Fark işleci

Matematikte fark işleci bir ƒ(x) işlevini farklı bir ƒ(x + b) - ƒ(x + a) işlevine eşler.

İleri fark işleci

sonlu fark hesaplamalarında sıklıkla kullanılır ve türevin sürekli durumlar için üstlendiği görevi süreksiz işlevler için yerine getirir. Fark denklemleri genellikle diferansiyel denklemleri çözmede kullanılan yöntemlerden beslenmektedir. Bu benzerlik zaman ölçüsü kalkülüsünün ortaya çıkmasını sağlamıştır. Geri fark işleci ise

biçiminde tanımlanmaktadır. Polinomlarla kısıtlandığında ileri fark işleci bir delta işleci görevi görmektedir.

n. fark 
f(x) işlevinin n. ileri farkı

biçiminde ifade edilmektedir. Burada  binom katsayısını göstermektedir. Bir diziye uygulanan ileri farklar zaman zaman o dizinin binom dönüşümü olarak adlandırılmaktadır.

İleri farklar Nörlund-Rice integrali yardımıyla hesaplanabilmektedir. Bu tür dizilerin integral biçimindeki ifadesinin ilginç olmasının nedeni asimptotik açılım ve sırt noktası yöntemleriyle hesaplanabiliyor oluşlarıdır. Öte yandan, ileri fark dizilerini hesaplamak artan n değerleri için gittikçe güçleşmektedir.

Newton dizisi 
Adını Isaac Newton'dan alan ve Newton ileri fark denklemi olarak da adlandırılan Newton dizisi

biçiminde tanımlanmaktadır. Bu ifade tüm f polinomları ve bazı analitik işlevler için geçerlidir. Burada

binom katsayısını,

"azalan faktöryel" ya da "alt faktöryeli" göstermektedir.

p-sel sayılar bağlamında Mahler kuramı, f'nin polinom olmasına ilişkin varsayımın f'nin sürekli olmasına ilişkin varsayıma değin zayıflatılabileceğini savunmaktadır.

Carlson kuramı bir Newton dizisinin özgün olması için gerekli ve yeterli koşulları belirlemektedir. Ne var ki, Newton dizileri genellikle tanımlı değillerdir.

Newton dizisi, Stirling dizisi ve Selberg dizisi genel fark dizisinin özel durumlarıdırlar. Bu dizilerin tümü ölçeklenmiş ileri farklar cinsinden tanımlanabilmektedir.

Sonlu fark işleci kuralları 
Türev alma kurallarına benzer biçimde

 Sabit kuralı: c sabit bir sayıysa 
 eşitliği sağlanır.
 Doğrusallık: a ve b sabit sayılar ise
 eşitliği sağlanır.

Bu kurallar  ve 'nın da içinde bulunduğu tüm fark işleçleri için geçerlidir.
 Çarpma kuralı: 

 Bölme kuralı:

ya da

 Toplam kuralları:

Belirsiz toplam 
İleri fark işlecinin ters işleci belirsiz toplamdır.

Genellemeler 
Fark işleci bir kısmi sıralı küme üzerinde Möbius evirtimine dönüşmektedir.

Ayrıca bakınız 
 Newton polinomu
 Newton dizileri tablosu
 Lagrange polinomu
 Gilbreath önermesi

Kaynakça 

 
 

Sonlu farklar
Matematiksel analiz