Grup (matematik)

Öbek (tutam veya grup), soyut cebirin en temel matematiksel yapısıdır. Öbek, öncelikle bir kümedir, öğeleri boş olmayan bir küme ve üzerine tanımlı bir ikili işlemi olan bir kümedir. Öbek kuramı, bu işlemin özelliklerine göre öbekleri inceler. Soyut cebirin halka, cisim, modül gibi diğer yapılarının temelini oluşturur.

Tanım 
Eğer boşkümeden farklı ve üzerinde bir tane ikili işlem tanımlanmış bir G kümesi
 Bileşme: Her a, b, c  G için a(bc)=(ab)c.
belitini sağlıyorsa bir yarı öbektir (yarıgrup). Eğer bir yarı öbek,
 (iki yönlü) Birim öğe: Her a  G için öyle bir e  G vardır ki ea=ae=a.
belitini sağlıyorsa bu kümeye birlik (monoid) denir. Eğer bir birlik,
 Tersinir öğe: Her a  G için öyle bir  G vardır ki .
belitini sağlıyorsa kümeye öbek (grup) adı verilir.

Eğer bir öbek,
 Değişme: Her a, b  G için ab=ba. 
belitini sağlıyorsa değişmeli öbek (değişmeli grup) ya da Abel'in anısına Abelyen öbek (abelyen grup) olarak adlandırılır. İşlemi vurgulamak için (G, ) gösterimi kullanılır (ki burada "" işlemin simgesidir).

Öbek kuramı (grup kuramı), yukarıda tanımlanan öbek (grup) yapısıyla ilgilenir. Öbeği tanımlarken yaptığımız tanımlar ise çoğunlukla bazı kesin teoremleri en genel halleriyle ifade etmek için kullanılır.

Bir öbeğin mertebesi |G| ile gösterilen kardinal sayıdır (yani kümenin öğe sayısıdır). |G| sonluysa (ya da sonsuzsa), G ye sonlu öbek (ya da sonsuz öbek) denir.

Bazı Öbek Örnekleri 
 Toplama işlemiyle tam sayılar kümesi , değişmeli bir öbektir.
 Çarpma

Kaynakça 

 Thomas W. Hungerford, Algebra, Springer-Verlag, Chapter I, 1974.
 Nathan Jacobson, Lectures in Abstract Algebra: I. Besic Concepts, Springer-Verlag, Chapter I, 1951.
 Serge Lang, Algebra, Addison-Wesley, 3. baskı, 1993.
 Yarasa Genel Müdürlüğü, Cebir, Hacettepe Üniversitesi FF, 2 cilt, 1987.

Ayrıca bakınız 
 Cisim
 Halka

Soyut cebir