Weierstrass-Casorati teoremi

Karmaşık analizde Weierstrass-Casorati teoremi, holomorf fonksiyonların esaslı tekillikler civarındaki olağanüstü davranışlarını açıklayan bir ifadedir. Teorem, Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ve Felice Casorati'ye atfen isimlendirilmiştir.

z0 'ı içeren, karmaşık düzlemin açık bir altkümesi U ile ve z0 'da esaslı tekilliği olan, U - {z0} üzerinde tanımlı holomorf bir f fonksiyonuyla başlayalım. Bu halde, Weierstrass-Casorati teoremi şunu ifade eder:

V, U içinde yer alan, 'ın bir komşuluğu ise, o zaman f(V - {z0}) C 'de yoğundur.

Ayrıca şu şekilde de ifade edilebilir:
herhangi bir ε > 0 ve karmaşık sayı w için, U 'da öyle bir z karmaşık sayısı vardır ki |z - z0| < ε ve |f(z) - w| < ε olur.

Teorem büyük ölçüde üstteki gösterimle f 'nin V içinde en fazla bir nokta istisnasıyla tüm karmaşık değerleri sonsuz kere aldığını ifade eden Picard'ın büyük teoremi ile güçlendirilmiştir.

Örnekler 
f(z) = exp(1/z), z0 = 0'da esaslı tekilliğe sahiptir; ancak g(z) = 1/z3 'ün esaslı tekilliği yoktur (0'da bu fonksiyonun kutbu vardır).

fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonun esaslı tekilliği olan  etrafında şu Laurent serisi vardır.

 olan tüm noktalar için 
var olduğundan,  'nin  'ın komşuluğunda analitik olduğunu biliyoruz. Bu yüzden, diğer bütün esaslı tekillikler gibi korunmalı tekilliktir.

Değişken değiştirme ile kutupsal koordinatlar  'ya dönersek, fonksiyonumuz 

haline gelir. Her iki tarafın mutlak değerini alırsak

elde ederiz. Bu yüzden,  olan  değerleri için,  iken  olur ve  için,  iken  olur.

Sanal eksene teğet olan  çaplı çember üzerinde z değer alırsa neler olabileceğini düşünelim. Bu çember  ile verilir. O zaman,

ve

 
olur. Bu yüzden,  uygun bir R seçimi ile sıfır dışında bütün pozitif değerleri alır. Çember üzerinde  oldukça, R sabit iken  olur. Denklemin

parçası, birim çember üzerindeki bütün değerleri sonsuz kere alır. Bu yüzden f(z), karmaşık düzlemdeki sıfır dışındaki tüm değerleri sonsuz kere alır.

Kanıt 
Teoremin kısa bir kanıtı şu şekildedir: f, delikli bir V - z0 komşuluğunda holomorf olsun ve z0 esaslı tekillik olsun. Ayrıca, f(V - {z0}), C 'de yoğun olmasın; yani f(V - {z0}) 'ın kapanışında yer almayan bir b olsun. O zaman, V - {z0} üzerinde tanımlı

fonksiyonu sınırlıdır ve bu yüzden V 'nin tümüne holomorf bir şekilde genişletilebilir. Böylece, V - {z0} üzerinde

olur.

limitinin iki çeşit durumunu ele alalım. Limit 0 ise, o zaman f 'nin z0 'da kutbu vardır. Limit 0 değilse, o zaman z0 kaldırılabilir tekilliktir. Her iki olası sonuç da teoremin varsayımıyla çelişmektedir. Bu yüzden teorem doğrudur.

Karmaşık analiz
Matematik teoremleri
Kanıt içeren maddeler