Legendre polinomları

Matematiksel analizde Legendre fonksiyonları, aşağıdaki Legendre diferansiyel denkleminin çözümleridir.

 ; 

Bu adi diferansiyel denklem daha çok fizikte ve diğer teknik alanlarda kullanılır. Özellikle küresel koordinat sisteminde, kısmi diferansiyel denklem ile ilgili Laplace denklemi çözerken ortaya çıkar.

Özyineli tanımlama
Aşağıdaki genişletilmiş Taylor serisidir;

 (Denklem I)

(Denklem I)'in ilk iki terimini ele alalım:

Bu ilk iki terim Legendre polinomudur. Diğer birkaç Legendre polinomları şunlardır:

Çözümü
Legendre fonksiyonu, [-1,1] aralığında tanımlı, ±1 noktalarında kaldırılabilir tekilliğe sahip bir denklemdir. Kapalı formu şu şekilde gösterilir.

Burada L, Legendre operatörüdür.

Denklem Frobenius yöntemi ile, p=0 alınarak çözülürse.

ifadeleri denklemde yerlerine koyularak,

{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|}

Bu eşitlikten çıkan karakteristik denklem ise:

olur. Genellenirse

Bu şekilde geriye dönerek tekrarlanarak çözüm bulunur. Çözümün sonlu olabilmesi için

şartı sağlanması gerektiğinden, karakteristik denklem yardımıyla elde edilen çözümün sonlu olması ancak

şeklinde serinin kesilmesi ile olur. Bu şekilde oluşan polinomlara Legendre polinomları denir ve dolayısıyla bu polinomlar Legendre diferansiyel denkleminin çözümüdür.

Legendre polinomlarının ek özellikleri 

Legendre polinomları simetrik veya antisimetriktir, Şöyle ki

diferansiyel denklem  ve diklik özellikleri yardımıyla ölçeklemenin bağımsızlığı,"standardlaştırılmış" (bazen "normalizasyon" denir,ama unutmamalıki güncel norm birim değildir) böylece ölçekleme ile Legendre polinomları'nın tanımı

ve son noktada türev ile veriliyor

yukardaki soruda,Bonnet’in yineleme formülünde üç özyineleme ilişkisi terimi,bilinen Legendre polinomları ile uyumludur

ve

Legendre polinomlarının integrasyonu için kullanışlıdır;

yukardakinden şu görülebilir

veya eşdeğeri

burada   −1 ≤ x ≤ 1 aralığındaki normdur

Bonnet’in yineleme formülünden açık gösterim bir endüksiyon ile

elde edilir.Askey–Gasper eşitsizliği'nden Legendre polinomları için okunan

Legendre polinomlarının bir toplamı  için ve  için Dirac delta fonksiyonuya ilişkilidir

birim vektörlerin bir ölçek çarpımının Legendre polinomları küresel harmonikler ile kullanılan açılımı kullanılabilir

burada sırasıyla birim vektörler r ve r' küresel koordinatlar  ve  var,

Asimptotiklik   birimden yoksun eklentiler için

ve  birimden büyük eklentiler için

burada  ve  Bessel fonksiyonlarıdır.

Legendre polinomlarının kayması 

Kayan Legendre polinomları  olarak tanımlanır. Burada "kayan" fonksiyon  (aslında, bu  bir afin dönüşüm'dür) böylece seçilen bu örten gönderme [0, 1] aralığından [−1, 1] aralığına vurgusu yapilan  polinomları [0, 1] arasında bulunur:

kayan Legendre polinomu için bir

açık bağıntı ile veriliyor

kayan Legendre polinomları için Rodrigues' formülünün analoğu

ilk birkaç kayan Legendre polinomlarıdır:

Legendre fonksiyonları

Polinom çözümleri yanında, Legendre denkleminin polinomal-olmayan çözümlerinin sonsuz seriler ile gösterimi var.  Bu ikinci türün Legendre fonksiyonlarıdır, ile ifade edilir.

Diferansiyel denklem

genel çözümü var
,
burada A ve B sabitlerdir.

Kesirli derecenin Legendre fonksiyonları  

Kesirli dereceli Legendre fonksiyonları  ve kesirli hesap ile tanımlanan kesirli türevlerin başlangıç noktasından  ve tam sayı-olmayan faktöriyeller (gamma fonksiyonu ile tanımlanır) Rodrigues' formülü içinde aşağıdadır. Sonuç fonksiyonlar Legendre diferansiyel denklem aracılığıyla (−1,1) yeterli sürekliliktedir,ama son noktasında bundan böyle düzenlidir.Asosiye Legendre polinomları P ile Kesirli dereceli Legendre fonksiyonu Pn  uyumludur.

Ayrıca bakınız
 Matematiksel fonksiyonların listesi
 Legendre fonksiyonlarıyla ilişkisi
 Gaussian dörtlüsü
 Gegenbauer polinomları
 Legendre kesirli fonksiyonları
 Turán eşitsizliği
 Legendre dalgacığı
 Jacobi polinomları
 Küresel Harmonikler

Notlar

Kaynakça 
 
 , Chapter 2.
 .
 .

Dış bağlantılar
A quick informal derivation of the Legendre polynomial in the context of the quantum mechanics of hydrogen

Wolfram MathWorld entry on Legendre polynomials
Module for Legendre Polynomials by John H. Mathews
Dr James B. Calvert's article on Legendre polynomials from his personal collection of mathematics
The Legendre Polynomials by Carlyle E. Moore
Legendre Polynomials from Hyperphysics 

Özel hipergeometrik fonksiyonlar
Ortogonal polinomlar
Polinomlar