Tiên đề Archimede

Tiên đề Archimede là một tính chất trên trường số thực được mang tên nhà toán học, vật lý học, và nhà phát minh người Hy Lạp Archimedes (287 TCN - 212 TCN)

Tiên đề này còn được gọi là tiên đề thứ tự cho số thực.

Phát biểu 
Với mọi số thực  và mọi số thực  thì tồn tại một số tự nhiên  sao cho .

 Chứng minh 

Việc chứng minh chủ yếu dựa vào tiên đề cận trên đúng phát biểu như sau: Mọi tập hợp con  của tập số thực , trong đó  bị chặn trên, đều có cận trên đúng là số thực, tức là 

Ta chứng minh bằng phản chứng: giả sử không tồn tại số tự nhiên  sao cho 
, nên .
Xét tập hợp  
Rõ ràng A bị chặn trên bởi  và do đó theo tiên đề cận trên đúng,  là cận trên đúng của .
Do  nên  không là cận trên đúng của , nên tồn tại một số tự nhiên  sao cho  (vì nếu không,  trở thành cận trên đúng của , trái với giả thiết ban đầu )
Tuy nhiên điều này vô lý do 
\, trong đó .
Vậy điều ta giả thiết là sai, nên phải tồn tại một số tự nhiên  sao cho .

 Hệ quả Với mọi số thực  và mọi số thực  thì tồn tại một số tự nhiên  sao cho .

Cách chứng minh gần như tương tự, chỉ cần thay  bởi

Ý nghĩa 
Tiên đề này cho thấy: 
 Tính vô hạn của trường số thực
 Tính bị chặn của một đoạn (hay khoảng) bất kì

Xem thêm
Cận trên đúng
Cận dưới đúng
Số thực

Tham khảo

Liên kết ngoài
http://planetmath.org/encyclopedia/ArchimedeanProperty.html 

Archimede
Số tự nhiên
Lý thuyết trường