Hamilton optiği

Hamiltonyan optik ve Lagrange optiği, matematiksel formülasyonlarının büyük bir kısmını Hamilton mekaniği ve Lagrange mekaniği ile paylaşan Geometrik optiğin iki formülasyonudur.

Hamilton Prensibi

Fizikte, Hamilton ilkesi, bir sistemin evriminin ,  ve  parametreleriyle belirtilen iki durum arasında  genelleştirilmiş koordinatla tanımlanan bir sabit noktayla (varyasyonun sıfır olduğu bir nokta), hareket fonksiyonu, tanımlandığını belirtir. Başka bir deyişle,

 olmak üzere,

  koşulu ancak ve ancak  iken Euler-Lagrange denklemleri

 
şartını sağladığında geçerlidir.

Momentum,

olarak tanımlandığında,   iken Euler-Lagrange denklemleri,

şeklinde yeniden yazılabilir.

Bu problemin çözümüne farklı bir yaklaşım Hamiltonyen aşağıdaki gibi tanımlanmasını içerir (Lagrange denkleminin Legendre dönüşümünü alarak),

Lagrange’ın parametre ’ya, konumlara  ve konumların ’ya göre türevlerine  nasıl bağlı olduğuna bakılarak yeni bir diferansiyel denklem seti üretilebilir. Bu türetme, Hamiltonyen mekaniğindeki ile aynıdır, ancak şimdi  zamanı genel bir parametre  ile değiştirilmiştir. Bu diferansiyel denklemler  iken Hamilton denklemleridir.

Hamilton denklemleri birinci dereceden Diferansiyel denklemler iken, Euler-Lagrange denklemleri ikinci derecedir.

Lagrange optiği
Hamilton ilkesi için yukarıda verilen genel sonuçlar Lagrange optiğine uygulanabilir. 3 boyutlu Öklid uzayında genelleştirilmiş koordinatlar artık Öklid uzayının koordinatlarıdır.

Fermat İlkesi

Fermat ilkesi, iki sabit nokta arasındaki  ve  arasındaki ışığın izlediği yolun optik uzunluğunun durağan bir nokta olduğunu belirtmektedir. Bu nokta maksimum, minimum, sabit veya dönüm (büküm) noktası olabilir. Genel olarak, ışık ilerledikçe, uzayda skaler konum alanının değişken kırılma indisi oluşturduğu bir ortamda ilerler yani 3D Öklid uzayında  

yazılabilir. Şimdi ışığın x3 ekseni boyunca ilerlediğini varsayarsak, bir ışık ışınının yolu  noktasından başlayarak 
 
noktasında bitmek üzere 
 ile parametrize edilebilir. Bu durumda Hamilton ilkesine kıyasla, genelleştirilmiş koordinatlar  
 nın rolünü  
 ve 
 koordinatları alırken, 
 ise 
 parametresinin rolünü alır yani parametre  ve .
Diferansiyel kalkülüs bağlamında bu denklem , 
 tarafından verilen ışın boyunca alınan sonsuz küçüklükteki bir yer değiştirme olmak üzere,

olarak yazılabilir.  olmak üzere optik Lagrange

şeklinde tanımlanır. Optik yol uzunluğu (OYU) şu şekilde tanımlanır:

burada n, A ve B noktaları arasındaki yol boyunca bir konumun fonksiyonu olarak yerel kırılma indisidir.

Euler-Lagrange denklemleri
Hamilton ilkesi için yukarıda verilen genel sonuçlar Fermat prensibinde tanımlanan Lagrange denklemini kullanarak optiğe uygulanabilir. Fermat prensibine  ve  parametreleriyle uygulanan Euler-Lagrange denklemleri,

Sonucunu verir, burada ,  optik Lagrange ve 
 olarak tanımlanmıştır.

Optik momentum

Optik momentum aşağıdaki gibi tanımlanır:

ve optik Lagrangian 
 tanımından yola çıkılarak bu ifade
 olarak yeniden yazılabilir. Vektör formatında bu denklem aşağıdaki gibi yazılabilir,

burada 
 bir birim vektördür ve açılar ,  ve , 'nin sırasıyla  ve  eksenlerine şekil “optik momentum ”da gösterildiği gibi sırasıyla yaptığı açılardır. Bu nedenle optik momentum şu norma sahiptir

burada n, p'nin hesaplandığı kırılma indisidir. Vektör , ışığın yayılım yönünde işaret eder. Eğer ışık değişken indis optiğinde yayılıyorsa, ışık ışınının yolu eğridir ve  vektörü ışık rayına teğettir.
Optik yol uzunluğu ifadesi optik momentumun bir fonksiyonu olarak da yazılabilir.   olduğunu hesaba katarak, Lagrange denklemi yeniden şöyle yazılabilir,

Ve optik yol uzunluğunun formülü ise aşağıdaki gibi yazılır,

Hamilton denklemleri
Hamilton mekaniğinde olduğu gibi, optikte de Hamilton denklemi  için yukarıda karşılığı verilmiş  
 ve  denklemleriyle şu şekilde tanımlanır,

Bu ifadeyi Lagrange için  
 ifadesiyle karşılaştırmak aşağıdaki sonucu verir,

Ve σ =x3 and k=1,2 parametreleriyle optiğe uygulanan Hamilton denklemleri,

şeklinde yazılabilir. Burada 
 and 
 olarak alınmıştır.

Uygulamalar
Işığın  ekseni boyunca ilerlediği varsayıldığında, yukarıdaki Hamilton denkleminde,  ve  koordinatları genelleştirilmiş koordinatlar  rolünü alırken,  σ parametresinin rolünü alır. Yani, parametre  ve .

Kırılma ve yansıma

Eğer  düzlemi, aşağıda  ve altında  kırılma indisine sahip medyaları ayırırsa, kırılma indisi bir basamak fonksiyonu ile verilir

ve Hamilton denklemlerinden k=1,2 olmak üzere aşağıdaki denklem elde edilir,

Ve böylece 
 ya da  
 çıkarımları yapılabilir.
Gelen bir ışık ışını kırılma öncesinde ( düzleminin altında)  momentumuna ve kırılma sonrasında ( düzlemi üzerinde)  momentumuna sahiptir. Işık ışını kırılmadan önce  ekseni (kırıcı yüzeyin normali) ile  açısı ve kırılma sonrası  ekseni ile  açısı yapar. Momentumun  ve  bileşenleri sabit olduğu için yalnızca  'dan 'ye değişir.
Şekil "kırılma", bu kırılmanın geometrisini gösterir; bu kırılma  
.  
 ve 
 olduğundan, son ifade aşağıdaki gibi yazılabilir

bu ifade Snell kırılma yasasını verir.

“Kırılma” şeklinde görüldüğü üzere, kırıcı yüzeyin normali  ekseninin ve  
 vektörünün yönündedir. Daha sonra 
birim normal vektörü aşağıdaki ifadeden elde dilebilir. 

burada i ve r, gelen ışın ve kırılmış ışın yönlerindeki  birim vektörlerdir. Ayrıca, giden ışın ( yönünde) gelen ışın ( yönünde) ve yüzey normali  ile aynı düzlemdedir. 
Benzer bir argüman, dik açılı yansımalarda yansıma yasası türetilmesinde kullanılabilmektedir, ancak şu an  eşitliği,  ile sonuçlanmaktadır. Ayrıca,  ve , sırasıyla gelen ışın ve kırılmış ışın doğrultusunda birim vektörlerse, yüzeye karşılık gelen normal, kırılma ile aynı ifadeyle, ancak  ile verilir

Vektör formunda, eğer , gelen ışın yönünde işaret eden bir birim vektör ise ve , yüzeyin normali ise, kırılan  ışınının yönü şöyledir:

burada Δ aşağıdaki ifadeye eşittir.

Eğer i⋅n<0 ise hesaplamalarda −n kullanılmalıdır.  olduğunda, ışık tam iç yansıma gösterir ve yansıyan ışının yansıma ifadesi şu şekilde yazılabilir,

Işınlar ve Dalga cepheleri

Optik yol uzunluğunun tanımından 
 iken Euler-Lagrange denklemlerinden yararlanılarak,

İfadesi yazılabilir. Ayrıca Hamilton denklemlerinin sonuncusunu , yukarıda kanıtlanan  eşitliğini ve 
 denklemini momentum 'nin bileşenlerini dikkate alarak birleştirmek aşağıdaki sonucu verir:

, ışık ışınlarına teğet vektörü olduğundan,  Sabit yüzeyler bu ışık ışınlarına dik olmalıdır. Bu yüzeylere Dalga Cephesi denir. Şekil "ışınlar ve dalga cepheleri" bu ilişkiyi göstermektedir. Ayrıca bir ışık ışınına tanjant ve dalga cephesine dikey olan optik momentum  gösterilmiştir.
Vektör alanı  korunan vektör alanıdır. Gradyan teoremi daha sonra optik yol uzunluğuna (yukarıda verilen şekilde) uygulanabilir ve sonuç olarak

elde edilir ve  ve  noktaları arasındaki  eğrisi boyunca hesaplanan optik yol uzunluğu , sadece  ve  uç noktalarının bir fonksiyonudur ve aralarındaki eğrinin şekli değildir. eğri kapalı ise, özellikle, bu başlar ve aynı noktada sona erer başka bir deyişle  olur böylece
 sonucuna ulaşılır.

Bu sonuç "optik yol uzunluğu" şekli gibi kapalı bir  yoluna uygulanabilir ve aşağıdaki denklem elde edilir,

Eğri doğru parçası  için optik momentum ,  eğrisi boyunca bir  yer değiştirmesine diktir yani 
 Aynı şey  doğru parçası için de geçerlidir.  doğru parçası için optik momentum, yer değiştirme  ile aynı yöndedir ve 
  
 doğru parçası için, optik momentum , yer değiştirme  ile zıt yönde ve 

Ancak integral yönünü tersine çevirerek integralin A'dan D'ye çekilmesi, ds yönü tersine çevirilirse elde dilen eşitlik  olur. Bunlar hesaba katıldığında 

ya da
 sonuçlarına varılır ve bunları birbirine bağlayan ışın boyunca  ve  noktaları arasındaki optik yol uzunluğu ,  ve  noktaları arasındaki ışın boyunca optik yol uzunluğu  ile aynıdır. Optik yol uzunluğu, dalga cepheleri arasında sabittir.

Faz uzayı

Şekil "2D faz uzayı", üst tarafında iki boyutlu uzayda bazı ışık ışınlarını göstermektedir. Burada   olduğundan ışık  düzlemi doğrultusunda artan  değerleriyle ilerlemektedir. Bu durumda,  ve  olduğundan ışınının yönü momentumun  bileşeni tarafından tamamen tanımlanır 
  verilirse,  hesaplanabilir (kırılma indisi  değeri verilirse) ve bu nedenle , ışık ışınının yönünü belirlemek için yeterlidir. Işının seyahat ettiği ortamın kırılma indisi  ifadesiyle belirlenir.

Örneğin, ışın   eksenini,  konumunda ortalayan yarıçapı  olan bir çember üzerinde ucu bulunan optik bir momentum  ile  koordinatından kesmektedir.  Koordinatını ve momentum 'nin yatay koordinatını , ışını 'yi,  eksenini keserken tamamen tanımlar. Bu ışın daha sonra, şeklin alt kısmında gösterildiği gibi  uzayında bir nokta  ile tanımlanabilir. Uzay 'e faz uzayı denir ve farklı ışık ışınları bu alanda farklı noktalardan temsil edilebilir.

Bu durumda, en üstte gösterilen ışın , alttaki faz uzayında bir nokta  ile temsil edilir.  ve  Işınları arasında bulunan  koordinatında  ekseni geçen tüm ışınlar, faz uzayında  ve  noktalarını birbirine bağlayan dikey bir doğru ile temsil edilir. Buna göre,  ve  ışınları arasında bulunan  koordinatında  eksenini geçen tüm ışınlar, faz uzayında  ve  noktalarını birbirine bağlayan dikey bir doğru ile temsil edilir. Genel olarak,  ekseni  ve  arasında geçen tüm ışınlar, faz uzayında bir  hacmi ile gösterilir.  hacminin  sınırındaki ışınlara kenar ışınları denir. Örneğin,  ekseni koordinat 'da, ışınlar  ve , diğer ışınlar bu ikisi arasında bulunduğu için kenar ışınlarıdır.

Üç boyutlu geometride momentum 
 
with   ve  verilirse,  hesaplanabilir (kırılma indisinin  değeri verilir) ve bu nedenle  ve  ışık ışınının yönünü belirlemek için yeterlidir.  ekseni boyunca ilerleyen bir ışın daha sonra  düzleminde bir nokta  ve bir yönde  tanımlanır. Daha sonra, dört boyutlu faz uzayı 'deki bir nokta ile tanımlanabilir.

Etendue korunması

Şekil "hacim değişimi" (hacmin varyasyonu),  alanı ile sınırlanmış bir hacim 'yi gösterir. Zamanla,  sınırı hareket ederse,  hacmi değişebilir. Bilhassa, sonsuz küçük alan birimi  dışa doğru işaret eden bir birim normali  doğrultusunda  hızı ile hareket ettiğinde, hacim değişimine şu şekilde yol açar:

Gauss teoreminden yararlanarak, uzayda hareket eden toplam  hacminin zaman içerisinde değişimi:

En sağdaki terim, hacim V üzerindeki hacim integrali ve orta terim, hacim 'nin sınır 'sı üzerindeki yüzey integralidir. Ayrıca, ,  noktalarının hangi hareket ettiği hızdır.
Optikte 
 zamanın rolünü üstlenir. Faz uzayında ışık ışını  “hızı” ile ilerleyen bir nokta  ile tanımlanır. Burada nokta ’e göre türevi temsil eder.

  koordinatında  koordinatında   koordinatında   ve  koordinatında   üzerine yayılmış bir ışık ışını seti, faz uzayında  hacmini kaplar. Genel olarak, geniş bir ışın grubu Gauss teoreminin uygulanabileceği faz uzayında büyük bir hacim  yi kaplar,

Ve Hamilton denklemlerini kullanarak,

sonucuna varılır. Yani, 
 ve 

bu, ışık bir optik sistem boyunca ilerledikçe faz alan hacminin korunması anlamına gelir.
Faz uzayında bir dizi ışın tarafından kullanılan hacim,  yönündeki optik sistemde ışık ışınları ilerledikçe korunan etendue olarak adlandırılır. Bu Liouville teorisine karşılık gelir ve bu da Hamilton mekaniği için de geçerlidir.
	
Bununla birlikte, mekanikte Liouville teoremi anlamı, eminin korunması teorisinden oldukça farklıdır. Liouville teoremi aslında doğasında istatistikseldir ve aynı özelliklere sahip, ancak başlangıç koşulları farklı mekanik sistemlerin bir topluluğunun zaman içindeki evrimini ifade eder. Her sistem, faz uzayında tek bir nokta ile temsil edilir ve teorem, faz uzayındaki noktaların ortalama yoğunluğunun zaman içinde sabit olduğunu belirtir. Buna bir örnek, konteynerde dengede mükemmel bir klasik gaz molekülü olacaktır. Bu örnekte  boyutlarına sahip olan, faz uzayındaki her nokta, , molekül sayısıdır ve temsil eden noktaların yoğunluğunun istatistiksel bir ortalamasını almaya yetecek kadar büyük bir topluluk olan aynı kapların bir grubunu temsil eder. Liouville teoremine göre, tüm kaplar dengede kalırsa puanların ortalama yoğunluğu sabit kalır.

Görüntüleme ve görüntülemesiz optik

Şekil "etendue korunumu" solda,  ve  olduğu diyagramsal iki boyutlu bir optik sistemi gösterir, bu nedenle ışık x3 değerleri artan  yönünde ilerler.
Noktanın  noktasındaki optik giriş alanını geçen ışık ışınları giriş alanının (şeklin sağ alt köşesi) faz uzayında  ve  noktaları arasındaki dikey bir çizgi ile temsil edilen kenar ışınları  ve  arasında bulunur. Giriş alanını geçen tüm ışınlar faz uzayında bir bölge  ile temsil edilir.

Ayrıca, noktanın x1 = x0 noktasındaki optik çıkış açıklığından geçen ışık ışınları, çıkış açıklığının faz uzayında  ve  noktaları arasında dikey bir çizgi ile gösterilen kenar ışınları  ve  arasında bulunur (sağ üst köşe şekli). Çıkış açıklığından geçen tüm ışınlar, faz uzayında bir bölge  ile gösterilir.

Optik sistemdeki etenduenin korunması, giriş alanındaki  tarafından işgal edilen faz uzayındaki hacmin (veya bu iki boyutlu durumda olan alanın) çıktı alanındaki  tarafından işgal edilen faz uzayındaki hacim ile aynı olması gerektiği anlamına gelir.

Görüntülenen optikte giriş diyaframını 'de geçen tüm ışık ışını   olarak çıkış deliğine doğru yönlendirilir. Bu, girişte bir büyütme  ile çıktıda bir görüntü oluşturulmasını sağlar. Faz uzayında, bu, girişteki faz uzayındaki dikey çizgilerin çıktıda dikey çizgiler haline dönüştüğü anlamına gelir. Bu, 'da dikey çizgi  'nin 'da dikey çizgi  'ye dönüştürüldüğü durumda olurdu. Görüntüsüz optikte amaç, bir görüntü oluşturmak değil yalnızca giriş ışık aralığından çıkış diyaframına tüm ışığı aktarmaktır. Bu, 'nın kenar ışınları 'yi 'nun kenar ışınlarına  dönüştürerek başarılır. Bu, kenar ışınları prensibi olarak bilinir.

Genelleştirmeler

Yukarıdaki Hamilton ilkesinde, ışığın x3 ekseni boyunca ilerlediği farz edildi, 
  ve  koordinatları  genelleştirilmiş koordinatlar rolünü alırken,  parametre  rolünü üstlenir, yani parametre  ve 'dir. Bununla birlikte, genelleştirilmiş koordinatların kullanımı kadar, ışık ışınlarının farklı parametrizasyonları da mümkündür.

Genel ışın parametrizasyonu
Bir ışık ışınının yolunun, σ'nın genel bir parametre olduğu 
 
olarak parametrize edildiği daha genel bir durum düşünülür. Bu durumda, yukarıdaki Hamilton ilkesine kıyasla,  ve  koordinatları,  genelleştirilmiş koordinatlarının  olduğu rolünü üstlenirler. Bu durumda optikte Hamilton ilkesinin uygulanması,

ve şimdi 
  
 
ve bu Fermat ilkesinin formuna uygulanan Euler-Lagrange denklemleri aşağıdaki sonucu verir,

burada  ve  optik Lagrange’dır. Bu durumda da optik momentum şu şekilde tanımlanır:

ve Hamilton denklemlerinde , yukarıda tanımlanan ve  için verilen  ve  fonksiyonlarına karşılık gelen ifade ile tanımlanır.

Ve  iken Hamilton denklemlerinin optiğe uyarlanmış hali,

burada  ve  olarak alınır. Optik Lagrange aşağıdaki gibidir,

ve açıkça parametre 'ya bağlı değildir. Bu nedenle, Euler-Lagrange denklemlerinin tüm çözümleri ışık ışınları için mümkün olmayacaktır, çünkü türevleri optikte meydana gelmeyen  üzerine 'nin açık bir bağımlılığa sahiptir.

Optik momentum bileşenleri aşağıdaki yoldan elde edilebilir,

burada  ve Lagrange ifadesi aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir,

 için bu ifadeyi Hamilton  ifadesi ile karşılaştırıldığında,
 sonucuna ulaşılır. ’nın bileşenlerinden yararlanılarak optik momentum aşağıdaki gibi bulunur,

Başka şekilde seçilebilecek olsa da Optik Hamilton aşağıdaki gibi seçilmiştir: 
 ve  ile tanımlanan Hamilton denklemleri, olası ışık ışınlarını tanımlar.

Genelleştirilmiş koordinatlar
Hamilton mekaniğinde olduğu gibi Hamilton optik denklemlerini genelleştirilmiş koordinatlar  ve genelleştirilmiş momenta  ve Hamilton işlevi  açısından yazmak mümkündür:

burada optik momentum aşağıdaki şekilde verilmiştir:

ve ,  ve  birim vektörlerdir.

Özel bir durum bu vektörlerin ortonormal baz oluşturduğunda görülür. Ortonormal bazda bütün temel birim vektörler birbirine diktir.
Bu durumda optik momentum  ile birim vektör  arasındaki açının kosinüsü  ifadesine eşittir.

Ayrıca bakınız 

 Hamilton mekaniği
 Diferansiyel Kalkülüs

Kaynakça

Geometrik optik