Kök testi

Matematikte kök testi bir  sonsuz serisinin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir. Özellikle kuvvet serileriyle bağlantılı olarak yararlıdır.

Test 
Kök testi ilk defa Cauchy tarafından geliştirilmiştir ve bu yüzden bazen Cauchy kök testi veya Cauchy radikal testi olarak da anılır. Kök testi

sayısını kullanır. Burada "lim sup", ∞ da olabilen üst (superior) limittir.

Kök testi şunu ifade etmektedir.

 C < 1 ise, seri mutlak yakınsaktır,
 C > 1 ise, seri ıraksaktır.
 C = 1 ise, test sonuçsuzdur.

Kuvvet serilerine uygulanması 

Bu test, cn katsayılarının ve p merkezinin karmaşık sayı olduğu, z 'nin karmaşık değişken olduğu bir

kuvvet serisiyle kullanılabilir.

O zaman serinin terimleri an = cn(z - p)n ile verilir. O zaman kök testi an 'ye yukarıdaki gibi uygulanır. Bazen bu gibi bir seriye "p etrafındaki" kuvvet serisi adı verilir çünkü yakınsaklık yarıçapı R serinin iç bölgesindeki her z noktasında yakınsak olduğu en geniş p merkezli aralık veya diskin yarıçapıdır (aralığın veya diskin sınırı üzerindeki yakınsaklık ayrıca bakılmalıdır). Kök testinin böyle bir kuvvet serisine uygulanan bir sonucu ise yakınsaklık yarıçapının kesinlikle  olmasıdır. Burada, payda sıfır olurken yarıçapın +∞ olduğuna dikkat edilmelidir.

İspat 
Σan serisinin yakınsaklığının kanıtı aslında karşılaştırma testinin bir uygulamasıdır. Her n ≥ N (n sabit bir doğal sayı) için  ise, o zaman  olur.  geometrik serisi yakınsadığı için o zaman karşılaştırma testiyle  de yakınsar. Pozitif olmayan an için yakınsaklık da  kullanılarak aynı yolla kanıtlanır.

Sonsuz tane n için  ise, o zaman an 0'a yakınsamaz ve bu yüzden seri ıraksak olur.

Sonucun kanıtı:
Σan = Σcn(z - p)n kuvvet serisi için, serinin yakınsak olması için şunun olması gerektiğini görüyoruz:

Her n ≥ N için

ifadesine denk olarak

ifadesini sağlayan bir N vardır. Bu da serinin yakınsaması için yeteri kadar büyük n 'ler için  olmasını gerektirmektedir. Bu da

demeye denktir. Böylece

 olur. Şimdi yakınsaklığın mümkün olduğu tek yer,

olduğu zamandır (1'den büyük noktalarda ıraksaklık vardır) ve bu da yakınsaklık yarıçapını değiştirmeyecektir çünkü bunlar da aralığın veya diskin sınırının üzerinde yer alan noktalardır. Böylece

olur.

Ayrıca bakınız 
 Oran testi
 Yakınsak seriler

Kaynakça 

  
 

Kalkülüs
Matematiksel seriler
Yakınsaklık testleri