Minkowski eşitsizliği

Minkowski Eşitsizliği, sonlu sayıda, hepsi sıfır olmayan , , i=1,2,...,n pozitif sayılarında, p>1 için aşağıdaki eşitsizliğe denir:

Hölder Eşitsizliğinden türetilebilen, uygulamada oldukça yararlı bu eşitsizliği Alman matematikçi Hermann Minkowski (1864-1909) elde etmiştir.

üçgen'de, Minkowski eşitsizliği Lp uzayı normlu vektör uzayı' belirlemesidir. diyelimki S bir ölçüm uzayı olsun,ve diyelimki 1 ≤ p ≤ ∞  ve diyelimki  Lp(S) ögeleri f  ve  g olsun. ise  Lp(S) içindeki f + gdir,  ve  bizim üçgen eşitsizliği'miz var

için eşitliği ile 1 < p <∞ eğer  ve  yalnızca eğerf  ve  g pozitifliği doğrusal bağımlılık,
yani burada bazı  ≥ 0.için f =  g aşağıdaki norm ile verilir:

Eğer p < ∞, veya p = ∞ durumu içinde zorunlu üstünlük ile

Minkowski eşitsizliği Lp(S) içinde üçgen eşitsizliğidir,aslında bu durumun daha genel durumu var,

bunun sağ-el tarafta üçgen eşitsizliğinin tatmin edici olduğunu görmek kolay
 
Hölder eşitsizliği gibi,Minkowski eşitsizliği dizisi özelleştirilebilir ve sayarak ölçülen vektörler tarafından kullanılıyor:

için tümgerçel (veya karmaşık)  x1, ..., xn, y1, ..., yn sayıları için ve burada n ;S'in kardinalite'sidir. (S'in ögelerinin sayısı).

 Kanıt 
İlk, kanıtı f+g sonludur p-norm eğer f  ve  g ikilisi olarak, bunlar ile aşağıda

Nitekim, aslında burada  konveks üzerinde  ( birden büyük için)  ve  yine, konveksite tanımı ile,

Bunun anlamı

Şimdi, yasal olarak konuşabiliriz . Sıfır ise, Minkowski eşitsizliği tutar.Şimdi varsayalım ki  sıfır değildir.Hölder's eşitsizliği kullanılıyor.

Biz elde  Minkowski'nin  eşitsizliği ile  her iki taraf çarparız
 Minkowski integral eşitsizliği 
Varsayalımki (S1,μ1)  ve  (S2,μ2) are iki ölçüm uzayıs  ve  F : S1×S2 → R''' ölçülebilirdir.  ise Minkowski's integral eşitsizliği is dir, :

durumunda belirgin değişiklikler p = ∞.  eğer p > 1,  ve  her iki taraf sonlu, ise eşitlikle örtüşür eğer |F(x,y)| = φ(x)ψ(y) a.e.bazı negatif ölçülebilir fonksiyonlar φ  ve  ψ için.

Eğer μ1 iki nokta kümesi sayma ölçüsüS1 = {1,2}, ise Minkowski eşitsizliği bir özel durum olarak verir: için  ƒi(y) = F(i,y) yapıştırma için i'' = 1,2, integral eşitsizliğini verir.

Ayrıca bakınız 
Mahler eşitsizliği
Hölder eşitsizliği

Kaynakça 

 
 .
 .
 
 

Kanıt içeren maddeler

Eşitsizlikler