இடைவெட்டுத் தேற்றம்

இடைவெட்டுத் தேற்றம் (intercept theorem) என்பது வடிவவியலில் இரண்டு வெட்டிக்கொள்ளும் கோடுகளை ஒரு சோடி இணைகோடுகள் வெட்டுவதால் உண்டாகும் கோட்டுத்துண்டுகளின் விகிதங்களைப் பற்றிக்கூறும் முக்கியமானதொரு தேற்றம். இத்தேற்றம் கிரேக்க கணிதவியலாளர் தேலேசுவின் கண்டுபிடிப்பாக  கருதப்பட்ட மரபினால், தேலேசுத் தேற்றம் எனவும் அழைக்கப்படுகிறது ஆனால் மற்றொரு தேலேசுத் தேற்றத்துடன் இதனை  குழப்பிக் கொள்ளல் கூடாது. இது வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பக்க விகிதங்கள் குறித்த தேற்றத்துக்குச் சமானமானது.

தேற்றம்

தரப்பட்ட இரு கோடுகள் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளி S. இரு இணைகோடுகள், தரப்பட்ட முதல்கோட்டை வெட்டும் புள்ளிகள் A, B (A -ஐ விட B  புள்ளி– S  லிருந்து தள்ளி உள்ளவாறு)  மற்றும் தரப்பட்ட இரண்டாவது கோட்டை வெட்டும் புள்ளிகள் C, D (C -ஐ விட புள்ளி D,  S லிருந்து தொலைவில் இருக்குமாறு).

1. முதல் கோட்டின் ஏதாவது இரு வெட்டுத்துண்டுகளின் விகிதங்கள் அவற்றுக்கு ஒத்த இரண்டாவது கோட்டின் வெட்டுத்துண்டுகளின் விகிதங்களுக்குச் சமமாக இருக்கும்:

,

,

2.  S லிருந்து ஆரம்பிக்கும் ஒரே கோட்டின் இரண்டு வெட்டுத்துண்டுகளின் விகிதம் இணைகோடுகளின் வெட்டுத்துண்டுகளின் விகிதத்திற்குச் சமம்:

3.  முதல் கூற்றின் மறுதலையும் உண்மை.

இரு வெட்டும் கோடுகளை ஏதாவது வேறு இருகோடுகள் வெட்டும்போது ஒரு கோட்டில் ஏற்படும் வெட்டுத்துண்டுகளின் விகிதங்கள் இரண்டாவது கோட்டில் அவற்றுக்கொத்த வெட்டுத்துண்டுகளின் விகிதங்களுக்குச் சமமாக இருந்தால்:

தரப்பட்ட கோடுகளை வெட்டும் இருகோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று இணையானவை.

இரண்டாவது கூற்றின் மறுதலை உண்மையில்லை.

4.  இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட கோடுகள் S -ல் வெட்டிக்கொண்டால் ஒரு இணைகோட்டின் இரண்டு வெட்டுத்துண்டுகளின் விகிதம் இரண்டாவது இணைகோட்டின் ஒத்த வெட்டுத்துண்டுகளின் விகிதத்திற்குச் சமம். படத்தில் மூன்று கோடுகள் சந்திக்கும் எடுத்துக்காட்டு தரப்பட்டுள்ளது.

நிறுவல்

கூற்று 1

கூற்று 2

கூற்று 3

கூற்று 4 
இரு கோடுகளுக்கான வெட்டுத்தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி இதை நிறுவலாம்..

தொடர்புள்ள கருத்துருக்கள்

வடிவொப்புமையும் வடிவொத்த முக்கோணங்களும்

வெட்டுத்துண்டுத் தேற்றம் வடிவொப்புமையோடு நெருங்கிய தொடர்புடையது; வடிவொத்த முக்கோணங்களின் கருத்துருவுக்குச் சமானமானது.  இடைவெட்டுத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்புகளையும்; வடிவொத்த முக்கோணங்களைப் பயன்படுத்தி இடைவெட்டுத் தேற்றத்தையும் நிறுவ முடியும். சமமான கோணங்களைப் பொருத்தி இரண்டு வடிவத்த முக்கோணங்களை ஒன்றுக்குள் ஒன்றாக அமைப்பதன் மூலம் இடைவெட்டுத் தேற்றத்தின் வடிவமைப்பைப் பெறமுடியும். மாறாக வெட்டுத்துண்டுத் தேற்றத்தின் வடிவமைப்பிலேயே இரண்டு வடிவொத்த முக்கோணங்கள் உள்ளன.

திசையன் வெளியில் திசையிலிப் பெருக்கல்

நெறிம திசையன் வெளியில் திசையிலிப் பெருக்கல் சம்பத்தப்பட்ட அடிக்கோள்கள் (குறிப்பாக):

)

இரண்டும் வெட்டுத்துண்டுத் தேற்றம் உண்மை என்பதை உறுதிப் படுத்துகின்றன.

அதாவது, இந்த அடிக்கோள்களின் பலனாக மேலேயுள்ள படத்திலிருந்து நமக்குக் கிடைக்கும் முடிவு:

பயன்பாடுகள்

வரைகோல் மற்றும் கவராய வரைமுறைகளுக்கு இயற்கணித வடிவமைப்புகள்
வரைகோல் மற்றும் கவராயம் மூலம் தீர்வு காண வேண்டிய பிரலபமான  புகழ்பெற்ற மூன்று பிரச்சனைகள கிரேக்கர்கள் முன்வைத்திருந்தனர்.
 கோணத்தை முக்கூறிடல்
 கனசதுரத்தை இரட்டிப்பாக்கல்
 வட்டத்தை சதுரமாக்கல்

2000 ஆண்டு காலங்களாக தீர்வு காணப்படாமல் இருந்த இம்மூன்று வினாக்களுக்கும் 19 ம் நூற்றாண்டில் இயற்கணித முறையில் தீர்வு காணப்பட்டது. இவ்வினாக்களை இயற்கணித வடிவிற்கு மாற்றுவதற்கு வரைகோல் மற்றும் கவராய முறைச்செயல்களுக்குப் பதில் பொருத்தமான களச்செயல்களைக் கள நீட்டிப்பு முறையில் காண வேண்டிய அவசியம் ஏற்பட்டது. குறிப்பாக தரப்பட்ட இரு கோட்டுத்துண்டுகளின் நீளங்களின் பெருக்குத்தொகைக்குச் சமநீளமுள்ள இரு புதிய கோட்டுத்துண்டு வரையமுடியும் என்பதை உறுதிப்படுத்த வேண்டிய அவசியம் உருவானது. மேலும்   அளவு நீளமுள்ள ஒரு தரப்பட்டக் கோட்டுத்துண்டிற்கு,  அளவு நீளமுள்ள புதிய கோட்டுத்துண்டு வரைய வேண்டியதும் அவசியமாயிற்று. இடைவெட்டுத் தேற்றத்தைக் கொண்டு இவ்விரண்டு வரைமுறைகளும் சாத்தியமானவை என்பதைக் காட்ட முடியும்.

ஒரு கோட்டுத்துண்டைத் தரப்பட்ட விகிதத்தில் பிரித்தல்

அளவிடுதல்

சியோப்ஸ் பிரமிடின் உயரம்

சில வரலாற்று ஆதாரங்களிலிருந்து கிரேக்க கணிதவியலாளர் தேலேசு, சியோப்சின் பிரமிடின்(Cheops' pyramid) உயரம் கணக்கிட இடைவெட்டுத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தியதாகத் தெரியவருகிறது. பின் வரும் விளக்கம், சியோப்சின் பிரமிடின் உயரத்தைக் கணக்கிட எவ்வாறு இடைவெட்டுத் தேற்றம் பயன்படுத்தப்பட்டது என்பதை விளக்குகிறது. எனினும் இது தொலைந்து போனதாகக் கருதப்படும் அவரது மூலப் படைப்பு அல்ல.

அவர் முதலில் பிரமிடின் அடியின் நீளத்தையும் கம்பத்தின் உயரத்தையும் அளந்து கொண்டார். பின் அதே நாளில் அதே நேரத்தில் பிரமிடின் நிழலின் நீளத்தையும் கம்பத்தின் நிழலின் நீளத்தையும் அளந்து கொண்டார்.

அவரது கணக்கீட்டிற்கு பின்வரும் தரவுகள் கிடைத்தன:
கம்பத்தின் உயரம் (A): 1.63m
கம்பத்தின் நிழலின் நீளம் (B): 2m
பிரமிடின் அடிநீளம்: 230m
பிரமிடின் நிழலின் நீளம்: 65m

இதிலிருந்து:

 எனக் கணக்கிட்டார்.
 
A,B , C  மதிப்புகள் தெரிந்ததால்  இடைவெட்டுத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, அவர் கணக்கிட்டது:

ஆற்றின் அகலத்தைக் கணக்கிடல்

முக்கோணம் மற்றும் சரிவகங்களில் இணைகோடுகள்

குறிப்பு

மேற்கோள்கள் 
 
 
 ()
 ()

வெளி இணைப்புகள் 
Intercept Theorem  at PlanetMath
Intercept theorem at mathsrevision.net 
Java-Applet illustrating the intercept theorem 

வடிவவியல்
நிறுவலடங்கிய கணிதத்தேற்றங்கள்
யூக்ளிடிய வடிவவியல்

nl:Stelling van Thales