Euler-Mascheroni sabiti

Matematiksel analizin sayı teorisinde Euler–Mascheroni sabiti matematiksel sabit'tir. Yunan harfi  (gama) ile gösterilir.

Harmonik seri ile doğal logaritma arasındaki fark veya limit'tir.

sayısal değerin 50 basamağı:
 0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 …|
 ile e sayısı karıştırılmamalıdır e Euler  sayısı, doğal logaritma'nın tabanı olarak bilinir.

Tarihçe 

Sabit 1735'te İsviçreli matematikçi Leonhard Euler, De Progressionibus harmonicis observationes başlığı (Eneström Index 43) açıklanmıştır. Euler'in sabit için kullandığı notasyon C ve O dur.  1790'te, İtalyan matematikçi Lorenzo Mascheroni'nin sabit için kullandığı notasyon A ve a 'dır.  γ gösterimine Euler veya Mascheroni sabiti dendi, daha sonra gama fonksiyonu ile ilişkisi anlaşıldı. Mesela Carl Anton Bretschneider tarafından γ notasyonu 1835'te kullanıldı.

Tezahürleri 

Euler-Mascheroni sabiti, diğer denklemler içerisinde görünür : 
 üstel integral ifadelerinde. 
 doğal logaritma'nın Laplace dönüşümü'nde. 
 Riemann zeta fonksiyonu'nun Taylor serisine açılımında ilk terim,burada Stieljes sabiti ilk terimdir.
 Digama fonksiyonu hesaplamaları 
 Gama fonksiyonu'ndan üretilen bir formül 
 Euler totient fonksiyonu için bir eşitsizlik 
 Bölen fonksiyonu'nun büyük kesri 
 Meissel-Mertens sabiti için bir hesaplama 
 Mertens'in üçüncü teoremi 
 ikinci tür Bessel denklemi'nin çözümü. 
 Kuantum alan teorisi'nde Feynman diagram'larının  Boyutsal düzenlenmesinde .
 Gumbel dağılımının anlamı ile. 
Bu tür için daha fazla bilgi,bkz: Gourdon ve Sebah (2004).  rmulas.html Gourdon and Sebah (2004).]

Kimliği 

γ sayısının cebirsel sayı veya aşkın sayı olup olmadığı bilinmiyor. Hatta γ'nın irrasyonel sayı olup olmadığıda bilinmiyor sürekli kesir'le rasyonel, γ  paydası 10242080 'dan büyük olmalıdır. Birçok denklemde ortaya çıkan γ'nın (pi/2e~0.5778) irrasyonalitesi? büyük bir açık sorudur.Sondow'a bakınız (2003a).

Daha fazla bilgi için bakınız:
Gourdon and Sebah (2002).

Gama fonksiyonu ile ilişkisi 

γ digama fonksiyonu Ψ ile ilişkilidir, Ψ ,gama fonksiyonu yani Γ 'unun türevidir.:

Bunun limiti:

Daha öte limit sonuçları (Krämer, 2005):

beta fonksiyonu ile ilişkisi (dolayısıyla gama fonksiyonu)

Zeta fonksiyonu ile ilişkisi 
Pozitif tam sayı içeren Riemann zeta fonksiyonu'nun sonsuz toplamı γ sabitine yakınsar:

zeta fonksiyonu içeren diğer serilerle ilişkisi:

Son denklemde n sayısı nedeniyle hata teriminin hızla azalması hesaplama için uygundur.

Diğer ilginç limit eşitliği Euler–Mascheroni sabitinin antisimetrik limitidir. (Sondow, 1998)

ve

rasyonel zeta serisi ifadesi ile de yakında ilişkilidir.

Burada ζ(s,k) Hurwitz zeta fonksiyonu'dur. Bu denklem harmonik sayılar'ın toplamını içermektedir., Hn.   Hurwitz zeta fonksiyonu'nun açılımındaki bazı terimler:

, burada

Notlar

Kaynakça 
  Derives γ as sums over Riemann zeta functions.
 Gourdon, Xavier, and Sebah, P. (2002) "Collection of formulas for Euler's constant, γ. "
 ----- (2004) "The Euler constant: γ. "
 Donald Knuth (1997) The Art of Computer Programming, Vol. 1, 3rd ed. Addison-Wesley.  ISBN 0-201-89683-4
 Krämer, Stefan (2005) Die Eulersche Konstante γ und verwandte Zahlen. Diplomarbeit, Universität Göttingen.
 Sondow, Jonathan (1998) "An antisymmetric formula for Euler's constant," Mathematics Magazine 71: 219-220.
 ------ (2002) "A hypergeometric approach, via linear forms involving logarithms, to irrationality criteria for Euler's constant." With an Appendix by Sergey Zlobin, Mathematica Slovaca 59: 307-314.
 ------ (2003) "An infinite product for eγ via hypergeometric formulas for Euler's constant, γ."
 ------ (2003a) "Criteria for irrationality of Euler's constant," Proceedings of the American Mathematical Society 131: 3335-3344.
 ------ (2005) "Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula," American Mathematical Monthly 112: 61-65.
 ------ (2005) "New Vacca-type rational series for Euler's constant and its 'alternating' analog ln 4/π."
 ------ and Wadim Zudilin (2006), "Euler's constant, q-logarithms, and formulas of Ramanujan and Gosper," Ramanujan Journal 12: 225-244.
 G. Vacca (1926), "Nuova serie per la costante di Eulero, C = 0,577…". Rendiconti, Accademia Nazionale dei Lincei, Roma, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali (6) 3, 19–20.
 James Whitbread Lee Glaisher (1872), "On the history of Euler's constant". Messenger of Mathematics. New Series, vol.1, p. 25-30, JFM 03.0130.01
 Carl Anton Bretschneider (1837). "Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova". Crelle Journal, vol.17, p. 257-285 (submitted 1835)
 Lorenzo Mascheroni (1790). "Adnotationes ad calculum integralem Euleri, in quibus nonnulla problemata ab Eulero proposita resolvuntur". Galeati, Ticini.
 Lorenzo Mascheroni (1792). "Adnotationes ad calculum integralem Euleri. In quibus nonnullae formulae ab Eulero propositae evolvuntur". Galeati, Ticini. Both online at: http://books.google.de/books?id=XkgDAAAAQAAJ

Dış bağlantılar 
 
 

Matematiksel sabitler
Leonhard Euler