Fermi seviyesi

Fermi enerjisi, elektronların toplam kimyasal potansiyeli ya da elektrokimyasal potansiyeli olarak tanımlanır ve µ veya  şeklinde gösterilir. Bir cismin Fermi seviyesi, bir termodinamik miktardır, ve termodinamik iş, cisme bir elektron eklemeye ihtiyaç duyduğundan ötürü, Fermi seviyesi önemlidir (işi hesaplarken, elektronun geldiği yerden yapılan işi saymaksızın). Fermi seviyesinin açık bir şekilde anlaşılması-elektronik özelliklerin belirlenmesinde Fermi seviyesinin elektronik bağ yapısı ile olan ilişkisi, ve bir elektronik devrede Fermi seviyesinin voltaj ve yük akışı ile olan ilişkisi- katı hal fiziğinin anlaşılması için gereklidir.

Bir bağ yapısı resminde, Fermi seviyesi bir elektronun varsayımsal enerji seviyesi olarak kabul edilerek düşünülebilmektedir. Mesela, termodinamik dengede, bu enerji düzeyinin belirtilen herhangi bir zaman aralığında %50 oranında işgal edilme olasılığı vardır. Fermi seviyesinin, ne gerçek bir enerji seviyesine tekabül etmesine (Bir yalıtkan içerisinde Fermi seviyesi bağlar arası boşlukta bulunur.), ne de bir bağ yapısının varlığına ihtiyaç duymaktadır. Yine de, Fermi seviyesi kusursuz olarak termodinamik miktar olarak tanımlanır. Ayrıca Fermi seviyelerdeki farklılıklar, voltmetre ile kolayca ölçülebilir.

Fermi seviyesi ve voltaj
Elektrik devrelerinin en basitleştirilmiş tanımlarında, elektrik akımlarının, elektrostatik potansiyel farklarından(Galvani Potansiyeli) dolayı oluştuğu söylenebilir. Ancak bu durum, doğru değildir. Karşıt bir görüş olarak, p-n bağlantıları gibi multi - materyal araçlar, denge durumda, hiçbir akım eşlik etmeden, iç elektrostatik potansiyel farkı içermektedir. Eğer bir bağlantıya voltmetre takılırsa, ölçüm yapan kişi voltajı 0(sıfır) olarak ölçer. Açıkça, bir madde de, yük akışını etkileyen tek faktör elektrostatik potansiyel değildir. Ayrıca, termal etkiler ve Pauli itimi’ de yük akışını etkilemektedir.

Aslında, bir elektronik devrede voltaj olarak ifade edilen miktar, elektronların kimyasal potansiyeli yani Fermi seviyesi ile ilişkilidir. Voltmetrenin kabloları bir devrenin iki ucuna bağlanır ise,  gözlemlenen voltaj değeri, elde edilmiş olan toplam yükün miktarı olarak belirtilebilir. Eğer, basit bir tel, farklı voltajdaki iki noktaya bağlanır ise (kısa bir devre oluşturarak) , mevcut işi ısıya dönüştürmek amacı ile, akım pozitif voltajdan negatif voltaja akacaktır.

Bir cismin Fermi seviyesi, iş yapılabilmesi için o cisme bir elektronun eklenmesinin ya da bir elektronun koparılmasının gerekli olduğunu ifade eder. Sonuç olarak, bir elektronik devrenin ‘A’ ve ‘B’ noktaları arasında olan voltajdaki gözlenen fark yani (Va-Vb), tam olarak Fermi seviyesindeki (µA-µB) farkına tekabül eder. Bu durum aşağıdaki formül ile açıklanmaktadır.

Burada –e sembolü elektronun yükünü belirtmektedir.

Buradan, eğer basitçe bir yol sağlanırsa, elektronların, bir cismin yüksek µ (yüksek voltaj)’ ından düşük µ (düşük voltaj)’ına doğru hareket edeceği sonucuna varılabilir. Elektronların bu akışı şarj etme ya da diğer itim kuvvetlerinden dolayı düşük akımı yükseltecek, buna benzer olarak yüksek akımı da düşürecektir. Sonunda, µ değeri her iki cisimde de aynı değere gelecektir. Bu durum, bir elektronik devrenin denge durumunu içeren önemli bir unsura neden olmaktadır.

Termodinamik dengede olan bir elektronik devre, bağlantılı bölgeleri boyunca bir Fermi seviyesi sabitine sahip olacaktır.

Bu ayrıca, denge durumda, iki nokta arasında voltmetre ile ölçülen voltajın 0 (sıfır) olacağı anlamına gelmektedir. Not olarak, burada bahsedilen termodinamik denge durumunun olabilmesi için, devre batarya ve diğer güç kaynakları içermeksizin veya sıcaklıkta bir değişim olmaksızın, içten bağlı olmalıdır.

Fermi Seviyesi ve bağ yapısı

Katıların bağ yapıları teorisinde, elektronların tek parçacık enerji öz durumları ϵ tarafından işaretlenmiş bir dizi bağları işgal ettiği düşünülmektedir. Buradaki tek parçacık resmi bir yaklaşım olmasına rağmen, elektronik davranışın kavranmasını büyük ölçüde kolaylaştırıyor ve genellikle doğru uygulanırsa, doğru sonuç sağlıyor.

Fermi-Dirac dağılımı  termodinamik denge durumunda bir olasılık vermektedir. Bir elektron ϵ enerjisine sahip olan bir durumu işgal edecektir. Alternatif olarak, bu dağılım işgal edecek elektronların ortalama sayısını verir ve bu kısıtlama Pauli exclusion prensibi tarafından empoze edilir.

Buradaki ‘T’ mutlak sıcaklık olup ‘k’ ise Boltzmann sabitini ifade etmektedir. Eğer Fermi seviyesinde (ϵ = µ) bir durum olursa, herhangi bir zamanda bu durumun %50 oranında işgal edilebilme şansı olacaktır.

µ’ nün maddenin bağ yapısı içerisindeki konumu, maddenin elektriksel davranışını tanımlamak için önem taşımaktadır.

 Bir metalde, yarı metalde ya da dejenere olmuş bir yarı iletkende, µ değeri yerinden oynatılmış bağ arasında bulunur. µ değerine yakın olan büyük sayıdaki durumlar termal olarak aktiftir ve akımı kolayca taşırlar.
 Bir yalıtkanın içerisindeki µ, hiçbir akım taşıyamayacak vaziyetteki  düzeylerden çok uzakta, geniş bir bant boşluğunda bulunur.
 Yerleşik veya birazcık stabil olmayan yarı iletken içerisinde, µ, termalce sayısı tam olarak bilinmeyen, uyarılmış bağ kenarında bulunan taşıcıların olduğu kenara yeteri derecede yakındır.

Yarı iletkenlerde ve yarı metallerde bağ yapısına bağlı olarak µ’nün konumu doping ya da geyting tarafından önemli bir dereceye kadar kontrol edilebilmektedir. Bu kontroller elektrotlar tarafından sabitlenmiş olan µ’ yü değiştirmemektedir. Ancak, daha doğrusu, bu kontroller bütün bağ yapısının aşağı veya yukarı kaymasına neden olur (ayrıca bazen bağ yapısının şeklini de değiştirebilmektedir.) Yarı iletkenlerin Fermi seviyesi ile ilgili daha fazla bilgi edinmek için, örneğin, Sze’ ye bakınız.

Yerel iletim bağ referansı, iç kimyasal potansiyel ve parametre
 
ℰ sembolü, kapatıcı bağın altındaki enerjiye (ϵC) göre ölçülen bir elektronun enerji seviyesini belirtmektedir. Genel olarak, ℰ =  ϵ – ϵC şeklinde ifade edilmektedir. Özellikle, bağ kenarındaki Fermi seviyesi referans alınarak, parametreyi ζ
tanımlayabiliriz.

Fermi-Dirac dağılım fonksiyonu da ayrıca bu şekilde ifade edilebilir

1927 yılından itibaren, metallerin bağ teorisi ilk olarak Sommerfeld tarafından, termodinamik ve istatistiksel mekaniğin temeline büyük önem verilerek geliştirilmiştir. Bazı kontextlerde bağ referanslı değer yanlışlıkla Fermi seviyesi, kimyasal potansiyel ve elektrokimyasal potansiyelle karıştırılmış olunabilir. Bu makalede, ‘Fermi seviyesi referans alınarak iletim bağı’ ve ‘iç kimyasal potansiyel’ ifadeleri ζ’ yi ifade etmektedir.

ζ direkt olarak aktif olarak yük taşıyıcılarının sayısının yanı sıra, onların tipik kinetik enerjileri ile bağlantılıdır. Buna ek olarak, maddenin elektriksel iletkenliği gibi yerel özellikleri ile de bağlantılıdır. Bu nedenden ötürü, yaygın olarak, tek ve homojen bir iletken maddenin elektronlarının özellikleri incelenirken, ζ değerine odaklanılmaktadır. Serbest bir elektronun enerji durumları analiz edildiğinde, bir durumdaki ℰ değeri o durumdaki kinetik enerjiyi, ϵC değeri ise potansiyel enerjiyi ifade etmektedir. Buradan yola çıkılır ise, ζ değeri, Fermi kinetik enerji olarak da düşünülebilmektedir.

µ’den farklı olarak, ζ, denge durumunda bir sabit değildir. Çünkü, ϵC  değerindeki değişimlerden dolayı farklı değerler alabilmektedir. ζ değeri, sık sık, yabancı/takviye maddelere ve maddenin kalitesine bağlı olarak, konumdan konuma farklılık göstermektedir. Bir yarı iletkenin ya da yarı metalin yüzeyinin yakınında, alan efekt transistörün de olduğu gibi ζ, dışarıdan uygulanan elektrik alanları tarafından güçlü bir şekilde kontrol edilebilir. Bir multi-bağlı bir maddenin içerisin de, ζ değeri, tek bir konum içerisinde, birden fazla değer alabilir. Örneğin, bir parça Alüminyum metalinin içerisinde, Fermi seviyesini kesen iki iletim bağı vardır (diğer maddelerde daha fazla iletim bağı bulunmaktadır). Her bağ kenarı farklı bir ϵC değeri ve ζ değerine sahiptir.

0(sıfır) derece ζ değeri, yaygın olarak, Fermi enerjisi olarak bilinmektedir. Bazen ζ0 olarak da yazılabilir. Ayrıca, sıfırdan farklı sıcaklıklarda Fermi enerjisi, ζ değeri yerine kullanılarak karıştırılmaktadır.

Fermi Seviyesi ve denge dışındaki sıcaklık
Fermi seviyesi µ ve T sıcaklığı, termodinamik denge durumunda, katı-hal cihazı için sabitler olarak tanımlanmıştır. Cihaz denge durumuna getirildiği ve kullanıma sunulduğu zaman, Fermi seviyesi ve T sıcaklığı artık çok iyi tanımlanmış olur. Neyse ki, verilen bir konumdaki yarı-Fermi seviyesi ve yarı-sıcaklığı, yani tam olarak işgal edilen durumları termal dağılım cinsinden tanımlamak sık sık mümkündür. Cihaz, bu tanımlama nerede ve ne zaman doğruysa, o durumun ‘yarı-denge’ olduğunu söylemektedir.

Yarı-denge yaklaşımı, bir parça metalin elektriksel iletkenliği olarak ya da termal iletkenliği olarak, bazı non-denge durumlarının basit olarak resmedilmesine izin vermektedir. Yarı-µ ve yarı-T değerleri, herhangi bir non-denge durumunda değişebilir. Mesela;
 Eğer sistem kimyasal bir dengesizlik içeriyorsa (pillerde olduğu gibi)
 Eğer sistem elektromanyetik alanların değişimine maruz kalıyorsa(kapasitör, transformatör, ya da indüktörde olduğu gibi)
  Farklı sıcaklıkta olan bir ışık kaynağının aydınlatması altındaysa (güneş hücrelerde olduğu gibi)
 Cihaz içerisindeki sıcaklık sabit olmadığı zaman (ısıl çiftlerde olduğu gibi)
 Eğer cihaz değiştirilmişse, ve yeniden dengeye gelebilmesi için gereken süresi olmamışsa (piezo-elektrik ya da pyro-elektrik maddelerde olduğu gibi) 	
 Bazı durumlarda, örneğin, bir madde yüksek enerjili lazer darbesine maruz kalması gibi, elektron dağılımı, termal dağılım olarak tanımlanamayabilir. Bu durumda, kimse, yarı-Fermi seviyesi ya da yarı-sıcaklık tanımlaması yapamayabilir. Elektronların, ‘non-termalize’ olduğu söylenir. Daha az çarpıcı durumlarda, sabit aydınlatma altında olan güneş hücrelerinde olduğu gibi, bir yarı-denge tanımlaması yapılabilmesi mümkün olabilir. Ancak, bu durum µ ve T’nin belirgin değerlerinin farklı bantlara olan görevine ihtiyaç duyar. Buna rağmen, bir akım geçirildiği zaman ya da maddenin ara yüzünde iyi tanımlanmadığı zaman, µ ve T değerleri, materyalin ara yüzü boyunca kesintili olarak atlayabilir (örneğin; p-n bağlantısı).

Teknik özellikler

Terminoloji problemleri
Fermi seviyesi terimi genel olarak, yarı iletkenlerdeki elektronların katı hal fiziği tartışmalarında kullanılır. Buna ek olarak, bu terimin tam doğru kullanımı, değişik seviyelerde katkılamaları olan değişik materyalleri kapsayan bazı cihazların içerisindeki bant diyagramlarını tanımlamak için gereklidir. Ancak bu bağlamlarda, Fermi seviyesi kesin olmayan bir şekilde, bağ-referans Fermi seviyesini  µ-ϵC. işaret eder. Bilim adamları ve mühendisler, doping ve alan etkisi nedeniyle ϵC değerinde bir değişim olduğu zaman, iletken içerisindeki Fermi seviyesini, ‘tutturma’, ‘kontrol etme’, ‘ayarlama’ gibi kavramları refer ederek kullanırlar. Aslında, termodinamik denge, bir iletken içerisinde bulunan Fermi seviyesi, her zaman elektrotların Fermi seviyesine tam olarak eşit olacak şekilde sabitlenir, sadece bant yapısı (Fermiş seviyesi değil), doping ya da alan etkisi ile değişebilmektedir. Bunun için ayrıca bağ diyagramı konusuna bakınız. Buna benzer belirsizlik terimleri, ‘kimyasal potansiyel’ ve ‘elektrokimyasal potansiyel’dir. Ayrıca not edilmesi önemli olan bir durumda, Fermi seviyesinin, Fermi enerjisi ile aynı şey olması gerekli değildir. Kuantum mekaniğinin daha geniş bir bağlamında, Fermi enerjisi, idealize olmuş etkileşim içerisinde olmayan, düzensiz olabilen, 0 (sıfır) sıcaklığında bir Fermi gazında, bir fermiyonun maksimum kinetik enerjisini refer eder. Bu konsept çok teoriktir (etkileşim içerisinde olmayan Fermi gazı, 0 (sıfır) sıcaklığı diye bir şey yoktur ve böyle bir şeyin başarılması da imkansızdır). Ancak, bu konsept, beyaz cüceler, nötron yıldızları, atomik çekirdek ve bir metalde bulunan elektronları yaklaşık olarak tanımlayabilir. Diğer bir yandan, bu makale içerisinde, ve yarı iletken fiziği alanı içerisinde, mühendislikte, sık sık  ‘Fermi enerjisi’ ve ‘Fermi seviyesi’ eş anlamlı olarak kullanılmaktadır.

Fermi Seviyesi referansı ve 0 (sıfır) Fermi seviyesinin konumu
Bir koordinat sisteminde orijin noktasının seçimi gibi, enerjinin sıfır olduğu nokta da isteğe bağlı olarak seçilebilmektedir. Gözlemlenebilir olgular sadece enerji farklarına bağlıdır. Ancak, iki farklı madde incelendiği zaman, bu maddelerin 0(sıfır) enerji noktalarının seçimlerinin tutarlı olduğu ya da, anlamsız sonuçların elde edilebileceği önemlidir. Bu nedenden ötürü, farklı bileşenlerin uyum içerisinde olması için ortak bir nokta seçim isimlendirilmesi yararlı olabilmektedir. Öte yandan, eğer belirsiz bir şekilde bir referans noktası seçilir ise (mesela ‘vakum’ gibi), bu durum birçok problemin oluşmasına neden olacaktır.

Nokta seçimindeki en pratik ve yaygın seçim, dünya ya da elektriksel bir zemin gibi, büyük, fiziksel olarak iletken bir nokta seçmektir . Bir iletken iyi bir şekilde termodinamik dengedeymiş gibi düşünülebilir ve yani, µ değeri oldukça iyi durumda tanımlanır. Bu, bir yükün deposunu sağlar, yani, yüksek sayıdaki elektronlar, şarj etkisine maruz kalmadan alınır ya da verilir. Ayrıca bu erişilebilir avantajı sağlar, yani, herhangi bir maddenin Fermi seviyesi voltmetre ile kolayca ölçülebilir.

Vakum içerisindeki enerji neden mutlak sıfır olarak kullanılmak için tavsiye edilmez?

Prensip olarak, kişi, vakum içerisindeki durağan bir elektronu, enerjilerin bir referans noktası olarak düşünüp kullanabilir. Eğer kişi vakumun tam olarak nerede olduğuna dikkat etmiyorsa, bu yaklaşım pek tavsiye edilmez. Buradaki problem, vakum içerisinde bulunan bütün noktalar denge durumundadır.

Termodinamik dengede, vakum içerisinde bulunmak için, elektriksel potansiyelinin birer volt farkla sıralanması tipik bir durumdur (Volta Potansiyeli). Vakum potansiyelindeki bu değişimin kaynağı, vakuma maruz kalmış iletken maddeler arasındaki iş fonksiyonundaki değişimdir. Sadece iletkenin dışında, elektrostatik potansiyel hassas olarak materyal kadar seçilen yüzeye de bağlıdır. (Kristal yönelimi, kirlilik ve diğer detaylar.)

Parametre bize evrensel olarak en iyi yaklaşım olan, yukarıda bahsedilen Dünya-Fermi seviye referansını vermektedir.

Küçük sistemlerde ayrık şarj etkisi
Tek bir elektron nedeniyle oluşan ‘şarj etkileri’ ihmal edilemediği durumlarda, yukarıda belirtilmiş olan tanımlamalar açıklığa kavuşturulmalıdır. Örneğin,  iki özdeş paralel plakadan oluşmuş bir kapasitör düşünelim. Eğer kapasitör şarj edilmemiş ise, her iki taraftaki Fermi seviyesi eşittir. Yani, kişi, bir plakadan diğer plakaya elektron taşınması için enerji gerekmediğini düşünebilir. Ancak, elektron karşı plakaya geçtiği zaman, kapasitör az miktarda şarj olacaktır.Yani, bu durum çok az miktarda enerji gerektirmektedir. Normal bir kapasitörde, bu durum ihmal edilir, ancak nano-scale bir kapasitörde bu çok çok önemlidir.

Bu durumda, kişi, cihazın durumuna ek olarak, kimyasal potansiyelin termodinamik tanımlamasında da isabetli olmalıdır. Yani, cihaz elektriksel olarak izole midir? Yoksa cihaz bir elektrota bağlı mıdır?

 Cismin ile elektrot arasında elektron ve enerji alışverişi mümkün olduğu zaman, bu durum ‘grand canonical ensemble’ tarafından tanımlanır. Kimyasal potansiyelin yani µ’nün değerinin elektrot tarafından sabitlendiği söylenebilir. Buna ek olarak, elektronların sayısında  (N) dalgalanma olabilir. Bu durumda, maddenin kimyasal potansiyeli, sonsuz derecede küçük bir miktar tarafından ortalama elektron sayısını artırmak için gereken sonsuz derecede küçük miktardaki iştir. (herhangi bir zaman içerisinde, elektronların sayısı bir tam sayı olmasına rağmen, ortalama elektron sayısı sürekli olarak değişmektedir.)

Burada F(N,T) grand canonical ensemble’ın serbest enerji fonksiyonudur.

 Eğer madde içerisindeki elektronların sayısı sabitse (ancak madde hala termal olarak bir ısı banyosuna bağlıdır.), madde canonical ensemble içerisindedir. Bu durumda, harfi harfine kimyasal potansiyeli, içerisinde kesin olarak N tane elektron bulunduran bir maddeye elektron eklemek için gereken iş olarak tanımlayabiliriz.

Burada F(N,T), canonical ensemble’ın serbest enerji fonksiyonudur. Ayrıca, maddeden bir elektron koparmak için yapılması gerek iş,

Bu kimyasal potansiyeller, termodinamik limiti içerisinin dışında,  eşdeğer değildir, µ ≠ µ' ≠ µ'', Coulomb ablukasında da görüldüğü gibi, küçük sistemlerde ayrım çok önemlidir. µ parametresi, küçük sistemlerde tam olarak voltmetre gerilimine bağlı kalır. İsabetli olunursa, Fermi seviyesi, bir elektron yükünün, deterministik şarj olayı tarafından tanımlanmaktan ziyade, bir elektronun sonsuz derecede küçük bir franksiyonu tarafından istatistiksel bir şarj olayı olarak tanımlanır.

Kaynakça

Yoğun madde fiziği
Kuantum mekaniği
Fermi-Dirac istatistikleri