Gama fonksiyonu

Gama fonksiyonu matematikte faktöriyel fonksiyonunun karmaşık sayılar ve tam sayı olmayan reel sayılar için genellenmesi olan bir fonksiyondur. Г simgesiyle gösterilir.

Kompleks düzlemde Analitik devamlılık için n negatif tam sayı olmamalıdır,pozitif tam sayı olmalıdır.

Alıştırma 
Öncelikle;
 eşitliğini ele alalım.
 alırsak;  olur.
Bu durumda "Aynı işlem kesirli sayılarla da yapılabilir mi?" diye bir soru akla gelir.
 alırsak;
 olması gerekir. Yani

→ olmalıdır.
' olduğundan;
→ 'e karşılık gelmelidir(eşittir demiyoruz) ve yine

→ işlemine karşılık gelmelidir.

Bu da
→ varsayımımızı doğrular. Denenirse diğer sayılar için de bunun doğruluğu görülebilir.

Tanım

Ana Tanım 

Bu çift  gösterim Legendre tarafından yapılmıştır. Kompleks sayı znin gerçel kısmı (Re[z] > 0) şeklindedir. integral'i

Burada kısmi integrasyon kullanarak, mutlak yakınsaklık gösterilebilir.

 n ! = n · (n − 1) ! faktoriyel fonksiyonunun genel kimliği/tanımı Bu fonksiyonel denklemdir.

Bu iki sonuç bize faktöriyel fonksiyonun gama fonksiyonun özel bir durumu olduğunu gösteriyor.
Bütün n Doğal sayılar'ı için . 

 genellemesi analitik devamlılık için gereklidir. z böylece 0 ve negatif değerler hariç bütün kompleks sayıları meromorfik fonksiyon olarak tanımlar. (z. = −nbasit kutbu ile rezidü (−1) n/n !).

 Alternatif tanımlamalar 
0 ve negatif tam sayılar dışında bütün kompleks sayılar z için tanım sonsuz sayıda Gama fonksiyonu için, sırasıyla Euler ve Weierstrass çifti tarafından

burada γ, Euler-Mascheroni sabiti'dir.

yukarıdaki z nin 0,-1,-2,-3..dışındaki değerleri için Euler tanımı fonksiyonel denklemi
basitleştirilmiş şekli, 

değişik bir gösterim...

Bazen Gamma fonksiyonu'nun parametrik şekli Laguerre polinomları'nın
terimleri içinde verilir;
  ,   yakınsaklık için  olmalıdır.

Özellikler
Pi fonksiyonu
Bir alternatif gösterimde Gauss tarafından girilmişti. ve bazen Pi fonksiyonu deniyor,gama fonksiyonu terimleri yardımıyla

böylece

her negatif olmayan n için.

Pi fonksiyonunu kullanarak yansıma formülü formunu alır

burada sinc normalize sinc fonksiyonudur, eğer çarpım teoremi  formu alınırsa

ayrıca bazen

bulunur.

yukardaki bir Tam fonksiyon'dur,çünkü karmaşık sayılar içinde tanımlıdır. Burada π(z) hiçbir kutuba sahip değildir,  Π(z)de,  Γ(z) gibi,sıfır yok idi.

ilgilenenler için, yarıçap  ile bir n-ellipsoidin hacmi   gösterilebilir.

 Özel değerler 

Raabe formülü

1840 yılında Raabe şunu kanıtladı,

özel olarak, eğer  ise

Ayrıca bakınız
 Matematiksel fonksiyonların listesi
 Beta fonksiyonu
 Bohr–Mollerup teoremi
 n-küre hacminin türevi (görünüşte ilgisiz olan problemden  Gama fonksiyonunun türetilmesi)
 Digama fonksiyonu
 Elliptik gama fonksiyonu
 Faktöriyel
 Gamma dağılımı
 Gauss sabiti
 Gauss toplamı
 Lanczos yaklaşıklığı
 Çokdeğişkenli Gama fonksiyonu
 Pochhammer k-sembolü
 Poligama fonksiyonu
 Ters Gama fonksiyonu
 Trigama fonksiyonu
 Notlar 

 Kaynakça 

 
 Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 6) 
 Emil Artin, "The Gamma function", in Rosen, Michael (ed.) Exposition by Emil Artin: a selection; History of Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006).
 Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function," Am. Math. Monthly 66''', 849-869 (1959)
 Julian Havil, Gamma, Exploring Euler's Constant", ISBN 0-691-09983-9 (c) 2003
 W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.1.)
 Pascal Sebah and Xavier Gourdon.  Introduction to the Gamma Function.  In PostScript and HTML formats.

Dış bağlantılar 

 
 Cephes - C and C++ language special functions math library
 Examples of problems involving the Gamma function can be found at Exampleproblems.com.
 Gamma function calculator
 Wolfram gamma function evaluator (arbitrary precision)
 
 Volume of n-Spheres and the Gamma Function at MathPages
 Computing the Gamma function - various algorithms
 Online tool to graph functions which contain the Gamma function
 
 "Elementary Proofs and Derivations" 
 "Transformations, Identities and Special Values" 

Gama ve ilişik fonksiyonlar
Özel fonksiyonlar
Faktöriyel ve binomi konuları
Meromorf fonksiyonlar