Gül (matematik)

Matematikte gül veya rodonea (Yunanca gül anlamına gelen rodon kelimesinden), kutupsal koordinat sisteminde çizilmiş bir sinüs ya da kosinüs eğrisine denir. Gül eğrisi, aşağıdaki kutupsal denklemle ifade edilir:

Bu denklemde kosinüs yerine sinüs de yazılabilir, ortaya çıkacak eğri kosinüs eğrisinin π/2k radyan kadar döndürülmüş bir kopyası olacaktır. Bunun sebebi de sinüs ve kosinüs arasındaki şu ilişkidir:

Gül eğrisi aynı zamanda, orijinden çıkan ve sabit açısal hızla dönmekte olan bir doğrunun üzerinde sinüs/kosinüs dalgası şeklinde ileri geri hareket eden bir noktanın izleyeceği eğridir.

Denklemdeki a değeri gülün şeklini değil, bir bütün olarak büyüklüğünü (yani yaprakların uzunluğunu) etkiler.

Eğer k bir tek sayı ise, gül şeklinin tamamen çizilmesi için θ'nın π uzunluğunda bir interval boyunca ilerlemesi yeterlidir ve ortaya çıkacak gül k yapraklı olacaktır. Yok eğer k bir çift sayı ise, şeklin tamamen çizilmesi için θ'nın 2π uzunluğunda bir intervalde ilerlemesi gerekir ve ortaya çıkacak gül 2k yapraklı olacaktır. Burada ilginç bir nokta şudur: Herhangi bir tek sayının iki katı kadar (2, 6, 10, 14, 18, vs.) yaprağı olan bir gül çizilemez.

Elbette k bir tam sayı olmak zorunda değildir, rasyonel ya da irrasyonel de olabilir. Eğer k bir rasyonel sayı ise, ortaya çıkan eğri topolojik anlamda kapalı ve sonlu uzunlukta olacaktır. k irrasyonel ise, eğri kapalı olmayacak ve uzunluğu sonsuz olacaktır.

Bu eğrilere gül ismini veren, 18. yüzyıl İtalyan matematikçisi Guido Grandi'dir.

Alan 
Eğer k bir çift sayı ise,

eşitliğiyle tanımlanan gülün alanı, şöyle hesaplanabilir:

Benzer şekilde, eğer k bir tek sayı ise, gülün alanı şu olacaktır:

Dikkat edilirse, alan formüllerinde k gözükmemektedir, yani güllerin alanları k'nın değerinden bağımsızdır. Ayrıca, çift yapraklı güllerin alanı, tek yapraklı güllerin alanının iki katıdır.

Kaynakça

Dış bağlantılar 
 MathWorld'den Gül  sayfası (İngilizce)
 Girilen parametrelerle gül çizen Java uygulaması 

Eğriler