Dãy Lucas

Trong toán học, dãy Lucas  và  là các dãy số nguyên đệ quy không đổi thỏa mãn hệ thức truy hồi

 

với  và  là các số nguyên cho trước. Bất kỳ dãy số nào thỏa mãn hệ thức truy hồi này có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính các dãy Lucas  và  .

Nói chung, dãy Lucas  và  biểu diễn dãy đa thức hệ số nguyên với biến  và .

Các ví dụ nổi tiếng về dãy Lucas gồm dãy Fibonacci, số nguyên tố Mersenne, số Pell, số Lucas, số Jacobsthal và tập siêu số Fermat. Các dãy Lucas được đặt theo tên nhà toán học Pháp Édouard Lucas.

Hệ thức truy hồi 
Cho hai tham số nguyên P và Q, dãy Lucas thứ nhất Un(P,Q) và thứ hai Vn(P,Q) được xác định bằng hệ thức truy hồi :

 

và

 

Dễ thấy với  thì

 

Hệ thức trên có thể biểu diễn dưới dạng ma trận như sau:

Ví dụ 
Các phần tử ban đầu của dãy Lucas Un(P,Q) và Vn(P,Q) được cho trong bảng:

Biểu thức tường minh 
Phương trình đặc trưng của hệ thức truy hồi cho dãy Lucas  và  là:

 

Biệt thức delta  với:

 

thì:

 
 
 

Lưu ý rằng dãy  và dãy  cũng thỏa mãn hệ thức truy hồi nhưng không phải dãy số nguyên.

Nghiệm phân biệt 
Khi , a và b khác nhau thì có thể xác định:

Theo đó, dãy Lucas có thể được biểu diễn qua a và b như sau

Nghiệm trùng nhau 
Trường hợp  khi và chỉ khi  với  là số nguyên. Khi đó

 

  .

Tính chất

Hàm sinh 
Hàm sinh thông thường là

Phương trình Pell 
Khi , các dãy Lucas  và  sẽ thỏa mãn phương trình Pell:

Quan hệ các dãy với tham số khác nhau 

 Với c là số bất kỳ, các dãy  và  với

 
 
 có biệt thức như  và  :
 

 Với c bất kỳ cũng có

Quan hệ khác 
Các phần tử của dãy Lucas thỏa mãn quan hệ tổng quát giữa dãy Fibonacci  và số Lucas . Ví dụ:

Tính chia hết 
 là bội số của , như vậy là dãy chia hết. Cụ thể  chỉ có thể là số nguyên tố khi n là số nguyên tố. Hệ quả khác là thuật toán bình phương và nhân để tính nhanh  khi n có giá trị lớn. Hơn nữa, nếu  thì  là dãy số chia hết mạnh.

Các tính chia hết khác:

 Nếu n / m lẻ thì  chia hết cho  .
 Gọi N là một số nguyên tố nhỏ hơn 2Q. Nếu tồn tại số nguyên dương r nhỏ nhất để N chia hết cho , thì đó tập hợp n thỏa mãn N chia hết cho  chính là tập hợp các bội số của r.
 Nếu P và Q chẵn thì  luôn chẵn, ngoại trừ  
 Nếu P chẵn và Q lẻ thì  cùng tính chẵn lẻ với n và  luôn chẵn.
 Nếu P lẻ và Q chẵn thì  luôn lẻ với  .
 Nếu P và Q đều lẻ thì  chẵn khi và chỉ khi n là bội của 3.
 Nếu p là một số nguyên tố lẻ thì  (xem ký hiệu Legendre ).
 Nếu p là số nguyên tố lẻ và chia P và Q thì p chia hết  Cho mọi  .
 Nếu p là số nguyên tố lẻ và chia P mà không chia cho Q thì p chia  nếu và chỉ khi n chẵn.
 Nếu p là một số nguyên tố lẻ và không chia P mà chia cho Q thì p không bao giờ chia  vì  .
 Nếu p là số nguyên tố lẻ và không chia PQ mà chia D, thì p chia  nếu và chỉ khi p chia cho n .
 Nếu p là số nguyên tố lẻ và không chia PQD thì p chia hết , với  .

Mệnh đề cuối cùng khái quát Định lý nhỏ Fermat. Những tính chất này được dùng trong Kiểm tra tính nguyên tố Lucas-Lehmer. Mệnh đề đảo của mệnh đề cuối không đúng, vì đình lý đảo của định lý nhỏ Fermat cũng không đúng. Tồn tại hợp số n nguyên tố cùng nhau với D và chia hết , với . Hợp số này được gọi là số giả nguyên tố Lucas.

Thừa số nguyên tố của một phần tử trong dãy Lucas mà không chia hết bất kỳ phần tử nào trước đó trong dãy được gọi là primitive. Định lý Carmichael phát biểu rằng tất cả ngoại trừ rất nhiều số hạng trong dãy Lucas đều có thừa số nguyên tố. Thật vậy, Carmichael (1913) đã chỉ ra rằng nếu D dương và n khác 1, 2 hoặc 6 thì  có một thừa số nguyên tố primitive. Trong trường hợp D âm, Bilu, Hanrot, Voutier và Mignotte cho kết quả rằng nếu n > 30, thì  có một thừa số nguyên tố primitive và xác định tất cả các trường hợp  không có thừa số nguyên tố primitive.

Một số trường hợp cụ thể 
Dãy Lucas cho một số giá trị cụ thể của P và Q:

  : Dãy Fibonacci
  : Số Lucas
  : Số Pell
  : Số Pell–Lucas 
  : Số Jacobsthal
  : Số Jacobsthal–Lucas
  : Số nguyên tố Mersenne 2n − 1
  : Những số có dạng 2n + 1 bao gồm cả số Fermat
  : Căn bậc hai của số chính phương tam giác.
  : Đa thức Fibonacci
  : Đa thức Lucas
  : Đa thức Chebyshev loại hai
  : Đa thức Chebyshev loại một nhân 2
  : Chữ số lặp lại hệ cơ số x
  : xn + 1

Một số dãy Lucas được ghi nhận trong Bảng tra cứu dãy số nguyên trực tuyến:
{|class="wikitable" style="background: #fff"
|-
!!!!!!! 
|- 
| −1 || 3 || 
|-
| 1 || −1 ||  || 
|-
| 1 || 1 ||  || 
|-
| 1 || 2 ||  || 
|-
| 2 || −1 ||  || 
|-
| 2 || 1 || 
|-
| 2 || 2 ||  || 
|-
| 2 || 3 || 
|-
| 2 || 4 || 
|-
| 2 || 5 || 
|-
| 3 || −5 ||  || 
|-
| 3 || −4 ||  || 
|-
| 3 || −3 ||  || 
|-
| 3 || −2 ||  || 
|-
| 3 || −1 ||  || 
|-
| 3 || 1 ||  || 
|-
| 3 || 2 ||  || 
|-
| 3 || 5 || 
|-
| 4 || −3 ||  || 
|-
| 4 || −2 || 
|-
| 4 || −1 ||  || 
|-
| 4 || 1 ||  || 
|-
| 4 || 2 ||   || 
|-
| 4 || 3 ||  || 
|-
| 4 || 4 || 
|-
| 5 || −3 || 
|-
| 5 || −2 || 
|-
| 5 || −1 ||  || 
|-
| 5 || 1 ||  || 
|-
| 5 || 4 || || 
|-
| 6 || 1 || || 
|}

Ứng dụng 
 Dãy Lucas được sử dụng trong kiểm tra xác suất giả nguyên tố Lucas nằm trong Kiểm tra tính nguyên tố Baillie-PSW thường dùng.
 Dãy Lucas được dùng trong một số phương pháp chứng minh tính nguyên tố, bao gồm Kiểm tra Lucas-Lehmer-Riesel và các phương pháp khác trong Brillhart-Lehmer-Selfridge 1975
 LUC là hệ thống mật mã khóa công khai dựa trên dãy Lucas thực hiện hệ analog ElGamal (LUCELG), Diffie – Hellman (LUCDIF) và RSA (LUCRSA). Việc mã hóa thông điệp trong LUC được tính như một phần tử của dãy Lucas nhất định, thay vì lũy thừa mô-đun như trong RSA hoặc Diffie – Hellman. Tuy nhiên, bài viết của Bleichenbacher và cộng sự cho thấy nhiều lợi thế bảo mật của LUC là không chính xác hoặc không đáng kể khi so sánh với các hệ thống dựa trên lũy thừa mô đun.

Chú thích

Tham khảo 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 Dãy Lucas tại Bách khoa toàn thư Toán học 
  
 

Chuỗi số nguyên