Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie

Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie (pravdepodobnosti) (iné názvy: Fisherovo-Snedecorovo pravdepodobnostné rozdelenie, Fisherovo-Snedecorovo F-rozdelenie, Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie F, Fisherovo (F-)rozdelenie (pravdepodobnosti), Snedecorovo (F-)rozdelenie (pravdepodobnosti), F-rozdelenie (pravdepodobnosti), rozdelenie F) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike spojité rozdelenie pravdepodobnosti. 

Rozdelenie je pomenované podľa Ronaldovi Aylmerovi Fisherovi a Georgeovi Waddelovi Snedecorovi, dvoch významných matematikoch.

Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie má v matematickej štatistike veľmi významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri testovaní štatistických hypotéz. Pri tomto testovaní sa využívajú kritické hodnoty F-rozdelenia, ktoré sú tabelované a na základe nich vieme testovanú štatistickú hypotézu prijať alebo zamietnuť.

Definícia 
Nech  je náhodná premenná, nech , a nech  a  sú prirodzené čísla. Hovoríme, že  má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s  a  stupňami voľnosti (môžeme tiež písať: (m, n) - stupňami voľnosti), ak jej hustota rozdelenia má nasledovný tvar:

kde označenie  označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

Označenie:

Ďalšie vyjadrenia 
Náhodnú premennú X, ktorá má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie, môžeme tiež vyjadriť aj pomocou dvoch -kvadrátov, a to nasledovne:
Majme dve náhodné premenné  a , ktoré sú nezávislé. Nech o nich platí, že  má -kvadrát rozdelenie s  stupňami voľnosti a  nech má -kvadrát rozdelenie s  stupňami voľnosti, teda:  a . Potom náhodná premenná  definovaná vzťahom:

má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s  a  stupňami voľnosti.

Rozdelenie môžeme tiež vyjadriť aj pomocou dvoch náhodných výberov z normálneho rozdelenia, a to nasledovne:
Majme náhodný výber  z nejakého základného súboru, ktorý má normálne rozdelenie , ďalej majme náhodný výber  z ďalšieho základného súboru, ktorý má normálne rozdelenie . Nech  a  sú výberové rozptyly a nech pre , ,  a  platí nasledovné:
 
 
 
Potom náhodná premenná  definovaná vzťahom:

má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s  a  stupňami voľnosti (alebo: -stupňami voľnosti).

Vlastnosti 
Ako vidíme z definície, toto rozdelenie závisí od počtu stupňov voľnosti. Graf rozdelenia je asymetrický.
Pokiaľ má náhodná premenná  Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie, tak potom jej  začiatočný moment má nasledovný tvar:

Z tohto vzťahu ľahko vidíme, že pre strednú hodnotu a disperziu náhodnej premennej  s Fisherovým-Snedecorovým rozdelením platí nasledovné:

 ; pre 

 ; pre

Kritická hodnota
Kritické hodnoty sa využívajú pri testovaní štatistických hypotéz a pre Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie sú tabelované. Kritickú hodnotu môžeme zadefinovať nasledovne:

Nech  je náhodná premenná, ktorá má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s  a  stupňami voľnosti. Potom hodnotu , ktorú náhodná premenná  presiahne so zvolenou pravdepodobnosťou  nazývame kritickou hodnotou Fisherovho-Snedecorovho rozdelenia. Teda matematicky zapísané:

Externé odkazy 
 Tabuľka kritických hodnôt F-rozdelenia

Zdroje 
 
 
 
 

Náhodné rozdelenia