Paillier Şifrelemesi

Paillier şifrelemesi , 1999’da Pascal Paillier tarafından geliştirilen olasılıksal açık anahtarlı şifreleme yöntemidir. n’inci kök sınıflarını hesaplamanın zorluğunu kullanan Paillier şifreleme sistemi, kararsal bileşik kök sınıfı varsayımı (:en:decisional composite residuosity assumption) üzerine kurulmuştur. 
Sistem, toplama işlemine göre homomorfik (homomorphic)  özellik gösterir;  yani sadece açık anahtarı,  ve ’nin şifrelemesini kullanarak ’nin şifrelenmiş hâli hesaplanabilir.

Algoritma 
Sistemin çalışma şekli aşağıda anlatılmıştır:

Anahtar Üretimi 
”p” ve “q”, rastgele seçilen, birbirinden bağımsız  ve  özelliğini sağlayan iki büyük asal sayı olsun. İki asal sayı da eşit uzunlukta seçilirse, yani  güvenlik parametresi  için  ise bu koşul doğrudan sağlanır.
 ve  olarak hesaplanır.
 olmak üzere rastgele bir  tam sayısı seçilir. Yani g sayısı, 1 ile (n² - 1) arasında rastgele bir değer almalı ve EBOB(g, n²) = 1 özelliğini sağlamalıdır.
  fonksiyonu  şeklinde tanımlanmak üzere;  ’nın hesaplanabilirliği kontrol edilerek, ’nin ’nin mertebesini böldüğünden emin olunur.
  gösteriminin  ile  ’nin çarpmaya gore modüler tersinin çarpımına değil, ’nın b’ye bölümüne; yani  olmak üzere  eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı ’ye eşit olduğuna dikkat ediniz.
  - Açık Anahtar (Şifreleme Anahtarı).
  - Gizli Anahtar (Şifre Çözme Anahtarı)
Eğer eşit uzunlukta p,q kullanılırsa, yukarıda anlatılan anahtar üretim işlemi,  olmak üzere,   ve , şeklinde daha basit olarak yapılabilir. .

Şifreleme 
 ,   koşulunu sağlayan, şifrelenecek mesaj olsun.
  koşulunu sağlayan rastgele bir  seçilir. Yani r sayısı, 1 ile (n - 1) arasında rastgele bir değer almalı ve EBOB(r, n²) = 1 özelliğini sağlamalıdır.
Şifreli metin  şeklinde hesaplanır.

Şifre Çözme 
Şifreli metin 
Mesaj  eşitliği kullanılarak hesaplanır.

Özgün makale  de belirtildiği gibi şifre çözme işlemi, temel olarak, mod  ’de yapılan bir üs alma işleminden ibarettir.

Homomorfik Özellikler 
Paillier şifrelemesinin :en:homomorphic özelliği oldukça önemlidir. Şifreleme fonksiyonu toplama işlemine gore homomorfik olduğu için, aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:

 Şifrelenmemiş metinlerin homomorfik olarak toplanması

 

 

 Şifrelenmemiş metinlerin homomorfik olarak çarpılması

 
 

 Daha genel olarak belirtmek gerekirse:

 

Özellikle belirtmek gerekirse, Paillier şifrelenmiş hali verilen iki mesajın çarpımının şifrelenmiş hali, gizli anahtar olmadan hesaplanamaz.

Temel Bilgiler 
Paillier şifrelemesi ile, bazı ayrık logaritmaların (Ayrık logaritma) kolay bir biçimde hesaplanabileceği gösterilebilir.
Örneğin,  binom açılımı kullanarak,
 
Yukarıdaki eşitlikten
 
elde edilir.
Buradan, eğer
 
ise
 
yazılabilir.
Yani;
  fonksiyonu  (tam sayı bölme işleminin bölümü) şeklinde tanımlanmak üzere ve  iken
 ,
yazılabilir.

Anlamsal Güvenlik 

Yukarıda belirtilen orijinal kriptosistem yukarıda gösterildiği gibi seçilmiş açık metin saldırılarına karşı anlamsal güvenlik sağlar (Seçilmiş açık metin saldırıs)).

Ayrıca bakınız 
 Paillier’in tarihsel öncüsü Okamoto-Uchiyama Kriptosistemi. 
 Paillier’in genelleştirilmiş hâli :en:Damgård–Jurik cryptosystem.
 Paillier’in etkileşimli simülatörü  oylama uygulamasının örneğidir.
 Paillier şifrelemesinin etkileşimli demosu .
 Kriptografik yöntemler kullanılarak nasıl oylama yapılabileceğini gösteren  googletechtalk videosu .

Kaynakça 
 Paillier, Pascal (1999). "Public-Key Cryptosystems Based on Composite Degree Residuosity Classes". EUROCRYPT. Springer. pp. 223–238. doi:10.1007/3-540-48910-X_16
 Paillier, Pascal; Pointcheval, David (1999). "Efficient Public-Key Cryptosystems Provably Secure Against Active Adversaries". ASIACRYPT. Springer. pp. 165–179. doi:10.1007/978-3-540-48000-6_14
 Paillier, Pascal (1999). Cryptosystems Based on Composite Residuosity (Ph.D. thesis). École Nationale Supérieure des Télécommunications.

Dış bağlantılar 
Homomorfik Şifreleme Projesi , Paillier şifrelemesinin homomorfik özellikleriyle beraber geliştirilmiş hâlidir.
Encounter : Paillier şifrelemesinin ve buna dayana kriptografik sayaçların geliştirilmiş hâlini içeren açık kaynak kütüphane.

Kriptografik algoritmalar