Kvadratický odhad

Kvadratický odhad je úloha pri ktorej je potrebné nájsť najmenšie číslo  resp. najväčšie číslo  také, že: , resp. .

Ak , tak najväčšie zo všetkých takých čísel , že pre každé  platí , je .

Ak , tak najväčšie zo všetkých takých čísel , že pre každé  platí , je .

Pomocou týchto poznatkov, prípadne samotnej techniky doplnenia na štvorec, možno nájsť podobné odhady aj v zložitejších situáciach.

Príklady 
 Nájdite najväčšie také číslo , aby nerovnosť 

 platila pre všetky .

Riešenie: Pravda, nie je vopred jasné, čí také číslo vôbec existuje. Nech  pre . Nájdeme najväčšie možné číslo  také, že , pre každé . To je ľahké, podľa vyššie uvedeného dostávame:

 pre kazdé . Preto  a rovnosť nastane vtedy a len vtedy, keď . Platí teda  pre každé . Navyše pre  nastáva rovnosť. Preto najväčšie také číslo , že pre každé  platí , je .

 Nájdite najmenšie také číslo , že pre každé  platí .        
Tento problém vlastne zahŕňa nasledujúce otázky:
a) existuje číslo  také, že  platí pre každé ?
b) Ak áno, je niektoré z takých čísel najmenšie?
c) Ktoré je najmenšie také číslo, ak existuje?

Na všetky tieto otázky odpovieme naraz. Keďže  pre , nerovnosť  platí pre niektoré  práve vtedy, keď , čiže  za predpokladu, že . Ak však  je také číslo, že  platí pre každé , tak , lebo výraz na ľavej strane vzťahu  je pre každé  kladný. Keďže , tak predchádzajúca nerovnosť platí pre každé  vtedy a len vtedy keď 
 pretože  pre každé , pričom rovnosť nastáva pre . Nerovnosť  platí práve vtedy, keď , číže . Teda ak , tak  platí pre všetky . Navyše keď vezmeme  a z  vypočítané , tak v  dostaneme rovnosť. Teda najmenšie z čísel , ktoré spĺňajú  pre každé  je .

 Ukážme, že existujú také čísla , že nerovnosť  platí pre každé , a že jedno z nich je najväčšie.

Riešenie: Všimnime si najprv, že 
 pre každé číslo . Preto  platí  vtedy a len vtedy, keď . Keď však , vtedy  pre všetky . Navyše pravá strana výrazu  je pre záporné  záporná. Z toho vyplýva, že tento výraz môže platiť pre každé  len vtedy, keď . Teda uvedený výraz platí pre všetky  vtedy a len vtedy, keď  a zároveň . Keďže , pre každé , pričom rovnosť platí pre  , bude nerovnosť  platiť pre všetky  vtedy a len vtedy, keď . Teda  platí pre každé číslo  vtedy a len vtedy, keď  a nerovnosť  je splnená. Nerovnosť platí práve vtedy, keď . 
Keďže vyššie uvedený zlomok je pre  kladný, číslo  vyhovuje nerovnostiam  práve vtedy, keď , čiže práve vtedy, keď , čiže . Takto sme zistili, že nerovnosť  platí pre každé číslo  vtedy a len vtedy, keď . Teda  je najväčšie zo všetkých takých čísel , že nerovnosť  platí pre každé číslo .

Pozri aj 
 Doplnenie na štvorec

Literatúra 
 I. KLUVÁNEK: Prípravný kurz k diferenciálnemu a integrálnemu počtu. Ružomberok, Pedagogická fakulta Katolíckej univerzity v Ružomberku. 2006, s. 64-67

Matematická analýza