Pauli matrisleri

Pauli matrisleri 2 × 2' lik, karmaşık sayılar içeren Hermisyen ve üniter matrislerden oluşan bir settir. Genellikle Yunan alfabesindeki 'sigma' (σ), harfiyle sembolize edilirler. Bu matrisler:

İsim onları bulan Wolfgang Pauli' den gelmektedir.

Özellikler 
I birim matris olmak üzere.

 Pauli matrislerinin determinant ve izleri:

Dolayısıyla bu matrislerin özdeğerlerinin σi ±1 olduğu açıkça görülebilir.

 Birim matris I (bazen σ0 olarak da gösterilir) ile birlikte Pauli matrisleri gerçel Hilbert uzayında, 2 × 2 karmaşık Hermisyen matrisler olarak veya kompleks Hilbert uzayında 2 × 2 matrisler olarak orthogonal (birbirine dik ve normalize) bir baz oluştururlar.

Komutasyon bağıntıları 

 Yukarıdaki ifadeler kullanılarak  Levi-Civita sembolü,  Kronecker delta ve I is the birim matris olmak üzere şu komutasyon ve anti komutasyon ilişkileri elde edilir:

Yukarıdaki bağıntılar şöyle özetlenebilir:

.

Pauli vektörü şu şekilde tanımlıdır:

Bu komutasyon bağıntıları ve pauli vektör tanımı kullanılarak aşağıdaki ifadeler elde edilebilir:

(a ve b vektörleri pauli matrisleriyle değişme özelliğine sahip olması durumunda)
en genel tanımıyla  olarak verilen bir a vektörü için

(1)' in ispatı
{|
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|}
(2)' nin ispatı
Çift kuvvetler için
 
tek kuvvetler için

Üstel açılımının çift ve tek kuvvetlerinin sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının Taylor açılımlarını verdiği anımsanırsa:
{|
|
|
|-
|
|
|}
 yerine koyularak

sonuçta,

ifadesine ulaşılır.

Fizik 
Kuantum mekaniğinde Pauli matrisleri spin ½ sistemlerin spinlerini konum uzayında betimler. Sistemin durumu iki bileşenli bir spinörle ifade edilir. Spin operatörleri bu matrislerle verilirler.

Pauli matrislerinin özdeğerlerinin ±1 olması spin operatörlerinin özdeğerlerinin  olması, dolayısıyla bir eksen yönünde yapılan spin ½ sistemin spininin iki değerden birini alması anlamına gelir. Bu konuyla daha kapsamlı bilgi için Stern-Gerlach deneyi incelenebilir.

Simetri
Matrisler