Bổ đề Borel-Cantelli

Bổ đề Borel-Cantelli được phát biểu vào nửa đầu thế kỉ 20, được mang tên nhà toán học Pháp Emile Borel và nhà toán học Ý Francesco Palo Cantelli. Bổ đề này thường được dùng trong lý thuyết xác suất. Nó còn được gọi là tiêu chuẩn Borel cho luật không-một.

Lý thuyết này đề cập tới dãy các biến cố. Trong một tương đối tổng quát hơn, nó cũng là một kết quả trong lý thuyết độ đo (measure theory).

Phát biểu 
Cho (En) là một dãy các biến cố trong không gian xác suất, bổ đề Borel-Cantelli cho rằng:

Nếu tổng các xác suất của En là hữu hạn

thì xác suất để chúng xảy ra vô hạn là bằng không, nghĩa là

Ở đây, limsup là ký hiệu của giới hạn trên. Lưu ý rằng không cần có giả thiết về sự độc lập (của các biến cố). Pr(X) là xác suất của biến cố X.

Thí dụ 
Giả sử (Xn) là dãy các biến ngẫu nhiên, với Pr(Xn = 0) = 1/n2 cho mọi n. Thế thì tổng của Pr(Xn = 0) là hữu hạn (thật ra nó là π2/6 - xem Hàm Riemann zeta), thì bổ đề Borel-Cantelli kết luận rằng xác suất để Xn = 0 xảy ra một số nhiều vô hạn các n là bằng 0.

Tham khảo

Lý thuyết xác suất
Định lý toán học
Bổ đề
Xác suất và thống kê