Cesàro toplaması

Matematiksel çözümlemede Cesàro toplamı bir sonsuz diziye toplam değeri atamanın farklı bir yoludur. Bir dizi A toplamına yakınsıyorsa bu dizinin Cesàro toplamı da A olur. Cesàro toplamı, yakınsamayan dizilere de değer atayabilmektedir. Ne var ki, artı sonsuz değerine yönelen bir dizi hiçbir koşulda sonlu bir toplam değerine sahip olamayacaktır.

Cesàro toplamı İtalyan çözümlemeci Ernesto Cesàro'nun (1859–1906) adını taşımaktadır.

Tanım 
{an} bir dizi olmak kaydıyla

ifadesinin

dizisinin k. kısmi toplamı olduğu varsayılsın.

eşitliği sağlanıyorsa {an} dizisinin Cesàro toplamı A olur.

Örnekler 

n ≥ 1 için an = (-1)n+1 koşulunun sağlandığı varsayılsın. Bu durumda {an}

dizisi biçiminde ifade edilebilir.

Böylece, kısmi toplamlar dizisi {sn}

olur. Grandi dizisi olarak bilinen bu ifade yakınsamamaktadır. Öte yandan, {(s1 + ... + sn)/n} dizisinin terimleri

biçiminde yazılabilir ve

eşitliği sağlanır. Bu, {an} dizisinin Cesàro toplamının 1/2 olduğunu göstermektedir.

(C, α) toplamı 
Ernesto Cesàro 1890 yılında geniş bir toplam yöntemleri ailesi tanımlamıştır. n sıfırdan büyük bir tam sayı olmak koşuluyla (C, n) biçiminde ifade edilen bu yöntemlerden (C, 0) olağan toplamayı, (C, 1) ise yukarıda tanımlanan Cesàro toplamını belirtmektedir.

Daha yüksek dereceli yöntemler şu biçimde tanımlanabilir: Bir Σan dizisi için

büyüklükleri tanımlanır ve 1 + 0 + 0 + 0 + … dizisi için Enα, Anα değerine eşitlenir. Böylece, Σan'nin (C, α) toplamı

olarak hesaplanır. Bu tanım, ilk toplam yönteminin  kez yinelenmesiyle elde edilmektedir. Bu ifade aşağıdaki biçimde de yazılabilir.

Daha genel anlamda,  olmak koşuluyla Anα

dizisinin katsayılarından elde edilebiliyor ve Enα yukarıdaki gibi tanımlanıyorsa (gerçekte Enα, -1 - α üslü binom katsayılarını ifade etmektedir) Σ an'nin (C, α) toplamı yukarıdaki sonucu verir.

(C, α)'nın tanımlı oluşu daha üst düzey toplamların da var olduğunu göstermektedir. Ayrıca, α > -1 ise an = o(nα) eşitliği de sağlanır.

Bir integralin Cesàro toplanabilirliği 
α ≥ 0 olmak koşuluyla

tanımlı ise  integralinin (C, α) toplamı tanımlı ve sonludur. Bu limit (tanımlıysa) integralin (C, α) toplamına eşittir. Dizi toplamına benzer biçimde, α=0 iken sonuç, belirsiz integralin yakınsaklığıdır. α=1 iken (C, 1) yakınsaklığı

limitine eşittir. Bu aynı zamanda kısmi integraller ortalamasının limitidir.

Bir integral herhangi bir α ≥ 0 değeri için (C,α) toplamına sahipse bu integralin (C,β) toplamı tüm β > α değerleri için tanımlıdır.

Ayrıca bakınız 
 Abel toplamı
 Borel toplamı
 Euler toplamı
 Cesàro ortalaması
 Iraksak dizi
 Fejér kuramı
 Riesz ortalaması
 Abel ve Tauber kuramları
 Silverman-Toeplitz kuramı

Notlar

Kaynakça 

 
 
 

Matematiksel analiz
Diziler ve seriler
Toplam yöntemleri