அரைமுப்படிப் பரவளைவு

கணிதத்தில், அரைமுப்படிப் பரவளைவு , அரைக்கனவடிவப் பரவளைவு அல்லது நுதிக்குரிய கனவடிவடிம் (semicubical parabola, cuspidal cubic) என்பது உள்ளுறைச் சமன்பாடுடையதொரு இயற்கணிதத் தள வளைவரையாகும். அதன் உள்ளுறைச் சமன்பாடு காட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமைகளில்:  ().

 -க்குத் தீர்வு காண, அதன் "வெளிப்படை வடிவச் சமன்பாடு" கிடைக்கிறது.
. இதிலிருந்து ஒவ்வொரு மெய்யெண் புள்ளியும் 
 என்பதை நிறைவுசெய்யும் என்பதையும், சமன்பாட்டிலுள்ள  இன் அடுக்கானது இவ்வளைகோட்டிற்கான பெயரிலுள்ள "அரைமுப்படி" என்பதற்கானக் காரணத்தையும்  அறியலாம்.(பரவளைவின் சமன்பாடு: .)

உள்ளுறைச் சமன்பாட்டை  -க்குத் தீர்வு காண இரண்டாவதாக ஒரு வெளிப்படைச் சமன்பாடு கிடைக்கிறது:

 என உள்ளுறை சமன்பாட்டில் பதிலிடுவதன் மூலம் அரைமுப்படிப் பரவளைவிற்குப் பின்வரும் துணையலகுச் சமன்பாட்டையும் பெறலாம்:

ஆங்கிலக் கணிதவியலாளர் வில்லியம் நெயில் என்பவர் இவ்வளைகோட்டின் வில்லின் நீளத்தைக் கணக்கிட்டு, 1657 இல் வெளியிட்டார்.

பண்புகள்

வடிவொப்புமை 
 -துணையலகு உருவகிப்பைக் கொண்ட எந்தவொரு அரைமுப்படிப் பரவளைவும்  என்ற அரைமுப்படி அலகு பரவளவுடன் வடிவொத்ததாக இருக்கும்.

நிறுவல்:  என வரையறுக்கப்பட்ட வடிவொப்புமையானது (சீரான அளவுமாற்றம்,  என்ற அரைமுப்படிப் பரவளைவை முழுவதுமாக  () என்ற வளைவரையோடு இணைக்கிறது.

தொடுகோடுகள் 
 என்ற அரைமுப்படிப் பரவளைவின் கார்ட்டீசியன் சமன்பாட்டை வளைவரையின் மேற்கிளையிலுள்ள புள்ளி  இல் வகையிட, அப்புள்ளியிலமையும் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு கிடைக்கும்:

இத்தொடுகோடு வளைவரையின் கீழ்க்கிளையைப் பின்வரும் ஒரேயொரு புள்ளியில் சந்திக்கும்:

வில்லின்நீளம் 
 என்ற வளைவரையின் வில்லின் நீளத்தைப் பின்வரும் தொகையிடல் மூலம் காணலாம்:

அரைமுப்படிப் பரவளைவு  இன் வில்லின் நீளம்: 

( 

எடுத்துக்காட்டு:
 (அரைமுப்படி அலகு பரவளைவு) மற்றும்  எனில், பரவளைவின் மீதுஅமையும் (0, 0),  (4,8) ஆகிய இரு புள்ளிகளை இணைக்கும் வில்லின் நீளம் 9.073 ஆகக் கிடைக்கும்.

மலரி 
 என்ற பரவளைவின் மலரியானது மூலப் பரவலைவிலிருந்து x-அச்சு திசையில் 1/2 அளவு நகர்த்தப்பட்ட அரைமுப்படிப் பரவளைவாகும்:

கோண-தூர ஆயதொலைவுகள் 
 என்ற அரைமுப்படிப் பரவளைவின் உருவகிப்பைப் கோணதூர ஆயதொலைவுகளில் காண்பதற்கு,  என்ற கோடானது அரைமுப்படிப் பரவளைவை வெட்டும் புள்ளியைக் காண வேண்டும். இவை இரண்டும் வெட்டும் புள்ளிகள்:
 எனில்,  மற்றும்   
இவ்விரண்டிற்கும் இடைப்பட்ட தூரம்:  
   என்ற பதிலிடலை மேற்கொள்ளக் கிடைப்பது:

இதுவே அரைமுப்படிப் பரவளைவின் கோணதூர ஆயதொலைவுகள்.

மேற்கோள்கள் 

August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten , 1875, Dissertation
 Clifford A. Pickover: The Length of Neile's Semicubical Parabola

வெளியிணைப்புகள்

வளைவரைகள்