Beta fonksiyonu

Matematik'te,  beta fonksiyonu, Euler integrali'nin ilk türüdür, 

için bu özel fonksiyon'unun tanımı

Beta fonksiyonu Jacques Binet tarafından öğrencileri Euler ve Legendre'ye adandı.

Özellikler 
Beta fonksiyonu  simetrik'tir, yani

yerine konulan Birçok diğer formları da vardır:

Burada   gama fonksiyonu'dur.

özellikle eşitlikteki ikinci gösterimden elde edilen buradaki eşitliklerden bazıları, mesela trigonometrik formül,

.
.

Kartezyen Koordinatlar'daki  n-küre hacminin türevleri'ne uygulanabilir .

Sadece tam sayılar için yazılan gama fonksiyonu faktöriyel'dir, beta fonksiyonu binomial katsayılar endeksi tarafından tanımlanabilir:

Ayrıca her  tam sayısı için, 
'nın  sürekli değerleri için öteleme fonksiyonu kapalı formunun integrallenmiş şekli

İlk kez Gabriele Veneziano, sicim teorisi'deki,genlik saçılması varsayımında beta fonksiyonunu kullandı.

Beta ve Gama fonksiyonları arasındaki ilişki 

Beta fonksiyonunun türetilen iki faktöriyel yazılarak integral gösterimi;

Şimdi, , ,yazalım,böylece

Kutupsal koordinatlara dönüşümü , :

Dolayısıyla,beta fonksiyonunun kullanılan formu ve değişkenleri yeniden:

Diğer bir türetim,bir özel durumu için konvolüsyon integrali  alınırsa

 and ,  sonuç kolayca:

.

Türevleri 

türevleri sırasıyla:

burada   digama fonksiyonu'dur.

Integralleri 

Nörlund-Rice integral beta fonksiyonunun kontür integral içeren şeklidir .

Yaklaşıklıklar 

Asimptotik formül,Stirling yaklaşıklığı'nı verir.

x büyük  y büyük ise,

diğer bir durumx büyük ve y sabit ise,

Tamamlanmamış beta fonksiyonu 
Tamamlanmamış demek integralin bir sinirinin kapali(burada 0dan x'a) diğer sinirinin açik olmasi demektir.
Beta fonksiyonunun bir genellemesi Tamamlanmamış beta fonksiyonu 'dur.

Tanımı

x = 1, için tamamlanmamış beta fonksiyonu ile tamamlanmış beta fonksiyonu çakışır.Bu ilişki gama fonksiyonu ve genel şekli tamamlanmamış gama fonksiyonu arasında da vardır..

düzenlenmiş,tamamlanmamış beta fonksiyonu (veya kısaca düzenlenmiş beta fonksiyonu) şeklinde tanımlanan bu iki fonksiyonun terimleri:

a ve b tam sayı değerleri için bilinen integral dışında ( parçalanmış integrasyon kullanılabilir):

Binom dağılımı'nın , bir rastgele değişkeni X " başarı olasılığı"  p  örnekleme boyutu n olmak üzere yığılımlı yoğunluk fonksiyonu için değerlendirmede; Düzenlenmiş- tamamlanmamış beta fonksiyonu  kullanılabilir
ve burada :

Özellikler 

(Listede diğer birçok özellikler olabilir.)

Ayrıca bakınız
 Matematiksel fonksiyonların listesi
 Beta dağılımı
 Binom dağılımı
 Jacobi toplamı,sonlu alanlar üzerinde beta fonksiyonunun analogları. 
 Negatif binom dağılımı
 Yule–Simon dağılımı
 Tekdüze dağılım (devamlılık)
 Gama fonksiyonu

Kaynakça 
 
 M. Zelen and N. C. Severo. in Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See §6.2, 6.6, and 26.5)
 W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1992. Second edition. (See section 6.4)
 
 Arbitrarily accurate values can be obtained from The Wolfram Functions Site, Evaluate Beta Regularized Incomplete beta

Dış bağlantılar 
 Cephes - C and C++ language special functions math library
 Beta Function Calculator
 Incomplete Beta Function Calculator
 Regularized Incomplete Beta Function Calculator

Gama ve ilişik fonksiyonlar
Özel hipergeometrik fonksiyonlar