Runge teoremi

[[Dosya:Runge theorem.svg|sağ|küçükresim| Mavi tıkız kümede holomorf olan bir f fonksiyonu ve her delikte bir nokta verilsin. fye sadece bu üç noktada kutupları olan rasyonel fonksiyonlarla istendiği kadar yaklaşım yapılabilir.]]

Karmaşık analizde Runge yaklaşım teoremi olarak da bilinen Runge teoremi''' 1885 yılında Alman matematikçi Carl Runge tarafından kanıtlanmış bir sonuçtur. Teorem, Runge'ye ithafen isimlendirilmiştir ve şunu ifade etmektedir:

 karmaşık sayılar kümesi  nin tıkız bir altkümesiyse,  kümesinin içinde  nin sınırlı bağlantılı bileşenlerinin her birinden en az bir karmaşık sayı bulunuyorsa ve f fonksiyonu  üzerinde holomorfsa, o zaman kutupları  içinde olan rasyonel fonksiyonlardan oluşan bir  dizisi vardır öyle ki bu  dizisi f 'ye  üzerinde düzgün bir şekilde yakınsar.

 kümesinin herhangi bir noktası, bu  dizisini oluşturan rasyonel fonksiyonların kutup noktası olmak zorunda değildir. Burada bilinen ise şudur:  dizisindeki rasyonel fonksiyonların kutupları varsa, o zaman bunlar  nın içindedir.

Bu teoremi güçlü kılan şeylerden birisi de teoremdeki  kümesinin istenilen bir şekilde seçilebilmesidir. Başka bir deyişle,  nin sınırlı bağlantılı bileşenlerinden istenilen şekilde karmaşık sayılar seçilebilir. O zaman, teorem sadece bu seçilen sayılarda kutupları olan bir rasyonel fonksiyon dizisinin varlığını garanti eder.

 nin bağlantılı küme olduğu özel durumda, teoremdeki  kümesi açık bir şekilde boş olacaktır. Kutup noktaları olmayan rasyonel fonksiyonlar aslında polinomlardan başka bir şey olmadığı için, teoremin şu sonucu elde edilecektir: Eğer ,  nin tıkız bir altkümesiyse,  bağlantılı bir kümeyse ve f fonksiyonu  üzerinde holomorfsa, o zaman f 'ye  üzerinde düzgün bir şekilde yakınsayan bir polinom dizisi  vardır.

Bu teoremin biraz daha genelleştirilmiş hali ise  kümesi Riemann küresinin, yani ∪{∞} un, altkümesiyse ve ayrıca  nın (şimdi ∞'u da kapsayan)  kümesinin sınırsız bağlantılı bileşeninle kesişimi varsa elde edilir. Yani, üstte verilen formülasyonda rasyonel fonksiyonların sonsuzda kutupları var olabilirken, daha genel durumdaki formülasyonda, kutup  nin sınırsız bağlantılı bileşenindeki herhangi bir yerde seçilebilir.

 Ayrıca bakınız 
 Mergelyan teoremi

 Kaynakça 
 John B. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer; 2. baskı (1997), ISBN 0-387-97245-5.--Fonksiyonel Analizde Bir Ders.
 Robert E. Greene and Steven G. Krantz, Function Theory of One Complex Variable'', American Mathematical Society; 2. baskı (2002), ISBN 0-8218-2905-X.--Bir Karmaşık Değişkenli Fonksiyon Teorisi.

Karmaşık analiz
Matematik teoremleri