கணித அட்டவணை

கணிப்பான்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டு அதன் பயன்பாடு வெகுவாகப் பரவிய காலத்திற்கு முன்பாக, கணித்தலை எளிதாகவும் வேகமாகவும் செய்வதற்கு வெவ்வேறு மதிப்புகளின் கணிக்கிடப்பட்ட முடிவுகள் அடங்கிய கணித அட்டவணைகள் (mathematical tables) பயன்படுத்தப்பட்டன. பொதுவாக கணித, அறிவியல் பாடபுத்தகங்கள் மடக்கை அட்டவணைகளையும் முக்கோணவியல் சார்புகளின் மதிப்புகள் கொண்ட அட்டவணைகளையும் கொண்டிருந்தன. வானியல், வான்வழி செலுத்தல், புள்ளியியல் போன்ற பயன்பாடுகளுக்குச் சிறப்பு அட்டவணைகள் வெளியிடப்பட்டன.

எளியதொரு எடுத்துக்காட்டு
பெர்னெகரின் அட்டவணை (1619) போன்ற முக்கோணவியல் சார்புகளின் மதிப்புகளின் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி, 75 பாகைகள், 9 கலைகள், 50 விகலைகள் என்ற கோணவளவிற்கான சைன் சார்பின் மதிப்பைக் காண்பதற்கு இக்கோணவளவானது 75 பாகைகள், 10 கலைகள் எனத் தோராயப்படுத்தப்பட்டு அட்டவணையில் 75 பாகைக்கான பக்கத்தில் 10 கலைகளுக்குரிய மதிப்பு 0.9666746 எனக் கண்டுபிடிகப்படுகிறது.

இம்மதிப்பு நான்கு தசம இலக்கங்களுக்கு மட்டுமே துல்லியமானது. இதற்கும் மேலான துல்லிய மதிப்பு வேண்டுமெனில் நேரியல் இடைக்கணிப்பு செய்து காணலாம்:

பெர்னெகரின் அட்டவணைப்படி:
sin (75° 10′) = 0.9666746
sin (75° 9′) = 0.9666001

இவ்விரு மதிப்புகளின் வித்தியாசம் 0.0000745.

ஒரு கலையில் 60 விகலைகள் உள்ளதால் இவ்வித்தியாசத்தை 50/60 ஆல் பெருக்கிக் காணப்படும் திருத்தமானது சேர்க்கப்படுகிறது:
(50/60)*0.0000745 ≈ 0.0000621; 
sin (75° 9′ 50″) ≈ sin (75° 9′) + 0.0000621 = 0.9666001 + 0.0000621 = 0.9666622

நவீன கணிப்பானின் கணித்தலின்படி, sin (75° 9′ 50″) = 0.96666219991. எனவே இடைக்கணிப்பில் பெறப்பட்ட மதிப்பு ஏழு தசம இலக்கங்களுக்கு நுட்பமானதாகும்.

இதற்கும் மேற்பட்ட துல்லியமான மதிப்புகள் தேவைப்பட்டால் அட்டவணை மதிப்பை உயர்வரிசை இடைக்கணிப்புச் செய்து பெறமுடியும். கணிப்பான்கள் மற்றும் கணினிகளின் காலத்திற்கு முன்பாக வழிச்செலுத்தல், வானியல் மற்றும் அளவியல் போன்ற துறைகளின் பயன்பாட்டிற்கு இடைக்கணிப்பு முறையில் அட்டவணை தரும் மதிப்புகள் துல்லியப்படுத்தப்பட்டன. கடல் மட்டத்தில் பூமியின் நில நடுக்கோட்டின்மீது ஒரு கலை அளவு என்பது தோராயமாக ஒரு கடல் மைலுக்குச் () சமமாக இருக்கும் என்பதைக் கொண்டு மேற்கூறியவாறு துல்லியமாக்கல் எவ்வளவு முக்கியமானது என்பதை அறியலாம்.

வரலாறும் பயன்பாடும்
முக்கோணவியல் சார்புகளின் அட்டவணைகள் முதன்முறையாக ஹிப்பார்க்கஸ் (c.190  – c.120 BCE) மற்றும் அலெக்சாண்டிரியாவின் மெனலாசால் (c.70–140 CE) உருவாக்கப்பட்டதாக அறியப்படுகிறது. ஆனால் அவை அழிந்துவிட்டன. இந்த அட்டவணைகளும் தொலெமியின் அட்டவணையும் (c. 90 – c.168 CE) நாண்களின் (சைன் (முக்கோணவியல்) சார்பின்) அட்டவணைகள். இந்தியக் கணிதவியலாளர் ஆரியபட்டரின் சைன் அட்டவணையே முதலாவதாக உருவான சைன் அட்டவணையாகும்.

பண்டைய இந்தியாவில் ஆரியபட்டரின் சைன் அட்டவணையே தரமான அட்டவணையாக விளங்கியது. இந்த அட்டவணையை மேலும் துல்லியப்படுத்தும் தொடர்முயற்சிகளின் விளைவாக இந்தியக் கணிதவியலாளரான சங்கமகிராமத்தின் மாதவரால் (c.1350 – c.1425), சைன் மர்றும் கொசைன் சார்புகளின் அடுக்குத் தொடர் விரிவுகளும் ஏழு அல்லது எட்டு தசம இலக்கங்களுக்குத் துல்லியமான மதிப்புகளைக் கொண்ட சைன் அட்டவணையும் கண்டறியப்பட்டன.

கணினி மற்றும் கணிப்பான்களின் கண்டுபிடிப்புக்கும்வரை பெருக்கல், வகுத்தல், அடுக்கேற்றம், n ஆம் படிமூலம் காணல் போன்ற கணிதச் செயல்களை விரைவாகச் செய்வதற்கு பொது மடக்கைகளின் அட்டவணைகள் பயன்படுத்தப்பட்டன.

மனிதர்களால் அமைக்கப்படும் மடக்கை அட்டவணைகளில் நேரும் பிழைகளின் காரணமாக, 19 ஆம் நூற்றாண்டில் மிகப்பெரிய மடக்கை அட்டவணைகளை உருவாக்குவதற்கு வித்தியாசப் பொறிகள் பயன்படுத்தும் வழக்கம் ஏற்பட்டது. இரண்டாம் உலகப் போர்க்காலத்தில் பீரங்கிப்படைக்குப் பயன்படக்கூடிய சிறப்பு கணித அட்டவணைகள் உருவாக்க, துவக்ககால எண்ணிம கணிப்பொறிகள் பயன்படுத்தப்பட்டன. 1972 இலிருந்து அறிவியல் கணிப்பான்களின் அறிமுகத்தால் மடக்கை அட்டவணையைப் பயன்படுத்துவது குறைந்து போனது. இவ்விதமான அட்டவணைகளை உருவாக்கும் இறுதி முயற்சிகளில் ஒன்றாக 1938 இல் 450 பேரை வேலைக்கமர்த்தி, உயர் கணிதச் சார்புகளின் மதிப்புகளின் அட்டவணையை உருவாக்கும் திட்டம் மேற்கொள்ளப்பட்டு, அத்திட்டம் இரண்டாம் உலகப் போர்வரை நீடித்தது.

சிறப்புச் சார்புகளின் அட்டவணைகள் இன்றளவும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இயல்நிலைப் பரவலின் குவிப் பரவல் சார்பின் மதிப்புகளின் அட்டவணை திட்ட இயல் அட்டவணை (standard normal table) என்ற பெயரில் பள்ளிகளிலும் பிற இடங்களிலும் பயன்பாட்டில் உள்ளன.

மடக்கை அட்டவணைகள்

கணினிகள் மற்றும் கணிப்பான்கள் கண்டுபிடிக்கப்படுவதற்கு முன்பு பொது மடக்கைகளின் அட்டவணைகள் பெரிதும் பயன்பட்டன. மடக்கைகளை பயன்படுத்தும்போது பெருக்கல் கணக்குகள் கூட்டல் கணக்குகளாகவும், வகுத்தல் கணக்குகள் கழித்தல் கணக்குகளாக மாறுவதால் கணக்குகள் எளிதாகின்றன. பொது மடக்கையின் மற்றுமொரு தனித்த, பயனுள்ள பண்பு: எண் ஒன்றைவிடப் பெரிய அனைத்து எண்களின் பொது மடக்கைகளின் பதின்மானக்கூறு (mantissa) என அழைக்கப்படும் பின்னப்பகுதிகள் சமமாகும். பொது மடக்கை அட்டவணை  பதின்மானக் கூறுகளின் மதிப்புகளை மட்டுமே கொண்டிருக்கும்; பொது மடக்கையின் நேர்க்கூறு (characteristic) என அழைக்கப்படும் முழுஎண் பகுதியானது மூல எண்ணின் இலக்கங்களின் எண்ணிக்கையிலிருந்து பெறப்படும். எனவே அனைத்து நேர்ம தசம எண்களின் பொது மடக்கை காண்பதற்கு ஒரே அட்டவணை போதுமானது.

வரலாறு
1544 ஆம் ஆண்டு நியூரம்பெர்க்கில் ஜெர்மானியக் கணிதவியலாளர் மைக்கேல் ஸ்டீபெல் வெளியிட்ட அரித்மெட்டிக் இண்டெகிரா (Arithmetica integra) நூலில் இருந்த முழுஎண்கள் மற்றும் 2 இன் அடுக்குகள் அடங்கிய அட்டவணையே மடக்கை அட்டவணயின் துவக்க வடிவாகக் கருதப்படுகிறது.

1614 ஆம் ஆண்டு கணிதவியலாளர் ஜான் நேப்பியர் மடக்கையின் செயல்முறைகளைத் தனது நூலில் (Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio) வெளியிட்டார். அந்நூல், விளக்கங்கள் கொண்ட 57 பக்கங்களையும் இயல் மடக்கைக்கான அட்டவணைகள் கொண்ட 90 பக்கங்களையும் கொண்டிருந்தது. 1615 இல் ஆங்கிலக் கணிதவியலாளர் ஹென்றி பிரிக்சு, நேப்பியரை சந்திந்து நேப்பியர் மடக்கையைத் மாற்றியமைத்து பொது மடக்கையை உருவாக்கும் ஆலோசனையை முன்வைத்தார். மாற்றியமைக்கப்பட்ட அட்டவணையை (Logarithmorum Chilias Prima) இருவரும் 1617 இல் வெளியிட்டனர். அந்த நூலில் மடக்கை பற்றிய சுருக்கமும், முதல் 1000 முழுஎண்களின் 14 தசம இலக்கங்களுக்கு கணிக்கப்பட்ட மடக்கை மதிப்புகளும்  அடங்கியிருந்தன. மடக்கையைப் பயன்படுத்துவதால் கணித்தலை எளிதாகவும் விரைவாகவும் செய்ய முடிந்தது.

மேற்கோள்கள்

வெளியிணைப்புகள் 
 http://locomat.loria.fr : A census of mathematical and astronomical tables.

கணித அட்டவணைகள்
கணிதக் கருவிகள்
கணித வரலாறு