Riemann toplamı

Matematikte, Riemann toplamı genellikle fonksiyon eğrisinin altında kalan bölgenin yaklaşık alanıdır. Bu toplama, Alman matematikçi Bernhard Riemann'ın soyadı verilmiştir.

Toplama işlemi, bölgenin farklı şekillere bölünüp (dikdörtgenler ya da yamuklar) birlikte, fonksiyonun ölçülen bölgesine benzer bir alan çıkartılması, ardından da her bir şeklin alanının hesaplanması ve son olarak bütün bu küçük alanların toplanmasından oluşur. Böyle bir uzlaşım belirli integrallerin sayısal hesaplanmasında kullanılabilir. Ayrıca hesabın temel teoremi kapalı tür integral yazımına izin vermediği zaman da kullanılabilir.

Küçük şekillerle doldurulmuş bölgenin alanı tam olarak, ölçülmek istenen alana eşit olmadığı için Riemann toplamı gerçek alandan daha farklı çıkar. Bu hata, bölgeyi daha da küçük şekillere bölmekle giderilebilir. Şekiller küçüldükçe toplam, Riemann integraline yaklaşır.

Tanım
f : D → R fonksiyonunu reel sayılar, R, kümesinin D altkümesinde tanımlayalım. I = [a, b] ise D altkümesinde tanımlı kapalı bir aralık olsun ve  

olarak I aralığının bir kesiti olsun, ve de
 olsun.
f fonksiyonun I altkümesindeki P kesiti Riemann toplamı şöyle tanımlanır:
 
Burada şuna dikkat edilmelidir ki,  değeri,  aralığında isteğe bağlı bir değerdir, yani herhangi bir f fonksiyonu için farklı Riemann toplamları üretilebilir, yeter ki  şartı sağlansın.

Örnek: nin değişik seçimleri, farklı Riemann toplamları verir:
 Eğer, bütün i değerleri için  ise, o zaman S sol Riemann toplamı olur.
 Eğer, bütün i değerleri için  ise, o zaman S sağ Riemann toplamı olur.
 Eğer, bütün i değerleri için  ise, o zaman da S orta değer Riemann toplamı olur.
 Sol ve sağ Riemann toplamlarının ortalaması ise yamuklu toplama olur.
 Eğer şöyle bir ifade verilmişse
 
burada ,  aralığında f fonksiyonunun supremum noktasıysa , o zaman S üstten Riemann toplamı olur. 
 Benzer şekilde, eğer ,  aralığında f fonksiyonunun infimum noktasıysa, o zaman da S alttan Riemann toplamı olur.

Verilen bir kesitteki herhangi bir Riemann toplamı (yani,  için  ve  aralığındaki istenilen değeri) üstten ve alttan Rieman toplamlarının arasında kalır. Riemann integrallenmesi için kesit daraldıkça alttan ve üstten Riemann toplamlarının birbirine hep yaklaşması gerekir. Bu bilgi sayısal integral hesabı için kullanılabilir.

Yöntemler

Riemann toplamının dört ana yöntemi, eşit kesit boyutları kullanılarak daha iyi anlaşılabilir. Yani, [a, b] aralığı n alt aralığa bölünür ve her bir aralığın uzunluğu
 
bağıntısıyla bulunur.
Kesitlerdeki noktalar da

 
ile gösterilir.

Sol Riemann Toplamı
Sol toplam, dikdörtgenlerin sol uç noktalarının kullanılması ve Δx taban uzunluğu ile f(a + iΔx) dikdörtgen uzunluğu kullanılmasıyla hesaplanır. Bunu i = 0, 1, ..., n − 1 için yapıp, çıkan alanları toplamak şu sonucu verir:

Eğer f fonksiyonu bu aralıkta monoton azalan bir şekildeyse sol Riemann toplamı gerçek değerden fazla bir sonuca götürür, fakat monoton artan ise gerçek değerden daha düşük bir sonuç çıkartır.

Sağ Riemann Toplamı
Burada f fonksiyonun sağ sınır noktaları kullanılır. Bu da tabanı Δx olan ve yüksekliği f(a + iΔx) olan dikdörtgenler verir. Bu işlemi bütün i = 1, ..., n değerleri için yapmak ve çıkan sonuçları toplamak şunu verir

Eğer f fonksiyonu monoton azalansa sağ Riemann toplamı gerçek değerden daha düşük bir sonuç verir, eğer monoton artansa da gerçek değerden daha büyük bir değer verir.
Bu formüldeki hata şöyle bulunur

burada ,  fonksiyonun mutlak değerinin o aralıktaki maksimum değeridir.

Orta Değer Riemann Toplamı
f fonksiyonunu, aralığın orta noktalarını kullanarak, boyları, birinci aralık için f(a + Q/2), ikincisi için f(a + 3Q/2) olan ve f(b − Q/2) kadar giden dikdörtgenler verir. Bunların alan toplamları şöyledir

Bu formülün hatası şöyledir

burada ,  fonksiyonun mutlak değerinin o aralıktaki maksimum değeridir.

Yamuklu Toplama Kuralı
Bu yöntemde ise, f fonksiyonunun aralıktaki değerleri sol ve sağ sınır noktalarının ortalamasına denkleştirilir. Yukarıdakilerle aynı olarak, yamuk için alan formülünü kullanarak
 
b1, b2 paralel kenarlı ve h yükseklikli yamukların alanını hesaplayıp şu formülle bütün bu alanları toplamak mümkün olur

Bu formüldeki hata şöyle hesaplanır

burada da ,  fonksiyonun mutlak değerinin o aralıktaki maksimum değeridir.

Yamuk yöntemiyle hesaplanan olası alan değeri sağ ve sol toplamların ortalamasına eşittir.

Örnek

Örnek olarak, y = x2 fonksiyonunun 0 ile 2 arasındaki eğri altında kalan alanı Riemann toplamı kullanılarak algoritmik bir şekilde hesaplanabilir.

İlk önce, [0, 2] aralığı n parçaya bölünür, ve her birinin genişliği  kadardır; bunlar Riemann dikdörtgenlerinin (bu noktadan sonra "kutu" denilecek) enleridir.  Sağ Riemann toplamı kullanılacağı için, kutuların x koordinatları dizisi  şeklinde olur. Aynı şekilde, kutuların uzunluk dizisi de  olur. ,  eşitliklerini göz önünde bulundurmak önemlidir.

Her kutunun alanı  olur ve de ninci sağ Riemann toplamı: 

olur.

Eğer n → ∞ iken, yukarıdaki toplama formülünün limiti alınırsa, artan kutuların alan toplamı değerinin, grafiğin altında kalan bölgenin gerçek alanına yaklaştığı fark edilir. Dolayısıyla:

Bu yöntem daha farklı yollarla hesaplanan belirli integral ile de uyuşmaktadır:

Animasyonlar

Daha Fazlası
 Riemann integrali
 Riemann–Stieltjes integrali
 Lebesgue integrali
 Simpson Yöntemi
 Euler yöntemi and ortanokta yöntemi, diferansiyel denklem çözümüyle alakalı bazı yöntemler.

Kaynakça

Dış bağlantılar
Riemann toplamlarının yakınsamasını gösteren bir simülasyon

İntegral hesabı
Toplam