Üretim fonksiyonu

Matematikte üretim fonksiyonu veya üretim işlevi (İng. generating function) verilen bir dizinin girdilerinin bilgisini katsayılarında tutan bir biçimsel kuvvet serisidir.
 
Kullanım ve uygulama olanaklarına göre çeşitli üretim fonksiyonları vardır. Örneğin verilen bir an dizisine karşılık gelen adi üretim fonksiyonu, üstel üretim fonksiyu, Lambert serisi, Bell serisi ve Dirichlet serisi gibi her üretim fonksiyonu tipinin bir dizisi vardır. Adi üretim fonksiyonu şöyle tanımlanır:

Bir an dizisi için üstel üretim fonksiyonu ise şöyledir:

Bir S örnek uzayı üzerinde negatif olmayan bir rassal değişken X için (yani her  için )

serisine olasılık üreteç işlevi denir. Burada p harfi olasılık dağılımıdır.

Bir ürim fonksiyonu, yalnızca biçimsel olarak bir güç serisi olduğundan, her x değeri için yakınsak olmak zorunda değildir. Üreteç işlevinin kullanıldığı bağlam ve örneğe göre kimi zaman uygun düşen x değerleri için yakınsaklığı araştırılabilir ve bu x değerleri için eşit olduğu işlev yazılabilir. Örneğin,  dizisine karşılık gelen

üretim fonksiyonu,  için  işlevine eşittir.

Örnekler 
 
Tam kare dizisi için üreteç fonksiyonu an = n2 dır:

Basit üretim fonksiyonu

Üstel üretim fonksiyonu

Bell serisi

Dirichlet serisi üretim fonksiyonu

Çokdeğişkenli üretim fonksiyonu 
Çokdeğişkenli üretim fonksiyonu sayılarının pratik hesabının sınır tablosu negatif olmayan tam sayılarla hazırlanmış özel satır ve sütunlara özgüdür. Kolaylık olsun diye  r satır ve c sütun; satır toplamı  dır. sütun toplamı  .'dır.I. J. Good ,'ye göre  katsayılarının sayı tablosu

Uygulamalar 
 Verilen özyineleme'li bir dizi için kapalı formül bulma. Örneğin Fibonacci sayıları düşünülebilir.
 Diziler için özyineleme ilişkileri - Bir üreten fonksiyon şeklinde özyineleme formülü önerilebilir.
 Diziler arasında ilişkileri bulma - iki  üreten fonksiyonlu dizi varsa , bu dizilerin  muhtemelen  ortak bir formu vardır.
 Dizilerinin asimtotik davranışı keşfetme.
 Kimlikler  içeren dizileri  kanıtlama.
 Kombinatorik içinde numaralandırma sorunlarını çözme ve çözümleri kodlama. Rook polinomları kombinatorikte  uygulama için bir örnektir.
 Sonsuz toplamları değerlendme.

Benzer kavramlar 
Polinomal öteleme,bir polinomu  (katsayı 'sız) kabul eden değerleri bulmak. ;soyut bir durumda değişmeli cebir'deki Hilbert polinomu'dur

Ayrıca bakınız

Kaynakça 
 Herbert S. Wilf, Generatingfunctionology (Second Edition) (1994) Academic Press. ISBN 0-12-751956-4.
 Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 1 Fundamental Algorithms (Third Edition) Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4. Section 1.2.9: Generating Functions, pp. 87–96.
 Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik, Concrete Mathematics. A foundation for computer science (Second Edition) Addison-Wesley. ISBN 0-201-55802-5. Chapter 7: Generating Functions, pp. 320–380

Dış bağlantılar 
 Generating Functions, Power Indices and Coin Change at Cut-the-Knot
 Generatingfunctionology PDF download page
 1031 Generating Functions 
 Ignacio Larrosa Cañestro, León-Sotelo, Marko Riedel, Georges Zeller, Suma de números equilibrados, newsgroup es.ciencia.matematicas
 Frederick Lecue; Riedel, Marko, et al., Permutation, Les-Mathematiques.net, in French, title somewhat misleading.
 "Generating Functions" by Ed Pegg, Jr., Wolfram Demonstrations Project, 2007.