Konvexný obal

V matematike je konvexný obal množiny bodov X na Euklidovskej ploche alebo v Euklidovskom priestore definovaný, ako najmenšia konvexná množina obsahujúca množinu X.

Definícia 

Množina bodov je definovaná ako konvexná ak v sebe obsahuje všetky úsečky spájajúce každú dvojicu bodov danej množiny.

Formálne je konvexný obal definovaný ako prienik všetkých konvexných množín obsahujúcich X, alebo ako množina všetkých konvexných kombinácii bodov v X.

Ako konvexný obal vyzerá si môžeme predstaviť pomocou myšlienkového experimentu. Predstavme si, že X je ohraničená množina bodov na ploche. Ďalej si predstavme každý jej bod ako klinec trčiaci z podlahy. Zoberme elastickú gumičku a natiahnime ju tak aby vnútri nej boli všetky klince. Keď teraz pustíme gumičku, stiahne sa aby minimalizovala svoj obvod a natesno pritom obkolesí všetky klince. Plocha ohraničená touto gumičkou bude konvexný obal množiny bodov X.

Výpočet konvexného obalu 

Algoritmický problém hľadania konvexného obalu konečnej množiny bodov v Euklidovských priestoroch je jedným z fundamentálnych problémov geometrie v informatike. 

Poznáme množstvo algoritmov na výpočet konvexného obalu konečného počtu bodov alebo rôznych iných geometrických tvarov. 

Výpočet konvexného obalu obnáša zostrojenie jednoznačnej a efektívnej reprezentácie požadovaného konvexného útvaru.

Zložitosť jednotlivých algoritmov je zvyčajne odhadovaná v závislosti od , čiže počtu vstupných bodov, a , čiže počtu výstupných bodov, tj. počet bodov tvoriacich konvexný obal.

Pre body v 2D a 3D existujú algoritmy pracujúce s časovou zložitosťou . Pre dimenzie  poznáme algoritmy, ktorých časová zložitosť je rovná , co je zároveň aj optimálne riešenie tohoto problému.

Využitie 

Problém nájdenia konvexných obalov má praktické využitie napríklad v rozpoznávaní vzorov, spracovaní obrazu, štatistikách, geografickom informačnom systéme, teórii hier, konštrukcii fázových diagramov a statickej analýze kódu pomocou abstraktnej interpretácie. Slúži tiež ako nástroj, stavebný blok, pre množstvo ďalších výpočtovo-geometrických algoritmov.

Konvexný obal je bežne známy ako Minimal Convex Polygon (MCP) v etiológii, kde je klasický, hoci možno zjednodušujúci, prístup pri odhadovaní rozsahu teritória zvieraťa na základe bodov, v ktorých bolo zviera pozorované. Extrémne hodnoty môžu spôsobiť, že MCP je nadbytočne veľký, a preto sa často používajú voľnejšie prístupy, ktoré obsahujú len podmnožinu pozorovaní (napr. nájsť MCP, ktorý obsahuje aspoň 95% bodov).

Referencie 

Teória množín