İ sayısı

Sanal birim ya da i sayısı, x2 = -1 eşitliğini sağlayan bir sayıdır. Reel sayılar kümesindeki hiçbir sayının karesi negatif olamayacağı için, bu ikinci dereceden denklemi sağlayan fakat reel sayılar kümesine ait olmayan böyle bir sayı, genellikle  i notasyonu ile gösterilir. i sayısı, ℝ ile gösterilen reel sayılar kümesini ℂ ile gösterilen kompleks sayılar kümesine genişleten ve sabit olmayan her bir P(x) polinomu için en az bir kök sağlayan matematiksel bir kavramdır. "Hayali" terimi negatif kareye sahip gerçek sayı olmadığı için kullanılır.

-1'in, bir çift karekökü olan 0 dışında her gerçek sayının iki karmaşık karekökü olduğu gibi, i ve -i olarak adlandırılan iki adet sanal karekökü vardır.

Tanımı 
 i'nin kuvvetleri ile tekrarlanan döngü:

i sayısı karesi -1 olan sayıdır. Dolayısıyla, x2 = -1 eşitliğinin bir çözümüdür.

i'yi bu şekilde tanımlandığında, cebrî olarak hemen i ve -i'nin karelerinin -1 olduğu sonucuna ulaşırız.

Reel sayılar üzerinde işlem yapılırken, sanal ve komplex sayılar i'ye herhangi bir bilinmeyen gibi yaklaşılarak kullanılabilir. İşlemler tamamlandığında, i'nin tanımına geri dönülerek, i' 2 görülen her yere -1 yazılıp işlem tamamlanabilir. Ayrıca i'nin kuvvetleri  −i, 1, i, veya −1 ile yer değiştirilebilir.

Sıfır dışında herhangi bir reel sayıya benzer şekilde, inin sıfırıncı kuvveti 1'dir:

i ve -i
 polinomu dışında başka hiçbir ikinci derece polinomunda çok katlı ve kökleri birbirlerini destekleyen ve tersi olacak böyle bir özellik yoktur.
i ve -i'nin birbirlerine eşit olmadığı -bir çözümdür- ve kanıtlanabilir,denklemin çözümünü sadece i olarak vermek belirsizlik ortaya çıkarır.Ancak i ve -i niceliksel ve niteliksel olarak kıyaslamada kullanılamaz. Her iki imajiner sayının kareleri -1 dir.
 bağıntısında köklerde birisi daha notasyonel olsa da hiçbiri daha öncelikli kabul edilemez.
Bu konularda en hassas açıklama karmaşık düzlemde tanımlanan R[X]/ (X2 + 1), izomorfizmdir, neredeyse böyle eşsiz bir izomorfizm yoktur.
R[X]/ (X2 + 1)'de X dan −X a birbirine eş iki otomorfik düzlem vardır.
Bakınız Karmaşık sayı, complex conjugation, field automorphism ve Galois group.
Kompleks sayılar 2 × 2 reel matrisinde yorumlanırsa matrisler (bkz. Kompleks sayılar), benzer sorunlar doğar,çünkü burada;

matris denkleminin çözümü

ve

şeklindedir.
Tüm bu belirsizlikleri çözmek için kompleks sayılardaki imajiner birim tanımına 
sadık kalmalıyız.
Örneğin iki boyutlu vektörlerin inşasında (0,1) vektörü kullanılır.
 Doğru kullanım 
İmajiner birim bazen uzman matematik bağlamlarında  olarak yazılır. (veya daha az uzman fakat popular bağlamda ). Ancak,kök bulmak gibi durumlarda manipüle şekli kullanılmaktadır. Çünkü prensip olarak karekök fonksiyon,yalnızca x ≥ 0, gerçel durumlar için tanımlanır, veya disipliner bir şekilde kompleks karekök fonksiyon olarak ele alınmalıdır.Eğer kompleks karekök fonksiyon manipulasyonu yapılmazsa yanlış sonuçlar çıkabilir:

    (tutarsız).

tutarlı bir yöntemin pozitif ve negatif kökler için çıkardığı farklı sonuçlar:
   (farklılık).

Hesaplama kuralı
 ve 'nin yalnızca negatif olmayan gerçel değerleri için
. geçerlidir.
Bu tür hataların önüne geçmek için, bir strateji olarak kare kök işareti altında negatif bir sayı asla kullanılmamalıdır,örneğin
, yerine  yazılmalıdır.

i sayısı'nın karekökü
imajiner birimin karekökünü karmaşık sayılar içinde ifade edebilmek için iki rakam gereklidir.Ancak bu gerekli değildir: :

,
çünkü : ifadesini kullanmak daha pratiktir.

{|
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|}

 i sayısı'nın tersi 
i'nin tersi kolaylıkla bulunur.:

Bütün kompleks sayıların bölmesinde i 'nin kullanılan şekli :

 i sayısı'nın kuvvetleri 
i sayısının kuvvetleriyle tekrarlanan evresi:

Herhangi bir n tam sayısına eklenen değerler şu açılım desenlerini verir:

sonuç olarak

Burada mod 4 gösterimi aritmetik modül 4.
 Faktöriyel 
Sanal birim  nin faktöriyeli  gama fonksiyonunun terimleri içinde sıklıkla verilen  de değerlendirilir:

Ayrıca,

 Euler formülü 

Euler formülü

 ,şeklindedir.
burada x gerçel bir sayıdır. Bu formülde kompleks x analitik olarak gösterilebilir.x = π alınırsa

ve 
Euler özdeşliği:

zarif bir şekle gelir.
Bu basit özdeşlikte beş farklı değeri bir arada bulabiliriz(0, 1, π, e ve i) ve temel operatörler toplama,çarpma,üs alma'da bir aradadır.

 Örnekler x = π/2 − 2πN, alalım burada N herhangi bir sayıdır.

veya, i,yi üs yaparak

veya

,

,

burada N herhangi bir tam sayıdır. Bu değer gerçel, ama eşitsizlikle

sonuçlanmamıştır.N = 0 olarak girildiğinde;

Diğer birkaç örnek

 i sayısı ile yapılan işlemler 
Gerçel sayılarla birlikte i;üs alma, kök alma, logaritma ve trigonometrik fonksiyonlu birçok matematiksel işlemlerde bir arada kullanılabilir.

Bir sayının ni''nci kuvveti:

Bir sayının ni'nci kuvvetten kökü :

Bir sayının imajiner-tabanlı logaritma'sı :

görüldüğü gibi i tabanlı log herhangi tabanlı  gibi tanımlı değili'li cos gerçel bir sayıdır:

ve i'li sin imajinerdir:

 Alternatif gösterimler 

 Elektrik mühendisliği ve diğer alanlarda, zamanın bir fonksiyonu olan i(t) veya sadece i olan elektrik akımı ile karıştırılmaması için imajiner birim  seçilmiştir. Ancak Python programlama dili'ndede imajiner birim j olarak kullanılır. ise, i ve j gösterimlerini aynı şekilde algılar.
 Bazı özel incelem durumları içeren ders kitaplarında ise j = −i''', alma ihtiyacı vardır.
özellikle hareketli dalgalar (e.g. x yönünde hareket eden düzlem dalga için
).
 Bazı yazılarda yazıyla imaijner birim'le karıştırmamak için  (ι ) kullanılır .örnek: .

Ayrıca bakınız 
 Alfred Tarski
 sanal sayı
 Karmaşık düzlem
 Birimin kökü

Notlar

Kaynakça 
 Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

Dış bağlantılar 
 Euler's work on Imaginary Roots of Polynomials at Convergence

Karmaşık sayılar