Bileşke fonksiyon

Bileşke fonksiyon, matematikte bir işlevdir.

,  kümesinden  kümesine giden bir fonksiyonsa,  de  kümesinden  kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman  fonksiyonunu her  için,

kuralıyla tanımlanan  kümesinden  kümesine giden fonksiyon olarak tanımlanır. Bu fonksiyona  ve  fonksiyonlarının bileşkesi adı verilir.

Başka bir deyişle, bileşke

 ve 

fonksiyonlarından

fonksiyonunu üretir.

 ve  fonksiyonlarının (bu sırayla) bileşkesini alabilmek için  fonksiyonunun değer kümesi,  fonksiyonunun tanım kümesine eşit olmalıdır.

Eğer ,  kümesinden  kümesine,  de  kümesinden  kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman hem  fonksiyonundan hem de  fonksiyonundan söz edilebilir.

Bileşke, 'ten 'e giden fonksiyonlar kümesi olan Fonk kümesi üzerine bir ikili işlemdir. Özdeşlik fonksiyonu Id, bu ikili işlemin sağdan ve soldan etkisiz elemanıdır. Ayrıca, Fonk kümesinin bileşke işlemi için tersinir elemanları eşlemeler, yani bijeksiyonlardır.

Özellikleri 
 (gerçek sayılar kümesi) olsun.  fonksiyonu  ve  fonksiyonu  olarak tanımlansın. O zaman,

dir. Ancak

dir. Demek ki

,

yani bileşkenin değişme özelliği yoktur. Öte yandan bileşkenin birleşme özelliği vardır.

 dört küme olsun.

,

,

üç fonksiyon olsun. O zaman şu fonksiyonlardan söz edilebilir:

,

,

,

.

Bu fonksiyonlardan ikincisi ve dördüncüsü birbirine eşittir, yani

eşitliği geçerlidir.  kümesinden herhangi bir  elemanı alınır ve her iki fonksiyon da bu  elemanında değerlendirilirse

ve

eşitliklerine ulaşılır.

Her iki eşitliğin sağ tarafları eşit olduğundan sol tarafları da eşittir, yani

.

Bundan da fonksiyonların eşit olduğu, yani  eşitliği çıkar.

Matematiksel fonksiyonlar
Küme teorisinde genel kuramlar