Skellam dağılımı

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında  Skellam dağılımı bir ayrık olasılık dağılım tipidir. Skellam dağılımı iki tane (aralarında korelasyon bulunabilen ve)  beklenen değerleri   ve  olan Poisson dağılımı gösteren rassal değişken   ve  arasında bulunan fark olan  nin gösterdiği olasılık dağılımdır.

Kullanış alanları çok farklılık göstermektedir; beyzbol, buz hokeyi ve futbol gibi sporlarda ABD'de çok popüler olan yayılmış bahis (spread betting) yöntemini tanımlamak ve fizikte iki imajin basit foton gürültüsünü (photon noise) açıklamak için kullanılmıştır.

Karaketeristikler 
Bu kısımda geliştirilen karakteristikler iki değişkenin arasındaki korelasyonun etkilerini  ele almayacaktır. Aralarında korelasyon bulunan iki değişken farkının da analize katılması ile ortaya çıkan sonuçlar için bakın 
.

Önce bir Poisson dağılımı için olasılık kütle fonksiyonunun şu olduğu hatırlansın:

Skellam olasılık kütle fonksiyonu iki Poisson dağılım arasındaki çapraz korelasyon olur (Skellam, 1946) 

Burada I k(z) birinci şekilde  değiştirilmiş Bessel fonksiyonu olur. Yukarıdaki formüller için eğer faktöriyel negatif değer taşımaktaysa o değerin 0 olacağı kabul edilmiştir. Bir özel hal olan   için bakin 

Eğer değerler küçükse, Bessel fonksiyonu için limit değerleri kullanılarak, Poisson dağılımını  için ozel bir hal olarak Skellam dağılımı yerine kullanabiliriz.

Özellikler 
Skellem dağılımı için olasılık kütle dağılımı normalize edilerek şöyle elde edilir:

Poisson dağılımı için olasılık üreten fonksiyon şöyle verilir:

Bunlar kullanılarak Skellam dağılımı için olasılık üreten fonksiyon ortaya çıkartılır:

Olasılık üreten fonksiyonu incelenince görülmektedir ki herhangi bir sayıda bağımsız Skellam dağılımı gösteren değişkenlerin toplamları veya farklılıkları da tekrar Skellam dağılımı göstereceklerdir.

Bazı referanslara göre iki Skellam dağılımlı değişkenin herhangi bir doğrusal bileşiği de Skellem dağılımı gösterir. Fakat bu doğru değildir; çünkü herhangi çarpım sayısı dağılımın destek alanını değiştirecektir.

Skellam dağılımı için moment üreten fonksiyon şudur:

Bunlardan ham moment değerleri m<sub>k</sub>  bulmak için şu tanımlara bakılsın:

Bunlardan 3 ham moment mk değerleri şöyle çıkartılır:

Merkezsel momentler M k şunlardır:

Beklenen değer, varyans, çarpıklık katsayısı  and basıklık katsayısı sırasıyla şöyle verilir::

Kümülant üreten fonksiyon şu şekilde verilmiştir:

ve bundan kümülant değerleri elde edilir:

Özel hal olan μ1 = μ2 için ayrıntılı sonuçlar M.Abromowitz et.al. referansındadır..

Kaynakça

Kaynakça

Ayrık olasılık dağılımları