அடிப்படை ஆதாரம்

கணிதத்தில் ஒரு அடிப்படை ஆதாரம் (elementary proof) என்பது அடிப்படை நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தும் ஒரு கணித நிறுவல் ஆகும். மேலும் குறிப்பாக, சிக்கலான பகுப்பாய்வின் பயன்பாட்டைப் பயன்படுத்தாத சான்றுகளைக் குறிப்பிடுவதற்காக எண் கோட்பாட்டில் இந்த சொல் பயன்படுத்தப்படுகிறது. சில நேரங்களில், பகா எண் கோட்பாடு போன்ற சில கோட்பாடுகளை "உயர்" கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி மட்டுமே நிரூபிக்க முடியும். எனினும், காலப்போக்கில், இந்த முடிவுகள் பல அடிப்படையான நுட்பங்களை மட்டுமே பயன்படுத்தி நிருபிக்கப்பட்டுள்ளன.

இதன் பொருள் எப்போதுமே துல்லியமாக வரையறுக்கப்படவில்லை என்றாலும், இந்த சொல் பொதுவாக கணித வாசகங்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு அடிப்படை ஆதாரம் அவசியம் எளிதானது அல்ல, புரிந்து கொள்ள எளிதாக இருக்கும்: சில அடிப்படை ஆதாரங்கள் மிகவும் சிக்கலான முடியும்.

பகா எண் தேற்றம் 
பகா எண் தேற்றத்தின் அடிப்படையில் அடிப்படை மற்றும்  அடிப்படை அல்லாத சான்றுகளுக்கு இடையே வேறுபாடு இருப்பதாக முக்கியமாக கருதப்படுகிறது. இந்தக் தேற்றம் 1896 ஆம் ஆண்டில் முதன்முதலில் சாக் அதாமார்ட் மற்றும் சார்லசு சீன் டி லா வள்ளி-பௌசுசின் ஆகியோரால் சிக்கலான பகுப்பாய்வு மூலம் நிரூபிக்கப்பட்டது. பல கணிதவியலாளர்கள் பின்னர் தத்துவத்தின் அடிப்படை ஆதாரங்களைத் தயாரிக்க முயன்றனர். சி. எச். ஆர்டி வலுவான இட ஒதுக்கீட்டை வெளியிட்டார்: அவர் முடிவுகளின் அத்தியாவசிய "ஆழம்" அடிப்படை ஆதாரங்களை நிராகரித்தது என்று கருதினார்: 

இருப்பினும், 1948 ஆம் ஆண்டில், அட்லெல்பெர்க் புதிய முறைகளை உருவாக்கி, பகா எண் தேற்றத்தின் அடிப்படை ஆதாரங்களை கண்டுபிடித்தார்.

பல-தத்துவார்த்த விளைவின் ஆதாரத்துடன் தொடர்புடைய "அடிப்படை" என்ற கருத்தின் ஒரு சாத்தியமான முறையானது, பீனோ கணிதத்தில் சான்றுகள் மேற்கொள்ளப்படக்கூடிய கட்டுப்பாடு ஆகும். இந்த அர்த்தத்தில், இந்த  அடிப்படை ஆதாரமாகும்.

பிரீடுமேனின்  அனுமானங்கள் 
ஆர்வி பிரீடுமேன், "கணித ஆண்டுத்தொகுப்பேடுகளில் வெளியிட்ட ஒவ்வொரு கோட்பாடும், அதன் அறிக்கையானது மட்டுமே கணித பொருள்களை உள்ளடக்கியது. இதனை அடிப்படை எண்கணிதத்தில் நிரூபிக்க முடியும்" இந்த அனுமானத்தில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள அடிப்படை எண்கணிதத்தின் வடிவம் முழுமையான எண்கணித மற்றும் கணித தூண்டுதல் பற்றிய சிறிய தொகுதிகள் ஆகும். உதாரணமாக, இந்த அனுமானத்தின் படி, பெர்மாவின் கடைசித் தேற்றம் ஒரு அடிப்படை ஆதாரத்தைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்; பெர்மாவின் கடைசி கோட்பாட்டின் துல்லியமான ஆதாரம் அடிப்படை அல்ல. எனினும்,  இந்த கோட்பாட்டில் நிரூபிக்க முடியாத வகையில், அதிவேக விரிவான சார்புகள் இருப்பதைப் போன்ற எண்கணிதம் பற்றிய மற்ற எளிய அறிக்கைகள் உள்ளன.

மேற்கோள்கள் 

அடிப்படைக் கணிதம்
கணித நிறுவல்கள்