Liouville sayısı

Sayılar teorisinde Liouville sayıları, rasyonel sayılara infinitesimal yakınlıkta (hatta paydaya bağımlı şekilde) irrasyonel sayılardır. Bir Liouville sayısının her komşuluğunda bir rasyonel sayı (iki tam sayının oranı şeklinde yazılabilecek sayı) vardır. Şu şekilde formüle edilebilir:

 bir Liouville sayısı olsun. O zaman her  sayma sayısı (pozitif tam sayı) için öyle bir tam sayı  ve sayma sayısı  vardır ki, 

Bir Liouville sayısı böylece "çok yakından" rasyonel sayıların bir dizisi ile yakınsanabilir. 1844'te, Joseph Liouville gösterdi ki tüm Liouville sayıları aşkın sayılardır. O zamana dek herhangi bir aşkın sayının varlığı henüz ispatlanmamıştı. Liouville, bir sayı tabanı için (örneğin 10) Liouville sabitlerini aşağıdaki gibi üretti. Her Liouville sabiti, bir Liouville sayısıdır, dolayısıyla aşkındır.

Liouville sayıları kümesi bir yandan büyüktür, sayılamaz sayıda (reel sayılar kadar) Liouville sayısı vardır; bir yandan da küçüktür, Lebesgue ölçüleri sıfırdır, dolayısıyla bu küme üzerinde integrallenebilir her pozitif fonksiyonun integrali sıfıra eşittir.

Liouville sabiti 

 bir tam sayı olsun.  tabanındaki Liouville sabiti  aşağıdaki gibi tanımlanır.

Örneğin on tabanında  (1., 2., 6., 24., 120., 720., ... basamakta 1 rakamı var )

Liouville sabiti aşağıda ispatlandığı gibi bir Liouville sayısıdır.  bir sayma sayısı olsun. Şimdi uygun  sayılarını bulmamız gerekiyor.

 ve  için

. QED

Sayılamazlık 
Örnek için bu sayıları düşünelim,

3.1400010000000000000000050000....
3.14(3 sıfır)1(17 sıfır)5(95 sıfır)9(599 sıfır)2...
burada
rakamlar π'nin ondalık açılımı içinde ondalık noktaların ninci rakamı burada n! rakamına eşit konumu içinde sıfır varlığıdır .

Liouville sayılarının varlığı üzerindeki kesiti içinde gösterilen, bu sayılar, hem de başka bir sonlanamayan ondalık sıfır-dışı rakamlarla benzer durulardır ve bir Liouville sayılarının tanımı doyurucudur. Bu nedenle boş-olmayan rakamların tüm dizilerinin kümesi has the sürekliliğinin önem düzeyi  aynı  oluşan şey tüm Liouville sayılarının kümesinde var.

Dahası, Liouville sayıları gerçek sayıların kümesinin yoğun altküme formudur.

Liouville sayıları ve ölçümü 
Ölçüm teorisinin bakış açısından,tüm Liouville sayıları Lin kümesi küçüktür. Daha kesin bir ifadeyle, onun Lebesgue ölçümü sıfırdır. John C. Oxtoby tarafından bazı fikirler aşağıda kanıt olarak verilmiştir.

pozitif n > 2 tam sayıları veq ≥ 2 kümesi:

elimizde olan

Araştırılan her pozitif n ≥ 2 vem ≥ 1 tam sayı için , ayrıca elimizde olan

Nedeniyle

ve n > 2 ile

Şimdi

ve onun aşağıda bu her pozitif tam sayısı m için, L ∩ (−m, m) Lebesgue ölçümü sıfırdır. Kanıt için, böylece L vardır.

Karşıt olarak, tüm gerçek aşkın sayıların T kümesinin Lebesgue ölçümü sonsuzdur (bu nedenle T bir boş kümenin tamamlayıcısıdır).

Aslında, LinHausdorff boyutu sıfırdır, bu Lin bu Hausdorff ölçümü ifadesi tüm dimension d > 0 boyutlar için sıfırdır. Hausdorff dimension of L under other dimension functions has also been investigated.

Ayrıca bakınız 
 Diofantin yaklaşıklığı

Kaynakça 
Özel

Genel

Dış bağlantılar 
The Beginning of Transcendental Numbers 
The least interesting number

Diofantin yaklaşıklığı
Gerçel aşkın sayılar
Kanıt içeren maddeler