Vektorový podpriestor

Vektorový podpriestor alebo lineárny podpriestor je v lineárnej algebre taká podmnožina iného vektorového priestoru, ktorá sama tvorí vektorový priestor.

Definícia 
Nech  je vektorový priestor a nech  je neprázdna podmnožina množiny . Potom  nazývame podpriestor vektorového priestoru  , ak spolu s operáciami  tvorí vektorový priestor nad poľom  .

Veta 
Nech  je vektorový priestor a nech  je neprázdna podmnožina množiny  .Potom  je podpriestor práve vtedy, keď pre všetky  a  platí
a) 
b)

Veta 1  
Podpriestory ,  majú neprázdny prienik práve vtedy, ak existujú
vektory  a  také, že platí

Špeciálny prípad vety 1. 
Priamky  a  majú neprázdny prienik práve vtedy, keď vektor A-B je lineárnou kombináciou

Dôkaz 
     ,      

Dôkaz vety 1 urobíme analogicky.

Veta 2  
Ak  a  sú podpriestory  s neprázdnym prienikom, tak ich prienik
 je afinný podpriestor so zameraním .

Dôkaz 
Vetu 2 dokážeme tak, že ukážeme, že body a vektory z prieniku spĺňajú nasledujúce podmienky:
a) Ak body   a  patria do  , tak vektor  patrí do
.
b) Ak bod  patrí do  a  patrí do , tak bod  patrí do .

Toto je však triviálne, lebo ak bod   aj  , tak  pričom analogické tvrdenie platí pre vektory.

Veta 3  
Podpriestory  a  sú rovnobežné alebo rôznobežné, pričom ich
prienik je (r − 1)-rozmerný podpriestor.

Náznak dôkazu 
Môžeme predpokladať, že podpriestory nie sú rovnobežné (t. j. ), pretože v opačnom prípade je už splnené tvrdenie vety. Z tohto predpokladu
vyplýva, že existuje vektor  a súčasne . Bez ujmy
na všeobecnosti, môžeme vytvoriť bázu  tak, aby .
Nech . je bázou . (Z predpokladu  vyplýva, že každý z vektorov  je lineárnou kombináciou vektorov . Pretože
 je báza  pomocou nich je možné vyjadriť aj vektor (A − B). Podľa vety 1. podpriestory  a  sú rôznobežné.

Dôsledky vety 3  
Z vety 3 vyplýva hneď niekoľko dôsledkov a síce:
 Dve priamky v  nemôžu mať práve dva spoločné body.
 Dve priamky v  sú rovnobežné alebo majú práve jeden spoločný bod.
 Rovina a priamka v  sú rovnobežné alebo majú práve jeden spoločný bod.
 Dve roviny v  sú rovnobežné alebo sa pretínajú v priamke. 
A mnohé ďalšie.

Literatúra 
 M. Lavička: KMA/G1 Geometrie 1. Pomocný učebný text. Plzeň, Západočeská univerzita v Plzni. 2005, s. 7-11
 M. Billich - M. Trenkler: Zbierka úloh z geometrie. Ružomberok, Verbum. 2013, s. 9-11

Pozri aj 
 Vektor (matematika)
 Skalár
 Vektorový priestor
 Priamka
 Rovina_(geometria)

Externé odkazy 
 Algebra - Vektorový priestor
  Lineárna algebra

Lineárna algebra