãy cũng bao gồm  là tích rỗng. Theo tiệm cận thì, các primorial  lớn ngang với:

trong đó  là ký hiệu o nhỏ.

Định nghĩa cho các số tự nhiên 

Đối với số tự nhiên , primorial của n, , là tích của các số nguyên tố không lớn hơn ; nghĩa là,

,

trong đó  là hàm đếm số nguyên tố , hàm đếm các số nguyên tố  ≤ . Định nghĩa này tương đương với:

Để lấy ví dụ, 12# là tích của các số nguyên tố p ≤ 12:

Bởi , ta cũng có thể tính như sau:

12 giá trị đầu tiên của  là :

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Tính chất và ứng dụng 
Ý tưởng lấy tích của tất cả các số nguyên tố nằm trong chứng minh số các số nguyên tố là vô hạn; nó được sử dụng để mâu thuẫn khi giả thiết rằng số các số nguyên tố là hữu hạn.

Các Primorial đóng vai trò quan trọng trong việc tìm các số nguyên tố trong cấp số cộng. Chẳng hạn, 2236133941 + 23# là một số nguyên tố, khởi đầu dãy 13 số nguyên tố bằng cách cộng thêm 23#, và kết thúc với 5136341251. Số 23# chính là công bội của các cấp số cộng gồm mười lăm và mười sáu số nguyên tố.

Mọi siêu hợp số có thể viết thành tích của các giai thừa nguyên tố (ví dụ như 360 = 2·6·30).

Bảng các giai thừa nguyên tố

Xem thêm 
 Bất đẳng thức Bonse
 Số nguyên tố Primorial

Tham khảo 

 Harvey Dubner, "Factorial and primorial primes". J. Recr. Math., 19, 197–203, 1987.

Liên kết

 

Giai thừa
Toán học tổ hợp
Số nguyên tố
Chuỗi số nguyên

ru:Факториал#Праймориал или примориал