Lie eşcebri

Matematik'te bir Lie eşcebri ikili yapıda  bir Lie cebridir.

sonlu boyutlular içinde, burada ikili nesnelerdir: Lie eşcebrinin yapısı bir Lie cebri doğasında  ikili  vektör uzayıdır,ve terside var.

Tanım
Diyelimki E bir vektör uzayı üzerinde bir k  alanı donanımı ile bir doğrusal gönderim  olsun E den  E ile kendisinin dış çarpımı'nadır, bunu genişletmekte mümkündür d bir kademe türevi tekliğine (bunun anlamı,herhangi a, b için  ∈ E homojen elemanılarıdır, ) E dış cebiri'nin derecesi 1 olsun :

öyleyse (E, d) çifti eğer d2 = 0 ise bir Lie eşcebri olduğu söylenir,
örneğin eğer dış cebri'nin kademeli bileşenleri  ile türevleri 
bir eşzincir karmaşık formudur:

De Rham karmaşık İlişkisi
vektör alanları'nın dış cebri  olarak (ve tensör cebri) sadece  diferansiyel formların de Rham karmaşığı olarak bir manifold formun bir  Lie eşcebri(K baz alanı üzerindedir. Ayrıca, vektör alanları ve diferansiyel formlar arasında bir eşleştirme vardır.
ancak, durum ustacadır: Lie braketi düzgün fonksiyon  un üzerindeki cebir doğrusal değildir (hatta Lie türevidir), veya dış türev'i değildir:  (bunun bir türevidir, fonksiyonları üzerinde doğrusal değil): bu tensör değildir. Onlar fonksiyonları üzerinde doğrusal olmayan, ama tutarlı bir şekilde davranırlar, Lie cebir ve Lie eşcebri kavramı basitçe yakalanamaz .
Daha fazla, de Rham karmaşığı içinde, derivasyon için tanımlanan sadece, aynı zamanda  için tanımlanmıştır.

Lie cebri olarak ikili yapı
Bir vektör uzayı üzerinde bir Lie cebir yapı haritası   çarpık-simetrik'tir, ve Jacobi özdeşliği tatmin edicidir.Eşdeğer bir harita  bu Jacobi özdeşliği tatmin edicidir.

Ikili, bir vektör uzayı diyelim ki E üzerinde bir Lie eşcebri yapısı doğrusal bir harita  bu antisimetriktir (Bu bunu karşılamak demektir , burada  kurallı çevirmedir) ve eşdöngü durumu denmesi uygundur (ayrıca eş-Leibniz kuralı olarak da bilinir)

.

Antisimetri durumuna ikili, harita  ayrıca bir harita olarak yazılabilir .

bir Lie cebrinin Lie braketi çiftinin   ürün bir haritası (eşdeğişmeli)

burada izomorfizm  sonlu boyut içinde tutunur;Lie eşçarpımı'nin ikilisi için ikilidir. Bu konu içinde,Jacobi özdeşliği eşdöngü durumuna karşı gelir.

Daha açıkçası, diyelim ki E karakteristik ne 2 ne de 3 bir alan üzerinde bir Lie eşcebri olsun.Çift alan E* ile tanımlanan bir braket yapısını taşır

α([x, y]) = dα(x∧y), hepsi için α ∈ E vex,y ∈ E*.

Bizim gösterdiğimiz bu bağlantı E* ile bir Lie braketidir.
Jacobi özdeşliği ile  kontrol etmek için yeterlidir .Herhangi x, y, z ∈ E* ve α ∈ E için 

burada ikinci adım eşlenikler arasında kama çarpımı ile bir kama çarpımı çifti, standart ayrımı aşağıdadır .  
sonucu şudur

dolayısıyla d2 = 0, bu  aşağıdadır
, için herhangi α, x, y, ve z.
Böylece, çift ikilik izomorfizmi (daha doğrusu, çift ikilikli monomorfizm tarafından, dolayı sonlu boyutlu vektör uzayına gerek olmayabilir) tarafından, Jacobi özdeşliğine uyar.

özel olarak,unutmayın eşdöngü durumunu bu kanıt göstermektedir d2 = 0 içinde, Jacobi özdeşliği içinde bir ikili anlamdır

Kaynakça

Eşcebirler
Lie cebirleri