Karmaşık düzlem

Matematikte karmaşık düzlem, gerçel eksen ve ona dik olan sanal eksen tarafından oluşturulmuş, karmaşık sayıların geometrik bir gösterimidir. Karmaşık sayının gerçel kısmının x-ekseni boyuncaki yer değiştirmeyle, sanal kısmının ise y-eksenindeki yer değiştirmeyle temsil edildiği değiştirilmiş bir Kartezyen düzlem olarak düşünülebilir.

Karmaşık düzleme bazen de Argand düzlemi denmektedir çünkü Argand diagramlarında kullanılmaktadır. Bu terimler ilk defa Norveçli-Danimarkalı kadastrocu ve matematikçi Caspar Wessel (1745-1818) tarafından kullanılmış olmasına rağmen, Jean-Robert Argand'ın (1768-1822) adıyla anılmaktadır. Argand diagramları karmaşık düzlemdeki bir matematiksel fonksiyonun kutuplarını ve sıfırlarını çizmek için sık sık kullanılır.

Karmaşık düzlem kavramı karmaşık sayıların geometrik bir yorumuna da izin verir. Toplama altında, vektörler gibi davranırlar. İki karmaşık sayının çarpımı en kolay şekilde kutupsal koordinatlarda açıklanabilir – çarpımın büyüklüğü (veya modülüsü) iki mutlak değerin çarpımlarına eşittir ve çarpımın açısı (veya argumenti) iki açının veya iki argumentin toplamına eşittir. Özelde, modülüsü 1 olan bir karmaşık sayıyla çarpım rotasyon gibi davranır.

Gösterimsel uzlaşmalar 

Karmaşık analizde karmaşık sayılar geleneksel olarak z ile gösterilirler. z 'nin kullanıldığı durumlarda ise w veya ω kullanılır. z sayısı, x ve y 'nin gerçel sayılar olduğu gerçel(x) ve sanal(y) kısımlarına

gibi ayrılabilir. Burada i sayısı sanal birimdir. Bu geleneksel gösterimde z karmaşık sayısı, kartezyen düzlemindeki (x, y) sayısına karşılık gelmektedir. Kartezyen düzleminde (x, y) ayrıca kutupsal koordinatlar kulllanılarak

olarak ifade edilebilir.

Kartezyen düzlemde arctanjant fonksiyonunun -π ile π (radyan cinsinden) arasında değer aldığı varsayılabilir ve x ≤ 0 olduğunda (x, y) noktaları için gerçel arctanjant fonksiyonunu tanımlamada dikkat edilmelidir. Karmaşık düzlemde bu kutupsal koordinatlar şu formu alırlar:

Bu denklemde,

eşitlikleri alınmıştır.

|z| burada z 'nin mutlak değeri veya modülüsüdür; θ ise z 'nin argumentidir ve genelde 0 ≤ θ < 2π olacak şekilde alınır. Son eşitlik (|z|eiθ) ise Euler formülünden alınmıştır. z 'nin argumenti çok değişkenlidir çünkü karmaşık üstel fonksiyon periyodiktir (periyodu 2πi dir ). Bu yüzden, θ, arg(z) 'nin bir değeriyse, diğer değerler n 'nin sıfırdan farklı herhangi bir tam sayı olduğu arg(z) = θ + 2nπ ile verilir.

Kontür integrali alma kuramı karmaşık analizin büyük bir kısmını oluşturur. Bu bağlamda kapalı eğri boyunca gidişin yönü önemlidir – integralin alındığı yönü tersi yöne çevirmek integrali -1 ile çarpmak demektir. Uzlaşma ise pozitif yönün saat yönünün tersi olduğudur. Mesela, birim çember üzerinde z = 1 noktasından başlayıp pozitif yönde gitmek şöyle olur: Başlangıçtaki z = 1 noktasından yukarıya ve sola z = i noktasına gidilir, sonra aşağıya ve sola -1 noktasına gidilir. Sonra aşağıya ve sağa gidilerek -i noktasından geçilerek en sonunda yukarıya ve sağa doğru yol takip edilir ve başlangıç noktası olan z = 1 noktasına ulaşılır.

Karmaşık analizin hemen hemen hepsi karmaşık fonksiyonlarla ilgilidir – yani karmaşık düzlemin bir altkümesini yine başka bir altkümesine (üst üste gelebilir veya aynı küme olabilir) gönderen fonksiyonlar. Burada f(z) fonksiyonunun tanım kümesinden bahsederken bir diğer uzlaşım ise tanım kümesinin olduğu düzlemi z-düzlemi olarak, görüntü kümesinin olduğu düzlemi ise w-düzlemi olarak anmaktır. Sembollere dökülürse,

olarak yazılır ve f, z-düzleminin ((x, y) koordinatlarıyla) w-düzlemine ((u, v) koordinatlarıyla) dönüşümü olarak düşünülür.

Stereografik izdüşümler 

Bazen karmaşık düzlemi birim kürenin yüzeyini işgal ediyormuş gibi düşünmek de faydalıdır. Birim yarıçaplı küreyi ele alalım ve karmaşık düzlemi bu kürenin tam ortasına koyalım. Böylece, kürenin merkezi ile orijin yani z=0 noktası aynı olsun. Küre ile karmaşık düzlemin bu haldeki kesişimi düzlemdeki birim çember olacaktır.

Küre üzerindeki noktalarla karmaşık düzlemin noktaları arasında birebir örten bir ilişki kurulabilir. Düzlemde verilen bir nokta için, noktayı kürenin kuzey kutbuna bağlayan bir doğru çizelim. Bu doğru küreyi kesinlikle başka bir noktada daha kesecektir. z =0 noktası ise güney kutbuna izdüşürülsün. Birim çemberin içi kürenin içinde yer aldığı için (|z| < 1) tam bölgesi kürenin güney yarımküresine gönderilecektir. Birim çemberin (|z| = 1) kendi ise ekvatora ve birim çemberin dışı (|z| > 1) ise kuzey yarımküreye gönderilecektir. Bu prosedür tersine de çevrilebilir – küre yüzeyinde bir nokta verilmiş olsun ve bu nokta kuzey kutbundan hariç bir nokta olsun. O zaman, bu noktayı kuzey kutbuna bağlayan bir doğru çizebiliriz ve bu doğru da düzlemi kesinlikle bir kez keser.

Bu stereografik izdüşüm esnasında bir nokta – kuzey kutup noktası – karmaşık düzlemin bir noktasıyla eşlenmemiştir. Birebir örten ilişkiyi mükemmelleştirmek için küre yüzeyindeki kutup noktasına karşılık karmaşık düzleme sonsuzdaki nokta eklenir ve bu kutup noktası ile sonsuzdaki nokta birbirlerine eşlenir. Bu topolojik uzay, yani karmaşık düzlem artı sonsuzdaki nokta, genişletilmiş karmaşık düzlem olarak da bilinir. Bu da matematikçilerin karmaşık düzlem hakkında konuşurken neden tek bir "sonsuzdaki nokta" aldıklarını açıklar. Gerçel sayı doğrusunda negatif ve pozitif olmak üzere iki adet sonsuz varken, genişletilmiş karmaşık düzlemde sadece bir tane sonsuz vardır.

Küredeki enlem ve boylam çizgilerinin küreden düzleme izdüşürüldüğünde neler olabileceğini düşünelim. Enlem doğrularının hepsi ekvatora paraleldir. Böylece hepsi z = 0 merkezli mükemmel birer çember olurlar. Boylam doğruları ise orijinden geçen (aynı zamanda sonsuzdan da geçen doğrular; çünkü güney ve kuzey kutuplarının her ikisinden geçerler) doğrular olacaktır.

Bu, bir kürenin bir düzlem üzerine olan tek stereografik izdüşümü değildir. Mesela, kürenin güney kutbu orijinin üstüne gelecek ve düzlem küreye teğet olacak şekilde koyulabilir. Detaylar çok da önemli değildir. Kürenin düzleme olan herhangi bir izdüşümü bir "sonsuzdaki nokta" yaratacaktır ve bu izdüşüm enlem ve boylam doğrularını düzlemde sırasıyla çemberlere ve doğrulara gönderecektir.

Düzlemi kesmek 
Karmaşık değişkenli fonksiyonları tartışırken karmaşık düzlemin bir kesiğini düşünmek de genelde uygundur. Bu fikir doğal bir şekilde farklı bağlamlarda ortaya çıkmaktadır.

Çok değerli ilişkiler ve dallanma noktaları 
İki değerli basit

ilişkisini göz önüne alalım. Bu ilişkiyi tek değerli bir fonksiyon olarak incelemeden önce, sonuç değerinin görüntüsü bir şekilde sınırlandırılmış olmalıdır. Gerçel sayıların karekökleriyle uğraşırken bu yapılan çok kolaydır. Mesela, y2 = x olacak şekilde

ifadesinde negatif olmayan bir y sayısı tanımlanabilir. Ancak, bu fikir iki boyutlu karmaşık düzlemde iyi bir fikir değildir. Neden olduğunu görmek için, z değeri birim çember üzerinde hareket ettikçe f(z)'nin değerinin nasıl değiştiğine bakalım.

ifadesini yazabiliriz.

Açık bir şekilde, z çemberin tümünü turladıkça, w sadece çemberin yarısını turlar. Böylelikle, karmaşık düzlemdeki sürekli bir hareket e0 = 1 pozitif karekökünü eiπ = -1 negatif kareköküne dönüştürmüştür.

Bu problemin çıkış nedeni z ≠ 0 olan her karmaşık sayının iki karekökü varken z = 0 'ın sadece bir karekökünün olmasıdır. Gerçel sayı doğrusu üzerinde bu problemden x = 0 noktasında bir bariyer dikerek kaçınabiliriz. Herhangi kapalı bir kontürü dallanma noktası  z = 0'ı çevrelemekten korumak için, karmaşık düzlemde daha büyük bir bariyere ihtiyaç duyulur. Bu bariyer bir dallanma kesimi veya başka bir deyişle dallanma kesiği ile yapılır ve bu durumda "kesik" z = 0 noktasından pozitif gerçel eksen boyunca sonsuz noktasına kadar uzanır. Böylece, z 'nin kesik düzlemdeki argumenti 0 ≤ arg(z) < 2π aralığına sınırlandırılmış olur.

Şimdi w = z½ 'nin tam bir tanımını verebiliriz. Bunu yapmak içinse, her ikisi de gerçel eksen boyunca kesilmiş z-düzleminin iki kopyasına ihtiyaç duyulur. Bir kopya üzerinde, 1'in karekökünü e0 = 1 olarak tanımlarız ve diğerinde ise 1'in karekökünü eiπ = -1 olarak tanımlarız. Bu iki tam düzlem kesiğine ise yaprak denmektedir. Süreklilik tartışmasıyla, bu (şimdi tek değerli olan) w = z½ fonksiyonunun ilk yaprağı 0 ≤ arg(w) < π olacak şekilde w-düzleminin yukarı düzlemine gönderdiğini, ikinci yaprağı ise π ≤ arg(w) < 2π olacak şekilde w-düzleminin aşağı düzlemine gönderdiğini gözlemleyebiliriz.

Bu örnekteki dallanma kesiği gerçel eksen boyunca uzanmak ve hatta doğru olmak zorunda bile değildir. z = 0 noktasını sonsuz noktasına bağlayan herhangi bir sürekli eğri işimizi görecektir. Bazı durumlarda, dallanma kesiği sonsuz noktasından geçmek zorunda bile değildir. Mesela,

ilişkisini ele alalım. Burada z2 - 1 polinomu z = ±1 değerlerinde 0 değerini alır ve böylece g 'nin açıkça iki dallanma noktası olur. Düzlemi gerçel eksen boyunca, -1 'den 1 'e kadar, "kesebiliriz" ve g(z) 'nin tekdeğerli olduğu bir yaprak elde edebiliriz. Alternatif bir kesim ise z = 1 noktasından sonsuz noktasına kadar pozitif gerçel eksen boyunca gidilip sonra bu sonsuz noktasından  z = -1 noktasına negatif gerçel eksen boyunca gidilerek yapılabilir.

Bu durum en kolay biçimde yukarıda açıklanmış stereografik izdüşüm kullanılarak görülebilir. Küre üzerinde, bu kesiklerden birisi ekvatordaki bir noktayı (z = -1) ekvatordaki başka bir noktaya (z = 1) bağlayacak şekilde boylam boyunca güney yarımkürede yolunun üstündeki güney kutbundan (z = 0) geçecek şekilde hareket eder. Kesiğin ikincisi ise kuzey yarımkürede yine boylam şeklinde gider ve yine aynı ekvator noktasını kuzey kutbundan (yani sonsuzdaki noktadan) geçecek şekilde birleştirir.

Meromorf fonksiyonların tanım kümelerinin sınırlandırılması 

Bir meromorf fonksiyon
tanım kümesindeki sonlu veya sayılabilir sonsuz sayıdaki nokta dışında holomorf ve bu yüzden de analitik olan karmaşık bir fonksiyondur. Böyle bir fonksiyonun tanımlanamadığı noktalara meromorf fonsiyonun kutupları denilir. Bazen bütün bu kutuplar bir doğru üzerinde yer alırlar. Bu durumda, matematikçiler fonksiyona "kesik düzlem üzerinde holomorf" derler. Burada basit bir örneği var.

şeklinde tanımlanan gama fonksiyonunun (burada, γ, Euler-Mascheroni sabitidir) 0, -1, -2, -3, ... noktalarında basit kutupları vardır çünkü  z sıfır olduğunda veya negatif bir tam sayı olduğunda, sonsuz çarpımdaki paydalardan kesinlikle birisi 0 olmaktadır. Tüm kutupları negatif gerçel eksen üzerinde z = 0 'dan sonsuza kadar sıralandığı için, bu fonksiyon

"kesiği negatif gerçel eksen üzerinde z = 0 'dan sonsuza kadar uzanan kesik düzlem üzerinde holomorf"

olarak tanımlanabilir.

Aynı zamanda,  Γ(z) başka bir şekilde

"-π < arg(z) < π olan ve z = 0 'ı hariç tutan kesik düzlemde holomorftur."

şeklinde tanımlanabilir.

Bu kesik karşılaştığımız dallanma kesiğinden hafifçe farklıdır çünkü aslında kesik düzlemden negatif gerçel ekseni "hariç tutmaktadır". Dallanma kesiği gerçel ekseni bir tarafta (0 ≤ θ) kesik düzlemle bağlı tutarken, diğer tarafta (θ < 2π) kesik düzlemden ayırmıştır.

Aslında Γ(z)'nin holomorf olduğu bir bölge yaratmak için, z = 0 'dan -∞ 'a uzanan tüm doğruyu kesmek gerekli değildir. Yapılması gereken tek şey, {0, -1, -2, -3, ...} sayılabilir sonsuz kümesini düzlemde delmektir. Ancak delikli bir düzlemde, kapalı bir kontür Γ(z)'nin kutup noktalarından birini ya da daha fazlasını çevreleyebilir ve bu da kalıntı teoremi ile sıfır olmayan bir kontür integrali verir. Karmaşık düzlem kesilerek Γ(z) 'nin holomorf olduğu sınırlı bir bölge yaratılmakla kalınmaz aynı zamanda Γ 'nın kesik düzlemdeki herhangi bir kapalı kontür integrali de 0'a eşit yapılır. Bu, bazı matematik argümalarında önemli olabilir.

Yakınsaklık bölgelerinin ayrıntılı olarak belirlenmesi 

Çoğu karmaşık fonksiyon sonsuz seriler veya sürekli kesirler ile tanımlanır. Bu sonsuz ifadelerin analizinin temelinde yatan düşünce, bu serilerin karmaşık düzlemde sonlu bir sayıya yakınsamaları için gerekli olan bölgeyi tanımlamaktır. Düzlemdeki bir kesik aşağıdaki örneklerde de görüldüğü gibi bu süreci kolaylaştırabilir:

sonsuz serisi tarafından tanımlanan fonksiyonu göz önüne alalım. Her karmaşık z sayısı için z2 = (-z)2 olduğu için, f(z), z 'nin çift fonksiyonu olacaktır. Böylece, analiz karmaşık düzlemin bir yarısında yeterli olacaktır. Seri

olduğunda tanımsız olduğu için, düzlem sanal eksen boyunca kesilir ve z 'nin gerçel kısmının 0 olmadığı yerde serinin yakınsaklığı kurulur.

Bu örnekte, kesik sadece uygunluk içindir çünkü sonsuz toplamın tanımsız olduğu noktalar korunmuştur ve kesik düzlem daha uygun delikli bir düzlemle değiştirilebilir. Bazı bağlamlarda, kesik gereklidir ve sadece uygun değildir. Mesela, sonsuz periyodik sürekli kesir olarak tanımlı

ele alınsın. f(z) ancak ve ancak z,  z < -¼ 'ü sağlayan negatif bir gerçel sayı olmadıkça sonlu bir sayıya yakınsar. Başka bir deyişle, bu sürekli kesir için yakınsaklık bölgesi kesiğin negatif gerçel eksen boyunca -¼ 'ten sonsuza kadar uzandığı kesik düzlemdir.

Kesik düzlemi geri yapıştırmak 

fonksiyonunun f 'nin  tanım kümesini iki bağlantısız yaprağa bölerek nasıl tek değerli hale getirilebildiği yukarıda anlatılmıştı. Aynı zamanda, bu iki yaprağı tekrar "yapıştırıp", üzerinde f(z) = z½ fonksiyonun holomorf olduğu ve fonksiyonun görüntüsünün (w = 0 noktası dışında) tüm w-düzlemi olduğu bir Riemann yüzeyi oluşturulabilir. Bu, şu şekilde yapılmaktadır:

Kesik karmaşık düzlemin iki kopyasını düşünelim. Kesikler ise gerçel sayı ekseninde z = 0 'dan sonsuz noktasına uzansın. Bir yaprağın üzerinde 0 ≤ arg(z) < 2π tanımlayalım; böylece tanım gereği 1½ = e0 = 1 olsun. İkinci yaprak üzerinde 2π ≤ arg(z) < 4π tanımlayalım; böylece yine tanım gereği 1½ = eiπ = -1 olsun. Şimdi ikinci yaprağı yukarıdan aşağıya çevirelim böylece sanal eksen ilk yaprağın sanal eksenin tersini göstersin ve gerçel eksenler de aynı yönü göstersin. Şimdi iki yaprağı "yapıştıralım" (böylece "θ = 0" etiketli birinci yaprağın üzerindeki kenar, ikinci yaprağın "θ < 4π" etiketli kenarına bağlı olsun ve ikinci yaprağın üzerindeki "θ = 2π" etiketli kenar birinci yaprağın üzerindeki "θ < 2π" etiketli kenara bağlı olsun. Sonuçta, üzerinde f(z)= z½ 'nin tek değerli ve holomorf olduğu (z = 0 hariç) Riemann yüzey bölgesi elde edilir.

f 'nin bu bölge üzerinde neden tek değerli olduğunu anlamak için, birim çember etrafında ilk yaprak üzerinde z = 1 'den başlayan bir döngü ele alalım. 0 ≤ θ < 2π olduğunda hala ilk yaprakta oluruz. θ = 2π olduğunda ikinci yaprağa geçeriz ve iki yaprağı birleştirdiğimiz ve bu yüzden başlangıç noktasında θ = 4π  θ = 0 'a denk olduğu, z = 0 dallanma noktası etrafında ikinci bir döngü yapmak zorundayız. Başka bir deyişle, dallanma noktası etrafında z iki tam tur yaptıkça, z 'nin w-düzlemindeki görüntüsü sadece bir tur çemberi dolaşır.

Türevin formel tanımı

olduğunu gösterir. Bundan, f 'nin türevinin var olduğunu ve türevin Riemann yüzeyi üzerindeki z = 0 dışında her yerde sonlu olduğunu çıkarabiliriz (yani, f, z = 0 dışında holomorftur).

Yukarıda tartışılan

fonksiyonu Riemann yüzeyi için oluşturulabilir? Yeniden, z-düzleminin iki kopyasıyla başlarız; ancak bu sefer her birisi gerçel doğru parçası boyunca, z = -1 'den z = 1 'e, kesilir – bunlar g(z) 'nin iki dallanma noktası olur. Bunlardan birisini yine yukarıdan aşağıya çeviririz ve böylece sanal eksenler ters yönlü olurlar. İki yaprağın karşılık gelen kenarları tekrar birleştirilir. g 'nin bu yüzey üzerinde tek değerli olduğu z = 1 merkezli birim yarıçaplı bir çember üzerinde döngü yapılarak doğrulanabilir.  Birinci yapraktaki z = 2 noktasından başlanır ve z = 0 'daki kesikle karşılaşmadan çember etrafında yarım dönülür. Bu kesik bizi ikinci yaprağa gitmeye zorlar böylece z, z = 1 dallanma noktası etrafında bir tam döngü, w ise bir yarım döngü  yapmıştır. w 'nun işareti terse döndürülmüştür (eiπ = -1 olduğundan) ve yolumuz bizi yüzeyin ikinci yaprağındaki z = 2 noktasına götürmüştür. Başka bir yarım tur daha yaptığımızda, z = 0 olduğu kesiğin diğer tarafıyla karşılaşırız ve son olarak başlangıç noktamıza (birinci yapraktaki z = 2 noktasına) dallanma noktasının etrafında iki tam döngü yaptıktan sonra ulaşırız.

Bu örnekte θ = arg(z) 'yi etiketlemenin doğal bir yolu birinci yaprakta -π < θ ≤ π, ikinci yaprakta π < θ ≤ 3π almaktır. İki yapraktaki sanal eksenler ters yönde hareket ederler böylece saat yönünün tersi anlamındaki pozitif rotasyon, kapalı bir kontür bir yapraktan diğerine geçerken, korunur (ikinci yaprak yukarıdan aşağıyadır).  Bu yüzey üç boyutlu uzayda yaprakları xy-düzlemine paralel olacak şekilde gömülsün. O zaman yüzey içinde iki kesiğin birleştiği dikey bir delik oluşacaktır. Peki kesikler negatif eksen boyunca z = -1 'den sonsuza ve pozitif eksen boyunca z = 1 'den sonsuza ta ki kesikler birleşinceye kadar yapılırsa ne olur? Yine bir Riemann yüzeyi elde edilir ancak bu sefer "delik" yatay olur. Topolojik olarak bu iki Riemann yüzeyi birbirine denktir – ikisi de cinsi 1 olan yönlendirilebilir iki boyutlu yüzeylerdir.

Karmaşık düzlemin kontrol teorisinde kullanımı 

Kontrol teorisinde, karmaşık düzlemin bir kullanımı ise 's-düzlemi'dir. Bir sistemin davranışını açıklayan denklemin (karakter denklemi) köklerini grafiksel olarak görüntülemek için kullanılır. Denklem normalde Laplace dönüşümünün parametresi olan 's' değişkenli bir polinom  olarak ifade edilir. 's'-düzlemi denmesinin nedeni de budur.

Karmaşık düzlemin bir başka kullanımı ise Nyquizt durağanlık kriteriyle olmaktadır.

'z-düzlemi', s-düzleminin Laplace dönüşümü yerine z-dönüşümünün kullanıldığı bir ayrık-zaman versiyonudur.

"Karmaşık düzlem"in diğer anlamları 

Bu maddenin önceki bölümleri karmaşık düzleme karmaşık sayıların geometrik bir analoğu olarak davranmıştır. "Karmaşık düzlem"in bu tür kullanımı uzun ve matematiksel olarak zengin bir tarihe sahipse de, "karmaşık düzlem"in matematiksel kavram olarak kullanıldığı tek alan bu değildir. İhtimal dahilinde en az üç farklı anlam daha var:

 Ayrılmış-karmaşık düzlem olarak da bilinen 1+1 boyutlu Minkowski uzayı da, kartezyen düzlemdeki (x, y) noktasıyla kolaylıkla bağdaştırılabilen iki gerçel bileşene sahip cebirsel ayrılmış-karmaşık sayılar bağlamında bir "karmaşık düzlem"dir.
 Gerçeller üzerindeki dual sayılar kümesi de kartezyen düzlemin (x, y) noktaları ile birebir ve örten olarak değiştirilebilir ve "karmaşık düzlem"in bir diğer örneğini temsil eder. 
 Karmaşık sayıların kendileriyle kartezyen çarpımı olan C×C vektör uzayı da koordinatları karmaşık sayılar olan iki boyutlu vektör uzayı bağlamında bir "karmaşık düzlem"dir.

Ayrıca bakınız 

 Takımyıldız diagramı
 Laplace dönüşümü
 Riemann küresi
 Riemann yüzeyi
 S düzlemi
 Z-dönüşümü

Dış bağlantılar 
 MathWorld'deki Argand Diagramı bilgisi

Notlar

Kaynakça 
 Francis J. Flanigan, Complex Variables: Harmonic and Analytic Functions, Dover, 1983 ISBN 0-486-61388-7.
 Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964.
 H. S. Wall, Analytic Theory of Continued Fractions, D. Van Nostrand Company, Inc., 1948; reprinted (1973) by Chelsea Publishing Company ISBN 0-8284-0207-8.
 E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1927.

Karmaşık analiz
Karmaşık sayılar
Kontrol teorisi