Gauss-Legendre Algoritması

Gauss-Legendre Algoritması π sayısının basamaklarını hesaplamak için kullanılan bir algoritmadır. Sadece 25 iterasyonda π sayısının 45 milyon basamağını doğru olarak hesaplıyor.

Bu yöntem Carl Friedrich Gauss (1777-1855) ve Adrien-Marie Legendre (1752-1833) ikilisinin bireysel çalışmalarıyla modern çarpma ve karekök bulma algoritmalarının bir birleşimine dayanmaktadır.

Aşağıda gösterilen çeşidiyse Brent-Salamin(ya da Salamin-Brent) algoritması olarak da bilinir;
1975 yılında Richard Brent ve Eugene Salamin tarafından keşfedilmiştir. Bu algoritma 18-20 Eylül 1999'da π sayısının ilk 206,158,430,000 ondalık basamaklarını hesaplamakta kullanıldı ve sonuçlar Borwein Algoritması'yla kontrol edildi.

Algoritma 
1. Başlangıç değeri ayarlama:

2. Aşağıdaki talimatları  ve 'nin farkı istenen doğruluk seviyesine gelene kadar uygulamaya devam edin.

3.π yaklaşık olarak şu çıkar:

İlk 3 iterasyonun sonucu:

Matematiksel arka plan

Aritmetik-geometrik ortalamanın sınırları 

İki sayının aritmetik-geometrik ortalaması, a0 ve b0, aşağıdaki dizilerin limitleri alınarak bulunur

Bu iki denklem de aynı limit değerine yakınsar. Eğer  ve  ise limit  değerine yakınsar; öyle ki  birinci tür tam olmayan eliptik integraldir.

Eğer ,  ise

öyle ki  ikinci tür tam olmayan integraldir.

Gauss tüm bu sonuçları biliyordu.

Legendre’ın özdeşliği 

Öyle bir  ve  sayıları vardır ki  eşitliğini sağlar. Legendre bu ödeşliği kanıtlamıştır:

Kaynakça 

Pi sayısı
Bilgisayar aritmetiği algoritmaları