ஈருறுப்புப் பரவல்

நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு, புள்ளியியல் இரண்டிலும் n, p பண்பளவைகளைக் கொண்ட ஈருறுப்பு பரவல் (binomial distribution) ஒரு தனிநிலை நிகழ்தகவுப் பரவலாகும். n - ஆனது சார்பற்ற, "வெற்றி" அல்லது "தோல்வி" என்ற இரு விளைவுகளை மட்டுமே கொண்ட, சார்பற்ற, தொடர்ச்சியான பெர்னௌலி முயற்சிகளின் எண்ணிக்கையையும், p ஆனது ஒவ்வொரு முயற்சியிலும் வெற்றியின் நிகழ்தகவையும் குறிக்கும் (தோல்வியின் நிகழ்தகவு ()). n = 1, எனில் ஈருறுப்புப் பரவல் பெர்னௌலியின் பரவல் எனப்படும். புள்ளியியல் பொருளுண்மையின் ஈருறுப்புச் சோதனைக்கு ஈருறுப்புப் பரவலே அடிப்படையானதாகும்
இந்தப் பரவல் கணிதவியலாளர் ஜேக்கப் பெர்னெளலியால் கண்டறியப்பட்டது. பெர்னௌலி p = r/(r + s) (p - வெற்றியின் நிகழ்தகவு; r , s இரண்டும் நேர்ம முழுஎண்கள்) எனவும் பிலைசு பாஸ்கல் p = 1/2 எனவும் எடுத்துக்கொண்டனர்.

எடுத்துக்காட்டுகள் 
ஒரு சீரான பகடையை பத்து முறை உருட்டிவிட்டு, "ஆறு" எத்தனை முறை விழுகிறது என்பதை எண்ணிக்கொள்க. சமவாய்ப்புள்ள இந்த எண்ணின் பரவல், n = 10 மற்றும்p = 1/6 உள்ள ஒரு ஈருறுப்பு பரவலாகும்.

 ஒரு நாணயத்தை மூன்று முறை சுண்டிவிட்டு எத்தனை முறை "தலை" விழுகிறது என எண்ணுதல். சமவாய்ப்புள்ள இந்த எண்ணின் பரவல், n = 3 மற்றும் p = 1/2 உள்ள ஒரு ஈருறுப்பு பரவலாகும்.

வரையறைகள்

நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு 
சமவாய்ப்பு மாறி K இன் n மற்றும் p பண்பளவைகளைக் கொண்ட ஈருறுப்பு பரவலைப் பின்பற்றுகிறது என்பதைக் குறிக்கும் குறியீடு:
K ~ B(n , p)

ஈருறுப்புப் பரவலில், n சார்பற்ற முயற்சிகளில் சரியாக k வெற்றிகள் கிடைக்கும் நிகழ்தகவு பின்வரும் நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பால் (நிகழ்தகவுப் பொருண்மச் சார்பு) தரப்படுகிறது:

 k = 0, 1, 2, ..., n 

இதிலுள்ள
 என்பது ஈருறுப்புக் குணகமாதலால் இப்பரவல் ஈருறுப்புப் பரவலெனப்படுகிறது.

ஈருறுப்பு பரவல் நிகழ்தகவின் குறிப்பு அட்டவணைகளை தயாரிக்கும்போது, பொதுவாக அட்டவணை n /2 மதிப்புகள் வரை நிரப்பப்படுகிறது. ஏனெனில் k > n /2 ஆக இருக்கும்போது, நிகழ்தகவுகள் முன்னவற்றின் நிரப்பிகளாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 
சுண்டப்பட்ட நாணயம் சமச்சீரானதாக இல்லமால், தலை விழுவதற்கான (வெற்றி) நிகழ்தகவு 0.3 எனில், 6 நாணயச் சுண்டல்களில் சரியாக 4 தலைகள் விழுவதற்கான நிகழ்தகவு:

குவிப் பரவல் சார்பு 
குவிப் பரவல் சார்பு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

 என்பது x க்கு சமமான அல்லது குறைவான மிகப் பெரிய முழு எண்.

பண்புகள்

சராசரியும் பரவற்படியும் 
X ~ B(n, p); அதாவது சமவாய்ப்பு மாறி X ஆனது, n முயற்சிகளையும் ஒவ்வொரு முயற்சியிலும் வெற்றியின் நிகழ்தகவு  p ஆகவும் கொண்ட ஈருறுப்புப் பரவலைப் பின்பற்றுகிறது எனில்,
 பரவலின் சாராசரியின் மதிப்பு (எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு)

ஒவ்வொரு சமவாய்ப்பு மாறியும்  ஐ எதிர்பார்ப்பு மதிப்பாகக் கொண்ட,  முற்றொத்த பெர்னௌலியின் சமவாய்ப்பு மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையாக சமவாய்ப்பு மாறி  இருக்கும். அதாவது,  என்பவை முற்றொத்த, சாராத பெர்னௌலி சமவாய்ப்பு மாறிகள்; அவை ஒவ்வொன்றின் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பும்  எனில்:

பரவற்படி

விலக்கப் பெருக்குத் தொகை 
சமவாய்ப்பு மாறியின் விலக்கப் பெருக்குத்தொகைகள் இருவகைப்படும்.
ஆதியைப் பொறுத்த விலக்கப் பெருக்குத் தொகைகள்
சராசரியைப் பொறுத்த விலக்கப் பெருக்குத் தொகை அல்லது மைய விலக்கப் பெருக்குத்தொகைகள்

ஆதியைப் பொறுத்த முதல் இரு விலக்கப் பெருக்குத்தொகைகள்:

பொதுவான வரையறை:

இதில்,  இசுடர்லிங் உட்கண எண்கள்;  என்பது  இன் ஆவது வீழும் தொடர்பெருக்கம்.

மைய விலக்கப் பெருக்குத் தொகைகள்:
வரையறை

முதல் 6 மைய விலக்கப் பெருக்குத் தொகைகள்:

முகடு 
B(n, p) என்ற ஈருறுப்புப் பரவலின் முகடு  ஆகும். இதில்  ஆனது மீப்பெரு முழுஎண் சார்பு.

(n + 1)p ஒரு முழுஎண்ணாகவும், p இன் மதிப்பு, 0 அல்லது 1 ஆகவும் இல்லாமல் இருந்தால் ஈருறுப்புப் பரவலுக்கு (n + 1)p, (n + 1)p − 1 என்ற இரு முகடுகள் இருக்கும்.
p இன் மதிப்பு 0 அல்லது 1 ஆக இருந்தால் முகடு முறையே 0 அல்லது n ஆக இருக்கும். 

இவற்றைப் பின்னுள்ளவாறு ஒன்றுபடுத்தி எழுதலாம்:
 

நிறுவல்
 எனக் கொள்க.

வகை 1
 அல்லது :
 ஆக இருக்கும்போது மட்டுமே  க்கு சுழியமற்ற மதிப்பாக  ஆக இருக்கும்.
 எனில்  மற்றும்  () எனக் கண்டுபிடிக்கலாம். 

மேற்கண்ட இரு முடிவுகளிலுமிருந்து
 எனில் முகடு = 0;  எனில் முகடு = 1 எனப் பெறப்படுகிறது.

வகை 2

 எனில்:
. இதிலிருந்து பின்வரும் முடிவுகளைப் பெறலாம்:

எனவே  ஒரு முழுஎண்ணாக இருந்தால்,   இரண்டும் முகடுகள்.  (முழுஎண் இல்லையெனில்)  மட்டுமே முகடு.

இடைநிலையளவு 
பொதுவாக ஈருறுப்புப் பரவலின் இடைநிலையளவைக் காண்பதற்கான தனித்த வாய்பாடு எதுமில்லை. எனினும் இடைநிலையளவு குறித்து பல முடிவுகள் எட்டப்பட்டுள்ளன.
 np ஒரு முழு எண் எனில் சராசரி, இடைநிலையளவு, முகடு ஆகிய மூன்றும் np க்குச் சமமாக இருக்கும்.
 இடைநிலையளவு m எனில், ⌊np⌋ ≤ m ≤ ⌈np⌉.
 இடைநிலையளவு m, சராசரியிலிருந்து அதிகத் தொலைவில் இருக்க முடியாது:
 }.
 |m − np| ≤ min{p, 1 − p} (p =  மற்றும் n ஒற்றையெண் என்ற நிலை தவிர) எனில், இடைநிலையளவு தனித்த மதிப்புடையது;  m = முழுமை(np)
 p ஒரு விகிதமுறு எண் (p = 1/2 மற்றும் n ஒற்றையெண் என்ற நிலை தவிர) எனில் இடைநிலையளவு தனித்த மதிப்புடையது.
 p = 1/2 மற்றும் n ஒற்றையெண் எனில், (n − 1) ≤ m ≤ (n + 1) என்ற இடைவெளியிலமைந்த எந்தவொரு எண் m உம் இடைநிலையளவாக இருக்கும்.
p = 1/2 மற்றும் n இரட்டையெண் எனில், m = n/2 என்பது முகட்டின் தனித்த மதிப்பாகும்.

தொடர்புள்ள பிற பரவல்கள்

ஈருறுப்புப் பரவல்களின் கூட்டுத்தொகை 
X ~ B(n, p), Y ~ B(m, p) இரண்டும் சார்பற்ற ஆனால் சம நிகழ்தகவு p உடைய இரு ஈருறுப்புப் பரவல்கள் எனில், X + Y என்ற சமவாய்ப்பு மாறியும் அதே நிகழ்தகவுடன் ஈருறுப்புப் பரவலைப் பின்பற்றும்: Z=X+Y ~ B(n+m, p):

ஈருறுப்புப் பரவலைப் பின்பற்றும் X ~ B(n, p) என்ற சமவாய்ப்பு மாறியை, n பெர்னௌலி சமவாய்ப்பு மாறிகளின் கூடுதலாகக் கொள்ளமுடியும். X ~ B(n, p), Y ~ B(m, p) என்ற சமவாய்ப்பு மாறிகளின் கூடுதல் n + m பெர்னௌலி சமவாய்ப்பு மாறிகளின் கூடுதலுக்குச் சமமாகும். அதாவது Z=X+Y ~ B(n+m, p). 

X , Y இரண்டும் ஒரே நிகழ்தகவைக் (p) கொண்டிருக்காவிட்டால், அவற்றின் கூட்டுத்தொகைப் பரவலின் பரவற்படியானது,  இன் பரவற்படியைவிடச் சிறியதாக இருக்கும்.

பெர்னௌலி பரவல் 
பெர்னௌலி பரவல் என்பது n = 1 என உள்ள ஈருறுப்பு பரவலின் சிறப்புத் தன்மை ஆகும். குறியீடாக, X ~ B(1, p) என எழுதப்படுகிறது

பாய்ஸான் பரவல் 
ஈருறுப்பு பரவலின் எல்லையாகப் பாய்சான் பரவல் பெறப்படுகிறது. np பெருக்குத்தொகை நிலையாக இருந்து நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை n முடிவிலியை நோக்கியும் ஒவ்வொரு முயற்சியின் வெற்றியின் நிகழ்தகவு p இன் மதிப்பு பூச்சியத்தை நோக்கியும் செல்லும்போது ஈருறுப்புப் பரவலின் எல்லையாகப் பாய்சான் பரவல் அமைகிறது.

மேற்குறிப்புகள்

புற இணைப்புகள் 
 கௌண்ட்ஸ் கண்ட்ரோல் சார்ட்ஸ்', e-ஹேண்ட்புக் ஆஃப் ஸ்டேடிஸ்டிகல் மெதட்ஸ், <http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section3/pmc331.htm> [accessed 25 October 2006]
 பைனோமியல் ப்ராபபிலிடீஸ் ஸிம்ப்பிள் எக்ஸ்ப்ளனேஷன் 
 SOCR பைனோமியல் டிஸ்ட்ரிப்யூஷன் அப்லெட்
 CAUSEweb.org பைனோமியல் டிஸ்ட்ரிப்யூஷன் உட்பட புள்ளியியல் கற்பிக்க பல கருத்துக்கள்
 க்ரிஸ் பௌசர் எழுதிய "பைனோமியல் டிஸ்ட்ரிப்யூஷன்" வொல்ஃராம் டெமான்ஸ்ட்ரேஷன்ஸ் ப்ராஜெக்ட், 2007.
 கட்-தெ-நாட்லிருந்து பைனோமியல் டிஸ்ட்ரிப்யூஷன் ப்ராபர்டீஸ் அண்ட் ஜாவா ஸிமுலேஷன்
 ஸ்டேடிஸ்டிக்ஸ் டுடோரியல்: பைனோமியல் டிஸ்ட்ரிப்யூஷன் 

நேரியல் இயற்கணிதம்
புள்ளியியல்