Zeta sabiti

Matematikte zeta sabiti, bir tam sayının Riemann zeta fonksiyonunda yerine yazılmasıyla elde edilen sayıdır. Bu madde farklı tam sayı değerleri için zeta fonksiyonu özdeşlikleri içermektedir.

0 ve 1'de Riemann zeta fonksiyonu 
Sıfırda

eşitliği geçerlidir. 1 noktasında bir kutup bulunur.

Pozitif tam sayılar

Pozitif çift tam sayılar 
Pozitif çift tam sayılar kümesi Euler tarafından bulunan ve Bernoulli sayılarıyla ilintilendirilen şu özdeşliği içerir:

 koşulunu sağlayan birkaç değer aşağıda verilmiştir.

; Bu eşitliğin gösterimi Basel problemi olarak da bilinir.
; Fizikteki Stefan–Boltzmann yasası ve Wien yaklaştırması.

Pozitif çift tam sayılardaki zeta ile Bernoulli sayıları arasındaki ilişki şu şekilde yazılabilir:

Burada  ve  tüm çift n değerlerine karşılık gelen tam sayılardır. Bu değerlerin bir bölümü aşağıdaki tabloda verilmiştir.

'nin yukarıda gösterildiği gibi  katsayısı olması durumunda

eşitliği sağlanır ve özyinelemeli çözümle

ifadesine ulaşılır.

Bu özyinelemeli ilişki Bernoulli sayılarından da bulunabilir.

Çift sayılarda geçerli olan dizi, 0 noktası yakınında kotanjant fonksiyonunun Laurent açılımı yardımıyla da elde edilebilir.

Pozitif tek tam sayılar 
İlk birkaç tek doğal sayı için

; Harmonik seri.
; Apéry sabiti

eşitlikleri sağlanır.

ζ(3) (Apéry teoremi) ve ζ(2n+1) (n ∈ N) kümesinin sonsuz çoklukta elemanının irrasyonel olduğu bilinmektedir. Riemann zeta fonksiyonunun da pozitif tek sayılar kümesinin kimi alt kümeleri için irrasyonel elemanlara sahip olduğu gözlenmiştir. Örneğin; ζ(5), ζ(7), ζ(9) ve ζ(11)'den en az birinin irrasyonel olduğu kesindir.

Bir bölümü aşağıda verilen özdeşliklerin çoğu Simon Plouffe tarafından bulunmuştur. Bu özdeşliklerin kayda değer yanı çok hızlı yakınsamaları ve üç basamağa varan kesinlik oranına ulaşmalarıdır.

ζ(5) 
Plouffe

ve

özdeşliklerini bulmuştur.

ζ(7) 

Toplam, Lambert serisi biçiminde verilmiştir.

ζ(2n+1) 

şeklinde tanımlanan büyüklükler

biçiminde ilişki dizileri verir. Burada  ve  pozitif tam sayılardır. Plouffe aşağıdaki değerleri de bulmuştur.

Bu sabitler Bernoulli sayıları toplamı biçiminde de yazılabilir.

Negatif tam sayılar 
Negatif tam sayılar için

eşitliği sağlanır.

 için

"açık sıfırlar" olarak adlandırılan değerlere negatif çift tam sayılarda rastlanır.

Negatif tek tam sayıların ilk birkaç değeri aşağıda verilmiştir.

Bu sayılar Bernoulli sayılarına benzer biçimde çok büyük negatif tek tam sayı değerleri için küçük değerlere sahip değillerdir. Bu değerlerin ilki için 1 + 2 + 3 + 4 + · · · maddesine bakılabilir.

Türevleri 
Zeta fonksiyonunun negatif çift tam sayılardaki türevi aşağıdaki gibidir.

Bu türevin ilk birkaç değeri şu şekildedir:

Aşağıdaki eşitlikler de sağlanır.

Burada  Glaisher-Kinkelin sabitine karşılık gelmektedir.

Zeta Sabitleri Toplamı

Kaynakça 

 Simon Plouffe, "Ramanujan'ın Not Defterinden Esinlenen Özdeşlikler", (1998).
 Simon Plouffe, "Ramanujan'ın Not Defterinden Esinlenen Özdeşlikler (2. Bölüm) PDF" (2006).
 Linas Vepstas, "Plouffe'nin Ramanujan Özdeşlikleri Üzerine", ArXiv Math.NT/0609775 (2006).
 Wadim Zudilin, "ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11)'den Biri İrrasyonel." Uspekhi Mat. Nauk 56, 149-150, 2001. PDF PS  PDF  PS

Matematiksel sabitler
Zeta ve L-fonksiyonları
Oransız sayılar