قرعہ مسئلہ

کسی انتخاب میں امیدوار الف کو n ووٹ پڑتے ہیں اور امیدوار ج کو m ووٹ (). اب صندوق میں پڑے n+m ووٹوں کو گنا جائے تو اس کا کیا احتمال ہے کہ تمام تر گنتی کے دوران الف کو ج پر سبقت رہے گی؟ یہ احتمال یوں ہے:

اس مسئلہ کو یوں بھی بیان کیا جا سکتا ہے۔ آپ کے پاس n سرخ گیند اور m نیلے گیند () ہیں۔ ایسے کتنے لکیری مرتب ہیں جن میں پہلے i گیندوں میں سرخ گیندوں کی تعداد نیلے گیندوں سے زیادہ ہے اور جہاں 
. مثلاً اگر چار سرخ اور دو نیلے گیند ہیں تو ایسے یہ دو مرتب ممکن ہیں:
(سرخ، سرخ، سرخ، نیلا، نیلا)، (سرخ، سرخ، نیلا، سرخ، نیلا)۔ ممکن مرتب کی تعداد کو ہم کی N(n,m) علامت سے لکھتے ہیں۔ سرخ اور نیلے گیندوں کے کُل لکیری مرتب  ممکن ہیں، کیونکہ n+m جگہوں میں n سے جگہوں پر سرخ گیند رکھے جانے ہیں۔ اس لیے احتمال بنتا ہے:

اب اگر آخری گیند سرخ ہو، تو بقیہ n-1 سرخ اور m نیلے گیندوں میں سے مطلوبہ مرتب (جن میں سرخ ہمیشہ زیادہ ہوں) کی تعداد N(n-1,m) ہے۔ اسی طرح اگر آخری گیند نیلا ہو، تو بقیہ n سرخ اور m-1 نیلے گیندوں میں مطلوبہ مرتب کی تعداد N(n,m-1) ہے۔ اس لیے
N(n,m) = N(n-1,m)+N(n,m-1)
ان دو مساوات کو استعمال کرتے ہوئے ہم نیچے کی مساوات حاصل کر سکتے ہیں:

جس میں  کی اوپر دی عبارت ڈال کر تسلی کی جا سکتی ہے کہ اس مساوات کی تسکین ہوتی ہے۔

مزید دیکھیے 
 تولیف

تالیفیات