இயல் மடக்கை

ஒரு எண்ணின் மடக்கையின் அடிமானம் e ஆக இருக்கும்போது அந்த மடக்கை இயல் மடக்கை (natural logarithm) எனப்படுகிறது. இங்கு e ஆனது விகிதமுறா எண்ணாகவும் விஞ்சிய எண்ணாகவும் உள்ள கணித மாறிலியாகும். e இன்அதன் தோராய மதிப்பு 2.718.281828. எண் x இன் இயல் மடக்கை ln x அல்லது loge x என எழுதப்படுகிறது. சிலசமயங்களில் அடிமானம் e இல்லாமல் சுருக்கமாக log x எனவும் எழுதப்படுகிறது. மடக்கை காணும் எண்ணானது ஒரு தனிஎண்ணாக இல்லாதபோது, தெளிவாகக் காட்டுவதற்காக அடைப்புக்குறிகளைப் பயன்படுத்தி ln(x), loge(x), log(x) என்றும் எழுதப்படுவதும் வழக்கம்.

x க்குச் சமமான மதிப்பை அடைய e இன் அடுக்கை எந்த எண்ணுக்கு உயர்த்த வேண்டியிருக்குமோ அந்த எண்ணே x இன் இயல் மடக்கை ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

ln(7.5) = 2.0149... ஏனென்றால் e2.0149...=7.5. 
 ln(e) = 1 ஏனென்றால் e1 = e, 
 ln(1) = 0 ஏனென்றால் e0 = 1.

இயல் மடக்கையை குறிப்பிட்ட வளைவரையின்கீழ், குறிப்பிட்ட எல்லைக்குட்பட்ட பரப்பளவாகவும் கூறலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

a ஏதாவது ஒரு நேர் மெய்யெண் எனில், loge a இன் மதிப்பு, y = 1/x  என்ற வளைவரையின்கீழ், 1 முதல் a வரையிலான  பரப்பளவாகும்.

இயல் மடக்கையின் வரையறையை எதிர் எண்களுக்கும், சுழியற்ற சிக்கலெண்களுக்கும் நீட்டிக்கலாம். மெய்யெண் மாறியின் மெய்மதிப்புச் சார்பாக எடுத்துக்கொள்ளப்படும்போது, இயல் மடக்கைச் சார்பானது அடுக்கேற்றச் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பாக இருக்கும். இதிலிருந்து பெறப்படும் முற்றொருமைகள்:

பிற மடக்கைகளைப் போன்றே இயல் மடக்கையும் பெருக்கலைக் கூட்டலாக மாற்றுகிறது.

நேர்மெய்யெண் பெருக்கல் குலத்திலிருந்து, மெய்யெண் கூட்டல் குலத்திற்கு வரையறுக்கப்படும் சம அமைவியமாக (சம அமைவியம்) மடக்கைச் சார்பு அமையும் ().

அடிமானம் e க்கு மட்டுமில்லாமல் எண் 1 ஐத் தவிர பிற நேரெண் அடிமானங்களுக்கும் மடக்கையை வரையறுக்கலாம். அவ்வாறு பிற அடிமானங்களுக்கு வரையறுக்கப்படும் மடக்கைகள் இயல் மடக்கையிலிருந்து ஒரு மாறிலி மடங்கால் மட்டுமே வேறுபடும்.

எடுத்துக்காட்டு:

குறியீடுகள்
x இன் இயல் மடக்கையைக் குறிப்பதற்கு ,  ஆகிய இரு குறியீடுகளும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.  என அடிமானம் குறிக்கப்படாத குறியீடும் பொதுவாக இயல் மடக்கையையே குறிக்கும். எனினும் சிலசமயங்களில் அடிமானம் 10 க்குரிய x மடக்கையைக் குறிப்பதற்கும்  பயன்படுத்தப்படுகிறது.

வரையறை 

தொகையீடாக ln(a) பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

 என்ற மடக்கையின் பண்பை இது நிறைவு செய்கிறது:

ln(a) = 1 ஆக அமையும் தனித்த மெய்யெண் a ஆக கணித மாறிலி e ஐ வரையறுக்கலாம். மாறாக படிக்குறிச் சார்பு முதலில் வரையறுக்கப்பட்டால், இயல் மடக்கையை அடுக்கேற்றச் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பாக வரையறுக்கலாம் (exp(ln(x)) = x).

பண்புகள்

மேற்கோள்கள்

மடக்கைகள்