கூட்டுத்தொடரில் பகா எண்கள்

கணிதத்தில், எண் கோட்பாடு (Number Theory) என்ற பிரிவில், பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவிலாதது என்பது யூக்ளீட் காலத்திலிருந்தே தெரிந்த ஒரு கூற்று. ஆனால் அதைவிட இன்னும் அதிசயமான விஷயம் பல கூட்டுத்தொடர் (Arithmetic Progression) களிலும் முடிவிலாத எண்ணிக்கையில் பகா எண்கள் இருக்கும் என்பது தான்.

கேள்வி

கீழ்வரும் அட்டவணையில் ஒவ்வொரு வரிசையிலும் பத்து பத்தாக இயலெண்கள் வரிசையாகக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. பகா எண்கள் தடித்த அச்சில் காண்பிக்கப்பட்டுள்ளன.

1- -  2- -  3-  -4--  5 - -6--  7--  8-- 9--10

11-12-13-14-15-16-17-18-19-20

21-22-23-24-25-26-27-28-29-30

31-32-33-34-35-36-37-38-39-40

41-42-43-44-45-46-47-48-49-50

51-52-53-54-55-56-57-58-59-60

61-62-63-64-65-66-67-68-69-70

71-72-73-74-75-76-77-78-79-80

81-82-83-84-85-86-87-88-89-90

91-92-93-94-95-96-97-98-99-100

... - ... - ... - ... - ... - ... - ...- ... - ... - ...

இப்பொழுது ஒவ்வொரு நிரலாகப் பார்த்தால், ஒவ்வொரு நிரலும் 10 என்ற பொது வித்தியாசமுளமுள்ள ஒரு கூட்டுத்தொடர்.  இவைகளில் 1, 3, 7, 9 இலிருந்து தொடங்கும் கூட்டுத் தொடர்களில் ஒன்றுக்குமேல் பல பகா எண்கள் தென்படுகின்றன:

1-11-31-41-71-...

3-13-23-43-53-73-83- ...

7-17-37-47-67-97- ...

19-29-59-79-89-...

இந்நிரல்களைத் தொடர்ந்து கொண்டேபோனால் பகா எண்களும் வந்துகொண்டே இருக்குமா அல்லது சில நிரல்களில் பகா எண்கள் முடிந்துவிடுமா? இக்கேள்வியைக் கேட்பது எளிது. ஆனால் இருபது நூற்றாண்டுகளுக்கு முன் யூக்ளீட் நிறுவிய பகா எண்களின் முடிவிலாப் பண்பைப் பின்பற்றிய கேள்வி இது. ஆயினும் இருபது நூற்றாண்டுகளாக  இதற்கு விடை கிடைக்காமலே இருந்திருக்கிறது. கடைசியில்   இதற்கு விடை 1837 இல் கிடைத்தது.

டிரிச்லெ யின் தேற்றம்

 இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று பகா எண்களானால்,

என்ற கூட்டுத்தொடரில் முடிவிலாத எண்ணிக்கையில் பகா எண்கள் இருக்கும்.

 
டிரிச்லெ என்ற பிரான்ஸ் நாட்டுக் கணித இயலர் (1805-1859) 1837 இல் இந்த  நேர்த்தியான தேற்றத்தை நிறுவினார். இது அவருக்கு முன்னமேயே லெஜாண்டரால் (1752-1833) முன்மொழியப்பட்டு நிறுவலும் கோடுக்கப்பட்டது. ஆனால் லெஜாண்டரின் நிறுவலில் ஒரு தீர்க்கமுடியாத சறுக்கல் இருந்தது. வெகு கடினமான வேறோர்  முறையில் டிரிச்லெ நிறுவல்  கொடுத்தார். டிரிச்லெயின் தேற்றம் யூக்ளீடின் தேற்றத்தைப் பொதுப்படுத்தியதாகும்.

இன்னொரு எடுத்துக்காட்டு

எண் 10ஐ பொது வித்தியாசமாகவுள்ள கூட்டுத்தொடர்களை மேலே பார்த்தோம். எண் 12ஐ  பொது வித்தியாசமாகவுள்ள கூட்டுத்தொடர்களை கீழுள்ள அட்டவணையின் நிரல்களில் பார்க்கலாம். முன்போல் பகா எண்கள் தடித்த அச்சில் காட்டப்பட்டுள்ளன:

1----2----3----4----5----6----7----8-----9-----10---11----12

13--14–15--16--17--18--19--20---21-----22---23----24

25–26--27–28--29--30--31--32---33-----34---35----36

37--38–39--40--41--42--43--44---45-----46---47----48

49–50--51–52--53--54–55--56---57-----58---59----60

61--62–63--64–65--66--67--68---69-----70---71----72

73--74–75--76–77--78--79--80---81-----82---83----84

85–86--87–88--89--90–91--92----93-----94---95----96

97–98--99–100-101-102-103-104–105–106--107--108

109-110-111-112-113-114-115–116-117-118-119-120

இங்கு  முதலாவது, ஐந்தாவது, ஏழாவது, பதினொன்றாவது நிரல்களில் உள்ள கூட்டுத்தொடர்களில் பல பகா எண்கள் இருக்கின்றன. இக்கூட்டுத் தொடர்களெல்லாம், டிரிச்லெ தேற்றத்தின் கருதுகோளை ஒப்புகின்றன. (அதாவது, இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று பகா எண்கள்).  அதனால் அத்தொடர்களில் முடிவிலாத எண்ணிக்கையில் பகா எண்கள் இருக்கும் என்பதுதான் முடிவு.

பகா எண்கள்