Ki-kare dağılımı

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında ki-kare dağılım (x2 dağılımı) özellikle çıkarımsal istatistik analizde çok geniş bir pratik kullanım alanı bulmuştur.

Bu dağılım, gamma dağılımından elde edilir.

x,  ve n parametreleri ile gamma dağılımına sahip olsun:

 olur.

Burada  ve  alınırsa, elde edilen yeni dağılıma,  serbestlik derecesiyle ki-kare dağılımı denir ve  ile gösterilir.

x,  serbestlik derecesiyle ki-kare dağılımına sahip ise:

ki-kare 1 n(0.1)'e eşittir
 olur.

Teorem 1

 ise  olur.

Teorem 2

 rassal değişkenler N(0,1) dağılımına sahip olsun.

 ise  olur.

Teorem 3

 varyansı bilinen,  dağılımına sahip rastgele örneklem  ve  örneklem varyansı olmak üzere:
 olur.

Karakteristikleri

Olasılık yoğunluk fonksiyonu 

Ki-kare dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu şu olur:

Burada  bir Gamma fonksiyonu bulunduğunu gösterir ve bu yarım-tamsayılar için özel değerler gösterir.

Yığmalı dağılım fonksiyonu 
Ki-kare dağılımının yığmalı dağılım fonksiyonu şudur:

burada   aşağı kısmı tamamlanmamış Gamma fonksiyonu ve  ise  tanzim edilmiş Gamma fonksiyonu olur.

Ki-karenin için verilen tablolar (biri aşağıda verilmiştir) yığmalı dağılim fonksiyonundan elde edilmektedir. Bu tablolar birçok değişik kaynaklardan bulunabilir. Örneğin bu fonksiyon için tablolar spreadsheet ve istatistik program paketlerinde bulunmaktadır.

Karakteristik fonksiyonu 
Ki-kare dağılımının karakteristik fonksiyonu şöyle yazılır:

Özellikleri 
 Ki-kare dağılımı cikarimsal istatistik analizde epeyce kullanış alanı bulmuştur. Parametrik istatistik olarak varyans değeri güvenlik aralığı ve hipotez testi, parametrik olamayan uygunluk iyiliği testi, olumsallık tablosu üzerinde bağımsızlık testi ve ki-kareye bağlı ortaklılık katsayıları, uzaklık ölçüleri  vb.
 Varyanslar analizinde F-dagiliminin iki ki-kare dağılımının oranından ortaya çıkması dolayışıyla önemli rol oynamaktadır.

Normal yaklaşım 

Eğer  ise, limitte  sonsuzluğa yaklaştıkça  normal dağılıma yaklaşır. Ancak bu eğilim (çarpıklık  ve basıklık fazlalığı  olduğundan dolayı) yavaş gelişmektedir. Ki-kare dağılımının iki değişik dönüşüm fonksiyonu normalliğe çok daha hızla yaklaşma göstermektedir:

Fisher ispat etmiştir ki  ifadesi, yaklaşık olarak ortalaması  olan ve varyans değeri 1 olan bir normal dağılım gösterir.

Aynı normal yaklaşım sonucuna moment karşılaştırması yapılarak da erişilebilir. Bunu görmek için ki-dağılım gösteren rassal değişken in ortalaması ve varyansı izlensin. Bunlar sırasıyla şöyle verilir: 
 
ve

Burada  bir Gamma fonksiyonudur.  ifadeli gamma fonksiyonunun özel oranı (particular ratio) şu seri halinde açılabilir :

 olduğu halde bu oran için şöyle yaklaşım bulunur:

Sonra basitleşen moment karşılaştırılması sonuçları şu yaklaşık  dağılımı verirler; 
, 
Bundan da şu ifade hemen çıkartılabilir\:
.

Wilson ve Hilferty [1931] göstermiştir ki  ifadesi, ortalaması  ve varyansı  olan bir normal dağılıma yaklaşıktır.

 serbestlik derecesi olan bir ki-kare dağılımı gösteren bir rassal değişken için beklenen değer  olur. Aynı dağılımın medyan değeri yaklaşık olarak şu ifade ile verilir:

Eğer serbestlik derecesi 2 ise üstel dağılım ile aynı dağılımdır.

Enformasyon entropisi 
Enformasyon entropisi ifadesi şöyle verilir:

Burada  bir Digamma fonksiyonudur.

İlişkili dağılımlar 

 Serbestlik derecesi 2ye eşit olan  için  bir üstel dağılım olur.
 

 Normal dağılım gösteren ve birbirinden bağımsız olan  değişkenleri için     ise,  bir ki-kare dağılımı gösterir.
 Eğer   dağılımlarının sıfır olmayan ortalamaları varsa, o halde  bir merkezsel olmayan ki-kare dağılımndan çıkartılmıştır.
  olduğundan dolayı, ki-kare dağılımı  bir gamma dağılımının özel halidir.
 Eğer verilmiş serbestlik dereceleri ile  ve  birbirinden bağımsız iken  ise,  bir F-dağılımı gösterir.
   ifadesi için  değişkenleri bağımsız ve  ise, o halde  ifadesi bir ki-kare dağılımı gösterir.
 Eğer  ki-kare dağılımı gösterirse, o halde  ifadesi de ki-kare dağılımı gösterir.
 Özellikle, eğer  (yani 2 serbestlik derecesi gösteren ki-kare ise), o halde  ifadesi  Rayleigh dağılımı gösterir.
 Eğer  bağımsiz ama aynı dağılımlı, yani hepsi  normal dağılım gösteren,  rassal değişkenlerse,  o halde  

olur; burada  dir.
 Eğer , ise, o halde  olur.

Ki kare kritik değerler tablosu 

g serbestlik derecesi için yukarı kuyruk alanının (olasılığın) α olmasına karşıt olan ki2  kritik değeri

 +-----+-----------------------------------------------------------------------+
 | \  α|                                                                       |
 |  \  | 0.995  0.91   0.925  0.95   0.90   0.10   0.05   0.025  0.01   0.005  |
 |g  \ |                                                                       |
 +-----+-----------------------------------------------------------------------+
 |  1  |  0.00   0.00   0.00   0.00   0.02   2.71   3.84   5.02   6.63   7.88  |
 |  2  |  0.01   0.02   0.05   0.10   0.21   4.61   5.99   7.38   9.21  10.60  |
 |  3  |  0.07   0.11   0.22   0.35   0.58   6.25   7.81   9.35  11.34  12.84  |
 |  4  |  0.21   0.30   0.48   0.71   1.06   7.78   9.49  11.14  13.28  14.86  |
 |  5  |  0.41   0.55   0.83   1.15   1.61   9.24  11.07  12.83  15.09  16.75  |
 |  6  |  0.68   0.87   1.24   1.64   2.20  10.64  12.59  14.45  16.81  18.55  |
 |  7  |  0.99   1.24   1.69   2.17   2.83  12.02  14.07  16.01  18.48  20.28  |
 |  8  |  1.34   1.65   2.18   2.73   3.49  13.36  15.51  17.53  20.09  21.95  |
 |  9  |  1.73   2.09   2.70   3.33   4.17  14.68  16.92  19.02  21.67  23.59  |
 | 10  |  2.16   2.56   3.25   3.94   4.87  15.99  18.31  20.48  23.21  25.19  |
 | 11  |  2.60   3.05   3.82   4.57   5.58  17.28  19.68  21.92  24.72  26.76  |
 | 12  |  3.07   3.57   4.40   5.23   6.30  18.55  21.03  23.34  26.22  28.30  |
 | 13  |  3.57   4.11   5.01   5.89   7.04  19.81  22.36  24.74  27.69  29.82  |
 | 14  |  4.07   4.66   5.63   6.57   7.79  21.06  23.68  26.12  29.14  31.32  |
 | 15  |  4.60   5.23   6.26   7.26   8.55  22.31  25.00  27.49  30.58  32.80  |
 | 16  |  5.14   5.81   6.91   7.96   9.31  23.54  26.30  28.85  32.00  34.27  |
 | 17  |  5.70   6.41   7.56   8.67  10.09  24.77  27.59  30.19  33.41  35.72  |
 | 18  |  6.26   7.01   8.23   9.39  10.86  25.99  28.87  31.53  34.81  37.16  |
 | 19  |  6.84   7.63   8.91  10.12  11.65  27.20  30.14  32.85  36.19  38.58  |
 | 20  |  7.43   8.26   9.59  10.85  12.44  28.41  31.41  34.17  37.57  40.00  |
 | 21  |  8.03   8.90  10.28  11.59  13.24  29.62  32.67  35.48  38.93  41.40  |
 | 22  |  8.64   9.54  10.98  12.34  14.04  30.81  33.92  36.78  40.29  42.80  |
 | 23  |  9.26  10.20  11.69  13.09  14.85  32.01  35.17  38.08  41.64  44.18  |
 | 24  |  9.89  10.86  12.40  13.85  15.66  33.20  36.42  39.36  42.98  45.56  |
 | 25  | 10.52  11.52  13.12  14.61  16.47  34.38  37.65  40.65  44.31  46.93  |
 | 26  | 11.16  12.20  13.84  15.38  17.29  35.56  38.89  41.92  45.64  48.29  |
 | 27  | 11.81  12.88  14.57  16.15  18.11  36.74  40.11  43.19  46.96  49.64  |
 | 28  | 12.46  13.56  15.31  16.93  18.94  37.92  41.34  44.46  48.28  50.99  |
 | 29  | 13.12  14.26  16.05  17.71  19.77  39.09  42.56  45.72  49.59  52.34  |
 | 30  | 13.79  14.95  16.79  18.49  20.60  40.26  43.77  46.98  50.89  53.67  |
 +-----+-----------------------------------------------------------------------+

Kaynak: Kritik değerler İtalyanca Wikipedia için R (software) serbest programının qchisq(,1:30) fonksiyonu kullanılarak bulunmuştur.

Serbestlik derecesi g>30 olursa kritik değerleri bulmak için şu ifadeyi kullanmak yeterli olacaktır.  
 χ²α,g = 1/2 ( zα + √(2g-1) )² 
Burada zα Standart Normal N(0,1) için kritik değerdir (örneğin z0,95 = 1,645 olur.)

Ayrıca bakınız 

 Cochran'in teoremi
 Ters-ki-kare dağılımı
 Serbestlik derecesi (istatistik)
 Bağımsız sınamaları birleştirmek için Fisher'in yöntemi 
 Merkezsel olmayan ki-kare dağılımı

Kaynakça

Dış bağlantılar 
 Ki-kare uyum-iyiliği sınaması ders notları 
Yale University Stats 101 kodlu ders için ornekler hipotez sinamasi ve parametre tahminleri konularini kapsar.
 Ki-kare kritik değerleri için On-line hesaplayıcı,  Vassar College Richard Lowry'nin istatistik web sitesinde.
 Dağılımlar hesaplayıcısı Normal, Student'in t, ki-kare ve F dağılımları için olasılıkları ve kritik değerleri hesaplar.
 Ki-kare kritik değerleri için Ki-kare hesaplayıcısı  South Carolina Universitesi'nde R.Webster West'in Java applet deposunda
 GraphPad tarafından hazırlanmış Ki-kare hesaplayıcısı 
  Ki-kare dağılımı için tablo 

Sürekli olasılık dağılımları