Markov zinciri

Matematikte, Markov Zinciri (Andrey Markov'un adına atfen), Markov özelliğine sahip bir stokastik süreçtir. Markov özelliğine sahip olmak, mevcut durum verildiğinde, gelecek durumların geçmiş durumlardan bağımsız olması anlamına gelir. Bir başka deyişle, mevcut durumun  açıklaması, sürecin gelecekteki evrimini etkileyebilecek tüm bilgiyi kapsar. Gelecek durumlara belirli bir şekilde değil, olasılıksal bir süreçle ulaşılacaktır.

Her bir anda sistem belirli bir olasılık dağılımına bağlı olarak kendi durumunundan başka bir duruma geçebilir yahut aynı durumda kalabilir. Durumda olan değişiklikler geçiş olarak bilinir ve çeşitli durum değişmeleriyle ilişkili olasılıklar da geçiş olasılıkları olarak adlandırılır.

Markov zincirine bir örnek basit rastgele yürüyüş olur. Basit rastgele yürüyüş için durum uzayı bir gösterim üstünde bir grup köşeler halindedir. Geçiş aşamaları ise (yürüyüşün geçmişinde ne olmuş olursa olsun) cari köşeden herhangi bir komşu köşeye gitmeyi kapsar. Cari köşeden herhangi bir komşu köşeye gitme olasılığı hep aynı olup birbirine eşittir.

Tanımı 

Markov zincir Markov özelliğini taşıyan, yani mevcut durum verilmiş olursa geçmiş ve gelecek durumların bağımsız olduğu, ardı ardına gelen, X1, X2, X3, ... ile ifade edilen, bir seri rassal değişkendir. Matematiksel biçimle

Xi'in mümkün değerleri,  S olarak ifade edilen ve zincirin durum uzayı adı verilen sayılabilir bir set oluşturur.

Çok kere Markov zincirleri bir yönlendirilmiş gösterim ile tanımlanmaktadır ve bu gösterimde kenar doğrular bir  durumdan diğer bir duruma geçiş olasılıkları ile tanıtılmaktadır.

Çeşitlemeleri 

Sürekli-zaman Markov sürecinin sürekli bir endeksi bulunur.

Zaman içinde homojen Markov zincirleri zamana göre homojen olan geçiş olasılıkları bulunan Markov zincirleridir ve tüm n değerleri için

olan süreçlerdir.

m sonlu bir sayı ise,  bir  m dereceli bir Markov zinciri (yani m bellekli bir Markov zinciri) için tüm n değerleri için şu ifadeler verilebilir:

'Klasik' Markov özelliği olan (Xn)den yeni bir (Yn) zincirinin şöyle kurulması mümkündür: Yn sıralamalı m-boyutlu X değerlerinden şöyle kurulsun: 
Yn = (Xn, Xn-1, ..., Xn-m+1)
O zaman Yn,  durum uzayı  Sm olan ve klasik Markov özelliği bulunan bir Markov zinciri olur.

Örnek

Markov zincirlerinin özellikleri

İndirgenebilirlik

Dönemsellik

Tekrarlama 

Eğer i durumdan başladığımız bilindiği halde, i  durumuna hiçbir zaman dönme imkânı yaratmayan bir sıfıra eşit olamayan olasılık bulunuyorsa i durumu geçiş durum olarak nitelendirilir. Daha matematik biçimle ve notasyonla bir rassal değişken olan Ti i durumuna ilk geri dönüş zamanı (vurma zamanı') olsun; yani
 

Bu halde i durumu geçişli olması için ancak ve ancak 
 
olmalıdır. 
Eğer bir durum i geçişli değilse (yani 1 olasılıkla bir sonlu olan vurma zamanına sahipse), o halde i durumu yinelenen veya ısrarlı durum olarak adlandırılır. Vurma zamanı sonlu olmakla beraber bir sonlu beklenen değeri bulunması gerekmez. Mi beklenen geri dönüş zamanı, yani

 

olsun. O halde eğer Mi sonlu ise i durumu da pozitif yinelenen olur; aksi halde i durumu sıfır yinelenen olacaktır; bu durumlara aynı sırayla sıfır olmayan ısrarlı veya sıfır ısrarlı durum adları da verilir.

Bir durumun yinelenen olması ancak ve sadece ancak

 

ifadesi gerçekse ortaya çıkacağı ispatlanamıştır.

Eger durum i yi girdikten sonra hiçbir zaman o durumdan çıkmak mümkün değilse, i durumu yutan durum olarak adlandırılır. Bu halde i durumu yutan durum olması için ancak ve sadece ancak şu koşulu sağlaması gerekir;

  and  for 

 Ergodiklik 

P geçiş matrisinde tüm durumlar birbirleri arasında geçiş sağlayabiliyorsa bu zincire ergodik markov zinciri denir.

üstteki P matrisi ergodik bir markov zinciridir.

üstteki P matrisi ise ergodik bir markov zinciri değildir. Sebebi ise 4. duruma hiçbir şekilde varılamamaktadır.

 Sonlu durum uzayında Markov zincirleri 

 Tersinebilir Markov zincirleri 

 Bernoulli şeması 

 Genel durum uzayında Markov zincirleri 

 Uygulamalar 
 Fizik 

 Sınama 

 Kuyruk kuramı 

 İnternet uygulamaları 
Google'in kullandığı internet sayfalarının PageRank'i Markov zinciri ile tanımlanmaktadır. Markov zincirinde durağan dağılımda tüm bilinen internet sayfaları arasından  sayfasında bulunma olasılığıdır. Eğer  bilinen internet sayfaları ise ve  sayfası  bağlantısına sahip ise, o zaman bağlantılı olduğu tüm sayfalar için  ve bağlantısı olmadığı tüm sayfalar için  geçiş olasılığına sahiptir.  parametresi yaklaşık 0.15 olarak alınmıştır.

Markov modelleri aynı zamanda kullanıcıların internet gezinti davranışlarını analiz etmek için de kullanılmıştır. Bir kullanıcının bir internet sayfasından web bağlantısı ile geçişi, birincil ya da ikincil Markov modelleri ile modellenebilir ve gelecekteki hareketleri öngörmede ve dolayısıyla internet sayfasını kullanıcı için kişiselleştirme de kullanılabilir.

 İstatistik 

 İktisat 

 Matematiksel biyoloji 

 Müzik 

 Beyzbol 

 Markov parodi üreticileri 

 Tarihçe 

 Ayrıca bakınız 

 Gizli Markov modeli
 Markov zincirleri için örnekler
 Markov süreci
 Markov zinciri ile Monte Karlo
 Yarı-Markov süreci
 Değişken-dereceli Markov model
 Markov karar süreci
 Sonlu tipin kayması
 Faz-tipi dağılım
 Zaman karışımlı Markov zincir
 Kuantum Markov zinciri
 Markov şebekeleri
 İnanç yayılması
 Faktör gösterimi
 Yenileme dönem yoğunluk entropisi
 Sırasal analiz

 Kaynakça 

  A.A. Markov. "Rasprostranenie zakona bol'shih chisel na velichiny, zavisyaschie drug ot druga". Izvestiya Fiziko-matematicheskogo obschestva pri Kazanskom universitete, 2-ya seriya, tom 15, pp 135–156, 1906.
 A.A. Markov. "Extension of the limit theorems of probability theory to a sum of variables connected in a chain". Yeni basım  Appendiks B: R. Howard. Dynamic Probabilistic Systems, volume 1: Markov Chains. John Wiley and Sons, 1971.
 Classical Text in Translation: A. A. Markov, An Example of Statistical Investigation of the Text Eugene Onegin Concerning the Connection of Samples in Chains, trans. David Link. Science in Context 19.4 (2006): 591-600. Online: http://journals.cambridge.org/production/action/cjoGetFulltext?fulltextid=637500
 Leo Breiman. Probability. Original edition published by Addison-Wesley, 1968; reprinted by Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992. ISBN 0-89871-296-3. (See Chapter 7.) J.L. Doob. Stochastic Processes. New York: John Wiley and Sons, 1953.  ISBN 0-471-52369-0.
 S. P. Meyn and R. L. Tweedie. Markov Chains and Stochastic Stability. London: Springer-Verlag, 1993.  ISBN 0-387-19832-6. online: https://web.archive.org/web/20071012194420/http://decision.csl.uiuc.edu/~meyn/pages/book.html .  Second edition to appear, Cambridge University Press, 2009.
 S. P. Meyn. Control Techniques for Complex Networks. Cambridge University Press, 2007. ISBN 9780521884419.  Appendix contains abridged Meyn & Tweedie.  online:    https://web.archive.org/web/20080513165615/http://decision.csl.uiuc.edu/~meyn/pages/CTCN/CTCN.html
  Extensive, wide-ranging book meant for specialists, written for both theoretical computer scientists as well as electrical engineers. With detailed explanations of state minimization techniques, FSMs, Turing machines, Markov processes, and undecidability. Excellent treatment of Markov processes pp. 449ff. Discusses Z-transforms, D transforms in their context.
  Classical text. cf Chapter 6 Finite Markov Chains pp. 384ff.

 Dış bağlantılar 
 (pdf) Markov Chains chapter in American Mathematical Society's introductory probability book 
 Generates random parodies in the style of another body of text using a Markov chain algorithm 
 A generator that uses Markov Chains to create random words 
 Markov Chains
 
 Chapter 5: Markov Chain Models
 Generating Text (About generating random text using a Markov chain.) The World's Largest Matrix Computation  (Google's PageRank as the stationary distribution of a random walk through the Web.)''
 Dissociated Press in Emacs approximates a Markov process
 Markov Chain Example
 Markov Chains for Search Engines
 Steganography proof-of-concept using Markov Chains.
 nth order Markov Chain implementation in Ruby 
 Baseball Run Modeler using Markov Chains 
 Theory of Markov chains in baseball
 Sequential analysis software for generating visual representations of probability models

Olasılık teorisi
Stokastik süreçler
İstatistiksel modeller