திசையன் வெளியின் அடுக்களம்

கணிதத்தில் ஒரு திசையன் வெளி V இல், ஒரு உட்கணம்  B  நேரியல் சார்பற்றதாகவும் இருந்து, அதனுடைய அளாவல் முழுவெளியாகவும்  இருக்குமானால், அவ்வுட்கணம் V இன் அடுக்களம்  (Basis) எனப்படும். இவ்வடுக்களம் B இன் எண் அளவை என்னவோ அதே எண் அளவை தான் மற்ற எல்லா அடுக்களத்திலும் இருக்கும்.  இந்த பொது எண்ணளவைக்கு திசையன் வெளி  V  இன் பரிமாணம் (Dimension) என்று பெயர்.  இதை dimV என்ற குறியீட்டால் குறிப்பது கணித மரபு.

இவ்வுட்கணம் B முடிவுள்ளதானால் V முடிவுள்ள பரிமாணமுள்ளது என்றும், B முடிவற்றதாக இருந்தால், V முடிவிலிப்பரிமாணமுள்ளது என்றும் சொல்லப்படும்.

நாம் இக்கட்டுரையில் முடிவுள்ள பரிமாணமுள்ள திசையன் வெளிகளைப்பற்றியே பேசுவோம்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

1. .  B =  {i, j, k} என்று கொள்வோம். இங்கு  i = (1,0,0), j = (0,1,0) மற்றும் k = (0,0,1)

அடுக்களத்திற்குள்ள இரண்டு இலக்கணங்களையும் B நிறைவேற்றுவதால், B ஒரு அடுக்களமாகும்.  க்கு இந்த அடுக்களத்தை இயற்கை அடுக்களம் என்று சொல்வர்.

2. V = : மெய்யெண் மதிப்புள்ள, படித்தரம் n க்குமேல்போகாத,  எல்லா பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் அடங்கிய திசையன் வெளி.இதனில் ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவையும்    இலுள்ள உறுப்புகளின் முடிவுள்ள நேரியல் சேர்வு.  மற்றும் B ஒரு நேரியல் சார்பற்ற கணம். ஃ B ஒரு அடுக்களமாகிறது.

dim .

அடிப்படை உண்மைகள்

V ஒரு திசையன் வெளி எனக்கொள்வோம்.

 சூனியத்திசையனை ஒர் உறுப்பாகக்கொண்ட எந்தக்கணமும் நேரியல் சார்புள்ளதுதான்.

 ஒரு அளாவும் உட்கணத்தில் உள்ளதைவிட அதிகமான எண்ணிக்கையில் நேரியல் சார்பற்ற உட்கணம் இருக்கமுடியாது. அ-து, 
   ஆகவும்,  நேரியல் சார்பற்றதாகவும் இருக்குமானால்,   

 Vஇல் n உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு அடுக்களம் இருக்குமானால், n ஐவிட அதிக உறுப்புகள் கொண்ட எந்த உட்கணமும் நேரியல் சார்புள்ளது.அதனால் எல்லா உட்கணங்களும் n உறுப்புகள் கொண்டதே.

  n-பரிமாணமுள்ள ஒவ்வொரு Vஇலும், 
(1):n உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு நேரியல் சார்பற்ற உட்கணம் இருந்தாகவேண்டும்; 
(2): n+1 உறுப்புகள் கொண்ட ஒவ்வொரு உட்கணமும் நேரியல் சார்புள்ளதே.
(3): n உறுப்புகள் கொண்ட ஒவ்வொரு நேரியல் சார்பற்ற உட்கணமும் ஒரு அடுக்களம்.

  மற்றும்  ஆக இருக்குமானால், கீழேயுள்ள இரண்டும் சமானம்:
  (a):  நேரியல் சார்பற்றது.
  (b): இலுள்ள ஒவ்வொரு  க்கும்,  என்ற கோவை தனிப்பட்டது (= இரண்டற்றது, unique).

ஆயத்திசையன்

இதனால்  B ஒரு அடுக்களம் என்ற கருத்துக்கு ஒரு மாற்று வரையறை இப்படிக்கொடுக்கலாம்:

 மற்றும்,  இலுள்ள ஒவ்வொரு  க்கும்  இனுடைய உறுப்புகளின் மூலம் கோவைப்படுத்தும்   என்ற கோவை தனிப்பட்டது .

ஒரு அடுக்களம்  இலுள்ள உறுப்புகளை வரிசைப்படுத்தினால், அ-து, , என்று உறுதிப்படுத்திய பிறகு,  இலுள்ள ஒவ்வொரு  க்கும்,  இன்  உறுப்புகளின் மூலம்  என்ற கோவையும் உறுதிப்படுத்தப்படுவதால், ஆயவரிசை  ம் உறுதிப்படுத்தப்பட்டது. இந்த ஆயவரிசைக்கு  இன் ஆயத்திசையன் (co-ordinate vector) எனப்பெயர். வேறு ஒரு அடுக்களத்தைக்கொண்டும் v க்கு  இன்னொரு ஆயத்திசையன் உண்டுபண்ணலாம். அதனால் அவசியமுள்ளபோது, 'B யைப்பொருத்த ஆயத்திசையன்' என்று விவரமாகச்சொல்லவேண்டி வரும்.  ஆய்த்திசையன்களை நிரல்திசையனாகச்சொல்வதில் ஒரு வசதி இருக்கிறது.

 எ.கா.: முப்பரிமாண வெளி  ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். 
 B =  எனக்கொள்க.   ஒரு  வரிசைப்படுத்திய அடுக்களம்.
  = (2,3,-1) எனக்கொண்டால்,  = 3(1,1,0) -1(1,0,1) +0(0,1,1)
 அதனால், (2,3,-1) இன் B-ஐப்பொருத்த ஆயத்திசையன்  

  என்பதே ஒரு ஆயத்திசையன்தான். இயற்கை அடுக்களத்தைப்பொருத்து அதனுடைய ஆயத்திசையன் . ஏனென்றால் 
 (2,3,-1) = 2(1,0,0) + 3(0,1,0) -1(0,0,1).

அடுக்கள ஆக்கச்செயல்முறை

 கொடுக்கப்பட்ட ஒரு n-பரிமாணமுள்ள திசையன்வெளி  V இல்,  ஒரு நேரியல் சார்பற்ற கணமானால், ஆகத்தான் இருக்கவேண்டும். 
  என்ற பட்சத்தில்,  யே ஒரு அடுக்களமாகிவிடுகிறது.
  என்ற பட்சத்தில், . அதனால்,   இல் க்கு வெளியில் ஏதாவதொரு உறுப்பு இருக்கவேண்டும். அதை  என்று அழைப்போம். இப்பொழுது  ஒரு நேரியல் சார்பற்ற கணம்.   என்ற பட்சத்தில், நாம் வேண்டிய அடுக்களம் இதுதான்.  என்ற பட்சத்தில், இதே செயல்முறையை திரும்பவும் செய்.

நேரியல் கோப்பு ஆக்கச்செயல்முறை

  ஒரே அளவெண்களங்களையுடைய இரு திசையன்வெளிகள் எனக்கொள்வோம்.   வின் ஒரு அடுக்களமாக  ஐக்கொள்க. இப்பொழுது   ஐ ( இல் எந்தத் திசையன்களாகவும் கொண்டு    யை ஒரு நேரியல் கோப்பாக்க முடியும். நாம் செய்யவேண்டியதெல்லாம் ஒரேஒரு வரையறைதான். அ-து,

  

எ.கா.: 
  இது  வில் ஒரு அடுக்களம்.

  = ? 
  = ? 

 (*)  என்றும்
 (**)  என்றும் கொள்வோமாக.
  இல்  ஏதாவதொரு உறுப்பானால், முதலில் நாம் தீர்மானிக்கவேண்டியது  = ?(1,1) + ?(1,-1).
 எளிதில் இதை கண்டுபிடித்துவிடலாம்.  
 

 ஃ 

  = 

  = 

 ஆக,நாம் வேண்டிய நேரியல் கோப்பு 

 (*), (**) இரண்டையும் நம் விருப்பப்படி மாற்ற, மாற்ற, வெவ்வேறு நேரியல் கோப்புகள் கிடைக்கும்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

திசையன் வெளியின் பரிமாணம்

துணை நூல்கள்

 Serge Lang. Introduction to Linear Algebra. 1986. Springer Science, Inc. New York. .
 V. Krishnamurthy, V.P. Mainra & J.L. Arora.An Introduction to Linear Algebra. 1976. Affiliated East West Press PVT Ltd. New Delhi. 

நேரியல் இயற்கணிதம்
சார்புப் பகுவியல்
திசையன் நுண்கணிதம்