Phương trình Laplace

Trong toán học, phương trình Laplace là một phương trình đạo hàm riêng được đặt theo tên người khám phá, Pierre-Simon Laplace. Nghiệm của phương trình Laplace là khá quan trọng trong nhiều ngành khoa học, đáng chú ý là trong các ngành điện từ trường, thiên văn học, và cơ chất lỏng, bởi vì chúng mô tả hành vi của thế năng của điện, trọng lực, và chất lỏng. Lý thuyết tổng quát của các nghiệm của phương trình Laplace được gọi chung là lý thuyết thế năng (potential theory).

Định nghĩa
Trong không gian 3 chiều, bài toán là đi tìm một hàm thực  khả vi hai lần sao cho:

Trong hệ tọa độ Descartes:

 

Trong hệ tọa độ trụ:

Trong hệ tọa độ cầu:

 

Nó được viết tổng quát lại là  hay:  với  là toán tử Laplace hay Laplacian:

Trong đó  là divergence của vector  và  là gradient của .

Nghiệm của phương trình Laplace được gọi là hàm điều hòa (harmonic function).

Nếu vế phải là một hàm biết trước, chẳng hạn  thì phương trình được gọi là phương trình Poisson.
Phương trình Laplace hay phương trình Poisson là những dạng đơn giản nhất của các phương trình đạo hàm riêng elliptic. Toán tử vi phân,  hay , (mà có thể định nghĩa được trong không gian n-chiều) được gọi là toán tử Laplace hay Laplacian.

Phương trình Laplace là trường hợp đặc biệt của phương trình Helmholtz.

Xem thêm
 Hàm điều hòa cầu
 Lý thuyết thế năng
 Dòng thế năng

Liên kết ngoài
 Laplace Equation (particular solutions and boundary value problems) at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
 Example initial-boundary value  problems  using Laplace's equation from exampleproblems.com.
 
 Module for Laplace’s Equation by John H. Mathews

Tham khảo 

 L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
 I. G. Petrovsky, Partial Differential Equations, W. B. Saunders Co., Philadelphia, 1967.
 A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
A. Sommerfeld, Partial Differential Equations in Physics, Academic Press, New York, 1949.

Biến đổi Fourier
Laplace
Pierre-Simon Laplace
Laplace
Hàm điều hòa