ஒன்றின் படிமூலம்

ஒரு சிக்கலெண்ணை ஏதேனுமொரு முழு எண் அடுக்குக்கு உயர்த்தும் போது அதன் மதிப்பு  1 ஆக இருக்குமானால் அந்தச் சிக்கலெண்ணானது ஒன்றின் படிமூலம் (root of unity) என அழைக்கப்படுகிறது. சில சமயங்களில் இது டி மாவரின் எண் எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை
 ஒரு சிக்கலெண்;  ஒரு முழுஎண் என்க:

 என்ற சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும்  ஆனது ”ஒன்றின் ஆம் படிமூலம்” என வரையறுக்கப்படுகிறது.

தொடக்கநிலை மூலம்
 ஐ விடச் சிறிய எந்த முழுஎண் அடுக்கிற்கும்  இன் மதிப்பு எண் 1 இல்லையெனில்,  ஆனது ”ஒன்றின் தொடக்கநிலை ஆம் படிமூலம் எனப்படும். அதாவது  ஒன்றின் தொடக்கநிலை ஆம் படிமூலம் எனில்,

 
 ஆகிய இரு முடிவுகளும் நிறைவு செய்யப்பட வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு:
 என்பது உண்மை; ஆனால்,
 என்பதும் உண்மை என்பதால்  ஆனது ஒன்றின் தொடக்கநிலை எண்படி மூலம் அல்ல; ஒன்றின் தொடக்கநிலை நான்காம் படிமூலமாக இருக்கும்.

சில அடிப்படை முடிவுகள்
ஒன்றின் ஒவ்வொரு n ஆம் படிமூலமும் ஏதேனுமொரு மதிப்பு a ()க்கு ஒன்றின் தொடக்கநிலை aவதுபடி மூலமாக இருக்கும்.  

ஒன்றின் nஆம் படிமூலம் z;  எனில்  
விளக்கம்
சமானம், மாடுலோ n-வரையறைப்படி, 
 என்பதால்  (k ஒரு முழுஎண்) என எழுதலாம். இதனைப் பயன்படுத்த:

ஒன்றின் தொடக்கநிலை nஆம் படிமூலம் z எனில்:

z தொடக்கநிலை படிமூலம் இல்லையெனில்:
 என்பது மட்டுமே உண்மையாக இருக்கும்.

 (இணைச் சிக்கலெண்)

nஆம் படி பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டிற்கு வெவ்வேறான n தீர்வுகள் மட்டுமே இருக்க முடியும். எனவே  ஒன்றின் தொடக்கநிலை மூலம் z எனில் அதன் பின்வரும் அடுக்குகள், 

z , , … , ,  ஆகியவை ஒன்றின் nஆம் படிமூலங்களாக இருக்கும்.

ஒன்றின் n ஆம் படிமூலங்கள் காணும் வாய்ப்பாடு 
டி மாவரின் வாய்ப்பாட்டில்  எனப் பதிலிட ஒன்றின் தொடக்கநிலை n ஆம் படிமூலம் கிடைக்கிறது:

டி மாவரின் வாய்ப்பாடு
 (x மெய்யெண், n முழுஎண்)

இதில்  எனப் பதிலிட,
 எனக் கிடைக்கிறது.

எனவே  ஆனது ஒன்றின் n ஆம் படிமூலம் ஆகும்.

மேலும்  எனும்போது,
 எனவும் அமைவதால் மேலே தரப்பட்ட ஒன்றின் n ஆம் படிமூலமானது தொடக்கநிலை படிமூலம் என்பதையும் அறியலாம்.   

  

இந்த வாய்ப்பாடு,   மதிப்புகளுக்கு ஒன்றின் n ஆம் படிமூலங்கள் அனைத்தையும் தருகிறது. 

வாய்ப்பாட்டில் k இன் மதிப்புகளைப் பதிலிடக் கிடைக்கும் ஒன்றின்   n ஆம் படிமூலங்கள்: 
   ....

மேலேயுள்ள வாய்ப்பாட்டில் ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி ஒன்றின் படிமூலங்களைக் காணும் வாய்ப்பட்டைப் பின்வருமாறு பெறலாம். 

ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு
 (x இன் அனைத்து மெய்யெண் மதிப்புகளுக்கும்)
இதனை வாய்ப்பாடு  இல் பயன்படுத்தக் கிடைக்கும், ஒன்றின் n ஆம் படிமூலங்கள் காணும் வாய்ப்பாடு:

இவ் வாய்ப்பாட்டில்  சுருக்கவியலாப் பின்னமாக, அதாவது  ,  இரண்டும் சார்பகா எண்களாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இந்த மூலம் ஒன்றின் தொடக்கநிலை படிமூலமாக இருக்கும்.

இந்த வாய்ப்பாட்டின்படி ஒன்றின் n ஆம் படிமூலங்கள்:

முடிவுகள்
 எனக் கொண்டால் ஒன்றின் n ஆம் படிமூலங்கள்:

 

ஒன்றின் n ஆம் படிமூலங்களின் கூடுதல் 0
 
   ஐப் பொதுவிகிதமாகக் கொண்ட  பெருக்குத் தொடராக அமைகிறது (பெருக்குத்தொடரின் பொதுவிகிதம் ) 
சிக்கலெண் தளத்தில் ஒன்றின் n ஆம் படிமூலங்கள் அனைத்தும், அலகு வட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட n பக்கங்கள் கொண்ட ஒழுங்குப் பல்கோணத்தின் உச்சிகளாக அமைவதையும், ஒரு உச்சி 1 இல் அமைவதையும் அறியலாம்.

ஒன்றின் பிற படிமூலங்கள்
முதலாம் படிமூலம்
 சமன்பாட்டிற்குள்ள ஒரேயொரு தீர்வாக +1 உள்ளது. இது மட்டுமே ஒன்றின் தொடக்கநிலை முதலாம் படிமூலமாகும். (+1 ஆனது, ஒன்றின் இரண்டாம், மூன்றாம், நான்காம்படி,... தொடக்கநிலையற்ற படிமூலமாக அமையும்)

இரண்டாம் படிமூலங்கள் (வர்க்க மூலம்)
 சமன்பாட்டிற்கு +1 , −1 ஆகிய இரு தீர்வுகள் உள்ளன. இவற்றில், +1 ஒன்றின் தொடக்கநிலையற்ற இரண்டாம் படிமூலம்; −1 ஒன்றின் தொடக்கநிலை இரண்டாம் படிமூலம். 

±1 மட்டுமே ஒன்றின் மெய்யெண் படிமூலங்கள்; ஏனைய படிமூலங்கள் சிக்கலெண்களாகும்.

முப்படி மூலங்கள்

இச் சமன்பாட்டின் தீர்வுகள்: 

இம் மூன்றில் 1 தவிர்த்த மற்ற இரு மூலங்களும் தொடக்கநிலை மூன்றாம் படிமூலங்களாகும். ஒன்றின் முப்படி மூலங்கள் மூன்றும் சிக்கலெண் தளத்தில் அலகு வட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட சமபக்க முக்கோணத்தின் உச்சிகளாக அமைகின்றன (படத்தில் காண்க). 

நான்காம் படிமூலங்கள்

இச் சமன்பாட்டின் தீர்வுகள்:

இவற்றில்  இரண்டும் ஒன்றின் தொடக்கநிலை நான்காம் படிமூலங்கள். 

ஒன்றின் நான்காம் படிமூலங்கள் நான்கும் சிக்கலெண் தளத்தில் அலகு வட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட சதுரத்தின் உச்சிகளாக அமைகின்றன. 

தொடக்கநிலை ஐந்தாம் படிமூலங்கள்

தொடக்கநிலை ஆறாம் படிமூலங்கள்

இவை இரண்டும் தொடக்கநிலை மூன்றாம் படிமூலங்களின் எதிர் எண்களாக உள்ளன.

இதேபோல n இன் ஏனைய முழுஎண் மதிப்புகளுக்கு ஒன்றின் படிமூலங்களைக் காணலாம்.

மேற்கோள்கள்

வெளி இணைப்புகள்

சிக்கலெண்கள்
இயற்கணித எண்கள்