నిష్పత్తి

నిష్పత్తి (Ratio) అనగా రెండు అంతకంటే ఎక్కువ విషయాలను పోల్చి చూపే గణిత విషయము.

వంతులు, శాతాలు కొన్ని ప్రత్యేకమైన నిష్పత్తులు. వంతులు మొత్తంలో భాగాల్ని తెలియజేస్తే, శాతాలు మొత్తాన్ని 100 క్రింద భావించి దానిలోని భాగాల్ని తెలియజేస్తాయి.

ఒక 2:3 ("రెండు ఈజ్ టు మూడు") అనగా ఒక వస్తువు మొత్తంలో రెండు భాగాలు, రెండవ వస్తువు మొత్తంలో మూడు భాగాలు; అంటే మొత్తంలో ఐదు భాగాలున్నాయి అని అర్థం వస్తుంది. ఉదాహరణకు ఒక సంచిలో రెండు ఏపిల్స్, మూడు బత్తాయిలు ఉంటే వాటి నిష్పత్తి 2:3 అన్నమాట. అయితే ఆ సంచిలోనే మరొక రెండు ఏపిల్స్, మూడు బత్తాయిలు చేర్చిన నిష్పత్తి 4:6 అవుతుంది. ఇది 2:3 కి సమానం. ఇదే ఉదాహరణలో 2/5 లేదా 40 శాతం ఏపిల్స్, 60 శాతం బత్తాయిలు ఉన్నాయి అని అర్ధం. అలాగే సంచిలో ఐదింట రెండు వంతులు ఏపిల్స్, ఐదింట మూడు వంతులు బత్తాయిలు ఉన్నాయి అని అర్ధం వస్తుంది.

అంక గణితంలో "నిష్పత్తి" ఒకే తరగతికి చెందిన (e.g., వస్తువులు, మనుషులు, విద్యార్థులు, కుండలు, ఆవులు, ఇళ్ళు - ఈవిధంగా ప్రామాణికంగా ఒకే విధంగా సూచించబడే ఏవేనా సరే) రెండు సంఖ్యలను పోల్చి చూపుతుంది. సాధారణంగా దీనిని a:b అని రాస్తాము, a టు b అని గానీ a ఈస్ టు (is to) b అని గాని చదువుతాము (ఇందులో a, b ఒకే తరగతికి చెందిన రెండు సంఖ్యలు అయి ఉండవలెను). 
గమనిక : మనము 2:3 లేదా 56:23 అని రాసినపుడు ఆ సంఖ్యలు ఏ ప్రమాణాన్ని సూచిస్తున్నయో లేదా అవి ఏ తరగతికి చెందినవో చెప్పము. అందువలన కొన్ని కొన్ని సార్లు నిష్పత్తిని అంక గణితంలో ఈవిధంగా పేర్కొంటారు : నిష్పత్తి అనగా ఏవేనా రెండు సంఖ్యలలో  ఒక సంఖ్య రెండవదానికన్నా ఎన్ని రెట్లు ఎక్కువ అని స్పష్తంగా తెలియజెప్పే "ప్రమాణ రహిత లబ్ధము లేదా విభక్తము" ( dimensionless (quotient) (ఇది పూర్ణాంకమే ( integer )కానవసరం లేదు).

సాధారణ భాషలో మనం వేటిని పోలుస్తాం. ఒకసారి ఈ కింది వాక్యాలను పరిశీలిద్దాం. 
 "నీకు నాకన్నా ఎక్కువ మార్కులు వచ్చాయి."
 "నీకు నాకన్నా 10 మార్కులు ఎక్కువ వచ్చయి."
 "నీ మార్కులు నా మార్కులకి రెండు రెట్లు." 
 "నీ జీతం నా జీతంలో సగం."

పై అన్ని సందర్భాలలోనూ మనము రెండు సంఖ్యలనే పోల్చి చూపుతున్నాము. అయితే ఆ సంఖ్యలు వేటిని సూచిస్తున్నాయనేది సందర్భాన్ని బట్టి మారుతూ ఉంటుంది. ఒక దగ్గర మార్కులు, మరో దగ్గర జీతం, వెరొక దగ్గర ఆవులు లేదా పిల్లలు లేదా మరేదయినా కావచ్చు. అలానే పై ఉదాహరణలలో మొదటి రెంటి కన్నా చివరి రెండూ కాస్త ఎక్కువ సమాచారాన్ని కూడా అందిస్తున్నాయి. అవి ఏ విధమైన అదనపు సమాచారాన్ని ఇస్తున్నాయి. ఆ సమాచారం వల్ల గల ఉపయోగాలు ఏమిటి అనే విషయాలను ఈ పేజీ చర్చిస్తుంది.

నిష్పత్తిని సూచించడానికి అంక గణితంలో వాడే చిహ్నాలు లేదా గుర్తులు, పరిభాష
A, B ల నడుమ నిష్పత్తిని ఈ విధంగా పేర్కొంటాము:
A:B (A, B ల మధ్య నిష్పత్తిని సూచించడానికి వాడే చిహ్నం లేదా గుర్తు) 
A B ల నిష్పత్తి (పరిభాష - ఆ గుర్తును చదివే విధానం)
A ఈస్ టు (is to) B (పరిభాష - ఆ గుర్తును చదివే విధానం)
Aని Bతో భాగిస్తే వచ్చే లబ్ధం భిన్నం (ఆకరణీయ సంఖ్య)

The numbers A and B are sometimes called terms with A being the antecedent and B being the consequent.

The proportion expressing the equality of the ratios A:B and C:D is written
A:B=C:D or A:B::C:D. this latter form, when spoken or written in the English language, is often expressed as
A is to B as C is to D.

Again, A, B, C, D are called the terms of the proportion. A and D are called the extremes, and B and C are called the means. The equality of three or more proportions is called a continued proportion.

Ratios are sometimes used with three or more terms. The dimensions of a two by four that is ten inches long are 2:4:10.

చరిత్ర, పద వ్యుత్పత్తి

చరిత్ర
అంకెల వాడకం ఎప్పుడు ప్రారంభమయిందో చరిత్రద్వారా తెలుసుకోవచ్చు. కానీ అంకె అనే భావన మనిషికి ఎప్పుడు వచ్చిందో చెప్పలేము. అంకెలను పోల్చడం - నిష్పత్తులను వాడడం ఎప్పుడు మొదలయిందో కొంతవరకూ చెప్పగలం గానీ ఆ భావన లేదా ఆలోచన మనిషికి ఎప్పుడు వచ్చిందో చెప్పలేం. ఉదాహరణకి, నాగరికత ఇంకా అభివృద్ధి చెందని సమయంలో కూడా ఒక మనిషి తన చేతిలో ఉన్న పళ్ళనో మరి దేనినో అతని తోటి మనిషి చేతిలో ఉన్నవాటితో పోల్చి ఉండవచ్చు. ఒక సమూహం బలం వేరొక సమూహం బలంతో అంకెలు వాడకుండానే ఊహత్మకంగా పోల్చి ఉండవచ్చు. కానీ నిష్పత్తి అనే మాటయొక్క చరిత్ర, పుట్టుక మాత్రం కనుక్కోగలం.
ఇది నిష్పత్తుల చరిత్ర పై సమగ్రమైన పరిశీలన కాదు కావున నిష్పత్తులు వాడబడిన సందర్భాలు మాత్రం ఈ దిగువ సూచించబడ్డాయి. దీని ద్వారా నిష్పత్తి అనేది కొన్ని వేల సంవత్సరాల చరిత్ర గలది అని అర్థమవుతుంది.
ఇండియన్ ఇన్స్టిట్యూట్ ఆఫ్ సైన్సెస్ - ధోలవిర కట్టాడాలు 
వికిపీడియా - ధోలవిర
ఈ కట్టడాలు క్రీ.పూ. 2650 లో మొదలయాయి. ఈ నాగరికతలో కట్టడాల కొలతలు (పొడవు వెడల్పుల నిష్పత్తులు) ఒక క్రమబద్ధంలో ఉన్నాయి.
పిరమిడ్లు  
ఇంచుమించు ఇదే కాలంలో ఇక్కడ కూడా క్రమబద్ధమైన కట్టడాలు (పిరమిడ్లు) మొదలయాయి.

వ్యుత్పత్తి

ఉదాహరణలు
The quantities being compared in a ratio might be physical quantities such as speed or length, or numbers of objects, or amounts of particular substances. A common example of the last case is the weight ratio of water to cement used in concrete, which is commonly stated as 1:4. This means that the weight of cement used is four times the weight of water used. It does not say anything about the total amounts of cement and water used, nor the amount of concrete being made. Equivalently it could be said that the ratio of cement to water is 4:1, that there is 4 times as much cement as water, or that there is a quarter (1/4) as much water as cement..

Older televisions have a 4:3 "aspect ratio", which means that the width is 4/3 of the height; modern widescreen TVs have a 16:9 aspect ratio.

భిన్నం
If there are 2 oranges and 3 apples, the ratio of oranges to apples is 2:3, and the ratio of oranges to the total number of pieces of fruit is 2:5. These ratios can also be expressed in fraction form: there are 2/3 as many oranges as apples, and 2/5 of the pieces of fruit are oranges. If orange juice concentrate is to be diluted with water in the ratio 1:4, then one part of concentrate is mixed with four parts of water, giving five parts total; the amount of orange juice concentrate is 1/4 the amount of water, while the amount of orange juice concentrate is 1/5 of the total liquid. In both ratios and fractions, it is important to be clear what is being compared to what, and beginners often make mistakes for this reason.

Number of terms
In general, when comparing the quantities of a two-quantity ratio, this can be expressed as a fraction derived from the ratio. For example, in a ratio of 2:3, the amount/size/volume/number of the first quantity will be  that of the second quantity. This pattern also works with ratios with more than two terms. However, a ratio with more than two terms cannot be completely converted into a single fraction; a single fraction represents only one part of the ratio since a fraction can only compare two numbers. If the ratio deals with objects or numbers of objects, this is often expressed as "for every two parts of the first quantity there are three parts of the second quantity".

శాతాలు
నిష్పత్తిలో ఉన్న సంఖ్యలన్నిటినీ ఒకే సంఖ్యతో గుణిస్తే వచ్చే నిష్పత్తి మునుపటి నిష్పత్తికి సమానం. ఉదాహరణకు 3:2 ని 4తో గుణిస్తే వచ్చే కొత్త నిష్పత్తి 12:8, 3:2కి సమానం. సాధారణంగా నిష్పత్తిలోని సంఖ్యలనన్నిటినీ వాటి గరిష్ఠ సామాన్య భాజకంతో lowest common denominator భాగించి గానీ లేదా అవి నూటికి ఎంత భాగం (percent) అని లెక్క కట్టి గానీ చూపుతారు. 
ఒక ద్రావకంలో A, B, C, D అనే నాలుగు ద్రవాలు 5:9:4:2 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి అని అంటే దాని అర్థం: ఆ ద్రావకంలో మొత్తం 20 (నిష్పత్తిలోని సంఖ్యల మొత్తం - 5+9+4+2) వంతులు ఉంటే అందులో A 5 వంతులు, B 9 వంతులు, C 4 వంతులు, D 2 వంతులు. 
దీనినే మరో విధంగా చెప్పవచ్చు. ఆ ద్రావకంలో A 5/20 వ వంతు, B 9/20 వ వంతు, C 4/20 వ వంతు, D 2/20 వ వంతు ఉన్నాయి. 
వీటినే శాతాలుగా చెప్పాలంటే ఈ భిన్నాన్ని నూటితో గుణిస్తే వచ్చే విలువే ఆ ద్రావకంలో ఆ ద్రవం యొక్క శాతం. అనగా ఆ ద్రావకంలో A - 25% (5/20*100), B - 45% (9/20*100), C - 20% (4/20*100), D - 10% (2/20*100) ఉన్నాయి.

తుల్యములు (proportions)
If the two or more ratio quantities encompass all of the quantities in a particular situation, for example two apples and three oranges in a fruit basket containing no other types of fruit, it could be said that "the whole" contains five parts, made up of two parts apples and three parts oranges. In this case, , or 40% of the whole are apples and , or 60% of the whole are oranges. This comparison of a specific quantity to "the whole" is sometimes called a proportion. Proportions are sometimes expressed as percentages as demonstrated above.

Reduction
Note that ratios can be reduced (as fractions are) by dividing each quantity by the common factors of all the quantities. This is often called "cancelling." As for fractions, the simplest form is considered to be that in which the numbers in the ratio are the smallest possible integers.

Thus, the ratio 40:60 may be considered equivalent in meaning to the ratio 2:3 within contexts concerned only with relative quantities.

Mathematically, we write: "40:60" = "2:3" (dividing both quantities by 20).
Grammatically, we would say, "40 to 60 equals 2 to 3."

An alternative representation is: "40:60::2:3"
Grammatically, we would say, "40 is to 60 as 2 is to 3."

A ratio that has integers for both quantities and that cannot be reduced any further (using integers) is said to be in simplest form or lowest terms.

Sometimes it is useful to write a ratio in the form 1:n or n:1 to enable comparisons of different ratios.

For example, the ratio 4:5 can be written as 1:1.25 (dividing both sides by 4)

Alternatively, 4:5 can be written as 0.8:1 (dividing both sides by 5)

Where the context makes the meaning clear, a ratio in this form is sometimes written without the 1 and the colon, though, mathematically, this makes it a factor or multiplier.

Dilution ratio
Ratios are often used for simple dilutions applied in chemistry and biology. A simple dilution is one in which a unit volume of a liquid material of interest is combined with an appropriate volume of a solvent liquid to achieve the desired concentration. The dilution factor is the total number of unit volumes in which your material will be dissolved. The diluted material must then be thoroughly mixed to achieve the true dilution. For example, a 1:5 dilution (verbalize as "1 to 5" dilution) entails combining 1 unit volume of solute (the material to be diluted) + 4 unit volumes (approximately) of the solvent to give 5 units of the total volume. (Some solutions and mixtures take up slightly less volume than their components.)

The dilution factor is frequently expressed using exponents: 1:5 would be 2e−1 (5−1 i.e. one-fifth:one); 1:100 would be 10e−2 (10−2 i.e. one hundredth:one), and so on.

There is often confusion between dilution ratio (1:n meaning 1 part solute to n parts solvent) and dilution factor (1:n+1) where the second number (n+1) represents the total volume of solute + solvent. In scientific and serial dilutions, the given ratio (or factor) often means the ratio to the final volume, not to just the solvent. The factors then can easily be multiplied to give an overall dilution factor.

In other areas of science such as pharmacy, and in non-scientific usage, a dilution is normally given as a plain ratio of solvent to solute.

Odds
Odds (as in gambling) are expressed as a ratio. For example, odds of "7 to 3 against" (7:3) mean that there are seven chances that the event will not happen to every three chances that it will happen. On the other hand, the probability of success is 30%. In every ten trials, there are three wins and seven losses.

Different units
Ratios are unitless when they relate quantities which have units of the same dimension.

For example, the ratio 1 minute : 40 seconds can be reduced by changing the first value to 60 seconds. Once the units are the same, they can be omitted, and the ratio can be reduced to 3:2.

In chemistry, mass concentration "ratios" are usually expressed as w/v percentages, and are really proportions.

For example, a concentration of 3% w/v usually means 3g of substance in every 100mL of solution. This cannot easily be converted to a pure ratio because of density considerations, and the second figure is the total amount, not the volume of solvent.

మూలాలు

మరింత చదవండి
"Ratio" The Penny Cyclopædia vol. 19, The Society for the Diffusion of Useful Knowledge (1841) Charles Knight and Co., London pp. 307ff
"Proportion" New International Encyclopedia, Vol. 19 2nd ed. (1916) Dodd Mead & Co. pp270-271
"Ratio and Proportion" Fundamentals of practical mathematics, George Wentworth, David Eugene Smith, Herbert Druery Harper (1922) Ginn and Co. pp. 55ff

D.E. Smith, History of Mathematics, vol 2 Dover (1958) pp. 477ff

గణితం
బీజగణితము
నిష్పత్తి
గణిత శాస్త్రము