Herónov vzorec

Herónov vzorec je vzorec na výpočet obsahu všeobecného trojuholníka (v euklidovskej rovine), pomocou dĺžok jeho strán.

Vzorec 
Ak sú  dĺžky strán trojuholníka, platí pre jeho obsah
,
kde  je polovičný obvod trojuholníka.

Dôkaz 

Označme  vzdialenosť vrcholu  od päty kolmice z vrcholu  na stranu  (výška). Pre ostrouhlý trojuholník na obrázku platí:

Odčítame od druhej rovnice prvú, dostaneme:

Z tohto vzťahu vyjadríme :

Toto platí aj v pravouhlom trojuholníku, v tupouhlom sa namiesto  dáva  (viď. nižšie). Ak do prvej rovnice dosadíme , získame výšku :

Ak dosadíme túto výšku do vzorca pre obsah trojuholníka , dostaneme:

Ďalej pomocou rozkladov upravíme výraz pod odmocninou:

Dosadíme polovičný obvod ,  a dostávame výsledný vzorec:

História 
Vzorec bol formulovaný Herónom z Alexandrie a dôkaz bol publikovaný v jeho knihe Métrika, napísanej v roku 60 pred Kr.

Poznámky 
 Kratší dôkaz je možný pomocou kosínusovej vety.
 Obsah trojuholníka je symetrická kvadraticky homogénna funkcia jeho strán.

Referencie

Pozri aj 
 Trojuholník
 Obsah
 Tetivový štvoruholník

Externé odkazy 
 Dôkaz Herónoveho vzorca 
 Herónov vzorec

Zdroj 

Matematické vety
Trojuholník