குறிசார் தொலைவு சார்பு

கணிதத்தில், குறிசார் தொலைவு சார்பு (signed distance function அல்லது oriented distance function) என்பது ஒரு மெட்ரிக் வெளியிலுள்ள ஒரு கணத்தில் (Ω), ஒரு புள்ளி x ஆனது அக்கணத்தில் அமைவதை பொருத்த குறியீடும், எல்லையிலிருந்து அப்புள்ளிக்கான தூரத்தையும் குறிக்கும் சார்பு ஆகும். கணத்திற்குள் அப்புள்ளி அமையுமானால் சார்பு மிகை மதிப்பையும், கணத்திற்கு வெளியே   அமையுமானால் சார்பு குறை  மதிப்பையும் பெறுகிறது. அப்புள்ளி கணத்தின் எல்லையை நோக்கி நகர்ந்து சார்பு மதிப்பு சுழியை பெறும்.

வரையறை 
ஒரு மெட்ரிக் வெளியிலுள்ள (x) உட்கணம் Ω மற்றும் மெட்ரிக் d,எனில்  குறியீட்டு தொலைவு சார்பு f,ஐ பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம்.

 
இங்கு  என்பது ,
 
இங்கு  inf என்பது சிறும மதிப்பைக் குறிக்கும்..

யூக்ளிடியன் வெளியில் குறியீட்டு தொலைவு சார்பு 
சிறப்பு கூறுவெளியை எல்லையாக கொண்ட யூக்ளிடியன் வெளி Rn ல் ஒரு உட்கணம் Ω எனில் குறியீட்டு தொலைவு சார்பானது பெருமளவில் வகையிடத்தக்கது, கிரெடியன்ட் ஆனது எக்னோல் சமன்பாட்டை நிறைவுச் செய்யும்.
 
Ω  ன் எல்லை Ck , k≥2 எனில் Ck ல் உள்ள ஒரு புள்ளி d, Ω ன் எல்லைக்கு அருகாமையில் அமையும். குறிப்பாக, எல்லையில் சார்பு  f ஆனது, 
 
இங்கு N  என்பது உள்நோக்கிய செங்குத்து வெக்டர் வெளி ஆகும்.  குறியீட்டு தொலைவு சார்பானது செங்குத்து வெக்டர் களத்தின் வகையீட்டு விரிவாக்கமாகும். In particular, the Hessian of the signed distance function on the boundary of Ω எல்லையாக கொண்ட ஹெசியன்  குறியீட்டு தொலைவு சார்பு வெங்கார்டன் மாற்றியைத் தருகிறது. 

மேலும் Γ  என்ற பகுதி எல்லை Ω வுடன் போதியளவு அருகாமையிலிருப்பின் சார்பு  ஆனது தொடர்ச்சியாக வகைப்படுத்த இயலும் எனில் வெங்கார்டன் மாற்றியைத் தருகிறது. அது குறியீட்டு தொலைவு சார்பு மற்றும் எல்லைக்கு  அருகாமையிலிருக்கும் புள்ளிக்கான மாற்று மாறியைக் கொண்டதாக அமைகிறது.

T(∂Ω,μ) என்பது is the set of points within distance μ தொலைவுக்குள் அமையும் புள்ளிகளின் தொகுப்பு மற்றும் Γ ல் எல்லை  Ω , g என்பது தொகையிடும் சார்பு எனில் 
 
இங்கு det என்பது அணிக்கோவை மதிப்பையும் dSu மேற்பரப்பு தொகையிடலையும் குறிக்கும்.

பயன்கள் 
Signed distance functions are applied, for example, in computer vision.

சிறு சிறு பகுதிகளின் தோராய தீர்வை பெறவும், GPU முடுக்கத்தின் மூலம் தடையற்ற பெரிய அளவில் எழுத்து அளவை பெறவும் உதவுகிறது.

குறிப்புகள்

மேற்கோள்கள் 
 
  (or the Appendix of the 1977 1st ed.)

பயன்பாட்டுக் கணிதம்
வேலூர் மாவட்ட ஆசிரியர்கள் தொடங்கிய கட்டுரைகள்