Log-normal dağılım

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında log-normal dağılım logaritması normal dağılım gösteren  herhangi bir rassal değişken için tek-kuyruklu bir olasılık dağılımdır. Eğer Y normal dağılım gösteren bir rassal değişken ise, bu halde X= exp(Y) için olasılık dağılımı bir log-normal dağılımdır; aynı şekilde eğer X log-normal dağılım gösterirse o halde log(X) normal dağılım gösterir. Logaritma fonksiyonu için bazın ne olduğu önemli değildir: Herhangi iki pozitif sayı olan a, b ≠ 1 için eğer loga(X) normal dağılım gösterirse, logb(X) fonksiyonu da normaldir.

Karakterizasyon

Olasılık yoğunluk fonksiyonu 

Log-normal dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu  için şudur:

Burada μ ve σ değişkenin logaritma değerleri için ortalama ve standart sapmasidir. Bu halde parametreler kullanılan logaritma türünde (ya e bazlı, 2 bazlı veya 10 bazlı) birimlerdedir. Ancak radyo komünikasyon incelemelerinde bu parametreler tipik olarak desibel birimleri iledir.

Yığmalı dağılım fonksiyonu 
Log-normal dağılım için yığmalı dağılım fonksiyonu şudur:

Momentler 
Bütün momentler şu ifadelerle verilmiştir:

Moment üreten fonksiyon 

Log-normal dağılım için moment ureten fonksiyon bulunmamaktadır.

Özellikler

Ortalama ve standart sapma 

Beklenen değer (ortalama) şudur:

Varyans şöyle ifade edilir:

ve standart sapma şu olur:

Beklenen değer ve varyans verilmiş olduğu halde μ ve σ2 değerlerini elde etmek için kullanılan bağlantılar şöyle ifade edilir:

Mod ve  medyan 

Bu dağılım için mod şudur:

Medyan şudur:

Geometrik ortalama ve geometrik standart sapma 

Log-normal dağılım için geometrik ortalama  ve geometrik standart sapma  olur.

Eğer bir örneklem veri serisi log-normal dağılım gösteren bir anakütleden gelmişse, geometrik ortalama ve geometrik standart sapma  güvenlilik aralık kestirimi elde etmek için kullanılabilir. Bu noramal dağılım gösteren anakütleden gelen örneklem verilerinden aritmetik ortalama ve standart sapma kullanılarak güvenlilik aralığı bulmaya benzemektedir.

Burada geometrik ortalama  ve geometrik standart sapma   olur.

Momentler 

Bu dağılım için ilk birkaç ham momentler şunlardır:

Kısmî bekleyişler

Parametrelerin maksimum olabilirlilik kestirimi

İlişkili dağılımlar 

 Eğer  bir normal dağılım gösterirse, o halde .
 Eğer  bağımsız olarak parametreleri aynı μ ve değişik σ olan log-normal dağılım gösteren değişkenlerse ve   ise, o halde  Y de log-normal dağılım gösteren değişkendir; yani   olur.

Ayrıca bakınız 

 Normal dağılım
 Geometrik ortalama

Kaynakça 

 Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957), The Lognormal Distribution, 
 Brooks,R., Corson,J., ve Wales,J.D, (1994), "The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion" , Advances in Futures and Options Research, C7
 Hull, J. (2005), [https://web.archive.org/web/20070205011222/http://www.rotman.utoronto.ca/~hull/Technical%20Notes/TechnicalNote2.pdf "Properties of Lognormal Distribution" Options, Futures, and Other Derivatives 6ed']
 Lee,C.F. ve Lee, J. C. (to appear) "Normal and Lognormal Distribution" Alternative Option Pricing Models: Theory, Methods, and Applications , Kluwer Academic Publishers
 Limpert,M., Stahel,W. ve Abbt,M., (2001) "Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues" , BioScience, C.51 No.5 say. 341-352
 Swamee,P.K. (2002), "Near Lognormal Distribution", Journal of Hydrologic Engineering'', C7 No.6 say.441-444
 Weisstein, E.W. et al. (2006) "Log Normal Distribution"  26 Ekim 2006.

İstatistik
Sürekli olasılık dağılımları