Gauss yüzeyi

Gauss yüzeyi, üç boyutlu uzayda içinden bir vektör alanın akısı geçen kapalı bir yüzeydir; genellikle elektrik alanı, yerçekim alanı ve manyetik alanı bulmak için kullanılır. rastgele seçilmiş bu kapalı yüzey  S = ∂V  ( üç boyutta sınırlandırılan  V alanı) Gauss yasasıyla ilişkili alan (Gauss yasası, magnetizma için Gauss yasası, ya da yerçekimi için Gauss yasası)  için conjuction olarak bir yüzey integrali sergilenerek kullanılır. Elektrostatik alanın kaynağı olarak elektrik yükünün miktarı ya da yerçekimi alanını kaynağı olarak yerçekimi ağırlığını kapalı alanda hesaplamak için kullanılır. Maddesel olması için, elektrik alan bu metinde, alanın en sık bilinen yüzey şekli olarak tanımlandırıldı.
Gauss yüzeyleri genellikle, yüzey integralinin simetrisini  basitçe hesaplayabilmek için dikkatle seçildi. Bir Gauss yüzeyi, yüzey üzerindeki her noktanın elektrik alan bileşenleri için, sabit bir normal vektörüne doğru seçilmiş ise, hesaplama zor bir integral gerektirmeyecektir.

Genel Gauss Yüzeyleri  

Gauss yüzeyinin kullanıldığı birçok hesaplama Gauss yasası  kullanılarak başlar (elektrik için):

Q(V) içinde bulunan elektrik yükü , V kapalı yüzeydir.

Bu ıraksaklık teoremi ve Coulomb yasasının birleşimi olan Gauss yasası’dır.

Küresel  Yüzey  
Küresel bir Gauss yüzeyi  elektrik alanı ve aşağıdakilerden herhangi biri ile üretilen akıyı bulmak için kullanılır :
 noktasal bir yük
 küresel kabuğa  düzgün yayılmış bir yük
 başka bir yük dağılımı küresel simetri
Küresel Gauss yüzeyi  ortak merkezli  yük dağılımı için seçilmiştir.

Örnek olarak, kalınlığı ihmal edilen eşit dağılımlı yükü Q ve yarıçapı R olan  yüklü küresel bir kabuk  S  düşünelim. Yüklü kürenin merkezinden r  kadar uzaklıkta a noktasında   meydana gelen elektrik alanı  E bulmak için Gauss yasasını kullanabiliriz. Yarıçapı r < R olan küresel Gauss yüzeyi için etrafı çevrili yük sıfırdır. Bu nedenle net akı sıfırdır ve ayrıca  Gauss yüzeyi üzerindeki elektrik alanın büyüklüğü de sıfırdır.(Gauss yasasında  QA = 0 olarak yazılır. QA Gauss yüzeyi tarafından kuşatılan yüktür.)

Aynı örnekle ,daha büyük bir Gauss yüzeyi kullanılarak kabuğun dışında yarıçapı r > R,Gauss yasası sıfıra eşit olmayan bir elektrik alan ortaya koyacaktır. Bu aşağıdakilerle tanımlanır;

S küresel yüzeyinin dışındaki akı

Yarıçapı  r olan kürenin yüzey alanı

tanımlar

Gauss yasası kullanarak akı

Son olarak, ΦE  r konumundaki elektrik alanın E büyüklüğünü verir;

Bu önemsiz olmayan sonuç herhangi bir küresel  yük dağılımının  noktasal yük olarak rol oynadığını gösterir. Bu aslında Coulomb yasasının bir tanımıdır.

Silindirik Yüzey 
Silindirik yüzey, aşağıdakilerden herhangi biri tarafından üretilen akıyı ve elektrik alanı bulabilmek için kullanılan bir Gauss yüzeyidir:

 aynı yükteki sonsuz bir uzunluğun
 aynı yükteki sonsuz bir yüzeyin 
 aynı yükte sonsuz uzunluktaki bir silindirin

Örnek olarak, sonsuz çizgi yüküne yakın olan alan aşağıda verilmiştir.
P noktası üzerinde   yük yoğunluğuna (yük bölü birim uzunluk) λ  sahip sonsuz çizgisinden r kadar uzaklıkta bir yük düşünelim. Silindir formunda kapalı bir yüzey hayal ettiğimizde, yüzeyin dönme ekseni yük hattıdır. Silindirin boyu h ise, silindiri kuşatan yük :

,

Burada q Gauss yüzeyini kuşatan yüktür. Şekilde a, b and c olarak gösterilen üç yüzey bulunmaktadır. diferansiyel vektör alanı dA, her bir yüzey üzerinde  a, b and c.

Bu üç parçanın birleşiminden geçen akı
 
 

a ve b yüzeyleri için, E ve  dA dik olacaktır.
c yüzeyi için, E ve  dA  paralel olacaktır, şekilde gösterildiği gibi.

Silindirin yüzey alanı

Bunu tanımlar

Gauss yasasına göre

ΦE için eşitlik sağlanır

Gauss kutusu 
Aynı yük yoğunluğuyla sonsuz bir yük katmanından oluşan ya da sonlu kalınlıktaki yük levhasından oluşan elektrik alana karar vermek için çoğunlukla bu yüzey kullanılır. Bu kutu silindirik bir şekle sahiptir, üç bileşene sahipmiş gibi de düşünülebilir. Silindirin bir sonundaki diskin alanı πR²,diğer bir sonundaki diskin alanı da bu alana eşittir. Gauss  yasası’na  göre; yüzeyin bütün bileşenlerine doğru olan elektriksel akı kutuyu kuşatan yükle orantılıdır. Çünkü katmana yakın olan alan neredeyse  sabittir.

Ayrıca bakınız
 Alan
 Yüzey alanı
 Vektör hesabı
 İntegral
 Diverjans teoremi
 Faraday kafesi

Kaynakça

Konuyla ilgili yayınlar 

 Electromagnetism (2nd Edition), I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9

Dış bağlantılar
 Fields - a chapter from an online textbook

Yüzeyler
Elektrostatik
Carl Friedrich Gauss