Yaygın koordinat dönüşümleri listesi

Burada, en yaygın olarak kullanılan koordinat dönüşümü bazılarının bir listesi verilmiştir. Kısmi türevler alınırken çarpımın türevi gibi  davranıldığı akildan çıkarılmamalıdır.
Bir örnek olarak 
y=x.e^x.sin (x) fonksiyonunda üç çarpım vardır

y'=(x)'.e^x.sin (x )+x. (e^x)'.sin (x)+x.e^x. (sin(x))' ve

y'=e^x.sin (x )+x.e^x.sin (x)+x.e^x.cos (x) olur. veya;

(x.y.z)'=y.z+x.z+x.y toplami tam türevi sağlar. Her parça türevin bir bilesenidir. ilk örnekte çarpim türevi tek değişkene uygulanırken ikincide 3 değişkene uygulandı
Aşağıdaki örneklerin tümü yine çarpim türevi omurgası üzerine oturmustur. Matrisin her satiri üstten alta sırasıyla x, y, z fonksiyonlarının karşılikları olan kutupsal, küresel, silindirik vs nin türevleridir. 2 veya 3 bilinmeyenli bir denklemi çözerken bu determinant karşımıza çıkar.
Bir diğer örnek olarak sunu kastediyoruz:

matrisin üst satiri
x in türevi x' ve
Alt satiri
y nin türevi y' dür.
matristeki degerler çarpim türevi alindiktan sonra aradaki isaretle iki bilinmeyenli bir denkleme dönüsen eşitliğin sağındaki kutupsal degerlerin matrisel gösterimidir. 3 değişkenli fonksiyonlarda ise benzer şekilde 3x3 matris olacaktır.

2-Boyutlu 
(x, y) standart kartezyen koordinat, ve r ve θ standart kutupsal koordinatlar olsun.

Kutupsal koordinatlardan kartezyen koordinatlara

Kartezyen koordinatlardan kutupsal koordinatlara

Not 
'yi çözmek için ilk kadran bileşke açı ile döner(). ve  bulunur.Bunun için orijinal kartezyen koordinat başvurmalıdır,'nın kadranını belirlemek ve çözmek için aşağıdakileri kullanın; 

eğer  QI'in içindeyse:

eğer  QII'nin içindeyse:

eğer  in QIII'ün içindeyse:

eğer  in QIV'ün içindeyse:

 değeri için çünkü ,  tüm değerlerinin bu şekilde çözülmesi için gereken yalnızca  aralığında tanımlı olmalıdır ve periyodik (periodu ile)olmalıdır. Bu ters fonksiyon,sadece fonksiyon etki değerleri vermek anlamına gelir, ancak tek bir period ile sınırlı. Dolayısıyla, ters fonksiyonunu aralığında bir tam yarım daire.

Bir de Aklınızda bulunsun

Log-polar koordinatlar kartezyen koordinat sistemine 

Karmaşık sayılar kullanılarak , dönüşümü gibi yazılabilir.

Bu karmaşık üstel fonksiyonu ile verilir yani.

Kartezyen koordinatlardan "log-polar" koordinatlara

Bipolar koordinatlardan kartezyen koordinatlara

İki merkezli bipolar koordinatlardan kartezyen koordinatlara

İki merkezli bipolar koordinatlardan polar koordinatlara 

Burada 2c kutuplar arasındaki mesafedir.

Cesàro denkleminden kartezyen koordinat sistemine

Kartezyen koordinatlardan Yay uzunluğu ve eğriliğe

Polar koordinatlardan yay uzunluğu ve eğriliğe

3-Boyutlu 
(x, y, z) standart kartezyen koordinatlar ve (ρ, θ, φ) küresel koordinatlar olsun,ölçülen açı ise +Z axisinden θ iledir.Φ 360° alındığında polar ile aynı düşüncelerle(2 boyutlu) bunun bir arctan'ı alındığında geçerli koordinatlara sahiptir. θ nın sınırı 180°'dir,0°dan 180°'ye dönen bir arccos'un hesaplanması herhangi bir sorun teşkil etmez, ancak arctanjantı için dikkatli olunur. Alternatif tanım için, θ −90°den +90°'ye döner şeklinde seçilmiştir, daha önceki tanımla ters yönde, o bir arcsin'e eşit bulunmayabilir, ancak arccotanjanta dikkat. Aşağıdaki tüm formüllerde bu durumdaki tüm θ açıları sinüs ve kosinüse değişebilir ve türevi olarak da artı ve eksiye değişebilir. Ana eksenlerden biri boyunca aynı yönde olan özel durumlarında tüm sıfıra bölünmeme sonuçlarının ve gözlemlerin pratikte çok kolay çözümleri vardır.

Kartezyen koordinatlara

Küresel koordinatlardan 

Böylece hacim ögesi için:

Silindirik koordinatlardan 

Böylece hacim ögesi için:

Küresel koordinatlara

Kartezyen koordinatlardan

Silindirik koordinatlar

Silindirik koordinatlara

Kartezyen koordinatlardan

Küresel koordinatlardan 
Not: Bu bölümün isimlendirme ile tutarlılık için güncellenmesi gerekir. Bir diyagramda her bir değişkenin neyi temsil ettiğini gösteren bu makale içine dahil edilmelidir. Genellikle  küresel koordinatlar ve  silindirik koordinatlar için düzlem açısı için polar açıyı temsil eder. Burada iki karışık ve karışıklığa neden olabilir.

Kartezyen koordinatlardan yay uzunluğu, eğrilik ve burulma

Kaynakça 

Koordinat sistemleri
Hamilton mekaniği
Koordinat dönüşümleri