லியோவில் சார்பியம்

லியோவில் சார்பியம் (Liouville function) என்பது சோசப்பு லியோவில் (1809-1882) என்னும் பிரான்சிய கணிதவியலரைப் பெருமைப்படுத்தும் முகமாக சூட்டப்பட்ட ஒரு முக்கியமான எண்கணிதக்கோட்பாட்டு சார்பியம். லியோவில் சார்பியம் பொதுவாக λ(n) என்று குறிக்கப்பெறும் (லாம்டா (λ) என்னும் கிரேக்க எழுத்து லியோவில் என்னும் பெயரின் முதல் எழுத்தொலியை குறிப்பதாக அமைந்தது).   

n என்பது நேர்ம முழு எண்ணாக இருந்தால், λ(n) என்பது கீழ்க்காணுமாறு வரையறை செய்யப்படும்:

மேலுள்ளதில்  Ω(n) என்பது n இன் பகா எண் காரணிகளின் பன்முறையாக எண்ணப்படும் எண்ணிக்கை ().

Ω(n) கூட்டுகை சார்பியம் ஆகையால், λ பெருக்குகை சார்பியமாகும். Ω(1) = 0 என்று உள்ளதால் λ(1) = 1. லியோவில் சார்பியம் கீழ்க்காணும்
ஈடுண்மை கொள்ளும்:

 n என்பது சதுர எண் ஆக இருந்தால்
 மற்றபடி

தொடர்கள்
லியோவில் சார்பியத்துக்கான டிரிழ்ச்லெட் தொடர், ரீமன் இசீட்டா சார்பியத்தைத் தருகின்றது:

லியோவில் சார்பியத்துக்கான லாம்பர்ட் தொடர்:

மேலுள்ளதில்   என்பது யாக்கோபி தேட்டா சார்பியம்(Jacobi theta function).

கணித ஊகங்கள்

1919 இல் சியார்ச் போல்யா (George Pólya), முன்னிட்டு இன்று போல்யா ஊகம் என்று அறியப்படும் நிறுவப்படாத ஒரு கணிதக் கூற்றை முன்வைத்தார். அதன் படி:

 

n > 1 என்பதற்கு. ஆனால் இது தவறு என்று உறுதியாயிற்று. தவறு என்று காட்டத் தேவையான மிக சிறிய எதிர்மறை எடுத்துக்காட்டு n = 906150257 என்பதனை மினோரு டனாக்கா (Minoru Tanaka) என்பவர் 1980 இல் முன்வைத்தார். L(n) இன் (கூட்டல்-கழித்தல்) குறி முடிவிலி தடவையாக மாறுமா என்பது தெரியவில்லை.

உசாத்துணை நூல்கள் 
 Polya, G., Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie. Jahresbericht der deutschen Math.-Vereinigung 28 (1919), 31–40. 
 Haselgrove, C.B. A disproof of a conjecture of Polya. Mathematika 5 (1958), 141–145. 
 Lehman, R., On Liouville's function. Math. Comp. 14 (1960), 311–320.
 M. Tanaka, A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function. Tokyo Journal of Mathematics 3, 187–189, (1980).
 
 

பெருக்குகை சார்பியங்கள்
சார்பியங்கள்