Dirichlet beta fonksiyonu

Matematik'teki Dirichlet beta fonksiyonu (diğer bir deyişle Catalan beta fonksiyonu) özel fonksiyon'dur, aslında modifiye edilerek parantezlenmiş Riemann zeta fonksiyonu'nundan ibarettir. özel bir şekli Dirichlet L-fonksiyon'udur.

Tanım 
Dirichlet beta fonksiyonu'nun tanımı

veya eşdeğeri,

Re(s) > 0 olduğu her durum için geçerlidir.

Alternatif olarak, aşağıdaki Hurwitz zeta fonksiyonu'nun kompleks değerleri için s-plan'da yapılan tanım

Diğer bir eşdeğer tanımlama, Lerch transcendent terimleri içerisindedir:

s 'nin bütün karmaşık değerleri için bu bir kez daha geçerlidir.

Fonksiyonal denklem 
fonksiyonal denklem beta fonksiyonunun açılımı kompleks düzlem'in sol tarafında Re(s)<0 için, 
 olarak verilir.

Burada Γ(s) Gama fonksiyonu'dur.

Özel değerler 
 
Bazı tanınmış özel değerler:

burada G Catalan sabiti'dir., ve

burada  poligama fonksiyonu'nun sayısal bir değeridir. 
her pozitif k tam sayısı için genelleştirirsek:

Burada  olarak gösterlien Euler sayısı'dır.. 
k ≥ 0,

için açılımlanmış şekli:

Dolayısıyla bağıntının bütün negatif integral değerleri için fonksiyon tuhaf bir şekilde gözden kaybolur.

Ayrıca bakınız 

 Hurwitz zeta fonksiyonu

Kaynakça 
 J. Spanier and K. B. Oldham, An Atlas of Functions, (1987) Hemisphere, New York.
 

Zeta ve L-fonksiyonları