இசுடர்லிங் உட்கண எண்

கணிதத்தில் இசுடர்லிங் எண் என்பது இரண்டு வகையாகப் புழங்குகிறது. அவைகளில் ஒரு n-கணத்தை k உட்கணங்களாகப் பிரிக்கக்கூடிய  வழிகளின் எண்ணிக்கை இர ண்டாவது வகை இசுடர்லிங் எண்  அல்லது இசுடர்லிங் உட்கண எண் (Stirling Subset Number) எனப் பெயர் பெறும். இதற்குக் குறியீடு  S(n,k) என்றோ அல்லது  
 என்றோ பயன்படுத்தப்படுகிறது. இதை  n-subset-k என்றோ n-உட்கணம்-k என்றோ உச்சரிக்கலாம். 
 
எடுத்துக்காட்டாக,  = 7

ஏனென்றால், {a,b,c,d} போன்ற ஒரு 4-கணத்தின் இரண்டு உட்கணங்கள் கொண்ட   பிரிவுகள்:

 {a,b}/{c,d};  {a,c}/{b,d}; {a,d}/{b,c};  {a}/{b,c,d}; {b}/{a,c,d};  {c}/{a,b,d};  {d}/{a,b,c}

இவ்வெண்களின் முதல் சில மதிப்புகளின் அட்டவணையை ஸ்டர்லிங் எண்கள் என்ற கட்டுரையில் பார்க்கவும்.

மீள்வரு தொடர்பு

n > 0 என்றால்,

n பொருட்களை உட்கணங்களாகப்பிரிக்கும்போது, ஏதாவதொரு குறிப்பிட்ட பொருளை ( என்று சொல்லலாமே) கவனித்தால் அது ஒற்றையாகவே ஓர் உட்கணமாக இருந்தாலும் இருக்கலாம்; அல்லது ஏதாவது மற்றோர் உட்கணத்தோடு அதில் ஒன்றாக இருந்தாலும் இருக்கலாம். முதல் பட்சத்தில், மற்ற n-1 பொருள்கள்  வழிகளில் உட்கணங்களாகப் பிரிகின்றன. இரண்டாவது பட்சத்தில் மற்ற n-1 பொருள்கள்  வழிகளில் உட்கணங்களாகப்பிரிவதால், அவை ஒவ்வொன்றின் k  உட்கணங்களில் ஏதாவதொன்றில்  சேர்ந்துகொள்ளலாம். இதனுடைய உருவாக்கம்தான் மீள்வரு தொடர்பு (Recurrence Relation).

இறங்குமுகக் காரணியத்துடன் உறவு

 n > 0 ஆக இருக்குமானால்,

(*): 

இதற்கு இரண்டுவிதமாக நிறுவல் அளிக்கலாம். உய்த்தறிதல் (Induction) முறை ஒரு முறை. இன்னொன்று சேர்வியல் முறை.

சேர்வியல் முறையில் நிறுவல்: x ஒரு  நேர்ம முழுஎண்  என்று கொள். |X| = x, |N| = n இருக்கும்படி இரண்டு கணங்கள் X, N இருப்பதாகக் கொள்.  N இலிருந்து   X க்குப்போகும் எல்லாக் கோப்புகளின் எண்ணிக்கை  . இதே எண்ணிக்கையை இப்பொழுது வேறுவிதமாகக் கணிப்போம்.

ஒரு குறிப்பிட்ட கோப்பைக் கவனி. இதனுடைய வீச்சில் (Range)அடங்கிய உறுப்புக்களின் எண்ணிக்கை k என்று கொள். இந்த குறிப்பிட்ட மதிப்புள்ள 'k'க்கு,  வழிகளில்  N இன் உறுப்புக்களை X இலுள்ள ஓர் உறுப்புக்குக் கோப்பிடலாம் (may be mapped).இவ்வழிகளில் ஒவ்வொன்றும் N ஐ உட்கணங்களால் பிரிக்கும் ஒரு பிரிவினை. ஒவ்வொரு பிரிவினையிலும் உள்ள ஒவ்வொரு பிரிவுக்கும் (அ-து. உட்கணத்திற்கும்) X இல் ஒரு பிம்பம் (Image) -- வெவ்வேறு பிரிவுக்கு வெவ்வேறு பிம்பம்--குறிப்பிடப்பட வேண்டும். இதற்குள்ள  வழிகள்:
  x(x - 1)(x - 2)    ...   (x - k +1). இப்படிச் செய்துவிட்டால் எல்லாக் கோப்புகளையும் கணக்கிட்டாய்விடும்.ஆக, k என்ற வீச்சையுடைய எல்லாக் கோப்புகளின் எண்ணிக்கை:
  

 ஒரு நேர்ம முழு எண்ணாக இருக்கும்போது (*)இன் உண்மைக்கு இது நிறுவலாகிறது. ஆனால் இதனாலேயே,   ஐ மாறியாகக் கொண்டால், (*) இன் இருபக்கங்களிலும் உள்ள பல்லுருப்புகள்   இன் முடிவிலா எண்ணிக்கையுள்ள   மதிப்புகளுக்கு உண்மையான சமன்பாடாகின்றன. இதன்பொருள் (*) ஒரு முற்றொருமைச் சமன்பாடு.

ஏறுமுகக் காரணியத்துடன் உறவு

 (**)  n > 0  ஆக இருக்குமானால்

இறங்குமுகக்காரணியத்துடன் உறவு (*) இல் காட்டப்பட்டது. அதனில்   ஐ   ஆக மாற்றினால்  (**) கிடைத்துவிடும்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்
 ஸ்டர்லிங் சுழல் எண்

சேர்வியல்
குறிப்பிடத்தக்க எண் வகைகள்

pl:Liczby Stirlinga#Liczby Stirlinga II rodzaju