Mandelbrot kümesi

Mandelbrot kümesi, Benoit Mandelbrot'un ikinci derece kompleks değişkenli polinomların dinamiklerini açıklamak için geliştirdiği ve incelediği kümedir. Mandelbrot kümesi, karmaşık düzlemin bir fraktal altkümesidir.

Tanım 
Yazı boyunca  ile  polinomunu göstereceğiz.  sayısının  altındaki değeri  dir. Benzer şekilde  sayısının  altındaki değeri  dir.  fonksiyonunun bir önceki aşamada elde edilen sayıya, yani  ye uygulanması yeni bir sayı, yani  yi, üretecektir. Bu işlemi yapmaya devam edersek,

karmaşık sayı dizisini elde ederiz. Bu dizinin limit değerinin sonlu bir sayı olup olmaması  değerine bağlıdır. Bunun nedeni  tipindeki ikinci derece polinomların yinelemeli uygulamalarının  yarıçapı 2 den büyük her karmaşık çemberi sonsuza götürmesindendir.

Dizinin, sonlu bir sayıya yakınsadığı  değerlerinin kümesine Mandelbrot Kümesi denir. Başka bir ifadeyle, Mandelbrot kümesi öyle bir kümedir ki  sayısı bu kümeden seçildiğinde yukarıdaki dizi sonlu bir sayıya yakınsar.

Temel özellikler 
 
 Mandelbrot kümesi tıkızdır. Yarıçapı 2 olan dairenin kapalı altkümesidir. 
 Mandelbrot kümesinin gerçel sayı kümesi ile kesişimi [-2,0.25] dir. 
 Mandelbrot kümesinin alanı yaklaşık olarak  1.50659177 ± 0.00000008. 
 Mandelbrot kümesinin lokal bağlantılı olup olmadığı bilinmemektedir.
 Mandelbrot kümesinin topolojik sınırının Hausdorff boyutu 2 dir. Lebesgue ölçümü bilinmemektedir. 
 Mandelbrot kümesi, ikinci derece polinomlarının dinamikleri için bir parametre uzayıdır. Başka bir ifadeyle, keyfi seçilmiş ikinci derece her  polinomu için, Mandelbrot kümesinde öyle bir  sayısı bulmak mümkündür ki,  ile  nin asimptotik dinamikleri topolojik olarak aynıdır. 
 Mandelbrot kümesi bir fraktaldır fakat tamamen kendine benzer değildir. Misiurewicz noktalarında lokal olarak kendine benzerdir. Misiurewicz noktaları her zaman Mandelbrot kümesinin topolojik sınırında yer alır ve bu topolojik sınırın yoğun altkümesidir.  değeri bir Misiurewicz noktası olarak seçilirse,   nin Julia kümesinin topolojik olarak içi boş olur ve bu Julia kümesi lokal olarak Mandelbrot kümesine benzerdir.

 Mandelbrot kümesinin kalp şeklindeki her kısmı, o kısım için tanımlanabilecek  lerin dinamiklerinin birbirlerine benzer olduklarını gösterir. 
 Gerçel Lojistik fonksiyonların parametre uzayları (bkz., bifurkasyon) ile Mandelbrot kümesinin gerçel ekseni kestiği noktalar arasında birebir bir ilişki vardır.

Ayrıca bakınız
 Matematiksel şekillerin listesi

Kaynakça 

Fraktallar
Karmaşık dinamik