Goldbachova domnienka

Goldbachova domnienka je jedným z najstarších a najznámejších nevyriešených problémov teórie čísel a celej matematiky. Domnienka tvrdí, že:
 Každé párne celé číslo väčšie ako 2 sa dá vyjadriť ako súčet dvoch prvočísel.

Táto hypotéza bola overená pre všetky párne čísla menšie ako 4 × 1018. Napriek značnému úsiliu však ešte nikto nedokázal tvrdenie pre všetky párne čísla.

Goldbachove číslo 
Goldbachove číslo je prirodzené číslo, ktoré sa dá vyjadriť ako súčet dvoch nepárnych prvočísiel. Keďže 4 je jediné párne číslo väčšie ako 2, ktoré potrebuje 2, ak ju chceme zapísať ako súčet dvoch prvočísiel, Goldbachovu domnienku môžeme formulovať aj nasledovne: Každé párne číslo väčšie ako 4 je Goldbachove číslo.

Vyjadrenie daného párneho čísla ako súčet dvoch prvočísiel sa nazýva Goldbachov rozklad tohto čísla. Nižšie sú uvedené príklady Goldbachových rozkladov pre niektoré párne čísla:
 6 = 3 + 3
 8 = 3 + 5
 10 = 3 + 7 = 5 + 5
 12 = 7 + 5 
 ...
 100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53
 ...
Počet spôsobov, ktorými sa 2n dá zapísať ako súčet dvoch prvočísiel (pre n začínajúce od 1) je:
 0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 4, 4, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 3, 5, 3, 4, 6, 3, 5, 6, 2, 5, 6, 5, 5, 7, 4, 5, 8, 5, 4, 9, 4, 5, 7, 3, 6, 8, 5, 6, 8, 6, 7, 10, 6, 6, 12, 4, 5, 10, 3, ... .

Pôvod 

7. júna 1742, nemecký matematik Christian Goldbach napísal list Leonhardovi Eulerovi (list č. XLIII), v ktorom navrhol takúto domnienku:
 Každé celé číslo, ktoré sa dá zapísať ako súčet dvoch prvočísel, sa potom dá rozpísať ako súčet ľubovoľne veľa prvočísiel, až kým sa všetky výrazy nerozložia na jednotky.
Na okraj listu potom ešte dopísal túto domnienku:
 Každé prirodzené číslo väčšie ako 2 možno zapísať ako súčet troch prvočísiel.
Je nutné podotknúť, že Goldbach považoval aj 1 za prvočíslo - táto konvencia sa v súčasnej matematike nepoužíva. Nie je známe, či sú dve spomínané domnienky ekvivalentné, ale zdá sa, že to v tom čase nebol hlavný problém.
Moderná verzia Goldbachovej domnienky na okraji znie:
 Každé celé číslo väčšie než 5 sa dá zapísať ako súčet troch prvočísiel.
Euler odpovedal v liste z 30. júna 1742, a pripomenul Goldbachovi ich staršiu diskusiu (), v ktorej Goldbach poznamenal, že jeho prvá domnienka (nie tá na okraji) vyplýva z nasledujúceho tvrdenia
 Každé párne celé číslo väčšie ako 2 možno zapísať ako súčet dvoch prvočísiel.
čo je tým pádom tiež Goldbachova domnienka.
V liste z 30. júna 1742, Euler napísal: ("To ... že každé párne číslo je súčet dvoch prvočísel považujem za úplne zaručene pravdivé, hoci to neviem dokázať.") Práve táto tretia verzia má tvar, v ktorom sa domnienka formuluje dnes. Je tiež známa ako „silná“, „párna“, alebo „binárna“ Goldbachova domnienka, keď ju chceme odlíšiť od slabšieho tvrdenia, dnes známeho ako „slabá“ Goldbachova domnienka, „nepárna“, alebo „ternárna“ Goldbachova domnienka. Táto slabá domnienka tvrdí, že všetky nepárne čísla väčšie ako 7 sa dajú vyjadriť ako súčet troch nepárnych prvočísiel, a zdá sa, že bola dokázaná v roku 2013. Slabá domnienka vyplýva zo silnej, pretože ak n – 3 je súčet dvoch nepárnych prvočísiel, potom pridaním trojky dokážeme n vyjadriť ako súčet troch nepárnych prvočísiel. Nie je známe, či platí aj opačná implikácia, teda či zo slabej domnienky vyplýva silná.

Overovanie pre malé n 
Pre malé hodnoty n, môžeme skúsiť overiť Goldbachovu domnienku priamo. Napríklad, Nils Pipping v roku 1938 prácne overil, že domnienka je pravdivá pre n ≤ 105. S príchodom počítačov sa domnienku podarilo overiť pre mnoho ďalších hodnôt n; T. Oliveira e Silva bežal distribuovaný výpočet, ktorý overil domnienku pre n ≤ 4 × 1018 (a dvakrát overil pre n ≤ 4 × 1017) v roku 2013. Jeden rekord z tohto vyhľadávania je, že 3,325,581,707,333,960,528 je najmenšie číslo, ktoré nemá Goldbachov rozklad s prvočíslami menšími ako 9781.

Rigorózne výsledky 
Pomocou Vinogradovej metódy, Chudakov, Van der Corput, a Estermann ukázali, že takmer všetky párne čísla sa dajú zapísať ako súčet dvoch prvočísiel (v tom zmysle, že podiel čísel, ktoré sa dajú zapísať sa pre n idúce do nekonečna blíži k 1). V roku 1930, Lev Schnirelmann ukázal, že všetky prirodzené čísla väčšie než 1 sa dajú zapísať ako súčet najviac C prvočísiel, kde C je efektívne vypočítateľná konštanta (pozri Schnirelmannova hustota). Schnirelmannova konštanta je najmenšie číslo C s touto vlastnosťou. Schnirelmann sám dokázal, že C < 800,000. Tento výsledok postupne zlepšilo mnoho autorov, až Olivier Ramaré, ktorý v roku 1995 ukázal, že každé párne číslo n  ≥ 4 je v skutočnosti súčet najviac šesť prvočísiel. Najlepší známy výsledok v súčasnosti vyplýva z dôkazu slabej Goldbachovej domnienky Haralda Helfgotta, z ktorej priamo vyplýva, že každé párne číslo n  ≥ 4 je súčet najviac štyroch prvočísiel.

Chen Jingrun ukázal v roku 1973 pomocou metódy preosievania, že každé dostatočne veľké párne číslo sa dá zapísať ako súčet dvoch prvočísiel alebo ako súčet prvočísla a poloprvočísla (čísla, ktoré je súčinom dvoch prvočísiel).

V roku 1975, Hugh Montgomery a Robert Charles Vaughan ukázali, že "väčšina" párnych čísel sa dá vyjadriť ako súčet dvoch prvočísel. Presnejšie: ukázali, že existujú kladné konštanty c a C také, že pre všetky dostatočne veľké čísla N, je skoro každé párne číslo menšie ako N súčtom dvoch prvočísiel, pričom počet výnimiek je nanajvýš. Teda množina čísiel, ktoré nie sú súčtom dvoch prvočísiel má hustotu nula.

Linnik ukázal v roku 1951 existenciu konštanty K takej, že každé dostatočne veľké párne číslo je súčtom dvoch prvočísiel a najviac K mocnín 2. Roger Heath-Hnedé a Jan-Christoph Schlage-Puchta v roku 2002 dokázali, že tvrdenie platí pre K = 13 a Pintz a Ruzsa v roku 2003 dokázali, že tvrdenie platí už pre K = 8.

Tak ako pri mnohých ďalších slávnych domnienkach v matematike, existuje množstvo údajných dôkazov Goldbachovej domnienky. Žiadny však nebol overený a prijatý matematickou komunitou.

Súvisiace problémy 

 Podobným problémom ako Goldbach sa zaoberal Lagrange, avšak namiesto prvočísel uvažoval druhé mocniny celých čísel (tzv. štvorce: 1, 4, 9, 16, ...). Dokázal, že každé prirodzené číslo sa dá vyjadriť ako súčet štyroch štvorcov. Pozri tiež Waringov problém a súvisiaci Waring–Goldbachov problém, ktoré sa týkajú vyšších mocnín celých čísiel a prvočísiel.
 Hardy a Littlewood uvádzajú Hypotézu I: "Každé dostatočne veľké nepárny číslo (n > 5) sa dá vyjadriť ako súčet prvočísla a dvojnásobku prvočísla." (Mathematics Magazine, 66.1 (1993): 45-47.) Toto tvrdenie je známy tiež ako Lemoinova domnienka a Levyho domnienka.
 Goldbachovu domnienku pre praktické čísla (čísla podobné prvočíslam), formuloval v roku 1984 Margenstern a v roku 1996 dokázal Melfi: každé párne číslo je súčtom dvoch praktických čísel.

Referencie

Externé odkazy 
 Goldbachova hypotéza

Analytická teória čisel
Hilbertove problémy