குலச் சமஅமைவியம்

நுண்புல இயற்கணிதத்தில் குலச் சமஅமைவியம் (group isomorphism) என்பது இரு குலங்களின் உறுப்புகளுக்கிடையில்  ஒன்றுக்கு-ஒன்று தொடர்பினை ஏற்படுத்தும் சார்பாகும். இரு குலங்களுக்கிடையே சமஅமைவியம் இருக்குமானால் அவையிரண்டும் சமஅமைவியமுடைய குலங்கள் எனப்படும். சமஅமைவியமுடைய குலங்களின் பண்புகள் ஒரேமாதிரியாக அமைந்திருக்கும்.

வரையறையும் குறியீடும்
(G, *) , (H, ) ஆகிய இரு குலங்களுக்கிடையே  குலச் சமஅமைவியமானது G லிருந்து H க்கு வரையறுக்கப்படும் இருவழிக் குலக் காப்பமைவியமாகும்.

வரையறை:
 
 .

குறியீடு:
(G, *) , (H, ) இரண்டும் சம அமைவியமுடைய குலங்கள் என்பதைக் குறிக்கும் குறியீடு:
 

இரு குலங்களின் ஈருறுப்புச் செயலிகளும் நன்கறியப்பட்டவையாக இருப்பின், அவையில்லாமல் இக்குறியீட்டைச் சுருக்கமாக எழுதலாம்:
 

சிலசமயங்களில் G = H எனவும் குறிக்கப்படலாம். ஆனால் இது எல்லா சூழ்நிலைகளிலும் சரியாக இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக இரு குலங்களும் ஒரே குலத்தின் உட்குலங்களாக இருந்தால் சமஅமைவியத்திற்கு சமக்குறிமட்டும் இடுதல் பொருந்தாது.

மறுதலையாக, குலம் (G, *); கணம் H; இருவழிக்கோப்பு  மூன்றும் தரப்பட்டால்,

 

என வரையறுப்பதன் மூலம் H கணத்தை  (H, ) எனும் குலமாக்கலாம்.

H = G ,  = * எனில் இச்சார்பு தன்னமைவியம் எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டுகள் 

 மெய்யெண்களின் கூட்டல் குலம் (,+),  நேர் மெய்யெண்களின் பெருக்கல் குலத்துடன் (+,×): சமஅமைவியமுடையது:
 
சமஅமைவியம்:
 

 மெய்யெண்களின் கூட்டல் குலம் (,+) இன் உட்குலம் முழு எண்களின் கூட்டல் குலம் (, +). காரணி குலம்  தனி மதிப்பு 1 கொண்ட சிக்கலெண்களின் பெருக்கல் குலத்துடன் (, ×) சமஅமைவியமுடையது:

 
சமஅமைவியம்:
 

 கிளைன் நான்குறுப்புக்குலம்,   இன் இரு நகல்களின் நேர்பெருக்கல் குலத்துடன் () சமஅமைவியமுடையது.
 (G, *) ஒரு முடிவுறா சுழற் குலம் எனில் முழு எண்களின் கூட்டல் குலத்துடன்  (G, *) சமஅமைவியம் கொண்டது.
 மெய்யெண்களின் கூட்டல் குலம் (, +) சிக்கலெண்களின் கூட்டல் குலத்துடன் (, +) சமாமைவியமுடையது.
 பூச்சியமற்ற சிக்கலெண்களின் பெருக்கல் குலம் (*, ·)  தனிமதிப்பு 1 உடையசிக்கலெண்களின் பெருக்கல் குலத்துடன் (, ×) சமஅமைவியமுடையது.

பண்புகள்
 (G, *) லிருந்து  (H, ) க்குள்ள சம அமைவியத்தின் உட்கரு (kernel) எப்பொழுதும் {eG} ஆக இருக்கும். இங்கு eG, (G, *) குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பு.
 (G, *) , (H,) உடன் சமஅமைவியம் உடையதாக இருக்கும்போது  G ஏபெல் குலமாக இருந்தால் H ம் ஏபெல் குலமாக இருக்கும்.
 (G, *) , (H, ) உடன் சமஅமைவியம் உடையதாக இருக்கும்போது (f), G இன் ஒரு உறுப்பு a இன் வரிசை n எனில், H இல் f(a) இன் வரிசையும்  n ஆக இருக்கும்.
(G, *) இடஞ்சார்ந்த முடிவுறு குலமெனில் (locally finite group) அதனுடன் சமஅமைவியம் கொண்ட  (H, ) ம் இடஞ்சார்ந்த முடிவுறு குலமாக இருக்கும்
 குலத்தின் பண்புகள் எப்பெழுதும் சம அமைவியத்தின் கீழ் பாதுகாக்கப்படுகின்றன என்பதை மேலே தரப்பட்டுள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் மூலம் அறியலாம்.

சுழற் குலங்கள் 
தரப்பட்ட கிரமமுள்ள அனைத்து சுழற் குலங்களும்  உடன் சமஅமைவியம் கொண்டவை.

நிறுவல்

G , n கிரம குலம் என்க. G ஐப் பின்வரும் பிறப்பிக்கப்பட்ட குலமாகக் கொள்ளலாம்.

.

 எனும் சார்பு கீழுள்ளவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
  :.

இச்சார்பு  இருவழிக்கோப்பாக உள்ளது.

 

எனவே,
.

விளைவுகள் 
 எனும் சமஅமைவியம், G இன் முற்றொருமை உறுப்புடன் H இன் முற்றொருமை உறுப்பை இணைக்கிறது: 
 ;

அதேபோல் G இல் உள்ள நேர்மாறு உறுப்பை  H இல் அதற்கொத்த நேர்மாறு உறுப்புடன் இணைக்கிறது:
 

பொதுவாக,
 

மேலும் f இன் நேர்மாறு  ம் ஒரு குல சம அமைவியம்.

"சமஅமைவியமானது" என்ற உறவு, ஒரு சமான உறவிற்கான அனைத்து அடிக்கோள்களையும் நிறைவுசெய்கிறது.

 என்பது சமஅமைவியம் எனில் G இல் உண்மையாக அமையும் கூற்றுகளில் குல அமைப்புத் தொடர்பானவற்றை மட்டுமே f மூலம்  H இல் அமையும் உண்மைக்கூற்றுகளாக மாற்றமுடியும் (அதேபோலத்தான் H லிருந்து G க்கும்).

தன்னமைவியம் 
குலம் (G,*) லிருந்து (G,*) க்கே அமையும் சமஅமைவியம், தன்னமைவியம் எனப்படும் இத்தன்னமைவியம் பின்வரும் இருவழிக்கோப்பாகும்:

 
.

தன்னமைவியமானது குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பை, முற்றொருமை உறுப்பாகவே மாற்றுகிறது; ஒரு இணையியப் பகுதியை அதே இணையியப் பகுதியாகவோ அல்லது வேறொரு இணையியப் பகுதியாகவோ மாற்றுகிறது; தன்னமைவியத்தின் கீழ் ஒரு உறுப்பின் கிரமமும் அதன் எதிருருவின் கிரமமும் சமமாக இருக்கும்.

இரு தன்னமைவியங்களின் சேர்ப்பும் மற்றொரு தன்னமைவியமாக இருக்கும். இச்செயலியின்கீழ் G குலத்தின் அனைத்து தன்னமைவியங்களின் கணம் ஒரு குலமாகும். இக்குலம் G இன் தன்னமைவியக் குலம் என அழைக்கப்படும். மேலும் அதன் குறியீடு: Aut(G).

மேற்கோள்கள் 
 Herstein, I. N., Topics in Algebra, Wiley; 2 edition (June 20, 1975), .

குலக்கோட்பாடு