Báza (vektorový priestor)

Báza vektorového priestoru  je množina lineárne nezávislých vektorov, ktorých lineárnym obalom je priestor . Každý vektor z  sa dá jednoznačne vyjadriť ako lineárna kombinácia bázových vektorov. Teda voľba bázy súčasne každému vektoru priraďuje súradnice - koeficienty takejto lineárnej kombinácie.

Definícia

Nech  je vektorový priestor nad poľom  a .

 Množina  je lineárne nezávislá, ak pre ľubovoľné vektory  z rovnosti  vyplýva .
 Množina  generuje priestor , ak každý vektor  sa dá vyjadriť ako  pre nejaké . Inak povedané, lineárny obal množiny  je celý priestor , t.j. .

Ak  je lineárne nezávislá množina a súčasne generuje priestor , tak hovoríme, že  je báza priestoru . Ekvivalentná podmienka je, že každý vektor  sa dá vyjadriť práve jedným spôsobom ako lineárna kombinácia konečne veľa vektorov z . Koeficienty tejto lineárnej kombinácie voláme súradnice daného vektora vzhľadom na bázu ,

V prípade, že  je konečná množina, tak sa uvedené definície dajú sformulovať o čosi jednoduchšie. Na miestach, kde sme v uvedených definíciách potrebovali vybrať konečnú podmnožinu z  môžeme zobrať priamo celú bázu. T.j. môžeme definície sformulovať tak, že   namiesto .

Vlastnosti

 Ak  je ľubovoľná lineárne nezávislá množina v priestore , tak existuje báza  obsahujúca .
 Ak  je množina, ktorá generuje priestor , tak existuje báza  taká, že .
 Ľubovoľné dve bázy daného priestoru  majú rovnakú kardinalitu. Túto kardinalitu nazývame dimenzia priestoru .
 Obrazy prvkov bázy jednoznačne určujú lineárne zobrazenie. T.j. ak máme bázu  priestoru  a zobrazenie , kde  je vektorový priestor nad tým istým poľom, tak existuje práve jedno lineárne zobrazenie  také, že . (Opäť, v konečnorozmernom prípade je formulácia o čosi zrozumiteľnejšia. Ak máme bázu pozostávajúcu z vektorov  a poznáme obrazy , tak pre vektor  nutne musíme mať . Dá sa overiť, že tento predpis skutočne definuje lineárne zobrazenie z  do .)

Príklady bázy  
Majme nejaký vektorový priestor  a podmnožinu  takú, že lineárny obal  tejto množiny je rovný priestoru , teda platí: . 

Príklad 1.: nech  a . Je zrejmé, že platí rovnosť . Avšak vektory  sú lineárne závislé, pretože platí: , naproti tomu, vektory  sú lineárne nezávislé, preto vektory  tvoria bázu vektorového priestoru  (samozrejme aj vektorového priestoru ).

Príklad 2.:
Nech je daný vektorový priestor . Vektory  sú lineárne nezávislé a preto tvoria bázu vektorového priestoru .

Nekonečnorozmerný prípad

Niektorí autori používajú v nekonečnorozmernom prípade názov Hamelova báza, na odlíšenie od niektorých iných typov báz používaných pre nekonečnorozmerné priestory. (Napríkad Schauderova báza v Banachových priestoroch alebo ortonormálna báza v Hilbertových priestoroch.) Niekedy sa však tento termín používa špecificky pre bázu  ako vektorového priestoru nad .

Najjednoduchší príklad nekonečnorozmerného priestoru je priestor dimenzie . Takýto priestor môžeme dostať napríklad ako priestor , pozostávajúci z postupností reálnych čísel, ktoré majú iba konečne veľa nenulových členov. Priestor  je vektorový priestor nad , jeho báza pozostáva z postupností , , kde  obsahuje jedinú jednotku na -tom mieste. T.j. , , atď.

Pre mnohé nekonečnorozmerné vektorové priestory nevieme explicitne popísať bázu. Tvrdenie, že každý vektorový priestor má bázu, je ekvivalentné s axiómou výberu.

Ľubovoľný nekonečnorozmerný Banachov priestor má dimenziu aspoň . Z toho napríklad vidíme, že ak má lineárny normovaný priestor spočítateľnú Hamelovu bázu, tak nemôže byť úplný.

Referencie

Literatúra

Pozri aj 

 Lineárny obal
 Lineárna závislosť
 Podmnožina
 Vektorový priestor

Lineárna algebra