Gama rozdelenie

Gama rozdelenie  je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike spojité rozdelenie pravdepodobnosti s dvoma parametrami. Jeho špeciálnymi prípadmi sú exponenciálne rozdelenie a -rozdelenie. Patrí k pravostranne (pozitívne) zošikmeným rozdeleniam.

Gama rozdelenie sa používa na modelovanie pravdepodobnosti doby čakania, tiež sa používa v poistnej matematike pri modelovaní výšky poistných plnení. Na tento účel sa používa aj exponenciálne rozdelenie, no pretože gama rozdelenie je na rozdiel od neho závislé od dvoch parametrov, je vhodnejšie a pri tomto modelovaní aj viac flexibilnejšie. Napriek tomu neodhaduje dobre pravdepodobnosť extrémne vysokých poistných plnení.

Definícia 
Nech  je náhodná veličina a nech  a . Hovoríme, že táto náhodná veličina  má gama rozdelenie s parametrami  a , ak jej hustota pravdepodobnosti má nasledovný tvar:

kde označenie  označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

Parameter  nazývame parameter tvaru a  zase paramater škály.

Označenie:

Ďalšie vyjadrenia 
Jedna z dôležitých vlastností gama rozdelenia je tá, že pokiaľ máme dve, prípadne viac, náhodných premenných, ktoré majú gama rozdelenie, tak ich súčet má tiež gama rozdelenie, menia sa iba parametre.

Nech  a  sú dve náhodné veličiny, ktoré sú nezávislé, pričom každá z nich má gama rozdelenie s parametrami  a , ďalej nech pre parametre platí nasledovné: ,  a . Potom náhodná veličina , má tiež gama rozdelenie s parametrami 

Majme  nezávislých náhodných premenných , pričom každá z nich má gama rozdelenie a parametrami . Pre parametre platí:  a  pre . Potom náhodná veličina nasledovného tvaru:

má tiež gama rozdelenie s parametrami .

Vzťah k iným rozdeleniam 
Z definície vyplýva, že pokiaľ vo vyjadrení hustoty pravdepodobnosti položíme parameter , tak dostaneme hustotu pravdepodobnosti exponenciálneho rozdelenia s parametrom , teda:

Pokiaľ vo vyjadrení hustoty pravdepodobnosti gama rozdelenia položíme parameter , pričom  je celé kladné číslo a druhý parameter , tak dostaneme -rozdelenie s  stupňami voľnosti, teda

Vlastnosti 
Začiatočné momenty tohto rozdelenia môžeme vyjadriť pomocou všeobecného vzťahu nasledovne:

Teda z tohto vzťahu dostaneme nasledovné vyjadrenia pre strednú hodnotu a disperziu premennej :

 
 

Pre koeficient šikmosti platí nasledovný vzťah:

Momentová vytvárajúca funkcia má nasledovný tvar:

pre .

Pre charakteristickú funkciu náhodnej veličiny s gama rozdelením zase platí nasledovné:

pričom pre parametre platí: ,  a .

Poznámky 
V závislosti od literatúry sa používa rôzne značenie parametrov tohto rodelenia. Namiesto gréckych písmen  a  sa zvyknú používať písmená našej abecedy,  a  (pričom v niektorej literatúre potom parameter  zodpovedá  a parameter  zodpovedá ).

Zdroje 
 
  
 
  
 

Náhodné rozdelenia