Cauchy integral teoremi

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde, Augustin Louis Cauchy'nin ismine atfedilen Cauchy integral teoremi, karmaşık düzlemdeki holomorf fonksiyonların çizgi integralleri hakkında önemli bir teoremdir. Esasen, teoremin ifade ettiği şudur: İki ayrı yol aynı iki noktayı birbirine bağlıyorsa ve bir fonksiyon bu iki ayrı yolun arasındaki iç bölgede holomorfsa, o zaman fonksiyonun bu iki yol integrali birbirine eşittir.

Teorem, kapalı yollar için ise şu şekilde ifade edilir. U, C 'nin basit bağlantılı açık bir altkümesi olsun. f : U → C holomorf bir fonksiyon olsun ve γ, U içinde başlangıç noktası bitiş noktasıyla aynı olan doğrultulabilir bir yol olsun. O zaman

eşitliği vardır.

Goursat tarafından gösterildiği gibi, Cauch integral teoremi, U içinde her yerde f 'nin karmaşık türevi olan f '(z) varsa, kanıtlanabilir. Bu önemlidir çünkü bu fonksiyonlar için o zaman Cauchy integral formülü de kanıtlanabilir ve bundan aslında bu fonksiyonların sonsuz kere türevlenebilmesi özelliği çıkar.

U 'nun basit bağlantılı olması koşulu U 'da "delik" olmaması anlamına gelir veya homotopi kavramlarıyla tartışılacak olursa, U 'nun temel grubunun bariz olması demektir. Örneğin,  açık diski bunlardan biridir. Bu şart teoremde çok önemlidir. Birim çemberi dolaşan

düşünüldüğünde, 

yol integrali sıfır olmayacaktır. Cauchy integral teoremi, f(z) = 1/z fonksiyonu z = 0 noktasında tanımlı olmadığı (ve tabi holomorf olmadığı) için artık burada geçerli değildir.

Teoremin önemli sonuçlarından birisi basit bağlantılı bölgelerdeki holomorf fonksiyonların yol integrallerinin hesabın temel teoremindekine benzer bir şekilde hesaplanabilmesidir: U, C 'nin basit bağlantılı açık bir kümesi olsun. f : U → C holomorf bir fonksiyon olsun ve γ, başlangıç noktası a, bitiş noktası b olan bir parçalı sürekli türevlenebilir yol olsun. F, f 'nin karmaşık antitürevi ise, o zaman

eşitliği vardır.

Cauchy integral teoremi üstte verilen halinden biraz daha güçlü halde de geçerlidir. U 'nun sınırı doğrultulabilir bir yolun (mesela γ) görüntüsü olsun ve ayrıca U basit bağlantılı açık bir C altkümesi olsun. f, U üzerinde holomorf olan bir fonksiyonsa ve U 'nun kapanışında sürekliyse, o zaman

eşitliği vardır.

Cauchy integral teoremi ayrıca Cauchy integral formülü 'nün ve rezidü (kalıntı) teoreminin kanıtlanmasını da sağlar.

KANIT 
Cauchy integral teoremi Vektör Analizi'nde ki Green Teoremi ile kanıtlanabilir. Sebebi karmaşık değerli fonksiyonların vektörel fonksiyon gibi davranmasıdır. Kanıt için Cauchy-Riemann denklemlerini kullanmamız gerekir. kontürü saat yönünün tersi şeklinde bir döngü halinde olsun ve U kümesi basit bağlantılı ve   kümesinin alt kümesi olsun.  fonksiyonu U gibi bir basit bağlantılı fonksiyonun tümüne holomorf olsun.

 ve fonksiyonun değişkeninin diferansiyeli  dir.

Bu durumda

 olacaktır.

Green Teoremine dayanarak

Cauchy-Riemann denklemleriyle teorem kanıtlanacaktır.

  ve  

 = 0

Ve sonunda

Ayrıca bakınız 
 Cauchy-Riemann denklemleri
 Cauchy integral formülü
 Morera teoremi
 Kontür integrali metotları
 Kalıntı (karmaşık analiz)

Dış bağlantılar 
 http://mathworld.wolfram.com/CauchyIntegralTheorem.html  MathWorld'deki ilgili sayfa.
 Cauchy-Goursat Teoremi Modülü, John H. Mathews tarafından 

Karmaşık analiz
Matematik teoremleri