Bekensteinova hranica

Bekensteinova hranica, vo fyzike, predstavuje horný limit entropie S alebo informácie I, ktorá môže byt obsiahnutá v určitej danej konečnej oblasti vesmíru, ktorý má určité konečné množstvo energie - alebo obrátene, maximálne množstvo informácií, potrebných na úplné popísanie daného fyzikálneho systému na kvantovej úrovni. To znamená, že ak oblasť vesmíru a jej energia je určitá a konečná, tak informácia o fyzikálnom systéme alebo informácie potrebné na úplné popísanie systému musia byť konečné. V prípade IT to znamená, že existuje maximálna rýchlosť spracovania informácií pre fyzický systém, ktorý má určitú veľkosť a energiu, a že Turingov stroj, s jeho nekonečnou pamäťou, nie je fyzikálne možný, pokiaľ nemá nekonečnú energiu. Všeobecný tvar bol objavený Jacobom Bekensteinom pôvodne ako nezrovnalosť. 
 

kde S je entropia, k je Boltzmannova konštanta, R je polomer gule, ktorá obklopuje daný systém, E je maximálna hmotnosť-energia vrátane všetkých zvyškových hmotností, ħ je redukovaná Planckova konštanta a c je rýchlosť svetla. Zaujímavé je, že zatiaľ čo gravitácia hrá dôležitú úlohu jej posilnení, tak hranica je nezávislá od Newtonovej konštanty G.

V informačnom vzťahu je hranica daná

 
kde I je informácia vyjadrená počtom bitov obsiahnutých v kvantovom stave gule. Ln2 faktor pochádza z definície informácie ako logaritmus počtu kvantových stavov so základom 2. Pravá strana predchádzajúceho vzťahu je približne rovná 2.5769087×1043×(hmotnosť v kg)×(polomer v metroch).

Bekenstein odvodil  hranicu z metodických dôkazov zahŕňajúcich čierne diery. Ak existuje systém porušujúci túto hranicu, tak by bolo možné porušiť 2. termodynamický zákon jeho znížením na úroveň čiernej diery, argumentoval Bekenstein. V roku 1995 Ted Jacobson demonštroval, že Einstein field equations môžu byť odvodené za predpokladu,že Bekensteinova hranica a zákony termodynamiky platia. Aj keď doteraz bolo predstavených viacero dôkazov, že nejaká hranica musí existovať, aby zákony termodynamiky boli navzájom konzistentné, tak presná formulácia hranice je stále predmetom diskusií.

Stáva sa, že Bekenstein-hawkingova entropia  trojrozmernej čiernej diery presne napĺňa hranicu 

kde A je  dvojrozmerná oblasť  horizontu udalostí čiernej diery (v jednotkách Planckovej plochy) .

Bekensteinova hranica je úzko prepojená s termodynamikou čiernych dier, holografickým princípom a Buosseho holografickou hranicou kvantovej gravitácie.

Príklady

Ľudské telo

Napríklad priemerný američan váži  a je vysoký . Takáto osoba môže byť vložená do guľe s polomerom  (polomer = polovica výšky).. Maximálnu energiu máme danú vzťahom mc2 = E  , v SI jednotkách  hmotnosť 88.3 kilograms × 2997924582(rýchlosť svetla v m/s na druhú)= 7936008228246099761.2 Joulov energie. Doporučená hodnota redukovanej Planckovej konštanty je 1.054571628×10−34 joul-sekúnd. 
Vložením týchto čísel do Bekensteinovej hranice dostaneme 

  
ako výsledok , že maximálny počet bitov  potrebný na dokonalé vytvorenie priemerného američana na kvantovej úrovni v počítači je 2.0057742×1045  bitov informácií alebo 2.5072178×1038  megabajtov. V prípade ľudí je skutočný počet bitov, ktoré môžu byť kódované ich telom  omnoho menšie (ako aj pri ostatných známych formách hmoty), pretože  toto je horná hranica, dosiahnutá iba čiernou dierou.

Ľudský mozog

Priemerný ľudský mozog váži  a má objem  . Energia(E = m·c2)  bude  1.34813·1017 J  a keĎže mozog je približne guľa, potom  polomer (V = 4·π·r3/3) bude  6.70030·10−2 m. 
Bekensteinova hranica bude 2107.79640·1041  bitov  a predstavuje maximum informácií potrebných na dokonalé vytvorenie  priemerného ľudského mozgu na kvantovej úrovni.

Pozri aj 
 Entropia

Referencie

Zdroj

Externé odkazy 
 Jacob D. Bekenstein, "Bekenstein bound", Scholarpedia, Vol. 3, No. 10 (2008), p. 7374 
 Jacob D. Bekenstein, "Bekenstein-Hawking entropy", Scholarpedia, Vol. 3, No. 10 (2008), p. 7375, 
 Jacob D. Bekenstein's website at the Racah Institute of Physics, Hebrew University of Jerusalem, which contains a number of articles on the Bekenstein bound

Kvantová informatika