Laplace dönüşümü

Matematikte, Laplace dönüşümü, zaman tanım kümesinde tanımlı bir fonksiyonu, frekans tanım kümesinde tanımlı bir başka fonksiyona dönüştürmek amacıyla kullanılır. 

Laplace dönüşümü ile diferansiyel denklemler çözmesi daha kolay polinomlara dönüştüğü için, zamandan bağımsız doğrusal sistemlerin modellenmesinde ve diferansiyel denklemlerin çözülmesinde, başlangıç değer teoremi, son değer teoremi ve sınır değer problemi gibi çeşitli problemlerde, olasılık teorisinde ve ilgili fonksiyonun frekans karakteristiğini net bir şekilde göstermesinden dolayı sinyal işlemede de kullanılır. 

İsim babası, bu yöntemi geliştiren Pierre-Simon Laplace'tır.

Verilen bir  fonksiyonunun (tüm  reel sayıları için tanımlı) Laplace dönüşümü  matematiksel olarak şöyle gösterilir:

Özellikler ve teoremler 

Laplace dönüşümü doğrusal dinamik sistemlerin incelenmesini kolaylaştıran bazı özelliklere sahiptir. En önemli özelliği, türevi  ile çarpıma, integrali  ile bölmeye dönüştürmesidir. Yani, diferansiyel denklemleri, çözmesi daha kolay olan polinomlara dönüştürür. Denklem çözüldükten sonra ters Laplace dönüşümü ile zaman tanım kümesine tekrar dönülebilir.

Verilen f(t) ve g(t) fonksiyonları ve bunların Laplace dönüşümleri F(s) ve G(s) için

aşağıdaki tablo tek yanlı Laplace dönüşümünün özelliklerinin bir listesidir:

 Başlangıç değer teoremi:
 

 Son değer teoremi:
 , Paydanın kökleri sol taraf düzlemindedir.
 son değer teoremi bir fonksiyonun uzun dönem davranışını basit kesirlere ayırma veya diğer zorlu cebir işlemler uygulamaksızın verdiği için yararlıdır. Eğer bir fonksiyonun kökleri sağ taraf düzlemindeyse (örn.  or ) bu formülün davranışı tanımsızdır.

Ayrıca bakınız
 Matematiksel fonksiyonların listesi
 Fourier dönüşümü
 Z-dönüşümü
 Hankel dönüşümü

Dış bağlantılar 
 http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi  (Verilen bir fonksiyonun hem Laplace ve Fourier dönüşümlerini, hem de ters dönüşümlerini hesaplayan bir site)

Kaynakça

Bibliyografya 
 

Dönüşümler
Diferansiyel denklemler
Fourier dönüşümü