Wishartovo rozdelenie

Wishartovo rozdelenie (iné názvy: Wishartovo pravdepodobnostné rozdelenie, Wishartovo rozdelenie pravdepodobnosti) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike viacrozmerné rozdelenie pravdepodobnosti. Wishartovo rozdelenie je viacrozmerný analóg -rozdelenia alebo, v prípade neceločísleného počtu stupňov voľnosti, gama rozdelenia.

Wishartovo rozdelenie je jedno z rozdelení pravdepodobnosti, ktoré definujeme cez symetrické, nezáporne definitné matice, ktoré vystupujú ako náhodné premenné (tzv. „náhodné matice“). Rozdelenie je veľmi dôležité pri odhadovaní a získavaní odhadov kovariančných matíc vo viacrozmerných štatistických analýzach.

Rozdelenie je pomenované podľa matematika Johna Wisharta, ktorý prvýkrát v roku 1928 toto rozdelenie popísal.

Definícia 
Majme náhodný výber  z normálneho -rozmerného rozdelenia s parametrami  a , teda . Ďalej nech  je matica typu n  ×  p definovaná nasledovne: . Potom matica  definovaná nasledovným vzťahom:

má Wishartovo rozdelenie s  stupňami voľnosti.

Označenie:

Vlastnosti 
Pokiaľ položíme kovariančnú maticu , tak hovoríme, že Wishartovo rozdelenie má štandardizovaný tvar, teda: 

Pre , teda v prípade 1-rozmerného Wishartovho rozdelenia, sa toto rozdelenie zhoduje s -rozdelením s n stupňami voľnosti vynásobeným disperziou, teda:

Pokiaľ máme maticu , ktorá má p-rozmerné Wishartovo rozdelenie s  stupňami voľnosti, teda  a maticu , ktorá je typu p  ×  q, tak matica , ktorú dostaneme prenásobením matice  zľava aj sprava maticou , má tiež Wishartovo rozdelenie s  stupňami voľnosti, ale q-rozmerné a s inou kovariančnou maticou:

Zdroje a referencie 

 
 

Náhodné rozdelenia