Phép đồng phôi

Cho hai không gian tô pô X và Y. Một ánh xạ  được gọi là một phép đồng phôi từ X lên Y nếu f là một song ánh đồng thời cả f lẫn ánh xạ ngược  là những hàm liên tục. Nếu tồn tại một phép đồng phôi từ X lên Y thì hai không gian này được gọi là hai không gian đồng phôi với nhau.

Nếu ta xem một không gian tô pô là một vật thể hình học, thì có thể xem một phép đồng phôi là một phép kéo dài và vặn xoắn liên tục một vật thể để cho ra một hình dạng mới. Cho nên một hình vuông và một hình tròn là đồng phôi với nhau. Cũng như việc biến một cốc cà phê thành một cái vòng như hình bên cạnh. Nhưng một quả cầu và một cái bánh donut thì không đồng phôi với nhau.

Phép đồng phôi là cấu xạ của phạm trù  các không gian tô pô.

Định nghĩa 
Một ánh xạ  giữa hai không gian tô pô  được gọi là một phép đồng phôi nếu thỏa mãn các tính chất bên dưới:
 f là một song ánh
 f là ánh xạ liên tục
ánh xạ ngược  là liên tục(f là ánh xạ mở).

Nếu tồn tại một ánh xạ f thỏa mãn các tính chất trên thì  được gọi là đồng phôi với nhau.

Một phép tự đồng phôi là một phép đồng phôi từ một không gian tô pô vào chính nó.

Phép đồng phôi hình thành nên một quan hệ tương đương trên lớp các không gian tô pô, lớp tương đương này còn được gọi là những lớp đồng phôi.

Ví dụ
Ánh xạ đồng nhất id:  là một phép đồng phôi.
Dưới topo Euclid, với  là các số thực bất kỳ sao cho , ta có :
Các Khoảng mở  và  đồng phôi với nhau.
Hai khoảng đóng, bị chặn bất kỳ của đường thẳng thực  thì đồng phôi với nhau. 
Các nửa khoảng  đồng phôi với nhau.
 Mặt cầu trong không gian n chiều bỏ đi một điểm thì đồng phôi với cả không gian  Phép đồng phôi có thể được chọn như phép chiếu lập thể từ điểm bỏ đi đó.
Lưu ý:
Với  và  không đồng phôi với nhau (đây là hệ quả của Định lý bất biến miền).
Đường thẳng thực Euclid không đồng phôi với đường tròn đơn vị bởi vì đường tròn đơn vị compắc nhưng đường thẳng thực thì không compắc.

Chú ý
Tính chất thứ 3,  liên tục là điều kiện thiết yếu. Xét ví dụ, cho hàm , với , thì  là một song ánh và liên tục nhưng không là đồng phôi ( compắc nhưng  không compắc).
Phép đồng phôi là một phép đẳng cấu trong phạm trù không gian topo. Như vậy, hợp của hai phép đồng phôi là một phép đồng phôi, và tập tất cả các tự đồng phôi từ  tạo thành một nhóm, được gọi là nhóm đồng phôi của , ký hiệu là .
Lưu ý: Nếu  là phép đồng phôi giữa  và  thì  vừa là ánh xạ đóng vừa là ánh xạ mở, nghĩa là  biến tập mở trong  thành tập mở trong , biến tập đóng trong  thành tập đóng trong .
Hơn nữa, nếu  là một ánh xạ liên tục, ta có ba điều kiện tương đương sau:
 là một phép đồng phôi
 là một song ánh đóng
 là một song ánh mở

Tính chất
Hai không giao topo đồng phôi với nhau thì có cùng tính chất topo với nhau.
Cho ánh xạ . Với  là phép đồng phôi giữa  và . Nếu
 là không gian topo compact thì  cũng là không gian topo compact và ngược lại.
 là không gian topo liên thông thì  cũng là không gian topo liên thông và ngược lại.
 là không gian topo Hausdorff thì  cũng là không gian topo Hausdorff và ngược lại.
Cho nên không gian R với tô pô chuẩn thì không đồng phôi với không gian R với tô pô phần bù hữu hạn, vì không gian R với tô pô chuẩn là không gian Hausdorff, còn không gian R với tô pô phần bù hữu hạn thì không.

Các khái niệm khác
Phép nhúng 
của  trong  là một ánh xạ:  sao cho  là phép đồng phôi giữa  và không gian con  của .
Cho  là không gian topo.Nếu  là một phép nhúng thì ảnh của  là một cung trong .Nếu  là một phép nhúng thì ảnh của  là một đường cong đơn kín đơn giản trong .
Ví dụ: những nốt thắt dây là phép nhúng của một vòng tròn vào không gian 3 chiều.

Tham khảo

Thư mục 

 Colin, Adams, Introduce to Topology: Pure and Applied
 Huỳnh Quang Vũ, 2012, Lecture notes on Topology
 Manetti, Marco, 2014, Topology, ISBN 978-3-319-16958-3
 L. E. J. Brouwer, 1911, Beweis der invarianz des n-dimensionalen gebiets, Mathematische Annalen, 71 (1911): 305–313

Liên kết ngoài

Hàm toán học
Ánh xạ
Hàm số và ánh xạ
Toán học tô pô