சுழற்சி மேற்பரப்பு

யூக்ளிடிய வெளியில் ஒரு அச்சைப் பொறுத்து, ஒரு வளைகோட்டைச் சுழற்றும்போது உருவாகும் மேற்பரப்பானது சுழற்சி மேற்பரப்பு  (surface of revolution) எனப்படும். 

எடுத்துக்காட்டாக,
சுழற்சி அச்சுக்கு இணையாகவுள்ள ஒரு நேர்கோட்டினைச் சுழற்றுவதால் உருளை உருவாகிறது.
சுழற்சி அச்சுக்கு இணையற்ற நேர்கோட்டினை சுழற்றுவதால் கூம்புவெட்டுகள் உருவாகின்றன.
ஒரு வட்டத்தை அதன் ஏதாவது ஒரு விட்டத்தைப் பொறுத்து சுழற்றும்போது கோளம் உருவாகிறது.

பண்புகள் 
ஒரு சுழற்சி மேற்பரப்பை, அச்சின் வழியாகச் செல்லும் தளங்களால் வெட்டும்போது கிடைக்கும் வெட்டுமுகங்கள் நெடுவரை வெட்டுகள் (meridional sections) என அழைக்கப்படுகின்றன
சுழற்சி மேற்பரப்பை, அச்சுக்குச் செங்குத்தான தளங்களால் வெட்டும்போது கிடைக்கும் வெட்டுமுகங்கள் வட்டங்களாக இருக்கும்.
சில சிறப்புவகை அதிபரவளைவுருக்களும் பரவளையவுருக்களும் சுழற்சி மேற்பரப்புகளாக அமைகின்றன.

பரப்பளவு வாய்பாடு 
சுழற்றப்படும் வளைகோட்டின் 
துணையலகுச் சமன்பாடுகள்: , , ( இன் மதிப்பு  இடைவெளியில் அமையும்);
சுழற்சி அச்சு: -அச்சு
சுழற்சி மேற்பரப்பின் பரப்பளவு () எனில்:

இவ்வாய்பாட்டில் ,  ஆகிய இரு இறுதிப்புள்ளிகளுக்கு இடையே எவ்விடத்திலும்  ஆனது எதிர்மமாக இருக்காது என எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது. இவ்வாய்பாடு, பாப்பசின் திணிவுமையத் தேற்றத்தின் நுண்கணிதச் சமானமாக உள்ளது.

பித்தகோரசு தேற்றத்திலிருந்து வரும் வாய்பாட்டின் பகுதி  ஆனது வளைகோட்டின் வில்லின் ஒரு சிறுபகுதியைக் குறிக்கிறது. மேலும்  ஆனது இச்சிறுபகுதியின் பாதை ஆகும்.

இதேபோல சுழற்சி அச்சு -அச்சாக இருந்து  ஒருபோதும் எதிர்மம் இல்லையென்றும் இருந்தால், பரப்பளவின் வாய்பாடு:

வளைகோடானது ,  () என்ற சார்பாகத் தரப்பட்டால், மேலுள்ள வாய்பாடுகளிலிருந்து பெறப்படும் பரப்பளவின் வாய்பாடு:

சுழற்சி அச்சாக -அச்சு இருக்கும்போது:

சுழற்சி அச்சாக y-அச்சு இருக்கும்போது:

எடுத்துக்காட்டாக,

, , ( இன் மதிப்பு  இல் அமையும்) என்ற வளைகோட்டின் சுழற்சியால் ஓரலகு ஆரங்கொண்ட கோள மேற்பரப்பு, உருவாக்கப்படுகிறது. அதன் பரப்பளவு:

கோளத்தின் ஆரம் , சமன்பாடு , சுழற்சி அச்சு -அச்சு எனில் பரப்பளவு:

சுருள்வளையங்கள் 

ஒரு சுழற்சி மேற்பரப்பின் நடுவில் துளையும், சுழற்சி அச்சு அம்மேற்பரைப்பைச் சந்திக்காமலும் இருந்தால் அச் சுழற்சி மேற்பரப்பு சுருள்வளையம் என அழைக்கப்படுகிறது. 

எடுத்துக்காட்டாக, 
ஒரு செவ்வகத்தை அதன் ஒரு விளிம்புக்கு இணையான மற்றொரு கோட்டை அச்சாகக் கொண்டு சுழற்றக்கிடைக்கும் சுழற்சி மேற்பரப்பானது, செவ்வக வெட்டுமுகங்கொண்ட உள்ளீடற்ற வளையமாகக் கிடைக்கும். 
சுழற்றப்படும் வடிவம் சதுரமாக இருப்பின் அச்சுருள்வளையத்தின் வெட்டுமுகம் சதுரமாக இருக்கும்.

இதேபோல சுழற்றப்படுவது வட்டமாக இருந்தால், உருவாகும் சுழற்சி மேற்பரப்பு உள்ளீடற்ற, வட்ட வெட்டுமுகங்கொண்ட வளையமாக இருக்கும். இது உருள்வளையம் என அழைக்கப்படுகிறது.

மேற்கோள்கள் 

வடிவவியல்