Obelisk (geometria)

Obelisk je mnohosten, vykonštruovaný dvoma paralelnými mnohouholníkmi, ktorých bočné steny sú lichobežníky. Jedná sa o zrezaný ihlan s mnohouholníkovou podstavou.

Ide o 3-rozmerný priestorový útvar v euklidovskej geometrii. Najbežnejšie sú obelisky s podstavou štvorca, obdĺžnika, trojuholníka, päťuholníka či šesťuholníka, no známe sú aj obelisky s podstavou osemuholníka či desaťuholníka. Takmer všetky obelisky sú mnohosteny, s výnimkou tzv. zrezaného kužeľa, ktorého podstava je kruh, no možná je aj podstava elipsy podobne ako u eliptického valca. Žiaden obelisk s mnohouholníkovou podstavou nemožno vytvoriť rotáciou. Naopak, obelisk s kruhovou podstavou je možné vytvoriť okrem zrezania čiapky kužeľa, aj rotáciou pravouhlého lichobežníka.

Vlastnosti 
Každý obelisk s podstavou mnohouholníka sa radí medzi prismatoidy. Vďaka tomu, že jeho plášť tvoria lichobežníky, spadá daný prismatoid pod skupinu obeliskov. Všeobecne platí, že mnohouholník či kruh hornej podstavy musí byť -krát menší, než mnohouholník či kruh dolnej podstavy. V prípade, že sú obe podstavy rovnako veľké, ich plášť nemôže byť tvorený lichobežníkmi, ale obdĺžnikmi čo stvorcami, čo je hranol, nie obelisk. To isté platí aj v prípade kruhovej podstavy. Ak sú kruhy oboch podstáv rovnako veľké, jedná sa o valec, nie obelisk (v tomto prípade zrezaný kužeľ). Aj v prípade že dve eliptické podstavy sú rovnako veľké, vzniká eliptický valec. Obelisky sú útvary konvexné. Ďalej existujú nepravidelné obelisky, ktoré majú za podstavy nepravidelné mnohouholníky a majú teda neurčité tvary plášťa.

Druhy pravidelných obeliskov

Základný (štvorcový) obelisk 
Je tvorený dvoma paralelnými štvorcami tvoriacich dolnú a hornú podstavu. Plášť tohto obelisku tvoria 4 rovnoramenné lichobežníky, ktorých dĺžka strany  (dolná, najdlhšia strana) je zhodná s dĺžkou strany  v dolnej podstave štvorca. Toto isté tvrdenie platí aj na hornú stranu lichobežníka  ktorá je zhodná s dĺžkou strany  v hornej podstave štvorca. Preto:

 a 

Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

Objem vypočítame ako:

Obsah plášťa vypočítame ako:

Pretože obsah lichobežníka vypočítame ako , a plášť základného obelisku tvoria 4 rovnaké rovnoramenné lichobežníky, stačí iba obsah lichobežníka vynásobiť štyrmi. Povrch vypočítame ako:

kde:

 je strana hornej štvorcovej podstavy

 je dolná, najdlhšia strana rovnoramenného lichobežníka 

 je horná, najkratšia strana rovnoramenného lichobežníka

 je strana dolnej štvorcovej podstavy

 je výška

 je obsah lichobežníka

je obsah dolnej podstavy

 je obsah hornej podstavy

Obdlžníkový obelisk 
Je tvorený dvoma paralelnými obdlžníkmi tvoriacich dolnú a hornú podstavu. Plášť tohto obelisku tvoria 4 rovnoramenné lichobežníky, niesu však všetky rovnaké. Sú to 2 paralelné predné lichobežníky ktorých horná, najkratšia strana  je rovnako dlhá ako najdlhšia strana hornej podstavy . Ďalej sú tu 2 bočné lichobežníky ktorých horná, najkratšia strana je rovnako dlhá ako bočná, najkratšia strana hornej obdlžníkovej podstavy, . Ďalej najdlhšia, dolná strana predných lichobežníkov  je rovnako dlhá ako najdlhšia strana dolnej podstavy . To isté platí aj pre bočné lichobežníky, ktorých najdlhšie, dolné strany  sú rovnako dlhé ako bočné strany dolnej podstavy, . Preto:

, ,  a 

Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

Objem vypočítame ako:

Alebo ako: 

Obsah plášťa vypočítame ako:

Povrch vypočítame ako:

kde:

 je najdhlšia strana hornej podstavy (predná strana)

 je najkratšia strana hornej podstavy (bočná strana)

 je najdhlšia strana dolnej podstavy (predná strana)

 je najkratšia strana dolnej podstavy (bočná strana)

 je horná, najkratšia strana predných lichobežníkov

 je horná, najkratšia strana bočných lichobežníkov

 je dolná, najdlhšia strana predných lichobežníkov

 je dolná, najdhlšia strana bočných lichobežníkov

 je výška

Rovnostranný trojuholníkový obelisk 
Je tvorený dvoma paralelnými rovnostrannými trojuholníkmi tvoriacich dolnú a hornú podstavu. Plášť tohto obelisku tvoria 3 rovnoramenné lichobežníky. Každá stena je priamo prepojená s ďalšími dvomi, vďaka vlastnosti trojuholníku. Z geometrického hľadiska, ide o zrezaný pravidelný štvorsten. Vďaka tomu že podstava je rovnostranný trojuholník, existuje len strana hornej podstavy  a dolnej podstavy . Horná, najkratšia strana lichobežníka  je rovnako dlhá ako strana . Dolná, najdlhšia strana lichobežníka je rovnako dlhá ako strana dolnej podstavy . Preto:

 a 

Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

Objem vypočítame ako: 

Obsah plášťa vypočítame ako: 

Povrch vypočítame ako: 

kde:

 je strana hornej podstavy

 je strana dolnej podstavy

 je horná, najkratšia strana lichobežníka

 je dolná, najdlhšia strana lichobežníka

 je obsah hornej podstavy

 je obsah dolnej podstavy

 je výška

Pentagonálny obelisk 
Je tvorený dvoma paralelnými pravidelnými konvexnými päťuholníkmi tvoriacich dolnú a hornú podstavu. Plášť tohto obelisku tvorí 5 rovnoramenných lichobežníkov. Vďaka tomu že ide o pravidelný konvexný polygón s rovnakými dĺžkami strán, existujú len strana hornej podstavy  a strana dolnej podstavy . Najkratšia, horná strana lichobežníka  má takú istú dĺžku ako strana hornej podstavy . Najdlhšia, dolná strana lichobežníka  má takú istú dĺžku ako strana dolnej podstavy . Preto:

 a 

Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

Objem vypočítame ako:

Obsah plášťa vypočítame ako: 

Povrch vypočítame ako:

kde:

 je strana hornej podstavy

 je strana dolnej podstavy

 je horná, najkratšia strana lichobežníka

 je dolná, najdlhšia strana lichobežníka

 je obsah hornej podstavy

 je obsah dolnej podstavy

 je výška

Hexagonálny obelisk 
Je tvorený dvoma paralelnými pravidelnými konvexnými hexagónmi (šesťuholníkmi) tvoriacich dolnú a hornú podstavu. Plášť tohto obelisku tvorí 6 rovnoramenných lichobežníkov. Vďaka vyššie uvedenej vlastnosti pravidelných konvexných polygónov s rovnakými dĺžkami strán, existujú len strana hornej podstavy  a strana dolnej podstavy . Najkratšia, horná strana lichobežníka  má takú istú dĺžku ako strana hornej podstavy . Najdlhšia, dolná strana lichobežníka  má takú istú dĺžku ako strana dolnej podstavy . Preto:

 a 

Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

Na výpočet objemu znova použijeme vzorec na výpočet objemu obeliskov s podstavou pravidelného konvexného polygónu a pod.:

Obsah plášťa vypočítame ako:

Povrch vypočítame ako:

kde:

 je strana hornej podstavy

 je strana dolnej podstavy

 je horná, najkratšia strana lichobežníka

 je dolná, najdlhšia strana lichobežníka

 je obsah hornej podstavy

 je obsah dolnej podstavy

 je výška

Zrezaný kužeľ 
Je objekt zkonštruovaný rotáciou pravouhlého lichobežníka o 360°. Jedná sa o špeciálny typ obelisku, kedže sa nezakladá na polygonálnej (mnohouholníkovej) podstave.

Je tvorený dvoma paralelnými kruhmi. Jeho plášť je výsledkom zrezania kužeľa. Obvod dolnej podstavy vypočítame ako:

Obvod hornej podstavy vypočítame ako:

Objem vypočítame ako:

Bočnú stranu kužeľa vypočítame ako:

Obsah plášťa vypočítame ako:

Alebo ako:

Povrch vypočítame ako:

Alebo ako:

kde:

 je polomer dolnej podstavy

 je polomer hornej podstavy

 je výška

Referencie 

Priestorové útvary