இருமுகக் குலங்கள்

கணிதத்திலும் இன்னும் மற்ற அறிவியல் சார்ந்த துறைகளிலும் இருமுகக்குலங்கள் (Dihedral Groups) என்று அழைக்கப்படும் குல வகைகள் வழங்கப்படுகின்றன. ஒரு சமப் பல்கோணத்தின் சமச்சீர்களை அலசும்போது தவறாமல் ஏற்படும் கணித அமைப்புகள்தான் இவை. ,   பக்கங்களுள்ள சமப்பன்முகியின்  சமச்சீர்களால் -- சுழற்சிகளும் எதிர்வுகளும் --ஏற்படுகின்ற குலம் Dn என்ற குறியீட்டால் அழைக்கப்படும். பெயரால் குறிக்கப் படும்போது, 3-வது இருமுகக்குலம்  (D3), 4-வது இருமுகக்குலம் (D4), ... , -வது இருமுகக்குலம் (Dn) என்று சொல்வோம். இவைகளெல்லாம் பரிமாற்றலல்லாத குலங்கள்.

இருமுகக்குலத்தின் உறுப்புகள்

n பக்கங்களுள்ள ஒரு சமபக்க பன்முகியில் 2n வெவ்வேறு சமச்சீர்கள் உள்ளன.இவைகளிள் n சுழற்சிச்சமச்சீர்களும் n பிரதிபலிப்புச் சமச்சீர்களும் அடங்கும். இவையே Dn என்ற இருமுகக் குலத்திற்குக் காரணமாகின்றன. n ஒற்றைப்படையாயிருந்தால், சமச்சீர் அச்சுகள் ஒரு பக்கத்தின் மையப்புள்ளியையும் எதிரிலுள்ள உச்சிப்புள்ளியையும் சேர்க்கும். n இரட்டைப்படையாயிருந்தால்
n/2 அச்சுகள் எதிரெதிர் பக்கங்களின் மையப்புள்ளிகளையும், n/2 அச்சுகள் எதிரெதிர் உச்சிப்புள்ளிகளையும் சேர்ப்பன. ஆக, இரண்டு சூழ்நிலையிலும் மொத்தம் n சமச்சீர் அச்சுகள் இக்குலத்திற்கு 2n உறுப்புகளை வழங்குகின்றன. ஓர் அச்சில் செய்யப்படும் பிரதிபலிப்பு மற்றொரு அச்சில் செய்யப்படும் பிரதிபலிப்பினால் தொடரப்பட்டால் அச்சுகளுக்கிடையேயுள்ள கோணத்தைப்போல் இருபங்கு கோணத்தையுடைய சுழற்சியில் முடியும்.கீழேயுள்ள படிமம் D8 இலுள்ள 16 உறுப்புகளை சாலைகளிலுள்ள நில் குறிமூலம்  காட்டுகிறது.

முதல் வரிசை எட்டு சுழற்சிகளையும் இரண்டாவது வரிசை எட்டு பிரதிபலிப்புகளையும் காட்டுகின்றன.

3-வது இருமுகக்குலம் (கிரமம் 6)
இது ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் சமச்சீர்க்குலம்.மூன்று சுழற்சிகளும் மூன்று எதிர்வுகளும் கொண்டது. ஒவ்வொரு எதிர்வும் முக்கோணத்தின் ஓர் உச்சியிலிருந்து எதிர் பக்கத்திற்குப்போகும் செங்குத்துக்கோட்டில் பிரதிபலிப்பு. உச்சிகளை 1,2,3 எனப்பெயரிட்டால், ஆறு சமச்சீர்களையும் வரிசைமாற்றங்களாக எழுதலாம்:

(1)(2)(3) = முற்றொருமை; (123) ; (132); (1)(23); (2)(13) ; (3)(12).

இவ்வாறில், முதல் மூன்றும் சுழற்சிகள்; பின் மூன்றும் எதிர்வுகள். ஆக, D3  சமச்சீர்குலமான S3 உடன் சம அமைவியமுடையது.அதாவது இரண்டிற்கும் இடையே இருவழிக்கோப்பு உளது.பார்க்ககெய்லி குல அட்டவணை.

4-வது இருமுகக்குலம் (கிரமம் 8)
இது D4 எனப்படும். இதிலுள்ள எட்டு உறுப்புகளும் ஒரு சதுரத்தின் சமச்சீர்கள். இக்குலத்திற்கு மற்றுமொரு பெயர் எட்டுறுப்புக்குலம் (Octic Group).

குலக்கோட்பாடு
சேர்வியல்