Hiperişlem

Hiperişlem, matematik'te aritmetik işlemlerin sonsuz dizisidir. Ardılın birli işlemi, ardından toplama, çarpma ve üs almanın iki işlemiyle devam eden ve ardından ikili işlemlerin ötesine geçerek serilerle ilerleyen bir işlemdir. Üstelden sonraki işlemler için bu dizinin n. elemanı Reuben Goodstein tarafından adlandırıldı. n Yunan önekinden sonra -syon son eki kullanılarak (tetrasyon, pentasyon gibi) elde edilir ve Knuth yukarı ok gösterimindeki n-2 okları kullanılarak yazılabilir.
Her hiperişlem, önceki terimlerin yinelemesi olarak tanımlanır. Ackermann işlevi, Knuth yukarı ok gösterimini kullanarak şöyle yinelenebilir:

Bu yinelemeli kural, hiperişlemde yaygın olarak kullanılır (aşağıya bakınız).

Tanım 
Hiperişlem dizisi,  olmak üzere  ikili işlemlerinin dizisidir ve yinelemesi şöyle tanımlanır:

(n = 0 için, ikili işlemin ilk argümanı göz ardı edilerek birli işlem elde edilir.)

n = 0, 1, 2, 3 için bu tanım, ardıl (birli işlem), toplama, çarpma ve üs almanın temel artimetik işlemlerini sırasıyla şu şekilde yeniden üretir;

ve n ≥ 4 için, bu temel işlemleri, üs almanın da ötesine götürerek Knuth yukarı ok gösterimiyle şöyle yazabiliriz;

...

...

Knuth gösterimi ≥ -2 negatif altgöstergelerinde (indislerinde), tüm hiperişlem dizisi için geçerli olduğunu kabul ederek, genişletilebilir, Sadece aşağıdaki altgösterge aralığı hariç:

"Sonraki dizi nedir?" sorusunun cevabını hiperişlem şunlarla gösterebilir: Ardıl, toplama, çarpma, üs alma ve böylece devam eder.
 
 
 
Temel aritmetik işlemler arasındaki ilişki, yukarıda da gösterildiği gibi, daha yüksek işlem tanımlanarak gösterilir. Hiperişlem hiyerarşisinin parametreleri, bazen kendi örnek hiperişlem terimi; tarafından ifade edilir. Böylece a taban, b üs 
(veya hiperüs), ve n de derece (veya kademe)dir.

Genellikle hiperişlemler, önceki hiperişlem tekrarının yükseliş tabanında, artan birleşim sayılarının yolları olarak bilinir. Ardıl, toplama, çarpma ve üs alma kavramlarının hepsi hiperişlemdir. Ardıl işlemi (x den x+1 üretme) en ilkelidir. 1'lerin sayısını belirten toplama işareti, son değeri üretene kadar kendine eklenir. Çarpma, kendisiyle kaç kez tekrarlandığını ifade eder. Üs alma, kendisiyle kaç kez çarpıldığının sayısını ifade eder.

Örnekler 

Aşağıda, ilk yedi hiperişlemin listesi görülüyor.

Knuth gösterimindeki değerlerin tablolarına bakınız.

Tarihçe 

Hiperişlemlerle ilgili ilk tartışma 1914'te Albert Bennett'in, değişmeli hiperişlemleri geliştirdiğinde başladı. Yaklaşık 12 yıl sonra Wilhelm Ackermann hiperişlem dizisine benzeyen  fonksiyonunu tanımladı.

1947'de R. L. Goodstein, hiperişlem olarak adlandırılan özel işlemler dizisini geliştirdi ve genişleyen üslü işlemleri ifade edebilmek için Yunanca adlar olan tetrasyon, pentasyon, hekzasyon, vb. önerdi. Örn  gibi üç argümanlı (değişkenli) fonksiyonun hiperişlem dizisi, özgün  Ackermann işlevinin bir çeşididir.

Gösterimler 

Aşağıdaki, hiperişlemlerde kullanılan gösterimlerin bir listesidir.

Genelleştirme 

Farklı başlangıç şartları veya farklı özyineleme kuralları için birçok işlem ortaya çıktı. Bazı matematikçiler tümünü,  hiperişlemlerin örnekleri olarak kabul ediyor.

Genel duyarlılık, bir  hiperişlem hiyerarşisi, ikili işlemin 'deki ailesi 'dir ve  şartını sağlayan  tarafından dizinlenir. Burada
  (toplama),
  (çarpma) ve
  (üs almadır).

Hiperişlemde çözüm aranılan açık bir problem, hiperişlem hiyerarşisi 'nin, 'yi genelleştirebileceğimi yoksa 'nin sözdegrup gibi davranacağı (kısıtlı tricted domains).

'dan başlamanın farkı 

1928'de Wilhelm Ackermann, 3 argümanlı  fonksiyonunu tanımladı. Bu 2 argümanlı olan ve Ackermann işlevi olarak bilinen fonksiyonun azar azar geliştirilmiş şeklidir. Özgün Ackermann işlevi olan , modern hiperişlemlere birazcık benziyordu. Çünkü onun başlangıç şartları, tüm  için   dan başlar. Ayrıca eklemeyi 'a, çarpmayı 'e ve üs almayı 'a atadı. Böylece başlangıç şartları, tetrasyon ve ilerisi için çok farklı işlemler üretti.

Kullanılan diğer başlangıç şartı,  (buradaki taban sabit olan 'dir).

0'dan başlamanın farkı 
1984'te, C. W. Clenshaw ve F. W. J. Olver, bilgisayardaki kayan noktaların akışını engellemek için hiperişlemlerin kullanımıyla ilgili tartışma başlattı

Değişimli hiperişlemler 

Değişimli hiperişlemler 1914 başlarında Albert Bennett tarafından dikkate alındı. Değişimli hiperişlemler özyineleme kuralı tarafından tanımlanır

bu, a ve b de simetriktir ve tüm hiperişlemlerin değişimli olduğu anlamına gelir. Bu dizi üstelleri içermez ve bu yüzden hiperişlem hiyerarşisi formu değildir.

Dengeli hiperişlemler 

Dengeli hiperişlemler, ilk önce Clément Frappier tarafından 1991'de ortaya atıldı.  fonksiyon tekrarının temelini oluşturur ve bu yüzden Steinhaus-Moser gösterimi ile ilişkilidir. Dengeli hiperişlemlerde kullanılan özyineleme kuralı şudur:

Bu, süreklilik iterasyonunu, hatta b tam sayıları için bile gereklidir.

Düşük hiperişlemler 

Bu hiperişlemlere bir alternatif, soldan sağa doğru işlem yaparak şöyle elde edilir.
 
 
 
bu (° veya altgösterge ile) tanımlanır

ile 
,
 ve  için 
'dir

Fakat bu, geleneksel "üslü kule" formundaki kusurdan dolayı biraz düştü, Fakat şu hiper4 hariç:

n>3 için  nasıl 'den çok farklı olabilir ki? Bu, simetriden dolayı, + ve × içinde tanımlanan birleşme olarak adlandırılır (cisime bakınız) fakat ^ eksik.

Ayrıca bakınız 
 Büyük sayılar

Notlar

Alıntı 

Aritmetik
Büyük sayılar