احصائی آزادی

اگر کسی واقعہ A کا احتمال، بعد ازاں یہ معلوم ہونے کے کہ واقعہ B رونما ہو چکا ہے، سے تبدیل نہ ہوتا ہو، تو واقعات A اور B کو آزاد کہتے ہیں۔ یعنی "واقعہ A کا مشروط احتمال جبکہ واقعہ B رونما ہو چکا" برابر ہو واقعہ A کے احتمال کے :

واضح رہے کہ یہ تعریف متناظر ہے، کیونکہ مشروط احتمال کی تعریف استعمال کرتے ہوئے

ہمیں حاصل ہوتا ہے کہ:

مسلئہ اثباتی 
واقعات A اور B آزاد ہوں گے، اگر بشرطِ اگر

مثال 1 
اگر طاس کو دو بار پھینکا جائے، تو ظاہر ہے دونوں "پھینک" ایک دوسرے سے آزاد ہیں۔ اس تجربہ کی نمونہ فضا

ہے۔ اب اس واقعہ کہ "پہلا پھینک 3 ہے اور دوسرا پھینک 4 ہے " کا احتمال، واقعہ "پہلا پھینک 3 ہے " اور واقعہ "دوسرا پھینک 4 ہے " کے احتمال کے ضرب سے معلوم ہو گا:

مثال 2 
اگر طاس کو ایک بار پھینکا جائے اور واقعہ A ہو کہ طرف (نتیجہ) طاق عدد ہے، یعنی 1 یا 3 یا 5 ہے،

اور واقعہ B یہ ہو کہ طرف (نتیجہ) 1 یا 2 یا 4 یا 5 ہے،

اب اگر یہ معلوم ہو کہ واقعہ B رونما ہو چکا ہے، تو "واقعہ A کا مشروط احتمال جبکہ واقعہ B رونما ہو چکا" یہ ہو گا

اس سے ثابت ہوا کہ واقعات A اور B آزاد ہیں۔

باہمی ناشمول واقعات 
باہمی ناشمول واقعات کبھی آزاد نہیں ہو سکتے، کیونکہ ایک واقعہ کے رونما سے یہ نتیجہ اخذ کیا جا سکتا ہے کہ دوسرا ناممکن ہو گیا۔

دو سے زیادہ واقعات کی آزادی 
تعریف: واقعات  کو باہمی آزاد کہا جائے گا، اگر کس بھی  کے لیے اور  کے کسی بھی ذیلی مجموعہ  کے لیے یہ سچ ہو کہ:

دوسرے الفاظ میں  کے کسی بھی ذیلی مجموعہ کے تقاطع کا احتمال برابر ہو ہر نفس احتمال وں کی ضرب کے۔ یاد رہے کہ ہر دو واقعات کے جوڑے کی آزادی،

سے n واقعات کی آزادی مقتض نہیں ہوتی۔

آزاد تصادفی متغیر 
تصادفی متغیر باہمی آزاد ہوں گے اگر ان سے جنم لینے والے واقعات باہمی آزاد ہوں۔ دو تصادفی متغیر X اور Y کو آزاد قرار دیا جائے گا بشرطیکہ

کسی بھی اعداد x اور y کے لیے۔ یہاں احتمال
 سے مراد واقعات  اور  دونوں کے وقوع پزیر ہونے کا احتمال ہے۔
غور کرو کے واقعات

کی آزادی سے معلوم ہو گا کہ

جو بعینہ اوپر دی تصادفی متغیر کی آزادی کی تعریف ہے۔

متفرد 
متفرد تصادفی متغیر X اور Y کو آزاد کہیں گے اگر

کسی بھی اعداد x اور y کے لیے۔ یہاں واقعہ  سے مراد واقعات
 اور 
کا تقاطع ہے، یعنی

تفاعل 
آزاد تصادفی متغیر X اور Y کی دالہ سے بننے والے تصادفی متغیر  اور  بھی آزاد ہوں گے۔

متوقع قدر 
آزاد تصادفی متغیر X اور Y کی ضرب سے بننے والے تصادفی متغیر  کی متوقع قدر X اور Y کی متوقع قدر کے حاصل ضرب ہوتی ہے

بشرطیکہ X اور Y کی متوقع قدر موجود ہو۔

تفاوت 
آزاد تصادفی متغیر X اور Y کی جمع سے بننے والے تصادفی متغیر  کی تفاوت (variance)، تصادفی متغیر X اور Y کی تفاوت کی جمع ہوتی ہے

n تصادفی متغیر کی آزادی 
n تصادفی متغیروں  کو باہمی آزاد کہا جائے گا اگر ان میں سے ہر دو تصادفی متغیر

آزاد ہوں۔

احتمال نظریہ