Symetrická diferencia

Symetrická diferencia alebo symetrický rozdiel dvoch množín je v teórii množín množina tých prvkov, ktoré patria práve do jednej z množín. Obsahuje teda všetky prvky z oboch množín, ktoré sa nenachádzajú v ich prieniku.

Symetrická diferencia množín A a B sa značí ako
 
alebo
 
alebo
 

Napríklad symetrická diferencia množín  a  je množina . Symetrická diferencia množín dievčat a študentov je množina všetkých dievčat, ktoré nie sú študentky a všetkých chlapcov študentov.

Vlastnosti 
Symetrická diferencia je ekvivalentná so zjednotením oboch rozdielov množín:

 

a môže byť tiež vyjadrená ako zjednotenie dvoch množín bez ich prieniku:

 

alebo cez prvky pomocou logickej operácie XOR:

 

Z definície vyplýva, že symetrická diferencia je vždy (vlastnou alebo nevlastnou) podmnožinou zjednotenia množín:

pričom rovnosť v tejto neostrej inklúzii platí vtedy a len vtedy, ak  a  sú disjunktné množiny.

Symetrická diferencia je komutatívna a asociatívna:

 

Prienik je distributívny nad symetrickou diferenciou:
 

Prázdna množina je neutrálnym prvkom symetrickej diferencie a každá množina je svojím vlastným inverzným prvkom vzhľadom na symetrickú diferenciu:

 

Potenčná množina každej množiny sa teda stáva abelovskou grupou so symetrickou diferenciou ako operáciou a prázdnou množinou ako neutrálnym prvkom, kde neutrálny prvok a každý ďalší prvok grupy je svojím vlastným inverzným prvkom.

Referencie

Zdroj 

Teória množín
Binárne operácie