Dalga denklemi

Dalga denklemi fizikte çok önemli yere sahip bir kısmi diferansiyel denklemdir. Bu denklemin çözümlerinden, ses, ışık ve su dalgalarının hareketlerini betimleyen fiziksel nicelikler çıkar. Kullanım alanı, akustik, akışkanlar mekaniği ve elektromanyetikte oldukça fazladır. Genellikle elektromanyetik dalgalar gibi dalgalar için dalga denkleminin vektörel formülasyonu kullanılır. Bu formülasyonda elektrik alanları  şeklindeki vektörlerle gösterebilir ve vektörün her bi bileşeni skaler dalga denklemine uymak zorundadır. Yani vektörel dalga denklemleri çözülürken her bir bileşen ayrı ayrı çözülür. Denklemin en basit hali aşağıdaki şekliyle gösterilir,

Burada c reel bir sabittir ve genellikle dalganın hızıdır, u bir dalganın pozisyonunu gösterir, t zamandır ve x dalganın uzaydaki pozisyonudur. Denklemin dalga hareketinde bulunan herhangi bir u skaler büyüklüğü için birkaç diğer gösterimleri aşağıdaki gibidir,

Dalganın dağılması, yani ilerledikçe başka başka frekanslar haline bürünmesi olgusu (dağılım) göz önüne alınırsa denklemde c yerine faz hızı  kullanılır. Ayrıca daha gerçekçi sistemlerde hızın, dalganın genliğine bağlı olduğu dikkate alındığından denklem doğrusal olmayan

şeklinde biçimlenir.

Tek boyutta çözümü 
Laplasyen tek boyutta adi türeve dönüşür.

d'Alembert çözümü 
 ve 
tanımları yapılarak zincir kuralı yardımıyla:

yazılabilir. 

olduğundan,

ifadesi ve aynı yol izlenerek

ifadesi elde edilebilir. İki denklem birbirinden çıkartılarak dalga denklemi buradan,

olarak yazılır. Dolayısıyla denklem,

durumuna indirgenmiş olur. Kısmî diferansiyel denklemin çözümü, tek tek değişkenler için integral alınarak

olarak bulunur. Burada f, +x yönünde ilerleyen, g de -x yönünde ilerleyen düzlem dalgayı betimler.

Fourier dönüşümü ile 

Denklem yazılıp iki tarafa da Fourier dönüşümü  yapılırsa

biçimine dönüşür.

denkliği kullanılarak

diferansiyel denklemi elde edilir. Burada,  dönüşümü de uygulanarak dalga denkleminin w,k uzayındaki dağılım (dispersion) ilişkisini vermesi görülebilir. Elde edilmiş olan diferansiyel denklemin çözüm...

olarak elde edilir. Ancak bu çözüm konum uzayı x de değil, başka bir uzay olan k uzayındaki çözümdür.  Çözümün konum uzayında bulunabilmesi için k uzayındaki çözüme ters Fourier dönüşümü uygulanır.

çözülüerek
 
Görüldüğü üzere birinci ve ikinci terim sırasıyla f ve g diye iki fonksiyonun Fourier dönüşümleri olarak kabul edilirse x uzayındaki çözüm

olarak elde edilir.

Değişkenlere ayırma yöntemi ile 

Dalga denklemi karışık türevler içermediği için değişkenlere ayırma yöntemi kullanılarak da çözüme gidilebilir.

olarak yazılır ve denkleme konulursa denklem şu hali alır:

iki taraf da u ya bölünürse

iki tane birbirinden bağımsız değişkenin olduğu ifade birbirine ancak bir sabite eşit olmaları durumunda eşit olabileceğinden iki denklem de ayrı ayrı bu sabite eşitlenerek çözümler bulunabilir. Bu sabit pozitif, negatif ve sıfır olması durumlarında incelenerek diferansiyel denklemler çözülebilir ancak fizikte zaman genelde salınım olarak ortaya çıktığından sabit, , k:reel seçilerek fiziksel olarak anlamlı çözüme hızlıca gidilebilir. Böylece denklemin sol tarafından:

ve sağ tarafından da

bulunur. Sinüs ve kosinüs ile elde edilen çözümler sınır koşullarını rahatça sağlayacaklarından genellikle sınır değer problemlerinde kullanılırlar. Dalga boşlukta hareket eden bir elektromanyetik bir ışınsa o zaman çözümleri  ve  olarak vermek daha rahat olur. Matematiksel olarak iki çözüm de doğru olmasına rağmen fiziksel kaidelerden serbest ve bağlı olarak çözümler böyle sınıflandırılabilir.

Dalgalar
Kısmi diferansiyel denklemler