சமானப் பகுதி

கணிதத்தில் ஒரு கணமும் அக்கணத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு சமான உறவும் தரப்பட்டால், அக்கணத்தின் ஏதேனும் ஒரு உறுப்பு a இன் சமானப் பகுதி (Equivalence class)என்பது அக்கணத்தில் a -க்குச் சமானமான  உறுப்புகள் அனைத்தையும் கொண்ட உட்கணமாகும்.

குறியீடும் வரையறையும்

ஒரு கணம் X இன் மீது வரையறுக்கப்பட்ட சமான உறவு ~ எனில் அக்கணத்தின் ஏதேனுமொரு உறுப்பு a இன் சமானப் பகுதி  எனக் குறிக்கப்படுகிறது. a உடன் இச்சமான உறவால் இணைப்புடைய X கணத்தின் உறுப்புகள் அடங்கிய கணம் a இன் சமானப் பகுதியென வரையறுக்கப்படுகிறது. இது X இன் உட்கணமாக இருக்கும்.

a இன் சமானப் பகுதி:

a இன் சமானப் பகுதி  எனவும் குறிக்கப்படுகிறது. இங்கு R என்பது சமான உறவு. இது a இன் R-சமானப்பகுதி.

~ சமான உறவைப் பொறுத்து, கணம் X இன் அனைத்து சமானப் பகுதிகளையும் அடக்கிய கணமானது, X இன் காரணி கணம் அல்லது ஈவு கணம் (quotient set) என அழைக்கப்படுகிறது. இதன் குறியீடு:

.

கணத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் அதன் சமானப் பகுதியுடன் இணைக்கும் நியமன வீழல் கோப்பு (canonical projection map) ஒன்று ஒவ்வொரு சமான உறவுக்கும் உண்டு. அக்கோப்பு (π) X இலிருந்து X/~ -க்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு முழுக்கோப்பாகும்:

எடுத்துக்காட்டுகள்
 கார்களின் கணத்தில் சமான உறவாக (~) ஒரே நிறத்திலுள்ள கார்கள்  எனக் கொண்டால், ஒவ்வொரு சமானப் பகுதியும் பச்சை, ஊதா, சிவப்பு, மஞ்சள்... என ஒரே நிறத்தில் அமைந்த கார்களைக் கொண்ட கணமாக இருக்கும். மொத்த சமானப் பகுதிகளின் எண்ணிக்கை மூல கணத்திலுள்ள கார்களின் மொத்த நிறங்களின் எண்ணிக்கையாகும்.
 Z''' -முழு எண்கள் கணத்தில் மாடுலோ 2 எனும் சமான உறவின் சமானப் பகுதிகள் இரட்டை முழுஎண்களின் கணமும், ஒற்றை முழுஎண்களின் கணமும் ஆகும்.
 X என்பது இரண்டாவது எண்ணைப் பூச்சியமற்றதாகக் கொண்ட முழு எண்கள் வரிசைச் சோடிகளின் கணம்; இக்கணத்தில் சமான உறவு ~ பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

 என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே,

இப்பொழுது வரிசைச் சோடி (a,b) இன் சமானப் பகுதி விகிதமுறு எண் . இந்த சமான உறவையும் சமானப் பகுதியையும் கொண்டு விகிதமுறு எண்களின் கணத்தை வரையறுக்கலாம்.

பண்புகள்X கணத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பு x -ம் அதன் சமானப்பகுதி [x] இன் ஒரு உறுப்பாகும். X கணத்தின் எந்த இரு சமானப் பகுதிகளும் ஒன்று சமமாக இருக்கும் அல்லது சேர்ப்பில்லாக் கணங்களாக இருக்கும்.  X கணத்தின் அனைத்து சமானப் பகுதிகளும் சேர்ந்து X இன் பிரிவினையாக அமையும்:X இன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் ஒரேயொரு சமானப் பகுதியில் மட்டுமே இருக்கும். மறுதலையாக X இன் ஒவ்வொரு பிரிவும் ஒரு சமான உறவின் மூலம் கிடைக்கிறது. எனவே:x , y எனும் இரு உறுப்புகள் கணத்தின் ஒரே பிரிவைச் சேர்ந்ததாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே x ~ y ஆக இருக்க முடியும். அதாவது:

 x ~ y ⇔ [x] = [y].

கணம் X இன் மீது வரையறுக்கப்பட்ட சமான உறவு ~ , x , y'' கணத்தின் இரு உறுப்புகள் எனில் பின்வரும் மூன்று கூற்றுகளும் சமானமானவை:

 
 
 .

மேற்கோள்கள்
 Weisstein, Eric W. "Equivalence Class." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

நுண்புல இயற்கணிதம்
கணக் கோட்பாடு