Laplace denklemi

Matematikte Laplace denklemi, özellikleri ilk defa Pierre-Simon Laplace tarafından çalışılmış bir kısmi diferansiyel denklemdir. Laplace denkleminin çözümleri, elektromanyetizma, astronomi ve akışkanlar dinamiği gibi birçok bilim alanında önemlidir çünkü çözümler bilhassa elektrik ve yerçekim potansiyeli ile akışkan potansiyelinin davranışını açıklar. Laplace denkleminin çözümlerinin genel teorisi aynı zamanda potansiyel teorisi olarak da bilinmektedir.

Tanım 
Üç boyutta, problem x, y ve z gibi üç gerçel değişkene sahip ve iki kere türevlenebilir. Laplace denkleminin çözümlerine aynı zamanda harmonik fonksiyonlar da denmektedir.
Laplace ve Poisson denklemleri eliptik kısmi diferansiyel denklemlerin en basit örnekleridir. Kısmi diferansiyel operatörü olan ve 
herhangi bir boyutta tanımlanabilen 'ye veya 'ya Laplasyen işlemcisi 
veya kısaca Laplasyen denmektedir.

Kartezyen koordinatlar da

 

Silindirik koordinatlar da

Küresel koordinatlar da,

 

Eğrisel koordinatlar da,

 
veya 
 

Bu sıklıkla

 
olarak yazılır
veya,daha genel kavramlar içinde özel olarak,

 

burada ∆ = ∇2 Laplace operatörü veya "Laplasyen"dir

 

burada ∇ •  diverjans işlemcidir ("div" ile sembolize edilir) bu skalerler için vektörler gönderme, ve ∇ gradyan işlemcidir ("grad" ile ifade edilir) bu vektörler için skaler göndermedir. (bu nedenle, Laplasyen Δf ≝ div grad f, bir skaler büyüklük için  skaler f fonksiyonu göndermedir ; özellikle bu bir skaler  için (fonksiyon) f'in vektör grad (kısmi türevler) göndermesidir.)

Eğer sağ-el taraf verilen özel bir fonksiyon ise, h(x, y, z), yani, Eğer böyle bir denklem

 

ise "Poisson denklemi" denir.

Laplace denklemi ayrıca Helmholtz denkleminin özel bir durumudur.

Not:Delta sembolü, Δ, ayrıca "bir değişiklik içinde" bazı çokluklar gösterim için yaygın olarak kullanılıyor,yani ∆Q ≝ Q + δ veya ∆Q ≝ Q + εQ bazı çok küçük skalerler δ veya ε için.  Laplasyen temsil kullanımı bu kullanım ile karıştırılmamalıdır.
Laplace ve Poisson denklemleri eliptik kısmi diferansiyel denklemlerin en basit örnekleridir. Kısmi diferansiyel operatörü olan ve herhangi bir boyutta tanımlanabilen 'ye veya 'ya Laplace operatörü veya kısaca Laplasyen denmektedir.

Sınır koşulları 

Laplace denklemi için Dirichlet problemi bir D bölgesi üzerinde tanımlı ve verilmiş başka bir fonksiyona D 'nin sınırı üzerinde eşit olan bir  fonksiyonu bulmaktan ibarettir. Laplace operatörü ısı denkleminde yer aldığı için, problemin bir diğer yorumu da şöyledir: Bölgenin sınırındaki sıcaklık sabit tutulur ve bölgenin iç tarafındaki sıcaklık artık değişmeyecek şekilde beklenilir. İç bölgedeki sıcaklık dağılımı artık ilişkin Dirichlet probleminin çözümü tarafından verilecektir.

Laplace denklemi için Neumann sınır koşulları Dnin sınırında  fonsiyonunu belirtmez ancak bu fonksiyonun normal türevini belirtir. Fiziksel olarak bu durum, yalnız 'nin sınırında etkisi bilinen bir vektör alanı için olan bir potansiyelin inşasına (oluşturulmasına) denk gelmektedir.

Laplace denkleminin çözümlerine harmonik fonksiyonlar denilmektedir ve bu fonksiyonların hepsi denklemin sağlandığı bölge içinde analitiktir. Eğer iki fonksiyon Laplace denkleminin (veya herhangi doğrusal homojen diferansiyel denklemin) çözümüyse, toplamları (veya herhangi doğrusal kombinasyonları) da ayrıca bir çözümdür. Süperpozisyon ilkesi de denilen bu özellik özellikle karmaşık problemlerin basit çözümlerin toplanılması yoluyla yapılan çözümlerinde çok yararlıdır.

 İki boyutta Laplace denklemi 
İki değişkenli Laplace denklemi

formuna sahiptir.

 Analitik fonksiyonlar 
Karmaşık analitik bir fonksiyonun gerçel ve sanal kısmının her ikisi de Laplace denklemini sağlar. Eğer z=x+iy ise ve 

ise, o zaman f(z) 'nin analitik olması için gerekli koşul aşağıdaki Cauchy-Riemann denklemlerinin sağlanmasıdır:

Takip eden ifade ise

olacaktır. Bu yüzden u Laplace denklemini sağlar. Benzer bir hesaplama yine v 'nin de Laplace denklemini sağladığını gösterir.

Aksine diğer taraftan bir harmonik fonksiyon verilirse, bu fonksiyon analitik bir  fonksiyonunun gerçel kısmı olur (en azından yerel olarak). Eğer

olarak alınırsa ve

şartı konulursa, o zaman Cauchy-Riemann denklemleri sağlanacaktır.

Bu ilişki ψ'yi belirlemese de artışlarını belirler:

φ için Laplace denklemi ψ'nin integrallenebilme koşulunun sağlandığını gösterir:

ve bu yüzden ψ bir çizgi integrali yoluyla tanımlanabilir. İntegrallenebilme koşulu ve Stoke teoremi iki noktayı birleştiren çizgi integralinin değerinin takip edilen yoldan bağımsız olduğunu gösterir. Laplace denkleminin sonucunda çıkan çözüm çiftine eşlenik harmonik fonksiyonlar adı verilir. Bu inşa sadece yerel olarak veya takip edilen yolun bir tekilliği çevrelememesi koşuluyla geçerlidir. Örneğin, r ve θ kutupsal koordinatlar olursa ve

ise, o zaman karşılık gelen analitik fonksiyon

fonksiyonudur. Bununla birlikte, θ açısı orijini çevrelemeyen bir bölge içinde tek (bir) değerlidir.

Laplace denklemi ve analitik fonksiyonlar arasındaki yakın ilişki Laplace denkleminin çözümünün her mertebeden türevi olduğunu gösterir ve bu çözüm en azından bir tekilliği çevrelemeyen bir çember içinde kuvvet serilerine genişletilebilir. Bu durum, daha az düzenliliğe sahip ısı denklemi çözümleriyle tezat bir haldedir.

Kuvvet serileri ve Fourier serileri arasında sıkı bir ilişki vardır. Bir f fonksiyonu R yarıçaplı bir çember içinde kuvvet serisine genişletilirse, bu gerçel ve sanal kısımları

şeklinde olan uygun katsayıların olduğu

ifadesi anlamına gelir. Bu yüzden,

olur ki bu da f 'nin Fourier seridir.

 Akışkan akımı 
u ve v nicelikleri durağan sıkıştırılamaz, dönmez bir akımın iki boyutta yatay ve dikey bileşenleri olsun. Akımın sıkıştırılamaz olmasının koşulu,

olmasıdır ve akımın dönmez olmasının şartı da

olmasıdır. Bir ψ fonksiyonunun diferansiyeli

olarak tanımlanırsa, o zaman sıkıştırılamama şartı bu diferansiyel için integrallenebilme koşulu olur: Sonuçtaki fonksiyona akış fonksiyonu adı verilir çünkü bu fonksiyon akım çizgileri boyunca sabittir. ψ'nin birinci türevi

ile verilir ve sıkıştırılamama şartı ψ 'nin Laplace denklemini sağladığını gösterir. ψ 'ye eşlenik olan harmonik φ fonksiyonuna hız potansiyeli denilir. Cauchy-Riemann denklemleri

ifadesini verir.

Bu yüzden her analitik fonksiyon düzlemde durağan sıkıştırılamaz, dönmez bir akışkan akıma karşılık gelir. Gerçel kısım hız potansiyeli olurken sanal kısım akış fonksiyonu olur.

 Elektrostatik 

Maxwell denklemleri'ne göre, iki uzay boyutunda yer alan ve zamandan bağımsız olan bir elektrik alanı (u,v),

ifadesini ve ρ'nun yük yoğunluğu olduğu

ifadesini sağlar.

Birinci Maxwell denklemi

diferansiyeli için integrallenebilme koşuludur. Böylece elektrik potansiyeli olan φ

ifadesini sağlayacak şekilde inşa edilebilir.

İkinci Maxwell denklemi o zaman Poisson denklemi olarak ifade edilen

denklemini verir.

İki boyutta kullanılana benzer olarak, Laplace denklemi elektrostatik ve akışkan akımının üç boyutlu problemlerinde de kullanılabilir.

 Üç boyutta Laplace denklemi 
 Temel çözüm 

Laplace denkleminin temel çözümü, Dirac delta fonksiyonu 'nın  noktasında toplanmış bir birim kaynağı gösterdiği

denklemini sağlar. Hiçbir fonksiyon bu özelliğe sahip değildir ancak yine de bu, integralleri uzay üzerinde birlik olan ve desteği (fonksiyonun sıfır olmadığı bölge) bir noktaya küçülen bir fonksiyonlar limiti olarak düşünülebilir. Temel çözümün tanımı bu yüzden, u 'nun Laplasyeninin kaynak noktasını çevreleyen herhangi bir hacim üzerinde integrali alındığında, o zaman 

olduğunu gösterir.

Laplace denklemi koordinatların rotasyonuyla değişmez kalır ve bu yüzden bir temel çözümün, sadece (kaynak noktasından uzaklığı gösteren) r 'ye bağımlı olan çözümler arasından elde edilebileceği beklenir. Hacim kaynak noktası etrafında a yarıçaplı bir top olarak düşünülürse, o zaman Gauss diverjans teoremi

ifadesini verir. O zaman takip eden ifade ise, kaynak noktası etrafında r yarıçaplı bir küre üzerindeki

ifadesidir ve bu yüzden

olur. Benzer bir hesap ise iki boyutta
 

olduğunu gösterir.

 Green fonksiyonu 

Bir Green fonksiyonu da bir V hacminin S sınırındaki uygun şartı sağlayan temel bir çözümdür. Örneğin, ,

ifadelerini sağlayabilir.

Eğer u, V üzerinde Poisson denkleminin herhangi bir çözümüyse

olur ve u, S üzerinde g sınır değerlerini alır. O zaman aşağıdaki eşitlikleri veren (diverjans teoreminin bir sonucu olan) Green özdeşliğine başvurulabilir:

un ve Gn gösterimleri S üzerindeki normal türevleri ifade etmektedir. u ve G 'nin sağladığı şartlar bağlamında, bu sonuç

haline gelir.

Bu yüzden, Green fonksiyonu f ve g 'nin  noktalarındaki etkisini açıklar. a yarıçaplı kürenin içi düşünüldüğünde ise, Green fonksiyonu yansıtma yoluyla elde edilebilir (Sommerfeld, 1949): Kürenin merkezinden ρ kadar uzaklıkta olan P kaynak noktası,

uzaklıkta bulunan bir N noktasına yarıçapsal doğru boyunca yansıtılır.

Unutulmaması gereken nokta P küre içindeyse, N 'nin küre dışında olması gerektiğidir. O zaman Green fonksiyonu R 'nin P kaynak noktasına uzaklığı ve T 'nin yansıtılmış N noktasına olan uzaklığı gösterdiği

ifadesi tarafından verilir. Green fonksiyonu için olan bu ifadenin bir sonucu ise Poisson integral formülüdür'''. ρ, θ, ve φ, P kaynak noktası için küresel koordinatlar olsun. Burada θ dikey eksenle olan açıyı göstermektedir. (Amerikan matematik gösterimine uymaz ancak standard Avrupa ve fiziksel uygulamalarına uyum gösteren bir gösterimdir) O zaman, küre içindeki Laplace denkleminin çözümü

olarak alınırsa

tarafından verilir.

Bu formülün basit bir sonucu ise şudur: u harmonikse, o zaman u 'nun kürenin merkezindeki değerleri, u'' 'nun küre üzerindeki değerlerinin ortalama değerleridir. Bu ortalama değer özelliği ise ivedilikle sabit olmayan bir fonksiyonun maksimum değerini kürenin içinde alamayacağı sonucunu verir.

Ayrıca bakınız 

 6-küre koordinatlar, bir koordinat sistemi altında bu Laplace's denklemi becomes R-ayrılabilir
 Helmholtz denklemi,Laplace's denkleminin genel bir durumu.
 Bateman dönüşümü
 Earnshaw's teoremi stabil statik ferromanyetik süspansiyonun imkânsız olduğunu göstermek için Laplace denklemi kullanır
 Vektör Laplasyen
 Küresel harmonikler
 Dörtlük bölgeler
 Potansiyel teorisi
 Potansiyel akımı

Kaynakça 
 L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2 -- Kısmi Diferansiyel Denklemler.
 I. G. Petrovsky, Partial Differential Equations, W. B. Saunders Co., Philadelphia, 1967 -- Kısmi Diferansiyel Denklemler.
 A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9 -- Mühendisler ve Biliminsanları için Doğrusal Kısmi Diferansiyel Denklemler El Kitabı.
 A. Sommerfeld, Partial Differential Equations in Physics, Academic Press, New York, 1949 -- Fizikte Kısmi Diferansiyel Denklemler.

Dış bağlantılar 
 . 
 .
 .
 
 .
 

Eliptik kısmi diferansiyel denklemler
Harmonik fonksiyonlar
Denklemler
Fourier analizi