Klein-Gordon denklemi

Klein-Gordon Denklemi, (bazı kaynaklarda Klein-Fock-Gordon Eşitliği olarak da ifade edilir) Schrödinger denkleminin bağıl/göreli (relativistik) olan versiyonudur ve atomaltı fizikte kendi ekseni etrafında dönmeyen parçacıkları tanımlamada kullanılır. Oskar Klein ve Walter Gordon tarafından bulunmuştur.

Matematiksel Açılım 
Serbest bir parçacık için Schrödinger denklemi aşağıdaki gibidir.

burada  momentum operatörü,  ise del operatörüdür.
Hamiltonyen işlemcisi (Ĥ);

Hamiltonyen işlemcisi, toplam enerjiyi karakterize eden ve içinde (kinetik enerjiyi + potansiyel enerjiyi) barındıran bir operatördür.  

Schrödinger denklemi Einstein'ın Özel Görelilik Kuramı'nı hesaba katmadığı için özellikle atomaltı parçacık hesaplamalarında yetersiz kalır.

Özel Görelilik Kuramı'ndan enerjinin tanımını ihraç edip

sonra, bu formüle kuantum mekanik momentum operatörünü eklediğimizde,

sonucunu alırız. Ancak bu eşitlik karekökten dolayı gayrilokal ve düzensiz bir yapıdadır ve bu yüzden Klein ve Gordon eşitliğin daha objektif bir versiyonunu tümdengelmişlerdir.

burada

ve

 olur.

Bu yeni operatöre d'Alembert operatörü denir ve günümüzde skaler (sıfır rotasyonlu) parçacıklar için alan denklemi olarak kullanılmaktadır.

Göreli serbest parçacık çözümü 

Serbest bir parçacığın Klein-Gordon denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir.

Yukarıdaki ifadenin göreli olmayan versiyonu ise bu şekilde ifade edilebilir:

Ancak elbette bu durumda,

engeli oluşacaktır. göreli olmayan parcçacıklarda olduğu gibi, aynı ifadenin enerji ve momentum için olan versiyonları,

ve

şeklinde formüle edilir. Bu noktada eşitliği k ve ω bilinmeyenleri için çözüp yukarıda değindiğimiz engel denklemine ihraç ettiğimizde m>0 kütleli parçacıkların enerji ve momentum değerleri arasındaki bağlantıyı formüle etmiş oluruz.

Kütlesiz parçacıklar için, yukarıdaki denklemde m`i 0 olarak alabiliriz. Bu durumda kütlesiz parçacığın enerji ve momentumu arasında,

ilişkisine ulaşırız.

Aksiyom 
Klein-Gordon denklemi aşağıdaki aksiyom kullanılarak tümdengelinebilir.

burada  Klein-Gordon alanını,  ise kütleyi ifade etmektedir.

Ayrıca bakınız 
 Dirac denklemi
 Kuantum alan kuramı
 Skalar alan
 Schrödinger denklemi
 Klein-Gordon denkleminin matematiksel argümanları bu sayfada tartışılmıştı: Dispersive PDE Wiki.

Dış bağlantılar 

 
 
 

Dalgalar
Denklemler