Genelleştirilmiş ortalama

Bir genelleştirilmiş ortalama Pisagorik ortalamalarını, yani aritmetik ortalama, geometrik ortalama ve harmonik ortalamayı, ayni tanım formülünde birleştirip kapsayan bir abstre genelleştirmedir. Güç ortalaması veya Holder ortalaması adları da verilmektedir.

Tanım 

Eğer  sıfır olmayan bir pozitif reel sayı ise,  üslü genelleştirilmiş ortalama

ifadesine uyan  pozitif reel sayılardır.

Özellikler 

 = 1 hali aritmetik ortalama,  = - 1 harmonik ortalamasını ve t = 2 ise ortalama kare kökünü ortaya çıkartır. t limitte 0a yaklaşırsa, M(t) için verilen sayılar için limit o sayıların geometrik ortalamasını verir ve bu nedenle M(0) terimini geometrik ortalama olarak tanımlamak uygun olur. Bunun yanında t ∞ değerine limitte yaklaşmakta ise, M(t) verilen sayıların minimum değerine yaklaşım gösterir.

 Birçok değişik ortalamalar gibi, genelleştirilmiş ortalama,  argümanlarının bir homojen fonksiyonudur. Yani  pozitif bir reel sayı ise,  reel sayılarının  üslü genelleştirilmiş ortalaması  teriminin  sayılarının genelleştirilmiş ortalamasına eşittir.
 Yarı-aritmetik ortalamalar için uygulandığı gibi, ortalamanın hesaplanması birbirine eşit büyüklükte alt-blokların hesaplanması ile elde edilebilir.

 

 Genelleştirilmiş ortalama eşitsizliği 

Genellikle, eğer  olursa, o halde  olur ve iki ortalama ancak ve ancak  ise birbirine eşittir. Bundan şu sonuç ortaya çıkartılır:

 

ve bu Jensen'in eşitsizliğini kullanılarak ispat edilebilir.

Özellikle,  ise genelleştirilmiş ortalama eşitsizliği hem Pisagorik ortalamaların eşitsizliğini hem de aritmetik ve geometrik ortalamaların eşitsizliğini içermektedir.

 Özel haller 

  - minimum,
  - harmonik ortalama,
  - geometrik ortalama,
  - aritmetik ortalama,
  - kuadratik ortalama,
  - maksimum.

 Kuvvet ortalamaları eşitsizliğinin ispatı 

 Karşıt işaretli ortalamalar arasındaki eşitsizlerin birbirine tıpatıp benzemesi 

p ve q endeksli güç ortalamaları arasında bir ortalama bulunsun:

O halde:

(Bu pozitif reel sayılı kesinlikle azalan bir fonksiyon olduğu için) iki tarafın da -1 üssü alınabilir:

Böylece -p ve -q üsleri olan ortalamalar için bir eşitsizlik elde etmiş oluruz. Aynı mantığı tersten de kullana bilip eşitsizliklerin birbirine aynı olduğu ispat edilebilir. (Bu sonuç ileri de kullanılacaktır.)

 Geometrik ortalama 
Herhangi bir q değeri için, q üslü bir ortalama ile geometrik ortalama arasındaki eşitsizliğin şu yolla dönüşümü yapılabilir:

(Birinci eşitsizlik bir pozitif q için ispat edilmiş olması gerekir.)

Her iki tarafından q üssü alınırsa 

olur. Her iki halde de  silsilesi için ağırlıklı aritmetik ve geometrik ortalamalar arasındaki eşitsizlik ele geçirilir. Bu Jensen'in eşitsizliği ve logaritmik fonksiyonun konkav olduğu gerçeklerinden faydalanarak ispat edilebilir.

(Kesinlikle azalan) exp fonksiyonu her iki tarafa tatbik edilirse, şu eşitsizlik ortaya çıkar:

Böylece, herhangi bir pozitif q değeri için şu ifade önerilir:

Bu eşitsizlik herhangi bir q ne kadar küçük olursa olsun hep gerçek olacağı için, q limitte 0a yaklaştıkça, bu eşitsizliğin sol ve sağ tarafları geometrik ortalamaya yaklaşıklık gösterir. q 0a yaklaşım gösterdikçe, güç ortalaması limitte geometrik ortalamaya yaklaşır:

 Herhangi bir güç ortalamaları çifti arasındaki eşitsizlik 

Burada herhangi bir p<q için şu eşitsizliğin geçerli olduğu ispat edilecektir:

 Eğer p negatif ise ve q pozitif ise, eşitsizlik yukarıda ispatı verilenin aynıdır:

 Hem p pozitif hem de q pozitif ise ispat şöyle yapılır:
Önce şu fonksiyon tanımlanır:
  . 
Burada f bir güç fonksiyonudur; bu nedenle ikinci türevi bulunup şöyle ifade edilir:
  
Bu f sahası içinde kesinlikle pozitif olur; çünkü q > p olduğu için f konvekstir.

Bu sonucu ve Jensen'in eşitsizliğini kullanarak, şu ifadeler elde edilir:

Bunun her iki tarafının 1/q üssü alınırsa (1/q)'nin pozitif olması nedeniyle bunun bir artan fonskiyon görülür ve elde edilen eşitsizlik şu olur:

Bu eşitsizlik ise ispat gereken sonucudur.

 Hem p negatif ve hem q negatif ise, daha önce gösterilenlere aynı olan ifadeler geçerlidir ve bunlara -p ve -q konulursa, ispatı istenilen eşitsizlik yine elde edilir.

 Minimum ve maksimum 

Minimum ve maksimum değerlerin üssel endeksleri 
 ve .
olan güç ortalamaları olduğu kabul edilsin. Böylece herhangi bir q değeri için

Maksimum için ispat şöyle yapılır:
Genelliği kaybetmeden xi dizisinin artan olmadığını ve ağırlığının sıfır olduğu kabul edilsin. Bu halde eşitsizlik şu ifadeyle aynıdır:

Bu ifadenin iki tarafının da q üssü alınırsa, (qnun işaretine bağlı olarak) şu iki ifadeden birisi elde edilir:

≤ eğer q>0 , ≥ eğer q<0.

Her iki taraftan  çıkartılırsa, elde edilen ifade

olur. Bu  ile bölünürse, ortaya çıkan ifade şudur:

1 - w1 sıfır değildir, böylece

İki taraftan x1q çıkartırsak ortaya çıkan ifade

olur. Bu epeyce açıkça anlaşılır; çünkü x1 herhangi bir xi değerine eşit veya o değerden daha fazladır ve böylece

Minimum için de ispat nerede ise aynı şekilde yapılır; ancak x1, w1 yerine xn, wn kullanılır.

 Genelleştirilmiş -ortalaması Genelleştirilmiş ortalama (veya güç ortalaması''') daha da genelleştirilip genelleştirilmiş f-ortalaması formülü ortaya çıkarılmıştır. Bu formül şöyledir:

Bu formüle göre güç ortalaması''  olarak elde edilir.

Uygulamalar

Sinyal üretilmesi 

Bir güç ortalaması bir doğrusal olmayan hareketli ortalama hizmeti görür. Bu küçük  için düşük sinyal değerlerine doğru kaydırma yapar ve büyük  için yüksek sinyal değerlerine önem sağlar. Hareketli aritmetik ortalamanın etkin uygulaması (yani smooth uygulaması) gerçekse verilen şu Haskell koduna göre

  powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
  powerSmooth smooth p =
     map (** recip p) . smooth . map (**p)

 Bu büyük değerde  için rektifiye edilmiş sinyal üzerinde bir zarf detektörü olarak hizmet görebilir.
 Bu küçük değerde  için kütle spektrumu üzerinde anahat detektörü olarak hizmet görebilir.

Ayrıca bakınız 

 Aritmetik ortalama
 Geometrik ortalama
 Harmonik ortalama
 Heronian ortalama 
 Pisagorik ortalama
 Ortalama
 Ortalama kare kökü

Dış bağlantılar 

 MathWorld'de güç ortalaması 
 Genelleştirilmiş ortalama için örnekler 
 PlanetMath sitesinde genelleştilmiş ortalama hakkında eşitsizlik ispatı
 Rasyonel ortalama

Ortalama
Pisogorik ortalama
Eşitsizlik