Ayna simetrisi

Matematik ve kuramsal fizikte, ayna simetrisi Calabi-Yau dağıtımlar olarak adlandırılan geometrik cisimler arasındaki ilişkidir. Bu olay, şekilleri geometrik olarak farklı görünen altı boyutlu iki dağıtım için gerçekleşebilir ama yine de eğer bu boyutlar sicim kuramının gizli boyutları ise eşdeğerdirler. Bu durumda, altı boyutlu dağıtımlar için biri diğerinin aynası denir. 
Ayna simetrisi ilk olarak fizikçiler tarafından keşfedilmiştir. 1990’larda ne zaman ki Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green ve Linda Parks ayna simetrisinin Calabi-Yau dağıtımında rasyonel dalgaların sayımında kullanılabileceğini, yani eskiden beri süre gelen problemlerin çözümünde kullanılabileceğini göstermiş; o zaman matematikçiler ayna simetrisiyle ilgilenmeye başlamışlardır. Ayna simetrisine orijinal yaklaşım kuramsal fizikteki kesin olmayan fikirlere dayansa da matematikçiler ayna simetrisindeki bazı matematiksel tahminlerde kesin ispat yapmışlardır.
Bugün, ayna simetrisi soyut matematikte ana araştırma konusudur ve matematikçiler fizikçilerin görülerine dayanan ayna simetrisi için matematiksel bir anlayış geliştirmeye çalışmaktadırlar. Ayrıca, ayna simetrisi sicim kuramındaki hesaplamalar için temel bir araçtır. Ayna simetrisi için ana yaklaşımlar Maksim Kontseviç’in homolog ayna simetrisi programını ve Andrew Strominger, Shing-Tung Yau ve Eric Zaslow'un SYZ varsayımını içerir.

Genel Tanıtım

Ayna Simetrisi Düşüncesi

Ayna simetrisi, fizikçilerin "ikilik" dedikleri durum için hususi bir örnektir. Fizikte, ikilik terimi iki farklı görünen fiziksel sistemin eşit olduğunun basit olmayan bir şekilde ortaya çıkmasını kasteder. Eğer iki kuram arasında bir ikilik var ise, kuramlardan biri diğer kurama bir şekilde aynısı gibi benzeyecek hale dönüştürülebilir anlamına gelir. Bu durumda, dönüşüm altında iki kuram çift olarak adlandırılır. Diğer bir deyişle, bu iki kuram aynı fenomenin farklı matematiksel tasvirleridir.

Kuramsal fizikte çalışılan birçok ikilikler gibi ayna simetrisi de sicim kuramı bağlamında keşfedilmiştir. Sicim kuramında, parçacıklar sıfır boyutlu olarak değil sicim gibi bir boyutlu uzatılmış objeler olarak modellendirilmiştir. Sicim kuramının kendine özgü özelliklerinden biri kuramın matematiksel tutarlılığı için ekstra uzay-zaman boyutları gerektirmesidir. Sicim kuramının süper simetriyi kapsamış hali olan süper sicim kuramında, günlük tecrübelerle bilinen dört boyuta ek olarak altı tane uzay-zaman boyutu vardır.
Sicim kuramına dayanan fiziğin en realist modellerinde, ekstra boyutlar kompaktifikasyon süreci olarak bilinen düşük enerjilerdeki kuram ile elimine edilir. Bu daha az sayıda uzay-zaman boyutları olan ve ekstra boyutlar Calabi-You dağıtımlarına “kıvrılmış” olan bir kuram üretir. Bunun için standart bir benzetme bahçe hortumu gibi çok boyutlu bir objedir. Yeterli bir mesafeden bakıldığında hortumun tek bir boyutu yani hortumun uzunluğu görünecektir. Ancak, hortuma yaklaşıldıkça bir boyutu daha hortumun çevresi olduğu görülecektir. Dolayısıyla, hortumun içindeki bir karınca iki boyutta hareket edecektir. Sicim kuramına dayalı bazı modellerde, Calabi-Yau dağıtımlar hortumun çevresine benzer bir rol oynar.
1980’lerin sonunda böyle bir kompaktifikasyonu verilmiş sicim kuramına karşılık benzersiz bir Calabi-Yau dağıtımının yeniden yapılmasının mümkün olmadığı gözlenmiştir. Bunun yerine, aynı fiziği doğuran iki Calabi-Yau dağıtımı olduğu bulunur. Bu dağıtımlar için birbiririnin “ayna”sı denir. Tam ikilik hala bir varsayım olsa da Edward Witten tarafından tanıtılan sicim kuramının basit versiyonu olan topolojik sicim kuramının kapsadığı ayna simetrisi versiyonu kesin olarak matematikçiler tarafından ispatlanmıştır. Topolojik sicim kuramı kapsamında, ayna simetrisi iki kuramı belirtir, A-modeli ve B-modeli kesin bir anlamda birbirine eşdeğerdir.

Sicim kuramının Calabi-Yau kompaktifikasyonları doğanın doğru bir tasvirini sağlamasına bakılmaksızın ayna simetrisinin Calabi-Yau dağıtımlarıyla arasındaki ilişkinin varlığının önemli matematiksel sonuçları vardır. Soyut matematik sicim kuramında kullanılan Calabi-Yau dağıtımlarıyla ilgilenir ve ayna simetrisi matematikçilerin enumarativ cebirsel geometrideki birçok problemi çözmesini Calabi-Yau aynası için eşdeğer problemleri çözmesiyle olanak sağlar. Bugün, ayna simetrisi matematiğin aktif bir araştırma alanıdır ve matematikçiler hala fizkçilerin görülerine dayanan ayna simetrisi için matematiksel bir anlayış geliştirmeye çalışmaktadırlar.

Karmaşık Geometri
Ayna ikiliğinin bir tarafındaki geometriyi anlamak için, kompleks düzlemin noktalarını tanımlayan ortası delik bir çöreğe benzeyen kabartı bir yapı göz önünde bulundurulabilir. Bu yapıyı oluşturmak için ω1/ω2 gerçek olmayacak şekilde ω1 ve ω2 gibi bir çift kompleks sayı seçilir.ω1 ve ω2' nin gerçek olmaması koşulu bu noktaların aynı doğrultuda olmadığını kesinleştirmek içindir. Daha sonar bu noktalar köşe noktaları 0 ve olan bir paralelkenar oluşturur. Paralelkenarın bu köşeleri tanımlanarak istenile kabartı oluşturulur. Bu şekilde elde edilen torilerin hepsi birbirlerine devamlı olarak dönüştürülebilecek şekilde eşittirler. Ancak, onları birbirlerinden ayırmamızı sağlayan fazladan bir yapıları vardır. Şöyle ki, bu şekilde oluşturulan tori karmaşık bir yapıyı sahiptir yani, bu kabartıya komşu herhangi bir nokta karmaşık bir düzlemdeki bir bölgeye benzeyecEğer, orijinal kompleks sayılar yerine onların ortak bir faktörle yeniden ölçeklendirilmiş hali W1’ ve W2’ kompleks sayı çiftini kullanırsak (λ gibi karmaşık bir sayı için ω1'=λω1 ve ω2=λω2)Dolayısıyla tori koleksiyonunu yeniden ölçeklendirildikçe değişmeyen bir oran olan kullanarak parametrize etmek uygundur. Genelliğini kaybetmeden t parametresinın pozitif bir sanal kısmı olduğu varsayılabilir dolayısıyla düzlemin üst yarısındaki değerleri alır. Ayrıca, parametrelerin aynı kabartıya denk geldiği gösterilebilir.

Eğer iki tori farklı t değerlerine sahipse o zaman birbirlerine eşit olmayan kompleks yapıları vardır. t parametresinin paralelkenarın karşı kenarlarınını belirlemek için oluşturulan kabartıun şeklini tanımladığı düşünülebilir. Yukarıda açıklandığı gibi ayna simetirisi topolojik sicim kuramının iki fiziksel kuramı olan A-model ve B-modelle ilişkilidir. Bu ikilikte topolojik B-model sadece uzay-zamanın kompleks yapısına dayanır. Dolayısıyla eğer kuramda uzay-zamanı bir kabartı olarak kabul edersek, kuram devamlı olarak sadece parametresine dayanır.

Simplektik Geometri
Kabartının geometrisinin bir diğer açısı kabartının boyutudur. Daha ayrıntılı olarak, kabartının görünümünü birim karenin karşı kenarlarını tanımlayarak elde edilen yüzey olarak söyleyebiliriz ve kabartının alanı bu karedeki alan unsuru ρ"dydx" ile belirtilir. Bu alan unsurunu kareye entegre ederek, kabartıya denk gelen ρ alanını elde ederiz. Bu konseptler daha yüksek boyutlara genellenebilir ve alan unsuru simplektik form kavramıyla genellenir. Simplektik form ile donatılmış uzay çalışmasına simplektik geometri denir.

Ayna simetirisinde, topolojik sicim kuramının A-modeli sadece uzay-zamanın simplektik geometrisine dayanan bir kuramdır. Dolayısıyla, eğer uzay-zamanı bir kabartı olarak kabul edersek, A-model devamlı olarak ρ parametresine dayanır.

T-ikilik
Şu ana kadar karmaşık düzlemdeki paralelkenarın karşı kenarlarını tanımlayarak nasıl kabartı elde edilebileceğini gördük. Buna basit bir örnek olarak karmaşık sayılar ω1 ve ω2 gerçek ve sanal ekseninde bulunsunlar. Bu durumda R1 ve R2 reel sayı olmaları koşuluyla ω1= R1 ve ω2= R2

Kabartının simplektik yapısının, alan unsur tarafından nasıl belirlendiğini açıkladık. Paralelkenarımızda  ve  koordinatlarını seçebiliriz böylece paralelkenarımızın her kenarının uzunluğu 1 olur. Daha sonra kabartımızın alan unsuru R1R2
"dxdy" olur ki bu birim kareye R1R2'yi entegre eder. Biz ρ simplektik parametresini çarpımı olarak tanımlarız. Şimdi bir fiziksel kuram için kabartının uzay-zamanı temsil ettiğini düşünelim. Bu kuramın temel objeleri kuantum mekaniğinin kurallarına göre uzay-zamanda yayılan sicimlerdir. Sicim kuramının temek ikiliklerinden biri T-ikiliğidir. Bu ikilik belirtir ki bir tanımdaki bütün miktarların ikili tanımda tanımlanması koşulu ile R çaplı çemberde yayılan sicim 1/R çaplı çemberde yayılan sicime eştir. Kabartı ayrıca iki çemberin kartezyen çarpımı da olabilir. Bu demek oluyor ki kabartıdaki ekvatoral çemberin her noktası için bir boylamsal çember vardır.

Örneğin, bir tanımda sicimin momentumu ayrık değerler alıyor ve bu değerler ikili tanımda sicimin çember etrafında dolanma sayısına eşit oluyor. T-ikiliğini kabartıtaki boylamsal çembere uygulanmasıyla, uzay-zamanın farklı bir kabartı tarafından temsil edildiği eş bir tanım bulunur. 
Genel olarak, ayna simetrisi kompleks geometrideki problemleri simplektik problemlere çeviren iki fiziksel kurama eştir. Kabartı burada iki boyutlu Calabi-Yau dağıtımlarını pekiştirmek için kullanılan ayna simetrisinin en basit örneğidir. Sicim kuramının uygulanmasında altı boyutlu Calabi-Yau dağıtımları göz önüne alınır. Bu altı boyutun karşılığı uzay-zamanın gözlenmeyen altı boyutudur.

Tarih ve Gelişim

Ayna Simetrisinin Keşfi
Ayna simetrisi fikri R çaplı çemberde yayılan sicimin uygun birimlerle fiziksel olarak 1/R çaplı çemberde yayılan sicime eşit olmasının fark edildiği 1980'lere dayanır. Bu fenomen T-ikiliği olarak bilinir ve ayna simetrisiyle yakından ilişkili olduğu anlaşılır. 1985'teki bir kâğıtta Philip Candelas, Gary Horowitz, Andrew Strominger ve Edward Witten Calabi-Yau dağıtımını sicim kuramıyla yoğunlaştırarak parçacık kuramının standart modeline kabaca benzeyen bir kuram elde ederler. Bu gelişmenin ardından sicim kuramına dayalı parçacık fiziği için gerçekçi bir model oluşturma umuduyla birçok fizikçi Calabi-Yau kompaktifikasyonları üzerine çalışmaya başlar. Verilen fiziksel modelle Calabi-Yau dağıtımına denk benzersiz bir model oluşturulamayacağı anlaşılır. Bunun yerine iki Calabi-Yau dağıtımının aynı fiziği doğurduğu bulunur. 
Calabi-Yau dağıtımları ve Konform Alan kuramı arasındaki ilişki üzerine çalışan Brian Greene ve Ronen Plesser ayna ilişkisinin çözülmesi zor örneklerini bulurlar. Bu ilişki hakkındaki daha fazla kanıt Philip Candelas ve bilgisayar ile Calabi-Yau dağıtımları üzerine geniş çaplı araştırma yapan ve tahmin edildiği gibi ayna simetrisindeki çiftleri gören iki öğrencisinin çalışmalarından gelir.

Ayna Simetrisi Uygulamaları
Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green ve Linda Parks’ın ayna simetrisinin enumarativ geometrideki bazıları onlarca yıl çözülemeyen problemlerin çözümünde kullanılabileceğini göstermesiyle matematikçiler 1990'larda ayna simetrisine ilgi duymaya başlamışlardır. Bu sonuçlar Mayıs 1991'de Berkeley, Kaliforniyada matematikçilere MSRI konferansında gösterilmiştir. Bu konferans sırasında Candelas'ın rasyonel dalgalar sayılırken bulduğu sayı Geir Ellingsrud ve Stein Arild Strømme adlı iki Norveçli matematikçinin görünüşte daha kesin yöntemlerle buldukları sayı ile uyuşmamıştır.

Konferanstaki birçok matematikçi kesin matematiksel argümanlara dayanmadığı için Candelas’ın yönteminde bir hata olduğunu düşünmüşlerdir. Ancak daha sonar Ellingsrud ve Strømme kendi bilgisayar kodlarında bir hata olduğunu görmüş ve koddaki hatayı düzeltince Candelas’ın bulduğu cevap ile uyuşan bir sonuç almışlardır.

Kanıtlanan Ayna Simetrisi
1990 yılında, Edward Witten sicim kuramının basitleştirilmiş bir sürümünü, topolojik sicim kuramını tanıttı ve fizikçiler topolojik sicim kuramı için ayna simetrisinin bir sürümü olduğunu gösterdiler. Topolojik sicim kuramı hakkındaki bu deyim genellikle matematik literatüründeki ayna simetirisinin tanımı denir. 1994’te Uluslararası Matematikçiler Kongresinde, matematikçi Maxim Kontsevich topolojik sicim kuramındaki ayna simetrisinin fiziksel fikrine dayanan yeni bir matematiksel varsayım sundu. Homolojik ayna simetrisi olarak bilinen bu varsayım iki matematiksel yapının denkliği olarak ayna simetrisini formülüze eder: Calabi-Yau dağıtımı üstündeki tutatlı bobinlerin türetilmiş kategorisi, Fukaya kategorisi ve onun aynası.

Ayrıca 1995 civarında, Kontsevich beşinci dereceden üç bilinmeyenli rasyonel eğrileri sayma sorunu için genel bir formül veren Candelas’ın sonucunu analiz eder ve daha sonra kesin bir matematiksel varsayım olarak bu sonuçları yeniden formüle eder. 1996 yılında, Alexander Giventel Kontsevich’in bu varsayımını kanıtlamak için bir kâğıt yayınladı. Başlangıçta, birçok matematikçi bu yazıyı anlaması zor buldu, ve bu nedenle Givental’ın kanıtının doğruluğu ile ilgili şüpheler oluştu. Bunu izleyen yıllarda, Bong Lian, Kefeng Liu ve Shing-Tung Yau bir dizi bağımsız kanıtlar yayınladılar. İlk kanıtı yayınlayan üzerindeki bazı tartışmalara ragmen, bu kâğıtlar artık ayna simetrisini kullanan fizikçiler tarafından elde edilen sonuçların matematiksel bir kanıtı olarak görülüyor. 2000’de Kentaro Hori ve Cumrun Vafa T-ikiliğine dayanan ayna simetirinin başka bir fiziksel kanıtını buldu.

Matematiksel fizik
Sicim teorisi
Cebirsel geometri