தேரவியலா சமன்பாடுகள்

கணிதத்தில் அடிக்கடி ஏற்படும் பிரச்சினைகளில் ஒன்று தேரவியலா சமன்பாடுகளின் (Indeterminate Equations)  தீர்வு. டயொஃபாண்டஸ் என்ற கிரேக்க கணித ஆய்வாளர்  (3ம் நூற்றாண்டு) காலத்தில் முதலில் எழுத்தில் வடிக்கப்பட்ட இந்தப் பிரச்சினையின் அநேக அவதாரங்கள் பிற்காலத்தில் உருவாயின. முக்கியமாக பழைய காலத்து இந்தியக் கணித வல்லுனர்கள்  ( ஆரியபட்டர், பிரம்மகுப்தர், பாஸ்கரர் II) இவைகளைப்பற்றிச் செய்த ஆய்வுகள் இன்றும் பயனுள்ளதாய் இருக்கின்றன. எப்பொழுதெல்லாம் சமன்பாடுகளுக்கு முழுத்தீர்வுக்கு வேண்டிய தகவல்கள் கொடுக்கப்படவில்லையோ அவ்வித சமன்பாடுகளை தேரவியலா சமன்பாடுகள் என்பர்.

எளிய அறிமுகம்

என்ற சமன்பாட்டை நோக்குக. இது ஒரு தேரவியலா சமன்பாடு. ஏனென்றால் தெரியாத மாறிகள் இரண்டு: y, x.  அவைகள் உறவாடும் சமன்பாடோ ஒன்றுதான். பிரச்சினையை சிறிது மாற்றி  x, y  என்ற மாறிகள் முழு எண்களாக இருக்கவேண்டும் என்று நிபந்தனையிடுவதாகக் கொள்வோம். (இந்த நிபந்தனை தான் டயொஃபாண்டஸின் ஆய்வுகளின் சிறப்பு).  சிறிது யோசித்தால்  y = 3, x = 5 என்ற தீர்வு கிடைக்கிறது.

இப்பொழுது இன்னொரு கேள்வி. இந்த ஒரு தீர்வுதான் உண்டா, பல தீர்வுகள் இருக்க வாய்ப்பு இருக்கிறதா?  தீர்வுகளின் எண்ணிக்கை முடிவுற்றதா? முடிவில்லாததா? தீர்வுகளைக் கண்டுபிடிக்கமுடியுமா? அல்லது, தீர்வுகளின் இருப்புகளை மட்டும்தான் சொல்லமுடியுமா? இதெல்லாம் மிகக் கடினமான கேள்விகள். இவைகளுக்கு விடை கூறும் முயற்சிதான் தேரவியலா சமன்பாடுகளின் கோட்பாடு.

ஃபெர்மா வினுடைய கடைசித்தேற்றம்

டயோஃபாண்டஸின் ஆய்வுகளைப்பற்றி  பாஷெ  (Bachet) என்பவர் ஒரு நூல் எழுதினார். இந்நூலின் ஒரு பிரதி ஃபெர்மா (17ம் நூற்றாண்டு) விடம் கிடைத்தது. அதனில் பக்க ஓரங்களில் ஃபெர்மா தன் விமரிசனங்களை எழுதுவது வழக்கம்.  என்ற சமன்பாட்டைப்பற்றிய பேச்சு வந்த பக்கத்தின் ஓரத்தில் ஃபெர்மா கைப்பட எழுதிவைத்த குறிப்பு வரலாறு படைத்தது.

"மாறாக, ஒரு கன அடுக்கை (cubic power) இரண்டு கன அடுக்குகளாகவோ, ஒரு  நாற்படி அடுக்கை இரண்டு நாற்படி அடுக்காகவோ, பொதுவாக, இரண்டுக்கு மேற்பட்ட எந்த அடுக்கையும், அதே அடுக்குகள் இரண்டாகவோ பிரிக்கமுடியாது; இதற்கு ஒரு அபாரமான நிறுவல் என்னிடம் இருக்கிறது. ஆனால் இந்த பக்க ஓரத்தில் அதற்கு இடம் இல்லை"

இதுதான் ஃபெர்மாவினுடைய கடைசித்தேற்றம் என்று பெயர் பெற்று நான்கு நூற்றாண்டுகள் கணித உலகை ஆட்டிப்படைத்ததோடு மட்டுமல்லாமல், எண் கோட்பாட்டிலும், ஏன், கணிதத்திலுமே பல துணைப்பிரிவுகள் ஏற்படக் காரணமாயிருந்தது.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

ஆண்ட்ரூ வைல்ஸ்
பியர் ஃபெர்மா
இயற்கணித வடிவியல்

எண் கோட்பாடு
இயற்கணிதம்