Laguerre polinomları

Laguerre polinomları, matematik'te adını Edmond Laguerre'den (1834 – 1886) almıştır. Kanonik (benzer) adlandırma Laguerre denklemidir:

İkinci mertebeden bir lineer diferansiyel denklem'dir. Bu denklemin tekil olmayan çözümleri yalnızca n negatif olmayan tam sayı ise vardır. Laguerre polinomlarının sayısal integral hesaplaması için Gaussian dördünü kullanılan formudur 
 

L0, L1, ..., şeklindeki bu polinomları, tanımlayabilmek için Rodrigues formülü tarafından polinomal dizi kullanılmalıdır

Diğer önemli her bir iç çarpım ortogonal polinomlar tarafından verilir.

Laguerre polinomlarının dizisi bir Sheffer dizisi'dir.

Laguerre polinomları kuantum mekaniği'nde tek-elektronlu atomun (Hidrojen atomu) Schrödinger denklemi'nin radyal kısmının çözümlemesinde ortaya çıkar.

Laguerre polinomları için Fizikte sıklıkla kullanılan bir tanım, n!, gibi bir faktör tarafından burada kullanılan tanımdır.

İlk birkaç polinom 
İlk birkaç Laguerre polinomları:

Tümevarımsal tanım 

Tümevarımsal olarak Laguerre polinomları'nın tanımını yapabiliriz, tanımdaki ilk iki polinom:

ve izleyen polinomlar için özyineleme ile k ≥ 1 'i kullanabiliriz:

Genelleştirilmiş Laguerre polinomları 

ortogonal özellikli durumda üstel dağılım rastgele değişken ile olasılık ağırlık fonksiyonu ise; X ile eşdeğer gösterim

buradan

üstel dağılım sadece gamma dağılımı değildir. önemli Bir polinomal dizi orthogonal olasılık ağırlık fonksiyonunun gama dağılımı için,α > −1,

('Genelleştirilmiş Laguerre polinomu için Rodrigues tanımı ile verilen gama fonksiyonu içeren denklemi görebiliriz):

Bazen uyarlanmış Laguerre polinomları olarak adlandırılır;genelleştirilmiş Laguerre polinomlarının α = 0 durumunda düzenlenmiş polinomları Basit Laguerre polinomları:

Genelleştirilmiş Laguerre polinomlarının özellikleri ve açık örnek 

 melez hipergeometrik fonksiyon tarafından tanımlanan Laguerre fonksiyonları ve Kummer dönüşümü
   
 Eğer  bir tam sayı ise the function reduces to bir polinomun derecesi . alternaif bir ifade  içindeki Kummer fonksiyonu'nun ikinci türü terimleridir .
 Genelleştirilmiş Laguerre polinomunun derecesi  ise  (diferansiyasyon için Leibniz teoremi tarafından uygulanan Rodrigues' formülü ile eşdeğer eldesi.)
 İlk birkaç genelleştirilmiş Laguerre polinomları:

 ilk terimleri is (−1)n/n! katsayı'sıdır;
  merkezindeki değer sabit terim'dir.
 hesaplamada kullanılan genelleştirilmiş Laguerre polinomları için açık formülü Horner metodu sağlar, bununla beraber, algoritma sonuçları kararlı' değildir.

izlenen kararlı metod:

   function LaguerreL(n, alpha, x) {
     L1:= 0; LaguerreL:= 1;
     for i:= 1 to n {
         L0:= L1; L1:= LaguerreL;
         LaguerreL:= ((2* i- 1+ alpha- x)* L1- (i- 1+ alpha)* L0)/ i;}
   return LaguerreL;
  }

 Ln(α) ile n gerçel,kökler kesinlikle pozitif (burada  bir Sturm zinciri'dir), bütün  aralık'ı içindedir .
 'in büyük değerleri için polinomun asimptotik davranışı  sabit ve , verilirse, 
, and

..

Ayrıca bakınız
 Matematiksel fonksiyonların listesi
 Ortogonal polinomlar
 Rodrigues formülü
 Angelescu polinomları
 Bessel polinomları
 Denisyuk polinomları
 Enine mod; bir dalga kılavuzu veya lazer ışını profili içindeki alan yoğunluğunu tanımlamak için Laguerre polinomlarının önemli bir uygulaması.

Notlar

Kaynakça 
 Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22 ", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4 . 
 B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 10 deals with Laguerre polynomials.
 Eric W. Weisstein, "Laguerre Polynomial ", From MathWorld – A Wolfram Web Resource. 
 
 S. S. Bayin (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 3.

Polinomlar
Özel hipergeometrik fonksiyonlar