Sönümlü poisson denklemi

Fizikte, Sönümlü Poisson Denklemi :

biçiminde Kısmi Diferansiyel Denklemdir. Burada  Laplasyene, f herhangi bir (kaynak fonksiyonu olarak da bilinen) konum fonksiyonuna, ve u da belirlenecek fonksiyona karşılık gelmektedir. Sönümlü Poisson Denklemi sık sık Hideki Yukava'nın mezonlar teorisini ve de plazmada elektrik alan sönümlenmesini içeren fizik alanlarında karşımıza çıkar.

Homojen durumda (f=0), sönümlü Poisson denklemi, zamandan bağımsız Klein-Gordon denklemi ile aynıdır. İnhomojen durumda ise sönümlü Poisson denklemi, İnhomojen Helmholtz Denklemine çok yakındır, tek fark köşebentlerin içindeki işarettir.

Genellemeyi kaybetmeden, λ'yı negatif olarak almayacağız. λ sıfır olduğu zaman, denklem Poisson denklemi olacaktır. Dolayısıyla, λ çok küçük olduğu zaman, boyutun n=3 olduğu ve de 1/r fonksiyonlarının kaynak fonksiyonu f ile süperpozisyon olduğu sönümsüz Poisson denkleminin çözümüne bizim çözümümüz yaklaşacaktır.

Diğer taraftan, λ çok büyük olduğu zaman, u, f/λ² değerine ulaşacaktır ki bu da λ sıfıra giderken sonsuza gidecektir. Göreceğimiz gibi, λnın normal değerleri için çözüm sönümlü  1/r fonksiyonları ile sönümün gücünü gösteren λ 'nın süperpozisyonu olacaktır.

Sönümlü Poisson Denklemi genel bir f için Green fonksiyonu yöntemini kullanarak çözülebilir. Green Fonksiyonu G

olarak tanımlanır. u ve onun türevlerinin büyük r değerleri için sıfırlandığını varsayarsak, sürekli Fourier dönüşümünü uzaysal koordinatlarda uygulayabiliriz;

Burada integral tüm uzay üzerinden alınmıştır, anlaşılır şekilde şu da gösterilebilir

r argümanlı Green fonksiyonunu ters Fourier dönüşümü yapılarak bulunabilir,

Bu integralin değeri k-uzayında Küresel koordinatları kullanarak bulunabilir. Açısal koordinatlar üzerinden integral açık bir şekilde, bir bölü çizgisel dalga numarası  na dönüşür:

Bu ise Çizgi integrali kullanılarak bulunabilir ve sonuç :

Daha sonra problemin tümü için çözüm

olarak bulunur. Üsttede belirtildiği gibi bu sönümlenmiş 1/r fonksiyonlarının kaynak fonksiyonu ile güçlendirilip sönümlenme gücü gibi davranan λ ile süperpozisyonudur. Sönümlenmiş 1/r fonksiyonu genellikle fizikte Yukawa Potansiyeli olarak da bilinen sönümlenmiş Coulomb potansiyeli olarak karşımıza çıkar.

İki Boyutta:
Manyetik Plazma düşünüldüğünde sönümlü poisson denklemi 2boyutluya benzerdir:

 
burada  ve ,  manyetik alana ve  ise Larmor radius a tekamül etmektedir. İlgili Green fonksiyonunun Fourier dönüşümü :

 

Daha sonra 2 boyutlu sönümlü poisson denklemi' ile

 

olur. Dolayısıyla ters Fourier dönüşümü ile Green fonksiyonu:

halini alır. k-uzayda (k'nın uzayın bazları olduğu kabul edildiğinde) Kutupsal koordinatlar kullanılarak bu integral çözülebilir :

 

Açısal koordinatlardan integral hesap edildiğinde, bu integral bir bölü çizgisel dalganumarası  'na dönüşür:

Ayrıca bakınız 
 Yukawa Etkileşimi

Kısmi diferansiyel denklemler
Plazma fiziği
Elektrostatik