Elektromanyetik dalga denklemi

Elektromanyetik dalga denklemi, elektromanyetik dalgaların bir ortam boyunca ya da bir vakum ortamı içerisinde yayılmasını açıklayan, ikinci dereceden bir kısmi diferansiyel denklemdir.  Denklemin, ya elektrik alanı E ya da manyetik alan B cinsinden yazılan homojen formu şöyledir:

burada 
 
Ortamdaki ışık hızıdır ve ∇2 Laplace operatörüdür. Işık hızı, bir vakum ortamı içerisinde c = c0 = 299,792,458 metre/saniye'dir. Elektromanyetik dalga denklemi, Maxwell denklemleri'nden türetilmiştir. Ayrıca, B nin, manyetik akı yoğunluğu" veya manyetik indüksiyon olarak da adlandırılabildiği bilinmelidir.
 
 Elektromanyetik dalga denkleminin kökeni 
 

 
Maxwell, 1864'teki Elektromanyetik alanın mekanik teorisi isimli makalesinde, Ampère'in devre yasası üzerine 1861'deki yayınladığı  isimli makalesinin 3. kısmında yaptığı hatayı düzeltti. 1864'teki Electromagnetic Theory of Light başlıklı yayınının Part VI kısmında Maxwell, yer değiştirme akımını elektromanyetizmanın diğer bazı denklemleriyle birleştirerek, hız (ışık hızına eşit) bileşenli bir dalga denklemi buldu. Bunu şöyle yorumladı:Sonuçların uyuşması; ışık ve manyetizmanın aynı özün bir sonucu olduğunu ve ışığın, elektromanyetik yasalarına göre, alan boyunca yayılan; elektromanyetik bir bozulma olduğunu gösteriyor gibi duruyor.Modern fizikte; çok daha kullanışlı olan ve Ampère devre yasasının düzeltilmiş hali ile Faraday indüksiyon yasasının birleştirilmesi sonucu elde edilen yöntem, Maxwell'in elektromanyetik dalga denklemi çıkarımlarının yerini almıştır.
 
Modern yöntemi kullanarak, bir vakum ortamı içindeki elektromanyetik dalganın denklemini bulmak için; öncelikle, Maxwell denklemlerinin modern 'Heaviside (iyonosfer)' formuyla başlamalıyız. Bir vakum ortamı içinde ve yüksüz bir boşlukta, bu denklemler şöyledir:

Burada ρ = 0'dır, çünkü boşlukta yük yoğunluğu yoktur.
 
Rotasyonel denklemlerin rotasyonelini alırsak:

 
Vektör formunu kullanarak:

 'nin boşlukta herhangi bir vektör fonksiyonu olduğu yerde,  dalga denklemine dönüşür:

burada 

boşluktaki ışık hızını temsil eder.
 
 Homojen dalga denkleminin eş değişkin (kovaryant) formu 

Bu rölativistik denklemler karşı değişkin (kontravaryant) formda yazılmış şekli şöyledir:
 

 
burada elektromanyetik dört-potansiyeli şu şekildedir:
 

 
Lorenz gösterge (gauge) koşuşu ile:
 

 
burada
 
 d'Alembertian operatörüdür. (Kare kutu, bir yazım hatası değildir, bu operatörün sembolüdür.)

 Eğri uzay-zamanda homojen dalga denklemleri 

 
Elektromanyetik dalga denklemi iki şekilde düzeltilmiştir; türev ile eşdeğişkin türevi değiştirilmiştir ve eğilmeye bağlı yeni bir terim eklenmiştir.
 

 
burada  Ricci eğilme tensörü ve noktalı virgül eş değişkin türevlenmesini ifade eder.
 
Lorenz gösterge (gauge) koşuşunun eğri uzay-zamanda genelleştirilmesi şöyle varsayılır:
 

 
 Homojen olmayan elektromanyetik dalga denklemi 

 
Yerelleştirilmiş zamana bağlı değişen yük ve akım yoğunlukları boşlukta elektromanyetik dalga kaynağı gibi davranırlar. Maxwell denklemleri kaynakları olan dalga denklemleri şeklinde yazılabilir. Kaynakların dalga denklemlerine eklenmesi kısmi diferansiyel denklemlerini homojen olmayan denklemlere dönüştürür.
 
 Homojen elektromanyetik dalga denklemlerinin çözümleri 

 

Elektromanyetik dalga denkleminin genel çözümü aşağıdaki dalgaların doğrusal süperpozisyonuyla bulunur:

ve

burada
 açısal frekanstır (radyan bölü saniye olarak),
 dalga vektörüdür (radyan bölü metre olarak)
 g fonksiyonu genellikle sinüs dalgası şeklinde olsa da her zaman sinüsoidal ya da periyodik olmak zorunda değildir.  Uygulamada, herhangi bir gerçek elektromanyetik dalga uzayda ve zamana sonlu olacağı için g sonsuz bir periyodikliğe sahip olamaz.  Sonuç olarak, Fourier ayrışma teorisi üzerinden, gerçek bir dalga sonsuz sayıda sinüsoidal frekansların süperpozisyonundan oluşmalıdır.
 
Ek olarak, geçerli bir çözüm için, dalga vektörü ve açısal frekans birbirinden bağımsız değildir; dağılım ilişkisine uymak zorundadırlar:
 

 
burada k dalga numarasıdır ve λ dalgaboyudur.
 
 Monokromatik, sinüsoidal kararlı durum 
Dalga denkleminin en kolay çözümleri, elimizde tek frekanslı sinüsoidal dalga formlarının olduğunu varsaymamız sonucu olarak ortaya çıkar.
 

 
burada
  imajiner birimdir,
  açısal frekanstır (radyan bölü saniye olarak),
  frekanstır (hertz olarak),
  Euler'in formülüdür.
 
 Düzlem dalga çözümleri 

Bir normal (yüzeye dik) birim vektör tarafından tanımlanan bir düzlem düşünün. 

 
Dalga denklemlerinin düzlemsel yayılan dalga çözümleri şu şekildedir:

ve

 
burada
 pozisyon vektörüdür (metre olarak).
 
Bu çözümler, normal vektör  yönünde ilerleyen düzlemsel dalgalar içindir.  Eğer z yönünü  yönü olarak tanımlarsak ve x yönünü  yönü olarak tanımlarsak, Faraday yasasına göre manyetik alan çizgileri y yönünde olur ve elektrik alanla şu ilişki içerisindedir: .  Elektrik alanın ve manyetik alanın diverjansı sıfır olduğu için ilerleme yönünde herhangi bir alan yoktur. 
 
Bu çözüm, doğrusal polarize dalga denklemlerinin çözümüdür. Ayrıca alanların normal vektör etrafında döndüğü dairesel polarize çözümler de vardır.
 
 Spektral ayrışım 
Maxwell denklemleri vakum ortamında doğrusal oldukları için çözümler sinisoidlerin süperpozisyonuna ayrıştırılabilirler. Bu, diferansiyel denklemlerin çözümü için kullanılan Fourier dönüşümünün temelidir. Elektromanyetik dalga denkleminin sinüsoidal çözümü şu şekli alır:
 

ve

 
burada
 zamandır (saniye olarak),
 açısal frekanstır (radyan bölü saniye olarak),
 dalga vektörüdür (radyan bölü metre olarak),
 faz açısıdır (radyan olarak).
Dalga vektörü açısal frekansla şu ilişki içerisindedir:
 

 
burada k dalga numarasıdır ve λ dalga boyudur.
 
Elektromanyetik spektrum, dalga enerjilerinin (büyüklüklerinin), dalga boyunun bir fonksiyonu olarak grafiğinin çizilmesidir.

 Çok kutuplu açılım 
Monokromatik alanların zamanla şu şekilde değiştiğini varsayalım: . Eğer Maxwell denklemlerini B ifadesini yok etmek için kullanırsak, elektromanyetik dalga denklemi E için Helmholtz denklemine indirgenmiş olur. 

Yukarıda verildiği gibi k = ω/c. Alternatif olarak, E ifadesi de B için yok edilebilir ve şu elde edilir:

Frekansı ω olan bir elektromanyetik alan bu iki denklemin toplamı olarak yazılabilir. Helmholtz denkleminin üç boyutlu çözümleri katsayıları küresel Bessel fonsiyonlarıyla orantılı olan küresel harmoniklerin açılım şeklinde ifade edilebilr. Ancak, bu açılımları E ve B ifadelerinin her bir vektörel bileşenine uygularsak çözümlerimiz diverjansları sıfır olan sonuçlar vermeyebilir. (∇ • E = ∇ • B = 0). Bu nedenle katsayılar üzerinde bazı sınırlamalara ihtiyaç duyarız.
 
Çok kutuplu açılım bu zorluğu, eğer E veya B ifadeleri yerine r • E veya r • B ifadelerini küresel harmoniklerde açarsak, önleyecektir. Bu açılımlar yine Helmholtz denklemlerini E ve B için çözecektir. Divejansı sıfır olan bir alan F için ∇2 (r • F) = r • (∇2 F). Genel bir elektromanyetik alan için çıkan ifadeler:

,
burada  ve  (l, m) derecedemn elektrik çok kutuplu alanlardır,  ve  buna karşılık gelen manyetik çok kutuplu alanlardır ve aE(l,m) ve aM(l,m) açılım katsayılarıdır. Çok kutuplu alanlar şu şekilde verilir:

,
burada hl(1,2)(x) Küresel Hankel fonksiyonlarıdır, El(1,2) ve Bl(1,2) sınır koşulları kullanılarak belirlenir,  normalize edilmiş vektör küresel harmoniktir, yani:

Elektromanyetik alanın çok kutuplu açılımının küresel simetrisi olan birçok alanda uygulamasının olduğu görüyoruz. Örnek olarak, anten çizgesi veya nükleer gama ışını verilebilir. Bu uygulamalarda, birisi uzak alanda yayılan güçle ilgilidir. Bu bölgelerde E ve B alanları şunların asimptotudur: 

Zaman-ortalamalı yayılan gücün açısal dağılımı şöyle bulunur:

Diğer çözümler 
Elektromanyetik dalga denklemleri için başka küresel ve silindirik olarak simetrik olan analitik çözümler de bulmak mümkündür.
 
Küresel koordinatlarda dalga denklemi çözümleri aşağıdaki gibi yazılabilir:
 
,  
ve

 
Bunlar küresel Bessel fonksiyonu olarak yeniden yazılabilir. 
 
Silindirik koordinatlarda dalga denklemi çözümleri sıradan tam sayı derecesinden Bessel fonksiyonudur.

Ayrıca bakınız

Teori ve deney 

 Maxwell denklemleri
 Dalga denklemi
 Elektromanyetik modelleme
 Elektromanyetik ışıma
 Yük korunumu
 Işık
 Elektromanyetik spektrum
 Optik

 Özel görelilik
 Genel görelilik
 Çift yarık deneyinde foton dinamiği
 Foton polarizasyonu
 Larmor güç formülü
 Schrödinger denkleminin teorik ve deneysel ispatı

Uygulamalar 

 Gökkuşağı
 Kozmik mikrodalga artalan ışıması
 Lazer
 Fotoğrafçılık
 X-ray
 Radar

 Radyo dalgaları
 Mikrodalga
 Holografi
 Mikroskop
 Teleskop
 Karacisim ışıması

Biyografiler 

 André-Marie Ampère
 Albert Einstein
 Michael Faraday
 Heinrich Hertz
 Oliver Heaviside
 James Clerk Maxwell

Kaynakça

Konuyla ilgili yayınlar

Elektromanyetizma

Dergi yazıları 
 Maxwell, James Clerk, "", Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155, 459-512 (1865). (This article accompanied a December 8, 1864 presentation by Maxwell to the Royal Society.)

Lisans seviyesi ders kitapları 

 Edward M. Purcell, Electricity and Magnetism (McGraw-Hill, New York, 1985). ISBN 0-07-004908-4.
 Hermann A. Haus and James R. Melcher, Electromagnetic Fields and Energy (Prentice-Hall, 1989) ISBN 0-13-249020-X.
 Banesh Hoffmann, Relativity and Its Roots (Freeman, New York, 1983). ISBN 0-7167-1478-7.
 David H. Staelin, Ann W. Morgenthaler, and Jin Au Kong, Electromagnetic Waves (Prentice-Hall, 1994) ISBN 0-13-225871-4.
 Charles F. Stevens, The Six Core Theories of Modern Physics, (MIT Press, 1995) ISBN 0-262-69188-4.
 Markus Zahn, Electromagnetic Field Theory: a problem solving approach, (John Wiley & Sons, 1979) ISBN 0-471-02198-9

Lisansüstü seviye ders kitapları 

 Landau, L. D.,  The Classical Theory of Fields (Course of Theoretical Physics: Volume 2),  (Butterworth-Heinemann: Oxford, 1987). ISBN 0-08-018176-7.

 Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (Provides a treatment of Maxwell's equations in terms of differential forms.)

Vektör kalkülüsü 
P. C. Matthews Vector Calculus, Springer 1998, ISBN 3-540-76180-2
H. M. Schey, Div Grad Curl and all that:  An informal text on vector calculus, 4th edition (W. W. Norton & Company, 2005) ISBN 0-393-92516-1.

Elektrodinamik
dalga denklemi
dalga denklemi
Kısmi diferansiyel denklemler
Matematiksel fizik