Định lý Ptoleme

Định lý Ptoleme hay đẳng thức Ptoleme là một đẳng thức trong hình học miêu tả quan hệ giữa độ dài bốn cạnh và hai đường chéo của một tứ giác nội tiếp. Định lý này mang tên nhà toán học và thiên văn học người Hy Lạp cổ đại Ptolemy (tức Claudius Ptolemaeus).

Nếu A, B, C, và D là 4 đỉnh của tứ giác nội tiếp đường tròn thì:

 

với dấu gạch ngang ký hiệu độ dài của các cạnh.

Định lý này cũng có thể phát biểu thành định lý thuận và đảo:

Thuận:Nếu một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn thì tích của hai đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối diện

Đảo:Nếu một tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng các tích của các cặp cạnh đối diện bằng tích của hai đường chéo thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn.

Chứng minh
 Gọi ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn.
 Trên cung nhỏ BC, ta có các góc nội tiếp ∠BAC = ∠BDC, và trên cung AB, ∠ADB = ∠ACB.
 Lấy 1 điểm K trên AC sao cho ∠ABK = ∠CBD;
 Từ ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD, suy ra ∠CBK = ∠ABD.
 Do vậy tam giác △ABK đồng dạng với tam giác △DBC, và tương tự có △ABD đồng dạng với △KBC.
 Suy ra: AK/AB = CD/BD, và CK/BC = DA/BD;
 Từ đó AK·BD = AB·CD, và CK·BD = BC·DA;
 Cộng các vế của 2 đẳng thức trên: AK·BD + CK·BD = AB·CD + BC·DA;
 Hay: (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
 Mà AK+CK = AC, nên AC·BD = AB·CD + BC·DA; (điều phải chứng minh)

Bất đẳng thức Ptoleme

Bất đẳng thức Ptoleme là trường hợp tổng quát của định lý Ptoleme đối với một tứ giác bất kỳ. Nếu AB  CD là tứ giác bất kỳ thì

 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tứ giác nội tiếp trong một đường tròn và trở thành định lý Ptolemye.

Chứng minh
Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng và bất đẳng thức tam giác.

Dựng điểm  sao cho  đồng dạng với . Khi đó, theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có

Suy ra

Mặt khác,  và  cũng đồng dạng do có
 và 
Từ đó

Suy ra

Cộng (1) và (2) ta suy ra

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta suy ra

Mở rộng và suy biến

 Định lý Casey, định lý Fuhrmann và định lý Tweedie là các mở rộng của định lý Ptoleme. 
 Định lý Pompeiu là trường hợp đặc biệt của định lý Ptoleme.

Xem thêm

Định lý Casey
Định lý Tweedie
Định lý Fuhrmann

Tham khảo

I.F.Sharyghin, Các bài toán hình học phẳng, Nhà xuất bản "Nauka", Moscow 1986 (tiếng Nga)
Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L.: "Ptolemy's Theorem and its Extensions." §2.6 in Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 42–43, 1967.
De Revolutionibus Orbium Coelestium, Copernicus, Nicolaus. English translation from On the Shoulders of Giants, Hawking, S 2002, Penguin Books. ISBN 0-14-101571-3

Liên kết ngoài
 Proof of Ptolemy's Theorem for Cyclic Quadrilateral
 MathPages − On Ptolemy's Theorem
 
 Ptolemy's Theorem at cut-the-knot
 Compound angle proof at cut-the-knot
Ptolemy's Theorem  on PlanetMath
Ptolemy Inequality on MathWorld
De Revolutionibus Orbium Coelestium at Harvard.
Deep Secrets: The Great Pyramid, the Golden Ratio and the Royal Cubit 
Ptolemy's Theorem by Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project.
Book XIII of Euclid's Elements
  by I.S Amarasinghe, Vol 02(01), 2013

P
Tứ giác
P
Định lý trong hình học phẳng
S
Hình học phẳng Euclid
Hình học sơ cấp