Çifte doğrusallık

Çifte doğrusallık, matematik'te, çiftdoğrusal işlemci her bir bağımsız dogrusal değişkenlerin üçüncü bir vektör uzayının bir öğesini elde etmek için iki vektör uzayı öğelerini birleştiren bir fonksiyonudur. Matris çarpimi bir örnektir.

Tanım
Eğer V, W ve X  aynı tabanlı F alanı üzerinde üç vektör uzayı'ise bu çifte doğrusal gönderim bir fonksiyon ve
B : V × W → X ise
herhangi W gönderim içindeki w için
v ↦ B(v, w)
bir doğrusal gönderim  V den X 'adır, ve  herhangi   V içindeki v için gönderim
w ↦ B(v, w)
bir doğrusal gönderim W dan X adır. 
Başka bir deyişle, biz sabit çifte doğrusal haritasının ilk girişi sabit tutar,  ikinci girişin değişmesine izin verirsek, sonuç bir doğrusal işlemcidir, ve benzer şekilde eğer iki giriş sabit tutulursa  ve eğer biz  çarpımını bir vektör uzayı olarak kabul edersek, B ( olmadıkça veya ) vektör uzayının bir doğrusal dönüşüm değildir çünkü,örnek için .

Eğer  ve bizim  var  bütün v için,V içindeki w, ise B ye simetrik'tir deriz.

Bu durumda X, Fdir, ve bizde bir çiftdoğrusal form var, özellikle yararlıdır (örnek için skaler çarpım, iç çarpım ve karesel form).

eğer bir F alanı üzerinde  vektör uzayının yerine tanımında herhangi bir değişikliğe gerek olmadan çalışırsa, biz değişmeli halka R üzerinde modül kullanıyoruz. Ayrıca  n-li fonksiyonlar kolayca genellenebilir,burada uygun terim çokludoğrusaldır.

bir değişmeli olmayan R halka tabanının durumu için  ve bir sağ modül MR ve bir  sol modül RN, biz bir çiftdoğrusal gönderim  tanımlarız , burada T  bir değişmeli grup'tur, ayrıca herhangi   in N içindeki n için,  bir grup homomorfizmidir, ve  herhangi M içindeki m için,  bir grup homomorfizmidir,ve

B(mt, n) = B(m, tn)

bütün  M içindeki m  N içindeki n ve  R içindeki t için  yeterlidir

Özellikler
Tanımının Bir ilk acil sonucu bu 
her ne zaman  olduğunda veya . (Bu yazılarak görülür sıfır vektör 0 olarak 0·0,doğrusallık ile B nin önyüzünde ve skaler 0 "dışına" taşınıyor.)

Bütün çiftdoğrusal haritaların L(V,W;X) kümesi uzayın (viz. vektör uzayı, modül) bir doğrusal altuzayı'dır.

Bir matris M bir gerçek çiftdoğrusal formun içindeki nedensel bir doğrusal harita , ise ikilik ve müzikal eşbiçim'in ilişkililik'i  kullanılarak diğer üç olasılık giderilir.

				

Eğer V, W, X  sonlu-boyutlu, ise L(V,W;X) böyledir.  için, yani çiftdoğrusal formudur, Bu boşluğun boyutu  dir (eğer doğrusal L(V×W;F) formunun  ). Bunu görmek için, Viçin  bir taban seçebilirsiniz ve W; ise her çiftdoğrusal harita B(ei,fj) matrisi tarafından tekli gösterilebilir, ya da tam tersi. 
şimdi, eğer X yüksek boyutlu bir uzaydır,tabii ki  bizim  var.

 Örnekler 
 Matris çarpımı bir lineer haritadır .
 Eğer gerçel sayı'lar R üzerinde bir vektör uzayı V bir iç-çarpım taşıyor, ise iç-çarpım bir çiftdoğrusal  haritadır.
 Genel olarak,bir vektör uzayı V üzerinde bir F alanı için,bir çiftdoğrusal form olarak V aynı  bir çiftdoğrusal olarak.
 Eğer V  bir vektör uzayı ile ikili uzay V*, ise uygulama operatörü,   çiftdoğrusal harita 'dan alan tabanınadır.
 Diyelimki V ve W vektör uzayı üzerinde  aynı alanın tabanı F dir. eğer f V* nin bir üyesi ve g W* nin bir üyesi, ise  bir lineer harita  tanımlanır.
 R'''3 içinde çapraz çarpım bir çiftdoğrusaldır 'dır.
 Diyelimki   bir çiftdoğrusal haritadır, ve   bir doğrusal haritadır, eğer öyleyse  is bir çiftdoğrusal harita olarak   olur.
sıfır harita, ile tanımlanır  bütün (v,w) için   içinde yalnızca  haritasından X 'adır bu çiftdoğrusaldır ve aynı zamanda doğrusaldır,gerçekten,eğer, ise eğer B doğrusaldır,  eğer B'' çiftdoğrusaldır.

Ayrıca bakınız
 Çokludoğrusal harita

Dış bağlantılar
 

Çokludoğrusal cebir