تبدیلی از بنیاد سمتیہ

اگر ایک سمتیہ مکاں کا ایک بنیاد سمتیہ مجموعہ ہو۔ اور اس فضا میں کسی سمتیہ b کی بنیاد سمتیہ مجموعہ  کے حوالے سے صورت c ہے۔ اب فرض کرو کہ اسی سمتیہ فضا کا ایک اور (نیا) بنیاد سمتیہ مجموعہ  ہے اور اس (نئے) بنیاد سمتیہ مجموعہ  کے حوالے سے اسی سمتیہ b کی صورت d ہے۔ ان دونوں صورتوں کی نسبت ایک میٹرکس کے ذریعہ ہو گی:

میٹرکس P کو نکالنے کا طریقہ یہ ہے کہ نئے بنیاد سمتیہ مجموعہ  کے ہر سمتیہ کی صورت پرانے بنیاد سمتیہ  کے حوالے سے نکالو۔ ان صورتوں کے عددی سر اس میٹرکس P کے ستون ہوں گے۔

میڑکس P کو u سے v جانے والی منتقلہ میٹرکس (transition) کہتے ہیں۔

مثال 
 میں نکتہ (4,2) قدرتی بنیاد سمتیہ مجموعہ 

کے حوالے سے صورت بھی یہی ہے، یعنی:

اب فرض کرو کہ نیا بنیاد سمتیہ مجموعہ یہ ہے:

ان نئے سمتیوں کو پرانے کے حوالے سے لکھنے سے ان کی پرانوں کے حوالے صورت نکل آئے گی

جس کے عددی سر پڑھ کر ہم میٹرکس P کے ستون لکھ لیتے ہیں:

اب نکتہ (4,2) کی نئے بنیاد سمتیہ مجموعہ کے حوالے سے صورت یوں نکالتے ہیں (دیکھو میٹرکس کا الٹ استعمال ہوا ہے)

یعنی

مسلئہ اثباتی 
اگر کسی سمتیہ مکاں میں بنیاد سمتیہ مجموعہ u سے بنیاد سمتیہ مجموعہ v جانے والی منتقلہ میٹرکس P
ہو، تو
 میٹرکس کا اُلٹ، یعنی  ممکن ہے
 v سے u جانے والی منتقلہ میٹرکس  ہے۔

خطی الجبرا