Paralelkenar yasası

Matematikte paralelkenar yasasının en temel formu (ayrıca paralelkenar özdeşliği denir), temel geometriye aittir. Yasa, paralelkenarın tüm kenarlarının karelerinin toplamının köşegenlerinin karelerinin toplamına eşit olduğunu söyler.

Teoremin açıklaması
Yandaki gösterimdeki paralelkenarın kenarları; (AB), (BC), (CD) ve (DA)'dır. Öklidci geometriden beri, paralelkenarın karşılıklı kenarları mutlaka eşit olmalıdır. Yani, (AB) = (CD) ve (BC) = (DA)'dır.

Yasa şu şekilde ifade edilebilir,
 

Paralel kenarın dikdörtgen olması durumunda ise köşegenler eşit olmalıdır (AC) = (BD) yani,
 

İfade, dört kenarı eşit olmayan genel dörtgenler içinse Pisagor teoremine indirgenebilir,
 

burada x köşegenlerinin orta noktasını birleştiren çizginin uzunluğudur. Şemada görüldüğü gibi, paralelkenar için x = 0 ve genel formül paralelkenar yasasındakine eşdeğerdir.

İç çarpım uzayları içinde paralelkenar kanunu

Bir normlu uzayı içinde paralelkenar kanununun durumu normlarla ilişkili bir denklemdir:

Bir iç çarpım uzayı içinde,norm iç çarpım kullanımı belirleniyor:

Tanımın bir sonucu olarak, bir iç çarpımlı uzay içinde parallelkenar kanunu  bir cebrik özdeşliktir,iç çarpımın özellikleri kullanılarak kolayca kurulmuştur:

bu iki bağıntı ekleniyor:

olarak gereklidir.

Eğer x  yye ortogonal ise,  ve alınan bir toplamın normu için  yukarıdaki denklem :

Bu pisagor teoremidir.

Normlu vektör uzaylarını paralelkenar kanunu karşılar
En gerçek ve karmaşık normlu vektör uzayları iç çarpımlı değildir, ama tüm normlu vektör uzaylarının normları var (tanımı ile).Örneğin, bir ortak kullanılan norm p-normdur:

 burada  vektörünün bileşenleridir.

Verilen bir norm, yukarıda paralelkenar kanununun iki tarafını teke evriltilebilir. Dikkat çekici gerçektir şudur ki paralelkenar kanunu tutarlı ise, o zaman standart bir iç çarpım, alışılmış bir yolla ortaya çıkmalıdır. Özel olarak, bu p-norm'un ancak ve ancak p = 2,Öklidyen norm  veya standard norm gibi-adlandırılması uygundur.

Herhangi norm için paralelkenar kanunu karşılar (bu zorunlu olarak bir iç çarpım normudur), iç çarpım üreten norm polarizasyon özdeşliğinin bir sonucu olarak tekliktir. Gerçek durum içinde,polarizasyon özdeşliği ile veriliyor:

veya, eşdeğerliği, ile:

karmaşık durum içinde aşağıdaki ile veriliyor:

Örneğin, p-norm ile p = 2 ve gerçel vektörler  kullanılıyor,  iç çarpımın evirtimi için süreç aşağıdadır:

bu iki vektörlerin  standart nokta çarpımıdır.

Notlar ve iç-hat kaynakları

Ayrıca bakınız 
 Apollonius teoremi
 Birleşmeli özellikler
 Polarizasyon özdeşliği

Dış bağlantılar
 The Parallelogram Law Proven Simply at Dreamshire blog
 The Parallelogram Law: A Proof Without Words  at Cut-the-Knot
 Proof of Parallelogram Law  at PlanetMath
 A generalization of the "Parallelogram Law/Identity" to a Parallelo-hexagon and to 2n-gons in General - Relations between the sides and diagonals of 2n-gons (Douglas' Theorem)  at Dynamic Geometry Sketches , an interactive dynamic geometry sketch.

Matematiksel normlar
Öklid geometrisi teoremleri
Dörtgenler