ஈருறுப்பு உறவு

கணிதத்தில் ஒரு கணத்தின் மீதான ஈருறுப்பு உறவு (binary relation) என்பது அக்கணத்தின் உறுப்புகளாலான  வரிசைச் சோடிகளின் தொகுப்பு ஆகும்.

அதாவது A கணத்த்தின் மீது வரையறுக்க்கப்படும் ஈருறுப்பு உறவானது,  A கணத்தின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலனின் (A2 = ) உட்கணமாக  இருக்கும்.

A , B எனும் இரு கணங்களுக்கு இடையேயான ஈருறுப்பு உறவு  இன் உட்கணம்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:
முடிவுறு கணத்தில் வரையறுக்கப்படும் ஈருறுப்பு உறவு
A = {1, 2, 3, 4, 5} 
இக்கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்படும் விடப் பெரியது என்ற ஈருறுப்பு உறவு:

முடிவுறா கணத்தில் வரையறுக்கப்படும் ஈருறுப்பு உறவு
பகா எண்களின் கணம் P, முழு எண்களின் கணம் Z  இரண்டுக்கும் இடையே வரையறுக்கப்படும் வகுஎண் என்ற உறவு ஈருறுப்பு உறவாகும். ஒவ்வொரு பகா எண் p ம் அதன் மடங்காக அமையும் ஒவ்வொரு முழுஎண்ணுடன் "வகுஎண்" என்ற உறவின் கீழ் தொடர்பு கொண்டுள்ளது.  p இன் மடங்காக அமையாத முழுஎண்களுடன் p தொடர்பு கொண்டிருக்காது. பகாஎண் 2 ஆனது ...−4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10.... போன்ற இரண்டின் மடங்குகளோடு (இரட்டை முழுஎண்கள்) தொடர்புடையது, ஆனால் 1 , 3, 9 போன்ற இரண்டின் மடங்கற்ற (ஒற்றை எண்கள்) முழுஎண்களுடன் தொடர்பு கொண்டிருக்காது

கணிதத்தில் "விடப் பெரியது, விடச் சிறியது", "சமன்"; எண்கணிதத்தில் "வகுக்கும்"; வடிவவியலில் "சர்வசமம்"; கோட்டுருவவியலில் "அடுத்துள்ளது";நேரியல் இயற்கணிதத்தில் "செங்குத்தானது"  போன்ற கருத்துருக்களுக்கு ஈருறுப்பு உறவு பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஈருறுப்பு உறவின் சிறப்புவகைக் கருத்துருவாக சார்பு வரையறுக்கப்படுகிறது. கணினியியலிலும் ஈருறுப்பு உறவு மேலதிகப் பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது.

வரையறை
(X, Y, G) என்ற மும்மையால் ஈருறுப்பு உறவு R குறிக்கப்படுகிறது. இதில், X , Y எவையேனும் இரு கணங்கள். இவ்விரு கணங்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் X × Y இன் உட்கணம் G . 
X , Y இரண்டும் முறையே ஈருறுப்பு உறவின் ஆட்களம், இணையாட்களம் என்றும்,  G - உறவின் வரைபடம் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன.

(x,y) ∈ G எனில் x , R-இன் கீழ் y உடன் உறவு கொண்டிருக்கும். 
இதன் குறியீடு: 
xRy (அல்லது) R(x,y) 
R(x,y) என்ற குறியீட்டின் காரணமாக, X × Y இன் மீதான சுட்டுச் சார்பாக R எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது.

G இல் உள்ள ஒவ்வொரு சோடிக்கும் வரிசை முக்கியமானது. a ≠ b எனில் aRb , bRa இரண்டும் ஒன்றையொன்று சாராமல் உண்மையாகவோ அல்லது உண்மையில்லாமலோ இருக்கும். முழுஎண்கள் கணத்தில் வகுஎண் என்ற ஈருறுப்பு உறவை எடுத்துக்கொண்டால், 3, 9 ஐ வகுக்கும், 3R9 என்பது உண்மை. ஆனால் 9, 3 ஐ வகுக்காது என்பதால்  9R3 என்பது உண்மை இல்லை.

(X, Y, G) என்ற மும்மையால் வரையறுக்கப்படும் உறவு சிலசமயங்களில் தொடர்பு எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரே வரைபடம் கொண்ட இரு உறவுகளின் ஆட்களங்களோ அல்லது இணையாட்களங்களோ வெவ்வேறாக இருந்தால் அவ்வுறவுகளும் வெவ்வேறானவை.
எடுத்துக்காட்டாக,  எனில், 
, 
, 
 மூன்றும் வெவ்வேறு உறவுகள் ( முழு எண்கள் கணம்,  மெய்யெண்கள் கணம்,  இயல் எண்கள் கணம்).

கணக் கோட்பாட்டில்
கணக் கோட்பாட்டில், ஈருறுப்பு உறவுகள் வரிசைச் சோடிகளாக வரையறுக்கப்படுகின்றன.
ஆட்களம்:

வீச்சு:

ஈருறுப்பு உறவு:

பொதுவான ஈருறுப்பு உறவுகள்
வரிசை உறவுகள்
 விடப் பெரியது
 விடப் பெரியது அல்லது சமம்
 விடச் சிறியது
 விடச் சிறியது அல்லது சமம்
 வகுக்கும் 
 உட்கணம்
சமான உறவுகள்
 சமன்
 இணை
 இருவழிக்கோப்பு
 சமஅமைவியம்
சார் உறவு - ஒரு முடிவுறு, சமச்சீர், எதிர்வு உறவு
சாரா உறவு - ஒரு சமச்சீர், எதிர்வற்ற உறவு. சார், சாரா உறவுகள் ஒன்றுக்கொன்று நிரப்பிகள்.

ஈருறுப்பு உறவுகளின் எண்ணிக்கை
n-உறுப்புகள் கொண்ட கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்படக்கூடிய வெவ்வேறான ஈறுருப்பு உறவுகளின் எண்ணிக்கை 2n2 :

வகைகள்
X கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவு R இன் சில வகைகள்:

எதிர்வு: 

எடுத்துக்காட்டு: 
∀ x,  x ≥ x என்பது உண்மை என்பதால் 
"விடப்பெரியது அல்லது சமம்" (≥) என்பது எதிர்வு உறவு

எதிர்வற்றது 

 எந்தவொரு எண்ணும் அதே எண்ணை விடப் பெரியதாக இருக்க முடியாது என்பதால் "விடப் பெரியது" என்பது எதிர்வற்ற உறவு.

சமச்சீர் 

எதிர்சமச்சீர் 

விடப்பெரியது அல்லது சமம் ( ≥ ) ஒரு எதிர்சமச்சீர் உறவு.

சமச்சீரற்றது 

ஒரு உறவு, எதிர்சமச்சீரானதாகவும், எதிர்வற்றதாகவும் ‘இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அது சமச்சீரற்றதாக இருக்க முடியும்.

கடப்பு 

ஒரு கடப்பு உறவு சமச்சீரற்றதாக ‘இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அது எதிர்வற்றதாகும்.

முழுமை 

முப்பிரிவு 

அதாவது, xRy, yRx , x = y ஆகிய மூன்றில் ஏதாவது ஒன்று மட்டுமே உண்மையாகும்.

ஈருறுப்பு உறவுகள் மீதான செயலிகள்
X , Y கணங்கள் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவுகள் R, S எனில் கீழே தரப்பட்டுள்ளவையும் X , Y மீதான ஈருறுப்பு உறவாக இருக்கும்:

 ஒன்றிப்பு
R ∪ S = { (x, y) | (x, y) ∈ R அல்லது (x, y) ∈ S } எனில்:
 R ∪ S  ⊆ X × Y
எடுத்துக்காட்டு:  > , = ஆகிய இரு ஈருறுப்பு உறவுகளின் ஒன்றிப்பு  ≥ .
 வெட்டு 
R ∩ S = { (x, y) | (x, y) ∈ R மற்றும் (x, y) ∈ S } எனில்:
 R ∩ S  ⊆ X × Y

 தொகுப்பு
X , Y கணங்களின் மீதான ஈருறுப்பு உறவு R; Y , Z கணங்களின் மீதான ஈருறுப்பு உறவு S எனில், இவ்விரு உறவுகளின் தொகுப்பு, X , Z கணங்களின் மீதான ஈருறுப்பு உறவாகும்.

 நேர்மாறு அல்லது மறுதலை 
R இன் நேர்மாறு: 
R −1 = { (y, x) | (x, y) ∈ R }.

எடுத்துக்காட்டு:
"விடச் சிறியது" (<) -இதன் நேர்மாறு "விடப் பெரியது" (>).

X கணத்தின் மீதான ஈருறுப்பு உறவு  R எனில் கீழ்வரும் ஒவ்வொன்றும் ஈருறுப்பு உறவாகும்:

 எதிர்வு அடைப்பு  - R =
 R = = { (x, x) | x ∈ X } ∪ R 
இது X மீது R ஐ உள்ளடக்கியவாறு வரையறுக்கப்பட்ட மிகச் சிறிய எதிர்வு உறவு.

 எதிர்வு ஒடுக்கம் - R ≠
R ≠ = R \ { (x, x) | x ∈ X } 
இது X மீது R ஐ உள்ளடக்கியவாறு வரையறுக்கப்பட்ட மிகப் பெரிய எதிர்வற்ற உறவு.

 கடப்பு அடைப்பு - R +
கடப்பு அடைப்பு உறவானது, X மீது R ஐ உள்ளடக்கியவாறு வரையறுக்கப்பட்ட மிகச் சிறிய கடப்பு உறவு. இது X மீது R ஐ உள்ளடக்கியவாறு வரையறுக்கப்பட்ட கடப்பு உறவுகளின் வெட்டாக இது அமையும்.

நிரப்பி
X , Y மீதான ஈருறுப்பு உறவு R எனில்:

R இன் நிரப்பி உறவு S ம் ஒரு ஈருறுப்பு உறவு.

x S y என்பது உண்மையானால் x R y உண்மையாக இருக்காது.

எடுத்துக்காட்டு: 
மெய்யெண்களில்,  > இன் நிரப்பி ≤.

ஒரு ஈருறுப்பு உறவின் நேர்மாறின் நிரப்பி, அந்த ஈருறுப்பு உறவின் நிரப்பியின் நேர்மாறாக இருக்கும்.

X = Y எனில் நிரப்பி உறவு பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும்:
சமச்சீர் உறவின் நிரப்பியும் சமச்சீரானது.
எதிர்வு உறவின் நிரப்பி எதிர்வற்றதாகவும், எதிர்வற்ற உறவின் நிரப்பி எதிர்வு உறவாகவும் இருக்கும்.

நேர்மாறின் நிரப்பியும் இதே பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும்.

ஒடுக்கம்
X கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு ஈருறுப்பு உறவு R இன் ஒடுக்கம் என்பது X ஐ ஆட்களமாகக் கொள்வதற்குப் பதில் அதன் ஏதேனுமொரு உட்கணத்தை (S)  ஆட்களமாகக்  எடுத்துக்கொண்டால், அந்த உறவு  R இன் ஒடுக்கம் எனப்படுகிறது.

எதிர்வு, எதிர்வற்ற, சமச்சீர், எதிர்சமச்சீர், சமச்சீரற்ற, கடப்பு, முழுமை, சமானம் ஆகிய ஈருறுப்புறவுகளின் ஒடுக்கங்களும் அதே தன்மையைக் கொண்டிருக்கும்.

குறிப்புகள்

மேற்சான்றுகள்
M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories: with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, .
Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, .

வெளியிணைப்புகள்
 

கணித உறவுகள்