கேய்சியின் தேற்றம்

கணிதத்தில் கேய்சியின் தேற்றம் (Casey's theorem) என்பது பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட தொலெமியின் தேற்றம் ஆகும். இத்தேற்றம், ஐரிய கணிதவியலாளர் ஜான் கேய்சியின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. யூக்ளீடிய வடிவவியலில் அமைந்த பல கூற்றுகளின் நிறுவலுக்கு இத்தேற்றம் பயன்படுகிறது..

தேற்றத்தின் கூற்று 

 வட்டத்தின் ஆரம் ;  (இதே வரிசையில்) என்பவை ஒன்றுக்கொன்று வெட்டிக்கொள்ளாத,   வட்டத்துக்குள் அதனைத் தொட்டவாறு உள்ள நான்கு வட்டங்கள்;  வட்டங்களின் பொது வெளித்தொடுகோட்டின் நீளம்  எனில்:

இதன் சிதைவுவகையில் நான்கு வட்டங்களும் புள்ளிகாகக் மாறுவதால்  தேற்றமும் தொலெமியின் தேற்றமாகி விடும்.

நிறுவல் 
கேய்சியின் தேற்றம் சக்காரியசு என்பவரால் நிறுவப்பட்டது.

 என்ற வட்டத்தின் ஆரம் ; அது  வட்டத்தைத் தொடும் புள்ளி  ஆகும். வட்டங்களின் மையங்களையும்  புள்ளிகளால் குறித்துக் கொள்ளலாம்.

பித்தேகோரசு தேற்றத்தின் படி:

இந்நீளத்தை  புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி மாற்றுவதற்கு,  முக்கோணத்தில் கோசைன் விதியைப் பயன்படுத்த:

 வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று தொடுவதால்:

 என்பது  வட்டத்தின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியெனில்,  முக்கோணத்தில் சைன் விதியைப் பயன்படுத்த:

எனவே,

இவற்றை மேலுள்ள வாய்பாட்டில் பயன்படுத்த:

இறுதியாகத் தொடுகோட்டின் நீளம்:

இடப்பக்கத்திற்கு,  நாற்கரத்தில் தொலெமியின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த:

மேலதிகப் பொதுமைப்படுத்தல் 
நான்கு சிறு வட்டங்களும் பெரிய வட்டத்தினுள் மட்டுமே அமையவேண்டியதில்லை. வெளிப்புறமாகத் தட்டவாறும் அமையலாம்::

 இரண்டும்  வட்டத்தின் ஒரே பக்கமாக (இரண்டும் உட்பக்கம் அல்லது இரண்டும் வெளிப்பக்கம்) அமையும்போது,   ஆனது பொது வெளித்தொடுக்கோட்டின் நீளமாக இருக்கும்.

 இரண்டும்  வட்டத்தின் வெவ்வேறு பக்கத்தில் (இரண்டும் உட்பக்கம் அல்லது இரண்டும் வெளிப்பக்கம்) அமையும்போது,   ஆனது பொது உட்தொடுக்கோட்டின் நீளமாக இருக்கும்..

கேய்சியின் தேற்றத்தின் மறுதலையும் உண்மையாகும். அதாவது:
 உண்மையானால், நான்கு வட்டங்களும் ஒரு பொது வட்டத்தைத் தொடும்.

மேற்கோள்கள்

வெளி இணைப்புகள் 

 
 Crux Mathematicorum volume 22 issue 2 (it contains the article above)

வட்டங்கள் பற்றிய தேற்றங்கள்
யூக்ளிடிய வடிவவியல்
நிறுவலடங்கிய கணிதத்தேற்றங்கள்