Euler formülü

Adını matematikçi Leonhard Euler'den alan Euler formülü karmaşık analizde kullanılan bir matematik formülüdür ve trigonometrik fonksiyonlarla karmaşık üstel fonksiyon arasındaki bağlantıyı gösterir.

Herhangi bir gerçek  sayısı için Euler formülü,

şeklindeki eşitliktir.  Burada i karmaşık sayı olan  dir, e Euler sayısıdır ve cos ile sin trigonometrik fonksiyonlar olan kosinüs ve sinüstür.

Bu formül matematik, fizik ve mühendislikte çok önemli bir yere sahiptir. Fizikçi Richard Feynman bu formül için "Matematikteki en dikkate değer formül" demiştir.

 eşitliği sağlandığında Euler formülü: eiπ + 1 = 0 halini alır ve buna Euler özdeşliği denir.

Kullanım alanları

Formülün yorumlanması 
Bu formül ei fonksiyonunun bir birim karmaşık sayı olarak düşünülmesiyle yorumlanabilir, yani bu fonksiyon  farklı gerçek sayı değerleri aldıkça karmaşık sayılar düzleminde bir birim çember çizer. Burada  orijin ile çember üzerindeki bir noktayı birleştiren bir çizginin yaptığı açıyı temsil eder ve birimi radyandır.

Orijinal kanıt  üstel fonksiyonunun Taylor serisiyle yapılan açılımından ve  ile  fonksiyonlarından gelir, burada  bir karmaşık sayı ve  bir gerçek sayıdır. Aslında bu kanıt aynı zamanda Euler formülünün 'in alabileceği bütün karmaşık sayı değerleri için de geçerli olduğunu gösterir.

Karmaşık sayılar düzlemindeki bir nokta kartezyen koordinatlarda yazılmış bir karmaşık sayı ile gösterilebilir. Euler formülü kartezyen koordinatlarla kutupsal koordinatlar arasında geçiş yapılmasını sağlar.

Bir örnekle ispatı 
Bu basit türev denklemlerini kullanarak,

  
  
 

Euler formülünün iki tarafının türevini alalım:

 
 

Görüyoruz ki denklemin iki tarafının da türevini aldığımızda aynı sonucu bulduk, ki bu bizim teoremimizi ispatlar.

Formülün varyantları 

Euler formülü'nde 
x yerine 
,
,
,
 
gibi değişkenler konularak yeni bağıntılar türetilebilir.
Bu bağıntılardan yaralanılarak yeni trigonometrik bağıntılara varılabilir ve yine bir kümenin alt küme sayılarını veren Bell sayıları'nı veren üreteç fonksiyonu'nde kompleks değişken verilerek trigonometrik analog'u bulunabilir.
Aşağıda belirtilen gösterim şekilleri benzeştiği temel fonksiyon'a göredir:

Cebirsel gösterim 
  
ifadesinde x yerine    konursa
  
ve bu bu ifade yukardakinin daha genel şeklidir.
 ,
  elde edilir
(n sabit bir sayı veya herhangi bir fonksiyon olabilir.)

ayrıca yukardaki bağıntılar yardımıyla

toplamıda bulunabilir.
x yerine x^{i} konursa

İki katlı üstel 
  
temel eşitliği üs alınarak elde edilebilen özdeşliklerdir.
 
 
 
 
 
x yerine 
  konursa;

İmajiner trigonometrik 
x-->ln(x) alınırsa

Karma bağıntılar

Üslerin toplamına göre 
 
 
ve
 
 
yardımıyla karma bağıntılar elde edilebilir.
 
 
sonuç olarak
 
 
elde edilir.

 
 

ifadesinde üs  ifadesindeki x yerine y koyarak formülü daha da genelleştirebiliriz.Çünkü köşeli parantezin dışında üsse cos(x) ve x bağımsız olarak konup birleştirilmiştir,cos(x) değiştirilmezken x yerine y konabilir.

Üslerin çarpımına göre 
Buradaki ifadeler
 
 
veya

eşitliğidir.

x yerine -x konursa;

Bell sayıları ile ilgisi 
Eric Temple Bell'e atfedilmiştir.

Ayrıca bakınız 
 Doğal logaritma
 Üstel fonksiyon
 Euler özdeşliği
 Bell Sayıları
 Bell serisi
 Leonhard Euler
 Bessel fonksiyonları

Kaynakça 

Matematiksel fonksiyonlar
Leonhard Euler
E (matematiksel sabit)