Χ²-rozdelenie

-rozdelenie (iné názvy: -rozdelenie pravdepodobnosti, chí-kvadrát rozdelenie (pravdepodobnosti), rozdelenie (pravdepodobnosti) , rozdelenie (pravdepodobnosti) chí-kvadrát, rozdelenie (pravdepodobnosti) štvorca chí, Helmertovo-Pearsonovo rozdelenie (pravdepodobnosti)) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike rozdelenie pravdepodobnosti. Je to špeciálny prípad gama rozdelenia.

 rozdelenie má v matematickej štatistike veľmi významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri určovaní odhadov a intervalových odhadov neznámych parametrov a pri testovaní štatistických hypotéz. Pri tomto testovaní sa využívajú kritické hodnoty -rozdelenia, ktoré sú tabelované a na základe nich vieme testovanú štatistickú hypotézu prijať alebo zamietnuť.

Definícia 
Nech  je náhodná premenná a nech  je prirodzené číslo. Hovoríme, že náhodná premenná  má -rozdelenie s  stupňami voľnosti, ak jej hustota pravdepodobnosti má nasledovný tvar:

kde označenie  označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

Označenie:

Ďalšie vyjadrenia a vzťahy 
Pokiaľ máme náhodnú premennú , ktorá má normované normálne rozdelenie, teda , tak náhodná premenná  má -rozdelenie s 1 stupňom voľnosti, teda .

Toto tvrdenie platí analogicky aj pokiaľ máme  nezávislých náhodných premenných , pričom každá z týchto premenných má normované normálne rozdelenie, teda  pre . Potom nasledovná náhodná premenná:

 

má -rozdelenie s  stupňami voľnosti, teda .

Vlastnosti 
Začiatočné momenty tohto rozdelenia môžeme vyjadriť pomocou všeobecného vzťahu nasledovne:

Teda z tohto vzťahu dostaneme nasledovné vyjadrenia pre strednú hodnotu a disperziu premennej :

 
 

Koeficient šikmosti má nasledovné vyjadrenie:

 

Pre koeficient špicatosti dostaneme:

 

Distribučná funkcia tohto rozdelenia má nasledovný tvar:

Graf hustoty tohto rozdelenia je pre malé hodnoty parametra  nesymetrický, no pre veľké hodnoty tohto parametra je hustota premennej tvaru:

čoraz viac symetrickejšia a pre hodnoty parametra  väčšie ako 30 ju môžeme aproximovať hustotou normálneho normovaného rozdelenia N(0, 1).

Kritické hodnoty 
Kritické hodnoty sa využívajú pri testovaní štatistických hypotéz a pre toto rozdelenie sú tabelované. Kritickú hodnotu môžeme zadefinovať nasledovne:

Nech  je náhodná premenná s  rozdelením s  stupňami voľnosti. Potom hodnoty , ktoré náhodná premenná  presiahne so zvolenou pravdepodobnosťou  nazývame kritické hodnoty -rozdelenia. Matematicky zapísané:

Zdroje 
 
 
 
  
 
 

Náhodné rozdelenia