Charakteristická funkcia (teória pravdepodobnosti)

Charakteristická funkcia je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike jedna z funkcií náhodnej veličiny. Využíva sa (okrem iného) pri charakterizovaní a určovaní vlastností náhodných veličín a pri skúmaní limitného správania sa a limitných viet náhodných veličín.

Charakteristická funkcia úplne určuje rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej veličiny. Ak existuje hustota pravdepodobnosti náhodnej veličiny, tak potom je charakteristická funkcia Fourierova transformácia tejto hustoty. 

Každá náhodná veličina má svoju charakteristickú funkciu, teda inak povedané – charakteristická funkcia náhodnej veličiny existuje vždy. V tom sa líši napríklad od momentovej vytvárajúcej funkcie, ktorá nie je definovaná pre všetky náhodné veličiny.

Definícia 
Nech  je náhodná premenná a nech  je jej distribučná funkcia. Komplexná funkcia reálnej premennej , ktorú definujeme nasledujúcim vzťahom:

sa nazýva charakteristická funkcia náhodnej premennej .

V uvedenom vzťahu písmeno  označuje tzv. imaginárnu jednotku komplexného čísla ,  je množina reálnych čísel,  je množina komplexných čísel a . Pre imaginárnu jednotku uvedenú v definícii platí známy vzťah: . Vo výraze v zátvorke nachádzajúcom sa na konci vzťahu označuje symbol  hustotu náhodnej veličiny. Posledná rovnosť však platí len v tom prípade, ak existuje hustota náhodnej veličiny (pokiaľ neexistuje, tak samozrejme nemôžeme charakteristickú funkciu pomocou nej vyjadriť).

Ďalej môžeme definovať vzťah pre  nasledovne:

A vďaka tomuto vzťahu môžeme písať:

Pokiaľ je uvažovaná náhodná veličina  diskrétna, tak platí nasledovné:

Zovšeobecnenie 
Predchádzajúca definícia sa dá zovšeobecniť aj pre zložitejšie (iné ako jednorozmerné) náhodné veličiny.

 Pokiaľ uvažujeme nasledovný náhodný vektor , tak jeho charakteristická funkcia je definovaná nasledovne:
kde .

 Ak  je náhodná matica typu , tak pre  potom platí:

 V prípade, že  je komplexná náhodná premenná a , tak pre charakteristickú funkciu platí nasledovný vzťah:

 V prípade, že  je komplexný náhodný vektor a , tak pre jeho charakteristickú funkciu platí zase nasledovný vzťah:

 A v prípade, že  je stochastický (náhodný) proces, tak pre každú funkciu  takú, že integrál  konverguje pre takmer všetky realizácie , platí nasledovné:

V predchádzajúcom značení použité symboly vyjadrujú:
  označuje transpozíciu (transponovanú maticu alebo vektor)
  označuje stopu matice (skratka z anglického slova trace)
  označuje reálnu časť komplexného čísla
  označuje komplexne združené číslo
  označuje konjugovanú transpozíciu (v tomto prípade komplexného vektora), teda:

Označenie charakteristickej funkcie 
V závislosti od literatúry sa používa rôzne označenie (rôznymi gréckymi písmenami), napr:

Vlastnosti charakteristickej funkcie 
Charakteristická funkcia má niekoľko dôležitých vlastností. Jednou z týchto vlastností je, že charakteristická funkcia v bode 0 je rovná 1, teda matematicky zapísané: . 

Platnosť tejto rovnosti sa dá ukázať nasledovným postupom:

Ďalšou vlastnosťou je, že charakteristická funkcia je ohraničená, teda:  pre všetky .

Pre charakteristickú funkciu zo záponého argumentu zase platí nasledovné:  pre všetky , kde  vyjadruje komplexne združené číslo k číslu 

Charakteristická funkcia  je rovnomerne spojitá na množine reálnych čísiel 

Charakteristická funkcia  je tiež kladne semidefinitná, teda platí:
pričom nerovnosť platí pre ľubovoľné komplexné čísla  a ľubovoľné reálne čísla , pre . Symbol  označuje komplexne združené číslo k číslu .

Existuje vzťah medzi charakteristickými funkciami náhodných premenných a distribučnými funkciami náhodných premenných. Teda pokiaľ máme dve náhodné premenné  a , tak platí nasledovné:

Pokiaľ existuje hustota  náhodnej veličiny , pričom táto náhodná veličina má distribučnú funkciu , tak potom charakteristická funkcia tejto náhodnej veličiny sa dá vyjadriť aj v nasledujúcom tvare:

Pre charakteristickú funkciu súčtu náhodných veličín, teda pre takú náhodnú veličinu , ktorá je súčtom  nezávislých náhodných veličín:  platí vzťah:

Pre náhodnú veličinu nasledovného tvaru:  zase platí:

Pomocou charakteristickej funkcie sa dajú pomerne jednoducho vyrátať aj momenty náhodných veličín (pokiaľ tieto samozrejme existujú). Predpokladajme, že pre  ,  je . Potom vieme, že k-te derivácie, ktoré označíme  funkcie  existujú a platí pre ne nasledovný vzťah:

Existencia charakteristickej funkcie 
Každá náhodná veličina má svoju charakteristickú funkciu, teda inak povedané – charakteristická funkcia náhodnej veličiny existuje vždy. V tom sa líši napríklad od momentovej vytvárajúcej funkcie, ktorá nie je definovaná pre všetky náhodné veličiny. 

Pokiaľ teda máme ľubovoľnú náhodnú veličinu  a , tak určite vieme, že pre každé  platí (napr. pre funkciu kosínus), že:  (analogicky pre funkciu sínus). Teda určite vieme, že funkcie ,  a  sú spojité a ohraničené na množine . Z toho teda dostávame nasledovné:

Teda Lebesgueove-Stieltjesove integrály existujú a sú konečné, ohraničené.

Príklady 
Pre konkrétne rozdelenia pravdepodobnosti má charakteristická funkcia nasledovné vyjadrenia:

Zdroj 
 
 
 

Pravdepodobnosť
Teória pravdepodobnosti