Hurwitz teoremi (karmaşık analiz)

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde Hurwitz teoremi, matematikçi Adolf Hurwitz'in ispatladığı ve bu yüzden onun ismini almış önemli bir sonuçtur. Genel bir şekilde ifade etmek gerekirse, Hurwitz teoremi karmaşık düzlemdeki bir bölge üzerinde tanımlı bir holomorf fonksiyonlar dizisinin sıfırları ile bu dizinin limiti olan fonksiyonun sıfırlarını ilişkilendirir.

Teoremin ifadesi ve kanıtı 
Hurwitz teoreminin değişik kaynaklarda yaygın iki ifadesi mevcuttur:

İfade 1:  D karmaşık düzlemde bir bölge olsun.  de D üzerinde tanımlı, her bir öğesi D üzerinde sıfır olmayan bir holomorf fonksiyonlar dizisi olsun (Yani, ). Eğer bu dizi D nin her tıkız altkümesinde bir  fonksiyonuna düzgün yakınsak ise, o zaman ya  'dır ya da  'nin D üzerinde sıfırı yoktur.
 Kanıt: Varsayalım ki  D üzerindeki her noktada 0 olmasın (yani sıfır fonksiyonu olmasın) ama D 'nin en az bir noktasında da 0 değerini alsın. Diyelim ki bu nokta P olsun; yani  olsun. Bir çelişki elde etmemiz lazım. İlk önce gözlemlemiz gereken  'nin de holomorf olacağıdır; çünkü  holomorf fonksiyonların tıkız altkümeler üzerindeki düzgün yakınsadığı bir fonksiyondur. O yüzden, D üzerindeki herhangi bir noktada 'nin türevini almakta sakınca yoktur.
 Öyle bir r>0 seçelim ki P merkezli ve r yarıçaplı kapalı daire D 'nin içinde kalsın ve aynı zamanda  de bu kapalı daire üzerinde P noktasından başka bir yerde 0 değerini almasın. Böyle bir r bulabiliriz: Evvela, D bir bölgedir ve bu yüzden açık ve bağlantılı bir kümedir. Aynı zamanda, holomorf fonksiyonların sıfırları korunmalı noktalardır. Şimdi, 

ifadesi 'nin P'deki sıfırının mertebesini verecektir. Yani varsayımımız üzerine en az 1 olacaktır. Diğer taraftan, her k için  sıfır değerini almadığı için

ifadesi Cauchy integral teoremi sayesinde 0'a eşit olacaktır. Ancak, aynı zamanda en son yazdığımız bu integral  iken ilk yazdığımız integral ifadesine yakınsayacaktır; çünkü  tıkız bir kümedir ve bu küme üzerinde teoremin varsayımı gereği  ve  düzgün yakınsamaları vardır. İkinci yazdığımız her k için 0'a eşitti ve ilk yazdığımız ifade de 1'den büyüktü. Bu bir çelişkidir. O zaman teorem doğrudur.

İfade 2:  D karmaşık düzlemde bir bölge olsun.  de D üzerinde tanımlı bir holomorf fonksiyonlar dizisi olsun ve bu dizi de D üzerinde tanımlı bir  fonksiyonuna yakınsasın. Eğer   ve  üzerinde  ise, o zaman öyle bir  vardır ki her  için  ve  'nin  içinde aynı sayıda sıfırı vardır.

İkinci ifadenin kanıtı da birinci kanıta benzer olarak yapılabilir.

Örnekler 
İlk ifadenin örneği olarak  alabiliriz. Üstel fonksiyon 0 değerini almadığı için her n için dizinin fonksiyonları sıfır olmaz ve bu dizinin  iken yakınsadığı fonksiyon  fonksiyonudur.

İkinci ifadede, alınan dairenin sınırında  koşulu önemlidir. Mesela, birim daire üzerinde

fonksiyonları  noktalarında 0 değeri alır. Ancak, bu fonksiyonların yakınsadığı  fonksiyonunun birim daire üzerinde sıfırı yoktur.

Notlar 

Karmaşık analiz
Matematik teoremleri
Kanıt içeren maddeler