Asal kök

Bir asal kök modülü n sayılar teorisindeki modüler aritmetikten bir kavramdır. Eğer  olan bir tam sayı ise, n formuna göre aralarında asal sayılar mod n'e göre çarpılarak, bir grup oluşturacak şekilde yapılan işlem, veya  olarak gösterilir. 
Bir asal sayı için  ve  ise, bu grup ancak ve ancak , veya  'ya denktir. Bu döngüsel grubun bir üreteci asal kök modülü n veya 'in bir asal elemanı'dır şeklinde tanımlanır.

Bir asal kök modülü n, diğer bir deyişle, mod n'e göre g gibi öyle bir tam sayıdır ki n'le beraber ortak çarpanı olmayan her tam sayı, g 'nin bir kuvvetine denktir.

Örneğin

 alalım. 'in elemanları

 'ün denk sınıflarından oluşur.

mod 14'e göre  olduğundan, 3 mod 14'e göre bir asal köktür. Mod 14 için diğer ve tek asal kök ise 5'tir.

 (mod 14) - (satırlardaki değerler döngüsel şarta bağlı olarak tekrar sonra kesilmiştir)

 
 
 

14'le aralarında asal olan sayılar yalnızca kuvvetlerinden biri 1 (mod 14)'e ulaşan sayılardır. Bu sayıların oluşturduğu küme S = (1, 3, 9, 13, 11, 5)'dir.

Problemi f(n, k) = nk - 1 ≡ 0 (mod 14) gibi ele alırsak, n için tasarlanan köklerin k > 0 olan kuvvetleri için bir polinom sağladığını görürüz. S kümesindeki elemanların tümü, R = {3, 5} kümesindeki sayılardan ve onların kuvvetlerinden elde edilebilir. Ama örneğin 11'den ve onun kuvvetlerinden elde edilemez (mod 14 için). S kümesi tüm kökleri içerir. R kümesi ise asal kökleri içerir. Bunların (mod 14)'e göre tüm kuvvetleri döngüsel olarak tüm kökleri elde eder.

Asal sayılar