நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றம்

சேர்வியல் கணிதத்தில் நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றம் (derangement) என்பது ஒரு கணத்திலுள்ள உறுப்புகளின் குறிப்பிடவகையானதொரு வரிசை மாற்றமாகும். இந்த வரிசைமாற்றத்தில் வரிசைமாற்றத்துள்ளாகும் கணத்தின் உறுப்புகள் அனைத்தும் அதனதன் மூல இடத்தில் இருக்காது. அதாவது இந்த வரிசைமாற்றத்தில் நிலைத்த புள்ளிகளே இருக்காது.

n உறுப்புகளுடைய கணத்தின் நிலைத்த புள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றத்தின் எண்ணிக்கை "உட்தொடர்பெருக்கம்" ("subfactorial") அல்லது "n ஆவது நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசை மாற்றத்தின் எண்" என அழைக்கப்படுகிறது. 
இந்த எண்ணிக்கையின் குறியீடுகள்:  !n, Dn, dn, or n¡.

!n இன் மதிப்பு  n!/e இன் மதிப்பிற்கு மிக அண்மையிலான முழுஎண் மதிப்பாகும். இதில் n! என்பது n இன் தொடர்பெருக்கம் மற்றும் e ஆனது ஆய்லர் மாறிலி.

நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கையை அறியும் முயற்சியில் 1708 இல் முதன்முறையாக ஈடுபட்டவர் கணிதவியலாளர் பியரே ரேமான்டு டி மான்ட்மார்ட் ஆவார். 1713 இல் இவர் அந்த முயற்சியில் வெற்றிபெற்ற அதேசமயத்தில் கணிதவியலாளர் நிக்கோலசு பெர்னொலியும் அதனைக் கண்டறிந்தார்.

எடுத்துக்காட்டு 

A, B, C, D என்ற நான்கு மாணவர்களுக்குத் தேர்வு நடத்திய ஆசிரியர் ஒருவர், ஒரு மாணவன் தனது விடைத்தாளைத் தானே மதிப்பிடக்கூடாதென்ற நிபந்தனையோடு தேர்வு விடைத்தாட்களை அவர்களைக் கொண்டு மதிப்பிட விரும்புகிறார். இதனை எத்தனை வேறுபட்ட வழிகளில் அவர் செய்திருக்கக்கூடும் என்பது 4 பொருட்களின் நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கைக்குச் சமமாகும்.

A, B, C, D என்ற நான்கு மாணவர்களை வரிசைமாற்றக் கிடைக்கும் வழிகளின் எண்ணிக்கை 24 ஆகும். அவை கீழே தரப்பட்டுள்ளன. அவற்றுள் 9 மட்டுமே நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றங்கள் 9 (நீலநிறசாய்வெழுத்துகளில்) மட்டுமே உள்ளதையும், மீதமுள்ள அமைப்புகளில் (சிவப்புநிற தடித்த எழுத்துகளில்) A, B, C, D ஆகிய நான்கு எழுத்துக்களும் அதனதன் இடத்திலேயே மாறாமல் இருப்பதையும் காணலாம்:
{| style="font:125% monospace;line-height:1;border-collapse:collapse;"
|ABCD,
|ABDC,
|ACBD,
|ACDB,
|ADBC,
|ADCB,
|-
|BACD,
|BADC,
|BCAD,
|BCDA,
|BDAC,
|BDCA,
|-
|CABD,
|CADB,
|CBAD,
|CBDA,
|CDAB,
|CDBA,
|-
|DABC,
|DACB,
|DBAC,
|DBCA,
|DCAB,
|DCBA.
|}

நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை காணல் 
n பொருட்களின் நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றத்தை பின் வரும் எடுத்துக்காட்டாகக் கொள்ளலாம்: 

1, 2, ..., n என்ற எண்களிடப்பட்ட n நபர்களும் n தொப்பிகளும் உள்ளன என்க. 
இதில் ஒருவர் ஒரு சமயத்தில் ஒரு தொப்பியை மட்டும் எடுக்கலாம் என்றால் அச்செயல் எத்தனை வேறுபட்ட வழிகளில் செய்யப்படலாம் என்பது n வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை n! 
மாறாக ஒரு நபர் தனக்களிக்கப்பட்டுள்ள எண்ணுள்ள தொப்பியைத் தவிர பிற தொப்பிகளில் ஒன்றை மட்டுமே எடுக்கலாம் என்றால் அது நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை !n 

எண் "1" என்ற நபர் ஒரு தொப்பியை எடுக்கிறார் என்றால் அதனை அவர் n − 1 வழிகளில் செய்யலாம். ஏனெனில் அவர் "1" எண்ணிடப்பட்ட தொப்பியை எடுக்கக்கூடாது. அவர் எடுத்த தொப்பியின் எண் i என்க.

இப்பொழுது இரு சாத்தியக்கூறுகள் எழுகின்றன:

1. i எண்ணிடப்பட்ட நபர் "1" எண்ணிடப்பட்ட தொப்பியை எடுக்கவில்லை.
இந்நிலையில் இது n − 1 நபர்கள் மற்றும் n − 1 தொப்பிகள் அடங்கிய நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றமாக அமைகிறது. (ஒவ்வொரு நபருக்கும் ஒரு வாய்ப்பு தடுக்கப்படுகிறது  (எடுத்துக்காட்டாக i''' நபருக்கு தொப்பி எண் 1 தடுக்கப்பட்டுள்ளது).
2. i நபர் தொப்பி எண் "1" ஐ எடுக்கிறார்.
இந்நிலையில் இது n − 2 நபர்கள் மற்றும் n − 2 தொப்பிகளின் நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றக் கணக்காக அமைகிறது..

இவ்விரு சாத்தியக்கூறுகளில் ஏதேனுமொன்று நிகழும் என்பதால் n நபர்கள் மற்றும் n  தொப்பிகளின் நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கையின் மதிப்பு:

இதில் துவக்க மதிப்புகள்: !0 = 1 மற்றும் !1 = 0 எனக் கொள்ளப்படுகிறது.n பொருட்களின் நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றத்திற்கு பின்வரும் வாய்ப்பாடுகளுமுள்ளன:

இதில்  அண்மை முழுஎண் சார்பு,  தரைச் சார்பு.n பொருட்களின் நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றத்திற்கு மீளும் வாய்ப்பாடு:n = 0, எனத் துவக்கம் கொள்ள, n'' பொருட்களின் நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றங்களி எண்ணிக்ககை::

1, 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496, 1334961, 14684570, 176214841, 2290792932, ... .

மேற்கோள்கள்

வெளியிணைப்புகள் 

 
 
 
 
 

வரிசைமாற்றங்கள்
முழுஎண் தொடர்வரிசைகள்