Cauchy-Schwarz eşitsizliği

Cauchy-Schwarz eşitsizliği (bazen Schwarz eşitsizliği veya Cauchy eşitsizliği veya Cauchy-Schwarz-Bunyakovski eşitsizliği olarak anılıp) Matematik bilimi teorisinde önemli bir eşitsizlik olup, çok önemli matematiksel uygulamalarda da kullanılmaktadır. Bunlar arasında vektörlere uygulanan lineer cebirde, sonsuz seriler ve çarpımların entegrasyonu uygulanmasinda matematik analizde ve varyans ve kovaryans uygulaması icin istatistik ve olasilik kurami'nda bu eşitsizlik çok kullanılmaktadır.

Toplamlar için bu eşitsizlik ilk defa Augustin Louis Cauchy tarafından 1821de ve integraller için ise bu eşitsizlik ilk defa Viktor Yakovlevich Bunyakovsky tarafından 1850da ve sonra tekrar olarak Hermann Amandus Schwarz tarafından 1888de ortaya atılmıştır.

Cauchy-Schwarz eşitsizliğine göre bir reel içsel çarpım uzayında veya kompleks bulunan tüm x ve y vektörler için şu ifade geçerlidir:

Bu ifadenin her iki tarafının da karekökü alınırsa ifade vektörlerin normları kullanılarak ayni özdeş şekilde yeni bir ifade ile şöyle yazılır:

Buna ek olarak ifadenin iki tarafının birbirine eşit olması ancak ve ancak x ve y vektörleri birbirlerine lineer olarak bağımlı olmaları halinde (yani geometrik açıklama ile birbirlerine paralel oldukları veya her iki vektörün de sıfır değerli olması halinde) gerçekleşir.

Cauchy-Schwarz eşitsizliği aynı yerli çarpım tarafından endüklenen topolojiye nazaran yerli çarpımın bir surekli fonksiyon olduğunu ispat etmek için kullanılır.

Cauchy-Schwarz eşitsizliği Bessel eşitsizliğini test etmek için kullanılır.

Heisenberg belirsizlik ilkesi genel formülasyonu fiziksel dalga fonksiyonlarinin icsel çarpımı uzayında Cauchy-Scwarz fonksiyonları iç ürün alana Schwarz eşitsizliği kullanılarak yapılmaktadır.

Gerçel Sayılar için Cauchy-Schwarz Eşitziliğinin Kanıtı 
Bu kanıtı gerçekleştirmek için ilk önce uzunlukları bire eşit olan iki vektör ele alınır.

Herhangi bir vektör için ise bu eşitsizlik açıktır,

Son kısımda vektörlerin uzunluklarının bire eşit olması kullanılmıştır. Bu eşitsizlik bize kısaca aşağıdaki eşitsizliği verir,

Burdan sonra aslında işimiz kolaydır çünkü herhangi uzunluğu bir olan vektörü şu şekilde yazabiliriz,

Bunu yukarıdaki eşitsizliğimize yerleştirdiğimizde Cauchy-Schwarz eşitsizliğini elde ederiz,

Kaynakça

Dış bağlantılar 

 İngilizce Wikipedia "Cauchy–Schwarz inequality" maddesi :    (Erişme:15.12.2009)
 İspanyolca Wikipedia "Desigualdad de Cauchy-Schwarz" maddesi :    (Erişme:15.12.2009)
 Bouniakowsky, V. (1859), "Sur quelques inegalités concernant les intégrales aux différences finies" (PDF), Mem. Acad. Sci. St. Petersbourg 7 (1): 9,    (Erişme:15.12.2009)
 Cauchy, A. (1821), Oeuvres 2, III, s. 373 
 Dragomir, S. S. (2003), "A survey on Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz type discrete inequalities", JIPAM. J. Inequal. Pure Appl. Math. 4 (3): 142 pp,   (Erişme:15.12.2009)
 Paulsen, V. (2003), Completely Bounded Maps and Operator Algebras, Cambridge University Press .
 Schwarz, H. A. (1888), "Über ein Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung" (PDF), Acta Societatis scientiarum Fennicae XV: 318,    (Erişme:15.12.2009)
 Solomentsev, E.D. (2001), "Cauchy inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4,    (Erişme:15.12.2009)

Olasılık teorisi
Lineer cebir
Eşitsizlikler