Giải thuật Euclid mở rộng

Giải thuật Euclid mở rộng được sử dụng để giải một phương trình vô định nguyên (còn được gọi là phương trình Đi-ô-phăng) có dạng

Trong đó  là các hệ số nguyên,  là các ẩn nhận giá trị nguyên. Điều kiện cần và đủ để phương trình này có nghiệm (nguyên) là  là ước của . Khẳng định này dựa trên một mệnh đề sau:

Nếu  thì tồn tại các số nguyên  sao cho 

Cơ sở lý thuyết của giải thuật
Giải thuật Euclid mở rộng kết hợp quá trình tìm ƯCLN(a, b) trong thuật toán Euclid với việc tìm một cặp số x, y thoả mãn phương trình Đi-ô-phăng.
Giả sử cho hai số tự nhiên a, b, ngoài ra a>b>0.
Đặt , chia  cho  được số dư  và thương số nguyên . Nếu  thì dừng,
nếu  khác không, chia  cho  được số dư ,...Vì dãy các  là giảm thực sự nên sau hữu hạn bước ta được số dư .
;
;
....;

trong đó số dư cuối cùng khác 0 là .
Bài toán đặt ra là tìm x, y sao cho 

Để làm điều này, ta tìm x, y theo công thức truy hồi, nghĩa là sẽ tìm
 và  sao cho:
 với .
Ta có 
 và , nghĩa là 
 và . (1)
Tổng quát, giả sử có 
 với .
 với .
Khi đó từ
  
suy ra

từ đó, có thể chọn  
  (2) 
  (3)
Khi  ta có được  và .
Các công thức (1), (2), (3) là công thức truy hồi để tính x, y.

Giải thuật
{Thuật toán Euclide: a, b không đồng thời bằng 0, trả về gcd(a, b)}
function gcd(a, b);
begin
  while b ≠ 0 do
    begin
      r:= a mod b; a:= b; b:= r;
    end;
  Result:= a;
end;
{Thuật toán Euclide mở rộng: a, b không đồng thời bằng 0, trả về cặp (x, y) sao cho a * x + b * y = gcd(a, b)
Về tư tưởng là ghép quá trình tính cặp số (x, y) vào trong vòng lặp chính của thuật toán Euclide.}
function Extended_gcd(a, b); 
begin
  (xa, ya):= (1, 0);
  (xb, yb):= (0, 1);
  while b ≠ 0 do
    begin
      q:= a div b;
      r:= a mod b; a:= b; b:= r; //Đoạn này giống thuật toán Euclide.
      (xr, yr):= (xa, ya) - q * (xb, yb); //Hiểu là: (xr, yr):= (xa, ya) "mod" (xb, yb);
      (xa, ya):= (xb, yb);
      (xb, yb):= (xr, yr);
    end;
  Result:= (xa, ya);
end;
Giải thuật sau chỉ thực hiện với các số nguyên a>b>0, biểu diễn bằng giải mã:
 Sub Euclid_Extended(a,b)
 Dim x0, x, y,y1 As Single
    x0=1: x1=0: y0=0: y1=1
 
 While b>0
      r= a mod b 
      if r=0 then Exit While
      q= a / b
      x= x0-x1*q
      y= y0-y1*q
      a=b
      b=r
      x0=x1     
      x1=x
      y0=y1     
      y1=y
 Wend
    Me.Print d:=b, x, y
code
 End Sub

Ví dụ
Với a=29, b=8, giải thuật trải qua các bước như sau:

Kết quả thuật toán cho đồng thời  và , .
Dễ dàng kiểm tra hệ thức 

Áp dụng giải thuật Euclid mở rộng tìm số nghịch đảo trong vành 
Số nghịch đảo trong vành 

Trong lý thuyết số, vành  được định nghĩa là vành thương của  với quan hệ đồng dư theo modulo m (là quan hệ tương đương) mà các phần tử của nó là các lớp đồng dư theo modulo m (m là số nguyên dương lớn hơn 1). Ta cũng có thể xét  chỉ với các đại diện của nó. Khi đó

Phép cộng và nhân trong  là phép toán thông thường được rút gọn theo modulo m:

Phần tử a của  được gọi là khả nghịch trong   hay khả nghịch theo modulo m nếu tồn tại phần tử a' trong   sao cho a*a'=1 trong  hay . Khi đó a' được gọi là nghịch đảo modulo m của a. Trong lý thuyết số đã chứng minh rằng, số a là khả nghịch theo modulo m khi và chỉ khi ƯCLN của a và m bằng 1.
Khi đó tồn tại các số nguyên x, y sao cho
  
Đẳng thức này lại chỉ ra y là nghịch đảo của a theo modulo m. Do đó có thể tìm được phần tử nghịch đảo của a theo modulo m nhờ thuật toán Euclid mở rộng khi chia m cho a.

Giải thuật
//a, m > 0. Trả về a^-1 mod m, gcd(a, m) phải bằng 1, chú ý là ta không cần quan tâm y khi giải pt diophante a * x + m * y = 1
function ModuloInverse(a, m);
begin
  xa:= 1; xm:= 0;
  while m ≠ 0 do
    begin
      q:= a div m;
      xr:= xa - q * xm;
      xa:= xm;
      xm:= xr;
      r:= a mod m;
      a:= m;
      m:= r;
    end;
  Result:= xa;
end;

Giải thuật sau chỉ thực hiện với các số nguyên m>a>0, biểu diễn bằng giã mã:
 
  Procedure Euclid_Extended (a,m)
 int,  y0:=0,y1:=1;
 
 While a>0 do {
      r:= m mod a 
      if r=0 then Break      
      q:= m div a
      y:= y0-y1*q
      y0:=y1     
      y1:=y
      m:=a
      a:=r
      
   }
  If a>1 Then Return "A không khả nghịch theo mođun m" 
  else Return' " Nghịch đảo modulo m của a là y"

Ví dụ
Tìm số nghịch đảo (nếu có) của 30 theo môđun 101

Kết quả tính toán trong bảng cho ta . Lấy số đối của  theo mođun  được . Vậy .

Ứng dụng
Số nghịch đảo theo môđun được ứng dụng nhiều trong việc giải phương trình đồng dư, trong lý thuyết mật mã.

Xem thêm 
 Giải thuật Euclid

Tham khảo

Liên kết ngoài
 A php implementation of the Extended Euclidean Algorithm showing line-by-line working and outputs 
 A javascript implementation of the Extended Euclidean Algorithm shown above 
 How to use the algorithm by hand 
 Extended Euclidean Algorithm Applet 
 Source for the form of the algorithm used to determine the multiplicative inverse in GF(2^8)
 Source of a C++ program which calculates the multiplicative inverse. 

Thuật toán lý thuyết số