Elektromanyetizmanın eşdeğişim formülasyonu

Klasik manyetizmanın eşdeğişimli formülasyonu klasik elektromanyetizma kanunlarının(özellikle de, Maxwell denklemlerini ve Lorentz kuvvetinin) Lorentz  dönüşümlerine göre açıkça varyanslarının olmadığı, rektilineer eylemsiz koordinat sistemleri kullanılarak özel görelilik disiplini çerçevesinde yazılma sekillerini ima eder. Bu ifadeler hem klasik elektromanyetizma kanunlarının herhangi bir   eylemsiz koordinat sisteminde aynı formu aldıklarını kanıtlamakta kolaylık sağlar  hem de alanların ve kuvvetlerin bir referans sisteminden başka bir referans sistemine uyarlanması için bir yol sağlar.   Bununla birlikte, bu Maxwell denklemlerinin uzay ve zamanda bükülmesi ya da rektilineer olmayan koordinat sistemleri kadar genel değildir.

Bu makalede tensörlerin uzaysal birleşenleri için (vektörler de dahil) SI birimleri kullanılmıştır, tensörlerin klasik kullanımı  ve geleneksel Einstein toplamı ve Minkowski metriği  (+1, −1, −1, −1) şeklindedir. Denklemlerin vakum koşullarına göre özelleştirildiği yerde, onlara Maxwell denklemlerinin toplam yük ve akım cinsinden formülasyonu olarak bakılabilir.

Eşdeğişimli cisimler

Hazırlık 4-vektör

Arka plan bilgi maksadıyla, elektromanyetizmaya direkt olarak bağlı olmayan, fakat bu makalenin anlaşılması için yararlı olacak dört boyutlu vektörden üçünü sunuyoruz:
Metre cinsinden, "pozisyon" yahut "koordinat" dört boyutlu vektörü

Metre·saniye−1 cinsinden, hız dört boyutlu vektörü (başka bir deyişle dört boyutlu hız vektörü) 

γ(u) 'nin Lorentz çarpanı olduğu yerde üç boyutlu hız vektörü u 'dur.
kilogram·metre·saniye−1 cinsinden, bir parçacığın dört boyutlu momentum vektörü (başka bir deyişle momentum dört boyutlu vektörü)

 p  üç boyutlu momentum olduğu yerde, E kinetik enerjidir, vem parçacığın durgun kütlesidir.
metre−1 cinsinden the dört boyutlu eğim

Metre cinsinden−2 d'Alembertian operatörü:  şeklinde gösterilir.

Sıralanan tensör analizlerindeki işaretler  tensörler için geleneksel bir kullanımdır. Buradaki geleneksel kullanım Minkowski  tensörüne tekabül eden +--- kullanımıdır:

Elektromanyetik tensör

Elektro manyetik tensör manyetik ve elektrik alanların bir eşdeğişimli antisimetrikmetrik tensörün içindeki kombinasyonudur. volt·saniye·metre−2 cinsinden, alan kuvvet tensörü alanlar cinsinden şu şekilde yazılır:

ve dizinlerinin yükseltilmesinin sonucu
 'dur.

E 'nin enerjiyi gösterdiği yerde elektrik alan, B 'dir ve c ışık hızıdır.

dört boyutlu Akım Vektörü

dört boyutlu akım vektörü elektrik akım yoğunluğu J ile elektrik yük yoğunluğunu ρ birleştiren kontravaryant dört boyutlu vektörüdür. amper·metre−2 cinsinden,

şeklinde gösterilir.

dört boyutlu Potansiyel

volt·saniye·metre−1 cinsinden, elektromanyetik dört boyutlu potansiyel bir eşdeğişimli dört boyutlu vektördür ve elektriksel potansiyeli (başka bir deyişle skaler potansiyel) φ ve manyetik vektör potansiyeli (başka bir deyişle vektör potansiyeli) A içerir ve şu şekilde formüle edilir:

Elektromanyetik alanla elektromanyetik ilişki arasındaki ilişki bu denklemle gösterilir:

Elektromanyetik gerilim–enerji tensöru

The elektromanyetik gerilim–enerji tensörü dört boyutlu mometum vektörünün akısı (yoğunluğu) olarak düşünülebilir ve elektromanyetik alanların toplam gerilim–enerji tensörüne katkısı olan bir kontravaryant si tensördür. joule·metre−3 cinsinden şu şekilde gösterilir

 ε0 vakumlu ortamın elektrik geçirgenliği olduğu yerde, μ0 da vakumlu ortamın manyetik geçirgenliğidir, Poynting vectorü watt·metre−2  cinsinden

 'dir.

ve Maxwell gerilim tensörü in joule·metre−3  cinsinden şu şekilde gösterilir

The elektromanyetik alan tensörü F elektromanyetik gerilim–enerji tensörünü T aşağıdaki formülle oluşturur:

η'nin Minkowski metrik tensörü olduğunu düşünürsek. Fark edilmesi gereken önemli bir nokta ise burada Maxwell denklemleri tarafından tahmin edilen

ilişkisini kullandığımızdır.

Vakum koşullarında Maxwell denklemleri 

Vkum koşullarında (yahut mikroskopik denklemler için, makroskopik materyal tanımlarını içermeyen) Maxwell denklemleri iki tensör denklemi olarak yazılabilir.

İki homojen olmayan Maxwell denklemi,Gauss yasası ve Amper yasası (Maxwell denklemlerinin düzeltmeleriyle) (+--- metriği ile) birleştiler :

homojen denklemler – Faraday'ın indüksiyon yasası ve Gauss'un manyetizma yasaları şunları oluşturmak için birleşirken:

Fαβ  'nin elektromanyetik tensör olduğu yerde, Jα dört boyutlu akımdır, εαβγδ Levi-Civita sembolüdür ve indeksler geleneksel Einstein toplamına göre davranır.

İlk tensör denklemi β'nin her değeri için bir tane olmak üzere dört skaler denkleme karsılık gelir. İkinci tensör denklemi aslında 43 = 64  farklı skaler denkleme karşılık gelir, fakat yalnızca dördü birbirinden bağımsızdır.  elektromanyetik alanın antisimetrikmetrisini kullanarak hem bir tanımlamayı indirgenebilir (0 = 0) hem de λ, μ, ν = bunlardan herhangi biri 1,2,3 or 2,3,0 or 3,0,1 or 0,1,2 haricindeki tüm gereksiz denklemleri eleyebiliriz.

Kısmi türev için antisimetrikmetrik tensör notasyonunu ve virgül notasyonunu kullanarak f (Ricci kalkülüsüne bakın), daha uygun ikinci bir denklem şu şekilde yazılabilir:

Kaynakların yetersizliğinde, Maxwell denklemleri suna indirgenir:

ve bu da alan kuvvet tensöründe yer alan elektromanyetik dalga denklemidir.

Lorenz ölçüsünde Maxwell denklemleri

Lorenz ölçü koşulları Lorentz varyanssız ölçü koşullarıdır. (Bu diğer ölçü koşullarıyla karşılaştırılabilir Coulomb ölçü koşulları gibi; eğer bir eylemsiz referans sisteminde tutarsa genel olarak diğer eylemsiz referans sistemlerinde de tutar.)dört boyutlu potansiyel çinsinden aşağıdaki gibi gösterilir:

 Lorenz ölçülerinde, mikroskopik Maxwell denklemleri şu şekilde gösterilir:

Lorentz kuvveti

Yüklü parçacık
qyüklü hareket eden ve anlık hızı v olan bir parçacık üstündeki . The electric alan E  ve manyetik  alan B uzay ve zamanda değişir.

Lorentz kuvvetine göre elektromanyetik (EM) alan elektrik yüklü maddelerin hareketini etkiler.bu yolla, elektromanyetik alanlar tespit edilebilir (parçacık fiziğindeki uygulamalar ile ve doğal oluşumları ile Auroralarda olduğu gibi). Rölativistik formda, newton cinsinden Lorentz kuvvet  alan kuvvet tensörünü şu şekilde kullanır.

Koordinat zamanı cinsinden ifade edilmiş t 'nin saniye cinsinden ölçüldüğü gösterim:

 pα 'nin yukarıda görüldüğü gibi dört boyutlu momentum olduğu koşulda, q coulomb cinsinden elktrik yüküdür, vexβ metre cinsinden pozisyonu ifade eder.

Hareketli referans sisteminde, bu alanlar dört kuvvet olarak adlandırılır

 Yukarıda görüldüğü gibi uβ 'nun dört boyutlu hız olduğu yerde ve τ 'nin parçacığın koordinat zamanıyla dt = γdτ bağıntısıyla bağlandığı zamanıdır.

Yükün devamlılığı

Sürekli bir ortamda, üç boyutlu kuvvet yoğunluğu eşdeğişimli dört boyutlu vektörü oluşturmak için güç yoğunluğuyla  birleşir, fμ. Uzaysal kısım küçük hücreler (üç boyutlu uzayda) üstündeki kuvvetin hücrenin hacmiyle bölünmesinin sonucudur. Zaman bileşeni 1/c çarpı hücreye transfer edilen güçün hücrenin hacmine bölümüdür. Lorentz kuvvetinin yoğunluğu elektromanyetizmadan kaynaklanan kuvvet yoğunluğunun bir parçasıdır. Uzaysal bölümü şöyledir
.

Açıkça eşdeğişimli notasyonu şu şekle gelir:

Lorent kuvveti ve elektromanyetik enerji-gerilim tensörü arasındaki ilişki şöyledir

Korunum yasaları

Elektrik yükü

Devamlılık denklemi:

toplam yükün korunumunu açıklar.

elektromanyetik enerji–momentum

Maxwell denklemlerini kullanarak,  sıradaki elektromanyetik tensörü ve dört boyutlu akım vektörünü ilişkilendiren diferansiyel denklemi sağlayan gerilim–enerji tensörlerini görebilir (yukarıda tanımlandığı gibi)

yahut

Bu da lineer momentumun ve enerjini elektromanyetik etkileşimlerde korunduğunu ifade eder.

Madde içimdeki eşdeğişimli objeler

Serbest ve bağlı dörtlü akımları

Burada verilen elektromanyetizma denklemlerini çözmek için, elektrik akımının nasıl hesaplandığıyla ilgili ek bilgiye ihtiyaç vardır, Jν Çoğunlukla, akımı farklı denklemlerle modellenen iki parçaya ayırmak gelenekselleşmiştir, serbest akım ve bağlı akım;

olduğu zaman

Maxwell's makroskopik denklemleri kullanılmıştır, ek olarak elektriksel yerdeğiştirmenin D (coloumb·metre−1 cinsinden) tanımları the definitions of the electric displacement   ve manyetik şiddet H (amper·metre−1 cinsinden):

M manyetizasyon (ampere·metre−2 cinsinden) veP electriksel polarizasyon (coulomb·metre−2 cinsinden) olduğu .

Manyetizasyon-polarizasyon tensörü

Bağılı akım antikontravaryant manyetizasyon-polarizasyon tensörü (amper·metre2) oluşturan P veM alanlarından türetilmiştir 

ve bağlı akım su sekilde belirlenir

Elektriksel yerdeğiştirme tensörü

Eğer elektriksel yerdeğiştirme tensörü Fμν birleşirse D veH alanlarını aşağıda olduğu gibi birleştiren antisimetrikmetrik kontravaryant  elektromanyetik yerdeğiştirme tensörü elde edilir (amper·metre−1 cinsinden) :

Üç alan tensörü şu şekilde ilişkilendirilmiştir:

Bu da D veH alanlarının yukarıda verilen tanımlarına denktir.

Madde içinde Maxwell denklemleri

Sonuç Amper yasası, 
,
ve Gauss's yasası, 
,

bir denklemde birleştirirsek:

The bound current vefree current as defined above are automatically veseparately conserved

Geleneksel Denklemler

Vakum

Vakumlu bir ortamda alan ve yerdeğiştirme tensörleri arasındaki geleneksel ilişki şöyledir:

Antisimetri 16 denklemi sadece 6 bağımsız denkleme indirger. Çünkü Fμν ifadesini 
 ile ifade etmek gelenekseldir.

Vakum koşullarında geleneksel denklemler Gauss-Ampère yasasıyla birleştirildiğinde şu sonuç açığa çıkar:

Elektromanyetik gerilim–enerji tensörü yerdeğiştirme cinsinden:

δαπ Kronecker delta olduğu yerde. Üst indeks η ile düşürüldüğü zaman, simetrik olur ve yerçekimi alanı kaynağının bir parçası olur.

Madde

Böylece akımı modelleme işini ikiye indirdik, Jν  daha kolay modeller — serbest akımı modellemek, Jνfree ve manyetizasyonla polarizasyonu, . Örnek olarak, düşük frekanslı en basit malzemelerden anlık hareketli referans sisteminde yer alan bir tanesi  buna sahip;

 σ onun elektrik iletkenliği, χe onun elektrik hassalığı ve χm onun manyetik hassaslığıdır.

  ve F tensörleri arasındaki geleneksel ilişki, Hermann Minkowski tarafından lineer malzemeler için ortaya konmuştur  (yani, E ile D doğru orantılı veB de H ile doğru orantılı),:

u 'nun maddenin dört boyutlu hızı olduğu yerde, ε ve μ maddenin geçirgenliğidir
 (i.e. in rest frame of material),  vedenotes the Hodge dual.

Klasik elektrodinamik için Lagrangian

Vakum
Klasik elektrodinamik için Lagrangia (Lagrangian yoğunluğu)  (joule·metre−3 cinsinden) şöyledir;

Etkileşim cinsinden, dört boyutlu akım diğer yüklü alanların elektrik akımlarını kendi değişkenleri cinsinden ifade eden pek çok terimin kısaltılması olarak anlasılmalıdır, dört boyutlu akımın kendisi temel bir alan değildir.

Elektromanyetik Lagrangian yoğunluğu için Euler–Lagrange denklemi  ilerleyen basamaklarda olduğu gibi gösterilebilir:

Not 
,
kare parantezlerin içindeki ifade 

İkinci terim

Bununla birlikte, hareketin elektromanyetik alan denklemi budur;

Görüldüğü üzere bu da yukarıdaki Maxwell denklemlerinden bir tanesidir.

Madde

Serbest akımları bağlı akımlardan ayırmak, başka bir deyişle Lagrangian yoğunluğunu yazmanın bir başka yolu aşağıdaki gibidir:

Euler–Lagrange denklemini kullanarak, hareket denklemleri için  ifadesi türetilebilir.

Rölativistik olmayan vektör notasyonunda denk ifade

Aynı zamanda bunlara da bakmanız yararlı olacaktır (Kaynaklar İngilizcedir)

 Relativistic electromagnetism
 elektromanyetik wave equation
 Liénard–Wiechert potential for a charge in arbitrary motion
 Nonhomogeneous elektromanyetik wave equation
 Moving magnet veconductor problem
 elektromanyetik tensör
 Proca action
 Stueckelberg action
 Quantum electrodynamics
 Wheeler–Feynman absorber theory

Kaynakça

Konuyla ilgili yayınlar 

Elektromanyetizma
Özel görelilik