Schwarz önsavı

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde Schwarz önsavı, karmaşık düzlemdeki birim daire üzerinde tanımlı ve değer kümesi yine aynı birim daire olan holomorf fonksiyonların aldığı değerlerin üzerine kestirimler veren önemli bir sonuçtur. Her ne kadar bilim dizininde önsav olarak isim almışsa da kendi başına önemli bir teoremdir. Bu sonuç, günümüzde herhangi bir karmaşık analiz kitabında ifade edilen şeklinden daha farklı bir şekilde ilk defa Alman matematikçi Hermann Amandus Schwarz tarafından kendi doktora tezinde ifade edilmiştir. Sonucu günışığına çıkarıp günümüzdeki ifadesini yazan ve aynı zamanda bu önsavın tanınmasını sağlayan matematikçi ise Yunan matematikçi Constantin Carathéodory olmuştur.

Karmaşık analizin diğer önemli sonuçlarına göre daha kolay bir kanıta sahip olmasına ve bunun yanında basit bir sonuç olmasına rağmen, Schwarz önsavı yine de karmaşık analizin merkezi bir kullanım aracı haline gelmiştir. Bunun nedeni ise, Riemann tasvir teoremi gibi önemli teoremlerin kanıtlanmasında ve yine karmaşık analizin geliştirilmesinde sıkça kullanılan bir sonuç olmasıdır.

Schwarz önsavı'nın ifadesi 

karmaşık düzlemdeki birim daire olsun.  fonksiyonu da  koşulunu sağlayan holomorf bir fonksiyon olsun. 
O zaman, her  için

 
 

eşitsizlikleri vardır.

Ayrıca, 0 'a eşit olmayan bir  için 
  eşitliği 
veya 
  eşitliği
 
varsa, o zaman f bir döndürme fonksiyonudur; yani, birim çember üzerindeki bir a karmaşık sayısı için  olarak yazılabilir.

Kanıt 
Kanıt aslında karmaşık analizdeki maksimum ilkesini

fonksiyonuna uygulamaktadır.  olduğu için paydadaki z değerinin g fonksiyonunun holomorfluğunu bozacak bir etkisi yoktur. Bunu daha kesin bir dille anlatmak için Riemann kaldırılabilir tekillik teoremi kullanılabilir. O yüzden, g de birim daire üzerinde holomorf bir fonksiyondur. r < 1 için

kapalı dairelerine bakalım. g,  'lerin her birinde holomorf olduğu için, g 'ye maksimum ilkesini uygulayabiliriz. O zaman,  'deki her z 'den bağımsız olarak 'nin sınırı olan çemberin üzerinde bir  sayısı vardır öyle ki her  için  eşitsizliği sağlanır. Daha açık bir şekilde yazarsak ve varsayımlarımızı da kullanırsak, o zaman

elde ederiz. Ancak, burada aldığımız  birim dairenin içinde kalan ve 0 merkezli olan keyfi bir daireydi. Son elde ettiğimiz eşitsizlikte her iki tarafın r 1'e soldan giderken limitini alırsak,

elde ederiz ki bu da 0'dan farklı her z için  eşitsizliğini verir. Bu eşitsizlik, 0 noktasında f 0 değerini aldığı için zaten vardır. O halde, önsavın ifadesinde geçen ilk sonuç elde edilir.

İkinci sonucu elde etmek içinse, sırasıyla f 'nin 0 noktasındaki türevinin tanımını, g 'nin tanımını ve son olarak g için yukarıda elde edilen eşitsizliği kullanmak yeterli olacaktır:

Ayrıca, D 'de 0'dan farklı bir z0 sayısı için |g(z0)| = 1 eşitliği varsa, o zaman g 'ye yine maksimum ilkesini uygulayıp g 'nin bir sabit fonksiyon olduğunu elde ederiz. |g|, z0 noktasında 1 değerini aldığı içinse, bu sabit fonksiyonun mutlak değerinin 1 olduğu sonucuna varırız. O zaman, birim çember üzerindeki bir a karmaşık sayısı için  ve bu yüzden  eşitliği vardır.
Yine,  eşitliği varsa o zaman yukarıda f 'nin 0 noktasındaki türevi için yazdığımız ifadeden g 'nin 0'daki değerinin 1 olduğunu çıkarırız. İlk durumdaki tartışmanın aynısı yine istediğimiz sonucu verecektir.

Ayrıca bakınız 
 Schwarz-Pick teoremi
 Schwarz–Ahlfors–Pick teoremi
 De Branges teoremi
 Koebe 1/4 teoremi

Notlar 

Karmaşık analiz
Matematik teoremleri
Kanıt içeren maddeler