Trường đóng đại số

Trong toán học, một trường  được gọi là đóng đại số nếu mọi đa thức một ẩn có bậc khác không, với hệ số trong , có nghiệm trong .

Ví dụ
Trường số thực không là đóng đại số vì đa thức

không có nghiệm thực, mặc dù cả ba hệ số của nó (1, 0 và 1) là số thực. Cũng vì thế trường các số hữu tỷ không là đóng đại số. 
Tất cả các trường hữu hạn  không là đóng đại số vì nếu , , …,  là các phần tử của , thì đa thức

luôn khác không trên .

Trường số phức là trường đóng đại số theo định lý cơ bản của đại số. Một ví dụ khác của một trường đóng đại số là trường các số (phức) đại số.

Các tính chất tương đương
Trường  là đóng đại số khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong các điều kiện tương đương sau:

 Mọi đa thức  có bậc  ≥ , với hệ số trong  phân tích được thành tích các nhân tử tuyến tính, nghĩa là tồn tại các phần tử , , , …,  của trường  sao cho

 Trường  không có mở rộng đại số thực sự.
 Với mọi số tự nhiên , mọi ánh xạ tuyến tính từ  vào chính nó là đẳng cấu.
 Mọi hàm hữu tỷ của một biến , với hệ số trong , có thể viết như tổng của các hàm đa thức của các hàm hữu tỷ dạng , trong đó  là số tự nhiên, và ,  là các phần tử của .

Các tính chất khác
Nếu  là một trường đóng đại số,  là phần tử của , và  là số tự nhiên, thì  có một căn bậc th trong (vì phương trình  có nghiệm trong . Tuy thế, có những trường có căn bậc th (với mọi số tự nhiên ) nhưng không là trường đóng đại số.

Theo bổ đề Zorn, mọi trường  có bao đóng đại số duy nhất, đó là trường đóng đại số nhỏ nhất chứa  như một trường con.

Tham khảo

 S. Lang, Algebra, Springer-Verlag, 2004, ISBN 0-387-95385-X
 B. L. van der Waerden, Algebra I, Springer-Verlag, 1991, ISBN 0-387-97424-5

Liên kết ngoài

Đại số trừu tượng
Lý thuyết trường