Borel toplamı

Borel toplamı dizilerin toplamına ilişkin bir genellemedir. Bu terim, herhangi bir toplam değeri olmayan diziler için bile bir büyüklük değeri tanımlayabilmektedir.

Tanım 

z'de bir resmi üs dizisi olsun ve 'nin Borel dönüşümü  aşağıdaki biçimde tanımlansın.

 'nin sıfırdan farklı bir yakınsaklık yarıçapı olduğu,
 'nin  gibi bir işleve tüm pozitif gerçel sayılar için sürdürülebildiği,
 'nin gerçel sayılar kümesinde en çok üssel hızla büyüdüğü

varsayılsın.

Bu durumda y'nin Borel toplamı, 'nin Laplace dönüşümüne eşit olur. Bu işlevin var oluşu 3. koşul tarafından güvence altına alınmaktadır.

Geçmiş 
Nicholas M. Katz, Émile Borel'in gençliğinden bir anı anlatıyor:

Uygulamalar 
Borel toplamı, fizikçilerin bir dizinin toplamını bulmaya çalıştıkları düzensizlik kuramı çalışmalarında sıkça kullanılmaktadır.

Borel toplamının dizilerden (süreksiz) integrallere (sürekli) dönüşümü şu yolla yapılmaktadır:

 

Burada F(s), f(x)'in Laplace dönüşümünü belirtmektedir. Bu ifade

 

türündeki Fourier integrallerine sonlu bir anlam kazandırmaktadır.

Kaynakça 
 

Matematiksel analiz
Diziler ve seriler
Toplam yöntemleri