இருபடிச் சார்பு

கணிதத்தில், இருபடிச் சார்பு (quadratic function) என்பது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சார்பு. இதன்  பொதுவடிவம்:

இச் சார்பின் வரைபடம் ஒரு பரவளையமாகும். இப்பரவளையத்தின் சமச்சீர் அச்சு, y-அச்சுக்கு இணையானதாக அமையும்.

 என்ற கோவையின் மிக உயர்ந்த அடுக்கு 2 என்பதால் இருபடிச் சார்பு ஓர் இருபடி பல்லுறுப்புக் கோவையாகும்.

இருபடிச் சார்பை பூச்சியத்துக்குச் சமப்படுத்தினால் கிடைப்பது ஓர் இருபடிச் சமன்பாடாகும். இச்சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் அதன் மூலங்கள் என அழைக்கப்படும்.

சொற் பிறப்பியல்

லத்தீன் மொழி சொல்லான quadratum -லிருந்து தோன்றியது quadratic  (இருபடி) என்ற ஆங்கில உரிச்சொல்.  quadratum   என்பது சதுரத்தைக் குறிக்கும் சொல்லாகும்.

பொதுவாக, முன்னொட்டு quadr(i) – என்பது எண் 4-ஐக் குறிக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு: 
ஆங்கிலத்தில், நான்கு பக்கங்களையுடைய வடிவவியல் வடிவம் quadrilateral என்றும்; கார்ட்டீசிய ஆயமுறைமையில் நான்கு சமபாகங்களாகப் பிரிக்கப்படும் கார்ட்டீசியன் தளத்தின் ஒவ்வொரு பாகமும் quadrant என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன.

சதுரத்தின் பக்கங்கள் 4 என்பதால், Quadratum   எனும் லத்தீன் சொல் சதுரத்தைக் குறிக்கிறது.

x   பக்க அளவுகொண்ட சதுரத்தின் பரப்பளவைக் குறிப்பதால், இயற்கணிதத்தில் x2  என்பது  x ஸ்கொயர் (square-சதுரம்) என அழைக்கப்படுகிறது.

மூலங்கள்
இருபடிச் சார்பு :  -ன் மூலங்கள் என்பவை  f(x) = 0  சமன்பாட்டைச் சரிசெய்யும் x -ன் மதிப்புகளாகும்..

கெழுக்கள் a, b, and c   மெய்யெண்கள் அல்லது சிக்கலெண்களாக இருந்தால் இருபடிச் சார்பின் மூலங்கள்:

இங்கு   என்பது தன்மைகாட்டி (discriminant) எனப்படும்.

வடிவங்கள்
இருபடிச் சமன்பாட்டை மூன்றுவிதமான வடிவங்களில் எழுதலாம்.

 பொது வடிவம்
  

 காரணி வடிவம்
 
இங்கு   மற்றும்   இரண்டும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள்.  
 உச்சி வடிவம் அல்லது திட்ட வடிவம்
   
இங்கு h மற்றும் k  இரண்டும் இருபடிச்சார்பின் வரைபட பரவளையத்தின் உச்சிப்புள்ளியின் x, y அச்சுதூரங்களாகும்.

இம்மூன்று வடிவங்களையும் ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்றைப் பெறுதல் முடியும்:

பொது வடிவத்திலிருந்து காரணி வடிவத்திற்கு மாற்ற இருபடிச் சார்பின் இரு மூலங்கள்,  மற்றும் -ஐக் கண்டுபிடித்தால் போதுமானது. வர்க்க நிரப்பி முறையைப் பயன்படுத்திப் பொது வடிவத்தைத் திட்ட வடிவத்துக்கு மாற்றலாம். காரணி வடிவிலிருந்து பொது வடிவத்திற்கு மாற்ற, பெருக்கி விரித்தெழுத வேண்டும். திட்ட வடிவிலிருந்து பொது வடிவத்திற்கு மாற்ற, வர்க்கத்தை விரித்து, a -ஆல் பெருக்கிச் சுருக்குதல் வேண்டும்

வரைபடம்

எந்தவடிவில் இருந்தாலும் இருபடிச் சார்பின் வரைபடம் மேலேயுள்ள படத்தில் தரப்பட்டுள்ளபடி ஒரு பரவளையமாகும்.
  பரவளையம் மேல்நோக்கித் திறப்புடையது.
  பரவளையம் கீழ்நோக்கித் திறப்புடையது.

பரவளையம் உச்சிப்புள்ளியிலிருந்து கூடும்(குறையும்) வேகமானது, கெழு a -ன் மதிப்பைப் பொறுத்தது.  a -ன் மதிப்பு பெரிய மிகை எண்ணாக இருந்தால் கூடும் வேகம் அதிகமாகவும் வரைபடம் அதிகமாக மூடியுள்ள மாதிரி அமையும்.

கெழுக்கள் b மற்றும் a   இரண்டும் சேர்ந்து பரவளையத்தின் சமச்சீர் அச்சையும் உச்சிப்புள்ளியின் x அச்சு தூரத்தைத் தீர்மானிக்கின்றன. உச்சிப்புள்ளியின் x அச்சுதூரம்:    .

y அச்சு வெட்டும்போது பரவளையத்தின் கீழ்முக சாய்வு, கெழு b ஆகும்.

கெழு c, பரவளையத்தின் உயரத்தைக் கட்டுப்படுத்துகிறது.  y = c   புள்ளியில் பரவளையமானது y அச்சை சந்திக்கிறது.

உச்சிப்புள்ளி

பரவளைய வளைகோட்டின் திசைப்போக்கு உச்சிப்புள்ளியில் மாறுவதால் உச்சிப்புள்ளி, திருப்பு புள்ளி எனப்படும்.  இருபடிச் சார்பு உச்சி வடிவில் தரப்பட்டுள்ளபோது அதன் உச்சிப்புள்ளி   ஆகும்.

வர்க்க நிரப்பிமுறையைப் பயன்படுத்தி பொது வடிவம்

 -லிருந்து

  என உச்சிப்புள்ளி வடிவிற்கு மாற்ற,

உச்சிப்புள்ளியின் பொது வடிவம்:

 

இருபடிச் சார்பு காரணி வடிவிலிருக்கும்போது,

இருமூலங்களின் சராசரியான    என்பது உச்சிப்புள்ளியின் x-அச்சுதூரமாகும். எனவே உச்சிப்புள்ளி:

 

 எனில் உச்சிப்புள்ளி பெருமப் புள்ளியாகவும்  எனில் சிறுமப் புள்ளியாகவும் இருக்கும்.

சமச்சீர் அச்சு:

  சமன்பாடு தரும் நிலைக்குத்துக் கோடு உச்சிப்புள்ளி வழியே செல்லும். இது பரவளையத்தின் சமச்சீர் அச்சாகும்.

பெரும மற்றும் சிறுமப் புள்ளிகள்

இருபடிச் சார்பின் வகைக்கெழுச் சார்பின் மூலங்களைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் பெரும அல்லது சிறுமப் புள்ளியாக அமையும் உச்சிப்புள்ளியைப் காணலாம்.

 (இருபடிச் சார்பின் முதல் வகைகெழு.)

இச்சார்பைப் பூச்சியத்துக்குச் சமப்படுத்த,
 என்ற உச்சிப்புள்ளியின் x -அச்சுதூரம் கிடைக்கிறது. x -ன் இந்த மதிப்பைச் சார்பில் பிரதியிட,

எனவே உச்சிப்புள்ளியின் அச்சுதூரங்கள்:

வர்க்க மூலம்
இருபடிச் சார்பின் வர்க்க மூலத்தின் வரைபடம் நீள்வட்டம் அல்லது அதிபரவளையமாக அமையும்.  
  எனில், சமன்பாடு   ஒரு அதிபரவளையத்தைக் குறிக்கும்.  இந்த அதிபரவளையத்தின் அச்சானது,  சமன்பாடு   தரும் பரவளையத்தின் சிறுமப் புள்ளியின் y -அச்சுதூர நிலைக்கோட்டால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

y -அச்சுதூரம் எதிர்ம எண்ணாக இருந்தால் அதிபரவளையத்தின் அச்சு கிடைமட்டமாகவும் நேர்ம எண்ணாக இருந்தால் நிலைக்குத்தாகவும் இருக்கும்.

    எனில் சமன்பாடு  ஒரு நீள்வட்டமாகவோ அல்லது எதையும் குறிக்காமலோ இருக்கலாம்.  சமன்பாடு,   தரும் பரவளையத்தின் பெருமப் புள்ளியின் y -அச்சுதூரம் நேர்ம எண்ணாக இருந்தால் சமன்பாடு :   ஒரு நீள்வட்டமாகவும் எதிர்ம எண்ணாக இருந்தால் புள்ளிகளின் வெற்று இயங்குவரையாகயும் (empty locus) அமையும்.

இருமாறி இருபடிச் சார்பு
இருமாறி இருபடிச் சார்பு (bivariate quadratic function) என்பது பின்வரும் வடிவில் அமைந்த இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையாகும்.

இச்சார்பு ஒரு இருபடிப் பரப்பைக் குறிக்கும்.
 = 0  என்பது   எனும் தளத்தை இப்பரப்பு வெட்டுவதை விளக்கும். இந்த வெட்டுப்பகுதி கூம்பு வெட்டுக்குச் சமானமான இயங்குவரையாகும்.

பெருமம் மற்றும் சிறுமம்

  எனில் இருமாறி இருபடிச் சார்புக்கு பெருமமும் சிறுமமும் கிடையாது. அதன் வரைபடம் ஒரு அதிபரவளைய பரவளையத்திண்மமாகும்.
  எனில் இச்சார்பு A>0  எனும்போது சிறும மதிப்பும்   A<0,  எனும்போது பெரும மதிப்பும் அடைகிறது. சார்பின் வரைபடம் ஒரு நீள்வளைய பரவளையத்திண்மமாகும்.

பெரும அல்லது சிறுமப் புள்ளி:  

  and   எனில் இச்சார்புக்கு பெருமமும் சிறுமமும் கிடையாது. வரைபடம் ஒரு பரவளைய உருளையாகும்.
  and  எனில் சார்பு பெருமம்/சிறுமம் அடைகிறது.  A>0 எனில் சிறுமமும் A<0, எனில் பெருமமும் அடைகிறது. வரைபடம் ஒரு பரவளைய உருளையாகும்.

மேற்கோள்கள்

வெளி இணைப்புகள்
 

இயற்கணிதம்
பல்லுறுப்புக்கோவை சார்புகள்

nl:Extreme waarden