Karmaşık sayı

Matematikte karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. a ve b sayıları gerçek olursa karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler:

Karmaşık sayılar kümesi  C şeklinde gösterilir.  .  özelliğini sağlayan sanal birime  denir. Kimi zaman özellikle elektrik mühendisliğinde  yerine,  kullanılır.

Ayrıca matematikte bu sayıların uzayı  olarak gösterilir. Bu harfin seçilmesinin nedeni İngilizcede karmaşık sözcüğünün karşılığı olarak complex sözcüğünün kullanılmasıdır, nitekim bazı Türkçe kaynaklarda complex sözcüğünden devşirilen kompleks sözcüğüne de raslanabilir. Karmaşık sayılara böyle bir adın verilmesinin nedeni ise aşağıda da göreceğimiz gibi gerçel ve sanal kısımların bir arada durmasıdır.

Bütün gerçel sayılar sanal kısımları sıfıra eşit olan birer karmaşık sayı olarak düşünülebilir. Diğer bir deyişle gerçel sayılar, karmaşık sayı düzleminde gerçel sayılar ekseni üzerinde bulunurlar.

Bir z karmaşık sayısının gerçel ve sanal parçaları sırasıyla Re(z) ve Im(z) fonksiyonlarıyla gösterilir. Bütün bu tanımları ve özellikleri bir örnekte gösterelim.
 sayısı gerçel kısmı Re(4-7i)=4, sanal kısmı Im(4-7i)=-7 olan  uzayında bir karmaşık sayıdır.Bunun dışında karmaşık sayıların başka özellikleri de vardır. Örneğin bir karmaşık sayı düzlemde bir vektör olarak temsil edilebilir.

Tanım 
Karmaşık sayılar kümesi birçok şekilde tanımlanabilir. Aşağıdaki tanımların hepsi birbirine eşyapısaldır, yani yapısal olarak biri diğerinin yerine kullanılabilir. Bu yüzden aslında içerik olarak farklı olan aşağıda tanımlanan tüm kümeleri aynı harfle gösterdik, . Ayrıca bu simge, sadece karmaşık sayılar dediğimiz öğeleri içeren bir küme olmaktan ötedir, üzerine tanımlayacağımız iki tane ikili işlemi olan bir cisimdir. Üstelik bu cisim, gerçel sayıların en büyük cisim genişlemesidir, yani gerçel sayıları bundan daha fazla genişletemeyiz. Gerçel sayılarla karmaşık sayıların aynı kardinaliteye (öğe sayısına) sahip olduğunu da unutmayalım.

Kartezyen uzay tanımı 
Gerçek sayılar kümesinde her sayıyı  ile çarparsak elde ettiğimiz  kümesi önceki  kümesine eşyapısaldır. Karmaşık sayılar cismi ise buradan hareketle

olarak tanımlanmış olur. Bu 2 boyutlu kartezyen uzay, Argand düzlemi olarak anılır. Eğer  yerine tam sayılar cismi  alınırsa oluşan karmaşık tam sayılar Gauss düzlemindedir. Bu sayılara da Gauss sayıları denir.

Karmaşık sayılar, bu tanımla aşağıdaki gibi ifade edilir:
 olmak üzere;
 
Burada açıkça  ve  dir.

Cisim genişlemesi tanımı 
Karmaşık olmayan sayılar, gerçel sayılar cisminin bir cisim genişlemesidir.  sayısı  polinomunun köklerinden biridir ve diğer kökü de  olur. Bu iki öğenin gerçel sayılarla olan genişlemesinin eşyapısal olduğu kolaylıkla görülebilir:

Bu durumda

olarak tanımlanır. Daha açık olarak, karmaşık sayılar gerçel sayılar polinom halkasının  polinomuyla üretilen bölüm halkasıdır:

Bu bölüm halkasında X öğesinin görüntüsü  karmaşık birimidir. Bu sayede karmaşık sayılar halkası cebirsel olarak kapalı olur ki bu, gerçel sayıların cebirsel kapanışıdır. Cebirin temel teoremi bunu gerektirir, n dereceli her polinomun tam n kökü vardır. Biz, her karmaşık sayının  olarak ifade edildiği bu tanıma daha âşinâyız.

Karmaşık düzlem 
 

Karmaşık sayı, iki boyutlu kartezyen koordinat sisteminde, nokta veya konum vektörü olarak gösterilebilir. Sayılar alışıla geldiği gibi yatay bileşen gerçel kısmı ve düşey (dikey) bileşende sanal kısmı olarak çizildi (Şekil 1'e bakınız). Bu iki kısım karmaşık bir sayıyı ifade etmek için kullanılır ve bu yüzden Kartezyen-, dikdörtgensel- veya cebirsel form olarak adlandırılır.

İşlemlerin geometriksel açıklaması 
 
Cebirsel olarak ifade edilen işlemler yukarıdaki karmaşık düzlem kullanılarak gösterilebilir.

Sonuç olarak kutupsal formlar kökleri bulmak içinde kullanılabilir. z herhangi karmaşık sayı olmak üzere ve n pozitif tam sayı için zn = c olarak gösterilebilir. Bu da cnin n. kökü diye okunur. Eğer c sıfır değilse, tam n tane farklı c nin kökü vardır  (cebirin temel teoremine göre). r > 0 için, c = re iφ'de c nin n. kökleri:

Burada , pozitif reel sayı olan r nin genellikle pozitif olan n. kökünü ifade eder. Eğer c = 0, ise c nin tek bir kökü vardır, o da 0'dır.

Karmaşık sayılarda işlem 
Karmaşık sayılarda cebirsel işlemler gerçel sayıların genişlemesidir. Öncelikle iki karmaşık sayının eşitliğini verelim.

Eşitlik 
Bir  ve  karmaşık sayıları için

 ancak  ve  iken geçerlidir.bu doğru bir kavramdır...

Toplama 
Bir  ve  karmaşık sayıları için

Çarpma 
Bir  ve  karmaşık sayıları için

Eşlenik 

Bir  karmaşık sayısı için eşlenik ifadesi  dönüşümüdür ve

ya da matrislerde

olarak tanımlanır.

Eşleniğin cebirsel özellikleri 
 
 
 
 
  ancak z gerçel sayı olduğunda geçerlidir.

Çarpımsal ters 
Bir  karmaşık sayısının tersi ancak

olarak ya da bir  matrisin tersine uygun olarak

olduğu görülür.

Karmaşık sayının karekökü

burada  İşaret fonksiyonudur.

Karmaşık sayının n dereceden kökü 

Kök derecesi iki den büyük olan karmaşık sayıların genel denklemi uzundur. n sayısı artıkça genel denklemde uzar. Trigonometrik ve üstel biçim daha uygundur.

 için tam sayı olmak üzere

Üstel biçim :

Trigonometrik biçim :

 kök derecesinin bir eksiği kadar sıfırdan başlayarak tam sayılar verilebilir. Bu da n dereceden alınan karmaşık sayının köklerini verir.

Ayrıca bakınız 
 Karmaşık analiz
 Hiperbolik sayılar
 Çifte karmaşık sayılar (bicomplex numbers)
 Dörtlük sayılar (Quaternions)
 Sekizlik sayılar (Octonions)

Başvuru ve Kaynaklar 
Notlar

Kaynakça
 A. Mostowski & M. Stark, Introduction to Higher Algebra. Pergamon Press. New York: 1964.
 

Karmaşık analiz