Bất đẳng thức cộng Chebyshev

Trong toán học, Bất đẳng thức cộng Chebyshev, được đặt theo tên nhà toán học Pafnuty Lvovich Chebyshev, được phát biểu rằng: Nếu cho

và

thì

Tương tự, nếu

và

thì

Chứng minh

Cách 1: Dùng bất đẳng thức hoán vị.

Giả sử ta có hai chuỗi số được cho như sau

và

Vậy thì, theo bất đẳng thức hoán vị, ta có

là giá trị lớn nhất có thể sắp xếp được từ hai chuỗi số trên.

 

Cộng vế theo vế, ta có:

chia cả hai vế cho , ta nhận được:

(điều phải chứng minh)

Cách 2: Phép biến đổi tương đương:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

 (luôn đúng do và ).

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Tham khảo

Chebyshev's sum inequality - Wikipedia tiếng Anh

Bất đẳng thức
Chuỗi toán học
Dãy toán học