Z-dönüşümü

Z dönüşümü, matematikte ve sinyal işlemede bir dönüşüm. Zaman tanım kümesinde gerçel ve sanal bileşenleri olan herhangi bir ayrık işareti, frekans tanım kümesindeki biçimine dönüştürür.

Tanım
Dönüşüm şu şekildedir:

Yukarıdaki bağıntıda, nler tam sayı ve küçük zler karmaşık sayıdır.

Bu ikinci bağıntıya göre ise A, znin genliği, φ de fazı ya da argümanı olarak tanımlanır. Faz, radyan'la ölçülür.

 Fourier dönüşümü ile ilişkisi 
Ayrık zamanlı Fourier dönüşümü (DTFT)'in genelleştirilmesi olan z-dönüşümünün Fourier dönüşümü ile yakından ilgisi vardır.  gibi düşünülürse (DTFT) elde edilmektedir. Bunun sebebi şöyle açıklanmaktadır: z bir kompleks sayıdır ve kutupsal formda  olarak gösterilmektedir. Eğer A = 1 ise z dönüşümü Fourier dönüşümü olmaktadır ama yarıçap 1'den farklı ise o zaman z dönüşümü olarak kalmaktadır.

ROC, z Dönüşümünün en önemli kavramıdır. ROC (region of convergence-yakınsama bölgesi) bir sinyalin z-dönüşümünün sonsuz olmayan bir sayıya yakınsadığı değerlerinin z-düzlemi üzerinde gösterildiği alandır. ROC sistem hakkında birçok bilgi almamızı sağlar. Çizimi ise aşağıdaki özelliklere bakılarak yapılır.

ROC bir halka ya da bir disktir ve merkezi orjindedir.
H(z)'de z yerine  koyulunca Fourier dönüşümüne yakınsayabilmesi için ROC'un birim çemberi içermesi gerekir. Bu aynı zamanda sistemin kararlılık kriteridir. ROC kutup içeremez.

x[n] sınırlı dizi ise ROC bütün z-düzlemidir. Belki 0'ı ya da sonsuzu içermeyebilir.

Nedensel sistemlerde, x[n] sağa yaslıdır ve ROC en dıştaki kutbun dışına doğru olur. Nedensel olmayan sistemlerde, x[n] sola yaslı ve ROC en içteki kutbun içine doğru olur. x[n] hem nedensel hem de anti-nedensel terimler içeriyorsa, ROC en dıştaki kutuptan içeri en içteki kutuptan dışarı doğru olan bir halkadır.

Sistemin hem nedensel hem de kararlı olması durumunda, bütün kutuplar birim çemberin içinde olmalıdır. Çünkü eğer bir kutup bile birim çemberin dışında olsa, nedensel sistem özelliğinden dolayı ROC en sağdaki kutbun dışına doğru olur ve birim çemberi içeremez, bu durumda sistemin kararlılık kriteri de karşılanamaz.

ROC bağlantılı olmak zorundadır.

 Bazı Z-dönüşümü çiftleri 
Aşağıdaki tabloda bazı sistemlerin z dönüşümleri verilmiştir.

Dirac delta fonksiyonu ve Heaviside birim basamak fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanır:
 
 

 Özellikler 

 İlk değer teoremi, Eğer  nedensel ise.

 Son değer teoremi'
 , Sadece kutuplar 	 birim çemberin içindeyse.

Ayrıca bakınız
 Matematiksel fonksiyonların listesi
 Fourier dönüşümü
 Laplace dönüşümü
 Hankel dönüşümü

Kaynakça 

Dönüşümler