ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம்

கணிதத்தில் , ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம்       (பிறகு சீனிவாச இராமானுசன்  என்று பெயரிடப்பட்டது) ஆனது  பகுப்பாய்வு சார்பின் மெல்லின் உருமாற்றத்திற்கு  பகுமுறை விரிவாக்கத்திற்கான  ஒரு உத்தியை வழங்குகிறது. 

தேற்றத்தின் முடிவுகள் பின்வருமாறு கூறப்படுகிறது: 

சிக்கலான எண் மதிப்புடைய சார்பு -ன் விரிவாக்கமானது

எனவே    மெல்லின் உருமாற்றமானது  பின்வருமாறு உள்ளது. 

   

இங்கு  என்பது  காமா சார்பு ஆகும்

இது தொகைகள் மற்றும் முடிவற்ற தொடர்கள் சார்ந்த கணக்கீடுகள் கண்டறிவதற்கு ராமானுசரால் தொடர்ந்து பயன்படுத்தப்பட்ட சார்பு ஆகும். 

இந்தக் தேற்றத்தின்  உயர் பரிமாண பதிப்புகள் குவாண்டம் இயற்பியலில் ( ஃபேய்ன்மேன் விளக்கப்படங்கள் மூலம்) பயன்படுகின்றன.  

இதேபோன்ற முடிவுகளை ஜெ.டபிள்யு.எல் கிளாசர்  பெற்றார்.

மாற்றுவடிவ சூத்திரம் 
ராமானுசரின் தலையாய தேற்றத்தின்  மாற்று வடிவ சூத்திரம் பின்வருமாறு: 

 

மேற்கண்ட சூத்திரத்தில்   என்று பிரதிட்டு காமா சார்பு  சமன்பட்டினை பயன்படுத்தி சுருக்கிய பின்பு  .

சார்பு  வளர்நிலைகளை பொறுத்து  என்ற இடைவெளியில் மேற்கண்ட தொகையானது ஒருங்கக்ககூடியது ஆகும்.

நிரூபணம் 
ராமானுசரின் தலையாய தேற்றத்தின் "உண்மை" அனுமானங்களுக்கு (இருப்பினும் பலவீனமான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகளுக்கு இல்லை) கணிதவியலாளர் GH ஹார்டி   , தான் விரிவாக்கம் செய்யப்பட்ட  எச்ச தேற்றம் மற்றும் நன்கு அறியப்பட்ட மெல்லின் தலைகீழ் தேற்றம் ஆகியவற்றை  ஆதாரமாக விளக்கினார்.

பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் பயன்பாடுகள் 
பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவை  களின் பிறப்பாக்கி சார்பு வருமாறு:

 

இந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஹர்விட்ஸ் இசீட்டா சார்பின் வடிவில் வழங்கப்படுகின்றன: 

க்கு   என்றவாறு உள்ளது. 

ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் மற்றும் பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவைகளின்  பிறப்பாக்கி சார்பு ஆகியவற்றை பயன்படுத்தும் போது  பின்வரும் தொகை வடிவில் இருக்கும்:

இது  க்கு உண்மையாகும் .

காமா சார்பின் பயன்பாடுகள் 
காமா சார்பு பற்றி வீர்சார்ட்-ன் வரையறை 

 

இது ன் விரிவாக்கத்திற்கு சமமானதாகும் 

    

இங்கு  என்பது ரீமன் இசீட்டா சார்பு ஆகும் . 

ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் பின்வருமாறு பயன்படுத்துகிறோம்: 

இது  க்கு உண்மையாகும் .உண்மையாகும்     

இங்கு  மற்றும்   ன் சிறப்பு வகைகள் வருமாறு

மேற்கோள்கள்

வெளி இணைப்புகள் 

 http://mathworld.wolfram.com/RamanujansMasterTheorem.html 
 http://arminstraub.com/files/publications/rmt.pdf 
இராமானுசன்