Çifte karmaşık sayılar

İki tane karmaşık birimi olan ya da bir tane hiperbolik iki tane de karmaşık birimi olan kümeye çifte karmaşık sayılar kümesi denir. Bu kümede her sayı

şeklinde ifade edilebilir. Ancak dörtlük sayılarla karıştırılmamalıdır. Çünkü bu kümede

iken

olarak tanımlanır. Zira, bu sayılar dörtlük sayıların değişmelisi olarak anılır.

Bu maddede , yâni hiperbolik birim genellikle  ile gösterilecektir.

Tanım 
Çifte karmaşık sayılar birkaç şekilde tanımlanabilir. En yaygın tanımı iki farklı karmaşık sayı kümesinin birleştirimi olduğu için küme çifte karmaşık sıfatını almıştır.

İki karmaşık birim sayı tanımı 
İki farklı karmaşık sayı kümesi olduğunu varsayalım:

ve
.
Yâni biri gerçel sayılardan elde ettiğimiz alışık olduğumuz karmaşık sayılar kümesi, diğeri ise alışık olduğumuz karmaşık sayılardan elde ettiğimiz daha geniş bir halka. Bu kümeye çifte karmaşık sayılar kümesi denir.

O halde,  kümesindeki her öğe,

şeklinde yazılabilir. Buradaki iki birimin çarpımı

olarak tanımlanır ve bu sayıya 'hiperbolik birim sayı adı verilir. Açık olarak görülür ki bu birim sayı,

özelliğini sağlar. Bu takdirde her çifte karmaşık sayı,

olarak ifade edilebilir.

Karmaşık katsayılı hiperbolik sayı tanımı 
Eğer hiperbolik bir sayının tanımını

gibi karmaşık katsayılı olarak alırsak her çifte karmaşık sayı

şeklinde ifade edilecektir. Burada
 ve bu takdirde 
olarak tanımlamakla her çifte karmaşık sayıyı 

şeklinde ifade etmiş ve istediğimiz özellikleri sağlamış oluruz.

Ayrıca bakınız 
 Bölüm halkası

Karmaşık sayılar