Moment üreten fonksiyon

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında, bir rassal değişken X için, eğer beklenen değer var ise, moment üreten fonksiyon şöyle tanımlanır:

Moment üreten fonksiyon bir olasılık dağılımı için momentler üretmek için ortaya atılmıştır.

Gerçel bileşenli vektör değerli rassal değişkenler X için moment üreten fonksiyon şöyle ifade edilir:

Burada t bir vektördür ve  nokta çarpan olur.

Şayet t = 0 aralığı etrafında bir momentin bulunduğu bilinirse, şu ifade ninci momenti gösterir:

Eğer X için bir sürekli olasılık yoğunluk fonksiyonu, yani f(x) var ise, moment üreten fonksiyon şöyle tanımlanır:

Burada  iinci matematiksel moment olur.  f(x) fonksiyonunun bir iki taraflı Laplace dönüşümüdür.

Olasılık fonksiyonunun sürekli olup olmadığına bakılmaksızın, moment üreten fonksiyon şu Rimemann-Stieltjes intergali ile verilebilir:

Burada F yığmalı dağılım fonksiyonudur.

Eğer X1, X2, ..., Xn bir seri bağımsız (ama mutlaka aynı şekilde dağılma göstermeyen) rassal değişkenlerse ve ai verilmiş sabitler olup

ise, o halde Sn için olasılık yoğunluk fonksiyonu, her bir Xi için olasılık yoğunluk fonksiyonlarının konvülasyonu olur ve ayni koşullar için Snnin moment üreten fonksiyonu şöyle verilir:

Olasılık kuramında her dağılım için genel ve tüm kapsamlı bulunan moment üreten fonksiyonlara benzer olarak daha birkaç tane donüşüm bulunmaktadır: Bunlar arasında karakteristik fonksiyon ve olasılık üreten fonksiyon en önemlileridir. Kümülant üreten fonksiyon ise moment üreten fonksiyonun logaritma dönüşümünden oluşur.

İçsel kaynaklar 

 Momentler
 Kümülant
 Karakteristik fonksiyon
 Faktöriyel moment üreten fonksiyon

Olasılık dağılımlar teorisi
Üretim fonksiyonları