Eliptik integral

Integral hesapla Eliptik integralin bağlantısı elipsin yay uzunluğu ile ilgilidir.
Bunu ilk gösteren Leonhard Euler'in öğrencisi Giulio Fagnano olmuştur.
Modern Matematikte eliptik integral'in en geniş şekilde bir f fonksiyonu olarak tanımlanmış formu:
 şeklindedir.
Burada R rasyonel fonksiyon ikinci arjuman,P ise 3 veya 4 derceden kökleri katlı olmayan bir polinomdur.
Genel olarak eliptik fonksiyonlar elemanter olarak ifade edilemezler.Bu genel kurala istisna lar vardır köklerin katlı olması veya R(x,y)'de y'nin tek kuvvetlerden yoksun olması gibi,ancak uygun indirgeme formülü ile her eliptik fonksiyon rasyonel fonksiyonlara ayrılabilir.Bu şekilde üç kanonik şekli olan integraller tek bir form haline getirilebilir,yani birinci tür,ikinci tür,üçüncü tür eliptik integraller gibi.

Formlar aşağıda verilmiştir,Ayrıca Legendre formu ve Carlson simetrik şekli şeklinde de ifadeleri vardır,ek olarak Schwarz–Christoffel haritalaması'da teoriye eklenebilir.Tarihsel olarak eliptik integraller eliptik fonksiyonların tersi olarak keşfedilmiştir. Özellikle, E var (sn (z, k); k) = z, burada sn,Jacobi eliptik fonksiyonu'ndan biridir.

Simgeleme 
Eliptik integrallerin iki değişkenli bir fonksiyonu vardır. Bu değişkenler eşdeğer ancak tamamen farklı şekilde ifade edilir. (ama aynı eliptik integrali verir).Adlandırma düzeni,aşağıdaki adlandırma kurallarına uygun kullanarak yapılır.

Bir ifade için 
   modular açı (telaffuzu “etil”);
   eliptik çarpan;
    parametre

gereklidir. 
Yukarıdaki her üç ifade birbirlerinin yerine diğerleri tarafından (ki negatif olmayan vardır) kullanılabilir.
Diğer değişkende aynı şekilde farklı birçok şekilde ifade edilebilir: 
 , genlik;
 x burada ;
 u, burada x = sn u ve sn,bir Jacobi eliptik fonksiyonu'dur
Bu parametrelerin birinin değerinin belirtilmesi diğerleri belirler. Burada u m'e bağlı değildir. u'yi içeren bazı ek ilişkiler vardır,

ve

İkincisine bazen delta genlik denir veya yazılır. Bazen edebiyat da tamamlayıcı parametre anlamına gelir,tamamlayıcı modül veya tamamlayıcı modüler açısı. Bu ekler çeyrek periyodları tanımlamakta kullanılıyor.

Ayrıca bakınız
 Matematiksel fonksiyonların listesi

İntegral