Studentovo rozdelenie

Studentovo rozdelenie (iné názvy: Studentovo pravdepodobnostné rozdelenie, Studentovo rozdelenie pravdepodobnosti, Studentovo t-rozdelenie (pravdepodobnosti), Studentovo rozdelenie t, t-rozdelenie (pravdepodobnosti), rozdelenie t) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike spojité rozdelenie pravdepodobnosti. 

Studentovo rozdelenie má v matematickej štatistike veľmi významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri určovaní intervalových odhadov a pri testovaní štatistických hypotéz. Pri tomto testovaní sa využívajú kritické hodnoty t-rozdelenia, ktoré sú tabelované a na základe nich vieme testovanú štatistickú hypotézu prijať alebo zamietnuť. Tabelované sú tiež hodnoty distribučnej funkcie tohto rozdelenia.

Definícia 
Nech  je náhodná premenná, nech  je prirodzené číslo. Potom táto náhodná premenná  má Studentovo rozdelenie (alebo t-rozdelenie) s  stupňami voľnosti, pokiaľ jej hustota pravdepodobnosti má nasledovný tvar:

pre . Označenie  označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

Hustotu pravdepodobnosti môžeme vyjadriť aj pomocou beta funkcie (ktorá sa niekedy nazývaj aj Eulerov integrál prvého druhu), a to nasledovne:

Beta funkciu vo vzorci označuje  a môžeme ju vyjadriť nasledovne:

 

Označenie:

Ďalšie vyjadrenia 
Náhodnú premennú , ktorá má Studentovo rozdelenie, môžeme tiež vyjadriť aj pomocou dvoch iných náhodných premenných, z ktorých jedna má normálne rozdelenie a druhá má -rozdelenie, a to nasledovne:

Majme dve náhodné premenné:  a , pričom  má normálne normované rozdelenie a  má -rozdelenie s  stupňami voľnosti, teda:  a , pričom tieto dve náhodné premenné sú nezávislé. Potom náhodná premenná  definovaná vzťahom:

má Studentovo rozdelenie s  stupňami voľnosti.

Rozdelenie môžeme tiež vyjadriť aj pomocou jedného náhodného výberu z normálneho rozdelenia, a to nasledovne:
Majme náhodný výber  z normálneho rozdelenia . Nech . Potom náhodná premenná , ktorú definujeme nasledovným vzťahom:

má Studentovo rozdelenie s  stupňami voľnosti.

Pokiaľ máme k dispozícii dva nezávislé náhodné výbery z normálneho rozdelenia, môžeme t-rozdelenie vyjadriť aj nasledovne:
Majme dva nezávislé náhodné výbery s rôznymi rozsahmi, teda:  a  z normálneho rozdelenia, kde náhodný výber  je z rozdelenia  a náhodný výber  je z rozdelenia  (vidíme, že disperzie sa rovnajú). Ďalej nech  a  sú výberové priemery a  a  sú výberové disperzie. Potom náhodná premenná nasledovného tvaru:

má Studentovo rozdelenie s  stupňami voľnosti. Premenná  vystupujúca v danom vzťahu má nasledovné vyjadrenie:

Vlastnosti 
Ako môžeme vidieť z definície tohto rozdelenia, závisí od počtu stupňov voľnosti. Studentovo rozdelenie je symetrické a má jeden vrchol v bode . Začiatočné momenty rozdelenia môžeme vyjadriť pomocou všeobecného vzťahu nasledovne:

pre .

Pre strednú hodnotu a disperziu tohto rozdelenia potom platí nasledovné:

 Ak , potom: 
 Ak , potom 

Distribučná funkcia Studentovho rozdelenia má nasledovné vyjadrenie:

Kritická hodnota 
Kritické hodnoty sa využívajú pri testovaní štatistických hypotéz a pre Studentovo rozdelenie sú tabelované. Kritickú hodnotu môžeme zadefinovať nasledovne:

Nech  je náhodná premenná, ktorá má Studentovo rozdelenie s  stupňami voľnosti. Potom hodnotu , ktorú náhodná premenná  v absolútnej hodnote presiahne so zvolenou pravdepodobnosťou  nazývame kritickou hodnotou Studentovho rozdelenia. Teda matematicky zapísané:

Zdroje 
 
 
 
 
 
 

Náhodné rozdelenia