Çokludoğrusal harita

Çokludoğrusal cebir veya daha genel olarak doğrusal cebirde, bir çokludoğrusal harita  her değişken içinde ayrı ayrı doğrusal birkaç değişkenin bir fonksiyondur. Daha kesin olarak, çokludoğrusal harita şöyle bir fonksiyondur:

burada  ve , tüm  değişkenleri sabit tutulan her  için, aşağıdaki özellikleri sağlayan vektör uzayları (veya modülleri) oluyorsa,  ifadesi 'nin bir doğrusal fonksiyonudur.

İki değişkenin bir çokludoğrusal haritası bir çiftdoğrusal haritadır. Daha genel bir ifade ile, k değişkeninin bir çokludoğrusal haritası k-doğrusal harita olarak adlandırılır. Eğer bir çokludoğrusal haritanın ko-domeni,  skalerin alanı ise o bir çokludoğrusal form olarak adlandırılır. Çokludoğrusal haritalar ve çokludoğrusal formlar  çokludoğrusal cebrin çalışmasında temel nesnedir.

Tüm değişkenler aynı alana ait ise, k-doğrusal haritası için, simetrik,
antisimetrik ve alternatizasyon kavramlarından bahsedilebilir.

Örnekler

 Her bir çiftdoğrusal harita  bir çokludoğrusal haritadır.  Örneğin, bir vektör uzayındaki herhangi bir iç çarpım uzayı bir çokludoğrusal haritadır,   içinde çapraz çarpım vektörleri elde edilir.
 Bir matrisin determinantı,  bir kare matrisin sütunlarının (veya satırlarının) antisimetrik çokludoğrusal fonksiyonudur.
 Eğer   bir Ck fonksiyonu ise, 'nin her  noktasındaki inci türevinde -doğrusal fonksiyon  simetrik olarak görülebilir.
 Çokludoğrusal altuzay öğrenimindeki vektöre-tensör izdüşümü de bir çokludoğrusal haritadadır.

Koordinat gösterimi
Diyelimki

sonlu boyutlu vektör uzayları arasında bir çokludoğrusal haritası olsun. Burada  boyutu 'dir ve  boyutu 'dir. Her bir  için  ve  için  taban seçersek,   skalerlerini şöyle ifade edebiliriz:

 
Ardından    skalerleri,   çokludoğrusal fonksiyonunu tam olarak tanımlar.

Özel olarak eğer,
 için,

oluyorsa, 
 olur.

Tensör çarpımıyla ilişkisi
Burada, çokludoğrusal haritalar arasında doğal bire-bir karşılaştırma yapılmıştır.

ve doğrusal haritalar

burada  ifadesi  tensör çarpımıdır.

 ve  fonksiyonlar arası ilişki şu formül ile verilir:

n×n matrislerindeki çokludoğrusal fonksiyonlar

Bir K değişmeli halkasındaki n×n matrisindeki çokludoğrusal fonksiyonlar, matrisin satırları (veya eşdeğer sütunları) olarak ifade edilir. Diyelim ki A gibi bir bir matris ve , Anın 1 ≤ i ≤ n aralığındaki satırları olsun.  Bu durumda D çokludoğrusal fonksiyonu şöyle yazılabilir:

Daha geniş bir ifade ile;

 ifadesini, tanım matrisinin j.inci  satırı olarak ele alırsak, her bir  satırını şöyle olur.

Dnin çokludoğrusallığı kullanılarak  D(A) yı yeniden yazalım;

Her  için 1 ≤ i ≤ aralığında sürekli yerine konulursa,

Burada seçtiğimiz  aralığında;

İç içe toplamlar serisi elde edilir.

Burada,  satırlarında  fonksiyonu vasıtasıyla D(A)'nın nasıl elde edildiği görüldü.

Örnekler

2×2 matrisleri şöyle yazılır;

Burada  ve 'dir. D'yi bir alternatif fonksiyon olarak sınırlandırırsak;
 ve  olur.  olursa, 2×2 matrisinde şu determanant fonksiyonunu elde ederiz:

Özellikler
Çokludoğrusal haritada bir sıfır değeri varsa,  bağımsız değişkenlerden biri sıfır olur.

n>1 için, yalnızca n-doğrusal harita ve sıfır fonksiyonudur. Çifte doğrusallık#Örneklere bakınız.

Ayrıca bakınız
 Cebirsel form
 Çokludoğrusal form
 Homojen polinom
 Homojen fonksiyon
 Tensörler
 çoklu doğrusal izdüşüm
 Çokludoğrusal altuzay öğrenimi

Kaynakça

harita