Genelleştirilmiş f ortalaması

Matematik ve istatistik bilim dallarında genelleştirilmiş f-ortalaması merkezsel konum ölçülerinden olan değişik ortalamalar için tek bir genel fonksiyon ve formül bulma ve kullanma çabaları sonucu ortaya çıkarılmıştır. Benzer çabalar biraz değişik diğer bir genelleştirilmiş ortalama formülünü vermiştir.<ref>Bibby,J.(1974) "Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences," Glasgow Mathematical Journal, C. 15, say. 63–65</ref>. Bu nedenle isim karışıklığını önlemek için f-ortalaması çeşitli diğer isimlerde de anılmaktadır. Bazen yarı-aritmetik ortalama adı kullanılmaktadır. Bu kavramı ve formülü ilk geliştiren Rus matematikçisi A.Kolmogorov adına atfen de bazen Kolmogorov ortalaması olarak isimlendirilmektedir.

 Tanımlama 

Eğer f, reel doğrunun bağlanmış altseti olan yi reel sayılara tasarımlayan bir fonksiyon ise ve hem sürekli hem de enjektif ise, o halde şu iki sayı olan  için f-ortalaması şöyle tanımlanır:

 büyüklükteki bir veri dizisi 
,
olur ve f-ortalaması 

ifadesi ile verilir.

Ters fonksiyon olan  mevcut olması için fnin enjektif olması gerekir. Fonksiyonun sürekli olması için 
 
ifadesinin  sahasında bulunmalıdır. Böylece enjektif ve sürekli olması sağlanan f kesinlikle monotonik fonksiyon olur ve bunun için  içinde ne bu grubun içindeki en büyük sayıdan daha büyük ne de grubun en küçük sayısından daha küçük olabilir.

 Özellikler 

 Bölüntülenme: f-ortalama hesaplanırken, veriler birbirine eşit alt-bloklara bölüntülenebilip genel sonuca etki yapmadan hesaplar ayrı ayrı alt-bloklara uygulanabilir:

 Elemanların çarpma özelliği korunursa, genel f-ortalamayı etkilemeden her altset için ayrı ortalama önceden hesaplanabilir.
  ile şu ifade gerçek olabilir

 Genelleştirilmiş f-ortalamasi  de kaymalar ve yeniden ölçeklenmelerden etkilenmez; yani 
.

 Eğer  monotonik ise, o halde de monotoniktir.

 İlişkiler 

 Eğer  reel doğruya (yahut nin sıfır olmadığı herhangi bir doğrusal fonksiyon a) tasarımlanırsa ve , ise f-ortalaması aritmetik ortalama olur.
 Eğer  pozitif reel sayılar setine tasarımlanırsa ve , ise f-ortalaması geometrik ortalama olur. f-ortalaması özelliklere uygun olarak bu sonuç eğer pozitif ise ve 1 değilse, dayandığı logaritma bazının ne olduğunun hiç önemi bulunmamaktadır.
 Eğer  pozitif reel sayılar setine tasarımlanırsa ve , ise f-ortalaması harmonik ortalama olur.
 Eğer  pozitif reel sayılar setine tasarımlanırsa ve , ise f-ortalaması  üslü güç ortalaması olur.

 Homojenlik 

Ortalama için kullançılan fonksiyonlar ok kere homojendirler. Ancak f-ortalaması için  fonksiyonlarının çoğu homojen değildir. Homojenlik özelliği girdi veri değerlerini özel bir homojen ortalama  ile normalize ederek yani 

sağlanabilir. Ancak bu değişme bazı f''-ortalamaları için monotonluk ve bölüntülenme özelliklerin ortadan kaldırabilir.

İçsel kaynaklar 
 Ortalama
 Genelleştirilmiş ortalama
 Jensen'in eşitsizliği

Kaynakça 

Ortalama