பாதுகாப்பான பகாத்தனி

பாதுகாப்பான பகாத்தனி (safe prime) என்பது  2p + 1 என்னும் வடிவில் எழுதத்தக்க பகா எண். இதில் உள்ள p  என்பதும் ஒரு பகாத்தனியாக இருத்தல் வேண்டும். இவ் வடிவில் இருந்தால், இதில் உள்ள  p   என்னும் பகா எண், ஒரு சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக 11 என்பது ஒரு பகா எண் என்பதால், 2 ×11 + 1 = 23 என்பதில் 23 என்பதும் பகா எண் ஆகையால் அது ஒரு பாதுகாப்பான பகாத்தனி என அழைக்கப்படும். 11 என்பதும் பகாத்தனி என்பதால் அது ஒரு  சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி ஆகும். ஆனால்  p  என்பது பகாத்தனியாக இருந்த பொழுதும்,  2p + 1 வடிவில் உள்ள எல்லா எண்களும் பகாத்தனியாக இருப்பதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக 7 என்பது ஒரு பகாத்தனி ஆனால் 2 ×7 + 1 = 15 என்பதில் 15 என்னும் எண் பகாத்தனி அல்ல. அது ஒரு கலப்பு எண் (வகுபடும் எண்) (3x5 = 15).  முதல் சில பாதுகாப்பான பகாத்தனிகள்:

5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, 467, 479, 503, 563, 587, 719, 839, 863, 887, 983, 1019, 1187, 1283, 1307, 1319, 1367, 1439, 1487, 1523, 1619, 1823, 1907. 

7 எண்ணைத் தவிர்த்து, q  என்னும் மற்ற எல்லா மாதுகாப்பான பகாத்தனிகளையும் 6k−1 என்னும் வடிவில் எழுதலாம் , மாற்றாக  q ≡ 5 (mod 6) — அதே போல p > 3 . அதே போல 5 ஐத் தவிர்த்து, q என்னும் உறுதிப் பகாத்தனியை 4k−1 என்னும் வடிவில் எழுதலாம், அல்லது  மாற்றீடாக, q ≡ 3 (mod 4) — உண்மை ஏனெனில் (q−1) / 2 என்பது ஒரு ஒற்றைப் படை இயல் எண்ணாக இருத்தல் வேண்டும். இவ்விரண்டு வடிவங்களையும் சேர்த்துப் பார்த்தால் அவற்றின் பொது மடங்குகளுக்குள் சிறிய எண் (6,4)ஐக் கொண்டு q > 7  என்னும் பாதுகாப்பான பகாத்தனிகள் 12k−1 என்னும் வடிவில் எழுதத்தக்கதாகவோ,  q ≡ 11 (mod 12 ) ஆகவோ இருக்கும். .

இந்த பகாத்தனிகள் பாதுகாப்பான பகாத்தனிகள் என்று அழைப்பதற்கு காரணம் இவை உறுதிப் பகாத்தனிகள் எண்களுடன் நெருங்கிய உறவுடையன.  q  என்பது  உறுதிப் பகாத்தனியாக இருந்தால் q+1 மற்றும்  q−1 ஆகிய இரண்டும் பெரிய (நீளமான) பகா எண் காரணிகள் கொண்டிருக்கும். இக்கருத்து மறைமுகமாகவோ, கமுக்கமாகவோ செய்திகளை பரிமாறிக் கொள்ளும் கலையாகிய மறைவரைவு (கிரிப்டோகிராஃவி, Cryptography) தொழில்நுட்பத்தில் மிகவும் முக்கியமான ஒன்று. q  என்னும் எண்ணை,  எண்காரணிகளாக ( integer factorization) பிரிப்பதில் செலவாகும் கணினி நேரம், q−1 என்னும் எண்ணின் பகா எண் காரணியின் அளவை (நீளத்தை) ஓரளவுக்குப் பொறுத்தது. பொல்லார்டு ரோ படித்தீர்முறை T(Pollard's rho algorithm)  +1 மற்றும் −1 முறைகளில் இது உண்மை. திறன் மிக்க பெரும்பாலான எண்காரணிப்பாட்டில் q−1 இன் பகா எண் காரணிகளின் அளவு முக்கியம் இல்லை என்றாலும்,   இது பொதுவாக மறைவரை முறைகளில் முக்கியமாகக் கருதப்படுகின்றது. எடுத்துக்காட்டாக ஆனசிX9.31 (ANSI X9.31) நெறி முறையில் RSA -மாடுலியில் (moduli) உறுதிப் பகாத்தனிகள் பயன்படுத்த வேண்டும் என்னும் வலியுறுத்தல் உள்ளது. 

ஜனவரி 2007 வரையிலும் கண்டுபிடித்த மிகப்பெரிய பாதுகாப்பான பகா எண் 48047305725×2172404−1.இந்த பாதுகாப்பான பகாத்தனியையும், அதற்கான மிகப்பெரிய சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனியையும் டேவிட் அண்டர்பக்கெ என்பவர் ஜனவரி 25, 2007 அன்று டுவின்ஜென் மற்றும் எல் எல் ஆர்  (TwinGen and LLR) என்னும் நிரலிகளைப் பயன்படுத்திக் கண்டுபிடித்தார். TwinGen and LLR.

உசாத்துணை
 M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards, Applied Math. Series 55, Tenth Printing, (1972): 870

வெளியிணைப்புகள்
Safe prime  at planetmath.org

பகாத்தனி வகைகள்
மறைவரைவுக் கோட்பாடுகள்