Harmonik seriler

Harmonik seri ıraksak bir seridir,harmonik sözcüğü ise müzikten devşirilmiştir.

 
serisini incelersek her kesrin seri toplamında bir payı veya katkısı olduğunu görebiliriz.

Harmonik serinin Iraksaması 
Sonsuza çok yavaş olarak ıraksayan bu  serinin ilk 10^43 teriminin toplamı en az 100'dür ve Terim terim genişletilirse başka bir ıraksak seriye yakınsar.
 
Bu çok sayıda  terimini içeren harmonik serinin sonsuza ıraksadığı açıkça görülüyor. Serinin 2k-inci kısmı toplamı  ise
 
(serisine yakınsıyor)
Yavaş ve neredeyse logaritmik bir artışa dönüşme var. Bu kanıtı ortaçağ matematikçisi Nicole Oresme bulmuştur ve o dönemin en ileri seviyesidir. Yine de standart olarak günümüzde bu test kullanılmaktadır. Cauchy testi (kondensasyon) bu testin genelleştirilmiş halidir.
Harmonik seri için kullanılan diğer bir yöntem integral ıraksama testi, 1'le sonsuz aralığında  integralinden faydalanılır.
sadece asal sayılar'ın terslerinin toplamı bile exponansiyel bir yavaşlık olmasına rağmen, sonsuza ıraksar ve denemesi daha zordur.

Alternatif yaklaşım 
Harmanik serinin toplamına destek için toplamı  S ile gösterelim:

kesirlerin yeniden düzenlenmesiyle

Basitçe ikinci grubun sonucu

ikinci grup yerini  S 'e bırakır

Bundan faydalanarak

veya sonuç;

Bu doğru olamaz.Arka arkaya gelen bu toplamlar,ıraksamaya götürür.

Diğer bir deneme 
geometrik seriler ile başlayalım

İki tarafında integrali alınırsa

iki tarafında   giderken limitini alırız.

.

,den dolayı toplarsak 

Diğer bir deyişle toplam ıraksaktır.

Alterne harmonik serinin yakınsaması 

Burada alterne harmonik seri'nin  yakınsaması

 

Bu eşitlik Mercator serisi'nin bir sonucudur., Taylor serisi'nin doğal logaritmadaki 
ikizidir, diğer eşitlik

Taylor serisi gösteriminin ters tangent fonksiyon sonucu (yarıçap 1'e yakınsama vardır.).

Kısmi toplam 
Hn= 
serisinde n.nci kısmi toplamı n.nci harmonik sayıyı verir, bu sayı ile doğal logaritma arasında fark Euler-Mascheroni sabiti'ne yakınsar.

Harmonik serinin genelleştirilmesi 
Harmonik serinin genel formu

burada a ve b sonlu herhangi bir gerçel sayıdır.

P-serisi 
p-serisi'nde p pozitif gerçel bir sayıdır

integral testi ile p > 1 için aşırı-harmonik seri, p = 1 için harmonik seri p > 1 seri toplamı ζ(p)'yi yani, Riemann zeta fonksiyonu'nu verir.

Iraksak seriler
Matematik taslakları