Fourier optiği

Fourier optiği dalgaların yayılma ortamını kendisinin doğal modu olduğunu kabul etmek yerine, belirli bir kaynağa sahip olmayan düzlemsel dalgaların üstdüşümlerin olarak addeden Fourier dönüşümlerini kullanan klasik optiğin bir çalışma alanıdır. Fourier optiği, dalgayı patlayan bir küresel ve fiziksel olarak  Green's fonksiyon denklemleriyle tanımlanabilen (bkz: Çift yarık Deneyi )   tanımlanabilen ve bu kaynağından dışarıya ışıma yapan dalganın üstdüşümü olarak adddeden Huygens-Fresnel prensibinin ikizi olarak da görülebilir.

Eğimli fazcephesi, sonsuz sayıdaki doğal modlardan da elde edilebilme olasılığı vardır. Örneğin; Farklı yönlerde konumlandırılmış düzlemsel dalgaların fazcephelerinden. Dalganın kaynağından uzakalrda, patlayan bir küresel dalga bölgesel olarak radyal yayılma yönünün enine olan düzlemsel faz cephesine (sonsuz spektrum dışında bir tek düzlemsel dalga) teğettir. Bu durumda,  tek bir küresel dalga faz merkezinden kaynaklanan Fraunhofer kırınım bezemesi ortaya çıkmıştır. Yakın bir  diğer alana ise, tam anlamıyla tanımlanmış yalnız küresel dalgalar bulunamamış, bu yüzden dalga cepheleri küresel toplara teğet olacak şekilde konumlandırılamamıştır. Bunun üzerine, uzayda küresel dalga kaynaklarının dağılımını da(fiziksel olarak tanımlanabilen)  içeren büyütülmüş bir kaynağı baz alan Fresnel kırınım bezemesi ortaya çıkarılmıştır. Bir başka bakış açısı ise, Fresnel'in zaten konumlandırılmış olan yakın alan dalgalarını gösterebilmek için düzlemsel bir dalganın komple bir spekturumu gerekliydi. İleri yönde hareket eden (kıyıya doğru yaklaşan patlamış bir okyanus dalgası gibi) 'geniş' bir dalga sonsuz sayıdaki, her biri (yolda herhangi bir şey ile çarpıştıklarında) birbirinden bağımsız olarak sapmalar gösteren düzlemsel dalga modu olarak düşünülebilir. Bu bahsedilen matematiksel tanım ve hesaplamlar Fourier analizi ve sentezinin bir çalışma alanıdır. Bununla birlikte, ışığın çeşitli yarıklardan geçtiğinde, lenslerin ve aynaların tümseklikleri ve çukurlarının yönleri değiştiğinde  veya kısmi veya tamamen yansıma olduğunda neler olduğunu açıklayabilirler. Fourier optiği ve formları, kuantum optiği gibioptiksel bir kaynaktan çıkarılmak istenen, ihtiyaç duyulan bilgiyi çıkarmak için bir uygulama bulmak gibi görüntü oluşum süreç tekniğinin arkasındaki teorilerdir.  Daha karmaşık bir şekilde söylemek gerekirse, gelenek haline gelmiş Fourier dönüşümleri teorisinde kullanılan frekans ve zaman konseptine benzer olarak Fourier optiği de  (x,y) kümesinin eşleniği olarak, uzaysal frekans kümesi (kx, ky) kullanır. Dönüşüm teorisi, spekturum, band genişliği, pencere fonksiyonlar ve bir boyutta sinyal analizi gibi terimler ve konseptler yaygın olarak kullanılır.

Işığın homojen, kaynaksız bir medyada yayılması

Işık, uzay boşluğunda (vakum) veya bir materyalde (hava veya cam gibi) yayılabilen bir dalga formu olarak tanımlanabilir. Matematiksel olarak, bir dalga bileşeninin büyüklüğü (gerçek değeri),  zamana ve uzaya bağlı olan sayısal dalga fonksiyonu 'u' olarak tanımlanabilir.

       
burada r dediğimiz

üçboyutu uzayı tanımlar ve t ile ifade edilen zamandır.

Dalga Denklemi

Fourier optiği homojen ve sayısal bir denklem (kaynaksız alanlar içinde geçerli olan) ile başlar

 
Burada u(r,t) uzay boşluğunda yayılan bir elektromanyetik dalganın karteyzen bileşeninin gerçek değeridir.

Sinüzodial kararlı durumu

.

Eğer ışığın frekans/dalgaboyu/renk (lazer formunda) sabit kabul edilirse, optiksel alanın zaman-harmonik formu şu şekilde ifade edilir

 
Burada j hayali birim w da ışık dalgasının açısal frekansını (birim zamandaki radyan cinsinden) belirtir. Ve 
 

Bu da a ve Q büyüklükleriyle ayrılmış karmaşık bir birim.

Helmholtz denklemi

Zamandan bağımsız dalga denkleminin içerisinde bu ifadenin dahil edilmesiyle elde edilen denklem Helmholtz denklemi olarak bilinir.

burada,

k dalga sayısıdır. ψ(r) ise yayılan dalganın zamandan bağımsız ve karmaşık bileşenidir. Not edilmelidir ki, yayılma sabiti k, ve frekans w lineer olarak birbirlerine ithaf edilirler. Bu durumda elektromanyetik dalgaların homojen bir medyadaki karakteristik  bir özelliğidir.

Helmholtz denkleminin çözümü
Helmholtz denkleminin çözümü parçalı türev denklemlerinin değişken ayırma prensibi yoluyla dikdörtgensel koordinatında bulunabilir. Bu ilke ayrılabilir dik koordinatlarda, aşağıdaki biçimde bir temel çözüm yapılabileceğini söylüyor:

 

örneğin x in bir fonksiyonu ile y nin bir fonsiyonun ve z nin bir fonksiyonun çarpımı. Eğer bu çarpım fonksiyonu skalar laplacian dikdörtgensel koordinat sistemi yoluyla yukarıda dalga fonksiyonuna dahil edilirse;

 

Bir sonraki elde edilecek fonksiyon 3 adet kendine özgü fonksiyon olacaktır.

 

Aynı zamanda bu formda da kolayca yazılabilir;

 

Şimdi, yukarıdaki denklemde her bir oranın sabit olması zorunluluğu iddiaa edilebilir. Bunun için ilk olarak, ilk oran sabit değil ve x e bağlı bir fonksiyon olarak düşünülür. Görüldüğü gibi diğer hiçbir terimin x e herhangi bir bağlılığı yoktur. İlk terimde  x'e bağlı olmayabilr ve sabit olabilir. Sabit terim -kx²  olarak gösterilir. Benzer ber yol ile y ve z denklemeri için de değişken ayırma yöntemi ile fx, fy, fz olmak üzere 3 differansiyel denklem elde edilir.

 

 

 

 

Bu üç diferansiyel denklem de sinüs kosinüs veya karmaşık üstel olmak üzere üç tane aynı çözümü vardır. Biz karmaşık üste basitlik kesine dayanarak, yaygın kullanım olan FT gösterimi ile uyumlu olarak ve sinüs ve kosinüs fonksiyonları için ayrılmaz çift katlı integral üstel karmalıkarı ile yolumuza devam edeceğiz. Sonuç olarak, Eu için temel çarpım sonucu için:

 
 
 

üstel olarak bozunan veya yayılan düzgün düzlemsel dalga sonucunu homojen dalga denklemi için elde etmiş oluruz. - işareti +z yönünde  yayılan veya bozunan dalga için kullanılır ve + işareti ise -z yönünde yayılan veya bozunan dalga için kullanılır. (bu durum ejωt zaman bağımlılığına dayalı mühendislik süresi kuralına dayalıdır.) Bu durum gösterir ki, düzlemsel dalga yayılımı radikal değerin altında kaldığı zaman pozitiftir ve üstel bozunma söz konusu olduğunda ise negatiftir (pasif medyada, düzgün yayılmaz ve bozunmayı göstermek için bir kök ile sıfır olmayan bir sanal kısım mutlaka seçilmelidir ancak büyüklük için söz konusu değildir.)
Helmholtz denklemi için çarpım sonucu aynı zamanda silindirik ve küresel koordinatlar ile ve  verimli silindirik ve küresel harmonikler  (bu tür kooridnat sistemleri günümüzde çok nadir kullanılmaktadır ) ile de elde edilebilir.

Eksiksiz bir çözüm: Süperpozisyonların integrali

Kartezyen koordinatlarda homojen elektromanyetik dalga denkleminin genel çözümü olarak mümkün olan tüm temel düzlem dalga çözümleri ağırlıklı süperpozisyonlar oluşturularak elde edilebilir

 

Daha sonra

.

sonra

 

bu düzgün dalga spektrumu, Fourier optiğinin temeli olan elektromanyetik alanın gösterimidir.  (Bu değinilen nokta ile yeterince güçlü vurgulanmış olmaz), çünkü, z=0 olduğu zaman denklem basit bir şekilde alan ve onun düzlem dalga içeriği arasındaki Fourier dönüşümü haline gelmektedir. (İsmi bu yüzden 'Fourier Optiği'dir.)
Bundan ötürü

ve

Bireysel düzlem dalga bileşenlerinin tüm uzaysal bağımlılığı üstel fonksiyonlar yoluyla açıkça tarif edilmiştir. Üstellerin katsayıları Fourier analizi ve Fourier dönüşümlerinde, sadece parçalı dalga sayıları olan kx ve ky birer fonksiyonudur.

Kırınım sınırı

 

düzlemsel dalgalar bozulmaya başladığından dolayı, daha küçük bir dalgaboyuna sahip nesnesel bir düzlem şeffaflığı içinde herhangi bir parçalı frekans görüntü düzlemine taşınamayacaktır. Çünkü bu konsepte tekabül eden düzlem dalgaları yayılamayacaktır. Litografinin elektriksel dalıyla bağlantı kurulduğunda, bu fenomen kırınım sınırı olarak bilinmekte ve tedricen entegre devrelerde neden ışığın giderek artan dalga boylarınad daha ince gravür özellikleri içermesi gerektiğinin sonucudur.

Paraxial yaklaşım

Paraxial düzlem dalga ( optik eksen z yönünde kabul edilir.)

Aşağıda gösterildiği gibi Helmholtz denklemini temel çarpım sonucu için bu form kullanılılr

burada

k  dalga vektörü ve

k dalga sayısıdır. Daha sonra, paraxial yaklaşım kullanılarak,şu şekilde kabul edilir

veya yaklaşık olarak

Burada görülen açı dalge vektörü ve z ekseni arasındaki açıdır.
Sonuç olarak,

ve

Paraxial dalga denklemleri

Helmholtz denklemi içerisine bu ifade eklendiğinde paraxial dalga denklemi elde edilir.

burada,

kartezyen koorinatlarda gösterilen, laplace operatörüdür.

Uzak  alan yaklaşımı

ana makale: Fraunhofer kırınımı

Yukarıdaki denklem, uzak bir alandaki noktada (x,y,z) doğrusunu söylemek gerekirse sadece vektör (x,y,z) ye paralel yayılan ve düzlemi faz cephesine teğet olan düzlemsel dalga bileşenini (kx, ky, kz) göstermek için, asimptotik olarak değerlendirilebilir. Bu işlemin matematiksel detayları Scoot [1998] veya Scoot [1990] kaynaklarında bulunabilir. Yukarıdaki denklem üzerinde sabit bir faz entegrasyonu gerçekleştirmek suretiyle

 

açık bir şekilde bu saha (x, y, z)bileşenlerinin, (x, y, z)nin  spektral bileşenleri ile doğrudan orantılı olduğunu gösterir. Burada

 

 

 
 
ve

 

 

 
 
 
 
Başka bir şekilde ifade etmek gerekirse,, herhangi bir düzlemsel alan dağılımının radyasyon paterni olan FT kaynak dağılımının  (burada aynı denklem Green fonksiyonu yaklaşımı kullanılarak geliştirilmiştir, Huygens-Fresnel prensibi bakınız). Unutulmamalıdır ki bu bir düzlem dalga DEĞİLDİR, birçok farklı şekilde düşünülebilir. Radyal bağımlığı  (hem büyüklük hem faz açısından) ve yerel büyüklüğü FT olan küresel dalgası düzlemsel dağılımlı bir açıyla konumlanır.  Düzlemsel dalga spektrumu hakkında uzak mesafelerde bir dalga gibi davrandığını söylemek yersizdir.

Uzaysal'a karşı açısal band genişliği 

uzak mesafeler için, uzaysal ve açısal band genişliği arasında bir bağlantı kurmak için yukarıdaki denklem çok kritiktir. Unutulmamalıdır ki, uzak mesafelerden kasıt, ıraksak veya yakınsak ve faz merkezi güzel tanımlanmış bir  küresel dalgadır. Uzaysal ve açısal band genişliği arasındaki ilişkiyi bilmek ince lenslerin alçak geçirgen filtrelerini anlamak açısından oldukça gereklidir. Ayrıca bölüm 5,1,3 e uzak alan tanımları için bakmak faydalı olacaktır. 
Açısal band genişliğinin anlaşıldığını kabul edersek, bir optik bilim adamı parçalı alanların ve ışık optiğinin tek başına anlaşılamacağı konusundan bir anlayışa sahip olmak için hızlıca mekansal ve spektral aralıklarında ileri geri zıplamalar yapabilir. Örneğin, ilk lensin kenar açısını (bu açı sistemin bandgenişliğinin temelini oluşturmaktadır.) geçmiş bir kaynak işlenmek üzere bir sistem tarafından algınlanamayacak.
Bir kenar notu olarak,  elektrıomanyetizma ile ilgilenen bilim adamları sabit faz integrasyonunu içermeyen uzak alanlardaki elektrik alanı hesaplamak için alternatif yeni yollar geliştirmişlerdir.  Geliştirdikleri konsept 'hayali manyetik akımlar' bilinmekte ve genellikle M sembolü ile temsil edilmekte ve aynı zamanda;

 .

olarak tanımlanmaktadırlar.

Bu denklemde,  birim vektör z yönünde ve hesaplamanın yapıldığı alandan uzaklık yarım birim kabul edilmiştir. Hayali manyetik akımlar electrik alanlardan iki kat daha uzakta elde edilirken, uzak görüntülü olmak için herhangi bir bir elektrik akıma izin verilen sonsuz düzlemsel arayüzleri kabul eden eşdeğerlik prensibi ile de manyetik akımlar elde edilir. Daha sonra ise yayılan elektrik alan, elektrik akımı tarafından yayılan magnetic alan hesabına benzer bir şekilde magnetik akım üzerinden hesaplanır. Bu yol ile, durağan faz fikirlerini düşünmeksizin, parçalı elektirk alanlar için bir vektör denklemi elde edilir.

Düzlem dalga spektrumu: Fourier optik temelleri

Fourier optiği, görüntü sistemleri dizaynı ve analizi için kullanılan kamera,  teleskoplar ve mikroskoplarda kullanılan temel ışık optiğinden farklıdır. Ray optiği günlük hayatta sürekli karşılaştığımız optiğin ilk türlerinden biridir; kavramsallaştırmak ve anlamak için gayet basit ve optiksel cihazların çalışma prensibi hakkında bir anlayış kazandırma amaçlıdır. Ne yazık ki, ışın optiği genel sistemler üzerinde odaklanmamış Fourier optik sistemleri üzerindeki operasyonları açıklamaz. Işın optiği dalga optiğinin bir alt çalışma alanı olduğundan dolayı sınırlı uygulanabilirliğe sahiptir. Işın optiğinin ne zamanlarda geçerli ve ne zamanlarda geçerli olmadığını bilmeliyiz ve burası geçerli olmadığı zamanlardan bir tanesi. Mevcut görevimiz için, Maxwell denklem çözümlerini kapsayan optiksel sistemleri anlayabileceğimiz bir şekilde, optiksel fenomen anlayışımızı genişletmemiz gerekir.Bu daha genel olan dalga optiği Fourier optik araçlarının çalışmasını açıklar.
Bu bölümde, Maxwell denklemlerine tamamen bir geri dönüş yapmayacağız,  ancak homojen Maxwell denklemlerinin entegrasyonu ile geliştirilmiş Halmhotz denklemleri çalışacağız. Bu denklem ile, Uzay boşluğunda sonsuz düzgün düzlemsel dalgaların nasıl bir alan sonucunu içerdiğini göstereceğiz. Bu düzgün düzlemsel dalga formları Fourier optiğini anlamanın temelini oluşturmaktadır.
Düzlemsel dalga spektrumu konsepti Fourier optiğinin temel buluşudur. Düzgün düzlemsel dalganın ve bulunan bir dalga bileşinin spektrumdaki faz yüzündeki her bir teğeti  düzlemsel dalga spektrumudur.  Teğet noktasındaki optiksel alanın büyüklüğü, düzlemsel dalga bileşeninin büyüklüğüdür. Tekrar, bu durum sadece uzaklığın = 2 D2 / λ  şeklinde tanımlandığı ve D nin maksimum lineer değişken optik kaynağı değişkeni olduğu ve λ nın dalgaboyunu temsil ettiğinde geçerlidir. (Scoot 1989).  Düzlemsel dalga spektrumu periyodık ızgaraların ayrışmaları olarak addedilir, ancak gerçekte durum şudur ki, hiçbir fiziksel alet yoktur ki sonsuz doğru çizgi spektrumları üretebilsin çünkü spektrumlarlar süreklidir.
Elektrik sinyalleri konusunda olduğu gibi, bant genişliği de bir görüntünün ne kadar ince ayrıntılı olduğunun ölçüsüdür; daha fazla, daha ince detay geniş bir bant genişliğini temsil eder. Dc elektrik sinyalleri sabittir ve titreşim hareketi yapmazlar; bir düzlemsel dalga x-y düzleminde sabit değere sahip optiksel eksene paralel şekilde yayılım gösteri ve bu yüzden elektrik sinyalinin DC bileşinine benzerlik gösterir. Elektrik sinyallerindeki bant genişliği sinyalin spektrumundaki en yüksek ve en düşük frekansı farkına tekabül eder. Optiksel sistemmler söz konusu olduğunda ise bant genişliği aynı zamanda uzaysal frekans içeriği anlamına gelmektedir (uzaysal bant genişliği), ancak ikinci bir anlamı daha vardır. Aynı zamanda düzlemsel dalgadan ne kadar uzakta eğildiğini de belirtir ve böylece bu tür bant genişlikleri genellikle açısal bant genişliği olarak da tanımlanır. Açısal bant genişliği daha kısa atım sayıları üretmek için daha fazla frekans bant genişliği kullanır, ve optiksel bir sistemde daha keskin noktalar için de daha fazla açısal bant genişliği kullanır. (bkz: noktasal yayılma fonksiyonu).
Düzlemsel dalga spektrumu, dikdörtgen koordinatlarda, homojen elektromanyetik dalga fonksiyonlarının özfonksiyon veya ' doğal mod' çözümü olarak doğar. (bkz: Elektromanyetik radrasyon, dalga fonksiyonlarını Maxwell'in denklemlerinden elde edilişi, veya bkz: Scoott [1988]).  Frekans etki alanında, mühendisliğin kabul ettiği    zaman bağlılığı, elektromanyetik dalga denkklemi,  Helmholtz denklemi olarak bilinir ve aşağıdaki şekle bürünür:

 

Burada,u = x, y, z ve k = 2π/λ  dalga sayısıdır.

Özfonksiyon (doğal mod) çözümleri

Arka plan ve genel bakış

Diferansiyel denklemlerde, matris denklemlerinde olduğu gibi, denklemin sağ tarafı sıfır olduğunda, denklem uygulamalı matematikte özfonksiyon çözümü olarak bilinen apaçık olmayan bir çözümü var kabul edilir, Fizikte ise 'doğal mod' çözümü şeklindedir ve elektrik devrelerinde ise 'sıfır-giriş çözümü' şeklini alır. Bu fiziksel disiplinler geniş bir yelpazeyi kapsayan bir kavramdır.Doğal modu içeren rezonansın en yaygın fiziksel örnekleri, yaylı çalgılar rezonans titreşim modları (1D), vurmalı çalgılar (2D) ya da eski Tacoma Narrows Bridge (3D) yı içerir. Yayılma doğal modları ise, fiber optik modları, solitons and Bloch dalgalarıdır. Sonsuz homojen medyalar koordinat sistemine bağlı olarak,  Helmholtz denklemine dikdörtgen, yuvarlak ve küresel harmonik çözümleri kabul eder. Bu yazıda çalışılacak olan yayılma gösterecek düzlemsel dalgalar, herhangi bir medyada bulunan yayılma gösteren basit bir dalga türü olacaktır.
Bu durum ile, Helmholtz denklemi arasında çarpıcı bir benzerlik vardır ve şu şekilde ifade edilebilir
 

Bir kare matris A'nın özdeğeri/özvektörü için genel denklem

   ,

özellikle skalar laplace operatörü ve matris A, şahsi fonksiyon/vektörlerinin lineer operatörleridir. (İkinci denklemdeki eksi işareti, tüm amaçlar için önemsizdir, ancak birinci denklemdeki artı işareti önemlidir.) Sırasıyla bu iki denklem için özfonksiyon ve özvektör çözümleri, fonksiyon7vektörü içeren bir dikey set oluşturmak göz önünde bulundurulduğunda verimli olabilir. İlgilenen okuyucular diğer farklı türdeki dikey özfonksiyonları içeren Legendre polinomları, Chebyshev polinomları ve Hermite polinomları gibi başlıkları araştırabilirler.
Matris konusunda, özdeğer lambda, matrisin determinantı sıfıra eşitlenerek bulunabilir. Örneğin, matrisin tersinin olmadığı yeri bulma gibi. Sınırlı matrisler sınırlı sayıda özdeğere/ özvektöre (sınırlı bölgelerde)  sahiptirler, ancak lineer operatörler, sayılabilir sayıda sınırsız özdeğere/özvektöre veya  bağımsız bölgelerde sayılamayacak  sayıda sınırsız (sürekli)  çözüm spektrumuna sahip olabilirler.
Periyodik hacim bantlarındaki sayım gibi bazı fizik uygulamalarında, frekans ve dalga sayısı fonksiyonları gibi matris elemanlarının çok karmaşık olduğu, ve matris çoğu frekans ve dalga sayısı kombinasyonu için tekil değil ancak belirli özel kombinasyonlarda tekil olduğu gibi durumlarla karşılaşılır. Matrisin determinatının hangi kombinasyonda sıfır olduğu tespit edilerek, ortamın yayılma özellikleri belirlenebilir.frekans ve dalga sayısı arasındaki bu tip ilişkiler, dağılım ilişkileri olarak bilinir ve bazı fiziksel sistemlerin dağılım ilişkileri birçok farklı türde kabul edebilir.  Elektromanyetizmadan bir örnek vermek gerekirse, sıradan çok sayıda dağılım ilişkilerini kabul eden bir dalga kılavuzu, her biri, dalga kılavuzunun özel bir moduyla ilişkilendirilir. Her bir dalga kılavuzunun yayılım modu Maxwell denklemlerinden özfonksiyon çözümü olarak bilinir (veya özmod çözümü). Uzay boşluğu da bu özmod çözümlerini  kabul eder (daha yaygın olarak düzlem dalgalar diye bilinir), ancak verilen bir frekanstaki ayrım için, uzay boşluğu sürekli bir, dalga kılavuzu ayrı bir mod spektrumu olan modal spektrumu kabul eder. Bu durumda, dağılma denklemi ünite 1.2'deki gibi lineer hale gelir.

K-boşluğu
üç boyutku konfigürasyon uzayında öklid metrik denklemi ile benzerlik gösteren ayırma durumu,   (yayılan düzlemsel dalgalar için)  dikdörtgensel koordinatlarda k uzayında üç boyutlu k vektör kavramını önerir:

 

küresel kooridnat sistemi için

 

 

 

Bu küresel koordinat sistem ilişkileri bir sonraki bölümde kullanılacaktır.
k-uzay kavramı özellikle kristalografisi ve yarı iletken malzemelerin band teorisi gibi periyodik hacimleriyle çalışmada, mühendislik ve fizik gibi birçok disiplinlerin merkezidir.

İki boyutlu Fourier dönüşümü
Denklemin analizi (fonksiyonun spektrumunu hesaplamak)

denklemin sentezi (fonksiyonun kendi spektrumunu yeniden oluşturmak)

not: normalize  faktörü açısal frekans ne olursa olsun (radyan cinsinde): olarak ifade edilir. Fakat basit frekans kullanıldığında (döngü) bu ifadeye eşit değildir.

Optiksel sistemler: Genel bakış ve elektrik sinyali işleme sistemleri ile benzerlik
Bir optik sistemi, bir giriş düzlemi, bir çıkış düzlemi ve bu ikisi arasında f olarak giriş düzleminden alınan görüntüyü çıkış düzleminde g görüntüsüne çeviren bir bileşenden oluşur . Çıkış görüntüsü giriş görüntüsünün optiksel müdahele ile evrimleştirilme sonucu oluşan hali h (odaklı optik sistemlerinde nokta-yayılma fonksiyonu olarak bilinir) dır . Dürtü yanıtı benzersiz optik sistemin giriş-çıkış davranışı tanımlar. Geleneksel olarak, sistemin optik ekseni Z-ekseni olarak alınır. Bunun bir sonucu olarak, iki görüntü ve dürtü yanıtı enine koordinatlar x ve y'nin bileşenleridir.

Bir optik görüntüleme sisteminde dürtü yanıtı, giriş düzlemine yerleştirilen ideal bir matematiksel nokta ışık kaynağı tarafından oluşturulan çıkış düzlemidir (genellikle eksen üzerinde). Uygulamada,  tam bir dürtü yanıtı belirlemek için bir doğru nokta kaynağı için gerekli değildir.  Bu nedenledir ki, sistemin bant genişliği dışında kalan herhangi bir kaynağın bant genişliği önemli değildir. (hatta optik sistem tarafından yakalanmayanların bile), bu nedenle dürtü yanıtı belirlemek için gerekli değildir. Kaynağın sadece optiksel sistemin bant genişliği (açısal)  kadar bant genişliğine sahip olması yeterlidir.
Optik sistemler genellikle iki farklı kategoriden birine girer. Birincisi olağan odaklı giriş düzlemi nesne düzlemi olarak adlandırılan ve çıkış düzlemi görüntü düzlemi olarak adlandırılan optik görüntüleme sistemidir. Görüntü düzlemdindeki alanın yüksek kalitede bir üretim yapan bir alan olması arzu edilir. Bu durumda, optik sisteminin dürtü yanıtı 2B delta fonksiyonu tahmin etmek istenirse, aynı lokasyonda(lineer olarak ölçeklendirilmiş lokasyonda) çıkış düzleminde, giriş düzlemindeki dürtünün lokasyonuna tekabül edecektir. Havadar bir fonksiyona benzeyen gerçek itki, yarıçapı kullanılan ışığın dalga boyunun mertebesinde olan fonksiyona benzer.Bu durumda, dürtü yanıtı tipik olarak bir nokta dağılım fonksiyonu olarak adlandırılır, bu yüzden nesne düzlemde ışığın matematiksel noktası görüntü düzleminde bir Airy fonksiyonu içine yayılır.
İkinci tip, önemli bir özelliği giriş yüzey alanı ve merkezi izole edilmiş optik görüntü işleme sistemidir. Bu sistemde, sistemin dürtü yanıtı bu özelliği yakın bir kopyası (resim) olarak istenen ve giriş yüzey düzleminde aranan, ve bundan dolayı giriş düzlem alanına karşı darbe cevabının konvolüsyon çıkışı düzleminde parlak bir nokta üretecek şekilde konumlandırılmış sistemlerdir. Bu bölümün konusu optik görüntü işleme sisteminin bu ikinci türüdür. Bölüm 5.2 de, bu bölümde tarif edilen optik görüntü işleme operasyonlarının bir donanım uygulaması sunulur.

Girdi düzlemi

girdi düzlemi bütün noktalarının geometrik yeri z=0 olarak tanımlanan düzlemdir. Böylece giriş görüntüsü f için

Çıktı Düzlemi

çıktı düzlemi bütün noktalarının geometrik yerinin z=d  olarak tanımlanan düzlemdir. Böylece çıktı görüntüsü g;

2D Girdi fonksiyonunun sarımına karşı itki yanıt işlevi

örneğin :

dikkatli bir okuyucu şunu not edecektir ki; yukarıdaki integral zımnen kabul eder ki itki yanıtı giriş düzlemindeki ışığın impuls (x',y') pozisyonunun bir fonksiyonu değildir. (bu durum olmasaydı, bu tür bir konvolüsyon mümkün olmazdı.) Bu özellik vardiya değişmezliği olarak bilinir (Scott [1998]). Hiçbir optik sistemi ideal olarak, ışığın matemaitksel nokta optik ekseninden uzağa taranan ve sapmaları sonunda itki yanıtı düşen (odaklanmış görüntüleme sistemlerinde koma olarak bilinen) mükemmel değişmeyen vardiyaya sahip değildir. Yüksek kaliteli optik sistemlerinde, çoğu zaman giriş ve çıkış düzlem koordinatları arasındaki tek farkın fonksiyonu olarak dürtü yanıtı kabul edilir böylece bir mahsuru olmadan yukarıdaki denklem kullanılabilir.

Ayrıca, bu denklem ünite büyütmesini de varsayar. Büyütme mevcut olduğunda, denklem (4.1) ;

temelde dürtü yanıt işlevi fonksiyonu x' dan x=Mx' formundan hm() büyütülmüş formuna çevirir.

Evrişim denkleminin türetilmesi

iki boyutta uzantı, nedensellik zaman alanında bulunması farkı dışında önemsizdir, ancak uzaysal alanda böyle değildir. Nedensellik şu anlama gelir ki, bir elektrik sisteminin t' anında uygulanan impulsundan dolayı oluşan h(t-t')etkisi, t-t'<0 olacak şekilde bütün t ler için sıfır olmalıdır.
 
Sistemin kıvrım temsilinin elde edilmesi, Dirac delta fonksiyonlarının döndürme amcını kullanarak giriş sinyallerini temsil eden bir tren üzerindeki darbe fonksiyonlarının süperpozisyonları gibidir.

Daha sonra, söz konusu sistemin, doğrusal olduğu, iki farklı girişlere bağlı sisteminin çıkış girişinde sistemin bireysel çıkışlarının tamamı bireysel olarak eklendiği takdirde söylenebilir. Böylece optik sistemi ne bir doğrusal olmayan malzeme ne de aktif bir cihaz içerebilir. (Son derece doğrusal aktif cihazlar hariç).Tek bir delta fonksiyonu girdisi için, sistem çıktısı, sistem impuls tepkisi olarak tanımlanır h(t-t'). ve bizim linear yaklaşımımız ile genel girdi fonksiyonunun bir sistem çıktısı ürettiğini söyleyebilir ve şu şekilde ifade edebiliriz:

burada h(t-t') t' anında uygulanan delta fonksiyonun impulsu. Bu da yukarıdaki denklemin nereden geldiğini açıklamaktadır. Kıvrım denklemi çok kullanışlıdır çünkü delta fonksiyon girdisinde tepkiyi bulmaktan daha kolaydır. Aynı zamanda impuls tepkisi genellikle sistemin liyakat rakamlarıyla ilgili bilgi verir. Birçok lensde, nokta yayılma fonksiyonu (PSF) değerlendirme amacıyla liyakat rakalamları kullanımı oldukça yaygındır.

Aynı mantık Huygens-Fresnel prensibi veya impulse tepkisinin Green's fonksiyonu olarak tanımlandığı Stratton-Chu formülü  arasındaki ilişkide de kullanılmıştır.Doğrusal optik sistemin uzaysal alan çalışması bu açıdan Huygens-Fresnel ilkesine benzerlik göstermektedir.

Sistem aktarım işlevi

Yukarıdaki son denklem Fourier dönüşümüne uğrar ise şu hale gelir;

burada;

G(w) çıkış sinyalinin spektrumudur
H(w) sistem transfer fonksiyonudur
F(w) giriş sinyalinin spektrumudur 
(4.1) de olduğu gibi, Fourier daha verimli hale getirilmek için:

Sistem trasnfer fonksiyonu H(w)dir. Optiksel görüntülemede bu fonksiyon daha çok optiksel transfer fonksiyonu olarak bilinir. (Goodman).
Bir kez daha yukarıdaki Abbe sinüs koşulu tartışmasından not edilmelidir ki, bu denklem birim büyütmesini kabul eder.
Fourier dönüşümü, G(kx,ky) dalga sayıları (kx,ky) olan düzlemsel dalga ile ilişkili olduğunda gerçek anlamını kazanır.Bu yüzden, Girdi-düzlem dalga spektrumu sistemi, transfer fonksiyonun çarpımsal eylem yoluyla çıkış düzlem dalga spektrumuna dönüştürür.Bu seviyedeki düzlemsel dalga spektrumunu anlama yetisi Fourier optik sistemlerinin kavramlaştırılması açısından pahabiçilemezdir.

Fourier optik ilkeleri Uygulamaları

Fourier optiği,  klasik 4F işlemci ile optik bilgi işleme alanında kullanılır. 
Fourier dönüşümleri, lens özellikleri açısından da optiksel sinyal işleme uygulamalarında optik görüntü korelasyonu ve billgisyarlı hologram gibi sayısız uygulamaları vardır. 
Fourier optik teorisi enterforemetre, optik cımbızı, atom tuzakları ve kuantum hesaplamaları gibi birçok alanda kullanılır. Fourier optik konsepti mekansal frekans düzlemde ışığın yoğunluğunun fazını yeniden ayarlamak için kullanılır.

Lenslerin Fourier dönüşümü özelliği

aktarıcı bir nesne bir objektifin odak uzaklığına yerleştirilirse, Fourier dönüşümü merceğin arkasında bir odak uzunluğu oluşturacaktır. Sağdaki figürü inceleyeniz.
Bu figürde, düzlemsel dalganın soldan geldiği kabul edilir. Ön odak düzlemi içinde gerçirgenlik işlevi (2.1) denkleminin sol tarafındaki gibi mekansal büyüklük ve faz olay düzlem dalgayı modüle eder,  ve böylece (2.1) denkleminin sağ tarafında olduğu gibi dönüşüm foksiyonunun FT sine tekabül eden düzlemsel dalganın spektrumu elde edilir. Çeşitli düzlem dalga bileşenleri lensin optik eksenine göre farklı eğim açılarında yayılırlar. (mesela yatay eksen) . Şeffaflık özelliği, düzlem dalga spektrumunun daha geniş açısal bant genişliğinden kaynaklanır. Biz optiksel eksene göre  θ açısıyla yayılma gösteren bir düzlemsel dalga bileşeni düşüneceğiz. Ve θ açısının küçük olduğunu kabul edeceğiz. Böylece
 

 

 

Figürde görülüyor ki, düzlem dalganın fazı, odak düzlem önünden lens düzlem önüne doğru yatay olarak hareket etmektedir.

 

 
ve arka odak düzlemi içinde noktaya mercekten küresel dalga aşaması da

 

Ve iki yol uzunluğunun toplamı   f (1 + θ2/2 + 1 - θ2/2) = 2f . Görüldüğü gibi sabir bir değerdir ve paraxial düzlem dalgaları için eğim açısından bağımsızdır.  Her paraxial düzlemin ön odak düzlemi dalga bileşeni, arka odak düzlemi içinde yoğunluğu ve fazı Orijinal dalganın yoğunluğu ve fazıyla eşit olan nokta yayılma fonksiyonu olarak görülür. Bir başka deyişle, Ön odak düzleminin Fourier dönüşümü arka odak düzlemidir.

Bütün fourier transform bileşenleri paralel olarak aynı anda ışık hızında hesaplanır. Örnek olarak, ışık kaba 1 ft (0.30m)./ns hızında hareket etsin, ve eğer lens aynı değerde odak uzunluğuna sahipse, 2D Fourier dönüşümü  2ns (2 x 10−9 saniye). Olarak hesaplanır. Odak uzaklığı 1 in altında ise, süre 200 pikosaniyenin altında olacaktır. Hiçbir elektronik bilgisayar bu tür sayılar ile rekabet edemez, ancak IBM in yeni bilgisayarı Roadrunner optikten daha hızlı olabilir. Ancak yine de bu hız, optikten daha yavaş olan bilgisayarların bir araya getirilmesiyle elde edilmektedir. Fourier dönüşümünün dezavantajı şudur ki, Bu dönüşümler sadece paraxial düzlem dalgaları için tutarlıdır. Bu yüzden Fourier dönüşümü bazlı bilgisayarlar bu açıdan kısıtlanmış olacaktır.  Bir başka yandan da i Görünür ışığın dalga boyu görüntünün en küçük görülebilir özelliğidir. Örneğin;

 

Paraksiyel yaklaşım pratikte son derece sınırlayıcı değildir. Ve tabii ki bu bir analog -dijital değil- bir bilgisayardır bu yüzden limitlenme her zaman söz konusudur. Aynı zamanda bu durum faz ayıklamak için güç bir durumdur, ve genellikle interferometrik olarak anılır.
Optiksel işleme genellikle gerçek zamanlı uygulamalarda ve özellikle örüntü tanıma ile ilgili olan şeylerde kullanışlıdır.

Nesne kesme ve Gibbs fenomeni
(2.1) denkleminde gösterilen dağınık şekilde modüle edilmiş elektrik alan, genellikle sadece sonlu (genellikle dikdörtgen) x,y alanını işgal eder. Dikdörtgen alan genellikle iki boyutta bu iki boyutlu dikdörtgen alanın dışında sıfır kabul edilen  kare-üst süzgeci gibi davranır. Denklemin sağ tarafındaki Fourier dönüşüm katsayıları toplamak için parçalı integraller bu alanın sınırında kesilirler. Bu adım kesme yöntemi teorik hesaplamalarda, denklemin RHS düzlem dalga değerlerininde yanlışlık ortaya çıkmasına neden olabilir.
Bir işlev Fourier dönüşümü etki alanında kesildiği zaman, genişletililerek veya dalganma ile diğer Fourier dönüşüm etki alanında kullanılmaya başlanır. Havadar denklem, quadratik bir lens ile aydınlatılmış olan eksen düzleminde nokta dağılım fonksiyonu optikten mükemmel bir örnektir. Bu kaynak hatası genellikle Gibbs fenomeni olarak bilinir ve şeffaflığın merkezindeki çok küçük küsüratların yuvarlanması yoluyla veya sorunsuz çerçeve sınırlarında sıfırı kapsayan pencere fonksiyonlarının kullanımı yoluyla gidirebilir. Kıvrım teoremi yoluyla, herhangi bir şeffaf fonksiyonun Fourier dönüşümü olmayan tepe bölümü kesilmiş şeffaflık fonksiyonunun Green'in fonksiyonuna dönüşmüş veya impuls itki fonksiyonu olarak adlandırılan Fourier dönüşümüne eşittir. Dairesel lensin görüntüsü, Airy fonksiyonuyla evrimleşmiş nesne düzlem fonksiyonuna eşittir.

Fourier analizi ve işlevsel ayrışma

Giriş şeffalığı, x-y düzleminde yalnızca sınırlı bir alan işgal ettiği halde (alan 1), dalga spektrumunu içeren düzlemsel dalgalar tüm x-y düzlemini işgal eder. Bu durumda da neden yalnızca uzunlamasına olan düzlem dalga fazının (z konumunda düzlem 1den düzlem 2 ye doğru) düşünülmesi gerektiğidir. Tabii ki, eğer sınırlı sonlu açıklık sonsuzdan getirildiğinde yayılan düzlemsel dalga, her nasılsa lensinin, düzgün düzlemsel dalganın bütün lokasyonlarda (x,y) düzlemine çapraz olacağından doalyı eksik olacağını düşünmek verimli olacaktır.
Bu durum, beraberinde Fourier analizi için baskın bir sorunu da  beraberinde getirir. Sonlu bir destek üzerinden tanımlanan  giriş-düzlem fonksiyonu olduğunu, ve diğer fonksiyonalara yaklaştırılarak elde edildiği gibi. Bu inanılmaz derecede verimsiz bir hesaplama haline gelir ve neden dalgacıkların fonksiyonda neden sınırlı alanlarda tanımlanan gösterimlerinin fonksiyonda temsil edilmediğinin nedenidir. Bu nedenle, Tek seferde tüm görüntülerin frekans içeriğini almak yerine (görüntünün sıfır değerine sahip olduğu x-y düzlemi içerisinde, tüm geri kalan frekans içeriği ile birlikte), sonuç için görüntünün farklı kısımlarının frekans içeriğini almak daha kolay olacaktır. Ne yazık ki, X-y düzleminde dalgacık, yayılan dalga fonksiyonun bilinen herhangi bir tipine karşılık gelmez, aynı şekilde (x-y düzlemi içerisinde) Fourier sinüzoidleri de  üç boyutlu düzlemsel dalga işlevlerine tekabül eder. Ancak, Fourier dönüşümünün birçok dalgacığı çok iyi bilinmekle birlikte, bazı yayılma alanlarında mümkün olduğunca gösterime sahiptirler.
Diğer bir yandan ise, Sinc fonksiyou be Airy fonksiyonları – dikdörtgensel ve küresel deliklerde tek nokta dağılım fonksiyonu gösteren fonksiyon değildirler ancak fonksiyonel ayrışma için kullanılan kardinal fonksiyonlardır [scoot 1990]-  yakınsak veya ıraksak küresel dalgalara tekabül ederler ve düzlemsel nesne fonksiyonunun yeni ayrışma fonksiyonu olarak uygulanbilirler. Bu temelde geleneksel ray optiği ile  sapma efektinin de eklenmesi ile aynı anlayış olacaktır. Bu durumda, Her nokta dağılım fonksiyonu 'yumuşak pikselin' bir türü olacaktır ve yumuşak pulslar içinde aynı yol izlenecektir.

Uzak alan aralığı ve 2D2 / λ kriteri
Yukarıdaki şekilde, Merceklerin Fourier dönüşüm özelliklerini ve lenslerin nesne düzlem şeffaflığına yakın alanda olduğunu üstelik, lens nesne düzlem alanlarının düzlem dalgalarının üst üste görüntüsü  olarak kabul edildiği  ve her birinin z eksenin göre bir açıda ilerlediği örneklenmektedir. Bu açıdan, uzak kritlerli =2 D2 / λ  şeklinde zayıf bir şekilde tanımlanır. Burada D optik kaynaklarının maksimum doğrusal derecesi ve λ da dalgaboyunu temsil eder. (Scoot [1989]). Burada, D 10−2 m derecesinde ve dalgaboyu ise 10−6 m derecesindedir. Üstelik D/λ oranının değeride 104. tekabül eder.

Herhangi bir PSFnokta alanında objektif olduğundan dolayı, yerden lens üzerinde saha olayı denklem (2.2) de gösterildiği düzlemsel bir dalga gibi değil  bir küresel dalga olarak kabul edilebilir. Öte yandan, lens tüm giriş düzlemi şeffaflığındadır. Üstelik, denklem (2.1) doğru bir şekilde büyük, genişletilmiş kaynaktan doğan alanı temsil eder.

Bir düşük-geçiş filtresi olarak lens

Bir mercek temelde bir alçak geçiren düzlem dalga filtresidir. (bkz: düşük-geçiş filtresi). Lensin nesne düzlem ekseni üzerine konumlandırılmış küçük bir ışık kaynağı düşünün. Kaynağı da uzak alan yaklaşımdan dolayı oldukça küçük kabul edelim. Sonra, küçük kaynak tarafından yayılan alan kaynak dağılımı fourier dönüşümüne modüle edilen denklem (2.2)'deki gibi küresel bir dalga olacaktır. Daha sonra, lens, lensin kenar açısı içerisinde yer alır ve küresel dalga yalnızca bu bölümden geçer.Bu uzak-alan konusunda, yayılan küresel dalganın kesme değeri, küçük kaynağın dalga spektrumunun bölgesinin kesme değerine eşdeğerdir. Yani, lensin kenar açısı ötesinde kalan  ve küresel dalga düzlem bileşenlerini içeren bu alan, mercek tarafından yakalanan alan değildir ve görüntü düzlemi üzerinden transfer edilmez. Not: bu mantık yalnızca küçük kaynaklar için geçerlidir. Eğer bir nesne düzlem şeffaflık küçük kaynakları üzerindeki bir toplam olarak hayal edilirse, her biri bu şekilde kesilmiş spektrumlara sahip olacaktır ve tüm nesne düzlem şeffaflığı üzerindeki her bir nokta aynı etkiye mağruz kalacaktır.
Yüksek (uzaysal) frekans içeriğinin kaybı, bulanıklığa ve netlik kaybına neden olur. (bkz: nokta sıçrama fonksiyonu hakkında) . Bant genişliğini kesmek ise nokta kaynağa veya görüntü düzleminde bulanıklığa neden olur. Bant genişliği genişletilmiş veya sözleşmeli olduğunda, görüntü boyutu genellikle sözleşmeli veya buna göre genişletilmiş olur. Bu şekilde, Heisenberg'in prensibi ile zamana bağlı bant genişliği sabit kalır. (Abbe sine koşulu).

Tutarlılık ve Fourier dönüşümü

varsayılan bir ejωt (mühendislik) zaman bağımlılığı olan, frekans alanında çalışırken, lazer ıışını frekans alanında delta fonksiyonuna bağımlı olarak kabul edilir. Farklı (delta fonksiyonu) frekanslarda ışık, farklı açılarla püskürerek düzlemsel dalga spektrumu oluşturacak ve bunun sonucunda da,  düzlem dalga bileşenleri çıkış düzleminde farklı yerlerde odaklı olacaktır. Farklı frekanslarda, ışık birleştirmek için bazı özel sebepler hariç, lenslerin fourier dönüşüm özelliği en verimli şekilde çalışır.

Sistem transfer fonksiyonunun donanım uygulaması:4F korelatörü

4. bölümde sunulan optik transfer fonksiyonları teorisi biraz soyuttur. Ancak, sistem traser fonksiyonunu sadece  2 adet eş lens ve şeffaf bir düzlem ile uygulayan 4F korelatörü olarak çok iyi bilinen bir araç mevcuttur.En önemli uygulamalarından biri çapraz koleratör olarak bilinmesine rağmen, bu araç adının da ötesinde görüntü işleme operasyonlarını geniş bir yelpazede sunmaktadır. Figure de tipik bir 4F koleratörünün diyagramı gösterilmektedir. (büyütmek için tıklayınız). Bu araç aynı zamanda düzlemsel dalga spektrumlarının, kuadratik lensler aracılığıyla fourier dönüşümleri ile elektrik alana entegre edilmiş halini anlamada da önemli rol oynamaktadır.

Bu cihaz, korelatör (x,y) etki alanında uzaysal frekansların çarpımının Fourier dönüşüm teorisine eşdeğer olduğunu bilinen evrişim teorisine dayanmaktadır.
Bir kez daha, bir düzlemsel dalga, korelatörün giriş düzlemine konumlandırılmış ve 2D fonksiyonunu içeren  ve soldan geldiği kabul edilir. Şeffaflık, düzlem dalgasına büyüklük ve faz açısından denklemin (2.1) sol tarafında olduğu gibi modüle edilir. Ve böylece, geçirgenliği Fourier dönüşümüne tekabül eden denklem (2.1)in sağ tarafından olduğu gibi  düzlem dalgaların spektrumu üretilir. Gösterildiği gibi, Bu spektrum daha sonra birinci lensin arkasında bir 'görüntü' odak uzaklığı olarak oluşturulur.
Işığın ideal,matematiksel nokta kaynağı, ilk lens giriş düzlem ekseni üzerine konumlandırılması durumunda, ilk lens çıkış düzleminde düzgün, homojen ve parallelleştirilmiş bir alan oluşacaktır. Ve bu alan Fourier dönüşüm alan maskesiyle çarpıldığı zaman ve ikinci lens tarafından fourier dönüşümü geçirdiği takdirde, çıkış düzlemi bizim Korelatör fonksiyonumuzdan başka bir şey değildir. (see Scott [1998]). Askeri uygulamalarda, bir tanlkı uçağı veya gemiyi çabucak tanımlamada kullanılabilir. Yukarıda bahseldiği gibi, korelasyon dürtü yanıtı, giriş görüntüsünü bulmaya çalıştığımızın bir resmidir. 4F koleratöründe, sistem transfer fonksiyonu, H(kx,ky) direkt olarak giriş fonksiyonun spektrumu olan F(kx,ky) ile, çıkış fonksiyonunda bir spektrum meydana getirmek için çarpılabilir. Bu da 1D zamansal sinyallerinin nasıl elektriksel sinyal sistemi ile kontrol edildiğini gösterir.

Sonsöz

Fonksiyonel ayrışma geniş bağlamında Düzlem dalga spektrumu
Elektrik alanlar matematiksel olarak birçok farklı yoldan ifade edilebilir. Huygens-Fresnel veya Stratton -Chu nun görüşüne göre, elektrik alan, her biri Green's fonksiyonuna yol açan noktasal kaynakların süperpozisyonları olarak ifade edilebilir. Bu durumda toplam elektrik alan Green's fonksiyonu alanlarının toplamına eşit olacaktır. Bu bakış açısı birçok insan için bu işi yapmanın en doğal yolu gibi görünmektedir. Şüphesiz her birimiz, herhangi bir zamanda bir kağıda pergel ile Thomas Young'ın çift yarık deneyinde yaptığı gibi daireler çizmişizdir. Ancak, bu demek değildir ki, elektrik alan yalnızca bu şekilde gösterilir, aynı zamanda sinüzoidal düzlem dalgalarının çeşitli spektrumları olarak da ifade edilebilirler. Bune ek olarak, Frits Zernike, Zernike polinomlarına dayalı birim disk olarak tanımlanan başka bir işlevsel ayrıştırma önermiştir. Üçüncü dereceden Zernike polinomları normal lenslerin sapmasına tekabül eder. Ve hala bir diğer Sinc ve Airy fonksiyonlarına dayalı ve Whittaker-Shannon formülü ve Nyquist-Shannon teoreminde olduğu gibi başka bir fonksiyonel ayrışma yapılabilir.Bu işlevsel ayrışmaların her birinin farklı kullanım koşulları mevcuttur. Optikle uğraşan bir bilim adamı bu çeşitli temsil formlarını alanlarını ve özelliklerini niteliğine uygun bir şekildebildiği takdirde, zengin bir bakış açısına sahip olacaktır. Bu farklı yollar, ifade etmeler, birbiriyle çakışıyor ve çelişkili değildirler, hatta birbiriyle olan bağlantı ve ilişkileri keşfedildiği takdirde, dalga alanlarının doğası hakkında daha derin ve anlamlı bir fikir sahibi olunabilir.

Fonksiyonel ayrışma ve özfonksiyonlar
öz fonksiyon açılımları  ve fonksiyonel ayrışma ikiz konularının, kısaca bu vikipedi makalesinde birbirinden tamamen bağımsız olmadıkları açıklanmıştır. Belirli bir tanım alanında belirli lineer operatörler için tanımlanmış özfonksiyon açılımları, genellikle o çözüm aralığını içeren, sayılabilir sonsuz bir dizi fonksiyonlar verecektir. Tanım aralığının operatörüne ve boyutuna(şekil, ve sınır bağlılığı) bağlı olarak, prensipte birçok farklı türde fonksiyonel ayrışma mevcuttur.

Kaynakça

İngilizce vikipedia

Optik