Birim hiperbol

Geometride, Kartezyen düzleminde   formülünü sağlayan (x,y) noktalar kümesine birim hiperbol denir. Belirsiz dikey gruplar çalışmasında, birim hiperbol bir alternatif radial uzunluk için bir temel oluşturur.
 
Oysa birim çember merkezini çevreleyen,düzlemde bunu tamamlayacak konjuge hiperbolü  birim hiperbol gerektirir. Hiperbol çiftleri asimptotları  y = x  ve  y = −x olarak  paylaşır. Birim hiperbolün eşleniği kullanıldığında alternatif  radyal uzunluk ;

Birim hiperbol  yönelimi, ölçeği ve konumuyla dikdörtgen hiperbolünün özel bir durumudur. Aslında , aykırılığı ’ ye eşittir.
Birim hiperbol  analitik geometri  amacıyla  yer değiştirmiş olan çember gibi farklı uygulamalarda bulunabilir. Göze çarpan bir örnek de sözde Öklid uzayı olarak ,uzay zamanının tasviridir. Birim hiperbolün asimptotları bir ışık konisi oluştururlar. Ayrıca, Gregoire de Saint-Vincent tarafından yönetilen hiperbolik sektörler alanına dikkat etmek gerekirse, bu alanlarda modern parametrelere ve logaritma fonksiyonuna yol açar. Eşlenik hiperbollerin ve hiperbolik açıların kavramları anlaşıldığı zaman, birim çemberin etrafına kurulan klasik karmaşık sayılar, birim hiperbol etrafında numaraları değiştirilebilir.

Asimptotlar

Genel olarak asimptot  çizgileri bir eğriye doğru birleştiği söylenebilir. Cebirsel geometride ve cebirsel eğriler teorisinde asimptot için farklı bir yaklaşım vardır. Eğri ilk olarak homojen koordinatlar kullanılarak projektif düzlemi yorumlar. Sonra, asimptotlar sonsuzda  bir noktada tanjantın izdüşüm eğrisi olur. Bu nedenle, yakınsama ve kavram mesafesini yakalamaya ihtiyaç duyulmaz. Bilinen bir sistem  olan (x, y, z) sonsuz doğrultusunda z=0 denklemi tarafından karar verilen  homojen koordinatlardır. Örneğin ; C.G.GİBSON’ın yazdığına göre ;
Standart dikdörtgen hiperbolü için ve   R2 de izdüşüm eğrisine karşılık gelen fonksiyon;  F = x^2 - y^2 - z^2’dur. Z =0 noktalarında  P = (1 : 1 : 0) ve Q = (1 : −1 : 0).

Minkowski diyagramı
Minkowski diyagramı uzamsal yönü tek bir boyutta kısıtlı olan bir uzay düzleminde çizilir.
 30 cm uzunluğunda ve birimleri nanosaniye veya 
 Astronomik birim ve 8dk 20saniye veya  aralıklı 
 Işık yılı ve yıllar
Koordinat ölçeklerinin her biri foton olaylarının bağlantıları boyunca  eğimin artı ve eksi köşegenleri ile sonuçlanır. Hermann  Minkowski  diyagramını, görelelik dönüşümlerini tanımlamak için beş element oluşturur; birim hiperbol, onun eşlenik hiperbolü, hiperbolün eksenleri ,birim hiperbolün esneklik çapı.Referans çerçevesi eksenleri ile düzlem bir dinlenme anlamına gelir. Bir hiperbolün eni  hızlı bir hareket içinde bir referans çerçevesini temsil eder. a; tanh a = y/x  ve  (x,y) birim hiperbol üzerindeki son noktanın çapını verir. Eşleniğin çapı hızlı a’ya tekabül eden eşzamanlı mekânsal alt düzlemi temsil eder. Bu makalede birim hiperbolü bir kalibrasyon hiperbolüdür. Yaygın olarak, görecelik çalışmasında dikey ekseni ile hiperbol birincil olarak hesaplanır:
zamanın ok işareti figürün altından üstüne doğru gider-Richard Feynman tarafından bir kongrede kabul edilen Feynman’ın ünlü diyagramlarıdır. Boşluk zaman ekseni  dik düzlemler tarafından temsil edilmektedir. Ortada eşsiz bir durum bulunmaktadır.

Parametreleştirme	

Birim hiperbolü parametreleştirmek için bir yol  hiperbol  ile başlar,xy = 1 ile parametrelendirilen  üstel fonksiyonu ;
 
Bu hiperbol, matrıxe sahip doğrusal bir eşleşme  tarafından birim hiperbole dönüşür.

t olan bu parametre hiperbolik açıdır ve bu hiperbolik fonksiyonun tanımıdır.
Dinamiğin elementlerinde birim hiperbolün parametreleştirilmesinin erken bir tanımı vardır W.K. Clifford tarafından 1878 de ortaya atılmıştır. Clifford  bir hiperbolde yarı harmonik hareketi aşağıdaki bilgilerle açıklar;
Eliptik harmonik harekete  :The motion  bazı  benzetmeler vardır… İvme    bu nedenle, merkezden uzaklığı genellikle orantılıdır ama yönettiği merkezinden uzaktadır.
Belirli bir koni olarak ,hiperbol bir koninin ek noktaları tarafından parametreleştirilmiş olabilir. Aşağıdaki tanımlar Rus analistler tarafından verilmiştir.
Koni üzerinde tespit edilen sabit bir E noktası. E ye doğru çizilen düz bir  çizgi üzerinde bir nokta düşünün koninin kesişimleri  AB  olan ,ikinci kez kesişen A ve B noktalarının toplamıdır. Hiperbol için x^2 - y^2 = 1</math> sabit noktası E = (1,0) noktalarının toplamı    ve  nokta  parametrelerinin altında   ve    bu eklenme parametre  t ‘nin eklenmesinden gelir.

Karmaşık düzlem cebir

Mademki birim çember karmaşık sayılarla ilişkili, birim çember ise j 2 = +1 olduğu yerde z = x + y j yi içeren  ayrık karmaşık sayı düzleminin bir anahtarıdır. j’nin  düzlem üzerindeki hareketini  koordinatlar arasında değiş tokuş edebilmesi için, jz = y + x j bu formülü kullanabiliriz. Özellikle, bu hareket eşleniği ve birim hiperbol arasında karşılıklı değiş tokuş yapar ve ayrıca hiperbollerin eşlenik çaplarının çiftleri arasında karşılıklı değiş tokuş olur.
Hiperbolik açı parametresi a ,noktaların içerdiği birim hiperbol
  j = (0,1) olduğunda.
Birim hiperbolün sağ kolu pozitif tamsayıya karşılık gelir. Aslında bu kol j ekseninde rol oynayan  üstel eşin bir resmidir. Bu yüzden ;

Bu kol çarpmanın altında bir koldur. Çember grubunun aksine, bu birim hiperbol grubu  sıkı ve etkin değildir .Sıradan karmaşık düzlemlere benzer olarak  bir nokta köşegenler üzerinde değildir, hiperbolün parametreleştirilmesinin ve alternatif radyal uzunluğun kullanıldığı polar bir ayrışmaya sahiptir.

Kaynakça

 F. Reese Harvey (1990) Spinors and calibrations, Figure 4.33, page 70, Academic Press, ISBN 0-12-329650-1 .

Hiperbolik geometri