Cauchy çarpımı

Matematikte Cauchy çarpımı,  ve  gibi iki dizinin

biçiminde ifade edilen süreksiz katlamasıdır. Kavram, Augustin Louis Cauchy tarafından bulunmuştur.

İki dizinin çarpımına eşit olan ifade doğal sayılar kümesi () yarıöbek halkasının bir elemanı olarak da değerlendirilmektedir.

Diziler 
 ve  dizileri iki kurallı serinin (yakınsak olmaları gerekmiyor) terimleri olarak da düşünülebilir.

Bu serilere daha çok gerçel ve karmaşık sayılarda rastlanmaktadır. n = 0, 1, 2, … değerleri için Cauchy çarpımı şu biçimde tanımlanır:

"Kurallı" terimi, diziler üzerinde gerçekleştirilen değişikliklerin yakınsaklık kavramını göz önüne almadan yapıldığını belirtmektedir.

İki dizinin de yakınsadığı durumlarda akla

sonsuz dizi toplamının

çarpımına eşit olduğu gelmektedir. Bu akıl yürütme kurallı durumlar için doğru sonucu vermektedir ancak iki dizinin Cauchy çarpımı dizilerin en az birinin yakınsak olmadığı durumlarda da tanımlıdır.

Örnekler

Sonlu diziler 

Tüm  değerleri için  ve tüm  değerleri için  koşulları sağlanıyorsa  ve 'nin Cauchy çarpımı  olarak hesaplanır. Bu, sonlu dizilerin Cauchy çarpımının olağan çarpma işlemine indirgenebildiğini göstermektedir.

Sonsuz diziler 

  değerleri için  ve  eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın.

eşitliği tanım gereği sağlanır ve binom açılımı tarafından desteklenir. Kurallı diziler için geçerli olan  ve  eşitlikleri  sonucunu doğurur. İki mutlak yakınsak dizinin Cauchy çarpımının limiti bu dizilerin limitleri çarpımına eşit olduğundan aşağıdaki ifade kanıtlanmış olur.

 (tüm  değerleri için)

 Tüm  değerleri için  koşulu sağlanıyorsa  eşitliği tüm  değerleri için geçerlidir. Bu durumda Cauchy çarpımı

olarak hesaplanır ve bu ifade yakınsamaz.

Yakınsaklık ve Mertens kuramı 

x ve y gerçel diziler olmak üzere,  dizisi Y'ye yakınsıyor ve  dizisi X'e mutlak yakınsıyorsa bu dizilerin Cauchy çarpımı () XY'ye yakınsar. Franz Mertens tarafından kanıtlanan bu kuram, iki dizinin koşullu yakınsak olmaları durumunda geçerli değildir. Örneğin,  dizisi bir koşullu yakınsak dizi üretir ancak  sıfıra yakınsamamaktadır.

Mertens kuramının kanıtı 

,  ve  eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. Terimlerin yerlerinin değiştirilmesiyle  sonucuna ulaşılır ve böylece  eşitliği sağlanır. ε > 0 olmak koşuluyla,  mutlak yakınsak ve  yakınsak olduğundan tüm n ≥ N değerleri için  eşitsizliğini sağlayan bir N tam sayısı ve tüm  değerleri için  eşitsizliğini sağlayan bir M tam sayısı bulunur. Ayrıca,  koşulu sağlanıyorsa  eşitsizliğini sağlayan bir L tam sayısı da bulunur. Böylece; N, M ve L'den büyük tüm n tam sayıları için

eşitsizliği yazılabilir. Dizi yakınsaklığı tanımı gereği  ifadesi de geçerlidir.

Cesàro kuramı 

x ve y gerçel diziler olmak üzere  ve  ise

 

ifadesi yazılabilir.

Genellemeler 

Şu ana dek açıklanan tüm kavramlar  (karmaşık sayılar) kümesinde tanımlı diziler için geçerlidir. Cauchy çarpımı, çarpma işleminin iç çarpım olarak tanımlandığı  uzaylarında (Öklit uzayları) da tanımlıdır. Bu tanıma göre, iki dizinin mutlak yakınsıyor oluşu bu dizilerin Cauchy çarpımının dizi limitlerinin iç çarpımına mutlak yakınsadığı anlamına gelmektedir.

İşlev katlamasıyla ilişkisi 
Çifte sonsuz diziler için de Cauchy çarpımı tanımı yapılabilmektedir ancak çarpım her koşulda tanımlı değildir. Örneğin, 1 sabit dizisinin kendisiyle Cauchy çarpımı () tanımsızdır.

Kaynakça 

Karmaşık analiz
Diziler ve seriler
Gerçel analiz