Digama fonksiyonu

Matematik'te, digama fonksiyonu gama fonksiyonu'nun logaritmik türevi olarak tanımlanır:

Bu poligama fonksiyonu'nun ilkidir.

Harmonik sayılar ile ilişkisi 

Digamma fonksiyon'u, sıklıkla ψ0(x), ψ0(x) veya  (eski yunan harfleriyle digama'nın gösterimi Ϝ'dir ) şeklinde gösterilir. 
Harmonik sayılar'la ilişkisi

Burada Hn is the n 'inci harmonik sayıdır, ve γ Euler-Mascheroni sabiti'dir. yarı tam sayı değerleri için, açılım

Integral Gösterimleri 
integral gösterimi

 şeklindedir.

 reel kısmının pozitif değerleri için geçerlidir.Bunu şöyle yazabiliriz

harmonik sayılar için Euler integrali'dir .

Seri formülü 
Digamma negatif tam sayılar dışında kompleks düzlemde hesaplanabilir (Abramowitz and Stegun 6.3.16), yardımıyla

Taylor serisi 
Digama Taylor serisi'nde z=1 verilerek elde edilen bir rasyonel zeta serisidir , . 
Burada

,

yakınsaklık için |z|<1. Burada,  Riemann zeta fonksiyonu'dur.Bu seri ile kolayca Hurwitz zeta fonksiyonu'na karşılık gelen Taylor 'serisi elde edilebilir.

Newton serisi 
Digama için Newton serisi Euler integral formülü ile :

Burada  binom katsayısı'dır.

Refleksiyon formülü 
Digama fonksiyonunu Gama fonksiyonu'na benzer bir refleksiyon formülü karşılar

Özyineleme formülü 
tekrarlama ilişkisi'ne dayanılarak
Digamma fonksiyonu 

Böylece,1/x için "teleskop" denilebilir , bu nedenle

Burada Δ ileri diferansiyel operator'dür. Aşağıdaki formülle harmonik seri'nin kısmi toplamı tekrarlama ilişkisi'ne karşı gelir ,

burada  Euler-Mascheroni sabiti'dir.

Daha genel bir ifade,

Gauss toplamı 
Digama'nın Gaussian toplam formu

 şeklindedir.

Tam sayılar için . Burada, ζ(s,q) Hurwitz zeta fonksiyonu'dur ve  'i Bernoulli polinomu'dur.Çarpma teoremi'nin özel bir durumu ;

ve genelleştirilmiş şekli

Burada q 'nun doğal sayı, ve 1-qa 'nın doğal sayı olmadığı varsayılmıştır. .

Gauss'un digama teoremi 
Pozitif tam sayılar m ve k (m < k) şartıyla,digama fonksiyonunun Temel fonksiyon olarak ifadesi

Hesaplama & yaklaşıklık 

J.M. Bernardo AS 103 algoritmiyle ile x, gerçel bir sayı olmak üzere digama fonksiyonu hesaplanabilir, 

veya

n tam sayı, B(n) n 'inci Bernouilli sayısı ve  Riemann zeta fonksiyonu'dur.

Özel değerler 
Digama fonksiyonu için bazı özel değerler:

Ayrıca bakınız
 Matematiksel fonksiyonların listesi
 Trigama fonksiyonu

Kaynakça 
 Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258–259, 1972. See section §6.4

Dış bağlantılar 
 Cephes - C and C++ language special functions math library
   - Bernardo Statistical algorithm Psi(digamma function) computation, pp. 1

Gama ve ilişik fonksiyonlar
Faktöriyel ve binomi konuları

km:អនុគមន៍ ឌីហ្គាំម៉ា