Klein-Beltrami modeli

Geometride, izdüşüm modeli olarak da adlandırılan Klein Modeli, (Beltrami-Klein modeli, Klein-Beltrami modeli ve Cayley-Klein modeli) geometrisindeki noktalar n-boyutlu bir küreye -ya da daireye- hapsolmuş ve geometrisindeki doğrular bu kürenin -ya da dairenin - içinde doğru parçaları olan (öyle ki bu doğru parçalarının bitiş noktaları bahsi geçen kürenin -ya da dairenin- sınır çizgilerini oluşturur) n-boyutlu hiperbolik geometrinin bir modelidir. Poincaré yarı-düzlem modeli ve Poincaré daire modeli'nde olduğu gibi, Klein-Beltrami modeli de ilk kez, bu modelleri hiperbolik geometrinin Öklid Geometrisi ile eşit derecede tutarlı olduğunu ispatlamak için kullanan Eugenio Beltrami tarafından ortaya atılmıştır. Uzaklık fonksiyonu ilk kez Arthur Cayley tarafından ortaya atılmış ve Felix Klein tarafından hiperbolik geometride geometrik açıdan kaleme alınmıştır.

Hiperboloit Modeli ile bağlantısı 
Hiperboloit model, Minkowski uzayında hiperbolik geometrinin bir modelidir. Farzedelim  reel -uzayında bir vektör olsun. ikinci dereceden Minkowski formunu şöyle tanımlarız: 

İkinci dereceden Minkowski formu  için öyle bir bilineer -ikilidoğrusal-  formu bulabilirim ki, 

olarak tanımlansınır. Eğer 

ise bunu 

şeklinde yazabiliriz. Ve bunu Minkowski izdüşüm uzayının belli noktalarına (burada bu noktaları merkezden noktaya çizilmiş ışınlar olarak düşünelim) bir hiperbolik metrik koymakta kullanabiliriz. (Bir  vektörü için şunu söyleyebiliriz: .) Eğer  ve  bu şekilde oluşturulmuş iki vektörse, bu iki vektör arası uzaklığı

olarak tanımlarız. Bu homojen bir fonksiyondur, dolayısıyla noktaların izdüşümleri arasındaki uzaklığı tanımlar. Hiperboloit modelini de Klein modelini de bu izdüşümsel noktaları normalize ederek elde edebiliriz. Eğer  ve  doğrularını birinci koordinatı pozitif yapmak için gerekiyorsa işaret değiştirerek ve  ve yi 
yu elde edecek şekilde bölerek normalize edersek, (böylece noktalar  eşitiğini sağlayacak), hyperboloid modeli elde ederiz. Eğer  ve yi normalize etmek yerine ilk koordinatlarına bölersek ( ve  sıfırdan büyük olduğundan, sonuç da sıfırdan büyük olacaktır.) izdüşümsel düzlemin noktaları birim dairenin iç kısmında kalan bir alt kümesini elde ederiz. Bunu merkezden geçen  hiper yüzeyli doğruların kesişimi olarak da düşünebiliriz.

Hiperbolik geometri