0,999...

Trong toán học, số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,999... hay còn được viết  hoặc . Nói cách khác: ký hiệu 0,999... và 1 đều thể hiện cùng một số thực. Điều này đã được nhiều giáo sư toán học trên thế giới công nhận và được giảng dạy trong nhiều sách giáo khoa. Nhiều cách chứng minh khác nhau đã được trình bày, dựa vào nhiều phép tính toán trên các số thực, các kiến thức đã được công nhận và tùy theo mục đích của người đọc. Trong thực tế, số thực có thực có thể được đại diện bởi một dãy số thập phân vô hạn và sự thực này mới nhìn giống như một nghịch lý. Điều này có thể tránh được với nhiều hệ thống số hay cách biểu diễn số khác như vi phân: một đại lượng biến thiên nhỏ vô cùng luôn chạy về 0 nhưng không bao giờ bằng 0, số p-adic.

Chứng minh 
Có nhiều cách để chứng minh điều này: vận dụng các kiến thức số học, đại số, giải tích, chuỗi vô hạn, vận dụng chia khoảng và tính bị chặn, dựa vào cấu trúc của các số thực, dãy Cauchy... Dưới đây là các cách đơn giản nhất.

Số học

Phân số và phép chia 
Ta có:
{| style="wikitable"
|
|width="25px"|
|width="25px" style="border-left:1px solid silver;"|
|
|}

Một phiên bản rút gọn khác là

Xem thêm 
 Vô hạn
 Giải tích thực
 Chuỗi (toán học)

Chú thích

Tham khảo

Liên kết ngoài 

 0,999999… = 1? từ cut-the-knot
 Tại sao 0.9999… = 1 ?
 Hỏi một nhà khoa học: Số thập phân tuần hoàn 
 Phép chứng minh số học
 Chín vô hạn
 Chín vô hạn bằng một
 Nghiên cứu của David Tall về sự nhận thức toán học
 Có gì sai khi nghĩ rằng số thực là thập phân vô hạn?
 Định lý 0,999... trên Metamath
 Hackenstrings, và 0.999... ?= 1 FAQ 

1 (số)
Các nghịch lý toán học
Số thực

de:Eins#Periodischer Dezimalbruch
nl:Repeterende breuk#Repeterende negens