Borel-Cantelli lemması

Olasılık kuramında Borel–Cantelli önermesi olay dizilerine ilişkin bir savdır. Ölçü kuramının bir sonucu olan önerme Émile Borel ve Francesco Paolo Cantelli'ye adanmıştır.

Olasılık uzayları 

(En) bir olasılık uzayında dizi olmak üzere, En'nin olasılıkları toplamı sonlu ise,

sonsuz sayıda olayın gerçekleşme olasılığı sıfır olarak hesaplanır.

Burada, "lim sup" olay dizisinin üst limitini belirtmekte ve her olay bir sonuç dizisi olarak tanımlanmaktadır. lim sup En ise sonuçların (En) sonsuz olay dizisi içinde sonsuz sayıda gerçekleşmesi olasılığını göstermektedir. Bu olgu

biçiminde de ifade edilebilmektedir.

Sav, En olaylarının gerçekleşme olasılıkları toplamının sonlu olması durumunda sonsuz kez 'yinelenen' sonuçların oluşturduğu kümenin meydana gelme olasılığının sıfıra eşit olduğunu ortaya koymaktadır. Bu sonuca varmak için herhangi bir bağımsızlık varsayımına gerek duyulmamaktadır.

Örnek 
	
(Xn) her n için Pr(Xn = 0) = 1/n2 eşitliğini sağlayan bir rassal değişken dizisi olmak üzere, Xn = 0 ifadesinin sonsuz sayıda n için geçerli olma olasılığı sonsuz sayıda [Xn = 0] olaydan elde edilen bir kesitin gerçekleşme olasılığına eşittir. Burada sözü edilen kesit, her olayda ortak olarak gözlenen sonuçların oluşturduğu bir küme olarak tanımlanmaktadır. Buna karşın, ∑Pr(Xn = 0) dizisinin yakınsak olması (bu dizi π2/6 değerine eşit olan bir Riemann zeta işlevi olarak da görülebilir) sonsuz sayıda olayın her birinde gözlemlenen sonuçlar kümesinin meydana gelme olasılığının sıfır olmasına yol açmaktadır. Bu, Xn = 0 ifadesinin sonsuz sayıda n için gerçekleşme olasılığının 0 olduğunu göstermektedir. Xn'nin sonsuz sayıda n değeri için sıfırdan farklı olduğu neredeyse kesin (1 olasılıklı) olarak söylenebilir.

Genel ölçü uzayları 

Borel–Cantelli önermesi genel ölçü uzayları için şu biçimde tanımlanmaktadır:

μ bir X kümesi üzerinde tanımlı bir ölçü ve (An) F σ-cebirinde bir dizi olmak üzere

koşulu sağlanıyorsa

eşitliği elde edilir.

Karşıt sonuç 

İlk Borel–Cantelli önermesine kısmen karşıt bir sonuç üreten ve zaman zaman ikinci Borel–Cantelli önermesi olarak adlandırılan sav şöyle tanımlanmaktadır:

En olayları bağımsızsa ve bu olayların gerçekleşme olasılıkları toplamı ıraksıyorsa bu tür sonsuz sayıda olayın meydana gelme olasılığı 1'dir.

Bağımsızlık varsayımı parçalı bağımsızlığa indirgenebilmektedir, ancak bu durum önermenin kanıtını güçleştirmektedir.

Sonsuz maymun kuramının özel bir durumu olan önerme Rn'de tanımlı bir kapsayıcı sav içermektedir. Ej

koşulunu sağlayan ve Rn'de tanımlı bir tıkız kümenin Lebesgue ölçülü altkümelerinden oluşan bir yığın ise,

eşitliğini sağlayan bir Fj dizisi tanımlıdır.

Eş önerme 
Eş Borel–Cantelli önermesi olarak da adlandırılan sav, özgün önermenin üst limitinin 1 olması için gerekli ve yeterli koşulları tanımlamaktadır. Sav, bağımsızlık varsayımını tümüyle değiştirerek 'nin yeterince büyük n değerleri için sürekli artan bir örüntü oluşturduğunu kabullenmektedir. Önerme şöyle özetlenebilir:

 koşulunu sağlayan bir  tanımlı ve  'nın tümleyeni ise, sonsuz sayıda  olayının gerçekleşme olasılığı ancak ve ancak

 

koşulunu sağlayan ve sürekli artan bir pozitif tam sayı dizisi tanımlıysa 1'e eşittir.

Notlar

Kaynakça

Dış bağlantılar 
 Borel–Cantelli önermesinin kanıtı 

Ölçü teorisi
Olasılık teorisi
Lemmalar