Cauchy dizisi



Cauchy dizisi tanımı 

 bir gerçel sayı dizisi olsun. Eğer her  için,

  eşitsizliğinin her  () için sağlandığı bir  göstergeci varsa,  dizisine Cauchy dizisi denir.

Cauchy dizisi ile ilgili teoremler

Her yakınsak dizi Cauchy dizisidir 

İspat:

 yakınsak bir gerçel sayı dizisi ve  herhangi bir pozitif gerçel sayı olsun. Dizinin limitine  diyelim. Demek ki, öyle bir  doğal sayısı vardır ki, her  için,

  olur. Dolayısıyla,  için,             olur ve kanıt biter      .

Her Cauchy dizisi sınırlıdır 

İspat:

 bir Cauchy dizisi olsun. Tanımdaki 'u,  seçelim. Demek ki, öyle bir  göstergeci vardır ki, her  için,

 olur. Demek ki, her  için,   olur; bir başka deyişle,

 olur.

 ve   diye tanımlayalım.

O zaman, her  için,  olur  ve  ispat biter .

Bir Cauchy dizisinin her altdizisi Cauchy'dir 
İspat:

, bir Cauchy dizisi,  dizisi de bu dizinin altdizisi olsun. herhangi bir sayı olsun.Öyle bir  var ki, her  için,   dir.

Eğer  ise  ve   olduğundan,  olur. .

Bir Cauchy dizisinin bir altdizisi yakınsaksa dizinin kendisi de yakınsaktır ve her iki dizi de aynı limite yakınsar 
İspat:

 Cauchy dizisi olsun ve  bu dizinin altdizisi olsun. Teoremde belirtildiği üzere bu altdizi yakınsakmış (diyelim ki "" ya yakınsasın), tanımı yazarsak,

 ve  için   önermesi doğrudur. Kanıtlamak istediğimiz  için  önermesi olduğundan bu önermeyi açalım;

2. ifade altdizinin tanımından dolayı 'den küçüktür,

1. ifade ise,  olduğundan bir Cauchy dizisidir ve  olarak doğrudur.

İspatlamak istediğimiz ifadeyi tekrar yazarsak,

 ve  için 
 
ve ispat biter .

Her Cauchy dizisinin 'de bir limiti vardır 

İspat:
 verilmiş bir Cauchy dizisi olsun.(Yukarıdaki teoremleri ve verilen kaynaklardaki teoremleri kullanarak.)

 'nin monoton bir  altdizisi bulunur.
  bir Cauchy dizisi olduğundan sınırlıdır. Demek ki  altdizisi de sınırlıdır. 
 Monoton ve sınırlı olduğundan,  dizisi yakınsaktır.
  maddelerden,  dizisinin yakınsak olduğu görülür.

Dolayısıyla,  tamdır ve ispat biter. .

Formal ispat:

'de (hatta metrik uzaylarda) yakınsak her dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu göstermek kolay. Bu yüzden 'deki herhangi bir Cauchy dizisinin yakınsak olduğunu gösterirsek ispat biter. Burada gerçel sayılar kümesi üzerinde alışılmış metriğin olduğunu varsayıyoruz. Farklı metrikler söz konusu olduğunda iddia doğru olmayabilir.

'de bir Cauchy dizisi ve  olsun.

Kaynakça

Dipnotlar 

https://web.archive.org/web/20170111210130/http://www.acikders.org.tr/course/view.php?id=22

Apostol-Mathematical_Analysis[Tom_M.Apostol] Second_Edition.

Temel Analiz(Analiz I(Bir))-[Ali Nesin]

http://matkafasi.com/20940/ustten-sinirli-ve-artan-bir-dizinin-limiti-vardir 

http://matkafasi.com/106636/dizisinin-mathbb-limiti-vardir-yakinsak-cauchy-dizisidir 

Yakınsaklık testleri
Diziler ve seriler