Goldbach hipotezi

Goldbach hipotezi ya da Goldbach sayısı, sayılar teorisindeki ve tüm matematikteki en eski ve en çok bilinen çözülmemiş problemlerden biridir. Hipotezde:

2'den büyük her çift tam sayı, iki asalın toplamı olarak ifade edilebilir.

Bu hipotezin 4 × 1018den küçük tüm sayılar için geçerli olduğu gösterilse de, önemli çabalara rağmen kanıtlanamamıştır.

Tarihi 
7 Haziran 1742 tarihinde, Alman matematikçi Christian Goldbach, Leonhard Euler'e yazdığı bir mektupta, sayılar kuramının çözüme varılamamış konularından birine işaret etmiştir. Goldbach, "İki asal sayının toplamı şeklinde yazılabilen her tam sayı, aynı zamanda şartlar uygunsa ikiden daha çok asal sayı tarafından da yazılabilir." demiştir.

Daha sonra bu varsayımını yeterli bulmamış, düzeltmeye gitmiştir. "2'den büyük her tam sayı 3 asal sayının toplamından bulunabilir." Burada Goldbach, ‘1’ sayısını da asal sayılara dahil ederek böyle bir çıkarımda bulunmuştur.

Euler'in cevabı, 30 Haziran 1742'de gelmiştir. Demektedir ki; “2'den büyük her çift tam sayı, iki asal sayının toplamından bulunabilir.”

İşlemler ve doğruluğuna yönelik iddiaları kuvvetlendiren çözümler 
Temel olarak dikkatle bakacak olursak bu proje matematiğin en temelindeki bilgileri başlangıç noktası olarak görmüştür. TOPLAMA işlemini…
 
Goldbach'ın bu hipotezinden yola çıkılarak yapılan ikinci saptamaya uygulanabilirliği açısından daha çok sahip çıkılmıştır. Çünkü akıldan hesaplanma kolaylığı sınırını ilerlettikçe, üç sayının toplamıyla uğraşmak, iki sayının toplamıyla uğraşmaktan daha zor ve çetrefilli bir hal alacaktır.

Yapılan açıklamanın pek de karmaşık olmayan sayılarla verilmiş bir örneğini aşağıda görebiliriz:

6 = 3 + 3	            
8 = 3 + 5	
10 = 3 + 7	
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11	
16 = 3 + 13	
18 = 5 + 13	
20 = 3 + 17
22 = 3 + 19	
24 = 5 + 19	
26 = 3 + 23	
28 = 5 + 23
.
.
.

Dünyadaki tüm Goldbach sayılarının hesaplamaları el yordamıyla gerçekleştirilemez. Hipotezin daha deneysel araştırmalarına göz atılması gerekmektedir.

Hipotezin yıllar içerisindeki gelişimi 
Euler, Goldbach'ın bu hipotezine ikna olmuştur ancak bu varsayımı ispatlayamamıştır. 1923 yılında, Hardy ve Littlewood isimli matematikçiler, bu varsayımı büyük tek sayıları kullanarak kısmen ispatlamışlardır. Bu kısmi ispata göz atacak olursak;

“Bir N0 alınır ve tüm tek n sayıları bu N0’dan büyüktürler. Bunun yanında bu n’ler 3 asal sayının toplamına eşittir.”

Rus matematikçi Vinogradov, 1937 ila 1954 yılları arasında yaptığı çalışmalarla, tekrar ilk varsayımı – kısmen ispatlanan kısmı yine tüm sayılar âlemini içine alamadan kanıtlamıştır -ki bu da bir diğer kısmi ispattır. Burada büyük tek rakamları ve analitik metotları kullanarak sonuca ulaşmıştır. n0’ın hesaplanması sonucu 3^3^15 değerini bulduğumuzda çıkan sonuç 6.846.169 basamaklı bir sayı olmuştur. Bu da Ribenboim'in 1988 ila 1995 yılları arasında yaptığı çalışmalarla doğrulanmıştır.

1966 yılında Chen Jingrun adlı Çinli matematikçi de kanıtlamıştır ki; her yüksek mertebeli çift sayı, aynı zamanda iki asal sayıdan fazla olmayacak sayıların toplamı şeklinde ifade edilebilir.

Goldbach'ın hipotezi sadece tek bir kişi tarafından kabaca ifadelerle kanıtlanabilmiştir. Bu ispata dair; 130 CPU saati kullanılarak, IBM 3083 Sinisalo'da 4*10^11. sayıya kadar gelinebilmiştir. Bunu kullanmasına rağmen Sinisalo, Q Basic programı deneme birimlerini işleterek aynı stratejiyi ele almıştır. Bu izlek tek numaraların alınmasını içerir. Küçük asal sayıları bulmak için (3’ten n/2’ye kadar olan sayıları) tek sayılar olarak almıştır. Eğer p asal sayıysa, bunların farkı n-p’dir ve bu da asallık için test edilmiştir. Eğer bu fark asal ise işlem tamamlanır ve bir çift bulunur. İlk bulunan çift de minimum Goldbach kısmi değeridir.

Eğer Goldbach'ın hipotezi doğruysa, herhangi çift bir n için; q=n-p asal sayı denklemini doğrulayan herhangi bir n çift sayısı ve p asal sayısı vardır. Goldbach bölünmesi n=p+q olarak da gösterilebilir. P ve q asal sayılardır. Goldbach ayrışımında en küçük asal sayı ayrılmış fonksiyon g(n) ile gösterilebilir.

Grafikteki notlardan emin olmak için, burada çok fazla sayıda dikey bir abartı vardır. Grafikteki her koyu bant asal sayıları göstermektedir: 3,5,7,11, … .  Bu noktada biraz kafa karıştırıcıdır. Öyleyse tabloda n'in sürekli artan minimum değer serilerine bakılır.
 
Tablo n'in 1.000.000.000'dan küçük olan değerlerini göstermektedir. Son kolon ise g(n)/n oranını göstermektedir. Bu oran kısmen ilgi çekicidir çünkü bize g(n)’in maksimum değerlerini göstermektedir ve görülüyor ki g(n) her koşulda kendinden önce gelen sayıdan azdır. g(n) minimum Goldbach kısımlarının üzerinden sınır koyar.

Minimum Goldbach kısımlarının değerlerinin n < 1.000.000.000 için gösterimi 

Minimum Goldbach bölümlerine grafik olarak baktığımızda görürüz ki; n, 1.000.000.000’dan küçüktür ve burada ilginç bir ilişki gözlemlenir. Uygunluk ve çeviriye yardım için y doğrultusu g(n) iken, x doğrultusu da log 10(n) şeklinde gösterilir.

Olasılığın 1 olmasına ulaşamazsak burada bir tek top sayı, aralık içinde asal sayı çifti oluşturmuyor demektir. Bu da bir ispat değildir ancak hipotezin doğru yolda olduğunu düşündürür.

Kaynakça 

Analitik sayı teorisi
Asal sayılar ile ilgili konjektürler
Hilbert problemleri