Podgrupa

V matematike sa pojmom podgrupa grupy G = (G, *) označuje grupa H = (H, *H), ak je H podmnožinou G a *H je podmnožinou operácie *.

V nasledujúcom texte sa namiesto zápisu a*b používa skrátené ab.

Základné vlastnosti podgrup 
 Podgrupa je grupa
 H je podgrupa grupy G, práve keď je neprázdna a je uzavretá na operáciu * (to znamená, že ak a, b ∈ H, potom ab ∈ H) a na inverziu (tzn. ak a ∈ H, potom a-1 ∈ H)
 Neutrálny prvok v G sa rovná neutrálnemu prvku v H
 Inverzný prvok v G sa rovná inverznému prvku v H

Osobitné prípady podgrup 
 Každá grupa obsahuje dve tzv. nevlastné podgrupy (tiež triviálne podgrupy), seba samu a podgrupu obsahujúcu len neutrálny prvok (tá je vlastne zároveň triviálnou grupou). Ostatné podgrupy označujeme ako vlastné (alebo netriviálne).
 Ak je S ​​ podmnožina G, existuje najmenšia podgrupa grupy G obsahujúca S​​. Táto podgrupa sa značí <S> a volá sa podgrupa generovaná množinou S ​ (v prípade, že S​​ je jednoprvková, píšeme podgrupu ako <a> miesto <{a}>).
 Zvlášť významné sú normálne podgrupy spĺňajúce

Referencie 

Teória grúp