Görüntü kümesi

Matematikte görüntü kümesi bir fonksiyonun tüm girdi değerlerinin kümesinin veya daha kesin bir söylemle tanım kümesinin tüm elemanlarının fonksiyon tarafından gönderildiği kümedir.

Kesin tanım 

X ve Y küme, f ise f : X → Y olarak tanımlanmış bir fonksiyon ve x ise X 'in bir elemanı olsun. O zaman, x 'in f altındaki görüntüsü f(x) ile gösterilen ve f 'nin x ile bağdaştırdığı Y kümesinin biricik y elemanıdır. Bir fonksiyonun görüntüsü veya daha kesin bir dille bir fonksiyonun tanım kümesinin görüntüsü, Gör(f) veya İngilizce karşılığı olan image kelimesi sebebiyle Im(f) ile gösterilir. Daha matematiksel bir gösterimle f 'nin görüntü kümesi,  kümesidir.

f nin görüntü kümesi değer kümesi ile aynı küme olabilir veya değer kümesinin bir altkümesi olabilir. f örten fonksiyon olmadıkça genelde değer kümesinden daha küçük bir kümedir.

B ⊆ Y kümesinin f altındaki ters görüntü kümesi ise

f -1[B] = {x ∈ X | f(x) ∈ B}

şeklinde tanımlanır. Bir noktanın, mesela y, görüntüsü f -1[{y}], ile gösterilir. B 'nin ters görüntü kümesi ise f -1[B] veya f -1(B) ile gösterilir. Buradaki f -1 gösterimi aynı gösterimi kullanan ters fonksiyon ile karıştırılmamalıdır.

Örnekler 
1.  f: {1,2,3} → {a,b,c,d} fonksiyonu 

şeklinde tanımlansın. {2,3} kümesinin f altındaki görüntüsü f({2,3}) = {d,c} olur. f 'nin görüntü kümesi ise {a,d,c} kümesidir. {a,c}'nin ters görüntü kümesi f -1({a,c}) = {1,3} olur.

2.  f: R → R fonksiyonu f(x) = x2 şeklinde tanımlansın.

{-2,3} kümesinin f altındaki görüntüsü f({-2,3}) = {4,9}, f 'nin görüntüsü R+, {4,9} kümesinin f altındaki ters görüntü kümesi f -1({4,9}) = {-3,-2,2,3} olur.

Sonuçlar 

f : X → Y  Xn 'in her A, A1, ve A2 altkümesi için ve Y 'nin tüm B, B1, ve B2 altkümeleri için şu sonuçlar vardır:

 f(A1 ∪ A2) = f(A1) ∪ f(A2)
 f(A1 ∩ A2) ⊆ f(A1) ∩ f(A2)
 f -1(B1 ∪ B2) = f -1(B1) ∪ f -1(B2)
 f -1(B1 ∩ B2) = f -1(B1) ∩ f -1(B2)
 f(f -1(B)) ⊆ B
 f -1(f(A)) ⊇ A
 A1 ⊆ A2 → f(A1) ⊆ f(A2)
 B1 ⊆ B2 → f -1(B1) ⊆ f -1(B2)
 f -1(BC) = (f -1(B))C
 (f |A)−1(B) = A ∩ f -1(B).

Ayrıca bakınız 
 Tanım kümesi
 Fonksiyon

Notlar

Kaynakça 
 
 T.S. Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures, Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5.

Kümeler teorisi
Matematiksel fonksiyonlar