Jacobi sembolü

Jacobi sembolü Legendre sembolünün bir genellemesidir. 1837 yılında Jacobi tarafından tanıtılan bu teori, modüler aritmetik ve sayılar teorisinin diğer dallarındandır ama ana kullanımı hesaplamada sayılar teorisi, özellikle asallık testi ve tam sayıları çarpanlara ayırma olarak kriptografide oldukça önemlidir.

Tanım 
Herhangi bir a tam sayısı ve herhangi bir n pozitif tek tam sayısı için Legendre sembolünün ana faktörlerine karşılık olarak Jacobi sembolünün bir ürünü olarak tanımlanır

   ve tüm tek sayılar için tarafından sağlanan değerler

Normal kuralı takip eden boş bir ürün için aynı değere sahip alt argümanların ne zaman Legendre ne zaman Jacobi sembolleri olduğu ayırt edilemez.

Özellikleri 
Aşağıdaki gerçekler,jacobi sembolü ve legendre sembolü karşılıklılık yasalarına karşılık gelen özellikleri tanımından kesintiler bulundurur.
Şunu belirtmek gerekir ki,Jacobi sembolü sadece üst argüman("pay")bir tam sayı,alt argüman ("payda")pozitif tek tam sayı olduğunda tanımlanır.
1) Eğer tek asal sayı ise,sonrasında  Jacobi sembolü aynı yazılmış olan Legendre sembolüne eşittir.
2) Eğer  ise 
3)
Eğer üst veya alt argüman sabit ise,tamamen çarpımsal fonksiyon içinde kalan argüman Jacobi sembolüdür:

4) , bu yüzden 

5) , yani 

karesel karışıklık yasası:Eğer m ve n göreceli tek asal tam sayılar ise
6) 

ve ekleri
7) 

8) 
Legendre sembolü gibi,

Eğer  ise bir kuadratik kalan olmayandır  e göre.

Eğer  bir kuadratik kalan ise  ve , sonrasında 

Fakat Legendre sembolü gibi değilse,
Eğer  ise  bir kuadratik kalan olabilir veya olmayabilir .

Jacobi sembol hesaplanması 
yukarıdaki formüller için etkin yol ((log a)(log b)) dir.Jacobi sembolünün hesaplanmasında kullanılan algoritma,iki sayının obebini bulan Öklid algortiması ile benzerdir.
kural 2 kullanılarak "pay" mod "payda" azaltılır.
kural 4 ve kural 8 kullanılarak "pay"dan herhangi 2 faktör ayıklanır.
 Eğer "pay" 1 ise,kural 3 ve 4 sonucu 1 verir.Eğer "pay" ve "payda" aralarında asal değilse,kural 3 sonucu 0 verir.
Aksi takdirde "pay" ve "payda" şu an göreceli tek pozitif tam sayıdır,bu yüzden kural 6 yı ters çevirip sonrasında 1.adıma dönebiliriz.

Hesaplama Örnekleri 

Legendre sembolü  sadece tek asal sayılar için tanımlanır.Bu Jacobi sembolü olarak aynı kurallara itaat eder (yani, karşılıklılık ve ek için formüller  ve  "pay"ın çarpımsalıdır

Legendre sembolü kullanarak

Jacobi sembolü kullanarak

Asallık testi 
Legendre ve Jacobi sembolünün farklı başka yolları yoktur.Eğer Euler kriteri asal olmayan bir sayı için uygulanırsa,sonuç Jacobi sembol değeri ile farklı olabilir ve hatta gerçek değer -1 veya 1 olmayabilir.

Ayrıca bakınız 

The Kronecker symbol is a generalization of the Jacobi symbol to all integers.
The power residue symbol is a generalization for third, fourth, and higher powers.

Kaynakça 

Modüler aritmetik