Doğrusal dönüşüm

Doğrusal dönüşüm, bir fonksiyon çeşididir. T, M boyutlu bir vektörden N boyuta bir doğrusal dönüşüm ise, o zaman;

 ve herhangi bir sayı olan c için:

Eğer bu koşullar T için doğruysa, o zaman T,doğrusal bir dönüşümdür.
Her doğrusal dönüşüm,  olarak ifade edilebilir. Burada A, bir matris'i temsil etmektedir. T bir dönüşüm matrisi olarak ifade edilebilir.

Tanımı ve ilk sonuçları
Diyelimki V ve W  vektör uzayı aynı K  alanı üzerinde olsun. Bir fonksiyonf: V → W idi.Herhangi iki vektör x ve y in V ve herhangi skaler α ve K bir lineer haritalama' ise, aşağıdaki iki koşul tatmin edici:

Bu vektörlerin herhangi bir doğrusal kombinasyonunun için de aynı gereken eşdeğerdir,x1, ..., xm ∈ V ve skalerler a1, ..., am ∈ K, aşağıdaki eşitlik tutar:

 

α = 0 açı 1'in homojenitesi için denklem  0V ve 0W sıralanarak  Vektör uzaylarının sıfır unsurlar ifade edenV ve W, bunlar aşağıdadır. f(0V) = 0W sağlıyor,

Bazen,V ve W farklı alanlar üzerinde vektör uzayları olarak kabul edilebilir. Bu temel alanların tanımında kullanılmakta  "doğrusal" olduğunu daha sonra belirtmek gerekir. Biz K-lineer haritalaması hakkında konuşuyoruz,eğer V ve W alanın üzerine uzay olarak kabul edilenK yukarıdaki gibi ise,Örnek için,karmaşık sayıların eşlenik bir R-lineer haritalamadır C → C, amaC-lineer değildir.

lineer harita  V  den Kya (bir vektör uzayı kendi üzerinde K ile gösterilen ) bir doğrusal fonksiyonal olarak adlandırılır.

Bu tabloların genellemesi herhangi bir halka üzerindeR değişiklik olmadan sol-modül RMdir .

 matrislerin lineer dönüşümüne örnekler 
R2 iki-boyutlu uzay  2 × 2 gerçek matris. doğrusal haritalar açıklanmıştır.Burada bazı örnekler:

 90 derece tarafından saat yönünün tersine rotasyon :
 
 θaçısı tarafından saat yönünün tersine rotasyon:
 
 yansıma karşısı x ekseni:
 
 yansıma  karşısı yekseni:
 
 ölçekleme by 2 in bütün yönler:
 
 yatay kayma haritalama:
 
 sıkı haritalama:
 
 izdüşüm üzerine y'' ekseni:

Ayrıca bakınız

 Afin dönüşümler
 Lineer denklemler
 sınırlı operatör
 Antilineer harita
 Yarıdoğrusal dönüşüm
 Sürekli doğrusal operatör

Fonksiyonlar
Lineer cebir