குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கம்

குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கம் (direct product of groups) என்பது குலக்கோட்பாட்டில் குலங்களுக்கிடையே நிகழும் ஒரு செயலி.  ,  எனும் இரு குலங்களுக்கிடையே இச்செயலியைப் பயன்படுத்தக் கிடைக்கும் முடிவு ஒரு புதுக் குலமாக () இருக்கும். கணங்களில் வரையறுக்கபட்டுள்ள கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் என்ற செயலிக்கு ஒத்தசெயலியாக இது குலங்களில் உள்ளது.

ஏபெல் குலங்களில் இப்பெருக்கம் சிலசமயங்களில் நேர்க் கூட்டல் () எனக் குறிப்பிடப்படுகிறது . ஏபெல் குலங்களை வகைப்படுத்துவதில் நேர்க் கூட்டல் முக்கியப் பங்குவகிக்கிறது. முடிவுறு ஏபெல் குலங்களின் வரையறைப்படி, ஒவ்வொரு முடிவுறு ஏபெல் குலத்தையும் இரு சுழற் குலங்களின் நேர் கூட்டலாகக் காணமுடியும்.

வரையறை 
தரப்பட்ட இரு குலங்கள் ,  எனில் அவற்றின் நேர்ப் பெருக்கம்  பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

 
 என வரையறுக்கப்படும் ஈருறுப்புச் செயலியைப் பொறுத்து  இல் குலங்களின் பண்புகள் நிறைவு செய்யப்படுவதால் அது ஒரு குலமாகிறது:

சேர்ப்பு விதி 
 இல் வரையறுக்கப்பட்ட இந்த ஈருறுப்புச் செயலி சேர்ப்புத்தன்மை உடையது

முற்றொருமை உறுப்பு 
இக்குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பு . இதில் ,  இன் முற்றொருமை உறுப்பு; ,   இன் முற்றொருமை உறுப்பு.

நேர்மாறு உறுப்புகள் 
 இன் உறுப்பு  இன் நேர்மாறு உறுப்பு:

,

இங்கு  இல்  இன் நேர்மாறு உறுப்பு ;  இல்  இன் நேர்மாறு உறுப்பு

எடுத்துக்காட்டுகள்
 மெய்யெண்களின் கூட்டல் குலம்  எனில் நேர்ப்பெருக்கம்:

இதன் உறுப்புகள்  திசையன்கள். திசையன் கூட்டலைப் பொறுத்து இது ஒரு குலமாகும்.

திசையன் கூட்டல்:

 .

 ,  என்பவை இரு உறுப்புகள் கொண்ட சுழற் குலங்கள்:

இவற்றின் நேர்ப் பெருக்கம் , கிளைன் நான்குறுப்பு குலத்துடன் சமஅமைவியமுடையது:

{| class="wikitable" style="text-align:center; width:250px; height:175px;"
|+ 
|-
!   *   !!  !!  !!  !! 
|-
! 
|  ||  ||  || 
|-
! 
|  ||  ||  || 
|-
! 
|  ||  ||  || 
|-
! 
|  ||  ||  || 
|}

அடிப்படைப் பண்புகள்
  குலத்தின் கிரமம்  மற்றும்  குலங்களின் கிரமங்களின் பெருக்கற்பலனாக இருக்கும்:
||  =  || ||.

  இன் ஒவ்வொரு உறுப்பு  இன் கிரமம் ,  இன் கிரமங்களின் மீச்சிறு பொது மடங்காகும்:
||  =  ( ||, || ).
குறிப்பாக ||, || இரண்டும் சார்பகா எண்கள் (relatively prime) எனில்  இன் கிரமம்,  மற்றும்  இன் கிரமங்களின் பெருக்கற்பலனாகும்.

  ,  இரண்டும் சார்பாகா எண்களைக் கிரமமாகக் கொண்ட சுழற் குலங்கள் எனில்  ம் ஒரு சுழற் குலமாக இருக்கும்.

 ,  இரண்டும் சார்பகா எண்களெனில்
.

பொதுமைப்படுத்தல்
இரண்டிற்கும் மேற்பட்ட குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கத்தைக் காணமுடியும்.

தரப்பட்ட குலங்கள்  எனில் அவற்றின் நேர்ப் பெருக்கம்

பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
  உறுப்புகள் ,   (ஒவ்வொரு  க்கும்) வடிவில் அமையும்.
  இல் வரையறுக்கப்படும் செயலி:   =  .

இரு குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கத்தின் பல பண்புகள் இதற்கும் பொருந்தும். முடிவுறா எண்ணிக்கையிலான குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கத்தையும் காணமுடியும்.

மேற்கோள்கள்
 
 .
 .
 .
 .

குலக்கோட்பாடு