வடிவவியலில் ஆய்லரின் தேற்றம்

வடிவவியலில் ஆய்லரின் தேற்றம் (Euler's theorem in geometry), ஒரு முக்கோணத்தின் உள்வட்ட மையத்திற்கும் சுற்றுவட்ட மையத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரத்தின் மதிப்பினைப் பின்வருமாறு தருகிறது:

 (அல்லது)

இதில் R - சுற்றுவட்ட ஆரம்,  r - உள்வட்ட ஆரம்.

1765 இல் இதனை வெளியிட்ட கணிதவியலாளர்  லியோனார்டு ஆய்லரின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. 1746 இல் வில்லியம் சாப்பல் என்பவராலும் இத்தேற்றத்தின் முடிவு வெளியிடப்பட்டதாகும்.

இத்தேற்றத்தின் கூற்றிலிருந்து கிடைக்கும் சமனின்மை
 ஆய்லரின் சமனின்மை என அழைக்கப்படுகிறது.. இதிலுள்ள சமக்குறி சமபக்க முக்கோணத்திற்கு மட்டுமே பொருந்தும்.

இரு மைய நாற்கரத்தின் கார்லிட்ஸின் முற்றொருமை, இத்தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும்.

ஆய்லர் சமனின்மையின் வலுவான வடிவம்
ஆய்லர் சமனின்மையின் வலுவான வடிவம்:

, ,  ஆகிய மூன்றும் முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்களைக் குறிக்கின்றன.

நிறுவல்

முக்கோணம் ABC  -ன் சுற்றுவட்ட மையம் O , உள்வட்ட மையம் I   என்க.  
கோட்டுத்துண்டு AI  -ன் நீட்டிப்பு சுற்றுவட்டத்தைப் புள்ளி  L -ல் சந்தித்தால்,  வட்டவில் BC -ன் நடுப்புள்ளியாக L இருக்கும்.  
கோட்டுத்துண்டு LO வரைந்து நீட்டிக்க, அது சுற்றுவட்டத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளி  M என்க.  
I -லிருந்து AB -க்கு வரையப்பட்ட செங்குத்தின் அடி, புள்ளி D  என்க. 
.

 (வடிவொத்த முக்கோணங்கள்)

----------------(1)

 வரைக.

 -ல்:
  --------(முக்கோணம் ABI -ன் ஒரு வெளிக்கோணம் BIL. மேலும் ஒரு முக்கோணத்தின் இரு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை, மூன்றாவது வெளிக்கோணத்திற்குச் சமம்.)

 

(கோணங்கள் CBL, A/2 இரண்டும் சுற்றுவட்ட வில் LC -ஆனது மீதியுள்ள வட்டவில்லின் மீது அமையும் B மற்றும் A புள்ளிகளில் தாங்கும் கோணங்களாக அமைவதால் இரண்டும் சமம்.)

எனவே முக்கோணம் BIL ஒரு இருசமபக்க முக்கோணம்.

,

இம்மதிப்பை (1)-ல் பிரதியிட:

--------(2)

 -ஐ நீட்டிக்க அது சுற்றுவட்டத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளிகள் P , Q என்க.

  ----(ஒரு வட்டத்தின் இரு வெட்டிக்கொள்ளும் நாண்கள்  ஒவ்வொன்றின் வெட்டுத்துண்டுகளின் பெருக்கற்பலன்கள் சமம்)

-----( (1)-ன் படி)

 --------(d -சுற்றுவட்ட மையத்திற்கும் உள்வட்ட மையத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரம்.)

. ---------(தேற்ற முடிவு நிறுவப்படுகிறது.)

மேற்கோள்கள்

வெளி இணைப்புகள்
 Euler's theorem on MathWorld

நிறுவலடங்கிய கணிதத்தேற்றங்கள்
முக்கோண வடிவவியல்