سمتیہ مکاں

ایسے عناصر کا مجموعہ جہاں جمع/تفریق کے عمل ممکن ہوں اور عناصر کو چھوٹا بڑا کیا جا سکتا ہو، سمتیہ مکان کہلاتا ہے۔ اب ہم مکمل تعریف دیتے ہیں۔ اگر کسی مجموعہ V کے عناصر X، Y، Z، وغیرہ مندرجہ ذیل قواعد پر پورے اتریں، تو ایسے مجموعہ کو سمتیہ مکان کہیں گے اور عناصر کو سمتیہ:

قواعد 
 جمع
 X+Y   مجموعہ V کا عنصر ہو
 X+Y = Y+X   (مبدلی)
 (X+Y) + Z = X + (Y+Z)   (مشارکی)
 X+0=X   ( صفر شناخت عنصر (0) کی موجودگی)
 X+(-X)=0   (جمعیاتی اُلٹ، تفریق ممکن)

اعداد a، b، وغیرہ کے لیے
 اعداد سے ضرب
 aX   مجموعہ V کا عنصر ہو
 (ab)X=a(bX)   (مشارکی)
 (a+b)X=aX+bX   (توزیعی )
 a(X+Y)=aX+aY   (توزیعی)
 1 X=X   ضربی شناخت عنصر (1) کی موجودگی

انگریزی میں سمتیہ کو vector اور سمتیہ مکان کو vector spaceکہتے ہیں۔

مثال  

ایک مُسْتَوی (Plane)میں کسی بھی نکتہ کو دو پیمائشوں کے ذریعہ ڈھونڈا جا سکتا ہے، ایک ابتدا (origin) مقرر کر کے، افقی پیمائیش کو عموماً x لکھا جاتا ہے اور عمودی پیمائیش کو y۔ اس طرح اس نکتہ کو عموماً (x, y) لکھا جاتا ہے۔ ان دو اعداد (جو میدان  میں ہیں) کو ایک  میٹرکس کے بطور یوں

لکھا جا سکتا ہے۔ یعنی پلین کے کسی بھی نکتہ کو بطور سمتیہ یوں

لکھا جا سکتا ہے۔ اب چونکہ یہ سمتیہ ایک میٹرکس ہیں، اس لیے میٹرکس حساب کے قائدے استعمال کرتے ہوئے سمتیہ مکان کی تمام لوازمات پوری ہوتی ہیں۔ اس لیے  کے نکتے ایک سمتیہ مکان بناتے ہیں۔  میں سمتیہ کی قطبی صورت کے لیے دیکھو۔ سمتیہ

کو قطبی صورت میں مطلق قیمت

اور زاویہ

سے دیا جاتا ہے اور سمتیہ کو تصویری صورت میں ابتدا  سے نکتہ  تک ایک تیر کے نشان سے دکھایا جاتا ہے، جس کی لمبائی r اور دائیں افقی دھُرا (x-axis) سے زاویہ  ہوتا ہے۔ غور کرو کہ قطبی صورت میں بھی نکتہ کو دو اعداد سے لکھا جاتا ہے (مطلق قیمت اور زاویہ) مگر ان دو مقداروں کو بطور میٹرکس نہیں لکھا جا سکتا (یعنی میٹرکس حساب کے قاعدے لاگو نہیں کیے جا سکتے)۔

شکل 2 میں نکتہ (x=a, y=b) کو سمتیہ U سے دکھایا ہے، جہاں ابتدا (x=0, y=0) پر ہے۔ اسی طرح شکل 2 کے نکات کو سمتیہ کے روپ میں (بطور میٹرکس) یوں لکھتے ہیں:

اب سمتیہ U سے سمتیہ V کی طرف ہٹاؤ سمتیہ R سے دکھایا گیا ہے۔ اسے میٹرکس ریاضی کے قواعد کے مطابق یوں لکھا جا سکتا ہے

غور کرو کہ سمتیہ R کی سمت نکتہ (x=a, y=b) سے نکتہ (x=c, y=d) سیدھی لکیر کی طرف ہے اور سمتیہ کی لمبائی (مطلق قیمت) ان نکات کے درمیان میں سیدھی لکیر میں فاصلہ ہے۔ اس لیے اس سمتیہ کو ان نکات کے درمیان میں ہٹاؤ کہا جاتا ہے۔ یہ بھی دیکھو کہ سمتیہ R چونکہ دو نکتوں کے درمیاں ہے، اس لیے اگر ابتدا کو کسی اور نکتہ پر لے جایا جائے، تو اس کا اس سمتیہ R پر کوئی اثر نہیں پڑے گا۔ اس لیے اکثر کہا جاتا ہے کہ سمتیہ ایسی شے ہے جو ایک مطلق قیمت (magnitude) اور مکان میں ایک رُخ (direction) سے تعریف ہو جاتا ہے۔
اسی طرح نکتہ (x=c, y=d) سے نکتہ (x=e, y=f) کے درمیان میں ہٹاؤ سمتیہ G ہے، جو سمتیہ V کو سمتیہ W میں سے تفریق کر کے حاصل ہوتا ہے۔

فرض کرو کہ ہم نکتہ (x=a, y=b) سے نکتہ (x=c, y=d) ہٹتے ہیں (سمتیہ R ) اور پھر نکتہ (x=e, y=f) کی طرف ہٹ جاتے ہیں (سمتیہ G )۔ اب ہمارا کُل ہٹاؤ سمتیہ B ہے جو سمتیہ R اور سمیتہ G کی جمع ہے۔

غور کرو کہ سمتیہ B صرف اپنے شروع اور آخر کے نکات سے نکل آتا ہے (سفر کی ابتدا اور آخری منزل اور درمیانی منزل سے آزاد ہے)۔

اب چونکہ سمتیہ اپنی مطلق قیمت اور رُخ سے تعریف ہو جاتا ہے، اس لیے کسی سمتیہ کو اس کے متوازی گھسیٹا جا سکتا ہے۔ شکل 3 میں ہم نے سمتیہ R، B، W، کو گھسیٹ کر ان کی دُم ابتدا پر رکھ دی ہیں۔

سمتیہ تفریق: جیومیٹری 
اب جیومیٹری کے نقطہ نظر سے سمتیہ تفریق پر نظر ڈالتے ہیں۔ سمتیہ B میں سے R کو تفریق کر کے سمتیہ G ملتا ہے، G=B-R۔ اس کا طریقہ یوں ہوا کہ B اور R کی دُمیں ملا دو اور R کے سر سے B کے سر تک سمتیہ فرق G ہے۔

سمتیہ جمع: جیومیٹری 
اسی طرح جیومیٹری کے نقطہ نگاہ سے سمتیہ جمع پر نظر ڈالتے ہیں۔ سمتیہ R اور G کو جمع کر کے سمتیہ B ملتا ہے، B=R+G۔ اس کا طریقہ یوں ہوا کہ سمتیہ G کی دُم سمتیہ R کے سر کے ساتھ جوڑو اور پھر R کی دُم سے G کے سر تک سمتیہ جمع B ہے۔

مثال  
بعینہ  مکان میں نکتوں کو بطور  میٹرکس لکھا جا سکتا ہے اور یہ نکتے ایک سمتیہ مکان بناتے ہیں۔ (یاد رہے کہ بعض اوقات نکات کو بجائے  میٹرکس کے ایک  میٹرکس کے بطور بھی لکھا جاتا ہے۔) ایک سمتیہ کو یوں لکھا جائے گا:

مثال کے طور پر تین رُخی مستطیل مکان میں کسی جسم کا مقام تین پیمائیشوں z، y ،x، سے دیا جا سکتا ہے اور اس طرح اس جسم کی سمتار بھی تین اعداد سے دی جا سکتی ہے۔ اس طرح وقت k پر جسم کے مقام اور سمتار پر مبنی 6رُخی سمتیہ یوں لکھا جا سکتا ہے:

مدیدی سمتیہ 
تفصیلی مضمون : مدیدی سمتیہ

ایسے سمتیہ کا مجموعہ، جن کے خطی اجتماع سے مکان کا کوئی بھی سمتیہ بن جاتا ہو، اس مکان کے لیے مدیدی سمتیہ (spanning vectors) کا مجموعہ کہلاتا ہے۔

شکل 4 میں  کا مستوی دکھایا گیا ہے۔ سرخ دھُرا پر واقعہ سمتیہ

اور

(شکل 4 میں سرخ نکتے)  کے قدرتی بنیاد سمتیہ کہلاتے ہیں، کیونکہ  مکان کا کوئی بھی نکتہ ان دو سمتیوں کے لکیری تولیف کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ مثلاً نکتہ(x,y) یوں لکھ سکتے ہیں:

غور کرو کہ سرخ دھُرا کی بجائے ہم سبز دھُرا بھی استعمال کر سکتے ہیں۔ اس کے لیے شکل 4 میں سبز نکتوں سے دو سمتیہ دکھائے گئے ہیں، جو (سرخ دھُرا کے حوالے سے ) یوں ہیں:

اور

اب نکتہ (x,y) کو ان سبز سمتیہ کے لکیری تولیف کے طور پر یوں لکھا جا سکتا ہے:

یعنی سرخ دھُرا کے نکتہ (x,y) کو سبز دھُرا میں نکتہ (a,b) کہا جائے گا۔ دوسرے الفاظ میں جو نکتہ
مدیدی سمتیہ e0, e1 کے حوالے سے (x=0.8, y=1.4) تھا، وہی نکتہ مدیدی سمتیہ v0, v1 کے حوالے سے (a=1.56, b=0.42) کہلائے گا۔

اب e0, e1, v0, v1 بھی ایک مدیدی سمتیہ کا مجموعہ ہے۔ اس مجموعہ کی مدد سے ہم اسی (x=0.8, y=1.4) نکتہ کو لکھ کر دیکھتے ہیں:

یا

غور کرو کہ اس میٹرکس کے ستون مدیدی سمتیہ ہیں اور ہمیں یہ یکلخت لکیری مساوات کا نظام

حل کر کے c0, c1, c2, c3 نکالنا ہیں۔ اب چونکہ مساوات صرف دو ہیں جبکہ متغیر چار، اس لیے ہم کسی بھی دو متغیر کو اپنی مرضی کی قیمت دے کر باقی دو متغیر کی قیمتیں مساوات سے نکال سکتے ہیں۔ دوسرے الفاظ میں مساوات کے لامحدود حل ہیں، جن میں سے چند یہ ہیں:
<table border="1" cellpadding="۔1">
 Possible representations of (x,y) w.r.t. spanning vectors e0, e1, v0, v1
 <tr>
 c0
 c1
 c2
 c3
 </td>
   0.5
  0.5
  0.85
  0.42
 
  0.1
  0.7
 1.0 
 0 
 
  2
 ‎-3
 2.26
 3.96
 
 </table>
اس سے پتہ چلا کہ مدیدی سمتیہe0, e1, v0, v1 کے حوالہ سے نکات کا ایک واحد روپ نہیں۔ شکل 4 سے ظاہر ہے کہ  میں کوئی بھی دو سمتیہ جو آپس میں متوازی نہ ہوں، نکات کا واحد روپ نکالنے کے لیے کافی ہیں۔  میں دو سے زیادہ سمتیہ چننے سے ایک ہی نکتہ کے بہت سے روپ ممکن ہو جاتے ہیں۔ یہ بات ہمیں اگلے موضوع بنیاد سمتیہ کی طرف لے جاتی ہے۔

بنیاد سمتیہ 
تفصیلی مضمون: بنیاد سمتیہ

جیسا کہ اوپر بیان ہوا کہ ایسے سمتیہ کا مجموعہ  جن کے لکیری تولیف (linear combination) سے سمتیہ مکان کا کوئی بھی سمتیہ  یوں لکھا جا سکے: 

ایسے مجموعہ کو مدیدی سمتیہ کہتے ہیں اور کو ان مدیدی سمتیے کے حوالے سے 

کو سمتیہ 
کی صورت (representation) کہتے ہیں۔ ہم نے دیکھا کہ ایسا ممکن ہو سکتا ہے کہ کسی مدیدی سمتیہ مجموعہ کے حوالہ سے ایک ہی سمتیہ کی ایک سے زیادہ صورتیں ممکن ہوں۔

بنیاد سمتیہ (تعریف) 
مدیدی سمتیہ کا ایسا مجموعہ جس کے حوالہ سے مکان کے کسی بھی سمتیہ کی صرف ایک واحد صورت ممکن ہو، ایسے مجموعہ کو سمتیہ مکان کا بنیاد سمتیہ مجموعہ (basis vectors) کہتے ہیں۔

مسلئہ اثباتی (بنیاد سمتیہ کی لکیری آزادی) 
بنیاد سمتیہ مجموعہ کے تمام سمتیہ آپس میں باہمی لکیری آزاد ہوتے ہیں۔ یعنی بنیاد سمتیہ مجموعہ میں سے کسی سمتیہ کو باقی ماندہ بنیاد سمتیہ کے لکیری تولیف کے طور پر نہیں لکھا جا سکتا۔ دوسرے الفاظ میں اگر  بنیاد سمتیہ کا مجموعہ ہے، تو درج زیل مساوات کا کوئی حل ممکن نہیں 

یعنی ایسے کوئی  نہیں جو اس مساوات کی تسکین کر سکیں۔

میں قدرتی بنیاد سمتیہ 
 میں نیچے دیے قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ کے مجموعہ کو  کا قدرتی بنیاد سمتیہ (مجموعہ) کہا جاتا ہے۔

مثال 
شکل 4 میں  کے لیے یہ جوڑے بنیاد سمتیہ کا کردار ادا کر سکتے ہیں:
 e0, e1
 e0, v0
 e0, v1
 e1, v0
 e1, v1
یعنی کوئی بھی دو ایسے سمتیہ جو آپس میں متوازی نہ ہوں، بنیاد سمتیہ کا کردار ادا کر سکتے ہیں۔

بنیاد سمتیہ کے حوالے سے (منفرد) صورت 
فرض کرو کہ سمتیہ مکان V کے بنیاد سمتیہ کا ایک مجموعہ  ہے (ان بنیاد سمتیہ کی تعداد n ہے)۔ اب V کے کسی بھی سمتیہ v کو ان بنیاد سمتیہ کے لکیری تولیف کے طور پر یوں لکھا جا سکتا ہے:

گویا اس بنیاد سمتیہ مجموعہ کے حوالے سے سمتیہ v کی صورت کو  کے ایک رکن کے بطور یوں لکھا جا سکتا ہے:

کے بنیاد سمتیہ کے حوالے سے صورت نکالنے کا طریقہ 
 میں دیے گئے بنیاد سمتیہ کے مجموعہ کے حوالے سے کسی سمتیہ

کی صورت نکالنے کا طریقہ یہ ہے۔ بنیاد سمتیہ کے مجموعہ  کو میٹرکس صورت میں لکھو، یعنی ایسی میٹرکس جس کا ہر ستون ایک بنیاد سمتیہ ہو:

جسے زیادہ تفصیل میں یوں لکھا جا سکتا ہے (ہر ستون ایک سمتیہ ہے)

اب درج ذیل یکلخت لکیری مساوات کا نظام کا حل نکالو 

یہ حل

ان بنیاد سمتیہ کے حوالے سے سمتیہ X کی صورت (representation) ہو گا۔

قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ 
ایسے بنیاد سمتیہ کا مجموعہ  جس میں شامل تمام سمتیہ آپس میں قائم الزاویہ ہوں، ایسے مجموعہ کو قائم الزاویہ (orthogonal) بنیاد سمتیہ کا مجموعہ کہا جاتا ہے۔ یعنی 

دوسرے الفاظ میں قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ کی میٹرکس

کے لیے ضروری ہے کہ
 جہاں I شناخت میٹرکس ہے۔

شکل 4 میں یہ جوڑے (جو آپس میں نوے درجہ کے زاویہ پر ہیں) قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ کا جوڑا بناتے ہیں:
 e0, e1
 v0, v1
یعنی  میں قدرتی بنیاد سمتیہ e0, e1 کی میٹرکس

قائم الزاویہ (میٹرکس) ہے۔ اسی طرح  میں بنیاد سمتیہ v0, v1 کی میٹرکس

قائم الزاویہ (میٹرکس) ہے۔ یعنی
 جہاں I شناخت میٹرکس ہے۔

اوپر ہم نے "بنیاد سمتیہ کے حوالے سے صورت نکالنے کا طریقہ" دیکھا۔ قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ کی صورت میں  کی مساوات یوں بنتی ہے:

دوسرے الفاظ میں نکتہ (سمتیہ) X کی سمتیہ  پر پروجیکشن (projection)  ہے۔

سمتیہ ذیلی مکان 
تفصیلی مضمون: لکیری ذیلی مکان

تعریف: ذیلی مجموعہ (subset): ایک مجموعہ (set) کا ذیلی مجموعہ میں اصل مجموعہ مٰٰیں موجود عنصر میں سے کچھ عناصر ہوں گے۔

سمتیہ مکان کے مجموعہ کا ایسا ذیلی مجموعہ جو خود بھی ایک سمتیہ مکان ہو، کو سمتیہ ذیلی مکان کہتے ہیں۔ انگریزی میں اسے vector subspace کہتے ہیں۔ کوئی بھی ذیلی مجموعہ سمتیہ مکان کے قواعد 2 سے 5 پورے کرے گا۔ یہ جاننے کے لیے ذیلی مجموعہ ایک سمتیہ مکان ہے یا نہٰیں، ہمیں صرف اسے قواعد 1 کے لیے پرکھنا ہوتا ہے۔

مثال: اگر ، تو سمتیہ مکان  کی سمتیہ ذیلی مکان  ہو گی۔

مثال: تصویر میں معکب مکان  کی ایک سمتیہ ذیلی مکان نیلے پلین سے دکھایا گئی ہے۔  میں سمتیہ تین اعداد (معکب کی تین سمتوں X، Y، Z، کی اطراف پیمائیش، ابتدا سے ) سے یوں دیا جاتا ہے،

، جبکہ سمتیہ ذیلی مکان (نیلا پلین) پر سمتیہ یوں ہے

جو میٹرکس تفاعل کے ذریعہ یوں لکھا جا سکتا ہے

غور کرو کہ اگرچہ نیلا پلین صرف دو رُخی ہے مگر" قدرتی بنیاد سمتیہ" (e0,e1,e2) کے لحاظ سے پھر بھی اس کا کوئی نکتہ ڈھونڈنے کے لیے تین عدد چاہیے ہیں۔ اگر ہم ان قدرتی بنیاد سمتیہ کو ایسے گھمائیں کر دو بنیاد سمتیہ نیلے پلین کے متوازی ہو جائیں، تو ان نئے بنیاد سمتیہ کی رو سے نیلے پلین کا کوئی بھی نکتہ لکھتے ہوئے تیسرا عدد صفر ہو گا۔ اس تناظر میں لکیری استحالہ میں مثال 1 بھی دیکھو، جس کی رو سے نیلے پلین کے کسی نکتہ کو لکھنے کے لیے دو عدد کافی ہو سکتے ہیں۔ گویا نیلا پلین  کی سمتیہ ذیلی مکان ہے جس کا بُعد (ڈائیمینشن) 2 ہے۔

مزید دیکھیے 
 میٹرکس
 لکیری استحالہ

تجریدی الجبرا
ریاضیاتی ساختیں
سمتیہ
خطی الجبرا
نظریہ گروہ
طبیعیاتی تصورات