Multinom dağılımı

Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, multinom dağılımı binom dağılımının genelleştirilmesidir.

Binom dağılım n sayıda her biri istatistiksel olarak bağımsız olan 'Bernoulli denemeleri içinde 
her bir deneme için başarı olasılığı bilinip ve aynı olursa  elde edilebilen başarılı sonuç sayısının olasılık dağılımıdır.

Bir multinom dağılımında her deneme sonlu bir sabit olan k sayıda mümkün sonuçtan sadece tek birinin gerçekleşmesi ile son bulur. Bu k sayıda mümkün sonucun her biri için sabit olasılıklar, yani
p1, ..., pk 
bulunmaktadır; bunlar için
pi ≥ 0  eğer i = 1, ..., k 
ve

n sayıda bağımsız deneme yapılır.

O zaman rassal değişkenler olan  n deneme yapılırsa  i sayılı sonucun gözümlenmesi sayısını ifade eder.   ifadesi ise n ve vektör p parametreleri olan bir multinom dağılımı gösterir. Vektör p=(p1, ..., pk) olarak da yazılabilir.

Tanımlama

Olasılık kütle fonksiyonu 

Multinom dağılımı için olasılık kütle fonksiyonu şudur:

 

burada x1, ..., xk negatif olmayan tam sayılardır.

Özellikleri 

Beklenen değer şudur:

Kovaryans matrisi şöyle gösterilir:

Bu matrisin orta çarprazında bulunan elemanlar bir binom dağılımlı rassal değişken için varyansdırlar:

Orta çapraz dışındaki elemenlar kovaryans değerleridir:

Burada i, j birinden her zaman farklıdır.

Bütün kovaryans değerleri negatif işaretlidir; çünkü sabit bir N değeri için, bir multinom vektörünün bir parçasında olan artış, diğer bir parçasında bir düşüş olmasını gerektirir.

Bu kovaryans matrisi kertesi k - 1 olan  bir k × k büyüklüğünde bir matristir.
 
Bununla ilişkili olan bir diğer matrik corelasyon matrisidir. Korelasyon matrisinin ana çapraz dışı elemanları şöyle bulunurlar:

ve ana çapraz elemanlarının 1 olduğu aşikardır. Dikkat edilirse bu matris elemanlarının hesaplanmasında örneklem büyüklüğü hiç rol oynamaz. Bu matrisin her bir k parçası uygun bir i indeksi için ayrı ayrı olarak n ve pi parametreleri olan bir binom dağılımı gösterir.

Bir multinom dağılımı için destek 
 
değerinde sağlanır ve bunun eleman sayısı

 

olur. Bu k tipte olan bir multiset n-kombinasyonudur.

İlişkili dağılımlar 

 Eğer k = 2 ise multinom dağılımı bir binom dağılımı ile aynıdır
 Dirichlet dağılımı Bayes tipi istatistikte multinom dağılımının eşlenik önselidir.
 Çokdeğişirli Polya dağılımı

Ayrıca bakınız 

 Multinom teoremi

Kaynakça

Dış bağlantılar 
 Ayrık olasılık dagılımı - Multinom Dağılımı

Bibliyografya 
 Merran Evans, Nicholas Hastings ve Brian Peacock (2000) Statistical Distribution 3ncu ed. Wiley: New York  say.134-13 isbn = 0-471-37124-6

Çokdeğişirli olasılık dağılımları
Faktöriyel ve binomi konuları