Kovariančná matica

Kovariančná matica (iné názvy: variančná matica, variančno-kovariančná matica) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike matica, ktorá má na priesečníku i-teho riadku a j-teho stĺpca kovarianciu medzi i-tym a j-tym prvkom náhodného vektora.

Definícia 
Majme p-rozmerný náhodný vektor . Nech pre jednotlivé disperzie skalárnych náhodných premenných , kde , platí, že sú konečné, teda: . Potom symetrická matica rozmeru , ktorá má na priesečníku i-teho riadku a j-teho stĺpca kovarianciu prvkov  a , teda číslo , pre , sa nazýva kovariančnou maticou náhodného vektora .

Predchádzajúcu definíciu zapíšeme aj symbolicky. Kovarianciu dvoch prvkov daného náhodného vektora  označíme symbolom , teda:

Pričom samozrejme zo základných vlastností kovariancie vieme, že platí: 

Matica bude potom vyzerať nasledovne:

Vďaka vyššie spomenutej vlastnosti kovariancie môžeme maticu prepísať aj do tvaru:

Označenie 
Ako vyplýva už z vyššie uvedeného, v prevažnej väčšine literatúry sa používa na označenie kovariančnej matice veľké grécke písmeno sigma  (príp. ) alebo .

Vlastnosti 
Kovariančná matica má niekoľko dôležitých vlastností. V definícii môžeme pre zjednodušenie označiť:

 

a

 Kovariančná matica je symetrická a kladne semidefinitná matica, ktorá má na diagonále disperzie náhodných premenných .

 Kovariančnú maticu možno vyjadriť v nasledovnom tvare:

 Majme maticu , ktorá má rozmery  a k-rozmerný náhodný vektor . Potom pre kovariančnú maticu náhodného vektora  definovaného nasledovným vzťahom:

platí, že:

Zdroj 
 
 
 
 

 

Matice
Analýza dát