Wilksovo lambda rozdelenie

Wilksovo lambda rozdelenie (iné názvy: Wilksovo rozdelenie, Wilksovo rozdelenie Lambda, Lambda rozdelenie, -rozdelenie) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike viacrozmerné rozdelenie pravdepodobnosti (spojité). Rozdelenie dostaneme súčinom beta rozdelení. Wilksovo lambda rozdelenie je viacrozmerným analógom jednorozmerného F-rozdelenia.

Rozdelenie je pomenované podľa matematika Samuela S. Wilksa.

Definícia 
Majme dva matice  a . Nech matica  má p-rozmerné Wishartovo rozdelenie s m stupňami voľnosti, teda:  a nech matica  má tiež p-rozmerné Wishartovo rozdelenie s n stupňami voľnosti, teda: , pričom platí, že  a symbolom  označujeme jednotkovú maticu. Nech sú tieto dve matice nezávislé. Potom náhodná veličina  definovaná nasledovným vzťahom:

má Wilksovo lambda rozdelenie s parametrami p, m a n.

Označenie 
V literatúre sa prevažne používa označenie veľkým gráckym písmenom lambda . Niekedy sa toto rozdelenie označuje aj malým gréckym písmenom lambda .

Vlastnosti a vzťahy 
Ako už bolo v úvode spomenuté, náhodná premenná s Wilksovým lambda rozdelením vznikne ako súčin náhodných premenných s beta rozdelením. Uvažujme teda n nezávislých náhodných premenných , pričom každá z týchto náhodných premenných má beta rozdelenie, teda:

kde . Potom náhodná premenná definovaná ako súčin: 

má Wilksovo lambda rozdelenie s parametrami p, m a n, teda: .

Existuje niekoľko základných vzťahov medzi –rozdelením a Fisherovo-Snedecorovým rozdelením. Tieto vzťahy sa dajú odvodiť vďaka tomu, že existujú vzťahy medzi beta rozdelením a Fisherovo-Snedecorovým rozdelením.

 

 

 

 

V predchádzajúcich vzťahoch sa za parametre p a n použili postupne hodnoty 1 a 2. Pokiaľ chceme dostať nejaký vzťah aj pre iné hodnoty, musíme predpokladať, že parameter m je dostatočne veľký. V takom prípade môžeme použiť Bartlettovu asymptotickú aproximáciu, podľa ktorej platí nasledovné:

pričom  označuje Χ²-rozdelenie s príslušným počtom stupňov voľnosti.

Zdroj 
 

Náhodné rozdelenia