Abel testi

Matematikte Abel testi (Abel kriteri veya Abel ölçütü olarak da bilinir) sonsuz bir serinin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir. Bu test matematikçi Niels Abel'e ithafen bu şekilde isimlendirilmiştir. Abel testinin farklı iki çeşidi vardır – birisi gerçel sayıların serileriyle kullanılır; diğeri ise karmaşık analizdeki kuvvet serileriyle kullanılır.

Gerçel analizdeki Abel testi 

Gerçel sayıların iki dizisi  ve ,
şunları sağlarsa

  yakınsar
  monotondur ve 

o zaman,

serisi yakınsar.

Karmaşık analizdeki Abel testi 

Yine Abel testi olarak bilinen oldukça yakın ilişkili yakınsaklık testi sıklıkla bir kuvvet serisinin yakınsaklık çemberinin sınırı üzerindeki yakınsaklığını kurmak için kullanılır. Daha ayrıntılı olarak, Abel testi şunu ifade eder:

ise ve

serisi |z| < 1 iken yakınsarsa, |z| > 1 iken ıraksarsa, n > m için (yani başka bir deyişle çok büyük n 'ler için) {an} katsayıları sıfır limitine doğru monoton olarak azalan pozitif gerçel sayılar ise, o zaman f(z) 'nin kuvvet serisi birim çember üzerindeki z = 1 dışında her yerde yakınsaktır. Abel testi z = 1 olduğunda uygulanamaz; bu yüzden bu noktadaki yakınsaklık ayrı bir şekilde incelenmelidir. Abel testi aynı zamanda yakınsaklık yarıçapı R ≠ 1 olan bir kuvvet serisine basit bir ζ = z/R değişken değiştirmesiyle uygulanabilir.

Abel testinin kanıtı: z birim çemberin üzerinde bir nokta ve z ≠ 1 olsun. O zaman

olur; böylece, p > q > m olan herhangi iki pozitif tam sayı için

yazabiliriz. Sp ve Sq burada kısmi toplamlardır:

Ancak şimdi, |z| = 1 ve an 'ler n > m iken monoton olarak azalan pozitif gerçel sayılar olduğu için, ayrıca

yazabiliriz. Şimdi Cauchy yakınsaklık testini uygulayabiliriz ve f(z) 'nin kuvvet serisinin seçilmiş z ≠ 1 noktasında yakınsadığını söyleyebiliriz çünkü sin(½θ) ≠ 0 sabit bir niceliktir ve aq+1, q yeterince büyük seçilerek verilmiş herhangi bir ε > 0 'dan daha küçük yapılabilir.

Dış bağlantılar 
 Kanıt (gerçel seriler için),PlanetMath.org sitesinde

Notlar

Kaynakça 
 Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964

Matematiksel seriler
Yakınsaklık testleri
Kanıt içeren maddeler