Binom dönüşümü

Tümleşik matematikte binom dönüşümü bir dizinin ileri farklarını hesaplamaya yarayan bir dizi dönüşümüdür. Kavram, binom dönüşümünün Euler dizisine uygulanması sonucu oluşan Euler dönüşümüyle yakından ilintilidir.

Tanım 
Bir  dizisinin binom dönüşümü (T)

olarak tanımlanan  dizisidir.

 yazımında T bir sonsuz boyutlu işleci göstermektedir. Bu işlecin elemanları şu biçimde gösterilebilir:

Bu dönüşüm bir kıvrılmadır.

Bu, farklı bir biçimde de gösterilebilir.

Burada δ Kronecker delta işlevini göstermektedir.

işlemiyle özgün diziye geri dönülebilir.

Bir dizinin binom dönüşümü o dizinin n. ileri farkıdır.

 

Burada Δ ileri fark işlecini simgelemektedir.

Binom dönüşümü zaman zaman ek bir imle gösterilmektedir. Bu gösterimde dönüşüm

biçiminde ifade edilirken bu ifadenin tersi

olarak yazılır.

Örnek 

Binom dönüşümleri fark tablolarında kolaylıkla gözlenebilmektedir.

0, 1, 10, 63, 324, 1485, … biçimindeki en üst satır ( tarafından tanımlanan bir dizi) 0, 1, 8, 36, 128, 400, … köşegeninin ( tarafından tanımlanan bir dizi) binom dönüşümüdür.

Değişim durumları 
Binom dönüşümü Bell sayılarının değişim işlecidir. Başka bir deyişle,

eşitliği sağlanmaktadır. Burada  Bell sayılarını göstermektedir.

Olağan üretici işlev 
Dönüşüm, diziyle ilişkilendirilmiş üretici işlevleri birbirine bağlamaktadır. Olağan üretici işlev için

ve

eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. Buradan

ifadesine ulaşılabilir.

Euler dönüşümü 
Olağan üretici işlevler arasındaki ilişki zaman zaman Euler dönüşümü olarak adlandırılmaktadır. İki farklı biçimde var olan dönüşüm, almaşık dizilerin yakınsaklığını hızlandırabilmektedir. Başka bir deyişle,

ifadesinde x yerine 1/2 konularak 1'e ulaşılabilir. Sağdaki terimler çok hızlı bir biçimde küçüldüklerinden bu toplam kolaylıkla hesaplanabilir.

Euler dönüşümü şu biçimde genellenbilir:

p = 0, 1, 2, … için

eşitliği sağlanır.

Euler dönüşümü  hipergeometrik dizisine sıklıkla uygulanmkatadır. Bu durumda Euler dönüşümü

olarak ifade edilebilmektedir.

Binom dönüşümü ve bunun farklı bir uyarlaması olan Euler dönüşümü bir sayının sürekli kesir olarak ifade edilmesinde büyük önem taşımaktadır.  sayısının sürekli kesir ifadesinin

olduğu varsayılsın. Buradan

ve

sonuçlarına ulaşılabilmektedir.

Üstel üretici işlev 
Üstel üretici işlev için

ve

eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. Buradan

eşitliğine ulaşılır.

Borel dönüşümü, olağan üretici işlevi üstel üretici işleve dönüştürebilmektedir.

İntegral biçimindeki ifadesi 
Dizi bir karmaşık çözümleme işleviyle değiştirildiğinde dizinin binom dönüşümü Nörlund-Rice integrali biçiminde ifade edilebilmektedir.

Genellemeler 
Prodinger birimsel benzeri bir dönüşümden söz etmektedir.

eşitliğinin sağlandığı varsayıldığında

ifadesine ulaşılır. Burada U ve B sırasıyla  ve  dizileriyle ilişkilendirilmiş olağan üretici işlevleri göstermektedir.

Artan k-binom dönüşümü zaman zaman

biçiminde, azalan k-binom dönüşümü

biçiminde tanımlanmaktadır. Her iki dönüşüm de bir dizinin Hankel dönüşümü özüne eşittir.

Binom dönüşümü

olarak tanımlanır, bu ifade

işlevine eşitlenir, yeni bir ileri fark tablosu oluşturulur ve bu tablonun her satırının ilk elemanından  gibi yeni bir dizi oluşturulursa özgün dizinin ikinci binom dönüşümü

ifadesine eşit olur.

Aynı işlem k kez yinelendiğinde

eşitliğine ulaşılır. Bu ifadenin tersi

olarak yazılır.

Bu ifadenin genel biçimi

olarak yazılabilir. Burada  değişim işlecini göstermektedir.

Bu ifadenin tersi

biçiminde gösterilir.

Ayrıca bakınız 
 Newton dizisi
 Hankel matrisi
 Möbius dönüşümü
 Stirling dönüşümü
 Euler toplamı

Kaynakça 

 
 John H. Conway & Richard K. Guy, 1996, The Book of Numbers
 Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming Cilt 3, (1973) Addison-Wesley, Reading, MA.
 Helmut Prodinger, 1992, Some information about the Binomial transform
 Michael Z. Spivey & Laura L. Steil, 2006, The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform 
 Borisov B. & Shkodrov V., 2007, Divergent Series in the Generalized Binomial Transform, Adv. Stud. Cont. Math., 14 (1): 77-82

Dış bağlantılar 
 Binom Dönüşümü

Leonhard Euler
Dönüşümler
Matematiksel fonksiyonlar