1 + 2 + 3 + 4 + · · ·

Tüm doğal sayıların toplamını belirten ve

şeklinde de yazılabilen 1 + 2 + 3 + 4 + · · · ifadesi bir ıraksak seridir. Serinin ilk n teriminin toplamı

formülüyle hesaplanır.

Serinin bütününün ilk bakışta anlamsız görünmesi yanıltıcıdır. Serinin farklı biçimlerdeki yazımları karmaşık çözümleme, kuantum teorisi ve sicim kuramı alanları için işe yarar sonuçlar üretir.

Kısmi toplam formülünün kanıtı 
n'ye değin doğal sayıların toplamının  olduğu birkaç farklı yöntemle gösterilebilir. İlk olarak aşağıdaki eşitlik kurulu olsun.

Terimler sondan başa doğru sıralandığında

ifadesi elde edilir. Bu ifade önceki ile toplanırsa

sonucuna ulaşılır.

Zeta fonksiyonunun toplamı ve analitik sürekliliği 
 ifadesinin Ramanujan toplamı, 'dir.

s'''nin gerçel kısmı 1'den büyükse s'nin Riemann zeta fonksiyonu  toplamına eşit olur.
Bu toplam, s'nin 1'e eşit ya da 1'den küçük olması durumunda ıraksar, ancak s'' = −1 ise ζ(s)'nin analitik sürekliliği 'ye eşit olur.

Fizikteki kullanımı 
Bozonik sicim kuramında ana amaç bir sicimin sahip olduğu erke düzeylerinin hesaplanmasıdır. Sicimin her armonisi  bağımsız kuantum harmonik titreşiminden oluşan bir çokluk olarak görülebilir. Burada , uzayzaman boyutunu belirtir. Temel titreşim sıklığı  ise . armoniye karşılık gelen erke miktarı 'dir. Iraksak seri kullanıldığında tüm armonilerin toplamının  olduğu görülür. Böylece, biyonik sicim kuramının 26 dışındaki boyutlarda tutarlı olmadığı kanıtlanmış olur.

Casimir kuvvetinin belirmesinde de benzer bir hesaba gereksinim duyulur.

Tarihi 
Srinivasa Ramanujan'ın G. H. Hardy'ye yazdığı 27 Şubat 1913 tarihli ikinci mektupta şöyle denilmektedir:

Ayrıca bakınız 
 Sonsuz aritmetik seriler
 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
 1 + 1 + 1 + 1 + · · ·

Notlar

Kaynakça

Bibliyografya

Dış bağlantılar 
 Bu Haftanın Matematiksel Fizikle İlgili Buluşları;
 , 
 , 
 
 

Matematiksel seriler
Iraksak seriler