ஒரு கணத்தின் பிரிவினை

கணிதத்தில் ஒரு கணத்தின் பிரிவினை (partition of a set) என்பது அக்கணத்தை ஒன்றுக்கொன்று மேற்படிதல் இல்லாத வெற்றில்லா சிறுசிறு உட்கணங்களாகப் பிரிப்பதாகும். இவ்வாறு பிரிக்கப்பட்ட உட்கணங்கள் அனைத்தையும் ஒன்று சேர்த்தால் மூலகணமானது கிடைக்கும். மேலும் அச் சிறு உட்கணங்கள் அனைத்தும் ஒன்றுக்கொன்று பொது உறுப்புகள் இல்லாதவையாகவும் இருக்கும்.

வரையறை 
X என்ற கணத்தின் பிரிவினை என்பது X இன் ஒவ்வொரு உறுப்பு x ம் ஒரேயொரு உட்கணத்தில் மட்டும் உள்ளவாறு பிரிக்கப்பட்ட X இன் வெற்றில்லா உட்கணங்களின் கணமாகும்.

பின்வரும் நிபந்தனைகளை நிறைவு செய்தால், செய்தால் மட்டுமே P என்ற கணம் X இன் பிரிவினையாக இருக்க முடியும்:
 P இன் உறுப்புகளில் எதுவும் வெற்றுக் கணம் இல்லை.
 P கணத்திலுள்ள உறுப்பு கணங்களின் ஒன்றிப்பு, X கணமாகும்.
 P கணத்திலுள்ள உறுப்பு கணங்களில் எந்த இரு கணங்களின் வெட்டும் வெற்றுக் கணம்.

கணிதக் குறியீட்டில் இந்நிபந்தனைகள்:
 
 
 

இங்கு  -வெற்றுக் கணம்.

P இன் உறுப்புகள் பிரிவினையின் தொகுதிகள், பகுதிகள் அல்லது சிற்றறைகள் என அழைக்கப்படுகின்றன. P இன் தரம் |X| − |P| (X முடிவுறு கணமாக இருந்தால்).

எடுத்துக்காட்டுகள் 
ஒவ்வொரு ஓருறுப்பு கணத்திற்கும் ஒரேயொரு பிரிவினைதான் உண்டு.  
 கணம் {x} இன் ஒரேயொரு பிரிவினை { {x} }.

வெற்றில்லா கணம் X இற்கு, P = {X} என்பது X இன் மிகஎளிய பிரிவினையாகும் (trivial partition).
U கணத்தின் ஒரு வெற்றற்ற தகு உட்கணம் A மற்றும் அதன் நிரப்பு கணம் இரண்டும் ({A, U−A}) U இன் பிரிவினையாக அமையும்.
{ 1, 2, 3 } கணத்திற்கு 5 பிரிவினைகள் உண்டு:
 { {1}, {2}, {3} }. இதனை 1|2|3 எனவும் எழுதலாம்.
 { {1, 2}, {3} }, அல்லது 12|3.
 { {1, 3}, {2} }, அல்லது 13|2.
 { {1}, {2, 3} }, அல்லது 1|23.
 { {1, 2, 3} }, அல்லது 123
பின்வருபவை  { 1, 2, 3 } கணத்தின் பிரிவினைகள் அல்ல:
 { {}, {1, 3}, {2} } (இதில் ஒரு உறுப்பு வெற்றுக் கணமாக இருப்பதால்)
 { {1, 2}, {2, 3} } ( 2, ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பகுதிகளில் உள்ளதால்)
 { {1}, {2} } (எந்தவொரு பகுதியிலும் 3 இல்லாததால்).

பிரிவினையும் சமான உறவும் 
கணம் X இல் வரையறுக்கப்பட்ட சமான உறவைப் பொறுத்த சமானப் பகுதிகளின் கணம் X பிரிவினையாக அமையும். மறுதலையாக P of X இன் ஒரு பிரிவு P லிருந்து X இல் ஒரு சமான உறவை வரையறுக்கலாம்: 
x , y ஆகிய இரண்டு உறுப்புகள்  P இன் ஒரே பகுதியில் அமைந்தால் . எனவே சமான உறவு மற்றும் பிரிவினை என்ற இரண்டு கருத்துக்களும் சமானமானவை.

குறிப்புகள்

மேற்கோள்கள்

கணக் கோட்பாடு
சேர்வியல்