Bresenham'ın çizgi algoritması



Tarihçe 
Bresenham'ın çizgi algoritması, Amerikalı bilgisayar mühendisi Jack Bresenham tarafından, 1960'lı yıllarda IBM için doğrunun bilgisayar ekranına çizimi için geliştirilen bir algoritmadır.

Artıları 
Bresenham Algoritmasi DDA'ya göre daha hızlıdır, çünkü DDA'nın aksine ondalıklı sayılarla (float) işlem yapılmaz. Bresenham algoritması tam sayılarla(int) toplama, çıkarma ve ikiyle çarpma işlemlerini içerir. İkiyle çarpma işlemi shift Operasyonu ile Assembler düzeyinde çok hızlı yapılabildiğinden, Bresenham algoritması oldukça verimli bir algoritmadır.

Genel Algoritma 
Pseudo kod ile şu şekilde ifade edilir. Bu hali ondalıklı sayılarla işlem içerdiği için kullanılmaz.

  function line(x0, x1, y0, y1)
      int deltax := abs(x1 - x0)
      int deltay := abs(y1 - y0)
      real error := 0
      real deltaerr := deltay / deltax    // Assume deltax != 0 (line is not vertical)
      int y := y0
      for x from x0 to x1
          plot(x,y)
          error := error + deltaerr
          if error ≥ 0.5 then
              y := y + 1
              error := error - 1.0

Optimize Edilmiş Hali 
Bu hali sadece tam sayılar kullandığı için oldukça verimlidir. Aşağıdaki hali algoritmanın anlaşılması için basitleştirilmiştir. aşağıdaki hali x-eksenin y-ekseninden daha hızlı arttığını (yani deltax'in deltay'den büyük olduğunu) ve x0'ın x1'den küçük olduğunu varsaymaktadır.

   function line(x0, y0, x1, y1)
       int deltax := abs(x1 - x0)
       int deltay := abs(y1 - y0)
       int error := 2 * deltay - deltax
       int xk := x0
       int yk := y0
       while xk < x1 
            xk+1 := xk + 1
            if error > 0
                 yk+1 := yk + 1
                 error := error + 2 * deltay - 2 * deltax
            else
                 yk+1 := yk
                 error := error + 2 * deltay
            xk := xk+1

Matematiksel İspatı 
Bresenham algoritması verimliliğini, yavaş artan eksenin belirli bir kurala göre arttığını gözlemlemesine borçludur. Hızlı artan eksen her iterasyondan 1 piksel artarken, yavaş artan eksen bazen sabit kalıp, bazen bir piksel artar. Matematiksel olarak anlatmak istersek:

En son çizilen pikselin koordinatlarının (xk, yk) olduğunu ve y-ekseninin yavaş arttığını varsayalım. dalt gerçek doğruyla yk arasındaki uzaklık olsun. düst gerçek doğruyla yk + 1 arasındaki uzaklık olsun.

Eğer (dalt < düst) ise yk+1 := yk olmalıdır. Aksi halde yk+1 := yk + 1 olmalıdır.

y = mx + b doğrusu için
     dalt = y - yk = m(xk + 1) + b - yk

     düst = yk + 1 - y = yk + 1 - m(xk + 1)

     m = (y1 - y0) / (x1 - x0) = deltay / deltax

     dalt - düst = 2 * m * (xk + 1) - 2 * yk - 1
                 = 2 * deltay * (xk + 1) / deltax - 2 * yk - 1

Bölüm halindeki deltax'den kurtulmak için bulduğumuz formülü deltax'le çarpalım ve pk olarak adlandıralım. pk değeri optimize edilmiş algoritmada error olarak isimlendirilmişti ama burada ardışık error değerlerini karıştırmamak için pk olarak adlandıracağız.

    pk = deltax * (dalt - düst) = 2 * deltay * (xk + 1) - 2 * deltax * yk - deltax

Eğer pk pozitifse gerçek doğru üst piksele daha yakın olduğu için yk+1 = yk + 1, aksi halde yk+1 = yk olacaktır.

   pk+1 - pk = 2 * deltay * (xk+1 - xk) - 2 * deltax * (yk+1 - yk)
  
xk+1 = xk + 1 olduğundan 
   
   pk+1 = pk + 2 * deltay - 2 * deltax * (yk+1 - yk)

Eğer pk pozitifse (yk+1 - yk) = 1; aksi halde (yk+1 - yk) = 0

Görüldüğü üzere error değeri (yani pk) pozitifse 2 * deltax kadar azaltılıyor ve yk değeri artırılıyor. Ayrıca error değeri, her adımda 2 * deltay kadar artırılmaktadır.

Bilgisayar grafiği algoritmaları
Sayısal geometri