Dirichlet eta işlevi

Matematiğin analitik sayı kuramı alanında Dirichlet eta işlevi

olarak tanımlanmaktadır. Burada ζ Riemann zeta işlevini belirtmektedir. İşlev, pozitif gerçel kısımlı tüm s karmaşık sayıları için geçerli bir Dirichlet dizisine sahiptir.

Bu ifade her ne kadar yalnızca pozitif gerçel kısımlı s değerleri için yakınsak olsa da, tüm karmaşık sayılar kümesinde Abel toplamına sahiptir. Bu, eta işlevinin boylu boyunca uzandığını ve zeta işlevinin s = 1 kutbu için meromorf olduğunu göstermektedir.

Pozitif gerçel kısımlı sayılar için tanımlı

ifadesinden başlayarak eta işlevinin Mellin dönüşümüne ulaşılabilmektedir.

Hardy, eta işlevinin işlevsel denklemini şöyle kanıtlamıştır:

Sayısal Algoritmalar 
Almaşık diziler için geliştirilen dizi hızlandırma yöntemlerinin çoğu eta işlevini hesaplamak için de kullanılabilmektedir. Euler'in almaşık dizi dönüşümü bu bağlamda uygulanabilecek en iyi yöntemlerden biridir.

İç kısımda yer alan toplamın bir ileri fark olduğu gözlenebilmektedir.

Borwein yöntemi 
Peter Borwein, Chebyshev polinomlarının da içinde bulunduğu bazı yaklaştırmaları kullanarak eta işlevini kolay yoldan hesaplamaya yarayan bir yöntem geliştirmiştir.

koşulu sağlanıyorsa

eşitliğine ulaşılır. Burada  için geçerli γn hata payı

olarak hesaplanır.

Hata payındaki  ifadesi Borwein dizisinin artan n değerleri için hızla yakınsadığını göstermektedir.

Özel değerler 

 η(0) = 1⁄2, Grandi dizisinin (1 − 1 + 1 − 1 + · · ·) Abel toplamı
 η(−1) = 1⁄4, 1 − 2 + 3 − 4 + · · · dizisinin Abel toplamı
 k 1'den büyük bir tam sayı olmak üzere Bk k. Bernoulli sayısı ise
 

Ayrıca,

 (almaşık harmonik dizi)

Pozitif çift tam sayılar için geçerli genel ifade şöyledir:

Ayrıca bakınız
 Matematiksel fonksiyonların listesi

Kaynakça 

 
 Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function, Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29-34 
 Xavier Gourdon & Pascal Sebah, Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function, Numbers, constants and computation (2003)
 Borwein, P., http://www.cecm.sfu.ca/~pborwein/
 

Zeta ve L-fonksiyonları