Gödel'in eksiklik teoremi

Ünlü Alman matematikçi David Hilbert, matematikteki tüm ispatların, belli bir sabit yöntem veya yöntemler bütünü ile, yani aksiyomatik bir sistem vasıtasıyla, elde edilebileceğini düşünüyordu ve bu doğrultuda çalışmalarına başladı. Temel aritmetikteki tüm doğruları, aksiyomlarından türetebilir ise, matematikteki tüm doğruları da bu aksiyom yapılarından elde edebilecekti.

Hilbert'in çağdaşı olan Kurt Gödel bunun olanaksızlığını gösterdi. Bunu kısaca şu şekilde yaptı: Bu önerme ispatlanamaz ifadesini (G) aritmetik sisteminde formülize etti. Aynı şekilde G ifadenin değilini (Bu önerme ispatlanabilir) de formül ile ifade etti. Daha sonra, G ifadesinin aritmetik olarak doğruluğu hesaplanabilir ise, G ifadesinin değilinin de doğruluğunun hesaplanabileceğini gösterdi. Ve Gödel buradan şu iki sonuca varmıştır:
 Ögesel aritmetik içeren aksiyomatik bir sistem tutarlı ise eksiksiz değildir. 
 Ögesel aritmetik içeren aksiyomatik bir sistemin tutarlılığını sistemin kendi içinden (sistemin kendi formüllerini ve işlemlerini kullanarak) ispatlamak mümkün değildir.

İşin ilginç tarafı, bu G ifadesi sistemin içine bir aksiyom olarak yerleştirilse bile, yeni bir Gödel cümlesi çıkartılabilir. Yani ne kadar aksiyom eklersek ekleyelim, böyle bir sistemde doğruluğu ya da yanlışlığı ispatlanamayacak bir Gödel cümlesi bulunacaktır.

Dış KaynakGödel Teoreminin Yapay Zeka Üzerine 

 Eksiklik Teoremi

Matematik teoremleri
Mantık