Çarpım fonksiyonu

Çarpım fonksiyonu, sayılar teorisinde bir f(n) aritmetik fonksiyonudur. Bu fonksiyon, tanım kümesindeki her x ve y çifti için çarpma işlemini koruyan fonksiyondur.

Bazı örnekler

 1(n): sabit fonksiyon, 1(n) tanımlı = 1 (tam çarpım)
 Id(n): birim fonksiyon, Id(n) = n tanımlı (tam çarpım)
 Idk(n): kompleks sayı k için Idk(n) = nk tanımlı (tam çarpım). Özel örnekler;
 Id0(n) = 1(n) ve
 Id1(n) = Id(n).
 ε(n): ε(n) = 1 tanımlı. (tam çarpım). Bazen u(n) olarak yazılır, fakat μ ile karıştırılmamalıdır.
 gcd(n,k): n ve k nın ortak böleni.
 (n): Totient fonksiyon.
 μ(n): Mobius fonksiyon.
 σ0(n) = d(n), n pozitif bölen
 σ1(n) = σ(n) n pozitif bölen
 a(n): isomorfik olmayan n için
 λ(n): liouville fonksiyon, λ(n) = (−1)Ω(n) (tam çarpım).
 γ(n): = (−1)ω(n) tanımlı.
 τ(n): ramanujan tau fonksiyonu.

Özellikler
Bir çarpma foksiyonu, aritmetiğin temel teoreminin bir sonucu olarak asal sayıların değerine göre tanımlanır. Çarpma fonksiyonlarının bu özelliği hesaplamalarda büyük kolaylık sağlar. Aşağıda n = 144 = 24 · 32 için örnekler yer almaktadır;
 d(144) = σ0(144) = σ0(24)σ0(32) = (10 + 20 + 40 + 80 + 160)(10 + 30 + 90) = 5 · 3 = 15,
 σ(144) = σ1(144) = σ1(24)σ1(32) = (11 + 21 + 41 + 81 + 161)(11 + 31 + 91) = 31 · 13 = 403,
 σ*(144) = σ*(24)σ*(32) = (11 + 161)(11 + 91) = 17 · 10 = 170.

Benzer olarak;

(144)=(24)(32) = 8 · 6 = 48

Bazı konvolüsyonlar

 μ * 1 = ε
 (μ  Idk) * Idk = ε
  * 1 = Id
 d = 1 * 1
 σ = Id * 1 =  * d
 σk = Idk * 1 
 Id =  * 1 = σ * μ
 Idk = σk * μ

Dirichlet serisinde bazı çarpma fonksiyonları

Ayrıca bakınız
 Bell serisi

Kaynakça

Konuyla ilgili yayınlar 
 Martinez, Fabio B., et al; Projeto Euclides: Teoria dos Números - um passeio com primos e outros números familiares pelo mundo inteiro, Rio de Janeiro: IMPA, 2010
 Santos, José P. de O.; Coleção Matemática Universitária: Introdução à Teoria dos Números, Rio de Janeiro: IMPA, 2006
 Tom Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9
 Daboussi, H., & Delange, H. (1982). On multiplicative arithmetical functions whose modulus does not exceed one. Journal of the London Mathematical Society, 2(2), 245-264.

Dış bağlantılar
 Multiplicative function - Planetmath.org  (İngilizce)
 Mathworld.wolfram.com - Multiplicative function (İngilizce)

 
Aritmetik işlevler
Çarpma
Matematiksel fonksiyonlar