அலகுமட்டுடைய அணி

கணிதத்தில் அலகுமட்டுடைய அணி (unimodular matrix) என்பது ஒரு சதுர முழுஎண் அணியாகும். மேலும் ஒரு அலகுமட்டுடைய அணியின் அணிக்கோவையின் மதிப்பு +1 அல்லது −1 ஆக இருக்கும். பொதுவாக ஒரு அலகுமட்டுடைய அணியானது M என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது.

அலகுமட்டுடைய அணியானது முழுஎண்களில் நேர்மாற்றத்தக்க முழுஎண் அணியாக இருக்கும். ஒரு அணியே  அதன் நேர்மாறு அணியாகவும் அமையக்கூடிய முழுஎண் அணிகளும்  (N) உண்டு. 

எனவே M , b இரண்டும் முழுஎண் அணிகளாகவும் M அலகுமட்டுடைய அணியாகவும் இருந்தால் Mx = b என்ற சமன்பாட்டிற்கு ஒரு முழுஎண் தீர்வு இருக்கும். n வரிசையுள்ள அலகுமட்டுடைய அணிகள் ஒரு குலமாகும். இக்குலத்தின் குறியீடு .

எடுத்துக்காட்டுகள்
கீழுள்ள அணிகள் அலகுமட்டுடைய அணிகளாக இருக்கும்:
 முற்றொருமை அணி 
 வரிசைமாற்ற அணி
 பாஸ்கல் அணி
 தொடக்கநிலை பித்தகோரசு மும்மைகளின் வரிமரம்

குலம்
கீழுள்ள முடிவுகளால் அலகுமட்டுடைய அணிகளின் கணமானது அணிப்பெருக்கலின் கீழ் ’பொது நேரியல் குலத்தின்’ உட்குலமாக அமையும்:
இரு அலகுமட்டுடைய குலங்களின் பெருக்குத்தொகையும் ஒரு அலகுமட்டுடைய அணியாக இருக்கும்.
 முற்றொருமை அணி ஒரு அலகுமட்டுடைய அணியாக அமைவதால் உட்குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பாக இருக்கும்.
 ஒவ்வொரு அலகுமட்டுடைய அணியும் நேர்மாற்றத்தக்க அணியாகும்.

  (p , q இரண்டும் முறையே A , B இன் அளவுகள்) என்பதால் குரோனெக்கரின் பெருக்கத்தின்கீழ் இரு அலகுமட்டுடைய அணிகளின் பெருக்கற்பலனும் ஒரு அலகுமட்டுடைய அணியாக இருக்கும்.

முழுமையான அலகுமட்டுடைய அணி
முழுமையான அலகுமட்டுடைய அணி (totally unimodular matrix) 
என்பது, அதன் ஒவ்வொரு சதுர நேர்மாற்றத்தக்க அணியும் அலகுமட்டுடைய அணியாகக் கொண்ட  அணியாகும். ஒரு முழுமையான அலகுமட்டுடைய அணியானது சதுர அணியாக இருக்க வேண்டுமென்பதில்லை. முழுமையான அலகுமட்டுடைய அணியின் வரையறையிலிருந்து அதன் உறுப்புகள்  0, +1 அல்லது −1 ஆக மட்டுமே இருக்க முடியும் என்று அறியலாம். ஆனால் இதன் மறுதலை உண்மையில்லை;   0, +1 அல்லது −1 ஐ மட்டுமே உறுப்புகளாகக் கொண்ட அணிகள் எல்லாம் அலகுமட்டுடைய அணிகளாக இருக்க வேண்டுமென்றில்லை.

எடுத்துக்காட்டுகள்
 ஒரு முழுமையான அலகுமட்டுடைய அணியாகும்.

 இது ஒரு முழுமையான அலகுமட்டுடைய அணி இல்லை. ஏனென்றால் இதன் ஒரு உள்ளணி, அணிக்கோவை மதிப்பு  −2 ஆகக்கொண்டு அலகுமட்டுடைய அணியாக இல்லாமல் உள்ளது.

குறிப்புகள்

மேற்கோள்கள்

 Alexander Schrijver (1998), Theory of Linear and Integer Programming. John Wiley & Sons,  (mathematical)

வெளியிணைப்புகள்
 Mathematical Programming Glossary by Harvey J. Greenberg
 Unimodular Matrix from MathWorld
 Software for testing total unimodularity by M. Walter and K. Truemper 

அணிகள்