Kesirli analiz

Kesirli analiz, matematiksel analiz'in bir koludur. Kesirli analiz, D = d/dx ile gösterilen türev işlemcisi'nin ve J ile gösterilen integrasyon işlemcisi'nin kuvvetlerinin reel sayı veya karmaşık sayı değerler olabilme olanaklarını inceler.

Bu bağlamda bir üst cümlede kullanılan kuvvetleri terimi, doğrusal bir operatörün bir fonksiyona f 2(x) = f(f(x)) şeklinde peşpeşe uygulanmasını ifade eder.

Kesirli diferansiyel denklemler, diferansiyel denklemlerin kesirli analiz uygulanması yoluyla elde edilen bir genellemesidir.

Kesirli türevin doğası 

Kesirli türevde diğer bir önemli nokta ise bir x noktasının tam sayı olmasının yalnızca yerel özellik olduğu; tam sayı olmayan durumlarda ise bir şekilde,tam sayı-kuvvet türev  yapacak şekilde  x a çok yakın f'in değerlerine bağlı bir f fonksiyonunun x'teki kesirli türevleri olduğunu söyleyemeyiz. Bu nedenle teorinin fonksiyon hakkında daha ileri bilgi içeren, sınır koşullarının bazı çeşitlerini içermesi beklenmektedir.

Bir mecaz kullanmak gerekirse kesirli türev, at gözlüklerini çıkartmayı gerektirir. Bildiğimiz kadarıyla böyle bir teorinin varlığı için ilk olarak, konunun temelleri Liouvillenin 1832'deki notlarında  atılmıştır.

Artık, a dereceli bir fonksiyonun kesirli türevi genellikle  Fourier veya Mellin integral dönüşümleri vasıtasıyla tanımlanmaktadır.

Sezgisel irdeleme 

Burada oldukça doğal bir  soru  bir H işlemci'sinin var veya yarı-türev nin olup olmadigidir böylece

.

böyle bir işleç olduğu ortaya çıkıyor ve gerçekten herhangi a > 0  için  burada var olan bir  P  işleci

,

veya dny/dxntanımı ile tutulan yöntem n nin  tüm gerçek değerlerine uzanabilir.

Diyelimki f(x) ,x > 0 için tanımlı bir fonksiyon olsun.0 dan x a tanımlı bu form:

.
olarak kodlanir ve

,
ise bu süreci yineler veya isteğe göre uzatılabilir.Tekrarlı integrasyon için Cauchy formülü:

Gerçek n için bir genelleme basit bir yol içinde yer alır. Faktöriyel fonksiyonunun gamma işlevini kullanarak ayrık doğasını ortadan kaldırmak bize integral işlemcinin kesirli uygulamaları için doğal bir aday verir.

Bu, aslında iyi tanımlanmış bir operatördür. Bunu  basitçe göstermek için J operatörü doyurucudur

{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!Kanıtlama
|-
|

son adımda biz entegrasyon sırasını değiş tokuş ve  t entegrasyonundan  burada faktör f (s) çıkarılır.  r değişken değiştirme tarafından tanımlanan
t = s + (x − s)r,

İçsel integral beta fonksiyonu bunun aşağıdaki tatmin edici özelliğidir :

Denklemin içine geriye koyma

α ve βnın  birbirinin yerine kullanılabilmesi  J operatörü içinde uygulandığı sıranın ilgisiz ve ispatı tamamlar olduğunu gösterir.
|}
Bu ilişkililiğe kesirli diferintegral operatörlerin yarı grup özelliği denir. Ne yazık ki türev operatörü D için karşılaştırılabilir süreç çok daha karmaşık, ancak gösterilebilir ki D  genel içinde ne değişmeli ne de eklemelidir.

 Bir temel kuvvet fonksiyonun kesirli türevi 

varsayalımki f(x) bir formun tek terimlisi(monomiali)dir

İlk türev genel olarak

Bu tekrarlama daha genel sonuç verir

Yukarıdan  gama fonksiyonu ile faktöriyel değiştirildikten sonra, bizi şuna götürür

 for 

 için ve ,

olarak  fonksiyonunun yarı türevini elde ederiz

Bu süreci veren tekrarlama

Nitekim beklenen sonuçlar verecek şekilde

Negatif tam sayı kuvveti k için, gama fonksiyonu tanımsız ve aşağıdaki ilişkiyi kullanmak zorunda

 for 

Yukarıdaki diferansiyel operatörün bu uzantısı sadece gerçek güçlere kısıtlı örneğin, 2'nci türevi veren (1 − i)inci türevin, ayrıca a için

negatif değerler bağlamında integral veren fark  olması gerekmez.

Genel bir fonksiyon f(x) ve 0 < α < 1 için, tam kesirli türev

dir
keyfi α,için dolayısıyla gama fonksiyonu böyle bileşen için tanımlanamaz ve gerçek kısmı bir negatif tam sayıdır, Bu uygulama için gerekli kesirli türev sonrası

tam sayı türevi gerçekleştirilmiştir. Örneğin,

 Laplace dönüşümü 
Ayrıca  sorudan  Laplace dönüşümü 
 yoluyla alınabilir
ve

vs, ters laplace;
.
örneğin beklenildiği gibi

dir.Yani, evrişim kuralı ile
 dir.
ve özetle p(x) = xα − 1 için şunu buluruz

Yukarıdakiler Cauchy tarafından bize verilmiştir.

Laplace nispeten az sayıda fonksiyonlar üzerinde "iş" dönüştürür, ancak sık sık kesirli diferansiyel denklemlerin çözümü için yararlıdır.

 Kesirli integraller 

 Riemann–Liouville kesirli integrali 

Kesirli analizin klasik formu  Riemann–Liouville integrali tarafından veriliyor, bu esasen yukarıda tanımlanmıştır. Teori periyodik fonksiyonlar için (bir periyod sonra yinelenen 'sinir değerler' içerir)  Weyl integralidir. Bu Fourier serisi üzerinde tanımlanıyor ve Fourier katsayılarının kaybolması gereklidir (böylece, 0 için birim çember üzerindeki fonksiyonlar integrallerin evrimi için uygulanıyor).

Grünwald–Letnikov türevi karşıtlığı ile  integralin yerine türev ile başlıyor.

 Hadamard kesirli integrali 

Hadamard kesirli integral'i J. Hadamard   tarafından tanıtılmış ve formül aşağıda verilmiştir,

t > a içindir

 Kesirli türevler 
Klasik Newton türevleri gibi, bir kesirli türev bir kesirli integrali üzerinden tanımlanamaz

 Riemann–Liouville kesirli türevi 
Karşılık gelen türev diferansiyel operatörler için Lagrange kuralı kullanılarak ,(n − α) derecenin integrali üzerinden n-inci dereceli türev hesaplanır, α dereceli türevi elde edilir. Bu n ifadesinin önemi α dan büyük tam sayıya yakındır

 Caputo kesirli türevi 
Kesirli türevleri hesaplamak için başka bir seçenek;1967 makalesinde M. Caputo tarafından tanıtılan Caputo kesirli türevidir. Caputo'nun tanımlaması kullanılarak diferansiyel denklem çözerken Riemann Liouville kesirli türev aksine, bu kesirli mertebeden başlangıç koşullarını tanımlamaya gerek yoktur. Aşağıdaki gibi Caputo tanımı gösterilmiştir.

 Genelleme 

 Erdélyi–Kober işlemcisi Erdélyi–Kober işlemcisi bir integral işlemci olup Arthur Erdélyi  ve Hermann Kober tarafından 1940'ta tanıtıldı ve aşağıdaki gibi verilir:

bunun genellemesi Riemann kesirli integrali ve Weyl integralidir.Yeni bir genelleme ise aşağıdadır ve bununh genellemesi  Riemann-Liouville kesirli integrali ve Hadamard kesirli integralidir. Bu  ile
x > a için verilen

 Fonksiyonel hesap 

fonksiyonel analizin konuları içinde, fonksiyonların f(D) daha genel kuvvetlerinde  spektral teorinin  fonksiyonel hesabı içindeki çalışmalardır.Sözde-diferansiyel işlemcilerin teorisi D'nin kuvvetlerini ayrıca düşünmemizi sağlar. Ortaya çıkan operatörler tekil integral işlemcilerin örnekleridir; ve yüksek boyutlar için klasik teorinin genelleştirilmesine  Riesz potansiyellerinin teorisi denir. Böylece bu çağdaş tutarlı teoride bir sayıdır ve bununla birlikte kesirli hesap  tartışılabilir. Ayrıca Erdélyi–Kober işlemcisi,  ,  'nin özel fonksiyon teorisi içinde önemlidir

 Uygulamalar 

 Kesirli kütle korunumu 

Tanıtım olarak  Wheatcraft ve Meerschaert (2008) tarafından, kütle denkleminin bir kesirli korunumu kontrol hacmi sıvı akışını modellemek için gerekli olduğunda heterojenliğin ölçeğine göre yeterince büyük değildir  ve  kontrol hacmi içinde akı olduğunda doğrusal değildir. Başvuru yapılan yazıda, sıvı akışı için kütle denkleminin kesirli korumasi :

 Kesirli adveksiyon dağılım denklemi 

Bu denklemin, heterojen gözenekli ortam içinde  kirletici akışı modellemek için kullanışlı olduğu gösterilmiştir.Benson, D., Wheatcraft, S., Meerschaert, M., (2000). "The fractional-order governing equation of Lévy motion." Water Resources Res 36, 1413–1423.

 Zaman-uzay kesirli difüzyon denklemi modelleri 

Karmaşık ortamda anormal difüzyon süreçleri kesirli-dereceli difüzyon denklem modelleri kullanılarak karakterize edilebilir.Chen, W., Sun, H.G., Zhang, X., Korosak, D., (2010). "Anomalous diffusion modeling by fractal and fractional derivatives." Computers and Mathematics with Applications, 59(5), 1754-1758.   Zaman türevi terimi uzun süre ağır kuyruk çürümesi ve yerel olmayan difüzyon  için uzay türevine karşılık gelir. Uzay-zaman kesirli difüzyon yönetim denklemi olarak yazılabilir.

Kesirli türevin basit bir uzantısı değişken dereceli kesirli türev, α, β ifadeleri α(x, t), β(x, t) içinde değişir. Anormal difüzyon modelleme uygulamaları için kaynak bulunabilir.

 Yapısal sönümleme modelleri 

Kesirli türevler polimerler gibi bazı malzeme türlerinde  viskoelastik sönümlemeyi modellemek için kullanılır.

 Karmaşık ortam için akustik dalga denklemleri 

Kompleks ortamlarda, örneğin biyolojik dokuda akustik dalgaların yayılımı, yaygın bir frekans-güç yasalarına uymanın zayıflaması anlamına gelir. Bu tür olgular, kesirli zaman türevlerini içeren nedensel bir dalga denklemi kullanılarak  tarif edilebilir:

Ayrıca  buradaki referanslara bakınız. Bu tür modeller birden fazla gevşeme fenomeni ölçülen karmaşık ortamlarda zayıflama doğuran, yaygın olarak tanınan hipotez ile bağlantılıdır. Bu bağlantı ayrıca   içindeki tanım ve araştırma makalesinde, akustik zayıflamada ayrıca yazılıdır.

 Kuantum teorisinde kesirli Schrödinger denklemi 

Kesirli Schrödinger denklemi kesirli kuantum mekaniği nin  Nick Laskin tarafından incelenen bir temel denkleminin  formu aşağıdaki gibidir:<ref>N. Laskin, (2002), Fractional Schrödinger equation, Physical Review E66, 056108 7 pages .  (also available online: http://arxiv.org/abs/quant-ph/0206098 )</ref>

burada  dalga fonksiyonu denkleminin çözümü olması için  verilen bir durum vektörüne ψ(r, t) - kuantum mekaniksel parçacık için r olasılık genliği var t herhangi verilen zaman ve ħ indirgenmiş Planck sabitidir.Potansiyel enerji fonksiyonu sistemi üzerinden V(r, t) bağımlıdır.

Ayrıca, Δ = 2/r'''2 Laplace işlemcisidir ve Dα  fiziksel boyut ile  bir skala sabitidir.[Dα] = erg1 − α·cmα·sec−α, (m kütlenin parçacığı için α = 2 de, D2 = 1/2m) ve (−ħ2Δ)α/2 işlemci is the 3-boyutlu kesirli kuantum Riesz türevi ile tanımlanır

Kesirli Schrödinger denkleminde α indisi Lévy indisi, 1 < α ≤ 2.

 Ayrıca bakınız 

 Akustik zayıflama
 Diferintegral
 Diferansiyel denklem
 Kesir dinamikleri
 Kesirli fourier dönüşümü
 Neopolarogram
 Kesirli Schrödinger denklemi
 Özbağlanımlı kesirli bütünleşik hareketli ortalama

 Notlar 

 Kaynakça Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications, by Samko, S.; Kilbas, A.A.; and Marichev, O. Hardcover: 1006 pages. Publisher: Taylor & Francis Books. ISBN 2-88124-864-0Theory and Applications of Fractional Differential Equations, by Kilbas, A. A.; Srivastava, H. M.; and Trujillo, J. J. Amsterdam, Netherlands, Elsevier, February 2006. ISBN 0-444-51832-0 (https://web.archive.org/web/20090816133048/http://www.elsevier.com/wps/find/bookdescription.cws_home/707212/description#description)An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, by Kenneth S. Miller, Bertram Ross (Editor). Hardcover: 384 pages. Publisher: John Wiley & Sons; 1 edition (May 19, 1993). ISBN 0-471-58884-9The Fractional Calculus; Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order (Mathematics in Science and Engineering, V), by Keith B. Oldham, Jerome Spanier. Hardcover. Publisher: Academic Press; (November 1974). ISBN 0-12-525550-0Fractional Differential Equations. An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, Some Methods of Their Solution and Some of Their Applications., (Mathematics in Science and Engineering, vol. 198), by Igor Podlubny. Hardcover. Publisher: Academic Press; (October 1998) ISBN 0-12-558840-2
 Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models. by F. Mainardi, Imperial College Press, 2010. 368 pages.
 Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media. by V.E. Tarasov, Springer, 2010. 450 pages.
 Fractional Derivatives for Physicists and Engineers  by V.V. Uchaikin, Springer, Higher Education Press, 2012, 385 pages.
 Fractional Calculus - An Introduction for Physicists  by R. Herrmann, World Scientific, Singapore 2014. 500 pages.Fractals and quantum mechanics, by N. Laskin. Chaos Vol.10, pp. 780–790 (2000). (http://link.aip.org/link/?CHAOEH/10/780/1 )Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics, by A. Carpinteri (Editor), F. Mainardi (Editor). Paperback: 348 pages. Publisher: Springer-Verlag Telos; (January 1998). ISBN 3-211-82913-XPhysics of Fractal Operators, by Bruce J. West, Mauro Bologna, Paolo Grigolini. Hardcover: 368 pages. Publisher: Springer Verlag; (January 14, 2003). ISBN 0-387-95554-2Fractional Calculus and the Taylor-Riemann Series, Rose-Hulman Undergrad. J. Math. Vol.6(1) (2005).Operator of fractional derivative in the complex plane, by Petr Zavada, Commun.Math.Phys.192, pp. 261–285,1998.  (available online or as the arXiv preprint )Relativistic wave equations with fractional derivatives and pseudodifferential operators, by Petr Zavada, Journal of Applied Mathematics, vol. 2, no. 4, pp. 163–197, 2002.  (available online or as the arXiv preprint)Fractional differentiation by neocortical pyramidal neurons, by Brian N Lundstrom, Matthew H Higgs, William J Spain & Adrienne L Fairhall, Nature Neuroscience, vol. 11 (11), pp. 1335 – 1342, 2008.  (abstract )Equilibrium points, stability and numerical solutions of fractional-order predator-prey and rabies models'', by Ahmed E., A.M.A. El-Sayed, H.A.A. El-Saka. 2007. Jour. Math. Anal. Appl. 325,452.

Recent history of fractional calculus by J.T. Machado, V. Kiryakova, F. Mainardi,

Dış bağlantılar 
Eric W. Weisstein. "Fractional Differential Equation."  From MathWorld — A Wolfram Web Resource.
MathWorld - Fractional calculus 
MathWorld - Fractional derivative 
Fractional Calculus at MathPages
Specialized journal: Fractional Calculus and Applied Analysis 
Specialized journal: Fractional Differential Equations (FDE)
Specialized journal: Communications in Fractional Calculus (ISSN 2218-3892)
www.nasatech.com 
unr.edu (Broken Link)
Igor Podlubny's collection of related books, articles, links, software, etc.  
GigaHedron - Richard Herrmann's collection of books, articles, preprints, etc.  
s.dugowson.free.fr 
History, Definitions, and Applications for the Engineer (PDF), by Adam Loverro, University of Notre Dame
Fractional Calculus Modelling 
Introductory Notes on Fractional Calculus
Pseudodifferential operators and diffusive representation in modeling, control and signal
Power Law & Fractional Dynamics
The CRONE (R) Toolbox, a Matlab and Simulink Toolbox dedicated to fractional calculus, which is freely downloadable