Yönlü türev

Matematikte verilmiş bir P noktasındaki ve V vektörü boyuncaki çok değişkenli bir fonksiyonun yönlü türevi sezgisel olarak fonksiyonun P noktasında, V vektörü boyuncaki anlık değişim oranını temsil eder. Bu yüzden, kısmi türev fikrinin genelleştirmesidir çünkü kısmi türevler alınırken yön her zaman koordinat eksenlerine paralel olarak alınmaktadır.

Yönlü türev, Gâteaux türevinin özel bir durumudur.

Tanım 
Bir  skaler fonksiyonunun bir  vektörü boyuncaki yönlü türevi

limiti tarafından verilen fonksiyondur.

Bazı yazarlar  yerine Dv 'yi de kullanmaktadırlar. Eğer  fonksiyonu  'te türevlenebilir ise, o zaman yönlü türev herhangi bir  vektörü boyunca vardır ve

olur. Burada, sağdaki  gradyanı,  ise Öklid iç çarpımını temsil etmektedir. Herhangi bir  noktasında,  'nin yönlü türevi,  'deki  vektörü boyunca  noktasındaki değişim oranını temsil etmektedir. Yukarıdaki tanım her ne kadar herhangi bir vektör (hatta sıfır vektörü) için tanımlı olsa da, genelde yönler birimleştirilmiş olarak alınır ki böylece  birim vektör olur.

Özellikler 
Sırdan türevin birçok özelliği yönlü türev için de geçerlidir. Bunlar, bir p 'nin komşuluğunda tanımlı ve p 'de türevlenebilir olan herhangi bir f ve g fonksiyonları için şu özellikleri kapsar:

 Toplama kuralı: 
 Sabir çarpan kuralı: Herhangi bir c sabiti için, 
 Çarpma kuralı (veya Leibniz yasası): 
 Zincir kuralı: Eğer g, p 'de türevlenebilir ise ve h, g(p) 'de türevlenebilir ise, o zaman

Diferansiyel geometri 

M, bir türevlenebilir manifold ve p, M 'nin noktası olsun. f, p 'nin komşuluğunda tanımlı ve p 'de türevlenebilir bir fonksiyon olsun. Eğer v M 'ye p noktasında teğet vektör ise, o zaman f 'nin v boyuncaki yönlü türevi (değişik şekillerde  (Kovaryant türev),  (Lie türevi) veya  olarak da gösterilir.), şu şekilde tanımlanabilir: γ : [-1,1] → M, γ(0) = p  ve γ'(0) = v olan türevlenebilir bir eğri olsun. O zaman yönlü türev

ile tanımlanır. Bu tanımın, γ, γ'(0) = v olacak şekilde seçildiği sürece, γ 'nın seçiminden bağımsız olduğu kanıtlanabilir.

Normal türev 

Normal türev, uzaydaki bir yüzeye normal (yani dik) yönde veya daha genel bir şekilde bir hiperyüzeye dik olan normal vektör alanı boyunca alınan bir yönlü türevdir. Örnek olarak Neumann sınır koşulunu görünüz. Eğer normal yön  ile gösterilirse, o zaman ƒ 'nin yönlü türevi bazen  ile gösterilir.

Ayrıca bakınız 
 Lie türevi
 Diferansiyel form
 Yapı tensörü

Kaynakça 

Türev hesabı
Diferansiyel geometri
Türevin genelleştirmeleri
Çok değişkenli hesap