Đường thẳng Simson

Trong hình học, định lý về đường thẳng Simson được phát biểu như sau:

Cho tam giác  và một điểm  nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Khi đó, các hình chiếu của điểm  trên các cạnh của tam giác thẳng hàng. Đường thẳng đi qua các hình chiếu đó được gọi là Đường thẳng Simson''' của điểm  đối với tam giác .
Đường thẳng này được đặt theo tên của nhà toán học Robert Simson. Tuy nhiên, khái niệm này được xuất bản lần đầu bởi William Wallace.

Mệnh đề đảo của định lý này cũng đúng: Nếu hình chiếu của một điểm  trên các cạnh của một tam giác thẳng hàng thì điểm  nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.

Đường thẳng Simson của một điểm chính là tam giác bàn đạp của nó nhưng trong trường hợp tam giác đó suy biến thành đường thẳng.

Tính chất

Cho tam giác  nội tiếp đường tròn .

Xét tính chất các đường thẳng Simson của các điểm trên .

Đường thẳng Simson của đỉnh  của tam giác là đường cao hạ từ đỉnh đó, và đường thẳng Simson của điểm  đối xứng với đỉnh  qua tâm  là cạnh  của tam giác.
Nếu  và  là các điểm thuộc , thì các góc giữa hai đường thẳng Simson của  và  bằng nửa số đo cung . Trong trường hợp đặc biệt, nếu  và  đối xứng nhau qua tâm , thì các đường thẳng Simson của chúng vuông góc với nhau tại một điểm nằm trên đường tròn chín điểm.
Nếu gọi  là trực tâm của tam giác , thì đường thẳng Simson của  đi qua trung điểm của đoạn  (trung điểm này nằm trên đường tròn chín điểm).
Nếu hai tam giác cùng nột tiếp , thì góc giữa hai đường thẳng Simson lines của một điểm  trên  đối với hai tam giác đó không phụ thuộc vào vị trí của  trên .
Đường thẳng Simson luôn tiếp xúc với tam giác cong Steiner.
Mở rộng
Mở rộng 1Cho điểm  trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác , và một đường thẳng  đi qua tâm đường tròn đó. Ba đường thẳng  cắt đường thẳng  tại ba điểm phân biệt . Khi đó hình chiếu của ba điểm  tương ứng trên ba cạnh  sẽ thẳng hàng. Đã có bốn chứng minh cho mở rộng trên.Nguyen Van Linh, https://nguyenvanlinh.files.wordpress.com/2015/12/simson-generalization.pdfNguyen Le Phuoc and Nguyen Chuong Chi (2016). 100.24 A synthetic proof of Dao's generalisation of the Simson line theorem. The Mathematical Gazette, 100, pp 341-345. doi:10.1017/mag.2016.77. The Mathematical Gazette

Mở rộng 2 Cho điểm  trong mặt phẳng và đường conic, ba đường thẳng phân biệt qua . Đường thẳng thứ nhất cắt conic tại các điểm , . Định nghĩa các điểm ,  và ,  tương tự. Gọi  điểm trong mặt phẳng, gọi , ,  là ba điểm giao bởi ba đường thẳng , ,  với ba cạnh tam giác , ,  của tam giác  khi đó bốn điểm , , ,  thẳng hàng khi nếu và chỉ nếu  nằm trên đường conic.
Chúng ta có thể xem chi tiết hơn về mở rộng này tại định lý Đào (conic)

Mở rộng 3

Mở rộng này của Lazare Carnot một nhà toán học người Pháp.

Gọi D là một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và A0, B0, C0 lần lượt là các điểm trên ba cạnh BC, CA, AB khi đó góc hợp bởi các đường thẳng DA0, DB0, DC0 lần lượt với ba cạnh BC, CA, AB bằng nhau thì A0, B0, C0 thẳng hàng .

Xem thêm
Tam giác bàn đạp
Robert Simson
Định lý Sondat
Định lý Đào (Conic)
Định lý Carnot
Định lý Đào (mở rộng đường thẳng Simson)

Chú thích

Liên kết ngoài

 Simson Line
 F. M. Jackson and 
 A generalization of Neuberg's theorem and the Simson-Wallace line  at Dynamic Geometry Sketches 

Hình học tam giác
S
Hình học Euclid
Hình học sơ cấp
S