Birebir örten fonksiyon

Birebir örten fonksiyon, matematikte hem birebir hem örten fonksiyon özelliklerini aynı anda gösteren fonksiyonlardır. İki küme arasındaki fonksiyonda 1.kümeden her bir eleman ikinci kümedeki elemanla eşleşir ve her iki kümeden açıkta eleman kalmaz. Örten fonksiyon görüntü kümesinde boşta eleman kalmayacak şekilde eşleşmenin gerçekleştiği, birebir fonksiyon ise her bir elemanın diğer kümenin bir elmanıyla eşleştiği fonksiyondur. Birebir örten fonksiyonlar ise bu iki fonksiyonun özelliklerine aynı anda sahip olan fonksiyonlardır.

Birebir örten fonksiyonlar terslenebilir özelliktedir ve bu tip fonksiyonlara permütasyon ismi verilir.

Tanım
"X" ve "Y" (burada  Y  nin  X  den farklı olmasına gerek yoktur) arasında bir eşleşme için bir dört nokta olmalıdır:
  X  kümesinin her bir elemanı en az bir  Y  elemanı ile eşleştirilmelidir,
  X  kümesinin elemanları birden fazla  Y  elemanı ile eşleştirilemez,
  Y  kümesinin her bir elemanı en az bir  X  elemanı ile eşleştirilmelidir; ve
  Y  kümesinin hiçbir elemanı birden fazla  X  elemanı ile eşleşmemelidir.

Örnekler

Spor müsabakalarında başlangıç
Bir futbol takımını ele alalım. Başlangıçta çeşitli pozisyonlarda  11 oyuncu sahaya çıkacaktır. Antrenör liste üzerinden yerleşimini yapar. Buna göre;
 Her sporcu 11 kişilik listede yer almıştır.
 Listedeki pozisyonların (kaleci, stoper, forvet) tamamı doludur.
 Hiçbir sporcu iki ayrı pozisyona yazılmamıştır.
 Hiçbir pozisyonda birden fazla sporcu bulunmamıştır.

Sınıftaki öğrenciler
Bir sınıfta belli sayıda sandalye vardır. Bir grup öğrenci odaya girer ve öğretmen hepsine oturmasını söyler. Odaya hızlı bir şekilde baktıktan sonra, öğretmen, öğrenci grubu ile koltuk kümesi arasında sayıca eşitlik bulunduğunu ve burada her bir öğrencinin oturduğu koltuk ile eşleştirildiğini bildirir. Sonuç;
Her öğrenci bir sandalyeye oturmuştur. (Ayakta kalan yoktur)
Hiçbir öğrenci birden fazla sandalye işgal etmemektedir.
Tüm sandalyeler dolmuştur (boş sandalye kalmamıştır)
Hiçbir sandalyeye birden fazla öğrenci oturmamıştır.

Tersinme
Birebir örten fonksiyonların ters fonksiyonu vardır ve buna tersinme özelliği denir.

Özellikleri

 f fonksiyonu; R → R, birebir ve örten ise koordinat sisteminin yatay ve düşey eksenlerini yalnızca birer defa keser.
 Birebir örten fonksiyonlar için aşağıdaki eşitlikler geçerlidir.
 |f(A)| = |A| ve |f−1(B)| = |B|.
 X ve Y sonlu kümeler olsun. f: X → Y için ;
 1. f fonksiyonu birebir ve örtendir.
 2. f fonksiyonu birebirdir.
 3. f fonksiyonu örtendir.

Birebir örtenlik ve kısmi fonksiyonlar
 
Kısmi fonksiyonlar için birebir olmaları yeterli olmasından ötürü, her birebir örten fonksiyon aynı zamanda kısmi fonksiyondur. Bir tabandaki tüm kısmi birebir örten kümesine simetrik ters grup denir.
Kısmi fonksiyonlar aynı tabandaki kümelerde olduğunda genellikle birebir kısmi dönüşümler (transformasyonlar) olarak adlandırılır. Bu tanıma bir örnek olarak, genişletilmiş karmaşık düzlemin tamamlanması yerine basitçe karmaşık düzlem üzerinde tanımlanan Möbius dönüşümü gösterilebilir.

Ayrıca bakınız
Birebir fonksiyon
Örten fonksiyon
Birim fonksiyon
Bileşke fonksiyon
Sabit fonksiyon
Ters fonksiyon

Dış bağlantılar 
 Matematik terimleri ve eskiden kullanımları (İngilizce).
Birebir ve örten fonksiyon

Kaynakça

Matematiksel fonksiyonlar
Küme teorisinde genel kuramlar