Julia kümesi

Bir fonksiyonun Julia kümesi, o fonksiyonun dinamiğini incelemek için kullanılan kümedir. Karmaşık fonksiyonlar, karmaşık düzlemi (en genel durumda tıkız Riemann yüzeyini ) kendi dinamiklerine göre iki ayrık kümeye bölerler. Bu kümeler, Julia ve Fatou kümeleridir. Fonksiyon, Julia kümesi üzerinde kaotik davranış sergilerken, Fatau kümesinde normal davranış sergiler.

 fonksiyonunun Julia kümesi genellikle  ile, Fatau kümesi  ile ve doldurulmuş Julia kümesi  ile gösterilir. Bu kümeler, 20`nci yüzyılın başlarında Fransız matematikçiler Gaston Julia ve Pierre Fatou tarafından bulunmuşlardır. 20`nci yüzyılın sonlarında bilgisayar ve grafik biliminin keşfi ile, Julia kümelerinin kullanımları hızlanmıştır.

Mandelbrot kümesi, ikinci derece karmaşık katsayılı polinomların parametre uzayıdır. Yani, bu polinomların Julia kümelerini tarif eden bir nevi kombinatorik atlasdır. Çok değişkenli polinomların veya rasyonel fonksiyonların parametre uzayları daha karmaşık yapıdadır.

Tanım 
, bir tıkız Riemann yüzeyi olsun.  genellikle 2-boyutlu küre  olarak seçilir.  uzayı bir analitik çokkatlı olduğundan, üzerinde analitik yapı vardır.  sabit olmayan fonksiyonunun, bu analitik yapıya göre, çözümlenebilir olduğunu kabul edelim.  ile,  nin kendisiyle kere birleşiminden oluşan fonksiyonu gösterelim.  kümesi,  ailesini normal aile yapan küme şeklinde tanımlanır.  kümesi ise  şeklinde tanımlanır.

Bu soyut tanımın anlamı şudur: Bir  verildiğinde  olacak şekilde  komşuluğu vardır.  bir çokkatlı olduğundan,  ya sınırlandırılmış analitik yapı vardır.  komşuluğu  fonksiyonlarının tanım kümesinin bir altkümesi ise,  analitik ailesi elde edilir.  nin bir normal aile olması demek,  nin kapanışının tıkız olması demektir. Burada,  üzerinde iyi bilinen bir topoloji vardır. Mesela,  durumunda  Frechet uzayıdır.  nin kapanışı da tıkızlığı da bu topolojiye göredir.  kümesinin bir açık küme olması, her   için böyle bir  seçilebilmesindendir ve Fatou kümesinin tanımının direkt sonucudur.  nin kapalı olması  eşitliğinden bulunur.

 nin  de kaotik davranış göstermesi,  nin iterasyonlarının normal olmamasından dolayıdır. Bazı kaynaklar "kaotik davranışı" değişik şekilde tanımladıklarından, burada kullanıdığımız tanımı belirtmemiz gerekir: Kaotik davranış demek, başlangıç değerine duyarlı olmak demektir. Başka bir deyişle,  kaotiktir demek, birbirine çok yakın iki nokta   alındığında  ile  lerin birbirlerinden çok uzak olması demektir.

Örnekler 
  formülüyle verilen  polinomunu ele alalım. Yukarıda verilen soyut tanımı kullanarak,  nin Julia kümesinin yarıçaplı çember olduğunu göstereceğiz. Bu çemberi  ile gösterelim.  in "dışı" dediğimiz bölge, çember ile sonsuz arasında kalan bölgedir. Dış kısımdan bir  noktası ve bu nokta civarında  ile kesişmeyen bir komşuluk alırsanız, bu komşuluğun  polinomu altındaki imajı  arttıkça sonsuza yaklaşır. Başka bir deyişle,  in dış kısmında  ailesi sabit  fonksiyonuna yakınsar, yani  de kapanışı tıkızdır. Benzer şekilde,  noktası çemberin iç bölgesinde ise,  ler 0 a yakınsar. Geri kalan kısım, yani çemberin kendisi, Julia kümesini verir. 
Aşağıda bazı örnekler verilmiştir. Öncelikle, bu resimlerin bazılarının renkli bazılarının ise siyah-beyaz olduğunu gözlemleyiniz. Kombinatorik harita resminin bir Julia kümesi olmadığını, fakat tavşan fonksiyonunun Julia kümesinin bu harita kullanılarak açıklanabileceğini hemen belirtelim.
Resimlerdeki her renk, sayısal olarak  ile ilgili bir nicelige denk gelir. Aynı renge sahip noktalar benzer özelliklere sahiptirler. Siyah-beyaz resimlerde, bu nicelikler belirtilmez ve siyah noktalarla Julia kümesinin noktaları beyaz renk ile de Fatou kümesinin noktaları işaretlenir. Renk kullanımına şöyle bir örnek verelim:  fonksiyonunu ele alalım.  Çemberden seçilen neredeyse her noktanın,  altındaki yörüngesi çember içinde yoğundur. Çemberin dış kısmından, yani , bir nokta seçersek, yörüngesi sonsuza kaçar. Sonsuza kaçma hızı, değişik renklerle ifade edilir. Mesela, eğer nokta ilk 10 iterasyon sonunda yarıçapı 50 olan çemberin dışında kalıyorsa açık mavi renk, kalmıyorsa koyu mavi renk kullanılabilir. Renklerin nasıl kullanılacağını belirten genel bir kural yoktur.

Yukarıda verilen resimlerde(her bir resim bir kümedir) çoğunlukla ikinci derece polinomlarının kullanılmasının nedeni hesaplarının ve teorilerinin kolay olmasındandır. Kaotik davranış, bilgisayar tarafından çizilen resimlerde büyük sapmalar olmasına neden olur. 
 
Bilgisayar çizimleri her zaman hatalı olduklarından, konunun bilimsel yönden önemi,  nin  deki dinamiğine topolojik ve kombinatorik olarak eşdeğer(konjuge) olan bir başka dinamik sistem bulup onu izah etmekten geçer.

Julia setine örnekler

Diğer Tanımlar 
  kümesi, en az üç nokta içeren ve  altında değişmez olan kapalı kümedir. Bu özellik,  yi biricik şekilde belirler. 
  kümesi,  nin itici devirli noktalarının topolojik kapanışıdır. 
  nin en fazla iki noktası dışındaki bütün  noktaları için,  şeklinde tanımlanabilir. 
 , küre üzerinde analitik ise (mesela polinomlar),  kümesi,  altında sonsuza yakınsayan noktalar kümesinin topolojik sınıdır. 
 Polinomlar için,  kümesi  kümesinin topolojik sınırı şeklinde tanımlanabilir.

Temel Özellikler 
  ve  kümeleri  altında tam-değişmez kümelerdir. Yani,  ve  eşitlikleri doğrudur.
   için  dir. 
   derecesi 2 den büyük rasyonel fonksiyon ise,  boş olamaz. Fakat,  olması mümkündür. Berkovich uzayında bu önermenin tam tersi doğrudur. Yani,  boş olabilir. Berkovich uzayı için, yukarıda verilen Julia kümesi tanımı kullanılamaz, çünkü bu uzay bir Riemann yüzeyi değildir. Detaylı bilgi için, ilgili makaleye bakınız. 
  Keyfi  seçilsin.  nin yörüngesi, yani  kümesi  de yoğundur. 
  derecesi 2 den büyük rasyonel fonksiyon ise, Julia kümesinin topolojik içi ya boştur ya da Fatou kümesinin kendisi boştur. Berkovich uzayı durumunda, Fatou boş olamaz.

Mandelbrot Kümesi İle İlişkisi 

Mandelbrot kümesi, ikinci derece karmaşık katsayılı polinomların parametre uzayıdır. Çok dereceli polinomlar ve rasyonel fonksiyonların parametre uzayları, Mandelbrot kümesinin çok boyutlu versiyonlarını verirler.  polinomunu düşünelim.  sayısı Mandelbrot kümesinin bir elemanı ise,  kümesi topolojik bağlantılıdır.  sayısı bir Misiurewicz noktası ise, Mandelbrot fraktalnın  sayısına denk gelen noktasının civarı,  fraktalına benzer.

Ölçü Teorisi İle İlişkisi 

, küre üzerinde rasyonel olsun. Bu durumda, desteği  olan ve her  Borel kümesi için  koşulunu sağlayan biricik  ölçüsü vardır. Bu  ölçüsüne  nin Lyubich ölçüsü denir. Bu  ölçüsü, güçlü harmanlama özelliğine sahiptir, yani her  için 

eşitliği doğrudur.

Julia Kümelerinin Kullanım Alanları 
 Anten teknolojisinde, fraktal şeklindeki antenleri modellemek için kullanılırlar. 
 Modern sanatta sıklıkla kullanılırlar.
 Fraktal sıkıştırma algoritmaları sayesinde, dijital veri sıkıştırmak için kullanılabilirler.
 Bilgisayar oyunlarında, sanal arazi üretmek için kullanılırlar.

Kaynakça 

Karmaşık dinamik
Fraktallar