Elektriksel özdirenç ve iletkenlik

Elektriksel öz direnç (Omaj ya da direnç, belirli bir elektrik direnci ya da hacim rezistivitesi olarak da bilinir), belirli bir malzemenin elektrik akımının akışına karşı nicelleştiren bir özelliktir. Düşük bir direnç kolaylıkla elektrik akımının akışını sağlayan bir malzeme anlamına gelir. Karşıt değeri, elektrik akımının geçiş kolaylığını ölçen elektriksel iletkenliktir. Elektriksel direnç, mekanik sürtünme ile kavramsal paralelliklere sahiptir. Elektriksel direncin SI birimi ohm (), elektriksel iletkenliğin birimi ise siemens (birim) (S)'dir.

Bir objenin  direnci, voltaj 'nin akım 'ya oranıyken elektriksel akım  bunun karşıtıdır:

Tek olarak enine kesitli dirençler veya kondüktörler
Birçok direnç ve iletkenler elektrik akımı eşit bir akışı ile muntazam bir kesite sahiptir ve bir malzemeden imal edilmişlerdir. (Sağ şemasya bakın.) Bu durumda, elektrik özdirenç ρ(Yunanca:rhodur) şeklinde tanımlanır.R malzemenin elektrik direncini (ohm cinsinden ölçülen, Ω). malzeme parçasının uzunluğunu (metre ile ölçülen, m) ve A bir numunenin enine kesit alanını ifade eder.
Direncin bu şekilde tanımlanan nedeninin aksine, direnç içsel özelliği yapan şeydir. Tüm bakır teller, şekil ve boyuta bakılmaksızın yaklaşık aynı dirence sahiptir, ancak uzun, ince bakır tel kısa kalın bakır tele göre çok daha büyük bir dirence sahiptir. 
Her malzeme, kendine özgü bir dirence sahiptir - örneğin, kauçuğun direnci bakıra göre uzak ara en büyüktür.
Hidrolik analojide, bir yüksek direnç malzemesinden kum dolu bir boru aracılığıyla elektrik geçirilmesi, düşük direnç malzemesinden suyun itişiyle boş boru vasıtasıyla elektrik geçirilmesi gibidir. Borular aynı boyut ve şekildeyse, kum dolu boru yüksek akış direncine sahiptir. Ancak direnç, sadece kumun varlığı ya da yokluğu ile belirlenmez. 
Aynı zamanda, borunun uzunluğu ve genişliğine bağlıdır: Kısa ya da geniş borular, dar veya uzun borulardan daha düşük bir dirence sahiptir.
Yukarıdaki denklem Pouillet'nin Kanunu olarak (Claude Pouillet den sonra adını alarak) belirtilebilir :
Belirli bir malzemenin direnci uzunluğu ile artar, fakat kesit alanı arttıkça azalır. Yukarıdaki denklemlerden, direnç ohm⋅metre SI birimleri vardır. Ohm⋅cm veya ohm⋅inch gibi diğer birimler de bazen kullanılır.
Formül  sezgisel bir direnç değerini anlamak için de kullanılabilir. Örneğin, and   daha sonra direnç olarak bu elementin (zıt yüzleri mükemmel iletken olan kontaktlar ile bir küp oluşturarak) ohm ve ohm-metre arasında yapıldığı malzemenin direnci sayısal olarak eşittir.Eğer 1 cm×1 cm×1 cm lik karşıt yüzlerine temas ederse, aynı şekilde, 1 ohm⋅cm malzeme 1 ohm'luk bir dirence sahip olacaktır.
İletkenlik σ (Yunanca: sigma) direncin tersi olarak tanımlanır:
  
İletkenliğinsiemensin birimi metre başına SI göre S/m dir.

Genel Tanımlama
Yukarıdaki tanım spesifik olarak, enine kesit ile içlerinden muntazam olarak akım geçen dirençler veya iletkenlerdir. Daha temel ve genel tanım ise bir malzemenin içinde bir elektrik alanı, elektrik akımı yapar şeklindedir. Elektrik direnci ρ oluşturduğu akım yoğunluğuna elektrik alanının oranı olarak tanımlanır:.Buradaki;
ρ (ohm⋅metres ölçülen Ω⋅m) iletken malzemenin direncini, 
E elektrik alanının büyüklüğünü (metre başına volt olarak V⋅m−1),
J akım yoğunluğunun büyüklüğünü (metre kare başına amper olarak A⋅m-2) ifade eder ve E ve J iletken içindedir.İletkenlik tersi:
 şeklindedir.
  
Örneğin, kauçuk silgi, büyük ρ ve küçük q olan bir malzemedir. Çünkü lastiğin içindeki çok büyük bir elektrik alanı bile neredeyse hiç akım yapmaz. Öte yandan, bakır, küçük ρ ve büyük q olan bir malzemedir çünkü küçük bir elektrik alanının içinden bile bir sürü akım çeker.

İletkenlik nedenleri

Basitleştirilmiş Bant Teorisi
Kuantum mekaniği atomdaki elektronların herhangi bir keyfi bir enerji değeri alamaz şeklinde belirtmektedir. Bunun yerine, elektron sabit enerji düzeylerini işgal etmesi gerekir ve bu seviyeler arasındaki değerler imkânsızdır. 
Böyle izin verilen çok sayıda enerji düzeyleri; (enerji alanı olarak) birbirine yakın aralıklı, biz birlikte bu benzer enerji düzeyleri hakkında “enerji bandı” olarak konuşabiliriz. Atom sayısına bağlı olarak, bir malzemede pek çok enerji bantları olabilir {elektron sayısı (atom nötr ise)} ve (enerji bantlarındaki çevresel değişiklik gibi dış faktörlerin yanı sıra).
Malzemenin elektronları düşük enerji durumlarında malzemede toplam enerjiyi giderek minimize etmeye çalışır; Ancak, Pauli ilkesi hepsinin düşük durumda gitmek istediği anlamına gelir. Elektronlar bant yapısını alttan başlayarak doldururlar. Elektronların dolduğu karakteristik enerji seviyesine Fermi seviyesi denir. Bant yapısına göre Fermi düzeyinin pozisyonu elektrik iletimi için çok önemlidir. 
Fermi seviyesine yakın enerji seviyelerinde sadece serbest dolaşan elektronlar kolayca kısmen bu bölgedeki durumlar arasında atlayabilir. Buna karşılık, düşük bir enerji durumları katı bir şekilde sürekli sabit elektron sayısı kadar doldurulur ve yüksek enerji durumları sürekli elektronlardan boştur.
Metallerde Fermi seviyesine yakın birçok enerji düzeyleri vardır bu da taşımak için pek çok elektron demektir. Bu da metallerdeki yüksek elektronik iletkenliğine neden olandır. 
Band teorisinin önemli kısmı, enerji aralıklarında yasak bölümlerin olmasıdır. Yalıtkanlar ve yarı iletkenler olarak, elektron sayılarının  düşük enerji bantlarında belirli tam sayı doldurmak için sadece doğru miktarda olması umulur. 
Bu durumda, Fermi seviyesi bant aralığı içine düşmektedir. Orada Fermi seviyesine yakın hiç uygun durum yoktur ve elektronlar serbestçe hareket halinde olmadığından, elektronik iletkenliği çok düşüktür.

Metallerde
Bir metal, atomların kafes şeklini içerir;her biri kafes boyunca seyahat eden ve kendi ebeveyn atomlarından serbetçe ayrılan  elektronların dış kabuğundan oluşur. Bu, aynı zamanda positif iyonik kafes olarak bilinmektedir. Bu ayrışabilir elektron 'deniz'i metalin elektrik akımını iletmesini sağlar. 
Bir elektrik potansiyeli farkı (voltaj) metal boyunca tatbik edildiği zaman, elde edilen elektrik alanı pozitif terminaline doğru sürüklenmesine elektronlar neden olur. Elektronların gerçek sürüklenme hızı çok küçüktür; büyüklük sırasına göre saatte bir metre. Ancak elektronlar malzemeye yoğun bir şekilde paketlenir. 
Ancak, elektromanyetik alan ışık hızında metal yoluyla yayılır. Mekanizma Newton beşiğinde olduğu gibi topları momentum transferine benzer.
Oda sıcaklıklarında yakınlarında, metallerin direnci var. Bu direncin başlıca nedeni kristal kafesi oluşturan atomlar ile elektron çarpışmasıdır. Bu elektronların dağılım ve çarpışmaları kafes yoluyla olmasından ayrı olarak doğrusal hareketine kendi enerjisini kaybetmek şeklinde ortaya çıkar. 
Ayrıca yabancı maddelerle metallerin direncine katkıda bulunarak, kafes içinde kusurlara yol açmaktadır.
İletkenin kesit alanı daha büyük, birim uzunluk başına daha fazla elektron akımı taşımak için kullanılabilir. Bunun bir sonucu olarak, direnç, daha büyük enine kesitli iletkenler de daha düşüktür. 
Bir malzemenin içinden geçen bir elektron karşılaştığı saçılma olay sayısı iletkenin uzunluğu ile orantılıdır. İletkenin uzunluğu, bu nedenle, direncin yükselmesi anlamına gelir. Farklı malzemeler de direnci etkiler.

Yarı iletkenler ve yalıtkanlarda
Metallerde, Fermi seviyesi iletkenlik bandında yatar ve serbest iletim elektronları verir. (Bant Teorisi, yukarıya bakınız). Ancak, yarı iletkenlerde Fermi seviyesinin konumu içsel (katkısız) yarı iletkenler için iletim bandında minimum ve maksimum valans bant arasında yaklaşık yarım bant boşluğu içindedir. 
Bu 0 Kelvin de demektir ki, hiçbir serbest iletim elektronu var demektir ve direnç sonsuzdur. Ancak, iletken band arttıkça, direnç yük taşıyıcı yoğunluğu gibi azalmaya devam etmektedir. Dış (katkılı) yarı iletkenler olarak, takviye atomları iletim bandı elektronları valans delikler kabul ederek çoğunlukla yük taşıyıcı konsantrasyonu artırır. Her iki alıcı ve verici atomlar için, takviye yoğunluğunun artması direnci azaltır. 
Bu nedenle, yüksek derecede katkılı yarıiletkenler metalik davranırlar. Çok yüksek sıcaklıklarda, termal oluşturulan taşıyıcıların katkısı takviyenin atomu katkısı üzerine hakim olmakta ve direnç sıcaklık ile katlanarak azalmaktadır.

Iyonik sıvılar / elektrolitlerde
Elektrolitlerde, elektriksel iletkenlik, elektronlar veya deliklerden değil, ancak bir elektrik yükü taşıyan  tam atomik (iyonlar) türlerin dolaşımından olur. İyonik sıvıların direnci, Distilli su yalıtkan, tuzlu su etkili bir elektriksel iletken iken sıvıların özdirenç konsantrasyonu ile değişir. 
Biyolojik zarlar olarak, akımlar iyonik tuzlar tarafından taşınır. Iyon kanalları olarak adlandırılan membranlardaki küçük delikler, özel bir iyon için seçici olarak membran direnci belirler.

Süper İletkenlik
Sıcaklık düşürülürken, metalik iletkenin elektriksel direnci azalır. Bakır ya da gümüş gibi sıradan iletkenler, bu azalma diğer kusurlar ile sınırlıdır. Hatta mutlak sıfıra yakın, normal iletkenin gerçek bir numunesi direnç gösterir. Bir süper iletken, malzemenin kritik sıcaklığının altına soğutulduğunda, direnç aniden sıfıra düşer. Süper iletken bir döngü içinde akan bir elektrik akımı, güç kaynağı olmadan süresiz devam edebilir. 
1986 yılında, araştırmacılar bazı kuprat-Perovskite seramik malzemelerin 90 K üzerinde kritik bir sıcaklığa sahip olduğunu keşfetti (-183 °C). Bu tip yüksek geçiş sıcaklıkları teorik olarak konvansiyonel super iletkenler için imkânsız olduğundan, araştırmacılar bu iletkenleri yüksek dereceli süper iletken olarak adlandırdılar. Sıvı nitrojen 77 K da kaynar, düşük sıcaklıklarda yapılan birçok deney ve uygulamalar daha az pratiktir. Konvansiyonel süper iletkenler de, elektronlar kafes fononlar aracılığı ile çiftler halinde bir arada tutulur. Yüksek sıcaklık süper iletkenliğinin en uygun modeli hala biraz kabadır. Yüksek sıcaklık süper iletkenler elektron eşleştirme paramagnonları olarak bilinen kısa menzilli spin dalgalarının aracılığı ile ilgili bir hipotez vardır.

Plazma
Plazmalar çok iyi elektrik iletkenleridir ve elektrik potansiyelleri önemli bir rol oynamaktadır. O yüklü parçacıklar arasındaki ortalama boşlukta, bu nasıl ölçülebilir sorusundan bağımsız, plazma potansiyeli ya da uzay potansiyeli denir. Bir elektrot plazma içine takılırsa, genellikle potansiyeli plazma potansiyelinin altında yatar, buna bağlı olarak Debye kılıf olarak tanımlanır. Plazmaların iyi elektrik iletkenliği onların elektrik alanlarını çok küçük hale getirir. Bu negatif yüklerin yoğunluğu plazmanın (ne = <Z> ni) büyük miktarların üzerinde pozitif yüklerin yoğunluğuna yaklaşık olarak eşit olduğunu ama Debye uzunluğu ölçeğinde orada dengesiz bir sarj olabilir. Bu özel durumda çift tabakalar oluşturulmaktadır, yük ayırma, bazı Debye uzunluklarını uzayabilir.
Potansiyelleri ve elektrik alanların büyüklüğünü sadece net yük yoğunluğuyla bulmaktan ayrı daha başka yollarla tespit edilmelidir. Genel bir örnek, elektronların Boltzmann kuramını tatmin etmesidir.
 
Bu ilişkiyi farklılaştırarak, elektrik alanını yoğunluktan hesaplamak için bir araç sağlar:
 
Kuasinötral olmayan bir plazma üretmek mümkündür. Örneğin, bir elektron ışığında, sadece negatif yük vardır. Nötr plazma olmayan yoğunluğu genellikle çok düşük veya çok küçük olması gerekir. Aksi takdirde, itici elektrostatik kuvvet onu dağıtır.
Astrofizik plazmalarda, Debye taraması, elektrik alanlarının Debye uzunluğundan daha büyük mesafelerin üzerinde doğrudan plazmayı etkilemesini engeller. Ancak, yüklü parçacıkların varlığı, plazmanın oluşturmak için manyetik alanlardan etkilenmesine neden olur. 
Bu, plazma çift tabakalarının neslinde kompleks bir davranışa yol açar ki,  plazma çift tabakaların nesli, Debye uzunluklarının şarj ayıran bir nesne olarak ortaya çıkar. Plazmaların dış ve kendi ürettiği manyetik alanlar ile olan etkileşimleri, manyetohidronamik akademik disiplini içinde çalışılır/incelenir.
Plazma genellikle katı, sıvı ve gazlardan sonra maddenin dördüncü hali olarak adlandırılır. Bu ve maddenin diğer düşük enerjili durumlarından farklıdır. Her ne kadar yakından da gaz fazında ilgili olmasına rağmen kesin bir form veya hacme sahip olmaması çeşitli şekillerde farklılaşmasını sağlar.

Çeşitli Malzemelerin Direnç ve İletkenliği
Örneğin, bir iletken olarak metal, yüksek iletkenlik ve düşük bir dirence sahiptir.

Bir yalıtkan olarak cam, düşük iletkenlik ve yüksek bir dirence sahiptir.

Bir yarı iletken iletkenliği, genellikle, ara madde olmakla birlikte, geniş olarak farklı koşullar altında bu yarı-iletken malzemenin sıcaklığı ve bileşimi ile önemli elektrik alanları ya da spesifik ışık frekansları ve daha önemlisi malzemenin ısı ve yarı-iletken malzemenin kompozisyonu ile farklılıklar gösterir.
Çeşitli Malzemelerin Direnç ve İletkenliği
Örneğin, bir iletken olarak metal, yüksek iletkenlik ve düşük bir dirence sahiptir.

Bir yalıtkan olarak cam, düşük iletkenlik ve yüksek bir dirence sahiptir.

Bir yarı iletken iletkenliği, genellikle, ara madde olmakla birlikte, geniş olarak farklı koşullar altında bu yarı-iletken malzemenin sıcaklığı ve bileşimi ile önemli elektrik alanları ya da spesifik ışık frekansları ve daha önemlisi malzemenin ısı ve yarı-iletken malzemenin kompozisyonu ile farklılıklar gösterir.
Yarıiletkenlerde doping derecesi, iletkenlikte büyük bir fark yaratıyor. Bir noktaya kadar, daha çok doping yüksek iletkenliğe neden olur. 
Su çözeltisinin iletkenliği içinde iyonize çözülmüş tuzlar ve diğer polimerik kimyasal türler konsantrasyonu oldukça bağımlıdır. 
Su örneklerinin elektriksel iletkenliği tuzsuz, iyon içermeyen, ya da kirlilik içermeyen numune olarak kullanılır. 
Suyun saflığı, iletkenliğin düşüklüğü, direncin yüksekliliğidir. 
Su içindeki iletkenlik ölçümleri, genellikle 25 °C 'de, saf suyun iletkenliğine göre belirli bir iletkenlik olarak rapor edilir. Bir EC ölçer normal olarak bir çözelti içinde iletkenliği ölçmek için kullanılır.Özeti aşağıdaki şekildedir:

Etkili bir sıcaklık katsayısı malzemenin sıcaklığı ve saflık derecesi ile değişir. Diğer sıcaklıklarda kullanıldığında 20 °C değeri sadece bir tahmindir. Örneğin, bakırın yüksek sıcaklıklarında katsayı düşük hale gelir ve değer 0,00427 genellikle 0 °C 'de belirtilir.
Gümüş son derece düşük direnç (yüksek iletkenlik) gösteren bir metaldir. Aslında George Gamow titiz bir şekilde elektronlarla ilgili olan metallerin doğasını bilim kitabında One,Two,Three…Infinity  (1947) özetlemiştir. 
Atomlar oldukça gevşek bağlanmış ve genellikle elektronlar serbest olarak tanımlanmıştır. Böylece metalin içi, amaçsızca dolaşan birbirine bağlı olmayan çok sayıda elektron ile dolmuştur. 
Bir metal tele karşıt uçlarından bir elekrik kuvveti uygulandığı zaman, serbest elektronlar kuvvetin olduğu yere akın eder ve böylece elektrik akımı dediğimiz şey oluşur. "Daha teknik olarak, serbest elektron modeli, metallerdeki elektron akışının temel açıklamasını verir.

Ahşap son derece iyi bir yalıtkan olarak, ancak direnci; nemli ahşap en az 1010 kez daha kötü yalıtkandır fırınlanmış olanından; içindeki nemlilik içeriğine bağlıdır. 
Herhangi bir durumda, yeterince yüksek bir gerilim -yıldırımlar veya bazı yüksek gerilim hatları gibi- yalıtım arızasına ve hatta görünüşte kuru ağaç gibi elektrik çarpması riskine yol açabilir.

Sıcaklık Bağımlılığı

Doğrusal Yaklaşım
Birçok malzemenin elektrik direnci sıcaklıkla değişir. Sıcaklık T de çok farklılık yoksa, genellikle lineer yaklaşım kullanılır:

  ya direncin sıcaklık katsayısı denir.  sabit bir referans sıcaklığıdır (genellikle oda sıcaklığı) ve  sıcaklığın daki direncidir. Parametre  ölçüm verilerinden uyan bir ampirik bir parametredir. 
Doğrusal yaklaşım sadece bir yaklaşım olduğundan, alpha farklı referans sıcaklıkları için farklıdır. Bu nedenle ilişki sadece referans etrafında bir sıcaklık aralığında olan  sıcaklığını belirlemek için olağandır. 
Sıcaklık çok geniş bir ısı aralığında değiştiği zaman, lineer yaklaşım yetersizdir ve daha detaylı analiz kullanılmalıdır.

Metaller
Genel olarak, metalin elektriksel direnci sıcaklık ile artar. Elektron-fonon etkileşimleri önemli bir rol oynayabilir. 
Yüksek sıcaklıklarda, metalin direnç sıcaklığı doğrusal olarak artar. Bir metalin sıcaklığı azalırken, direnci sıcaklığa bağlılığı, sıcaklığın bir güç kanunu fonksiyonunu takip etmektedir. 
Matematiksel olarak metalin direnç sıcaklık bağımlılığı aşağıdaki Bloch-Grüneisen formülünde verilmiştir.
.
rho(0) kusurlu özdirenci yerindedir. A sabit olup, Fermi yüzeyindeki elektronların hızı, Debye yarıçap ve metal elektron sayısı yoğunluğuna bağlıdır. Theta_R özdirenç ölçümlerinden elde edilen ve özgül ısı ölçümlerinden elde edilen Debye sıcaklığı değerleri ile çok yakından eşleşir.
N etkileşiminin doğası üzerine bağlı olan bir tam sayıdır;
n = 5 direncin fononları tarafından elektronların saçılmasına bağlı olduğu (basit metaller için olduğu gibi) 
n = 3 (geçiş metalleri için olduğu gibi) direncin sd elektron saçılma bağlı olduğu
n = 2 direncin elektron-elektron etkileşimine bağlı olduğu anlamına gelir.
Saçılma birden fazla kaynaktan söz konusuysa MATTHIESSEN Kuralı (ilk 1860'larda Augustus Matthiessen tarafından formüle edilmiştir.) toplam direncin birkaç farklı terimlerin eklenmesi ile yaklaşık olarak uygun n değeri olarak söylenir.
Metalin ısısı yeterince azalması gibi (yani tüm fononların dondurması), direnç genellikle “artık direnç” olarak bilinen sabit bir değere ulaşır. 
Bu değer sadece metal türüne bağlı değildir,  ama onun saflığı ve termal tarihine bağlıdır. Bir metalin artık direnç değeri, karışım konsantrasyonu tarafından belirlenir. 
Bazı malzemeler düşük sıcaklıklarda süper iletkenlik etkisine bağlı olarak bütün elektriksel direnci kaybeder.
Metallerin düşük sıcaklık direnciyle ilgili bir araştırma 1911 de süper iletkenliğin buluşuna öncülük eden Heike Kamerlingh Onnes in deneylerine motivasyon oldu. Ayrıntılar için süper iletkenliğin tarihine bakılabilir.

Yarı-iletkenler
Genel olarak, iç yarı iletken direnci sıcaklık arttıkça azalır. 
Elektronlar serbestçe aktıkları termal enerji ile iletim enerji bandına çarpmıştır ve bunu yaparken de yine serbest bir şekilde akarken arkasında valans bandında delikler bırakır. 
Tipik bir içsel (katkısız) yarı iletken elektrik direnç sıcaklığı ile katlanarak azalır.

Bir yarı iletken direnç sıcaklık bağımlılığıyla ilgili daha iyi bir yaklaşım aşağıdaki Steinhart-Hart denklemi ile verilir:

Burada A, B ve C olarak adlandırılan Steinhart-Hart katsayılarıdır.
Bu denklem termistörleri kalibre etmek için kullanılır.
Dışsal (katkılı) yarı iletkenlerin çok daha karmaşık bir sıcaklık profili vardır. Sıcaklık artışları mutlak sıfırdan başlayarak vericilerin veya alıcıların bırakmasına bağlı olarak onların da direnci hızla azalır. 
Vericilerin veya alıcıların çoğunun taşıyıcıları kaybetmiş olmasından sonra, direnç, taşıcıların hareketliliğindeki azalmaya bağlı olarak (metaldeki gibi) yavaşça yeniden artmaya başlar. 
Daha yüksek sıcaklıklarda, termal olarak üretilen taşıyıcıya göre verici-alıcı ile ilgili taşıyıcılar iç yarı iletken gibi davranır.
Kristal olmayan yarı iletkenler olarak, iletim başka bir yerelleştirilmiş bölgeden şarj edilmiş kuantum tünelleme yoluyla oluşabilir. Bu değişken aralıklı atlama olarak bilinir ve karakteristik biçimi vardır;
,
Burada n = 2, 3, 4, sistemin boyutluluğuna bağlı olarak değişir.

Karmaşık Direnç ve İletkenlik
Böyle elektriksel empedans tomografisi gibi uygulamalarda elektrik alanları (dielektrik spektroskopi), alternatif malzemelerin tepkisini analiz ederken, (analog elektrik empedansa) karmaşık bir miktar olarak belirtilen impeditivity ile mukavemetliliği yerine uygundur. Impeditivity, reaktivite, (benzer reaktans) gerçek bileşen, direnç ve hayali bir bileşen toplamıdır. Impeditivity büyüklüğü, özdirenç ve reaktivite büyüklükleri karelerinin toplamının kare köküdür.
Bu gibi durumlarda iletkenlik karmaşık sayı olarak (ya da anizotropik malzemeler durumunda karmaşık sayılar matrisi gibi) ifade edilen admittivity dir. 
Admittivity iletkenlik olarak adlandırılan gerçek bileşen ile susceptivity olarak adlandırılan hayali bileşenin toplamıdır.
Alternatif akımların, alternatif bir açıklaması, gerçek bir geçirgenlik ile birlikte, gerçek bir (ancak frekans bağımlı) iletkenlik kullanır. İletkenlik daha büyük, daha hızlı alternatif akım sinyali malzemesi (daha opak malzeme) tarafından emilir. Ayrıntılar için, donukluğun matematiksel açıklamalarına bakın.

Anizotropik Malzemeler için Tensör Denklemleri
Bazı malzemeler farklı yönlerde farklı özelliklere sahip olan, yani, anizotropiktir.
 Örneğin, grafitin kristali mikroskopik yaprak yığınını içerir ve akımın her sayfasından kolayca akar, ama bir yığından- yapraktan diğerine çok daha az kolaylıkla hareket eder. 
Bir anizotropik malzeme için, skalar denklemleri kullanmak genellikle geçerli değildir.
 

İletkenlik σ ve direnç ρ (diğer bir deyişle, 3 × 3 matrisler) ikinci sıra tansörleridir.
 Denklemler kompakt (indeks gösterimini ve toplama kuralı kullanarak) bileşeni şeklinde gösterilmiştir:
 
 
Σ ve ρ tensörleri (matrisin tersi anlamında) tersdir. Tek tek bileşenlerin zorunlu tersleri değildir; örneğin, σxx,1/ρxx ye  eşit olmayabilir.

Karmaşık Geometrilerde Dirence Karşı Direniş
Malzemelerin direnci bilinse bile, ondan yapılan şey direncin hesaplanması, bazı durumlarda, yukarıdaki gibi bir formülden, daha çok daha karmaşık olabilir. 
Bir örnek, malzemenin homojen olmayan yerinde direnç pofillemesinin yayılması malzeme homojen olmayan (farklı yerlerde fark direnç) ve akım akışının esas yolları açık değildir.
Böyle durumlarda, formüller;; 
 
ile değiştirilmelidir.
 
E ve J vektör alanlarının simdi nerede olduğudur. Bu denklem, süreklilik J denklemi ve E Poisson’nın denklemi ile birlikte, kısmi diferansiyel denklemlerin bir dizinini oluşturur. 
Özel durumlarda, bu denklemlere tam veya yaklaşık çözüm elle çalışılmış olabilir, ancak karmaşık durumlardaki çok doğru yanıtlar için, sonlu elemanlar analizi gibi bilgisayar yöntemleri gerekebilir.

Direnç Yoğunluklu Ürünler
Bazı uygulamalarda bir öğenin ağırlığı, çok önemli direnç yoğunluklu ürünler mutlak düşük dirençten daha önemlidir - daha yüksek bir direnç yapmak için iletkeni kalın yapmak çoğu zaman mümkündür ve daha sonra, düşük dirençli yoğunluklu ürün malzemesi (veya eşdeğeri yoğunluk oranı yüksek bir iletkenlik) arzu edilir. 
Örneğin, uzun mesafe havai enerji nakil hatları için bakır yerine sıklıkla alüminyum kullanılır çünkü aynı iletken için daha hafiftir.Gümüş bilindiği gibi düşük dirençli metal olmasına rağmen, yüksek yoğunluğa sahiptir. Kalsiyum ve alkali metaller iyi direnç yoğunluklu ürünlerdir, ama su ve oksijenin yüksek reaktivitesine bağlı olarak nadiren iletkenler için kullanılır. 
Alüminyum çok daha kararlıdır. Diğer iki önemli özellikler, fiyat ve toksisite, (aksi) en iyi seçeneği hariç bırakır: Berilyum. Böylece alüminyum genellikle bir iletkenin ağırlığı veya maliyeti düşünüldüğünde tercih edilen metaldir.

Direnç
Elektrik terimleri