இசுடர்லிங் சுழல் எண்

கணிதத்தில் ஸ்டர்லிங் எண் என்பது இரண்டு வகையாகப் புழங்குகிறது. அவைகளில் ஒரு n-கணத்தை k சுழல்களாகப் பிரிக்கக்கூடிய  வழிகளின் எண்ணிக்கை  முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண் அல்லது இசுடர்லிங் சுழல் எண் எனப் பெயர் பெறும்.அதாவது எத்தனை n-வரிசைமாற்றங்கள் k சுழல்களாலானவை என்ற எண்தான் இது. இதற்குக் குறியீடு  s(n,k) என்றோ அல்லது  
 என்றோ பயன்படுத்தப்படுகிறது. இதை  n-cycle-k என்றோ n-சுழல்-k என்றோ உச்சரிக்கலாம். 
 
எடுத்துக்காட்டாக,  = 6

ஏனென்றால், {a,b,c,d} போன்ற ஒரு 4-கணத்தின் மூன்றுசுழற்பிரிவுகள்:

  a/b/cd;  a/c/bd;  a/d/bc;  b/c/ad;  b/d/ac;  c/d/ab

இவ்வெண்களின் முதல் சில மதிப்புகளின் அட்டவணையை ஸ்டர்லிங் எண்கள் என்ற கட்டுரையில் பார்க்கவும்.

மீள்வரு தொடர்பு

n > 0 என்றால்,

n பொருள்களை    k சுழல்கள் உள்ள திரிபுகளாகச்செய்யும் செயலில், முதல் பட்சமாக     என்ற ஒரு குறிப்பிட்ட பொருளை  ஒற்றை உறுப்புச்சுழலாக வைத்திருக்கலாம். இப்பட்சம்   வழிகளில்  ஏற்படக்கூடியது.

இரண்டாவது பட்சமாக  மற்ற ஏதாவதொரு சுழலில் ஓருறுப்பாக இருக்கவேண்டும்.  மற்ற சுழல்களின் எண்ணிக்கை . இவைகளில்  ஓருறுப்பாக இருக்கக்கூடிய வழிகளின் எண்ணிக்கையைக் கணிப்பதற்கு முதலில் நாம் குறிப்பாக எடுத்துக் கொள்ளவேண்டியது, ஒரு r-சுழலில் ஒரு புது உறுப்பை r வழிகளில் சேர்க்கலாம் என்பதுதான். k சுழல்களில் எதுவும் இந்த  ஐ ஏற்றுக்கொள்ளலாம்.இச்சுழல்களின் நீளங்கள்   ஆக வெவ்வேறாக இருந்தாலும்  என்பது நிச்சயம். அதனால்  ஐ   சுழல்களில் ஏதாவதொரு சுழலில் சேர்ப்பதற்கு  (n-1) வழிகள் உள்ளன.

இவ்விரண்டு பட்சங்களின் உருவகம் தான் மீள்வரு தொடர்பு  (Recurrence Relation)

ஏறுமுகக் காரணியத்துடன் உறவு

n > 0 ஆக இருக்குமானால்,

 (*): .

இதனுடைய நிறுவல் உய்த்தறிதல்  (Induction) முறையில் செய்யப்படுகிறது. முதலில் ஒரு குறியீடு.

 

 

   
இவை உய்த்தறிதல் முறையின் முதல் படிகள்.  k-ஆம் படியிலிருந்து      k+1- ஆம் படிக்குச்செல்வதற்கு, நாம்

  

யை பயன்படுத்தவேண்டியிருக்கும்.

இறங்குமுகக் காரணியத்துடன் உறவு

(*) இல் x ஐ  (-x) ஆக மாற்றினால், கிடைப்பது:

n > 0 ஆக இருக்குமானால்,

 (*):

இவற்றையும் பார்க்கவும்

ஸ்டர்லிங் உட்கண எண்

சேர்வியல்
குறிப்பிடத்தக்க எண் வகைகள்

pl:Liczby Stirlinga#Liczby Stirlinga I rodzaju